Testes de Comparações de Médias

Testes de Comparações de

Médias

Exemplo das variedades de milhoNo experimento com variedades de milho (A, B, C e D) instalado segundo um Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) com 5 repetições, vimos:

.:: 43210

sientrediferemvariedadesduasmenospeloHttttH

a

Hipóteses

Exemplo das variedades de milho

ijiji ety Modelo Estatístico (DIC):

com i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2, 3, 4, 5.

jiy é o valor da produção da variedade i na repetição j; é uma constante inerente a todas as observações;it é o efeito da variedade i;ije é o erro experimental associado à parcela, independente,

identicamente distribuído de uma Normal com média zero e variância constante ;2

Em aula prática vimos que as pressuposições em relação ao modelo foram atendidas e que, para

esse exemplo, não é necessário fazer a transformação dos dados.

Exemplo das variedades de milhoTabela da ANAVAFonte de Variação

Graus de liberdade

Somas de quadrados (SQ)

Quadrados Médios (QM) Fcalc. Ftab.

Variedade 3 163,75 45,58 6,511 > 3,14

Erro 16 112,00 7,00

Total 19 275,75 ---

Como Fcalc > Ftab rejeita-se a hipótese H0, ou seja, pelo menos duas variedades de milho diferem entre si em relação à produção em kg/m².

Pelo menos duas?? Quais diferem??Testes de

comparações múltiplas

Exemplo das variedades de milhoContraste de médias: combinação linear das médias de tratamentos.

II ycycycY ...ˆ2211 em que: 0

1

I

iic

Variância de um contraste de médias

Tratamentos com o mesmo número de repetições:

Tratamentos com diferentes número de repetições:

I

iicr

QMErroYV1

2ˆˆ

I

i i

i

rcQMErroYV

1

2ˆˆ

Teste de TukeyQualquer contraste entre duas médias (todas as combinações)

YVq vtˆˆ

21

,

No exemplo das variedades de milho (r = 5)

rQMErroq vt ,

É a amplitude total estudentizada obtida na tabela de Tukey com t tratamentos e v graus de liberdade do erro (ou resíduo) para um nível alfa de significância.

Teste de TukeyQuais os possíveis contrastes?

Variedades Médias

D 31

B 27

C 26

A 23

Médias ordenadas

32326ˆ42327ˆ12627ˆ82331ˆ52631ˆ42731ˆ

136

125

324

143

342

241

yyY

yyY

yyY

yyY

yyY

yyY

Se o teste é significativo ( ) .


iY ji yy

iY ji yy

Teste de Tukey

32326ˆ42327ˆ12627ˆ*82331ˆ*52631ˆ42731ˆ

136

125

324

143

342

241

yyY

yyY

yyY

yyY

yyY

yyY



iY ji yy

iY ji yy

rQMErroq vt ,

8,4500,705,4%5

Diferença mínima significativa

1,6500,719,5%1

α=5%

α=1%

Teste de Tukey

32326ˆ42327ˆ12627ˆ*82331ˆ*52631ˆ42731ˆ

136

125

324

143

342

241

yyY

yyY

yyY

yyY

yyY

yyY

Variedades Médias*D 31 aB 27 abC 26 bA 23 b

Tabela. Valores médios de produção, kg/m², em função das variedades de milho.

* Médias seguidas de mesma letra minúscula não diferem entre si pelo teste de Tukey para um nível de significância de 5%.

Teste de DuncanContraste entre médias

Tukey: Utiliza o mesmo valor da amplitude estudentizada (q);Duncan: A amplitude estudentizada varia em função do número de médias abrangidas no contraste.

rQMErroZ vt ,'

É a amplitude total estudentizada obtida na tabela de Duncan com t’ tratamentos abrangidos pelo contraste e v graus de liberdade do erro (ou resíduo) para um nível alfa de significância.


Teste de DuncanContraste com 4 médias ordenadas

D=31; B=27; C=26; A=23

500,7

16,44 Z

“O teste inicia comparando a maior com a menor média”

4 médias ordenadas

82331ˆ141 yyY

Teste de Duncan

D=31; B=27; C=26; A=23

8,3500,723,3

500,7

16,44 Z

“O teste inicia comparando a maior com a menos média”

4 médias ordenadas

*82331ˆ141 yyY

Como o teste é significativo ( ) .

1Y

ji yy

Contraste com 4 médias ordenadas


D=31; B=27; C=26; A=23

500,7

16,33 Z

52631ˆ342 yyY

42327ˆ123 yyY


D=31; B=27; C=26; A=23

7,3500,715,3

500,7

16,33 Z

*52631ˆ342 yyY

*42327ˆ123 yyY

Como e o teste é significativo ( ) .2Y 3Y ji yy


D=31; B=27; C=26; A=23

500,7

16,22 Z

4Y 5Y 6Y

32326ˆ12627ˆ42731ˆ

136

325

244

yyY

yyY

yyY


D=31; B=27; C=26; A=23

4Y 5Y 6Y

ns

ns

yyY

yyY

yyY

32326ˆ12627ˆ*42731ˆ

136

325

244

5,3500,70,3

500,7

16,22 Z

Como o teste é significativo ( ) .4Y ji yy

Como e o teste é NÃO significativo ( ) .

5Y 6Yji yy

Teste de DuncanReunindo as informações

5,332326ˆ

5,312627ˆ

5,3*42731ˆ7,3*42327ˆ7,3*52631ˆ8,3*82331ˆ

2136

2325

2244

3123

3342

4141

ns

ns

yyY

yyY

yyY

yyY

yyY

yyY

Variedades Médias*D 31 aB 27 bC 26 bcA 23 c


* Médias seguidas de mesma letra minúscula não diferem entre si pelo teste de Duncan para um nível de significância de 5%.

Teste de DunnettComparação entre as médias de tratamentos e um tratamento controle específico (Tratamento padrão)

rxQMErroD vt2

,

Valor obtido na tabela de Dunnett com t tratamentos (inclusive o controle) e v graus de liberdade do erro (ou resíduo) para um nível alfa de significância.


Teste de DunnettComparação entre as médias de tratamentos e um tratamento controle específico (Tratamento padrão)

3,4500,7259,22

, x

rxQMErroD vt


82331ˆ52631ˆ42731ˆ

143

342

241

yyY

yyY

yyY

Considerando a variedade “D” como um controleVariedades Médias*D (controle) 31 a

B 27 aC 26 bA 23 b

Testes

VariedadesResultados

Tukey Duncan DunnettD 31 a 31 a 31 aB 27 ab 27 b 27 aC 26 b 26 bc 26 bA 23 b 23 c 23 b


Contrastes OrtogonaisRecomendado para comparação de médias de

tratamentos estruturados

Exemplos: Adubação

Tratamento 1: Nitrato de Cálcio – Dose 1;Tratamento 2: Nitrato de Cálcio – Dose 2;Tratamento 3: Sulfato de Amônia;Tratamento 4: Testemunha;

Contrastes OrtogonaisRecomendado para comparação de médias de

tratamentos estruturados

Exemplos: Hormônio

Tratamento 1: Controle;Tratamento 2: 24mg de Dietilestilbestrol;Tratamento 3: 10mg de Estradiol;Tratamento 4: 20mg de Estradiol;

Contrastes OrtogonaisExemplos: Preparo de amostras diagnose foliar em cana

A = folhas limpas com escova;B = folhas lavadas em água corrente;C = folhas lavadas em solução diluída de detergente;D = folhas lavadas com água corrente e enxaguadas com

água destilada, depois com HCl 0,1 N e finalmente com água desmineralizada;

E = folhas lavadas com água corrente e enxaguadas com água destilada, depois com HCl 0,2 N e finalmente com água desmineralizada;

Contrastes Ortogonais

Possíveis Contrastes Testemunha (T5) versus os Demais (T1, T2, T3, T4);

Nitrato de Cálcio (T1 e T2) versus Demais fontes (T3 e T4);Dose 1 de NC (T1) versus Dose 2 de NC (T2);

Sulfato de Amônia (T3) versus Uréia (T4).

Fontes de NRepetições

Totais Médias1 2 3

T1:Nitrato de Cálcio (D1) 70,3 64,3 79,0 213,6 71,2T2:Nitrato de Cálcio (D2) 81,0 75,1 71,3 227,4 75,8T3:Sulfato de Amônia 75,5 63,0 65,4 203,9 68,0T4:Uréia 85,2 80,5 83,6 249,3 83,1T5:Testemunha 35,7 39,6 45,5 120,8 40,3

Produções (kg/100m²) de repolho em função de diferentes fontes de Nitrogênio

Contrastes Ortogonais?Dois contrastes

IIa ycycycY ...ˆ2211 0

1

I

iic

IIb ydydydY ...ˆ2211 0

1

I

iid

são ortogonais se

01

i

I

iidc (mesmo número de repetições)

01

i

I

iii dcr (número de repetições diferentes)

Em um grupo de I tratamentos é possível construir I-1 (graus de liberdade de tratamento) contrastes ortogonais.

Contrastes Ortogonais?Contraste 1: Testemunha (T5) versus os Demais (T1, T2, T3, T4);

54321

1 4ˆ yyyyyY

Contraste 2: Nitrato de Cálcio (T1 e T2) versus Demais fontes (T3 e T4);

2)(

2ˆ 43212

yyyyY

4: 4321

50

H4

: 43215

aH

22: 4321

0

H

22: 4321

aH

Contrastes Ortogonais?

213 yyY

210 : H

Contraste 3: Dose 1 de NC (T1) versus Dose 2 de NC (T2);

21: aH

Contraste 4: Sulfato de Amônia (T3) versus Uréia (T4);

434 yyY

430 : H 43: aH

Contrastes Ortogonais?Contraste 1 Contraste 2

0)x01-(21-x

41

21-x

41

21x

41

21x

41

1

i

I

iidc

Contraste 1

213 yyY

54321

1 4ˆ yyyyyY

54321

1 4ˆ yyyyyY

2)(

2ˆ 43212

yyyyY

Contraste 3

0)x01-(0x410x

411-x

411x

41

1

i

I

iidc


0)x01-(0x410x

411-x

411x

41

1

i

I

iidc

Contraste 2

213 yyY

54321

1 4ˆ yyyyyY

Contraste 3

0)x00(0x210x

211-x

211x

21

1

i

I

iidc

434 yyY

2)(

2ˆ 43212

yyyyY


0)x00(1-x211x

21x0

210x

21

1

i

I

iidc

Contraste 3

213 yyY

Contraste 4

0)x00(1x01x01x00x11

i

I

iidc

434 yyY 2

)(2

ˆ 43212

yyyyY

434 yyY


Fontes de Variação (FV)

Graus de liberdade

(gl)

Somas de Quadrados

(SQ)

Quadrados Médios(QM)

Fcalc. Ftab. (5%)

Tratamentos 4 3.203,02 800,76 26,24* 3,48Erro 10 305,15 30,52Total 14 3.508,17 ---

Tabela de Análise de Variância

Como são contrastes mutuamente ortogonais, pode-se usar o F da análise de variância para testá-los. Esta técnica é comumente designada como decomposição da Soma de Quadrados de Tratamentos.



Graus de liberdade

(gl)

Somas de Quadrados

(SQ)


Fcalc. Ftab. (5%)

Tratamentos (4) (3.203,02) 800,76 26,24* 3,48Contraste 1 1 SQC1 QMC1 Fcalc.C1

Ft(1,10)Contraste 2 1 SQC2 QMC2 Fcalc.C2Contraste 3 1 SQC3 QMC3 Fcalc.C3Contraste 4 1 SQC4 QMC4 Fcalc.C4

Erro 10 305,15 30,52Total 14 3.508,17 ---



Soma de quadrado do Contraste 1

3500,815.2151015

38,120

123,2499,2034,2276,2131

222

SQC


Totais Médias1 2 3



54321

1 4ˆ yyyyyY



4033,12122,894

63,2499,203

64,2276,2132

222

SQC


Totais Médias1 2 3



2)(

2ˆ 43212

yyyyY



7400,3160,441

34,227

36,2133

222

SQC


Totais Médias1 2 3



213 yyY



5267,34362,453

33,249

39,2034

222

SQC


Totais Médias1 2 3



434 yyY



Graus de liberdade

(gl)

Somas de Quadrados

(SQ)


Fcalc. Ftab. (5%)

Tratamentos (4) (3.203,02) 800,76 26,24* 3,48Contraste 1 1 2.815,35 2.815,35 92,25*

4,96Contraste 2 1 12,40 12,40 0,40Contraste 3 1 31,74 31,74 1,04Contraste 4 1 343,53 343,53 11,26*

Erro 10 305,15 30,52Total 14 3.508,17 ---


Contrastes OrtogonaisContraste 1:

225,343,404

1,830,688,752,714

ˆ5

43211

yyyyyY

As parcelas que receberam algum tipo de fonte de Nitrogênio (T1, T2, T3 e T4) produziram em média 34,23 kg/100m² de repolho a mais (estimativa do contraste positiva) do que as parcelas que não receberam nenhuma fonte de Nitrogênio (T5).


As parcelas que receberam Nitrato de Cálcio como fonte de Nitrogênio (T1 e T2) produziram em média a mesma quantidade (o contraste foi não significativo) de repolho que as parcelas que receberam alguma outra fonte de Nitrogênio (T3 e T4).

05,22

)1,830,68(2

8,752,712

)(2

ˆ 43212

yyyyY


As parcelas que receberam a Dose 1 de Nitrato de Cálcio (T1) produziram em média a mesma quantidade (o contraste foi não significativo) de repolho que as parcelas que receberam a Dose 2 de Nitrato de Cálcio (T2).

6,48,752,71ˆ213 yyY


1,151,830,68ˆ434 yyY

As parcelas que receberam Sulfato de Amônia como fonte de Nitrogênio (T3) produziram em média 15,1 kg/100m² de repolho a menos (estimativa do contraste negativa) do que as parcelas que receberam Uréia como fonte de Nitrogênio (T4).


No exemplo das variedades de milho (aula prática)

4 tratamentos (A, B, C e D) –> 3 contrastes ortogonais entre si

Contraste 1: A+B versus C+DContraste 2: A versus BContraste 3: C versus D

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