ENY CANALLI

TÍTULO: O ENSINO DE GEOMETRIA NÃO - EUCLIDIANA

LOCAL: PARANAVAÍ

ANO: 2008

Resumo

Este material didático apresenta os conceitos básicos da geometria não-euclidiana, destacando a

geometria fractal. Com o intuito de estimular alunos e professores a observar formas e imagens

que possuem as características dos fractais, propomos a realização de atividades que envolvem

construções geométricas e a identificação das medidas de perímetro, área e volume associadas a

elas. A proposta está pautada nas Diretrizes Curriculares de Matemática para as séries finais do

Ensino Fundamental e para o Ensino Médio do Governo do Paraná. Tem como objetivo oferecer

recursos para subsidiar o trabalho de professores e alunos do ensino médio, no estudo das noções

de Geometrias não-euclidianas e dos Fractais, oferecendo informações e sugestões de atividades

para o trabalho em sala de aula. Os conceitos destes conteúdos específicos são fundamentais para

que o aluno do Ensino Médio amplie seu conhecimento e pensamento geométrico.

Geometria Fractal: muito além do que se pode ver!

“Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos e

nem o raio viaja em linha reta.” Benoit Mandelbrot (The Fractal Geometry of Nature – 1983)

Fonte: matematicanacidadela.blogspot.com/2007/06/fra...

Fonte: www.ceticismoaberto.com/ciencia/kinouchi_frac...

Quando tentamos estudar e compreender as formas da natureza em toda a sua dimensão, nos

damos conta que os conceitos da Geometria Euclidiana não são suficientes e somos levados a

concordar com o pensamento de Madelbrot.

Para explorar essas formas é necessário olhar mais adiante, considerar as situações em que um

ou mais dos Postulados de Euclides não se verificam e buscar um novo campo conceitual, as

chamadas Geometrias Não-Euclidianas.

Mas o que são as Geometrias Não-Euclidianas?

São Geometrias em que um ou mais dos cinco Postulados de Euclides não se verificam.

Vamos relembrar esses postulados:

1) Por dois pontos distintos determinam uma única reta.

2) A partir de qualquer ponto de uma reta dada é possível marcar um segmento de comprimento

arbitrário.

3) É possível obter uma circunferência com qualquer centro e qualquer raio.

4) Todos os ângulos retos são iguais.

5) Dados um ponto P e uma reta r, existe uma única reta que passa pelo ponto P e é paralela a r.

Representação geométrica do 5º. Postulado.

As Geometrias Não-Euclidianas mais estudadas são:

• Topologia

• Geometria Projetiva

• Geometria Elíptica

• Geometria Hiperbólica

• Geometria Fractal

Voltaremos nossa atenção para esta última, a Geometria Fractal.

Mas, o que são Fractais?

De acordo com o Dicionário Aurélio – Século XXI, a palavra Fractal tem origem no latim fract,

(como em fractus que significa “quebrado” e fractio onis, “ação de quebrar, partir”; “fração”,

ambos de frangere, “fazer em pedaços”).

Em Matemática pode-se dizer que o fractal é uma forma geométrica cujas partes se assemelham

ao seu todo, ou seja, caracterizam por repetir um determinado padrão, com ligeiras e constantes

variações. De certo modo, as infinitas partes de um fractal são cópias reduzidas do todo.

Observe estas imagens. Cada uma delas possui as principais características de um fractal.

Fonte: gfhfhfg.blogspot.com/2005_02_01_archive.html

Fonte: lecypereira.tblog.com/post/1969926289

Fonte: gfhfhfg.blogspot.com/2005_02_01_archive.html

E que características são essas?

Podemos afirmar que as características que definem um fractal são duas:

• Complexidade Infinita: é uma propriedade dos fractais que indica que não é possível

representá-los em sua totalidade, pois sempre haverá um nível inferior, com saliências e

reentrâncias e saliências cada vez menores.

• Auto-similaridade: como afirmamos anteriormente, o fractal é uma forma geométrica

cujas partes se assemelham ao seu todo, ou seja, caracterizam por repetir um determinado

padrão, com ligeiras e constantes variações. Assim, um pequeno pedaço é similar ao todo

e observado em diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar, como nas

figuras a seguir:

conversamos.wordpress.com/.../http://images.googl

http://www.amagiadosgifs02.hpg.ig.com.br/Fractais-029.gif

luscientia.pbwiki.com/FRACTAIS

Observando a natureza

Observe as imagens de elementos encontrados na natureza:

www.ceticismoaberto.com/ciencia/kinouchi_frac...

Figura fractal - a copa de uma árvore, um jacarandá

eu-calipto.blogs.sapo.pt/13690.html

http://www.krazydad.com/bestiary/bestiary_fern.html

janela-indiscreta.blogspot.com/2003_11_02_jan...

É mais comum do que se imagina, mas os fractais podem ser identificados na natureza em

diversas formas, como nos brócolis, em árvores, mariscos, e em qualquer estrutura cujas

ramificações são semelhantes a uma mesma forma básica. Esta é a característica da auto-

similaridade. Em conseqüência dela, quando vistas através de uma lente de aumento, as

diferenças partes de um fractal se mostram similares à forma como um todo.

Natureza, Ciência e Matemática

Vivemos num mundo em que a ciência revela novos mistérios a cada dia, e para cada descoberta

descortinam-se novos e inesperados horizontes, gerando mais e mais interrogações.

Ao estudar essas formas na natureza, percebeu-se que os fractais apresentam estruturas

geométricas de grande complexidade e beleza infinita, de tal forma que os cientistas passaram a

acreditar que compreender como essas estruturas se organizam, poderia ajudar a compreender o

desenvolvimento da vida e a organização do universo.

Diferentes definições de Fractais surgiram com o aprimoramento de sua teoria. A noção que

serve de fio condutor foi introduzida por Benoît Mandelbrot que na década de 70 introduziu a

palavra Fractal, que surgiu do adjetivo latino fractus, que significa irregular ou quebrado.

Foi Mandelbrot “fractal” a partir da palavra latina “fractus” que significa quebrado, irregular,

apesar de alguns destes objetos geométricos já serem conhecidos desde o final do século XIX.

Olhando mais de perto e detalhadamente, pode-se observar que é possível encontrar a equação

matemática que dá origem a um universo fractal. Assim, os fractais deram origem a um novo

campo de estudos na Matemática, também chamado de geometria da natureza.

Depois de estudado profundamente, percebeu-se que esse novo tipo de geometria aplica-se a

diversos ramos de outras ciências, como economia, geografia e meteorologia, e até mesmo nas

artes. As formas estranhas e caóticas dos fractais descrevem fenômenos naturais como os sismos,

o desenvolvimento das árvores, a forma de algumas raízes, a linha da costa marítima, as

nuvens...

matematicanacidadela.blogspot.com/2007/06/fra...

www.portugal-a-programar.org/forum/index.php?...

vitinhogeo.blogspot.com/2008_07_01_archive.html

arrumario.blogspot.com/2005_11_01_archive.html

A beleza das imagens, a complexidade da matemática, o caos ...

Estas imagens possuem o caráter de onipresença por terem as características do todo

infinitamente multiplicadas dentro de cada parte. Ou seja, cada partícula possui dentro de si a

totalidade, o Universo.

Por que estudar Fractais?

Nas figuras observadas anteriormente, olhando à primeira vista a idéia que se tem é de uma

aparente desordem (caos). Mas ao observar mais de perto, pode-se perceber que esse mesmo

caos também apresenta certa ordem. Encontrar o padrão que determina essa ordem no caos é o

desafio da Matemática.

Atividade 1: Estabelecendo pontos ao acaso

Esta atividade consiste marcar pontos sobre um triângulo qualquer, a partir de um ponto dado. A

localização de cada novo ponto se dará por sorteio. Será que existe alguma ordem nessa

construção?

Material necessário: borracha, folha de papel tamanho ofício, lápis, régua, dado

Construção:

• Na folha de papel construa um triângulo qualquer ocupando grande parte da folha.

Marque os vértices do triângulo como A, B e C.

• No interior do triângulo A, B e C coloque um ponto que chamamos de Pi..

• Para definir qual o vértice do triângulo será escolhido para iniciar a construção, use o

dado para um processo de sorteio e associe os números 1 e 6 para o vértice A, os números

2 e 5 ao vértice B, os números 3 e 4 ao vértice C.

• Partindo do ponto Pi faça i = 0, e terá seu ponto P0

• Jogando o dado verifique pelo número qual é o vértice associado.

• Com a régua meça a distância do ponto P0 até o vértice sorteado e marque Pi + 1 o ponto

médio do segmento Pi e o vértice associado. (Não trace o segmento, só coloque o ponto).

Este será o ponto P1.

• Apague o ponto P0 o ponto escolhido.

• Faça novo sorteio e repita o procedimento para o ponto P1 , mas agora sem apagá-lo, e

determine P2.

• Para perceber o que acontece é preciso repetir o processo muitas vezes.

• Observe as figuras do exemplo:

Na Fig: 1.1

• Marcamos o ponto inicial P0 .

Na Fig: I . 2

• Foi jogado o dado e supomos que caiu no vértice C, achamos o ponto médio de P0 a C

que é o ponto médio P1 . Apagar o ponto P0 ( o ponto escolhido).

• Jogando o dado novamente e supomos que caiu no vértice A, achamos o ponto médio de

P1 a A que é o ponto P2.

• Jogamos o dado novamente e supomos que caiu no vértice A novamente, achamos o

ponto médio de P2 a A que é o ponto P3.

• Jogando o dado novamente e supomos que caiu no vértice B, achamos o ponto médio de

P3 a B que é o ponto P4 e assim sucessivamente.

Observação importante:

O aluno notará que o algoritmo proposto até aqui é infinito, pois teremos sucessivamente um

ponto marcado e não terá fim. Ele observará que os pontos, nas três experiências, estão

espalhados aleatoriamente no interior do triângulo, mediante uma desordem, uma vez que os

vértices são sorteados.

Entretanto, a geração desordenada e irregular oculta uma regularidade. Repetindo-se o processo

muitas vezes, nota-se que unindo-se os pontos médios dos segmentos AB; BC e CA forma-se um

triângulo e que seu interior não contém nenhum dos pontos marcados anteriormente.

(Quanto mais pontos médios encontrar, mais evidente ficará que eles estão localizados nas três

regiões triangulares extremas e que não existem pontos no triângulo central. Fig I .3)

Se dividirmos novamente os triângulos de canto em quatro triângulos, pelos pontos médios, não

teremos pontos nos triângulos centrais (Fig I .4) e assim sucessivamente, por mais pontos que

sejam marcados pelo algoritmo e por mais subdivisões que sejam realizadas (Fig I .5).

Esse triângulo é conhecido como Triângulo de Sierpinski. Essa forma geométrica possui as

caracterísitcas de um fractal (complexidade infinita e auto-similaridade) e foi descrita por

Waclaw Sierpinski (1882 - 1969), matemático polonês.

Como se vê, uma aparente desordem pode esconder regularidades importantes. Conhecer e

escrever essas regularidades em linguagem matemática permite aos pesquisadores maior controle

sobre os fenômenos que estudam e, conseqüentemente, a possibilidade de novas descobertas em

diversos campos das ciências.

.

Atividade 2: Construindo Fractal Triminó

Um triminó é a construção feita pela conexão de 3 quadrados, como por exemplo .

Utilizando essas formas, é possível construir alguns fractais, como na situação que propomos a

seguir.

Material:

Folha de caderno quadriculado

Tesoura

Papel colorido

Cola

Execução

• Fractal em nível 1, recortar o triminó não-reto, constituído pela conexão de 3 quadrados

(Fig. 1).

Fig 1

• Para ir ao nível 2, monte um triminó com três peças de três quadrados (Fig. 2).

Fig. 2

• Para ir ao nível 3, monte um triminó com nove peças de três quadrados cada uma.

Fig 3

• Para ir no nível 4, monte um triminó com 27 peças de 3 quadrados cada uma.

Fig. 4

• Nível 1: 3 quadrados

• Nível 2: 3 x 3 = 9 quadrados

• Nível 3: 3 x 3 x 3 = 27 quadrados

• Nível 4: 3 x 3 x 3 x 3 = 81 quadrados

• Em geral para o nível n, precisamos 3n quadrados

Atividade 3: Explorando a medidas do fractal triminó

1) Calcule o perímetro do nível 1, nível 2, nível 3 e nível 4, usando lado = 1 u

R: Fractal em nível 1 R: Fractal em nível 2

u2 u4

u4 u8

u2

4434421

u4

44 344 21

Perímetro = 8 u Perímetro = 16 u

R: Fractal em nível 3

8 16

Perímetro = 32 u

u8

4444 34444 21

R: Fractal em nível 4

16 32

Perímetro = 64

16

444444 3444444 21

2) Encontre a fórmula referente ao perímetro do fractal triminó.

R: Perímetro = largura + comprimento + transversal

Perímetro = 2 x nível + 2 x nível + 4 x nível

Perímetro = 8 x nível

Usando perímetro = P e nível = n ⇔ P = 8n

3) Calcule a área do nível 1, nível 2, nível 3 e nível 4, usando lado = 1 u

R: Fractal em nível 1 R: Fractal em nível 2 R: Fractal em nível 3

Área = 3 u2 Área = 9 u2 Área = 27

R: Fractal em nível 4

Área = 81 u2

4) Encontre a fórmula referente à área do fractal triminó.

Área = 3nível x lado2

Usando Área = A, lado = l e nível = n tem-se que

A = 2.3 ln

5) Com estas fórmulas é possível estabelecer as dimensões para os próximos níveis. Encontre as

medidas de perímetro e área para as figuras dos níveis 5 e 6.

Fractais e Arte: confeccionando cartões

Os cartões fractais apresentam uma proposta de atividades que exploram a geometria dos fractais

através da construção. A geometria dos fractais, difundida pelo matemático polonês Benoit

Mandelbrot, tem atraído interesse científico e educacional devido à sua potencialidade,

versatilidade e fascínio oferecido por sua beleza e pelo grande poder de análise dos objetos da

natureza. As atividades deste trabalho são sugeridas aos estudantes para explorarem propriedades

e conceitos da geometria euclidiana no processo de construção. Permite a exploração da beleza

estética do raciocínio e de padrões numéricos e geométricos, tornando a aula de matemática um

espaço propício para o aprendizado.

Que tal confeccionar um cartão como o da figura a seguir?

Para isso será necessário reunir o seguinte material:

Folha de tamanho A4.

Régua

Lápis

Tesoura

Os cartões resultam de uma seqüência de cortes (linhas cheias) e dobraduras (linhas pontilhadas).

Tomando-se como ponto de partida a planificação do cartão Degraus Centrais (Figura 1), as

etapas a seguir mostram sua construção.

Figura 1: Planificação do cartão Degraus Centrais [URIBE, 2004, p.19].

Pegue uma folha de tamanho A4.

Dobre a folha ao meio, ao longo de sua altura, como mostra a figura 2.

Figura 2: Dobradura inicial (Passo 2).

x

Com a folha dobrada ao meio, faça dois cortes verticais simétricos a uma distância 4

x das

extremidades da folha, de altura 2

a, como mostra a figura 9. Note que

242

xxa =×= .

Figura 3: Passo 3.

Dobre o retângulo formado para cima, fazendo um vinco na dobra.

Figura 4: Passo 4.

Volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe o centro da figura em relevo. Podemos

dizer que esta é a primeira geração do cartão fractal.

Figura 5: Primeira geração do cartão fractal.

a

a/2

x/4

Dobre a folha novamente, conforme a figura 4, pois as gerações seguintes serão obtidas seguindo

os mesmos passos de 3 a 5, porém em uma escala menor, apenas na região dobrada. A segunda

geração do cartão fractal é obtida com o corte mostrado na figura 6.

Figura 6: Passo 6.

Dobre o retângulo para cima, fazendo um vinco na dobra.

Figura 7: Passo 7.

Volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe a figura em relevo. Neste momento,

temos a primeira e a segunda geração do cartão fractal.

Figura 8: Primeira e segunda geração do cartão fractal.

Para obter mais gerações, repita esse processo enquanto for possível realizar os cortes e as

dobraduras no papel, sempre usando a regra de corte estabelecida no passo 3. Por fim, desdobre

a

a/4

a/2

todos os recortes e puxe as figuras em relevo. A figura 9 mostra um cartão de quatro gerações

obtido pelo processo descrito.

Figura 9: Cartão fractal Degraus Centrais.

Podemos observar que o cartão da figura 9 possui estruturas auto-similares. Com o cartão pronto,

observamos que as formas geométricas resultantes dos cortes e dobraduras são paralelepípedos.

Percebemos durante a construção que, a cada novo corte e dobradura, obtemos novos

paralelepípedos. Se chamarmos de iteração zero, a primeira geração do cartão, quantos

paralelepípedos novos surgem a cada iteração? Podemos explorar a construção do cartão

construindo a tabela 1.

Tabela 1: Iteração X Número de paralelepípedos novos.

Iteração Número de

paralelepípedos

novos

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

... ...

n n2

Note que a cada iteração, o número de novos paralelepípedos dobra, porém, em escala menor

(paralelepípedos menores). Com isso, podemos concluir que o processo de construção dos

paralelepípedos em cada iteração é descrito pela lei de potência n2 , onde n = 0, 1, 2, 3, ... é o

número da iterações. Identificamos que a cada nova iteração temos um paralelepípedo cercado

por 2 novos paralelepípedos. Este valor será denominado fator multiplicador.

Podemos incrementar nossa tabela explorando o volume de cada paralelepípedo gerado em

diferentes iterações (Figura 10). Na primeira geração, o volume do paralelepípedo construído

será 422

3aaa

a =×× .

Figura 11: Paralelepípedo obtido na primeira iteração.

A tabela 2 mostra o cálculo dos volumes dos paralelepípedos obtidos nas diferentes iterações,

assim como o volume total. Nesse caso, a lei de potência dos volumes produz equações de maior

complexidade. Esta atividade de generalização da lei dos volumes pode ser encarada como um

grande desafio para os estudantes.

Tabela 2: Volume dos novos paralelepípedos em cada iteração e volume total para o cartão Degraus

Centrais.

Iteraçã

o

Volume do novo paralelepípedo Volume total

(Soma dos volumes de todos os

paralelepípedos)

0

20

332

2242 ×

==×

aaa

a

4

3a

1

23

3

5

332

2223224 ×

===×

aaaaa

16

5

16

4

322

4

33333aaaaa

=+

=×+

2

26

3

8

332

22225648 ×

===×

aaaaa

64

21

64

20

2564

16

5 33333aaaaa

=+

=×+

... ... ...

n

23

3

2 +n

a

−

+13

4

11

3

na

Com base nos dados da tabela é possível chegar à fórmula geral que informa o volume total dos

paralelepípedos do cartão em uma iteração qualquer. Na tabela acima observamos que o volume

total do sólido em uma iteração qualquer é a soma dos termos de uma progressão geométrica.

À medida que o número de iterações aumentando, surgem novos paralelepípedos, logo o volume

total aumenta. Entretanto, a variação de volume de uma iteração para outra é cada vez menor,

pois o volume de cada novo paralelepípedo diminui. Essa idéia poderia ser utilizada para

introduzir a noção de limite.

Note também que o cartão possui auto-similaridade, ou seja, ele mantém a mesma forma e

estrutura sob uma transformação de escala e complexidade infinita. Se fosse possível continuar

infinitamente o processo de corte e dobradura no papel, nunca obteríamos o “cartão final”, uma

vez que a lei que define o processo de construção poderá continuar a ser aplicada infinitamente.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal. Autêntica Editora, Belo Horizonte, 2005 COSTA, Othon de Amorim. A Perspectiva no Olhar. Ciência e Arte do Renascimento: Encontro Paulista de Educação Matemática. São Paulo, 2004. KALEFF, Ana Maria Martensen Roland. A História, as Geometrias não-euclidianas e os Livros Didáticos do Ensino Médio: Uma Análise da Apresentação de Retas Paralelas.Universidade Federal Fluminense. Rio de Janeiro, 2007. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes curriculares da Educação Básica no Paraná: Matemática. Curitiba: SEED, 2006. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Orientações Curriculares: Matemática. Curitiba: SEED, 2006 PMME-UNISON. Perspectives em l´Ensenyament de La Geometria pel segle XXI; Documento de discusión para um estúdio ICMI. Febrero, 2001. ALMOULOUD, Saddo Ag & Mello, Elizabeth Gervazoni Silva de. Iniciação à Demonstração Apreendendo Conceitos Geométricos. Rev. Brás. Educ. Dez., 2004