Teoria Eletromagnética E Aplicações - Ufba

Fundamentos de Telecomunicacoes

Teoria Eletromagnetica e Aplicacoes

Antonio Cezar de Castro Lima

Universidade Federal da Bahia - UFBA

c© Copyright 2002 por Antonio Cezar de Castro Lima

ii

Conteudo

Notacao de Variaveis e Constantes xi

Prefacio xv

1 Ondas Eletromagneticas 1

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Equacoes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Equacao de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Solucao da Equacao de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Caracterısticas de uma Onda Eletromagnetica . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Polarizacao de Ondas Eletromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7 Equacao de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Ondas Transversais Eletromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Impedancia e Admitancia Intrınsecas do Meio . . . . . . . . . . . . . 17

1.10 Densidade de Potencia e Densidade Volumetrica de Energia . . . . . . 18

1.11 Velocidade de Fase, de Grupo e Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Ondas TEM num Meio Qualquer 25

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Meios Dieletricos e Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Equacao de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Impedancia Intrınseca e Velocidade de Fase . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Meios Dieletricos com Perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Propagacao em Meios Dieletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7 Propagacao em Meios Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8 Profundidade de Penetracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.9 Velocidade de Fase e Impedancia num Condutor . . . . . . . . . . . . 33

iii

CONTEUDO iv

3 Propagacao em Meios Diferentes 373.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Incidencia Normal entre Dois Meios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1 Transicao entre Dieletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2 Transicao Dieletrico-Condutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3 Transicao Condutor-Dieletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.4 Coeficiente de Onda Estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Incidencia Normal com Propagacao em N Meios . . . . . . . . . . . . 443.3.1 Propagacao em Tres Meios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.2 Propagacao em N Meios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Incidencia Oblıqua entre Dois Meios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4.1 Ondas Linearmente Polarizadas - Caso Perpendicular . . . . . 513.4.2 Reflexao Total, Angulo Crıtico e Onda de Superfıcie . . . . . . 543.4.3 Ondas Linearmente Polarizadas - Caso Paralelo . . . . . . . . 563.4.4 Transmissao Total e Angulo de Brewster . . . . . . . . . . . . 573.4.5 Ondas Elipticamente Polarizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Linhas de Transmissao 634.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Equacao de uma Linha de Transmissao . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.1 Abordagem Eletromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.2 Abordagem de Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3 Solucao da Equacao de uma L.T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4 Impedancia Caracterıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4.1 Coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.2 Par de Fios Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4.3 Microfita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5 Perdas numa L.T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.6 Linhas com Terminacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6.1 Impedancia Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.6.2 Toco em Aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.6.3 Toco em Curto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.7 Coeficientes de Reflexao para Zg Complexo . . . . . . . . . . . . . . . 774.8 Coeficiente de Onda Estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.8.1 Coeficientes de Reflexao e Transmissao . . . . . . . . . . . . . 784.8.2 Coeficiente de Onda de Tensao Estacionaria . . . . . . . . . . 78

4.9 Tecnicas de Casamento de Impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.10 Carta de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.11 Casamento com Toco e Trecho de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . 82

v CONTEUDO

4.11.1 Trecho de linha e toco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.11.2 Toco e trecho de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.12 Casamento com Dois Tocos e Trechos de Linha . . . . . . . . . . . . 864.13 Casamento com Tres Tocos e Trechos de Linha . . . . . . . . . . . . . 874.14 Casamento com Transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5 Parametros de Espalhamento 915.1 Dispositivos de Duas Portas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2 Parametros de Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3 Caracterizacao de Transistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.4 Amplificador de um Estagio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6 Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 1036.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2 Potenciais Vetores de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.3 Modos de Propagacao num Guia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.4 Campos num Guia de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4.1 Modo Transversal Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.2 Modo Transversal Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.5 Caracterısticas de Ondas Guiadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.5.1 Constante de Propagacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.5.2 Comprimento de Onda Guiada e de Corte . . . . . . . . . . . 1126.5.3 Frequencia de Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.5.4 Velocidade de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.5.5 Velocidade de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.5.6 Impedancias Modais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.6 Guia Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.6.1 Modo H (TE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.6.2 Modo E (TM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.7 Guia Cilındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.7.1 Modo H (TE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.7.2 Modo E (TM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.8 Atenuacao em Guias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.8.1 Atenuacao abaixo da Frequencia de Corte . . . . . . . . . . . 1266.8.2 Atenuacao acima da Frequencia de Corte . . . . . . . . . . . . 1276.8.3 Atenuacao num Guia Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.8.4 Atenuacao num Guia Cilındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.9 Cavidade Ressonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.9.1 Cavidade com Paredes Retangulares . . . . . . . . . . . . . . 132

CONTEUDO vi

6.9.2 Cavidade Cilındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.9.3 Fator de Qualidade para Cavidades Cubicas . . . . . . . . . . 1366.9.4 Fator de Qualidade para Cavidades Cilındricas . . . . . . . . . 138

7 Processo de Radiacao 1417.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.2 Dipolo Infinitesimal ou Hertziano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.3 Regioes de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.3.1 Campo Proximo Reativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.3.2 Campo Proximo Irradiante (Regiao de Fresnel) . . . . . . . . 1477.3.3 Campo Distante (Regiao de Fraunhofer) . . . . . . . . . . . . 148

7.4 Radiador ou Antena Isotropica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8 Caracterısticas de uma Antena 1518.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.2 Tipos de Antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.3 Dipolo de Comprimento Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.4 Principais Parametros de uma Antena . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.5 Intensidade de Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.6 Diagrama de Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.7 Potencia Radiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.8 Ganho Diretivo e Diretividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.9 Ganho de uma Antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.10 Relacao Frente-Costas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.11 Feixe de Meia-Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.12 Impedancia de Entrada e Potencia Radiada . . . . . . . . . . . . . . 1668.13 Eficiencia de uma Antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.14 Area Eletrica e Comprimento Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.15 Largura de Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.16 Polarizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.17 Temperatura de Ruıdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9 Antenas Lineares 1779.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.2 Caracterısticas de um Dipolo de Comprimento Finito . . . . . . . . . 177

9.2.1 Campos Distantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.2.2 Intensidade de Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.2.3 Diagrama de Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.2.4 Potencia Radiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

vii CONTEUDO

9.2.5 Diretividade e Ganho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.2.6 Impedancia de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.3 Impedancia Mutua entre Elementos Lineares . . . . . . . . . . . . . . 1839.3.1 Campos Proximos para um Dipolo Finito . . . . . . . . . . . . 1849.3.2 Impedancia para Elementos Paralelos . . . . . . . . . . . . . . 1859.3.3 Impedancia para Elementos Colineares . . . . . . . . . . . . . 187

9.4 Plano Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1889.4.1 Dipolo na Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899.4.2 Dipolo na Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9.5 Dipolo Dobrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1939.6 Dipolo Cilındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

10 Difracao de Ondas TEM 19710.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19710.2 Princıpio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19710.3 Fonte de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19710.4 Difracao de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20210.5 Difracao de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20410.6 Elipsoide e Zonas de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

11 Enlaces de Radio 21311.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21311.2 Formulas de Friis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21311.3 Formula de Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21511.4 Enlace Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

11.4.1 Obstaculos do Tipo Gume de Faca . . . . . . . . . . . . . . . 21611.4.2 Obstaculos Arredondados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

11.5 Enlace via Satelite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22211.5.1 Perdas no Espaco-Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22211.5.2 Figura de Merito do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

11.6 Reflexoes Ionosfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22411.7 Reflexoes no Solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

12 Casamento de Impedancia de Antenas 23112.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23112.2 Circuitos de Casamento com Tocos e Trechos de Linhas . . . . . . . . 23212.3 Casamento do Tipo T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23212.4 Dipolo Dobrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23512.5 Casamento do Tipo Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

CONTEUDO viii

12.6 Casamento do Tipo Omega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24012.7 Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24012.8 Baluns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

12.8.1 Balun do Tipo Bazuca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24312.8.2 Balun do Tipo Trombone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

12.9 Baluns com Nucleos de Ferrite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

13 Arranjos de Antenas 24713.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24713.2 Distribuicao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

13.2.1 Arranjo de Dois Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24813.2.2 Arranjo de N Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25013.2.3 Arranjo com um Numero Par de Elementos . . . . . . . . . . 25213.2.4 Arranjo com um Numero Impar de Elementos . . . . . . . . . 25313.2.5 Intensidade de Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25313.2.6 Diretividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

13.3 Distribuicao Planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25413.4 Arranjos Lineares de Dipolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

13.4.1 Caracterısticas de Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25613.4.2 Impedancia de Entrada e Corrente nos Dipolos . . . . . . . . . 258

13.5 Arranjos Planares de Dipolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26013.5.1 Caracterısticas de Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26013.5.2 Impedancia de Entrada e Corrente nos Dipolos . . . . . . . . . 262

14 Antenas Direcionais 26314.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26314.2 Antena Yagi-Uda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

14.2.1 Yagi de Dois Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26414.2.2 Yagi de Tres Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26714.2.3 Yagi de N Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

14.3 Antena Log-Periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27314.3.1 Projeto de uma Log-periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

14.4 Antena Helicoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28114.4.1 Modo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28114.4.2 Modo Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

15 Antenas com Refletores 28715.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28715.2 Antena com Placas Refletoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

ix CONTEUDO

15.2.1 Refletor Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28815.2.2 Refletor de Canto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

15.3 Antena Parabolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29515.3.1 Refletor Parabolico de Revolucao . . . . . . . . . . . . . . . . 29615.3.2 Iluminacao do Refletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29615.3.3 Campos Radiados por um Paraboloide . . . . . . . . . . . . . 29815.3.4 Diretividade e Largura de Feixe de Meia-Potencia . . . . . . . 300

Exercıcios Propostos 305Exercıcios dos Capıtulos 1 a 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Exercıcios dos Capıtulos 4 a 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311Exercıcios dos Capıtulos 7 a 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319Exercıcios dos Capıtulos 12 a 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327Respostas dos Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

Bibliografia 335

CONTEUDO x

Notacao de Variaveis e Constantes

Segue abaixo a lista que identifica todas as variaves e constantes utilizadas nestelivro. Note que vetores e versores sao representados em negrito e escalares em fontenormal. Algumas letras podem representar diferentes variaveis e constantes. Nestecaso, o significado e enfatizado no texto.

A - Potencial VetorA - Perdas, areaap - Versor espacial na direcao pa - Raio, largura de um guia de onda retangular, amplitude de ondaB ou B - Densidade de fluxo MagneticoB - Susceptancia, banda, largura de bandab - Raio, altura de um guia retangular, amplitude de ondaC - Capacitancia, constante de Euler, circunferenciac - Velocidade da luz no vacuoD ou D - Densidade de fluxo EletricoDo - DiretividadeDg - Ganho diretivod - Diametro, espacamento, distanciaE ou E - Campo eletricoE - Energiae - EficienciaF - Potencial VetorF - Figura de ruıdo, vetor potencialFA - Fator de arranjof - Frequencia de uma ondaG - Condutancia ou GanhoH ou H - Campo magneticoh - AlturaI - Corrente eletricaJ ou J - Densidade de corrente eletrica

xi

NOTACAO DE VARIAVEIS E CONSTANTES xii

j -√−1

k e k - Vetor de onda e numero de ondaL - Indutancial - ComprimentoM ou M - Densidade de corrente magneticam - Massan - Indice de refracaoP - Potencia, perımetrop - Velocidade relativa, raızes da funcao de BesselQ - Fator de QualidadeR - Resistencia eletrica, espacamentoRfc - Relacao frente-costasr - Raio ou distanciaS - Superfıcie, parametros de espalhamentos - passo de uma heliceT - Perıodo de uma onda, temparaturat - TempoUe - Densidade volumetrica de energia eletricaUm - Densidade volumetrica de energia magneticaU - Intensidade de radiacaoUo - Intensidade de Radiacao de uma antena isotropicaV - Volume, tensaov ou υ - Velocidade de propagacaoυf e υg - Velocidade de fase e velocidade de grupoW e W - Vetor de Poynting e densidade de potenciaw - LarguraX - ReatanciaY - AdmitanciaZ - ImpedanciaZo - Impedancia caracterısticaα - Fator de atenuacao, anguloαpol - Perdas de polarizacaoβ - Constante de fase, faseγ - Constante de propagacao∆φ - Defasagem ou comprimento eletricoδ - Defasagem entre duas ondasδp - Profundidade de penetracaoε, εr e εo - Permissividade (ou constante dieletrica) absoluta, relativa e no vacuoε - Emissividade

xiii NOTACAO DE VARIAVEIS E CONSTANTES

η - Impedancia intrınseca de um meioηo - Impedancia intrınseca do vacuoθ - angulo, em geral, medido em relacao o eixo zΛ - Fluxo magneticoλ - Comprimento de ondaµ, µr e µo - Permabilidade magnetica absoluta, relativa e no vacuoΠ - Potencial vetor de Hertzρ - Coeficiente de reflexao, densidade volumetrica de carga eletricaσ - Condutividade, desvio padrao, espacamento relativo em antenas log-periodicasτ - Coeficiente de transmissao, periodicidade em antenas log-periodicasϕ - angulo, em geral, medido em relacao o eixo xφ - Fase de um fasorψ - Fase de um fasorΩ - Angulo solidoω - Frequencia angular de uma onda

NOTACAO DE VARIAVEIS E CONSTANTES xiv

Prefacio

Este livro e resultado de oito anos de ensino na area de telecomunicacoes, em nıvelde graduacao e pos-graduacao, no Departamento de Engenharia Eletrica (DEE)da Universidade Federal da Bahia (UFBA). Nos ultimos anos, o numero de livrosdedicado ao ensino de engenharia eletrica, publicado em portugues pelas grandeeditoras, diminuiu substancialmente, restando ao nossos alunos a compra de tıtulosimportados de custo elevado. A ideia de publicar um livro texto, na area de tele-comunicacoes, tem como objetivo preencher esta lacuna e propiciar aos alunos deengenharia eletrica de nossa universidade a oportunidade de ter um material focadoao conteudo das disciplinas oferecidas pelo DEE.

O livro esta organizado em quinze capıtulos onde sao apresentados teoria e ex-emplos envolvendo ondas eletromagneticas em dispositivos e sistemas de telecomu-nicacoes.O ultimo capıtulo contem um conjunto de exercıcios propostos, agrupadosde acordo com capıtulos correlatos. As respostas destes exercıcios se encontramno final deste ultimo capıtulo. Alguns exemplos e exercıcios podem ser testadosutilizando-se um conjunto de subrotinas numericas desenvolvidas para o ambienteMATLAB, denominado RF Wave Toolbox. Este pacote de rotinas pode ser obtidoa partir do endereco www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange ou enviandoum e-mail para [email protected]. Com estes programas e possıvel, por exemplo, fazeranalise e sıntese de sistemas de casamento de impedancia, ou ainda, projetar antenase arranjos de antenas.

Os alunos de graduacao que estao cursando a disciplina Telecomunicacao III(ENG348) devem comecar a leitura deste livro a partir do primeiro capıtulo. O cursode Telecomunicacoes III da UFBA pode ser dividido em tres modulos, comecandocom o estudo das equacoes de Maxwell, a analise de ondas eletromagneticas que sepropagam no espaco-livre e em diferentes meios. Estes topicos estao distribuıdos nosCapıtulos 1, 2 e 3. O segundo modulo envolve o estudo de ondas confinadas, comopor exemplo, linhas de transmissao, guias de ondas e cavidades ressonantes, alemde tecnicas de casamento de impedancia e aplicacoes. Neste caso, o aluno deveraconsultar os Capıtulos 4, 5 e 6. No ultimo modulo sao abordados os conceitos deradiacao de ondas eletromagneticas, caracterısticas basicas de antenas e enlace de

xv

PREFACIO xvi

radio. Neste caso, o aluno devera ler os Capıtulos 7, 8, 10 e 11.Para os alunos cursando a disciplina Propagacao e Antenas (ENG378), a leitura

deste livro deve ser iniciada a partir do Capıtulo 7. Enquanto alunos, do Curso deEspecializacao em Engenharia de Telecomunicacoes, que estao cursando a disciplinaSistemas Irradiantes deverao focar atencao nos Capıtulos 4-6, 7-9 e 11-15.

Finalmente, gostaria de aproveitar esta oportunidade para agradecer publica-mente a todos que participaram e contribuıram para a conclusao deste projeto.Particularmente, aos meus alunos da UFBA que durante todos estes anos me aju-daram a revisar texto, equacoes e figuras, e a minha esposa, Ana, pela revisaogramatical e ortografica das primeiras versoes deste livro.

A. C de C. Lima

Hamilton, Canada28 de Marco de 2002

Capıtulo 1

Ondas Eletromagneticas

1.1 Introducao

O fenomeno de propagacao de ondas eletromagneticas e representado matema-ticamente por um par de equacoes diferenciais obtidas a partir das equacoes deMaxwell. Neste capıtulo sao estudadas ondas eletromagneticas propagando-se nummeio dieletrico isotropico sem perdas, ficando o processo de geracao ou radiacaode ondas para capıtulos posteriores. Na Secao 1.2 sao mostradas as equacoes deMaxwell na sua forma integral e diferencial. A deducao do par de equacoes diferen-ciais que descrevem o fenomeno de propagacao de ondas eletromagneticas e expostona Secao 1.3. Enquanto que, as solucoes destas equacoes diferenciais sao obtidas naSecao 1.4. Logo em seguida sao apresentadas as principais caracteristicas de umaonda eletromagnetica, como amplitude e fase dos campos, velocidade de propagacao,frequencia, comprimento de onda, etc., assim como os tipos de polarizacao: elıptica,circular e linear. As equacoes diferenciais que descrevem o comportamento ondu-latorio dos campos eletrico e magnetico, quando estes variam harmonicamente notempo, sao deduzidas na Secao 1.7. As equacoes resultantes desta deducao sao de-nominadas de equacoes de Helmholtz, cujas solucoes sao funcoes que descrevem asvariacoes dos campos eletromagneticos no espaco. E demonstrado na secao seguinteque os campos eletrico e magnetico de uma onda eletromagnetica sao ortogonais outransversais a direcao de propagacao. A definicao de impedancia intrınsica de ummeio dieletrico e apresentada na Secao 1.9. Finalmente, nas ultimas duas secoes, saoencontradas as expressoes que fornecem a densidade de potencia associada a umafrente de onda eletromagnetica, a densidade volumetrica de energia, velocidade degrupo e ındice de refracao de meios dieletricos.

1

CAPıTULO 1. Ondas Eletromagneticas 2

1.2 Equacoes de Maxwell

As equacoes de Maxwell podem ser escritas na forma integral:∫∫S

D · ds =

∫∫∫V

ρ dV (1.1)

∫∫S

B · ds = 0 (1.2)

∮C

H · dl =

∫∫S

(J +

∂D

∂t

)· ds (1.3)

e ∮C

E · dl = −∫∫S

∂B

∂t· ds (1.4)

Sendo D = εE a densidade de fluxo eletrico, B =µH a densidade de fluxo magnetico,H o campo magnetico, E o campo eletrico e J a densidade de corrente eletrica.

Aplicando-se o Teorema da Divergencia,∫∫S

F · ds =

∫∫∫V

(∇ · F) dV (1.5)

em (1.1) e (1.2) e o Teorema de Stokes,∮C

F · dl =

∫∫S

(∇× F) · ds (1.6)

em (1.3) e (1.4), obtem-se as equacoes de Maxwell na forma diferencial, ou seja,

∇ · E =ρ

ε(1.7)

∇ · H = 0 (1.8)

∇× H = σE + ε∂E

∂t(1.9)

e

3 1.3. Equacao de Onda

∇× E = −µ ∂H∂t

(1.10)

sendo a densidade de corrente J = σE. E importante salientar que estas equacoesfornecem informacoes sobre os campos eletrico e magnetico para qualquer ponto doespaco e instante de tempo.

As equacoes de Maxwell, na forma diferencial, podem ser simplificadas parapontos do espaco onde nao existem cargas e/ou correntes eletricas. Estas regioesserao denominadas a partir de agora de espaco-livre e as equacoes de Maxwell,associadas a elas, sao:

∇ · E = 0 (1.11)

∇ · H = 0 (1.12)

∇× H = ε∂E

∂t(1.13)

e

∇× E = −µ∂H∂t

(1.14)

Lembrando-se que µ = µrµo e ε = εrεo, sendo µr a permeabilidade relativa do meioe εr permissividade relativa.

1.3 Equacao de Onda

E possıvel demonstrar matematicamente que campo eletrico variante no tempo geracampo magnetico variante no tempo, ou vice-versa. Isto pode ser facilmente en-tendido a partir de uma rapida analise das equacoes (1.13) e (1.14). Observe nalei de Ampere (1.13) que, se o campo eletrico varia no tempo, entao existira umcampo magnetico tambem variante no tempo, ortogonal ao primeiro. Isto ocorreporque o rotacional de H e proporcional a variacao de E. Algo semelhante e obitdoda lei de Faraday (1.14), ou seja, o rotacional de E e proporcional a variacao deH. Uma outra conclusao ainda mais relevante, obtida por Maxwell, a partir das leisde Ampere e Faraday, e o carater ondulatorio dos campos eletromagneticos. Estecarater ondulatorio pode ser confirmado a partir da equacao diferencial resultanteda demonstracao a seguir.

Aplicando-se o operador rotacional em ambos os lados da equacao (1.13), tem-se


∇× ∇× H = ε∇× ∂E

∂t= ε

∂(∇× E)

∂t(1.15)

substituindo (1.14) em (1.15), obtem-se

∇× ∇× H = −µε ∂2H

∂t2(1.16)

Como

∇× ∇× H = ∇(∇ · H) −∇2H (1.17)

e ∇ · H = 0, entao,

∇2H−µε ∂2H

∂t2= 0 (1.18)

Partindo-se da equacao (1.14) e utilizando um procedimento semelhante ao ex-posto acima, pode-se obter a equacao diferencial

∇2E−µε ∂2E

∂t2= 0 (1.19)

As equacoes diferenciais (1.18) e (1.19), envolvendo os campos eletrico e magnetico,representam de forma matematica um onda eletromagnetica propagando-se no espaco-livre. Uma equacao semelhante foi obtida pelo matematico frances D’Alembert, em1747, quando este tentava descrever o movimento ondulatorio em uma corda esti-cada. A equacao obtida por ele era algo parecido com

∂2y

∂x2− 1

v2

∂2y

∂t2= 0 (1.20)

onde y e a posicao de um ponto qualquer da corda na direcao transversal a mesmae v a velocidade de propagacao da onda mecanica que surge nesta corda.

Uma comparacao entre as equacoes (1.18) ou (1.19) e (1.20) mostra que a ve-locidade de propagacao da onda eletromagnetica e dada por

v =1√µε

(1.21)

Para o caso de ondas eletromagneticas que se propagam no ar ou no vacuo,tem-se

c =1√µoεo

(1.22)

sendo c a velocidade da luz no vacuo, cujo valor e aproximadamente 3 × 108 m/s.

5 1.4. Solucao da Equacao de Onda

1.4 Solucao da Equacao de Onda

Para tornar o processo de obtencao da solucao da equacao de onda mais claro edidatico, e interessante tomar-se um exemplo pratico. Considere um dipolo, antenalinear constituıda por duas hastes metalicas, orientado na direcao az e alimentadopor um gerador de sinais de RF (Radio Frequencia). A tensao alternada desenvolvidanos terminais do dipolo cria uma corrente de conducao nas hastes que varia notempo. Sabe-se, pela lei de Ampere, que esta corrente alternada produz campomagnetico no espaco em volta da antena, neste exemplo, orientado na direcao aϕ.Este campo varia de acordo com a mesma funcao de variacao da corrente (figura edetalhamento teorico podem ser vistos no Capıtulo 7). Alem disso, foi visto na secaoanterior que campo magnetico variante no tempo produz campo eletrico variante notempo, neste caso, com orientacao na direcao az. Para um ponto de observacao muitodistante da antena dipolo, as frentes de onda podem ser consideradas praticamenteplanas e os campos podem ser representados neste caso pelas equacoes

∂2E

∂r2− 1

c2∂2E

∂t2= 0 (1.23)

e

∂2H

∂r2− 1

c2∂2H

∂t2= 0 (1.24)

onde c e a velocidade da onda eletromagnetica que se propaga na direcao ar, comcampo eletrico da forma

E = Ez(r, t) az (1.25)

e o campo magnetico

H = Hϕ(r, t) aϕ (1.26)

A solucao da equacao (1.23) ou (1.24) pode ser obtida utilizando-se o metodo daseparacao de variaveis. Tomando-se por exemplo a equacao (1.23) e considerandoque

Ez(r, t) = f(t) g(r) (1.27)

Pode-se obter, atraves da substituicao de (1.27) em (1.23), o seguinte resultado

f(t)∂2g(r)

∂r2=g(r)

c2∂2f(t)

∂t2(1.28)

ou, dividindo-se toda a equacao por Ez(r, t),


1

g(r)

∂2g(r)

∂r2=

1

c2f(t)

∂2f(t)

∂t2(1.29)

Observe que o lado direito da equacao (1.29) so sera igual ao lado esquerdoquando ambos forem iguais a uma constante. Portanto, pode-se escrever duasequacoes a partir de (1.29), ou seja,

1

g(r)

d2g(r)

dr2= − k2 (1.30)

e

1

c2f(t)

d2f(t)

dt2= − k2 (1.31)

onde o termo constante −k2 foi escolhido dessa forma por conveniencia.As solucoes das equacoes diferenciais ordinarias de segunda ordem (1.30) e (1.31)

sao combinacoes lineares de duas funcoes ortonormais que, neste caso, sao respecti-vamente escritas como

g(r) = C1ejkr + C2 e

−jkr (1.32)

ef(t) = C3 e

jω t + C4 e−jω t (1.33)

sendo

ω = k c (1.34)

Sera mostrado mais adiante que, para ondas propagando-se no sentido r+, o queneste caso equivale a onda sendo radiada pela antena, C1 e igual a zero e

g(r) = C2 e−jkr (1.35)

Ja a variacao temporal pode ser escrita como,

f(t) = C3 ejω t (1.36)

Sendo assim, a funcao que descreve a variacao do campo eletrico de uma onda planae da forma

Ez(r, t) = Eoej(ω t−kr) (1.37)

neste caso, a amplitude Eo e considerada constante.

7 1.5. Caracterısticas de uma Onda Eletromagnetica

De maneira semelhante, pode-se obter a seguinte expressao para o campo magnetico:

Hϕ(r, t) = Hoej(ω t−kr) (1.38)

sendo Ho constante.Os resultados apresentados em (1.37) e (1.38) representam os campos de uma

onda plana ideal. Na pratica, as amplitudes Eo e Ho diminuem com a distancia,como sera visto, em um estudo mais rigoroso, no Capıtulo 7.

Para se confirmar que (1.37) e (1.38) sao solucoes das equacoes de onda, bastaapenas substituı-las respectivamente em (1.23) e (1.24). Estas solucoes sao es-pecıficas para este caso. Solucoes mais complexas podem ser obtidas a partir deuma combinacao linear de funcoes do tipo e jn(ω t±kr), isto e,

Ez(r, t) =N∑n=0

Cnejn(ω t±kr) (1.39)

e

Hϕ(r, t) =N∑n=0

Dnejn(ω t±kr) (1.40)

onde Cn e Dn sao constantes complexas.

1.5 Caracterısticas de uma Onda Eletromagnetica

Analisando-se as caracterısticas de uma onda plana, cujo campo eletrico e represen-tado matematicamente pelo fasor-vetor

E(z, t) = Eoejφay = Eoe

j(ω t−kz)ay (1.41)

ou, tomando-se apenas a parte real,

E(z, t) = Eo cosφ ay = Eo cos(ω t− kz) ay (1.42)

Pode-se verificar que, para um plano z fixo, o campo eletrico varia harmonicamenteno tempo. Da mesma forma tem-se para um instante de tempo t uma variacaoespacial do campo tambem harmonica. A variacao espacial, neste caso, ocorre aolongo de z. O valor maximo do campo, Eo, e chamado de amplitude, enquanto oargumento da funcao cossenoidal e chamado de fase da onda, ou seja, φ = ω t− kz.A velocidade de propagacao da onda plana e igual a velocidade de um observador


que acompanha o deslocamento de uma frente de onda cuja fase e, por exemplo, φo,isto e,

dφodt

= ω − kdz

dt= 0 (1.43)

ou

vf =dz

dt=ω

k(1.44)

ou na forma vetorial,

vf =ω

kaz (1.45)

Lembrando-se que vf , tambem denominada velocidade de fase da onda, dependedas caracterısticas eletricas e magneticas do meio, como mostra a equacao (1.21).A propagacao da onda, neste caso, se da no sentido z+, como mostrado na Figura1.1a. Para ondas propagando-se no sentido contrario, tem-se

Ey(z)

z

λ

vf

(a)

Ey(t)

t

Τ

(b)

Figura 1.1: Variacao da intensidade do campo eletrico no: (a) espaco; (b) tempo.

dφodt

= ω + kdz

dt= 0 (1.46)

ou

vf = −ωk

az (1.47)

9 1.5. Caracterısticas de uma Onda Eletromagnetica

A distancia entre duas frentes de onda de mesma fase, para um dado instantede tempo, e denominada de comprimento de onda, representado pela letra grega λ(vide Figura 1.1a). Neste caso, a variacao ∆φ entre as duas frentes e igual a 2π, ouseja,

∆φ = k∆z = k λ = 2π (1.48)

e como consequencia, a razao entre ∆φ e ∆z e dada por

k =∆φ

∆z=

2π

λ(1.49)

comumente chamada de numero de onda.A variacao de fase de 2π que ocorre num intervalo de tempo ∆t = T, para um

dado plano z, e denominado de perıodo da onda (vide Figura 1.1b). Portanto,

∆φ = ω∆t = ωT = 2π (1.50)

e como consequencia, a razao entre ∆φ e ∆t e dada por

ω =∆φ

∆t=

2π

T(1.51)

denominada de frequencia angular da onda.Substituindo as equacoes (1.49) e (1.51) em (1.44), obtem-se

vf = λ f (1.52)

onde f = 1T

e chamada de frequencia da onda.

Exemplo 1.1 Duas antenas do tipo dipolo estao espacadas perpendicularmente emrelacao ao eixo z, como mostrado na Figura 1.2. Cada antena radia ondas eletro-magneticas de mesma intensidade e fase. Qual deve ser o espacamento mınimo paraque o campo, no ponto P , seja maximo?

Solucao: O campo eletrico no plano z = zo e obtido a partir de

E(zo, t) = Eo cosφ1 + Eo cosφ2

sendo, φ1 = ω t − kzo e φ2 = ω t − k(zo − d) = φ1 + kd. Pode-se facilmenteverificar que as ondas se superpoem quando φ2 = φ1 ou, de uma forma geral, quandoφ2 = φ1 + 2nπ. Portanto, a diferenca de fase e entao

∆φ = kd = 2nπ


e

d =2nπ

k= nλ

o valor mınimo de d, diferente de zero, e λ.

z

0 1

2

P

d

zo

(z)E

Figura 1.2: Arranjo de antenas dipolos separadas por uma distancia d.

1.6 Polarizacao de Ondas Eletromagneticas

Uma onda esta polarizada linearmente quando o campo eletrico nao muda de direcaono espaco. No caso de uma onda plana propagando-se na direcao z+, com o vetorcampo eletrico apontando sempre na direcao y,

E = Eosen(ωt− kz) ay (1.53)

a polarizacao e dita linear na direcao y. O vetor campo eletrico poderia apontarem qualquer outra direcao no plano xy, para uma onda propagando-se na direcaoz, e ainda assim ser linearmente polarizada, desde que este nao mude de direcao aolongo do sentido de propagacao.

O caso mais geral em termos de polarizacao ocorre quando o vetor campo eletricomuda de direcao ao longo da direcao de propagacao. Nesta condicao, a onda esta

11 1.6. Polarizacao de Ondas Eletromagneticas

polarizada elipticamente ou circularmente, como sera visto mais adiante. Sendoassim, pode-se classificar as ondas eletromagneticas de acordo com a direcao docampo eletrico ou polarizacao. Os tipos de polarizacao possıveis sao mostrados naFigura 1.3, ou seja: elıpticas (caso generico), circular e linear (casos particulares).

Uma onda elipticamente polarizada pode ser obtida a partir de duas ondas lin-earmente polarizadas, cujos campos eletricos sao ortogonais entre si. Por exemplo,

Ex = E1sen(ωt− kz) (1.54)

e

Ey = E2sen(ωt− kz + δ) (1.55)

sendo δ a defasagem entre as duas componentes de campo. O campo resultante naforma vetorial e dado por

E = E1sen(ωt− kz) ax+E2sen(ωt− kz + δ)ay (1.56)

Para o plano z = 0, tem-se

Ex = E1senωt (1.57)

e

Ey = E2sen(ωt+ δ) (1.58)

ou

Ey = E2 (senωt cos δ + sen δ cosωt) (1.59)

onde

senωt =ExE1

(1.60)

e

cosωt =

√1 −

(ExE1

)2

(1.61)

logo

EyE2

=ExE1

cos δ +

√1 −

(ExE1

)2

sen δ (1.62)


ou

(EyE2

− ExE1

cos δ

)21

sen2δ= 1 −

(ExE1

)2

(1.63)

ou ainda

(EyE2

)2

− 2EyExE2E1

cos δ +

(ExE1

)2

cos2δ +

(ExE1

)2

sen2δ = sen2δ (1.64)

Portanto,

(EyE2

)2

− 2EyExE2E1

cosδ +

(ExE1

)2

= sen2δ (1.65)

Considerando-se

1

E21sen

2δ= a (1.66)

2 cosδ

E2E1sen2δ= b (1.67)

e1

E22 sen2δ

= c (1.68)

obtem-se a equacao de uma elipse, ou seja,

aE2x − 2bEyEx + cE2

y = 1 (1.69)

A equacao (1.69) representa a variacao do vetor campo eletrico no plano z = 0,como mostrado na Figura 1.3a. Quando δ = ± 90 e E1 = E2 a equacao (1.65) sereduz a equacao de uma circunferencia, isto e,

E2x + E2

y = E21 (1.70)

neste caso, a variacao do campo eletrico no plano z = 0 e circular, como mostradona Figura 1.3b. O sinal de δ determina o sentido de giro do campo. Por exemplo,se δ = − 90 entao,

Ex = E1senωt (1.71)

e

13 1.6. Polarizacao de Ondas Eletromagneticas

z zz

y

x x x

y y

EE

E

E2

E1

(a) (b) (c)

Figura 1.3: Polarizacao: (a) elıptica para direita; (b) circular para direita; (c) linear.

Ey = E1sen(ωt− π

2) = −E1cosωt (1.72)

Portanto para t = 0, Ex = 0 e Ey = −E1, enquanto para t = T4, Ex = E1 e

Ey = 0. O resultado e mostrado na Figura 1.4a e a polarizacao e denominadacircular para direita. Quando δ = + 90, obtem-se uma onda polarizada no sentidocontrario, como visto na Figura 1.4b. Uma maneira simples de se associar o sentidoda polarizacao com o resultado grafico exposto pode ser obtida utilizando as maos.Com a mao semifechada e polegar apontando na direcao de propagacao obtem-se osentido da polarizacao. Por exemplo, quando os dedos da mao direita apontam nosentido de giro do campo, a polarizacao e para direita.

Para δ = 0 ou δ = 180 a equacao (1.65) se reduz a

(EyE2

)2

± 2EyExE2E1

+

(ExE1

)2

= 0 (1.73)

ou

(EyE2

± ExE1

)2

= 0 (1.74)

ou ainda

EyE2

= ∓ExE1

(1.75)

Reescrevendo a equacao (1.75), obtem-se a equacao de uma reta, ou seja,


(a) (b)

z x

y

E

z x

y

E

Figura 1.4: Polarizacao circular para: (a) direita; (b) esquerda.

Ey = ∓E2

E1

Ex (1.76)

neste caso, a variacao do campo eletrico no plano z = 0 e linear, como mostrado naFigura 1.3c.

Exemplo 1.2 Determine a polarizacao de uma onda eletromagnetica cuja variacaodo campo eletrico e representada por

E(z, t) = 2 sen(ω t− kz) ax − cos(ω t− kz) ay

Solucao: Pela equacao acima, pode-se verificar que a onda se propaga no sentidoz+, uma vez que os sinais, nos argumentos das funcoes seno e cosseno, sao negativos.Observa-se tambem que as componentes de campo tem amplitudes diferentes e estaoem quadratura (defasagem de 90), cos(ω t− kz) = sen(ω t− kz + π/2) . Portanto,pode-se concluir que a onda esta elipticamente polarizada, pois a razao entre asamplitudes e diferente de 1 e a defasagem δ = −90. Entretanto, fica faltando saberse o sentido e para direita ou para esquerda. No plano z = 0, quando t = 0, Ex = 0e Ey = −1, enquanto para t = T

4, Ex = 2 e Ey = 0, logo o sentido e para direita,

como mostrado na Figura 1.3a.

1.7 Equacao de Helmholtz

Considerando-se que a variacao da onda eletromagnetica no domınio do tempo eharmonica, isto e, e jω t, e que o campo eletrico pode ser escrito como o produto de

15 1.7. Equacao de Helmholtz

uma funcao que depende somente do espaco com outra que depende so do tempo,ou seja, E(r, t) = E(r) e jω t, entao a equacao de onda (1.19) pode ser escrita como

e jω t∇2E(r)+ω2

v2E(r) e jω t = 0 (1.77)

ou

∇2E(r) + k2 E(r) = 0 (1.78)

uma vez que

∂2E

∂t2= −ω2E(r) e jω t (1.79)

A equacao diferencial (1.78) e chamada de equacao de onda reduzida ou equacaode Helmholtz. A solucao de (1.78) fornece a variacao espacial do vetor campo eletricoda onda. De forma semelhante pode-se obter a equacao de Helmholtz para o campomagnetico,

∇2H(r) + k2 H(r) = 0 (1.80)

A solucao da equacao de Helmholtz para uma onda eletromagnetica propagan-do-se num dieletrico isotropico sem perdas pode ser obtida utilizando-se o metododa separacao de variaveis. Na forma vetorial, a solucao de (1.78) e do tipo

E(r) = Eo(r) e−j k· r (1.81)

Enquanto a solucao para (1.80) e

H(r) = Ho(r) e−j k· r (1.82)

sendo Eo e Ho os vetores amplitude, r o vetor posicao e k o vetor de onda que apontano sentido de propagacao. Em coordenadas retangulares, estes vetores podem serescritos como se segue:

Eo(r) = Exo(r) ax+Eyo(r) ay+Ezo(r) az (1.83)

Ho(r) = Hxo(r) ax+Hyo(r) ay+Hzo(r) az (1.84)

r = x ax+y ay+z az (1.85)

ek = kxax+kyay+kzaz (1.86)


Por exemplo, se uma onda plana se propaga na sentido z− com campo eletricoorientado na direcao y, entao a expressao do campo eletrico em funcao da posicaono espaco sera dada por

E(r) = (Eyoay) e−j (−kzaz)· (xax+y ay+z az) = Eyo e

j kzz ay (1.87)

1.8 Ondas Transversais Eletromagneticas

A solucao da equacao de Helmholtz para ondas propagando-se num espaco abertoe dada, no caso do campo eletrico, por (1.81). Sabe-se que, para pontos livres decargas eletricas,

∇ · E = 0 (1.88)

logo,

∇ · Eo(r) e−j k· r = 0 (1.89)

Utilizando-se a identidade vetorial

∇ · Fφ ≡ F · ∇φ (1.90)

sendo F uma funcao vetorial e φ uma funcao escalar, tem-se

Eo(r) ·∇e−j k· r = −jE ·k = 0 (1.91)

ou simplesmente

E ·k = 0 (1.92)

Portanto, o produto escalar entre o vetor campo eletrico e o vetor numero de onda,que aponta na direcao de propagacao da onda, e zero. Este resultado indica que ocampo eletrico e ortogonal, ou transversal, a direcao de propagacao.

De maneira semelhante, substituindo (1.82) em (1.12), pode-se obter

H ·k = 0 (1.93)

indicando que o campo magnetico tambem e transversal a direcao de propagacao.Por este motivo as ondas eletromagneticas, sejam elas planas, cilındricas ou esfericas,com os campos eletrico e magnetico ortogonais a direcao de propagacao, sao chamadasde ondas Transversais EletroMagneticas (TEM).

17 1.9. Impedancia e Admitancia Intrınsecas do Meio

1.9 Impedancia e Admitancia Intrınsecas do Meio

Para ondas TEM, propagando-se num meio dieletrico isotropico homogeneo semperdas, as variacoes dos campos no espaco sao representadas matematicamente pelasequacoes (1.81) e (1.82). Sabe-se tambem que, para variacao harmonica no tempo,

∇× H = ε∂E

∂t= jωεE (1.94)

e

∇× E = − µ∂H

∂t= −jωµH (1.95)

Substituindo (1.81) em (1.95), tem-se

∇× Eo(r) e−jk·r = −jωµH (1.96)

ou

H =j

ωµ∇× Eo(r) e

−jk·r (1.97)

De maneira semelhante, substituindo (1.82) em (1.94), pode-se obter

E =−jωε

∇× Ho(r) e−jk·r (1.98)

Utilizando-se a identidade vetorial

∇× Fφ ≡ −F ×∇φ (1.99)

pode-se reescrever as equacoes (1.97) e (1.98) como

H =−jωµ

Eo(r) ×∇e−jk·r =1

ωµk × E (1.100)

e

E =j

ωεHo(r) ×∇e−jk·r =

−1

ωεk × H (1.101)

Considerando-se que n e um versor na direcao de propagacao, tem-se

H = Y n × E (1.102)

e


E = −Z n × H (1.103)

onde

Z = η =k

ωε=

√µ

ε(1.104)

e a impedancia intrınseca do dieletrico e

Y =1

η=

k

ωµ=

√ε

µ(1.105)

a admitancia.

1.10 Densidade de Potencia e Densidade Volume-

trica de Energia

Sabe-se que onde existe campo eletrico ha tambem energia e que a densidade volumetricade energia eletrica maxima e dada por

Uemax =1

2εE2

o (1.106)

sendo Eo o valor de pico do campo eletrico. Enquanto seu valor medio e dado por

Ue =1

2εE2

ef =1

4εE2

o (1.107)

onde Eef = Eo√2

e o campo eletrico eficaz para campos que variam harmonicamenteno tempo.

Da mesma forma, pode-se afirmar que onde existe campo magnetico ha energiamagnetica e a densidade volumetrica de energia maxima e dada por

Ummax =1

2µH2

o (1.108)

enquanto a densidade volumetrica media e fornecida por

Um =1

2µH2

ef =1

4µH2

o (1.109)

sendo Hef = Ho√2

o campo magnetico eficaz e Ho campo magnetico de pico. A energiaarmazenada num dado volume e fornecida pela expressao

19 1.10. Densidade de Potencia e Densidade Volumetrica de Energia

E =

∫∫∫V

U dV (1.110)

Portanto, a energia eletrica e magnetica armazenada num volume V sao forneci-das respectivamente por

Ee =

∫∫∫V

Ue dv =ε

4

∫∫∫V

E · E∗ dV (1.111)

e

Em =

∫∫∫V

Um dv =µ

4

∫∫∫V

H · H∗ dV (1.112)

onde o asterisco indica complexo conjugado.Imagine agora uma onda eletromagnetica plana propagando-se na direcao z. A

densidade volumetica de energia media total associada a onda e dada por

Ut = Ue + Um =1

4εE2

o +1

4µH2

o (1.113)

escrevendo a equacao (1.102) na forma escalar, tem-se

Ho = Y Eo (1.114)

Substituindo (1.114) em (1.113), obtem-se

Ut = 2Ue = 2Um =1

2εE2

o =1

2µH2

o (1.115)

A densidade de potencia media num plano z qualquer e igual ao produto dadensidade volumetrica de energia total da onda pela velocidade de propagacao daenergia, isto e,

Wm = Ut v (1.116)

num dieletrico perfeito a energia associada a onda e transportada a uma velocidadeigual a velocidade de fase desta onda. Portanto,

Wm =1

2εE2

ovf =E2o

2η(1.117)

ou ainda


Wm =1

2µH2

ovf =ηH2

o

2(1.118)

E importante salientar que existem meios onde o transporte de energia associadaa onda eletromagnetica nao ocorre a velocidade de fase.

Geralmente, a densidade de potencia e representada na forma vetorial, ou seja,

Wm =1

2E × H∗ (1.119)

sendo Wm denominado de vetor de Poynting medio. Para um meio qualquer, ondea impedancia intrınseca pode ser complexa, o vetor de Poynting e dado por

Wm =1

2ReE × H∗ (1.120)

A potencia media associada a uma area S de uma determinada frente de onda efornecida por

Pm =

∫∫S

Wm · ds (1.121)

Exemplo 1.3 Um copo d’agua, com 10cm de diametro e 15cm de profundidade, ecolocado para esquentar dentro de um forno de microondas. O campo eletrico ger-ado pelo forno tem valor maximo igual a 1kV/m e varia com uma frequencia de1GHz. Supondo-se que a onda eletromagnetica e plana e incide normalmente sobrea superfıcie da agua, qual deve ser a energia absorvida por este lıquido? Qual apotencia media que chega a superfıcie d’agua? Considere que o campo eletrico naagua diminui para 20% do seu valor maximo no ar. Nesta frequencia a permissivi-dade relativa da agua e igual 81.

Solucao: A energia pode ser calculada a partir da integracao da densidade volumetricade energia total, equacao (1.115). Neste caso, torna-se necessario encontrar o valordo campo eletrico maximo dentro d ’agua, este valor e 5 vezes menor (20%) que noar, isto e, 200V/m. Sendo assim,

Ut =1

2ε rε oE

2o =

1

2× 81 × 8, 85 × 10−12 × (200)2 = 1, 43 × 10−5 J/m3

A energia e entao obtida a partir de

E =

∫∫∫V

Ut dV = Ut V = 1, 43×10−5×π×(5×10−2)2×1, 5×10−1 = 1, 68×10−8 J

21 1.11. Velocidade de Fase, de Grupo e Relativa

Finalmente, a potencia media que chega a superficie da agua e dada por

Pm =

∫∫S

Wm · ds =E2o

2ηoS

Como a impedancia intrınseca do ar e ηo = 120πΩ, entao

Pm =(1 × 103)2

240ππ × (5 × 10−2)2 = 10, 4W

1.11 Velocidade de Fase, de Grupo e Relativa

Foi visto que, para meios dieletricos perfeitos, a velocidade de fase de uma ondaeletromagnetica e dada por

vf =1√µε

(1.122)

e no espaco-livre, por

c =1√µoεo

(1.123)

A velocidade relativa e definida como a razao entre a velocidade de fase da ondano meio dieletrico pela velocidade da onda no vacuo, ou seja,

p =vfc

=1√µrεr

(1.124)

Observe que, quanto maior for a permissividade e/ou permeabilidade do meio, menorsera a velocidade relativa da onda. Para meios nao-magneticos, tem-se

p =1√εr

(1.125)

uma vez que a permeabilidade relativa e igual a unidade.Muitos materiais dieletricos sao classificados de acordo com uma grandeza chamada

ındice de refracao, que e definido como sendo o inverso da velocidade relativa da ondano meio, isto e,

n =1

p=

√εr (1.126)


A velocidade de grupo esta associada a um grupo de ondas eletromgneticas defrequencias distintas. Cada onda se propaga com velocidade de fase dada por (1.122)e velocidade de grupo

vg =dω

dβ(1.127)

Para materiais dieletricos β = k.A equacao (1.127) pode ser obtida como segue. Considere, por exemplo, duas

ondas eletromagneticas de frequencias distintas cujas expressoes dos campos eletricossao dadas por

E1(z, t) = Eoej(ω1t−k1z)ay (1.128)

e

E2(z, t) = Eoej(ω2t−k2z)ay (1.129)

Onde o campo eletrico resultante e

Et = Eo[e j(ω1t−k1z) + e j(ω2t−k2z)] ay (1.130)

Supondo que

ω1 = ωo − ∆ω (1.131)

e

ω2 = ωo + ∆ω (1.132)

sendo

ωo =ω1 + ω2

2(1.133)

e

∆ω =ω2 − ω1

2(1.134)

pode-se reescrever a equacao (1.130) como

Et = Eoej(ωot−koz)

[e−j(∆ω t−∆k z) + e j(∆ω t−∆k z)

]ay (1.135)

ou

23 1.11. Velocidade de Fase, de Grupo e Relativa

Et = 2Eoej(ωot−koz) cos(∆ω t− ∆k z)ay (1.136)

Considerando-se apenas a parte real, tem-se

Et = 2 cos(ωot− koz) cos(∆ω t− ∆k z)ay (1.137)

O que lembra um sinal modulado em amplitude com portadora suprimida [33][21],onde a frequencia da portadora e ωo e do sinal modulador ∆ω. A Figura 1.5 mostraa onda resultante indicando a velocidade de grupo e de fase.

Ey(z)

z

vgv

f

Figura 1.5: Onda resultante da superposicao de duas ondas de frequencias distintas.As velocidades de fase e grupo estao indicadas.

A velocidade do grupo de um conjunto de onda esta associada a envoltoria daonda resultante e e definida como sendo a velocidade de deslocamento de um dadoponto fixo desta envoltoria, ou seja,

vg =∆ω

∆k(1.138)

ou

vg = lim∆ω→ 0

∆ω

∆k=dω

dk(1.139)

A equacao (1.139) fornece a velocidade do grupo de ondas na frequencia ωo quee a media das frequencias de cada onda que compoe o grupo. Observe que, se apermissividade do meio nao varia com a frequencia, entao


vg = vf (1.140)

pois, substituindo ω = vf k em (1.139), tem-se

vg =dω

dk= vf + k

dvfdk

(1.141)

Se a permissividade nao varia com a frequencia, vf tambem nao varia com a frequenciae nem com o numero de onda, tornando o segundo termo da equacao (1.141) nulo.

Capıtulo 2

Ondas TEM num Meio Qualquer

2.1 Introducao

O estudo de ondas eletromagneticas realizado no capıtulo anterior se deteve, emgrande parte tempo, na analise de ondas propagando-se no ar ou vacuo. Nestecapıtulo serao abordados topicos referentes as ondas transversais eletromagneticaspropagando-se num meio qualquer. Na Secao 2.2 e apresentada uma classificacao dosmeios de acordo com as suas caracterısticas eletricas, enquanto que nas duas secoesseguintes e feita uma generalizacao da equacao de Helmholtz, impedancia intrınseca evelocidade de fase. No restante do capıtulo sao analisados o fenomeno de propagacaodos campos eletromagneticos em meios dieletricos quaisquer e condutores.

2.2 Meios Dieletricos e Condutores

Os meios podem ser classificados de acordo com suas caracterısticas eletricas emagneticas, como permissividade, permeabilidade e condutividade. Eles podemser dieletricos perfeitos, dieletricos com perdas, quase condutores, condutores oucondutores perfeitos. A classificacao tambem depende da frequencia da onda eletro-magnetica que se propaga no meio. Um meio pode ser dieletrico para uma determi-nada faixa de frequencia e condutor para outra.

Sabe-se pela lei de Ampere que, para campos variando harmonicamente notempo,

∇× H =σE + jωεE (2.1)

onde o primeiro termo do lado direito da equacao representa a densidade de correntede conducao do meio e, o segundo, a densidade de corrente de deslocamento. Se

25

CAPıTULO 2. Ondas TEM num Meio Qualquer 26

σ = 0, entao, o meio e dito perfeitamente dieletrico, podendo ser considerado semperdas quando ε e µ sao numeros reais, ou com perdas quando ε e/ou µ assumevalores complexos. Por outro lado, se σ ωε, entao, o meio e dito condutor, poisa corrente de conducao e predominante em relacao a corrente de deslocamento. Emtermos praticos, pode-se classificar os meios como: condutores, σ

ωε> 100; quase-

condutores, 1100

< σωε< 100; dieletricos, σ

ωε< 1

100. Observe que esta classificacao

depende diretamente da frequencia da onda.Meios dieletricos podem tambem ser considerados isotropicos ou anisotropicos.

Os meios isotropicos sao aqueles onde a permissividade nao muda com a direcao.Neste caso, as componentes de densidade de fluxo eletrico estao relacionadas com ocampo eletrico atraves de

D =

Dx

Dy

Dz

=

εx 0 0

0 εy 00 0 εz

ExEyEz

(2.2)

sendo εx = εy = εz. Enquanto os meios anisotropicos sao classificados como:uniaxial, onde as permissividades sao identicas em duas direcoes e biaxial, ondeεx = εy = εz.

Se um grupo de ondas com frequencias distintas se propagam num meio qualquer,onde cada onda se desloca com velocidade de fase diferente das outras, entao estemeio e dito dispersivo. Por outro lado, se cada onda possui a mesma velocidadede fase das outras, o meio e dito nao-dispersivo. Sendo assim, pode-se tambemclassificar os meios de acordo com a dispersao das ondas eletromagneticas que sepropagam neles.

Como foi visto no capıtulo anterior, a velocidade de um grupo de ondas e dadopor

vg = vf + kdvfdk

(2.3)

ou

vg = vf − λdvfdλ

(2.4)

uma vez que k = 2π/λ. Se a velocidade de fase vf nao varia com o comprimento deonda λ (ou frequencia), entao, por (2.4), a velocidade de grupo e igual a velocidadede fase e o meio e dito nao-dispersivo. Entretanto, se a velocidade de fase de cadaonda do grupo aumenta com o comprimento de onda, entao

dvf

dλ> 0, vg < vf e o

meio e dito normalmente dispersivo. Por fim, sedvf

dλ< 0, entao vg > vf e o meio e

considerado dispersivo anomalo.

27 2.3. Equacao de Helmholtz

Exemplo 2.1 Uma onda eletromagnetica se propaga num meio com velocidade defase dada por

vf =C

λ

onde C e uma constante qualquer. Que tipo de meio e esse?

Solucao: A partir da equacao (2.4), pode-se verificar que a velocidade de grupo

vg = vf − λdvfdλ

= vf +C

λ= 2vf

ou seja, a velocidade de grupo e duas vezes maior que a de fase, portanto, o meioe dispersivo anomalo. Na realidade, o meio e condutor, como sera visto na ultimasecao deste capıtulo.

2.3 Equacao de Helmholtz

Considere agora uma onda propagando-se num meio com condutividade σ, permis-sividade ε e permeabilidade µ. Se os campos variam harmonicamente no tempo,entao

∇× H = (σ + jωε)E (2.5)

e

∇× E = − jωµH (2.6)

Portanto, as equacoes de Helmholtz para os campos eletrico e magnetico, obtidas apartir das equacoes (2.5) e (2.6), sao dadas por

∇2E− γ2 E = 0 (2.7)

e

∇2H − γ2 H = 0 (2.8)

onde

γ2 = jωµσ − ω2µε (2.9)

ou


γ =√jωµσ − k2 (2.10)

sendo γ denominada de constante de propagacao. As solucoes das equacoes deHelmholtz (2.7) e (2.8) sao, respectivamente,

E(r) = Eo(r) e− γ n · r (2.11)

e

H(r) = Ho(r) e− γ n · r (2.12)

onde n e o versor que indica o sentido de propagacao da onda. De uma forma geral,a constante de propagacao e um numero complexo representado por γ = α + jβ,

sendo α = Re[√

jωµσ − k2]

e β = Im[√

jωµσ − k2]. Portanto, para uma onda

plana propagando-se no sentido z+, as solucoes (2.11) e (2.12) podem ser reescritas,respectivamente, como

E(z) = Eo e−α z e− jβ z (2.13)

e

H(z) = Ho e−α z e− jβ z (2.14)

onde α e chamado de fator de amortecimento ou atenuacao da onda eletromagnetica,enquanto β e denominado constante de fase. Pode-se concluir das equacoes (2.13) e(2.14) que, se a constante de propagacao e um numero complexo, entao, a onda sofreuma atenuacao ao longo da direcao de propagacao. O unico meio onde nao ocorreatenuacao das ondas eletromagneticas e o dieletrico perfeito sem perdas. Neste caso,σ = 0, γ = jβ = jk e o fator de atenuacao α = 0.

2.4 Impedancia Intrınseca e Velocidade de Fase

Para ondas TEM, propagando-se num meio qualquer, a variacao do campo eletricono espaco e representada por (2.11). Portanto, pela lei de Faraday,

H =j

ωµ∇× Eo(r) e

− γ n · r (2.15)

Utilizando-se um procedimento semelhante aquele apresentado na Secao 1.9, tem-se

H =−jγωµ

n × E (2.16)

29 2.5. Meios Dieletricos com Perdas

e

H = Y n × E (2.17)

onde

η =1

Y=jωµ

γ(2.18)

e a impedancia intrınseca do meio. Se for utilizada a lei de Ampere, obtem-se

η =γ

σ + jωε(2.19)

As expressoes (2.18) e (2.19), apesar de distintas, fornecem os mesmos valores.A velocidade de fase de um meio qualquer e obtida a partir de

vf =ω

β=

ω

Im[√

jωµσ − k2] (2.20)

Exemplo 2.2 Mostre que, para um meio dieletrico sem perdas, as impedanciasfornecidas pelas equacoes (2.18) e (2.19) sao equivalentes.

Solucao: Se o meio e dieletrico sem perdas entao σ = 0 e γ = jβ. Sendo assim,

η =ωµ

β= vf µ =

µ√µε

=

√µ

ε

Por outro lado, pode-se obter a partir de (2.19)

η =β

ωε=

1

vf ε=

√µε

ε=

√µ

ε

2.5 Meios Dieletricos com Perdas

Os meios dieletricos com perdas possuem permissividade complexa, isto e, ε = ε′ −jε′′. Neste caso, e muito comum representar as caracterısticas eletricas do materialatraves de duas grandezas: permissividade relativa εr e tangente de perdas tgδ. Atangente de perdas e definida como sendo a razao entre o modulo da densidade decorrente de conducao e o modulo da densidade de corrente de deslocamento. Deuma forma geral, para um meio qualquer com perdas, tem-se


∇× H = Jc+Jd (2.21)

sendo

Jc = σE (2.22)

e

Jd = jω (ε′ − jε′′)E (2.23)

Portanto, (2.21) pode ser reescrita como sendo

∇× H = (σ′ + jωε ′)E (2.24)

onde σ′ = σ + ωε ′′ e chamada de condutividade equivalente do material. Destaforma, a tangente de perda e representada como segue:

tgδ =|J ′c|

|Jd| =σ′

ωε ′(2.25)

No caso de materiais dieletricos com perdas, a condutividade e geralmente de-sprezıvel e a tangente de perdas pode ser expressa como

tgδ =ε′′

ε ′(2.26)

2.6 Propagacao em Meios Dieletricos

Quando uma onda eletromagnetica se propaga num meio dieletrico com perdas, oscampos eletrico e magnetico obedecem respectivamente as equacoes (2.13) e (2.14),onde o fator de atenuacao, nesta situacao, e dado por

α = Re[jω√µ (ε′ − jε′′)

](2.27)

ou

α = Re[ω√µε′ (jtgδ − 1)

](2.28)

e a constante de fase por

β = Im[ω√µε′ (jtgδ − 1)

](2.29)

31 2.7. Propagacao em Meios Condutores

Se o valor da tangente de perdas for muito pequeno, a atenuacao no meio pode serdesprezada. Neste caso, a onda eletromagnetica se propaga com variacao de faseproporcional ao numero de onda (β = k).

Exemplo 2.3 Uma onda eletromagnetica de 10GHz, e 1kV/m de campo eletricomaximo, propaga-se num meio dieletrico com permissividade relativa aproximada-mente igual a 4 e permeabildade igual a do vacuo. Qual deve ser a distancia percor-rida pela onda para que sua amplitude tenha 90% do seu valor inicial? Qual deveser a densidade volumetrica de potencia media dissipada pelo dieletrico em formade calor? Considere que o dieletrico tem tangente de perdas igual a 0,002.

Solucao: A atenuacao sofrida pela onda e obtida a partir da equacao (2.28), ouseja,

α = Re[ω√µε (j0, 002 − 1)

]= 0, 42 Np/m

Observe que, neste caso, ε = ε′ − jtgδ ε′ ε′, pois tgδ 1. Como a amplitude docampo eletrico cai de acordo com E(d) = Eo e

−αd, entao,

E(d)

Eo= 0, 9 = e−α z =⇒ d = − 1

αln(0, 9) = 0, 25 m

A densidade volumetrica de potencia media, dissipada pelo dieletrico em forma decalor, e fornecida por

pm = Jef Eef = σ′E2ef =

1

2σ′E2

o

Como a condutividade equivalente σ′ = ωε ′tgδ ωε tgδ, entao

pm = π × 1010 × 4 × 8, 85 × 10−12 × 0, 002 × 106 = 2224 W/m3

Observe que a condutividade σ foi desprezada por se tratar de um material dieletrico.

2.7 Propagacao em Meios Condutores

Uma onda eletromagnetica propagando-se num meio condutor tem sua amplitudereduzida a medida que esta avanca dentro deste meio (vide Figura 2.1). A constantede propagacao, neste caso, e obtida de

γ √jωµσ = (1 + j)

√ωµσ

2(2.30)


E(z)

z0

Figura 2.1: Propagacao num meio condutor, sendo z = 0 o plano de interface ar-condutor.

uma vez que a condutividade e alta, ou melhor, σ ωε, tendo como consequenciaωµσ k2. O fator de atenuacao associado a diminuicao de amplitude da onda e,portanto, dado por

α =

√ωµσ

2(2.31)

e a constante de fase β tem o mesmo valor de α. Sendo assim, pode-se representara variacao do campo eletrico de uma onda que se propaga no sentido z+como

E(z) = Eo e−α z e− jβ z = Eo e

− z/δp e− j z/δp (2.32)

onde δp = 1/α = 1/β e chamado de profundidade de penetracao.

2.8 Profundidade de Penetracao

Imagine uma onda eletromagnetica penetrando num meio condutor com amplitudede campo eletrico igual a 1V/m. Considere tambem que esta onda esta se propa-gando no sentido z+ e que o plano z = 0 e o plano de interface entre o ar e o

33 2.9. Velocidade de Fase e Impedancia num Condutor

Tabela 2.1: Profundidade de penetracao do cobre para algumas frequencias.f 60 Hz 6 kHz 6 MHz 6 GHzδp 8,5 mm 0,85 mm 27µm 0,85µm

condutor. Qual deve ser a distancia do plano de interface ate o plano onde a ampli-tude de campo e igual a 36,8% do valor proximo a interface? A resposta e δp, poisem z = 0 tem-se uma amplitude E(0) = Eo, e em z = δ tem-se

E(δ) = Eo e− 1 = 0, 368Eo (2.33)

Esta distancia e chamada de profundidade de penetracao a 36,8% da amplitude decampo ou, simplesmente, profundidade de penetracao. Observe que δp e inversa-mente proporcional a condutividade e a frequencia da onda, uma vez que

δp =

√2

ωµσ=

1√πµσf

(2.34)

Portanto, quanto maior a condutividade e/ou frequencia, menor e a penetracao daonda no meio condutor. No caso do cobre, a profundidade de penetracao e dada por

δp =6, 6 × 10−2

√f

(2.35)

A Tabela 2.1 mostra a variacao da profundidade de penetracao com a frequenciapara ondas propagando-se no cobre.

2.9 Velocidade de Fase e Impedancia num Con-

dutor

Para ondas TEM, propagando-se num meio condutor, a velocidade de fase e dadapor

vf =ω

β= ω δp (2.36)

ou

vf =

√2ω

µσ=

√4π vfµσλ

(2.37)


ou ainda

vf =C

λ(2.38)

onde

C =4π

µσ(2.39)

Portanto, o meio condutor e um meio dispersivo anomalo, pois

dvfdλo

= −C

λ2= −vf

λ< 0 (2.40)

A velocidade de grupo e entao dada por

vg = vf + λvfλ

= 2vf (2.41)

O comprimento de onda no condutor e obtido de

λc =2π

β= 2πδp (2.42)

e, finalmente, a impedancia e fornecida por

ηc =jωµ

γ jωµ√

jωµσ=

√jωµ

σ(2.43)

ou

ηc = (1 + j)

√ωµ

2σ=

√ωµ

σ∠45 (2.44)

Exemplo 2.4 Responda as perguntas do exemplo anterior considerando que a mesmaonda se propaga num meio condutor com condutividade igual a 107S/m e permeabil-idade igual a do vacuo.

Solucao: A atenuacao sofrida pela onda, neste caso, e α = 1/δp, ou seja,

α =√πµσf = 2π × 105 Np/m

Sendo assim,

E(d)

Eo= 0, 9 = e−α z =⇒ d = − 1

αln(0, 9) = 1, 68 × 10−7 m

35 2.9. Velocidade de Fase e Impedancia num Condutor

A potencia media dissipada por unidade de volume no condutor e fornecida por

pm =1

2σ E2

o

oupm = 5 × 106 × 106 = 5 × 1012W/m3

o que parece ser um valor absurdamente grande. Acontece que a amplitude do campoeletrico dentro do condutor, considerado neste exemplo, e muito grande. Como seravisto no proximo capıtulo, a amplitude do campo eletrico que consegue penetrarno condutor e muito pequena, pois a maior parte da energia da onda incidente erefletida na superfıcie dos materiais condutores.

Capıtulo 3

Propagacao em Meios Diferentes

3.1 Introducao

Neste capıtulo serao analisados alguns casos de ondas eletromagneticas planas, comdiferentes polarizacoes, propagando-se em meios diferentes. Inicialmente, o estudose concentrara nos casos onde a incidencia de ondas se faz perpendicular as interfacesentre os meios. O estudo de incidencia oblıqua e feito nas ultimas secoes. Parametroscomo coeficiente de reflexao, transmissao e onda estacionaria serao introduzidos parafacilitar a determinacao de amplitude e fase das ondas refletidas e transmitidas,numa transicao entre meios diferentes. Fenomenos como reflexao total, transmissaototal e formacao de ondas de superfıcies serao abordados ao longo do capıtulo.

3.2 Incidencia Normal entre Dois Meios

A Figura 3.1 mostra um espaco constituıdo de dois meios diferentes, separados peloplano z = 0. Uma onda plana linearmente polarizada, cuja fonte se encontra nomeio 1, incide normalmente sobre a interface de separacao dos meios. Nesta figuraencontram-se representados os vetores dos campos eletromagneticos das ondas inci-dente, refletida e transmitida. Observa-se que o vetor campo eletrico esta alinhadona direcao x e o magnetico na direcao y. As ondas incidente e transmitida sepropagam no sentido z+, enquanto a refletida faz o sentido inverso, isto e, z−. Sabe-se que, na interface entre os meios, os campos eletromagneticos tangenciais tem quesatisfazer as condicoes de fronteira:

Etan 1 = Etan 2 (3.1)

e

37

CAPıTULO 3. Propagacao em Meios Diferentes 38

Ei

z

Meio 1

0

x

y

Hi n

1

Meio 2

Er

Hrn

2

Et

Ht n

3

Figura 3.1: Onda plana incidindo normalmente sobre uma interface.

az × Htan 1 − az × Htan 2 = J (3.2)

Se nao houver corrente de conducao na interface, entao, a densidade de corrente Je nula e

Htan 1 = Htan 2 (3.3)

No caso da incidencia normal, todos os campos sao tangenciais, sendo que na fron-teira z = 0, tem-se

Ei + Er = Et (3.4)

e

Hi + Hr = Ht (3.5)

3.2.1 Transicao entre Dieletricos

Nos meios dieletricos, considerados meios nao-magneticos, a permeabilidade podeser considerada como µo. Portanto, as impedancias intrınsecas nos meios 1 e 2 saofornecidas, respectivamente, por

39 3.2. Incidencia Normal entre Dois Meios

η1 =ηo√εr1

=120π√εr1

(3.6)

e

η2 =ηo√εr2

=120π√εr2

(3.7)

Os campos incidentes sao fornecidos por

Ei(z) = Ei ax = Eoi e−jβ 1z ax (3.8)

e

Hi(z) =1

η1

az × Ei(z) =Eiη1

ay (3.9)

os refletidos por

Er(z) = Er ax = Eor ejβ1 z ax (3.10)

e

Hr(z) = − 1

η1

az × Er(z) = −Erη1

ay (3.11)

Enquanto os transmitidos sao obtidos a partir de

Et(z) = Et ax = Eot e−jβ 2z ax (3.12)

e

Ht(z) =1

η2

az × Er(z) =Erη2

ay (3.13)

Sendo assim, para a interface z = 0, tem-se

Ei + Er = Et (3.14)

utilizando-se (3.4) e

1

η1

az × Ei(z) − 1

η1

az × Er(z) =1

η2

az × Er(z) (3.15)

ou

Eiη1

− Erη1

=Etη2

(3.16)


a partir de (3.5). Somando-se (3.14) e (3.16) obtem-se

2Ei =

(1 +

η1

η2

)Et (3.17)

ou

Et = τ21Ei (3.18)

sendo

τ21 =EtEi

=2η2

η2 + η1

(3.19)

o coeficiente de transmissao do meio 1 para o meio 2 no plano z = 0. Pode-semostrar que, para onda incidindo na interface a partir do meio 2,

τ12 =2η1

η2 + η1

(3.20)

O coeficiente de reflexao, que e definido como a razao entre o campo refletido eo campo incidente, pode ser obtido dividindo-se (3.14) por Ei, isto e,

1 +ErEi

=EtEi

(3.21)

ou

1 + ρ21 = τ21 (3.22)

Portanto,

ρ21 = τ21 − 1 =η2 − η1

η2 + η1

(3.23)

O coeficiente de reflexao “visto” do meio 2 em direcao ao meio 1 e

ρ12 = τ12 − 1 =η1 − η2

η2 + η1

(3.24)

3.2.2 Transicao Dieletrico-Condutor

Considerando-se que o meio 2 e um condutor perfeito, entao a impedancia intrınsecadeste meio e zero, o coeficiente de transmissao e nulo e o de reflexao igual a -1.Entretanto, se o condutor nao for perfeito, a impedancia e dada por (2.44), isto e,


η2 = (1 + j)

√ωµ

2σ(3.25)

enquanto os campos sao expressos como

Et =2η2

η2 + η1

Ei 0 (3.26)

e

Ht =2η1

η2 + η1

Hi 2Hi (3.27)

uma vez que os valores tıpicos de impedancia para um condutor sao proximos dezero.

3.2.3 Transicao Condutor-Dieletrico

Considerando-se agora que o meio 1 e condutor, tem-se

Et =2η2

η2 + η1

Ei 2Ei (3.28)

e

Ht =2η1

η2 + η1

Hi 0 (3.29)

pois η1 e aproximadamente igual a zero.

Exemplo 3.1 Determine a percentagem de campo eletrico refletido na interface ar-agua e ar-cobre para uma onda de 10GHz.

Solucao: Para o caso da interface entre dieletricos, ar-agua, tem-se

ρ =ErEi

=η − ηoη + ηo

(3.30)

onde η e a impedancia intrınseca da agua. Como

η =

√µoεrεo

=ηo√εr

=377√

81 42Ω (3.31)

entao

ρ =42 − 377

42 + 377 −0, 8 (3.32)


ou seja, a amplitude do campo eletrico refletido equivale a 80% do valor incidente.Note que a onda sofre uma inversao de fase de 180.

Para o caso da interface dieletrico-condutor, a impedancia do condutor e fornecidapor

η = (1 + j)

√πfµ

σ= (1 + j) × 7, 6 × 10−4Ω 0 (3.33)

e o coeficiente de reflexao por

ρ =(1 + j) × 7, 6 × 10−4 − 377

(1 + j) × 7, 6 × 10−4 + 377 −0.99999597 (3.34)

Como se pode observar, a amplitude da onda refletida e praticamente 100% do valorincidente.

3.2.4 Coeficiente de Onda Estacionaria

Voltando ao caso de uma onda plana incidindo sobre a interface dieletrico-condutor,sendo o condutor perfeito, tem-se como campo total no meio dieletrico

E = Ei + Er (3.35)

ou, para campos variando harmonicamente no tempo,

E = Eo sen (ωt− βz) + ρEo sen (ωt+ βz) (3.36)

Como ρ = −1, entao

E = −2Eo cos ωt sen βz (3.37)

Observa-se em (3.37) que nao existe propagacao, portanto, a onda se encontra paradano espaco, variando sua amplitude no tempo e espaco de acordo com senωt e sen βz,respectivamente. Este tipo de onda e denominada de onda estacionaria.

Se o meio 2 for um condutor qualquer, ou um outro dieletrico, entao, o coeficientede reflexao e diferente de -1. Sendo assim, o campo total pode ser escrito como

E = Eiosen (ωt− βz) + Erosen (ωt+ βz) (3.38)

ou

E = (Eio + Ero) senωt cos βz + (Eio − Ero) cosωt sen βz (3.39)

onde Ero = ρEio.


Definindo-se

Eo cosφ = (Eio + Ero) cos βz (3.40)

e

Eo senφ = (Eio − Ero) sen βz (3.41)

tem-se

E = Eosen (ωt+ φ) (3.42)

sendo

Eo =

√(Eio + Ero)

2 cos2 βz + (Eio − Ero)2 sen2 βz (3.43)

e

φ = arctg

(Eio − EroEio + Ero

tg βz

)(3.44)

O campo eletrico da onda, representada por (3.42), tem amplitude maxima dadapor

Emax = |Eio| + |Ero| (3.45)

e mınima por

Emin = |Eio| − |Ero| (3.46)

O coeficiente de onda estacionaria e definido como sendo

COE =Emax

Emin

=|Eio| + |Ero||Eio| − |Ero| =

1 + |ρ|1 − |ρ| (3.47)

O termo SWR (Standing Wave Ratio) e muito empregado na pratica para designaro coeficiente de onda estacionaria. Como o modulo do coeficiente de reflexao variade 0 a 1, entao, 1 COE <∞.


3.3 Incidencia Normal com Propagacao em N Meios

3.3.1 Propagacao em Tres Meios

O esquema mostrado na Figura 3.2 apresenta tres meios de impedancias intrınsecasdiferentes. Considerando-se que todos sao meios dieletricos sem perdas, tem-se parao meio n = 1, 2 e 3,

E+1

z

Meio 1

0

x

y

H+1 n

1

Meio 2

E-1

H-1n

2

E+2

H+2 n

1

Meio 3

E-2

H-2n

2

E+3

H+3 n

1

d

Figura 3.2: Espalhamento em tres meios distintos.

E+n (z) = an e

−jβn z ax (3.48)

e

H+n (z) =

1

ηn

az × E+n (z) =

anηn

e−jβn z ay (3.49)

como campos propagando-se na direcao z+ e, para o meio n = 1 e 2,

E−n (z) = bn e

jβn z ax (3.50)

e

H−n (z) = − 1

ηn

az × E−n (z) = − bn

ηne jβn z ay (3.51)

45 3.3. Incidencia Normal com Propagacao em N Meios

como campos propagando-se na direcao z−, sendo

βn =2π

√εrn

λo(3.52)

e

ηn =120π√εrn

(3.53)

Mais uma vez, utilizando-se das relacoes de fronteira, obtem-se:

• para a interface z = 0,

a1 + b1 = a2 + b2 (3.54)

e

a1 − b1 =η1

η2

( a2 − b2) (3.55)

• para z = d,

a2 e−jβ2 d + b2 e

jβ2 d = a3 e−jβ3 d (3.56)

e

a2 e−jβ2 d − b2 e

jβ2 d =η2

η3

a3 e−jβ3 d (3.57)

O coeficiente de reflexao na interface do meio 1 com o meio 2 e dado por

ρ1(0) =b1a1

=ηeq − η1

ηeq + η1

(3.58)

onde ηeq e a impedancia intrınseca equivalente do meio 2 e 3 “vista” na interfacez = 0, no sentido z+. Enquanto o coeficiente de reflexao na interface do meio 2 como meio 3 e

ρ2(d) =b2 e

jβ2 d

a2 e−jβ2d=b2a2

e2jβ2 d = ρ2(0) e2jβ2d (3.59)

Dividindo-se (3.54) por (3.55), tem-se

1 + ρ1(0)

1 − ρ1(0)=η2

η1

1 + ρ2(0)

1 − ρ2(0)(3.60)


e

1 + ρ2(d)

1 − ρ2(d)=η3

η2

(3.61)

dividindo-se (3.56) por (3.57). Portanto, pode-se escrever a partir (3.61)

ρ2(d) =η3 − η2

η3 + η2

(3.62)

Substituindo (3.58) e (3.59) em (3.60), obtem-se

ηeqη1

=η2

η1

1 + ρ2(d) e−2jβ2d

1 − ρ2(d) e−2jβ2d(3.63)

ou

ηeq = η2

ejβ2d + η3−η2η3+η2

e−jβ2d

ejβ2d − η3−η2η3+η2

e−jβ2d= η2

η3

(ejβ2d + e−jβ2d

)+ η2

(ejβ2d − e−jβ2d

)η2 (ejβ2d + e−jβ2d) + η3 (ejβ2d − e−jβ2d)

(3.64)

ou ainda

ηeq = η2η3 + jη2 tg (β2d)

η2 + jη3 tg (β2d)(3.65)

O coeficiente de onda estacionaria no meio 1 e dado por

COE1 =1 + |ρ1|1 − |ρ1| (3.66)

e, no meio 2, por

COE2 =1 + |ρ2|1 − |ρ2| (3.67)

O campo refletido na primeira interface, num plano qualquer z ≤ 0 , e fornecidoa partir de

E−1 (z) = b1 e

jβ1z = ρ1(0) a1 ejβ1z (3.68)

Enquanto o campo transmitido para o meio 2 e dado por

E+2 (z) = a2 e

−jβ2z =τ1(0)

τ2(0)a1 e

−jβ2z (3.69)

e o refletido


E−2 (z) = b2 e

jβ2z =τ1(0)

τ2(0)ρ2(0) a1 e

jβ2z (3.70)

Finalmente, o campo transmitido para o meio 3 e obtido de

E+3 (z) = a3 e

−jβ3z =τ1(0)

τ2(0)τ2(d) a1 e

−j(β2−β3)d e−jβ3z (3.71)

Sendo os coeficientes de transmissao, τ1(z) e τ2(z), dados respectivamente por

τ1(z) = 1 + ρ1(z) (3.72)

e

τ2(z) = 1 + ρ2(z) (3.73)

Exemplo 3.2 Uma onda plana de 10GHz incide normalmente sobre uma folha deplastico de 1cm de espessura. Qual o coeficiente de onda estacionaria na regiaoanterior a placa? Para que valores de espessura este coeficiente e unitario? Apermissividade relativa da placa e 4.

Solucao: Sabe-se que o COE nesta regiao depende do modulo do coeficiente dereflexao na interface ar-dieletrico, que por sua vez depende da impedancia equiva-lente “vista” nesta interface, em direcao ao conjunto plastico-ar. Portanto, deve-secalcular a impedancia equivalente utilizando-se a equacao (3.65), ou seja,

ηeq = ηηo + jη tg (βd)

η + jηo tg (βd)(3.74)

onde a impedancia intrınseca do plastico e o argumento da tangente sao, respecti-vamente, fornecidos por

η =ηo√εr

=377

2= 188, 5 Ω (3.75)

e

βd =2π

λd =

2π√εr

λod =

4π

3(3.76)

Sendo assim , o valor da impedancia equivalente e entao ηeq = 116 + j75 Ω e ocoeficiente de reflexao

ρ =ηeq − ηoηeq + ηo

=116 + j75 − 377

116 + j75 + 377 0, 545 ∠ − 155 (3.77)


Logo,

COE =1 + |ρ|1 − |ρ| =

1 + 0, 545

1 − 0, 545= 3, 4 (3.78)

Observe que o COE e unitario quando o coeficiente de reflexao e nulo. Neste caso,a impedancia equivalente do conjunto plastico-ar tem que ser igual a impedancia domeio anterior a placa. Como este meio e o ar, entao, ηeq = ηo. E obvio que a identi-dade existe se o argumento da tangente na expressao da impedancia equivalente fornulo. Entretanto, isso significa dizer que a espessura d da folha, neste caso, e nula.A solucao geral para o problema e obtida quando se faz o argumento da tangenteigual a nπ, isto e,

βd =2π

√εr

λod = nπ =⇒ d = n

λo2√εr

=3

4n cm (3.79)

onde n e um numero inteiro positivo.

3.3.2 Propagacao em N Meios

A Figura 3.3 apresentaN meios de impedancias intrınsecas diferentes. Considerando-se que todos sao meios dieletricos sem perdas, tem-se para o meio n = 1, 2 · · · N ,

E+1

z

Meio 1

0

x

y

H+1 n

1

Meio 2 Meio N

E+N

H+N n

1

d1

E-1

H-1n

2

E+2

H+2 n

1

E-2

H-2n

2

dN-2

Figura 3.3: Espalhamento em N meios.


E+n (z) = an e

−jβn z ax (3.80)

e

H+n (z) =

1

ηn

az × E+n (z) =

anηn

e−jβn z ay (3.81)

como campos propagando-se na direcao z+ e, para o meio n = 1, 2 · · · N − 1,

E−n (z) = bn e

jβn z ax (3.82)

e

H−n (z) = − 1

ηn

az × E−n (z) = − bn

ηne jβn z ay (3.83)

como campos propagando-se na direcao z−. O coeficiente de reflexao na interfaceentre os meios N e N − 1 e dado por

ρN−1(zN−1) =bN−1 e

jβN−1 zN−1

aN−1 e−jβN−1zN−1=ηN − ηN−1

ηN + ηN−1

(3.84)

sendo

zN−1 =N−1∑i=1

di (3.85)

Para m-esima interface (m = 1, 2 · · · N − 2), tem-se

ρm(zm) =bm e

jβm zm

am e−jβm zm=ηeqm − ηmηeqm + ηm

(3.86)

onde

zm =m∑i=1

di (3.87)

e

ηeqm = ηm+1

ηeqm+1 + jηm+1 tg (βm+1dm)

ηm+1 + jηeqm+1 tg (βm+1dm)(3.88)

sendo

ηeqN−1 = ηN (3.89)


O campo refletido na primeira interface e dado por (3.68) e, o transmitido, por(3.69), onde os coeficientes sao obtidos utilizando-se (3.86). Os demais campos saocalculados a partir de

E+n+1(z) = an+1 e

−jβn+1 z =τn(dn−1)

τn+1(dn−1)an e

−j(βn−βn+1)dn−1 e−jβn+1 z (3.90)

ou

E+n+1(z) = a1 e

−jβn+1 z

n∏i=1

[τn(dn−1)

τn+1(dn−1)e−j(βn−βn+1)dn−1

](3.91)

e

E−n+1(z) = a1 ρn+1(dn−1) e

jβn+1 z

n∏i=1

[τn(dn−1)

τn+1(dn−1)e−j(βn−βn+1)dn−1

](3.92)

sendo n = 1, 2 · · · N − 2, do = 0 e ρN(dN−2) = 0.

Exemplo 3.3 Determine, para uma onda de 10GHz, o coeficiente de reflexao naprimeira interface do conjunto ar-vidro-plastico-ar. Considere o mesmo plastico daquestao anterior e um vidro de meio centımetro de espessura com permissividaderelativa igual a 9.

Solucao: Como no problema anterior, o coeficiente de reflexao depende da impedanciaequivalente “vista” na primeira interface, em direcao ao resto do conjunto. Estaimpedancia pode ser obtida de forma recursiva, ou seja, primeiro se calcula aimpedancia equivalente na segunda interface, “vista” na direcao plastico-ar, paradepois se obter a impedancia na primeira interface. Portanto,

ηeq2 = ηpηo + jηp tg (βpdp)

ηp + jηo tg (βpdp)(3.93)

e

ηeq1 = ηvηeq2 + jηv tg (βvdv)

ηv + jηeq2 tg (βvdv)(3.94)

onde os ındices p e v estao relacionados, respectivamente, com o plastico e o vidro. Aimpedancia intrınseca do plastico, calculada no exemplo anterior, e 188,5Ω, enquantoa do vidro e dada por

ηv =ηo√εr

=377

3= 125, 7 Ω (3.95)

51 3.4. Incidencia Oblıqua entre Dois Meios

O argumento da tangente, no caso do vidro, e

βvdv =2π

λdv =

2π√εr

λodv = π (3.96)

Sendo assim, a impedancia equivalente na segunda interface e ηeq2 = 116 + j75 Ω,como calculado no exemplo anterior, e na primeira interface, ηeq1 = ηeq2, pois atangente de π e zero. Portanto, o coeficiente de reflexao desejado e

ρ =ηeq1 − ηoηeq1 + ηo

=116 + j75 − 377

116 + j75 + 377 0, 545 ∠ − 155 (3.97)

Observe que o vidro nao exerceu nenhuma influencia sobre o resultado final, pois,neste caso, sua espessura equivale a λ/2. Pode-se demostrar que, para espessurasiguais a multiplos de λ/2, a impedancia da primeira interface sera sempre igual ada segunda. Este resultado sera estudado com mais detalhes no proximo capıtulo.

3.4 Incidencia Oblıqua entre Dois Meios

3.4.1 Ondas Linearmente Polarizadas - Caso Perpendicular

Uma onda eletromagnetica linearmente polarizada, com vetor campo eletrico per-pendicular ao plano de incidencia, incide obliquamente formando um angulo θi, coma normal da interface entre dois meios dieletricos sem perdas. A Figura 3.4 apresenta,alem do campo incidente, os campos refletidos e transmitidos. Considerando-se queo plano de incidencia seja o plano y = 0 e a interface se encontra no plano z = 0,tem-se:

Ei(r) = Eo e−jβ1 n1 · r ay (3.98)

e

Hi(r) =1

η1

n1 × Ei(r) =Eoη1

e−jβ1 n1 · r (− cos θi ax − sen θi az) (3.99)

como os campos incidentes,

Er(r) = ρ⊥Eo e−jβ1 n2 · r ay (3.100)

e

Hr(r) =1

η1

n2 × Er(r) = ρ⊥Eoη1

e−jβ1 n2 · r (cos θr ax − sen θr az) (3.101)


Meio 2Meio 1

Ei

z

θ

0

x

y

Hi n

1

r

Er

Hr

n2

i

rθ θt

EtH

t

n3

Figura 3.4: Incidencia Oblıqua - Caso perpendicular.

como os campos refletidos, e

Et(r) = τ⊥Eo e−jβ2 n3 · r ay (3.102)

e

Ht(r) =1

η2

n3 × Et(r) = τ⊥Eoη2

e−jβ2 n3 · r (− cos θt ax − sen θt az) (3.103)

como os campos transmitidos. Os versores n1, n2 e n3 indicam a direcao depropagacao das ondas, e

−β1 n1 · r = −β1 z cos θi + β1x sen θi (3.104)

−β1 n2 · r = β1 z cos θr + β1x sen θr (3.105)

e

−β2 n3 · r = −β2 z cos θt + β2 x sen θt (3.106)


fornecem as fases destas ondas.Das condicoes de fronteiras (3.4) e (3.5) obtem-se, respectivamente,

e jβ1x sen θi + ρ⊥ e jβ1x sen θr = τ⊥e jβ2 x sen θt (3.107)

e

− cos θi ejβ1x sen θi + ρ⊥ cos θr e

jβ1x sen θr = −η1

η2

τ⊥ cos θt ejβ2 x sen θt (3.108)

Para que exista continuidade na fronteira z = 0, os campos devem ter a mesmavariacao de fase, isto e,

e jβ1x sen θi = e jβ1x sen θr = e jβ2 x sen θt (3.109)

ou

β1sen θi = β1sen θr = β2 sen θt (3.110)

donde se conclui que

θi = θr (3.111)

A equacao (3.111) e conhecida como lei de Snell para reflexao. Voltando-se a atencaomais uma vez para equacao (3.110), tem-se

β1sen θi = β2 sen θt (3.112)

ou, para meios dieletricos,

sen θi =

√ε2ε1

sen θt (3.113)

A expressao (3.113) e conhecida como lei de Snell para refracao.Considerando-se (3.110), a equacao (3.107) pode ser reescrita como

1 + ρ⊥ = τ⊥ (3.114)

e a (3.108) como

− cos θi + ρ⊥ cos θr = −η1

η2

τ⊥ cos θt (3.115)



ρ⊥ =η2 cos θi − η1 cos θtη2 cos θi + η1 cos θt

(3.116)

ou, para meios nao magneticos sem perdas,

ρ⊥ =cos θi −

√ε2ε1− sen2 θi

cos θi +√

ε2ε1− sen2 θi

(3.117)

3.4.2 Reflexao Total, Angulo Crıtico e Onda de Superfıcie

Observa-se em (3.117) que o coeficiente de reflexao e sempre um numero real desdeque a permissividade do meio 1 seja menor que a do meio 2, isto e, ε2 > ε1. Casocontrario, existirao certos angulos de incidencia que levarao o coeficiente de reflexaoa um valor complexo com modulo igual a um. A onda sera totalmente refletidaquando estes angulos forem iguais ou superiores a um certo angulo crıtico θc, dadopor

θc = arcsen

√ε2ε1

(3.118)

Pode-se verificar que, para o angulo crıtico ρ⊥ = 1 e o coeficiente de transmissaoτ⊥ = 2. Como foi dito, nenhuma onda se propaga no meio 2, ja que a reflexao etotal. Entretanto, este valor para o coeficiente de transmissao pode ser explicadocomo segue: se θi ≥ θc, entao

cos θt = ± j√

sen2 θt − 1 = ± j

√ε1ε2

sen2 θi − 1 (3.119)

Tomando-se

cos θt = − j

√ε1ε2

sen2 θi − 1 (3.120)

o campo transmitido fica sendo expresso atraves de

Et = τ⊥Eo e−jβ2 z cos θt e jβ2x sen θt = τ⊥Eo e−α z e jβ2x sen θt (3.121)

onde

α = β2

√ε1ε2

sen2 θi − 1 (3.122)


o que corresponde a uma onda propagando-se no sentido x− e com campo eletricodecaindo exponencialmente na direcao z, dentro do meio 2. Esta onda e chamadade onda de superfıcie.

E importante ressaltar que a reflexao total e, consequentemente, a formacao deonda de superfıcie, pode tambem ocorrer no caso paralelo que sera visto a seguir,contanto que o meio 1 seja mais refringente que o meio 2.

Exemplo 3.4 Uma antena posicionada no fundo de um tanque de agua doce radiauma onda eletromagnetica de 300MHz, 200V/m de amplitude e polarizacao linearperpendicular ao plano de incidencia. A onda atinge a superfıcie d’agua com umangulo de 30 em relacao a normal desta superfıcie. Qual deve ser a intensidadedo campo eletrico no ar a um metro de altura? A onda continua propagando-se peloar? Para simplificar o problema, considere que a onda, quando chega na interfaceagua-ar, e praticamente plana. Despreze as reflexoes nas paredes do tanque.

Solucao: O primeiro passo e verificar se existe reflexao total, pois a agua e maisrefringente que o ar. Portanto, deve-se determinar qual o valor do angulo crıticoque, nesta situacao, e

θc = arcsen

√1

81= arcsen

1

9= 6, 4 (3.123)

Como o angulo de incidencia e maior que o angulo crıtico, entao, a onda e total-mente refletida para dentro do tanque. Entretanto, existira campo eletrico no ardevido a onda de superfıcie. Para se obter a intensidade deste campo e necessario sedeterminar a amplitude do campo transmitido proxima a interface agua-ar. Sabe-seque a amplitude da onda de superfıcie e dada por

Et = |τ⊥|Eo e−α z (3.124)

onde, neste problema, Eo = 200V/m, z corresponde a altura em relacao ao nıvel daagua no tanque e

τ⊥ = 1 + ρ⊥ =2 cos θi

cos θi +√

ε2ε1− sen2 θi

=2 cos 30

cos 30 +√

81 − sen2 30 1, 74 ∠ − 30

(3.125)O valor da atenuacao, α, e obtido de

α =2π

λo

√ε1ε2

sen2 θi − 1 = 2π√

81sen2 30 − 1 = 27, 6 Np/m (3.126)

Sendo assim, a intensidade de campo a um metro da superfıcie da agua e entao

Et = 1, 74 × 200 × e−27,6 = 3, 59 × 10−10 V/m (3.127)


3.4.3 Ondas Linearmente Polarizadas - Caso Paralelo

Uma onda eletromagnetica linearmente polarizada, com vetor campo eletrico par-alelo ao plano de incidencia, incide obliquamente formando um angulo θi com anormal da interface entre dois meios dieletricos sem perdas. A Figura 3.5 apresentaos campos espalhados, que sao expressos por

Ei

z

θ

0

x

y

Hi

n1

r

Er

Hr

n2

i

rθ θt

EtH

t

n3

Meio 2Meio 1

Figura 3.5: Incidencia Oblıqua - Caso paralelo.

Ei(r) = Eo e−jβ1 n1 · r (cos θi ax + sen θi az) (3.128)

e

Hi(r) =1

η1

n1 × Ei(r) =Eoη1

e−jβ1 n1 · r ay (3.129)

como os campos incidentes,

Er(r) = ρEo e−jβ1 n2 · r (cos θr ax − sen θr az) (3.130)

e

Hr(r) =1

η1

n2 × Er(r) = −ρ

Eoη1

e−jβ1 n2 · r ay (3.131)


como os campos refletidos, e

Et(r) = τEo e−jβ2 n3 · r (cos θt ax + sen θt az) (3.132)

e

Ht(r) =1

η2

n3 × Et(r) = τ

Eoη2

e−jβ2 n3 · r ay (3.133)

como os campos transmitidos.Mais uma vez, na interface entre os meios, tem-se

cos θi ejβ1x sen θi + ρ cos θr e

jβ1x sen θr = τ cos θt ejβ2 x sen θt (3.134)

e

e jβ1x sen θi − ρ ejβ1x sen θr = τ

η1

η2

e jβ2 x sen θt (3.135)

Como as fases devem ser identicas na interface, entao

1 + ρ = τ

cos θtcos θi

(3.136)

e

1 − ρ = τ

η1

η2

(3.137)

Donde se pode obter

ρ =η2 cos θt − η1 cos θiη2 cos θt + η1 cos θi

(3.138)

ou, para meios nao magneticos sem perdas,

ρ =− ε2ε1

cos θi +√

ε2ε1− sen2 θi

ε2ε1

cos θi +√

ε2ε1− sen2 θi

(3.139)

3.4.4 Transmissao Total e Angulo de Brewster

E possıvel se obter, neste tipo de incidencia, transmissao total da onda incidentepara o meio 2. Isto ocorre para um certo angulo θB, que faz o coeficiente ρ = 0.Este angulo e denominado angulo de Brewster e seu valor e obtido a partir de


−ε2ε1

cos θB +

√ε2ε1

− sen2 θB = 0 (3.140)

ou

sen2 θB =ε2

ε2 + ε1(3.141)

Portanto,

θB = arcsen

√ε2

ε2 + ε1(3.142)

ou

θB = arctg

√ε2ε1

(3.143)

3.4.5 Ondas Elipticamente Polarizadas

A Figura 3.6 apresenta uma onda plana elipticamente polarizada incidindo com umcerto angulo θi. Estao representados na figura apenas os campos eletricos das ondasincidente e espalhadas pela superfıcie de interface entre os meios.

Pode-se verificar na Figura 3.6 que a onda elipticamente polarizada e compostade uma componente de campo eletrico perpendicular, Ey, e outra paralela, Eθ, aoplano de inicidencia. O modulo do vetor campo eletrico incidente e dado por

Ei = Eiy ay + Eiθ aθ (3.144)

sendo

Eiy = E⊥e−jβ1 n1 · r (3.145)

e

Eiθ = E ejδie−jβ1 n1 · r (3.146)

A defasagem entre as componentes e representada por δi, enquanto as amplitudespodem ser relacionadas atraves de

αi = arctg

(E

E⊥

)(3.147)

Considerando que os coeficientes de reflexao para as componentes perpendiculare paralela sao dados, respectivamente, por


Meio 2Meio 1

Eiy

z

θ

0

x

y

Ei

n1

r

Ery

Er

n2

i

rθ θt

Ety

Et

n3

θ

θθ

Figura 3.6: Onda plana elipticamente polarizada incidindo obliquamente na interfaceentre dois meios.

ρ⊥ = |ρ⊥| e jφ⊥ (3.148)

e

ρ = |ρ| e jφ (3.149)

pode-se, entao, escrever o campo eletrico refletido como

Er = Ery ay + Erθ aθ (3.150)

onde

Ery = |ρ⊥| e jφ⊥E⊥e−jβ1 n2 · r (3.151)

e

Erθ = − |ρ| e jφE ejδie−jβ1 n2 · r (3.152)

O sinal negativo que aparece em (3.152) esta associado ao sentido do campo eletricoem relacao ao versor aθ. A defasagem entre as componentes do campo refletido podeentao ser expressa por


δr = δi + π + φ − φ⊥ (3.153)

e a relacao entre as amplitudes, por

αr = arctg

( |ρ||ρ⊥|

E

E⊥

)= arctg

( |ρ||ρ⊥| tgαi

)(3.154)

Finalmente, para os campos transmitidos, tem-se

τ⊥ = |τ⊥| e jψ⊥ (3.155)

e

τ = |τ| e jψ (3.156)

onde o campo eletrico transmitido e dado por

Et = Ety ay + Etθ aθ (3.157)

sendo

Ety = |τ⊥| e jψ⊥E⊥e−jβ2 n3 · r (3.158)

e

Etθ = |τ| e jψE ejδie−jβ2 n3 · r (3.159)

Portanto, a defasagem entre as componentes do campo transmitido e

δt = δi + ψ − ψ⊥ (3.160)

e

αt = arctg

( |τ||τ⊥|

E

E⊥

)= arctg

( |τ||τ⊥| tgαi

)(3.161)

Exemplo 3.5 Uma onda eletromagnetica incide na superfıcie d’agua formando umangulo de 83,66 com sua normal. Qual a polarizacao da onda refletida? O campoeletrico e fornecido por

Ei(r, t) = 2 sen (ω t− β1 n1 · r)ay + cos(ω t− β1 n1 · r) aθ


Solucao: Pode-se observar que a razao entre as amplitudes das componentes docampo incidente e E/E⊥ = 1/2 e que a defasagem e δi = 90. A relacao entreamplitudes da onda refletida e dada por

αr = arctg

( |ρ||ρ⊥|

E

E⊥

)= arctg

(0, 5

|ρ||ρ⊥|

)= 0 (3.162)

pois

ρ =−81 cos 83, 66 +

√81 − sen2 83, 66

81 cos 83, 66 +√

81 − sen2 83, 66 0 (3.163)

e

ρ⊥ =cos 83, 66 −√

81 − sen2 83, 66

cos 83, 66 +√

81 − sen2 83, 66 0, 98 ∠180 (3.164)

Como αr = 0, entao, so existe uma componente de campo refletido, isto significadizer que a onda refletida esta linearmente polarizada. Note que ρ = 0, logo,a componente paralela do campo incidente e totalmente transmitida para agua eθi = 83, 66, neste problema, e o angulo de Brewster.

Exemplo 3.6 A Figura 3.7 mostra um enlace de radio que atravessa um lago. Asantenas do enlace sao helicoidais e estao polarizadas circularmente para a esquerda.Observe que parte do sinal e refletido pelo lago e atinge a antena receptora. Se aonda refletida tiver a mesma polarizacao da onda direta, havera interferencia narecepcao do sinal devido a defasagem das ondas, uma vez que as distancias percor-ridas sao diferentes. A pergunta entao e: qual a polarizacao da onda refletida nolago? Considere o angulo de incidencia na agua igual a 45.

Solucao: A razao entre as amplitudes do campo incidente, neste caso, e 1, pois aonda tem polarizacao circular. Os coeficientes de reflexao sao fornecidos por

ρ =−81 cos 45 +

√81 − sen2 45

81 cos 45 +√

81 − sen2 45 0, 73 ∠180 (3.165)

e

ρ⊥ =cos 45 −√

81 − sen2 45

cos 45 +√

81 − sen2 45 0, 85 ∠180 (3.166)

Portanto,

αr = arctg

( |ρ||ρ⊥|

E

E⊥

)= arctg

(0, 73

0, 85

) 41 (3.167)


ou seja, as amplitudes das componentes do campo refletido nao sao mais iguais. Poroutro lado, a defasagem entre as componentes da onda refletida e

δr = δi + π + 180 − 180 = δi + 180 (3.168)

isto e, se δi = 90, entao δr = −90, ou vice-versa. O sentido da onda incidente serasempre oposto ao da refletida. A polarizacao da onda refletida que chega a antenareceptora e elıptica para a direita. Portanto, o sinal desta onda sera atenuado pelaantena receptora, pois esta foi projetada para receber ondas circularmente polarizadapara a esquerda.

Lago

AntenaReceptora

AntenaTransmissora

Figura 3.7: Enlace de radio com reflexao do sinal sobre um lago.

Capıtulo 4

Linhas de Transmissao

4.1 Introducao

Ate o capıtulo anterior foram estudados fenomenos referentes as ondas eletroma-gneticas propagando-se em meios abertos. Neste capıtulo e feita uma analise docomportamento de ondas eletromagneticas guiadas por linhas de transmissao, assimcomo as caracterısticas destas linhas e as tecnicas de casamento de impedanciaaplicadas para a maxima transferencia de energia eletromagnetica.

Uma Linha de Transmissao (L.T.) e um dispositivo empregado para guiar umaonda eletromagnetica de um ponto a outro do espaco. Na pratica, uma L.T. podeser utilizada, por exemplo, para ligar um transceptor a uma antena, um conjunto decomputadores em rede, uma difusora de sinais de TV aos seus assinantes ou, entao,conectar os diversos componentes e circuitos de um sistema de alta frequencia. Ex-istem diversas geometrias de linha de transmissao em aplicacoes de alta frequencia.As mais comuns sao: coaxial, par de fios, par de fios trancados, fita, microfita, etc..A Figura 4.1 mostra algumas destas estruturas. Alem disso, as linhas de transmissaopodem ser classificadas como uniforme e nao uniforme, com perdas e sem perdas.As linhas uniformes mantem a geometria da secao transversal e as caracterısticaseletricas e magneticas ao longo do seu comprimento. Enquanto as linhas sem perdassao aquelas onde as ondas eletromagneticas nao sofrem qualquer tipo de atenuacaoao longo da direcao de propagacao.

4.2 Equacao de uma Linha de Transmissao

Nesta secao sao apresentadas duas abordagens que descrevem o comportamento dasondas de tensao e corrente, que estao associadas as ondas eletromagneticas guiadas

63

CAPıTULO 4. Linhas de Transmissao 64

condutores dielétrico

d

2a

wl

h

dielétrico

condutores

(a)

(b)

(c)

2a

Figura 4.1: Alguns tipos de linha de transmissao: (a) coaxial; (b) fita de fios par-alelos; (c) microfita.

por linhas de transmissao uniformes.

4.2.1 Abordagem Eletromagnetica

Considerando um sistema constituıdo de uma linha coaxial que liga um geradora uma impedancia de carga, como mostrado na Figura 4.2, pode-se obter as ex-pressoes dos campos eletromagneticos da onda no material dieletrico entre condu-tores utilizando-se as equacoes de Maxwell, ou entao, as equacoes de onda. Sendoassim, o campo eletrico no dieletrico do cabo coaxial obedece a equacao

∇2E − 1

v2f

∂2E

∂t2= 0 (4.1)

enquanto o campo magnetico e obtido a partir de

∇2H − 1

v2f

∂2H

∂t2= 0 (4.2)

As ondas sao do tipo TEM (no caso dos condutores serem perfeitos), propagando-seno sentido z+ ou z− com velocidade de fase

65 4.2. Equacao de uma Linha de Transmissao

Zg

l

ZL

Figura 4.2: Gerador de RF acoplado a uma impedancia de carga atraves de umaL.T. coaxial.

vf =1√µ ε

(4.3)

Se o gerador fornece uma tensao que varia harmonicamente no tempo, isto e,

Vg(t) = Vo ejωt (4.4)

entao, os campos seguem o mesmo tipo de variacao temporal, ou seja,

E(r, z, t) = E(r, z) e jωt

e

H(r, z, t) = H(r, z) e jωt (4.5)

sendo E(r, z) e H(r, z) dados pelas equacoes de Helmholtz

∂2E(r, z)

∂ z2− γ2E(r, z) = 0 (4.6)

e∂2H(r, z)

∂ z2− γ2H(r, z) = 0 (4.7)

onde γ e a constante de propagacao.Sabe-se pela teoria eletromagnetica que a tensao entre os condutores de um cabo

coaxial, medidos num plano z qualquer, esta relacionada com o campo eletrico nodieletrico deste atraves de


V (z) = −b∫

a

E(r, z)·dr =

b∫a

E(r, z) dr (4.8)

Enquanto a magnitude das correntes nos condutores pode ser obtida a partir de

I(z) =

∮C

H(r, z)·dl =

2π∫0

H(r, z) r dϕ = 2πrH(r, z) (4.9)

Integrando-se a equacao (4.6) em relacao a r, de a a b, obtem-se

d2V (z)

d z2− γ2V (z) = 0 (4.10)

Assim como, multiplicando-se (4.7) por 2πr, tem-se

d2I(z)

d z2− γ2I(z) = 0 (4.11)

Apesar das equacoes acima, denominadas de Equacoes de uma Linha de Trans-missao, terem sido deduzidas para uma linha coaxial, elas sao validas para qualquertipo de linha de transmissao.

4.2.2 Abordagem de Circuitos

Sabe-se que um cabo coaxial, assim como qualquer linha de transmissao, apresentauma certa capacitancia e indutancia dependendo de sua geometria e caracterısticaseletricas e magneticas dos materiais que os compoe. A capacitancia medida entreos condutores de uma L.T. depende: do comprimento, dos raios de seus condutorese da permissividade do material dieletrico. Enquanto a indutancia depende, alemdas dimensoes da L.T., da permeabilidade. O circuito equivalente de uma linhauniforme sem perdas e mostrado na Figura 4.3a, enquanto a Figura 4.3b apresentao circuito equivalente de uma L.T. com perdas. A tensao num trecho infinitesimalde um dos condutores, de uma L.T. com perdas, e dada por

dV = ZI dz (4.12)

oudV

dz= ZI (4.13)

67 4.2. Equacao de uma Linha de Transmissao

(a)

(b)

L

C

L

C

L

C

L

C G

R L

C G

R

Figura 4.3: Circuito equivalente de uma L.T.: (a) sem perdas; (b) com perdas.

Ja a corrente que atravessa numa fatia de espessura infinitesimal de dieletrico efornecida por

dI = Y V dz (4.14)

oudI

dz= Y V (4.15)

ondeZ = R + jωL (4.16)

e a impedancia por comprimento de linha e

Y = G+ jωC (4.17)

a admitancia, sendo L, C, R e G, respectivamente, a indutancia, capacitancia,resistencia do condutor e condutancia do dieletrico por unidade de comprimento.Derivando-se (4.13) e (4.15) em relacao a z tem-se, respectivamente,

d2V

dz2=dZ

dzI + Z

dI

dz(4.18)

e


d2I

dz2=dY

dzV + Y

dV

dz(4.19)

Para linhas uniformes, Z e Y nao variam com z, logo

d2V

dz2= Z

dI

dz(4.20)

ou

d2V

dz2= Z Y V (4.21)

e

d2I

dz2= Y

dV

dz(4.22)

ou

d2I

dz2= ZY I (4.23)

Reescrevendo-se (4.21) e (4.23), tem-se

d2V

d z2− ZY V = 0 (4.24)

e

d2I

d z2− ZY I = 0 (4.25)

Uma comparacao entre as equacoes (4.10) e (4.24), assim como (4.11) e (4.25),mostra que a constante de propagacao numa L.T. pode ser obtida a partir de

γ = α+ jβ =√ZY (4.26)

A velocidade de fase, neste caso, e obtida de

vf =ω

Im[γ](4.27)

Para uma linha sem perdas tem-se

γ = jβ = jω√LC (4.28)

e

69 4.3. Solucao da Equacao de uma L.T.

vf =ω

β=

1√LC

(4.29)

4.3 Solucao da Equacao de uma L.T.

A solucao das equacoes (4.10) e (4.24) e da forma

V (z) = V1eγ z + V2 e

−γ z (4.30)

enquanto para (4.11) e (4.25), tem-se

I(z) = I1eγ z + I2 e

−γ z (4.31)

ou

I(z) =1

Z

dV

dz=γ

Z

[V1e

γ z − V2 e−γ z] (4.32)

ou ainda

I(z) =

√Y

Z

[V1e

γ z − V2 e−γ z] (4.33)

As solucoes sao combinacoes lineares de um par de funcoes ortogonais, uma vez queas equacoes diferenciais sao lineares ordinarias de segunda ordem. Fisicamente, assolucoes (4.30) e (4.31) representam, respectivamente, ondas de corrente e tensaopropagando-se no sentido z−(primeiros termos das equacoes) e z+(segundos termos),sendo as constantes V1, V2, I1 e I2 fasores associados as ondas.

As solucoes completas, incluindo a variacao temporal harmonica, sao

V (z, t) = V − + V + = V1eα ze jωt+β z + V2 e

−α z e jωt−β z (4.34)

e

I(z, t) = I− + I+ = I1eα ze jωt+β z + I2 e

−αz e jωt−β z (4.35)

4.4 Impedancia Caracterıstica

A impedancia caracterıstica de uma linha de transmissao e a razao entre a tensao ea corrente obtida num determinado plano z, isto e,


Zo =V −

I−= −V

+

I+=

√Z

Y=

√R + jωL

G+ jωC(4.36)

Para linhas uniformes, a impedancia caracterıstica nao varia ao longo do seu compri-mento. Se houver perdas, a impedancia e complexa, com valor fornecido por (4.36).Para perdas desprezıveis, tem-se R = G 0, o que leva a

Zo √L

C(4.37)

Neste caso, a impedancia e real, sendo a indutancia por unidade de comprimentodeterminada pela expressao [19]

L =Λ

I l=µ

l

∫∫SH · ds∮

CH · dl

(4.38)

e a capacitancia por unidade de comprimento

C =Q

V l= −ε

l

∫∫SE · ds∫ b

aE · dl

(4.39)

sendo Λ o fluxo magnetico produzido pelo indutor e Q a carga eletrica no capacitor.

4.4.1 Coaxial

A impedancia caracterıstica de um cabo coaxial sem perdas, como aquele mostradona Figura 4.1a, e obtida a partir da equacao (4.37), utilizando-se a expressaoda indutancia obtida de (4.38) e a da capacitancia atraves de (4.39). Portanto,resolvendo-se (4.38), obtem-se

L =µo2π

ln

(b

a

)(4.40)

e de (4.39)

C =2πε

ln(ba

) (4.41)

Substituindo (4.40) e (4.41) em (4.37), tem-se

Zo =1

2π

√µoε

ln

(b

a

)=

ηo2π

√εr

ln

(b

a

)(4.42)

71 4.4. Impedancia Caracterıstica

ou

Zo =60√εr

ln

(b

a

)(4.43)

Exemplo 4.1 Qual deve ser a razao entre o condutor interno e externo para queuma linha coaxial tenha impedancia de 75Ω? Considere como dieletrico um plasticode permissividade relativa igual a 4.

Solucao: Pela equacao (4.43), pode-se obter facilmente esta relacao, ou seja,

ln

(b

a

)=

75√

4

60= 2, 5 =⇒ b

a= e2,5 = 12, 2

Portanto, se o condutor interno tiver, por exemplo, 1mm de raio, o externo deverater 12,2mm.

4.4.2 Par de Fios Paralelos

No caso de dois fios paralelos separados por uma fita dieletrica espacadora (videFigura 4.1b), tem-se

L =µoπ

ln

(d− a

a

)(4.44)

e

C =πε

ln(d−aa

) (4.45)

Substituindo (4.44) e (4.45) em (4.37), tem-se

Zo =120√εr

ln

(d− a

a

)(4.46)

Se d a, entao

Zo 120√εr

ln

(d

a

)(4.47)


4.4.3 Microfita

A determinacao da expressao de impedancia caracterıstica para microfitas, comoaquela mostrada na Figura 4.1c, nao e feita de forma totalmente analıtica, devidoa geometria da mesma. Varios trabalhos sobre o assunto podem ser encontradosna literatura cientıfica [24][12]. Um destes trabalhos e o de Hammerstadt (1975)[15] que fornece expressoes para a analise e sıntese de linhas de microfitas. Osvalores obtidos destas expressoes apresentam erros inferiores a 1% quando εr 16e 0, 05 w/h 20, sendo w a largura da fita e h a espessura do substrato.

Para a analise de fitas com w/h < 1, utiliza-se

Zo =60√εef

ln

(8h

w+w

4h

)(4.48)

Como parte da onda se propaga no dieletrico e parte se propaga no ar, entao, torna-se necessario se obter uma permissividade relativa efetiva, representada na equacao(4.48) por εef . Para este caso, a permissividade efetiva e dada por

εef =εr + 1

2+εr − 1

2

[(1 +

12h

w

)−1/2

+ 0, 04(1 − w

h

)2]

(4.49)

Para a analise de fitas com w/h 1, utiliza-se

Zo =120π√εef

[wh

+ 1, 393 + 0, 667 ln(1, 444 +

w

h

)]−1

(4.50)

com

εef =εr + 1

2+εr − 1

2

(1 +

12h

w

)−1/2

(4.51)

No caso de sıntese, tem-se, para Zo > 44 − 2εr,

w

h=

8

eA − 2 e−A(4.52)

e para Zo < 44 − 2εr,

w

h=

2

π

B − 1 − ln(2B − 1) +

εr − 1

2εr

[ln(B − 1) + 0, 293 − 0, 517

εr

](4.53)

sendo

73 4.5. Perdas numa L.T.

A =Zo60

√εr + 1

2+εr − 1

εr + 1

(0, 226 +

0, 121

εr

)(4.54)

e

B =60π2

Zo√εr

(4.55)

Exemplo 4.2 Calcule a largura de uma microfita para que ela tenha uma impedanciacaracterıstica de 50Ω. A linha sera impressa numa placa de circuito impresso dedupla face com espessura de 2mm e permissividade relativa 3.

Solucao: Como se quer projetar uma linha de microfita, deve-se entao verificarqual e a equacao mais apropriada para a sıntese, (4.52) ou (4.53). Neste caso, comoZo > 44−2εr = 38Ω, deve-se utilizar a primeira equacao. Sendo assim, calculando-se

A =50

60

√3 + 1

2+

3 − 1

3 + 1

(0, 226 +

0, 121

3

) 1, 312

e substituindo este valor na equacao (4.52), obtem-se

w

h=

8

e1,312 − 2 e−1,312 2, 52

A largura da fita e entao w = 2, 52h = 5, 04mm.

4.5 Perdas numa L.T.

Na pratica, as perdas, obtidas a partir do fator de atenuacao α = Re[γ], sao peque-nas. A atenuacao de uma L.T. e funcao da frequencia e das caracterısticas eletricas emagneticas dos materiais que a constitui. Em geral, os valores do fator de atenuacaosao fornecidos em dB/m, utilizando-se a relacao

αdB = −20 log e−α = 8, 686α (4.56)

A Tabela 4.1 apresenta alguns valores tıpicos de fator de atenuacao para caboscoaxiais comerciais em tres frequencias distintas.


Tabela 4.1: Impedancia e atenuacao para alguns cabos comerciais. Valores obtidosdo catalogo da Times Microwaves Systems.

Cabo Zo αdB (100MHz) αdB (400MHz) αdB (1GHz)Coxial (Ω) dB/m dB/m dB/mRG-6 75 0,089 0,184 0,308RG-11 75 0,072 0,151 0,253RG-59 75 0,108 0,226 0,374RG-58 50 0,151 0,308 0,502RG-213 50 0,066 0,141 0,24

Exemplo 4.3 Um cabo coaxial e utilizado para ligar uma antena parabolica deimpedancia igual a 75Ω ao receptor de mesma impedancia. A distancia entre elese de 10m e a frequencia de operacao 1GHz. Qual a melhor opcao de cabo? Qual aatenuacao total no cabo?

Solucao: Para manter o sistema casado, a melhor opcao e utilizar cabos de impedanciacaracterıstica de mesmo valor dos dispositivos, como sera estudado nas proximassecoes deste capıtulo. Alem disso, pela Tabela 4.1, o cabo com menor atenuacao,e impedancia igual a 75Ω, e o RG-11. A atenuacao total introduzida pelos 10m decabo e fornecida por

Acb = αdB l = 0, 253 × 10 = 2, 53 dB

4.6 Linhas com Terminacao

A Figura 4.4 mostra uma linha de transmissao com impedancia caracterıstica Zo,terminada por uma impedancia de carga ZL. A equacao de uma L.T. fornece comosolucao geral um par de ondas de tensao ou corrente, propagando-se ao longo da linhaem sentidos contrarios. Identificando-se a onda que se propaga no sentido gerador-carga como onda incidente V −(ou I−) e no sentido inverso como onda refletidaV +(ou I+), pode-se escrever para o plano z = 0,

V (0) = V − + V + = V1 + V2 (4.57)

onde V1 e V2 sao fasores que estao relacionados um com o outro atraves do coeficientede reflexao de tensao

ρv(0) = |ρv(0)| ejφv =V2

V1

(4.58)

75 4.6. Linhas com Terminacao

l

ZL

Zg

z 0

V- , I -

V+ , I +

Zo

Figura 4.4: Linha de transmissao terminada por uma impedancia de carga.

portanto,

V (0) = V1 [1 + ρv(0)] (4.59)

Para um plano z qualquer tem

V (z) = V1 [1 + ρv(z)] (4.60)

sendo

ρv(z) =V +

V − = |ρv(0)| e jφv−2γ z (4.61)

Da mesma forma pode-se obter

I(z) = I1 [1 + ρi(z)] (4.62)

sendo

ρi(z) =I+

I−= |ρi(0)| e jφi−2γ z = −V

+

V − = −ρv(z) (4.63)

A impedancia de carga esta relacionada com as ondas de tensao e corrente comosegue:

ZL =V (0)

I(0)=V1 [1 + ρv(0)]

I1 [1 + ρi(0)]= Zo

1 + ρv(0)

1 − ρv(0)(4.64)

logo,

ρv(0) = |ρv(0)| ejφv =ZL − ZoZL + Zo

(4.65)


4.6.1 Impedancia Equivalente

A impedancia, “vista” em direcao a carga, num plano z qualquer da linha de trans-missao, e fornecida por

Zeq(z) =V (z)

I(z)= Zo

1 + ρv(z)

1 − ρv(z)(4.66)

onde

ρv(z) = ρv(0) e− 2γ z (4.67)

Portanto, substituindo (4.67) em (4.66) e levando-se em consideracao (4.65), tem-se

Zeq(z) = Zo1 + ZL−Zo

ZL+Zoe− 2γ z

1 − ZL−Zo

ZL+Zoe− 2γ z

= ZoZL + Zo tgh γ z

Zo + ZL tgh γ z(4.68)

Esta e a impedancia equivalente a impedancia de carga mais o trecho de linha comcomprimneto z. Se nao existem perdas na linha, entao α = 0, tgh γ z = j tg β z e

Zeq(z) = ZoZL + jZo tg β z

Zo + jZL tg β z(4.69)

4.6.2 Toco em Aberto

A impedancia “vista” nos terminais de um trecho (ou toco) de linha com terminacaoem aberto e obtida pela equacao (4.68) fazendo-se ZL → ∞, ou seja,

ZTA =Zo

tgh γ z= Zo cotgh γ z (4.70)

Para o caso sem perdas tem-se

ZTA =Zo

j tg β z= −j Zo cotg β z (4.71)

4.6.3 Toco em Curto

A impedancia “vista” nos terminais de um trecho (ou toco) de linha com terminacaoem curto e obtida pela equacao (4.68) fazendo-se ZL = 0, ou seja,

ZTC = Zo tgh γ z (4.72)

Para o caso sem perdas tem-se

77 4.7. Coeficientes de Reflexao para Zg Complexo

ZTC = j Zo tg β z (4.73)

4.7 Coeficientes de Reflexao para Zg Complexo

Na secao anterior, tanto a impedancia do gerador quanto a impedancia caracterısticada linha foram consideradas reais. Entretanto, em alguns problemas de casamentoou otimizacao de circuitos, estas impedancias podem assumir valores complexos.Nesta condicao, as equacoes que fornecem os coeficientes de reflexao sao definidasem sua forma mais geral, como sera visto a seguir.

Zg

Z*g

Vg

V+

I+

(a)

Zg

ZL

Vg

I+

(b)

V++V -I-

Figura 4.5: Gerador com impedancia complexa ligado a uma impedancia: (a) Z∗g ;

(b) ZL qualquer.

Considere uma impedancia de carga ligada diretamente aos terminais de umgerador de impedancia complexa, como mostrado na Figura 4.5. Na condicao decasamento, situacao onde ocorre a maxima transferencia de energia, ZL = Z∗

g (oasterisco denota complexo conjugado). Logo, nao existe ondas refletidas e

I = I+ =Vg

ZL + Zg=

VgZ∗g + Zg

(4.74)

enquanto

V = V + = ZLI+ =

Z∗gVg

Z∗g + Zg

(4.75)

como apresentado na Figura 4.5a. Entrentanto, quando ZL = Z∗g , estas ondas

refletidas estao presentes no circuito (vide Figura 4.5b) e o coeficiente de reflexaode tensao, neste caso, e dado por


ρv =V −

V +=

V

V +− 1 =

ZLVgZL + Zg

Z∗g + Zg

Z∗gVg

− 1 =Zg

(ZL − Z∗

g

)Z∗g (ZL + Zg)

(4.76)

e o de corrente

ρi =I−

I+=

I

I+− 1 =

VgZL + Zg

Z∗g + Zg

Vg− 1 =

Z∗g − ZL

ZL + Zg(4.77)

ou

ρi = − Z∗g

Zgρv (4.78)

Note que, para Zg real, a equacao (4.78) e identica a (4.63).

4.8 Coeficiente de Onda Estacionaria

4.8.1 Coeficientes de Reflexao e Transmissao

Como foi visto anteriormente, os coeficientes de reflexao dependem do plano ondese mede as correntes e tensoes da linha. Os coeficientes de reflexao de tensao e cor-rente, num plano z qualquer, sao dados respectivamente por (4.67) e (4.63). Assimcomo, no caso de ondas TEM planas incidindo normalmente sobre uma interface, oscoeficientes de transmissao no plano z = 0 sao fornecidos por

τv(0) = 1 + ρv(0) =2ZL

ZL + Zo(4.79)

e

τi(0) = 1 + ρi(0) =2Zo

ZL + Zo(4.80)

4.8.2 Coeficiente de Onda de Tensao Estacionaria

O coeficiente de onda de tensao estacionaria, conhecido como VSWR (Voltage Stand-ing Wave Ratio), e a razao entre a tensao maxima e a mınima medidas ao longo dalinha transmissao, isto e,

VSWR =Vmax

Vmin

=|V1| + |V2||V1| − |V2| =

1 + |ρv|1 − |ρv| (4.81)

79 4.9. Tecnicas de Casamento de Impedancia

Desta forma, medindo-se o VSWR da linha, pode-se obter o modulo do coeficientede reflexao de tensao atraves de

|ρv| =VSWR − 1

VSWR + 1(4.82)

Como o modulo do coeficiente de reflexao varia entre 0 e 1, o VSWR tem valormınimo igual a 1 e maximo ∞.

Exemplo 4.4 Suponha agora, para o exemplo anterior, que voce so tem disponıvelcabos de 50Ω. Qual deve ser o VSWR nos terminais do receptor? Considere apermissividade relativa do cabo igual a 4.

Solucao: Considere a Figura 4.4 como referencia, sendo ZL a impedancia da antenae Zg a impedancia do receptor. Para se obter o VSWR nos terminais do receptor, enecessario determinar a impedancia equivalente do conjunto cabo-antena. Portanto,desprezando-se as perdas, esta impedancia pode ser calculada a partir de (4.69), ouseja,

Zeq(10m) = 5075 + j50 tg (10β )

50 + j75 tg (10β)= 38, 7 − j14Ω

pois β = 2π√εr/λo = 4π/0, 3 42 rd/m. O coeficiente de reflexao nos terminais do

receptor e dado por

ρv(10m) =Zeq(10m) − ZgZeq(10m) + Zg

=38, 7 − j14 − 75

38, 7 − j14 + 75= 0, 34 ∠ − 152

e o VSWR

VSWR =1 + 0, 33

1 − 0, 33 2

Na pratica, valores acima de 1,5 sao considerados altos.

4.9 Tecnicas de Casamento de Impedancia

Foi visto nas secoes anteriores que o coeficiente de reflexao numa L.T. depende de suaimpedancia caracterıstica e da impedancia da carga. So nao existira onda refletida nalinha quando ZL = Zo, caso contrario, o coeficiente de reflexao sera diferente de zero.Acontece que nem sempre se tem cabos ou linhas com impedancia caracterısticaigual a impedancia de carga, como foi visto no Exemplo 4.3. Imagine que o sistemarepresentado na Figura 4.4 fosse o circuito equivalente de um transmissor de TV,com impedancia de saıda de 50Ω, ligado a uma antena dipolo de meio comprimento


de onda atraves de uma linha cuja impedancia Zo = 50Ω. Neste situacao, certamenteexistira onda refletida, uma vez que a impedancia de um dipolo de λ/2 e complexae igual a 73 + j42Ω.

Nesta secao serao abordadas algumas tecnicas que utilizam tocos em aberto ouem curto posicionados em paralelo em determinados pontos (planos) da linha detransmissao. A introducao destes tocos possibilitam a reducao ou eliminacao porcompleto das ondas refletidas, devido a descasamentos de impedancia entre linha-carga e/ou gerador-linha.

4.10 Carta de Smith

Na sıntese de circuitos de casamento de impedancia, muitas operacoes envolvendonumeros complexos tem que ser efetuadas, uma vez que as impedancias dos tocose trechos de linhas sao em geral complexas. Antes do advento dos computadorese calculadoras cientıficas, estes calculos demandavam um certo tempo. Para min-imizar este tempo de calculo, Philip H. Smith introduziu, em 1939, um abaco deimpedancias e admitancias que ficou conhecido posteriormente como Carta de Smith.Atualmente todas as tecnicas de casamento podem ser programadas em computa-dores ou calculadoras programaveis. Entretanto, a Carta de Smith tem a vantagemde mostrar de uma forma grafica as impedancias e o processo de casamento, sendoate hoje utilizada para fins didaticos e em equipamentos de medicao.

A Figura 4.12 mostra uma versao da Carta de Smith com indicacao de impedanciase admitancias em portugues. A Carta pode ser empregada para representar impedanciasou admitancias normalizadas. Em geral, se utiliza a impedancia (ou admitancia)caracterıstica da linha de transmissao como referencia para normalizacao. Sendoassim, o centro da carta representa uma impedancia (ou admitancia) normalizadaigual a 1 e todos os pontos da circunferencia, que passa pelo centro da Carta, rep-resentam impedancias (ou admitancia) normalizadas cuja parte real e igual a um.As circunferencias de diametros menores representam impedancias (ou admitancia)com parte real maior que 1 e, as de diametros maiores, as impedancias com parte realmenor que 1. As impedancias (ou admitancia) sobre o eixo horizontal que passa pelocentro da Carta tem valores puramente reais e podem variar de 0 (ponto extremo aesquerda) a ∞ (ponto extremo a direita). Os pontos sobre as curvas, que na real-idade sao partes de circunferencias cujos centros estao fora da Carta, representamas impedancias (ou admitancia) com mesma parte imaginaria. Os valores normal-izados das reatancias (susceptancias) para cada curva estao identificados proximosa borda da Carta. As curvas do semicırculo superior representam reatancias induti-vas (susceptancias capacitivas), enquanto as do semicırculo inferior representam as

81 4.10. Carta de Smith

reatancias capacitivas (susceptancias indutivas). Na borda da Carta estao represen-tados os valores puramente imaginarios.

10,40,2 0,6 0,80 1,4

0,2

0,4

0,6

0,8 1 1,4

-0,2

-0,4

-0,6-0,8 -1

-1,4

8

P1

P3

P2

VSWR=1.81

A

B

C

73,3 o

Figura 4.6: Circunferencia de VSWR = 1, 81 e impedancias normalizadas no plano:z = 0 (P1), z = λ/8 (P2) e z = λ/4 (P3).

Tomando-se como exemplo o sistema mostrado na Figura 4.4, com os valores deZo = 50Ω e ZL = 50+j 30Ω, pode-se representar a impedancia de carga normalizadapor

zL =ZLZo

= 1, 0 + j 0, 6 (4.83)

indicada na Carta como ponto P1. Esta e tambem a representacao da impedanciaequivalente da linha, “vista” em direcao a carga, no plano z = 0. Para outrosplanos sobre a linha, pode-se verificar que os valores obtidos a partir de (4.69)correspondem aos pontos de uma circunferencia cujo centro coincide com o centroda Carta. Esta circunferencia e denominada de circunferencia de VSWR constante.A proporcao que o plano de medicao se afasta da carga, indo em direcao ao gerador,os pontos correspondentes as impedancias medidas se afastam do ponto P1, nosentido horario. Assim, um ponto de impedancia, medido no plano z = λ/8, eum ponto sobre a circunferencia, com raio medido do centro da Carta ate o ponto


P2, que esta deslocado 90 no sentido horario do ponto P1. No plano z = λ/4,o deslocamento e de 180 (meia volta na Carta) e em z = λ/2 tem-se uma voltainteira sobre a circunferencia (vide Figura 4.6). Se o deslocamento fosse no sentidocontrario, isto e, anti-horario, o plano de medicao estaria sendo deslocado ao longoda linha no sentido gerador-carga. Estes sentidos estao indicados na borda da Carta(Figura 4.12).

Uma outra grandeza que se pode medir diretamente na Carta e o coeficiente deonda estacionaria. Ele e o resultado da intersecao entre a circunferencia de VSWRconstante e o eixo das impedancias (ou admitancia) puramente reais, medido entre1 e ∞ (vide Figura 4.6). Para se obter o coeficiente de reflexao no plano z = 0, porexemplo, traca-se uma reta partindo-se do centro da Carta e passando pelo pontoP1 ate atingir a borda. Denominando-se o trecho da reta que vai ate o ponto P1 deAB e o trecho do centro a borda de AC, pode-se obter o modulo do coeficiente dereflexao fazendo

|ρv(0)| =AB

AC= 0, 287 (4.84)

enquanto o angulo e obtido diretamente da leitura na escala de angulos localizadana borda da Carta (veja escala na Figura 4.12), neste caso, φv = 73, 3. AlgumasCartas, como aquela da Figura 4.12, apresentam uma escala linear para obtencaodo modulo do coeficiente de reflexao, eliminando assim o calculo em (4.84).

4.11 Casamento com Toco e Trecho de Linha

Os circuitos de casamento com um toco e trecho de linha podem ser de dois tipos:toco e trecho, como mostrado na Figura 4.7a; trecho e toco, como mostrado naFigura 4.7b. A escolha do circuito mais adequado depende da impedancia de cargae da impedancia caracterıstica da linha. A seguir sao apresentados dois exemplos,um para cada tipo de esquema toco-linha.

4.11.1 Trecho de linha e toco

Suponha que se quer casar um transmissor de impedancia de saıda igual a 50Ωcom uma carga ZL = 50 + j 30Ω, atraves de uma linha e toco com impedanciacaracterıstica Zo = 50Ω . A tarefa entao e determinar os comprimentos do toco e dotrecho de linha, sendo que o primeiro passo consiste em normalizar a impedancia decarga pela impedancia caracterıstica da linha de transmissao. Este valor e fornecidopor (4.83).

83 4.11. Casamento com Toco e Trecho de Linha

l

ZL

Zg

Zo

lt

l

ZL

Zg

Zo

l t

(a)

(b)

Figura 4.7: Casamento com um toco e trecho de linha: (a) toco em curto proximoa carga; (b) toco em aberto proximo ao gerador.

Como o casamento sera feito atraves de um toco em paralelo posicionado numdado ponto da linha, e interessante se trabalhar com admitancias normalizadas.Portanto, o proximo passo e a conversao da impedancia normalizada zL para ad-mitancia normalizada yL. Isso pode ser feito atraves da propria Carta de Smith(vide Figura 4.8), partindo-se do ponto P1, caminhando-se sobre a circunferencia deVSWR constante ate o ponto P2 , o que equivale a meia volta na Carta (l = λ/4).Por que? A justificativa matematica vem de (4.69) considerando-se o comprimentoz = λ/4, isto e,

Zeq(λ/4) =Z2o

ZL(4.85)

ou

zeq =1

zL= yL (4.86)

Uma vez obtido yL = 0, 735 − j 0, 441 (ponto P3), e necessario caminhar na cir-cunferencia de VSWR constante, no sentido horario (carga-gerador), para se obtera parte real de yL igual a 1. Neste caso, por coincidencia, o valor de admitancia


normalizada e aquele fornecido por (4.83), ou seja, y3 = zL = 1 + j 0, 6 (ponto P1).O comprimento do trecho de linha percorrido e de λ/4. Sendo assim, para casaro circuito, resta apenas introduzir um toco em aberto ou em curto neste ponto dalinha, de forma a eliminar a susceptancia normalizada de valor igual a 0,6.

y4 = y3 + yT = 1 (4.87)

onde yT = −j 0, 6. O toco que oferece esta susceptancia com o menor comprimentodeve ter uma das suas terminacoes em curto. O comprimento normalizado destetoco e indicado na Carta da Figura 4.8.

10,40,2 0,6 0,80 1,4

0,2

0,4

0,6

0,8 1 1,4

-0,2

-0,4

-0,6-0,8 -1

-1,4

8

P1

P2

lT = 0,164 λ

Figura 4.8: Casamento utilizando-se um trecho de linha e toco. O ponto P1 repre-senta zL e y3, enquanto P2 indica yL.

4.11.2 Toco e trecho de linha

Considerando-se agora a mesma carga acoplada, atraves de uma linha de 50Ω, a umgerador de 125Ω, tem-se como impedancia equivalente normalizada, necessaria paracasar o sistema, zeq = 2, 5. Consequentemente, a admitancia normalizada que sedeve obter nos terminais do gerador e igual a 0,4. Observe na Carta (Figura 4.9) que

85 4.11. Casamento com Toco e Trecho de Linha

a circunferencia de VSWR = 1,81 nao tem ponto de intersecao com a circunferenciade 0,4, sendo assim, nao e possivel casar o sistema com o circuito trecho-toco (Figura4.7b). E necessario primeiro aumentar o VSWR na linha atraves da introducao deum toco no plano z = 0 e, em seguida, determinar o trecho de linha necessario paracasar o circuito. Neste caso, o VSWR tem que ser maior ou igual a 2,5. Tracando-se,por exemplo, uma circunferencia de VSWR = 2,5, observa-se que a intersecao ocorreno ponto 0,4 da Carta. Para atingir este valor de coeficiente de onda estacionaria delinha e necessario a introducao de um toco cuja susceptancia normalizada tem valorigual a − 0, 325. Dessa forma, a admitancia da carga fica com valor normalizadoigual a 0, 735 − j 0, 766 (ponto P3). O menor comprimento de toco e obtido comum toco em curto, pois a susceptancia e negativa. O valor lT = 0, 2λ e indicadona Carta da Figura 4.9. Finalmente, para se obter o casamento, parte-se do pontoP3 e caminha-se na circunferencia de VSWR = 2,5 no sentido horario ate atingir oponto P4. Isso equivale a um trecho de linha l = 0, 132λ.

10,40,2 0,6 0,80 1,4

0,2

0,4

0,6

0,8 1 1,4

-0,2

-0,6-0,8 -1

-1,4

8

P1

P4

P2

P3

-0,4

l=0,132λ

lT=0,2λ

VSWR=1.81VSWR=2.5

Figura 4.9: Casamento utilizando-se um toco lT e um trecho de linha l. Os pontosP1, P2, P3 e P4 representam respectivamente zL = 1 + j 0, 6, yL = 0, 735− j 0, 441,y3 = 0, 735 − j 0, 766 e y4 = 0, 4.


4.12 Casamento com Dois Tocos e Trechos de Linha

O casamento de impedancia de um sistema composto de linhas de transmissao podetambem ser feito fixando o comprimento de um ou mais trechos de linha e variando-se o comprimento de dois tocos posicionados em pontos distintos da L.T.. A Figura4.10a mostra um circuito de casamento deste tipo.

Zg

l1

ZLZ

o

l2

Zo

Zg

l1

ZLZ

o

lt2l2

Zo

lt3

(a)

(b)

A B

Figura 4.10: Circuito de casamento com: (a) dois tocos; (b) tres tocos.

Tomando-se mais uma vez como exemplo uma carga com ZL = 50+j 30Ω, ligadaa um gerador 50Ω, atraves de uma L.T. de Zo = 50Ω, e considerando que o compri-mento eletrico total do sistema de casamento tem que ser igual a 135, pergunta-se:qual deve ser os comprimentos dos tocos e trechos de linha para casar o sistema?O primeiro passo e normalizar a impedancia de carga em funcao da impedanciacaracterıstica e, em seguida, encontrar a admitancia normalizada, completando-semeia volta na Carta de Smith a partir do ponto referente a zL (Figura 4.11). Comoe exigido um comprimento eletrico θ = 3π/4, entao o comprimento total da linhatem que ser

l = l1 + l2 =θ

2πλ =

3λ

8(4.88)

87 4.13. Casamento com Tres Tocos e Trechos de Linha

Escolhendo-se, por exemplo, l1 = λ/8 e l2 = λ/4, tem-se no plano z = l2 (plano Bna Figura 4.10a) a admitancia normalizada igual a impedancia zL (Ponto P1), umavez que se caminhou λ/4 na linha de transmissao em direcao ao gerador. O obje-tivo e chegar aos terminais do gerador (plano A na Figura 4.10a) com impedanciaequivalente igual a impedancia de saıda deste, no caso 50Ω (zg = 1). Observe que aadmitancia normalizada no plano A, antes da introducao do toco 1, tem que ter partereal igual a 1, uma vez que o toco 1 so eliminara a parte imaginaria desta admitancia.Isso equivale a dizer que a admitancia no plano A, antes da introducao do toco 1,pode ser qualquer ponto sobre a circunferencia que passa pelo ponto de admitancianormalizada igual a 1. Esta condicao pode ser levada para o plano B, bastando paraisso girar a circunferencia de 90 no sentido anti-horario, como mostrado na Figura4.11. O giro, neste caso, e de 90 no sentido anti-horario porque se caminhou sobreum trecho de linha de λ/8 em direcao a carga. Atraves do toco 2, pode-se deslocara admitancia normalizada do ponto P1 para o ponto P3 ou P4, alterando-se apenasa parte imaginaria desta admitancia. Tomando-se como exemplo o deslocamentopara o ponto P3, verifica-se que o valor da susceptancia normalizada necessaria e de+1,4. Sendo assim, e interessante se utilizar um toco em aberto com comprimentolt2 = 0, 152λ. A admitancia equivalente normalizada no plano A, sem a introducaodo toco 1, e obtida girando-se 1/4 de volta (90) no sentido horario, isto equivale aoponto P5. Finalmente, o casamento e alcancado introduzindo-se o toco 1 em abertocom comprimento lt1 = 0, 176λ, cuja a susceptancia normalizada e +2.

Observe que, se fosse escolhido o ponto P4, nao haveria necessidade de um se-gundo toco no plano A, pois o sistema ja estaria casado apenas com o trecho delinha l2 e toco 2.

4.13 Casamento com Tres Tocos e Trechos de Linha

Se no exemplo anterior a impedancia normalizada da carga tivesse parte real maiorque 2, o ponto marcado na Carta estaria dentro da circunferencia de parte real iguala 2. Isto significa dizer que a introducao de um toco no plano B nunca levariaa admitancia a circunferencia de casamento (a 90) indicada na Carta. Portanto,torna-se necessario a introducao de um terceiro toco no plano z = 0, como mostradona Figura 4.10b, de forma a alterar a admitancia da carga. Tente, por exemplo,determinar os comprimentos dos tocos para uma impedancia de carga ZL = 150 +j 50Ω. Considere os mesmos comprimentos de linha l1 = λ/8 e l2 = λ/4 e impedanciacaracterıstica Zo = 50Ω.


10,40,2 0,6 0,80 1,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6-0,8 -1

-1,4

8

P1

P2

lT2

=0,152 λ

P3

P4

P5

1,410,8

0,4

0,6

lT1

=0,176 λ

possíveis valores de admitânciano plano B antes da introdução

do toco 2

possíveis valores de admitânciano plano A antes da introdução

do toco 1

Figura 4.11: Casamento com dois tocos e trechos de linha l1 = λ/8 e l2 = λ/4, ondeP1, P2, P3, P4 e P5 sao respectivamente zL = y1 = 1 + j0, 6, y2 = 0, 73 − j 0, 44,y3 = 1 + j2, y4 = 1 e y5 = 1 − j2.

4.14 Casamento com Transformador

Nas secoes anteriores foram abordadas tecnicas de casamento de impedancia onde ocasamento entre um gerador e uma impedancia de carga e alcancado ajustando-seos comprimentos de tocos e trechos de linha. Em alguns casos, o casamento pode serobtido fixando o comprimento do trecho e variando-se a impedancia caracterıstica.Um exemplo muito comum deste tipo de tecnica e o transformador de λ/4. Essetransformador e na realidade um trecho de linha de comprimento l = λ/4 onde aimpedancia equivalente no plano z = l e dada por (4.85). Sendo assim, a impedanciacaracterıstica e obtida de

Zo =√ZL Zeq (4.89)

Note que os valores da impedancia do gerador e da carga tem que ser reais para quea impedancia caracterıstica tambem seja.

Exemplo 4.5 Utilize a placa de circuito impresso do Exemplo 4.2 para confeccionaruma linha de microfita que atue como um transformador de λ/4. O transformador

89 4.14. Casamento com Transformador

deve ser usado para casar a impedancia de uma antena de 300Ω com a equivalentede 50Ω do conjunto cabo-receptor que opera em 200MHz.

Solucao: A impedancia da linha deve ser, neste caso,

Zo =√

300 × 50 = 122, 5 Ω

e sua largura,

w (

8

eA − 2 e−3A

)h = 0, 39 × 2 mm = 0, 785 mm

pois

A =50

122, 5

√3 + 1

2+

3 − 1

3 + 1

(0, 23 +

0, 11

3

) 3, 02

O comprimento da linha de microfita e dado por

l =λo

4√εef

=1, 5

4√

2, 43= 241mm

sendo εef obtido pela equacao (4.49), ou seja,

εef = 2 + (1 + 12 × 0, 39)−1/2 + 0, 04 × (1 − 0, 39)2 2, 43


0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.3

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.50.5

0.5

0.6

0.6

0.6

0.7

0.7

0.7

0.8

0.8

0.8

0.9

0.9

0.9

1.0

1.0

1.0

1.2

1.2

1.2

1.4

1.4

1.4

1.6

1.6

1.6

1.8

1.8

1.8

2.02.0

2.0

3.0

3.0

3.0

4.0

4.0

4.0

5.0

5.0

5.0

10

10

10

20

20

20

50

50

50

0.2

0.2

0.2

0.2

0.4

0.4

0.4

0.4

0.6

0.6

0.6

0.6

0.8

0.8

0.8

0.8

1.0

1.0

1.01.0

20-20

30-30

40-40

50

-50

60

-60

70

-70

80

-80

90

-90

100

-100

110

-110

120

-120

130

-130

140

-140

150

-150

160

-160

170

-170

180

90-9

085

-85

80-8

0

75-7

5

70-7

0

65-6

5

60-6

0

55-5

5

50-5

0

45

-45

40

-40

35

-35

30

-30

25

-25

20

-20

15

-15

10

-10

0.04

0.04

0.05

0.05

0.06

0.06

0.07

0.07

0.08

0.08

0.09

0.09

0.1

0.1

0.11

0.11

0.12

0.12

0.13

0.13

0.14

0.14

0.15

0.15

0.16

0.16

0.17

0.17

0.18

0.18

0.190.19

0.20.2

0.210.21

0.22

0.220.23

0.230.24

0.24

0.25

0.25

0.26

0.26

0.27

0.27

0.28

0.28

0.29

0.29

0.3

0.3

0.31

0.31

0.32

0.32

0.33

0.33

0.34

0.34

0.35

0.35

0.36

0.36

0.37

0.37

0.38

0.38

0.39

0.39

0.4

0.4

0.41

0.41

0.42

0.42

0.43

0.43

0.44

0.44

0.45

0.45

0.46

0.46

0.47

0.47

0.48

0.48

0.49

0.49

0.0

0.0

AN

GU

LO D

O C

OEFIC

IEN

TE

DE

TR

AN

SMISSA

O EM

GR

AU

S

AN

GU

LO D

O C

OE

FICIE

NT

E D

E R

EFL

EXA

O EM

GR

AU

S

—>

CO

MP.

DE

ON

DA

EM

DIR

ECA

O A

O G

ERA

DO

R —

>

<— C

OM

P. D

E O

ND

A E

M D

IREC

AO

A C

AR

GA

<—

REA

TAN

CIA

IND

UTI

VA (+

jX/Z

o), O

U SU

SCEPTANCIA

CAPACITIVA (+jB/Yo)

REATANCIA CAPACITIVA (-j

X/Zo), OU SU

SCEPT

AN

CIA IN

DU

TIV

A (-

jB/Y

o)

RESISTENCIA (R/Zo) OU CONDUTANCIA (G/Yo)

PARAMETROS MEDIDOS RADIALMENTE

EM DIRECAO A CARGA —> <— EM DIRECAO AO GERADOR1.11.21.41.61.822.5345102040100

SWR 1

12345681015203040dBS

1

1234571015 ATEN. [dB]

1.1 1.2 1.3 1.4 1.6 1.8 2 3 4 5 10 20 COEF. PERDAS S

.W.

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 20 30

PERDAS RTN. [dB]

0.010.050.10.20.30.40.50.60.70.80.91

COEF. RFL., P0

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 10 15 PERDAS DE R

FL. [dB]

0

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.5 3 4 5 10 PICO S.

W. (C

ONST. P

)

0

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91

COEF. RFL., E or I 0 0.99 0.95 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 COEF. TRANSM

., P

1

CENTRO1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 COEF. T

RANSM., E

or I

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

ORIGEM

Figura 4.12: Carta de Smith.

Capıtulo 5

Parametros de Espalhamento

5.1 Dispositivos de Duas Portas

A Figura 5.1 mostra um dispositivo de duas portas, ou quadripolo, sendo identifi-cadas as tensoes aplicadas e as correntes que entram nas portas 1 e 2.

Estes dispositivos, assim como aqueles constituıdos por N portas, podem sercaracterizados a partir das matrizes relacionadas abaixo:

Z =

[Z11 Z12

Z21 Z22

], matriz impedancia, (5.1)

Y =

[Y11 Y12

Y21 Y22

], matriz admitancia, (5.2)

I1

I2

V2

V1 1 2

Figura 5.1: Dispositivo de duas portas ou quadripolo.

91

CAPıTULO 5. Parametros de Espalhamento 92

H =

[h11 h12

h21 h22

], matriz hıbrida, (5.3)

T =

[A BC D

], matriz transmissao, (5.4)

As matrizes acima estao respectivamente associadas aos sistemas de equacoes:

V1 = Z11I1 + Z12I2 (5.5)

V2 = Z21I1 + Z22I2 (5.6)

I1 = Y11V1 + Y12V2 (5.7)

I2 = Y21V1 + Y22V2 (5.8)

V1 = h11I1 + h12V2 (5.9)

I2 = h21I1 + h22V2 (5.10)

e

V1 = AV2 +B I2 (5.11)

I1 = C V2 +D I2 (5.12)

A caracterizacao de uma linha de transmissao, como aquela mostrada na Figura5.2, utilizando-se a matriz de impedancia, e obtida fazendo-se

Z11 =V1

I1|I2=0= −j Zocotg ∆φ (5.13)

Z12 =V1

I2|I1=0= −j Zo

sen ∆φ(5.14)

Z21 =V2

I1|I2=0= −j Zo

sen ∆φ(5.15)

Z22 =V2

I2|I1=0= −j Zocotg ∆φ (5.16)

93 5.2. Parametros de Espalhamento

Z

I1

I2

V2

V1

I1

I2

V2

V1 Z

o

∆φ = β l

(a)

(b)

Figura 5.2: (a) Quadripolo caracterizado pela matriz Z; (b) Linha de transmissao.

5.2 Parametros de Espalhamento

Para se caracterizar dispositivos de duas ou mais portas, projetados para traba-lharem em altas frequencias, e utilizada a matriz de espalhamento. Esta matrizrelaciona as ondas que incidem e refletem nas portas desses dispositivos. A Figura5.3 mostra um dispositvo de duas portas com a representacao das ondas incidentese refletidas. A matriz de espalhamento,

S =

[S11 S12

S21 S22

](5.17)

esta relacionada com o sistema abaixo:

b1 = S11a1 + S12a2 (5.18)


S

a1

a2

b1

b2

Figura 5.3: Quadripolo caracterizado por uma matriz S.

b2 = S21a1 + S22a2 (5.19)

sendo ai e bi as raızes quadradas das ondas de potencia incidentes e refletidas,respectivamente. Portanto,

a1 =V +

1√Zo

(5.20)

a2 =V2√Zo

(5.21)

b1 =V −

1√Zo

(5.22)

e

b2 =V +

2√Zo

(5.23)

onde Zo e a impedancia caracterıstica das linhas de transmissao conectadas as portas.Logo, podemos tambem escrever

V1 = S11V+1 + S12V2 (5.24)

e

V +2 = S21V

+1 + S22V2 (5.25)

95 5.2. Parametros de Espalhamento

O parametro de espalhamento de uma determinada porta e obtido quando asoutras portas se encontram casadas. Nesta condicao, para um sistema de duasportas, tem-se:

S11 =V1

V +1

|V2 =0 (5.26)

S12 =V1

V2

|V +1 =0 (5.27)

S21 =V +

2

V +1

|V2 =0 (5.28)

S22 =V +

2

V2

|V +1 =0 (5.29)

Exemplo 5.1 Determine os parametros de espalhamento para 10 metros de cabocoaxial de 75Ω operando na frequencia de 1GHz. A permissividade relativa do caboe igual a 4 e o fator de atenuacao 0,5dB/m.

Solucao: Como foi dito anteriormente, a medicao do parametro de espalhamentonuma das portas de um dispositivo e obtida quando as demais portas se encontramcasadas. No caso de uma linha de transmissao, os parametros S11 e S22 correspondemaos coeficientes de reflexao medidos nos terminais da linha, quando a mesma eterminada com uma impedancia de mesmo valor de sua impedancia caracterıstica.Portanto,

S11 = S22 =75 − 50

75 + 50= 0, 2 ∠ 0

Note que 50Ω e a impedancia dos equipamentos utilizados no processo de medicao.Em geral, os parametros de espalhamento sao medidos com equipamentos que pos-suem esta impedancia.

Os parametros S12 e S21 estao relacionados com as perdas e defasagem intro-duzidas pela linha de transmissao, isto e,

S21 = S12 =V (l)

V (0)=τVoe

−γl

Vo= τe−αle−jβl

Como

α = αdB/8, 686 = 0, 5/8, 686 = 0, 0576 Np/m ⇒ (1 − 0, 2) e−10α = 0, 45


e

β =2π

√εr

λo=

4π

0, 3= 42 rd/m ⇒ φ = −βl = −420 55, 8

entaoS21 = S12 = 0, 45 ∠ 55, 8

Note que S11 = S22 e S21 = S12, pois uma linha de transmissao e um dispositivosimetrico.

5.3 Caracterizacao de Transistores

Varios dispositivos para aplicacao em alta frequencia sao caracterizados em funcaodos parametros S, principalmente dispositivos ativos, como transistores. A deter-minacao dos parametros de espalhamento de um dispositivo de duas portas e obtidaa partir de medicoes feitas num equipamento denominado Analisador de Redes deDuas Portas (Network Analizer).

Para se projetar, por exemplo, um amplificador de alta frequencia e necessario seter em mao as caracterısticas do transistor a ser empregado no circuito. Um exemplotıpico de caracterısticas fornecidas pelos fabricantes e apresentado nas Tabelas 5.1e 5.2. O parametro K esta relacionado com a estabilidade do transistor e pode serobtido a partir de [8][36]

K =1 + |∆|2 − |S11|2 − |S22|2

2 |S12 S21| (5.30)

sendo

∆ = S11S22 − S12S21 (5.31)

Tabela 5.1: Caracterısticas basicas do transistor de efeito de campo NE32984D daNEC. Os valores foram obtidos para Vds = 2V e Id = 10mA.

f K Gms Ga Fm Rn ρoGHz - dB dB dB - -

2 0,13 22,0 20,0 0,29 0,30 0,85 ∠ − 20

4 0,31 19,4 18,3 0,30 0,28 0,75 ∠ − 41

6 0,58 18,2 16,5 0,31 0,20 0,68 ∠ − 63

8 0,69 17,4 15,0 0,34 0,13 0,61 ∠ − 86

10 0,86 16,8 13,6 0,37 0,09 0,56 ∠ − 111

97 5.3. Caracterizacao de Transistores

Tabela 5.2: Parametro de espalhamento do transistor de efeito de campo NE32984Dda NEC. Os valores foram obtidos para Vds = 2V e Id = 10mA.

f S11 S12 S21 S22

GHz - - - -2 0,984 ∠ − 26, 4 0,029 ∠ 66, 4 4,583 ∠ 146, 9 0,549 ∠ − 32, 0

4 0,919 ∠ − 52, 8 0,050 ∠ 47, 9 4,332 ∠ 114, 3 0,481 ∠ − 64, 5

6 0,816 ∠ − 75, 5 0,060 ∠ 31, 2 3,923 ∠ 84, 4 0,418 ∠ − 99, 8

8 0,759 ∠ − 95, 9 0,066 ∠ 21, 7 3,659 ∠ 57, 1 0,382 ∠ − 132, 6

10 0,689 ∠ − 116, 2 0,071 ∠ 16, 0 3,375 ∠ 30, 1 0,368 ∠ − 163, 0

O dispositivo e absolutamente estavel quando K > 1. Neste caso, o ganhomaximo disponıvel e obtido, para o sistema amplificador casado, a partir de

Gma =|S21||S12| (K −

√K2 − 1) (5.32)

O ganho maximo estavel ocorre quando K = 1, isto e,

Gms =|S21||S12| (5.33)

Uma analise de estabilidade deve ser feita quando K < 1. Os coeficientes de reflexaoem direcao a fonte (ρs) e em direcao a carga (ρL) devem ser calculados de forma amanter o transistor num ponto de operacao estavel.

Os parametros Fm e Rn sao, respectivamente, a figura e a resistencia de ruıdodo transistor. A figura de ruıdo de um sistema amplificador de um estagio e obtidaa partir de [33][21]

F = Fm + 4Rn|ρs − ρo|2

|1 + ρo|2(1 − |ρs|2

) (5.34)

sendo ρo o coeficiente de reflexao otimo “visto” em direcao a fonte.Finalmente, o parametro Ga se refere ao ganho disponıvel para a figura de ruıdo

mınima.

Exemplo 5.2 Determine o fator de estabilidade e os ganhos maximo disponıvel eestavel para o transistor ATF21186 da HP. O transistor, quando polarizado comVds = 2V e Ids = 10mA a 8GHz, possui as seguintes caracterısticas: Fm = 0, 97dB, Rn = 0, 873, ρo = 0, 86 ∠ − 88, S11 = 0, 801 ∠ 77, S21 = 0, 842 ∠ − 51,


S12 = 0, 157 ∠ − 47e S22 = 0, 595 ∠ 78 . Qual deve ser a figura de ruıdo de umamplificador com ρs = 0?

Solucao: Para se determinar o fator de estabilidade e necessario calcular primeiroo modulo do determinante da matriz de espalhamento, ou seja,

|∆| = |S11S22 − S12S21| = 0, 531

Logo,

K =1 + 0, 5232 − 0, 8012 − 0, 5952

2 × 0, 132= 1, 08

e o ganho maximo disponıvel,

Gma =0, 842

0, 157(1, 08 −

√1, 082 − 1) = 3, 595 (5,6 dB)

enquanto que o ganho estavel e fornecido por

Gms =0, 842

0, 157= 5, 363 (7,3 dB)

Finalmente, a figura de ruıdo de um amplificador com ρs = 0 e dada por

F = 1, 25 + 4 × 0, 873 × 0, 862

1, 3422= 2, 684 (4,3 dB)

5.4 Amplificador de um Estagio

Um amplificador de um estagio e mostrado na Figura 5.4 e Figura 5.5. Esta repre-sentacao nao apresenta os componentes referentes ao circuito de polarizacao do tran-sistor. O projeto do amplificador, para um transistor incondicionalmente estavel,se resume no casamento ou otimizacao de impedancia do transistor com a cargae fonte. Esta otimizacao e obtida atraves dos circuitos de casamento de saıda eentrada, como apresentado na Figura 5.5. Contudo, na pratica, o projeto de umamplificador exige, em geral, um compromisso entre estabilidade, baixo ruıdo e max-imizacao de ganho. Neste caso, o projeto demanda um pouco mais de trabalho econhecimento detalhado da teoria de circuitos de alta frequencia.

O ganho de potencia disponıvel de um amplificador e dado por

Gp =PLPin

(5.35)

99 5.4. Amplificador de um Estagio

V1

+

Zs

ZLV

1-

V2

-

V2

+

ρin

ρout

Figura 5.4: Amplificador utilizando um transistor de efeito de campo (FET).

V1

+

V1

-

V2

-

V2

+

ρs

ρL

Zs

ZL

FET

Circuitode

Casamentode

Entrada

Circuitode

Casamentode

Saída

Figura 5.5: Amplificador de um estagio.


sendo PL a potencia disponıvel para a carga e Pin a potencia na entrada do transistor.Por sua vez, a potencia entregue a carga (circuito de saıda e ZL) pode ser obtida de

PL =1

2Re VLI∗L =

∣∣V +2

∣∣22Zo

(1 − |ρL|2

)(5.36)

pois a tensao nos terminais de saıda do transistor e dada por

VL = V +2 + V −

2 = V +2 (1 + ρL) (5.37)

e a corrente por

IL =V +

2 − V −2

Zo=V +

2

Zo(1 − ρL) (5.38)

A potencia na entrada do transistor e obtida de forma semelhante e seu valor efornecido por

Pin =

∣∣V +1

∣∣22Zo

(1 − |ρin|2

)(5.39)

Portanto,

Gp =

∣∣V +2

∣∣2 (1 − |ρL|2)

∣∣V +1

∣∣2 (1 − |ρin|2) = |τ21|2

(1 − |ρL|2

)(1 − |ρin|2

) (5.40)

O coeficiente de reflexao na entrada do transistor pode ser obtido a partir dasequacoes (5.24) e (5.25), isto e,

ρin =V −

1

V +1

= S11 +S12S21ρL1 − S22ρL

(5.41)

e o coeficiente de transmissao por

τ21 =V +

2

V +1

=S21

1 − S22ρL(5.42)

Sendo assim, o ganho de potencia, fornecido pela equacao (5.40), pode ser reescritocomo

Gp =|S21|2

(1 − |ρL|2

)|1 − S22ρL|2 − |S11 − ρL ∆ |2 (5.43)

onde

101 5.4. Amplificador de um Estagio

ρL =ZL − ZoZL + Zo

(5.44)

Exemplo 5.3 Utilize o transistor do Exemplo 5.2 para projetar o pre-amplificadorde um LNA (Low Noise Amplifier/Amplificador de Baixo Ruıdo) na frequencia de8GHz e impedancias de entrada e saıda iguais a 50Ω. Qual o ganho maximo depotencia deste estagio amplificador?

Solucao: Como se sabe, pre-amplificadores tem que ter a menor figura de ruıdopossıvel, tal que a figura de ruıdo total [33][21],

F = F1 +F2 − 1

G1

+F3 − 1

G1G2

+ . . .

seja mınima. F1 e a figura de ruıdo do primeiro estagio ou pre-amplificador e Gi oganho do i-esimo estagio.

Na frequencia desejada, a figura de ruıdo mınima e atingida quando ρs = ρo =0, 86 ∠ − 88, de forma que, na equacao (5.34), F = Fm = 0, 97dB. A impedanciaequivalente nos terminais de entrada do FET, “vista” em direcao ao gerador, eobtida utilizando-se

ρs =Zs − ZoZs + Zo

ou seja,

Zs = Zo1 + ρs1 − ρs

= 50 × (0, 155 − j1, 023) = 7, 75 − j51, 17 Ω

A admitancia, neste caso, e entao Ys = Gs + jBs = 0, 003 + j0, 02 S. Sendo assim,pode-se obter a parte real atraves de um transformador de λ/4 com impedanciacaracterıstica dada por

Zo1 =√ZsZg =

√1

0, 003× 50 125 Ω

e a imaginaria a partir de um toco com

Yt1 = jBs = j Yo2 tg β lt1

ou seja, Zo2 = 1/Yo2 = 50Ω, para lt1 = λ/8.O ganho maximo e obtido quando ρL = ρ∗out. Nesta condicao, a impedancia de

saıda do transistor esta casada com a impedancia de carga atraves do circuito desaıda. Seu valor e fornecido por

Zout = Zo1 + ρout1 − ρout

= 11, 43 + j38, 82 Ω


onde ρout e obtido, de maneira semelhante a (5.41), atraves de

ρout =V +

2

V −2

= S22 +S12S21ρs1 − S11ρs

= −0, 163 + j0, 735

Sendo assim, o circuito de saıda tem que casar Zout = 11, 43 + j38, 82 Ω com ZL =50Ω. Mais uma vez, utilizando-se as tecnicas de casamento apresentadas no Capıtulo4, com o auxılio da Carta de Smith, tem-se l2 = 0, 335λ e lt2 = 0, 066λ. O ganhomaximo de potencia e entao

Gp =|S21|2

(1 − |ρ∗out|2

)|1 − S22ρ∗out|2 − |S11 − ρ∗out∆ |2 = 3, 549 (5,5 dB) (5.45)

O circuito pre-amplificador e mostrado na Figura 5.6.

Zs

FET

ZL

linha 1 linha 2

toco 1 toco 2

Figura 5.6: Pre-amplificador com ganho de potencia igual a 5,5dB e figura de ruıdoigual a 0,97dB. As linha sao do tipo microfita

Capıtulo 6

Guias de Onda e CavidadesRessonantes

6.1 Introducao

Assim como as linhas de transmissao, os guias de onda sao dispositivos utilizadospara o transporte de energia e informacao de um ponto a outro no espaco. Os guiassao estruturas metalicas cilındricas ocas que, na pratica, tem secao transversal re-tangular, circular ou elıptica, como mostra a Figura 6.1. A vantagem dos guias estano fato das perdas ao longo de seu comprimento serem menores que aquelas ofereci-das por linhas de transmissao, uma vez que eles nao sao preenchidos por dieletricos.Por outro lado, os guias de onda so podem ser empregados em frequencias altas(a partir da faixa de microondas), pois as suas dimensoes dependem da frequenciamınima de propagacao das ondas no interior destes.

Diferentemente do que foi visto no estudo de linhas de transmissao, a analise depropagacao de ondas eletromagneticas em guias de ondas so pode ser feita atravesda teoria eletromagnetica, partindo-se das equacoes de onda envolvendo os cam-pos eletrico e magnetico. Nao e possivel fazer uma analise em termos de circuitoseletricos, pois nao se sabe como esta distribuıda a corrente no unico condutor externoque compoe o guia.

Para auxiliar a determinacao dos campos eletromagneticos que se propagam numguia, sao apresentados na Secao 6.2 os potenciais vetores de Hertz [7]. Porem, valea pena salientar que e possıvel se obter estes campos diretamente das equacoes deMaxwell.

103

CAPıTULO 6. Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 104

(c)

(b)

(a)2a

a

l

ba

b

ll

Figura 6.1: Tipos de guias: (a) cilındrico circular; (b) retangular; (c) elıptico.

6.2 Potenciais Vetores de Hertz

Assim como os potenciais de retardo A e F [2], os potenciais vetores de Hertzeletrico Πe e magnetico Πh sao grandezas matematicas que auxiliam na resolucaodas equacoes de onda [7]. Sabe-se da analise vetorial que campos vetoriais obedecema seguinte condicao

∇ · ∇ × F ≡ 0 (6.1)

assim como uma funcao potencial φ qualquer satisfaz

∇×∇φ = 0 (6.2)

Num espaco livre de cargas eletricas, os campos eletrico e magnetico satisfazem asequacoes de Maxwell

∇ · E = 0 (6.3)

e

∇ · H = 0 (6.4)

Portanto, pode-se escrever os vetores campo eletrico e campo magnetico em funcaode potenciais que obdecam a identidade (6.1), isto e,

105 6.2. Potenciais Vetores de Hertz

E = −jωµ∇× Πh (6.5)

e

H = jω ε∇× Πe (6.6)

Substituindo-se (6.5) na equacao de Maxwell

∇× H = jω εE (6.7)

tem-se

∇× H = k2∇× Πh (6.8)

Logo,

H = k2Πh (6.9)

ou de uma forma geral

H = k2Πh + ∇φh (6.10)

Substituindo-se (6.5) e (6.10) na equacao de Maxwell

∇× E = −jωµH (6.11)

tem-se

∇×∇× Πh = k2Πh + ∇φh (6.12)

ou

∇ (∇ · Πh) −∇2Πh = k2Πh + ∇φh (6.13)

Impondo-se a condicao de Lorentz

φh = ∇ · Πh (6.14)

obtem-se

∇2Πh + k2Πh = 0 (6.15)

A solucao da equacao diferencial (6.15) fornece a expressao do potencial vetor deHertz magnetico que, por sua vez, possibilita a determinacao de E atraves de (6.5)e H a partir de


H = k2Πh + ∇ (∇ · Πh) = ∇×∇× Πh (6.16)

De forma semelhante, pode-se obter a equacao diferencial que fornece a expressaodo potencial vetor de Hertz Πe a partir da substituicao de (6.6) em (6.11), ou seja,

∇× E = k2∇× Πe (6.17)

ou, de uma forma geral,

E = k2Πe + ∇φe (6.18)

Substituindo-se (6.6) e (6.18) em (6.7), tem-se

∇×∇× Πe = k2Πe + ∇φe (6.19)

ou

∇ (∇ · Πe) −∇2Πe = k2Πe + ∇φe (6.20)

Impondo-se a condicao de Lorentz

φe = ∇ · Πe (6.21)

obtem-se

∇2Πe + k2Πe = 0 (6.22)

A partir da solucao de (6.22) pode-se determinar a expressao do campo magneticoatraves de (6.6) e a do eletrico a partir de

E = k2Πe + ∇ (∇ · Πe) = ∇×∇× Πe (6.23)

6.3 Modos de Propagacao num Guia

Foi visto nos capıtulos anteriores que uma onda propagando-se no espaco-livre temcampo eletrico e magnetico transversais ou ortogonais a direcao de propagacao, istoe, a onda e dita TEM (transversal eletrica e magnetica). Numa linha de trans-missao constituıda de condutores perfeitos, a propagacao e tambem do tipo TEM.Entretanto, nos guias de onda, o modo de propagacao TEM nao e suportado, oumelhor, nao tem condicoes de existir isoladamente. A onda que se propaga numguia pode ser considerada como uma combinacao linear de frentes de ondas TEM

107 6.3. Modos de Propagacao num Guia

frentede ondaTEM

2

frentede ondaTEM

1

E1

E2

H1H

2k

1

k2

TEM1

TEM2

+ =TE

kE

H

sonda

caminhoda fente de

onda 2

caminhoda fente de

onda 1

Figura 6.2: Ondas Transversal Eletrica (TE), resultado da combinacao de duasfrentes de onda TEM.

que sofrem multiplas reflexoes ao longo das paredes deste. O resultado desta com-binacao de frentes TEM sao ondas que possuem componentes de campo na direcao depropagacao, como mostrado nas Figuras 6.2 e 6.3. Quando todas as componentesdo campo eletrico sao transversais a direcao de propagacao, diz-se que a onda sepropaga no modo TE (transversal eletrico). Enquanto aquelas com componentes decampo magnetico transversal sao denominadas de onda TM (transversal magnetico).

O modo de propagacao num guia de onda depende do tipo de excitacao, oumelhor, de como a onda e injetada neste. A excitacao de guias pode ser feitaatraves de sondas ou acoplamento eletromagnetico. A Figura 6.4 mostra um guiaretangular sendo excitado por um cabo coaxial terminado numa sonda. Observa-senas Figuras 6.4a e 6.4b que a sonda e reta e esta colocada numa das paredes lateraisdo guia. Nesta posicao, a sonda radia ondas eletromagneticas que se propagam nomodo TE. O vetor campo eletrico tem a mesma direcao da sonda reta, enquantoo campo magnetico proximo circula a mesma. Ja as Figuras 6.4c e 6.4d mostramuma excitacao que favorece a propagacao do modo TM, pois o campo magneticocirculante esta totalmente transversal a direcao de propagacao.


frentede ondaTEM

2

frentede ondaTEM

1

E1

E2

H1 H

2

k1

k2

TEM1

TEM2

+ =TM

k

EH

caminhoda fente de

onda 2

caminhoda fente de

onda 1

sonda

Figura 6.3: Ondas Transversal Eletrica (TM), resultado da combinacao de duasfrentes de onda TEM.

6.4 Campos num Guia de Onda

Para se obter as expressoes dos campos eletrico e magnetico dentro de um guia deonda e necessario se utilizar as equacoes de Maxwell, que levam, inevitavelmente, aresolucao das equacoes de onda. Se a variacao dos campos no tempo e harmonica,entao, resolve-se apenas as equacoes de Helmholtz para se obter as expressoes doscampos em qualquer ponto do espaco interno do guia. Como foi dito anteriormente,estas expressoes podem ser obtidas atraves dos potenciais vetores de Hertz.

6.4.1 Modo Transversal Eletrico

Sabe-se que, no modo de propagacao TE, uma das componentes do campo magneticoesta alinhada com a direcao de propagacao. Portanto, pode-se associar essa compo-nente com o potencial vetor de Hertz do tipo magnetico. No caso de um guia cujocomprimento coincide com a direcao z, o potencial vetor magnetico e escrito como

Πh = Πh az (6.24)

109 6.4. Campos num Guia de Onda

a l

b

Linha Coaxial

Sonda

(a) (b)

a l

b

Sonda

(c) (d)

Ht

Figura 6.4: Guia retangular com excitacao para operar no: modo TE, (a) cortetransversal e (b) corte longitudinal; modo TM, (c) corte transversal e (d) cortelongitudinal.

Portanto, os campos eletrico e magnetico no interior do guia podem ser obtidosrespectivamente de (6.5) e (6.16). Observe que as expressoes obtidas de (6.5) saoortogonais a direcao de propagacao, confirmando que o modo de propagacao e dotipo TE. Ja a equacao (6.16) fornece as componentes transversais e na direcao depropagacao. Entretanto, e necessario primeiro determinar a expressao do potencialvetor Πh a partir de (6.15). Considerando que a propagacao da onda se da nosentido z+, a solucao de (6.15) tem que ser do tipo

Πh = Πh az = ψh(x, y) e−γ z az (6.25)

sendo ψh(x, y) uma funcao que representa a variacao transversal do potencial vetore γ = α + jβ a constante de propagacao da onda no guia. Lembrando-se que oLaplaciano em coordenadas retangulares e

∇2Πh =∂2Πh

∂x2+∂2Πh

∂y2+∂2Πh

∂z2(6.26)

e como Πh e dado por (6.25), entao,

∇2Πh =∂2Πh

∂x2+∂2Πh

∂y2+ γ2Πh = ∇2

tΠh + γ2Πh = 0 (6.27)


Dessa maneira, a equacao (6.15) pode ser reescrita como

∇2tΠh + k2

cΠh = 0 (6.28)

ou simplesmente

∇2tψh + k2

cψh = 0 (6.29)

onde

k2c = γ2 + k2 (6.30)

Apesar da deducao da equacao (6.29) ter sido feita utilizando coordenadas retangu-lares, este resultado pode ser aplicado em qualquer sistema de coordenadas.

Como foi dito anteriormente, o campo eletrico pode ser obtido de (6.5), isto e,

E = −jωµ∇× Πh = −jωµ(∂Πh

∂yax − ∂Πh

∂xay

)(6.31)

ou

E = jωµ az ×∇tΠh = jωµ e−γ zaz ×∇tψh (6.32)

Enquanto o campo magnetico e dado por

H = k2Πh + ∇ (∇ · Πh) = k2ψh e−γ zaz − γ∇ (

ψh e−γ z) (6.33)

ou

H = k2cψh e

−γ zaz − γ e−γ z∇tψh (6.34)

Sendo assim, as componentes dos campos para modo TE sao obtidas de:

Et = jωµ e−γ zaz ×∇tψh (6.35)

Ht = −γ e−γ z∇tψh (6.36)

e

Hz = k2cψh e

−γ zaz (6.37)

onde a expressao de ψh(x, y) vai depender da geometria da secao transversal do guia.

111 6.4. Campos num Guia de Onda

6.4.2 Modo Transversal Magnetico

De maneira semelhante, pode-se obter os campos eletromagneticos para o modo depropagacao TM. Sendo que, neste caso, uma das componentes do campo eletrico estaalinhada com a direcao de propagacao. Portanto, pode-se associar essa componentecom o potencial vetor de Hertz do tipo eletrico

Πe = Πe az (6.38)

considerando-se que o guia tem comprimento ao longo de z. Desta forma, os camposeletrico e magnetico no interior do guia podem ser obtidos respectivamente de (6.23)e (6.6). A expressao do potencial vetor Πe e fornecida por (6.22), que tem comosolucao, para uma onda propagando-se no sentido z+,

Πe = Πe az = ψe(x, y) e−γ z az (6.39)

Dessa maneira, a equacao (6.22) pode ser reescrita como

∇2tΠe + k2

cΠe = 0 (6.40)

ou∇2tψe + k2

cψe = 0 (6.41)

onde k2c continua sendo dado por (6.30). Portanto, o campo magnetico obtido de

(6.6) e

H = jωε∇× Πe = jωε

(∂Πe

∂yax − ∂Πe

∂xay

)(6.42)

ou

H = −jωε az ×∇tΠe = −jωε e−γ zaz ×∇tψe (6.43)

enquanto o campo eletrico e dado por

E = k2Πe + ∇ (∇ · Πe) = k2cψe e

−γ zaz − γ e−γ z∇tψe (6.44)

Sendo assim, as componentes dos campos para modo TM sao fornecidas por:

Ht = −jωε e−γ zaz ×∇tψe (6.45)

Et = −γ e−γ z∇tψe (6.46)

e


Ez = k2cψe e

−γ zaz (6.47)

onde a expressao de ψe(x, y) vai depender da geometria da secao transversal do guia.

6.5 Caracterısticas de Ondas Guiadas

Com excecao das impedancias modais, todas as expressoes apresentadas a seguir saovalidas para os modos TE e TM.

6.5.1 Constante de Propagacao

Nota-se nas equacoes (6.29) e (6.41) que a propagacao da onda num guia qualquerdepende do parametro kc, denominado numero de onda de corte. Portanto, pode-seobter da equacao (6.30)

γ =√k2c − k2 (6.48)

Se o numero de onda k for igual a kc, γ e zero e, consequentemente, nao existepropagacao de onda no guia. Para um guia sem perda onde k < kc, γ e real (igual aα), a onda nao se propaga e a intensidade dos campos diminui exponencialmente aolongo do comprimento. Quando neste mesmo guia k > kc, tem-se γ = jβ e a ondapropaga-se com constante de fase

β =√k2 − k2

c (6.49)

6.5.2 Comprimento de Onda Guiada e de Corte

O comprimento de onda de corte esta relacionado com o numero de onda de cortekc atraves de

λc =2π

kc(6.50)

Para que haja propagacao de onda no guia, o comprimento desta onda tem que sermenor que o comprimento fornecido pela equacao (6.50), pois k > kc implica emλ < λc.

O comprimento da onda guiada e fornecido por

λg =2π

β=

λ√1 −

(λλc

)2(6.51)

113 6.5. Caracterısticas de Ondas Guiadas

6.5.3 Frequencia de Corte

E simplesmente a razao entre a velocidade da luz no meio dieletrico que constitui ointerior do guia e o comprimento de onda de corte. Isto e,

fc =c

λc√εr

(6.52)

6.5.4 Velocidade de Fase

A velocidade de fase da onda guiada e obtida de

vf =ω

β= λg f =

c√εr

[1 −

(λλc

)2] (6.53)

6.5.5 Velocidade de Grupo

Sabe-se que a velocidade de grupo e definida como

vg =∂ω

∂β=

(∂β

∂ω

)−1

(6.54)

logo, para uma onda propagando-se num guia, tem-se

vg =c√εr

√1 −

(λ

λc

)2

(6.55)

Observa-se que, para λc λ, a velocidade de grupo e igual a de fase que, por suavez, e igual a velocidade de uma onda TEM num meio nao dispersivo.

6.5.6 Impedancias Modais

As impedancias modais sao definidas como a razao entre o modulo do vetor campoeletrico e o modulo do vetor campo magnetico, ambos transversais a direcao depropagacao. Para o caso TE, estes campos sao fornecidos respectivamente por (6.35)e (6.36), de forma que

ZTE =ExHy

= −EyHx

=jωµ

γ(6.56)

Quando nao existem perdas, γ = jβ e


ZTE =ωµ

β=kη

β(6.57)

ou

ZTE =η√

1 −(λλc

)2(6.58)

Ja para o caso TM, a impedancia e obtida da razao dos campos fornecidos por (6.46)e (6.45), isto e

ZTM =ExHy

= −EyHx

=γ

jωε(6.59)

ou para o caso sem perdas

ZTM = η

√1 −

(λ

λc

)2

(6.60)

Pode-se verificar que as impedancias modais variam de acordo com a frequenciade excitacao e a frequencia de corte.

6.6 Guia Retangular

Ate agora, foram deduzidas expressoes para guias com secao transversal qualquer.Quando a geometria da secao transversal do guia e definida, pode-se entao resolver asequacoes diferenciais (6.29) e (6.41) e, assim, determinar as expressoes dos campos,comprimento de onda de corte e outros parametros.

Os guias de secao retangular sao muito utilizados na pratica. Na notacao adotadaneste livro, a maior dimensao transversal tem comprimento a e esta alinhada ao longoda direcao x, enquanto a menor dimensao, b, coincide com o eixo y. A Figura 6.4bmostra a geometria deste tipo de guia.

6.6.1 Modo H (TE)

Para se obter os campos eletromagneticos que se propagam, no modo TE, dentro deum guia retangular, resolve-se a equacao diferencial (6.29), cuja solucao fornece ocomportamento dos campos no plano transversal a direcao de propagacao. A solucaodepende das condicoes de contorno que, neste caso, estao associadas as componentestangenciais do campo eletrico nas paredes do guia. Sabe-se que estas componentes

115 6.6. Guia Retangular

tangenciais do campo eletrico na interface dieletrico-condutor sao sempre iguais azero, portanto, de (6.35) conclui-se que

∂ψh∂x

= 0 (6.61)

nas paredes localizadas em x = 0 e x = a. Da mesma forma que

∂ψh∂y

= 0 (6.62)

em y = 0 e y = b.Utilizando-se o metodo da separacao das variaveis, onde se considera

ψh(x, y) = f(x) g(y) (6.63)

obtem-se de (6.29) duas equacoes diferenciais ordinarias:

d2f(x)

dx2+ k2

x f(x) = 0 (6.64)

e

d2g(y)

dy2+ k2

y g(y) = 0 (6.65)

sendo

k2c = k2

x + k2y (6.66)

A equacao (6.64) tem solucao do tipo

f(x) = C1ejkxx + C2e

−jkxx (6.67)

ou

f(x) = A sen kxx+B cos kxx (6.68)

enquanto (6.65) fornece

g(y) = C sen kyy +D cos kyy (6.69)

Sendo assim,

ψh(x, y) = (A sen kxx+B cos kxx) (C sen kyy +D cos kyy) (6.70)

Aplicando-se as condicoes de contorno (6.61) em (6.70), tem-se


[Akx cos kxx−Bkx sen kxx]x=0x= a = 0 (6.71)

Observe que, para x = 0, a A = 0 e, para x = a,

Bkx sen kxa = 0 (6.72)

portanto,

kxa = mπ (6.73)

ou

kx =mπ

a(6.74)

De maneira semelhante, aplicando-se as condicoes de contorno (6.62) em (6.70),obtem-se C = 0 e

ky =nπ

b(6.75)

onde n e m sao inteiros positivos. Substituindo (6.74) e (6.75) em (6.66), tem-se

kc =

√(mπa

)2

+(nπb

)2

(6.76)

Portanto, o comprimento de onda de corte para o modo TE e dado por

λc =2π

kc=

2ab√(mb)2 + (na)2

(6.77)

A equacao (6.77) fornece os comprimentos de onda de corte possıveis para guiasde onda retangulares. Sendo que o comprimento de onda de corte mais longo eobtido para m = 1 e n = 0, ou seja, λc = 2a, o que leva a frequencia de corte maisbaixa num dado guia de dimensoes a × b. Quando a frequencia da onda injetadano guia tem valores proximos (e acima) desta frequencia de corte, diz-se que o guiaesta operando no modo dominante ou, neste caso, TE10. E logico que outros modosdo tipo TE podem ser excitados, isto vai depender da frequencia de operacao e daforma de excitacao (posicionamento da(s) sonda(s)). Modos acima do dominantesao denominados modos superiores, ou TEmn, sendo m e n diferentes de um e zero,respectivamente.

As equacoes dos campos dentro do guia sao obtidas substituindo


ψh(x, y) = BD cos kxx cos kyy =Ho

k2c

cos(mπax)

cos(nπby)

(6.78)

em (6.35), (6.36) e (6.37). Observe que, para a componente de campo magneticoem (6.37) ser expressa em A/m, e necessario que BD seja igual a Ho/k

2c , onde Ho e

a intensidade maxima de campo magnetico. Portanto,

Ex = −jωµ e−γ z ∂ψh∂y

=nπγ

bk2c

Eo cos(mπax)

sen(nπby)e−γ z (6.79)

Ey = jωµ e−γ z∂ψh∂x

= −mπγak2

c

Eosen(mπax)

cos(nπby)e−γ z (6.80)

Hx = −γ e−γ z ∂ψh∂x

=EyZTE

(6.81)

Hy = −γ e−γ z ∂ψh∂y

= − ExZTE

(6.82)

e

Hz = Ho cos(mπax)


Nao havendo perdas, tem-se

Ex =jnπβ

bk2c

Eo cos(mπax)

sen(nπby)e−jβ z (6.84)

Ey = −jmπβak2

c

Eo sen(mπax)

cos(nπby)e−jβ z (6.85)

Hx = − EyZTE

(6.86)

Hy =ExZTE

(6.87)

e

Hz = Ho cos(mπax)


sendo

Eo =ωµ

βHo (6.89)


6.6.2 Modo E (TM)

Para se obter os campos eletromagneticos que se propagam, nos modos TMmn,dentro de um guia retangular, resolve-se a equacao diferencial (6.41), cuja solucaofornece o comportamento dos campos no plano transversal a direcao de propagacao.Como foi visto para o modo TEmn, a solucao depende das condicoes de contornoque, neste caso, estao associadas a componente tangencial do campo eletrico nasparedes do guia. Portanto, de (6.47) conclui-se que

ψe|x=0, x=a = 0 (6.90)

e

ψe|y=0, y=a = 0 (6.91)

Utilizando-se mais uma vez o metodo da separacao das variaveis em (6.41) eaplicando-se as condicoes de contorno, obtem-se a solucao do tipo

ψe(x, y) =Eok2c

sen kxx sen kyy (6.92)

onde kx e ky sao fornecidos por (6.74) e (6.75) respectivamente. O comprimentode onda de corte continua sendo dado por (6.76). Enquanto as componentes doscampos sao obtidas de:

Hx = jωε e−γ z∂ψe∂y

=nπγ

bk2c

Hosen(mπax)


Hy = −jωε e−γ z ∂ψe∂x

= −mπγak2

c

Ho cos(mπax)


Ex = −γ e−γ z ∂ψe∂x

= ZTMHy (6.95)

Ey = −γ e−γ z ∂ψe∂y

= −ZTMHx (6.96)

e

Ez = Eosen(mπax)


Nao havendo perdas, tem-se

Hx =jnπβ

bk2c

Hosen(mπax)



Hy = −jmπβak2

c

Ho cos(mπax)


Ex = ZTMHy (6.100)

Ey = −ZTMHx (6.101)

e

Ez = Eosen(mπax)


sendo

Eo =β

ωεHo (6.103)

Observe nas equacoes acima que os modos TMm0 e TM0n nao existem, pois basta mou n ser igual a zero para que todas as componentes dos campos sejam nulas. Sendoassim, o menor modo TM possıvel de se propagar num guia de secao transversalretangular e o modo TM11.

Exemplo 6.1 Determine as dimensoes de um guia retangular oco para transmitirum conjunto de canais com frequencia central igual a 7,75GHz e banda total iguala 500MHz. Qual o comprimento de onda guiado para a frequencia central? O guiadeve trabalhar no modo dominante.

Solucao: Para o modo dominante, TE10, tem-se

fc =c

λc=

c

2a

A frequencia de corte, neste caso, deve ser 7,5 GHz para possibilitar a transmissaodos canais compreendidos na faixa de 500MHz. Portanto, a largura do guia e entao

a =c

2fc=

3 × 108

1, 5 × 1010= 0, 02 m

Neste caso, a altura do guia pode assumir qualquer valor que nao seja muito pequeno.Em geral utiliza-se b = a/2. O comprimento de onda guiado, para a frequenciacentral, e

λg =λo√

1 − (λo

2a

)2=

0, 0387√1 −

(0,03870,04

)2 0, 154 m


Linha Coaxial

(a) (b)

(c) (d)

Sonda

Sonda

a l

λ1

/2

λ1 /4

λ2 /4 λ2 /4

b

b

Figura 6.5: Guias retangulares com a = 20mm e b = 10mm.

Exemplo 6.2 Determine as frequencias de corte dos guias apresentados na Figura6.5. Por que a distancia entre as sondas e a parede transversal e igual a λ/4?

Solucao: As Figuras 6.5a e 6.5b mostram um guia operando no modo TE, poiso campo eletrico gerado, que tem a mesma direcao das sondas, e perpendicular adirecao de propagacao. A partir da posicao e diferenca de fase entres as sondas noplano transversal (Figura 6.5a), pode-se determinar que modo TEmn o guia estaoperando. Observe que, neste caso, a diferenca de fase introduzida pelo trecho decabo entre as sondas e de 180 (l = λ/2). Portanto, quando a tensao e maximanuma sonda, na outra ela e mınima. Sabe-se que as ondas geradas pelas sondas saorefletidas pelas paredes laterais do guia, produzindo, em determinadas frequencias,padroes estacionarios na direcao transversal. A posicao e a diferenca de fase dassondas na Figura 6.5a indicam que o menor modo possıvel de propagacao ocorrequando o padrao estacionario e igual a um comprimento de onda. Sendo assim,λc = a = 20mm e

fc =c

λc=c

a= 15 GHz

121 6.7. Guia Cilındrico

produzindo-se o modo de operacao TE20. Ja o guia apresentado nas figuras 6.5c e6.5d opera no modo TE10, pois a sonda esta posicionada a uma distancia a/2 dasparedes laterais do guia, gerando um padrao igual a meio comprimento de onda.Logo, λc = 2a = 40mm e

fc =c

λc=

c

2a= 7, 5 GHz

As sondas sao posicionadas a λg/4 da parede transversal para evitar interferenciadestrutiva. Sabe-se que a reflexao da onda na parede condutora produz uma de-fasagem de π e que a defasagem da onda para ir ate a parede e voltar e igual a

∆φ = βl =2π

λg

(λg4

+λg4

)= π

Portanto, a defasagem total e 2π, nao havendo interferencia destrutiva.

6.7 Guia Cilındrico

A Figura 6.1a mostra um guia cilındrico de raio a e comprimento l. Como foi vistono caso retangular, para se obter as caracterısticas das ondas eletromagneticas nosdois modos de propagacao, torna-se necessario a resolucao das equacoes diferenciais(6.29) e (6.41). Neste caso, por se tratar de uma geometria cilındrica circular, tem-secomo uma das equacoes diferenciais ordinarias, resultado do metodo da separacaode variaveis, a equacao de Bessel.

As equacoes (6.29) e (6.41) podem ser escritas, em coordenadas cilındricas, como

∂2ψ

∂r2+

1

r

∂ψ

∂r+

1

r2

∂2ψ

∂ϕ2+ k2

cψ = 0 (6.104)

onde ψ(r, ϕ) pode ser ψe(r, ϕ) ou ψh(r, ϕ). Considerando-se que

ψ(r, ϕ) = f(r) g(ϕ) (6.105)

obtem-se

d2f

dr2+

1

r

df

dr+

(k2c −

ν2

r2

)f = 0 (6.106)

e

∂2g

∂ϕ2+ ν2g = 0 (6.107)


A equacao (6.106) e chamada de equacao diferencial de Bessel e sua solucao eda forma

f(r) = AJv(kcr) +BNv(kcr) (6.108)

onde Jv(x) e conhecida como funcao de Bessel do primeiro tipo e Nv(x) funcao deBessel do segundo tipo ou funcao de Neuman. Enquanto a (6.107) tem como solucao

g(ϕ) = C sen νϕ+D cos νϕ (6.109)

Como a funcao de Neuman tende a infinito quando r → 0, entao, para que hajauma solucao que represente o fenomeno fısico, B tem que ser igual a zero. Para quealgum padrao estacionario exista na direcao ϕ, e necessario que ν seja inteiro, poisa variacao do campo tem que ser periodica com perıodo igual a multiplos de 2π.Sendo assim, tem-se

ψ(r, ϕ) = Jm(kcr) [C1 senmϕ+ C2 cosmϕ] (6.110)

ou simplesmente,

ψ(r, ϕ) = A Jm(kcr) cosmϕ (6.111)

onde m e um numero inteiro positivo. A determinacao das constantes C1 e C2

dependem das condicoes de contorno que, por sua vez, estao relacionadas com ocampo tangencial eletrico na superfıcie interna do condutor cilındrico.

6.7.1 Modo H (TE)

Para o caso TEmn, a condicao de contorno, obtida fazendo (6.35) igual a zero, edada por

∂ψh∂r

∣∣∣∣r=a

= 0 (6.112)

ou

∂Jm(kcr)

∂r

∣∣∣∣r=a

= 0 (6.113)

o que corresponde as raızes da derivada da funcao de Bessel de ordem m (vide Figura6.6), denominada aqui de p′mn, sendo n a enesima raiz. Portanto, o numero de ondade corte pode ser determinado utilizando-se


0 2 4 6 8 10-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

J'1(x)

J'2(x)

J'0(x)

p'11

p'12

p'13

Figura 6.6: Graficos das funcoes derivadas de Bessel J ′m(x), onde sao indicadas as

raızes p′11 = 1, 84, p′12 = 5, 33 e p′13 = 8, 55.

kc =p′mna

(6.114)

donde se pode obter o comprimento de onda de corte e outros parametros atravesdas equacoes (6.48) a (6.60).

Os campos, fornecidos por (6.37), (6.35) e (6.36), tem as seguintes expressoes:

Hz = Ho Jm(kcr) cosmϕ e−γ z (6.115)

Er = −jωµ e−γ z 1r

∂ψh∂ϕ

= Eomγ

k2cr

Jm(kcr) senmϕ e−γ z (6.116)

Eϕ = jωµ e−γ z∂ψh∂r

= Eoγ

kc

∂Jm(kcr)

∂rcosmϕ e−γ z (6.117)

Hr = −γ e−γ z ∂ψh∂r

= − EϕZTE

(6.118)

Hϕ = −γ e−γ z 1r

∂ψh∂ϕ

=ErZTE

(6.119)

e, no caso sem perdas,


Hz = Ho Jm(kcr) cosmϕ e−jβ z (6.120)

Er = Eojmβ

k2cr

Jm(kcr) senmϕ e−jβ z (6.121)

Eϕ = Eojβ

kc

∂Jm(kcr)

∂rcosmϕ e−jβ z (6.122)

Hr = − EϕZTE

(6.123)

Hϕ =ErZTE

(6.124)

6.7.2 Modo E (TM)

Para o caso TMmn, a condicao de contorno, obtida fazendo (6.47) igual a zero, edada por

ψe|r=a = 0 (6.125)

ou

Jm(kcr)|r=a = 0 (6.126)

o que corresponde as raizes da funcao de Bessel de ordem m (vide Figura 6.7),denominada aqui de pmn, sendo n a enesima raiz. Portanto, o numero de onda decorte pode ser determinado utilizando-se

kc =pmna

(6.127)

donde, mais uma vez, se pode obter o comprimento de onda de corte e outrosparametros atraves das equacoes (6.48) a (6.60). A Tabela (6.1) contem as raızesdas funcoes de Bessel e derivadas para alguns modos de propagacao.

Os campos, fornecidos por (6.47), (6.45) e (6.46), tem as seguintes expressoes:

Ez = Eo Jm(kcr) cosmϕ e−γ z (6.128)

Hr = jωε e−γ z1

r

∂ψe∂ϕ

= −Homγ

k2cr

Jm(kcr) senmϕ e−γ z (6.129)


J1(x)

J2(x)

J0(x)

p01

p02

p03

0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1

Figura 6.7: Graficos das funcoes de Bessel Jm(x), onde sao indicadas as raızesp01 = 2, 4, p02 = 5, 52 e p03 = 8, 64.

Hϕ = −jωε e−γ z ∂ψe∂r

= −Hoγ

kc

∂Jm(kcr)

∂rcosmϕ e−γ z (6.130)

Er = −γ e−γ z ∂ψe∂r

= −ZTM Hϕ (6.131)

Eϕ = −γ e−γ z 1r

∂ψe∂ϕ

= ZTM Hr (6.132)

e, no caso sem perdas,

Ez = Eo Jm(kcr) cosmϕ e−jβ z (6.133)

Hr = −Hojmβ

k2cr

Jm(kcr) senmϕ e−jβ z (6.134)

Hϕ = −Hojβ

kc

∂Jm(kcr)

∂rcosmϕ e−jβ z (6.135)

Er = −ZTM Hϕ (6.136)

Eϕ = ZTM Hr (6.137)


Tabela 6.1: Raızes das funcooes de Bessel para diferentes modos de propagacao.Modo mn 01 02 03 11 12 13 21 22 23TE p ′ 3,832 7,016 10,173 1,841 5,332 8,537 3,054 6,706 9,969TM p 2,405 5,52 8,654 3,832 7,016 10,173 5,136 8,417 11,62

Exemplo 6.3 Um guia cilındrico oco e excitado atraves de uma sonda reta posi-cionada no centro da parede transversal. Determine o raio deste guia para a frequenciade corte de 5GHz.

Solucao: O modo de operacao, neste caso, e do tipo TM, uma vez que as com-ponentes de campo magnetico sao transversais a direcao de propagacao (campomagnetico circulando em torno da sonda). O campo eletrico e maximo no centrodo guia, onde esta posicionada a sonda, portanto, a funcao de Bessel adequada aoproblema e J0(kca). Escolhendo-se o modo de propagacao mais baixo, tem-se

a =pmnkc

=p01c

2πfc=

2, 4 × 3 × 108

2π × 5 × 109 0, 023 m

onde o modo de operecao e o TM01.

6.8 Atenuacao em Guias

A atenuacao nos guias de onda esta associada com as perdas nas paredes condutorasdo guia e no dieletrico que preenche o espaco interno deste. Sabe-se que as ondas sepropagam dentro de um guia de acordo com e±γ z, quando este se encontra alinhadocom o eixo z. A intensidade dos campos, neste caso, decai exponencialmente aolongo do comprimento, ou seja, para uma onda propagando-se no sentido z+, ocampo eletrico diminui conforme a equacao

E(z) = Eo e−α z (6.138)

lembrando-se que α e o fator de atenuacao e Eo e a intensidade inicial do campo noplano z = 0.

6.8.1 Atenuacao abaixo da Frequencia de Corte

Para as frequencias abaixo da frequencia de corte nao existe propagacao de ondae sim campos evanescentes. A reducao de intensidade dos campos ao longo docomprimento pode ser medida atraves de um fator de atenuacao dado por

127 6.8. Atenuacao em Guias

α =√k2c − k2 (6.139)

ou

α =2π

λ

√(λ

λc

)2

− 1 (6.140)

lembrando-se que kc > k. No caso de λ λc, tem-se

α ≈ 2π

λc(6.141)

Em geral, o fator de atenuacao e expresso em dB/m, ou seja,

αdB = 20 log eα 8, 686α (6.142)

Exemplo 6.4 Determine a atenuacao do guia cilındrico do Exemplo 6.3 considerandoque a frequencia de excitacao e 4,95GHz.

Solucao: A atenuacao pode ser obtida diretamente da equacao (6.140), ou seja,

α =2π

λo

√(λoλc

)2

− 1 =2πf

c

√(fcf

)2

− 1 14, 77

uma vez que fc/f = 5/4, 95 = 1, 0101. O valor da atenuacao em decibeis e

αdB = 8, 686 × 14, 77 128, 29 dB

6.8.2 Atenuacao acima da Frequencia de Corte

As perdas no dieletrico que preenche o interior do guia, para frequencias acima dafrequencia de corte, estao relacionadas com o fator de atenuacao

αd = Reγ (6.143)

Sabe-se que a permissividade de um dieletrico que oferece perdas e complexa, por-tanto,

αd = Re√k2c − ω2µ(ε′ − jε′′) (6.144)

Se a tangente de perdas


tg δ =ε′′

ε′ 1 −

(λ

λc

)2

(6.145)

entao, pode-se demonstrar que

αd ≈ π tg δ

λ

√1 −

(λλc

)2(6.146)

Para um guia oco tem-se ε′′ 0 e αd = 0.A potencia transmitida ao longo do comprimento do guia e proporcional ao

quadrado do campo eletrico, portanto,

P (z) = Po e−2α z (6.147)

sendo Po a potencia inicial. O fator de atenuacao devido a perdas nas paredescondutoras pode ser obtido a partir de

dP

dz= −2αP (6.148)

ou seja,

α = − 1

2P

dP

dz(6.149)

A equacao (6.149) indica que o fator de atenuacao e a razao entre a taxa de reducaoda potencia −dP

dze duas vezes a potencia transmitida 2P . A potencia media trans-

mitida e obtida da integracao do vetor de Poynting na direcao de propagacao,

P =

∫∫S

Wz · ds (6.150)

ou

P =ReZmn

2

∫∫S

|Ht|2 ds (6.151)

onde S e a area da secao transversal do guia, Ht e o campo magnetico transversal eZmn a impedancia modal, fornecida por (6.58) no caso TE ou por (6.60) no caso TM.Enquanto que a potencia perdida nas paredes do guia esta associada a componentede onda que incide normalmente no condutor, ou seja,

129 6.8. Atenuacao em Guias

−dPdz

=

∮C

Wt · dl (6.152)

ou

−dPdz

=Reηc

2

∮C

[|Hz|2 + |H ′

t|2]dl (6.153)

onde H ′t representa as componentes transversais que sao paralelas as paredes do

guia, C o perımetro da secao transversal e ηc a impedancia intrınseca do materialcondutor. O fator de atenuacao devido as paredes condutoras do guia e portantodado por

αc =Reηc

∮C

[|Hz|2 + |H ′t|2]dl

2 ReZmn∫∫

S|Ht|2 ds

(6.154)

A atenuacao total no guia e obtida atraves do produto entre o comprimento e ofator de atenuacao total, isto e,

AdB = 8, 69(αd + αc) l (6.155)

Quando o guia e oco, tem-se

AdB = 8, 69αc l (6.156)

6.8.3 Atenuacao num Guia Retangular

Substituindo-se as equacoes dos campos eletromagneticos de um guia retangular naequacao (6.154), demonstra-se que [29], para os modos TE,

αc =Rc

bZd

[(δn + δm

b

a

)λ2

λ2c

+

(1 − λ2

λ2c

)δnm

2b2 + δm n2ab

m2b2 + n2a2

](6.157)

e, para os modos TM,

αc =2Rc

bZd

m2b3 + n2a3

m2b2a+ n2a3(6.158)

sendo Zd fornecida por (6.58), no caso TE, e por (6.60), no caso TM . A resistenciadas paredes condutoras e obtida de

Rc =

√ωµo2σ

(6.159)

O parametro δm e igual a 1 para m = 0 e igual a 2 quando m = 0. Idem para δn.


6.8.4 Atenuacao num Guia Cilındrico

Substituindo-se as equacoes dos campos eletromagneticos de um guia cilındrico naequacao (6.154), pode-se demonstrar que [27], para os modos TE,

αc =Rc

aZd

[(λ

λc

)2

+m2

(p′mn)2 −m2

](6.160)

e, para os modos TM,

αc =Rc

aZd(6.161)

Exemplo 6.5 Continuando com o guia cilındrico do Exemplo 6.3, determine aatenuacao para uma frequencia de operacao 10% acima da frequencia de corte. Con-sidere 10m de um guia feito de latao, cuja condutividade relativa ao cobre e 28%.

Solucao: Como o modo de operacao e o TM01, entao, deve-se utilizar a equacao(6.161) para se determinar o fator de atenuacao devido as paredes condutoras. Sendoo guia oco, a atenuacao total e entao dada por

A = 8, 686αcl =8, 686lRc

a η

[1 −

(λ

λc

)2]−1/2

=0, 553Rc

a

onde a = 0, 023m e

Rc =

√ωµ

2σ=

√π × 4, 95 × 109 × 4π × 10−7

0, 28 × 5, 8 × 107 0, 035Ω

Portanto,

A =0, 553 × 0, 035

0, 023 0, 842 dB

6.9 Cavidade Ressonante

Cavidades ressonantes sao dispositivos que armazenam energia na forma de cam-pos eletromagneticos. Elas sao compartimentos metalicos fechados, comumente deforma cubica ou cilındrica, onde a energia eletromagnetica e armazenada ou retiradaatraves de sondas ou fendas devidamente posicionadas em suas paredes. A Figura6.8 mostra dois exemplos de cavidade ressonante e seu circuito equivalente. Umacavidade ressonante se comporta como um circuito tanque, sendo assim, pode ser

131 6.9. Cavidade Ressonante

(b)

y

z

x

a

(a)

y

x

z

(c)

L Cd

b

a

d

Figura 6.8: Tipos de cavidades: (a) de paredes retangular; (b) cilındrica. (c) circuitoequivalente.

utilizada como filtro ou em circuitos osciladores. A diferenca entre as cavidades e oscircuitos ressonantes de alta frequencia, que utilizam componentes como capacitorese indutores, esta na capacidade de trabalhar com potencias relativamente altas.

As principais caracterısticas de uma cavidade ressonante sao a frequencia deressonancia e o fator de qualidade. A primeira e fornecida por

fr =c

λr√εr

(6.162)

sendo

λr =2π

kr(6.163)

onde kr e denominado numero de onda de ressonancia, cuja a expressao depende dageometria da cavidade e do modo de excitacao. Enquanto que o fator de qualidadee definido como sendo o produto da energia maxima armazenada pela frequenciaangular de ressonancia, dividido pela potencia dissipada, ou seja,


Q =ωrEmax

Pd(6.164)

sendo Emax a energia maxima, obtida de (1.111) ou (1.112), e Pd a potencia dissipada,dada por

Pd =Re ηc

2

∫∫S

|Ht|2 ds (6.165)

Portanto, pode-se escrever o fator de qualidade como

Q =2ωr

∫∫∫VUmax dv

Re ηc∫∫

S|Ht|2 ds

(6.166)

lembrando-se que Ht representa as componentes de campo magnetico tangenciais asuperfıcie interna das paredes condutoras, S e a area interna total, V o volume dacavidade e Umax e a densidade volumetrica maxima de energia. O fator de qualidadee tambem relacionado com a largura da faixa de passagem (ou rejeicao) atraves de

Q =fr∆f

(6.167)

onde ∆f e a faixa de frequencias cuja atenuacao e menor ou igual a 3dB.

6.9.1 Cavidade com Paredes Retangulares

Uma cavidade ressonante constituıda de paredes retangulares pode ser consider-ada, para efeito de analise, como um guia de onda de secao transversal retangularencerrado por uma parede condutora (vide Figura 6.8a). Um padrao estacionariose estabelece ao longo da direcao de propagacao, se a distancia entre as paredestransversais for igual a multiplos de meio comprimento de onda de excitacao, ouseja,

d = lλ

2(6.168)

onde, neste caso, l e um numero inteiro positivo. Portanto, a funcao que descrevea variacao dos campos na direcao de propagacao, para um guia sem perdas, nao emais do tipo e−jβ z ou e jβ z, mas a superposicao das duas. Por exemplo, o campoeletrico transversal pode ser escrito como

Et = Et1(x, y) ejβ z + Et2(x, y) e

− jβ z (6.169)


O coeficiente de reflexao no plano z = 0 e

ρ(0) =Et2Et1

= −1 (6.170)

logo

Et = 2jEt1(x, y) sen βz (6.171)

ou, para z = d,

ρ(d) =Et1Et2

e2 jβ z = −1 (6.172)

e

Et = −2jEt2(x, y) sen βz (6.173)

Sabe-se que este campo e nulo nas paredes transversais, logo, se

Et|z=d = 0 (6.174)

entao

sen βd = 0 (6.175)

donde se conclui que

kz = β =lπ

d(6.176)

Assim, o numero de onda de ressonancia pode ser calculado a partir de

kr =

√k2c +

(lπ

d

)2

=

√(mπa

)2

+(nπb

)2

+

(lπ

d

)2

(6.177)

consequentemente, tem-se

fr =c

2√εr

√(ma

)2

+(nb

)2

+

(l

d

)2

(6.178)

Como foi visto, o modo de ressonancia de uma cavidade depende das dimensoesa, b e d da mesma, alem dos inteiros positivos m, n e l, que representam os multiplosde λ/2 possıveis de existir em cada uma das dimensoes. Nos guias, os modos foramdenominados TEmn ou TMmn. No caso das cavidades, esta denominacao so faz


sentido se uma das direcoes for definida como direcao de propagacao. Por exem-plo, para uma cavidade oca onde a sonda de excitacao e introduzida exatamenteno centro da parede de area ad, pode-se obter o modo de ressonancia TE110 se adirecao z for considerada como direcao de propagacao. Entretanto, se a direcao y fordefinida como direcao de propagacao, o modo de ressonancia e entao TM011. Sendoassim, estabelecendo-se z como referencia de propagacao, os campos do modo deressonancia TElmn sao fornecidos por:

Ex = 2Eok2c

nπ

b

lπ

dcos

(mπax)

sen(nπby)

sen

(lπ

dz

)(6.179)

Ey = −2Eok2c

mπ

a

lπ

dsen

(mπax)

cos(nπby)

sen

(lπ

dz

)(6.180)

Hx = 2jHo

k2c

mπ

a

lπ

dsen

(mπax)

cos(nπby)

cos

(lπ

dz

)(6.181)

Hy = 2jHo

k2c

nπ

b

lπ

dcos

(mπax)

sen(nπby)

cos

(lπ

dz

)(6.182)

Hz = −2jHo cos(mπax)

cos(nπby)

sen

(lπ

dz

)(6.183)

e

Ez = 0 (6.184)

sendo

Eo =ωµ

βHo (6.185)

Enquanto que, para o modo TMlmn, tem-se

Hx = 2jHo

k2c

nπ

b

lπ

dsen

(mπax)

cos(nπby)

cos

(lπ

dz

)(6.186)

Hy = −2jHo

k2c

mπ

a

lπ

dcos

(mπax)

sen(nπby)

cos

(lπ

dz

)(6.187)

Ex = −2Eok2c

mπ

a

lπ

dcos

(mπax)

sen(nπby)

sen

(lπ

dz

)(6.188)

Ey = −2Eok2c

nπ

b

lπ

dsen

(mπax)

cos(nπby)

sen

(lπ

dz

)(6.189)


Ez = 2Eo sen(mπax)

sen(nπby)

cos

(lπ

dz

)(6.190)

e

Hz = 0 (6.191)

sendo

Ho =ωε

βEo (6.192)

Observe que as componentes de campo eletrico estao defasadas de 90 em relacao ascomponentes de campo magnetico, isto significa que, quando um campo e maximo,o outro e nulo. Portanto, existem instantes em que a energia e puramente eletrica einstantes em que a energia e puramente magnetica. Comportamento semelhante ade um circuito tanque LC, onde ora a energia esta armazenada na forma de campoeletrico no capacitor e ora na forma de campo magnetico no indutor.

6.9.2 Cavidade Cilındrica

Para cavidade cilındrica, do tipo mostrado na Figura 6.8b, onde o comprimento desta alinhado na direcao z, tem-se

kr =

√k2c +

(lπ

d

)2

=

√(pmna

)2

+

(lπ

d

)2

(6.193)

para modos TMlmn, e

kr =

√(p′mna

)2

+

(lπ

d

)2

(6.194)

para os modos TElmn. Portanto, a frequencia de ressonancia e dada por

fr =c

2√εr

√(pmnπa

)2

+

(l

d

)2

(6.195)

para os modos TMlmn, e

fr =c

2√εr

√(p′mnπa

)2

+

(l

d

)2

(6.196)


para os modos TElmn. Utiliza-se o mesmo procedimento aplicado as cavidades comparedes retangulares para obter os campos eletromagneticos. Suas expressoes parao modo TElmn sao:

Hz = −2jHo Jm(kcr) cosmϕ sen

(lπ

dz

)(6.197)

Er = 2mEok2cr

lπ

dJm(kcr) senmϕ sen

(lπ

dz

)(6.198)

Eϕ = 2Eokc

lπ

d

∂Jm(kcr)

∂rcosmϕ sen

(lπ

dz

)(6.199)

Hr = −2jHo

kc

lπ

d

∂Jm(kcr)

∂rcosmϕ cos

(lπ

dz

)(6.200)

Hϕ = 2jmHo

k2cr

lπ

dJm(kcr) senmϕ cos

(lπ

dz

)(6.201)

e para o modo TMlmn

Ez = 2Eo Jm(kcr) cosmϕ cos

(lπ

dz

)(6.202)

Hr = −2jmHo

k2cr

lπ

dJm(kcr) senmϕ cos

(lπ

dz

)(6.203)

Hϕ = −2jHo

kc

lπ

d

∂Jm(kcr)

∂rcosmϕ cos

(lπ

dz

)(6.204)

Er = 2Eokc

lπ

d

∂Jm(kcr)

∂rcosmϕ sen

(lπ

dz

)(6.205)

Eϕ = −2mEok2cr

lπ

dJm(kcr) senmϕ sen

(lπ

dz

)(6.206)

6.9.3 Fator de Qualidade para Cavidades Cubicas

O fator de qualidade para uma cavidade de paredes retangulares, operando no modoTElmn, e obtido substituindo as expressoes dos campos na equacao (6.166). Adensidade volumetrica maxima de energia, que ora e magnetica ora e eletrica, podeser obtida de


Umax =1

2εE2 =

1

2µH2 (6.207)

No modo TElm0, tem-se

Ex = Ez = 0 (6.208)

e

Ey = −2Eola

mdsen

(mπax)

sen

(lπ

dz

)(6.209)

logo

Umax =1

2εE2

y = 2εE2o

(la

md

)2

sen2(mπax)

sen2

(lπ

dz

)(6.210)

Sendo assim, a energia maxima armazenada na cavidade e obtida de

Emax = 2εE2o

(la

md

)2a∫

0

b∫0

d∫0

sen2(mπax)

sen2

(lπ

dz

)dx dy dz (6.211)

ou

Emax = εE2o

(la

md

)2abd

2= ε

abd

2

(ωµHo a

mπ

)2

(6.212)

ou ainda

Emax =µH2

o abd

2

[(l a

md

)2

+ 1

](6.213)

A potencia dissipada nas paredes condutoras e dada por

Pd =Re ηc

2

∫∫S

|Ht|2 = Px + Py + Pz (6.214)

sendo

Px = Re ηcb∫

0

d∫0

|Hy|2 dydz = 2 Re ηcH2o bd (6.215)


Py = Re ηca∫

0

d∫0

|Hz|2 dxdz = Re ηcH2oad

[(l a

md

)2

+ 1

](6.216)

Pz = Re ηca∫

0

b∫0

|Hx|2 dxdy = 2 Re ηcH2oab

(l a

md

)2

(6.217)

Portanto, o fator de qualidade e fornecido por

Q =ωrEmax

Pd=V

δp

(l amd

)2+ 1

2bd+ ad[(

l amd

)2+ 1

]+ 2ab

(l amd

)2(6.218)

onde V e o volume da cavidade e δp a profundidade de penetracao no condutor.Finalmente, para uma cavidade cubica operando no modo TE110, tem-se

Q =2V

δpS(6.219)

sendo S a area total da superfıcie interna das paredes condutoras.

Exemplo 6.6 Projete uma cavidade cubica, feita de cobre, para operar a 10GHz nomodo TE110 com uma banda de 1MHz.

Solucao: Considerando que a aresta da cavidade e fornecida pela variavel a, pode-sereescrever a equacao (6.219) como

Q =2a3

6δpa2=

a

3δp

Portanto,

a =3δpQ

=3δp∆ f

f 0, 198∆ f

f 3/2= 0, 198 m

6.9.4 Fator de Qualidade para Cavidades Cilındricas

Pode-se mostrar que o fator de qualidade para cavidades cilındricas, operando nomodo TElmn, e fornecido por [8] [4]


Q =

λr

[1 −

(mp′mn

)2] [

(p′mn)2 +

(lπad

)2]3/2

2πδp

[(p′mn)

2 +(

2ad

) (lπad

)2+(1 − 2a

d

) (mlπap′mnd

)2] (6.220)

e para o modo TMlmn

Q =λr

√(pmn)

2 +(lπad

)2

2πδp(1 + 2a

d

) (6.221)

quando l > 0 e

Q =λrpmn

2πδp(1 + a

d

) (6.222)

quando l = 0.

Capıtulo 7

Processo de Radiacao

7.1 Introducao

As ondas eletromagneticas sao geradas atraves de circuitos ou dispositivos eletro-eletronicos e se propagam em meios confinados como: linhas de transmissao, guiasde onda ou fibras opticas. Elas tambem estao presentes no espaco-livre e podem serintroduzidas neste ambiente atraves de dispositivos chamados de radiadores ou ante-nas. A antena e um dispositivo eletrico passivo cuja funcao e maximizar a conversaode energia eletrica em energia eletromagnetica. Em outras palavras, quando bemprojetada, a antena permite que a transicao de uma onda eletromagnetica confinadapara uma onda eletromagnetica num espaco aberto seja efetuada de modo eficiente.Este fenomeno de transicao e chamado de radiacao ou irradiacao.

O processo de radiacao pode ser explicado utilizando-se as equacoes de Maxwelle o potencial vetor A. A Figura 7.1 mostra um fio onde circula uma corrente eletricaque varia harmonicamente no tempo, isto e,

I(t) = Io ejω t (7.1)

sendo Io o valor maximo da corrente distribuıda no fio. A densidade de correnteeletrica J, alem de poder variar entre pontos diferentes do fio condutor, varia tambemde acordo com o tempo, como mostrado na equacao abaixo:

J(r, t) = J(r)Ioπa2

e jω t

(7.2)

sendo

r = xax + yay + zaz (7.3)

141

CAPıTULO 7. Processo de Radiacao 142

x

z

y

dV

0

R = r - r'

P

rr'

J

Figura 7.1: Condutor conduzindo corrente eletrica.

e a o raio da secao transversal do fio condutor. O potencial vetor A e obtido a partirde

A(r, t) =µo4π

∫∫∫V

J(r, t)

| r − r| dV =µo4π

∫∫∫V

J(r, t)

RdV (7.4)

e o campo magnetico em volta do fio a partir de

H(r, t) =1

µo∇× A(r, t) (7.5)

Pelas equacoes de Maxwell, sabe-se que, campo magnetico H(r, t) variando no tempogera campo eletrico E(r, t) variando no tempo, e que ambos se propagam no espaconuma direcao ortogonal ao plano que contem os dois vetores E e H. Neste caso, a

143 7.1. Introducao

direcao e dada pelo versor ar. O campo eletrico pode ser obtido diretamente da leide Ampere na forma diferencial, isto e,

∇× H(r, t) = jωεoE(r, t) (7.6)

ou

E(r, t) =1

jωεo∇× H(r, t) (7.7)

Os campos radiados pelo fio tambem obedecem as equacoes abaixo, provenientesdas equacoes de Maxwell e denominadas equacoes de uma onda eletromagnetica,

∇2E+k2oE = 0 (7.8)

e

∇2H+k2oH = 0 (7.9)

sendo

ko =ω

vf=ω

c= ω

√µoεo (7.10)

o numero de onda, ω a frequencia angular, µo a permeabilidade do vacuo, εo apermissividade no vacuo e vf a velocidade de propagacao da onda que, neste caso, eigual a velocidade da luz no vacuo. Observa-se que as equacoes (7.5) e (7.7) fornecemos valores dos campos obtidos no instante t produzidos pela densidade de correnteno tempo t, onde t esta atrasado em relacao a t de acordo com

t = t− R

vf(7.11)

pois a onda leva um certo tempo para se propagar ate o ponto P . Portanto, aequacao (7.4) pode ser reescrita como

A(r, t) =µo4π

∫∫∫V

J(r, t) e − jkR

RdV (7.12)

pois, substituindo-se (7.11) em (7.2), tem-se

J(r, t) = J(r)Ioπa2

e jω t

= J(r)Ioπa2

ejω (t− R

vf)= J(r, t) e − jkR (7.13)


7.2 Dipolo Infinitesimal ou Hertziano

Um dipolo, de uma forma geral, e uma antena ou radiador constituıdo de duashastes metalicas distribuıdas num mesmo eixo e separadas por uma distancia muitopequena, como mostra a Figura 7.2. O dipolo e dito infinitesimal quando o seucomprimento e menor ou igual a λ/50. A alimentacao e feita atraves das pontasmais proximas, ou seja, no centro do par de hastes. A densidade de corrente nestetipo de dipolo nao varia para diferentes pontos do condutor, logo, sua expressao efuncao apenas do tempo, ou seja,

x

z

y

A, H e E

r

J

θ

ϕ

Jl/2

l/2

2a

Figura 7.2: Dipolo de Comprimento l.

J(t) = Jo ejω taz =

Ioπa2

e jω taz (7.14)

145 7.2. Dipolo Infinitesimal ou Hertziano

Se o dipolo tiver comprimento total igual a l, entao

A(r, t) =µoIo e

jω t

4π2a2

l2∫

−l2

2π∫0

ro∫0

e − jkR

Rrd rdϕ dz az (7.15)

Considerando-se l R, tem-se

A(r, t) =µoIo e

jω t

4π2a2

e − jkR

R

l2∫

−l2

2π∫0

ro∫0

rd rdϕ dz az (7.16)

ou

A(r, t) = Az (r, t) az =µoIo l

4πre j(ω t− k r) az (7.17)

uma vez que l e pequeno, entao, r R.O campo magnetico radiado pela antena e obtido da equacao (7.5), isto e,

H(r, t) =1

µor 2sen θdet

ar r aθ r sen θ aϕ

∂∂r

∂∂θ

∂∂ϕ

Ar rAθ r sen θ Aϕ

(7.18)

pois a representacao dos campos radiados e geralmente feita em coordenadas esfericas.Portanto, para resolver a equacao acima, e necessario converter a representacao dopotencial vetor A de coordenadas cilındricas para esfericas. Estes sistemas estaorelacionados de acordo com a expressao a seguir:

ArAθAϕ

=

sen θ 0 cos θ

cos θ 0 −sen θ0 1 0

AρAϕAz

(7.19)

Sendo assim, tem-se

Ar = Az cos θ (7.20)

Aθ = −Azsen θ (7.21)

e

Aϕ = 0 (7.22)


uma vez que, em coordenadas cilındricas, so Az e diferente de zero.Desta forma, pode-se obter as expressoes do campo magnetico utilizando-se

(7.18), ou seja,

Hr = Hθ = 0 (7.23)

e

Hϕ =jkIo l sen θ

4πr

(1 +

1

jkr

)e j(ω t− k r) (7.24)

Ja as expressoes referentes as componentes de campo eletrico sao obtidas a partirda equacao (7.7),

Er =ηIo l cos θ

2πr2

(1 +

1

jkr

)e j(ω t− k r) (7.25)

Eθ =jηkIo l sen θ

4πr

(1 +

1

jkr− 1

(kr)2

)e j(ω t− k r) (7.26)

e

Eϕ = 0 (7.27)

sendo η = 120π Ω, impedancia intrınseca do vacuo.

7.3 Regioes de Campo

7.3.1 Campo Proximo Reativo

Pode-se observar nas equacoes dos campos eletromagneticos que estes sao grandezascomplexas. Nas proximidades de uma antena, as partes imaginarias dos campos saopredominantes. Nesta regiao, chamada de regiao de campos proximos reativos, aenergia transferida pela antena para o espaco fica armazenada na forma de camposevanescentes, que nao se propagam e decaem exponencialmente com a distancia.Para esta regiao, onde e r λ e kr 1, os campos proximos radiados por umdipolo hertziano sao fornecidos por:

Eϕ = Hr = Hθ = 0 (7.28)

Hϕ Io l sen θ

4πr2e j(ω t− k r) (7.29)

147 7.3. Regioes de Campo

Er − jηIo l cos θ

2πkr3e j(ω t− k r) (7.30)

e

Eθ − jηIo l sen θ

4πk r3e j(ω t− k r) (7.31)

A densidade de potencia media nesta regiao e igual a zero, uma vez que os camposeletrico e magnetico estao em quadratura (defasado de 90). Assim, utilizando-se asequacoes (7.29) e (7.31), pode-se concluir que

Wm =1

2Re E × H∗ = 0 (7.32)

nao havendo propagacao de onda.Na pratica, a regiao de campo proximo e delimitada pelo raio [2]

Rcp = 0, 62

√D3

λ(7.33)

onde D e a maior dimensao da antena.

7.3.2 Campo Proximo Irradiante (Regiao de Fresnel)

Nesta regiao ja comeca a existir campos que se propagam no espaco, isto e, ondaseletromagneticas. As equacoes dos campos produzidos por um dipolo hertzianopodem ser aproximadas como segue:

Eϕ = Hr = Hθ = 0 (7.34)

Hϕ jkIo l sen θ

4πre j(ω t− k r) (7.35)

Er ηIo l cos θ

2πr2e j(ω t− k r) (7.36)

e

Eθ jηkIo l sen θ

4πre j(ω t− k r) (7.37)

pois, neste caso, kr > 1.Na pratica, a regiao de campo proximo irradiante e delimitada pelos raios Rcp e

Rcd, isto e,


Rcp < r < Rcd (7.38)

sendo [2]

Rcd =2D2

λ(7.39)

7.3.3 Campo Distante (Regiao de Fraunhofer)

Nesta regiao, onde r > Rcd, os campos sao predominantemente irradiantes e adensidade de potencia media e obtida a partir dos campos Eθ e Hϕ, isto e,

Wm =1

2Re E × H∗ =

1

2Re

EθH

∗ϕ

ar =

1

2

|Eθ|2η

ar (7.40)

Os campos para um dipolo infinitesimal sao

Eϕ = Hr = Hθ = Er = 0 (7.41)

Hϕ jkIo l sen θ

4πre j(ω t− k r) (7.42)

e

Eθ = ηHϕ (7.43)

A Figura 7.3 mostra as regioes de campos.

Exemplo 7.1 Qual deve ser a mınima distancia para se medir o campo distanteradiado por um dipolo de meio comprimento de onda operando em 30MHz?

Solucao: A medida tem que ser feita na regiao de Fraunhofer, logo, a distanciamınima e dada por

Rcd =2D2

λ=λ

2= 5 m

pois a maior dimensao, D, e nesse caso o comprimento do dipolo l = λ/2 = 5 m.

149 7.3. Regioes de Campo

Próximos Reativos

Rcp Rcd

Região de Fresnel

Região de Fraunhofer

Região de Campos

Figura 7.3: Regioes de campos radiados por uma antena.


7.4 Radiador ou Antena Isotropica

Uma antena isotropica e aquela que irradia campos eletromagneticos de mesmaintensidade, independentemente da direcao. Neste caso, a densidade de potenciamedia de uma frente de onda originada em uma fonte isotropica e dada por

Wo =Prad4πr2

ar (7.44)

Nao existe, na pratica, radiador totalmente isotropico. Este e utilizado apenas comoreferencia para outras antenas.

Exemplo 7.2 Qual deve ser a intensidade de campo eletrico a uma distancia de1km de uma antena isotropica que irradia 1W? Considere que nao existem obstaculose nem multiplas reflexoes entre o ponto de medicao e a antena.

Solucao: Sabe-se que a densidade de potencia de uma onda propagando-se no ar e

W =E2o

2η

logo, substituindo a equacao acima em (7.44),

Eo =1

r

√60Prad 0, 0077 V/m

Capıtulo 8

Caracterısticas de uma Antena

8.1 Introducao

Para exemplificar os principais parametros de uma antena e interessante tomar comoreferencia o dipolo de meio comprimento de onda. Este tipo de radiador e comumenteempregado na faixa de HF, VHF e UHF. Em geral, para se aumentar o ganho e adiretividade, utilizam-se outros elementos em conjunto com o elemento radiador,formando um arranjo de antenas. Os campos radiados por um dipolo de meiocomprimento de onda serao obtidos na Secao 8.3, utilizando-se um procedimentosemelhante aquele empregado ao dipolo hertziano. Algumas antenas, com suasprincipais caracterısticas, sao mostradas na secao a seguir, para que se tenha ideianao so da variedade de antenas que se pode encontrar no mercado, mas tambem dascaracterısticas mais importantes fornecidas pelos seus fabricantes.

8.2 Tipos de Antenas

As antenas lineares, fabricadas a partir de fios ou hastes metalicas, sao as maiscomuns de serem encontradas no mercado. O exemplo mais simples deste tipode antena e o dipolo. Os dipolos podem ser classificados de acordo com o seucomprimento, sendo que os de aplicacao pratica tem comprimentos acima de λ/10.O mais conhecido deles e o dipolo de meio comprimento de onda.

Dipolos podem ser agrupados para maximizar certas caracterısticas de uma an-tena. Dipolos alinhados lado a lado, sobre um unico eixo, formam um conjuntochamado arranjo colinear. Dipolos alinhados sobre um mesmo plano, paralelos unsaos outros, podem ser denominados de antena log-periodica (Figura 8.1) ou yagi

151

CAPıTULO 8. Caracterısticas de uma Antena 152

Figura 8.1: Log-Periodica com as seguintes caracterısticas: banda (MHz) 2-30;ganho 9-12(dBi); relacao frente-costas 10(dB); impedancia 50 Ω; polarizacao hori-zontal; VSWR (medio) 2.5:1; potencia media 1kW.

(Figura 8.2), dependendo dos comprimentos dos mesmos e de como estes sao ali-mentados.

Para aplicacoes em que se deseja uma relacao frente-costas e/ou ganho maiselevado que aqueles oferecidos pelos arranjos lineares, uma opcao e o emprego derefletores dos tipos plano, “de canto” ou parabolico. Em frente a estes refletores saocolocados antenas ou arranjo de antenas, como mostrado na Figura 8.3. Contudo,a maioria dos refletores parabolicos utiliza antenas do tipo abertura, as comumentechamadas cornetas (Figura 8.4). Outros tipos de antenas de alto ganho, muitoutilizadas em radio-enlaces, sao aquelas denominadas helicoidais. Uma antena he-licoidal e composta de um refletor plano circular e uma helice feita de fio ou tubomaleavel, como mostrado na Figura 8.5.

Atualmente vem se tornando popular as antenas denominadas planas. Estas an-tenas sao de maior interesse em aplicacoes em que o volume do dipositivo irradiadortem que ser mınimo. As antenas planas podem ser utilizadas, por exemplo, nas fuse-lagens de avioes, foguetes e mısseis sem interferir nas caracterısticas aerodinamicasdestes veıculos. Antenas planas, ou arranjo de antenas planas, sao impressas emsubstratos dieletricos, como mostrado na Figura 8.6.

153 8.3. Dipolo de Comprimento Finito

Figura 8.2: Antena yagi com as seguintes caracterısticas: banda (MHz) 174-216;Ganho (dBi) 8,9; polarizacao Hor. ou Ver.; VSWR 1,3; impedancia 50 Ω.

8.3 Dipolo de Comprimento Finito

As equacoes dos campos de um dipolo de comprimento finito l, e raio a muitopequeno (a l), podem ser obtidas considerando-se uma distribuicao de correnteque varia no espaco de acordo com

I(x, y, z) =

Iosen[k(l2− z

)]p/ 0 z l

2

Iosen[k(l2

+ z)]

p/ − l2

z 0

(8.1)

onde k = 2πλ

. O dipolo esta estendido ao longo do eixo z, como mostrado na Figura

7.2. E importante salientar que a corrente tambem varia no tempo de acordo comej ω t. Observa-se, em (8.1), que esta corrente e nula nas extremidades do dipolo.

Para a regiao de campos distantes, pode-se calcular E e H considerando-se queo dipolo finito e constituıdo de varios dipolos infinitesimais de comprimento dz, queestao a uma distancia R do ponto em que se quer calcular os campos. Sendo assim,os campos distantes produzidos por cada dipolo infinitesimal (vide (7.42) e (7.43)),sao fornecidos por

dEθ =jη kI(x, y, z) e−jkRsen θ

4πRdz (8.2)


Figura 8.3: Refletor parabolico com as seguintes caracterısticas: banda 300-520(MHz); ganho 20 dBi; VSWR 1,5; potencia de radiacao 100W.

dHϕ =dEθη

(8.3)

Como se deseja encontrar as expressoes para pontos muito distantes da antena,entao, as respectivas aproximacoes em fase e amplitude podem ser feitas

R r + z cos θ (8.4)

e

R r (8.5)

Sendo assim,

dEθ =jη kI(x, y, z) e−jk( r+z cos θ)sen θ

4πrdz (8.6)

A contribuicao de todos os dipolos infinitesimais que formam o dipolo finito forneceo campo eletrico radiado. Sua expressao e obtida integrando-se (8.6), ou seja,

Eθ =

l2∫

−l2

dEθ =jη k e−jkrsen θ

4πr

l2∫

−l2

I(x, y, z)e−jk z cos θdz (8.7)

155 8.3. Dipolo de Comprimento Finito

Figura 8.4: Refletor parabolico com antena do tipo corneta.

Figura 8.5: Antena helicoidal.


Figura 8.6: Antena plana impressa utilizada num PDA (Personal Digital Assistant).

ou

Eθ = jηIok e−jkrsen θ4πr

0∫−l2

sen[k(l2

+ z)]e−jk z cos θdz

+ jηIok e−jkrsen θ4πr

l2∫0

sen[k(l2− z

)]e−jk z cos θdz

(8.8)

Resolvendo-se as integrais em (8.8), tem-se

Eθ =jηIo e

−jkr

2πr

[cos

(kl2

cos θ)− cos

(kl2

)sen θ

](8.9)

e consequentemente

Hϕ =Eθη

=jIo e

−jkr

2πr

[cos

(kl2

cos θ)− cos

(kl2

)sen θ

](8.10)

Exemplo 8.1 Determine a expressao do campo eletrico para um dipolo de meiocomprimento de onda. Qual a direcao de campo maximo?

157 8.4. Principais Parametros de uma Antena

Solucao: A expressao do campo eletrico e obtida substituindo o comprimento l porλ/2 na equacao (8.9), ou seja,

Eθ =jηIo e

−jkr

2πr

[cos

(π2

cos θ)

sen θ

]

O campo eletrico e maximo quando

sen θm = cos(π

2cos θm

)Pode-se verifcar que os valores de θm que satisfazem a igualdade sao 90 e −90.

8.4 Principais Parametros de uma Antena

Como foi visto nos exemplos citados na Secao 8.2, os fabricantes de antenas fornecemas suas principais caracterısticas, como ganho, impedancia de entrada, relacao frente-costas, etc. Nas secoes seguintes serao apresentadas estas grandezas e outras maisque sao utilizadas na caracterizacao de uma infinidade de antenas. Sera utilizada,para exemplificar cada grandeza, a antena dipolo de meio comprimento de onda.

8.5 Intensidade de Radiacao

A intensidade de radiacao em uma determinada direcao e definida como sendo apotencia radiada pela antena por unidade de angulo solido. Em termos matematicos,tem-se

U(θ, ϕ) =PradΩ

= r2Wrad(θ, ϕ) (8.11)

onde Ω e o angulo solido dado em esferorradiano e Wrad a densidade de potenciaradiada pela antena. O angulo solido multiplicado por r2 fornece a area de partede uma superfıcie esferica. A area total e obtida quando Ω = 4π . Portanto, deuma forma geral, A = Ω r2, seguindo uma regra semelhante aquela que fornece ocomprimento de arco de uma circunferencia, C = α r.

Para campos distantes, tem-se

U(θ, ϕ) r2

2η

[ |Eθ(r, θ, ϕ)|2 + |Eϕ(r, θ, ϕ)|2] (8.12)


No caso de um dipolo com orientacao ao longo do eixo z, tem-se apenas a componenteEθ do campo eletrico, portanto, a expressao da intensidade de radiacao associada aeste tipo de antena e dada por

U(θ, ϕ) =ηI 2

o

8π2

∣∣∣∣∣cos(k l2

cos θ)− cos

(k l2

)sen θ

∣∣∣∣∣2

(8.13)

8.6 Diagrama de Radiacao

Na pratica, e interessante se visualizar a distribuicao da intensidade de potenciaem diferentes direcoes em volta da antena. Esta visualizacao e feita atraves dediagramas tomados em diferentes planos no espaco. Em geral, sao tracados osgraficos da intensidade de radiacao em dois planos distintos: o plano E, que contemo vetor campo eletrico e o plano H, que contem o campo magnetico. Tomando-secomo exemplo uma antena dipolo de meio comprimento de onda, alinhada ao longodo eixo z, tem-se como plano E qualquer plano que contenha o dipolo (ex. planox = 0 ou y = 0). Enquanto que, o plano H e qualquer plano perpendicular ao dipolo(ex. plano z = 0). As Figuras 8.7 e 8.8 mostram os diagramas de radiacao de umdipolo de λ

2. Os diagramas foram tracados utilizando-se as expressoes que fornecem

a intensidade de radiacao normalizada, em funcao de θ,

UdB(θ) = 10 log

[U(θ, ϕ = cte.)

Umax

](8.14)

e em ϕ

UdB(ϕ) = 10 log

[U(θ = cte., ϕ)

Umax

](8.15)

Como o campo eletrico num dipolo nao depende de ϕ, o resultado e um diagramaigual a uma circunferencia, mostrando que esta antena e isotropica no plano H. Osdiagramas de radiacao tambem podem ser tracados em relacao ao campo eletriconormalizado. As Figuras 8.9 e 8.10 mostram os diagramas de uma antena yagi de 3elementos. Neste caso, os diagramas foram obtidos a partir de

En(θ) =

√U(θ, ϕ = cte.)

Umax

(8.16)

e

159 8.7. Potencia Radiada

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

Figura 8.7: Diagrama de radiacao de um dipolo de meio comprimento de onda (planoE).

En(ϕ) =

√U(θ = cte., ϕ)

Umax

(8.17)

Observa-se que, no diagrama referente ao plano E, existe um lobulo a 0 e outroa 180. O maior e denominado lobulo principal, enquanto que o menor e chamadode lobulo secundario. Em aplicacoes de radio-enlace, e sempre desejado uma max-imizacao do lobulo principal e uma minimizacao ou eliminacao total dos lobulossecundarios.

8.7 Potencia Radiada

A potencia radiada por uma antena e aquela emitida para o espaco em forma deonda eletromagnetica. A potencia media pode ser obtida a partir da densidade de


90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

Figura 8.8: Diagrama de radiacao de um dipolo de meio comprimento de onda (planoH).

potencia media ou do modulo do vetor de Poynting, isto e,

P rad =

∮S

W · ds =

2π∫0

π∫0

W (θ, ϕ) r2sen θ dθ dϕ (8.18)

onde, para regiao de campos distantes,

W (θ, ϕ) =1

2η

[ |Eθ(r, θ, ϕ)|2 + |Eϕ(r, θ, ϕ)|2] (8.19)

A potencia radiada pode ser tambem obtida a partir da intensidade de radiacao, eq.(8.11),

P rad =

2π∫0

π∫0

U(θ, ϕ) sen θ dθ dϕ =

4π∫0

U(Ω) dΩ (8.20)

161 8.7. Potencia Radiada

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

Figura 8.9: Diagrama de radiacao de uma antena yagi (plano E).

No caso de um radiador isotropico, a intensidade de radiacao e constante e apotencia radiada fica sendo

P rad =

4π∫0

Uo dΩ = Uo

4π∫0

dΩ = 4πUo (8.21)

onde Uo e constante. Ao passo que, para um dipolo de comprimento l,

P rad =ηI 2

o

4π

π∫0

[cos

(k l2

cos θ)− cos

(k l2

)]sen θ

2

dθ (8.22)

Resolvendo-se a integral acima, tem-se


90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

Figura 8.10: Diagrama de radiacao de uma antena yagi (plano H).

P rad = η I 2o

4πC + ln(kl) − Ci(kl) + 1

2sen(kl)[Si(2kl) − 2 Si(kl)]

+ 12cos(kl)[C + ln

(kl2

)+ Ci(2kl) − 2 Ci(kl)]

(8.23)

sendo C = 0, 5772 (constante de Euler). As funcoes Ci e Si, denominadas respec-tivamente como funcao cosseno integral e funcao seno integral, sao obtidas a partirde

Ci(x) =

x∫−∞

cos u

udu = C + ln(u) +

x∫0

cos u− 1

udu (8.24)

e

163 8.8. Ganho Diretivo e Diretividade

Si(x) =

x∫0

sen u

udu (8.25)

8.8 Ganho Diretivo e Diretividade

Ganho diretivo de uma antena e definido como a razao entre a intensidade de ra-diacao da antena e a intensidade de radiacao de uma antena isotropica, isto e

Dg(θ, ϕ) =U(θ, ϕ)

Uo(8.26)

Como a intensidade de radiacao de uma antena isotropica esta relacionada com apotencia radiada atraves da equacao (8.21), entao,

Dg(θ, ϕ) =4πU(θ, ϕ)

P rad

(8.27)

Se a antena nao for isotropica, existem valores de θ e ϕ, isto e, certas direcoes noespaco, que levam o ganho diretivo ao seu valor maximo. O ganho diretivo, nadirecao em que a intensidade radiacao torna-se maxima, e denominado diretividadee sua expressao e fornecida por

Do =Umax

Uo=

4πUmax

P rad

(8.28)

Fica claro na equacao (8.28) que a diretividade de uma antena isotropica e igual aum. A diretividade para um dipolo infinitesimal e obtida sabendo-se que

U(θ, ϕ) =η

2

(k l Io4π

)2

sen2θ = Umaxsen2θ (8.29)

e, segundo (8.20),

P rad = Umax

2π∫0

π∫0

sen3 θ dθ dϕ (8.30)

Portanto,

Do =4π

2π∫0

π∫0

sen3 θ dθ dϕ

=4π

8π/3=

3

2(8.31)


Ja a diretividade de um dipolo de meio comprimento de onda e

Do =4π

2π∫0

π∫0

cos2(π2

cos θ)sen θ

dθ dϕ

1, 643 (8.32)

onde foi utilizada a intensidade de radiacao (8.13) fazendo l = λ2.

8.9 Ganho de uma Antena

Uma antena e um dispositivo passivo, sendo assim, nao existe introducao de energiano sistema onde ela esta inserida. A potencia radiada por uma antena, P rad, e iguala potencia de entrada que chega nos seus terminais, Pin, menos a potencia perdidana mesma. Sendo assim, se existem perdas neste dispositvo, nao existe ganho depotencia, mas sim atenuacao. O ganho de uma antena e obtido em relacao a umradiador isotropico, ou seja, uma antena que radia isotropicamente tem ganho iguala zero dB, enquanto que uma antena com maior diretividade tem ganho maior quezero. A definicao de ganho e dada por

G(θ, ϕ) =4πU(θ, ϕ)

Pin(8.33)

em que Pin e a potencia nos terminais da antena. Como a potencia radiada e

P rad = etPin (8.34)

entao

G(θ, ϕ) = et4πU(θ, ϕ)

P rad

= etDg(θ, ϕ) (8.35)

sendo et chamada de eficiencia da antena. O ganho maximo da antena e obtidoquando o ganho diretivo e igual a diretividade, isto e,

Go = et4πUmax

P rad

= etDo (8.36)

Em geral, o ganho maximo de uma antena e fornecido em dBi (ganho em relacao auma antena isotropica),

Go(dBi) = 10 logGo (8.37)

Considerando-se que as perdas de um dipolo de meio comprimento de onda saodesprezıveis, pode-se determinar o ganho desta antena como segue:

165 8.10. Relacao Frente-Costas

Go = 10 log(Do) = 10 log(1, 643) 2, 156 dBi (8.38)

Alguns fabricantes fornecem os ganhos de suas antenas em relacao ao dipolo, nestecaso, pode-se obter o valor em dBi a partir de

Go(dBi) = Go(dBd) + 2, 156 (8.39)

sendo Go(dBd) o ganho da antena em relacao a um dipolo de meio comprimento deonda.

8.10 Relacao Frente-Costas

Este parametro e uma medida utilizada para avaliar o quanto de potencia e perdidana direcao oposta a direcao de maxima radiacao. A relacao frente-costas de umaantena pode ser obtida a partir de

Rfc(dB) = G(θf , ϕf ) −G(θc, ϕc) = Gf −Gc (8.40)

onde θc = θf +180, ϕc = ϕf +180 e Gf = Go e o ganho maximo, obtido geralmenteonde se considera a frente da antena. Gc e o ganho medido na direcao oposta, ounas “costas” da antena. Todos os ganhos devem ser fornecidos em decibeis.

8.11 Feixe de Meia-Potencia

O feixe de meia-potencia pode ser obtido a partir da expressao de intensidade de ra-diacao ou diretamente dos diagramas de radiacao. Seu valor e fornecido em radianosou em graus, sendo que a medicao e feita entre as direcoes onde U , e consequente-mente a potencia radiada, cai para a metade do seu valor maximo. Nos diagramas deradiacao, estas direcoes correspondem aos pontos de -3dB. Tomando-se como exem-plo o dipolo de meio comprimento de onda, pode-se obter o feixe de meia-potenciaidentificando-se os pontos de -3dB no diagrama mostrado na Figura 8.7. Neste caso,tem-se meia-potencia em torno de 52, -52, 128 e -128. Portanto, existem doisfeixes de meia-potencia de 76 de largura, um a 90 e outro a -90.

Para antenas que possuem lobulos secundarios desprezıveis, pode-se obter a di-retividade das mesmas a partir das larguras dos feixes de meia-potencia nos planosE e H, isto e,

Do 4π

ΘEΘH

(8.41)


Ig

Vg

Zg

Za

Figura 8.11: Circuito equivalente de uma antena ligada diretamente a um gerador.

sendo ΘE e ΘH , respectivamente, as larguras dos feixes de meia-potencia nos planosE e H. Estes valores devem ser fornecidos em radianos.

8.12 Impedancia de Entrada e Potencia Radiada

O circuito equivalente a uma antena, no modo de transmissao, ligada diretamentea um gerador de RF, e mostrado na Figura 8.11. A impedancia do gerador e rep-resentada por Zg = Rg + jXg e a impedancia “vista” nos terminais de entrada daantena por Za = Ra + jXa. A resistencia Ra consiste de uma parcela associada aradiacao de ondas eletromagneticas, denominada aqui como Rr, e uma outra parcelaassociada as perdas na antena, RL. Portanto, Ra = Rr +RL.

Se a tensao no gerador e Vg = Vmaxejωt, entao, a potencia media produzida pelo

mesmo e dada por

Pg =1

2Re

Vg I

∗g

=

1

2VmaxImax cosφ (8.42)

onde φ e a diferenca de fase entre a tensao e a corrente, e cosφ o fator de potencia.Como a corrente maxima no circuito e dada por

Imax =

∣∣∣∣ Vmax

Zg + Za

∣∣∣∣ =Vmax√

(Rg +Rr +RL)2 + (Xg +Xa)2

(8.43)

entao, a potencia perdida na antena pode ser obtida de

PL =1

2RLI

2max =

V 2max

2

RL

(Rg +Rr +RL)2 + (Xg +Xa)2 (8.44)

e a potencia radiada por

167 8.13. Eficiencia de uma Antena

Prad =1

2RrI

2max =

V 2max

2

Rr

(Rg +Rr +RL)2 + (Xg +Xa)2 (8.45)

Para se obter a maxima energia entregue a antena, o circuito tem que estarcasado, isto e, Zg = Z∗

a . Nesta condicao, Rg = Rr + RL, Xg = −Xa e as potenciasPg, PL e Prad sao fornecidas respectivamente por

Pg =V 2

max

4

1

Rr +RL

(8.46)

PL =V 2

max

8

RL

(Rr +RL)2 (8.47)

e

Prad =V 2

max

8

Rr

(Rr +RL)2 (8.48)

Observa-se que, na condicao de casamento, apenas a metade da potencia produzidapelo gerador e fornecida a antena e que, na melhor das hipoteses (PL = 0), a potenciaradiada e igual a metade da potencia suprida.

8.13 Eficiencia de uma Antena

Uma antena tem 100% de eficiencia quando nao existem perdas ohmicas na sua es-trutura e descasamento do sistema radiante linha-antena. Caso contrario, as perdaspodem ser contabilizadas a partir dos seguintes parametros de eficiencia:

er = 1 − |ρ|2 (8.49)

e

eL =Rr

Rr +RL

(8.50)

sendo er denominado eficiencia de casamento, eL a eficiencia associada as perdas napropria antena e ρ o coeficiente de reflexao nos terminais da antena. A resistenciaRr e chamada de resistencia de radiacao e varia de acordo com o tipo de antena.Enquanto RL, no caso de antenas lineares, e fornecida por

RL =l

P

√πfµoσ

(8.51)


sendo l o comprimento da haste ou fio condutor e P o perımetro da secao transver-sal do condutor. Esta expressao pode ser obtida a partir dos campos eletrico emagneticos dentro da haste condutora e de

E = ηcH (8.52)

sendo ηc a impedancia intrınsica do condutor, dada por (2.44). Se a haste forcilındrica com raio a e comprimento l, tem-se, pela lei de Ampere, H = I/(2πa).Por outro lado, sabe-se que E = V l. Portanto, pode-se escrever

V

l=

I

2πa(1 + j)

√ωµo2σ

(8.53)

ou

ZL =V

I=

l

2πa(1 + j)

√ωµo2σ

(8.54)

onde

RL = ReZL =l

2πa

√ωµo2σ

=l

P

√πfµoσ

(8.55)

A eficiencia total da antena e obtida de

et = er eL (8.56)

onde 0 et 1.

Exemplo 8.2 Calcule a eficiencia total de uma antena dipolo de meio comprimentode onda operando em 300MHz. A antena, feita de tubos de alumınio com 1cm dediametro, esta casada com o sistema de transmissao.

Solucao: Se o sistema irradiante esta casado, entao ρ = 0 e et = eL. Sendo assim,e necessario determinar apenas os valores de Rr e RL. A resistencia associada asperdas e obtida de (8.51), isto e,

RL =l

P

√πfµoσ

=5

π × 10−2

√π × 3 × 108 × 4π × 10−7

3, 4 × 107 0, 094 Ω

O valor da resistencia de radiacao, como sera visto no proximo capıtulo, e fornecidopor

169 8.14. Area Eletrica e Comprimento Eletrico

Rr =2P rad

I 2o

73, 13 Ω

sendo a potencia de radiacao obtida de (8.23). Por fim, a eficiencia do dipolo emconsideracao e

et = eL =73, 13

73, 13 + 0, 094 99, 87 %

8.14 Area Eletrica e Comprimento Eletrico

Para se calcular a potencia nos terminais de uma antena que opera no modo derecepcao, e necessario multiplicar a area da antena pelo modulo do vetor de Poyntingincidente, isto e,

Prx = WiAe (8.57)

Se a antena estiver ligada a um sistema cuja impedancia Zs = Rs + jXs, entao, aarea Ae pode ser obtida de

Ae =PrxWi

=V 2

max

2Wi

Rs

(Rs +Rr +RL)2 + (Xs +Xa)2 (8.58)

onde Vmax e a tensao maxima gerada pela antena e Ae e a area eletrica ou aberturaefetiva. Na condicao de casamento, Zs = Z∗

a , obtem-se

Ae =V 2

max

8WiRa

=V 2

max

8Wi

1

Rr +RL

(8.59)

Se as perdas forem nulas, a area eletrica e maxima,

Aem =V 2

max

8WiRr

(8.60)

Por exemplo, a area efetiva maxima de um dipolo infinitesimal de comprimentoeletrico le e dada por

Aem =E2o l

2e

8WiRr

=ηl2e4Rr

(8.61)

pois Vmax = Eole e Wi = E2o

2η. A resistencia de radiacao pode ser determinada a

partir das equacoes (8.28), (8.29) e (8.45), ou seja,


Rr =2PradI2o

=8πUmax

I2oDo

=η k2l2e4πDo

(8.62)

Substituindo-se (8.62) em (8.61), tem-se

Aem =πDo

k2=λ2

4πDo (8.63)

Apesar da expressao acima ter sido obtida para um dipolo infinitesimal, ela evalida para qualquer tipo de antena. Portanto, pode-se concluir que a area eletricamaxima e inversamente proporcional ao quadrado da frequencia e diretamente pro-porcional a diretividade da antena.

A area eletrica e obtida tambem a partir do ganho maximo da antena, isto e,

Ae =λ2

4πGo (8.64)

Neste caso, a area nao e maxima, a menos que a eficiencia seja 100% (Go = Do).Outro parametro importante e o comprimento eletrico. Este e muito empregado

na analise de antenas do tipo dipolo, em casos onde se necessita obter a tensao nosseus terminais. A expressao do comprimento eletrico e obtida a partir da equacoes(8.64) e (8.61). De (8.61) obtem-se a area eletrica em funcao da resistencia daantena, ou seja,

Ae =ηl2e4Ra

(8.65)


ηl2e4Ra

=λ2

4πGo (8.66)

e, consequentemente,

le =λ

π

√RaGo

120(8.67)

Exemplo 8.3 Considere um enlace de radio constituıdo de dois dipolos identicosaquele do Exemplo 8.2 . Qual deve ser o comprimento eletrico da antena receptora?

Solucao: Como foi visto, o comprimento eletrico e fornecido pela equacao (8.67)onde, neste caso, Ra = Rr + RL 73, 22 Ω e Go = etDo = 0, 9987 × 1, 64 1, 639.Portanto,

le =1

π

√73, 22 × 1, 639

120= 0, 318 m

171 8.15. Largura de Banda

8.15 Largura de Banda

A banda de uma antena e a faixa de frequencia onde as principais caracterısticas damesma nao se alteram. Na pratica, alguma variacao e tolerada, como por exemplono que se refere a impedancia de entrada. A consequencia direta da variacao deimpedancia e o surgimento de ondas refletidas na linha de alimentacao, o que leva aoaumento do coeficiente de onda estacionaria nos terminais de saıda do transmissor.Em algumas aplicacoes, a largura de banda de uma antena pode ser medida a partirdas frequencias onde o VSWR tem valor igual a 1,5. Para bandas estreitas, a largurae dada em percentagem, ou seja,

B =∆f

f× 100 % (8.68)

sendo ∆f = fs − fi, f = fs+fi

2, fs a frequencia superior da banda e fi a frequencia

inferior. Enquanto, para bandas largas, utiliza-se a notacao x:y, como por exemplo5:1, que indica que a frequencia superior e 5 vezes maior que a inferior.

A Figura 8.12 mostra a variacao da impedancia com a frequencia para um dipolode meio comprimento de onda. A faixa de variacao e de 10%, a impedancia de re-ferencia e 75Ω, a circunferencia tracada a partir do centro da carta de Smith equivalea um VSWR de 1,5 e o ponto marcado e referente a impedancia na frequencia f = c

λ,

isto e, 73+j42. Neste caso, todas as impedancias internas a circunferencia fornecemum VSWR menor que 1,5 e a faixa de frequencia que leva a estas impedancias cor-responde a banda da antena, supondo-se que nao existam grandes mudancas nasoutras caracterısticas da antena.

8.16 Polarizacao

A polarizacao de uma onda eletromagnetica esta associada com a direcao do campoeletrico da mesma. Por exemplo, uma onda esta polarizada linearmente na verticalquando a direcao do campo eletrico e vertical em relacao a Terra. As ondas eletro-magneticas podem ser classificadas de acordo com a polarizacao em tres gruposdistintos: ondas linearmente polarizadas, circularmente polarizadas e elipticamentepolarizadas.

Considerando-se que uma onda plana se propaga no sentido z+ e tem campoeletrico da forma

E = Exax + Eyay (8.69)

em que


Zin

=73+j42 VSWR= 1,5

Figura 8.12: Variacao da impedancia de entrada com a frequencia para um dipolode meio comprimento de onda.

Ex = E1sen(ωt− kz) (8.70)

e

Ey = E2sen(ωt− kz + δ) (8.71)

pode-se dizer que a onda esta polarizada linearmente quando a defasagem entre ascomponentes tem valor δ = 0 ou π. Se o eixo x esta paralelo a Terra e o y na verti-cal, entao, tem-se polarizacao linear horizontal quando E2 = 0 e polarizacao linearvertical para E1 = 0. Se E1 = 0 e E2 = 0, para mesma condicao de defasagem, entaoa polarizacao e dita linear a X onde X = arctg(E2/E1). A onda esta circularmentepolarizada quando δ = ±π/2 e E1 = E2. No exemplo dado, a onda tem polarizacaocircular para a esquerda se δ = π/2, e para a direita se δ = −π/2. Finalmente, aonda tem polarizacao elıptica quando nenhuma das condicoes acima e satisfeita.

A polarizacao de uma antena e definida de acordo com a polarizacao da onda ra-diada por esta, se a mesma esta sendo usada no modo de transmissao. Por exemplo,se uma antena radia onda circularmente polarizada para a direita, ela e uma antena

173 8.17. Temperatura de Ruıdo

de polarizacao circular para a direita. Pode-se tambem verificar a polarizacao deuma antena a partir da potencia de recepcao nos terminais da mesma quando estaopera no modo de recepcao. A polarizacao da antena vai ser igual a polarizacao daonda incidente que produzir o maior nıvel de potencia nos seus terminais.

Se a antena nao estiver exatamente na mesma polarizacao da onda incidente,o aproveitamento da potencia nao e maximizado. Esta perda, devida ao nao al-inhamento correto entre a antena e o campo eletrico da onda incidente, pode serquantificada a partir de

αpol = |ao · a∗a|2 (8.72)

ou em decibeis

αpol(dB) = −10 logαpol = −20 log |ao · a∗a| (8.73)

onde ao e o versor que fornece a direcao do campo eletrico da onda incidente, e a∗a

o complexo conjugado do versor associado a direcao do campo eletrico induzido naantena.

8.17 Temperatura de Ruıdo

Sabe-se que, todo corpo a uma temperatura acima de zero absoluto radia energia.Esta energia esta associada a uma temperatura equivalente dada por

Te = ε(θ, ϕ)T (8.74)

onde ε e denominada emissividade do corpo e T a temperatura das moleculas (emK) que constituem o mesmo. A temperatura equivalente de ruıdo de uma antenadepende da direcao para onde ela esta sendo apontada e seu valor pode ser obtidoa partir de

Ta =

2π∫0

π∫0

Te(θ, ϕ)G(θ, ϕ) sen θ dθ dϕ

2π∫0

π∫0

G(θ, ϕ) sen θ dθ dϕ

(8.75)

sendo G(θ, ϕ) o ganho da antena.A potencia disponıvel de ruıdo nos terminais da antena e dada por

Pa = kTaB (8.76)


Ts=T

c+T

r

Tc

Ta

To

Te

l

Figura 8.13: Sistema de recepcao constituıdo de antena, linha de transmissao ereceptor.

sendo k = 1, 38 × 10−23 J/K a constante de Boltzman e B a largura de banda. Oruıdo nos terminais da antena pode tambem ser quantificado a partir de um fatordenominado Figura de Ruıdo. A figura de ruıdo esta relacionada com a temperaturade ruıdo atraves da equacao

F =TaT

+ 1 (8.77)

onde Ta e a temperatura equivalente de ruıdo nos terminais da antena e T e atemperatura ambiente padrao, 290K.

Para um sistema de recepcao constituıdo de antena, linha de transmissao e re-ceptor, como mostrado na Figura 8.13, a potencia de ruıdo do sistema e dada por

Ps = kTsB (8.78)

Ts = Tc + Tr (8.79)

sendo

Tc = Ta e−2α l + To(1 − e−2α l) (8.80)

α a atenuacao no cabo, l o seu comprimento e To sua temperatura.

Exemplo 8.4 Um sistema de recepcao via satelite, que opera em 1GHz, utiliza umaantena parabolica com temperatura de ruıdo igual a 40K. O receptor esta ligado aantena atraves de um cabo coaxial de 20m. Qual deve ser a figura de ruıdo dosistema? Caracterısticas do sistema: cabo RG6, faixa de operacao 50MHz e figurade ruıdo do receptor 1dB.

175 8.17. Temperatura de Ruıdo

Solucao: O cabo coaxial RG6 possui, em 1GHz, um fator de atenuacao de 0,31dB/m,logo α = αdB/8, 686 = 0, 0357 e

Tc = 40 e−1,43 + 295 (1 − e−1,43) 234 K

onde a temperatura do cabo foi considerada igual a 22C (295K). Como a temper-atura equivalente de ruıdo do receptor e dada por

Tr = T (F − 1) = 290(101/10 − 1) 75 K

entao, a figura de ruıdo do sistema e

F =Tc + TrT

+ 1 =234 + 75

290+ 1 2, 07 (3,16dB)

Este valor poderia ser menor se fosse utilizado um cabo coaxial de menor atenuacaocomo, por exemplo, RG213.

Capıtulo 9

Antenas Lineares

9.1 Introducao

As antenas lineares, como foi dito anteriormente, sao constituıdas na sua maioria defios ou hastes metalicas que podem ser agrupados para formar, dentre outras estru-turas, dipolos ou conjunto de dipolos. Neste capıtulo serao mostradas as principaiscaracterısticas de antenas lineares do tipo dipolo, monopolo com plano terra e dipo-los dobrados. As caracterısticas de conjunto de dipolos, como Yagi e Log-Periodica,serao analisadas com mais detalhes nos capıtulos que se seguem. Entretanto, o es-tudo da variacao da impedancia de um dipolo, quando este se encontra proximo deum outro elemento linear, sera visto na penultima secao deste capıtulo. Dipolos comsecao transversal cujo diametro e relativamente grande, quando comparado com ocomprimento de onda, serao abordados na ultima secao.

9.2 Caracterısticas de um Dipolo de Comprimento

Finito

Os dipolos finos sao as estruturas lineares mais simples de serem analisadas. Al-gumas das suas caracterısticas ja foram vistas no capıtulo anterior e outras aindanao foram detalhadas. Nesta secao e apresentada uma sıntese dos parametros que jaforam vistos, assim como a analise daqueles que nao foram detalhados anteriormente.

9.2.1 Campos Distantes

As expressoes dos campos distantes de um dipolo fino de comprimento finito saoapresentadas mais uma vez a seguir. O campo eletrico e dado por

177

CAPıTULO 9. Antenas Lineares 178

Eθ =jηIo e

−jkr

2πr

[cos

(kl2

cos θ)− cos

(kl2

)sen θ

](9.1)

e o magnetico por

Hϕ =Eθη

=jIo e

−jkr

2πr

[cos

(kl2

cos θ)− cos

(kl2

)sen θ

](9.2)

observando-se que os campos nao tem dependencia em r e ϕ.

9.2.2 Intensidade de Radiacao

A intensidade de radiacao de um dipolo e dada por

U(θ, ϕ) = Af(θ, ϕ) (9.3)

sendo

A =η |Io|28π2

(9.4)

e

f(θ, ϕ) =

∣∣∣∣∣cos(k l2

cos θ)− cos

(k l2

)sen θ

∣∣∣∣∣2

9.2.3 Diagrama de Radiacao

A Figura 9.1 mostra os diagramas de radiacao no plano E para dipolos com com-primento menor ou igual a λ. Observa-se que a largura de feixe de meia-potenciadiminui com o aumento do comprimento do dipolo. Enquanto que a Figura 9.2apresenta os diagramas para dipolos com comprimento igual ou maior que λ. Nestecaso, verifica-se que o numero de lobulos aumenta com o comprimento.

9.2.4 Potencia Radiada

A potencia radiada por um dipolo pode ser obtida a partir de

P rad =η |Io|2

4πKr (9.5)

sendo

179 9.2. Caracterısticas de um Dipolo de Comprimento Finito

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

Figura 9.1: Diagrama, no plano E, da intensidade de campo eletrico para dipoloscom comprimento: λ/8 (curva pontilhada), λ/2 (curva solida) e λ (curva tracejada).

Kr = 0, 5772 + ln(kl) − Ci(kl) + 12sen(kl)[Si(2kl) − 2 Si(kl)]

+ 12cos(kl)[C + ln

(kl2

)+ Ci(2kl) − 2 Ci(kl)]

(9.6)

lembrando-se que C = 0, 5772, Ci e Si sao as integrais fornecidas pelas equacoes(8.24) e (8.25).

9.2.5 Diretividade e Ganho

A diretividade de um dipolo pode ser calculada utilizando-se a equacao (8.28) ouentao atraves de


90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

Figura 9.2: Diagrama, no plano E, da intensidade de campo eletrico para dipoloscom comprimento: 1.5λ (curva pontilhada), λ (curva solida) e 2λ (curva tracejada).

Do =4π f(θ, ϕ) |max

2π∫0

π∫0

f(θ, ϕ) sen θ dθ dϕ

(9.7)

ou a partir de

Do =4πUmax

P rad

=2 f(θ, ϕ) |max

Kr

(9.8)

sendo que o ganho e fornecido por

181 9.2. Caracterısticas de um Dipolo de Comprimento Finito

Go =2 et f(θ, ϕ) |max

Kr

(9.9)

onde et e a eficiencia da antena, obtida de (8.56).

9.2.6 Impedancia de Entrada

A impedancia de um dipolo fino depende da frequencia de excitacao e do com-primento do mesmo. Seu valor e dado por Za(f, l) = Ra(f, l) + jXa(f, l) ondeRa = Rr + RL e a resistencia total de entrada e Xa a reatancia. Como foi vistono Capıtulo 8, a resistencia Rr se refere a radiacao e RL as perdas nas hastes oufios. RL e fornecida por (8.51), enquanto Rr pode ser obtida a partir da potenciaradiada, ou seja,

Rr =2P rad

I 2o

=η

2πKr (9.10)

E bom lembrar que Io se refere a distribuicao de corrente no dipolo e nao a correntede alimentacao do mesmo. Portanto, a potencia associada a parte resistiva da antenae dada por

Pres =1

2RinI

2max (9.11)

onde Imax e o valor maximo da corrente de entrada da antena. No caso onde naoexistem perdas, tem-se Pres = P rad e

Rin = RrI 2o

I 2max

(9.12)

Para um dipolo de meio comprimento, a corrente distribuıda ao longo de seucomprimento tem valor maximo no ponto de alimentacao, portanto, a amplitude dacorrente de entrada Imax = Io. Sendo assim, Rin = Rr . Entretanto, para outroscomprimentos, o maximo pode nao ocorrer no ponto de alimentacao, como e o casodo dipolo de um comprimento de onda. De uma forma geral, a amplitude da correntede entrada no dipolo pode ser obtida de

Imax = Io sen

(kl

2

)(9.13)

e a resistencia de entrada por

Rin =Rr

sen2(kl2

) (9.14)


A reatancia de entrada de um dipolo segue a mesma regra, isto e,

Xin =Xa

sen2(kl2

) (9.15)

onde o valor da reatancia Xa e obtido utilizando-se o metodo da forca eletromotrizinduzida [2]. A expressao da reatancia e

Xa =η

4πKx (9.16)

sendo

Kx = 2 Si(kl) + cos(kl)[2 Si(kl) − Si(2kl)]

− sen(kl)[2 Ci(kl) − Ci(2kl) − Ci(

2ka2

l

)]

(9.17)

Portanto, a impedancia de entrada para um dipolo finito, desprezando-se as perdasnos condutores, e

Zin = Rin + jXin (9.18)

Exemplo 9.1 Determine a impedancia de entrada de um dipolo de meio compri-mento projetado para operar em 100MHz. Qual o valor desta impedancia para odobro desta frequencia? O dipolo e feito de tubos de alumınio de 1cm de diametro.

Solucao: A impedancia para um dipolo de λ/2 e fornecida por

Zin =Rr + jXa

sen2(kl2

) = Rr + j Xa =η

4π(2Kr + j Kx)

pois kl/2 = π/2. Utilizando-se as equacoes (9.6) e (9.17), para um raio a = 0, 005 m,obtem-se, respectivamente, os valores de Kr = 1, 2188 e Kx = 1, 4182. Portanto,

Zin = 30 (2Kr + j Kx) 73, 13 + j 42, 54 Ω

Quando a frequencia de operacao passa de 100 para 200MHz, o comprimentoda onda que excita o dipolo passa de 1,5m para 75cm. Sendo assim, nesta novafrequencia, o dipolo projetado para ter λ/2 em 100MHz tem agora comprimentol = λ. Substituindo este valor nas equacoes (9.14) e (9.15) obtem-se Zin → ∞, poiskl/2 = π.

183 9.3. Impedancia Mutua entre Elementos Lineares

l

d

(a)

I1

I2

V2

V1

(b)

Figura 9.3: (a) Arranjo de dois dipolos; (b) quadripolo equivalente.

9.3 Impedancia Mutua entre Elementos Lineares

Considere o arranjo de dipolos mostrado na Figura 9.3a. Este arranjo pode serconsiderado como um dispositivo de duas portas (Figura 9.3b) onde as impedanciasnos terminais das portas sao obtidas resolvendo-se o sistema de equacoes a seguir:

V1 = Z11I1 + Z12I2 (9.19)

e

V2 = Z21I1 + Z22I2 (9.20)

A impedancia “vista” nos terminais da porta 1, equivalente a impedancia deentrada do dipolo 1, e dada por

Z1 =V1

I1= Z11 + Z12

I2I1

(9.21)

e na porta 2, terminais do dipolo 2,

Z2 =V2

I2= Z22 + Z21

I1I2

(9.22)

onde Z11 e Z22 sao as impedancias proprias obtidas diretamente de (9.18).


9.3.1 Campos Proximos para um Dipolo Finito

Para se calcular as impedancias proprias e mutuas do arranjo de dipolos, mostradona Figura 9.3a, e necessario se saber as expressoes dos campos proximos radiados porestes, uma vez que as distancias consideradas sao relativamente curtas. Sendo assim,utilizando-se o procedimento apresentado no Capıtulo 7, que envolve as expressoes(7.4), (7.5) e (7.7), e levando-se em consideracao que a distribuicao de corrente eexpressa por (8.1), tem-se

Hϕ =jIo4πρ

[e−jkR1 + e−jkR2 − 2 cos

(kl

2

)e−jkr

](9.23)

e

E =1

jωεo∇× H (9.24)

ou

Eρ =j

ωεo

∂Hϕ

∂z=jηIo4πρ

[(z − l

2

)e−jkR1

R1

+

(z +

l

2

)e−jkR2

R2

− 2 z cos

(kl

2

)e−jkr

r

](9.25)

e

Ez =1

jωρεo

∂

∂ρ(ρHϕ) = − jIo

4πρ

[e−jkR1

R1

+e−jkR2

R2

− 2 cos

(kl

2

)e−jkr

r

](9.26)

Devido a proximidade dos dipolos adotou-se o sistema de coordenadas cilındricas,uma vez que as frentes de ondas sao praticamente cilındricas. As variaveis ρ, r, R1

e R2 sao dadas por

ρ =√x2 + y2 (9.27)

r =√ρ2 + z2 (9.28)

R1 =

√ρ2 +

(z − l

2

)2

(9.29)

e

R2 =

√ρ2 +

(z +

l

2

)2

(9.30)


9.3.2 Impedancia para Elementos Paralelos

Para se obter as impedancias nos terminais de dois dipolos posicionados lado alado, como mostrado na Figura 9.4a, e necessario se obter primeiro as impedanciasmutuas Z12 e Z21. Tomando-se como exemplo o calculo de Z21 e considerando-seque a tensao induzida pela onda gerada pelo dipolo 1, nos terminais do dipolo 2, edada por

l2

d

(a)

l1

l2

(b)

l1

h

Figura 9.4: (a) Elementos paralelos; (b) elementos colineares.

V2 = − 1

I2

l22∫

−l22

Ez1(z) I2(z) dz (9.31)

entao, tem-se

Z21 =V2

I1(9.32)

onde I2(z) e dado pela equacao (8.1) e Ez1(z) por (9.26). Sendo assim, substituindo-se (9.31), (8.1) e (9.26) em (9.32), obtem-se


Z21 =jηIo1Io24πI1I2

l22∫

−l22

sen

[k

(l22

− | z|)]

×[e−jkR1

R1

+e−jkR2

R2

− 2 cos

(kl12

)e−jkr

r

]dz (9.33)

Como

I1 = Io1sen

(kl12

)(9.34)

e

I2 = Io2sen

(kl22

)(9.35)

entao

Z21 =j30

sen(kl12

)sen

(kl22

)l22∫

−l22

sen

[k

(l22

− | z|)]

×[e−jkR1

R1

+e−jkR2

R2

− 2 cos

(kl12

)e−jkr

r

]dz (9.36)

De maneira semelhante pode se obter

Z12 =j30

sen(kl12

)sen

(kl22

)l12∫

−l12

sen

[k

(l12

− | z|)]

×[e−jkR1

R1

+e−jkR2

R2

− 2 cos

(kl22

)e−jkr

r

]dz (9.37)

As impedancias dos dipolos sao obtidas resolvendo-se o sistema de equacoes (9.19)e (9.20) para determinar I1 e I2. Para tanto e necessario saber os valores das tensoesV1 e V2.

No caso de dois dipolos de comprimentos iguais, tem-se


Z12 = Z21 = R21 + jX21 (9.38)

onde

R21 =30

sen 2(kl2

) [2 Ci(kd) − Ci(k√d2 + l2 + kl) − Ci(k

√d2 + l2 − kl)

](9.39)

e

X21 =30

sen 2(kl2

) [2 Si(kd) − Si(k√d2 + l2 + kl) − Si(k

√d2 + l2 − kl)

](9.40)

Neste caso, Z11 = Z22 e I1 = I2, portanto,

Z1 = Z2 = Z11 + Z12 = Z22 + Z21 (9.41)

Exemplo 9.2 Dois dipolos identicos aquele do exemplo anterior, operando na mesmafrequencia de 100MHz, estao posicionados paralelamente a uma distancia de 1m.Determine a impedancia nos terminas dos mesmos.

Solucao: Devido a simetria do problema, as impedancias de entrada dos dipolos saoiguais. Seus valores sao fornecidos pela equacao (9.41). As impedancias proprias saoobtidas de (9.18), ou seja, Z11 = Z22 73, 13 + j 42, 54. Enquanto as impedanciasmutuas sao dadas por (9.36) e (9.37). Sendo assim,

Z1 = Z2 = 73, 13 + j 42, 54 + 21, 4 − j36, 76 = 94, 53 + j5, 78 Ω

9.3.3 Impedancia para Elementos Colineares

Para dois dipolos dispostos lado a lado sobre um mesmo eixo, como mostrado naFigura 9.4b, tem-se r = z em (9.36) e (9.37), isto e,

Z21 =j60

sen(kl12

)sen

(kl22

)l22

+h∫h− l2

2

sen

[k

(l22

− | z − h|)]

×[e j

kl12

2z − l1+e − j

kl12

2z + l1− cos

(kl12

)z

]e−jkzdz (9.42)


e

Z12 =j60

sen(kl12

)sen

(kl22

)l12

+h∫h− l1

2

sen

[k

(l12

− | z − h|)]

×[e j

kl22

2z − l2+

e−jkl22

2z + l2− cos

(kl22

)z

]e−jkzdz (9.43)

Se os comprimentos sao identicos, entao,

R21 =15

sen 2(kl2

) [A sen (kh) −B cos(kh)] (9.44)

e

X21 =15

sen 2(kl2

) [C sen (kh) − A cos(kh)] (9.45)

onde

A = 2 Si(2kh) − Si [2k(h− l)] − Si [2k(h+ l)] (9.46)

B = −2 Ci(2kh) + Ci [2k(h− l)] + Ci [2k(h+ l)] − ln

[(h2 − l2)

h2

](9.47)

e

C = 2 Ci(2kh) − Ci [2k(h− l)] − Ci [2k(h+ l)] − ln

[(h2 − l2)

h2

](9.48)

9.4 Plano Terra

Se um dipolo estiver a uma certa distancia de uma superfıcie plana condutora,parte dos campos radiados por ele e refletido nesta superfıcie. Portanto, o camporesultante em frente ao refletor e combinacao linear dos campos radiados diretamentedo dipolo e dos campos refletidos na superfıcie condutora. Estes campos podem serobtidos aplicando-se a teoria das imagens, onde um dipolo, a uma distancia h emfrente a um plano condutor, e equivalente a dois dipolos afastados a uma distancia2h. A Figura 9.5a mostra um exemplo desta situacao e a Figura 9.5b o equivalenteutilizando a teoria das imagens.

189 9.4. Plano Terra

(a) (b)

h

Er+E

dE

r+E

d

2h

r1

r2

Figura 9.5: (a) Dipolo em frente a uma superfıcie condutora; (b) arranjo equivalente.

9.4.1 Dipolo na Vertical

Se o dipolo apresentado na Figura 9.5a for um dipolo infinitesimal de comprimentol, alinhado no eixo z e a uma distancia h da origem, entao, o campo eletrico a umadistancia r da origem e dado por

E = Ed + Er (9.49)

sendo

Ed =jηkIo l

4πr1sen θ1 e

− jk r1aθ (9.50)

e

Er = ρ

jηkIo l

4πr2sen θ2 e

− jk r2aθ (9.51)

onde ρ e o coeficiente de reflexao para uma onda de incidencia oblıqua (com polar-izacao TM ou paralela). Este coeficiente de reflexao e obtido a partir de


ρ =η1 cos θt − η0 cos θiη1 cos θt + η0 cos θi

(9.52)

sendo θi o angulo de incidencia e θt o angulo de refracao obtido da lei de Snell.As impedancias η0 e η1 sao, respectivamente, a impedancia intrınseca do ar e aimpedancia intrınseca do plano condutor.

A equacao (9.49) pode ser escrita de uma forma simplificada no caso de r l,pois, neste caso, tem-se θ1 θ2,

k r1 k (r − h cos θ) (9.53)

k r2 k (r + h cos θ) (9.54)

e, em termos de amplitude,

r1 r2 r (9.55)

Portanto,

E =jηkIo l e

− jk r

4πrsen θ

[e jkh cos θ + ρ e

− jkh cos θ]

(9.56)

E logico que a equacao (9.56) so e valida para pontos onde z > 0. Quando o campoeletrico se encontra normal ao plano condutor a uma certa altura deste, tem-seθi 90 e ρ 1 (vide Fig. 9.6 para o caso do solo). Portanto, obtem-se

E =jηkIo l e

− jk r

2πrsen θ cos (kh cos θ) (9.57)

Observa-se em (9.56) e (9.57) que

E = Eel FA (9.58)

sendo Eel o campo radiado pelo dipolo sem a presenca do plano condutor, ou seja,

Eel =jηkIo l e

− jk r

4πrsen θ (9.59)

O fator FA, denominado fator de arranjo, pode ser identificado como

FA = e jkh cos θ + ρe− jkh cos θ (9.60)

ou

191 9.4. Plano Terra

FA = 2 cos (kh cos θ) (9.61)

para o caso de um plano condutor perfeito. Portanto, se por exemplo, se quiserobter o campo devido a um dipolo finito proximo a um refletor condutor perfeito, eso substituir a expressao do campo do dipolo em (9.58). O que resulta em

E =jηIo e

−jkr

πr

[cos

(kl2

cos θ)− cos

(kl2

)sen θ

]cos (kh cos θ) (9.62)

9.4.2 Dipolo na Horizontal

Supondo agora que o dipolo esteja paralelo a superfıcie plana condutora, alinhadocom o eixo x, por exemplo. Neste caso, o campo eletrico continua sendo dado por(9.49). Entretanto, as componentes direta e refletida sao fornecidas por

Ed =jηkIo l

4πr1sen ξ1 e

− jk r1aξ (9.63)

e

Er = ρ⊥jηkIo l

4πr2sen ξ2 e

− jk r2aξ (9.64)

sendo cos ξ = sen θ cosϕ = ax ·ar e aξ o versor na direcao do angulo ξ. O coeficientede reflexao, para ondas com polarizacao TE (ou perpendicular), e dado por

ρ⊥ =η1 cos θi − η0 cos θtη1 cos θi + η0 cos θt

(9.65)

Portanto,

E =jηkIo l e

− jk r

4πrsen ξ

[e jkh cos θ + ρ⊥e − jkh cos θ

](9.66)

ou

E =jηkIo l e

− jk r

4πr

√1 − sen 2θ cos2 ϕ

[e jkh cos θ + ρ⊥e − jkh cos θ

](9.67)

ou ainda, de uma forma geral,

E = Eel FA (9.68)

sendo, neste caso,


FA = e jkh cos θ + ρ⊥e − jkh cos θ (9.69)

e

FA = 2j sen (kh cos θ) (9.70)

no caso de η1 = 0.A Fig. 9.6 mostra o comportamento dos coeficientes de reflexao na interface entre

a Terra e o ar. Neste caso, para a frequencia de 20MHz, a permissividade relativada Terra fica em torno de 25 − j19, 2 [34]. Pode-se observar que, para angulos deincidencia proximos de 90, os coeficientes de reflexao sao ρ⊥ −1 e ρ 1.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ângulo de incidência θi (°)

Mód

ulo

do c

oefic

ient

e de

ref

lexã

o

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Ângulo de incidência θi (°)

Âng

ulo

de in

cidê

ncia

θi (

°)

(a) (b)

Figura 9.6: (a) Modulos de ρ⊥ (linha solida) e ρ (linha tracejada); (b) Fases de ρ⊥(linha solida) e ρ (linha tracejada).

Exemplo 9.3 Suponha que o dipolo do Exemplo 9.1 se encontra horizontalmenteno topo de uma torre de 10m de altura. Qual a intensidade do campo eletriconormalizado que chega ao solo a uma distancia de 10m da torre? Considere aimpedancia do solo proxima de zero e o plano de incidencia igual ao plano E.

Solucao: Se a impedancia do solo e praticamente zero, entao ρ⊥ −1 e, a partirdas equacoes (9.1) e (9.68), obtem-se

E(θ) = Eel FA =ηIo e

−j(kr+π)

πr

cos[π2

cos(θ + π

2

)]sen

(θ + π

2

) sen (kh cos θ)

193 9.5. Dipolo Dobrado

Neste caso, uma defasagem de π/2 e adicionada a expressao do dipolo, pois o mesmose encontra perpendicular ao eixo z. Para um ponto no solo a 10 metros da torre,θ = 45, tem-se

En(π/4) =Eel FAEmax

cos

(π√

24

)√

2/2sen

(10π

√2/3

) 0, 5

ou seja, metade do valor maximo. Note que esse resultado so e valido para um pontopertencente ao plano que contem o dipolo (plano E).

9.5 Dipolo Dobrado

Sabe-se que a impedancia de um dipolo finito de meio comprimento e igual a73+j42,5Ω para a frequencia de ressonancia. Os transceptores e as linhas de trans-missao comerciais tem impedancias com valores de 50Ω, 75Ω e 300Ω. Pode-se veri-ficar que o coeficiente de onda estacionaria numa linha de 300Ω ligada a uma antenadipolo de λ/2, operando na frequencia de ressonancia, e alto (VSWR > 4). OVSWR pode ser reduzido utilizando-se um circuito de casamento ou modificando-sea geometria do dipolo. A Figura 9.7 mostra um dipolo denominado dipolo dobrado.Sua principal caracterıstica e o valor da impedancia de entrada dada por

d

l

Figura 9.7: Dipolo Dobrado de comprimento l e espacamento d.

Zin 4Zds (9.71)

sendo Zds a impedancia de um dipolo simples, fornecido por (9.18). A equacao(9.71) pode ser obtida considerando-se que o dipolo duplo equivale a dois dipolossimples muito proximos um do outro (d λ). Fazendo-se entao esta consideracao,obtem-se a impedancia de entrada a partir de (9.19), ou seja,

V1 = Z11I1 + Z12I2 (9.72)

Se a tensao nos terminais do dipolo dobrado for igual a V , entao, a tensao equivalentenos terminais dos dois dipolos simples e V/2. As correntes nos dipolos sao iguais ede mesmo sentido, portanto,


V

2= I1(Z11 + Z12) (9.73)

Devida a proximidade, Z11 Z12 e, consequentemente,

Z1 =V

I1 4Z11 (9.74)

onde Z11 e a impedancia propria do dipolo simples.Para um dipolo dobrado de N elementos muito proximos uns dos outros, tem-se

V1 =V

N=

N∑i=1

Z1nIn (9.75)

Como os elementos estao muito proximos, entao, In I1 e Z1n Z11. Consequen-temente,

Z1 N2Z11 (9.76)

Exemplo 9.4 Projete um dipolo dobrado para operar em 300MHz com VSWR menorque 1,5. O dipolo esta ligado a um transmissor de 300Ω atraves de uma linha demesma impedancia.

Solucao: Montando-se um dipolo dobrado com l = λ/2 e com o espacamento d omenor possıvel, tem-se

Zdd 4Zds = 4 × 73, 13 + j 42, 54 293 + j170 Ω

O coeficiente de reflexao nos terminais da antena e

ρ =Zdd − ZoZdd + Zo

=293 + j170 − 300

293 + j170 + 300 0, 276 ∠ 76, 5

e o coeficiente de onda estacionaria,

VSWR =1 + |ρ|1 − |ρ| =

1 + 0, 276

1 − 0, 276 1, 76

Infelizmente este valor esta acima da especificacao do projeto. Entretanto, se ocomprimento for reduzido para 0, 466λ, o valor da impedancia do dipolo simplese praticamente real e igual 60Ω. Sendo assim, os novos valores do coeficiente dereflexao e VSWR sao, respectivamente,

ρ =240 − 300

240 + 300 0, 111∠ 180

195 9.6. Dipolo Cilındrico

e

VSWR =1 + 0, 111

1 − 0, 111 1, 25

Os valores de impedancia do dipolo simples foram obtidos para tubos com diametroigual a 1cm. Na frequencia de 300MHz, o comprimento l = 0, 466λ e aproximada-mente 47cm.

9.6 Dipolo Cilındrico

Todas as antenas lineares analisadas nas secoes anteriores foram consideradas muitofinas, isto e, a relacao diametro-comprimento muito pequena (d 0, 05λ). Nestascondicoes, a densidade de corrente na antena pode ser considerada aproximada-mente como uma funcao senoidal. No caso de dipolos, com diametro d > 0, 05λ, eimportante utilizar uma densidade de corrente que seja mais proxima possıvel darealidade. A distribuicao de corrente num dipolo espesso e dado por [14]

I(z) =jV

60

sen[k(l2

+ | z|)]+ AB

cos(kl2

)+

A1( l2)

B

(9.77)

sendo V a tensao nos terminais da antena,

B = 2 ln

(l

a

)(9.78)

e

A = A1(z) sen

(kl

2

)− A1(

l

2) sen (k | z|) +B1(

l

2) +B1(z) cos

(kl

2

)(9.79)

onde

A1(z) = −A0(z) ln

[1 −

(2z

l

)2]

+ A0(z)δ −l12∫

−l12

A0(τ) e−jkr − A0(z)

rdτ (9.80)

A1(l

2) = −

l12∫

−l12

A0(τ) e−jkr1

r1dτ (9.81)


B1(z) = −B0(z) ln

[1 −

(2z

l

)2]

+B0(z)δ −l12∫

−l12

B0(τ) e−jkr −B0(z)

rdτ (9.82)

B1(l

2) = −

l12∫

−l12

B0(τ) e−jkr1

r1dτ (9.83)

A0(z) = cos (k z) − cos

(kl

2

)(9.84)

B0(z) = sen (k | z|) − sen

(kl

2

)(9.85)

r =√a2 + (z − τ)2 (9.86)

r1 =

√a2 +

(l

2− τ

)2

(9.87)

e

δ = ln

1

4

√

1 +

(a

l/2 − z

)2

+ 1

√

1 +

(a

l/2 + z

)2

+ 1

(9.88)

A obtencao dos parametros do dipolo espesso e feita substituindo a distribuicaosenoidal (8.1) por (9.77).

Capıtulo 10

Difracao de Ondas TEM

10.1 Introducao

Neste capıtulo serao abordados os conceitos necessarios ao estudo de atenuacaode ondas eletromagneticas devido a presenca de obstaculos em enlaces de radio.Estes conceitos dizem respeito a difracao de ondas eletromagneticas, sendo toda aanalise desenvolvida em cima do Princıpio de Huygens. O estudo de difracao seraapresentado em tres partes. A primeira analise sera feita numa regiao longe doobstaculo que provoca a difracao das ondas, regiao esta denominada de Fraunhofer.Em seguida, sera analisado o comportamento das ondas para regioes proximas aoobstaculo, chamada de regiao de campos proximos ou Fresnel. Na ultima secao seraintroduzido o conceito de elipsoide de Fresnel e suas zonas.

10.2 Princıpio de Huygens

O princıpio de Huygens estabelece que uma frente de onda pode ser definida comouma composicao de infinitas fontes puntiformes de ondas esfericas. Sendo assim, oscampos num dado ponto de uma frente de onda qualquer, posterior ou anterior aesta, podem ser obtidos a partir das contribuicoes dos campos radiados por todasas fontes puntiformes. A Figura 10.1 mostra este fenomeno para frentes de ondasplanas.

10.3 Fonte de Huygens

Supondo-se que o campo eletrico de uma onda plana, propagando-se na direcao z,esta orientado na direcao x e o campo magnetico se encontra alinhado com a direcao

197

CAPıTULO 10. Difracao de Ondas TEM 198

r3

1

r2

r1

rN

2

3

N

Fonte de Huygens

Frentede onda

secundária

Frentede ondaprimária

Figura 10.1: Frentes de ondas com destaque para as fontes de Huygens.

y, e possıvel entao se determinar os campos radiados por um elemento de areainfinitesimal ds = dx dy da frente de onda plana (Fonte de Huygens), considerando-se esta frente como um plano de correntes eletricas e magneticas (Figura 10.2). Estascorrentes estao associadas, respectivamente, com a densidade de corrente eletrica

J = n × Hp (10.1)

e a densidade de corrente magnetica

M = −n × Ep (10.2)

sendo Hp e Ep, respectivamente, os campos magnetico e eletrico da frente de ondaprimaria, enquanto que o versor n se encontra alinhado com o sentido de propagacao.Sendo assim, as densidades de correntes, para o caso em questao, podem ser escritascomo

Jx = −Hy = −Exη

(10.3)

e

199 10.3. Fonte de Huygens

dy

z

0

θ

r

ϕ

dx

x

y

dsJ

x

My

Figura 10.2: Frente de onda representada por correntes eletricas e magneticas.

My = −Ex (10.4)

Foi visto no Capıtulo 7 que o Potencial Vetor A, devido a uma fonte de correnteeletrica variante no tempo, e dado por (7.12), isto e,

A =µ

4π

∫∫∫V

J e − jkr

rdV (10.5)

Para a densidade de corrente eletrica associada a fonte de Huygens, encontra-se

dAx =µ

4πrJx e

− jkrds (10.6)

O campo magnetico de uma frente de onda secundaria pode ser obtido atraves de

Hs =1

µ∇× A (10.7)

e o eletrico a partir de

∇× Es = jωµHs (10.8)


ou

Es = −jωA (10.9)

O elemento infinitesimal de campo eletrico produzido pela fonte de Huygens e entaodado por

dEs = −jω dAx (10.10)

que tambem pode ser reescrito em coordenadas esfericas como

dEθ = −jω cosϕ cos θ dAx =jk Ex4πr

cosϕ cos θ e − jkrds (10.11)

e

dEϕ = jω senϕ dAx = −jk Ex4πr

senϕ e − jkrds (10.12)

Ja os elementos infinitesimais dos campos magneticos sao fornecidos por

dHϕ =dEθη

(10.13)

e

dHθ = −dEϕη

(10.14)

De forma semelhante, tem-se para fontes de correntes magneticas

F =ε

4π

∫∫∫V

M e − jkr

rdV (10.15)

sendo que, para o elemento de area ds, encontra-se

dFy =ε

4πrMy e

− jkrds (10.16)

O campo eletrico de uma frente de onda secundaria pode entao ser obtido atravesde

Es = −1

ε∇× F (10.17)

e o magnetico a partir de

∇× Hs = jωεEs (10.18)

201 10.3. Fonte de Huygens

ou

Hs = −jωF (10.19)

No caso em questao, tem-se

dHs = −jω dFy (10.20)

que tambem pode ser reescrito em coordenadas esfericas como

dHθ = −jω senϕ cos θ dFy (10.21)

e

dHϕ = −jω cosϕ dFy (10.22)

Ja as componentes de campos eletricos sao fornecidas por

dEθ = η dHϕ =jkEx4πr

cosϕ e − jkrds (10.23)

e

dEϕ = −η dHθ = −jkEx4πr

senϕ cos θ e − jkrds (10.24)

Portanto, as componentes do campo eletrico infinitesimal, produzidas pela fonte deHuygens, sao resultados das somas de (10.11) com (10.23) e de (10.12) com (10.24),ou seja,

dEθ =jk Ex4πr

(cosϕ cos θ + cosϕ) e − jkrds (10.25)

e

dEϕ = −jk Ex4πr

(senϕ cos θ + senϕ) e − jkrds (10.26)

Enquanto que as componentes do campo magnetico infinitesimal sao obtidas de

dHϕ =dEθη

(10.27)

e

dHθ = −dEϕη

(10.28)


10.4 Difracao de Fraunhofer

Problemas de difracao com consequencias na regiao de Fraunhofer, tambem con-hecida como regiao de campos distantes, sao encontrados em varias aplicacoes deengenharia de telecomunicacoes. Pode-se ilustrar a importancia destes problemas emestudos de antenas do tipo cornetas ou refletores parabolicos, como aqueles tratadosno Capıtulo 15.

Um problema classico de difracao de Fraunhofer e a determinacao dos camposdistantes produzidos por uma onda plana, propagando-se no sentido z+, que atrav-essa uma parede absorvedora plana infinita de espessura desprezıvel, atraves deuma fenda ou abertura retangular. A frente de onda na fenda pode ser consideradacomo um conjunto ou arranjo planar de fontes de Huygens, de area ∆s = ∆x∆y,distribuıdas uniformemente nas direcoes y e x, como mostrado na Figura 10.3. Ocampo eletrico produzido por este arranjo, como sera visto no Capıtulo 13, e o re-sultado do produto entre o campo eletrico radiado pelo elemento e os campo eletricoradiado pelo conjunto de antenas isotropicas (fator de arranjo), ou seja,

b

aϕ

θ

r

dx

dy

ds

x

y

z

1 2 3 N

2

M

Figura 10.3: Area a × b de uma frente de onda, representada por um arranjo defontes de Huygens.

203 10.4. Difracao de Fraunhofer

E = EelFA (10.29)

sendo Eel, na direcao θ, dado por

∆Eθ =jk Ex4πr

(cosϕ cos θ + cosϕ) e − jkr∆s (10.30)

e na direcao ϕ

∆Eϕ = −jk Ex4πr

(senϕ cos θ + senϕ) e − jkr∆s (10.31)

enquanto, para ∆x e ∆y muito pequenos,

FA =

[sen

(Mφx

2

)φx

2

] sen

(Nφy

2

)φy

2

(10.32)

onde

φx = k∆x sen θ cosϕ (10.33)

e

φy = k∆y sen θ senϕ (10.34)

Fazendo-se M e N tenderem ao infinito, tem-se ∆x e ∆y tendendo a zero, o queproduz os resultados

a = limM→∞

M∆x (10.35)

e

b = limN→∞

N∆y (10.36)

Portanto, as componentes do campo eletrico radiado podem ser escritas como

Eθ =jk Ex ab e

− jkr

4πr(1 + cos θ) cosϕ

[sen

(φx

2

)φx

2

]sen(φy

2

)φy

2

(10.37)

e


Eϕ = −jk Ex ab e− jkr

4πr(1 + cos θ) senϕ

[sen

(φx

2

)φx

2

]sen(φy

2

)φy

2

(10.38)

ondeφx = k a sen θ cosϕ (10.39)

eφy = k b sen θ senϕ (10.40)

As equacoes (10.37) e (10.38) serao empregadas no Capıtulo 15, na deteminacaodos campos distantes radiados por um refletor parabolico com abertura retangular.Elas podem ser interpretadas como uma especie de transformada de Fourier espacialbidimensional.

Exemplo 10.1 Determine a expressao do campo eletrico distante normalizado, noplano zx (ϕ = 0), para uma onda eletromagnetica 10GHz que atinge um anteparoapos passar por uma fenda com as seguintes dimensoes: a = 10cm e b = 5cm.

Solucao: Quando ϕ = 0, a componente Eϕ torna-se nula e

Eθ(θ) =jk Ex ab e

− jkr

4πr(1 + cos θ)

[sen

(φx

2

)φx

2

]

logo, seu valor normalizado e dado por

En(θ) =1 + cos θ

2

[sen

(φx

2

)φx

2

]

sendo φx = k a sen θ. As representacoes graficas das intensidades dos campos nafenda e no anteparo sao mostradas na Figura 10.4. Observe a semelhanca entre esteresultado e aquele encontrado nos problemas de analise espectral envolvendo umafuncao porta e sua transformada de Fourier.

10.5 Difracao de Fresnel

A teoria de difracao de Fresnel diz respeito aos campos eletromagneticos na regiao decampos intermediarios, tambem conhecida como regiao de Fresnel. Entende-se comoregiao intermediaria aquela entre a regiao de campo distante e a regiao de campo

205 10.5. Difracao de Fresnel

θ

En( )θ

x

Ex

-a/2 a/2

(a) (b)

Figura 10.4: Intensidade de campo na fenda (a) e no anteparo (b).

proximo, onde a diferenca de amplitude das fontes de Huygens pode ser desprezadamantendo-se a diferenca de fase.

O problema de difracao envolvendo uma onda plana incidindo num semiplanoabsorvedor, como mostra a Figura 10.5, pode ser resolvido aplicando-se a teoriade difracao de Fresnel. Os campos num ponto dentro da regiao de sombra, aposo semiplano absorvedor, podem ser obtidos somando–se todas as contribuicoes decampo das infinitas fontes de Huygens no semiplano superior a este. Cada fonteradia um campo eletrico dado por

dE =Eore−jkrdy (10.41)

sendo Eo o campo na onda plana. O campo resultante num ponto P , localizado auma distancia d da placa absorvedora, e obtido integrando-se (10.41), ou seja,

E =

∞∫h

Eore−jkrdy (10.42)

Considerando-se que ∆r d, pode-se escrever, no que diz respeito a amplitude,

r d (10.43)


y

0

ObstáculoAbsorvedor

Frentesde

Onda

r

r∆

d

Ek

z

y

h

Figura 10.5: Incidencia normal de uma onda plana sobre um semiplano absorvedor.

e, com relacao a fase,

r = d+ ∆r d+y2

2d(10.44)

Sendo assim,

E =Eode−jkd

∞∫h

e−jky2

2d dy =Eoαd

e−jkd∞∫

αh

e−jπu2

2 du (10.45)

onde u = αy e α =√

2λd

. A integral da equacao (10.45) nao tem solucao analıtica,

mas pode ser reescrita em funcao das integrais de Fresnel, isto e,

E =Eoαd

e−jkd

∞∫

0

e−jπu2

2 du−αh∫0

e−jπu2

2 du

(10.46)

ou

E =Eoαd

e−jkd

1

2(1 − j) −

[C

(αh

√π

2

)− jS

(αh

√π

2

)](10.47)

sendo

207 10.5. Difracao de Fresnel

C(x) =

√2

π

x∫0

cos u2 du (10.48)

a funcao cosseno integral de Fresnel, e

S(x) =

√2

π

x∫0

sen u2 du (10.49)

a funcao seno integral de Fresnel. Ambas tem seus valores tabelados. A seguirsao apresentadas algumas propriedades destas funcoes: C(0) = S(0) = 0; C(∞) =S(∞) = 1/2, C(−x) = −C(x) e S(−x) = −S(x).

Exemplo 10.2 Uma onda plana incide normalmente sobre uma das faces de ummuro de 5m de altura. Considerando-se que esta onda oscila com uma frequenciade 300MHz, determine o valor do campo eletrico normalizado na regiao de sombra,num ponto do solo, a uma distancia de 2 metros do muro.

Solucao: A intensidade do campo eletrico normalizado pode ser obtido a partir daequacao (10.47), ou seja,

En(h/rf ) =|E|

|Emax| 0, 6

√[1

2− C

(αh

√π

2

)]2

+

[1

2− S

(αh

√π

2

)]2

Como, neste caso,

α =

√2

λd= 1

entao

En(h) 0, 6

√[0, 5 − C(1, 25h)]2 + [0, 5 − S(1, 25h)]2

O valor de h, neste caso, e igual a altura do muro. Portanto,

En(5) 0, 6

√[0, 5 − C(6, 25 )]2 + [0, 5 − S(6, 25 )]2 0, 04

A Figura 10.6 mostra a variacao En com a altura h.


0 1 2 3 4 5 0

0.1

0.2

0.3

0.4

h (m)

Cam

po n

orm

aliz

ado

En(h

)

Figura 10.6: Variacao da intensidade do campo eletrico normalizado com a altura h(α = 1).

10.6 Elipsoide e Zonas de Fresnel

Atraves de um exemplo envolvendo uma onda plana propagando-se de um ponto Aa um ponto B no espaco-livre e conceitos simples de geometria, pode-se determinarcomo as fontes de Huygens, de uma determinada frente de onda, influenciam na com-posicao dos campos eletromagneticos num dado ponto do espaco. Algumas destasfontes da frente de onda contribuem positivamente para a formacao dos campos emB, enquanto outras, pertecentes a mesma frente, contribuem negativamente. Estasfontes podem ser agrupadas em regioes ou zonas comumente chamadas de zonas deFresnel. A Figura 10.7 mostra a geometria deste problema, onde uma frente de ondalocalizada no plano z = 0 e tomada como exemplo. A diferenca de fase entre oscaminhos ACB e AOB e dada por

∆φ = β [(Rn +R′n) − (d1 + d2)] (10.50)

Esta diferenca de fase sera de 180 quando ∆φ = nπ e n = 1, 3, 5, .... Neste caso,

Rn +R′n = d1 + d2 + n

λ

2(10.51)

Quando n = 2, 4, 6, ..., a diferenca de fase e nula.

209 10.6. Elipsoide e Zonas de Fresnel

y

d1

d2

O

r n

A B

Frentede

Onda

Linha deVisada

R'n

Rn

z

C

Figura 10.7: Frente de onda plana propagando-se do ponto A ate B.

A Figura 10.8 mostra a contribuicao de cada ponto da frente de onda na com-posicao do campo resultante em B. O decaimento da amplitude se deve ao aumentoda distancia entre a fonte C e o ponto B a proporcao em que a fonte se encontramais distante do centro de referencia O.

Observa-se que a soma das contribuicoes das fontes de Huygens dentro de umcırculo de raio r1 e positiva (mesma fase do campo produzido pela fonte de Huygensno ponto O). Exatamente nos pontos da circunferencia de raio r1, a defasageme de π. Entre as circunferencias de raio r1 e r2, que levam a defasagens de π a2π, a soma das contribuicoes e negativa (em antifase com o campo produzido pelafonte de Huygens no ponto O). Dessa forma, pode-se definir regioes onde os pontos(ou fontes) contribuem de forma construtiva para a formacao dos campos em B, eregioes cujos pontos contribuem de forma destrutiva. Estas regioes, denominadas dezonas de Fresnel, sao delimitadas por circunferencias, sendo que a primeira zona tema forma de um cırculo e as demais formam aneis concentricos (veja Figura 10.9a).Os raios das circunferencias, tambem denominados de raios de Fresnel, sao obtidosfazendo-se

Rn =√d2

1 + r2n d1 +

r2n

2d1

(10.52)


r1

r4

r3

r2

λ/2 λ 3λ/2 2λ

+ +- -

1a Zona 2a Zona 3a Zona 4a Zona

Figura 10.8: Variacao do campo eletrico com a distancia entre a fonte C e o pontoB. Delimitacao das zonas de Fresnel.

e

R′n =

√d2

2 + r2n d2 +

r2n

2d2

(10.53)

que substituıdas em (10.51) levam a

r2n

d1

+r2n

d2

= nλ (10.54)

ou

rn =

√nλ d1d2

d(10.55)

sendo d = d1 + d2. Para a primeira zona, a de maior contribuicao para a formacaodo campo em B, o raio de Fresnel e fornecido por

r1 =

√λ d1d2

d(10.56)

ou

211 10.6. Elipsoide e Zonas de Fresnel

r1 = 547

√d1d2

f d(10.57)

sendo f expresso em MHz, r1 em metros, d1, d2 e d em km. Pode-se verificar em(10.56) que, para uma dada frequencia, o raio e maximo quando d1 = d2 e mınimonos planos que passam em A e B. O resultado sao os elipsoides mostrados naFigura 10.9b. Sera visto no proximo capıtulo que obstrucoes no elipsoide referentea primeira zona de Fresnel levam a atenuacao do sinal que chega em B.


(a)

1a Zona

3a Zona

2a Zona

r1

r2

r3

+

-+

d1

d2

r 1

A B

Elipsóideda 1 a Zona

Linha deVisada

(b)

Figura 10.9: (a) Corte transversal dos elipsoides de Fresnel indicando-se a 1a 2a e3a zonas; (b) Elipsoides de Fresnel.

Capıtulo 11

Enlaces de Radio

11.1 Introducao

Uma das aplicacoes de ondas eletromagneticas na area de telecomunicacoes diz re-speito a enlaces de radio. Sejam estes terrestres ou via satelites, o engenheiro detelecomunicacoes tem que ser capaz de determinar os sistemas irradiantes, a potenciae a frequencia de funcionamento dos transceptores para tornar um radio-enlace op-eracional. Neste capıtulo sao apresentados os conhecimentos basicos necessarios aosprojetos destes enlaces.

11.2 Formulas de Friis

Um sistema de transmissao que radia uma potencia Prad, atraves de uma antena deganho maximo Gtx e eficiencia etx, forma, juntamente com um sistema de recepcaoa uma distancia d, um enlace de radio que opera numa frequencia f . Tal enlace emostrado na Figura 11.1, sendo que a antena receptora tem ganho maximo Grx eeficiencia erx. Os sistemas irradiantes nao oferecem perdas e estao respectivamentecasados com o receptor e transmissor. As antenas estao alinhadas na direcao demaximo ganho.

A potencia nos terminais do receptor pode ser calculada partindo-se da densidadede potencia que chega na antena receptora, isto e,

Wmax =Umax

d2=PradGtx

4π d2 etx(11.1)

ou

213

CAPıTULO 11. Enlaces de Radio 214

Torre

EstaçãoTransmissora

EstaçãoReceptora

AntenaTX

AntenaRX

d

Figura 11.1: Enlace de radio.

Wmax =Ptx

4π d2Gtx (11.2)

onde Ptx e a potencia de saıda do transmissor que, neste exemplo, e igual a potenciade entrada da antena, uma vez que o sistema esta casado e os cabos nao oferecemperdas. A antena recolhe uma potencia da onda incidente igual a

Prx = WmaxAe =Ptx

4π d2Gtx

λ2

4πGrx (11.3)

ou

Prx = PtxGtxGrx

(λ

4π d

)2

(11.4)

Como no exemplo o sistema de recepcao tambem esta casado e os cabos nao oferecemperdas, entao, Prx e a potencia que chega nos terminais do receptor. A equacao(11.4) e conhecida como Formula de Friis e pode ser reescrita de forma a expressaras potencias em dBm ou dBµ, ou seja,

Prx = Ptx +Gtx +Grx − Ael (11.5)

215 11.3. Formula de Radar

onde

Ael = 20 log

(4π d

λ

)(11.6)

sendo Gtx e Grx fornecidos em dBi, e Ael, conhecida como atenuacao no espaco-livre,em dB.

Nos casos praticos, todos tipos de perdas sao levados em consideracao, sejamestas oriundas de cabos, conectores, polarizacao, espaco-livre, obstaculos, etc. Sendoassim, considerando-se todas as perdas possıveis no enlace, tem-se

Prx = Ptx +Gtx +Grx − Ael − Acb − Acc − Apol − Aobs (11.7)

onde Acb, Acc, Apol e Aobs sao respectivamente a atenuacao nos cabos, conectores,polarizacao e obstaculos.

11.3 Formula de Radar

Considere agora um sistema transceptor que emite pulsos eletromagneticos. Essespulsos sao refletidos quando incide em objetos em volta da estacao transmissora. Apotencia dos pulsos recebidos depende, dentre outras variaveis, da secao transversaldesses objetos. Esta secao transversal esta associada a uma area de eco e o sistemadescrito e conhecido como radar. Se a potencia do transmissor e Ptx e o ganho daantena transmissora e Gtx, entao, a densidade de potencia maxima que atinge o alvoe

Wtx =Ptx

4π d21

Gtx (11.8)

sendo d1 a distancia entre a antena transmissora e o alvo.A potencia espalhada por este alvo e

Pc = WtxAeco (11.9)

onde Aeco e a area de eco. A densidade de potencia que chega a antena receptora edada por

Wrx =Pc

4π d22

(11.10)

e a potencia recebida


Prx = WrxAe =PcAe4π d2

2

(11.11)

sendo d2 a distancia entre o alvo e a antena receptora. Como a area efetiva da antenareceptora e

Ae =λ2

4πGrx (11.12)

entao,

Prx =PtxAeco

4π

(λ

4πd1d2

)2

GrxGtx (11.13)

Geralmente esses sistemas empregam duplexadores que permitem a utilizacao deuma unica antena para transmitir e receber sinais de RF. Neste caso, tem-se

Prx =PtxAeco

4π

(λG

4πd2

)2

(11.14)

sendo G o ganho da antena e d a distancia ate o alvo.

11.4 Enlace Terrestre

Os enlaces de radio terrestres estao sujeitos a perdas devido ao relevo e a propria cur-vatura da Terra. Portanto, se faz necessario uma analise e modelagem do problemapara que as perdas por obstrucao sejam calculadas de forma mais exata possıvel. Omodelo mais simples e o chamado obstaculo gume de faca. Neste modelo, o obstaculoe tratado como uma superfıcie plana que obstrui a primeira zona do elipsoide deFresnel. Outras tecnicas mais exatas sao utilizadas na modelagem de obstaculos,como por exemplo a aproximacao de um morro, montanha ou edifıcio num obstaculoarredondado.

11.4.1 Obstaculos do Tipo Gume de Faca

A Figura 11.2 mostra um enlace onde o obstaculo e considerado como do tipo gumede faca. O obstaculo e plano de espessura desprezıvel.

Se a antena transmissora de diretividade Do radia uma potencia Prad, entao, aintensidade de campo a uma distancia R1, num dado ponto do semiplano acima doobstaculo, e fornecida por

217 11.4. Enlace Terrestre

R1

R2

y

d1

d2

0

h

TX RX

Obstáculo

Linha deVisada

Figura 11.2: Enlace de radio com a presenca de um obstaculo do tipo gume de faca.

dEobs =dVoR1

e−jβR1 =EoR1

e−jβR1dy (11.15)

onde

Vo =√

60PradDo (11.16)

e β = 2π/λ. Pelo Princıpio de Huygens, cada ponto deste semiplano contribui paraa composicao do campo eletrico na antena receptora. Portanto, a intensidade decampo nesta antena, devido a um unico ponto do semiplano acima do obstaculo, eobtida a partir de

dE =R1

R1 +R2

e−jβR2 dEobs =Eo

R1 +R2

e−jβ(R1+R2)dy (11.17)

O campo total na antena receptora e entao

E =

∞∫−h

EoR1 +R2

e−jβ(R1+R2)dy (11.18)


Considerando-se apenas a contribuicao dos pontos, no plano do obstaculo, proximoa linha de visada, tem-se

R1 d1 +y2

2d1

(11.19)

e

R2 d2 +y2

2d2

(11.20)

no que se diz respeito a fase. Enquanto, para analise de amplitude,

R1 d1 (11.21)

e

R2 d2 (11.22)

Substituindo os valores das expressoes que fornecem R1 e R2 na equacao (11.18),tem-se

E =Eode−jβ d

∞∫−h

e−jβ y2( 1

2d1+ 1

2d2)dy (11.23)

ou

E =Eode−jβ d Fobs (11.24)

sendo d = d1 + d2,

Fobs =rf√2

∞∫−uo

e−jπu2

2 du =rf√2

1

2(1 − j) −

[C

(h√π

rf

)− jS

(h√π

rf

)](11.25)

u =√

2rfy, uo =

√2

rfh e rf o raio da primeira zona de Fresnel [30][31] dado por

rf =

√λ d1d2

d(11.26)

As funcoes C(x) e S(x) sao fornecidas pelas equacoes (10.48) e (10.49).


Exemplo 11.1 Um enlace de radio e obstruıdo por um obstaculo do tipo gume defaca. Determine a percentagem de obstrucao do elipsoide de Fresnel, sabendo-se quea atenuacao devido ao obstaculo e igual a 10dB.

Solucao: A intensidade do campo eletrico normalizado, que chega a antena re-ceptora, e obtido a partir de (11.24) e (11.25). Em primeiro lugar, determina-se aexpressao da intensidade de campo no receptor, isto e,

|E| =Eod

|Fobs| =rf√2

√[1

2− C

(h√π

rf

)]2

+

[1

2− S

(h√π

rf

)]2

Dividindo-se a equacao acima pelo seu valor maximo, tem-se

En(h/rf ) =|E|

|Emax| 0, 6

√[1

2− C

(h√π

rf

)]2

+

[1

2− S

(h√π

rf

)]2

A atenuacao, em decibeis, e entao fornecida por

Aobs = −20 logEn(h/rf )

Tracando-se uma curva de Aobs em funcao de h/rf , como mostrado na Figura 11.3,nota-se que a atenuacao de 10dB ocorre para h/rf = 0, 213. Portanto, 61% da secaotransversal do elipsoide de Fresnel se encontra obstruıdo.

11.4.2 Obstaculos Arredondados

O calculo das perdas por obstrucao, utilizando-se a abordagem do tipo gume defaca, pode levar a valores nao muito precisos na maioria dos problemas praticosenvolvendo relevo. A aproximacao de morros e montanhas por um modelo queconsidera os obstaculos arredondados produz valores mais precisos. O primeiro passopara o calculo das perdas por obstrucao, utilizando-se obstaculos arrendondados, ea aproximacao do morro por um paraboloide onde o cume do obstaculo equivale aovertice deste solido. Em seguida, determina-se o raio de curvatura medio Rc atravesdas cotas yi, medidas a partir do topo do morro e os diametros xi, medidos em cadaplano yi. Sendo assim, pode-se obter

Rc =1

N

N∑i=1

x2i

8yi(11.27)

Os valores da atenuacao em decibeis podem ser obtidos diretamente das curvasapresentadas na Figura 11.4. Para determinar a curva que se adequa ao tipo de


−1 0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

30

35

Ate

nuaç

ão e

m d

B

h/rf

Figura 11.3: Atenuacao devido a um obstaculo gume de faca.

obstaculo, utiliza-se um parametro α que e diretamente proporcional ao raio decurvatura do obstaculo e inversamente proporcional ao raio da primeira zona deFresnel, ou seja,

α =3√λ2Rc

rf(11.28)

Exemplo 11.2 Determine o ganho das antenas para um radio-enlace operar em300MHz com um nıvel de recepcao igual a −40 dBm. Caracterısticas do enlace:comprimento 10km, terreno plano, torres de 50m, 120m de cabos RG58, sistemascasados e potencia do transmissor 10W. Despreze as perdas de polarizacao, perdasnos conectores e considere que as antenas estao localizadas no topo das torres. Ummorro, de 80m de altura e Rc = 216m, se encontra a 1km da estacao receptora.

Solucao: Comecando-se com o calculo do raio da primeira zona de Fresnel, tem-se

rf =

√9 × 103 × 103

104= 30 m


−0.6 0 1 2 3 4 5 0

10

20

30

40

50

60

h/rf

Ate

nuaç

ão e

m d

B

α = 0 (gume de faca)

α = 0.1

α = 0.2

α = 0.3

α = 0.4 α = 0.5

α = 1.5

Figura 11.4: Curvas associadas ao parametro α. No eixo das ordenadas, as perdasem dB. No eixo das abcissas, a relacao entre obstrucao (ou folga) e o raio de Fresnel,h/rf .

Para se obter a atenuacao devido ao morro, deve-se determinar α e h. Portanto,

α =3√

216

30= 0, 2

e h = hm − hT = 80 − 50 = 30m, onde hm e hT sao as alturas do morro e tor-res, respectivamente. A atenuacao devido ao morro e obtida a partir das curvasapresentadas na Figura 11.4. Para h/rf = 1, tem-se Aobs 20 dB (α = 0, 2).

O ganho das antenas pode ser obtido reescrevendo-se a equacao (11.7) como

2G = Gtx +Grx = Ael + Acb + Aobs + Prx − Ptx

sendo

Ael = 20 log(4π × 104

)= 102 dB


Acb = αdB l 0, 3 × 120 = 3, 6 dB e Ptx = 10 log(104) = 40 dBm (dB em relacao a1mW). Logo,

G (102 + 3, 6 + 20 − 40 − 40)/2 = 22, 8 dB

11.5 Enlace via Satelite

A relacao sinal-ruıdo em decibeis, nos terminais de um receptor num enlace entresatelites e estacoes rastreadoras, pode ser obtida de [3]

S

N= ERP − Ael +

G

Ts− PN (11.29)

sendo:

• ERP a potencia efetiva radiada;

• Ael perdas no espaco-livre;

• G/Ts figura de merito do sistema;

• PN potencia de ruıdo.

11.5.1 Perdas no Espaco-Livre

Como foi visto anteriormente, estas perdas podem ser calculadas a partir da equacao(11.6). No caso de enlace envolvendo satelite, a equacao (11.6) e modificada paraque se possa entrar diretamente com as coordenadas e altura do satelite, isto e,

Ael = 20 log

(4π d′

λ

)(11.30)

onde

d′ =√R2 + (R + h)2 − 2R(R + h) cosϕ cos ∆ (11.31)

sendo R o raio da Terra (6.378km), h a altura do satelite na linha do Equador(35.823km se geostacionario), ϕ a latitude da estacao rastreadora e ∆ a diferencaentre as longitudes do satelite e a estacao terrestre. A Figura 11.5 mostra a geometriaque deu origem a equacao (11.31).

Alem das perdas por dispersao da onda no espaco-livre, existem tambem perdasna camada atmosferica. Estas perdas dependem da frequencia, espessura da camada,concentracao de nuvens, etc. Na pratica, estas perdas podem ser assumidas, paraos dias com tempo bom, como algo em torno de 0,5dB.

223 11.5. Enlace via Satelite

N S

R

R

h

ϕ

d'

Figura 11.5: Satelite a uma altura h sobre a linha do equador. A estacao rastreadoraesta localizada a uma latitude ϕ ao norte do Equador.

11.5.2 Figura de Merito do Sistema

E definida como sendo a razao entre o ganho da antena de recepcao e a temperaturade ruıdo do sistema. Esta figura de merito e expressa em dB/K atraves da equacao

G

Ts= Ga − 10 log Ts (11.32)

onde Ga e o ganho da antena e

Ts = Ta +TLNBGf

+Trc

GLNB +Gf

(11.33)

sendo Ta, TLNB e Trc, respectivamente, a temperatura equivalente de ruıdo da antena(refletor + alimentador), alimentador e conjunto cabo-receptor. GLNB e o ganho dobloco de baixo ruıdo (LNA e demodulador) e Gf o ganho do alimentador.


11.6 Reflexoes Ionosfericas

Enlaces muito longos, onde a curvatura da Terra oferece altıssimas perdas por ob-strucao, so sao realizaveis atraves do uso de estacoes repetidoras terrestres ou viasatelites. Em algumas faixas de frequencias e possıvel se projetar enlaces de longadistancia utilizando-se reflexoes na camada ionosferica.

As camadas mais altas da atmosfera sao constituıdas de moleculas ionizadas. Aformacao de ıons se deve a radiacao proveniente do espaco, particularmente aquelasoriundas do Sol. Estas camadas tem a propriedade de refletir ondas eletromagneticasabaixo de certas frequencias. As mais importantes sao identificadas pelas letras D,E, F1 e F2, como mostra a Figura 11.6.

h'

TX RXd

F2

F1

E

D

Terra

θι

Figura 11.6: Camadas ionosfericas e radio-enlace via reflexao ionosferica.

A camada D se encontra a uma altura de 50-100km, enquanto que a E esta aaproximadamente 100km. Ja as camadas do tipo F ficam em torno de 300km. Asespessuras das camadas variam ao longo de um dia, sendo que estas sao mais espessasdurante o dia e mais finas a noite, quando aumenta o numero de recombinacao deıons.

As ondas eletromagneticas podem retornar a Terra dependendo da frequencia deoperacao e do angulo de incidencia na camada ionosferica. Gracas a este fenomeno,conhecido como reflexao total, e possıvel se projetar enlaces a grandes distanciassem a necessidade de linha de visada.

Pode-se estabelecer uma relacao entre a frequencia da onda eletromagnetica e onumero de ıons na camada ionosferica que permite o surgimento do fenomeno de

225 11.6. Reflexoes Ionosfericas

reflexao total. Essa frequencia crıtica e dada por

fc 9√N (11.34)

onde N e o numero de eletrons livres e/ou ıons por metro cubico de camadaionosferica.

Considerando-se que uma onda eletromagnetica de frequencia angular ω produzuma variacao de campo eletrico, numa camada ionosferica, dada por

E = Eo senωt (11.35)

tem-se como forca exercida em cada eletron

F = −eE = −eEo senωt (11.36)

donde se chega a

med2x

dt2= −eEo senωt (11.37)

ou

medx

dt=eEoω

cosωt (11.38)

sendo me a massa dos eletrons, e a carga eletrica e x o deslocamento dos mesmos.A densidade de corrente de conducao na camada pode ser escrita como

Jc = ρ vd = −N edx

dt(11.39)

onde ρ e a densidade volumetrica de cargas eletricas e vd a velocidade de arrastodestas. Ja a densidade de corrente de deslocamento e obtida de

Jd = εodE

dt(11.40)

ou

Jd = ωεoEocosωt (11.41)

Portanto, a densidade total de corrente fica

J = Jc + Jd = ωEocosωt

(εo − Ne2

meω2

)(11.42)

que pode ser simplificada como


J = ωεefEocosωt (11.43)

sendo a permissividade efetiva

εef = εo − Ne2

meω2(11.44)

Foi visto no Capıtulo 1 que o ındice de refracao de um meio e o inverso davelocidade relativa da onda neste meio, o que leva a expressao

n =√µrεr (11.45)

e para meios nao-magneticos

n =√εr =

√ε

εo(11.46)

Sendo assim, o ındice de refracao da camada ionosferica pode ser obtido substi-tuindo (11.44) em (11.46), ou seja,

n =

√1 − Ne2

meεoω2(11.47)

ou

n √

1 − 81N

f 2(11.48)

uma vez que e = 1, 6 × 10−19C, me = 9, 1 × 10−31kg e εo = 8, 85 × 10−12F/m.Substituindo (11.34) em (11.48), tem-se

n √

1 −(fcf

)2

(11.49)

Para uma onda eletromagnetica incidindo com um angulo θi em relacao a normalda camada ionosferica, tem-se pela lei de Snell,

senθi = n senθt (11.50)

sendo que, na reflexao total, o angulo θt relacionado com a onda refratada e igual a90. Portanto,

n = senθi (11.51)

227 11.6. Reflexoes Ionosfericas

ou

1 −(fcf

)2

= 1 − cos2 θi (11.52)

o que leva a

fc = f cos θi (11.53)

A partir da equacao (11.53) ou de

f = fc sec θi (11.54)

determina-se a frequencia da onda que pode ser refletida na ionosfera. Esta frequenciatambem pode ser obtida em funcao da altura virtual hv da camada, do raio R daTerra e da distancia d entre as estacoes transmissora e receptora, ou seja,

f = fc

√2R (R + hv)

(1 − cos d

2R

)+ h2

v

hv +R(1 − cos d

2R

) (11.55)

ou, para distancias menores ou iguais a 200km,

f =fchv

√h2v +

(d

2

)2

(11.56)

Exemplo 11.3 Suponha que a frequencia crıtica da camada E, para um determi-nado dia de um certo ano, e igual a 50MHz. Qual deve ser a frequencia de operacaoe o angulo em relacao ao solo para as antenas direcionais de um dado enlace deradio? Considere que o radio-enlace tem 200km de comprimento.

Solucao: Como a distancia do enlace e igual a 200km, entao,

f =50

100

√1002 +

(200

2

)2

= 70, 7 MHz

enquanto o angulo e obtido a partir de

ϕ = arctg

(2hvd

)= 45


11.7 Reflexoes no Solo

A determinacao das alturas das antenas em um enlace de radio nao e somente rele-vante no calculo das perdas por obstrucao. Alturas escolhidas aleatoriamente podemlevar a atenuacao do sinal que chega a antena receptora. Isto ocorre devido a inter-ferencias destrutivas entre as ondas que chegam diretamente da antena transmissorae aquelas que sao refletidas pela superfıcie da Terra. Um exemplo simples deste tipode problema e apresentado a seguir.

A Figura 11.7 mostra um enlace de radio de comprimento d onde as antenas saoposicionadas nas alturas h1 e h2. A distancia e relativamente curta, de tal formaque a curvatura da Terra e desprezada. Entretanto, esta distancia e considerada,neste exemplo, muito maior que as alturas das torres. O coeficiente de reflexao nosolo e supostamente proximos de -1, o que e verdadeiro para incidencias em angulosrasos na faixa de 30-3000MHz e polarizacao horizontal (vide ρ⊥ na Fig. 9.6 ). Ocaminho direto entre as antenas e dado por

d

TX

RX

h1

h2

r

r2

r1

Figura 11.7: Reflexoes na superfıcie da Terra.

r =√d2 + (h1 − h2)2 d+

(h1 − h2)2

2d(11.57)

enquanto que o caminho atraves da reflexao e

r1 + r2 =√d2 + (h1 + h2)2 d+

(h1 + h2)2

2d(11.58)

A diferenca entre os caminhos e obtida subtraindo (11.58) de (11.57), isto e,

229 11.7. Reflexoes no Solo

r1 + r2 − r 2h1h2

d(11.59)

O atraso da onda refletida em relacao a direta, devido a diferenca de caminhose a reflexao na Terra, introduz uma defasagem nos campos que chegam a antenareceptora. Esta defasagem e dada por

∆φ = ∆φ′ + π =4πh1h2

λd+ π (11.60)

Considerando-se que as amplitudes das ondas refletida e direta sao praticamenteiguais a Eo, pode-se entao escrever a magnitude do campo total na antena receptoracomo

|Erx| =∣∣Eo + Eoe

j∆φ∣∣ = 2Eo

∣∣∣∣sen(

∆φ

2

)∣∣∣∣ (11.61)

ou

|Erx| = 2Eo

∣∣∣∣sen(

2πh1h2

λd

)∣∣∣∣ (11.62)

onde se pode notar que a depender da frequencia, da distancia e das alturas dasantenas, o campo pode assumir valores entre 0 e 2Eo.

Exemplo 11.4 Pede-se para posicionar as antenas de um enlace de radio, que operaem 300MHz e tem 100m de comprimento, o mais alto possıvel nas respectivas torresde 20m de altura. O radio-enlace se encontra num terreno plano sem obstaculos.

Solucao: Posicionando-se a antena transmissora no topo da torre, obtem-se

En(h) =|Erx|2Eo

= |sen (1, 26h)|

A Figura 11.8 mostra a variacao da intensidade do campo normalizado com a alturada antena na torre receptora. Nota-se que a melhor posicao para atender ao projetoe h = 18, 7 m, pois esta e a altura maxima com maxima intensidade de campo.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Altura h em m

Inte

nsid

ade

do c

ampo

nor

mal

izad

o E

n(h)

Figura 11.8: Variacao da intensidade de campo normalizado com a altura.

Capıtulo 12

Casamento de Impedancia deAntenas

12.1 Introducao

A impedancia de entrada de uma antena, em muitos casos, tem valor diferente daimpedancia de saıda do sistema a que ela esta conectada. E possıvel se obter aimpedancia de entrada de uma antena bem proxima a impedancia do sistema detransmissao (ou recepcao) modificando-se apenas a geometria desta. Foi visto noCapıtulo 9 que o comprimento e a distancia entre elementos de antenas linearesinfluenciam diretamente no valor de suas impedancias. Entretanto, nem sempre epossıvel se obter, ao mesmo tempo, certas caracterısticas de radiacao e impedanciade entrada que estejam proximas de valores comumente utilizados para linhas detransmissao e transceptores comerciais. Neste caso, torna-se necessario a utilizacaode circuitos de casamentos ou dispositivos que maximizem a transferencia de energiaentre as linhas de transmissao e as antenas. Muitas vezes, a perda de energia ocorredevido ao desbalanceamento de correntes no cabo de alimentacao, que e uma con-sequencia do mau acoplamento entre a antena e a linha de transmissao. A Figura12.1 mostra uma linha desbalanceada ligada a uma antena dipolo. Pode-se verificarque parte da corrente que flui pela blindagem (condutor externo) retorna para aTerra atraves da superfıcie externa da mesma. Estas correntes, I2 e I3, estao sep-aradas fisicamente atraves do efeito pelicular. Como as correntes nos condutoresinterno e externo nao tem as mesmas amplitudes, diz-se, entao, que a linha esta des-balanceada. Um exemplo de linha balanceada, onde I2 = I1, e mostrado na Figura12.2.

231

CAPıTULO 12. Casamento de Impedancia de Antenas 232

I1

Zg

I2

I3

I2-I

3

I1

Figura 12.1: Cabo coaxial ligado a uma antena dipolo.

12.2 Circuitos de Casamento com Tocos e Trechos

de Linhas

Circuitos de casamento de impedancia constituıdos de tocos e linhas ja foram abor-dados anteriormente. Os mais comuns sao dos tipos: trecho de linha com toco emparalelo, trecho de linha com dois ou tres tocos em paralelo e transformador de λ/4.

12.3 Casamento do Tipo T

O arranjo de casamento mostrado na Figura 12.3 e chamado de acoplamento T.O modelo desenvolvido por Uda e Mushiake, para determinar a impedancia nosterminais da antena, e mostrado na Figura 12.4. Este modelo considera que aantena se comporta como uma linha desbalanceada, funcionando simultaneamenteem dois modos: um modo assimetrico (linhas de transmissao) adicionado a um modosimetrico (antenas). As linhas de transmissao tem um curto nas suas extremidadesformando assim dois tocos em curto de comprimento l2/2. A impedancia na entradado toco, impedancia do modo assimetrico, e dada por

Zt =(1 + n)V

2It= jZo tg

(kl22

)(12.1)

sendo

233 12.3. Casamento do Tipo T

I1

Zg

I2

I1

I2

Figura 12.2: Par de fios paralelos ligados a um dipolo.

Zo = 60 ln

(d2

a1a2

)(12.2)

d o espacamento entre os dipolos, a1 o raio do dipolo em curto, a2 o raio do dipolode entrada e n o fator que indica quanto de tensao e corrente se tem em cada dipolo.O valor de n e obtido de

n =cosh−1

(ν2−µ2+1

2ν

)cosh−1

(ν2+µ2−1

2µν

) (12.3)

Enquanto que a impedancia do modo simetrico e obtida a partir de

Za =V

(1 + n)Ia(12.4)

sendo que Za e tambem fornecida pela expressao (9.18) de um dipolo simples comcomprimento l1 e raio equivalente dado por

ae = ln a1 +1

(1 + µ)2 (µ2 lnµ+ 2µ ln ν) (12.5)

onde

µ =a2

a1

(12.6)


l2

l1

d

2a2

2a1

Figura 12.3: Arranjo de casamento do tipo T.

e

ν =d

a1

(12.7)

Como a corrente na entrada e dada por

Iin = It + Ia =(1 + n)V

2Zt+

V

(1 + n)Za=

[(1 + n)2Za + 2Zt]V

2(1 + n)ZtZa(12.8)

e a tensao por

Vin = V + nV = (1 + n)V (12.9)

entao

Zin = Rin + jXin =VinIin

=2(1 + n)2ZtZa

(1 + n)2Za + 2Zt(12.10)

O circuito equivalente para a expressao (12.10) e mostrado na Figura 12.5.A impedancia de entrada Zin e geralmente complexa e, como o comprimento l2 e

muito pequeno (0, 03λ a 0, 06λ), sua parte reativa e indutiva. Sendo assim, para seobter na ressonancia um valor puramente resistivo, torna-se necessario a utilizacaode dois capacitores nos terminais de entrada, como mostrado na Figura 12.6. Ovalor de cada capacitor e dado por

C = 2Cin =1

π f Xin

(12.11)

235 12.4. Dipolo Dobrado

=(a)

Vin

+ -

nV

VI

t

It

+-

+ -

(b)

+V

V

Ia

nIa

+ -

+ -

(c)

Figura 12.4: (a) Arranjo T; (b) modo assimetrico (linha de transmissao); (c) modosimetrico (antenas).

12.4 Dipolo Dobrado

O dipolo dobrado e um caso especial do casamento do tipo T. O valor da impedanciade entrada ja foi obtido no capıtulo anterior utilizando-se o conceito de acoplamentoentre dipolos. Entretanto, e importante salientar que a expressao obtida (9.74) soe valida quando o comprimento do dipolo dobrado e igual a λ

2. Uma expressao

mais precisa pode ser obtida a partir do modelo apresentado na secao anterior. Aimpedancia do dipolo dobrado e entao obtida de (12.10). Se os diametros foremidenticos, entao, n = 1 e

Zin =4ZtZa

2Za + Zt(12.12)

Para o caso especıfico do comprimento ser igual a λ2, tem-se Zt → ∞ e


(1+ n):1

Za

2Zt

Figura 12.5: Circuito equivalente para o arranjo T.

(1+ n):1

Za

2Zt

C

C

Figura 12.6: Circuito equivalente do arranjo T com acoplamento atraves de capaci-tores.

Zin = 4Za (12.13)

Exemplo 12.1 Projete o circuito de casamento para um dipolo de λ/2 que deveoperar em 30MHz. O dipolo sera ligado a um transmissor de 300Ω atraves de umalinha de mesma impedancia.

Solucao: Como foi visto no Capıtulo 9, a impedancia de um dipolo de meio com-primento de onda, para hastes finas, e algo em torno de 73 + j42 Ω. Portanto,utilizando-se um dipolo dobrado, tem-se

Zin = 4Za = 292 + j168 Ω

A parte reativa pode ser eliminada utilizando-se capacitores cujos valores sao

C =1

π f Xin

=1

π × 3 × 107 × 168 63 pF

237 12.5. Casamento do Tipo Gama

O coeficiente de reflexao, neste caso, e

ρ =292 − 300

292 + 300 − 0, 014

e o coeficiente de onda estacionaria

VSWR =1 + 0, 014

1 − 0, 014 1, 03

12.5 Casamento do Tipo Gama

O arranjo de casamento T e dipolos dobrados sao acoplados aos transceptores atravesde linhas de transmissao balanceadas. No caso de conexoes com linhas desbal-anceadas, como cabos coaxiais, utiliza-se outro tipo de arranjo de casamento. AFigura 12.7 mostra um arranjo do tipo Gama para linhas coaxiais. No arranjo Gamatem-se apenas um toco no modo assimetrico, portanto, a corrente neste modo e dadapor

l2

/2

l1

d

2a2

2a1

C

Figura 12.7: Arranjo de casamento do tipo Gama.

It =(1 + n)V

Zt(12.14)

Ja a corrente no modo simetrico e fornecida por

Ia =2V

(1 + n)Za(12.15)


uma vez que a impedancia do dipolo equivalente e a metade do valor obtido em(12.4). Sendo assim, a impedancia de entrada fica

Zin = Rin + jXin =(1 + n)2ZtZa

(1 + n)2Za + 2Zt(12.16)

Se um capacitor C for utilizado para eliminar a parte reativa, tem-se

Zin =1

jωC+

(1 + n)2ZtZa(1 + n)2Za + 2Zt

(12.17)

onde

C =1

2π f Xin

(12.18)

O circuito equivalente e mostrado na Figura 12.8.

(1+ n):1C

Za/ 2Z

t

Figura 12.8: Circuito equivalente de um arranjo Gama.

Exemplo 12.2 Projete o sistema de casamento para o dipolo do exemplo anteriorconsiderando que o mesmo sera ligado a um transmissor de 50Ω atraves de um cabocoaxial de mesma impedancia.

Solucao: Utilizando-se tubos de alumınio de mesmo diametro, tem-se

Zin =2ZtZa

2Za + Zt

onde a parte real e igual a

Rin =2X 2

t Ra

4R2a + (2Xa +Xt)2

e a imaginaria

239 12.5. Casamento do Tipo Gama

Xin =2Xt[XaXt + 2(X 2

a +R 2a )]

4R 2a + (2Xa +Xt)2

sendo Xt = Zo tg (2πln), Zo = 120 ln(d/a), ln = 0, 5 l2/λ e a = a1 = a2. A Figura12.9 mostra a variacao da resistencia de entrada Rin com o comprimento normal-izado ln. Nota-se que, para ln = 0, 072, o valor de Rin e igual a 50Ω. Portanto,considerando-se l2/2 = 0, 072λ = 72cm, a = 0, 5cm e d = 10cm, tem-se

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

25

50

75

100

125

150

Comprimento normalizado ln

Res

istê

ncia

de

entr

ada

Rin

Figura 12.9: Resistencia Rin em funcao do comprimento normalizado ln. A curvafoi obtida para a = 0, 5 cm, d = 10 cm e Za = 73, 13 + j 42, 54 Ω.

Zin 2 × j174, 7 × (73, 1 + j42, 5)

2 × (73, 1 + j42, 5) + j174, 7 50, 2 + j85, 5 Ω

onde a parte reativa pode ser eliminada utilizando-se um capacitor de

C =1

2π f Xin

=1

2π × 3 × 107 × 85, 5 62 pF

Os valores para montagem do sistema sao: l1 = 5m, l2/2 = 72cm, a = 0, 5cm,d = 10cm e C = 62 pF.


12.6 Casamento do Tipo Omega

A diferenca basica entre o arranjo do tipo Omega e o tipo Gama esta na introducaode um segundo capacitor, como mostrado na Figura 12.10. Com este capacitor epossıvel se reduzir o comprimento do haste de casamento l2/2, no caso do valorfornecido pelo casamento Gama ser muito longo.

C1

C2

Figura 12.10: Arranjo de casamento do tipo Omega.

12.7 Transformadores

Sabe-se, da teoria de circuitos, que um transformador pode ser utilizado, nao so comoelevador ou redutor de tensao e corrente, mas tambem como casador de impedancia.Considerando-se um transformador, como mostrado na Figura 12.11, com N1 espirasno enrolamento primario e N2 no enrolamento secundario, tem-se [19]

V2

V1

=N2

N1

(12.19)

e, para as correntes,

I2I1

=N1

N2

(12.20)

Portanto, pode-se obter a relacao de impedancias como segue:

Z2

Z1

=V2

V1

I1I2

=

(N2

N1

)2

(12.21)

A impedancia “vista” nos terminais do enrolamento primario do transformador,quando uma impedancia ZL e ligada ao secundario, e dada por

241 12.7. Transformadores

V1

N1

N2 V

2

N1:N

2I

1

ZL

Zin

V1

V2

I2

(a)

(b)

Figura 12.11: (a) Transformador com nucleo toroidal; (b) esquema de um transfor-mador ligado a uma carga de impedancia ZL.

Zin = ZL

(N1

N2

)2

(12.22)

Os transformadores aplicados em altas frequencias sao constituıdos por nucleosde ferrite, material que mantem suas caracterısticas de impedancia para faixas largasde frequencias.

Exemplo 12.3 Projete um transformador para casar a impedancia de 300Ω de umaantena com a impedancia de 75Ω de um recepetor de TV.

Solucao: O projeto se resume em encontrar os numeros de espiras do primario esecundario do transformador. Neste caso, tem-se

N2

N1

=

√ZLZin

=

√300

75= 2


Portanto, se N1 = 10 espiras, entao, N2 tem que ser igual a 20 espiras. Noteque, neste exemplo, nao existe balanceamento de correntes. Para se conseguir obalanceamento de correntes, utiliza-se um dispositivo um pouco mais complexo,denominado balun com nucleo de ferrite.

12.8 Baluns

O balun, nome que vem do ingles BALance to UNbalance, e um arranjo ou dispositivoque tem como principal objetivo acoplar uma linha balanceada a uma linha desbal-anceada. Isto e possıvel eliminando-se a corrente que flui pela superfıcie externado condutor externo de uma linha desbalanceada. Na Figura 12.1, esta corrente edenominada de I3. O circuito equivalente do sistema antena-linha, mostrado nestafigura, e apresentado na Figura 12.12, onde Z3 e a impedancia que se opoe a pas-sagem da corrente I3. Se Z3 → ∞, entao, I3 → 0 e o sistema fica balanceado comI2 = I1. A seguir sao mostrados dois exemplos de como isto pode ser obtido.

Za/ 2

Za/ 2 Z

g

Zo

Z3

I3

I1

I2

I1

I2 - I

3

Figura 12.12: Circuito equivalente do sistema mostrado na Figura 12.1.

243 12.8. Baluns

12.8.1 Balun do Tipo Bazuca

O balun do tipo Bazuca e obtido colocando-se uma luva condutora de comprimentoigual a λ/4 envolvendo o cabo coaxial, como mostrado na Figura 12.13. A extrem-idade da luva distante da conexao antena-linha e ligada eletricamente ao condutorexterno do cabo coaxial. Isto faz com que o conjunto luva-condutor-externo operecomo um toco coaxial em curto. Como o comprimento deste toco e igual a um quartodo comprimento de onda de ressonancia, a impedancia Z3 “vista” nos terminais dotoco e muito grande e, consequentemente, a corrente I3 de retorno e praticamentezero.

Zg

λ/4

Figura 12.13: Balun do tipo Bazuca.

12.8.2 Balun do Tipo Trombone

O balun do tipo Trombone, apresentado na Figura 12.14, alem de possibilitar obalanceamento entre linhas, oferece tambem uma transformacao de impedancia de4:1. Por exemplo, uma linha paralela de 300Ω pode ser ligada a um cabo coaxial de75Ω sem problemas de casamento de impedancia. O circuito equivalente do balunTrombone e mostrado na Figura 12.15. Observa-se que a corrente I1 esta relacionadacom I2 atraves de

I1 = −I2 e j∆φ (12.23)

onde ∆φ e o comprimento eletrico da linha coaxial em “U”. Seu valor e obtido apartir de


Zg

l/2

Figura 12.14: Balun do tipo Trombone.

∆φ =2π

λl (12.24)

sendo λ = cf√εr

e l o comprimento fısico desta linha. Se o comprimento da linha

em “U” for igual a λ/2, tem-se I1 = I2, levando o sistema ao balanceamento. Alemdisso, a impedancia “vista” no ponto A em direcao a linha em “U” e igual a Za/2que, em paralelo com Za/2, fornece uma impedancia de entrada de Za/4. Para ocircuito estar casado e necessario que a impedancia caracterıstica Zo da linha sejaigual a Za/4.

Exemplo 12.4 Apresente dois projetos, utilizando-se os baluns estudados, paracasar a impedancia e balancear as correntes do sistema irradiante do exemplo ante-rior. Considere a frequencia de operacao igual a 300MHz e cabos com εr = 1.

Solucao: O problema pode ser resolvido utilizando-se um balun do tipo bazuca,com l = λ/4 = 25cm, entre o transformador e os terminais da antena ou, entao, umbalun do tipo trombone, de l = λ/2 = 50cm, excluindo-se o transformador.

12.9 Baluns com Nucleos de Ferrite

Os baluns apresentados na secao anterior foram constituıdos a partir de linhas detransmissao. Uma outra famılia de baluns, muito difundida comercialmente, e aquela

245 12.9. Baluns com Nucleos de Ferrite

Zo

I2

I1

ZgZ

a/ 2

Zo

Za/ 2

V1

V2

l

A

Linha em U

I1

Figura 12.15: Circuito equivalente do sistema mostrado na Figura 12.13.

que utiliza nucleos de ferrite. Os baluns com nucleos de ferrite podem ser utilizadospara balanceamento e/ou para casamento de impedancia. O balun mostrado naFigura 12.16a e utilizado apenas para balanceamento das correntes, enquanto o daFigura 12.16b faz o balanceamento e a transformacao de impedancia.


(a)

(b)

Figura 12.16: (a) Balun com um nucleo de ferrite; (b) balun com dois nucleos deferrite.

Capıtulo 13

Arranjos de Antenas

13.1 Introducao

Nos capıtulos anteriores foram analisadas estruturas simples, constituıdas de ape-nas um elemento radiador. Verificou-se que certas caracterısticas de radiacao, comoganho, diretividade e largura de feixe de meia-potencia, nem sempre sao adequadaspara aplicacoes praticas. Se for tomado como exemplo a antena do tipo dipolo,pode-se concluir que estes radiadores fornecem baixo ganho e baixa diretividade,alem do feixe de meia-potencia ser muito largo e a relacao frente-costas igual a 0dB.Em aplicacoes envolvendo radio-enlace, por exemplo, a utilizacao de antenas simplesfica muito a desejar, uma vez que a radiacao de ondas eletromagneticas nao ocorrepreferencialmente em uma unica direcao. Ja aplicacoes de radiodifusao, como trans-missao de sinais de emissoras de TV e radios FM, exigem caracterısticas de radiacaoque, em geral, devem ser uniformes. Um dipolo, por exemplo, se utilizado na hori-zontal, nao tem diagrama de radiacao uniforme, devido aos dois nulos simetricos noplano E. Tanto as caracterısticas de radiacao necessarias para radiodifusao como asde radio-enlace podem ser obtidas utilizando-se um grupo ou conjunto de antenas.Antenas do tipo yagi, log-periodica e colineares sao exemplos de conjuntos de an-tenas, no caso, elementos lineares do tipo dipolo, que oferecem alta diretividade ealto ganho. Antenas como a log-periodica oferecem, alem de uma boa diretividade,largura de banda larga, sendo muito utilizada na recepcao de canais de TV.

Nas proximas secoes serao analisados conjuntos ou arranjos de antenas onde oselementos estao distribuıdos de uma maneira uniforme, ao longo de um eixo ousuperfıcie plana, formando respectivamente as distribuicoes do tipo linear e pla-nar. As caracterısticas de radiacao podem ser obtidas e/ou controladas a partirda alimentacao de cada elemento, do espacamento entre eles e do tipo de elementoutilizado.

247

CAPıTULO 13. Arranjos de Antenas 248

E=E1+E

2

d

r1

r2

z

θ1

r

θ20 d

r1

r2

z

θ1

r

θ2

0

θ

(a) (b)

Figura 13.1: Arranjo de dois dipolos: (a) campo proximo; (b) campo distante.

13.2 Distribuicao Linear

Este tipo de distribuicao e muito utilizada na pratica para compor antenas maiscomplexas, como as dos tipos mencionados na secao anterior. A analise e feita paraelementos isotropicos, uma vez que as caracterısticas de radiacao de outros arranjos,constituıdos de elementos nao-isotropicos, podem ser obtidas atraves do produto daexpressao do campo radiado pelo elemento com a expressao do campo do arranjoisotropico. Isto ja foi visto na Secao 9.4.1 e sera, mais uma vez, mostrado na secaoseguinte para dois elementos dipolo infinitesimal.

13.2.1 Arranjo de Dois Elementos

Um arranjo constituıdo de dois elementos dipolos infinitesimais, alinhados no eixoz e espacados uniformemente, e mostrado na Figura 13.1. Se os elementos temcorrentes de excitacao dadas por

Ie1 = Io1 ejβ1 (13.1)

249 13.2. Distribuicao Linear

e

Ie2 = Io2 ejβ2 (13.2)

entao, seus campos serao fornecidos por

E1 =jη kIo1 l e

− j(k r1−β1)

4πr1sen θ1 (13.3)

e

E2 =jη kIo2 l e

− j(k r2−β2)

4πr2sen θ2 (13.4)

sendo Io1 e Io2 as amplitudes das correntes de excitacao, enquanto β1 e β2 sao asfases destas correntes. Sabe-se que, para campos distantes, r e muito maior que d,portanto, no que diz respeito a fase, tem-se θ1 θ2 θ,

k r1 k (r − d

2cos θ) (13.5)

k r2 k (r +d

2cos θ) (13.6)

e, em termos de amplitude,

r1 r2 r (13.7)

O campo produzido pelo arranjo e igual a superposicao dos campos gerados pelosdipolos, ou seja,

E = E1 + E2 (13.8)

ou

E =jη k l e − jk r

4πrsen θ

[Io1e

j (k d2

cos θ+β1) + Io2e− j (k d

2cos θ−β2)

](13.9)

Se o elemento 1 for tomado como referencia, tem-se

E =jη k Io1l e

− jk r

4πrsen θ

[e j (k d

2cos θ+β1) +

Io2Io1e − j (k d

2cos θ−β2)

](13.10)

A expressao (13.10) pode ser sintetizada como


E = EelFA (13.11)

sendo

Eel =jη k Io1l e

− jk r

4πrsen θ (13.12)

e

FA =

[e j (k d

2cos θ+β1) +

Io2Io1e − j (k d

2cos θ−β2)

](13.13)

O fator de arranjo FA fornece a expressao do campo eletrico de um arranjo com-posto de antenas isotropicas. No exemplo visto aqui, os radiadores isotropicos saoexcitados por correntes de amplitudes iguais a Io1 e Io2 e fases β1 e β2.

Para excitacao, onde Io1 = Io2 e β1 − β2 = β, obtem-se

FA =[e j (k d

2cos θ+ β

2 ) + e − j (k d2

cos θ + β2 )]

= 2 cos

[1

2(k d cos θ + β)

](13.14)

Observe que este resultado e semelhante aquele expresso em (9.61).

13.2.2 Arranjo de N Elementos

Se for considerado agora um arranjo linear de radiadores isotropicos, como mostradona Figura 13.3, onde as correntes de excitacao sao dadas por

Iei = αiIo ejβi (13.15)

tem-se, como fator de arranjo para campos distantes,

FA =N∑i=1

[αi e

j(k di cos θ+βi)]

(13.16)

sendo Io a amplitude da corrente do elemento de referencia, αi = |Ii|Io

e βi a defasagemde alimentacao em relacao a origem. Se, por exemplo, o primeiro elemento fortomado como referencia, entao, α1 = 1. Para espacamento e amplitudes uniformes,com diferenca de fase igual a β entre elementos adjacentes, tem-se

FA =N∑i=1

[e j (i−1)(k d cos θ+β)

](13.17)


90

60

30

0

−30

−60

−90

−120

−150

180

150

120

Figura 13.2: Diagrama de radiacao (plano E) para um arranjo de dois dipolos deλ/2 com d = λ/10 e β = π/2.

A equacao (13.17) pode ser reescrita como

FA = e j N −12

φ

[sen

(N2φ)

sen(

12φ)]

(13.18)

sendo

φ = k d cos θ + β (13.19)

Se o arranjo estiver simetricamente distribuıdo em relacao a origem, entao,

FA =sen

(N2φ)

sen(

12φ) (13.20)


d2

r3

z

0

θr

2

r1

rN

dN

Figura 13.3: Arranjo com N radiadores isotropicos.

e seu valor normalizado e dado por

FAn =1

N

sen(N2φ)

sen(

12φ) (13.21)

Para φ muito pequeno, tem-se

FAn =sen

(N2φ)

N2φ

(13.22)

13.2.3 Arranjo com um Numero Par de Elementos

Se o espacamento d entre os elementos for uniforme, a diferenca de fase β entreos elementos adjacentes for constante e as correntes tiverem amplitudes diferentes,entao, o fator de arranjo, para um numero par 2M de elementos distribuıdos simet-ricamente em relacao a origem, e dado por

FA =M∑i=1

αi

[e j 2i−1

2(k d cos θ+β) + e − j 2i−1

2(k d cos θ+β)

](13.23)


ou

FA = 2M∑i=1

αi cos

[2i− 1

2k d cos θ + β

](13.24)

13.2.4 Arranjo com um Numero Impar de Elementos

Para 2M + 1 elementos, distribuıdos simetricamente em relacao a origem, tem-se

FA = 2α1 +M+1∑i=2

αi[e j (i−1)(k d cos θ+β) + e − j (i−1)(k d cos θ+β)

](13.25)

ou

FA = 2M+1∑i=1

αi cos [(i− 1) ( k d cos θ + β)] (13.26)

onde o elemento na origem tem amplitude de corrente igual a 2α1.

13.2.5 Intensidade de Radiacao

A intensidade de radiacao de um arranjo constituıdo de elementos isotropicos eobtida a partir do fator de arranjo, isto e,

U(θ) = F 2A (13.27)

enquanto a intensidade de radiacao normalizada e obtida de

Un(θ) = F 2An

(13.28)

Se o arranjo for constituıdo de elementos cujos campos eletricos radiados sao forneci-dos por Eel(θ, ϕ), entao, a intensidade de radiacao do conjunto sera dada por

U(θ) =r2

2ηE2elF

2A (13.29)


13.2.6 Diretividade

Assim como nas antenas simples de um elemento, a diretividade de um arranjopode ser obtida da equacao (8.29) ou (9.7), utilizando-se a equacao (13.29). Paraum arranjo uniforme de antenas isotropicas, com defasagem de alimentacao β = 0e espacamento d λ, a intensidade de radiacao normalizada e dada por (13.28) ea diretividade por

Do =Umax

Uo=

1

Uo(13.30)

uma vez que o valor maximo de (13.28) e 1. Lembrando-se que a intensidade deradiacao Uo de uma antena isotropica e dada por

Uo =Prad4π

=1

2

π∫0

Un(θ) sen θ dθ (13.31)

ou, no caso de fator de arranjo ser dado por (13.22),

Uo =1

2

π∫0

F 2An

sen θ dθ π

Nkd(13.32)

entao

Do =Nkd

π= 2N

d

λ(13.33)

13.3 Distribuicao Planar

Se os elementos forem distribuıdos sobre uma superfıcie plana, como mostrado naFigura 13.4, tem-se um arranjo do tipo planar. Este arranjo pode ser consideradocomo um conjunto linear de arranjos lineares. E so supor, por exemplo, que o ar-ranjo mostrado na Figura 13.4 e formado por elementos que sao arranjos lineares,distribuıdos ao longo de x e espacados na direcao y. O conjunto planar de ante-nas possui mais variaveis que permitem um maior controle das caracterısticas deradiacao do mesmo. Alem disso, este tipo de distribuicao oferece um diagrama deradiacao mais simetrico (para arranjos uniformes) com lobulos secundarios de menorintensidade.

Considerando-se que a corrente no elemento posicionado na m-esima linha en-esima coluna do arranjo e dado por

Imn = αmn Io ej(βm+βn) (13.34)

255 13.3. Distribuicao Planar

dN

dM

ϕ

θ

r

dx

dy

ds

x

y

z

1 2 3 N

2

M

Figura 13.4: Arranjo planar de elementos isotropicos.

sendo Io a amplitude de referencia, αmn = |Imn|Io

, βm e βn as defasagens em relacao aorigem, tem-se como fator de arranjo, para o primeiro conjunto linear da estruturamostrada na Figura 13.4,

(FA)n=1 =M∑m=1

[αmn e

j(k dm sen θ cosϕ +βm)]

(13.35)

Enquanto o fator de arranjo de toda a estrutura plana e obtido de

FA =N∑n=1

[(FA)n e

j(k dn sen θ senϕ +βn)]

(13.36)

ou

FA =N∑n=1

M∑m=1

[αmn e

j(k dm sen θ cosϕ +βm)e j(k dn sen θ senϕ +βn)]

(13.37)

ou ainda


FA =N∑n=1

M∑m=1

[αmn e

jφxe jφy]

(13.38)

sendo

φx = kxdm + βm = k dm sen θ cosϕ + βm (13.39)

e

φy = kydn + βn = k dn sen θ senϕ + βn (13.40)

Para uma distribuicao uniforme tem-se como fator de arranjo a seguinte ex-pressao:

FA =N∑n=1

M∑m=1

[e j(m−1)(k dx sen θ cosϕ +βx)e j(n−1)(k dy sen θ senϕ +βy)

](13.41)

Se ela for simetrica em relacao a origem, entao, o fator de arranjo normalizado fica

FA =

[sen

(Mφx

2

)M sen

(φx

2

)] sen

(Nφy

2

)N sen

(φy

2

) (13.42)

sendo, neste caso,

φx = k dx sen θ cosϕ + βx (13.43)

e

φy = k dy sen θ senϕ + βy (13.44)

onde dx e dy sao os espacamentos entre os elementos adjacentes enquanto que βx eβy sao as defasagens de alimentacao entre os elementos.

13.4 Arranjos Lineares de Dipolos

13.4.1 Caracterısticas de Radiacao

Utilizando-se as expressoes vistas na Secao 13.2, pode-se obter as caracterısticas deradiacao de arranjos lineares constituıdos de dipolos. O campo total radiado peloarranjo, com os elementos distribuıdos no eixo z, e dado por

257 13.4. Arranjos Lineares de Dipolos

E = Eel |FA| (13.45)

sendo

Eel =jηIo e

−jkr

2πr

[cos

[kl2

cos (θ + θo)]− cos

(kl2

)sen (θ + θo)

](13.46)

onde θo = 0 para dipolos colineares e θo = π/2 para dipolos paralelos. FA e fornecidopor (13.16), sendo o modulo de FA em (13.45) utilizado para arranjos simetricamentedistibuıdos em relacao a origem. A intensidade de radiacao normalizada no plano Ee dada, entao, por

Uen =Ue(θ)

max Ue(θ) (13.47)

sendo

Ue(θ) =η |Io|28π2

[cos

[k l2


(k l2

)]2sen2 (θ + θo)

|FA|2 (13.48)

enquanto que, no plano H, a intensidade normalizada pode ser obtida de

Uhn =Uh(ϕ)

max Uh(ϕ) (13.49)

sendo

Uh(ϕ) = |FA|2 (13.50)

A diretividade do arranjo e obtida a partir de (13.30), substituindo (13.47) em(13.31).

Se os dipolos tiverem comprimentos identicos e a alimentacao for feita de formaque as correntes sejam iguais, entao, a intensidade de radiacao no plano E e dadapor


[cos

[k l2


(k l2

)]2sen2 (θ + θo)

sen2(N2φ)

sen2(

12φ) (13.51)

e no plano H

Uh(ϕ) =

[sen

(N2φ′)

sen(

12φ′)

]2

(13.52)


onde φ e φ′ sao fornecidos por (13.19), sendo que no caso da expressao de φ′ substitui-se θ por ϕ .

Exemplo 13.1 Projete uma antena direcional constituıda de dois dipolos de meiocomprimento de onda.

Solucao: Considerando-se dois dipolos de λ/2 paralelos ao eixo z, obtem-se, a partirdas equacoes (13.51) e (13.52), a expressao da intensidade de radiacao no plano E


[cos2

(π2

cos θ)

sen2 θ

][sen2 (k d cos θ + β)

sen2(

12k d cos θ + β

)]

e no plano H

Uh(ϕ) =

[sen (k d cosϕ + β)

sen(

12k d cosϕ+ β

)]2

Uma analise baseada na variacao de d e β revela que a maxima diretividadecom um menor numero de lobulos secundarios pode ser obtida quando d = λ/10 eβ = π/2. O diagrama de radiacao no plano E, para estes valores, e mostrado naFigura 13.2. Neste exemplo, a diretividade do arranjo e igual a 5,7dBi (3,6dB acimado valor de um dipolo) e a relacao frente-costas igual a 4,4dB (no dipolo e zero).

13.4.2 Impedancia de Entrada e Corrente nos Dipolos

A proximidade dos dipolos no arranjo leva a inducao de correntes entre os elementos.O resultado disso e a alteracao da impedancia de entrada de cada elemento. NoCapıtulo 9 foram estudados os efeitos do acoplamento entre dois dipolos proximos,posicionados lado a lado paralelamente ou colinearmente. As impedancias de entradadestes dipolos foram obtidas a partir das impedancias propria e mutua. No caso dosarranjos, tem-se dois ou mais dipolos proximos, portanto, para se obter as correntes eimpedancias de entrada em cada dipolo, e necessario calcular, alem das impedanciasproprias, as impedancias mutuas de cada elemento em relacao aos outros. Uma vezcalculadas estas impedancias, obtem-se as correntes em cada elemento, resolvendo-seo sistema representado pela equacao matricial que se segue:

V1

V2

V3...VN

=

Z11 Z12 Z13 · · · Z1N

Z21 Z22 Z23 · · · Z2N

Z31 Z32 Z33 · · · Z3N...

......

. . ....

ZN1 ZN2 ZN3 · · · ZNN

I1I2I3...IN

(13.53)

259 13.4. Arranjos Lineares de Dipolos

ou

Vin = Z Iin (13.54)

lembrando que Zii e obtida de (9.18) enquanto Zij e fornecida por (9.36) ou (9.37)no caso paralelo e (9.42) e (9.43) no caso colinear. Portanto, sabendo-se as tensoesde alimentacao, obtem-se as correntes de entrada de cada elemento atraves de

Iin = Z−1 Vin (13.55)

As correntes nos dipolos (13.15) sao fornecidas por

Ie(i) =Iin(i)

sen(kli2

) (13.56)

onde li e o comprimento do i-esimo dipolo.A impedancia de entrada do i-esimo dipolo pode ser calculada de

Zi =Vin(i)

Iin(i)(13.57)

ou de

Zi = Zi1I1Ii

+ Zi2I2Ii

+ · · · + Zii + · · · + ZiNINIi

(13.58)

Exemplo 13.2 Encontre a impedancia de entrada dos dipolos do exemplo anterior.

Solucao: As impedancias podem ser obtidas a partir da equacao (13.58), ou seja,

Z1 = Z11 + Z12I2I1

e

Z2 = Z22 + Z21I1I2

sendo as correntes fornecidas por (13.56), as impedancias proprias por (9.18) eas mutuas por (9.36) e (9.37). Os valores das impedancias, calculadas por estasequacoes, sao: Z11 = Z22 73 + j 42, 5 Ω e Z21 = Z12 67 + j 7, 5 Ω. As correntessao obtidas a partir da resolucao do sistema[

V1

V2

]=

[Z11 Z12

Z21 Z22

] [I1I2

]


ou [I1I2

]=

[73 + j 42, 5 67 + j 7, 567 + j 7, 5 73 + j 42, 5

]−1 [1e jπ/2

]

cuja solucao e: I1 = −0, 007 − j 0, 014A e I2 = 0, 016 + j 0, 018A. Substituindo osvalores de correntes e impedancias nas equacoes que fornecem as impedancias deentradas, tem-se

Z1 = 73 + j 42, 5 + 67 + j 7, 5 × 0, 016 + j 0, 018

−0, 007 − j 0, 014 −28, 8 + j 55, 7 Ω

e

Z2 = 67 + j 7, 5 + 73 + j 42, 5 × −0, 007 − j 0, 014

0, 016 + j 0, 018 27, 2 + j 31, 2 Ω

13.5 Arranjos Planares de Dipolos

13.5.1 Caracterısticas de Radiacao

Para um arranjo planar de dipolos, o diagrama de radiacao depende da direcaode alinhamento dos elementos. Se os elementos estiverem alinhados em relacao adirecao z, entao, a expressao do campo eletrico total e dada por

E =jη e−jkr

2πr

[cos

(kl2

cos θ)− cos

(kl2

)sen θ

]N∑n=1

M∑m=1

[Imn e

jφxe jφy]

(13.59)

sendo φx e φy dados, respectivamente, por (13.39) e (13.40). A intensidade deradiacao normalizada e obtida de

Un =U(θ, ϕ)

max U(θ, ϕ) (13.60)

e

U(θ, ϕ) =η

8π2

[cos

(k l2

cos θ)− cos

(k l2

)]2sen2 θ

[N∑n=1

M∑m=1

[Imn e

jφxe jφy]]2

(13.61)

O diagrama de radiacao no plano E pode variar de acordo com o angulo ϕ.A diretividade do arranjo e obtida de

261 13.5. Arranjos Planares de Dipolos

Do =4π U(θm, ϕm)

2π∫0

π∫0

U(θ, ϕ) sen θ dθ dϕ

(13.62)

onde θm e ϕm indicam a direcao do lobulo principal.

Exemplo 13.3 Trace o diagrama de radiacao, em ambos os planos, E e H, paraum arranjo constituıdo de quatro dipolos de meio comprimento de onda alinhadoscom a direcao z. O espacamento entre os elementos e de λ/2 e as diferencas defases sao: βx = −π/2 e βy = 0.

Solucao: A expressao da intensidade de radiacao, para o plano E, e fornecida por(13.61). Apos alguma manipulacao matematica, tem-se


cos(k l2

cos θ)

sen2 θ|FA|2

Para o plano H, tem-se

Uh(ϕ) = |FA|2 =1

16

[senφx

sen(φx

2

)]2 senφy

sen(φy

2

)

2

onde φx = π sen θ cosϕ −π/2 e φy = π sen θ senϕ. A Figura 13.5 mostra os diagramasde radiacao, para o plano E (ϕ = 0) e plano H, tracados utilizando-se as equacoesacima.

90

60

30

0

−30

−60

−90

−120

−150

180

150

120

Plano E

90

60

30

0

−30

−60

−90

−120

−150

180

150

120

Plano H

Figura 13.5: Diagramas de radiacao para um arranjo planar de 4 dipolos de λ/2.


13.5.2 Impedancia de Entrada e Corrente nos Dipolos

As impedancias e correntes sao determinadas utilizando-se um procedimento semel-hante aquele adotado na Secao 13.4.2, isto e, as correntes sao obtidas resolvendo osistema (13.53). Mais uma vez, o calculo das correntes e impedancias vai depen-der da orientacao dos dipolos. Quando os elementos estao orientados na direcao z,utilizam-se (9.18), (9.36) e (9.37) para se obter as impedancias proprias e mutuas.

Capıtulo 14

Antenas Direcionais

14.1 Introducao

Antenas Direcionais sao utilizadas em radio-enlace, uma vez que elas possuem car-acterısticas de radiacao que levam a concentracao de potencia radiada numa deter-minada direcao do espaco. Estas caracterısticas sao: alta diretividade ou ganho,feixe de meia-potencia estreito e alta relacao frente-costas. Para se obter estas pro-priedades, as antenas direcionais sao constituıdas de refletores ou varios elementos,como dipolos e “loops”. As antenas com refletores serao analisadas mais adiante,sendo o foco neste capıtulo voltado para aquelas compostas por elementos. Foramselecionadas para analise tres tipos de antenas muito utilizadas comercialmente. Saoelas: yagi-uda, log-periodica e helicoidal.

14.2 Antena Yagi-Uda

As antenas do tipo yagi-uda, comumente denominadas de yagi, foram primeiramentedescritas e analisadas num artigo do professor japones S. Uda, em marco de 1926[35]. Entretanto, estas antenas so se tornaram mundialmente conhecidas depois dapublicacao, em 1928, de um artigo em ingles assinado por H. Yagi [38], colega doprofessor Uda.

A antena yagi mais comum e aquela constituıda de dipolos espacados paralela-mente sobre um determinado eixo, como mostrado na Figura 14.1. Na yagi apenasum elemento e excitado sendo os outros chamados de elementos parasitas. Os el-ementos em frente ao radiador ou excitador, na direcao do lobulo principal, saodenominados de elementos diretores. Enquanto que os elementos atras do radiador,no sentido oposto a direcao de campo maximo, sao chamados de refletores. Na sua

263

CAPıTULO 14. Antenas Direcionais 264

configuracao mais simples, a yagi tem um refletor e um elemento radiador. Numprojeto otimizado, um numero grande de elementos leva a um maior ganho da an-tena, isto e, uma antena de tres elementos pode fornecer um ganho maximo maiorque uma composta de apenas dois.

ElementosDiretores

ElementosRefletores

ElementoRadiador

Figura 14.1: Antena yagi de 6 elementos.

14.2.1 Yagi de Dois Elementos

A Figura 14.2 mostra uma antena yagi de dois elementos, com comprimento l1 el2, espacados a uma distancia d um do outro. O elemento 1 (radiador), excitadopor uma tensao V qualquer, gera uma distribuicao de corrente que produz camposeletromagneticos radiados em forma de onda. Apesar de nao haver excitacao diretano elemento 2 (parasita), existe uma distribuicao de corrente induzida pelo campooriundo do elemento radiador. Esta por sua vez produz tambem campos eletro-magneticos que, superpostos com os campos do elemento 1, formam o campo totalradiado pelo arranjo. As caracterısticas de radiacao e a impedancia de entrada daantena dependem dos comprimentos e espacamento entre os elementos.

A impedancia de entrada e obtida aplicando-se a teoria apresentada no capıtuloanterior, Secao 13.4. Neste caso, por se tratar de apenas dois elementos, tem-se

Z11I1 + Z12I2 = V (14.1)

265 14.2. Antena Yagi-Uda

d

z

r0

θ

l2

l1

1

2

Figura 14.2: Antena yagi de 2 elementos alinhada ao longo do eixo z.

e

Z21I1 + Z22I2 = 0 (14.2)

donde se conclui que a corrente induzida no elemento 2 e

I2 = −I1Z21

Z22

(14.3)

A impedancia de entrada e expressa entao por

Zin = Z11 − Z21

Z22

Z12 (14.4)

A expressao do campo eletrico distante radiado pelo conjunto e obtida de

E(θ) = E1(θ) + E2(θ) (14.5)

sendo


Tabela 14.1: Ganhos e impedancias em relacao ao comprimento do elemento 2(d = 0, 1λ e a = 0, 0001λ).

l2/λ G(dBi) Zin(Ω) Z22(Ω)0,5 6,7 21 + j59 73 + j42

0,505 6,3 27 + j63 75 + j570,515 5,5 37 + j66 80 + j850,485 6,7 12 + j31 67 + j0,48 7,3 16 + j20 65 − j130,475 6,7 25 + j11 63 − j26

E1(θ) =j60I1

r sen(kl12

)[

cos(kl12

sen θ)− cos

(kl12

)cos θ

]e−jk(r−

d2

cos θ) (14.6)

e

E2(θ) =j60I2

r sen(kl22

)[

cos(kl22

sen θ)− cos

(kl22

)cos θ

]e−jk(r+

d2

cos θ) (14.7)

Para uma yagi com elemento radiador de comprimento igual a λ/2, a expressao(14.5) fica

E(θ) = j60I1 e−jkr

r cos θ

[cos

(π2

sen θ)ejk

d2

cos θ

−Z21

Z22

cos( kl22

sen θ)−cos( kl22 )

sen ( kl22 )

e−jkd2

cos θ

] (14.8)

A Tabela 14.1 mostra o comportamento do ganho de uma yagi de 2 elementos emrelacao ao comprimento do elemento 2, sendo o espacamento d = 0, 1λ, l1 = 0, 5λe o raio a = 0, 0001λ. O ganho da antena pode ser elevado reduzindo-se, nestecaso, o tamanho do elemento parasita para 0, 48λ. Nota-se que, para os dois ultimoscomprimentos da Tabela 14.1, as impedancias proprias do elemento 2 tem partereativa capacitiva. O diagrama de radiacao mostrado na Figura 14.3 deixa claroque, neste caso, este elemento atua como um elemento diretor, uma vez que o lobuloprincipal esta no sentido z−. Para comprimentos ligeiramente superiores a λ/2, oelemento parasita tem reatancia indutiva e atua como refletor, como apresentado naFigura 14.4.


90

60

30

0

−30

−60

−90

−120

−150

180

150

120

Plano E

Figura 14.3: Diagrama de radiacao para uma yagi de 2 elementos (l2 = 0, 48λ,d = 0, 1λ e raio a = 0, 0001λ).

Na Tabela 14.2, observa-se o comportamento do ganho em funcao do espacamento.Neste caso, l1 = 0, 5λ, l2 = 0, 48λ e o raio a = 0, 0001λ. O que se nota e uma quedado ganho com o aumento do espacamento.

14.2.2 Yagi de Tres Elementos

Esta configuracao de yagi e muito utilizada na faixa de HF. O elemento mais longo e orefletor e o mais curto o diretor. O sistema e equivalente a configuracao optica de umespelho (refletor), fonte de luz e lente (diretor). O diagrama de radiacao apresentadona Figura 14.5, referente a um projeto de yagi com tres elementos, mostra que alargura do feixe de meia-potencia e menor que aquelas obtidas com antenas de doiselementos, o que resulta num ganho um pouco mais elevado. A relacao frente-costas


90

60

30

0

−30

−60

−90

−120

−150

180

150

120

Plano E

Figura 14.4: Diagrama de radiacao para uma yagi de 2 elementos (l2 = 0, 505λ,d = 0, 1λ e raio a = 0, 0001λ).

tambem e aumentada, uma vez que a radiacao de fundo (θ =180) e menor que asobtidas no caso anterior. Experimentos mostram que se pode obter ganhos maiselevados, da ordem de 9 dBi, utilizando-se espacamentos de 0, 16λ a 0, 25λ entreos elementos refletor e excitado e de 0, 16λ a 0, 19λ entre os elementos excitado ediretor.

A expressao do campo eletrico utilizada para tracar o diagrama da Figura 6.5e o resultado da superposicao dos campos produzidos pelos elementos parasitas e oexcitado, isto e,

E(θ) = Er(θ) + Ee(θ) + Ed(θ) (14.9)

onde Er(θ), Ee(θ) e Ed(θ) sao respectivamente os campos oriundos dos elementosrefletor, excitado e diretor. Para o arranjo alinhado na direcao z, como mostradona Figura 14.6, com o elemento excitado de comprimento le posicionado na origem,


Tabela 14.2: Ganhos e impedancias em relacao ao espacamento (l2 = 0, 48λ e a =0, 0001λ).

d G(dBi) Zin(Ω)0,1 7,3 16 + j200,15 6,1 23 + j460,2 6,2 38 + j630,25 6,3 56 + j71

o elemento diretor de comprimento ld a uma distancia dd da origem e o elementorefletor de comprimento lr a uma distancia dr da origem, tem-se

Er(θ) =j60Ir

r sen(klr2

)[

cos(klr2

sen θ)− cos

(klr2

)cos θ

]e−jk(r+dr cos θ) (14.10)

Ee(θ) =j60Ie

r sen(kle2

)[

cos(kle2

sen θ)− cos

(kle2

)cos θ

]e−jkr (14.11)

e

Ed(θ) =j60Id

r sen(kld2

)[

cos(kld2

sen θ)− cos

(kld2

)cos θ

]e−jk(r−dd cos θ) (14.12)

Portanto, a equacao (14.9) pode ser reescrita como

E(θ) = j60Ie e−jkr

r cos θ

[IrIe

cos( klr2

sen θ)−cos( klr2 )

sen ( klr2 )

e−jkdr cos θ

+ cos(π2

sen θ)

+ IdIe

cos(

kld2

sen θ)−cos

(kld2

)sen

(kld2

) e jkdd cos θ

](14.13)

As razoes entre as correntes, IrIe

e IdIe

, sao obtidas a partir da solucao do sistemaabaixo,

Z11 Z12 Z13

Z21 Z22 Z23

Z31 Z32 Z33

I1I2I3

=

0V0

(14.14)


90

60

30

0

−30

−60

−90

−120

−150

180

150

120

Plano E

Figura 14.5: Diagrama de radiacao de uma antena yagi de 3 elementos cujo refletortem 0, 505λ de comprimento, o diretor 0, 48λ, os espacamentos 0, 1λ e o raio 0, 0001λ.O ganho maximo e de 7,7dBi e a relacao frente-costas igual a 16dB.

ou

Z I = V (14.15)

isto e,

I = Z−1V (14.16)

sendo I1 = Ir, I2 = Ie e I3 = Id. A impedancia da antena de tres elementos e dadapor

Zin = Z21IdIe

+ Z22 +IrIeZ23 (14.17)

ou


dr

z

r

0

lr

ld

1

3

dd

2le

Figura 14.6: Antena yagi de tres elementos.

Zin =V

Ie(14.18)

14.2.3 Yagi de N Elementos

Experimentos e simulacoes mostram que o aumento do numero de elementos refle-tores nao melhoram muito a diretividade da antena yagi. Entretanto, o acrescimode elementos diretores na antena leva a um incremento no ganho maximo de aproxi-madamente 1dB por elemento. A Tabela 14.3 apresenta algumas configuracoes comseus respectivos ganhos. Nestes exemplos, o espacamento entre o refletor e o ele-mento excitado e igual a 0, 15λ. Valores tıpicos variam entre 0, 15λ e 0, 25λ. Osespacamentos entre os elementos diretores, para estas configuracoes, sao de 0, 3λ. Omesmo valor e utilizado entre o elemento excitado e o primeiro elemento diretor. Oscomprimentos dos elementos refletor, excitado e diretor sao respectivamente 0, 482λ,0, 45λ e 0, 428λ. Todos os elementos tem raio igual a 0, 0043λ.


Tabela 14.3: Numero total de elementos × ganho em dBi.Node Elementos G(dBi)

3 9,46 12,49 14

Existem algumas tentativas de se estabelecer um procedimento sistematico parao projeto de antenas yagi de N elementos que conduza a maximizacao do ganho. Umprocedimento muito adotado e comecar o projeto pelo ajuste do comprimento dorefletor ligeiramente acima do comprimento do elemento excitado. Em seguida,determina-se o espacamento entre o elemento refletor e o excitado na faixa defrequencia comentada anteriormente. Os elementos diretores sao ajustados com val-ores abaixo do comprimento do elemento excitado, sendo finalmente os espacamentosestabelecidos dentro da faixa tıpica de 0, 13λ a 0, 42λ. Atualmente, com a facilidadede recursos computacionais e tecnicas numericas modernas, e possıvel maximizarparametros, como ganho e relacao frente-costas, em projetos de antenas do tipoyagi num espaco de tempo relativamente curto. Tecnicas como algoritmos geneticospodem ser empregadas no processo de otimizacao do projeto [18].

Mais uma vez, o campo total radiado pela antena e obtido pelo somatorio doscampos radiados pelos elementos parasitas e o excitado, ou seja,

E(θ) =N∑i=1

Ei(θ) (14.19)

ou

E(θ) =N∑i=1

j60Ii

r sen(kli2

)[

cos(kli2

sen θ)− cos

(kli2

)cos θ

]e−jk(r−di cos θ)

(14.20)

onde as correntes sao obtidas a partir de

I = Z−1V (14.21)

sendo

I =[I1 I2 · · · Ii · · · IN

]t(14.22)

V =[

0 V 0 0 · · · 0]t

(14.23)

273 14.3. Antena Log-Periodica

e

Z =

Z11 Z12 Z13 · · · Z1N

Z21 Z22 Z23 · · · Z1N

Z31 Z32 Z33 · · · Z1N...

......

. . ....

ZN1 ZN2 ZN3 · · · ZNN

(14.24)

Considerando-se que o elemento 2 e excitado, a impedancia de entrada pode serfornecida por

Zin = Z21I1I2

+ Z22 + · · · + IiI2Z2i + · · · + IN

I2Z2i (14.25)

ou simplesmente

Zin =V

I2(14.26)

A Figura 14.7 apresenta o diagrama de radiacao da antena yagi de 9 elementoscitada como exemplo na Tabela 14.3.

Exemplo 14.1 Projete uma yagi de 3 elementos para operar na frequencia de 300MHz.Seu ganho deve ser maior que 7dBi e sua impedancia igual a 75Ω.

Solucao: A yagi da Figura 14.5 pode ser utilizada para atender a especificacao deganho do projeto. As dimensoes da antena, neste caso, sao: lr = 50, 5cm, le = 50cme ld = 48cm, uma vez que λ = 1m. Se forem utilizados tubos de aluminio de 1cm dediametro (a = 0, 005λ), tem-se um ganho de aproximadamente 8,4dBi, um poucomaior que aquele obtido para a = 0, 0001λ. A impedancia de entrada do elementoirradiador, considerando-se esta geometria, e 1 + j34Ω. O valor de 75Ω pode seralcancado atraves da aplicacao de uma das tecnicas de casamento apresentadas noCapıtulo 4. A solucao mais simples e obtida utilizando-se um toco em curto comcomprimento ltc = 0, 017λ = 1, 7cm, posicionado na linha de transmissao a 41,6cmdos terminais da antena. Note que neste caso nao foi feito o balanceamento dascorrentes.

14.3 Antena Log-Periodica

Antenas do tipo Logarıtmica-periodica, ou apenas Log-periodica, foram apresen-tadas a comunidade cientıfica pela primeira vez por R. H. Duhamel e D. E. Isbell


90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

Plano E

Figura 14.7: Antena yagi de 9 elementos com ganho de 14dBi e relacao frente-costasde 30dB.

[17] num artigo publicado em 1957 [11]. Com este tipo de periodicidade logarıtmicae possıvel se manter o ganho da antena praticamente constante para uma faixaampla de frequencias. As antenas do tipo log-periodica mais comuns no mercado saoaquelas constituıdas de dipolos coplanares posicionados lado a lado paralelamente,como mostrado na Figura 14.8. A primeira vista, uma log-periodica se assemelhamuito com uma yagi. Entretanto, uma analise cuidadosa revela diferencas nao so nasgeometrias como tambem em algumas de suas caracterısticas. Os ganhos maximosobtidos com antenas log-periodicas tem valores proximos aos obtidos com antenas dotipo yagi, porem a diferenca, como ja foi comentado, esta na manutencao do ganhopara uma faixa larga de frequencias. Com relacao a geometria, pode-se comentarque as dimensoes das antenas log-periodicas seguem uma regra especıfica baseadana seguinte equacao:

1

τ=Rn+1

Rn

=ln+1

ln=sn+1

sn=dn+1

dn(14.27)


dn+1

ln+12α

z

Rn

Rn+1

sn+1

Figura 14.8: Antena Log-periodica de 5 elementos.

onde τ e um parametro de escalonamento das dimensoes da antena. Ele esta asso-ciado a diretividade ou ganho da antena e ao espacamento relativo

σ =Rn+1 −Rn

2ln+1

(14.28)

Todos os elementos da log-periodica sao alimentados, enquanto na yagi apenasum e excitado. A alimentacao pode ser feita com linhas balanceadas, como mostradona Figura 14.9. A alimentacao com linhas cruzadas, Figura 14.9b, fornece umadefasagem adicional de 180 entre elementos adjacentes. Nesta condicao, o lobuloprincipal ocorre na direcao do menor dipolo do conjunto. Em alguns projetos, a linhaque alimenta os dipolos e terminada, na extremidade onde se encontra o elementomais longo, por um toco de λmax/8. Isto faz com que haja uma reducao nos lobulossecundarios, na direcao oposta ao lobulo principal, causando um aumento na relacaofrente-costas da antena.

O princıpio de funcionamento de uma log-perıodica pode ser explicado da seguintemaneira: para certas frequencias, dentro da faixa de operacao da antena, apenas umdos dipolos ressoa e radia praticamente toda a potencia fornecida ao arranjo. Porexemplo, na frequencia mais alta ressoa o dipolo mais curto, enquanto na frequenciamais baixa ressoa o elemento mais longo. Nestas situacoes, os outros dipolos maislongos atuam como elementos refletores e os mais curtos como elementos diretores.


Isso faz com que este tipo de antena mantenha a diretividade para diferentes valoresde frequencia dentro da banda projetada.

(a) (b)

Figura 14.9: (a) alimentacao com dois fios retos; (b) alimentacao com fios trancados.

14.3.1 Projeto de uma Log-periodica

Para se projetar uma antena log-periodica, segue-se, ate hoje, o procedimento apre-sentado por R. L. Carrel na sua tese de doutorado em 1961 [6]. Este procedimento sebaseia nas especificacoes que se quer da antena. Em geral, estas especificacoes sao:diretividade (ou ganho), largura da banda de passagem e impedancia de entrada daantena. Com as especificacoes em mao, obtem-se os seguintes parametros:

1. periodicidade τ e espacamento relativo σ;

2. angulo de abertura do arranjo, α;

3. comprimento total do arranjo, lt;

4. numero de elementos, N ;

5. comprimento dos elementos, ln;

6. espacamento entre elementos, Rn+1 −Rn;

7. largura da linha de alimentacao, s.

Correcoes para este procedimento foram sugeridas, ao longo dos anos, por out-ros autores [9][10][25], tornando os projetos das log-periodicas mais proximos dosresultados obtidos experimentalmente.


Tabela 14.4: Valores do ganho da antena em dBi para diferentes τ e στ \σ 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0,220,8 7 7,2 7,5 8 8,3 8 7,5 7 5,50,82 7,2 7,4 7,7 8,2 8,4 8,3 7,9 7,3 6,10,84 7,3 7,6 7,9 8,3 8,6 8,6 8,2 7,6 6,50,86 7,6 7,8 8,2 8,4 8,8 8,9 8,6 8 7,30,88 7,9 8,1 8,4 8,7 9 9,2 9,1 8,5 7,80,9 8,3 8,6 8,8 9 9,3 9,6 9,5 9 8,50,92 8,7 8,9 9,1 9,4 9,6 10 10 9,7 9,20,94 9,1 9,3 9,5 9,8 10,2 10,7 10,9 10,5 10,10,96 9,5 9,7 10 10,4 11 11,5 11,7 11,5 10,90,98 10 10,4 10,6 11,1 11,6 12,3 13,2 12,5 11,5

Espacamento Relativo e Periodicidade

O espacamento relativo e o fator de periodicidade sao obtidos a partir da Tabela14.4 de acordo com o ganho desejado [1]. Valores de τ pequenos levam a antenasmais compactas. O espacamento relativo otimo, aquele que oferece o maior ganhopara um dado valor de periodicidade, e obtido atraves de

σopt = 0, 258τ − 0, 066 (14.29)

Angulo de abertura do Arranjo

O angulo α, em graus, e determinado utilizando-se a expressao

α =180

πarctg

(1 − τ

4σ

)(14.30)

Comprimento Total do Arranjo

O comprimento total do arranjo esta relacionado com o angulo de abertura e asfrequencias maxima e mınima, isto e,

lt =75(1 − 1

Bs

)fmin tgα

(14.31)

sendo fmin em MHz e


Bs =fmax

fmin

[1, 1 + 7, 7

(1 − τ)2

tgα

](14.32)

Numero de Elementos

O numero de elementos e obtido de

N = 1 − lnBs

ln τ(14.33)

arredondando-se para o inteiro mais proximo.

Comprimento dos Elementos

O maior comprimento e calculado considerando-se a menor frequencia da banda deinteresse, ou seja,

lN = lmax =λmax

2=

150

fmin

(14.34)

lembrando-se que fmin e fornecido em MHz. Os outros comprimentos sao determi-nados utilizando-se

ln−1 = τ ln (14.35)

comecando-se com lN ate se obter l1.

Espacamento entre Elementos

Utilizando-se o espacamento relativo σ e a expressao (14.28), determina-se os espacamentosentre os elementos

Rn −Rn−1 = 2σln (14.36)

comecando-se com ln = lN e

Rn = RN =lN

2 tgα(14.37)


Largura da Linha de Alimentacao

O espacamento entre os fios ou tubos, que alimentam os elementos da antena, eobtido calculando-se primeiro a impedancia caracterıstica da linha de alimentacao.Seu valor aproximado e fornecido pela expressao [1]

Zo Rin

Rin

8σ′Za+

√(Rin

8σ′Za

)2

+ 1

(14.38)

sendo Za, denominada impedancia caracterıstica media dos elementos, dada por

Za = 120 ln

(lndn

)− 2, 55 (14.39)

e σ′ por

σ′ =σ√τ

(14.40)

Rin e a resistencia nos terminais de alimentacao da antena e dn o diametro do n-esimoelemento.

Utilizando-se a expressao de impedancia de uma linha de fios paralelos, vista noCapıtulo 4,

Zo 120√εr

ln

(2s

d

)(14.41)

tem-se

s d

2exp

(Zo120

)(14.42)

onde d e o diametro dos condutores da linha que alimenta os dipolos.

Exemplo 14.2 Projete uma antena log-periodica para operar na faixa de frequenciados canais de TV de 7 a 13 (174-216MHz). Seu ganho deve ser superior ou igual a10dBi e sua impedancia de entrada 300Ω.

Solucao: O menor valor de τ obtido na Tabela 14.4 para o ganho desejado e 0,92.O espacamento otimo, obtido de 14.29, e igual a 0,17. Sendo assim,

α =180

πarctg

(1 − 0, 92

4 × 0, 17

) 6, 7


Bs =216

174

[1, 1 + 7, 7

(1 − 0, 92)2

tg 6, 7

] 1, 886

e

N = 1 − ln 1, 886

ln 0, 92 9 elementos

O comprimento total do arranjo e aproximadamente

lt =75(1 − 1

1,886

)174 tg 6, 7

1, 72 m

e o do maior dipolo

l9 =150

174 86, 2 cm

Utilizando-se (14.35), obtem-se o comprimento dos elementos restantes e atraves de

Rn−1 = Rn − 2σln

considerando

R9 =l9

2 tgα=

86, 2

2 tg 6, 7 3, 66 m

as distancias do vertice aos elementos (vide Figura 14.8). Os resultados sao apre-sentados a seguir:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9ln(cm) 44,2 48,1 52,3 56,8 61,8 67,1 73 79,3 86,2Rn(m) 1,88 2,04 2,22 2,41 2,62 2,85 3,1 3,37 3,66

Os diametros dos elementos tem que variar de acordo com (14.27), entretanto,na pratica, nao se encontram tubos condutores de qualquer bitola. Considerando-se,para o calculo da impedancia da linha de alimentacao, um tubo de diametro iguala 1cm, referente ao elemento central (numero 5), tem-se

Za = 120 ln (61, 8) − 2, 55 492, 3Ω e σ′ =0, 17√0, 92

0, 177

281 14.4. Antena Helicoidal

Logo,

Zo 300

300

698+

√(300

698

)2

+ 1

455, 5 Ω

e os espacamento da linha, para fios de 2mm de diametro,

s 0, 2

2exp

(455, 5

120

) 4, 5 cm

14.4 Antena Helicoidal

As antenas helicoidais sao constituıdas, na sua forma mais popular, por uma espi-ral (ou helice) condutora e um disco refletor, como mostrado na Figura 14.10. Aalimentacao e feita em geral atraves de cabos coaxiais, onde o condutor interno econectado a espiral e a malha externa ao refletor. Helicoidais podem radiar ondaseletromagneticas em muitos modos de propagacao, sendo que os mais relevantes sao:o modo normal (ou transversal), onde a intensidade maxima de radiacao ocorre noplano normal ao eixo da espiral (vide Figura 14.11a); o modo axial (ou longitu-dinal), onde a intensidade de radiacao maxima ocorre na direcao do eixo espiral,como mostrado na Figura 14.11b. Os modos de propagacao estao relacionados comas dimensoes da antena. Para uma antena radiar no modo normal, o comprimentototal da espiral, lt = Nls, tem que ser muito menor que o comprimento de onda nafrequencia de ressonancia, ou seja, lt λ. Enquanto que no modo axial, o diametrod e o passo s da helice tem valores tıpicos iguais as fracoes do comprimento de onda,isto e, λ/4, λ/8, etc. O primeiro modo e utilizado em aplicacoes de radiodifusao,particularmente na faixa de UHF, enquanto o segundo e empregado em radio-enlacedevido as suas caracterısticas direcionais.

14.4.1 Modo Normal

Uma antena helicoidal de comprimento muito pequeno pode ser considerada, numaprimeira aproximacao, como um arranjo de dipolos curtos intercalados por um ar-ranjo de antenas do tipo laco (loop), tambem conhecida como antena de quadro(vide Figura 14.12). O campo eletrico distante radiado por um dipolo curto decomprimento s e

Eθ =jηkIo s sen θ

4πre − j k r (14.43)


sls

ls

lh

d

s

2a

C = dπ

α

Figura 14.10: Antena Helicoidal.

Enquanto que o campo radiado por uma antena de laco muito pequena, do tipo anelcom diametro igual a d, e [2]

Eϕ =ηk2Io d

2 sen θ

16 re − j k r (14.44)

Observe que, neste caso, o campo eletrico radiado pela antena helicoidal tem com-ponentes em quadratura de fase. Portanto, se a razao axial,

AR =|Eθ||Eϕ| =

4s

πkd2=

2λ s

C2(14.45)

for igual a um, entao, os campos radiados tem polarizacao circular. Esta condicaoe obtida quando

C =√

2λ s (14.46)

A antena operara com polarizacao linear quando AR = 0 ou AR = ∞. Aprimeira condicao e obtida fazendo o passo da helice igual a zero, de forma que aantena helicoidal torne-se uma antena de laco do tipo anel. Ja a segunda condicaoe fornecida por (14.45) quando d = 0, o que leva a antena a se comportar como umdipolo de comprimento lh. A Figura 14.10 mostra que os passos e o diametro daespiral estao relacionados atraves da equacao

tgα =s

πd=

s

C(14.47)

Para α = 0, a espiral torna-se um anel de diametro D e a onda radiada pela antena,na regiao de campos distantes, possui apenas a componente de campo eletrico nadirecao ϕ. Se a antena estiver alinhada com o eixo vertical, sua polarizacao, nestecaso, sera linear horizontal. A proporcao que α vai aumentando, o campo distante


90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

(a) (b)

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

Figura 14.11: Diagrama de radiacao de uma antena helicoidal operando no modo:(a) normal e (b) axial.

tem as duas componentes em quadratura e amplitudes diferentes, o que resulta emuma onda elipticamente polarizada. Quando a circunferencia C e dada por (14.46),

α = arctg

(C

2λ

)(14.48)

os modulos das componentes de campo sao iguais e a onda radiada fica circularmentepolarizada. Finalmente, para o caso de α = 90, a espiral converge para um fio retovertical de comprimento lh e o campo eletrico distante tem apenas a componente emθ, o que significa que a antena opera com polarizacao linear vertical. Em todos oscasos, os diagramas de radiacao sao semelhantes ao apresentado na Figura 14.11a.

14.4.2 Modo Axial

E neste modo que a antena helicoidal se comporta como uma antena direcional. Ospassos da helice sao suficientemente longos para construir padroes de interferenciade campo semelhantes aqueles produzidos pelas yagis, com a diferenca que as ondasradiadas, neste caso, tem polarizacao elıptica ou circular.

O campo eletrico da helicoidal pode ser obtido considerando-a como um arranjode N espiras espacadas por uma distancia s. Seu valor normalizado, na regiao decampos distantes, e fornecido por [20]


d

s

Figura 14.12: Modelo equivalente de uma antena helicoidal.

E cos θ

[sen

( π

2N

) sen(Nφ2

)sen

(φ2

)]

(14.49)

sendo

φ = ks cos θ + β = k

(s cos θ − ls

p

)(14.50)

A expressao entre colchetes em (14.49) e o fator de arranjo normalizado para Nantenas isotropicas alinhadas ao longo do eixo z. Neste caso, a normalizacao docampo eletrico produzido pelo arranjo e feita utilizando-se o termo sen

(π

2N

). A

variavel β, em (14.50), fornece a defasagem entre dois pontos da espiral separadospelo comprimento ls. Esta defasagem esta associada a onda de corrente que sepropaga ao longo da espiral com velocidade relativa p.

Para se obter o lobulo principal no sentido z+ (θ = 0) e necessario que

φ (θ = 0) = k

(s− ls

p

)= −2πm (14.51)

Donde se deduz que

p =ls/λ

s/λ+m(14.52)

sendo m um numero inteiro nao-negativo. Lobulos com feixes de meia-potencia maisestreitos podem ser obtidos quando


φ (θ = 0) = k

(s− ls

p

)= −2πm− π

N(14.53)

o que leva a uma velocidade relativa

p =ls/λ

s/λ+ 2mN+12N

(14.54)

A condicao imposta em (14.53) foi proposta pela primeira vez por Woodyard eHensen [16]. Ela corresponde a uma das condicoes para se obter superdiretividadenum arranjo de antenas.

O cosseno que multiplica o fator de arranjo normalizado, em (14.49), representauma aproximacao da distribuicao de campo eletrico de cada espira. Atraves deuma analise mais detalhada, pode-se mostrar que as componentes de campo eletricoproduzido por cada espira [23], na regiao de campos distantes, sao dadas por

Eθ =ηkIo a

4re − j (k r+ϕ)

[2 cos θ

J1(ka sen θ)

ka sen θ− s

πasen θ J1(ka sen θ)

](14.55)

e

Eϕ = − jηkIo a

2re − j (k r+ϕ)∂J1(ka sen θ)

∂r(14.56)

onde a e igual ao raio da secao transversal da espira. E importante dizer que, paravalores grandes de N , o fator de arranjo torna-se predominante, fazendo com que(14.49) seja uma boa aproximacao do campo eletrico radiado. Pode-se verificarem (14.55) e (14.56) que a polarizacao da helicoidal na direcao de ganho maximo(θ = 0) e circular, uma vez que |Eθ| / |Eϕ| = 1 nesta direcao.

Expressoes empıricas [20], baseadas em medicoes para antenas com N > 3,3/4 < C/λ < 4/3, e 12 < α < 14, sao utilizadas para se obter: a impedancia deentrada,

Zin 140C

λ(14.57)

a diretividade em relacao a uma antena isotropica,

Do 15NC2s

λ3(14.58)

a razao axial (no caso de superdiretividade),


AR =2N + 1

2N(14.59)

e o feixe de meia-potencia em graus,

θMP 52λ3/2

C√Ns

(14.60)

Neste caso, a polarizacao e praticamente circular na direcao do lobulo principal.O refletor ou plano-terra, utilizado em conjunto com a espiral condutora, tem queter diametro maior ou igual a λ

2, enquanto o fio desta espiral deve ter diametro,

preferencialmente, entre 0,006λ e 0,05λ [28].

Exemplo 14.3 Projete uma antena helicoidal para operar em 900MHz, com dire-tividade igual ou superior a 20dBi, polarizacao circular e impedancia de 75Ω.

Solucao: Considerando-se C/λ = 1, 205 em (14.57), tem-se

Zin 140 × 1, 205 168, 7 Ω

Este e o melhor valor de impedancia que se pode obter dentro da faixa de valores C/λpossıveis de se aplicar em (14.57), pois utilizando-se, por exemplo, um transformadorcom relacao de espiras igual a 2:3, obtem-se a impedancia desejada de 75Ω.

O valor da circunferencia da espiral e C = 1, 205λ 0, 4m, uma vez que ocomprimento de onda e igual a meio metro, enquanto que o passo da espiral, obtidoatraves de (14.47), tem valor

s = C tgα 9, 2 cm

onde α foi considerado igual a 13. O diametro da espiral e entao d = C/π = 60/π 12, 7cm, enquanto que o numero de voltas na espiral pode ser obtido de (14.58), ouseja,

N λ3Do

15C2s=

0, 037 × 10

15 × 0, 16 × 0, 092 17

Finalmente, o diametro da placa refletora deve ser, no mınimo, igual a 25cm e o fioque compoe a espiral 3mm.

Capıtulo 15

Antenas com Refletores

15.1 Introducao

No capıtulo anterior foram analisadas antenas direcionais constituıdas de elementosdispostos linearmente no espaco. A partir destes arranjos foi possıvel se obter carac-terısticas de radiacao apropriadas para aplicacao em radio-enlace, isto e, alto ganho ealta relacao frente-costas. Uma outra maneira de se obter estas caracterısticas podeser alcancada atraves da utilizacao de refletores. Pode-se, por exemplo, aumentara relacao frente-costas de um dipolo de meio comprimento de onda colocando-seuma placa metalica plana a uma certa distancia deste. E logico que esta distanciainfluenciara na distribuicao de campo em volta do conjunto dipolo-placa e, con-sequentemente, no valor da diretividade e do ganho maximo da antena. Portanto,para se obter um projeto otimizado, e necessario se verificar o comportamento doconjunto em funcao do espacamento entre o refletor e o elemento radiador. Alemde refletores planos, serao analisados, nas proximas secoes, refletores constituıdos deduas placas metalicas para certos angulos de abertura entre zero e 180. Na ultimasecao serao estudados refletores parabolicos.

15.2 Antena com Placas Refletoras

Antenas compostas por elementos radiadores e refletores de placas metalicas solidasou vazadas sao muito utilizadas em radio-enlace na faixa de UHF. A Figura 15.1mostra dois exemplos de refletores vazados com as aberturas das placas iguais a90 e 180. Neste caso, o elemento alimentador e um dipolo de meio comprimentode onda. Refletores com abertura de 90 sao os mais faceis de serem encontradosna pratica, uma vez que se consegue valores relativamente altos de diretividade e a

287

CAPıTULO 15. Antenas com Refletores 288

abertura e ampla o suficiente para comportar os elementos radiadores. Na Figura15.2 e mostrado os diagramas de radiacao medidos para a antena com refletor decanto da Figura 15.1a. Os ganhos maximos tıpicos obtidos por refletores de 180,90 e 45 sao, respectivamente, 6dBi, 12,5dBi e 14,5dBi [28]. Enquanto a relacaofrente-costas nunca e menor que 20dB, se as placas refletoras tiverem as dimensoesh 0, 6λ e w 2d. O valor do espacamento s deve ser no maximo λ/10.

d

h

w

s

w

h

d

(a) (b)

Figura 15.1: Antena com refletor de canto de 90 (a) e refletor plano (b) .

15.2.1 Refletor Plano

Considerando-se uma fonte isotropica proxima de um plano refletor condutor, comoapresentado na Figura 15.3a, pode-se obter os campos radiados utilizando-se a teoriadas imagens. Para este caso, o conjunto alimentador-refletor e equivalente a duasfontes isotropicas em antifase (Figura 15.3b). Como ja foi visto no Capıtulo 9, ocampo total e a superposicao dos campos devido a fonte radiadora e virtual, isto e,

E = Er + Ev (15.1)

Se o plano refletor e o plano z = 0 e a distancia da fonte radiadora isotropica aorefletor e d, entao, o campo distante e dado por

289 15.2. Antena com Placas Refletoras

(b)

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

(a)

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

180

150

120

Figura 15.2: Diagramas de radiacao para a antena mostrada na Figura 15.1a. (a)plano H e (b) plano E.

E =Io√

30Rr

re−jkr

(e−jkd cos θ − ejkd cos θ

)=

2Io√

30Rre−j(kr+π/2)

rsen (kd cos θ)

(15.2)A intensidade de radiacao normalizada e, por sua vez, fornecida por

Un = sen2 (kd cos θ) (15.3)

e a diretividade

Do =2

π∫0

sen2 (kd cos θ) sen θ dθ

(15.4)

Para uma antena cujo elemento alimentador e um dipolo ou uma outra estruturaqualquer, o campo radiado e dado por

E = Eel FA (15.5)

sendo Eel o campo eletrico do elemento alimentador e


y

x

Alimentador

y

x

PlacaRefletora

AlimentadorImagem

(a) (b)

Figura 15.3: (a) Antena com refletor plano; (b) arranjo equivalente.

FA = sen (kd cos θ) (15.6)

15.2.2 Refletor de Canto

Aplicando-se mais uma vez a teoria das imagens, pode-se verificar que um refletorde canto com abertura de 90 e equivalente a quatro fontes radiadoras, sendo tresvirtuais e uma real, produzidas pela reflexao dos campos nas placas, como mostradona Figura 15.4a. Se o angulo de abertura for 45, entao, sete imagens serao formadae o campo e obtido considerando-se oito fontes radiadoras, como mostrado na Figura15.4b. Para qualquer angulo, entre 0 e 180, fornecido por

α =180

n(15.7)

com n inteiro maior ou igual a um, pode se obter

N = 2n− 1 =360

α− 1 (15.8)

sendo N o numero de imagens formadas.

Tomando-se como exemplo uma antena com refletor de canto de abertura α =90, tem-se como estrutura equivalente um arranjo com quatro fontes radiadoras.O campo distante radiado e a superposicao dos campos radiados por cada fonte, ouseja,


y

x

α = 9 0

1

2

3

4

y

x

α = 4 5

1

2

5

7

3

4

6 8

(a) (b)

d

Figura 15.4: (a) Refletor de canto com 90 de abertura. Refletor com 45 de aber-tura.

E =4∑i=1

Ei =4∑i=1

[(−1)i−1 f(θ, ϕ)

e−jkri

ri

](15.9)

onde f(θ, ϕ) corresponde a variacao do campo eletrico devido ao alimentador. Seeste alimentador e colocado a uma distancia d do vertice do refletor, como mostradona Figura 15.4a, entao,

E = f(θ, ϕ)e−jkr

r

4∑i=1

[(−1)i−1 e jφi

](15.10)

onde

φ1 = kd cosψ1 = kd sen θ cosϕ (15.11)

φ2 = kd cosψ2 = kd sen θ senϕ (15.12)

φ3 = kd cosψ3 = −kd sen θ cosϕ (15.13)

e

φ4 = kd cosψ4 = −kd sen θ senϕ (15.14)


Portanto, o campo total pode ser reescrito como

E = 2 f(θ, ϕ)e−jkr

r[cos(kd sen θ cosϕ) − cos(kd sen θ senϕ)] (15.15)

ou

E = Eel FA (15.16)

sendo

Eel = f(θ, ϕ)e−jkr

r(15.17)

e

FA = 2 [cos(kd sen θ cosϕ) − cos(kd sen θ senϕ)] (15.18)

onde ϕ varia, neste caso, de -45 a 45. Para o plano z = 0 tem-se

FA = 2 [cos(kd cosϕ) − cos(kd senϕ)] (15.19)

A partir de (15.19) pode-se demonstrar que, para valores de d menores ou iguaisa 2λ/3, o diagrama no plano azimutal possui apenas o lobulo principal. A inten-sidade do campo eletrico radiado pela antena, constituıda do refletor e uma fonteisotropica, varia periodicamente com o espacamento. A Figura 15.5 mostra estavariacao de campo, enquanto a Figura 15.6 apresenta a variacao do ganho com oespacamento para a antena da Figura 15.1a. Observa-se nesta figura que, quantomenor a distancia do vertice ao elemento alimentador, maior e o ganho. Entretanto,pode-se demonstrar que valores muito pequenos de d reduz drasticamente o valor daresistencia de radiacao da antena alimentadora, tornando-a da ordem da resistenciaassociada as perdas. Experimentos e simulacoes indicam que este fenomeno e pre-dominante para d < λ/3 [2].

As expressoes do fator de arranjo para refletores de 60, 45 e 30 sao mostradasrespectivamente a seguir:

FA = 4sen

(φx2

) [cos

(φx2

)− cos

(φy√

3

2

)](15.20)

FA = 2

[cosφx + cosφy − 2 cos

(φx√

2

)cos

(φy√

2

)](15.21)

e


0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

d/λ

Cam

po n

orm

aliz

ado

Figura 15.5: Variacao da intensidade do campo eletrico normalizado |FA| com oespacamento d/λ, considerando ϕ = 0.

FA = 2

cosφx + 2 cos(φx

2

)cos

(φy

√3

2

)

− cosφy − 2 cos(φx

√3

2

)cos

(φy

2

) (15.22)

Exemplo 15.1 Projete um refletor de canto de 90, com um dipolo de meio com-primento de onda como alimentador, para operar em 300MHz. Determine a dire-tividade da antena.

Solucao: De acordo com as referencias [28][2], na pratica, a distancia otima doalimentador ao vertice do refletor de canto de 90 e λ/3. Como no exemplo ocomprimento de onda e igual a 1m, entao, d = 33cm. Para se reduzir os lobulossecundarios, devido ao fenomeno de difracao proximo as bordas, o refletor tem queter vertice e largura iguais a pelo menos 60cm (0,6λ) e 66cm (2d), respectivamente.Nesta frequencia o dipolo tem 50cm de comprimento.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.710.5

11

11.5

12

12.5

13

d/λ

Gan

ho (

dB)

Figura 15.6: Variacao do ganho com o espacamento d/λ. As perdas na antena foramdesprezadas.

A diretividade e obtida utilizando-se as equacoes apresentadas no Capıtulo 8, ouseja,

Do =4πUmax

P rad

=4πUmax

π/4∫−π/4

π/2∫0

U(θ, ϕ) sen θ dθ dϕ

=4π

π/4∫−π/4

π/2∫0

Un(θ, ϕ) sen θ dθ dϕ

sendo, neste caso, para campos distantes,

U(θ, ϕ) =r2

2η|Eθ(θ, ϕ)|2 =

r2

2η|Eel(θ, ϕ)|2 |FA|2

ou

U(θ, ϕ) =ηI 2

o

2π2

∣∣∣∣∣cos(π2

cos θ)

sen θ

∣∣∣∣∣2

|cos(kd sen θ cosϕ) − cos(kd sen θ senϕ)|2

Substituindo os valores de Umax e U(θ, ϕ) na expressao de diretividade, obtem-se,apos a integracao, Do 17 (12,3 dBi). Confirme esse valor na Figura 15.6.

295 15.3. Antena Parabolica

Figura 15.7: Antena parabolica com alimentador no foco do paraboloide.

15.3 Antena Parabolica

As antenas parabolicas sao antenas de alto ganho e, por este motivo, sao empregadasem enlaces longos como aqueles utilizados para comunicacoes via satelites ou emsondas interplanetarias (vide Figura 15.7). Sua estrutura classica e aquela formadapor um refletor paraboloide onde uma antena do tipo corneta e posicionada nofoco. Existem outras configuracoes com diferentes tipos de refletores e posicoesdo alimentador. As mais conhecidas sao: a montagem do tipo Cassegrain, ondeum refletor secundario e posicionado no foco de forma que o alimentador possa sercolocado no centro do refletor primario; montagem do tipo alimentador deslocado,offset (vide Figura 15.8), onde apenas parte de um paraboloide e utilizado comorefletor. A montagem do tipo Cassegrain e mais cara, porem o sistema alimentadorfica atras do refletor primario, o que reduz a incidencia de raios solares sobre aantena alimentadora e, consequentemente, melhora a relacao sinal-ruıdo do sistemacomo um todo. As antenas parabolicas com alimentador deslocado sao geralmenteusadas em frequencias elevadas, como por exemplo, para radiodifusao de sinal de TVpor assinatura (banda Ku), visto que as dimensoes fısicas reduzidas proporcionammaior estabilidade mecanica do braco alimentador quando a antena sofre a acao dosventos. Neste tipo de estrutura o alimentador praticamente nao bloqueia as ondaseletromagneticas incidentes ou refletidas no refletor, aumentando assim a eficienciada antena.


Figura 15.8: Antena parabolica cujo refletor e parte da superfıcie de um paraboloide.Neste caso o alimentador esta deslocado (offset) em relacao ao centro da superfıcierefletora.

15.3.1 Refletor Parabolico de Revolucao

Antenas parabolicas constituıdas de refletores parabolicos de revolucao, ou sim-plesmente paraboloide, sao as mais faceis de serem encontradas no mercado. Umparaboloide e obtido a partir da revolucao ou giro de uma curva parabolica em tornode seu eixo. O raio da parabola e fornecido pela expressao

R =2df

1 + cos θ′ (15.23)

onde df e a distancia focal ou distancia entre o foco e o vertice da parabola (videFigura 15.9).

15.3.2 Iluminacao do Refletor

Se uma fonte isotropica for colocada no foco do paraboloide, entao, parte da radiacaoemanada desta fonte sera refletida no refletor parabolico, interferindo com a outraparte que nao sofreu reflexao. A depender da distancia focal, a superposicao daonda refletida com a onda direta pode resultar em campo nulo, ou praticamentenulo, proximo do eixo de revolucao. Contudo, se

df = nλ

4(15.24)

para n inteiro ımpar, a interferencia nao e destrutiva, reforcando o campo na regiaoproxima ao eixo de revolucao. Este tipo de interferencia pode ser minimizado com autilizacao de alimentadores direcionais, como por exemplo, antenas do tipo corneta.Neste caso, os campos emanados do foco irao em direcao ao refletor. A dependerdo diagrama de radiacao do elemento alimentador e da abertura do refletor, pode-se


df

2a

Vértice

z0

focoR

θο

r

Figura 15.9: Curva parabolica ou parabola.

ter uma iluminacao uniforme ou nao-uniforme. Obtem-se uma iluminacao uniformequanto menor for a abertura do refletor. Isto implica em angulos θo pequenos, quesao obtidos mantendo-se o diametro do paraboloide fixo e aumentando-se a distanciafocal. A variacao do campo eletrico refletido no paraboloide, em funcao do anguloθ′, pode ser obtida a partir da potencia refletida no paraboloide para uma porcao

anular de raio r e espessura dr, ou seja,

Pr = 2πrWr dr (15.25)

A potencia Pr e igual a potencia Pi, oriunda de uma fonte isotropica, que incidenesta porcao do paraboloide, isto e,

Pr = Pi = 2πUi sen θ′dθ

′(15.26)

Portanto, a intensidade de radiacao Ui pode ser escrita em funcao da densidade depotencia Wr igualando-se (15.25) com (15.26), ou seja.

Ui =r

sen θ′dr

dθ′ Wr (15.27)

Como

r = R sen θ′=

2 df sen θ′

1 + cos θ′ (15.28)

entao


Ui =

(2df

1 + cos θ′

)2

Wr (15.29)

A densidade de potencia proxima ao vertice e obtida fazendo θ′= 0, isto e,

Wo =Uid2f

(15.30)

O campo eletrico no refletor a uma distancia r do vertice, normalizado em relacaoao campo no vertice, e dado por

En =E

Eo=

1 + cos θ′

2(15.31)

A equacao (15.26) mostra que, quanto menor o angulo de abertura, maior a uni-formidade de iluminacao.

15.3.3 Campos Radiados por um Paraboloide

Os campos radiados por um refletor parabolico iluminado uniformemente sao iguaisaos campos radiados por uma abertura circular sobre uma placa absorvedora infinita,onde se faz incidir uma onda plana de campo Eo. Estes campos radiados sao obtidosa partir dos campos na abertura da placa utilizando-se o princıpio de Huygens. Pode-se provar que as expressoes dos campos distantes sao fornecidas pela transformadade Fourier da distribuicao dos campos na abertura.

Para paraboloides do tipo cilındrico, os campos distantes podem ser obtidos apartir do campo eletrico de uma abertura retangular (vide Secao 10.4). Considerando-se que este campo, orientado na direcao x, e uniforme e a area da abertura e A = ab,tem-se como expressoes para as componentes do campo eletrico distante no plano E(ϕ = 90)

Eϕ = −jkabEoe−jkr

4πr(1 + cos θ)

[sen

(kb2sen θ

)kb2sen θ

](15.32)

e

Er = Eθ = 0 (15.33)

Enquanto, para o plano H (ϕ = 0),

Eθ =jkabEoe

−jkr

4πr(1 + cos θ)

[sen

(ka2

sen θ)

ka2

sen θ

](15.34)


e

Er = Eϕ = 0 (15.35)

No caso de paraboloides do tipo circular, com a mesma orientacao de campo naabertura, e area igual a πa2, tem-se no plano E (ϕ = 90)

Eϕ = −jka2Eoe

−jkr

2r(1 + cos θ)

[J1(kasen θ)

kasen θ

](15.36)

e

Er = Eθ = 0 (15.37)

Enquanto, para o plano H (ϕ = 0),

Eθ =jka2Eoe

−jkr

2r(1 + cos θ)

[J1(kasen θ)

kasen θ

](15.38)

e

Er = Eϕ = 0 (15.39)

A funcao de Bessel de ordem 1 e consequencia da simetria cilındrica circular doproblema.

Exemplo 15.2 Trace o diagrama de radiacao, no plano E, para as antenas parabolicasde diametros iguais a 60cm e 135cm, operando em 10GHz. Qual a antena de maiorganho?

Solucao: Substituindo os valores de k = 2π/0, 03 = 209, 4 rd/m e a = 0, 3m naequacao de intensidade de radiacao

Ue (θ) =r2

2η|Eϕ|2 =

k2a4Eo8η

(1 + cos θ)2

∣∣∣∣J1(kasen θ)

kasen θ

∣∣∣∣2

ou na equacao de intensidade de radiacao normalizada

Un (θ) =Ue (θ)

maxUe (θ) = (1 + cos θ)2

∣∣∣∣J1(kasen θ)

kasen θ

∣∣∣∣2

obtem-se o resultado mostrado na Figura 15.10a para o refletor de 60cm. De maneirasemelhante, utilizando-se k = 209, 4 rd/m e a = 0, 675m, obtem-se o resultadoapresentado na Figura 15.10b referente ao refletor de 135cm. Pela largura do feixede meia-potencia das antenas, observa-se que a antena de maior diametro tem maiordiretividade e, consequentemente, maior ganho.


90

60

30

0

−30

−60

−90

−120

−150

180

150

120

(a)

90

60

30

0

−30

−60

−90

−120

−150

180

150

120

(b)

Figura 15.10: Diagrama de radiacao (em dB) para uma antena parabolica de: (a)60cm e (b) 135cm.

15.3.4 Diretividade e Largura de Feixe de Meia-Potencia

A diretividade para uma antena parabolica iluminada uniformemente e obtida dire-tamente da expressao que relaciona diretividade e area efetiva maxima, ou seja,

Do = 4πAemλ2

(15.40)

Considerando-se a area efetiva maxima como a area fısica da secao transversal doparaboloide, tem-se

Do = 4ππa2

λ2=

(2πa

λ

)2

=

(C

λ

)2

(15.41)

onde C e o perımetro do paraboloide. Na pratica, a antena nao e iluminada de umaforma totalmente uniforme, devido a posicao, geometria e diagrama de radiacaoda antena alimentadora. Portanto, torna-se necessario se definir uma eficiencia deiluminacao, ou de abertura, [2]

eap = cotg2

(θo2

) ∣∣∣∣∣∣θo∫

0

√Gf (θ′) tg

(θ′

2

)dθ

′

∣∣∣∣∣∣2

(15.42)

onde Gf (θ′) e o ganho da antena alimentadora,

θo = arctg

∣∣∣∣∣ 4df a

4d2f − a2

∣∣∣∣∣ (15.43)


Tabela 15.1: Expressoes da eficiencia de abertura para diferentes valores de n.n eap

2 24[sen2 θo

2+ ln

(cos θo

2

)]2cotg2 θo

2

4 40[sen4 θo

2+ ln

(cos θo

2

)]2cotg2 θo

2

6 14[2 ln

(cos θo

2

)+ 1

3(1 − cos θo)

3 + 12sen2θo

]2cotg2 θo

2

8 18[

14(1 − cos4 θo)

3 − 2 ln(cos θo

2

)− 13(1 − cos θo)

3 − 12sen2θo

]2

cotg2 θo

2

e

df =a

2cotg

θo2

(15.44)

No trabalho publicado por Silver, em 1949 [32], e mostrado que o diagrama deradiacao da maioria das antenas alimentadoras de refletores parabolicos pode serrepresentado pela funcao

Gf (θ′) =

G

(n)o cosn θ

′, para 0 θ

′ π/20, para π/2 θ

′ π(15.45)

sendo n um inteiro positivo. As expressoes para a eficiencia de abertura, considerando-se diferentes valores de n, sao apresentadas na Tabela 15.1.

A eficiencia de abertura pode tambem ser definida como o produto de variaseficiencias, isto e,

eap = eseaef exeber (15.46)

sendo:

• es a eficiencia associada a fracao de potencia coletada pelo refletor parabolico;

• ea a eficiencia associada com a uniformidade da distribuicao de amplitude norefletor (iluminacao);

• ef a eficiencia relacionada com a uniformidade da distribuicao de fase no re-fletor (iluminacao);

• ex a eficiencia relacionada com a polarizacao no plano de abertura;


• eb a eficiencia relativa ao bloqueio da abertura;

• er a eficiencia relativa as irregularidades na superfıcie refletora.

O ganho da antena parabolica e entao obtido multiplicando-se a eficiencia daabertura pela diretividade, ou seja,

G = eapDo = eap

(C

λ

)2

(15.47)

A influencia de irregularidades na superfıcie do refletor, mostrada na Figura 15.11,pode ser mensurada explicitando-se er em (15.47), ou seja,

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σ/λ

e r(σ/λ

)

Figura 15.11: Variacao da eficiencia er com o desvio padrao normalizado.

G = eap

(C

λ

)2

exp

[−(

4πσ

λ

)2]

(15.48)

onde a eficiencia de abertura e, neste caso, eap = eseaef exeb e σ e o desvio padrao emrelacao a superfıcie parabolica ideal [22]. Para um certo desvio padrao σ, pode-se


determinar o comprimento de onda otimo, λopt = 4πσ, que maximiza o ganho dadopela equacao (15.48). Quando a expressao de λopt e substituıda em (15.48), tem-se

Gmax eap43, 5

(d

σ

)2

(15.49)

ou em decibeis

Gmax 20q − 16, 4 + 10 log eap (15.50)

sendo d = 2a o diametro do refletor parabolico e q = log(d/σ) o fator de rugosidade.Lembre-se que o ganho para um refletor perfeito e maior que o valor fornecido por(15.49).

Exemplo 15.3 Projete um refletor parabolico para operar em 5GHz com ganhode 40dBi. Qual deve ser o desvio padrao maximo em relacao a superfıcie de umparaboloide ideal? Qual deve ser o ganho se o desvio for nulo? Considere todas asoutras eficiencias iguais a 1.

Solucao: Como o comprimento de onda e igual a 6cm, entao, o desvio padrao naodeve ser maior que

σ =λopt4π

0, 06

4π 4, 8 mm

Para este valor de σ e um ganho de 40dBi, o diametro do refletor e

d = 6, 6σ

√Gmax

ε′ap 3, 17 m

Se o refletor parabolico e perfeito (σ = 0), entao, da equacao (15.48), obtem-se

G = eap

(πd

λ

)2

2, 76 × 104 (44,4 dBi)

A Tabela 15.2 mostra o ganho e a diretividade de algumas antenas comerciaisem funcao da frequencia e do seu diametro.


Tabela 15.2: Ganho, diretividade e eficiencia em funcao do diametro e frequencia.d (m) G (dBi) Do(dBi) eap(%) f (GHz)1,22 25,4 28,1 53,1 21,83 29,0 31,7 54,1 22,44 31,5 34,2 54,1 21,22 41,4 44,2 52,4 12, 71,83 44,9 47,7 52,2 12, 72,44 47,4 50,2 52,2 12, 7

O lobulo principal e limitado pelos nulos localizados em

θn = ± arcsen

(3, 83λ

C

)(15.51)

Este resultado e obtido quando a funcao de Bessel, de ordem 1, e nula em (15.36).Isto ocorre quando o argumento da funcao e igual a suas raızes, sendo que a primeiratem valor 3,83.

Pode-se mostrar que o feixe de meia-potencia tem largura em torno de

θHP =58λ

a(15.52)

sendo o resultado dado diretamente em graus.

Exemplo 15.4 Determine o diametro de um refletor parabolico para se obter umganho de 40dBi em 10GHz. Use a Tabela 15.2 como referencia.

Solucao: Observe que os ganhos das antenas na Tabela 15.2 tem valores aprox-imadamente iguais a metade (-3dB) das suas respectivas diretividades. Portanto,neste caso, a eficiencia de abertura media e algo em torno de 53%, incluindo-se ainfluencia da rugosidade na superfıcie do refletor. Como foi visto anteriormente, oganho de uma antena parabolica pode ser obtido de

G = eap

(C

λ

)2

0, 53

(C

λ

)2

Logo, para λ = 3cm, tem-se

d λ

π

√1, 89G =

0, 03

π

√1, 89 × 10000 1, 31 m

O diagrama de radiacao desta antena e semelhante aquele mostrado na Figura15.10b.

Exercıcios Propostos

Os exercıcios propostos estao divididos em quatro secoes. Cada secao envolve as-suntos referentes a tres ou mais capıtulos deste livro texto. A primeira secao contemexercıcios dos capıtulos 1, 2 e 3, enquanto a segunda se refere aos capıtulos 4, 5 e6. Nestas duas secoes estao todos os exercıcios referentes a propagacao de ondas noespaco-livre e ondas confinadas em linhas de transmissao, guias de onda e cavidadesressonantes. Na terceira secao sao propostos exercıcios que abordam a teoria vistanos capıtulos de 7 a 11, ou seja, exercıcios de difracao, antenas e enlace de radio.Na penultima secao sao apresentados os exercıcios de arranjos de antena, casamentode impedancia envolvendo antenas e antenas direcionais, referentes as teorias vistasnos capıtulos de 12 a 15. As respostas dos exercıcios propostos se encontram naultimas secao.

Exercıcios dos Capıtulos 1 a 3

1.1 - Uma onda plana de 3GHz incide normalmente sobre uma parede composta porduas camadas, uma dieletrica (εr = 4) e outra perfeitamente condutora. Determinea espessura mınima da camada dieletrica para que se tenha uma parede:

a) eletrica (ρ = −1);

b) magnetica (ρ = 1).

1.2 - Um satelite geoestacionario, que se encontra a uma altura de 36000 km, radiaisotropicamente uma onda eletromagnetica de 15GHz, polarizada elipticamente paraa direita (α = 45o e δ = −70o). O transmissor a bordo tem uma potencia de 100W.Encontre a potencia nos terminais da antena receptora, cuja area efetiva e 1m2,considerando que a mesma esta polarizada:

a) linearmente na vertical em relacao a Terra;

305

EXERCICIOS PROPOSTOS 306

b) com a mesma polarizacao da antena transmissora.

1.3 - Pede-se para projetar um enlace de radio utilizando reflexao numa camadaionosferica que se encontra a 100km de altura e tem permissividade efetiva relativaigual a 4. O sistema de transmissao, que opera em 10MHz, e constituıdo por umtransmissor de 100W e uma antena isotropica com polarizacao circular para a direita.O receptor se encontra a uma distancia de 200km do transmissor e esta ligado a umaantena linear horizontal, perpendicular ao plano de incidencia, com area efetiva iguala 1m2. Determine:

a) a polarizacao da onda que chega na antena receptora;

b) a potencia nos terminais da antena.

1.4 - Duas fibras opticas com miolos de silıcio, cujo ındice de refracao e 1,6, estaorevestidas com uma camada comum de vidro feito de silicato de boro (n = 1, 535).Qual deve ser a distancia mınima entre as fibras para nao haver acoplamento entreas mesmas? O acoplamento e desprezado se a atenuacao do campo eletrico for maiorque 60dB. O feixe luminoso tem comprimento de onda, no espaco-livre, igual a 0,85µm e incide na interface silıcio-vidro com um angulo de 85.

1.5 - Uma onda plana de 10MHz, com polarizacao linear vertical, incide normalmentesobre um dipolo posicionado perpendicularmente em relacao ao solo. Supondo queo dipolo e feito de tubos de alumınio (σ = 3, 4 × 107S/m), qual deve ser:

a) a intensidade e a fase do campo eletrico, dentro do condutor, proximo a superfıcieexterna do tubo;

b) a densidade de corrente na superfıcie do condutor;

c) o raio interno do tubo para que a densidade de corrente interna seja 1% do valorda superfıcie.

Considere a intensidade do campo eletrico da onda incidente igual a 1V/m e o raioexterno dos tubos de alumınio igual a 5mm.

1.6 - Um cabo coaxial de 1 metro de comprimento, raio interno 1mm e externo 5mm,e terminado por uma impedancia de carga em uma de suas extremidades e ligado aum gerador na outra. Supondo que a tensao no gerador e dada por V = Vo e

jω t eque a corrente desenvolvida no coaxial e I = Io e

jω t, determine para a onda dentrodo coaxial:

307 Exercıcios dos Capıtulos 1 a 3

a) a potencia media;

b) o comprimento de onda;

c) a energia total.

Considere Vo = 1V, Io = 20mA e ω = 2π × 107rd/s. Nao existe onda refletida nosistema e o dieletrico do cabo e perfeito com µr = 1.

1.7 - Pede-se para projetar um enlace de radio utilizando reflexao numa camadaionosferica que se encontra a 100km de altura com condutividade dada aproximada-mente por:

σ = σo

√1 − 25

f 2

sendo f fornecido em MHz e σo = 5000S/m. O sistema de transmissao, que operaem 10MHz, e constituıdo por um transmissor de 100W e uma antena isotropica compolarizacao circular para a esquerda. O receptor se encontra a uma distancia de200km do transmissor e esta ligado a uma antena linear horizontal, perpendicularao plano de incidencia, com area efetiva igual a 1m2. Determine:

a) a polarizacao da onda que chega na antena receptora;

b) a potencia nos terminais da antena.

1.8 - Determine para uma onda de 20MHz, dentro da camada ionosferica da questaoanterior, a:

a) profundidade de penetracao;

b) impedancia intrınseca;

c) velocidade de fase e de grupo.

O meio e dispersivo? Caso seja dispersivo, ele e normal ou anomalo?

1.9 - Uma onda plana de 10MHz , com polarizacao linear, incide normalmente sobreuma folha dieletrica de espessura d = λ/8 e impedancia intrınseca igual a metadeda impedancia do ar. Qual deve ser:

a) a intensidade do campo eletrico que atravessa a folha;


b) a densidade volumetrica de energia maxima no ar antes da folha.

Considere o campo eletrico maximo da onda incidente igual a 1V/m.

1.10 - Suponha agora que a mesma onda da questao anterior incide normalmente so-bre uma parede constituıda de um material cujas caracterısticas eletricas e magneticassao: σ = 10−2 S/m, µ = µo e εr = 4. Determine:

a) a profundidade de penetracao;

b) o fasor campo magnetico logo apos a interface de incidencia;

c) o coeficiente de onda estacionaria no ar.

Considere como plano de referencia, z = 0, a interface de incidencia.

1.11 - Uma onda plana de 1GHz, polarizada circularmente para esquerda (δ = 90)e com campo eletrico maximo igual a 1V/m, incide sobre uma interface dieletrico-ar com um angulo de 45 em relacao a normal desta. O dieletrico perfeito tempermissividade relativa igual a 4. Pede-se para determinar:

a) a polarizacao da onda refletida;

b) o campo eletrico maximo no ar, a 1mm de distancia da interface.

1.12 - Uma onda plana, circularmente polarizada no ar, incide com um angulo de60 sobre um dieletrico de permissividade relativa εr. A expressao do campo eletricoincidente e:

E = E⊥ cosωt ay + E senωt ax′

sendo E = 1V/m. Qual deve ser a permissividade relativa do dieletrico para quea onda refletida tenha polarizacao linear? Determine a potencia, devido a ondarefletida, nos terminais de um dipolo de mesma polarizacao linear. Considere a areaefetiva do dipolo igual a 0,1 m2.

1.13 - Uma onda plana de 1GHz, com polarizacao circular para direita (δ = −90)e campo eletrico maximo de 1V/m, incide normalmente sobre uma parede embor-rachada. A borracha tem espessura d = λ/4 e permissividade relativa igual a 9.Considerando-se que a parede e muito espessa e tem impedancia intrınseca igual a42Ω, determine:


a) a intensidade do campo eletrico na parede;

b) o coeficiente de onda estacionaria no ar;

c) a densidade volumetrica media de energia no ar;

d) a polarizacao da onda refletida na interface borracha-parede.

1.14 - Uma onda plana linear de 60Hz atravessa uma chapa de cobre de 8,5 mme tem amplitude de campo eletrico igual a 1V/m imediatamente apos a interfacear-cobre. Qual deve ser a:

a) velocidade de fase da onda no cobre;

b) densidade de potencia no meio da chapa;

c) defasagem entre o campo eletrico e magnetico no condutor;

d) intensidade do campo eletrico a um metro apos a chapa.

Considere como plano de referencia, z = 0, a interface de incidencia.

1.15 - Qual deve ser o angulo de incidencia de uma onda circularmente polarizadapara esquerda (δ = 90), que incide sobre a interface ar-agua, para se obter umaonda refletida com polarizacao linear? Considere o ındice de refracao da agua iguala 9, o campo eletrico efetivo da onda igual a 0,707V/m e a frequencia de 100MHz.

1.16 - Uma onda plana de 10GHz, propagando-se no ar, incide normalmente sob ummeio dieletrico cuja permissividade relativa e 4 − j3. Qual deve ser:

a) o coeficiente de onda estacionaria no ar;

b) a potencia media, oriunda da onda refletida, que atravessa uma area plana de1m2 paralela a interface ar-dieletrico;

c) a densidade de potencia media dentro do dieletrico, a 1mm da interface;

d) o comprimento de onda no dieletrico;

e) a polarizacao da onda no dieletrico.


O campo eletrico da onda incidente e dado por:

E =ejω t√

2

[e−jko zax + e−j(ko z+π/2)ay

](V/m)

1.17 - Considere agora que a onda do item anterior incide sobre uma folha dieletricade permissividade relativa igual a 4 e espessura de 7,5mm. Determine neste caso:

a) o COE no dieletrico;

b) a densidade volumetrica de energia maxima apos a folha.

1.18 - Uma onda plana de 10MHz , com polarizacao linear a 45, incide numa antenadipolo com polarizacao linear horizontal e area efetiva igual a 0,25m2. Determinea potencia recolhida pela antena sabendo-se que o campo eletrico eficaz da ondaincidente e 1V/m e o plano que contem o dipolo e paralelo as frentes de onda.

1.19 - Uma onda plana de 1GHz, polarizada circularmente para direita (δ = −90)e com campo eletrico maximo igual a 1V/m, incide normalmente sobre uma folhadieletrica com permissividade relativa igual a 4 e espessura d. Pede-se para deter-minar:

a) a espessura mınima da folha, em centımetros, para que nao haja onda refletida;

b) o modulo e a fase do coeficiente de reflexao num plano de referencia posicionadoem d/2.

1.20 - Uma onda plana de 1GHz, com campo maximo igual a 1V/m e polar-izacao circular para direita, incide normalmente sobre uma chapa composta poruma camada dieletrica (εr = 4) e uma camada condutora de 10cm (σ = 1010S/m,µo = 4π × 10−7H/m). Determine:

a) a espessura mınima do dieletrico para que o coeficiente de reflexao na interfacear-dieletrico tenha modulo unitario e fase nula.

b) a atenuacao da onda no condutor, em dB, a uma distancia de 1µm da interfacedieletrico-condutor.


1.21 - Uma onda plana de 100MHz, gerada numa fonte localizada dentro d’agua,incide com angulo de 60 em relacao a normal da interface agua-ar. Calcule aintensidade do campo magnetico no ar a uma distancia de 100m da interface agua-ar, considerando que o campo incidente maximo de 1V/m e tangencial a interface eque o ındice de refracao da agua nesta frequencia tem valor igual a 9.

1.22 - Duas ondas eletromagneticas de frequencias distintas (1GHz e 2GHz), cujasfontes estao localizadas no ar, penetram num material que tem as seguintes carac-terısticas eletricas e magneticas: σ = 0, µr = 1 − j e εr = 9. Determine que ondachega primeiro a um plano localizado a 10cm de distancia da interface. Qual dasondas tem maior amplitude a esta distancia?

1.23 - Determine a espessura mınima e o valor da permissividade relativa de umafolha dieletrica para que o COE no ar seja unitario. A folha reveste uma paredeinfinita de impedancia intrınseca igual a metade da impedancia do ar e a onda geradano ar tem frequencia igual a 100MHz.


2.1- Dois dipolos dobrados de 300Ω, um na vertical e outro na horizontal, formamuma antena transmissora com polarizacao elıptica (δ = 75). Determine o sistemade alimentacao entre as antenas e o transmissor de 50Ω, considerando que a linha detransmissao tem impedancia caracterıstica igual a 50Ω (com εr = 4), a frequenciade operacao e 300MHz e a distancia da antena ao transmissor e de 10m.

2.2 - Uma linha de transmissao de microfita com largura w e comprimento l eutilizada para conectar uma carga de 50Ω a um gerador de mesma impedancia.Considerando-se que a linha de microfita tem impedancia caracterıstica diferentede 50Ω, substrato dieletrico com permissividade relativa igual a 2 e espessura de1,5mm, determine para a condicao de casamento:

a) o comprimento mınimo em funcao de λ;

b) a frequencia do gerador, supondo que este comprimento e igual a 10mm;

c) os valores de w e l em mm para esta frequencia, supondo uma carga igual a 75Ω;

d) o coeficiente de reflexao, em direcao a impedancia de carga de 75Ω, a l/2 dogerador;


e) o VSWR da linha terminada por 75Ω.

Simplifique seu projeto utilizando εeff ≈ εr e

Zo =377√

εr [(w/h) + 2]

2.3 - Uma linha de transmissao com impedancia caracterıstica de 100Ω e terminadapor uma impedancia de 50 + j 75 Ω. Determine:

a) o modulo do coeficiente de reflexao ρv;

b) o VSWR;

c) a impedancia a 0, 4λ da carga;

d) o comprimento mais curto da linha para que se tenha uma impedancia puramenteresistiva;

e) o valor da resistencia para este comprimento.

2.4 - Um guia de onda retangular oco tem uma secao transversal de 45 × 90 mm.Encontre a frequencia de corte para o modo:

a) dominante;

b) TE11, quando o guia e preenchido com um material dieletrico de εr = 4.

2.5 - Projete o sistema de casamento de impedancia para conectar uma antenadipolo de λ/2, cuja impedancia de entrada e igual a 73 + j42Ω, a um transmissorcom impedancia de saıda igual a 50Ω. Leve em consideracao que a distancia entrea antena e o transmissor e de 10m, a frequencia de operacao 27MHz e que os cabosdisponıveis para o projeto sao de 75Ω com εr = 1.

2.6 - Um circuito tanque e implementado utilizando dois tocos paralelos em aberto,posicionados numa linha de transmissao a 3/4 de distancia do gerador. Considerando-se que a linha de transmissao, gerador e carga tem impedancias iguais a 50Ω, en-quanto que os tocos sao de 75Ω, pede-se para determinar:

a) os comprimentos dos tocos e linha para que o circuito funcione como um filtrorejeita-faixa em 10 e 20GHz;


b) as larguras e os comprimentos das microfitas para um substrato dieletrico de2mm e εr = 4;

c) a frequencia mais proxima de 10GHz para que nao haja onda refletida.

Considere no seu projeto as expressoes fornecidas em 2.2.

2.7 - Uma cabo coaxial de um quarto de comprimento de onda guiado e utilizadopara conectar um gerador de 50Ω a uma carga de 300Ω. O VSWR medido nosterminais do gerador e igual a 1,5. Encontre:

a) a impedancia caracterıstica da linha;

b) o coeficiente de reflexao, em direcao a carga, na metade do comprimento dalinha;

c) a frequencia do gerador sabendo-se que o comprimento da linha e 50cm e a razaoentre os raios dos condutores e 10.

2.8 - Use um sintonizador com dois tocos para casar impedancia de saıda de umtransmissor de TV de 213MHz (Canal 13) com a impedancia equivalente de umconjunto de antenas. Considere as impedancias do conjunto de antenas, transmissore linha iguais a 73+j42 Ω, 50Ω e 50Ω, respectivamente. Determine os comprimentosdos cabos, supondo que os mesmos tem εr = 1 e a distancia entre o transmissor eas antenas e de 30m.

2.9 - Um sistema, constituıdo de uma cavidade acoplada eletromagneticamente auma das paredes de um guia retangular, e utilizado como filtro rejeita-faixa. Oguia tem secao transversal igual a 1cm×1cm, opera no modo dominante e temcomprimento igual a 1m, enquanto que a cavidade e cubica e tem aresta igual a1cm. O acoplamento e feito atraves de uma sonda que se encontra exatamente nocentro de uma das paredes da cavidade. Considerando-se que o guia e a cavidadesao feitos de cobre e a sonda que excita o guia tem a mesma polarizacao daquelaque excita a cavidade, determine:

a) a frequencia de ressonancia e o fator de qualidade da cavidade;

b) a impedancia “vista” pelos campos transversais do guia quando este opera auma frequecia igual a 1,5 vezes o valor da frequencia de corte;


c) a atenuacao em dB ao longo do guia para a mesma frequencia de operacao;

2.10 - Uma linha de transmissao coaxial fendida e utilizada para ligar uma antena de100Ω a um gerador de mesma impedancia. Medicoes ao longo desta linha indicamuma tensao maxima de 4V e uma mınima de 2V. Sabe-se que o cabo coaxial utilizadotem uma relacao entre os diametros dos condutores igual a 10 e o gerador de RFopera a 100MHz. Considerando-se que o sistema esta casado, calcule os seguintesparametros da linha:

a) a impedancia caracterıstica;

b) o comprimento mınimo em metros;

c) o coeficiente de reflexao na metade do comprimento.

2.11 - Pede-se para projetar um circuito amplificador utilizando-se um FET cujaimpedancia de saıda e 10Ω e a de entrada 100Ω. As seguintes restricoes sao feitas: adefasagem introduzida pelo circuito de entrada tem que ser igual a 135 e o circuitode saıda tem que ser um transformador de 1/4 de onda. Determine, para um sub-strato dieletrico de 1mm de espessura e permissividade relativa igual a 4, as largurase os comprimentos das fitas. Considere as impedancias da carga e gerador iguais a50Ω e a frequencia de operacao 1GHz.

2.12 - Um gerador de impedancia Zg e ligado a uma impedancia de carga ZL atravesde dois transformadores de λ/4. A impedancia da carga e quatro vezes maior quea do gerador, enquanto que a impedancia equivalente “vista” em direcao a carga,entre os dois transformadores, e igual a 100Ω. Calcule:

a) o VSWR no transformador proximo ao gerador;

b) o coeficiente de reflexao no meio do transformador que esta ligado a ZL.

2.13 - Uma impedancia de carga de 100Ω esta ligada a um gerador com impedanciade saıda igual a 50Ω atraves de uma linha de transmissao de comprimento l eimpedancia caracterıstica igual a 50Ω. O sistema esta descasado e o coeficientede reflexao medido nos terminais do gerador em direcao a carga e igual a −1/3.Determine:

a) o comprimento da linha;


b) a posicao e o comprimento de um toco em curto para casar o circuito.

2.14 - Um transmissor operando em 10MHz, com impedancia de saıda igual a 50Ω, eligado a uma antena de admitancia igual a 0, 02+j 0, 01S atraves de um cabo coaxialde 50Ω e 10m de comprimento. Considerando-se que a razao entre os diametros doscondutores do cabo e igual a 12,1825, determine a distancia ate os terminais daantena e o comprimento mais curto de um toco para casar o sistema (valores emmetros).

2.15 - Um sistema irradiante constituıdo de duas antenas de 50Ω, interligadas poruma linha rıgida de comprimento igual a λ, e conectado a um transmissor atravesde um circuito sintonizador e um trecho de linha de comprimento l. Todas as linhastem impedancia caracterıstica igual a 50Ω, o transmissor tem impedancia de saıdaigual a das linhas e o circuito sintonizador e constituıdo de: um trecho de linha λ/4,toco em curto, trecho de linha λ/8 e toco em curto. Determine:

a) a impedancia equivalente do sistema de antenas;

b) os comprimentos dos tocos para casar o sistema;

c) o comprimento l;

d) o VSWR no trecho de λ/4.

2.16 - Um filtro rejeita-faixa e projetado utilizando-se uma cavidade ressonanteacoplada a um guia de onda retangular, operando no modo TE01, atraves de umasonda colocada no meio da parede mais estreita deste. A cavidade e cubica e temaresta igual a 10mm enquanto o guia tem secao transversal igual a 20mm × 10mm.Considerando-se que tanto a cavidade como o guia sao feitos de cobre, calcule:

a) a frequencia de corte do guia;

b) a frequencia central da banda de rejeicao;

c) a largura da banda de rejeicao;

d) a banda de passagem entre a frequencia de ressonancia da cavidade e a frequenciade corte do guia.


2.17 - Deseja-se conectar um computador a um hub de 8 portas. Qual deve ser ocomprimento maximo de cabo necessario para o bom funcionamento do enlace? Ocampo nas portas do hub e de 10mV/m e suas impedancias sao iguais 50Ω. O cabo ea entrada do computador tambem tem os mesmos valores de impedancia. O campomınimo necessario para a identificacao dos dados pelos computadores e de 0,1µV/me o fator de atenuacao do cabo e de 1dB/m.

2.18 - Dois cablemodems de impedancias diferentes, 50Ω e 150Ω, necessitam serinterligados. Tem-se em estoque 100m de cabo coaxial com impedancia caracterısticade 75Ω. As ondas se propagam neste cabo com velocidade relativa igual a 50% .Projete o circuito de casamento (esquema com os comprimentos das linhas e tocosem metros), sabendo-se que a distancia entre os modems e de 50m e a frequencia deoperacao e 10MHz.

2.19 - Um sistema irradiante de 50Ω deve ser interligado a um transmissor de 75Ω e10W atraves de um cabo coaxial de mesma impedancia. Pede-se para casar o circuitoinserindo-se um trecho de microfita. Qual deve ser o comprimento e a largura dafita em mm se o transmissor opera em 1GHz? Onde se deve posicionar a microfita?O substrato disponıvel tem espessura de 3mm e permissividade relativa igual a 2.Considere a permissividade efetiva da microfita igual a permissividade relativa dosubstrato.

2.20 - Um guia de cobre, como mostrado na Figura E-1, e encerrado por uma paredemovel. Qual deve ser a distancia entre as paredes transversais para que o guia fun-cione como uma cavidade operando no modo TE110? Determine tambem a frequenciade ressonancia e o fator de qualidade desta cavidade.

2.21 - Um sinal de 20GHz e injetado num guia cilındrico de cobre com raio igual a10mm. Considerando-se que a posicao da sonda de excitacao favorece a propagacaodos modos TM11, determine o fator de atenuacao ao longo do guia em dB/m.

2.22 - Duas antenas, espacadas a um metro uma da outra, devem ser ligadas a umtransmissor que esta situado a 20m de distancia. Considerando-se que as ligacoes,antena-antena e antenas-transmissor, so podem ser feitas com cabos coaxiais, deter-mine o circuito de casamento indicando os comprimentos em metros ou centımetros.Dados do sistema irradiante: cabo coaxial de 50Ω e velocidade relativa igual a 50%;impedancia de entrada das antenas e transmissor, 50Ω; frequencia de operacao,300MHz.

2.23 - Uma linha rıgida (εr 1) de 75Ω e 12m de comprimento e utilizada para ligaruma antena de 150 + j 75 Ω a um transmissor de 50Ω. Determine o:


a) VSWR nos terminais do transmissor para uma frequencia de 100MHz;

b) coeficiente de reflexao na linha, a 3m dos terminais da antena, para umafrequencia de 300MHz.

d

d1

Figura E-1: Vista longitudinal de um guia retangular oco com parede movel e secaotransversal igual a 30mm×30mm. A distancia d1 e igual a 15mm.

2.24 - Uma impedancia de carga de 75Ω esta ligada a um gerador com impedanciade saıda igual a 50Ω atraves de uma linha de transmissao de comprimento l eimpedancia caracterıstica igual a 50Ω. O sistema esta descasado e o coeficientede reflexao medido nos terminais do gerador, em direcao a carga, e igual a 0, 2 ∠90.Determine:

a) o comprimento mınimo possıvel da linha;

b) a posicao e o comprimento de um toco em curto para casar o circuito.

2.25 - Determine o raio e o comprimento de uma cavidade cilındrica oca com paredesde cobre para operar em 10GHz no modo TM001 e ter largura de banda de 1MHz.

2.26 - Um sinal de 25GHz e injetado num guia retangular oco de cobre com dimensoes20mm×10mm. Faca um desenho da secao transversal do guia mostrando as posicoesdas sondas para que haja propagacao do modo TE21. Indique no seu desenho asdistancias das sondas as paredes laterais do guia. Qual a impedancia modal nestemodo de propagacao?

2.27 - Pede-se para ligar uma TV com entrada de 300Ω a uma antena de 75Ω. Voceso dispoe de 20m de uma linha paralela de 300Ω (par de fios com diametros iguais


a 1mm e separacao igual a 10mm). A antena deve ser instalada no telhado a 10mde distancia do televisor. Primeiro voce conecta a antena a TV utilizando apenasum trecho de linha de 10m e verifica que o VSWR, nos terminais do televisor, naoe unitario para uma frequencia de 100MHz. Qual e o valor do VSWR? Depois vocecoloca um toco em aberto a uma certa distancia da antena e observa que o VSWRdiminui para 1 nesta frequencia. Qual deve ser esta distancia (em metros)? Qual ocomprimento do toco (em metros)?

2.28 - Observando-se a secao transversal do guia de cobre da Figura E-1, verifica-se que a sonda se encontra exatamente no meio entre as duas paredes laterais.Determine:

a) a frequencia de corte no modo dominante;

b) a impedancia modal neste modo para uma frequencia de operacao 10% acimado valor de corte;

2.29 - Com base na excitacao e dimensoes do guia de cobre mostrado na Figura E-2,determine:

a) a frequencia de corte no modo de operacao em questao;

b) a atenuacao no guia a uma frequencia 10% acima da frequencia de corte domodo dominante.

20mm 1000mm

10mm

V1

V2

Figura E-2: Guia oco com excitacao coaxial. V1 = V2 = 1∠0 V.

2.30 - Pede-se para projetar uma cavidade ressonante cilındrica de cobre para operarcomo filtro passa-faixa com banda igual a 0,07% da sua frequencia central de 10 GHz.


2.31 - Um filtro passa-faixa e implementado utilizando-se um sistema guia-cavidade-guia operando no modo TM11. A secao transversal do guia e de 4cm × 3cm (largura× altura) e a cavidade ressonante, projetada para operar em 6,5 GHz, tem largurade 4cm e comprimento de 2cm. Considerando-se que o guia e a cavidade sao feitosde cobre, determine:

a) o modo de operacao e a altura da cavidade;

b) o fator de qualidade da cavidade;

c) a frequencia de corte do guia para o modo em questao;

d) a banda de passagem do filtro.

O acoplamento entre os guias e a cavidade e feito atraves da introducao de sondasnas paredes que os separam.

2.32 - Determine, para um guia cilındrico de cobre de 1m de comprimento e 3cm deraio, operando no modo dominante:

a) a frequencia de corte;

b) o comprimento de onda guiado a uma frequencia 10% acima da frequencia decorte;.

c) a atenuacao em dB para uma frequencia 1% abaixo da frequencia de corte.


3.1 - Uma antena dipolo de 25cm de comprimento e constituıda de duas hastes dealumınio de 1cm de diametro. Determine, para uma frequencia de 100MHz:

a) a intensidade de radiacao na direcao do comprimento;

b) a largura do feixe de meia-potencia;

c) a resistencia associada as perdas;

d) o ganho em dBi.


3.2 - Uma estacao radio-base experimental de 10W, operando em 875MHz, utilizaum dipolo de meia onda com polarizacao vertical. O dipolo, cuja diretividade e 1,64e impedancia de entrada Za = 73 + j42 Ω, se encontra a 30m de altura. A conexaoentre o transmissor de 75Ω e a antena e feita atraves de um cabo coaxial de mesmaimpedancia com perdas de 0,05dB/m. Calcule:

a) a potencia radiada pela antena;

b) a intensidade de radiacao maxima;

c) a densidade de potencia que chega ao solo a uma distancia de 40m da torre.

Despreze as perdas no condutor da antena e considere a distribuicao de campodistante:

E(θ) =V e−jβr cos(π

2cos θ)

r sin θ

3.3 - Qual o comprimento eletrico de um dipolo de λ/2 operando em 100MHz (Za =73 + j 42, 5 Ω)? E a intensidade de radiacao normalizada a 38 da direcao de ganhomaximo?

3.4 - Calcule a potencia que chega numa antena parabolica de 3m2 de area efetiva,para um sistema de transmissao de 1W localizado a 20km de distancia. A antenado sistema transmissor tem ganho igual a 2000 e as perdas nos cabos e conectorespodem ser desprezadas.

3.5 - Uma antena linear e ligada a um gerador com frequencia de operacao iguala 300MHz e tensao de pico igual a 1V. O campo eletrico para a regiao de camposdistantes e dado por:

E(θ, ϕ) =e−jβr

√sin θ

r

Considerando que o sistema esta casado e a resistencia de radiacao da antena e 5Ω,determine:

a) o ganho da antena a 90 na direcao de ganho maximo;

b) a area efetiva maxima da antena;

c) a eficiencia da antena;

d) a largura do feixe de meia-potencia;


e) a potencia fornecida pelo gerador.

3.6 - Um enlace de 300MHz, entre duas cidades localizadas ao nıvel do mar, eobstruıdo por um morro de 50m de altura e raio de curvatura medio igual a 11,4km.Supondo-se que a potencia de transmissao e 1W, a altura das torres e de 35m, adistancia entre as cidades e 10km e que o morro se encontra a 1km de uma delas,calcule:

a) o ganho das antenas para se obter uma potencia de recepcao de -52dBm;

b) a altura mınima das torres para nao haver perdas por obstaculos;

c) a potencia mınima do transmissor para a altura das torres e antenas calculadas;

d) a frequencia de operacao que leva ao bloqueio da 1a zona de Fresnel (torres de35m).

Despreze as perdas nos cabos, conectores e antenas.

3.7 - Uma antena yagi projetada para 300MHz e constituıda por 3 dipolos de meiocomprimento de onda separados por uma distancia de λ/2. A antena, que sera usadanum enlace de radio de 1km, e submetida a medicoes dos diagramas de radiacao.Qual deve ser a distancia mınima entre o centro da antena e o medidor de campodurante as medicoes?

3.8- Qual deve ser a potencia mınima do transmissor para que um enlace de mi-croondas opere sem problemas? Considere os seguintes dados:

• frequencia de operacao 7GHz;

• comprimento do enlace 15km;

• potencia mınima de recepcao -30dBm;

• ganho da antena transmissora 20dBi

• area efetiva maxima de 1m2 e eficiencia de 80% para a antena receptora;

• perdas nos guias e conectores 10dB.


3.9 - Um enlace de radio de 7200MHz, entre dois pontos de uma cidade totalmenteplana, apresenta problemas de recepcao apos a construcao de um edifıcio de 20m dealtura. Para resolver o problema, optou-se pela alteracao da frequencia de operacao.

a) qual deve ser a frequencia mınima do enlace para que nao haja perda por ob-strucao?

b) calcule o nıvel de potencia (em dBm) na entrada do receptor para essa novafrequencia.

Dados importantes sobre o enlace: comprimento igual a 10km; bloqueio da linhade visada a 6km da estacao receptora; torres de 24m; cabos de 30m com perdas de0,1dB/m; conectores com perdas desprezıveis; potencia do transmissor 10W; antenatransmissora de 10dBi e receptora com area efetiva maxima de 5,46cm2 e eficienciade 90% (quando excitada na nova frequencia).

3.10 - Um enlace de radio de 300MHz e projetado para interligar duas cidades sep-aradas por uma distancia de 10km. O sistema de transmissao e constituıdo de:100m de cabo de 50Ω com perdas de 0,01db/m; conectores com perdas desprezıveis;potencia do transmissor igual a 10W e impedancia de saıda igual a 50Ω; uma an-tena transmissora de 75Ω com perdas no condutor-dieletrico nulas e intensidade deradiacao maxima igual a 64W. Enquanto que o sistema de recepcao esta completa-mente casado e e formado por: uma antena receptora sem perdas com area efetivamaxima de 0,8m2; 50m de cabo do mesmo tipo usado no sistema transmissor; conec-tores com perdas desprezıveis. Pede-se para determinar:

a) o ganho da antena transmissora em dBi;

b) a area efetiva maxima desta antena em m2;

c) a potencia radiada em W;

d) a densidade de potencia que chega na antena receptora;

e) a potencia em dBm na entrada do receptor.

3.11 - Um dipolo fino finito cuja expressao do campo eletrico distante e dada por

Eθ =jηIo e

−jkr

2πr

[cos

(kl2

cos θ)− cos

(kl2

)sen θ

]


e escolhido para fazer parte do sistema irradiante de uma radio comunitaria. Osistema e de radiodifusao e tem que atender igualmente a todos em volta da estacao.Qual deve ser o tipo de polarizacao a ser adotada? Supondo que o dipolo utilizadoe de meio comprimento, calcule:

a) a intensidade de radiacao normalizada (pelo valor maximo) na direcao θ = 60;

b) a largura do feixe de meia-potencia.

3.12 - Um sistema de radar de 2GHz utiliza uma unica antena para emitir e receberpulsos eletromagneticos. A antena tem uma eficiencia de 90%, largura de bandade 0,1%, diretividade igual a 100 e temperatura de ruıdo nos seus terminais iguala temperatura ambiente de 27. Supondo-se que o sistema esta casado e que apotencia de transmissao e de 100W, determine nos terminais da antena, para umalvo com area de eco igual a 1m2 e distancia de 300m, a:

a) potencia de recepcao em dBm;

b) relacao sinal-ruıdo em dB;

c) a figura de ruıdo.

3.13 - Um enlace de 100MHz, entre duas cidades localizadas ao nıvel do mar, e ob-struıdo por um morro de 20m de altura, introduzindo uma perda de 20dB. Supondo-se que a potencia de transmissao e 1W, a altura das torres e de 20m, a distanciaentre as cidades e 10km e que o morro se encontra na metade do enlace, calcule:

a) a area efetiva maxima da antena receptora para se obter uma potencia de re-cepcao de -50dBm;

b) a altura mınima das torres para nao haver perdas por obstaculos.

Despreze a curvatura da Terra, as perdas nas antenas, cabos e conectores. Ossistemas irradiantes das estacoes sao identicos.

3.14 - Qual deve ser a perda de polarizacao (em dB) num enlace que utiliza umaantena circularmente polarizada para a esquerda na transmissao e um dipolo narecepcao? As antenas estao alinhadas na direcao de maximo ganho.

3.15 - Uma antena dipolo polarizada horizontalmente e utilizada para recepcao desinais, emitidos em 150MHz, por uma fonte isotropica a 1km de distancia. A fonte


irradia uma potencia de 10W e a distribuicao de campo distante do dipolo e dadapor

E(θ) =e−jβr

r

√sen θ

Determine para o dipolo:

a) a potencia nos seus terminais se a fonte estiver polarizada verticalmente;

b) a diretividade e direcao de ganho maximo;

c) a area efetiva maxima.

3.16 - Calcule a potencia que chega numa antena receptora, de 1m2 de area efetiva,quando um transmissor de 40dBm e posicionado a 10km de distancia. A antena dosistema transmissor tem ganho igual a 7,84dBd. O sistema irradiante transmissoresta casado e oferece perdas de 3dB (cabo e conectores).

3.17 - Uma construtora quer construir um edifıcio exatamente a meio caminho doenlace do exercıcio 3.16. Considerando-se que este enlace se encontra numa regiaoplana e que a linha de visada esta a 50m do solo, determine, para uma frequenciade operacao de 10GHz, a altura maxima do edifıcio para que nao haja perdas porobstrucao.

3.18 - Uma antena yagi de 3 elementos, constituıda de tres dipolos de λ/2 espacadosde λ/10, produz os diagramas de radiacao mostrados na Figura E-3. Determinepara a frequencia de 100MHz:

a) as larguras dos feixes de meia-potencia;

b) o ganho diretivo (em dBi) a 30 da direcao de ganho maximo, no plano E;

c) a distancia mınima para se medir campos distantes.

3.19 - Uma estacao transmissora, operando em 1GHz, irradia uma potencia de 10W.Considerando-se que a antena desta estacao e um dipolo vertical de λ/2 que esta a100m de altura, calcule:

a) a potencia nos terminais de uma antena identica a transmissora que se encontraproxima ao solo, a 100m da torre;


Figura E-3: Diagrama de radiacao do campo eletrico normalizado: (a) plano E; (b)plano H.

b) a area eletrica maxima da antena receptora;

c) a intensidade do campo eletrico, na direcao de meia-potencia, a 10m da antenatransmissora.

Despreze as perdas no condutor da antena e considere a distribuicao de campodistante igual a

E(θ) =j60Ioe

−jβr cos(π2

cos θ)

r sin θ

3.20 - Um radio-enlace de 20km e constituıdo de um transmissor de 30dBm e umaantena transmissora com ganho igual a 10dBd. A antena receptora tem 0,5m2

de area eletrica maxima e figura de ruıdo igual a 2. Supondo-se que os sistemasirradiantes estao casados e nao oferecem perdas, encontre:

a) a relacao sinal-ruıdo (em dB) nos terminais da antena para uma banda de10MHz;

b) a altura maxima de um obstaculo, a meia distancia, que nao altere o nıvel derecepcao. Para este caso, considere o ganho da antena receptora igual a 10dbie a altura das torres igual a 100m.


3.21 - Qual deve ser a perda de polarizacao (em dB) num enlace que utiliza umaantena circularmente polarizada para a esquerda na transmissao e uma antena po-larizada elipticamente para a esquerda (δ = 45) na recepcao? As antenas estaoalinhas na direcao de maximo ganho.

3.22 - Uma antena receptora com polarizacao linear horizontal e utilizada num enlacede 300MHz e 100m de distancia. Esta antena tem comprimento eletrico igual a79,6cm, tensao maxima nos seus terminais igual a 1,95mV e resistencia de 75Ω.Considerando-se que a antena receptora esta alinhada na direcao de ganho maximocom uma antena transmissora isotropica de mesma polarizacao, determine:

a) a potencia radiada pela antena isotropica em dBm;

b) os ganhos das antenas em dBi.

3.23 - Um radio-enlace de 3GHz e 300m de comprimento utiliza sistemas irradiantesidenticos com torres de 50m. As antenas tem eficiencias em torno de 90%, largura debanda de 0,1% e diretividade igual a 100. Considerando-se que existe um obstaculodo tipo gume de faca de 48m de altura a 100m da estacao transmissora, determine,nos terminais do receptor:

a) a potencia de recepcao em dBm;

b) a relacao sinal-ruıdo em dB, sabendo-se que a figura de ruıdo do receptor e 2,1.

Despreze as perdas nos cabos e conectores. Os sistemas estao casados e o transmissortem potencia de 1W.

3.24 - Um radar e utilizado para determinar a velocidade dos carros que trafegamnuma via publica. A velocidade e medida quando os carros (area de eco mediaigual a 1m2) estao a 100m da antena do radar. Determine a relacao sinal-ruıdo derecepcao nos terminais da antena levando em consideracao que o radar opera em3GHz com uma potencia de transmissao igual a 10dBm. A antena tem ganho de20dBi, figura de ruıdo igual a 3dB e banda de 0,1%.

3.25 - Num enlace de radio de 300MHz e 1km de comprimento, qual deve ser aaltura maxima de um obstaculo a 200m da torre receptora para que o mesmo naointroduza perdas por obstrucao? Considere a altura de cada torre igual a 80m.



4.1 - Escolha a tecnica de casamento mais adequada (vide Capıtulo 12) para casaruma yagi de 3 elementos, de impedancia igual a 43− j 20 Ω, com um transmissor de50Ω. O sistema opera em 100MHz e a linha que liga o transmissor a antena e umcabo coaxial de 50Ω. Quais as medidas do arranjo de casamento?

4.2 - Suponha agora que a linha e transmissor, utilizados no exemplo anterior, temimpedancia igual a 300Ω. Qual deve ser a tecnica mais adequada para este caso,considerando-se que a linha de transmissao e constituıda de dois fios paralelos?Calcule as medidas do novo arranjo de casamento.

4.3 - Determine a tecnica de casamento mais simples para casar uma log-periodicade 450Ω com uma linha, do tipo fios paralelos, de impedancia igual a 300Ω. Calculeos valores do projeto para uma frequencia de 400MHz.

4.4 - Qual deve ser o comprimento de um balun bazuca para balancear as correntesde um cabo coaxial de 50Ω ligado a um dipolo de 50cm e mesma impedancia? Odipolo opera em 300MHz.

4.5 - Case e faca o balanceamento das correntes de uma linha de 75Ω (εr = 2, 2)com um dipolo de λ/2 e impedancia igual a 73 + j 42, 5 Ω. Utilize no projeto umarranjo do tipo T e balun trombone, para a frequencia de operacao de 300MHz.

4.6 - Repita o exemplo anterior para um arranjo gama.

4.7 - Projete uma yagi de 3 elementos com ganho mınimo de 4dBd e relacao frente-costas superior a 15dB.

4.8 - Qual a impedancia na entrada de cada dipolo de λ/2 num sistema colinear dedois elementos? O espacamento entre os elementos e de 3λ/2, a tensao e igual a 1Ve as diferencas de fases de alimentacao sao iguais a π/2.

4.9 - Qual a impedancia da antena yagi do exemplo 4.7?

4.10 - Projete uma antena log-periodica para operar na faixa de frequencia doscanais de TV de 2 a 6 (54-88MHz). Seu ganho deve ser superior ou igual a 8dBi esua impedancia de entrada 75Ω. E possıvel se obter esta impedancia sem sistemade casamento?


4.11 - Agora projete uma antena log-periodica para faixa de FM comercial (88-108MHz). Seu ganho deve ser superior ou igual a 9dBi e sua impedancia de entradaigual a 300Ω.

4.12 - Determine as dimensoes de uma antena helicoidal para operar em 450MHzcom diretividade igual ou superior a 9dBi, polarizacao circular e impedancia de 75Ω.

4.13 - Projete um refletor de canto de 90, com um dipolo de meio comprimento deonda como alimentador, para operar em 600MHz. O ganho tem que ser exatamente11dBi.

4.14 - Calcule as dimensoes de um conjunto dipolo de λ/2 e refletor de placa planapara se obter um ganho de 5dBi em 300MHz. Qual a impedancia de entrada daantena?

4.15 - Projete um refletor parabolico para operar em 10GHz com ganho de 45dBi.O ganho do alimentador e dado por

Gf (θ′) = G(2)

o cos2 θ

4.16 - Qual o ganho maximo para a antena do exercıcio anterior se o desvio padraoda superfıcie parabolica for 5mm?

4.17 - Considerando-se mais uma vez a antena do exercıcio 4.15 e a rugosidade doexercıcio 4.16, determine a frequencia que leva ao ganho maximo. Qual o valor desteganho em dBi?

4.18 - Determine o diametro de um refletor parabolico para se obter um ganho de32dBi em 4GHz. A eficiencia de abertura e de 75% e o fator de rugosidade e iguala 3.

Respostas dos Exercıcios

As respostas dos exercıcios propostos sao apresentadas abaixo:1.1 - a) 25mm; b) 12,5mm1.2 - a) 0; b) 6,14 ×10−15W1.3 - a) elıptica para a esquerda (α = 24, 3 e δr = δi + 180); b) 10,2µW1.4 - dmin = 5, 04µm1.5 - a) 8µV/m e 45; b) 275∠ 45A/m2; c) 4,87mm1.6 - a) 10mW; b) 15,5m; c) 6,44 ×10−11J

329 Respostas dos Exercıcios

1.7 - a) circular para a direita; b) 50µW1.8 - a) 1,6mm; b) 0, 13 + j0, 13 Ω; c) 2, 03 × 105m/s e 4, 07 × 105m/s. O meio edispersivo anomalo1.9 - a) 0,88V/m; b) 1,91 ×10−11J/m3

1.10 - a) 1,78m; b) 0,0045 ∠ − 7; c) 5,61.11 - a) elıptica com α = 45 e δr = 14, 5; b) 2,06V/m1.12 - εr = 3; P = 66, 3µW1.13 - a) 1/3 V/m; b) 1; c) 4,43 ×10−12J/m3; d) circular para a esquerda1.14 - a) 3,2m/s; b) 4,6 ×104W/m2; c) 45; d) 0,74V/m1.15 - 86,7

1.16 - a) 2,41; b) 2,3 ×10−4W; c) 8,2 ×10−4W/m2; d) 7,1cm; e) circular para adireita1.17 - a) 2; b) 1,3 ×10−3W/m2

1.18 - 3,32 ×10−4W1.19 - a) 7,5cm; b) 1/3 ∠ 0

1.20 - a) 3,75cm; b) 54,6dB1.21 - Zero1.22 - a) ambas chegam no mesmo instante; b) a de 1GHz1.23 - 53cm e 22.1 - Um sistema simples pode ser obtido interligando-se os terminais das antenasatraves de um trecho de linha de 10,4cm. Os terminais de uma das antenas saoentao ligados ao transmissor com uma linha de pelo menos 10m de comprimento,desde que um toco em aberto de 8,8cm esteja posicionado, nesta linha, a 5,1cm dosterminais da antena.2.2 - a) λ/2; b) 10,6GHz; c) l = 7, 1mm e w = 3, 5mm; d) −90; e) 1,222.3 - a) 0,54; b) 3,3; c) 30, 3 + j8, 7 Ω2.4 - a) 1,67GHz; b) 1,86GHz2.5 - O comprimento do cabo pode ser 10m, desde que um toco em curto de 1,98m(ou em aberto 4,76m) seja posicionado a 3,45m dos terminais da antena.2.6 - a) λ/4 nas respectivas frequencias; b) wl = 3, 54mm, wt = 1, 03mm, lt10 =3, 75mm , lt20 = 1, 88mm e l qualquer; c) 8GHz2.7 - a) 100Ω; b) 0,2 ∠ − 90; c) 133MHz2.8 - l1 = 35, 2cm, l2 = 17, 6cm, lt1 = 21, 1cm e lt2 = 43, 6cm2.9 - a) 21,21GHz e 7.356; b) 506Ω; c) 0,23dB/m2.10 - a) 50Ω; b) 0,181m; c) 1/3 ∠ 180

2.11 - O transformador de λ/4 tem comprimento igual a 37,5mm e largura iguala 6,43mm. O circuito de casamento de entrada, com defasagem de 135, pode serobtido utilizando-se um sintonizador com: dois tocos em curto de 56,3mm (3λ/8)separados por um trecho de linha de 18,8mm (λ/8); um trecho de linha de 37,5mm


(λ/4) ligando os tocos a entrada do FET. A largura das linhas de entrada e w =6, 43mm (Zo = 50Ω).2.12 - a) 1,41; b) 0,172 ∠ − 90

2.13 - a) λ/4; b) lt = 0, 152λ a uma distancia de 0, 152λ da carga2.14 - toco em curto sobre a carga com comprimento igual a 1,76m (0, 176λ)2.15 - a) 25Ω; b) lt1 = 0, 271λ e lt2 = 0, 149λ; c) qualquer; d) 22.16 - a) 15GHz; b) 21,2GHz; c) 2,9MHz; d) 6,2GHz2.17 - 100m2.18 - Varias respostas possıveis, dentre elas: lt = 2, 295m (0, 153λ), l = 2, 94m(0, 196λ ) e ltot = 55, 44m2.19 - l = 53mm e w = 7mm2.20 - d = 30mm, fr = 7, 1GHz e Q = 12.7412.21 - 0,21dB/m2.22 - Pode-se utilizar um cabo de 20m com um toco em curto de 17,4cm (0, 348λ)a 4,9cm (0, 098λ) das antenas.2.23 - a) 3,82; b) 0,585 ∠ 16

2.24 - a) 0,375λ ; b) toco em curto de 0, 188λ a 0, 141λ da antena2.25 - a = 11, 5mm e d = 15, 5mm2.26 - O esquema e mostrado na figura abaixo. A diferenca de fase entre as sondas,na parede mais larga, tem que ser 180. ZTE = 712, 5Ω

10mm

5mm

5mm

2.27 - VSWR = 4, d = 1, 067m e lt = 0, 234m (toco em curto)2.28 - a) 5GHz; b) 905Ω2.29 - a) 16,8GHz; b) 0,061dB2.30 - Cavidade operando no modo TM001 com a = 11, 5mm e d = 52, 8mm2.31 - a) TE110 (ou TM011) b = 2, 83cm; b) 10.737; c) 6,25GHz; d) 605,4kHz2.32 - a) 2,93GHz (TE11); b) λg = 22, 3cm; c) 74,8dB3.1 - a) 0; b) 90; c) 0,027Ω; d) 1,69dBi3.2 - a) 6,55W; b) 0,86W; c) 1,85×10−4W/m2

3.3 - a) 0,95m; b) 0,523.4 - 24µW (13,8dBm)

331 Respostas dos Exercıcios

3.5 - a) 0; b) 0,1m2; c) 72,4% d) 120 e) 36,2mW

3.6 - a) 16,4dBi; b) 68m; c) 52mW (17,2dBm); d) 1.2GHz

3.7 - 2m

3.8 - 353,4W (55,5dBm)

3.9 - a) 16,2GHz; b) -80dBm

3.10 - a) 20dBi; b) 8,4m2; c) 7,63W; d) 2,84 ×10−7W/m2; e) -33,4dBm

3.11 - Vertical; a) 2/3; b) 78

3.12 - a) 1,13 ×10−9W; b) 51,4dB c) 2 (3dB)

3.13 - a) 30m2; b) 72m

3.14 - 3db

3.15 - a) zero; b) 1,27 (1dBi) e 90; c) 0,4m2

3.16 - 4 ×10−8W

3.17 - 44,8m

3.18 - a) 60 (plano E) e 106 (plano H); b) 5,1dBi; c) 1,5m

3.19 - a) 2,4 ×10−7W (-36,2dBm); b) 4,6 ×10−3m2; c) 2,3V/m

3.20 - a) 46,1; b) 62,2m

3.21 - 0,69

3.22 - a) zero; b) zero e 10

3.23 - a) -22,4dBm; b) 116,4dB

3.24 - 26dB

3.25 - 72,4m

4.1 - A tecnica mais adequada e o arranjo do tipo gama. Seguindo o esquemamostrado na Figura 12.7, tem-se: l2/2 = 11, 7cm, 2a2 = 1cm, d = 5cm e C =30, 5pF.

4.2 - Neste caso, deve-se utilizar um arranjo do tipo T juntamente com um transfor-mador com relacao de espira 2:1. A impedancia fornecida pelo o arranjo T e 75Ω,se l2 = 19, 8cm, 2a2 = 1cm, d = 5cm e C = 31, 7pF (vide Figura 12.3).

4.3 - Um transformador de 4:5 (VSWR = 1, 04).

4.4 - 25cm

4.5 - Neste caso, a melhor opcao e um arranjo do tipo T, equivalente a um dipolodobrado (l2 = l1 = 50cm). O comprimento do balun trombone e l = λ/2 = 33, 7cm.

4.6 - Seguindo o esquema mostrado na Figura 12.7, tem-se: l2/2 = 12, 8cm, 2a2 =1cm, d = 5cm e C = 5, 6pF.

4.7 - Varias solucoes, dentre elas: d1 = d2 = 0, 1λ, lr = 0, 51λ, le = 0, 47λ, ld = 0, 45λe a = 0, 0001λ. Neste caso, tem-se G = 6, 5dBi e Rfc = 16, 5dB.

4.8 - O dipolo com tensao de 1V tem impedancia de 88 + j 37Ω e outro 63 + j 42Ω.

4.9 - 41 − j 39Ω

4.10 - Para τ = 0, 88 e σopt = 0, 16, tem-se: comprimento total de 4,69m e


n 1 2 3 4 5 6 7 8 9ln(cm) 1 1,14 1,29 1,47 1,67 1,89 2,15 2,44 2,77Rn(m) 2,65 3,01 3,42 3,89 4,42 5,03 5,71 6,49 7,37

Para se obter 300Ω e necessario um espacamento entre os fios da linha de 2mm,considerando-se fios com diametros iguais a 35mm.4.11 – Para τ = 0, 8 e σopt = 0, 14, tem-se: comprimento total de 1,38m e

n 1 2 3 4 5ln(cm) 69,8 87,3 109,1 136,4 170,5Rn(m) 0,97 1,21 1,51 1,89 2,37

Para se obter 75Ω e necessario um espacamento entre os fios da linha de 2mm,considerando-se fios com diametros iguais a 2mm. Portanto, e mais pratico utilizarfios de 2mm com espacamento de 45mm e casar os 300Ω resultantes com um baluntrombone.4.12 - A antena deve ter 13 espiras com diametro igual a 11,4cm e passo igual a9,7cm. O refletor tem que ter diametro mınimo igual a 34cm.4.13 - A distancia do dipolo ao vertice do refletor e 32,5cm (d = 0, 65λ), a larguradas placas 65cm (2d) e o comprimento do vertice 30cm (0,6λ).4.14 - A distancia do dipolo a placa deve ser 42cm (0,42λ), o comprimento do dipoloe 50cm, a placa tem altura mınima de 60cm e largura mınima de 82cm. Com estasespecificacoes a impedancia de entrada e 71, 2 + j 79, 2Ω.4.15 - O ganho pode ser obtido para uma antena parabolica com 2m de diametro e1m de distancia focal.4.16 - 26dBi4.17 - 4,78GHz e 34,4dBi4.18 - 36,7dBi

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