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Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Estatística
6º Teste de avaliação – versão A
Grupo I
1. De acordo com a figura indique qual dos vectores
representa 1
GI3
���
(A) GL����
(B) IH���
(C) CH����
(D) AB����
2. No referencial da figura está parte da representação gráfica
de uma função da família definida por
( ) ( ) { }y ax x 3 x 2 , a \ 0= + − ∈ℝ . Sabendo que o gráfico
contém o ponto de coordenadas ( )1, 6− − , qual é o valor de a
que lhe corresponde?
(A) a 1= −
(B) a 1=
(C) a 2= −
(D) 1
a2
= −
3. Considere duas funções, reais de variável real, f e g tais que ( ) ( )g x f x 2 3= − + . Se ( )f 1 2=
então pode afirmar que:
(A) ( )g 3 2= (B) ( )g 3 1= − (C) ( )g 3 5= (D) ( )g 3 3=
4. O gráfico ao lado ilustra uma notícia publicada na revista Visão de 10 de
Dezembro de 2009 Intitulada “São 561 mil os portugueses que estão sem
emprego” e tem como fonte dados fornecidos pelo Eurostat.
• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.
• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.
• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita
for ilegível.
• Não apresente cálculos ou justificações.
• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
1 2 3 4-1-2-3-4
2
4
-2
-4
-6
-8
x
y
O
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 2
Face à informação apresentada no gráfico, qual das afirmações seguintes é
correcta?
(A) Em Portugal, a taxa de desemprego
aumentou todos os anos desde 1999;
(B) Em 2008 houve uma pequena
diminuição da taxa de desemprego.
(C) Entre 1999 e 2008, o maior aumento
da taxa de desemprego ocorreu em
2002;
(D) Entre 2005 e 2008 não houve
alteração na taxa de desemprego.
5. Estas três distribuições têm a mesma média.
Ao determinar os desvios padrão obtivemos os
valores 3,8; 1,3 e 2,9.
Considerando os gráficos da esquerda para a
direita, os desvios padrão são:
(A) 3,8; 1,3 e 2,9
(B) 2,9; 1,3 e 3,8
(C) 3,8; 2,9 e 1,3
(D) 1,3; 3,8 e 2,9
Grupo II
1. No referencial ortogonal e monométrico Oxyz da figura está
representado um prisma triangular recto com 8 cm de altura e em que
O é o ponto médio de [FB], FA 4cm= e FC 3cm= .
1.1. Caracterize por uma condição o plano CAF.
Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,
pretende-se sempre o valor exacto.
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 3
1.2. Determine uma condição que defina a superfície esférica de centro em E e raio
2 AC DE−���� ����
.
1.3. Calcule o perímetro da secção que se obtém no prisma através da intersecção com o
plano de equação x 2= .
2. Considere uma pirâmide quadrangular regular de altura 10 cm em que
a aresta da base mede 6 cm. Com vértice em O, considere outras
pirâmides em que as bases são paralelas à base da pirâmide dada,
como é sugerido nas figuras seguintes:
2.1. O ponto P é móvel, deslocando-se de O
para V, e OP x= é a altura da
respectiva pirâmide associada à
posição do ponto P. Sabe-se que o lado
da base dessa pirâmide é dado em função de x por ( ) ( )3l x 10 x
5= − . Designe por V o
volume dessa pirâmide de vértice O. Mostre que V é dado em função de x pela expressão
( )3 23x 12x
V x 12x25 5
= − + e indique o domínio da função V.
2.2. Recorrendo à calculadora, determine para que valores de x o volume é máximo.
Seja D a função que a cada x faz corresponder o volume limitado pelas superfícies das duas
pirâmides.
2.3. Mostre que ( ) ( )D x 120 V x= − .
2.4. Explique como pode obter o gráfico da função D a partir do gráfico da função V.
3. Considere-se a distribuição das alturas, em centímetros, dos alunos de uma turma, tendo em
conta o sexo.Os dados obtidos, em centímetros, foram organizados num diagrama de caule-e-
folhas, tendo-se obtido:
6 cm
10 cm
O
D
A B
C
V
x
G
E
H
F
O
D
A B
C
V
Px
G
E
H
F
O
D
A B
C
V
P
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 4
Repare que o caule se situa no centro, estando indicadas as dezenas de cada número. As folhas
relativas a rapazes estão do lado direito do caule e as que respeitam às raparigas situam-se do
lado esquerdo.
3.1. Indique o número de alunos da turma.
3.2. Qual é a altura máxima registada entre as raparigas?
3.3. Quais são as alturas mínima e máxima dos rapazes?
3.4. Organize a informação num quadro de distribuição de frequências, sem distinção de
sexos, considerando como classes os intervalos sugeridos pelo caule do diagrama dado.
Alturas
(cm)
Frequência
absoluta (ni)
Frequência
relativa (fi)
Frequência absoluta
acumulada (Ni)
Frequência relativa
acumulada (Fi)
[150,160[
[160,170[
[170,180[
[180,190[
3.5. Qual é a percentagem de alunos com, pelo menos, 1,70 m de altura?
4. A distribuição das velocidades dos automóveis controlados por um radar da Brigada de
trânsito numa auto-estrada foi a seguinte:
Velocidade (km/h) 60 70 90 100 120 130 150
Número de automóveis
1 2 6 5 4 2 3
4.1. Determine a média, a moda e a mediana da distribuição.
4.2. Suponha que, numa outra distribuição, a velocidade mais alta, 150 km/h, é substituída por
190 km/h e que o restante se mantém. Calcule a mediana e a média desta nova
distribuição e comente em qual destas medidas de tendência central se reflecte a
alteração.
FIM
COTAÇÕES
Grupo 1 Grupo 2
1 2 3 4 5 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4.1 4.2
10 10 10 10 10 5 15 10 10 10 10 10 10 10 20 16 9 20 15
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 5
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Estatística
6º Teste de avaliação – versão A
Grupo I
1. (D) De acordo com a figura 1
GI AB3
=��� ����
2. (A) No referencial da figura está parte da representação gráfica de
uma função da família definida por ( ) ( ) { }y ax x 3 x 2 , a \ 0= + − ∈ℝ .
Sabendo que o gráfico contém o ponto de coordenadas ( )1, 6− − , o
valor de a que lhe corresponde é calculado assim:
( ) ( ) ( )6 a 1 1 3 1 2 6a 6 a 1− = × − × − + × − − ⇔ = − ⇔ = −
3. (C) Consideremos duas funções, reais de variável real, f e g tais que ( ) ( )g x f x 2 3= − + . Se
( )f 1 2= então pode afirmar que ( ) ( )g 3 f 3 2 3 2 3 5= − + = + =
4. (B) O gráfico ao lado ilustra uma notícia publicada na
revista Visão de 10 de Dezembro de 2009 Intitulada
“São 561 mil os portugueses que estão sem
emprego” e tem como fonte dados fornecidos pelo
Eurostat.
Face à informação apresentada no gráfico, a
afirmação verdadeira é “Em 2008 houve uma
pequena diminuição da taxa de desemprego”.
1 2 3 4-1-2-3-4
2
4
-2
-4
-6
-8
x
y
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 6
5. (B) Estas três distribuições têm a mesma média. Ao determinar os desvios padrão obtivemos
os valores 3,8; 1,3 e 2,9.
Considerando os gráficos da esquerda para a direita, os
desvios padrão são 2,9; 1,3 e 3,8
Grupo II
1. No referencial ortogonal e monométrico Oxyz da figura está
representado um prisma triangular recto com 8 cm de altura e em
que O é o ponto médio de [FB], FA 4cm= e FC 3cm= .
1.1. Uma condição que caracteriza o plano CAF é x 4=
1.2. Determinemos uma condição que defina a superfície esférica
de centro em E e raio 2 AC DE−���� ����
.
• as coordenadas do centro ( )E 4,3,0− .
• o raio 2 2r 2 AC DE AC 4 3 5= − = = + =���� ���� ����
.
• A condição que define a superfície esférica é ( ) ( )2 2 2x 4 y 3 z 25+ + − + =
1.3. A secção que se obtém no prisma através da intersecção com o plano de equação x 2=
é um triângulo igual a [AFC] e o seu perímetro é P 3 4 5 12cm= + + =
2. Considere uma pirâmide quadrangular regular de altura 10 cm em que
a aresta da base mede 6 cm. Com vértice em O, considere outras
pirâmides em que as bases são paralelas à base da pirâmide dada,
como é sugerido nas figuras seguintes:
2.1. O ponto P é móvel, deslocando-se de O
para V, e OP x= é a altura da
respectiva pirâmide associada à
posição do ponto P. Sabe-se que o lado
6 cm
10 cm
O
D
A B
C
V
x
G
E
H
F
O
D
A B
C
V
Px
G
E
H
F
O
D
A B
C
V
P
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da base dessa pirâmide é dado em função de x por ( ) ( )3l x 10 x
5= − . Designe por V o
volume dessa pirâmide de vértice O. Mostre que V é dado em função de x pela expressão
( )3 23x 12x
V x 12x25 5
= − + e indique o domínio da função V.
• Área da base ( ) ( )2
2b
3 9A 10 x 100 20x x
5 25 = − = − +
• Altura h x=
• Volume ( ) ( ) ( ) ( )2 2 31 9 3V x 100 20x x x V x 100x 20x x
3 25 25= × − + × ⇔ = − + ⇔
( ) 2 312 3V x 12x x x
5 25⇔ = − +
• Domínio de V é [ ]D 0,10=
2.2. Recorrendo à calculadora, determinemos para que valores de x o volume é máximo.
O volume é máximo quando x for aproximadamente igual a 3,33 cm.
Seja D a função que a cada x faz corresponder o volume limitado pelas superfícies das duas
pirâmides que será igual ao volume da pirâmide de vértice V menos o volume da pirâmide de
vértice em O
2.3. Mostremos que ( ) ( )D x 120 V x= − . O volume limitado pelas superfícies duas pirâmides é
igual ao volume da pirâmide de vértice V menos o volume de vértice O. Ora o volume da
pirâmide de vértice V é 216 10 120
3× × = pelo que ( ) ( )D x 120 V x= −
2.4. O gráfico de D pode obter-se do de V por uma simetria em relação ao eixo das abcissas
seguida de uma translação associada ao vector de coordenadas ( )0,120 .
3. Considere-se a distribuição das alturas, em centímetros, dos alunos de uma turma, tendo em
conta o sexo.
Os dados obtidos, em centímetros, forma organizados num diagrama de caule-e-folhas, tendo-
se obtido:
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 8
Repare-se que o caule se situa no centro, estando indicadas as dezenas de cada número. As
folhas relativas a rapazes estão do lado direito do caule e as que respeitam às raparigas
situam-se do lado esquerdo.
3.1. A turma tem 24 alunos.
3.2. A altura máxima registada entre as raparigas é 1,73 m.
3.3. A altura mínima dos rapazes é 1,68m e a máxima é 1,81 m.
3.4. Vamos organizar a informação num quadro de distribuição de frequências, sem distinção
de sexos, considerando como classes os intervalos sugeridos pelo caule do diagrama
dado.
Alturas
(cm)
Frequência
absoluta (ni)
Frequência
relativa (fi)
Frequência absoluta
acumulada (Ni)
Frequência relativa
acumulada (Fi)
[150,160[ 1 0,042 1 0,042
[160,170[ 10 0,416 11 0,458
[170,180[ 12 0,5 23 0,958
[180,190[ 1 0,042 24 1
3.5. A percentagem de alunos com, pelo menos, 1,70 m de altura é 54,2%, valor que resulta
de ( )0,5 0,042 100 54,2%+ × = ou ( )1 0,458 100 54,2%− × =
4. A distribuição das velocidades dos automóveis controlados por um radar da Brigada de
trânsito numa auto-estrada foi a seguinte:
Velocidade (km/h) 60 70 90 100 120 130 150
Número de automóveis 1 2 6 5 4 2 3
4.1. Determinemos a média, a moda e a mediana da distribuição começando por construir
uma tabela de frequências acumuladas.
Velocidade (km/h) (xi)
ni Ni i ix n×
60 1 1 60
70 2 3 140
90 6 9 540
100 5 14 500
120 4 18 480
130 2 20 260
150 3 23 450
Totais 23 2430
A média é 2430
x 105,6523
= = .
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 9
A moda é 90.
A mediana é o 12º elemento ou seja 100.
4.2. Suponhamos que, numa outra distribuição, a velocidade mais alta, 150 km/h, é substituída
por 190 km/h e que o restante se mantém. Calculemos a mediana e a média desta nova
distribuição e comentemos em qual destas medidas de tendência central se reflecte a
alteração.
Velocidade (km/h) (xi)
ni Ni i ix n×
60 1 1 60
70 2 3 140
90 6 9 540
100 5 14 500
120 4 18 480
130 2 20 260
190 3 23 570
Totais 23 2550
A média é 2550
x 110,8723
= = . E a mediana continua a ser o 12º elemento ou seja 100.
Concluímos então ser a média a medida que sofre alteração o que era previsível pois
apenas alterámos os últimos valores da variável que não colidem com o cálculo da
mediana afectando sim a média que é uma medida sensível a valores extremos.
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 10
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Estatística
6º Teste de avaliação – Critérios de correcção
Grupo I
1 2 3 4 5
D A C B B
Grupo II
1. ………………………………………………………………………………………………….. 30
1.1. ………………………………………………..………………………………………. 5
1.2. ………………………………………………..………………………………………. 15
•••• Centro …………………………………………………………………… 5
•••• Raio ……………………………………………………………………… 5
•••• Condição ……………………………………………………………….. 5
1.3. ………………………………………………..………………………………………. 10
•••• Identificar a secção ………………………………………………………… 5
•••• Perímetro …………………………………………………………………… 5
2. …………………………………………………………………………………………………… 60
2.1. ………………………………………………………….………………………………. 10
• Calcular V(x) ………………………………………………………. 5
• Indicar o domínio …………………………………………………. 5
2.2. ………………………………………………………..………………………………… 10
• Gráfico ……..……………………………………………………… 5
• Indicar o valor de x ………………………………………………. 5
2.3. ……………………………………………………….………………………………… 10
• Calcular o volume da pirâmide ………………………………… 5
• Interpretar D = 120 –V …………………………………………. 5
2.4. ………………………………………………………………………………………… 10
• Indicar a simetria ..…………………...…………………………… 5
• Indicar a translação ............................................................... 5
3. …………………………………………………………………………………………………… 45
3.1. ………………………………………………………………………………………. 5
3.2. ………………………………………………………………………………………. 5
3.3. ………………………………………………………………………………………. 10
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 11
3.4. ………………………………………………………………………………………. 16
3.5. ………………………………………………………………………………………. 9
4. …………………………………………………………………………………………………… 35
4.1. ……………………………………………………………………………………….. 20
• Tabela …………………………………………………………… 5
• Média ……………………………………………………………. 5
• Moda …………………………………………………………….. 5
• Mediana …………………...…………………………………….. 5
4.2. ……………………………………………………………………………………….. 15
• Cálculo da nova média …………………………………………. 5
• Justificação com identificação das medidas …………………. 10
Total ………………………………………………………………………………………………… 200