Teoria Microeconômica II: Introdução à Teoria dos Jogos

Prof. João Manoel Pinho de Mello

Depto. Economia, PUC-Rio

jmpm@econ.puc-rio.br

Agosto, 2006

Motivação Comportamento estratégico:

Meu comportamento depende do que o(s) outro(s) faz(em)• Pedestre versus automóvel• 3 pontos = mais gols?• Concorrencia perfeita

A forma de interação afeta, de maneira decisiva, o resultado

Teoria dos Jogos: ferramentas para a análise sistemática do comportamento estratégico.

Seqüência dos cursos Introdução à Teoria dos Jogos: jogos estáticos e

dinâmicos de informação completa (micro II)

Organização Industrial e Estratégia (micro II)

Teoria dos Jogos pra valer (micro III)

Informação Assimétrica: jogos com informação incompleta (micro III)

Jogo Estático vs Dinâmico Diferença não depende de aspectos temporais.

Jogos estáticos: jogadores não observam decisões dos oponentes ao

escolher. Ex.: par ou ímpar.

Jogos dinâmicos: escolhas são seqüenciais – ao menos algumas decisões. Ex.: xadrez.

O que é um jogo estático?

Jogo estático, forma normal, ou forma reduzida.

Representação: N jogadores para cada jogador i, temos:

• Si – conjunto de estratégias possíveis

• Ui(si,s-i) – função de ganhos em cada resultado possível

do jogo

Exemplo

Caso Si seja finito, podemos representar um jogo através de uma matriz.

2 (par)

Par Ímpar

1 (ímpar)Par -1,1 1,-1

Ímpar 1,-1 -1,1

Jogo de soma zero

“Common Knowledge” Cada participantes do jogo conhece a estrutura

(regras) do jogo. A racionalidade dos jogadores é também de

conhecimento comum.

“Eu sou racional. Sei que meu oponente é racional. Sei que ele sabe que sou racional. Sei que ele sabe que eu sei que ele é racional. Etc.”

Exemplo: qual a cor do meu chapéu?

3 crianças numa roda. Há chapéus brancos e vermelhos.

Nenhuma delas observa a cor do próprio chapéu, mas observa das outras duas

1 2 3

Exemplo: qual a cor do meu chapéu? A professora pergunta a cada uma a cor do próprio

chapéu. Criança 1: “não sei”. Criança 2: “não sei”. Criança 3: “não sei”.

A professora informa: há, pelo menos, um chapéu vermelho. Repete a pergunta. Criança 1: “não sei”. Criança 2: “não sei”. Criança 3: “vermelho”.

Porque?

Solução Resposta da criança 1:

Se 2 e 3 estivessem usando chapéus brancos, saberia que o seu era vermelho.

Conclusão: 2 ou 3 está usando vermelho. Resposta da criança 2:

Se 3 estivesse com chapéu branco, saberia, pelo raciocínio anterior, que o seu chapéu era vermelho.

Conclusão: 3 está usando vermelho.

Solução

Note que, para o exemplo funcionar, é necessária não apenas a hipótese de racionalidade individual mas, principalmente, a hipótese de “common knowledge”.

A criança 3 é racional; sabe que 1 e 2 são racionais; e sabe que a 2 sabe que 1 é racional.

Além disto: as três sabem que as outras duas sabem que há chapéus brancos e vermelhos. E pelo menos um vermelho

Resolvendo jogos (i)

Conceitos de solução

Conceitos de solução

Para que queremos resolver jogos? Para fazer alguma previsão sobre o mundo!

Veremos vários conceitos. Um trade-off aparece constantemente: Força da previsão contra capacidade de prever

algo Por enquanto três conceitos básicos

Solução 1: Eliminação de Estratégias Estritamente Dominadas

Ótima previsão, mas não prevê muitas vezesSolução 2: Equilíbrio de Nash em Estratégias Puras

Previsão não tão boa mas faz previsões mais vezes

Solução 3: Equilíbrio de Nash em Estratégias Mistas

Previsão ainda mais pobre mas (quase) sempre faz alguma previsão inteligente

Resolvendo jogos (i)

Eliminação de estratégias estritamente dominadas

Dilema dos prisioneiros 2 prisioneiros são capturados e submetidos as interrogatório,

em salas isoladas, sem comunicação. Alternativas:

C - confessar e servir de testemunha contra o parceiro. NC - não confessar e resistir.

Penas dependem da interação de ambos.

2

1

NC C

NC -1,-1 -9,0

C 0,-9 -6,-6

Sem nenhuma confissão o caso é fraco. Baixa prob de condenação

Ambos confessam, o caso é fraco. Alta prob de condenação

Só uma confessa. O outro leva a culpa sozinho. Promotor faz acordo com o que confessa

Eliminação de estratégias estritamente dominadas Diante da hipótese de que a racionalidade é de

conhecimento comum, podemos eliminar estratégias que são estritamente piores, independente da ação do oponente.

Definição: A estratégia si’ é estritamente dominada se existir si” tal que:

Ui(si’,s-i) < Ui(si”,s-i),

para todo s-i.Desigualdade é estrita!

Não importa o que os outros façam

Resolvendo o dilema dos prisioneiros NC é estritamente dominada por C, para ambos.

2

1

NC C

NC -1,-1 -9,0

C 0,-9 -6,-6

Características importantes do dilema dos prisioneiros A situação (NC,NC) é melhor que (C,C) para ambos

O comportamento estratégico, aliado aos interesses individuais, inviabiliza (NC,NC) como solução Racionalidade individual leva à irracionalidade “coletiva” Fechar cruzamento?

Esse exemplo simples ilustra a importância desse tipo de comportamento sobre as relações.

Exemplo 2

2

1

E C D

A 1,2 3,2 3,3

B 2,3 3,1 4,2

Exemplo 3

2

1

E C D

A 1,2 3,4 3,3

B 2,3 3,1 4,2

Limitações

O processo de eliminação iterada de estratégias estritamente dominadas, em muitos casos, não produz previsões úteis sobre o resultado do jogo.

Consiste em uma noção muito fraca (no sentido que utiliza poucas restrições) de equilíbrio.

Resolvendo jogos (ii)

Equilíbrio de Nash(estratégias puras)

Definição de equilíbrio de Nash - EN Uma alocação/resultado é um equilíbrio de Nash se, a partir

dela, nenhum jogador tem incentivo a desviar individualmente.

O EN apresenta uma noção de estabilidade estratégica.

Definição: O perfil (si*,s-i

*) é um EN se, para todo jogador i, tem-se que:

Ui(si*,s-i

*) > Ui(si,s-i*),

para todo si.

Definição alternativa A função (ou correspondência) de melhor resposta atribui, a

cada possível combinação de estratégias dos oponentes s-i, a(s) melhor(es) resposta(s) si(s-i). Isto é:

EN é uma situação onde:si

*=si(s-i*),

para todo i.

Formalmente, torna a busca por equilíbrio um problema de “ponto fixo”

iiss

ii ssUssi

,maxarg

Exemplo 1

2

1

E C D

A 1,2 3,4 3,3

B 2,3 3,1 4,2

Exemplo 2Dilema dos prisioneiros

2

1

NC C

NC -1,-1 -9,0

C 0,-9 -6,-6

Exemplo 3Batalha dos sexos

M

H

Fut. Balé

Fut. 2,1 0,0

Balé 0,0 1,2

Exemplo 4Jogo de Coordenação

M

H

Teatro Praia

Teatro 2,2 0,0

Praia 0,0 1,1

Exemplo 5Par ou Ímpar

2

1

Par Ímpar

Par -1,1 1,-1

Ímpar 1,-1 -1,1

Algumas características Todo EN sobrevive à eliminação de estratégias estritamente

dominadas.

Equilíbrios múltiplos podem ocorrer.

Os equilíbrios podem apresentar ineficiência, seja em relação a outro equilíbrio ou a outra alocação.

Nem sempre existem equilíbrios em “estratégias puras”, isto é, que não envolvem aleatoriedade.

Exemplo 6Metade da média

Cada aluno escolhe um inteiro entre 0 e 100, anota o número em um papel com o próprio nome, entregando-o ao professor.

Vencedor: aquele mais se aproximar da metade da média de todos os números.

Exemplo 6(Continuação)

Estratégias estritamente dominadas:

Começe com 100 contra 99? Que tal 99 contra 98?

Equilíbrio de Nash: Qual é?

Resolvendo jogos (iii)

Equilíbrio de Nash(estratégias mistas)

Definição Em muitas situações, faz sentido estender o conjunto de

estratégias, possibilitando aleatoriedade.

Para cada conjunto de estratégias Si, define-se a extensão em

estratégias mistas Si, como o conjunto de medidas de

probabilidade que podem ser definidas sobre Si.

Um EN em estratégias mistas do jogo (N,Si,Ui) é um EN do

jogo estendido (N, Si,Ui).

Existência de equilíbrio

Teorema (Nash, 1950): Todo jogo finito tem, pelo menos, um EN, possivelmente envolvendo estratégias mistas.

O resultado acima pode ser estendido em várias direções.

ExemploPar ou Ímpar

2

1

Par Ímpar

Par -1,1 1,-1

Ímpar 1,-1 -1,1

p

1 - p

q 1 - q

Há equilíbrio de Nash em estratégias puras?

Calculando o EN em estratégias mistas Fixada a estratégia de 2 em q, temos as seguintes

opções para o jogador 1: Par: q(-1) + (1 - q) = 1 - 2q Ímpar: q + (1 - q)(-1) = 2q - 1

Fixada a estratégia de 1 em p, temos as seguintes opções para o jogador 2: Par: p + (1 - p)(-1) = 2p - 1 Ímpar: p(-1) + (1 - p) = 1 - 2p

Função de melhor resposta

q

p

1

0 11/2

1/22

1EN

Evidência empírica Levitt, S. P.A. Chiappori e T. Groseclose (2002) “A Test of

Mixed Strategy Equilibria: Penalty Kicks in Soccer.” American Economic Review, 92: 1138-1151.

Utilizam dados das 459 disputas de pênalti dos campeonatos francês (1997-1999) e italiano (1997-2000).

Resultados são compatíveis com a adoção de estratégias mistas.

Espírito crítico quanto à pesquisa: vocês acham este resultado interessante? Por que sim? Por que não?

Conceitos de solução

Para que queremos resolver jogos? Para fazer alguma previsão sobre o mundo!

Vimos vários conceitos. Um trade-off aparece constantemente: Força da previsão contra capacidade de prever

algo Por enquanto três conceitos básicos

Solução 1: Eliminação de Estratégias Estritamente Dominadas

Ótima previsão, mas não prevê muitas vezesSolução 2: Equilíbrio de Nash em Estratégias Puras

Previsão não tão boa mas faz previsões mais vezes

Solução 3: Equilíbrio de Nash em Estratégias Mistas

Previsão ainda mais pobre mas (quase) sempre faz alguma previsão inteligente

Revisão

Principais conceitos e definições

Revisão

Jogo estático

“Common knowledge”

Conceitos de solução

Eliminação de estratégias estritamente dominadas

Equilíbrio de Nash

Estratégias mistas