ME623APlanejamento e Pesquisa

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Comparações MúltiplasNa Análise de Variância, realizamos o teste F

para verificar a igualdade de todas as médias dos tratamentos

Suponha que H0 é rejeitada, ou seja, existe diferença entre as médias. Mas a partir desse teste não sabemos dizer exatamente quais médias diferem

Para isso, utilizamos os chamados Métodos de Comparações Múltiplas

Estes fazem comparações entre pares médias de tratamentos ou combinações lineares das médias

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Comparações de Pares de MédiasSuponha que queremos testar todas as

possíveis combinações de pares de médias:

E por que não devemos usar testes t individuais de nível para fazer tais comparações?

Existem procedimentos para fazer tais comparações controlando o nível de significância geral, que discutiremos nessa aula

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Teste de TukeyTukey (1953) propôs um

procedimento para comparar todos os a(a – 1)/2 possíveis pares de médias

Nível de significância geral: exatamente α (balanceado) no máximo α (não

balanceado)Quando pode ser aplicado, esse procedimento

produz intervalos de confiança mais estreitos que qualquer outro teste de comparação das médias

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Teste de TukeyBaseado na distribuição da amplitude

studentizada

onde e são a maior e menor média dos tratamentos, respectivamente

Regra de decisão: duas médias μi e μj são significati-vamente diferentes se

sendo

Tabela VIII do Apêndice do livro contém os valores de

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Teste de Tukey (Exemplo da fibra sintética)

Temos a = 5 tratamentos. Para α=0.05, temos

Então, a diferença é significativa se excede 5.37

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Teste de Tukey (Exemplo da fibra sintética)

No R> tTukey <- TukeyHSD(aov(Obs ~ factor(Algodao),

data=dados))

diff lwr upr p adj20-15 5.6 0.2270417 10.9729583 0.038502425-15 7.8 2.4270417 13.1729583 0.002594830-15 11.8 6.4270417 17.1729583 0.000019035-15 1.0 -4.3729583 6.3729583 0.979770925-20 2.2 -3.1729583 7.5729583 0.737243830-20 6.2 0.8270417 11.5729583 0.018893635-30 -10.8 -16.1729583 -5.4270417 0.0000624

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Teste de Tukey (Exemplo da fibra sintética)No R> plot(tTukey, sub="Tukey’s Test", las=1)

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Least Significance Difference (LSD) de Fisher

Se o teste F da ANOVA é significante a um nível α, cada par de média é então testado por um teste t de nível α

Desvantagem: controla apenas o nível α de cada teste, mas não controla o nível de significância geral

Regra de decisão: duas médias μi e μj são significativa-mente diferentes se

sendo

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Teste LSD (Exemplo da fibra sintética)Com a = 5 tratamentos e α=0.05, temos

Então, a diferença é significativa se excede 3.75

Representação gráfica dos resultados

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Teste de DunnettComparando Médias a um ControleSuponha que o tratamento a é o controle e

então iremos testar

Para cada hipótese, calculamos a diferença:

Rejeitamos H0 se

em que é dado pela Tabela IX

α é o nível de significância conjunto dos a – 1 testes

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Teste de Dunnett (Exemplo Ansiedade)Nesse exemplo temos a=3 tratamentos, sendo um placebo (0mg) e duas dosagens (50mg e 100mg)

Lembrem-se que:

Calculamos

e

Ambas dosagens diferem significativamente do placebo

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ContrastesMuitos métodos de comparações

múltiplas usam a idéia de contrastesNo exemplo da fibra sintética, a

engenheira suspeita que a resistência aumenta com a % de algodão. Então podemos, por exemplo, comparar os níveis extremos:

ou de forma equivalente,

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ContrastesContraste é uma combinação linear de

parâmetros:

onde a soma das constantes é 0, ou seja,

As hipóteses a serem testadas são expressas em termos dos contrastes:

ou

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ContrastesNo exemplo da fibra sintética para testar se

as constantes do contraste são

Testar hipóteses envolvendo contrastes pode ser feito de duas maneiras:1. Teste t2. Teste F

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ContrastesSuponha que o contraste de interesse

seja

Substituindo a média populacional dos tratamentos pelas médias amostrais, temos

A média e variância de C são:

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Testando Contrastes – Test t

Hipóteses:

Se H0 é verdadeira e usando MSE para estimar σ2

Calcula-se o p-valor = Rejeita-se H0 se p-valor < α ou, de forma

equivalente, se

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Intervalo de Confiança para o Contraste

Assim como construímos IC para a diferença entre duas médias, temos também IC para o contraste

Um IC de nível 100(1 – α)% para o contraste Γ é

Relação com o teste de hipótese: Se o IC contém zero, então não temos evidência para rejeitar H0

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Testando Contrastes – Test F

Hipóteses:

Tomando-se o quadrado da estatística t0 anterior, temos a estatística F0

Calcula-se o p-valor = Rejeita-se H0 se p-valor < α ou, de forma

equivalente, se

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Testando Contrastes – Test F

Defina a Soma de Quadrados do Contraste (SSC):

com um grau de liberdadeEntão, podemos reescrever a estatística F0

como

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Contrastes no Caso Não BalanceadoQuando o número de replicações é

diferente para cada tratamento, pequenas modificações são feitas nos resultados anteriores

A definição de contraste para esse caso requer que

Por exemplo, a estatística t0 e a SSC tornam-se:

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Contrastes OrtogonaisDois contrastes com coeficientes {ci} e

{di} são ortogonais se

Quando temos a tratamentos, sempre existe um conjunto de a – 1 contrastes ortogonais que particiona SSA em componentes com 1 gl

Então, testes em contrastes ortogonais são independentes

Existem várias formas para escolher os coeficientes destes contrastes. A natureza do experimento sugere quais comparações devem ser de interesse

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Testando Contrastes (Exemplo Ansiedade)Voltando ao exemplo da ansiedade

Veja que os contrastes com ci = −2, 1, 1 e di = 0, −1, 1 são ortogonais

Contraste 1 com coeficientes ci = −2, 1, 1

Contraste 2 com coeficientes di = 0, −1, 1

TratamentoDosagem (mg)

Coeficientes para Contrastes Ortogonais

0 (placebo) −2 050 (nível 1) 1 −1100 (nível 2) 1 1

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Testando Contrastes (Exemplo Ansiedade)

Vamos calcular as SSC

Faça o teste F para cada contraste Escreva os resultados na tabela

ANOVA

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Testando Contrastes (Exemplo Ansiedade)Calculando o valor dos contrastes e suas

SS:

Na Tabela ANOVAContrastesC1 e C2 são significativos