Prof. Ivan Balducci

FOSJC / Unesp

Teste de Comparação Múltipla de Tukey

desenvolvido em 1953

John Wilder Tukey

16 de junho de 1915 – 26 de julho de 2000

J.W. Tukey

Após a IIª guerra mundial, o estatístico Wilks

(da Univ. de Princeton)

deu-lhe o cargo

de professor de estatística

no Depto. de Matemática

da Universidade de Princeton.

Em 1965 é criado o Depto. de Estatística e ele foi nomeado

chefe desse departamento da Univ. de Princeton.

*Químico pela Brown University, em 1936.** Doutor em Química, pela Brown University, (em 1937).***Doutor em Matemática, pela Univ. de Princeton, em 1939.

Teste de TukeyO teste de Tukey compara os pares de médias, ou seja, as médias dos grupos.

Se eu estiver considerando 3 grupos: A, B e C,então, terei 3 comparações de médias: A vs B, A vs C e B vs C

Se eu estiver considerando 4 grupos,então, terei 6 comparações de médias

Se eu estiver considerando 5 grupos,então, terei 10 comparações de médias

Se eu tiver 7 grupos então…?

3

7 !4!3

!7

35

1234123

1234567

123

567

57

Se eu tiver 7 grupos

terei 35 comparações a serem realizadas

Teste de Tukey

O teste de Tukey oferece proteção contra a

possibilidade do pesquisador cometer

erro do Tipo I

Fórmulas do teste de Tukey

= HSD / EPMq crit =

Procedimento para o Teste deTukey

Calcule diferenças das médias das condições

que você está comparando

Se a diferença das médias for pelo menos tão

grande quanto a HSD, você pode rejeitar H0

Repita para qualquer outra comparação que

precise ser realizada

Exemplo de Aplicação

Teste de Tukey

Resolução à mão, sem a utilização de umprograma computacional.

Exemplo: Tukey HSD

igual “n” por grupo, n = 12

Suponha um experimento com um fator, 5 níveis.

Tabela ANOVA :

Fonte SQ gl QM F p

Entre 2942.4 4 735.6 4.13 <.05

Dentro (erro) 9801 55 178.2

Médias dos grupos:

I II III IV V

63 82 80 77 70

Grupos 1 2 3 4 5

Médias 63 82 80 77 70

Fonte SQ gl QM F p

Grupos 2942.4 4 735.6 4.13 <.05

Erro 9801.0 60-5 = 55 178.2

Total 12743.4 60-1

Exemplo: Tukey HSD

Grupos-> 1 2 3 4 5

Médias> 63 82 80 77 70

Fonte SQ gl QM F p

Grupos 2942.4 4 735.6 4.13 <.05

Erro 9801.0 60-5 = 55 178.2

Total 12743.4 60-1

K = 5 grupos; n = 12 por grupo, QMerro com gl = 55

Valor Tabelado de q com alpha =.05 é 3.98

34.1512

2.17898.3

n

MSqHSD error

Obtenha o q crítico usando o correto nº de gl

Numerador = nº de grupos a serem comparados

Denominador = gl para QMerro = MSerro

Assim, gl = 5, 55 qcrit = 3.98 (Tabela de livro)

= 15.34 nesse caso

Quais pares de médias excedem esse valor?

I II III IV V 63 82 80 77 70

34.1512

2.17898.3

n

MSqHSD error

Grupos 1 2 3 4 5

1 63 0 7 14 17* 19*

2 70 0 7 10 12

3 77 0 3 5

4 80 0 2

5 82 0

Quais pares de médias excedem esse valor de 15.34?

Diferenças entre as médias. Quais pares diferem ?

I V IV III II

63 70 77 80 82

I 63 0 7 14 17* 19*

V 70 0 7 10 12

IV 77 0 3 5

III 80 0 2

II 82 0

O valor crítico para as

diferenças entre as

médias dos grupos é

chamada de HSD

HSD = 15.34 nesse casoDiferem: 1 vs 2, 1 vs 3

HSD = 15.34

Exemplo de Aplicação

Teste de Tukey

Resolução com a utilização deprogramas computacionais.

Grupo A Grupo B Grupo C

10 11 20

10 21 22

11 23 23

15 24 24

16 25 28

18 25 34

21 26 35

22 27 35

23 28 36

23 32 38

Dadosn = 10

MINITAB

Stat >> ANOVA >> One-Way (Unstacked)...

Responses: A - C

Comparisons:

[ V ] Tukey´s family error rate: 5 é o valor default

Teste de Tukey com o MINITAB

5%

Grupos A B C

Médias 16.90 24.20 29.5

Fonte SQ gl QM F p

Grupos 800.5 2 400.25 11.459 0.000

Erro 943.0 27 34.9259

Total 1743.5 29

Tabela ANOVA

Grupos Médias A B

A 16.90

B 24.20 7.30*

C 29.50 12.60* 5.30

q crítico 5% = 3.507

HSD = 6.554

Infelizmente, o MINITAB não apresenta uma tabela igual a essa.Felizmente, temos um programa, o STATISTIX, que apresenta essa

tabela além dos valores de q crítico e de HSD

* diferença superior ao valor de HSD

Grupos Médias Grupos Homogêneos

C 29.50 A

B 24.20 A

A 16.90 B

Infelizmente, o MINITAB não apresenta uma tabela igual a essa. Felizmente, temos um programa, o STATISTIX, que

apresenta essa tabela das médias formando grupos homogêneos

Teste de Tukey com o MINITAB

FELIZMENTE, o programa MINITAB estabelece os

Valores de “p” referente às diferenças

entre as duas médias (pares) que estão sendo comparadas:

A – B : t = 2,62 e p = 0,0267 < 0.05

A – C : t = 4,767 e p = 0,0002 < 0.05

B – C : t = 2,005 e p = 0,1302 > 0.05

Se o p valor for inferior a 0,05, então, diferem as médias?

Stat >> ANOVA >> General Linear Model

Só para tranquilizar alguns alunos muito interessados

Cálculos dos valores de t nas comparações

t : A vs B : diferença / EPM da diferença = 7.300 / 2.643 = 2.762

t : A vs C : diferença / EPM da diferença = 12.600 / 2.643 = 4.767

t : B vs C : diferença / EPM da diferença = 5.300 / 2.643 = 2.005

O EPM da diferença é dado pelo programa Minitab (é só seguir a fórmula dos livros)

EPM = erro padrão da média referente aos valores de diferença

Cálculo da EPM = denominador da fórmula

q crit =

EPM = sqrt [MSw/n1 + MSw/n2]

EPM = sqrt [34.9259/10 + 34.9259/10] = sqrt [34.9259/5] = 2.643

sqrt = raiz quadrada

Teste de Tukey com o MINITAB

FELIZMENTE, o programa MINITAB estabelece os

Intervalos de Confiança da diferença

entre as duas médias (pares) que estão sendo comparadas:

A – B : IC (95%) vai de 0.74 a 13.86

A – C : IC (95%) vai de 6.04 a 19.16

B – C : IC (95%) vai de -1.26 a 11.86

O valor diferença igual a zero pertence ao qual intervalo?

Teste de Tukey com o MINITAB

A – B : IC (95%) vai de 0.74 a 13.86

A – C : IC (95%) vai de 6.04 a 19.16

B – C : IC (95%) vai de -1.26 a 11.86

O valor diferença igual a zero NÃO pertence a esse intervalo, logo A difere de B

O valor diferença igual a zero NÃO pertence a esse intervalo, logo A difere de B

O valor diferença igual a zero pertence a esse intervalo, logo A não difere de B

Diferença honestamente significante (HSD)

Termos que devem ser familiares

Teste de Tukey

Grupos Homogêneos