TERMODINÂMICA DE PROCESSOS

Elaboração: Gilson Gomes de Medeiros – UFRN/CEFET-RN

Natal. 2002. 21 páginas

UFRN – Departamento de Engenharia QuímicaCampus Universitário, s/n - Natal, RN

ÍNDICE1 - PROCESSOS DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS..................................................3

1.1 - LEI DA CONSERVAÇÃO DA MASSA...........................................................................31.2 - LEI DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA........................................................................51.3 - ESCOAMENTO EM TUBOS (ESTADO ESTACIONÁRIO)................................................81.4 - ESCOAMENTO EM DISPOSITIVOS COM SEÇÃO TRANSVERSAL VARIÁVEL...............101.5 - BOCAIS OU TUBEIRAS.............................................................................................111.6 - TURBINAS...............................................................................................................141.7 - COMPRESSORES......................................................................................................15 ESTÁGIO 1 → 2.............................................................................................................17 ESTÁGIO 2 → 3.............................................................................................................17 ESTÁGIO 3 → 4.............................................................................................................17 ESTÁGIO 4 → 1.............................................................................................................171.8 - BOMBAS.................................................................................................................191.9 - EJETORES...............................................................................................................19

2 - BIBLIOGRAFIA CONSULTADA..........................................................................20

1 - PROCESSOS DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS

Neste curso de Termodinâmica, o foco de atenção está dirigido para os processos de escoamento de fluidos. Na indústria química, são usados muitos equipamentos em que se verifica o movimento de fluidos. Por outro lado, com o aumento da utilização do gás natural como combustível no Brasil, o conhecimento dos processos de transporte e distribuição de gás através de tubulações ou dutos requer também uma análise sob o ponto de vista da Termodinâmica. Assim, o engenheiro químico deverá compreender as equações relacionadas a tais processos de escoamento.

A análise desses processos se fundamenta em três princípios:

• a lei da conservação da massa;

• a primeira lei da termodinâmica (conservação da energia);

• a segunda lei da termodinâmica (reversibilidade x irreversibilidade).

A partir desses princípios, podemos desenvolver equações referentes a uma quantidade finita de material, a que chamamos volume de controle (um tipo de sistema aberto), que sofre modificações finitas de estado. Essas equações são delineadas a partir de hipóteses iniciais que supõem condições ideais:

• Hipótese 1: será considerado o escoamento como unidirecional em qualquer seção reta do duto;

• Hipótese 2: as propriedades do fluido não variam ao longo do plano perpendicular à direção do escoamento (plano que é definido pela seção reta do duto).

As hipóteses acima referidas não introduzem erros significativos e, além disso, facilitam a aplicação dos princípios já mencionados.

1.1 - LEI DA CONSERVAÇÃO DA MASSA

Esta lei, aplicada aos processos de escoamento, é expressa pela equação da continuidade aplicada a um volume de controle.

1.1.1 - VOLUME DE CONTROLE

É um volume arbitrário, não necessariamente em repouso, contornado por uma superfície de contorno elástica, quase sempre identificada com as fronteiras físicas reais e geralmente permeável à passagem de matéria através de entradas e saídas (veja a figura seguinte). De acordo com a hipótese 2, o escoamento é pistonar, com um perfil de velocidade uniforme que equivale, em termos de taxa de escoamento de massa, ao perfil de velocidade real.

Em situações específicas, de interesse para a Engenharia Química, a superfície de contorno é sujeita a uma localização arbitrária, com entradas e saídas fixas no espaço (é o chamado volume de controle ancorado, que pode, porém, expandir-se ou contrair-se).

Figura 1.1 – Volume de controle com uma entrada e uma saída.

1.1.2 - EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

Para um volume de controle qualquer, pode-se escrever a equação da continuidade da seguinte forma:

Para simplificar a apresentação das equações, será considerado um volume de controle com apenas uma entrada e uma saída (que é o caso mais comum). O acúmulo de massa total é representado por dm/dt, que significa a taxa de variação de massa dentro do volume de controle durante o intervalo de tempo considerado. Por sua vez, o fluxo de massa (afluente ou efluente), m’i, corresponde à quantidade de matéria que atravessa a superfície de controle, através da entrada ou da saída, no mesmo intervalo de tempo acima referido. Podemos determinar m’i pela expressão

m’i = ρ i A i u i

onde i = 1 (entrada) ou i = 2 (saída), e:

ρ i = densidade média do fluido em i [M / L3]

A i = área da seção transversal em i [L2]

u i = velocidade média de escoamento em i [L / T]

Substituindo os termos correspondentes na equação da continuidade, tem-se:

dm/dt = m’1 – m’2 = ρ1 A1 u1 – ρ2 A2 u2 ou

dm/dt + ρ 2 A2 u2 – ρ 1 A1 u1 = 0 ⇔ dm/dt + ∆ (ρ A u)c = 0 (eq. 1)

O símbolo ∆ não representa aqui a diferença entre os valores finais e iniciais dos parâmetros, mas entre os valores desses parâmetros na saída e na entrada do volume de controle. O índice c significa que essa subtração ( ∆ ) aplica-se a todas as correntes – ou seja, a todas as entradas e saídas. As unidades de m’i e dm/dt, na discussão acima, são iguais; porém, os fenômenos são diferentes: uma transferência de massa através de uma fronteira e um acúmulo de massa dentro de um volume.

Um caso de importância particular é o processo em estado estacionário, ou regime permanente, no qual as condições dentro do volume de controle não variam

–Acúmulo de massa

total dentro do volume de controle

Taxa de fluxo de massa afluente (nas entradas)

Taxa de fluxo de massa efluente

(nas saídas)=

com o tempo. Portanto, se a massa do fluido é constante (ou seja, se a massa afluente é exatamente contrabalançada pela massa efluente), então:

dm/dt = 0 ⇒ ∆ (ρ A u)c = 0

Se há apenas uma entrada e uma saída,

ρ2 A2 u2 – ρ1 A1 u1 = 0 ⇔ ρ1 A1 u1 = ρ2 A2 u2

Ou seja, m’1 = m’2 = m’. Em termos de volume específico ( V = 1 / ρ ),

m’ = A1 u1 / V1 = A2 u2 / V2 (eq. 2)

1.2 - LEI DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

Sabe-se que, para um sistema fechado, a primeira lei da termodinâmica tem a seguinte formulação matemática:

∆U + ∆EC + ∆EP = Q – W

onde U = energia interna; EC = energia cinética; EP = energia potencial; Q = calor; e W = trabalho. O membro da esquerda corresponde, assim, à variação total de energia do sistema provocada por uma transformação ou processo em que ocorram trocas de calor ou trabalho entre o sistema e a vizinhança. Quando não há variações de energia cinética e potencial, a equação assume a forma mais simples:

∆U = Q – W

Aplicando a primeira lei a um volume de controle, deve-se considerar que, por ser um sistema aberto, pode haver, através da superfície do volume de controle, transporte de energia associado à entrada e à saída de matéria, além dos já conhecidos fluxos de calor e de trabalho. Empregando um raciocínio similar ao aplicado na discussão anterior sobre a equação da continuidade, tem-se:

O volume de controle, de maneira semelhante a um sistema fechado, pode acumular energia na forma de energia interna, energia cinética e energia potencial. As duas últimas formas de acúmulo de energia são pouco comuns na grande maioria dos sistemas de interesse. É preciso, então, analisar atentamente o termo relacionado à energia interna.

A partir daqui, salvo referência específica em contrário, os termos que representam as diversas formas de energia (U, Q, W, EP, EC) serão considerados em relação à unidade de massa do fluido; suas unidades serão kJ/kg, Btu/lbm, entre outras. Por exemplo, será utilizada a variável U para a energia interna do volume de controle (v.c.) por unidade de massa do fluido; então, para determinar a energia interna total, é necessário multiplicar U pela massa de fluido existente dentro do volume de controle:

( m U )v.c. = energia interna total do volume de controle

–+= –

Acúmulo de energia dentro do volume de controle

(A)

Taxa de transporte de energia

nas entradas

(B)

Taxa de transporte de energia

nas saídas

(C)

Fluxo de calor

através da superfície

de controle

(D)

Fluxo de trabalho

através da superfície

de controle

(E)

Portanto, desprezando possíveis variações das energias cinética e potencial do volume como um todo, o acúmulo de energia dentro do volume de controle, que é o termo (A) da equação da conservação da energia, pode ser dado por:

d(m U)v.c./dt (A)

As taxas de transporte de energia nas entradas e saídas são devidas ao escoamento do fluido. A corrente fluida “transporta” energia basicamente sob três aspectos:

• Energia interna do fluido → U• Energia cinética, devida à velocidade u → EC = u2

/ 2• Energia potencial, devida à altura z → EP = g z

Considerando novamente o processo com apenas uma entrada (índice 1) e uma saída (índice 2), no qual a taxa de fluxo de massa da corrente é m’, então o transporte total de energia pela corrente fluida é dado pela soma das três formas de energia acima referidas, sendo igual a:

m’ U + m’ u2/2 + m’ g z = m’ (U + u2/2 + g z)

Daí, a diferença (B)–(C) da equação da conservação da energia, que se refere às taxas de transporte de energia na entrada e na saída, pode ser escrita como:

m’ [(U1 + u12/2 + z1 g) – (U2 + u2

2/2 + z2 g)]Assim como foi mostrado para a energia interna, também Q e W representam,

respectivamente, as quantidades calor e trabalho por unidade de massa do fluido. Serão, então, usados os termos Q• e W• para indicar as quantidades totais de calor e de trabalho transferidas entre o volume de controle e as vizinhanças:

Q• = (m Q) e W• = (m W)

Os termos (D) e (E) da equação da conservação da energia, que são fluxos de calor e de trabalho, podem ser representados respectivamente por Q’ e W’, onde

Q’ = dQ•/dt e W’ = dW•/dt

Portanto, substituindo-se as parcelas da equação da conservação da energia pelos termos correspondentes, temos:

d(m U)v.c./dt = m’ [(U1 + u12/2 + z1 g) – (U2 + u2

2/2 + z2 g)] + Q’ – W’

Um rápido rearranjo traz a equação para a forma a seguir:

d(m U)v .c ./dt + [(U2 + u22/2 + z2 g) – (U1 + u1

2/2 + z1 g)]m’= Q’ – W’

d(m U)v .c ./dt + ∆ [(U + u2 /2 + z g) m’]c = Q’ – W’

O índice c mostra que a variação (∆) se aplica a todas as correntes fluidas que atravessam a superfície de controle. Em geral, as variações nas energias cinética e potencial entre a entrada e a saída do volume de controle são desprezíveis. A equação anterior assume, então, a forma simplificada:

d(m U)v.c./dt + ∆(m’ U)c = Q’ – W’ ⇔ d(m U)v.c./dt + (U2 – U1) m’ = Q’ – W’ (eq. 3)

Considerando a situação do regime permanente, em que não há acúmulo de energia no volume de controle, d(m U)v.c. = 0 e

(U2 – U1) m’ = Q’ – W’

#####

1.2.1 - TAXA DE ENERGIA NA FORMA DE TRABALHO (W’)

A taxa de energia na forma de trabalho consiste de duas partes:

• Trabalho do eixo ou trabalho motor (W’e): relacionado ao trabalho útil, que é efetuado pelo fluido (ou sobre o fluido) através de um eixo que sai do equipamento com movimento rotatório ou alternativo. É trocado entre sistema (volume de controle) e vizinhança.

• Trabalho do fluido (W’f): é o trabalho trocado entre o volume de controle e uma massa unitária de fluido que está à sua retaguarda (figura abaixo) ou à sua frente. O fluido afluente, como se fosse um “pistão imaginário”, exerce um trabalho sobre o volume de controle para forçar a sua entrada, enquanto o volume de controle faz um trabalho sobre o fluido efluente para forçá-lo a escoar para a frente.

Sendo V o volume da massa unitária de fluido que entra no v.c., o trabalho exercido por esse “pistão imaginário” é (- P1 V). O sinal negativo refere-se ao fato do trabalho estar sendo exercido pela massa unitária sobre o volume de controle. Para uma amostra qualquer de fluido que escoa com uma vazão mássica m’, tem-se uma taxa de trabalho (- P1 V) m’. Há também um trabalho exercido pelo volume de controle sobre a amostra de fluido efluente, dado por (P2 V) m’. O fluxo “líquido” de trabalho do fluido, considerando uma entrada (índice 1) e uma saída (índice 2), é então:

W’f = [(P2V) - (P1V)] m’ = [∆(PV)m’]C

⇒ W’ = W’e + W’f = W’e + [∆(PV)m’]C

Substituindo-se na equação da energia (eq. 3), temos:

d(m U)v.c./dt + (U2 - U1) m’ = Q’ – W’e – [(P2V) – (P1V)] m’

d(m U)v .c ./dt + [(U2 +P2V) – (U1 +P1V)] m’ = Q’ – W’ e (eq. 4)

Tendo em conta que

H = U + PV

e fazendo as devidas substituições na equação anterior (eq. 4), tem-se:

d(m U)v .c ./dt + m’ ∆H = Q’ – W’ e (eq. 5)

Como já foi dito antes, Q e We correspondem às quantidades de energia transferidas entre o volume de controle e as vizinhanças nas formas de calor e trabalho, respectivamente, por unidade de massa do fluido.

Para o processo de fluxo em estado estacionário (regime permanente), a energia interna total do v.c. é constante. Portanto, na equação eq. 5,

d(m U)v.c./dt = 0 ⇒ (H2 – H1) m’ = Q’ – W’e

P2

massa unitária de fluido

volume de controle

P1 P

1 > P

2

Dividindo-se todos os termos por m’, teremos a expressão baseada em uma massa unitária de fluido atravessando o v.c.:

(H2 – H1) = Q’/ m’ – W’e/ m’

⇓

∆H = Q – W e (eq. 6)

Se as variações de energias cinética e potencial, que não vêm sendo consideradas desde a equação eq. 3, não forem desprezíveis, a equação acima ganha mais dois termos e toma a forma seguinte:

∆H + ∆u2 /2 + g ∆z = Q – W e (eq. 7)

1.2.2 - ENERGIA DEGRADADA POR ATRITO

Sabe-se que, nos processos reais, parte da energia gerada como trabalho é perdida, ou seja, não é aproveitada, por ser transformada em calor pelos efeitos do atrito. No escoamento de fluidos reais, o atrito se manifesta por causa da viscosidade dos fluidos. Quando a perda de energia é provocada pelo atrito do fluido, este adquire mais energia interna (torna-se mais quente) do que aconteceria na ausência do atrito (e, ao lado disso, o fluido tem um aumento de entropia). Se a temperatura do fluido ficar maior que a da vizinhança, na seqüência do processo ocorrerá dissipação de energia para a vizinhança na forma de calor.

Para computar as perdas de energia devidas ao atrito, a Termodinâmica usa, em geral, uma comparação entre o valor do rendimento real de um processo e o rendimento que seria determinado no caso de um processo idêntico, porém reversível (sem atrito). Essa prática será melhor explicada e utilizada mais adiante.

1.3 - ESCOAMENTO EM TUBOS (ESTADO ESTACIONÁRIO)

Para aplicar o balanço de energia a escoamentos em tubos sem atrito e em estado estacionário (onde d(m U)v.c /dt seja igual a zero), considere-se o processo esquematizado na figura abaixo.

Verifica-se facilmente que não ocorre trabalho do eixo (We = 0), existindo apenas trabalho do fluido. Assim, a equação da energia (eq. 7) se torna

∆H + ∆u2/2 + g ∆z = Q

Admitindo condições adiabáticas (Q = 0), a equação fica ainda mais simplificada:

∆H + ∆u2/2 + g ∆z = 0

Se a tubulação for completamente horizontal, ∆z = 0, e teremos então

∆H + ∆u2 / 2 = 0

P1

P2

Além dessas expressões, a equação da continuidade (eq. 2) continua válida.

1.3.1 - VELOCIDADE MÁXIMA DE ESCOAMENTO

Considere um fluxo de um gás através de um tubo horizontal de área de seção transversal constante (A1 = A2), e que esse fluxo seja adiabático e estacionário (em regime permanente).

Para esse processo, a última equação apresentada acima corresponde ao balanço de energia:

∆H + ∆u2 / 2 = 0

Reescrevendo na forma diferencial, tem-se:

dH + u du = 0 ⇔ - dH = u du ⇔ du = - dH / u

Por outro lado, de acordo com a equação da continuidade, como o escoamento é estacionário (vazão mássica constante),

A1 u1 / V1 = A2 u2 / V2 ⇒ u1 / V1 = u2 / V2

Então, como P1 > P2, obrigatoriamente V1 < V2.e, pela expressão anterior, teremos u2 > u1, A partir desse raciocínio, poderíamos concluir que, quanto maior o comprimento da tubulação, com uma correspondentemente maior perda de carga (P2

cada vez menor que P1), maior a velocidade de escoamento. Porém, pode-se demonstrar que essa velocidade só pode crescer até um máximo, que coincide com a velocidade de propagação do som dentro do fluido. Por essa razão, a velocidade máxima de escoamento é também chamada velocidade sônica ou acústica.

A demonstração está resumida a seguir:

m’ = A u / V ⇒ dm’ = 0 = A (V du – u dV) / V2

⇒ V du = u dV ⇔ du = u dV / V

Combinando esta equação com a do balanço de energia na forma diferencial,

- dH / u = u dV / V ⇔ - dH = u2 dV / V

Além disso, sabe-se que, para fluidos monofásicos, dH = T dS + V dP. Substituindo o valor de dH da expressão anterior nesta última, chega-se a

T dS = - u2 dV / V – V dP

Como, ao longo do tubo, o volume específico aumenta e a pressão diminui no sentido do escoamento, as duas parcelas do segundo membro da equação acima contribuem de maneiras opostas em relação à variação de entropia. No entanto, a segunda lei exige que, num processo adiabático, dS ≥ 0. Quando a velocidade u for suficientemente grande, a contribuição negativa da primeira parcela se tornará igual à contribuição positiva da segunda, atingindo-se a situação de dS = 0. Esta é a condição de velocidade máxima, umáx, determinada quando se faz o primeiro membro da equação anterior igual a zero:

umáx2 dV / V + V dP = 0 (S = constante)

Reordenando a expressão acima, chega-se a

umáx2

= - V2 (∂P/∂V)S

P2

uP1

que corresponde à equação da velocidade do som nos fluidos, conforme dito antes.

Em algumas situações particulares, a velocidade máxima de escoamento pode ser determinada. Por exemplo, para um gás ideal, como o escoamento é adiabático, PVγ = constante e daí, usando um tratamento matemático adequado, podemos chegar à expressão

u2máx = γ P V = γ R T = u2

som

1.3.2 - APLICAÇÃO: CÁLCULO DA VELOCIDADE DO SOM NO AR

Determinar a velocidade do som no ar a 25 ºC e a 500 ºC, considerando o seu comportamento como o de um gás ideal. Dados: R = 847,7 kgf.m/kmol.K; composição aproximada do ar: 80% N2 e 20% O2; fator de conversão: 1 kgf = 9,8067 kg.m/s2.

Nos dois casos, é válido dizer que

u2som = γ R T

Como o ar é composto quase que totalmente por gases diatômicos (N2 e O2), podemos usar γ = 1,4. A massa molar do ar, de acordo com a composição dada, é

mol (ar) = 0,8 × 28 + 0,2 × 32 = 28,8 g

⇒ 1 kmol ar = 1000 × 28,8 = 28800 g = 28,8 kg

Então, para 25 ºC, tem-se

u2som = 1,4 × 847,7 (

K . kmol

m . kgf) × (25 + 273,15) (K) ×

kg28,8

kmol 1 × 2s kgf 1

m . kg 9,8067

⋅

⇒ usom ≅ 347,1 m/s

Já para 500 ºC, o cálculo se repete, substituindo-se apenas a temperatura:

u2som = [ 1,4 × 847,7 × (500 + 273,15) × 9,8067 ] / 28,8

⇒ usom ≅ 559,0 m/s

1.4 - ESCOAMENTO EM DISPOSITIVOS COM SEÇÃO TRANSVERSAL VARIÁVEL

É importante analisarmos os processos de escoamento em dispositivos com seção transversal variável, como os bocais convergentes-divergentes, pois, em alguns deles, os escoamentos podem atingir velocidades supersônicas. Tendo em vista os objetivos deste curso, nossa atenção será dirigida aos seguintes dispositivos:

• bocais

• turbinas

• compressores

• ejetores

Antes, vamos definir o número de Mach e sua relação com a velocidade de escoamento.

1.4.1 - NÚMERO DE MACH

Pode-se determinar facilmente se um escoamento é supersônico a partir da definição do número de Mach (M):

M = u / usom

sendo u a velocidade real do escoamento de um fluido, e usom a velocidade do som nesse mesmo fluido.

Quando M > 1, o escoamento é supersônico, e quando M < 1, o escoamento é dito subsônico. Escoamento sônico é aquele que tem M = 1.

1.5 - BOCAIS OU TUBEIRAS

Os bocais são dispositivos que provocam a troca entre a energia cinética e a energia interna de um fluido em conseqüência da modificação da área da seção trans-versal oferecida ao escoamento. A forma geral de um bocal é evidente, considerando que ele é projetado para descarregar a baixa pressão um gás recebido a alta pressão. Na entrada (ou embocadura) do bocal, a velocidade é relativamente baixa (até despre-zível se comparada à velocidade de descarga). A área da seção transversal diminui, numa forma convergente, à medida em que o gás se expande no bocal e a sua velo-cidade aumenta.

Contudo, quando a expansão prossegue ainda mais, aumentos relativamen-te grandes de volume acom-panham a redução de pres-são, e a área da seção trans-versal deve alargar-se numa seção divergente a fim de acomodar o volume específi-co aumentado. As seções convergente e divergente es-tão separadas por um estran-gulamento, denominado garganta. Este tipo de bocal é conhecido como tubeira de Laval, em homenagem ao seu criador.

Portanto, dois tipos de bocais são importantes: o bocal convergente e o bocal convergente-divergente (figura anterior). No bocal convergente, a velocidade de saída é maior que a de entrada, porém nunca é superior à velocidade acústica:

u2 ≤ usom

Na prática, são muito usados os bocais com seções convergentes e divergentes combinadas. Nesses bocais, a velocidade de escoamento alcança o valor sônico na garganta, atingindo uma velocidade supersônica de descarga:

ugarganta = usom e u2 > usom

Em um bocal, ocorrem grandes variações de pressão, velocidade e densidade em curtas distâncias, e por isso os efeitos friccionais (causadores de irreversibilidades) são negligenciáveis em comparação com outras variações de energia. Assim, é possível projetar bocais com escoamento quase isentrópico (isto é, aproximadamente adiabático e reversível). Isso permite que as equações desenvolvidas para escoamento

isentrópico em bocais sejam aplicáveis a situações reais. Não vamos demonstrar todas as equações aqui, mas apenas aplicá-las corretamente.

Para todos os bocais, a equação da continuidade permanece ainda válida. Em relação à equação da energia, podemos dizer mais uma vez que não há trabalho do eixo (We = 0). O intervalo de tempo da passagem de uma determinada porção de fluido pelo bocal é apenas uma fração de segundo, e por isso, com boa aproximação, o processo pode ser considerado adiabático (Q = 0). Como não há variação significativa de energia potencial da entrada para a saída do bocal, g ∆z = 0. Daí, conclui-se que a variação da entalpia é igual ao negativo da variação da energia cinética:

∆H + ∆u2 / 2 = 0 ⇒ ∆H = – ∆u2 / 2

A relação acima mostra que essas variações são complementares (o aumento de uma se dá às custas da outra). Por isso, ao passar em um bocal e aumentar a sua velocidade (e a sua energia cinética), um fluido tem sua temperatura diminuída (juntamente com a sua entalpia, que é diretamente relacionada à energia interna U).

Em muitas situações, a energia cinética na entrada é desprezível em relação à energia cinética na garganta ou na saída, porque u1 << usom < u2. Nesse caso,

u22 / 2 = ∆H ⇒ u2

2 = 2 ( H2 – H1)

Devemos lembrar que é sempre necessário usar um fator de conversão adequado para fazer a equivalência entre unidades de velocidade ao quadrado e de entalpia.

Para o escoamento de um gás ideal em um bocal convergente-divergente, a variação da energia cinética desde a entrada até a saída é dada por

(u22 – u1

2)/ 2 = 2

Δu2

=

( )

−

−

−γ

γ

γ

γ 1

1

211

P

P1

1

VP

Mais uma vez, será indispensável ao cálculo o emprego de um fator, nesse caso para converter a unidade do produto P1 V1 (que tem grandeza de energia “específica”, por mol ou por massa de fluido) em unidade de velocidade ao quadrado.

Sendo o gás ideal, o produto P1 V1 pode ser substituído por R T1. Se não for disponível o valor de u1, este pode ser simplesmente desprezado, pois, como u1 << u2, podemos fazer u2

2 – u12 ≅ u2

2. Deve-se notar que a velocidade de descarga do gás será máxima (e finita) quando tivermos um vácuo completo na saída do bocal (P2 = 0):

u2 (máx) = 2

1

2

+

− 111 u

1

VP 2

γ

γ = 2

1

2

+

− 11 u

1

TR 2

γ

γ

Da expressão acima, concuímos que a máxima velocidade que um gás ideal pode atingir por expansão em um bocal isentrópico é função apenas da temperatura absoluta na entrada (T1), das capacidades caloríficas do gás (embutidas no termo γ) e da sua massa molecular (necessária para a determinação do fator de conversão). Uma aplicação será apresentada adiante, neste texto.

Entre a garganta e a entrada do bocal, vale a mesma relação mostrada para a variação de energia cinética entre a saída e a entrada. Portanto,

u2garganta – u1

2 =

( )

−

−

−γ

γ

γ

γ 1

1

garganta11

P

P1

1

VP 2

Novamente, pode ser desprezado o valor de u1 (estando ou não disponível), pois, sendo u1 << ugarganta, então u2

garganta – u12 ≅ u2

garganta. Para um gás ideal,

u2garganta = u2

som = γ Pgarganta Vgarganta

e, portanto:

γ Pgarganta Vgarganta =

( )

−

−

−γ

γ

γ

γ 1

1

garganta11

P

P1

1

VP 2

Depois de uma série de operações algébricas e substituições (não explicitadas neste texto),1 poderemos concluir que

( )1−

+

=γγ

γ 1

2

P

P

1

garganta

As equações acima são válidas para qualquer bocal cuja velocidade na garganta seja igual à velocidade acústica. Se a queda de pressão no bocal for insuficiente para que esse valor crítico seja atingido, a seção divergente do bocal atuará de acordo com o comportamento convencional do escoamento subsônico: depois da garganta, a velocidade diminuirá.

Um outro caso particular do bocal convergente-divergente é o do escoamento de um fluido incompressível, para o qual a variação da energia cinética pode ser dada pela equação abaixo:

( u22 – u1

2 ) / 2 = V ∆P = V (P2 – P1)

Mais uma vez, como u12 << u2

2, podemos fazer u22 = 2 V ∆P, lembrando ainda

que u2 vale para a garganta e qualquer posição do bocal a jusante desta. A expressão para fluido incompressível, dada acima, é válida com precisão satisfatória, exceto para velocidades muito elevadas, quando o efeito do atrito não pode ser desprezado e o processo se afasta da condição isentrópica.

1.5.1 - APLICAÇÃO: CÁLCULO DA VELOCIDADE DE DESCARGA DE UM BOCAL

O ar, comportando-se como gás ideal, entra em um bocal convergente-divergente isentrópico a 70 ºF com uma velocidade baixa e se expande contra um vácuo aproximadamente ideal. Qual a velocidade do ar na descarga do bocal? Usar os mesmos dados do exemplo anterior: R = 847,7 kgf.m/kmol.K; composição aproximada do ar: 80% N2 e 20% O2; fator de conversão: 1 kgf = 9,8067 kg.m/s2.

Se a descarga é contra um vácuo, P2 = 0 e a equação seguinte se aplica:

u2 (máx) = 2

1

2

+

− 11 u

1

TR 2

γ

γ

Podemos considerar u1 ≅ 0, e usar γ = 1,4 e a relação 1 kmol ar = 28,8 kg, calculada anteriormente. Convertendo a temperatura para a escala Kelvin,

1 O interessado poderá consultar, para um estudo mais aprofundado, Princípios dos Processos Químicos – II Parte: Termodinâmica, de Hougen, Watson e Ragatz, 1973. (Vide “Bibliografia” ao final do texto).

°F – 32 = K – 273 9 5

encontramos T1 ≅ 294,26 K. Assim,

u2 = ( )2

1

28,8 11,4

9,8067 294,26 847,7 1,4 2

×−

×××× ≅ 771 m/s

1.6 - TURBINAS

Durante uma expansão em um bocal, para produzir um fluxo de alta velocidade, ocorre conversão de energia interna do fluido em energia cinética:

U → Ec

Por outro lado, a colisão de um fluxo de fluido com lâminas presas a um eixo de rotação provoca a transformação de energia cinética em trabalho mecânico:

Ec → We

Em uma turbina, que é constituída de um conjunto alternado de bocais e de lâminas de rotação, ocorrem as seguintes conversões de energia:

U → Ec → We

Seja uma turbina esquematizada na figura ao lado. Sabe-se que P1 > P2. Além disso, para uma turbina bem projetada, tem-se:

• ∆z muito pequeno;

• Troca de calor com o meio: desprezível (turbina quase adiabática);

• u1, u2: aproximadamente iguais (devido a um adequado dimensionamento dos tubos)

Feita essas considerações, a equação da energia (eq. 7) pode ser simplificada da seguinte maneira:

∆H + ∆u2/2 + g∆z = Q – We

⇓

∆H = – We

1.6.1 - EFICIÊNCIA DA TURBINA

A eficiência de uma turbina é dada pela relação a seguir:

η = WE ( R E A L ) / WE ( I S E N T R Ó P I C O ) = ∆H / (∆H)S = C T E

We

2

1

TURBINA

Uma turbina é considerada de boa eficiência quando tem rendimento na faixa de 70 a 80%. O processo isentrópico (reversível) é o de maior eficiência. O rendimento é fortemente influenciado pelo grau de irreversibilidade do processo, como se pode depreender a partir de uma análise do gráfico a seguir:

Observando a figura, podemos notar que, no processo isentrópico 1 → 2’, não há variação de entropia, enquanto o valor de ∆H é máximo. Porém, quanto mais irreversível o processo, mais o ponto 2 se desloca para a direita (no sentido de maior entropia) sobre a isobárica P2.

Assim, quanto mais irreversível for o processo, resulta:

∆S ↑ ⇒ ∆H ↓ ⇒ ∆H / (∆H)S ↓ ⇒ η ↓

1.7 - COMPRESSORES

Como visto no estudo das turbinas, durante a expansão ocorre uma redução na pressão da corrente fluida. Quando atravessa um compressor (esquematizado na

figura ao lado), o fluido, ao contrário, sofre um aumento de pressão, ou seja, P1 < P2.

Para as mesmas considerações feitas na análise da turbina, valem as mesmas equações. Então, em um processo adiabático (Q → 0), e como

∆EC , ∆EP → 0

temos:

∆H = – We

1 2 3 4

2

3

4

5

∆S

S2

S1 = S'

2

(∆H)S

∆H

2'

2

1

Isobárica P1

Isobárica P2

Ent

alpi

a

Entropia

We

2

1

COMPRESSOR

1.7.1 - EFICIÊNCIA

Sendo We(isentrópico) o trabalho mínimo necessário para a compressão de um gás desde um determinado estado inicial até uma pressão de descarga necessária, a eficiência do compressor será dada por

η = We (isentrópico) / We (real) = (∆H)s=cte /∆H

Da mesma forma que a turbina, um compressor é considerado de boa eficiência quando tem rendimento na faixa de 70 a 80 %. Como a turbina, o compressor tem seu rendimento bastante dependente do aumento de entropia (relacionado ao grau de irrevesibilidade) do processo, como mostra o gráfico abaixo:

Observando a figura anterior, podemos concluir que, como o processo é adiabático (Q ≈ 0), quanto mais irreversível for, mais o ponto 2 se desloca para a direita (no sentido de maior entropia) sobre a isobárica P2.

Assim, quanto mais irreversível for o processo, resulta:

∆S ↑ ⇒ ∆ H ↑ ⇒ (∆H)S / ∆H ↓ ⇒ η ↓

1.7.2 - CICLO DE COMPRESSÃO EM UM SÓ ESTÁGIO

Consideremos um compressor alternativo constituído por um conjunto de cilindro e êmbolo, conforme está esquematizado na próxima figura. Seja a a válvula de descarga e b a válvula de entrada ou admissão. No caso ideal, o ciclo de compressão seguirá duas isotermas e duas isobáricas. O ciclo completo pode ser acompanhado pelo gráfico P x V• mostrado na figura, onde V• representa o volume físico ocupado pelo gás dentro do cilindro, e não o volume específico do gás. A seguir, é descrito o comportamento do compressor em cada um dos estágios do ciclo:

2 3 4

2

3

4

5

∆S

S2

S1 = S'

2

(∆H)S

∆H

2'

2

1

Isobárica P1

Isobárica P2

Ent

alpi

a

Entropia

ESTÁGIO 1 → 2

Em um primeiro estágio, quando o ciclo sai do estado 1 para o estado 2, tem-se a admissão do gás a uma pres-são baixa, aproximadamente constante. Nessa situação, a válvula b fica aberta e a válvula a fechada enquanto o êmbolo se desloca para a direita.

ESTÁGIO 2 → 3

Na seqüência, após o êmbolo atin-gir a posição correspondente ao volume máximo do cilindro (V•

2), começa a se deslocar para a esquerda. A válvula b fecha, enquanto a válvula a permanece

fechada até que seja atingida a pressão de descarga (P3). Nesse estágio, o gás é comprimido e, na prática, esse processo é mais adiabático do que isotérmico.

ESTÁGIO 3 → 4

Quando a pressão interna no cilindro chega a P3, abre-se a válvula a enquanto a válvula b permanece fechada. O êmbolo continua a se deslocar para a esquerda, descarregando o gás a alta pressão até que o volume seja igual a V4 (volume “morto” do cilindro).

ESTÁGIO 4 → 1

Completando o ciclo, o êmbolo começa seu deslocamento para a direita fechando a válvula a. Isso provoca a expansão do gás contido no volume “morto”, com redução da pressão de P4 até P1, quando a válvula de admissão b é aberta, reiniciando o ciclo.

Como já foi visto, o trabalho do compressor, considerando um processo adiabático, pode ser calculado pela expressão:

We = – (∆H)s = cte. = – (Hfinal – Hinicial)S=cte.

Esta expressão simplificada será útil desde que as propriedades termodinâmicas do fluido nos estados inicial e final da compressão sejam conhecidas. Ainda para um processo adiabático, não sendo possível calcular o trabalho de compressão pela expressão acima, pode-se utilizar a seguinte relação, se o gás for considerado ideal:

−

−

−=

−

1P

P

1

VP W

1

1

41 1s

γ

γ

γ

γ

onde γ = Cp/Cv. Para gases não ideais e/ou processos não completamente adiabáticos, o valor de γ terá de ser determinado empiricamente.

As equações anteriores são aplicáveis a qualquer tipo de compressores (alternativos ou rotativos).

1.7.3 - COMPRESSÃO EM MÚLTIPLOS ESTÁGIOS

Vamos analisar o emprego de compressores em série para verificar qual o efeito desse arranjo sobre a eficiência da compressão. O gráfico pressão × volume ao lado representa uma compressão partindo do estado 1 (na pressão PA) e seguindo até o estado 2 (na pressão PC) por uma curva adiabática ou até o estado 3 (também na pressão PC) por uma isoterma. Esta última situação é mais desejável, pois o trabalho no processo isotérmico (dado pela área da superfície 1 – 3 – 7 – 8) é menor do que o trabalho no processo adiabático (dado pela área formada pela superfície 1 – 2 – 7 – 8);

ou seja, trabalhando isotermicamente o compressor consumiria menos energia. A diferença entre os trabalhos adiabático e isotérmico é dada pela área da superfície delimitada pelos estados 1 – 2 – 3.

Porém, é praticamente impossível o compressor trabalhar isotermicamente em virtude da dificuldade de se transferir uma grande quantidade de calor do sistema para o ambiente através das paredes do cilindro durante o rápido golpe do pistão (êmbolo). Assim, o trabalho real do compressor se aproxima mais do trabalho adiabático.

O caminho possível e utilizado normalmente para se reduzir o consumo de energia durante a compressão é utilizarem-se dois cilindros em série, percorrendo o seguinte itinerário:

1 → 4 : compressão adiabática no primeiro cilindro até a pressão intermediária PB;

4 → 5 : resfriamento (aproximadamente) isobárico até a isoterma T = T1 (linha tracejada no gráfico);

5 → 6 : compressão adiabática no segundo cilindro até a pressão de descarga PC.

Com isso, economizaríamos a energia correspondente à superfície 2 – 4 – 5 – 6.

O trabalho mínimo é encontrado na compressão isotérmica, que é um trabalho ideal. O aumento do trabalho, para o processo em dois estágios, em relação ao processo ideal (isotérmico), é dado pela área 1 – 4 – 5 – 6 – 3, que é menor que a área 1 – 2 – 3 anterior.

Conforme acrescentamos mais estágios de compressão, teremos maior rendimento do ciclo e um menor custo operacional do sistema. Porém, esse procedimento implica na necessidade de serem introduzidos mais resfriadores intermediários, o que resulta em um aumento no investimento inicial de uma estação de compressão.

Para 1 mol de gás ideal, para o qual é válida a relação P V = R T, o trabalho mínimo de compressão é dado pelo processo isotérmico, de acordo com a equação:

We = – R T ln P2/P1

Para um gás não ideal com propriedades termodinâmicas conhecidas, em um processo não adiabático (Q ≠ 0),

Q = T (∆S) T = cte.

e We = T (S2 - S1) T = cte. – (H2 – H1) T = cte.

1.8 - BOMBAS

Os líquidos são usualmente movimentados por bombas, que, na maioria das vezes, são rotatórias. As mesmas equações usadas para compressores adiabáticos aplicam-se a bombas adiabáticas.

W’e = – m’ ∆H ⇔ We = - ∆H

We (isentrópico) = – (∆H)s= cte.

A eficiência para as bombas é encontrada pela relação entre:

η = (∆H)s / ∆H = We (isentrópico) / We

A entalpia para líquidos comprimidos é raramente disponível em tabelas ou diagramas. Portanto, o trabalho de uma bomba deve ser calculado a partir de relações termodinâmicas adequadas, algumas das quais são dadas a seguir.

Para líquidos comprimidos (em condições distantes do ponto crítico), V é independente de P, e nesse caso podemos usar a equação:

We (isentrópico) = – V (P2 – P1)

Outras equações úteis para o estudo das bombas, são:

∆H = CP ∆T + V ( 1 – β T ) ∆P

∆S = CP ln T2 / T1 – β V ∆P

onde β é o coeficiente de expansividade volumétrica. Para chegar às duas equações anteriores, é necessário considerar Cp, V e β constantes, usualmente aplicados nos valores iniciais, e também que:

1. as variações de temperatura no líquido bombeado são muito pequenas;

2. as propriedades do líquido são insensíveis à pressão.

1.9 - EJETORES

Para remover gases ou vapores de uma câmara, criando um vácuo, e comprimi-los para descarregá-los a alta pressão, são comumente usados ejetores.

A quantidade de movimento do fluido a alta velocidade (uf) que sai do bocal interno é parcialmente transferida para extrair os gases e vapores, que se encontram estagnados ou a baixa velocidade (uv):

uf >> uv

A velocidade da mistura ainda é maior que a velocidade acústica porque ocorre uma aceleração na seção divergente do bocal maior:

uf > umistura > usônica

O projeto dos ejetores é, em grande parte, empírico: o equacionamento usado para os bocais é válido também para os ejetores, mas o processo de mistura é muito complexo.

Quando é possível a mistura do fluido impulsor com os vapores a serem arrastados, o uso de ejetores oferece, em relação aos compressores:

• custo inicial mais baixo;

• custos operacionais menores.

2 - BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

1. FAIRES, V. M. & SIMMANG, C. M. Termodinâmica. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1983.

2. HOUGEN, O. A., WATSON, K. M. & RAGATZ, R. A. Princípios dos Processos Químicos – II Parte: Termodinâmica. Porto: Lopes da Silva Editora, 1973.

3. KIRILIN, V. A., SICHEV, V. V. & SHEINDLIN, A. E. Termodinámica Técnica. Moscou: Mir, 1986.

4. SMITH, J. M. & VAN NESS, H. C. Introdução à Termodinâmica da Engenharia Química. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 1980.

5. VAN WYLEN, G. J. & SONNTAG, R. E. Fundamentos da Termodinâmica Clássica. São Paulo: Edgard Blücher, 1976.

6. ZEMANSKY, M. W. Calor e Termodinâmica. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1978.