Teste geometria 10º

Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/2013

1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I

1º Teste de avaliação – versão1

Grupo I

1. Numa certa pirâmide, a base tem n vértices. Quantas faces e arestas tem essa pirâmide?

(A) n faces e 2n arestas (B) 2n faces e 3n arestas

(C) n 1+ faces e 2n arestas (D) n 1+ faces e 3n arestas

2. A diagonal de um quadrado mede 10 cm. A área desse quadrado é:

(A) 210cm (B) 225cm (C) 250cm (D) 2100cm

3. A figura representa um quadrado [ABCD] de lado 2 cm . Qual é o

volume do sólido que se obtém quando os triângulos sombreados dão

uma volta completa em torno de AC.

(A) 35cm

3π

(B) 32cm

3π

(C) 34cm

3π

(D) 3cm3π

4. Os triângulos [ADC] e [DCB] são semelhantes e a razão de semelhança é 2. Então, se AD 1= ,

tem-se:

(A) DB 2= (B) DB 4=

(C) CB 4,5= (D) CB 4=

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

E

F CD

A B

B

C

DA


2

5. A figura representa uma pirâmide regular hexagonal. Escolha a

afirmação verdadeira:

(A) A reta VB é aposta ao plano ABC

(B) Os planos VBC e VCD são secantes

(C) As retas VE e VC são não complanares

(D) As retas AF e ED são paralelas

Grupo II

1. A figura representa um cubo com 3 m de aresta, onde se escavou uma

pirâmide quadrangular regular.

1.1. Mostre que os elementos do sólido assim obtido verificam a

igualdade de Euler.

1.2. Sabendo que a altura da pirâmide é 34

da aresta do cubo,

determine que percentagem do volume do cubo representa o

volume da pirâmide que foi retirada.

2. Nas figuras seguintes, estão representadas uma peça metálica plana na qual se marcou a

tracejado um quadrado [ABCD] com 6 dm de lado e na outra que se obteve a partir da primeira

peça, cortando e retirando o quadrado [EFGH].

Relativamente à segunda figura, sabe-se que:

• Cada vértice do quadrado [EFGH] pertence a um lado do quadrado [ABCD]

• Os quatro triângulos retângulos [EDH], [HCG], [GBF] e [FAE] são geometricamente

iguais e, em cada um deles, o cateto maior é igual ao dobro do cateto menor.

2.1. Mostre que a área do quadrado [EFGH] é 20 dm2.

EF

V

D

CB

A

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exato.


3

2.2. Na figura ao lado, está representada uma pirâmide

quadrangular regular [IJKLV] cuja base tem 180

dm2 de área e cuja altura é 48 dm.

Sobre esta pirâmide deixou-se cair a peça

metálica da alínea anterior, de tal modo que a

peça ficou paralela à base da pirâmide e os

vértices do quadrado [EFGH] ficaram sobre as

arestas laterais da pirâmide.

Determine a distância, d, em dm, entre a peça

metálica e a base da pirâmide.

NOTA: Admita que a espessura da peça metálica

é desprezável e tenha em conta que a área do

quadrado [EFGH] é 20 dm2.

3. A figura representa um cubo com aresta 6 cm, onde se desenhou uma

secção produzida no cubo por um plano perpendicular a uma das

diagonais espaciais.

3.1. Determine a área da secção, sabendo que os vértices do

hexágono são os pontos médios das arestas a que pertencem.

3.2. Considerando agora que 1

GI GC3

= desenhe um cubo e nele, com

todo o rigor, desenhe a secção produzida pelo plano AIB.

4. Na figura estão traçadas seis diagonais de um cubo, uma em cada

face, de modo que as seis diagonais representadas concorrem apenas em quatro dos vértices

do cubo.

H G

FE

D C

BA

H G

FE

D C

BA

I

H G

FE

DC

BA


4

4.1. Justifique porque é que o poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um tetraedro

regular.

4.2. Há elementos deste poliedro representados em verdadeira grandeza? Quais são?

Justifique.

4.3. Supondo que a aresta do cubo é igual à unidade, prove que a área de cada face do

tetraedro é 3

2 e que a área total do tetraedro é 2 3 .

5. Uma embalagem cilíndrica acondiciona, sem folgas, quatro bolas de ténis. Que fração do

volume da embalagem representa o volume das bolas?

Formulário

Geometria Perímetro do círculo: 2 rπ , sendo r o raio do círculo Áreas

Paralelogramo: base altura×

Losango: diagonal maior diagonal menor

2×

Trapézio: base maior base menor

altura2+ ×

Polígono regular: perímetro

apótema2

×

Círculo: 2rπ , sendo r o raio do círculo

Superfície esférica: 24 rπ , sendo r o raio da esfera Volumes

Prismas e cilindro: área da base altura×

Pirâmide e cone: 1

área da base altura3

× ×

Esfera: 34r

3π , sendo r o raio da esfera

Álgebra Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau d a forma

2ax bx c 0+ + = : 2b b 4ac

x2a

− ± −=

Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3 5 TOTAL Cotação 10 10 10 10 10 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 200


5




1º Teste de avaliação – versão1 – Proposta de resol ução

Grupo I

1. (C) Numa certa pirâmide, a base tem n vértices. essa pirâmide tem n 1+ faces e 2n arestas

2. (C) A diagonal de um quadrado mede 10 cm. A área desse quadrado é 250cm .

3. (B) A figura representa um quadrado [ABCD] de lado 2 cm . O

volume do sólido que se obtém quando os triângulos sombreados dão

uma volta completa em torno de AC é o volume de dois cones com

diâmetro da base 2 2 2× = e altura 2 2

12× = ou seja

2 31 2V 2 1 1 cm

3 3π= × × π × × =

4. (B) Os triângulos [ADC] e [DCB] são semelhantes e a razão de

semelhança é 2. Então, se AD 1= , então o cateto que lhe

corresponde no triângulo grande mede CD 2= e se CD 2=

então o cateto que lhe corresponde no triângulo grande mede

DB 4= .

5. (B) A figura representa uma pirâmide regular hexagonal. Escolha

a afirmação verdadeira:

(A) A reta VB é aposta ao plano ABC FALSA

(B) Os planos VBC e VCD são secantes VERDADEIRA

(C) As retas VE e VC são não complanares FALSA

(D)As retas AF e ED são paralelas FALSA

Grupo II

1. A figura representa um cubo com 3 m de aresta, onde se escavou uma pirâmide quadrangular

regular.

1.1. Mostremos que os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de Euler:

EF

V

D

CB

A

E

F CD

A B

B

C

DA


6

• Nº de faces = 9

• Nº de vértices = 9

• Nº de arestas =16

• Relação de Euler: 9 9 16 2 18 18+ = + ⇔ =

Conclusão: Os elementos do sólido assim obtido verificam a

igualdade de Euler.

1.2. Sabendo que a altura da pirâmide é 34

da aresta do cubo,

determinemos que percentagem do volume do cubo representa

o volume da pirâmide que foi retirada.

• Volume do cubo: 3cuboV 3 27= =

• Volume da pirâmide: 2pirâmide

1 3 27V 3 3

3 4 4= × × × =

O volume da pirâmide é 14

do volume do cubo ou seja é 25% do volume do cubo.

2. Nas figuras seguintes, estão representadas uma peça metálica plana na qual se marcou a

tracejado um quadrado [ABCD] com 6 dm de lado e na outra que se obteve a partir da primeira

peça, cortando e retirando o quadrado [EFGH].

Relativamente à segunda figura, sabe-se que:

• Cada vértice do quadrado [EFGH] pertence a um lado do quadrado [ABCD]

• Os quatro triângulos retângulos [EDH], [HCG], [GBF] e [FAE] são geometricamente

iguais e, em cada um deles, o cateto maior é igual ao dobro do cateto menor.

2.1. Mostremos que a área do quadrado [EFGH] é 20 dm2

começando por reproduzir os dois quadrados:

Como x 2x 6 3x 6 x 2dm+ = ⇔ = ⇔ =

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [BFG]

temos: 2 2 22 2 2FG 2 4 FG 4 16 FG 20dm= + ⇔ = + ⇔ =

O que prova que a área do quadrado [EFGH] é 20 dm2.

2x

x

F

E

G

H

D

CB

A


7

2.2. Na figura ao lado, está representada uma pirâmide quadrangular regular [IJKLV] cuja base

tem 180 dm2 de área e cuja altura é 48 dm.

Sobre esta pirâmide deixou-se cair a peça metálica da

alínea anterior, de tal modo que a peça ficou paralela à

base da pirâmide e os vértices do quadrado [EFGH]

ficaram sobre as arestas laterais da pirâmide.

A aresta da base da pirâmide é 180 6 5 dm=

O lado do quadrado da peça é 20 2 5 dm=

Então podemos desenhar a secção produzida na

pirâmide passando pelo vértice e por dois pontos médios

de lados opostos da base:

Da semelhança dos dois triângulos resulta:

6 5 48x 16dm

x2 5= ⇔ =

A distância, d, em dm, entre a peça metálica e a base da pirâmide é

então 48 16 32dm− =

NOTA: Admita que a espessura da peça metálica é desprezável e tenha

em conta que a área do quadrado [EFGH] é 20 dm2.

3. A figura representa um cubo com aresta 6 cm, onde se desenhou uma

secção produzida no cubo por um plano perpendicular a uma das

diagonais espaciais.

3.1. Determinemos a área da secção, sabendo que os vértices do

hexágono são os pontos médios das arestas a que pertencem.

Observando a face superior do cubo verificamos que o lado do

hexágono é 3 2 cm por ser a diagonal de um quadrado de lado 3 cm.

3

3

3 2

h

3 2

2

3 23 2

Aplicando o Teorema de Pitágoras a um dos 6 triângulos equiláteros em que podemos

dividir o hexágono vamos determinar o apótema h:

( )2

22 23 2 18 54 3 6

h 3 2 h 18 h h2 4 4 2

+ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ =

x

48 - x

2 5

6 5

V


8

A área do hexágono é

2hexágono

3 2 6 3 6 54 12 108 3A 27 3 cm

2 2 4 4×= × = = =

3.2. Considerando agora que 1

GI GC3

= desenhe um cubo e

nele, com todo o rigor, desenhemos a secção produzida

pelo plano AIB.

4. Na figura estão traçadas seis diagonais de um cubo, uma em cada face, de modo que as seis

diagonais representadas concorrem apenas em quatro dos vértices do cubo.

H G

FE

D C

BA

H G

FE

D C

BA

4.1. Justifiquemos porque é que o poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um

tetraedro regular:

De facto o poliedro tem 4 faces que são triângulos equiláteros geometricamente iguais por

terem os 3 lados iguais já que são diagonais faciais do cubo, além disso concorrem 3

faces em cada um dos 4 vértices do cubo onde concorrem as diagonais do cubo.

4.2. Há elementos deste poliedro representados em verdadeira grandeza. São as arestas [EB]

e [DG] pois estão nas faces da frente e de trás do cubo que estão desenhadas em

verdadeira grandeza.

4.3. Supondo que a aresta do cubo é igual à unidade, provemos que a área de cada face do

tetraedro é 3

2 e que a área total do tetraedro é 2 3 .

Se a aresta do cubo é igual à unidade a sua diagonal facial medirá 2 . A altura de um

triângulo equilátero cujo lado mede 2 é 3 6

h 22 2

= × = e a área desse triângulo é

( )23 3A 2

4 2= × = . A área total do tetraedro é total

3A 4 2 3

2= × = .

I

H G

FE

DC

BA


9

5. Uma embalagem cilíndrica acondiciona, sem folgas, quatro bolas de ténis. Que fração do

volume da embalagem representa o volume das bolas?

Calculemos o volume do cilindro com r de raio da base e altura 8r. 2 3

cilindroV r 8r 8 r= π × × = π

Calculemos o volume de quatro esferas de raio r. 3

34esferas

4 16 rV 4 r

3 3π= × π × =

Calculemos então a fração do volume da embalagem representada pelo volume das bolas:

3

3

16 r2338 r

π

=π

As esferas representam 23

do volume da caixa cilíndrica.


10




1º Teste de avaliação – versão1 – Critérios de clas sificação

Grupo I (50 pontos)

Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

1 2 3 4 5

C C B B B

Grupo II (150 pontos)

1. 30

1.1. 15

•••• Indicar o nº de faces 3

•••• Indicar o nº de vértices 3

•••• Indicar o nº de arestas 3

•••• Verificar a Regra de Euler 6

1.2. 15

•••• Calcular o volume do cubo 3

•••• Calcular o volume da pirâmide 5

•••• Calcular a percentagem pedida 5

•••• Apresentar o resultado 2

2. 30

2.1. 15

•••• Calcular a medida de cada parte do lado 5

•••• Calcular a área pedida 10

2.2. 15

•••• Reconhecer a semelhança dos triângulos 5

•••• Calcular a altura da pirâmide pequena 5

•••• Calcular a distância pedida 5

3. 30

3.1. 15

•••• Calcular a medida do lado do hexágono 5

•••• Calcular a medida do apótema do hexágono 5

•••• Calcular a medida da área 5


11

3.2. 15

•••• Desenhar corretamente o cubo 5

•••• Desenhar corretamente a secção 10

4. 45

4.1. 15

•••• Referir justificando que as faces são polígonos

regulares e geometricamente iguais 10

•••• Referir que concorre igual nº de faces em cada vértice 5

4.2. 15

•••• Sim 5

•••• Indicar as arestas 5

•••• Justificar 5

4.3. 15

•••• Aresta do cubo ⇒diagonal facial 5

•••• Lado do triângulo⇒área do triângulo 5

•••• Área total do tetraedro 5

5. 15

•••• Volume do cilindro 5

•••• Volume das esferas 5

•••• Fração pedida 5

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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