Teoria Dos Conjuntos Apontamentos (SALLES 2008)

7/22/2019 Teoria Dos Conjuntos Apontamentos (SALLES 2008)

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TEORIA DOS CONJUNTOS: APONTAMENTOS.Paulo de Tarso Salles

CMU/ECA-USP, 2008.

Os tratados de anlise de msica Ps-Tonal (ou seja, parte expressiva da produo

musical feita a partir do sculo XX) em geral adotam a Teoria dos Conjuntos como

procedimento metodolgico padro para a compreenso dos procedimentos adotados nesse

tipo de msica, que emprega agrupamentos de notas no-ordenados. Usa-se essa tcnica

analtica tambm para a msica dodecafnica, onde se trabalha com conjuntos ordenados.

Assim ela pode, em princpio, ser empregada na anlise de msica Ps-Tonal tendo por

base o sistema de afinao temperada.

A Teoria dos Conjuntos oferece uma srie de operadores que so uma alternativalgica ausncia das hierarquias tradicionais do Sistema Tonal (fundamentado sobre as

noes de trade, campo harmnico, modulao, consonncia e dissonncia). Considerando

que a noo de intervalo permaneceu importante para boa parte da produo musical do

sculo XX, importante conhecer e organizar as formas possveis de combinao entre os

intervalos.1

A Teoria dos Conjuntos possivelmente o procedimento mais simples e eficaz

para analisar essas combinaes, ou ao menos para oferecer um esquema organizado delas.

De incio so apresentadas as bases desse mtodo: a numerao de 0 a 11 das notasda escala cromtica e a equivalncia entre as oitavas, gerando a noo de classe de altura

[pitch class, ou pc], onde as notas so consideradas como entidades discretas dentro do

conjunto da escala temperada (D = 0, D# = 1, ..., Si = 11). Como conseqncia, tm-se a

noo das classes de intervalos [interval classes, ou ic] que representam os intervalos pela

distncia em semitons. Assim, uma 3 Maior, classificao oriunda da Teoria Tonal, passa a

ser considerada como uma classe de intervalo |4| (quatro semitons a partir da nota D, que

a classe de altura |0|).

1Outra noo retida da teoria tradicional a de escala, embora por vezes esse termo seja substitudo por

coleo. De qualquer forma, na msica da 1 metade do sculo XX, diversas escalas - alm dos conhecidos

modos Maior e menor - foram empregadas na organizao harmnica de diversas obras significativas,

tornando esse conceito uma considerao terica importante. Assim como a prpria noo de modo ou

escala, em suas aplicaes composicionais, no tm uma ordenao dos elementos (como o caso do

serialismo), a noo de conjunto ou coleo se torna ainda mais precisa por prescindir da hierarquia ou

centralidade tpicas do sistema Tonal e Modal. Mesmo assim, pode-se optar por analisar conjuntos ordenados

ou no-ordenados.


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De modo a compreender as possibilidades mais finitas do universo cromtico, os

subconjuntos possveis so reduzidos sua ordem normal [normal order] ou em suaforma

primria [prime form]. Assim obtida uma representao numrica de quaisquer

subconjuntos da escala cromtica, dispostos em uma tabela ordenada que permite uma

referncia rpida. Considerando de tricordes a nonacordes, Forte estabeleceu uma tabela

com 220 formas primrias, s quais atribuiu um nmero de classificao, o FN (Forte

number).2

Cada forma primria agrupada de acordo com seu nmero cardinal, ou seja, pela

quantidade de elementos de cada conjunto. O conjunto 3-1 a primeira forma (cromtica)

do cardinal 3, ou seja, contm as classes de altura 0,1,2. A forma normal expressa assim a

menor relao intervalar possvel entre os elementos de um conjunto, sendo encontrada por

meio da ordenao e permutao desses elementos. J a forma primria encontrada

quando uma forma normal ajustada para que seu elemento inicial seja o 0.

Uma boa forma de exercitar a compreenso sobre a numerao e ordenao dos

conjuntos tomar estruturas bem conhecidas como a escala diatnica (7-35) ou as trades

Maior e menor (3-11) para uma avaliao de suas propriedades intervalares (WILLIAMS,

1997, pp. 168-178).

A terminologia empregada tomada de emprstimo da Matemtica. Assim, um

termo consagrado pela teoria musical como som comum ser renomeado como

invarincia,3 etc. As aludidas manipulaes com os intervalos so chamadas de

operadores, dos quais os principais so: transposio (T), inverso (I) e multiplicao (M).4

Uma vez expostas essas noes bsicas, passa-se a abordar as operaes possveis

entre os diversos conjuntos.5

2Cf. FORTE, 1973, pp. 179-181. A tabela de Forte adotada por todos os tericos que empregam a Teoria

dos Conjuntos. OLIVEIRA (1998) e STRAUS (1990) apresentam verses expandidas da tabela de Forte,onde esto includas as transposies da forma primria.3

STRAUS (1990) mantm a nomenclatura original, neste caso, tratando as invarincias como sons comuns s

colees.4

O operador Multiplicao apresentado em maiores detalhes por OLIVEIRA (1998, pp. 30-34). Destaca-se

a transformao da escala cromtica em ciclos de Quintas e de Quartas, atravs dos operadores M7 e M5,

respectivamente. Os operadores de transposio e inverso so mais comumente investigados nos tratados de

FORTE (1973), STRAUS (1990), WILLIAMS (1997) e do prprio OLIVEIRA.5

Doravante, os subconjuntos da escala cromtica sero chamados de conjuntos, para serem tratados

autonomamente e em relao a seus eventuais subconjuntos.


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TRANSPOSIO

Esta operao anloga noo de transposio da teoria musical tradicional, ou

seja, por meio de um fator intervalar se eleva ou abaixa todo um agrupamento de notas.

Para a msica ps-tonal significativo avaliar se a transposio resultante apresenta sons

comuns (invarincias) e, em caso positivo, quantas invarincias foram obtidas. Isso pode

determinar a homogeneidade ou heterogeneidade do contedo harmnico, por meio de

maior ou menor contraste em relao s classes de altura.

O nmero de invarincias pode ser calculado a partir do vetor intervalar, em relao

ao fator de transposio. O vetor intervalar um conjunto de seis classes de intervalos

[interval classes], que expressa todas as relaes de intervalo em um conjunto de classes de

altura.

INVERSO

O conceito de inverso tambm anlogo ao da teoria musical tradicional. Como se

opera em mdulo 12, a soma das inverses sempre ser 12. Esse mesmo critrio estabelece

o fator (ou eixo) de inverso. Freqentemente uma forma normal encontrada em relao

de inverso.6

O clculo das invarincias mais complicado neste caso (FORTE, 1973, pp. 38-46).

Basicamente, constatada a ocorrncia da inverso quando se busca a forma normal, busca-

se o fator de transposio (t). Forte afirma que qualquer operao de inverso implica em

transposio, mas como s vezes o fator de transposio (t) igual a zero, nem sempre isso

fica evidente. Assim, essa operao baseia-se em um duplo mapeamento, onde um conjunto

(a) invertido (a) e transposto (x). Forte demonstra que o fator de transposio obtido

mediante a soma dos valores resultantes da transposio (x) pelo do conjunto inicial (a). Ou

seja: t = x + a (FORTE, 1973, p. 40).

Para encontrar o valor de t que resulte em invarincia completa aps inverso

seguida de transposio, necessrio somar todos os valores do conjunto (FORTE, 1973, p.

41). Porm, h casos onde no ocorre uma invarincia completa. A fala-se em mxima

6As trades Maior e menor, por exemplo, so ambas expressas pelo conjunto 3-11: [0,3,7], denotando sua

relao de inverso.


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invarincia, em nmero menor que a completa. O clculo de t obtido novamente pela

soma dos elementos do conjunto, sendo o valor igual ao do nmero obtido mais vezes.

Como exemplos, Forte oferece o conjunto [0,1,2,3] onde a soma dos elementos :

0+0; 0+1; 0+2; 0+3; 1+1; 1+2; 1+3; 2+2; 2+3; 3+3. Para invarincia completa, a escolha

bvia t=3. No conjunto [0,1,2,5] no ocorre invarincia completa: 0+0; 0+1; 0+2; 0+5;

1+1; 1+2; 1+5; 2+2; 2+5; 3+5. O nmero 2 resulta duas vezes (0+2 e 1+1), portanto a

invarincia mxima obtida com t=2.

Alguns conjuntos apresentam diferenas significativas quanto s invarincias

obtidas (ou ausentes) por transposio e por inverso mais transposio. Forte observa que

o vetor de 4-Z29 [0,1,3,7] [111111], ou seja, qualquer valor de t resultaria em uma

invarincia por transposio. Mas a inverso desse conjunto [0,11,9,5] por um valor que

no seja encontrado nas somas dos elementos do conjunto original (por exemplo, t=5)

resulta em no-invarincia completa.7

H tambm casos em que a inverso pode resultar em

nmero maior de invarincias que a transposio simples, como no conjunto 4-4 (FORTE,

1973, p. 42).

CONJUNTOS DE RELAO Z

As relaes intuitivas entre os conjuntos se do mediante os conceitos de

transposio, inverso ou mesmo de incluso. Mas h conjuntos que apresentam o mesmo

vetor intervalar sem no entanto apresentar as relaes acima, como por exemplo os

tetracordes 4-Z15 e 4-Z29, cujo vetor [111111]. Tal relao chamada deRelao Z, sem

que haja um significado especial para o Z. h um par de tetracordes, trs pares de

pentacordes e quinze pares de hexacordes sob essa relao (STRAUS, 1990, p. 67).

MULTIPLICAO

Operador no discutido por Forte nem por Straus, a multiplicao merece maior

ateno por parte de Oliveira (1998). A aplicao do operador multiplicao sobre as

classes de altura da escala diatnica (conjunto 7-35, segundo a numerao de FORTE,

1973) resulta em algumas entidades harmnicas significativas para a msica do Ocidente.

Neste caso, os ndices de multiplicao (M1, M2, etc.) se organizam simetricamente em

7FORTE (1973, p. 40) comenta esse caso, mas no o demonstra como feito aqui. Mas ele remete a um

exemplo dado p. 10 (trecho de The Unanswered Question), onde duas formas do 4-Z29 ([7,11,1,2] e

[9,10,0,4]) no apresentam invarincia.


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torno do trtono (M6), indo da escala diatnica at os dois heptacordes cromticos

complementares.8

Conjuntos (sets) Nmero deFORTE (FN)

Classes de altura (pitch classes)

M1: escala diatnica 7-35 0 1 3 5 6 8 10M2: tons inteiros 6-35 0 2 6 10 0 4 8

M3: ttrade diminuta 4-28 0 3 9 3 6 0 6

M4: trade aumentada 3-12 0 4 0 8 0 8 4

M5: escala cromtica: heptacorde 1 7-1 0 5 3 1 6 4 2

M6: trtono 0 6 6 6 0 0 0

M7: escala cromtica: heptacorde 2 7-1 0 7 9 11 6 8 10

M8: trade aumentada 3-12 0 8 0 4 0 4 8

M9: ttrade diminuta 4-28 0 9 3 9 6 0 6

M10: tons inteiros 6-35 0 10 8 2 0 8 4

M11: escala diatnica (inverso) 7-35 0 11 9 7 6 4 2

Mapeamentos do operador M (multiplicao) sobre a coleo diatnica (7-35).

O operador M11 um operador de inverso, de acordo com a delimitao do

universo cromtico em mdulo 12 (OLIVEIRA, 1998, p. 31). V-se assim que a escala

diatnica mapeada para si prpria em um conjunto invertido de classes de altura, ao ser

multiplicada por esse fator.

A escala diatnica uma entidade harmnica simtrica, se observarmos a

constituio de seus tetracordes: [0,1,3,5] e [5,6,8,10], cujas distncias intervalares tm o

mesmo padro: 1-2-2.9

A simetria resultante dos fatores de multiplicao acima apenas

reproduz e amplifica a simetria inicial latente da prpria escala. Da mesma forma, as

entidades harmnicas resultantes (escala de tons inteiros, acordes diminuto e aumentado,

trtono e escala cromtica) so estruturas com simetria interna.

SUBCONJUNTOS

As operaes com subconjuntos so importantes para o estabelecimento de relaes

entre conjuntos aparentemente disparatados. No preldio La Cathdrale engloutie (Livro I,

n 10), Debussy explora a interao entre conjuntos de tricordes, tetracordes, pentacordes,hexacordes e heptacordes por meio desse tipo de relao.

8Complementares no sentido em que ambos heptacordes se complementam para formar a escala cromtica. O

heptacorde 7-1 tem papel importante no incio da Sonata para dois pianos e percusso de Bartk (STRAUS,

1990, pp. 104-105).9

FORTE (1973) chama essa maneira de categoriza a disposio intervalar depadro intervalar bsico, ou bip

(basic interval pattern).


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COMPLEMENTARIDADE

Os cardinais cuja soma 12 so complementares, assim, curiosamente, as colees

pentatnica (5-35) e diatnica (7-35) so complementares entre si, pois a ordenao dos

conjuntos de classes de altura na tabela de Forte dispe os conjuntos de acordo com esse

critrio. Alguns hexacordes so complementares a si prprios, no sendo emparelhados na

tabela.

A complementaridade ocorre tambm entre verses transpostas ou invertidas do

mesmo conjunto de classes de altura, significando que essas verses complementam-se para

formar o total cromtico.

Outra propriedade associada noo de complemento a similaridade, a qual

observada tanto em classe de alturas (pc) como classe de intervalos (ic). A similaridade de

classe de intervalos mais significativa e pressupem uma invarincia mxima (4 vetores)

que pode ser dos tipos R1 ou R2 (FORTE, 1973, pp. 46-60; 80-81).10

SEGMENTAO

Ao empreender uma anlise por meio da Teoria dos Conjuntos, importante

proceder segundo uma metodologia que resulte em uma segmentao eficaz dos conjuntos

escolhidos. Certas estruturas convencionais tais como figuraes rtmicas, segmentaes

naturais (trechos entrecortados por pausas ou unidos por ligadura de expresso, por

exemplo), padres de ostinato e acordes, podem ser designados como segmentos primrios.

Mas a msica atonal no estruturada apenas no nvel mais obviamente superficial,

por isso se considera outras possibilidades tcnicas de gerar conjuntos, como a imbricao,

ou seja, a extrao sistemtica de subcomponentes de alguma configurao (FORTE,

1973, pp. 83-84).11 A tcnica de imbricao gera assim uma interao entre segmentos

primrios que so chamados de segmentos compostos.

A maneira como Allen Forte procede em suas anlises baseia-se na segmentao eclassificao dos conjuntos. Os conjuntos so denominados segundo a tabela de cardinais e

10Essa propriedade no entanto sequer comentada por Straus (1990) ou Oliveira (1998), nem ocorre em

outros textos do prprio Forte, dando a entender que suas relaes so um tanto frouxas.11

A definio dada ao termo imbricao pelo Dicionrio Aurlio esclarecedora: disposio que

apresentam certos objetos quando se sobrepem parcialmente uns aos outros, como as telhas de um telhado ou

as escamas do peixe.


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expressos em sua forma normal, entre colchetes, sendo os integrantes do conjunto

separados por vrgulas. Por exemplo: 4-7: [8,9,0,1].12

A forma primria usada

principalmente para demonstrar as operaes, mas no (ou menos freqentemente) em

demonstraes analticas.

COMPLEXOS DE CONJUNTOS

Em artigo de 1964 e na segunda parte de The Structure of Atonal Music (1973),

Forte desenvolveu a teoria dos complexos de conjuntos Kh, os quais envolvem as relaes

recprocas de interao entre conjuntos e seus complementos. Relaes mais simples,

envolvendo incluso parcial entre conjuntos e complementos so chamadas de K. A

representao dos complexos feita em funo desse tipo de avaliao em sees ou

mesmo movimentos inteiros de obras musicais, desvendando as relaes de incluso.

GENERA

A classificao dos conjuntos e subconjuntos pode ser feita por meio de famlias

de genus formados segundo critrios de espcies de materiais musicais. Forte (1988)

oferece uma classificao desse tipo, organizando o sistema temperado a partir de tricordes

de diferentes espcies. Os tricordes formam a base desse sistema de classificao, seguidos

sucessivamente por tetracordes, pentacordes e hexacordes. As demais formaes cardinais

so complementares, preservando as mesmas propriedades de seus complementos.13

A tipologia de Forte apresenta 12 tipos de genus, agrupados segundo seu grau de

parentesco em supragenus (FORTE, 1988, p. 201).

12Todavia no h consenso quanto a formatao da anlise. Joseph Straus (1990) apresenta as colees sem

vrgulas e entre parnteses, adotando ainda as letras T e E para os nmeros 10 e 11, respectivamente. Por

exemplo: 6-35: (02468T). A tabela das classes de conjuntos fornecida por Straus (1990, pp. 180-183) baseia-

se livremente na de Forte, alterando a ordem de apresentao dos pares complementares de conjuntos.13 As proposies iniciais da Teoria dos Conjuntos (FORTE, 1973) so consideravelmente refinadas na

apresentao dos genera (FORTE, 1988), conforme observa LATHAM (1997). J em 1985 Forte anunciava

uma nova fase, mais sofisticada, em relao segmentao analtica da Teoria dos Conjuntos (LATHAM,

1997, 11).


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Genus Tipo Progenitor Contagemtri/tetra/penta/hexa

Total

1 Atonal 3-5 1/9/24/29 63

2 Tons-inteiros 3-8 1/9/24/30 64

SUPRA I

3 Diminuto 3-10 1/5/16/21 43

4 Aumentado 3-12 1/2/8/9 20

5 Croma 3-1 e 3-2 2/2/10/15 29SUPRA II 6 Semicroma 3-2 e 3-3 2/3/16/24 45

7 Croma-dia 3-2 e 3-7 2/3/15/25 45

8 Atonal 3-3 e 3-4 2/3/15/21 41

9 Atonal-atonal 3-3 e 3-11 2/3/15/21 41

SUPRA III

10 Atonal-atonal 3-4 e 3-11 2/3/15/21 41

11 Dia 3-7 e 3-9 2/2/10/15 29SUPRA IV

12 Dia-tonal 3-7 e 3-11 2/3/16/24 45

Assim como em The structure of atonal music, Forte oferece uma relao completa

dos conjuntos que integram cada genus e supragenus no apndice do artigo (FORTE, 1988,

pp. 264-266), possibilitando rpida referncia.

CADEIAS DE KLUMPENHOUWER (K-NETWORKS)

David Lewin e Henry Klumpenhouwer descobriram uma espcie de relao entre os

conjuntos denominada como K-networks [cadeias-K], onde os operadores Transposio (T)

e Inverso (I) integram conjuntos de classes de altura diferentes, mas com significativa

isografia entre si. As isografias so visveis a partir das cadeias de relaes intervalares

formadas pelo cruzamento dos operadores T e I de cada conjunto (LEWIN, 1990, pp. 114-

115):

Qualquer cadeia que utilize operaes T ou I para interpretar inter-

relaes entre conjuntos de classes de alturas, ser chamada de

Klumpenhouwer Network[Cadeia de Klumpenhouwer] (LEWIN, 1990, p.

84).

Nos esquemas abaixo (fig. 1) Lewin apresenta algumas cadeias-K feitas a partir do

acorde inicial do Op. 19/6 de Schoenberg:


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Fig. 1: duas ilustraes extradas de LEWIN (1990, pp. 84-85): a primeira, esquerda, mostra asrelaes de transposio em vriascadeias-Ksobre o acorde inicial do Op. 19/6 de Schoenberg, pormeio da permutao dos sentidos entre os integrantes; a segunda mostra o cruzamento dos operadoresT e I, gerando outras cadeias-K.

Por meio do operador I, Klumpenhouwer demonstrou que dois acordes de classes de

altura diferentes (3-7 e 3-9), situados no incio e no compasso 5 do Op. 19/6 de Schoenberg

apresentam isografia, como ilustrado pela fig. 2:

c . 1

3 - 7 : [ 6 , 9 , 1 1 ]

c . 5

3 - 9 : [ 1 0 , 0 , 5 ]

Fig. 2: relao entre dois conjuntos de classe de altura diferentes, observvel segundo seus grficos deCadeia-K (LEWIN, 1990, p. 85).

Apesar de uma certa resistncia ao emprego da Teoria dos Conjuntos como

ferramenta analtica afinal isso implica na aquisio de uma srie de novos cdigos e

sistemas notacionais pode-se observar que a anlise de obras atonais a partir desses

termos expressa de maneira discreta e objetiva, principalmente quando se abandona uma


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nomenclatura hbrida entre os sistemas modal, tonal e suas variantes.14

A prpria noo de

umpandiatonalismo15

supe que a ausncia de uma hierarquia entre as colees escalares

requer uma nomenclatura que contemple essa concepo diferenciada do material

harmnico.16

REFERNCIAS BIBLIOGRFICASCOOK, N.A guide to musical analysis. New York: Norton, 1987.

FORTE, A. A theory of set-complexes for music. In: Journal of Music Theory, v. 8, n. 2.,1964.

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WILLIAMS, K. Theories and analyses of twentieth-century music. Harbor Drive, Orlando

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14Apesar de bem aceita pela musicologia americana, a teoria de Forte recebeu crticas de peso, como em

HAIMO (1996) e PERLE (1990).15 WILLIAMS (1997, pp. 185-186) observa que o pandiatonalismo ocorre quando algumas passagens [...]

claramente baseadas em uma coleo diatnica [...] permanecem com tonalidade ambgua porque nenhum

grau da escala pode ser identificado como tnica.16

STRAUS (1990, pp. 89-93) discute a questo da terminologia adequada ao repertrio atonal.


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APNDICE: TABELA DAS FORMAS PRIMRIAS E VETORES DOS CONJUNTOSDE CLASSE DE ALTURA, POR ALLEN FORTE


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