TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A · PDF file1. 1 –...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA

TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA:

Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais,

por

Lucas Máximo Alves

CURITIBA – PARANÁ

MARÇO – 2007

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LUCAS MÁXIMOALVES




MARÇO – 2007

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LUCAS MÁXIMOALVES



Apostila organizada como resultado do estudo das aulas para obtenção de créditos da Disciplina de TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná Orientador: Prof. Dr. Maurício Gobbi Orientador: Prof. Dr.


MARÇO – 2007

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Dedicatória

Dedico,

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Agradecimentos

Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades

que a vida me trouxe. Quero também agradecer:

À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr.

....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com

que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC.

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Epígrafe

“Não é possível provar uma verdade a partir de uma mentira, mas é possível provar uma mentira a partir de uma verdade” (citado por Mauricio Gobbi em Março de 2007)

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Sumário

Lista de Figuras ........................................................................................................................16 Lista de Tabelas ........................................................................................................................18 Lista de Siglas...........................................................................................................................19 Lista de Símbolos .....................................................................................................................20 Resumo ...................................................................................................................................21 Abstract ...................................................................................................................................22 Capítulo – I ...............................................................................................................................23 INTRODUÇÃO.......................................................................................................................23

1. 1 – Apresentação do curso....................................................................................................23 1. 2 – Introdução a Álgebra e a Teoria de Grupos Algébricos .................................................24 Capítulo – II..............................................................................................................................26 SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES...................................................26

2. 1 – Introdução.......................................................................................................................26 2. 2 – Definição de um Sistema de Equações...........................................................................27 2. 3 – Exemplos e Aplicações...................................................................................................28 2. 4 – Exercícios e Problemas...................................................................................................29 Capítulo – III ............................................................................................................................30 MATRIZES .............................................................................................................................30

3. 1 – Introdução.......................................................................................................................30 3. 2 – Definição de uma Matriz ................................................................................................31 3.2.1 - Matriz Linha..................................................................................................................32 3.2.2 - Matriz Coluna................................................................................................................32 3.2.3 - Diagonal Principal.........................................................................................................33 3.2.4 - Diagonal Secundária .....................................................................................................33 3. 3 – Espaço Algébrico das Matrizes ......................................................................................34 3.3.1– Igualdade de Matrizes....................................................................................................34 3. 4 – Operações Simétricas com Matrizes...............................................................................35 3. 5 – Propriedades das Operações Simétricas com Matrizes ..................................................36 3. 6 – Definição de Operações Algébricas com Matrizes.........................................................37 3. 7 – Propriedades do Espaço de Matrizes ..............................................................................38 3. 8 – Operações Singulares com Matrizes e Invariantes das Matrizes....................................40 3.8.1 - Definição .......................................................................................................................40 3.8.2 - Invariante 1 – Operação de Traço de uma Matriz.........................................................40 3.8.3 - Propriedades do Traço de uma Matriz ..........................................................................40 3.8.4 – Invariante 2 - Determinante de uma Matriz..................................................................41 3.8.5 - Propriedades dos Determinantes ...................................................................................42 3.8.6 – Matriz Inversa...............................................................................................................43 3. 9 – Tipos de Matrizes ...........................................................................................................45 3.9.1 – Matriz Simétrica ...........................................................................................................45 3.9.2 – Matriz Anti-Simétrica...................................................................................................45 3.9.3 – Matriz Real ...................................................................................................................45 3.9.4– Matriz Complexa ...........................................................................................................45 3.9.5 – Matriz Imaginária Pura.................................................................................................46 3.9.6 – Matriz Hermitiana.........................................................................................................46 3.9.7 – Matriz Anti-Hermitiana ................................................................................................46

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3.9.8 – Matriz Normal ..............................................................................................................46 3.9.9 – Matriz Ortogonal ..........................................................................................................46 3.9.10 – Matriz Unitária ...........................................................................................................46 3.9.11 – Matriz Identidade........................................................................................................47 3.9.12 – Matriz Diagonal ..........................................................................................................47 3.9.13 – Matriz Adjunta............................................................................................................47 3.9.14 – Matriz Transposta .......................................................................................................47 3.9.15 – Matriz Elementar ........................................................................................................47 3.9.16 – Matriz Complexo Conjugado .....................................................................................47 3.9.17 – Matriz Associada ........................................................................................................48 3.9.18 – Matriz Idempotente.....................................................................................................48 3. 10 – Subdivisão das Matrizes em Bloco de Matrizes Menores ............................................49 3. 11 – Álgebra dos Comutadores ............................................................................................50 3. 12 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................52 3. 13 – Exercícios e Problemas.................................................................................................53 Capítulo – IV ............................................................................................................................54 ESPAÇO VETORIAL LINEAR .............................................................................................54

4. 1 – Objetivos do Capítulo.....................................................................................................54 4. 2 – Introdução.......................................................................................................................54 4. 3 – Definição de Espaço Vetorial .........................................................................................56 I) Definição da Operação de Adição de Vetores ......................................................................56 II) Definição da Operação Produto Escalar com Vetores.........................................................57 III) Definição da Operação Produto Interno de Vetores...........................................................57 IV) Definição da Operação Produto Externo de Vetores .........................................................58 V) Definição da Operação Produto Tensorial de Vetores ........................................................59 4. 4 – Geradores e Sub-Espaço Vetorial...................................................................................60 4.4.1 – Geradores......................................................................................................................60 4. 5 – Dependência Linear........................................................................................................61 4.5.1 – Dependência e Indepedência Linear.............................................................................61 4.5.2 - Dimensão de um K-espaço vetorial. .............................................................................62 4. 6 – Base de um K-espaço Vetorial .......................................................................................63 4.6.1 - Corolário – 1 .................................................................................................................63 4.6.2 – Mudança de Base..........................................................................................................64 4.6.3 – Transformações de Coordenadas..................................................................................67 4. 7 – Espaço Euclidiano ..........................................................................................................69 4.7.1 – Produto Escalar.............................................................................................................69 4.7.2 – Ortogonalidade .............................................................................................................69 Teorema 1.1 .............................................................................................................................70

Prova ...................................................................................................................................70

Teorema 1.2 .............................................................................................................................70

4.7.3 – Desigualdade de Cauchy-Schwartz ..............................................................................71 4. 8 – Bases Recíprocas ............................................................................................................72 4.8.1 – Observação importante .................................................................................................73 4. 9 – Bases Ortonormais..........................................................................................................75 4. 10 – ................................................................................................................................76 4. 11 – Processo de Diagonalização de Gram-Schmidt...........................................................77 4. 12 – Operadores Lineares ....................................................................................................80 4.12.1 - Definição .....................................................................................................................80

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4. 13 – Auto-Valores e Auto-Vetores.......................................................................................89 4. 14 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................96 4. 15 – Exercícios e Problemas.................................................................................................97 Capítulo – V .............................................................................................................................98 ESPAÇO TENSORIAL LINEAR...........................................................................................98

5. 1 –Introdução........................................................................................................................98 5. 2 – Definição de Tensores ....................................................................................................99 5.2.1 - Formas Funcionais Lineares..........................................................................................99 5. 3 – Cálculo Tensorial de Funções ......................................................................................101 5. 4 – Aplicação a Redes-Neurais Matemáticas .....................................................................102 5. 5 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................103 5. 6 – Exercícios e Problemas.................................................................................................104 Capítulo – VI ..........................................................................................................................105 ESPAÇO VETORIAL DE FUNÇÕES .................................................................................105

6. 1 –Introdução......................................................................................................................105 6. 2 – Definição de Espaço Vetorial de Funções ou Espaço Funcional Linear ......................106 6.2.1 – Equivalência entre o Operador Matricial e o Operador Funcional no Espaço de Funções ..............................................................................................................................108 6.2.2 – Notação de Dirac ........................................................................................................109 6.2.3 – Propriedades do Espaço de Funções...........................................................................110 6. 3 –Transformações de Coordenadas...................................................................................111 6. 4 – Ortogonalidade e Espaço Dual de Funções ..................................................................112 6. 5 – Operadores Lineares, Matrizes e Transformações Lineares.........................................113 6.5.1 – Operadores no Espaço de Funções .............................................................................113 6.5.2 – Operadores Lineares no Espaço de Funções ..............................................................116 6.5.3 – Operadores, Auto-vetores e Auto-valores no Espaço de Funções .............................117 6.5.4 – Multiplicação de Operadores no Espaço de Funções .................................................117 6. 6 – Mudança de Base para funções ....................................................................................121 6. 7 – Transformação de Funções...........................................................................................122 6. 8 – Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt ..........................................................123 6. 9 – Auto-Funções e Auto-Valores ......................................................................................124 6. 10 – Operadores Hermitianos e seus auto-valores .............................................................126 6.10.1 - Ortogonalidade das Auto-funções que pertencem a auto-valores diferentes. ...........128 6. 11 – Espaço das Funções Quadráticas L2 ...........................................................................129 6. 12 – Serie de Funções Ortogonais ......................................................................................130 6. 13 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................131 6. 14 – Exercícios e Problemas...............................................................................................132 Capítulo – VII.........................................................................................................................133 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ..133

7. 1 – Introdução.....................................................................................................................133 7. 2 – Funções Pares e Ímpares ..............................................................................................134 7.2.1 - Operações com funções pares e ímpares.....................................................................135 7.2.2 - Teorema.......................................................................................................................135 7.2.3 - Integral de funções pares e ímpares: ...........................................................................136 7. 3 – Funções Periódicas .......................................................................................................137 7.3.1 – Teorema de Bloch.......................................................................................................137 7. 4 – Cálculo em RN ..............................................................................................................138 7.4.1 - Conectividade..............................................................................................................138 7.4.2 - Pontos Limítrofes ........................................................................................................138

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7.4.3 - Derivadas Parciais .......................................................................................................138 7.4.4 - Exemplo ......................................................................................................................139 7.4.5 – Série de Taylor no RN .................................................................................................139 7. 5 – Funções Implícitas ........................................................................................................141 7.4.1 –Teorema da Função Implicita ......................................................................................141 7.4.2 - Caso Multivariado .......................................................................................................143 Análogo para n dimensões......................................................................................................145 Ex. Sistema de Coordenadas Polares......................................................................................147 Solução ..............................................................................................................................147 7.4.3 – Teorema dos Extremos ...............................................................................................150 7. 6 – Problemas de Máximo e Mínimo com Vínculo ...........................................................151 7.5.1 – Método de Lavenberg-Marquardt...............................................................................151 7.5.2 – Método dos Multiplicadores de Lagrange ..................................................................152 7.5.3 – Exemplo......................................................................................................................154 7. 7 – Regra de Derivação de Leibnitz ...................................................................................155 7.6.1 - Exemplos.....................................................................................................................158 7. 8 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................159 7. 9 – Exercícios e Problemas.................................................................................................160 Capítulo – VIII .......................................................................................................................161 CURVAS SUPERFÍCIES E VOLUMES .............................................................................161

8. 1 - Introdução .....................................................................................................................161 8. 2 –Diferenciação de funções escalares ...............................................................................162 8. 3 – Diferenciação de vetores ou funções vetoriais ............................................................163 8.3.1 - Cálculo do Comprimento de Arco ..............................................................................164 8.3.2 - Cálculo da variação da Função R

ao longo de um comprimento de arco .................165

8. 4 – Integral de linha de funções escalares e vetoriais.........................................................167 8.4.1 – Integral de linha de funções escalares ........................................................................167 8.4.2 – Integral de linha de funções vetoriais .........................................................................168 8.4.3 - Cálculo do Comprimento de Arco ..............................................................................171 8.4.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................172 8.4.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................173 8. 5 – Integral de superfície de funções escalares e vetoriais .................................................174 8.5.1 – Integral de superfícies de funções escalares ...............................................................174 8.5.2 – Integral de superfície de funções vetoriais .................................................................175 8.5.3 - Cálculo do Comprimento de Arco ..............................................................................178 8.5.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................179 8.5.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................180 8. 6 – Integral de volume de funções escalares e vetoriais.....................................................181 8.6.1 – Integral de volume de funções escalares ....................................................................181 8.6.2 – Integral de volume de funções vetoriais .....................................................................182 8.6.3 - Cálculo do Comprimento de Arco ..............................................................................185 8.6.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................186 8.6.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................187 8. 7 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................188 8. 8 – Exercícios e Problemas.................................................................................................189 Capítulo – IX ..........................................................................................................................190 TEORIA DO CAMPO ESCALAR E VETORIAL E TENSORIAL DE FUNÇÕES...........190

9. 1 - Introdução .....................................................................................................................190 9. 2 - Gradiente de um Campo Escalar e Vetorial ..................................................................191

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9.3.1 – Análise e Interpretação do Vetor Gradiente ...............................................................193 9.3.1 – Derivada Direcional....................................................................................................193 9.3.1 - Interpretação do Gradiente ..........................................................................................195 9.3.1 – Vetor normal a um ponto sobre uma superfície .........................................................198 9. 3 - Divergente de um Campo Vetorial e Tensorial............................................................200 9.2.1 - Interpretação do Divergente ........................................................................................203 9. 4 – Rotacional de um Campo Vetorial e Tensorial ............................................................204 9. 5 – Teorema da Divergência ou de Gauss ..........................................................................205 9.5.1 - Em 1D .........................................................................................................................205 9.5.2 - Aplicação.....................................................................................................................205 9. 6 – Identidades de Green ....................................................................................................208 9. 7 – Teorema de Stokes........................................................................................................209 9. 8 – Teorema de Green ........................................................................................................211 9. 9 – Campos Irrotacionais....................................................................................................212 9. 10 – Teorema Equivalentes ................................................................................................213 9. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................214 9. 12 – Exercícios e Problemas...............................................................................................215 Capítulo – X ...........................................................................................................................216 SEQUÊNCIAS, SÉRIES DE FUNÇÕES E SUAS TRANSFORMADAS ..........................216

10. 1 -Introdução ....................................................................................................................216 10. 2 - Definição de Seqüências, Séries e Transformadas de Funções...................................217 10. 3 – Seqüência e Sériede e Transformadas de Funções Ortogonais ..................................218 10.3.1 - Sequência de Funções Ortogonais.............................................................................218 10.3.2 - Serie de Funções Ortogonais.....................................................................................219 10.3.3 - Transformada de Funções Ortogonais ......................................................................220 10. 4 - Série e Transformada de Potência...............................................................................221 10. 5 - Série e Transformada de Laplace ................................................................................222 10. 6 - Série e Transformada de Gauss...................................................................................223 10. 7 - Série e Transformada de Fourier .................................................................................224 10.7.1 - Série de Fourier .........................................................................................................224 10.7.2 – Integral de Fourier ....................................................................................................226 10.7.3 – Transformada de Fourier ..........................................................................................228 10.7.4 – Propriedades da Transformada de Fourier ...............................................................231 10. 8 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................232 10.8.1 - Exemplo – 1 .............................................................................................................232 10.8.2 - Exemplo – 2 ..............................................................................................................233 Solução ..............................................................................................................................233 10.8.3 - Exemplo – 3 ..............................................................................................................236 10.8.4 - Exemplo - 4 ...............................................................................................................238 10. 9 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................241 10. 9 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................242 Capítulo – XI ..........................................................................................................................243 INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................................243

11. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................243 11. 2 - Introdução ...................................................................................................................243 11. 3 – Equações Diferenciais, Definição e Classificação .....................................................244 11.3.1 – Definição de Equações Diferenciais.........................................................................244 11.3.2 – Classificação das Equações Diferenciais..................................................................245 11. 4 – Propriedades das Equações Diferenciais ....................................................................249

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11.4.1 – Existência e Unicidade das Soluções........................................................................249 11.4.2 - Exemplos...................................................................................................................250 11.4.3 – O Problema de Valor Inicial .....................................................................................251 11. 5 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................253 11. 6 – Exercícios e Problemas...............................................................................................254 Capítulo – XII.........................................................................................................................255 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES ...............................................255

12. 1 – Introdução...................................................................................................................255 12. 2 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares ................................................................256 12.2.1 - Exemplos...................................................................................................................257 12. 3 - Propriedades das Equações Diferenciais Ordinárias Lineares e Homogêneas ...........258 12.3.1 - Teorema.....................................................................................................................259 12. 4 - Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e Variáveis...............260 12. 5 - Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente Constantes .............................261 12.5.1 – Metodologia de Solução das Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente Constantes ..............................................................................................................................263 12.5.2 – Solução de algumas das Equações Diferenciais Elementares ..................................265 12.5.3 – Solução Geral, Solução Particular, Teorema Estratégico.........................................271 12.5.4 – Equação Diferencial a partir da Solução Geral ........................................................272 12.5.5 – Teorema Estratégico .................................................................................................274 12. 6 - Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente VariáveisErro! Indicador não definido. 12.6.1 – Metodologia de Solução das Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente Variáveis ..............................................................................................................................308 12. 7 - Problemas que surgem E.D.O. Lineares de 1ª Ordem ................................................285 12.7.1 – Problema Geométrico ...............................................................................................285 12.7.2 – Problema Químico....................................................................................................286 12.7.3 – Problemas Físicos .....................................................................................................287 12. 8 - Algumas Importantes Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem.......................290 12.8.1 – O Movimento Harmônico Simples (MHS) ..............................................................290 Solução ..............................................................................................................................292 12.8.2 – MHS com Movimento Vertical ................................................................................301 12.8.3 – Oscilador Harmônico Forçado .................................................................................304 12.8.4 – O Movimento de um Pêndulo Simples.....................................................................305 12.8.5 – Circuito Elétrico RLC...............................................................................................306 12. 9 - Método das Funções de Green ....................................................................................309 12. 10 - Equações de Sturm-Liouville ....................................................................................310 12.10.1 - Teorema - 1 .............................................................................................................311 Prova ..............................................................................................................................311 Teorema - 2.............................................................................................................................314 12. 11 - Método de Taylor ......................................................................................................315 12.11.1 – Equação Diferencial de Euler .................................................................................316 12. 12 - Método de Frobëniüs.................................................................................................321 12.12.1 - Teorema de Fucks ...................................................................................................322 12. 13 - Equações, Polinômios e Funções Especiais que são Soluções de Equações Diferenciais.............................................................................................................................323 12.13.1 - Função de Hipergeométrica ....................................................................................323 12.13.2 - Equações, Polinômios e Funções de Lagrange .......................................................324 12.13.3 - Equações, Polinômios e Funções de Legendre .......................................................325 12.13.4 - Equações, Polinômios e Funções de Laguerre ........................................................326

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12.13.5 - Equações, Polinômios e Funções de Hermite .........................................................327 12.13.6 - Equações, Polinômios e Funções de Gauss.............................................................328 12.13.7 - Equações, Polinômios e Funções de Laplace.........................................................329 12.13.8 - Equações, Polinômios e Funções de Bessel ............................................................330 12.13.9 - Fórmula de Rodrigues para a Função de Bessel .....................................................336 12.13.10 - Fórmula Integral para a Função de Bessel ............................................................338 12. 14 – Exemplos e Aplicações.............................................................................................339 12. 15 - Exercícios e Problemas .............................................................................................340 Capítulo – XIII .......................................................................................................................341 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES.....................341

13. 1 - Introdução ...................................................................................................................341 13. 2 - Definição de Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares ........................342 13. 3 -Aplicação do Problema de Auto-Valor na Solução de Sistemas de Equações Diferenciais.............................................................................................................................343 13.3.1 - O Pêndulo Simples ...................................................................................................343 13.3.2 - O Modelo de Lotka-Volterra....................................................................................348 13.3.3 - O Sistema de Massas e Molas Acopladas .................................................................353 13. 4 - Matrizes Simétricas (AT = A)......................................................................................356 13.4.1 - Teorema.....................................................................................................................357 Prova: ..............................................................................................................................357 13. 5 - Solução de Auto-Valores de Equações Diferenciais Não-Homogêneas.....................358 13. 6 - Diagonalização ............................................................................................................360 13.6.1 - Teorema.....................................................................................................................361 Prova ..............................................................................................................................361 13.6.2 – Exemplo: Cinética Química......................................................................................363 13.6.3 – Exemplo: Sistema Mecânico ....................................................................................365 13. 7 - Formas Quadráticas.....................................................................................................367 13.7.1 – Exemplo:...................................................................................................................368 13.7.2 – Definição ..................................................................................................................369 13.7.3 – Teorema ....................................................................................................................369 13.7.4 – Exemplo – 4 (Flambagem) .......................................................................................369 13. 8 – Exemplo e Aplicações ................................................................................................371 13. 9 – Exercícios e Problemas...............................................................................................372 Capítulo – XIV .......................................................................................................................373 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS....................................................................373

NÃO-LINEARES..................................................................................................................373

14. 1 - Introdução ...................................................................................................................373 14. 2 - Equações Diferenciais Não-Lineares ..........................................................................374 14. 3 – Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem...........................................375 14.3.1 - Caso - 1 .....................................................................................................................375 14.3.2 - Caso - 2 .....................................................................................................................376 14.3.3 - Caso - 3 .....................................................................................................................377 14.3.4 - Caso – 4.....................................................................................................................378 14. 4 - Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem .............................................................379 14. 5 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................385 14. 6 – Exercícios e Problemas...............................................................................................386 Capítulo – XV.........................................................................................................................387 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...................................................................387

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ORDINÁRIAS NÃO-LINEARES ........................................................................................387

15. 1 - Introdução ...................................................................................................................387 15. 2 - Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias Não-Lineares......................................388 15. 3 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................389 15. 4 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................390 Capítulo – XVI .......................................................................................................................391 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES......................................................391

16. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................391 16. 2 - Introdução ...................................................................................................................391 16. 3 - Equações Diferenciais Parciais ...................................................................................392 16.3.1 – Comentários sobre o Método da Separação de Variáveis ........................................393 Exemplo ..............................................................................................................................393 16. 4 - Equação de Difusão.....................................................................................................395 i) Caso 1D ..............................................................................................................................395 ii) Caso 2D e 3D .....................................................................................................................396 Exemplo ..............................................................................................................................400 Exemplo ..............................................................................................................................402 16. 5 - Equação de Onda.........................................................................................................405 i) Caso 1D ..............................................................................................................................405 Exemplo ..............................................................................................................................410 ii) Caso 2D e 3D .....................................................................................................................412 Solução de D’Alambert ..........................................................................................................412 16. 6 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................415 Solução: ..............................................................................................................................415 Exemplo ..............................................................................................................................415 16. 6 – Exercícios e Problemas...............................................................................................416 Capítulo – XVII......................................................................................................................417 SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES .............................417

17. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................417 17. 2 - Introdução ...................................................................................................................417 17. 3 - Sistema de Equações Diferenciais Parciais Lineares ..................................................418 17. 4 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................419 17. 5 – Exercícios e Problemas...............................................................................................420 Capítulo – XVIII.....................................................................................................................421 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES............................................421

18. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................421 18. 2 - Introdução ...................................................................................................................421 18. 3 - Equações Diferenciais Parciais Não-Lineares.............................................................422 18. 4 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................423 18. 5 – Exercícios e Problemas...............................................................................................424 Capítulo – XIX .......................................................................................................................425 SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES ...................425

19. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................425 19. 2 - Introdução ...................................................................................................................425 19. 3 - Sistema de Equações Diferenciais Parciais Não-Lineares ..........................................426 19. 4 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................427 19. 5 – Exercícios e Problemas...............................................................................................428 Capítulo – XX.........................................................................................................................429

15

TEORIA GERAL DAS DISTRIBUIÇÕES ..........................................................................429

20. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................429 20. 2 - Introdução ...................................................................................................................429 20. 3 - Teoria Geral das Distribuições....................................................................................430 20. 4 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................431 20. 5 – Exercícios e Problemas...............................................................................................432 Referências Bibliográficas......................................................................................................433 Apêndices ...............................................................................................................................434 A. 1 – Estudo de Somatórios ..................................................................................................434 A. 2 – Estudo de Produtórios..................................................................................................435 A. 3 – Estudo da Relação entre Somatórios e Produtórios.....................................................436 Anexos .................................................................................................................................437 An. 1 – Título do seu primeiro Anexo....................................................................................437

16

Lista de Figuras

Figura - 4. 1. .............................................................................................................................77 Figura - 4. 2. .............................................................................................................................77 Figura - 4. 3. .............................................................................................................................77 Figura - 4. 4. .............................................................................................................................78 Figura - 4. 5. .............................................................................................................................82 Figura - 4. 6. .............................................................................................................................91 Figura - 7. 1 ............................................................................................................................134 Figura - 7. 2 ............................................................................................................................134 Figura - 7. 3 ............................................................................................................................137 Figura - 7. 4 ............................................................................................................................138 Figura - 7. 5 ............................................................................................................................147 Figura - 8. 1 ............................................................................................................................163 Figura - 9. 1. Região B do volume envolvido por uma superfície S atravessado por um campo de temperaturas u....................................................................................................................191 Figura - 9. 2. ...........................................................................................................................194 Figura - 9. 3. ...........................................................................................................................195 Figura - 9. 4. ...........................................................................................................................196 Figura - 9. 5. ...........................................................................................................................197 Figura - 9. 6. Superfície ,z f x y em um sistema de coordenadas cartesianas. ...............198 Figura - 9. 7. Região B do volume envolvido por uma superfície S atravessado por um campo de velocidades v . ...................................................................................................................200 Figura - 9. 8. ...........................................................................................................................202 Figura - 9. 9. ...........................................................................................................................202 Figura - 9. 10 ..........................................................................................................................210 Figura - 10. 1 ..........................................................................................................................232 Figura - 10. 2 ..........................................................................................................................233 Figura - 10. 3 ..........................................................................................................................236 Figura - 10. 4 ..........................................................................................................................238 Figura - 10. 5 ..........................................................................................................................238 Figura - 11. 1.Problema de uma viga bi-apoiada e flexionada sobre seu próprio peso. .........245 Figura - 11. 2 ..........................................................................................................................287 Figura - 11. 3. Oscilador Harmônico simples.........................................................................291 Figura - 11. 4 ..........................................................................................................................306 Figura - 11. 5 ............................................................................. Erro! Indicador não definido. Figura - 11. 6 ..........................................................................................................................395 Figura - 11. 7 ..........................................................................................................................401 Figura - 11. 8 ..........................................................................................................................402 Figura - 11. 9 ..........................................................................................................................405 Figura - 11. 10 ........................................................................................................................412 Figura - 12. 1. ............................................................................ Erro! Indicador não definido. Figura - 12. 2. .........................................................................................................................344 Figura - 12. 3. .........................................................................................................................345 Figura - 12. 4. .........................................................................................................................350 Figura - 12. 5. .........................................................................................................................352

17

Figura - 12. 6. .........................................................................................................................353 Figura - 12. 7. .........................................................................................................................356 Figura - 12. 8. .........................................................................................................................365 Figura - 12. 9. .........................................................................................................................369

18

Lista de Tabelas

19

Lista de Siglas

20

Lista de Símbolos

21

Resumo

22

Abstract

24

Capítulo – I

INTRODUÇÃO

1. 1 – Apresentação do curso

A matemática é uma ciência abrangente e pode ser unificada em uma visão

estruturada dependendo de sua utilização em outras áreas da ciência. Os capítulos deste texto

seguem a seqüência mais conveniente para o estudo dos tópicos importantes para um curso de

matemática voltado para aplicações em Física e Engenharia. Ele corresponde a um curso de

Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais para ser utilizado em

Física e em Engenharia de uma forma geral. Ele é resultado das anotações de aulas de várias

disciplinas de matemática como, por exemplo, daquelas de um curso de Bacharelado em

Física, realizado no Instituto de Física de São Carlos da Universidade de São Paulo durante o

período de 1980 a 1990. Entre outras anotações de aulas, constam também aquelas de um

curso de Pós-Graduação em Métodos Numéricos para a Engenharia, realizado na

Universidade Federal do Paraná durante o período de 2006 a 2009.

O curso de Álgebra Linear envolve vetores, matrizes, tensores e funções. Estas

abordagens são isomorfas e poderiam ser incluídas em uma única Teoria de Grupos

Matemáticos para estudantes mais avançados sobre o assunto, assim como o cálculo também

poderia envolver o estudo geral de Cálculo de Variedades Matemáticas. Por outro lado, nós

apresentamos aqui a cada capítulo o desenvolvimento sistemático de cada parte da álgebra

linear com suas conseqüentes generalizações como um forma de produzir a fixação dos

conceitos a cada vez que eles são reutilizados em uma sistematização matemática mais

abrangente partindo da álgebra e do calculo vetorial até a álgebra e o calculo de tensores.

25

1. 2 – Introdução a Álgebra e a Teoria de Grupos Algébricos

Uma álgebra é definida a partir de uma operação fundamental e de propriedades

básicas concernentes a esta operação dentro de um conjunto previamente estipulado,

conforme mostra-se abaixo:

Usaremos a notação de Dirac para os elementos i, do espaço algébrico que no

nosso caso tanto pode ser vetores como funções.

ket: (vetor ou função) (1. 1)

No caso do ente abstrato chamado ket for um vetor chamaremos de Espaço Vetorial e no caso

de ser uma função chamaremos de Espaço Funcional.

Seja E um conjunto de ket’s e seja K um campo de escalares do espaço algébrico

linear, onde está definida uma operação de adição, ou seja, E é aditivo, isto é, existe uma

operação E x E E tal que:

EEE , (1. 2)

Satisfazendo os seguintes axiomas fundamentais:

i) um elemento simétrico E /

E 0 (1. 3)

ii) Definição do produto interno do espaço algébrico

KEE

EEE

EEE

T

T

,),(

,),(

),(

(1. 4)

(onde * é o complexo conjugado de para vetores formados por números complexos e

no caso particular para números reais temos * ) com qualquer um dos elementos de

E.

iii) um elemento neutro da operação fundamental, 0 E /

Ee 000 (1. 5)

26

Ee 000

iv) um elemento inverso 1

e um elemento unitário, 1 E /

Ee 11 11 (1. 6)

Diz-se então que E é um K-espaço vetorial em relação a essas operações se as

seguintes condições estiverem satisfeitas em que esteja definida uma operação entre os

elementos de K e os elementos de E (chamada de multiplicação por um escalar)

EEK ),( (1. 7)

O espaço vetorial é chamado de complexo ou real dependendo se os escalares são

só números complexos ou só números reais.

27

Capítulo – II

SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES

RESUMO

Neste capítulo será visto a origem da problemática de um sistema de equações e

os métodos de solução mais importantes. Veremos suas características principais e

propriedades. Estaremos interessados no final deste texto em utilizar os conhecimentos

adquiridos neste capítulo na resolução de um sistema de equações diferenciais. No final

introduziremos o conceito de matrizes que será a deixa para uma abordagem mais completa

no capítulo seguinte.

2. 1 – Introdução

Um sistema algébrico nasce como uma extensão natural de uma equação algébrica

onde o número de variáveis envolvidas cresce de um para dois, três, etc. Neste sentido nasce

também o conceito intuitivo de matrizes que será visto no capítulo seguinte. A maneira de se

estudar os sistemas algébricos pode ser feito de diversas formas. Pode-se definir inicialmente

o que seja uma matriz de números e inserir este conceito dentro do sistema de equações, ou

pode-se começar com a noção de sistema de equações e extrair o conceito de matriz. Nós

optaremos pela segunda forma por acharmos mais intuitivo e seguro para o aprendizado em

linha ascendente de raciocínio e dificuldade, sem dá pulos nem quedas na linha de raciocínio

lógico.

28

2. 2 – Definição de um Sistema de Equações

Define-se um sistema algébrico de equações como sendo o conjunto de equações

com várias variáveis do tipo:

nmnmnn

mm

mm

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

....:

........

221

22222121

11212111

(2. 1)

O qual pode ser colocado na forma de matriz como:

nmnmnn

m

m

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

::..

::::....

2

1

2

1

21

22221

11211

(2. 2)

29

2. 3 – Exemplos e Aplicações

30

2. 4 – Exercícios e Problemas

31

Capítulo – III

MATRIZES

RESUMO

Neste capítulo veremos a teoria elementar de matrizes, sua aplicação na álgebra

linear e em problemas práticos que envolvem sistemas de equações lineares. Veremos a

propriedades e os tipos de matrizes e os teoremas fundamentais da álgebra das matrizes.


O conceito de matriz pode ser extraído de várias formas: a partir de sistemas de

equações ou a partir de uma extensão de vetores sob o ponto de vista do estudo genérico de

tensores. No que diz respeito a este capítulo não interessa muito qual é a sua origem, o que

nos importa é conhecer suas operações e propriedades fundamentais para daí ser utilizados em

estudos posteriores.

32

3. 2 – Definição de uma Matriz

A representação matricial de números ou operações decorre de sistemas

algébricos (múltiplas operações) lineares.

Uma matriz é um conjunto de números, indexados em linhas e colunas e dispostos

em uma tabela retangular da seguinte forma:

A =

nxmnmnn

m

m

aaa

aaaaaa

..:..::::::

..

..

21

22221

11211

(3. 1)

As matrizes são usadas para representar múltiplas operações lineares da álgebra.

O arranjo horizontal do tipo 1 2 ..i i ina a a da matriz A, chamamos de linha

de A e ao arranjo na vertical como

1

2

:

j

j

nj

aa

a

chamamos de colunas de A. Os elementos aij são os

elementos da matriz que ocorrem na i’ésima linha e na j’ésima coluna simultaneamente.

A dimensão da matriz é dada por n x m, onde n é o número de linhas da matriz e

m é o número de colunas.

Quando n = m dizemos que a matriz é quadrada, ou seja:

Matriz A =

nxnnnnn

n

n

aaa

aaaaaa

..::::

..

..

21

22221

11211

(3. 2)

e se n é diferente de m (m n) dizemos que a matriz é retangular. De um modo geral, uma

matriz genuina A, do tipo n x m, onde os elementos ija , podem ser representados da

seguinte maneira:

33

Matriz A =

nxmnmnn

m

m

aaa

aaaaaa

..:..::::::

..

..

21

22221

11211

(3. 3)

A partir desta úlimas duas definições podemos ter:

3.2.1 - Matriz Linha

Chamamos de matriz linha a uma matriz que possui apenas uma única linha.

Neste caso m = 1.

Matriz Linha A = xninii aaa 121 .. (3. 4)

3.2.2 - Matriz Coluna

Chamamos de matriz coluna a uma matriz que possui apenas uma única coluna.

Nest caso n = 1.

Matriz Coluna A =

1

2

1

:

nxnj

j

j

a

aa

(3. 5)

A operação que transforma uma linha “k” qualquer de uma matriz em uma coluna

correspondente ao mesmo índice de linha “k” chama-se “transposição”. Logo a matriz

transposta de A, ou seja, AT é dada por:

nxnnnnn

n

n

T

aaa

aaaaaa

A

..::::

..

..

21

22212

12111

(3. 6)

34

3.2.3 - Diagonal Principal

Chamamos de diagonal principal de uma matriz A qualquer, ao conjunto

ordenado de elementos da matriz A, cujos índices “i”são iguais aos índices “j”, ou seja:

Diagonal Principal de A = nnaaa ...2211 (3. 7)

Onde j = 1, 2, 3, ....n. ou seja:

{aij A/ i = j = nnaaa ...2211 (3. 8)

Vemos, portanto, que a operação de transposição aplicada a uma matriz A

qualquer não altera os elementos da diagonal principal da matriz transposta em relação a

matriz original. Para a definição de uma diagonal principal a matriz tem de ser quadrada.

3.2.4 - Diagonal Secundária

Chamamos de diagonal secundária ao conjunto ordenado de elementos, cuja soma

dos índices i + j = n + 1, ou seja:

Diagonal Secundária de A = nnnn aaaa 123121 ... (3. 9)

onde j = 1, 2, 3, ....n.

Para matrizes formadas por números complexos podemos definir uma operação

com matrizes chamada de “conjugação” representada pelo símbolo asterisco (), onde vale a

relação A* = -A para número complexos puros ficando o caso particular A* = A para os

número reais.

complexo conjugado de um número

35

3. 3 – Espaço Algébrico das Matrizes

Definimos o espaço m nK ao espaço de toda matriz do tipo n x m. Seja A uma

matriz qualquer, com elementos do tipo Aij, onde os índices i e j representam as linhas e as

colunas respectivamente, onde se encontra o elemento no arranjo matricial.

3.3.1– Igualdade de Matrizes

Dadas duas matrizes A e B Kmxn dizemos que A = B se e somente todo

elemento da i’ésima linha e da j’ésima coluna de A for correspondentemente igual ao

elemento da i’ésima linha e da j’ésima coluna de B, ou seja:

A = B aij = bij (3. 10)

36

3. 4 – Operações Simétricas com Matrizes

Chamamos de operações simétricas em matrizes, as operações cuja inversa é a

própria operação aplicada inicialmente a uma matriz.

Seja A uma matriz qualquer, com elementos do tipo Aij, onde os índices i e j

representam as linhas e as colunas respectivamente, onde se encontra o elemento no arranjo

matricial.

1) Operação de Transposição

AT (Matriz Transposta) (Aij)T = Aji (3. 11)

2) Operação de Conjugação

A* (Matriz Complexa Conjugada) (Aij)* = A*iji (3. 12)

Nesta operação troca-se os números imaginários puros dos elementos da matriz de i por i .

Sendo o complexo conjugado de um número Real igual ao próprio número, *a a a R

3) Operação de Aadjunção

A+ (Matriz Adjunta) (Aij)+ = A*ji (3. 13)

Esta operação é a operaçào composta pela conjugação e transposição.

Prova-se que:

(AT)* = (A*)T (3. 14)

Da seguinte forma:

((Aij) T)* = (Aji)*= A*ji (3. 15)

e

((Aij)*)T = (A*ji)T = A*ij (3. 16)

4) Operação de Paridade (ou Reflexão)

A (Matriz Imagem de A) (Aij) = -Aij (3. 17)

5) Operação de Inversão

A-1 (Matriz Inversa de A) (Aij)-1 ≠ A-1ij (3. 18)

A operação de inversão so vale para matrizes não-singulares quadradas. E (Aij)-1 = A-1ij

somente para matrizes diagonais.

37

3. 5 – Propriedades das Operações Simétricas com Matrizes

38

3. 6 – Definição de Operações Algébricas com Matrizes

Sejam A e B duas matrizes pertencente a Kmxn, tal que:

i) Operação de Adição

Sejam duas Matrizes A e B Knxm, define-se a operação de Adição de Matrizes

como sendo dada por uma matriz S Knxm tal que:

S = (A + B) = A + B (3. 19)

ou em notação indicial, como:

Sij = ijijij BABA (3. 20)

ii) Operação de Produto Escalar de Matrizes

Sejam duas Matrizes A e B define-se a operação de Produto Escalar de Matrizes

como:

A.B = (A.B) (3. 21)


ljilijij BABA . (3. 22)

iii) Operação de Produto Diádico de Matrizes

Sejam duas Matrizes A e B define-se um Produto Diádico de Matrizes a operação:

AB = (AB) (3. 23)


ijijijijijij BAABBAAB (3. 24)

iv) Multiplicação por um escalar

Seja uma Matriz A define-se a operação de multiplicação de um escalar, por

uma Matriz como:

(A) =.A (3. 25)


ijij AA . (3. 26)

39

3. 7 – Propriedades do Espaço de Matrizes

As operações com matrizes determinam um espaço vetorial linear pois satisfazem

ao conjunto de condições estabelecidas por um espaço vetorial. O espaço de matrizes satisfaz

as seguintes propriedades algébricas, para toda Matriz A,B Knxm:

i) Comutativa

A + B = B + A (3. 27)

Prova

ijijijijijij ABABBABA )( (3. 28)

ii) Associativa

A + (B + C) = (A + B) + C (3. 29)

Prova

ijijijijijijij CBACBACBA (3. 30)

iii) uma matriz 0 EMatrizes /

A + 0 = A A EMatrizes (3. 31)

Prova

ijijij AAA 00 (3. 32)

iv) uma matriz -A EMatrizes /

A + (-A) = 0 A EMatrizes (3. 33)

Prova

ijijijij AAAA )0()( (3. 34)

v) Distribuitiva do escalar

(A + B) = A + B (3. 35)

ijijijijij BABABA (3. 36)

vi) Distribuitiva da Matriz com escalar

40

( + )A = A + A (3. 37)

Prova

ijijij AAA (3. 38)

vii) Distribuitiva de Matriz com Matriz

A(B + C) F = ABF + ACF (3. 39)

Prova

ijijijijijijijijijijij

ijijijijijijij

FCAFBAFCFBA

FCBAFCBA

(3. 40)

viii) Associativa do produto de matrizes

(A. B).C = A.(B.C) = A.B.C (3. 41)

Prova

ljilkjlkilkjlkilijlkilijij BCACBACBACBACAB (3. 42)

ix)

(3. 43)

x) Transposição do produto de matrizes

A.B = (B.A)T = B T .AT (3. 44)

Prova

Tijijjijilijlljilijij ABABABBABA ... (3. 45)

xi) Transposto de multiplicações sucessivas vale:

ABCD...Z = (Z…DCBA)T = Z T ... DT C T AT (3. 46)

41

3. 8 – Operações Singulares com Matrizes e Invariantes das Matrizes

3.8.1 - Definição

Chamamos de Operações Singulares de matrizes as operações as quais só podem

ser definidas para a representação matricial de quantidades.

3.8.2 - Invariante 1 – Operação de Traço de uma Matriz

O traço de uma matriz é definido como”

ii

n

iiinxn Atr

1][ AA (3. 47)

Onde n é a ordem da matriz.

nnnn

n

n

ij

aaa

aaaaaa

AA

..::::

..

..

21

22221

11211

(3. 48)

Com as seguintes propriedades.

3.8.3 - Propriedades do Traço de uma Matriz

i) O traço da soma é igual a soma dos traços

][][][ BABA trtrtr (3. 49)

Prova

ijijiiijij trtrBAtr ][][][ BABA (3. 50)

ii) O produto de um escalar pelo traço de uma matriz é igual ao traço da matriz multiplicada

pelo escalar

][][][ BABA trtrtr (3. 51)

Prova

42

ijijiiiiij trtrBAtr ][][][ BABA (3. 52)

iii) O traço de AB é igual ao traço de BA

][][ BAAB trtr (3. 53)

Prova

ijiikkkkiiij trABBAtr ][][ BAAB (3. 54)

iv) O traço de uma matriz é igual ao traço da matriz transposta

Ttrtr ][][ AA (3. 55)

Prova

TTiiii trAAtr ][][ AA (3. 56)

3.8.4 – Invariante 2 - Determinante de uma Matriz

Definição:

Determinante de uma matriz de ordem n é a soma algébrica de todos os produtos

diferentes obtidos com os n2 elementos de uma matriz quadrada, de modo que cada produto

tenha um elemento de cada linha e de cada coluna, afetado do sinal positivo ou negativo

conforme seus elementos pertencerem a permutação par ou ímpar.

A cada matriz associamos um determinante A ou Adet que é um dos

invariantes de A.

O determinante de uma matriz é definido como:

jmenor

n

jj Aa 1

11 ][det]det[

A (3. 57)

Conforme o esquema abaixo:

43

nnn

n

n

n

ij

aa

aa

a

a

aaa

AA

2

222

1

21

11211

:::..

:

..

(3. 58)

usando a própria definição de determinante do menor da matriz A, det[Amenor] iterativamente

para as matrizes menores temos:

jmenor

n

j

n

jjj Aaa 1

1

1

111 ][det]det[

A (3. 59)

Ou iterando sucessivamente temos:

nn

n

j

n

j jjj

n

jjj aaaaa .....]det[

1

2

1

2

111

1

111

A (3. 60)

Se uma matriz é quadrada A é um número qualquer, inclusive zero. Se a matriz é retangular

A é sempre nulo.

Se o determinante da matriz A é nulo ( A =0) a matriz é chamada singular.

Seja uma matriz de n linhas e n colunas. Formando os determinantes de todas as

maneiras possíveis, tomando 1,2, ....,n linhas e colunas da matriz, de todas as maneiras

possíveis, se pelo menos um determinante de ordem r é diferente de zero e se todas os

determinantes de ordem superior são nulos, a matriz é de graduação r. Se a matriz for de

ordem n e singular, r < n. Se Não for singular r = n.

3.8.5 - Propriedades dos Determinantes

i)

]det[]det[]det[]det[ BABAAB (3. 61)

ii)

44

]det[1]det[

1]det[]det[]det[]det[

1

11

AA

IAAAA

(3. 62)

iii)

(3. 63)

iv)

(3. 64)

v)

(3. 65)

3.8.6 – Matriz Inversa

Define-se uma Matriz Inversa de A aquela Matriz cujo produto resulta na Matriz

identidade:

IAA 1 (3. 66)

Onde

1..00::::0..100..01

ijI (3. 67)

A matriz inversa pode ser calculada a partir da matriz A como sendo:

A

Adet

1T

ijCofatorA (3. 68)

onde

menorji

ijCofatorA ]det[.)1( A (3. 69)

para i = 1, 2, 3,...,n e j = 1, 2, 3...n.

45

nnn

n

n

n

ij

aa

aa

a

a

aa

CofatorA

2

222

1

21

11211

:::..

:

..1

(3. 70)

Substituindo (3. 60) em (3. 69) temos:

nn

n

ji jijj

n

jij

jiij aaaaCofatorA ......)1(

2

1,

2

1,11

1

1,1

(3. 71)

Substituindo (3. 60) e (3. 71) em (3. 68) temos:

nn

n

j

n

j jjj

n

jjj

nn

n

ji jijj

n

jij

ji

aaaaa

aaaa

.....

......)1(

1

2

1

2

111

1

111

2

1,

2

1,11

1

1,1

1

A (3. 72)

Observe que o determinante é a soma de todos os produtos possíveis entre dois elementos da

matriz.

46

3. 9 – Tipos de Matrizes

As matrizes são originárias de problemas matemáticos expressos em termos de

sistema algébrico de equações, ou podem ser surgir a partir da descrição de campos tensoriais.

Dependendo do tipo de problema, este origina a partir do seu sistema de equações uma matriz

característica desse problema, como as matrizes de Markov, por exemplo, cuja soma de suas

linha e colunas e sempre igual a unidade. Propriedades específcas como estas são

responsáveis pela definição de diferentes tipos de matrizes, conforme veremos abaixo:

3.9.1 – Matriz Simétrica

Uma matriz é dita simétrica se:

TAA (3. 73)

3.9.2 – Matriz Anti-Simétrica

Por outro lado, uma matriz é dita anti-simétrica se:

TAA (3. 74)

3.9.3 – Matriz Real

Uma matriz é dita ser Real se os números que formam essa matriz forem reais.

Neste caso:

AA * (3. 75)

3.9.4– Matriz Complexa

Uma matriz é dita ser Complexa se os números que formam essa matriz forem

complexos. Neste caso:

* A A (3. 76)

47

3.9.5 – Matriz Imaginária Pura

Por outro lado uma Matriz é dita se imaginária pura se:

AA * (3. 77)

3.9.6 – Matriz Hermitiana

Uma matriz é dita ser Hermitiana se:

AA T (3. 78)

3.9.7 – Matriz Anti-Hermitiana

Por outro lado, uma matriz é dita ser anti-hemitiana se:

AA T (3. 79)

3.9.8 – Matriz Normal

Uma matriz é dita ser normal se:

(3. 80)

3.9.9 – Matriz Ortogonal

Uma matriz é dita ser Ortogonal se:

1 AAT (3. 81)

3.9.10 – Matriz Unitária

Uma matriz é dita ser unitária se:

1 AAT (3. 82)

48

3.9.11 – Matriz Identidade

Uma matriz é dita ser identidade se:

ijij ][A (3. 83)

3.9.12 – Matriz Diagonal

Uma matriz é dita ser diagonal se:

ijiA , i 0 (3. 84)

3.9.13 – Matriz Adjunta

Uma matriz é dita ser adjunta:

Tijadj CofatorAA (3. 85)

3.9.14 – Matriz Transposta

Uma matriz é dita ser transposta:

jiT

ijT AA A (3. 86)

3.9.15 – Matriz Elementar

Uma matriz é dita ser Elementar se:

jkikijE (3. 87)

3.9.16 – Matriz Complexo Conjugado

Uma matriz é dita ser complexo conjugado ser:

(3. 88)

49

3.9.17 – Matriz Associada

Uma matriz é dita ser associada se:

(3. 89)

3.9.18 – Matriz Idempotente

Uma matriz é dita ser idempotente se:

AA n (3. 90)

50

3. 10 – Subdivisão das Matrizes em Bloco de Matrizes Menores

Algumas vezes é necessário subdividir matrizes em submatrizes ou blocos de tal

forma a simplificar cerats relações algébricas de trabalho. Como mpor exemplo se nós

subdivimirmos as matrizes A e B da seguinte forma:

13 14 1511 12

23 24 2521 22

11 12

31 32 33 34 3521 22

41 42 43 44 45

51 52 53 54 55

a a aa aa a aa a

A AA a a a a a A A

a a a a aa a a a a

(3. 91)

E

13 14 1511 12

23 24 2521 22

11 12

31 32 33 34 3521 22

41 42 43 44 45

51 52 53 54 55

b b bb bb b bb b

B BB b b b b b B B

b b b b bb b b b b

(3. 92)

Então A e B tem a forma de matrizes blocos 2 x 2 cujos elementos Aij, Bij são eles mesmos

matrizes. Nós podemos facilmente ver que o correto produto AB resulta se as matrizes blocos

são multiplicados de acordo com as regras usuais do produto de matrizes, ou seja:

11 12 11 12 11 11 12 21 11 12 12 22

21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22

A A B B A B A B A B A BAB

A A B B A B A B A B A B

(3. 93)

Observe que todos os produtos matriciais na última matriz fazem sentido. Isto será verdade se

a divisão original de colunas na primeira matriz é a mesma que a divisão de linhas da segunda

matriz. Então vemos que a divisão acima não é adequada para trabalhar o produto de BA em

termos do bloco de matrizes 2 x 2. Existe uma subdivisão diferente de B na qual permitirá

trabalhar ambos os produtos AB e BA?.

51

3. 11 – Álgebra dos Comutadores

Define-se como comutador a seguinte operação entre dois quaisquer operadores

lineares A e B.

BAABBA ],[ (3. 94)

com esta notação as seguintes regras elementares são satisfeitas.

1)

0][],[ AB,BA (3. 95)

Prova:

2)

0],[ AA (3. 96)

Prova:

3)

],[],[],[ CABACBA (3. 97)

Prova:

4)

],[],[],[ CBCACBA (3. 98)

Prova:

5)

],[],[],[ CABCBABCA (3. 99)

Prova:

52

6)

],[],[],[ CBABCACAB (3. 100)

Prova:

7)

]],[,[]],[,[]],[,[ ACBBACCBA (3. 101)

Prova:

8)

C]A][[B,B]A],[[C,C]B],[[A, (3. 102)

Prova:

9)

],[],[ 1 BABBA nn n (3. 103)

Prova:

53


54


55

Capítulo – IV

ESPAÇO VETORIAL LINEAR

RESUMO

Neste capítulo será visto a definição de espaço vetorial linear e suas propriedades,

o conceito de base de vetores, transformação de coordenadas, base recíproca, base

ortonormal, angulos de Euler. Apresentaremos também o problema de auto-valores e auto-

vetores.

4. 1 – Objetivos do Capítulo


Um vetor pode ser representado algebricamente por uma matriz linha ou por uma

matriz coluna.

nn vvvvvvv ...)....( 21,,3,2,1 (4. 1)

Ou

56

nv

vv

:2

1

(4. 2)

57

4. 3 – Definição de Espaço Vetorial

Seja E um conjunto de vetores e seja K um corpo de escalares onde está

definida uma operação de adição:

,( , ) T

w E E w Ew E E w K

(4. 3)

(onde *

é o complexo conjugado de

para vetores formados por números complexos e no

caso particular para números reais temos

* ) com qualquer um dos elementos de E, e

que esteja definida uma operação entre os elementos de K e os elementos de E (chamada de

multiplicação por um escalar)

EEKw ),( (4. 4)

Diz-se então que E é um K-espaço vetorial em relação a essas operações se as

seguintes condições estiverem satisfeitas.

I) Definição da Operação de Adição de Vetores

, w E E w E (4. 5)

para essa operação estão definidas as seguintes propriedades

I.i) Comutativa

Eww (4. 6)

I.ii) Associativa

Ewuuwuw )()()( (4. 7)

I.iii) Elemento Neutro da adição

uma vetor 0 E /

E 0 (4. 8)

I.iv) Elemento Simétrico

uma vetor -

E /

E 0)( (4. 9)

58

II) Definição da Operação Produto Escalar com Vetores

EEKw ),( (4. 10)

para essa operação estão definidas as seguintes propriedades:

II.i) Comutativa do Escalar

(4. 11)

II.ii) Associativa de Escalar com Escalar

E )( (4. 12)

II.iii) Elemento Neutro do Escalar

1( ) (4. 13)

II.iv) Distribuitiva do Escalar

Ewww ,)( (4. 14)

II.v) Distribuitiva do Vetor com Escalar

E )( (4. 15)

II.vi) Elemento Nulo do Escalar

0( ) 0 (4. 16)

III) Definição da Operação Produto Interno de Vetores

( , ) Tw E E w K (4. 17)


III.i) Comutativa do produto

Eww (4. 18)

III.ii) Associativa do Produto de Vetores

( . ) ( . ) ??u w u w (4. 19)

III.iii) Elemento Neutro do Produto

59

um vetor 1

1 E /

E 1..1 (4. 20)

III.iv) Elemento Inverso

uma vetor 1v E /

E 1. 1 (4. 21)

III.v) Elemento Nulo

um vetor 0

E /

Ee 0.00.0 (4. 22)

III.vi) Transposição do produto de vetores

AB = (BA)T = B T AT (4. 23)

III.vii) Transposto de multiplicações sucessivas vale:


O espaço vetorial é chamado de complexo ou real dependendo se os escalares são

só números complexos ou só números reais.

IV) Definição da Operação Produto Externo de Vetores

, w E E w W E (4. 25)


IV.i) Anticomutativa

w w (4. 26)

IV.ii) Associativa

(4. 27)

IV.iii) Elemento Neutro

(4. 28)

60

IV.iii) Elemento Nulo

0 (4. 29)

V) Definição da Operação Produto Tensorial de Vetores

, w E E w W E (4. 30)

61

4. 4 – Geradores e Sub-Espaço Vetorial

Aqui, nós iniciaremos uma seqüência de idéias estreitamente relacionadas; tais

como, geradores, dependência linear, base, expansão e dimensão. Os conceitos, as definições

e os teoremas são válidos para qualquer espaço vetorial, mas nossos exemplos ilustrativos são

restritos ao espaço n-dimensional Rn, sendo este o caso de maior interesse nos capítulos 9-12.

4.4.1 – Geradores

Se u1, u2, ..., são vetores em um espaço vetorial S, então a série de todas as

combinações lineares destes vetores, isto é, todos os vetores dado pela seguinte forma:

nnuuuuu ....332211 (4. 31)

onde n ,....,, 21 são escalares é chamado de geradores de nuuuu ....,,, 321 e denotado

como geradores de nuuuu ....,,, 321 .

A série nuuuu ....,,, 321 é chamada de série geratriz dos geradores

nuuuu ....,,, 321 .

62

4. 5 – Dependência Linear

A definição da dependência ou independência linear de uma série de vetores é

essencialmente idêntica a definição de dependência ou independência linear de funções

somente com a palavra “funções” mudada para “vetores”.

4.5.1 – Dependência e Indepedência Linear

Definição:

Uma série de vetores 1 2, ,...., nv v v é dita ser linearmente dependente se no

mínimo um deles puder ser expresso como combinação linear dos outros. Se nenhum dos

vetores puder ser assim expresso, então a série é dita ser linearmente independente.

Teorema (Teste para Dependência/Independência Linear):

Seja E um K-espaço vetorial. Diz-se que uma série finita de vetores,

1 2, ,...., nv v v E e linearmente dependente (L.D.) sobre K, se e somente se existirem

escalares, Kn ,....,, 21 , não todos nulos, tais que:

1 1 2 2 3 3.... 0n nv v v v (4. 32)

Observa-se que essa relação é sempre válida se os ’s para i = 1, 2, 3, ...., n são

todos iguais a zero. Se, nesse caso, todos os ’s são nulos, então diz-se que a série de vetores

é linearmente independente (L.I.).

Prova:

63

4.5.2 - Dimensão de um K-espaço vetorial.

Diz-se que um K-espaço vetorial tem dimensão n se este satisfizer ois pincipios

básicos:

i) Existem uma réplica de n vetores linearmente independentes (principio de

ortogonalidade).

ii) (n +1) vetores do conjunto acima são sempre linearmente dependentes

(princípio de completeza).

64

4. 6 – Base de um K-espaço Vetorial

Qualquer conjunto de n-vetores linearmente independentes entre si satisfazendo as

condições acima forma uma base para o K-espaço vetorial de dimensão n.

4.6.1 - Corolário – 1

Qualquer vetor do espaço pode ser representado como combinação linear dos

vetores da base.

Suponhamos um conjunto de n vetores Eeee n ˆ,....,ˆ,ˆ 21 linearmente

independentes formando uma base para o espaço vetorial E de dimensão n. Logo podemos

expressar qualquer vetor v do espaço em termos dos vetores desta base ie

nnexexexexv ˆ....ˆˆˆ 332211 (4. 33)

Chamamos a n’upla ),....,( 21 nxxx de coordenadas do vetor v na base ie

kiexv ˆ (4. 34)

Suponhamos ainda outro conjunto de n vetores linearmente independentes

Eeee n'ˆ,....,'ˆ,'ˆ 21 , formando outra base para o espaço vetorial E. Logo, novamente o vetor

v do espaço E também pode ser expresso em termos da base ie'ˆ da seguinte forma:

nn exexexexv 'ˆ'....'ˆ''ˆ''ˆ' 332211 (4. 35)

Novamente a n’upla )',....','( 21 nxxx são as coordenadas do vetor v na base

je'ˆ (1)

A partir do Corolário – 1 pode-se concluir que também os vetores da base je'ˆ

podem ser expressos em termos da base ie .

1 base ou sistema de coordenadas

65

4.6.2 – Mudança de Base

De forma geral os vetores da base je'ˆ expressam-se me termos dos vetores da

base ie da seguinte forma:

a) ji ee 'ˆˆ

nnnnnnn

nn

nn

nn

eeeee

eeeeeeeeee

eeeee

ˆ....ˆˆˆ'ˆ:

ˆ....ˆˆˆ'ˆˆ....ˆˆˆ'ˆ

ˆ....ˆˆˆ'ˆ

332211

33332231133

23232221122

13312211111

(4. 36)

Escrevendo em termos de somatório temos:

nj

ee k

n

kkjj

,...3,2,1

ˆ'ˆ1

(4. 37)

Os n2 coeficientes kj formam os elementos da matriz de transformação de

coordenadas da base ( ie ) para a base ( je'ˆ ). Normalmente se representa a matriz formada

pelos elementos kj da seguinte forma:

][ kjγ

(ver Teoria de Matrizes)

(4. 38)

É claro que podemos fazer exatamente o oposto ou seja, expressar os vetores da base )ˆ( ie em termos da base )'ˆ( je . Portanto,

a) ij ee ˆ'ˆ

nnnnnnn

nn

nn

nn

eeeee

eeeeeeeeee

eeeee

'ˆ....'ˆ'ˆ'ˆˆ:

'ˆ....'ˆ'ˆ'ˆˆ'ˆ....'ˆ'ˆ'ˆˆ

'ˆ....'ˆ'ˆ'ˆˆ

332211

33332231133

23322221122

13312211111

(4. 39)

Escrevendo em termos de somatório temos:

66

ni

ee r

n

rrii

,...3,2,1

'ˆˆ1

(4. 40)

Novamente os n2 coeficientes ri formam os elementos da matriz de

transformação de coordenadas da base ( je'ˆ ) para a base ( ie ). Da mesma forma se representa

a matriz formada pelos elementos ri da seguinte forma:

][ riβ

(ver Teoria de Matrizes a definição de Matriz Inversa)

(4. 41)

Para se encontrar a relação entre as matrizes βγ e devemos escrever a expressão

(4. 37) da seguinte forma:

k

n

kkr

n

rrir

n

rrii eee ˆ'ˆˆ

111 (4. 42)

como o ri não possui índices inclusos na somatória em k, podemos passá-lo para dentro

desta somatório sem alterar o resultado, sem nenhum problema.

n

rk

n

kkrrir

n

rrii eee

1 11ˆ'ˆˆ (4. 43)

Agora podemos trocar a ordem da somatório e então teremos:

k

n

k

n

rkrrir

n

rrii eee ˆ'ˆˆ

1 11

(4. 44)

Vemos que para os valores de ie e ke coincidirem a fim de que a igualdade acima seja válida é preciso que i seja igual a k logo:

ki

kin

rkrri se 0

se 1

1 (4. 45)

que corresponde ao Delta de Kröenecker, com nki ,....,3,2,1, . Logo

67

ik

n

rkrri

1 (4. 46)

Portanto

ni

ee k

n

kiki

...,3,2,1

ˆˆ1

(4. 47)

68

4.6.3 – Transformações de Coordenadas

Consideraremos agora um vetor v expresso em termos dos vetores de duas bases

ˆ ˆe 'i je e da seguinte forma:

a) 'i jx x

1

ˆn

i ii

v x e

(4. 48)

e

1

ˆ' 'n

i ii

v x e

(4. 49)

Substituindo a expressão ( ) em ( ) temos:

1 1 1

ˆ ˆ 'n n n

i i i ri ri i r

v x e x e

(4. 50)

Como xi não possui índices inclusos na somatória r, podemos passá-lo para dentro

desta somatória sem alterar o resultado final.

1 1 1

ˆ ˆ 'n n n

i i i ri ri i r

v x e x e

(4. 51)

Agora podemos trocar a ordem da somatórias que não altera o resultado:

1 1

ˆ 'n n

i ri rr i

v x e

(4. 52)

Agora comparando o resultado ( ) com ( ) podemos concluir que, fazendo j = r temos:

1'

n

j i jii

x x

(4. 53)

69

b) ' j ix x

Da mesma forma podemos fazer substituindo a expressão ( ) em ( ):

1 1 1

ˆ ˆ' ' 'n n n

j j j ki kj j r

v x e x e

(4. 54)

Como xi não possui índices inclusos na somatória r, podemos passá-lo para dentro

desta somatória sem alterar o resultado final.

1 1 1

ˆ ˆ' ' 'n n n

j j j kj kj j k

v x e x e

(4. 55)

Agora podemos trocar a ordem da somatórias que não altera o resultado:

1 1

ˆ'n n

j kj rk j

v x e

(4. 56)

Agora comparando o resultado ( ) com ( ) podemos concluir que, fazendo i = k temos:

1'

n

i j ijj

x x

(4. 57)

Comparando ( ) com ( ) e ( ) com ( ) vemos que as coordenadas (ou componentes)

x’j transformam-se diferentemente dos vetores de base ˆ ' je e da mesma forma vemos que as

coordenadas (ou componentes) xi transformam-se diferentemente dos vetores da base ie .

Componentes que se transformam como x’j ou xi são chamadas de componentes

contravariantes do vetor v em relação aos vetores da base ˆ ˆe 'i je e respectivamente.

70

4. 7 – Espaço Euclidiano

Vamos definir aqui importantes noções de produto interno (produto escalar) e de

ortogonalidade

4.7.1 – Produto Escalar

Seja E um espaço vetorial real.

Sejam x, y elementos de E.

Chama-se produto escalar (ou produto interno) de x por y ,x y , qualquer função

definida em E E com valores em satisfazendo as seguintes propriedades:

P1)

, ,x y y x (4. 58)

P2)

, , , , , ,x y z x z y z x y z E (4. 59)

P3)

, , , , ,x y x y x y E (4. 60)

P4)

, 0, , 0 se e somente se 0x x x x x (4. 61)

Uma espaço vetorial real, E, onde está definido um produto escalar é chamado

ëspaço euclidiano real”.

4.7.2 – Ortogonalidade

Definição: Em um espaço euclidiano real, diremos que x é ortogonal a y, em

símbolos, x y se e somente se

, 0x y (4. 62)

Obs:

,0 0, 0x x x (4. 63)

71

Teorema 1.1

Os vetores 1 2, ,..., mv v v tais que:

a)

0, 1,2,....iv i m (4. 64)

b)

, 0 parai jv v i j (4. 65)

São linearmente independentes.

Dito de outro modo: os vetores não nulos 1 2, ,..., mv v v , dois a dois ortogonais, são

sempre linearmente independentes.

Prova

Teorema 1.2

72

4.7.3 – Desigualdade de Cauchy-Schwartz

73

4. 8 – Bases Recíprocas

Vamos agora introduzir um conceito básico por meio do qual o problema de

determinar analiticamente os coeficientes (“componentes”) da expansão de um vetor

arbitrário v em termos de uma base ( ie ) tem uma solução simples e elegante. Trata-se do

conceito de base recíproca de uma base dada.

Duas bases ( 321 ,, eee ) e ( 321 ,, eee

) são recíprocas se:

kki iee . (4. 66)

Esta condição implica dizer que 1e é perpendicular a 2e e a 3e , etc, etc. Além disso, de (4.

66) e da definição de produto escalar segue-se que:

1),cos(.. ki

ki eeee (4. 67)

Daí concluímos que 0),cos( ki ee

, i, k = 1,2, 3, ... e que portanto

2),( k

i ee (4. 68)

É fácil construir explicitamente a base recíproca ( 321 ,, eee ) da base ( 321 ,, eee

). Com efeito,

como 1e deve ser perpendicular a 2e e 3e , conclui mos que

321 eeme

(4. 69)

pela definição de produto vetorial. Multiplicando (4. 69) escalarmente por 1e , e usando (4.

66) vem:

mveeemee 3211

11 (4. 70)

De onde tiramos

vm 1 (4. 71)

e

74

321 eeev (4. 72)

Mas 0v porque ( 321 ,, eee ) é base. Levando (4. 72) e (4. 71) em (4. 69) obtemos:

veee 321

(4. 73)

Ou

321

321

eeeeee

(4. 74)

E de modo análogo temos:

321

13132

eeeee

veee

(4. 75)

E

321

21213

eeeee

veee

(4. 76)

Do mesmo modo, a base recíproca de 321 ,, eee é:

321' eeeee

veee

kjkj

i

(4. 77)

Onde i, j, k ~ permutações cíclicas de 1,2,3.

Vê-se assim que a relação “recíproca de ...” é simétrica: A afirmação “ )( ie é

recíproca de ( je )” implica que “( je ) é recíproca de )( ie ”. A cada base ( ie ) está associada, e

de modo único, a base recíproca )( se . Elas são simultaneamente utilizadas na definição das

“componentes” de um vetor, como veremos em seguida.

4.8.1 – Observação importante

(i) No caso de bases ortonormais vê-se facilmente que a base coincide com a sua

recíproca: a recíproca de ( kji ˆ,ˆ,ˆ ) é exatamente ( kji ˆ,ˆ,ˆ ), ou então:

75

kk ii ˆˆ , k = 1, 2, 3, ... (4. 78)

(ii) Como 1'vv (Mostre!), então devemos ter simultaneamente

ou v > 0 e v’< 0 (bases orientadas positivamente) (4. 79)

ou v < 0 e v’< 0 (bases orientadas negativamente) (4. 80)

Vejamos agora como o problema de determinação dos coeficientes da expansão

de um vetor numa dada base se resolve utilizando a base recíproca.

Seja v um vetor e seja ( 321 ,, eee ) uma base. Representamos v por meio da

seguinte expressão:

kkevevevevv 3

32

21

1 (4. 81)

76

4. 9 – Bases Ortonormais

Vamos agora estudar as bases ortonormais, que constituem um caso particular das

bases de vetores mas de grande utilidade prática.

Suponhamos que a base escolhida para representar os vetores do espaço seja

ortonormal, isto é, a base ( Eeee n ˆ,....,ˆ,ˆ 21 ) satisfaz:

ijji ee ˆ.ˆ (4. 82)

Como sabemos, as bases ortonormais são auto-recíprocas, isto é, coincidem com a base

recíproca

77

4. 10 –

Sejam dois sistemas de coordenadas descritos pelos vetores unidades ie e ke'ˆ e

que a relação entre eles seja:

n

kkkii eAe

1ˆˆ (4. 83)

78

4. 11 – Processo de Diagonalização de Gram-Schmidt

Sejam ,,..., 21 nfff

n vetores linearmente independentes formando uma base

para um espaço vetorial de dimensão n. Considere que os ângulos formados pelos vetores

entre si são diferentes de 90º graus, ou seja, esta base não é ortogonal.

Figura - 4. 1.

Queremos encontrar os vetores jf

que ortogonalizam esta base, ou seja,

Figura - 4. 2.

0. // iT

j ff

(4. 84)

Sabemos pela definição de produto escalar de dois vetores que:

cos. ijiT

j ffff

(4. 85)

onde é o ângulo formado pelos vetores. Logo podemos expressar:

Figura - 4. 3.

79

jfiff jjjˆˆ

//

(4. 86)

Ou

jfiff jjjˆsenˆcos

(4. 87)

Portanto,

jff jjˆsen

(4. 88)

Mas podemos escrever a projeção do vetor jf

na direção de if

da seguinte

forma:

iff jjˆcos//

(4. 89)

Da equação ( ) temos que

i

f

fff

i

iT

jj

ˆ.//

(4. 90)

E a direção do versor î é dada por:

i

i

ffi

ˆ (4. 91)

Logo

i

i

i

iT

jj f

ff

fff

.

// (4. 92)

E jf

perpendicular pode ser escrito como

//jjj fff

(4. 93)

Figura - 4. 4.

80

i

i

iT

jjj f

f

ffff

2

. (4. 94)

Realizando esta operação dois a dois para os n vetores da base com i j teremos a

ortogonalização desejada, chamada de processo de Ortogonalização de Gram-Schimidt

Mas sabemos que iT

ii fff

.2 logo podemos escrever a relação geral para o

processo de ortogonalização de Gram-Schimidt da seguinte forma:

i

iT

i

iT

jjj f

ffff

ff

.

. (4. 95)

Para i j. Escolhendo uma base ortonormal onde:

1

11 f

fe

(4. 96)

Temos que:

i

iT

i

iT

jjj f

ffff

fe

.

.ˆ (4. 97)

Para nj ....3,2

81

4. 12 – Operadores Lineares

4.12.1 - Definição

Agora nós consideraremos uma função vetorial linear de um vetor, ou seja,

chamamos de Operador Linear, (2), a toda regra que associa univocamente todo e qualquer

vetor

de um Espaço Vetorial E a um outro vetor w também do mesmo espaço vetorial da

seguinte forma linear:

EwveE )( (4. 98)

Ou ainda sendo

, ( ) ( ) ( )u E e u v u v E (4. 99)

Se considerarmos um vetor arbitrário v dado por:

1

n

i ii

(4. 100)

Então, genericamente, a seguinte condição de linearidade será satisfeita:

1 1

( ) ( )n n

i i i ii i

w v

(4. 101)

Que por sua vez é igual á:

1 1

1

( ) ( )

( )

n n

i i i ii i

n

i ii

w v

w v w

(4. 102)

Os operadores lineares possuem ainda as seguintes propriedades:

Seja A e B dois operadores lineares quaisquer de Espaço Vetorial E:

i)

(A + B) = A + B (4. 103)

ii)

2 Onde pode ser também uma função vetorial linear

82

(AB) = A(B ) (4. 104)

iii)

(A) =(A ) (4. 105)

iv) Em geral AB BA, mas no caso de serem iguais, dizemos que A e B comutam entre si.

v) O operador nulo e o operador identidade tem significado óbvio, notadamente:

0 = 0 e 1= (4. 106)

Para todo e qualquer vetor do espaço, E.

vi) Dois operadores A e B são ditos iguais se e somente se

A = B (4. 107)

Para todo e qualquer

do Espaço vetorial E.

vii) Se existir um operador tal que:

A.B = 1 (4. 108)

Dizemos que B = A-1, ou seja, que o operador B é o inverso do operador A. Portanto, se:

A = w (4. 109)

Então

A-1 w = (4. 110)

Pois

A-1A= A-1 w

1= A-1 w

A-1 w =

(4. 111)

Operadores os quais não possuem inversos são ditos singulares. Vejamos o

exemplo abaixo:

Considere o espaço tridimensional dos vetores posição

e, um convencional

sistema de coordenadas cartesiano x,y,z conforme mostra a Figura - 4. 5.

83

Figura - 4. 5.

Nós definimos o operador projeção Pxy tal que Pxy(

) é a projeção vetor

no

plano xy. O qual possui as mesmas coordenadas x e y do vetor

, mas possui a coordenada z

nula. De fato, o espaço dos vetores Pxy(

) é bidimensional, ou seja, diferente do espaço

vetorial dos vetores

. Portanto, fica claro que o operador Pxy(

) não possui um inverso, ou

seja, é singular.

vPvP zyx

yx

xyxy

000010001

0 )(

(4. 112)

Portanto, se qualquer vetor,

, do espaço vetorial E se transforma linearmente

,pela propriedade (ii) e (iii), em outro vetor, w , também do espaço vetorial E, através de um

operador linear qualquer. Então, os vetores da base também se transformarão linearmente

pelo mesmo operador, em um outro vetor da base, da seguinte forma:

jj fe

(4. 113)

Onde Efe jj e (Espaço Vetorial). Mas qualquer vetor do espaço pode ser escrito em

termos dos vetores da base. Logo, jf

pode ser escrito em termos dos ie ’s da seguinte forma:

nj

eAf i

n

iijj

,....,3,2,11

(4. 114)

Igualando as expressões (4. 113) e (4. 114) temos:

84

nj

eAe i

n

iijj

,....,3,2,1

)(1

(4. 115)

Onde os Aij é então a i’ésima componente do vetor jf

. E os n2 coeficientes Aij formam os

elementos da matriz do operador linear . Representado da seguinte forma:

][)( ijA A (4. 116)

Logo

ij ef A (4. 117)

Ou ainda

]][[][ iijj eAf (4. 118)

Portanto, qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz de transformação.

Agora se considerarmos um vetor v qualquer (arbitrário), e chamarmos de :

wv )( (4. 119)

Com Ewv e , onde v expresso em termos dos vetores da base vale:

i

n

iiexv

1

(4. 120)

Logo

wexv i

n

ii

1)( (4. 121)

Que pelas propriedades (4. 98) e (4. 101) de operadores lineares temos:

i

n

ii exv

1

)( (4. 122)

Mas

ii fe

(4. 123)

85

Da relação ( ) reesulta:

i

n

iii

n

ii fxexvw

11

)( (4. 124)

Mas da relação ( ) temos que:

k

n

kki

n

ii eAxw

11

(4. 125)

como as componentes xi não possui índice incluso na somatório em k, logo podemos passá-la

para dentro desta somatória, sem alterar o resultado, logo:

n

ik

n

kkii eAxw

1 1

(4. 126)

Trocando a ordem da somatória, ficamos com:

n

kk

n

ikii eAxw

1 1

(4. 127)

Sabemos que se expressarmos o vetor w em termos dos vetores da base teremos:

k

n

kkeyw

1

(4. 128)

comparando ( ) com ( ) concluimos que:

n

ikiik Axy

1 (4. 129)

Então podemos descrever as relações acima de outra forma, dizendo que o vetor

w está associado com o vetor v por um operador linear A operando em v da seguinte

forma:

vw A (4. 130)

Então os números Aki são os componentes do operador linear A no sistema de

coordenadas ie . Especificamente da relação ( ) vemos que Aij é a i’ésima componente do

vetor jeA . Analogamente concluímos comparando as relações ( ) e ( ) que:

86

]][[][ vAw ij

(4. 131)

na base ie

Apenas com os vetores, é que os operadores lineares frequentemente têm um

significado físico o qual não depende de um sistema de coordenadas específico, e pode ser

descrito sem referência a um sistema de coordenadas específico.

Para operadores que mudam o vetor v para outro vetor do espaço vetorial, como

é o caso do operador projeção, P, exemplificado anteriormente, a única mudança requerida na

análise acima é expressar )( je em termos da base if

no espaço , tal que a relação ( ) fica:

i

m

iijj fAe

1

)( (4. 132)

Então os componentes Aij do operador A refere-se a duas bases je e if

, e além

do mais está claro que os dois espaços podem ter número diferente de dimensões e, por isso

não existe um operador inverso (A-1)

Voltando novamente a expressão ( ) nós podemos achar a lei de transformação

para as componentes do operador linear, ou seja escrever a matriz de transformação linear em

uma outra base da seguinte forma:

vAw (4. 133)

Mas de ( ) temos que:

]][[][ vAw ij

(4. 134)

ou seja, em relação as coordenadas de vw e temos: de ( ) que:

]][[][ ikik xAy (4. 135)

mas em relação a um outro sistema de coordenadas temos:

i

n

iiexv ''

1

(4. 136)

e

87

i

n

iieyw ''

1

(4. 137)

Mas

)(vw (4. 138)

Que vale

)'('''11

i

n

iii

n

ii exexw

(4. 139)

Pelas propriedades ( ) e ( ) de operadores lineares e da mesma forma:

ii fe ')'(

(4. 140)

Mas como novamente os if

’s podem ser expressos em termos dos vetores desta nova base

temos:

k

n

kkij eAf '''

1

(4. 141)

Portanto, igualando ( ) com ( ) temos:

ni

eAe k

n

kkij

...4,3,2,1

'')'(1

(4. 142)

onde o A’ki é então a k’ésima componente do vetor if

. E os n2 coeficientes A’ki formam os

elementos da matriz do operador linear na nova base ie ' . Representando-se em forma de

matrizes temos:

]'[)( kiAA (4. 143)

onde

ki eAf '' (4. 144)

Ou ainda

88

]']['[]'[ kkii eAf (4. 145)

Voltando a expressão ( ) temos:

i

n

kik

n

ki fxexvw '')'(')(

11

(4. 146)

Ou seja

k

n

kki

n

iii

n

ii eAxfxvw ''''')(

111

(4. 147)

Como os componentes ix' não possui índice incluso na somatória em k podemos passá-lo

para dentro desta somatória em k, sem alterar o resultado, logo:

n

ik

n

kkii eAxw

1 1''' (4. 148)

trocando a ordem das somatórios temos:

n

kk

n

ikii eAxw

1 1''' (4. 149)

comparando agora a expressão ( ) concluímos que:

n

ik

n

kkiik

n

ki eAxeyw

1 11''''' (4. 150)

Ou seja

n

kkiii Axy

1''' (4. 151)

Como os vetores v e w e o operador não depende do sistema de coordenadas novamente

vale:

vw A (4. 152)

Sendo que os números A’ki são os componentes do operador linear A no sistema de

coordenadas ie ' . Especificamente da relação ( ) vemos que A’ki é a k’ésima componente do

vetor ieA ' . Da mesma forma temos:

89

]]['[][ vAw ij

(4. 153)

na base ie ' . Nós sabemos que:

]'][[][ ww ij (4. 154)

e

]'][[][ vv ij (4. 155)

ou seja

]'][[ jiji xx (4. 156)

e

]'][[ kkjk yy (4. 157)

Substituindo em ( ) temos:

]'][][[][ jkjkikkj xAy (4. 158)

Multiplicando ambos os lados por 1][ ij temos:

]'][][[][][][ 11jkjkikjkkjkj xAy (4. 159)

e

]'][][[][]1[ 1jkjkikjk xAy (4. 160)

Logo

]'][][[][ 1jkjkikjk xAy (4. 161)

Portanto

]][[][]'[ 1kjkikjki AA (4. 162)

90

4. 13 – Auto-Valores e Auto-Vetores

Escolhamos um base ortonormal ie para expandir os vetores do espaço E3.

Consideremos um operador linear A definido em E3. A matriz do operador A na base

escolhida é a matriz A, de elementos j

iA . Quando um operador linear )(A atua

sobre um vetor

, o vetor resultante A é em geral é diferente de

. Contudo, podem

existir certos vetores (não nulos) para o qual A é apenas

multiplicado por uma

constante, . Isto é:

A (4. 163)

Tal vetor 0v é chamado de um auto-vetor do operador A , e o número (real ou

complexo) é chamado de um auto-valor correspondente ao auto-vetor

. O auto-vetor é dito

“pertencer” ao auto-valor. Num dado sistema de coordenadas, a componente i’ésima da

equação (4. 163) é:

n

jijij xxA

1 (4. 164)

para i = 1,2 ,...n. Ou na notação matricial:

xx A (4. 165)

O problema de achar os auto-valores para o qual o sistema linear de equações

tem uma solução não-trivial é algo muito importante.

Se A é a matriz do operador A

nxnnnnn

n

n

aaa

aaaaaa

..::::

..

..

21

22221

11211

A (4. 166)

Podemos montar o sistema de equações da seguinte forma:

Designando por I, como de hábito, a matriz identidade 3 x 3 (que correponde ao

operador identidade I), multiplicamos ambos os lados da equação (4. 165) pela matriz

identidade:

91

xx IAI (4. 167)

e

0 xx IA (4. 168)

Logo

0)( xIA (4. 169)

Representando o vetor v por meio de uma matriz coluna temos:

03

2

1

vvv

v (4. 170)

A equação ( ) se escreve, usando as matrizes A e I.

03

2

1

33

23

13

32

22

12

31

21

11

vvv

AAAAAAAAA

(4. 171)

Esta é uma equação matricial que corresponde a um sistema de 3 equações algébricas lineares

homogêneas para as componentes 321 ,, vvv do autovetor v . A condição necessária e

suficiente para se determinar os auto-valores diferentes da solução trivial (isto é 0v ) é

preciso que o determinante D da matriz )( IA seja igual a zero. Desta forma

chegamos a equação característica ou equação secular que fornece os valores de .

0)det( IA D (4. 172)

Se a matriz A é n x n, haverá n raízes , não necessariamente todas distintas.

O determinante D , como função de , é um polinômio de 3º grau,

denominado polinômio característico do operador A, e tem a forma:

012

23 DCCD (4. 173)

Onde

92

ADeDddC det02,1

!1

0

(4. 174)

A equação 0D tem, no máximo, 3 raízes. Mas as raízes de 0D são os valores

para os quais ( ) é valida e portanto para que ( ) ou ( ) seja válida; isto quer dizer que os

autovalores de A são as raízes da equação 0D . Podemos então afirmar.

i) Os autovalores de A são as raízes do polinômio característico ou da equação

0)det( IA D (4. 175)

ii) O operador A tem, no máximo, 3 autovalores (que podem ser reais ou complexos).

Uma vez conhecidos os autovaores 321 ,, , a equação ( ) fornece os

autovetores 321 ,, vvv correspondentes. Observe que o sistema ( ) sendo homogêneo, só

obteremos as soluções 3,2,1iv i

a menos de normalização; isto quer dizer que ( ) dará

soluçào única para 3,2,1iv i

se impusermos que 3,2,1;1 iv i

.

Pode acontecer que existe mais de um autovetor correspondendo ao autovalor ,

neste caso dizemos que o autovalor é degenerado.

Examinado 0D dado na equação ( ) observamos que:

DD lim;lim (4. 176)

Os limites de ( ) nos permitem concluir que , que é uma função contínua de por ser um

polinômio, deve se anular pelo menos uma vez.

Figura - 4. 6.

93

Isto quer dizer que:

iii) No espaço de dimensão 3, todo operador linear tem pelo menos um autovalor (o mesmo

resultado vale para todos os espaços de dimensão impar)

Quando 0det0 AD é positivo, então podemos concluir que D terá

pelo menos um zero positivo, ou seja:

iv) Quando 0det A , o operador linear A tem pelo menos um auto-valor positivo.

Vamos agora especializar nosso estado de autovalores e autovetores para o caso

de operadores ortogonais, isto é, operadores cujas matrizes sào ortogonais. Como já sabemos,

os operadores ortogonais conservam a ortonormalidade do vetores Eeee n ˆ,....,ˆ,ˆ 21 . Isto

quer dizer que o módulo dos vetores, bem como o produto escalar de 2 vetores são invariantes

por transformações ortogonais. De fato sendo ortogonal, o operador A satisfaz a relação:

1ˆˆ TAA (4. 177)

ou

TAA ˆˆ 1 (4. 178)

O que significa, que dada uma base ortonormal qualquer Eeee n ˆ,....,ˆ,ˆ 21 , a matriz A do

operador A satisfaz relações idênticas as relações (4. 177) e (4. 178): ou

1AA T (4. 179)

ou

TAA 1 (4. 180)

A partir da equação decorre que

1detdet 1AAT (4. 181)

Mas como

1detdetdet TT AAAA (4. 182)

e como também

94

TAA detdet (4. 183)

“Um determinante não se altera trocando linhas por colunas”, então comcluimos que:

1det 2 A (4. 184)

Ou

1det A (4. 185)

O caso de 1det A corresponde ás rotações propriamente ditas “próprias”. Por exemplo,

o determinante da matrizes das equações ( ), ( ), ( ), ( ) e ( ) é sempre igual a +1.

O caso det A = -1 corresponde às rotações ditas “impróprias” ou inversões. Por

exemplo a transformação kjikji ˆˆˆˆˆˆ é feita por uma matriz ortogonal da seguinte

forma:

Chamando 321 'ˆ'ˆ'ˆ eee a nova base, temos:

kjie

kjie

kjie

ˆ.1ˆ.0ˆ.1'ˆ

ˆ.0ˆ.1ˆ.0'ˆ

ˆ.0ˆ.0ˆ.1'ˆ

3

2

1

(4. 186)

Que implica na seguinte matriz de transformação:

100010001

A (4. 187)

Cujo determinante é -1. Não existe nenhuma rotação própria que leve kji ˆˆˆ em kji ˆˆˆ

Seja agora calcular o produto escalar de imagens do operador Â, isto é, calcular o

produto Âu.Âv; representando Âu e Âv como fizemos em ( )

k

ki

i

jji

i

eAvv

eAuu

ˆ

ˆ

A

A (4. 188)

temos:

95

mj

mk

ji

ki

mmk

kj

ji

i

eeAAvu

eAveAuvu

ˆ.ˆ

ˆ.ˆ.

AA

(4. 189)

Usando agora a ortonormalidade da base 321 ˆ,ˆ,ˆ eee , tal como expressaa em ( ) teremos,

usando também ( ):

vuvuvu

AAvu

AAvuvu

mm

mk

mi

ki

jmmk

ji

ki

..

.

AA

AA

(4. 190)

Em palavras isso quer dizer que o operador ortogonal Â conserva o produto escalar de

vetores.

A equação ( ) vale também quando vu . Neste caso teremos:

22 vu A (4. 191)

que quer dizer que o produto ortogonal Â conserva o módulo de vetores. Esta propriedade dos

operadores ortogonais acarreta outra de muita importância:

Os autovalores de operadores ortogonais têm módulo 1. De fato, consideremos a

equação de autovalor/autovetor para o operador ortogonal Â:

uuÂ (4. 192)

Tomando o módulo de ambos os membros de ( ) e usando, vem

uuuuÂ . (4. 193)

ou seja:

11 ou (4. 194)

Então concluimos:

v) Todo autovalor de um operador ortogonal é +1 ou -1.

Isto é bastante intuitivo, porquanto uma rotação própria não muda nem a direção

nem o sentido e nem o módulo do versor a do eixo: aaÂ , já uma rotação imprópria

apenas inverte o sentido de a :

96

aaÂ (4. 195)

No caso de rotação próprias o determinante de Â é +1, e portanto detA>0.

Levando em conta esta observação e conbinando as propriedades ( ) e ( ) Concluimos que:

vi) O auto valor real de todo operador ortogonal, de determinante positivo (“rotação própria”),

é sempre +1.

97


98


99

Capítulo – V

ESPAÇO TENSORIAL LINEAR

RESUMO

Neste capítulo será visto a definição geral de tensores do qual decorrem os

escalares os vetores e as matrizes, como também as suas propriedades e aplicações ao cálculo

de funções.

5. 1 –Introdução

100

5. 2 – Definição de Tensores

Os tensores são uma generalização dos escalares, dos vetores e das matrizes. Eles

são formas funcionais lineares que seguem a regras bem definidas de operações lineares. Eles

podem ser classificados quanto ao sua ordem como tensores de ordem zero, um, dois, etc.

5.2.1 - Formas Funcionais Lineares

Consideremos o espaço vetorial E, de dimensão 3, no qual está definido um

produto escalar (espaço euclidiano). Chama-se funcional em forma linear em E qualquer

aplicação linear do espaço vetorial E no conjunto R dos números reais. Indicaremos os

funcionais lineares pelo símbolo )()1( F ; assim:

realnumerouFu

REF

:)(

:)()1(

)1(

(5. 1)

A linearidade de )()1( F significa:

)()()( )1()1()1( vFuFvuF (5. 2)

Da equação (5. 2) reduz-se facilmente que:

0)0()1( F (5. 3)

Um exemplo de funcional linear sobre o espaço E é proporcionada pelo produto

escalar dos vetores de E com um vetor fixo a . Assim ao vetor a está associado o funcional

linear )()()1( aF a tal que:

EuuauF a ,.)()1( (5. 4)

É fácil ver que )()1( aF é linear; com efeito:

)(...)( )1()1()1( vFFvauavuavuF aaa

(5. 5)

Por este exemplo fica então demonstrado que a todo vetor a está associado um

funcional linear sobre E, definido por (5. 4). Gostaríamos de saber se a recíproca é verdadeira,

isto é, se todo funcional linear )()1(aF é da forma )()()1( aF a

para um a

101

conveniente. Para isso vamos introduzir uma base ( 321 ,, eee ) em E e fazer uso da linearidade

do funcional )()1( aF . Dado um vetor Eu qualquer, ele se representa por iieuu

, de

modo que a imagem de u por )()1( F é dada por:

)()()( )1()1()1(i

ii

i eFueuFuF (5. 6)

Pela equação (5. 6) vê-se claramente que para definir )()1( F é necessário dar os 3 números

reais ...3,2,1,)()1( ieF i

. Introduzimos, então, por definição os 3 números reais

,...3,2,1, iai por meio de

...3,2,1,)()1( iaeF ii (5. 7)

Introduzindo-se ( ) em ( ) obtemos:

ii

ii aueuFuF )()( )1()1( (5. 8)

O funcional )()1( F fica, então, definido, na base ( 321 ,, eee ) pelos 3 números ai definidos

em ( ). Vamos agora ver o que acontece se mudarmos de base.

Seja então )',','( 321 eee uma outra base de E, dada por j

jii eAe ][' 1

iieuu '

, com mim

i uAu ][ 1 (5. 9)

102

5. 3 – Cálculo Tensorial de Funções

(5. 10)

103

5. 4 – Aplicação a Redes-Neurais Matemáticas

104


105


106

Capítulo – VI

ESPAÇO VETORIAL DE FUNÇÕES

RESUMO

Neste será visto a analogia entre o espaço vetorial linear e o espaço de funções

mais apropriadamente o espaço funcional linear. Veremos as propriedades e aplicações desta

teoria matemática.

6. 1 –Introdução

107

6. 2 – Definição de Espaço Vetorial de Funções ou Espaço Funcional Linear

Chamamos de espaço algébrico linear de funções, sobre um campo C, a uma série

de elementos 1, 2, 3, .. com uma estrutura algébrica isomorfa ao espaço vetorial.

Considerando dois vetores P

e Q

, onde

),,( 321 pppPP

(6. 1)

E

),,( 321 qqqQQ

(6. 2)

P

e Q

são ortogonais quando

0. 332211 qpqpqpQP

(6. 3)

ou

0.3

1

i

iiqpQP

(6. 4)

Se os vetores forem n-dimensionais

0.1

i

n

iiqpQP

(6. 5)

Façamos agora uma analogia, através da correspondência abaixo:

a) ao índice

xi (6. 6)

b) ao somatório

dxi

(6. 7)

c) às coordenadas

ip (ou iq ) uma função f(x) (ou g(x)). (6. 8)

108

Portanto, a cada vetor ip corresponde uma função )(xf de modo geral,

complexa. Esta correspondência implica que as operações de um espaço vetorial podem ser

extendidas ao espaço das funções f(x).

Sejam f, g, e h, funções neste espaço. As operações se aplicam ao mesmo:

a) Comutatividade

fggf (6. 9)

b) Associatividade

)()( fgfhgf (6. 10)

c) Distribuitividade da soma

gfaffga )( (6. 11)

d) Associatividade do produto

)()( kfafak (6. 12)

e) Elemento nulo

00 f (6. 13)

f) Elemento Neutro

ff 1 (6. 14)

Também, a partir destes postulados podem definido, como em álgebra vetorial:

a) a independência linear das funções

b) produto escalar

c) magnitude de um elemento e distância entre f e g.

Tal espaço de funções complexas obtido por esta analogia é chamado espaço

Hilbert. Neste espaço, a condição de ortogonalidade será, portanto,

0,...),(,...),(* dyxgyxf (6. 15)

Onde ...dxdyd

109

6.2.1 – Equivalência entre o Operador Matricial e o Operador Funcional no Espaço de Funções

110

6.2.2 – Notação de Dirac

Usaremos a notação de Dirac para os elementos i, do espaço algébrico que no

nosso caso tanto pode ser vetores como funções.

ket: (vetor ou função) (6. 16)

No caso do ente abstrato chamado ket for um vetor chamaremos de Espaço Vetorial e no caso

de ser uma função chamaremos de Espaço Funcional.

Seja E um conjunto de ket’s e seja C um campo de escalares do espaço algébrico

linear, onde E é aditivo, isto é, existe uma operação E x E E tal que:

EExE , (6. 17)

Satisfazendo os seguintes axiomas fundamentais:

111

6.2.3 – Propriedades do Espaço de Funções

i) Comutativa

f(x) + g(x) = g(x) + f(x) (6. 18)

ii) Associativa

f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) + h(x) (6. 19)

iii) uma matriz 0 EMatrizes /

f(x) + 0 = f(x) f(x) EFunções (6. 20)

iv) uma matriz -A EMatrizes /

f(x) + (-f(x)) = 0 f(x) EFunções (6. 21)

v) Distribuitiva do escalar

( f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) (6. 22)

vi) Distribuitiva da Matriz com escalar

( + ) f(x) = f(x) + f(x) (6. 23)

vii) Distribuitiva de Matriz com Matriz

f(x)[g(x) + h(x)]j(x) = f(x)g(x) j(x) + f(x)h(x) j(x) (6. 24)

viii) Associativa do produto de matrizes

[f(x)g(x)]h(x) = f(x)[g(x) h(x)] = f(x)g(x) h(x) (6. 25)

ix)

(6. 26)

x) Transposição do produto de matrizes

AB = (BA)T = B T AT (6. 27)

xi) Transposto de multiplicações sucessivas vale:


112

6. 3 –Transformações de Coordenadas

113

6. 4 – Ortogonalidade e Espaço Dual de Funções

Duas funções são ditas ortogonais em um intervalo [a,b] se:

nm

b

amn dxxx )()( (6. 29)

(6. 30)

114

6. 5 – Operadores Lineares, Matrizes e Transformações Lineares

Os operadores no espaço de funções são a base para o estudo das equações

diferenciais.

6.5.1 – Operadores no Espaço de Funções

Seja uma função )(x . Submetida a operações matemáticas, ela pode ser

transformada em outra )(x . As operações abaixo são comuns:

1)

)()( xkx (6. 31)

2)

)()( xxx (6. 32)

3)

dxxdx )()( (6. 33)

4)

x

dxxx0

)()( (6. 34)

Temos, acima, 1) multiplicação por um número k qualquer, 2) por x, 3)

diferenciação e 4) operação de integração. A classe das operações que transformam uma

função na outra é chamada operador. Nos exemplos acima, o operador é, multiplicação por

um número, diferenciação, integração entre 0 e x, etc.

As operações podem ser indicadas como se segue:

)()( xAx (6. 35)

onde A é um operador

O nosso interesse é nos operadores diferenciais do tipo

...)()()( 2

2

21 dxdxa

dxdxaxaA o (6. 36)

115

Não se deve confundir o operador com uma equação. O operador acima traduz

uma instrução de como devemos manipular )(x , o operando. É comum simplificar a

notação e omitir o operando. Assim, a operação sucessiva com o operador A é:

)(xAA ou )(2 xA (6. 37)

onde 2AAA , omitindo )(x .

Os operadores que nos interessam são lineares, isto é, tais que:

)()()()( 2121 xAxAxxA (6. 38)

Sejam A e B dois operadores lineares. De um modo geral

)()( xBAxAB (6. 39)

Isto é, os operadores não comutam relativamente a multiplicação.

Exemplo:

Sejam os dois operadores:

i) Multiplicação por x:

xA (6. 40)

ii) Derivada em relação a x:

dxdB (6. 41)

Onde

)()( xfdxdxxABf (6. 42)

E

)()(

)()()(

xfdxdxxf

xxfdxdxxfBxBAf

(6. 43)

Observe que AB BA.

Um exemplo de operador não-linear é:

iii) Elevar uma função ao quadrado.

116

2)(xfA (6. 44)

Seja aplicar o operador a

)()( 21 xx (6. 45)

Temos:

)()()(2)()()( 2221

2121 xxxxxxA (6. 46)

E

)()()()( 22

2121 xxxAxA (6. 47)

Isto é não-linear, porque:

)()()()( 2121 xAxAxxA (6. 48)

Se a multiplicação for do tipo AnAm do próprio operador elevado a potências n e m,

0 nmmn AAAA (6. 49)

isto é, a operação é comutativa.

117

6.5.2 – Operadores Lineares no Espaço de Funções

118

6.5.3 – Operadores, Auto-vetores e Auto-valores no Espaço de Funções

A um operador podemos associar uma matriz. Seja H um operador Hermitiano

que gera auto-funções, )(xi

)()( xxH ii (6. 50)

Suponhamos as auto-funções ortogonais e tomemos outros operadores L e N que

atuam sobre as mesmas variáveis que H. Definamos as matrizes:

dxLxL jiij )()(* (6. 51)

e

dxNxN jiij )()(* (6. 52)

As equações que contêm L e N são válidas para as matrizes Lij e Nij interpretadas

matricialmente.

Ex:

1) Soma de operadores

NL )( NL (6. 53)

2)

)( ijijij NLNL (6. 54)

6.5.4 – Multiplicação de Operadores no Espaço de Funções

Seja a multiplicação de operadores

dNLLN jiij )(*)( (6. 55)

Mas

s

ssij CN (6. 56)

Ou

ijs

ssjiji CdCdN ** (6. 57)

119

E

(6. 58)

E

ssjsj

sis

sj

ss

sjiij

NL

dLN

dNLLN

*

)(*)(

(6. 59)

Concluímos que o produto de operadores LN pode ser representado pela matriz

(LN)ij.

Tomemos agora a equação de auto-valores

H (6. 60)

Sabemos que ao operador H podemos associar uma matriz dHH jiij * .

Mostremos que a auto função pode ser associada a um auto-valor de Hij. O operador H

possui um conjunto completo de auto-funções i de modo que uma função pode ser escrita

como:

(6. 61)

Onde i são os coeficientes de expansão. Logo

H (6. 62)

ou

(6. 63)

Ou

i

iii

ii H (6. 64)

Premultiplicando por k* e integrando temos:

120

i

ikii

iki ddH (6. 65)

E tomando os i ortonormais, temos:

i

kiii

kii H (6. 66)

Mas

ikkii

ikki HH

)( (6. 67)

Isto é:

kkH )( (6. 68)

É uma equação matricial onde i são componentes de um auto-vetor. Concluímos que a

equação H é convertida na equação matricial.

kkH )( (6. 69)

Onde os k são as componentes de um vetor.

Para obter os i basta observar que e

i

kiii

ikik dd ** (6. 70)

Ou

dkk * (6. 71)

Uma conclusão interessante que se obtém e resulta se tomarmos j isto é,

como auto-função das auto-funções do conjugado associado ao próprio operador H.

jjiH (6. 72)

Isto é, tomando-se

121

iji (6. 73)

na expansão

(6. 74)

Temos, como acima

ddH jijji ** (6. 75)

Ou

ijjijH (6. 76)

Concluindo: quando na equação matricial equivalente a equação de auto-valores H

se tomarmos como auto-função uma das auto-funções do operador H, a matriz que representa

H é diagonal.

122

6. 6 – Mudança de Base para funções

De forma geral as funções da base )(xi expressa-se em termos das funções da

base )(xhi da seguinte forma:

)()(1

xhxn

jjiji

(6. 77)

E

)()(1

xxhn

iijij

(6. 78)

Para encontrar a relação entre os coeficientes funcionais ij e ji devemos:

)()(11

xxn

iiji

n

jiji

(6. 79)

123

6. 7 – Transformação de Funções

124

6. 8 – Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

125

6. 9 – Auto-Funções e Auto-Valores

Consideremos um operador A aplicado a uma função )(x . )(xA é a função

obtida pela transformação e que, geralmente, nada tem de comum com )(x . Há casos

importante, entretanto, em que )(xA é múltiplo de )(x ,

)()( xkx A (6. 80)

onde k = constante. Neste caso )(x e chamada de auto-função e k de auto-valor do

operador A.

Exemplo: Tomemos mxe como auto-função e seja dxdA / :

mxmx meedxdx )(A (6. 81)

Logo, m = auto valor do operador dxdA / . No caso geral

)()( xkx A (6. 82)

É uma equação diferencial que deve ser resolvida. Haverá, evidentemente, um número infinito

de soluções. Deste conjunto somente nos interessam aquelas que satisfazem certas

características físicas, compatíveis com o problema físico que é estudado. Exemplifiquemos:

Seja

2

2

dxd

A (6. 83)

Logo

)()()( 2

2

xkxdxdx A (6. 84)

As soluções são

xkxk eCeCx 21)( (6. 85)

Estabeleçamos agora a condição de que )(x nunca pode ser infinita: basta tomar k negativo,

por exemplo, 2k , onde é uma constante real. Temos,

126

xixi eCeCx 211 )( (6. 86)

Que são soluções trigonométricas. Se 0)0( ,

)sin()( xCx (6. 87)

E se também 0)( l , os auto-valores ,...3,2,lll . As auto-funções

correspondentes são,

etcxl

xl

xl

),...,3sin(),2sin(),sin( (6. 88)

Os problemas da Mecânica Quântica são similares a estes. Partimos de uma

equação de auto-valores achamos sua solução e os auto-valores, tendo em conta certas

características das soluções (auto-funções).

O exemplo visto mostra ainda que

)()( 2 xx A (6. 89)

Representa

)()( 12

11 xx A (6. 90)

e

)()( 22

22 xx A (6. 91)

ou

)()( 2 xx nnn A (6. 92)

A solução do nosso problema resulta em n auto-funções que nos fornecem n auto-

valores. É importante observar que os auto-valores são discretos, n ,...,, 21 e cada auto-

função está associada a um auto-valor. Há, muitas vezes, caso em que um único autovalor está

associado a várias auto-funções, sendo estas, neste caso, linearmente independentes. Um auto-

valor deste tipo é chamado de degenerado.

127

6. 10 – Operadores Hermitianos e seus auto-valores

Já vimos que é necessário que as auto-funções satisfaçam a certas condições de

contorno a fim de que tenhamos soluções com auto-valores discretos.

Seja )(x uma auto-função. A restrição mais importante que ela deve sofrer, a

fim de representar uma solução fisicamente aceitável é ter um quadrado integrável:

finitovalordxxx nn

)(*)( (6. 93)

Tomemos )(* x porque as funções podem ser complexas. Suponhamos agora

que todas as funções que nos interessam sejam quadraticamente integráveis e tomemos duas

delas u(x) e v(x) e um operador A. Aceitemos que a integral Avdxu * existe e definamos

A* como operador obtido de A pela transformação ii . Um operador Hermitiano

quando.

vdxxuAdxxAvxu )*](*[)(*)( (6. 94)

Seja por exemplo o operador dxdA

vdxxudxddxxv

dxdxu )*]([)(*)( (6. 95)

De fato integrando o primeiro membro por partes temos:

dxxudxdvvudxxv

dxdxu *)(*)(*)( (6. 96)

Mas u* e v* são quadraticamente integráveis e são nulos nos limites. Logo

vdxxudxddxxv

dxdxu )*]([)(*)( (6. 97)

Conclusão: dxdA não é Hermitiano, Entretanto, o operador

dxdiA , como é fácil

mostrar é Hermitiano.

Seja agora, o importante operador 2

2

dxdA .

128

Temos:

dxxvdx

xuddxxvdx

xuddx

xduxv

dxdx

xdudxdv

dxdvudx

dxxvdxu

)()(*)()(*)(*)(

)(**)(*)(

2

2

2

2

2

2

(6. 98)

Conclusão: 2

2

dxdA é Hermitiano,

Qual o interesse em operadores Hermitianos?

É fácil ver: Seja uma auto-função e seu auto valor, onde:

)()( xx A (6. 99)

O complexo conjugado desta operação é:

)(**)(** xx A (6. 100)

Multiplicando a primeira equação à esquerda por * e a segunda a esquerda por e

integrando temos:

dxxxxxA

dxxxxx

)()(**)()(**

)()(*)()(*

A (6. 101)

Se A é um operador Hermitiano, os primeiros membros são iguais. Logo,

* (6. 102)

Isto é, os auto-valores são reais.

A extensão do resultado acima é imediato para funções de várias variáveis.

),,,( zyx (6. 103)

Não oferece dificuldade.

129

6.10.1 - Ortogonalidade das Auto-funções que pertencem a auto-valores diferentes.

130

6. 11 – Espaço das Funções Quadráticas L2

131

6. 12 – Serie de Funções Ortogonais

Seja )(xn numa série de funções linearmente independentes formando uma

base para um espaço vetorial de funções o qual possui de dimensão infinita. Logo podemos

expressar qualquer função do espaço em termos de uma combinação linear das funções da

base, ou seja:

...)(...)()()( 2211 xaxaxaaxf nno (6. 104)

ou

)()( xaxf kk

k

(6. 105)

Esta é a chamada série de potências e os coeficientes desta série são calculados da seguinte

forma:

Multiplica-se a série em ( ) por l e integra-se desde zero até infinito,

dxadxxf kk

kll

)( (6. 106)

Como a integração e a somatória são operadores lineares, podemos trocar a ordem das

operações

dxadxxf klr

kl

)( (6. 107)

Como as funções l e k são ortogonais exceto para o caso de l = k, temos:

klk

kl adxxf

)( (6. 108)

Logo para l = k temos:

dxxfa lk )(

(6. 109)

132


133


134

Capítulo – VII

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

RESUMO

Neste capítulo será visto a introdução do conceito de


135

7. 2 – Funções Pares e Ímpares

Uma função é dita par se:

)()( xfxf (7. 1)

Exemplos:

xxgxxfcos)(

)( 2

(7. 2)

Figura - 7. 1

Uma função é dita ímpar se:

)()( xfxf (7. 3)

Exemplos:

xxgxxfsen)(

)( 3

(7. 4)

Figura - 7. 2

136

7.2.1 - Operações com funções pares e ímpares

As operações de multiplicação de funções fornecem:

Uma função é dita par se:

ímparparímpar

ímparímparpar

parímparímpar

parparpar

hxgxf

hxgxf

hxgxfhxgxf

)().(

)().(

)().(

)().(

(7. 5)

7.2.2 - Teorema

Toda função f(x) pode ser escrita como uma combinação linear de uma função par

e uma fução ímpar.

)()()( xfxfxf ímparpar (7. 6)

Onde

2)()()( xfxfxf par

(7. 7)

E

2)()()( xfxfxf ímpar

(7. 8)

Logo

2)()(

2)()()( xfxfxfxfxf

(7. 9)

137

7.2.3 - Integral de funções pares e ímpares:

Seja as integrais:

par

AA

A

fsedxxfdxxf 0

)(2)( (7. 10)

E

ímpar

A

A

fsedxxf 0)(

(7. 11)

138

7. 3 – Funções Periódicas

Uma função é dita periódica se:

ZnnTxfxf )()( (7. 12)

Considere a seguinte fução periódica descontínua

Figura - 7. 3

Esta função possui infinitos períodos e o menor período fundamental é 2a.

7.3.1 – Teorema de Bloch

139

7. 4 – Cálculo em RN

Sejam os vetores de coordenadas 1 2, ,..., Nnx x x x

e

1 2, ,..., Nny y y y

, define-se uma distância entre os pontos P e Q associados a esses

vetores neste espaço N como o valor dado por:

, i i i id x y x y x y (7. 13)

7.4.1 - Conectividade

Dois conjuntos A e B são conexos se ...

Figura - 7. 4

7.4.2 - Pontos Limítrofes

x S

é um ponto limítrofe de S se toda vizinhança de x contém pontos y S

7.4.3 - Derivadas Parciais

Seja uma função 1 2, ,..., Nnf x x x , cujas derivadas parciais de f existem

2 2

, , ,i j i j j i

f f f fx x x x x x

, e são contínuas em alguma vizinhança de ox então a função

composta,

1 2, ,..., nF t f x t x t x t (7. 14)

Possui derivada dada por:

140

i

i

dF t dxfdt x dt

(7. 15)

Isso é diferente da versão mais comum e incorreta:

i

i

df t dxfdt x dt

(7. 16)

7.4.4 - Exemplo

Seja , , ,f x y u v uma função onde , , , , , ,f x y u x y v x y f x y então:

0

0 ( !)Não sempre

f f x f y f u f vdx x x y x u x v x

f f f u f vdx x u x v x

(7. 17)

Uma forma mais correta de se escrever seria

, , , , , ,F x y f x y u x y v x y (7. 18)

e

0

F f x f y f u f vdx x x y x u x v x

F f f u f vdx x u x v x

(7. 19)

7.4.5 – Série de Taylor no RN

Seja 1 2, ,..., Nnf x x x a expansão em Série de Taylor desta função é dada

por:

141

2

3

12!

....

o i oi i oi j oji i ji i j

i oi j oj k oki j k i j k

f ff x f x x x x x x xx x x

f x x x x x xx x x

(7. 20)

142

7. 5 – Funções Implícitas

Seja a função de duas variáveis f(x,y) = 0 , como o exemplo abaixo da equação de

uma elipse:

044 22 yx (7. 21)

Cujos eixos principais são 11b e 24 a , observe que y é uma função implícita

de x.

2)2/(1 xy (7. 22)

7.4.1 –Teorema da Função Implicita

Seja f(x,y) = 0 satisfeita no ponto (xo, yo), [f(xo,yo) = 0] e f(x,y) = 0 uma função de

classe C1 (contínua de 1ª derivada contínua) na vizinhança de (xo,yo). Se 0/ , oo yxyf

então f(x,y) = 0 implica na existência de uma função em y = y(x) em uma vizinhança de

(xo,yo) tal que y(xo) = yo.

Ex. 1:

044),( 22 yxyxf (7. 23)

Note que )2/3,1(),( oo yx satisfaz:

02),(2),(

2/3,1

xyxfx

xyxff x (7. 24)

E

034),(8),(

2/3,1

y

yxfyy

yxff y (7. 25)

Logo existe y(x) no ponto )2/3,1(),( oo yx e em sua vizinhança.

Ex. 2:

143

01)2(),( 2 xexyyxf y (7. 26)

Note que )2,1(),( oo yx satisfaz:

022),(22),( 2

2,1

e

xyxfxe

xyxff y

x (7. 27)

E

0),()21(),( 2

2,1

ey

yxfexyy

yxff yy (7. 28)

Logo existe y(x) no ponto )2,1(),( oo yx e em sua vizinhança.

Vamos tentar obter y(x):

0),( yxf (7. 29)

Em torno de ),( oo yx por meio da Série de Taylor de y:

...))(('''61))((''

21))((')()( 32 ooooooo xxxyxxxyxxxyxyxy

(7. 30)

e

...?)(''

?)(')(

o

o

o

xyxy

yxy

(7. 31)

Onde

0'))(,( yff

dxxyxdf

yx (7. 32)

E

))(,())(,(

'xyxfxyxfy

y

x (7. 33)

E

144

))(,())(,(''

xyxfxyxfy

y

x (7. 34)

Logo

02')2()2'( xyexyey yy (7. 35)

Então

....'';12

22'

y

xyxey

y

(7. 36)

Portanto,

...)1(479,0)1(271,22)( 2 xxxy (7. 37)

Ex. 3:

0sen),(sen

xyyxfxy

(7. 38)

(Dica: trabalhar com a função inversa)

7.4.2 - Caso Multivariado

Seja a função 0),,,( vuyxf e 0),,,( vuyxg existem ),( e ),( yxvyxu ??

onde:

0)),(),,(,,(0)),(),,(,,(

yxvyxuyxgyxvyxuyxf

(7. 39)

Expandindo em Série de Taylor temos:

...))(,())(,(),(),(

...))(,())(,(),(),(

oooyoooxoo

oooyoooxoo

yyyxvxxyxvyxvyxvyyyxuxxyxuyxuyxu

(7. 40)

E

145

0

0

xvxux

xvxux

vguggxg

vfuffxf

(7. 41)

E

xxvxu

xxvxu

gvgugfvfuf

(7. 42)

Logo

vv

uu

vx

vx

x

gfgfggff

u

(7. 43)

Idem para yyx vuv ,,

vv

uu

xu

xu

x

gfgfggff

v (7. 44)

E

vv

uu

vy

vy

y

gfgfggff

u

(7. 45)

e

vv

uu

yu

yu

y

gfgfggff

v

(7. 46)

146

Análogo para n dimensões.

Sejam as funções 0),...,,,...,( 21211 nn uuuxxxf ,

0),...,,,...,( 21212 nn uuuxxxf , .... 0),...,,,...,( 2121 nnn uuuxxxf , ou seja:

0),...,,,...,(:

0),...,,,...,(0),...,,,...,(

21213

21212

21211

nn

nn

nn

uuuxxxf

uuuxxxfuuuxxxf

(7. 47)

ou

1 2 1 2( , ,... , , ,... ) 0i n nf x x x u u u (7. 48)

e

i i ju u x (7. 49)

Expandindo em Série de Taylor de ordem 1, temos:

...ii j i oj j oj

j

uu x u x x xx

(7. 50)

Sendo

, 0i j i j k jF x f x u x (7. 51)

e

0i j i i k

j j k j

F x f f ux x u x

(7. 52)

O resultado será:

i k i

k j j

f u fu x x

(7. 53)

fixe j, logo existirão soluções

; 1,...,k

j

u k nx

(7. 54)

Se

147

0i

k

fu

(7. 55)

Este é o Jacobiano da transformação das variáveis. Logo a condição de existência das funções

implícitas é:

1 2

1 2

, ,...,, ,...,

ni

k n

f f ffu u u u

(7. 56)

Ou seja:

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

..

..det 0

: : .. :

..

n

n

n n n

n

f f fu u uf f fu u u

f f fu u u

(7. 57)

Podemos mostrar que:

1 2 1 2

1 2 1 2

, ,..., , ,...,1

, ,..., , ,...,n n

n n

u u u x x xx x x u u u

(7. 58)

e

1( , ) 0:

( , ) 0n

f x u

f x u

(7. 59)

e

( ) 0u x (7. 60)

Como resolver x em função de x? Desenvolvendo a Série de Taylor localmente

(linearização localmente).

148

Ex. Sistema de Coordenadas Polares

Sejam as coordenadas curvilineas

, cos( ), sen( )

r rxy r r

(7. 61)

Onde

1/ 22 2

arctan

r yx

xy

(7. 62)

Figura - 7. 5

Calcule:

2 2

2 2 0T Tx y

(7. 63)

Em coordenadas polares.

Solução

Fazendo

1

2

, , , cos 0

, , , sen 0

f y r x rxf y r x rx

(7. 64)

Vamos calcular , ; ,r r y yx x , logo:

1 1

2 1

cos sensen cos

f frr r

f f r rr

(7. 65)

Existe a função se 0r .

149

cos sen

dT T x T ydr x r y r

T Tx y

(7. 66)

e

sen cos

dT T x T yd x y

T Tr rx y

(7. 67)

Logo

sencos cos

cos sensen cos

r

rx

TT r r T sen TTT

x rr

(7. 68)

e

-cossen sen cos

cos sensen cos

r

ry

TT r r T TTT

y rr

(7. 69)

Logo

sencosxr

T T TTx r r

(7. 70)

e

cossenyT T TTy r r

(7. 71)

Então,

2 2

2 2 0T Tx y

(7. 72)

é o mesmo que:

150

0T Tx x y y

(7. 73)

então

sen sencos cosr r

T T Tx x r r r r

(7. 74)

e

cos cossen senT T Ty y r r r r

(7. 75)

ou

22

2 2

2 2 2

2 2 2 2

cos sen cos sencos

cos sen sen sen sen cos

T T T Tx x r r r r

T T T Tr r r r r r

(7. 76)

e

22

2 2

2 2 2

2 2 2 2

cos sen sen cos=sen

cos sen cos cos sen cos

T T T Ty y r r r r

T T T Tr r r r r r

(7. 77)

Portanto, a equação de Laplace, fica:

2 22

2 2 2

1 1=T T T T TTy y y y r r r r

(7. 78)

151

7.4.3 – Teorema dos Extremos

Seja 0),...,( 21 nxxxf e 0...21

nxf

xf

xf

em X

, f é de classe C2,

na vizinhança de X

.

Seja

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2 1

1 2

..

..

: : .. :..

n

n n n n

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

f f f

f f f

f f f

A (7. 79)

Supor 0det A . Se A é positiva (ou negativa) definida, então X

, é um mínimo (ou

máximo) local.

152

7. 6 – Problemas de Máximo e Mínimo com Vínculo

Os problemas de cálculo de máximo e mínimo de funções envolve aplicações a

otimização (função obejetiva não-linear)e achar as funções que maximizam certos funcionais

correspondem a uma parte do cálculo variacional.

7.5.1 – Método de Lavenberg-Marquardt

Sejam as funções

knnk

nn

nn

cuuuxxxg

cuuuxxxgextremouuuxxxf

),...,,,...,(:

),...,,,...,(),...,,,...,(

2121

121211

2121

(7. 80)

Para facilitar o estudo vamos fazer para o caso n = 3, k=1, onde:

czyxgextremozyxf

),,(),,(

(7. 81)

A diferencial de f é dada por:

dzzfdy

yfdx

xfdf

(7. 82)

E

extremoyxzyxf ),(,,( (7. 83)

Logo

0

dyyfdx

xfdf (7. 84)

Ou

0 dzfdyfdxfdf zyx (7. 85)

E

0 dzgdygdxgdg zyx (7. 86)

153

7.5.2 – Método dos Multiplicadores de Lagrange

Para maximizar ou minimar nxxxf ,..,, 21 sem ou com restrições do tipo.

0,...,1 nj xxg (7. 87)

Para mj ,...,1 temos que no último caso 0

ixf

não vale mais. Embora exista ainda

algum

0

ixf (7. 88)

Mas ainda posso dizer com certeza que:

0

iidx

xfdf (7. 89)

E para as restrições g temos que 0,...,1 nj xxg e então posso escrever:

0

i

j

xg

(7. 90)

Logo posso postular a existência de uma sequência n ,..., 11 coeficientes tal

que:

0

i

jj x

g (7. 91)

Então, redefino a função f escrevendo:

jjnn gfxxF ,...,,,..., 11 (7. 92)

que pode ser uma transformada de Legendre, tal que:

0,...,,

0

21

nji

i

jj

ii

xxxgFxg

xf

xF

(7. 93)

154

logo

0

ii

jj

idx

xg

xf (7. 94)

Para 0,...,1 nj xxg e ni ,...,1 , e nj ,...,1 .

Fazendo

0)()()( dzgfdygfdxgfdgdf zzyyxx (7. 95)

Logo

cggf

gfgf

zz

yy

xx

0

00

(7. 96)

Com

)(* gff (7. 97)

Minimizar ),,,(* zyxf e usar cg

Usando o resultado acima e o Teorema das Funções Ímplicitas deve ser possível

provar que:

jjdgdf (7. 98)

155

7.5.3 – Exemplo

cyzxzxyextremoxyzf

(7. 99)

Logo

)(*)(*

yzxzxyxyzfgff

(7. 100)

Obtemos quatro equações:

cyzxzxyyxxyzxxzzyyz

0)(0)(0)(

(7. 101)

Onde

2/0)(2

czyxzyxc

(7. 102)

156

7. 7 – Regra de Derivação de Leibnitz

Como diferenciar uma função cujos extremos da integral dependem do tempo, ou

seja:

)),(),(()(),()()(

)(

ttbtaFtIdAtxftItb

ta

, (7. 103)

Vejamos primeiro o caso particular:

)(

)(

)()(tb

ta

dxxftI , (7.104)

Logo

)()]()([)()( tfaFtFdtddxxf

dtdtI

t

a

, (7.105)

Este corresponde ao teorema fundamental do Teorema Fundamental do Cálculo.

Considere a função )(tI , onde

)),(),(()( ttbtaFtI , (7.106)

Queremos calcular:

)),(),(()(),()()(

)(

ttbtaFdtdtI

dtddxtxf

dtdtI

dtd tb

ta

, (7.107)

Logo

tescons

mantidosbea

b

atFtb

bFta

aFtI

tan

)()()(

, (7.108)

Ou

tesconsmantidosbea

b

a

dxtxft

tbbFta

aFtI

tan

),()()()(

, (7.109)

157

Calculando

),()]),(()),(([

),(),(

tafttbFttaFa

dxtxfa

dxtxfaa

F a

b

b

a

, (7.110)

E

),()]),(()),(([

),(),(

tbfttaFttbFb

dxtxfa

dxtxfbb

F b

a

b

a

, (7.111)

E

)]),(()),(([),(

),(),(

ttaFttbFt

dxtxft

dxtxft

dxtxfat

F

b

a

b

a

b

a

, (7.112)

Portanto, )(' tI é dado por:

b

a

b

a

tb

ta

tb

ta

dxtxft

tbdxtxfb

tadxtxfa

dAtxfdtdtI

),(

)(),()(),(),()(')(

)(

)(

)(

, (7.113)

ou

)]),(()),(([)()]),(()),(([

)()]),(()),(([),(),()(')(

)(

)(

)(

ttaFttbFt

tbttaFttbFb

tattbFttaFa

dxtxft

dAtxfdtdtI

tb

ta

tb

ta

,

(7.114)

ou

158

)()),(()()),((),(),()(')(

)(

)(

)(

tattaftbttbfdxtxft

dAtxfdtdtI

tb

ta

tb

ta

,

(7.115)

159

7.6.1 - Exemplos

160


161


162

Capítulo – VIII

CURVAS SUPERFÍCIES E VOLUMES

RESUMO

Neste capítulo será visto a introdução do conceito de

.

8. 1 - Introdução

(8. 1)

(8. 2)

163

8. 2 –Diferenciação de funções escalares

164

8. 3 – Diferenciação de vetores ou funções vetoriais

Vamos calcular a derivada de uma função vetorial R

, que depende das funções

coordenadas )(),(),( tztytx , da seguinte forma:

)](),(),([ tztytxRR

(8. 3)

onde

)]('),('),('[ tztytxRdtRd (8. 4)

ou

ttRttR

dtRd

t

][][lim0

(8. 5)

conforme mostra a Figura - 8. 1.

Figura - 8. 1

kdt

tdzzRj

dttdy

yRi

dttdx

xR

dtRd ˆ)(ˆ)(ˆ)(

(8. 6)

165

8.3.1 - Cálculo do Comprimento de Arco

O módulo do comprimento de arco ds é dado por:

rdrdrdds . (8. 7)

E

ktdzjtdyitdxrd ˆ)(ˆ)(ˆ)( (8. 8)

logo

kktdztdzjjtdytdyiitdxtdxds ˆ.ˆ)().(ˆ.ˆ)().(ˆ.)().( (8. 9)

Ou

222 )()()( tdztdytdxds (8. 10)

Escrevendo em termos da projeção sobre um dos eixos temos:

dxdxdz

dxdyds

22

1

(8. 11)

Sendo )()( xyxf e )()( xzxg temos:

dxxgxfds 22 )(')('1 (8. 12)

Portanto a integral do comprimento do arco é:

dxxgxfdsxsx

x

22 )(')('1)(0

(8. 13)

166

8.3.2 - Cálculo da variação da Função R

ao longo de um comprimento de arco

Seja a variação de R

dada ao longo se um arco de comprimento s , cujo

módulo desta variação é dada por:

RRRS

. (8. 14)

Tomando o limite temos:

RdRdRddS

. (8. 15)

Logo

ktdzzRjtdy

yRitdx

xRRd ˆ)(ˆ)(ˆ)(

(8. 16)

E

sdRRd . (8. 17)

Onde podemos escrever:

sRdsRd ˆ.

(8. 18)

Ou notação vetorial:

)()()(

tdztdytdx

zR

yR

xRRd

(8. 19)

logo

kktdzzRjjtdy

yRiitdx

xRRdRd ˆ.ˆ)(ˆ.ˆ)(ˆ.ˆ)(.

222

(8. 20)

Então

222

)()()(.

tdzzRtdy

yRtdx

xRRdRd

(8. 21)

Portanto,

167

222

)()()(

tdzzRtdy

yRtdx

xRdS

(8. 22)

168

8. 4 – Integral de linha de funções escalares e vetoriais

8.4.1 – Integral de linha de funções escalares

Seja uma função escalar f(x) que varia ao longo de um caminho, cuja integral é

dada por:

C

dsxfI )(1 (8. 23)

Observe a diferença entre esta integral e a integral sob a curva f(x) dada por: B

A

dxxfI )( .

Observe ainda que para 1)( xf retornamos a integral do comprimento de arco.

dxxfdsxsx

x

2)('1)(0

(8. 24)

Se a função f depender de várias variáveis (x, y, z), por exemplo, temos as seguintes integrais:

C

dsyxfI ),(2 (8. 25)

E

C

dszyxfI ),,(3 (8. 26)

169

8.4.2 – Integral de linha de funções vetoriais

Caso 1D

Considere agora uma função vetorial F

que varia ao longo de um caminho, cuja

integral é dada por:

C

RdxFI

).(1 (8. 27)

Observe que se a função F

depende de da direção i podemos escrever:

ixFxF ˆ)()(

(8. 28)

Como iRR ˆ

a integral se reduz a:

C

dRxFI ).(1 (8. 29)

que se iguala ao caso escalar visto anteriormente.

Se por outro lado a direção da função vetorial F

for s , diferente da direção, r da

função posição R

sobre a linha a qual está sendo integrada temos:

C

rdRsxFI ˆ.ˆ)(1 (8. 30)

Logo teremos:

CC

dRxFdRrsxFI cos)()ˆ.ˆ)((1 (8. 31)

170

Caso 2D

Se a função F

depender de várias variáveis (x, y), por exemplo, temos as

seguintes integrais:

C

RdyxFI

).,(2 (8. 32)

Observe que a se função F

varia diferentemente nas direções jei ˆˆ temos:

jyxFiyxFyxF yxˆ),(ˆ),(),(

(8. 33)

E

jyxRiyxRyxR yxˆ),(ˆ),(),(

(8. 34)

Teremos:

C

yxyx jyxdRiyxdRjyxFiyxFI ]ˆ),(ˆ),(].[ˆ),(ˆ),([2 (8. 35)

Ficamos com duas integrais independentes:

C

yyC

xx jjyxdRyxFiiyxdRyxFI ˆ.ˆ),(),(.),(),(2 (8. 36)

Ou

Cyyj

Cxxi

yxdRyxFI

yxdRyxFI

),(),(

),(),(

2

2

(8. 37)

171

Caso 3D

Se a função F

depender de várias variáveis (x, y, z), por exemplo, temos as


C

RdzyxFI

).,,(3 (8. 38)



kzyxFjzyxFizyxFzyxF zyxˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,(

(8. 39)

E

kyxRjyxRiyxRyxR zyxˆ),(ˆ),(ˆ),(),(

(8. 40)

Teremos:

C

zyxzyx kyxdRjyxdRiyxdRkyxFjyxFiyxFI ˆ),(ˆ),(ˆ),(].[ˆ),(ˆ),(ˆ),([3

(8. 41)

Ficamos com três integrais independentes:

C

zzC

yyC

xx kkyxdRyxFjjyxdRyxFiiyxdRyxFI ˆ.ˆ),(),(ˆ.ˆ),(),(.ˆ),(),(3

(8. 42)

Ou

Cyzk

Cyyj

Cxxi

zyxdRzyxFI

zyxdRzyxFI

zyxdRzyxFI

),,(),,(

),,(),,(

),,(),,(

3

3

3

(8. 43)

172


duRdS u

(8. 44)

173

8.4.4 - Cálculo de Área

dudvRRdA vu

(8. 45)

174

8.4.5 - Cálculo de Volume

dudvdwRRRdV vuw

. (8. 46)

175

8. 5 – Integral de superfície de funções escalares e vetoriais

8.5.1 – Integral de superfícies de funções escalares

Seja uma função escalar f(x) que varia ao longo de uma superfície, cuja integral é

dada por:

S

dAxfI )(1 (8. 47)

Observe que esta integral corresponde ao volume sob .......... dada por: dxdyxfIB

A

B

A

x

x

y

y )( .

Observe ainda que para 1),( yxf retornamos a integral do comprimento de arco.

S

dAyxA ),( (8. 48)

Se a função f depender de vária variáveis (x, y, z) por exemplo, temos as seguintes integrais:

S

dAyxfI ),(2 (8. 49)

E

S

dAzyxfI ),,(3 (8. 50)

176

8.5.2 – Integral de superfície de funções vetoriais

Caso 1D


que varia ao longo de uma superfície,

cuja integral é dada por:

S

AdxFI

).(1 (8. 51)



ixFxF ˆ)()(

(8. 52)

Como iAA ˆ

a integral se reduz a:

S

dAxFI ).(1 (8. 53)


Se por outro lado a direção da função vetorial F

for s , diferente da direção, n

da função área A

sobre a superfície a qual está sendo integrada temos:

S

rdAsxFI ˆ.ˆ)(1 (8. 54)

Logo teremos:

SS

dAxFdArsxFI cos)()ˆ.)((1 (8. 55)

177

Caso 2D

Se a função F



S

AdyxFI

).,(2 (8. 56)




(8. 57)

E

jyxAiyxAyxA yxˆ),(ˆ),(),(

(8. 58)

Teremos:

C

yxyx jyxdAiyxdAjyxFiyxFI ]ˆ),(ˆ),(].[ˆ),(ˆ),([2 (8. 59)


S

yyS

xx jjyxdAyxFiiyxdAyxFI ˆ.ˆ),(),(.),(),(2 (8. 60)

Ou

Syyj

Sxxi

yxdAyxFI

yxdAyxFI

),(),(

),(),(

2

2

(8. 61)

178

Caso 3D

Se a função F



S

AdzyxFI

).,,(3 (8. 62)




(8. 63)

E

kyxAjyxAiyxAyxA zyxˆ),(ˆ),(ˆ),(),(

(8. 64)

Teremos:

C

zyxzyx kyxdAjyxdAiyxdAkyxFjyxFiyxFI ]ˆ),(ˆ),(ˆ),(].[ˆ),(ˆ),(ˆ),([3

(8. 65)


C

zzC

yyC

xx kkyxdAyxFjjyxdAyxFiiyxdAyxFI ˆ.ˆ),(),(ˆ.ˆ),(),(.ˆ),(),(3

(8. 66)

Ou

Cyzk

Cyyj

Cxxi

zyxdAzyxFI

zyxdAzyxFI

zyxdAzyxFI

),,(),,(

),,(),,(

),,(),,(

3

3

3

(8. 67)

179


duRdS u

(8. 68)

180


dudvRRdA vu

(8. 69)

181


dudvdwRRRdV vuw

. (8. 70)

182

8. 6 – Integral de volume de funções escalares e vetoriais

8.6.1 – Integral de volume de funções escalares

Seja uma função escalar f(x) que varia ao longo de um volume, cuja integral é

dada por:

B

dVxfI )(1 (8. 71)

Observe que esta integral corresponde a um hipervolume sob o volume f(x) dada por:

dxdydzxfIB

A

B

A

B

A

x

x

y

y

z

z )( . Observe ainda que para 1),( yxf retornamos a integral do

comprimento de arco.

B

dVzyxV ),,( (8. 72)

Se a função f depender de várias variáveis (x, y, z), por exemplo, temos as seguintes integrais:

B

dVyxfI ),(2 (8. 73)

E

B

dVzyxfI ),,(3 (8. 74)

183

8.6.2 – Integral de volume de funções vetoriais

Caso 1D


que varia ao longo de um volume, cuja

integral é dada por:

B

dVxFI )(1

(8. 75)



ixFxF ˆ)()(

(8. 76)

logo a integral se reduz a:

B

dVixFI ˆ)(1

(8. 77)


184

Caso 2D

Se a função F



B

dVyxFI ).,(2

(8. 78)




(8. 79)

E

),,( zyxVV (8. 80)

Teremos:

B

yx dVjyxFiyxFI ].ˆ),(ˆ),([2

(8. 81)


B

yB

x dVjyxFdViyxFI ˆ),(ˆ),(2

(8. 82)

Ou

Syj

Sxi

dVjyxFI

dViyxFI

ˆ),(

ˆ),(

2

2

(8. 83)

185

Caso 3D

Se a função F



B

dVzyxFI ).,,(3

(8. 84)




(8. 85)

E

),,( zyxVV (8. 86)

Teremos:

B

zyx dVkyxFjyxFiyxFI ]ˆ),(ˆ),(ˆ),([3 (8. 87)


C

zC

yC

x dVkyxFdVjyxFdViyxFI ˆ),(ˆ),(.ˆ),(3 (8. 88)

Ou

Bzk

Byj

Bxi

dVkzyxFI

dVjzyxFI

dVizyxFI

ˆ),,(

ˆ),,(

ˆ),,(

3

3

3

(8. 89)

186


duRdS u

(8. 90)

187


dudvRRAd vu

(8. 91)

188


dudvdwRRRdV vuw

. (8. 92)

189


190


191

Capítulo – IX

TEORIA DO CAMPO ESCALAR E VETORIAL E TENSORIAL DE FUNÇÕES

RESUMO

Neste capítulo será visto a introdução do conceito de .

9. 1 - Introdução

(9. 1)

(9. 2)

192

9. 2 - Gradiente de um Campo Escalar e Vetorial

Seja , ,u x y z um campo escalar definido em uma região R. A natureza física de

u pode ser ignorada, mas por questão de definição vamos supor que u seja um campo de

temperaturas de um meio material, conforme mostra Figura - 9. 1.

Figura - 9. 1. Região B do volume envolvido por uma superfície S atravessado por um campo de temperaturas u.

Focando nossa atenção sobre um ponto particular , ,P x y z no meio, vamos

introduzir um volume de controle arbitrário ao redor de P, como mostra a Figura - 9. 1, e

vamos denotar este volume por B. Um volume de controle é somente uma região matemática

ao invés de um volume de presença física e este é introduzido para efeito de cálculos, de tal

forma que mantenhamos a trilha de alguma quantidade de interesse, tal como massa, carga

elétrica, ou calor, por exemplo.

Consideremos a seguinte integral de superfície que envolve o volume de controle

B, como sendo:

ˆS

I nudA

(9. 3)

onde n é um vetor unitário normal dirigido para fóra em cada ponto sobre a superfície S,

conforme mostrado na Figura - 9. 1.

O vetor integral I

representa o fluxo líquido para fóra porque nós tomamos o

vetor normal n como sendo dirigido para fóra. Nós chamaremos I

de uma integral de fluxo

de volume porque elas é dada pelo volume por unidade de tempo. Se por outro lado, o vetor

campo de velocidades , , ,v x y z t possui um campo de densidade escalar , , ,x y z t

193

associado, a integral I será chamado de integral de fluxo de massa por unidade de tempo, ou

seja:

ˆS

dI undAdt

(9. 4)

Vamos agora dividir o vetor integral I

, por unidade de volume. Finalmente, nós

vamos encolher B para o ponto P e obter o vetor integral I

por unidade de volume no ponto

P. Este resultado é chamado de gradiente de u no ponto P é definido como:

0

1 ˆlimB

S

grad u P nudAV

(9. 5)

onde 0B significa que B encolhe para o ponto P de tal forma que a máxima dimensão

linear de B (“o diâmetro”) tende a zero ( 0B ).

Observe que grad u P é um vetor em cada ponto P desde que n , é vetor e dA e

v são escalares. Então, grad u é ele mesmo um campo vetorial associado com o dado campo

escalar u.

Observe que (9. 5) fornece uma definição do grad u intrínseca ou invariante

independente do sistema de coordenadas de referência.

.......

Pegar texto da apostila de Mecânica dos Fluidos

194

9.3.1 – Análise e Interpretação do Vetor Gradiente

Nós vimos na secção anterior a operação do operador nabla ou “del” sobre

um campo vetorial v . Podemos imaginar qual seria o efeito do operador nabla sobre um

campo escalar u . Para isso nós devemos introduzir neste ponto o conceito da tão chamada

derivada direcional de um campo escalar , ,u x y z porque esta nos ajudará a entender a

definição do gradiente de u .

9.3.1 – Derivada Direcional

Considere uma curva-C no espaço, dada pelas funções coordenadas

,x x s y y s e z z s , ] as quais são parametrizada pela distância s, da seguinte

forma:

),,(

)();();(zyxu

szsysxcurva (9. 6)

onde s é o comprimento de arco ao longo de C a partir de algum ponto de referência sobre C,

e nós desejamos computar a taxa de variação /du ds ao longo de C. Pela regra de derivação

da cadeia nós temos:

, ,du u dx u dy u dzx s y s z sds x ds y ds z ds

(9. 7)

cuja fórmula permanece porque nós temos suposto que , ,u x y z seja de classe C1. Isto é, a

regra de derivação da cadeia, é essencialmente um fórmula de interpolação, onde /du ds é

computada como uma combinação linear das taxas de variação de / , / e /u x u y u z nas

direções coordenadas ortogonais. Para tal interpolação ser válida, nós seguramente

necessitamos de que as três derivadas parciais sejam contínuas no ponto em questão e isto é

porque nós supomos , ,u x y z sendo de classe C1. De fato, tipicamente os campos escalares

que aparecem nas aplicações são realmente de classe C1, talvez com rupturas e um ou mais

pontos isolados.

Continuando, observe que o lado direito de (9. 7) é um produto escalar do tipo:

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ.du u u u dx dy dzi j k i j kds x y z ds ds ds

(9. 8)

195

Podemos reescrever como:

kdsdzj

dsdyi

dsdxk

zuj

yui

xu

dsdu ˆˆˆ.ˆˆˆ (9. 9)

O primeiro vetor no lado direito é u , e o segundo é /dR ds

, onde

ˆˆ ˆR s x s i y s j z s k

(9. 10)

é o vator posição a partir da origem para o ponto , ,P x s y s z s sobre C. Observe

que /dR ds

é um vetor tangente a C em P, e este é um vetor unitário porque,

0lims

dR Rds s

(9. 11)

logo

0 0 0lim lim lim 1s s s

RdR R Rds s s s

(9. 12)

dado pela definição de comprimento de arco conforme mostra a Figura - 9. 2.

Figura - 9. 2.

Logo

.du dRuds ds

(9. 13)

Se s for o comprimento Rdds

, logo

196

sdsRd ˆ

(9. 14)

Se nós denotarmos que o vetor tangente unitário /dR ds

como s a equação (9. 13) torna-se

sudsRdu

dsdu ˆ..

(9. 15)

observe que o gradiente de u é um vetor e a derivada direcional é um escalar.

Portanto,

ˆ.du u sds

(9. 16)

Desta forma, o gradiente de um campo escalar, é definido como sendo o

operador nabla aplicado a esse campo escalar da seguinte forma:

grad (9. 17)

9.3.1 - Interpretação do Gradiente

Considere qualquer ponto P na região através da qual um campo escalar u de

classe C1 é definido. Suponha que 0u em P e que existe em u constante (superfície de

u constante) através de P e o plano tangente T conforme mostra a

Figura - 9. 3.

Por exemplo, u é um campo de temperatura então S é uma “superfície isoterma”. Se s em P,

é escolhido como qualquer vetor no plano tangente T, então seguramente du/ds deve ser zero.

Desde que:

197

ˆ. 0du u sds

(9. 18)

Para todo s em P no plano tangente, e ambos u e s são não nulos, segue-se que u é

normal ao plano tangente T e portanto também à superfície S em P.

Se dizemos que s está no plano tangente nós sabemos que u é normal a S,

então para buscarmos a informação adicional sobre u parece lógico fazer s está ao longo

da linha normal em P, e dizer que esta está na direção do aumento de u, por definição. Então

escrevendo /du dn e n para /du ds e s , respectivamente (9. 18) fornecerá:

ˆ.

cos

du u ndn

u

(9. 19)

onde 0 , logo

du udn

(9. 20)

tal que a magnitude do gradiente de u , ou seja, u é a derivada direcional de u ao longo

da linha normal a S na direção do aumento de u.

Em resumo nós podemos dizer isto sobre o gradiente de u, ou u , de um campo

escalar , ,u x y z no ponto P:

Ssua direção é normal a superfície de u = constante através de P, na direção do

aumento de u, e sua magnitude é igual a derivada direcional /du dn naquela direção.

Suponhamos um campo de temperatura, u,

Figura - 9. 4.

198

Seja a derivada direcional na direção s, dada por:

sudsdu ˆ. (9. 21)

Podemos reescrever:

snudsdu ˆ.ˆ (9. 22)

Logo

cosudsdu

(9. 23)

Tomemos uma direção s, perpendicular ao gradiente, logo

susudsdu ˆ0ˆ. (9. 24)

E a derivada de u na direção normal é dada:

unudndu

ˆ. (9. 25)

Portanto,

cosudsdu

(9. 26)

Figura - 9. 5.

199

9.3.1 – Vetor normal a um ponto sobre uma superfície

Seja uma superfície ,z f x y , conforme mostra a Figura - 9. 6

Figura - 9. 6. Superfície ,z f x y em um sistema de coordenadas cartesianas.

Deseja-se calcular a direção do vetor normal ˆ , ,x y zn n n n erpendicular a

superfície no ponto , ,o o oP x y z .

Para isso fazemos:

, , , 0F x y z z f x y (9. 27)

Aplicando o gradiente da função , ,F x y z obtemos:

ˆˆ ˆ, , F F FF x y z i j kx y z

(9. 28)

Logo

ˆˆ ˆ, , f f zF x y z i j kx y z

(9. 29)

O vetor normal a superfície é dado por:

ˆˆˆ ˆ, ,

, , 1 1 1

f f f f z zF x y z ii jj kkx x y y z z

f f f f z zF x y zx x y y z z

(9. 30)

ou

200

22 2

222

, ,

, , 1

f f zF x y zx y z

f fF x y zx y

(9. 31)

Portanto, o vetor normal n ’é dado por:

22

2

ˆˆ ˆˆ , ,

1

f f zi j kx y z

n x y zf fx y

(9. 32)

Esta equação calcula os vetores normais a superfície ,f x y em qualquer ponto. Portanto,

para o ponto particular , ,o o oP x y z , basta substituir as coordenadas do ponto, da seguinte

forma:

22

2

ˆˆ ˆ

ˆ , ,

1

o o

o o

x x y yo o o

x x y y

f fi j kx y

n x y zf fx y

(9. 33)

201

9. 3 - Divergente de um Campo Vetorial e Tensorial

Seja , ,v x y z um campo vetorial definido em uma região R. A natureza física de

v pode ser ignorada, mas por questão de definição vamos supor que v seja um campo de

velocidades de um fluido, conforme mostra Figura - 9. 7.

Figura - 9. 7. Região B do volume envolvido por uma superfície S atravessado por um campo de velocidades v .

Focando nossa atenção sobre um ponto particular , ,P x y z no fluxo, vamos

introduzir um volume de controle arbitrário ao redor de P, como mostra a Figura - 9. 7, e

vamos denotar este volume por B. Um volume de controle é somente uma região matemática

ao invés de um volume de presença física e este é normalmente introduzido para efeito de

cálculos, de tal forma que mantenhamos a trilha do fluxo de alguma quantidade de interesse,

tal como massa, carga elétrica, ou calor, por exemplo.

Consideremos a seguinte integral de superfície que envolve o volume de controle

B, como sendo:

ˆ.S

I n vdA (9. 34)

onde n é um vetor unitário normal dirigido para fóra em cada ponto sobre a superfície S,

conforme mostrado na Figura - 9. 7.

A integral I representa o fluxo líquido para fóra porque nós tomamos o vetor

normal n como sendo dirigido para fóra. Nós chamaremos I de uma integral de fluxo de

volume porque elas é dada pelo volume por unidade de tempo. Se por outro lado, o vetor

campo de velocidades , , ,v x y z t possui um campo de densidade escalar , , ,x y z t

associado, a integral I será chamado de integral de fluxo de massa por unidade de tempo, ou

seja:

202

ˆ.S

dI v ndAdt

(9. 35)

Vamos agora dividir a integral do fluxo por unidade de volume V de B para obter

o fluxo líquido por unidade de volume. Finalmente, nós vamos encolher B para o ponto P e

obter o vetor integral I

por unidade de volume no ponto P. Este resultado é chamado de

divergente de v no ponto P é definido como:

0

1 ˆlim .B

S

div v P v ndAV

(9. 36)

onde 0B significa que B encolhe para o ponto P de tal forma que a máxima dimensão

linear de B (“o diâmetro”) tende a zero ( 0B ).

Observe que div v P é um vetor em cada ponto P desde que n , é vetor e dA e v

são escalares. Então, div v é ele mesmo um campo vetorial associado com o dado campo

vetorial v .

Observe que (9. 5) fornece uma definição do div v intrínseca ou invariante

independente do sistema de coordenadas de referência.

203

Considere a seguinte integral de superfície

S

dAvnI .ˆ (9. 37)

Conforme mostra a Figura - 9. 8

Figura - 9. 8.

Definimos o divergente de um campo vetorial como sendo:

SB

dAvnV

Pvdiv .ˆ1lim)(0

(9. 38)

onde B é uma região do volume V e S é a superfície que cobre o volume.

Figura - 9. 9.

O operador nabla é definido em coordenadas cartesianas como:

zyx

,, (9. 39)

logo

zv

yv

xvv zyx

. (9. 40)

204

9.2.1 - Interpretação do Divergente

O divergente representa a conservação do volume, pois no caso de deformações

define-se a incompressibilidade como sendo dada por:

0. v (9. 41)

No caso de materiais sólidos a conservação do volume implica em um módulo de Poisson =

0.5.

comprimido

ívelincompressrarefeito

v000

. (9. 42)

205

9. 4 – Rotacional de um Campo Vetorial e Tensorial

O rotacional de um campo vetorial é definido como:

zyx vvvzyx

kji

vvrot

ˆˆˆ (9. 43)

Ou

kyv

xv

jxv

zvi

zv

yvv xyzxyz ˆˆˆ

(9. 44)

206

9. 5 – Teorema da Divergência ou de Gauss

O teorema da divergência estabelece que:

SV

dAvndVvdiv .ˆ (9. 45)

e

SB

dAvnV

Pvdiv .ˆ1lim)(0

(9. 46)

9.5.1 - Em 1D

dxdvvdiv x

(9. 47)

e

)()( avbvdxdxdvdVvdiv xx

b

a

x (9. 48)

9.5.2 - Aplicação

Considere um fluido dentro de um “volume de controle”

onde

dVdm (9. 49)

e

dVdmmVm (9. 50)

Logo

207

dVdtd

dtdm

V (9. 51)

Logo

dAvndVdtd

SV

.ˆ (9. 52)

e

VSV

dVvdAvndVt

..ˆ (9. 53)

Logo

VV

dVvdVt

. (9. 54)

Então,

0.

dVvtV

(9. 55)

Como o volume de controle é arbitrário temos:

0. v

t (9. 56)

Ou

0.. vv

t

dtd

(9. 57)

Logo

0.. vv

t

dtd

(9. 58)

208

0. vdtd (9. 59)

E

0.

vtdt

d (9. 60)

Logo

0. v (9. 61)

Para um fluido incompressível temos:

0. v (9. 62)

209

9. 6 – Identidades de Green

Considere os escalares u e v onde vu é um campo vetorial. Usando o Teorema

da Divergência de Gauss.

dAvundVvuSV .ˆ. (9. 63)

onde

nvunvuvuvu

ˆ.. 2 (9. 64)

i) Para vu temos:

dAnvudVvuvu

SV

2. (9. 65)

A 1ª Identidade de Green.

ii) Para uv temos:

dAnuvdVuvuv

SV

2. (9. 66)

Subtraindo (9. 65) de (9. 66) temos:

dAnvu

nuvdVuvvu

SV

22 (9. 67)

A 2ª Identidade de Green.

210

9. 7 – Teorema de Stokes

Considere a seguinte Integral de Linha:

0. C

RdvI (9. 68)

Onde

voltaida

RdvRdvI .. (9. 69)

O Teorema de Stokes estabelece que:

CS

RdvdAvrotn ..ˆ (9. 70)

e

CS

RdvdAvn ..ˆ (9. 71)

Prova para o Caso 2D

Aplicando o Teorema da Divergência 2D.

dsVNdAVCS

.ˆ. (9. 72)

para

dsVNVNdAy

Vx

V

Cyyxx

S

yx

(9. 73)

Definindo

yyyx vvVV ,, (9. 74)

e

211

dsNNvvdAyv

xv

Cxyyx

S

xy

,., (9. 75)

Figura - 9. 10

logo

dsvdAyv

xv

CS

xy

. (9. 76)

Portanto,

RdvdAnvCS

.ˆ. (9. 77)

O Teorema da Divergência é para superfície fechada enquando o Teorema de Stokes é para a

Superfície Aberta.

212

9. 8 – Teorema de Green

Considere o Teorema de Stokes:

RdvdAnvCS

.ˆ. (9. 78)

O Teorema de Green é deduzido a partir do Teorema de Stokes supondo:

jyxQiyxPv ˆ),(ˆ),( (9. 79)

logo

CS

QdyPdxdAyP

xQ (9. 80)

213

9. 9 – Campos Irrotacionais

214

9. 10 – Teorema Equivalentes

215


216


217

Capítulo – X

SEQUÊNCIAS, SÉRIES DE FUNÇÕES E SUAS TRANSFORMADAS

RESUMO

Neste capítulo será visto a introdução do conceito de seqüência e série de funções,

como uma forma de expressar uma determinada função em uma base de funções ortogonais

de dimensão infinita denominado de espaço de Hilbert .

10. 1 -Introdução

O espaço de funções é isomorfo (possui a mesma forma) do espaço vetorial.

Logo, qualquer função pode ser escrita em termos de uma base de funções. Normalmente uma

base de funções possui infinitos termos a qual define uma seqüência de funções que quando

utilizadas para expressar uma função particular nesta base dá origem a uma série chamada de

Serie de funções.

Dentre a série de funções que pode ser utilizadas como uma base para expressar

uma função particular tem: a Série de Potências, a Série de Laplace, e a Série de Fourier.

Cada uma delas pode gerar o que chamamos de transformadas, quando expressamos os

coeficientes destas séries em termos da função particular original.

218

10. 2 - Definição de Seqüências, Séries e Transformadas de Funções

219

10. 3 – Seqüência e Sériede e Transformadas de Funções Ortogonais

10.3.1 - Sequência de Funções Ortogonais

Seja a seguinte sequência

,...,...,, 1 non (10. 1)

onde

)(xnn (10. 2)

uma seqüência de funções definidas em [a,b]. Esta sequência é dita ortogonal se 0n

para todo n e 0, mn para todo mn .

Usamos também a notação mn para significar 0, mn . No caso

1n para todo n a sequência é dita ortonormal.

Dada uma sequência ortogonal n resulta que a seqüência n , onde

)()(

xx

n

nn

, (10. 3)

é ortonormal.

Exemplos:

A seqüência

,...2,1

en,cos,1)(

nn L

xnsL

xnx (10. 4)

E 0, llxl , é ortogonal

220

10.3.2 - Serie de Funções Ortogonais

Seja a seguinte série

n , bxaxnn ),( (10. 5)

uma seqüência de funções ortogonais.

Seja f(x) definida em [a,b]. A Série de Fourier de f(x) relativamente à seqüência

ortogonal n é por definição a série

)(0

xc nn

n

(10. 6)

onde

2)(

,x

fcn

nn

, (10. 7)

Os cn são chamados os coeficientes de Fourier de f(x) relativamente à sequência

n . Usaremos a notação

)(~)(0

xcxf nn

n

(10. 8)

221

10.3.3 - Transformada de Funções Ortogonais

Seja )(xn numa série de funções linearmente independentes formando uma



base, ou seja:

...)(...)()()( 2211 xaxaxaaxf nno (6. 110)

ou

)()( xaxf kk

k

(6. 111)


forma:

Multiplica-se a série em ( ) por l e integra-se desde zero até infinito,

dxadxxf kk

kll

)( (6. 112)


operações

dxadxxf klr

kl

)( (6. 113)

Como as funções l e k são ortogonais exceto para o caso de l = k, temos:

klk

kl adxxf

)( (6. 114)

Logo para l = k temos:

dxxfa lk )(

(6. 115)

222

10. 4 - Série e Transformada de Potência

Seja nx numa série de polinômios linearmente independentes formando uma



base, ou seja:

......)( 221 n

no xaxaxaaxf (10. 9)

ou

n

nn xaxf

0

)( (10. 10)


forma:

Multiplica-se a série em ( ) por mx e integra’-se desde zero até infinito,

dxxaxdxxxf n

ii

mm

000

)( (10. 11)


operações

dxxxadxxxf nm

mm

m

000

)( (10. 12)

Como as funções mx e nx são ortogonais exceto para o caso de i = n, temos:

nmi

mm adxxxf

00

)( (10. 13)

Logo para n = m temos:

dxxxfa nn )(

0

(10. 14)

223

10. 5 - Série e Transformada de Laplace

Seja ste numa série de polinômios linearmente independentes formando uma



base, ou seja:

......)( 221 nt

ntt

o eaeaeaatf (10. 15)

ou

st

sseatf

0)( (10. 16)


forma:

Multiplica-se a série em ( ) por rte e integra’-se desde zero até infinito,

dteaedtetf st

ss

rtrt

000

)( (10. 17)


operações

dteeadtetf strt

ss

rt

000

)( (10. 18)

Como as funções rte e ste são ortogonais exceto para o caso de r = s, temos:

srs

srt adtetf

00

)( (10. 19)

Logo para r = s temos:

dtetfa sts

)(0

(10. 20)

224

10. 6 - Série e Transformada de Gauss

Seja 2kxkex numa série de polinômios linearmente independentes formando

uma base para um espaço vetorial de funções o qual possui de dimensão infinita. Logo

podemos expressar qualquer função do espaço em termos de uma combinação linear das

funções da base, ou seja:

......)(222 22

21 nxnn

xxo eexaexaxeaaxf (10. 21)

ou

2

0)( kxk

kk exaxf

(10. 22)


forma:

Multiplica-se a série em ( ) por 2ixiex e integra’-se desde zero até infinito,

dxexaexdxexxf kxk

kk

ixiixi 222

000

)(

(10. 23)


operações

dxexexadxexxf kxkixi

kk

ixi 222

000

)(

(10. 24)

Como as funções 2ixiex e

2kxkex são ortogonais exceto para o caso de i = k, temos:

ikk

kixi adxexxf

00

2)( (10. 25)

Logo para i = k temos:

dkexxfa kxkk

2)(

0

(10. 26)

225

10. 7 - Série e Transformada de Fourier

10.7.1 - Série de Fourier

Seja ikxe numa série de polinômios linearmente independentes formando uma



base, ou seja:

......)( 221 inx

nxiix

o eaeaeaaxf (10. 27)

ou

ikx

kkeaxf

)( (10. 28)


forma:

Multiplica-se a série em ( ) por irxe e integra-se desde zero até infinito,

dxeaedxexf ikx

kk

irxirx

)( (10. 29)


operações

dxeeadxexf ikxirx

rk

irx

)( (10. 30)

Como as funções irxe e ikxe são ortogonais exceto para o caso de r = s, temos:

226

krk

kirx adxexf

)( (10. 31)

Logo para r = k temos:

dxexfa ikxk

)( (10. 32)

227

10.7.2 – Integral de Fourier

A Série de Fourier se aplica a Funções Periódicas. Contudo, quando uma função

não é periódica como a função gaussiana, por exemplo, como podemos expressar essa função

em termos de senos e cossenos?

A resposta a essa pergunta está em se considerar um período infinito da seguinte

forma:

Seja a Série:

0sencos)(

nnn x

Lnbx

Lnaxf (10. 33)

O conjunto de frequências na série é dado pela freqüência angular:

Ln (10. 34)

Para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6..são:

,....4,3,2,,0LLLL (10. 35)

O espectro de freqüência.

Vejamos o que ocorre quando aumentamos L:

....4.0,3.0,2.0,1.0,0:10

:

,....0.2,5.1,0.1,5.0,0:2

,....4,3,2,1,0:

LnL

LnL

LnL

(10. 36)

ou seja, quando L , o espectro vai sendo preenchido, tornando-se uma variável

contínua. A soma no índice n passa a ser uma integral em L

n , logo

0

sencos)( dxbxaxf nn (10. 37)

e Ld / , onde

228

dxxxfb

dxxxfa

sen)(1)(

cos)(1)( (10. 38)

229

10.7.3 – Transformada de Fourier

Considere a seguinte integral de Fourier:

0

sencos)( dxbxaxf nn (10. 39)

e Ld / , onde

dxxxfb

dxxxfa

sen)(1)(

cos)(1)( (10. 40)

Seja

0

0

sensen)(11

coscos)(1)(

dxdxf

ddxfxf

(10. 41)

Ou

0

sensencoscos)(1)(

ddxxfxf (10. 42)

Ou ainda

0

sensencoscos)(1)(

ddxxfxf (10. 43)

Logo

0

)(cos)(1)(

ddxfxf (10. 44)

Usando a representação eponenecial temos:

230

0

)()(

21)(1)(

ddeefxf xixi (10. 45)

Ou

0

)()()(21)(

ddeefxf xixi (10. 46)

Ou ainda

0

)(

0

)( )(21)(

21)(

ddefddefxf xixi (10. 47)

Trocando por por:

0

)(

0

)( )(21)()(

21)(

ddefddefxf xixi

(10. 48)

Invertendo os limites de integração temos:

0

)(0

)( )(21)(

21)(

ddefddefxf xixi (10. 49)

Logo

ddefxf xi )()(21)( (10. 50)

Separando temos:

dedefxf xii)(

21

21)( (10. 51)

Chamando de

deff i)(21)(ˆ (10. 52)

Portanto,

231

defxf xi)(ˆ21)( (10. 53)

Voltando de x temos:

A Transformada de Fourier Direta

defxf xi)(ˆ21)( (10. 54)

E a Transformada de Fourier Inversa

dxexff i

)(

21)(ˆ (10. 55)

Seja uma função f(x) a qual associamos uma outra função F(k). Definimos a

Transformada de Fourier de uma função f(x) como sendo a função F(k), dada por:

dxexfkF ikx

)(

21)(

(10. 56)

Onde

dxxf )( (10. 57)

E a transformação inversa de

dxekFxf ikx)(21)(

(10. 58)

232

10.7.4 – Propriedades da Transformada de Fourier

233

10. 8 - Exemplos e Aplicações

10.8.1 - Exemplo – 1

Considere a viga de uma ponte com cargas descontínuas conforme mostra a

Figura - 10. 1

Figura - 10. 1

Qual é o resultado da deformação da viga com relação a essa carga?

234

10.8.2 - Exemplo – 2

Considere um oscilador harmônico forçado com uma função F(t) na forma de uma

onda retangular, conforme mostra a Figura - 10. 2

Figura - 10. 2

A equação diferencial do problema é:

)(tFkxxcxm (10. 59)

onde m = 1; c = 0,04; k = 15.

)(1504.0 tFxxx (10. 60)

Solução

Considerando a função F(t) na forma de Série de Fourier temos:

1cos)(

nno t

LnaatF (10. 61)

Para L temos:

1

cos)(n

no ntaatF (10. 62)

Onde

x

o dttFa

)(21 (10. 63)

e

235

21

21

211

0

o

a

o

a

dta

a (10. 64)

E

nna

aa

dtnta

dtnttFa

n

a

n

sen1

cos212cos)(1

0

(10. 65)

Portanto,

1

cossen21)(

nnt

nanatF

(10. 66)

Portanto, a solução x é do tipo:

pNpph xxxxx ...21 (10. 67)

Onde:

01504.0 hhh xxx (10. 68)

Onde

th ex ~ (10. 69)

e

01504,02 (10. 70)

Com

2

6004,004,0 2

1

(10. 71)

e

236

biabia

1 (10. 72)

Onde

)sen()cos( btBbtAex ath (10. 73)

Para o forçante:

nttF cos)( (10. 74)

temos:

ntnna

axxx cossen11504.0

(10. 75)

e

)sen()cos( 21 ntBntBx p (10. 76)

cuja solução geral é:

237

10.8.3 - Exemplo – 3

Considere a viga infinita de fundação elástica com cargas descontínuas conforme

mostra a Figura - 10. 1,

Figura - 10. 3

Qual é o resultado da deformação da viga com relação a essa carga?

cuja equação é:

ExternaForçaInternaForça

xpEIu )('''' (10. 77)

Para

)()()( xkuxwxp (10. 78)

torna-se:

)()(''')'( xwxkuxEIu (10. 79)

Onde

1cos2/sen2

2)(

n

oo xa

nnnwwxw

(10. 80)

Com período aT 4

Supondo

1 2cos)(

nno x

anaaxu (10. 81)

Substituindo na Equação Diferencial temos:

238

1

11

4

cos2/sen222

cos2

cos2

n

o

o

nno

nno

xa

nnnw

wxa

nakkaxa

na

naEIEIa

(10. 82)

Examinado os coeficientes temos:

nnwak

anEI

wka

on

oo

2/sen22

24

(10. 83)

Logo

ka

nEInnwa

kwa

on

oo

4

2

12/sen22

(10. 84)

Portanto,

14

4

2cos

2

2/sen22

)(n

oo xa

n

ka

nEIn

nawk

wxu

(10. 85)

Ou

144

4

2cos

162/sen32

2)(

n o

oo xa

nkawnEIn

nawk

wxu

(10. 86)

Ou aproximadamente:

x

an

kawEIaw

kwxu

o

oo

2cos

1632

2)( 44

4

(10. 87)

239

10.8.4 - Exemplo - 4

Considere uma carga de intensidade wo que atua sobre uma viga, conforme mostra

a Figura - 10. 4.

Figura - 10. 4

cuja deformação e dada pela equação:

)()(''')'( xwxkuxEIu (10. 88)

Onde

1;0

1;)(

x

xwxw o (10. 89)

Ou usando a função de Heaviside, )( oxxH :

)1()1()( xHxHwxw o (10. 90)

Figura - 10. 5

240

A função w(x) pode ser escrita em termoa da integral de Fourier como:

dxbxaxw

0

)sen()()cos()(1)( (10. 91)

onde 0)( b logo

dxaxw

0

)cos()(1)( (10. 92)

E

)(2)cos(2

)cos(1)(

1

0

1

1

senwdxxw

dxxwa

oo

o

(10. 93)

logo

dxsenwxw o

0

)cos()(21)( (10. 94)

Ou

dxsenwxw o

02 )cos()(2)( (10. 95)

sabemos que u(x) deve ser par, logo:

dxAxu

0

)cos()(1)( (10. 96)

E

dxAxu

0

4 )cos()(1)('''' (10. 97)

logo

241

dxsenw

dxAkdxAEI

o

02

00

4

)cos()(2

)cos()(1)cos()(1

(10. 98)

Portanto,

0)cos()(2)()(1

0

4

dxsenwkAEIA o (10. 99)

x , então:

0)(2)()( 4

senwkAEIA o (10. 100)

Logo:

kEIsenwA o

4

)(2)( (10. 101)

Portanto a solução da Equação Diferencial é:

dxkEI

senwxu o

042 )cos()(2)( (10. 102)

242


243

10. 10 - Exercícios e Problemas

244

Capítulo – XI

INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

RESUMO

Neste capítulo será visto a introdução do conceito de Equações Diferenciais e os

diferentes tipos de equações diferenciais e sua classificação, quanto ao número de variáveis

independentes, ordem, grau, coeficientes das derivadas, etc.

11. 1 - Objetivos do Capítulo

i) Saber reconhecer uma equação diferencial.

ii) Saber classificar uma equação diferencial, quanto ao número de variáveis

independentes, quanto a ordem, quanto ao grau, etc.

O objetivo deste capítulo é mostrar alguns métodos de resolução de alguns tipos

de equações diferenciais que aparecem mais frequentemente.

11. 2 - Introdução

Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a

uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de

um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma,

saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois

apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a

classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.

245

11. 3 – Equações Diferenciais, Definição e Classificação

11.3.1 – Definição de Equações Diferenciais

Uma equação diferencial é uma relação que envolve uma função incógnita e suas

derivadas ou diferenciais dessa função

Exemplos:

1)

)()( tfty (11. 1)

2)

0)()( tyty (11. 2)

3)

0)(5)()()( ttytysentty (11. 3)

4)

0),(),(2

2

2

2

ttxu

xtxu (11. 4)

5)

0),(),( dyyxNdxyxM (11. 5)

246

11.3.2 – Classificação das Equações Diferenciais

i) Quanto as Variáveis Independentes

a) Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) – A função incógnita depende apenas de uma

variável independente: y = f(x).

b) Equação Diferencial Parcial (E.D.P.) – A função incógnita depende de duas ou mais

variáveis independentes: y = f(x, y, z, t).

Exemplo:

qdx

udEI 4

4

(11. 6)

Figura - 11. 1.Problema de uma viga bi-apoiada e flexionada sobre seu próprio peso.

ii) Quanto a Ordem

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que aparece

na equação. Por exemplo, a equação diferencial em (11. 6) é de quarta ordem.

Exemplos:

1) )(ou)( tuuxuu

EDO de 1ª Ordem

uu 1' (11. 7)

EDO de 2ª Ordem

247

xuu 4'' (11. 8)

EDO de 2ª Ordem

)(tfRuucum (11. 9)

iii) Quanto ao Grau

O grau de uma equação diferencial é a potência a que se acha elevada a derivada

de ordem mais alta.

Exemplos:

EDO de 1ª Ordem e do 2º Grau

22 2')'( xuuu (11. 10)

2) u = u(x, y, z)

EDP de 2ª Ordem e 1º Grau

02

2

2

2

2

2

zu

yu

xu (11. 11)

ou

02 u (11. 12)

onde o operador 2 é chamado de Laplaciano.

2

2

2

2

2

22

zyx

(11. 13)

iv) Quanto aos Coeficientes das Derivadas

a) Lineares – Os coeficientes dependem das variáveis independentes.

248

b) Quase-Lineares – Os coeficientes dependem das variáveis independentes e/ou das variáveis

dependentes, mas não de suas derivadas.

c) Não-Lineares – Os coeficientes dependem das derivadas das variáveis dependentes

Exemplos:

Linear:

0)()()( xcfxbdxdfxa (11. 14)

Quase-Linear:

0)()()( xcfxbdxdfxf (11. 15)

Não-Linear:

0),(2

2

2

2

yxd

yf

xf

xf

yf (11. 16)

OBS: Uma equação linear é sempre do primeiro grau, uma equação do primeiro grau não e

necessariamente linear.

v) Quanto ao Tipo

Serão consideradas equações diferenciais parciais de 2ª ordem (são as que mais

aparecem na prática).

Seja a forma geral de uma E.D.P. de 2ª ordem com duas variáveis independentes.

0222 2

22

2

2

eu

yug

xuf

yub

yxuh

xua (11. 17)

onde a, h, f, g, e e podem ser constantes ou funções das variáveis x e y.

Por analogia com a forma de uma secção cônica geral:

ax2 + 2hxy +by2 + 2fx +2gy + e = 0 (11. 18)

249

que representa uma elipse quando (a.b – h2 > 0), uma parábola quando (a.b – h2 = 0), uma

hipérbole quando (a.b – h2 < 0). Uma classificação semelhante é adotada para as E.D.P.

Exemplos:

1) Equação de onda unidimensional

012

2

22

2

tu

cxu (11. 19)

Esta equação de onda é do tipo hiperbólica porque: a = 1; h = 0; b = -1/c2 logo a.b – h2 = -

1/c2 < 0

2) Equação de Difusão (condução do calor)

012

2

tu

xu

(11. 20)

Esta equação de difusão é do tipo parabólica porque: a = 1; h = 0; b = 0 logo a.b – h2 = 0

3) Equação de Laplace

02

2

2

2

yu

xu (11. 21)

Esta equação de laplace é do tipo elíptica porque: a = 1; h = 0; b = 1 logo a.b – h2 = 1 > 0

Uma vez que se sabe reconhecer e classificar uma equação diferencial, vamos ao

capítulo seguinte onde daremos início ao primeiro método numérico de solução baseado na

própria definição de derivada, chamado de Método das Diferenças Finitas.

250

11. 4 – Propriedades das Equações Diferenciais

11.4.1 – Existência e Unicidade das Soluções

Seja Rbaf ],[: contínua, então pelo Teorema Fundamental do Cálculo a função:

btadftFt

a

,)()( (11. 22)

é diferenciável em (a,b) e F’(t) = f(t) para todo t (a,b).

Logo F(t) é uma solução da equação diferencial ordinária de 1ª ordem

btatfty )()( (11. 23)

e ainda F(a) = 0. Neste caso dizemos que F(t) é uma solução do Problema de valor Inicial.

btaay

tfty

0)()()(

(11. 24)

Logo o P.V.I., neste caso, tem solução, mas surge a pergunta:

Será que F(t) é a única solução deste P.V.I.?

Neste caso a resposta é positiva, pois se G(t) fosse uma outra solução teríamos

que:

constantetGFdt

tGFdtFtftG

))((0))(()()()( (11. 25)

mas

),()()(000)()())((

battodoparatFtGaGaFaGF

(11. 26)

251

11.4.2 - Exemplos

i) Considere o seguinte Problema de Valor Inicial:

0)0(

2/1

yyy (11. 27)

não tem unicidade de soluções, pois

0)(1 ty (11. 28)

é solução e

0)0(3)(

3/2

2 yyyty

(11. 29)

Também é solução (verifique). Portanto temos duas soluções

ii) Vemos ainda que o P.V.I.

0)0(3 3/2

yyy (11. 30)

também não tem unicidade de soluções, pois 0)( ty é solução e observamos que qualquer

Rc a função RRyc : dada por:

ctctcttyc ,0

,)()(3

(11. 31)

também é solução, e portanto temos infinitas soluções.

252

11.4.3 – O Problema de Valor Inicial

Dado o problema de valor inicial

00 )(),(

ytyytfy

(11. 32)

onde f é uma função definida em um aberto A do R2, surgem as seguintes questões:

1. Como sabemos que um P.V.I. tem de fato uma solução sem exibi-la

explicitamente?

2. Como sabemos que existe somente uma solução de um P.V.I.? Talvez existam,

duas, três ou mesmo infinitas soluções.

3. Qual a utilidade de determinados se um P.V.I. têm uma única solução se não

somos capazes de exibi-la?

Para esta última questão, podemos dizer que o fato de sabermos que o P.V.I. têm

uma única solução é muito importante, pois a partir disto podemos usar técnicas

computacionais para obter aproximações da solução y(t).

Para responder a primeira questão usaremos o Método de Picard. Para isto

observemos que y(t) é solução do P.V.I se e somente se

dssysfytyt

t0

))(,()( 0 (11. 33)

Consideremos, agora, a sequência )(tyn , dada da seguinte forma:

dssysfyty

dssysfyty

dssysfyty

yty

t

tnn

t

t

t

t

0

0

0

))(,()(

:

))(,()(

))(,()(

)(

10

102

001

00

(11. 34)

253

As funções )(tyn são chamadas de iteradas de Picard. Pode-se mostrar que

)()( tytyn , quando n , para t num intervalo conveniente. Esse processo é

conhecido por Método de Picard.

Observação: As soluções de Equações Diferenciais, em geral, podem não existir

para todo t real, como por exemplo:

4)( ttgty (11. 35)

É solução do P.V.I.

1)0(),(1)( 2

ytyty (11. 36)

E está definida somente em

4,

43

De fato: se

4,

43 t , então

14

)0(

)(14

14

sec)( 222

tgy

tyttgtty (11. 37)

Por este fato não podemos esperar que as iteradas de Picard convirjam para todo t.

254


255


256

Capítulo – XII

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES

RESUMO

Neste capítulo será visto a definição de equações diferenciais de uma forma geral,

sua classificação quanto ao grau, a ordem, as variáveis, etc. A análise de um sistema de

equações diferencias pela teoria de auto-valores será feita e utilizando também a linearização

pelo processo de Lyapunov como também a análise de seu espaço de fase


257

12. 2 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares

(12. 1)

(12. 2)

Ás relações que envolvem funções incógnitas e suas derivadas damos o nome de

equações diferenciais.

Quando as funções incógnitas dependem apenas de uma única variável, as

equações diferenciais recebem o nome de equações diferenciais ordinárias (E. D. O.).

Uma equação diferencial é chamada ordinária (E.D.O.) se a função incógnita

depende apenas de uma variável.

Por exemplo, a equação de Newton, para o movimento de um oscilador

unidimensional amortecido, é a seguinte equação diferencial ordinária:

2

2

d x dxm kxdt dt

(12. 3)

Em (12. 3) a função incógnita é a posição ( )x t do oscilador, e a variável independente é o

tempo, t.

Quando a função incógnita depende de mais de uma variável, à equação

diferencial dá-se o nome de equação diferencial a derivadas parciais.

Se a função incógnita depender de mais de uma variável, temos uma equação a

derivadas parciais (E. D. P.), é o caso da equação (4).

Por exemplo,

2 2 2

22 2 2, , 0V V VV x y z

x y z

(12. 4)

Esta equação diferencial a derivadas parciais é a equação de Laplace para a função potencial

, ,V x y z do campo eletrostático (ou gravitacional), que é função das 3 variáveis , ,x y z que

determina a posição no espaço 3-dimensional.

258

12.2.1 - Exemplos

As equações (1), (2), (3) e (5) acima são E.D.O.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função

incógnita.

)(' xbaxyy (12. 5)

Os termos y’e y são de primeira ordem.

Portanto, (1) é uma equação de primeira ordem, (2) é de segunda ordem e (3) é de

terceira ordem.

Uma solução de uma equação diferencial é uma função que juntamente com suas

derivadas, satisfaz a equação dada. Por exemplo, a função

y(t) = sen(t) (12. 6)

é uma solução da E.D.O. de segunda ordem

0)()( tyty (12. 7)

Pois,

0)()(

0)()][cos(

0)()]([2

2

tsentsen

tsendt

td

tsendt

tsend

(12. 8)

Verifique que a função ktcety )( é solução da E.D.O. de primeira ordem

kyy e que ctty )( é a solução da E.D.O. de segunda ordem 0y .

259

12. 3 - Propriedades das Equações Diferenciais Ordinárias Lineares e Homogêneas

i) Se x1(t) é solução, então y1 = Cx1(t) também é solução para qualquer constante C.

00 12

112

112

1 xxCCxxCyy ooo (12. 9)

e

012

1 xx o (12. 10)

ii) Se x1(t) e x2(t) são soluções, então x1(t) + x2(t) também é solução da equação:

0)()(

0

0

212

21

22

2

12

1

xxxx

xx

xx

o

o

o

(12. 11)

Como

21

21

xxxxxx

(12. 12)

Temos:

02 xx o (12. 13)

260

12.3.1 - Teorema

A solução geral de uma equação não-homogênea é igual a solução geral da

homogênea associada a uma solução particular da não-homogênea.

Prova

Seja a equação diferencial dada por:

)()()( tcytbytay (12. 14)

A equação homogênea associada é:

0)()( hhh ytbytay (12. 15)

onde yh é a solução geral da homogênea.

A equação particular associada é dada por:

)()()( tcytbytay ppp (12. 16)

Onde yp é a solução particular da não-homogênea.

Somando as equações ( ) e ( ) temos:

)())(())(( tcyytbyytayy phphph (12. 17)

Logo a solução geral é dada por:

phg yyy (12. 18)

Satisfazendo ( ).

261

12. 4 - Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e Variáveis

Equações Diferenciais Lineares são aquelas que não apresentam termo de

potência maior ou igual a dois.

Equações Diferencias Lineares Homogêneas, são aquelas equações que não

apresentam termo independente.

As equações que estudaremos no MHS apresentam-se na forma de equações

diferenciais homogêneas

0)('')( yxbyxa (12. 19)

Trataremos também das equações diferenciais lineares não homogêneas, porém em geral com

uma mudança de variável ela poderá ser transformada em uma equação homogênea.

A equação não homogênea é da forma:

)()('')( xcyxbyxa (12. 20)

262

12. 5 - Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente Constantes

Neste caso vamos estudar somente as equações diferenciais ordinárias. Na

verdade o nosso estudo estará limitado a uma classe restrita de equações diferenciais

ordinárias: as equações diferenciais lineares e com coeficientes constantes (E.D.O.L.C.C.).

Isto quer dizer que as equações que vamos estudar são da forma:

)(... 11

1

1 xgyadxdya

dxyda

dxyda on

n

nn

n

n

(12. 21)

A função incógnita y(x) depende de uma única variável independente x. Todos os

termos são lineares (i. e. do 1ª grau) em y(x) e nas derivadas, donde a denominação de linear.

Os coeficientes no aaaa ,...,, 21 são todos constantes (números reais). No 2º

membro de (12. 21) a função y(x) é uma função dada da variável independente x. Quando y(x)

0 a equação diferencial diz-se homogênea. A derivada de ordem mais alta que aparece em

(12. 21) é n (supondo an 0): dizemos então que a equação (12. 21) é de ordem n. Damos a

seguir alguns exemplos:

2dy y xdx

(12. 22)

E.D.O.L.C.C. de 1ª ordem não-homogênea (“N-H”)

3

3 2 0d y dy ydx dx

(12. 23)

E.D.O.L.C.C. de 3ª ordem homogênea (“H”)

2

2 sen( )d y dyk my xdx dx

(12. 24)

E.D.O.L.C.C. de 2ª ordem não-homogênea (“N-H”)

Esta limitação a equações diferenciais lineares e com coeficientes constantes é

decorrência da grande dificuldade que cerca a solução de equações diferenciais. Ainda hoje

não existe uma teoria geral para a solução de equações diferenciais ordinárias não-lineares.

Esta teoria existe, no entanto, para as equações lineares.

263

Por outro lado, quando os coeficientes da equação diferencial ordinária forem

todos constantes, será possível empregar métodos algébricos elementares para resolvê-las, o

que não se dá quando os coeficientes da E.D.O.L. forem funções da variável independente.

264

12.5.1 – Metodologia de Solução das Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente Constantes

Vamos a partir de agora adotar uma notação que será de utilidade no nosso

estudo. Introduzimos o operador:

dDdx

(12. 25)

para representar a “operação” de tomar a derivada de uma função.

Assim

dyDydx

(12. 26)

As potências inteiras n de D são derivadas de ordem n:

22 2

2

33 3

3

. ; .

. . ; .

. ... ; . ...n

n nn

d yD D D D y D Dy xdxd yD D D D D y D Dy xdxd yD D D D D y D D y xdx

(12. 27)

A E.D.O. L. C. C. N. H. de ordem n será emitir, em termos de D, doseguinte

modo:

1 1 01 1 0

11 1 0

...

...

n nn n

n nn n

a D y a D y a D y a D y g x

a D y a D y a D y a y g x

(12. 28)

que também pode ser escrita deste modo:

11 1 0...n n

n na D a D a D a y x g x (12. 29)

Usando uma propriedade elementar da distribuição das derivadas.

O método que vamos desenvolver vai concentrar-se no “polinômio” em D que

aparece no 1º membro da equação (12. 29). Designando-o pó nP D .

11 1 0...n n

n n nP D a D a D a D a (12. 30)

(onde, sem perda de generalidade supomos 1na ), podemos também escrever (12. 29) na

forma mais sintética:

265

nP D y x g x (12. 31)

Pelo teorema fundamental da álgebra (Teorema de Gauss) o polinômio nP D , imaginamos D

como uma variável algébrica, sempre poderá ser expresso na forma:

1 2 ...n nP D D r D r D r (12. 32)

Onde 1 2, ,..., nr r r são as raízes (reais ou complexas) da equação:

11 1 0... 0n n

n n nP Dx a x a x a x a (12. 33)

Usando este fato reescrevemos a equação (12. 31) numa forma muito útil”

1 2 ...n nP D D r D r D r y x g x (12. 34)

266

12.5.2 – Solução de algumas das Equações Diferenciais Elementares

Antes de introduzir o conceito de solução geral de uma E.D.O. vamos examinar

alguns casos elementares por meio dos quais ganharemos intuição sobre a natureza geral das

soluções das equações diferenciais ordinárias. Vamos examinar as equações:

0 ; 1, 2,3,...," "nD y x n H (12. 35)

e

; 1, 2,3,...," "nD y x g x n NH (12. 36)

i) Comecemos pelo caso 1n da equação (12. 35). Temos a E.D.L.C.C. de 1ª ordem

homogênea mais simples possível:

0Dy x (12. 37)

A solução desta equação é uma função que, substituída na equação, a satisfaz identicamente.

Assim vê-se, sem dificuldade, que a solução desta equação é uma função cosntante.

y x A (12. 38)

onde A é uma constante arbitrária. É a solução mais geral possível. Mas é claro que soluções

particulares podem ser obtidas dando à constante arbitrária A valores particulares, por

exemplo, A = 0, A = 1, A = 2, etc. A representação geométrica da solução (14. 12) é uma

família infinitas de retas paralelas ao eixo Ox :

Figura - 12. 1.

267

Em resumo, a solução mais geral da equação (12. 37), que é uma E.D.O.L. de 1ª ordem “H”, é

a função dada em (14. 12); esta solução (mais) geral representa uma família de curvas (retas)

a um parâmetro, ilustrada na Figura - 12. 1. Qualquer reta particular dessa família representa

uma solução particular de (12. 37)

ii) Passemos agora ao caso 2n da equação (12. 35). Temos a E.D.L.C.C. de 2ª ordem

homogênea muito simples:

2 0D y x (12. 39)

É evidente que a solução (14. 12) serve. Mas integrando (14. 13) membro a membro obtemos

sucessivamente:

1ª Integração

210D y x dx Dy x A (12. 40)

2ª Integração

1 1 2Dy x dx A dx y x A x A (12. 41)

De modo que a solução mais geral de (14. 13)

1 2y x A x A (12. 42)

Em que comparece agora duas constantes arbitrárias 1 2,A A . Qualquer função obtida de (12.

42) dando a 1A e a 2A valores particulares quaisquer será também solução, isto é, satisfará

(12. 39) identicamente. Exemplos de imediata verificação são as seguintes soluções

particulares de (12. 39):

1 2

1 2

1 2

1 ; 0 ; 1

1 ; 1 ; 0

3 2 ; 3 ; 2

y x A A

y x x A A

y x x A A

(12. 43)

etc.

A solução geral ( ) pode ser representado graficamente. Obtivemos ainda uma

família infinita de retas, mas a 2 parâmetros: 1A indicando o coeficiente angular variável e 2A

O ponto de corte do eixo Oy também variável. Por exemplo:

268

Figura - 12. 2.

A Figura – 11. representa a “sub-familia” 2 0A , constituída por todas as retas

que passam pela origem, com coeficiente angular arbitrário. Na Figura – 11. esta representada

outra sub-familia, a de todas as retas que passam pelo ponto 1;0 . A família toda,

representada por ( ) será a superposição de todas as sub-familias particulares obtidas fazendo-

se 1A e 2A em ( ) assumirem, separadamente, todos os valores reais. É fácil ver que se

obtivermos assim a família de todas as retas do plano Oxy . Em resumo, a equação ( ), E.D.O.

de 2ª ordem, admita a função ( ) como solução geral, e esta solução geral representa uma

família de curvas do plano (retas) a 2 parâmetros.

Consideremos agora o caso 3n da equação ( ). Trata-se agora de uma

E.D.O.L.C.C. de 3ª ordem, homogênea, a mais simples possível.

3 0D y x (12. 44)

Pelo mesmo procedimento obtemos sem dificuldade a seguinte

21 2 3y x A A x A x (12. 45)

que depende de 3 cosntantes arbitrárias. A função ( ), substituída em ( ) a satisfaz

identicamente. Qualquer outra função particular obtida dando qualquer uma das consatntes

1 2 3, ,A A A em valor particular será também uma solução particular. Por exemplo, verifica-se

facilmente que as funções:

269

23 2 1

3 2 1

23 2 1

; 1 ; 0 ; 0

1 ; 0 ; 0 ; 1

; 1 ; 1 ; 1

y x x A A A

y x A A A

y x A x x A A A

(12. 46)

Todas satisfazem a equação ( ). São soluções particulares.

A representação geométrica da solução geral ( ) é uma complicada família de

parábolas a 3 parâmetros. Qualquer curva desta família é uma solução particular de ( ). Em

resumo, aqui também podemos dizer que a solução mais geral de ( ) que é uma E.D.O.L.C.C.

de 3ª ordem “H”, é a função dada em ( ), que representa uma família de curvas planas

(parábola) a 3 parâmetros.

De um modo geral, a equação:

0nD y x (12. 47)

que é o caso mais simples de E.D.O.L.C.C. de ordem n homogênea (“H”), tem como solução

geral a função:

2 11 2 3 ... n

ny x A A x A x A x (12. 48)

que é uma função de x e de n constantes arbitrárias 1 2 3, , , nA A A A . A sua representação

geométrica é um família, a n parâmetros, de curvas planas de ordem n-1.

Passemos agora a estudar as equações não-homog6eneas ( ), tomando

sucessivamente 1, 2,3,...n . O caso 1n corresponde a seguinte E.D.O.L.C.C. de 1ª ordem

“N-H”,

Dy x g x (12. 49)

A função g x é uma função dada, conhecida, da variável independente x. Esta equação se

ïntegra” facilmente, integrando-a membro a membro:

Dy x dx g x dx A (12. 50)

ou seja

y x A g x dx (12. 51)

Estqa é a solução geral. Qualquer valor particular que se de à constante arbitrária A produzirá

uma solução particular. A representação geométrica de ( ) é uma família a um parâmetro de

270

curvas planas cuja natureza depende da função g(x). Por exemplo, se 1g x , será uma

família de retas; se g x x , uma família de parábolas, etc. Observe-se que a solução ( ) é a

soma de duas funções:

GH PNHy x A e y x g x dx (12. 52)

de modo que y x de ( ) é também dada por:

GH PNHy x y x y x (12. 53)

Onde, mais uma vez

GHy x A (12. 54)

e

PNHy x g x dx (12. 55)

Reconhecemos em ( ), GHy x A , a solução geral da equação ( ), ou seja, da equação

homogênea que se obtém de ( ) fazendo-se 0g x . A esta equação homogênea damos o

nome de equação (diferencial) homogênea associada à equação não homogênea dada.

A solução PNHy x em ( ) é uma solução particular de ( ), obtida fazendo-se

0A em ( ).

O caso 2n produz a seguinte E.D.O.L.C.C. de 2ª ordem N-H:

2D y x g x (12. 56)

Integrando membro a membro sucessivamente duas vezes obtemos:

1 2y x A A x g x dx dx (12. 57)

É uma função da variável independente de x e de suas constantes arbitrárias 1 2,A A e que

satisfaz identicamente a equação ( ) homogênea ( ) (que se obtém de ( ) fazendo-se

0g x ), associada de ( ); e a função ( ) é uma solução particular de ( ), obtida de ( )

fazendo-se 1 2 0A A .

Não há nenhuma dificulade em generalizar os resultados obtidos. A solução geral

de:

271

nD y x g x (12. 58)

é a função

GH PNHy x y x y x (12. 59)

em que

2 11 2 3 ... n

GH ny x A A x A x A x (12. 60)

É a solução geral da equação homogênea associada a ( ) e

...PNH

n vezes

y x dx dx dx g x dx (12. 61)

é uma solução particular da equação ( ).

Em resumo:

i) A equação homogênea

( ) 0nD y x (12. 62)

Tem como solução geral a função:

2 11 2 3 ... n

GH ny x A A x A x A x (12. 63)

ii)A equação não-homogênea

( ) ( )nD y x g x (12. 64)

Tem como solução geral a função:

GNH GH PNHy x y x y x (12. 65)

onde GHy x : Solução geral da homogênea associada; PNHy x : Solução particular da não-

homogênea.

Estes resultados foram obtidos a partir de uma classe simples de equações. Mas

eles podem ser generalizados, e é o que faremos em seguida.

272

12.5.3 – Solução Geral, Solução Particular, Teorema Estratégico

Os resultados que obtivemos no parágrafo 11.6. , ao estudarmos equações

diferenciais particularmente simples, são na verdade bem gerais, e valem para equações

lineares em geral. Chama-se solução geral de uma equação diferencial ordinária de ordem n

(linear ou não) uma função 1 2; , ,..., ny x A A A dependente da variável x e de n constantes

arbitrárias de integração independentes que satisfaça identicamente a equação diferencial. O

número de constantes arbitrárias é igual à ordem da equação diferencial. As constantes que

aparecem na solução geral são independentes e seu número é inevitável. Assim, por exemplo,

a função:

1 2x xy x A e A e (12. 66)

é solução geral mda equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogênea.

2 1 0D y x (12. 67)

A solução

1 2 3x xy x A e A A e (12. 68)

contém 3 constantes, mas duas delas 2 3,A A aparecem na combinação 2 3A A e podem,

portanto, ser substituídas por uma única constante arbitrária 2 3C A A , dando a solução a

forma ( ).

Uma solução particular é obtida dando às constantes 1 2, ,..., nA A A valores

particulares. Assim por exemplo, a equação ( ) admite como soluções particulares as seguintes

funções:

1 2

1 2

1 2

; 1 ; 0

; 0 ; 1

; 1 ; 1

x

x

x x

y x e A A

y x e A A

y x e e A A

(12. 69)

é fácil verificar que estas funções satisfazem ( ).

273

12.5.4 – Equação Diferencial a partir da Solução Geral

Dada por sua vez, uma função dependendo de x e de um número n de constantes

arbitrárias independentes, podemos determinar qual a equação diferencial ordinária de ordem

n que admite a função dada como solução geral. Vamos dar exemplos dessa técnica.

Suponhamos que fosse dada a função ( ), e que quiséssemos determinar qual a E.D.O. que

admite ( ) por solução geral. A idéia é eliminar as constantes arbitrárias em termos de

2, ,y x Dy x D y x , etc. Assim:

1 2

1 2

21 2

x x

x x

x x

y x A e A e

Dy x A e A e

D y x A e A e

(12. 70)

Comparando ( ) e ( ) concluímos que:

2D y x y x (12. 71)

ou

2 1 0D y x (12. 72)

Que é justamente ( ). Outro exemplo:

Dada a função:

21 2

x xy x A e A e (12. 73)

Determinar a E.D.O. que admite y x de ( ) como solução geral. Derivando, obtemos:

21 22x xDy x A e A e (12. 74)

e

2 21 24x xD y x A e A e (12. 75)

Eliminando 21 2ex xA e A e pelas equações ( ), obtemos:

21

2 22

2

1 22

x

x

A e D y Dy

A e D y Dy

(12. 76)

Substituindo em ( ) obtemos:

274

2 212 22

y x D y Dy D y Dy (12. 77)

que depois de simplificada se transforma em:

3 3 2 0D D y x (12. 78)

que é a equação procurada. Nos exemplo dados as equações obtidas foram lineares mas nem

sempre isso acontece (ver Lista de Exercícios).

Vamos agora demonstrar um teorema que ocupa um lugar central no método que

vamos desenvolver para resolver E.D.O.L.C.C. N-H. de ordem qualquer. O teorema vale para

uma equação linear qualquer, com coeficientes variáveis.

275

12.5.5 – Teorema Estratégico

A solução geral GNHy x da equação diferencial ordinária linear não-homogênea

nP D y x g x (12. 79)

se escreve como uma soma:


na qual GHy x é a solução geral da equação homogênea

0nP D y x (12. 81)

e PNHy x é uma solução particular de ( ) satisfazendo:

n PNHP D y x g x (12. 82)

Prova:

A demonstração é trivial, e se faz primeiro observando que GNHy x dada em ( )

satisfaz a equação ( ). De fato:

n GNH n GH PNH n GH n PNHP D y x P D y x y x P D y x P D y x

(12. 83)

Mas usando ( ) e ( ), obtemos:

0n GNHP D y x g x g x (12. 84)

Em seguida observa-se que GNHy x depende de n constantes arbitrárias por intermédio de

GHy x , que é por hipótese a solução geral de uma E.D.O. de ordem n homogênea ( ), e que

portanto depende de n constantes arbitrárias. Então GNHy x definida em ( ) satisfaz todas os

requisitos de solução geral. Q.E.D.

A partir deste teorema fica definida a nossa estratégia para resolver uma

E.D.O.L.C.C. N-H. de ordem qualquer.

nP D y x g x (12. 85)

276

i) Determina-se a solução geral da equação homogênea associada, GHy x :

0n GHP D y x (12. 86)

ii) Determina-se uma solução particular da equação dada (N-H) PNHy x :

n PNHP D y x g x (12. 87)

iii) Define-se a solução geral GNHy x da equação dada (N-H) pela soma:


277

12.5.5 – Condições Iniciais

Nos problemas práticos, em cuja solução y x estamos interessados, e que

satisfaz uma equação do tipo:

nP D y x g x (12. 89)

Não há, em geral, lugar para constantes arbitrárias. Estamos interessados numa

solução sem ambigüidade; as constantes arbitrárias devem ser eliminadas. Em geral essa

eliminação se faz utilizando condições prévias do problema, e às quais a solução procurada

deve satisfazer. São as chamadas condições iniciais.

Num problema com condições iniciais são dados os valores da função e das suas

(n-1) primeiras derivadas num valor particular 0x (às vezes 0 0x ) da variável independente,

isto é, são dados os valores:

0 0

0 1

( 1)0 1

'..................

nn

y x y

y x y

y x y

(12. 90)

Dada então uma solução geral de ( ) na forma:

1 2, , ,...,GNH ny x x A A A (12. 91)

Substituímos nos primeiros membros de ( ) y x por 1 2, , ,..., nx A A A de ( ), e obtemos um

sistema de n equações algébricas a n incógnitas 1 2, ,..., nA A A . A solução (quando existe)

fornece 1 1 0 1 2 1, , ,..., nA A y y y y , 2 2 0 1 2 1, , ,..., nA A y y y y , etc., e então a solução

particular (específica) do problema em estudo é:

0 1 2 1, , , ,..., ny x y x y y y y (12. 92)

Onde já não há mais nenhuma constante arbitrária, e que satisfaz ( ) identicamente. Nos

problemas de Mecânica, onde a função incógnita é a posição r t de uma partícula, e a

variável independente é o tempo t, a equação de movimento é a equação de Newton, que é

uma E.D.O. de 2ª ordem. As duas constantes arbitrárias da solução geral são eliminadas

dando-se as “condições iniciais” do problema: a posição inicial 0r e a velocidade inicial

0r .

278

12.5.5 – Propriedade do Operador D k

No parágrafo 4, equação ( ) fizemos a observação segundo a qual o operador

nP D , que comparece no 1º memebro da E.D.O.L.C.C. mais geral ( ), poderia ser fatorado

na forma:

1 2 ...n nP D D r D r D r (12. 93)

onde 1 2, ,..., nr r r são raízes (reais ou complexas) da equação característica

0nP x ou 11 1 0.... 0n n

nx a x a x a (12. 94)

associada ao operador nP D . Somos, assim levados a estudar os operadores D k e seus

produtos ' ...D k D k

Por definição:

.dyD k y x k y xdx

(12. 95)

O produto 1 2D k D k é definido por:

1 2 1 2 1 2

21 2 1 2

D k D k y x D k D k y x D k Dy k y

D k k D k k y x

(12. 96)

onde usou a propriedade evidente

d dyD ky x ky x k kDy k ctedx dx

(12. 97)

Desenvolvendo formalmente o produto 1 2D k D k (isto é, como se D não fosse

operador, mas um número) obtemos:

21 2 1 2 1 2 2 1D k D k D k k D k k D k D k (12. 98)

Obtendo o resultado

1 2 2 1D k D k D k D k (12. 99)

1 2,k k cte .

279

Toda função f x pode ser considerada como um operador no espaço das

funções com que estamos lidando (i. e. o espaço das funções continuamente diferenciáveis até

ordem n): é o operador que a toda função y x associa a função f x y x :

: .f x y x f x y x (12. 100)

Podemos combinar os operadores D e f x para formar novos operadores. Por exemplo:

; ;D f x Df x f x D (12. 101)

O primeiro, D f x , é definido assim:

;D f x y x D y x f x y x y x (12. 102)

O operador f x D não apresenta dificuldades:

. ;dyf x Dy x f x y xdx

(12. 103)

Mas o operador Df x deve ser examinando com cuidado. Há que se distinguir a derivada

D f x do Df x resultante do produto dos operadores D e f x . Para evitar

ambiguidades convencionaremos:

i) D f x é a derivada de f x : dfdx

ii) Df x é o operador definido por:

: ;dDf x y x Df x y x f x y x y xdx

(12. 104)

Por exemplo:

1dD x xdx

(12. 105)

e

: : d dyDx operador y x Dx y x xy x y x xdx dx

(12. 106)

ou seja:

280

1 ;Dx y x xD y x y x (12. 107)

Esta relação entre funções é equivalente à relação entre operadores

1Dx xD (12. 108)

Um caso de particular importância para o nosso estudo é aquele em que f x é a função

exponencial.

Consideremos, então, o operador kxDe . Aplicado a uma função y x qualquer do

espaço dá:

;kx kxDe y x e D k y x y x (12. 109)

A relação entre operadores, equivalente a ( ) é:

;kx kxDe e D k k cte (12. 110)

Vamos considerar alguns Exemplos:

i) Simplificar o operador 1 xD e usando ( ), teremos, por definição, usando a

distribuitividade:

1 1x x x xD e e D e e D (12. 111)

ii) Considere a equação D k y x g x . Para aplicar ( ), multipliquemos ambos os

memebros por kxe :

kx kxe D k y x e g x (12. 112)

Usando ( ), vem:

kx kxD e y x e g x (12. 113)

Esta equação já é nossa conhecida (of. equação ( )), e a sua solução geral é:

kx kxe y x A e g x dx (12. 114)

que simplificada dá:

281

kx kx kxy x Ae e e g x dx (12. 115)

Uma questão de grande interesse é a possibilidade de se definir o operador inverso

1D k do operador D k . Enquanto “inverso” ele tem a propriedade :

1 1D k D k (12. 116)

Mas nós não sabemos ainda o efeito de 1D k sobre um função qualquer y x :

1 ?D k y x (12. 117)

Se nós soubéssemos o resultado da operação do 1º memebro de ( ), então poderíamos

encontrar uma solução particular da equação:

D k y x g x (12. 118)

De fato, aplicando 1D k a ambos os membros de ( ), obteríamos:

1 1D k D k y x D k g x (12. 119)

E usando ( ) vem:

1y x D k g x (12. 120)

que é obviamente uma solução particular de ( ).

Ajuntando a ( ) a função GHy x , a solução geral da equação homogênea

0GHD k y x (12. 121)

Então teremos a solução geral de ( )

1GNH GHy x y x D k g x (12. 122)

No próximo parágrafo, utilizando a solução geral da E.D.O.L.C.C. de 1ª ordem não-

homogênea que vamos estabelecer, vamos poder definir 1D k .

282

12. 6 - Equações Diferenciais Ordinárias Linear com Coeficiente Constantes de 1ª Ordem N-H:

Consideremos a equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem, com

coeficientes constantes, não-homogênea:

D k y x g x (12. 123)

No 2º membro de ( ), a função g x é uma função dada de x , e no 1º membro k é uma

constante real dada:

12.6.1 – Definição do Operador 1D k

Vamos aplicar a ( ) a propriedade ( ). Multipliquemos ambos os memebros de ( )

por kxe :

kx kxe D k y x e g x (12. 124)

Usando ( ), vem:

kx kxD e y x e g x (12. 125)

Integrando ( ), obtemos:

kx kxe y x A e g x dx (12. 126)

onde A é uma constante arbitrária. Explicitando y x , obtemos finalmente:

kx kx kxy x Ae e e g x dx (12. 127)

Esta é a solução geral de ( ): satisfaz a equação e depende de uma constante arbitrária (a

equação ( ) é de 1ª ordem).

Tal como está escrita, a solução geral ( ) é a soma de dois termos. O primeiro

deles é kxAe , que reconhecemos ser a solução geral GHy x da equação homog6enea

associada a ( ):

0D k y x (12. 128)

e

283

kxGHy x Ae (12. 129)

Pelo “Teorema Eestratégico”, o termo que resta em ( ) é uma solução particular PNHy x da

equação ( ). De fato, aplicando D k à função:

kx kxPNHy x e e g x dx (12. 130)

obtemos:

kx kxPNH

kx kx kx kx

D k y x D k e e g x dx

e D e g x dx e e g x

(12. 131)

ou seja:

PNHD k y x g x (12. 132)

O que demonstra a nossa afirmação:

Em resumo, a solução geral GNHy x da equaçào ( ) é escrita como:


onde:

kxGHy x Ae (12. 134)

e

kx kxPNHy x e e g x dx (12. 135)

Comparanado ( ), ( ) com ( ) concluímos quadraticamente:

1 kx kxD k g x e e g x dx (12. 136)

Esta será a definição do inverso 1D k do operador D k que vamos adotar nesse curso.

284

12.6.2 – Exemplos

(i) Determinar uma solução particular da equação D k y x x . Aplicando 1D k a

ambos os membros, obtemos:

1PNHy x D k x (12. 137)

Usando ( ) obtemos (fazendo k =1):

1 x xD k x e e xdx (12. 138)

A integral xe xdx é elementar, e o resultado é:

1x xe xdx e x (12. 139)

OBS: Não é necessária a mconstante de integração na integral indefinida porque estamos

querendo uma solução particular.

Juntando os resultados obtemos a solução particular procurada:

1 1x xPNHy x e e x x (12. 140)

Verificando:

1 . 1 1 . 1 . 1 1 0 1D x D x D x x (12. 141)

ii) Determinar uma solução particular da equação 2 xD y x e

Usando a mesma técnica, aplicamos a ambos os membros o operador 12D :

1 1

2 2

2 . 2 2 x

x x x x

D D y x y x D e

e e e dx e

(12. 142)

Então a solução particular pedida é:

xPNHy x e (12. 143)

Verificando:

2 2x x x xD e e e e (12. 144)

iii) Determinar a solução geral da equação

285

dy y sen xdx

(12. 145)

Na “notação D” escrevemos:

1 senD y x (12. 146)

Pelo “teorema estratégico”, a solução geral desta equação é a soma da solução qual da

equação homogênea associada:

1 0D y (12. 147)

Com uma solução particular da equação dada (NH), que sabemos que é:

11 senPNHy x D x (12. 148)

A solução geral da equação homogênea

1 0D y (12. 149)

é:

xGHy x Ae (12. 150)

A solução particular PNHy x é:

11 sen x xPNHy x D x e e sen x dx (12. 151)

Pela tabela de integrais achamos:

1 sen cos2

x xe sen x dx x x e (12. 152)

Então a solução geral procurada é:

1 sen cos2

xGNHy x Ae x x (12. 153)

A verificação fica por conta do laborioso estudante.

286

12. 7 - Problemas que surgem E.D.O. Lineares de 1ª Ordem

Vamos agora apresentar alguns problemas a partir dos quais surgem as equações

diferenciais.

12.7.1 – Problema Geométrico

Determine uma curva que seja definida pela condição de ter em todos os pontos

(x,y) a inclinação dxdy

igual ao dobro da soma das coordenadas do ponto.

Se )(xyy é a equação da curva, então, para resolver este problema devemos

resolver a equação diferencial.

)(2 yxdxdy

(12. 154)

287

12.7.2 – Problema Químico

100 gramas de açúcar de cana, em água, estão sendo transformadas em dextrose

numa razão que é proporcional à quantidade não transformada. Deseja-se saber quanto açúcar

foi transformado após t minutos.

Se q é o número de gramas convertido em t minutos e k é a constante de

proporcionalidade, então, a equação deste problema é dada por:

)100( qkdtdq

(12. 155)

Sabendo q(0) = 100.

288

12.7.3 – Problemas Físicos

Considere o Circuito Elétrico RL mostrado na

Figura - 12. 3

onde R é a resistência elétrica do circuito, I é a intensidade de corrente elétrica, L é a

indutância, E a força eletromotriz.

Sabe-se que a queda de potencial através da risitência R é VR = RI e através da

indutância L é dtdILVL . Segue da Lei de Kirchoff, isto é, a queda total de potencial no

circuito deve ser contrabalanceada pela força eletromotriz aplicada, e que a corrente num

instante t qualquer, é dada pela equação diferencial.

ERIdtdIL (12. 156)

Que é uma equação linear de 1ª ordem.

289

12. 8 - Equações Diferenciais Ordinárias Linear com Coeficiente Constantes de 2ª Ordem N-H:

O próximo caso em ordem de crescente complexidade é o das equações

diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes, de 2ª ordem, que pode ser pasta

na forma geral:

22P D y x D aD b y x G x (12. 157)

ou

1 2D r D r y x G x (12. 158)

em que G x é uma função conhecida da variável independente x , e as constantes 1r , 2r são

as raízes da equação característica, equação ( ):

22 0P x y x ax b (12. 159)

Sendo a equação característica, equação ( ), uma equação alg’’ebrica do 2º grau com

coeficientes reais, três situações podem ocorrer:

(i) As raízes 1r , 2r são reais e distintas 2 4 0a b ;

(ii) As raízes 1r , 2r são reais e iguais 2 4 0a b ;

(iii) As raízes 1r , 2r são complexas 2 4 0a b ;

Vamos, em seguida, estuda cada situação separadamente, pois o carácter da

solução geral da equação ( ) depende essenciamente da natureza das raízes da equação

característica.

(i) Raízes reais e distintas

A equação diferencial a ser resolvida é:

2D aD b y x G x (12. 160)

A equação carcterística, equação ( ). é:

2 0x ax b (12. 161)

na qual

2 4 0a b (12. 162)

290

Isto quer dizer que a equação característica admite duas raízes reais e distintas 1r , 2r dadas

por:

21

1 42

r a a b (12. 163)

e

22

1 42

r a a b (12. 164)

Podemos, então, “fatorar”o operador 2D aD b na forma:

21 2D aD b D r D r (12. 165)

De modo que a equação ( ) toma a forma ( ), ou seja:

1 2D r D r y x G x (12. 166)

De acordo com o “Teorema Estratégico, a solução geral GNHy x da equação ( ) se escreve na

forma:


na qual GHy x é a solução geral da equação homogênea associada a ( ), isto é:

1 2 0GH

D r D r y x (12. 168)

e PNHy x é uma solução particular da equação ( ):

A solução geral da equação

291

12. 9 - Algumas Importantes Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem

12.8.1 – O Movimento Harmônico Simples (MHS)

Seja um corpo de massa m ligado horizontalmente a uma mola presa a uma parede

vertical, cujo sistema está deslocado da sua posição de equilíbrio e sujeito a uma força

restauradora do tipo F = -kx, conforme mostara a Figura - 12. 4.

292

Figura - 12. 4. Oscilador Harmônico simples.

A partir da 2ª Lei de Newton nós temos a seguinte equação de movimento dada

por:

kxma (12. 169)

Como dtdva / temos:

kxdtdvm (12. 170)

Ou ainda dtdxv / temos:

kxdt

xdm 2

2

(12. 171)

Considere o movimento Harmônico Simples de um sistema massa mola.

Fazendo

xdtdx

(12. 172)

e

xdt

xd 2

2

(12. 173)

Temos:

293

0 kxxm (12. 174)

Dividindo tudo por m temos:

0 xmkx (12. 175)

chamando de

mk

o (12. 176)

Temos:

02 xx o (12. 177)

Esta é uma Equação Diferencial Linear Homogênea,

Solução

Considere a seguinte equação diferencial dos osciladores harmômicos

),(22

2

txfxdt

xdo (12. 178)

Esta é uma equação geral com f(x,t) qualquer.

Nós podemos considerar que como:

294

dtdx

dtdx (12. 179)

Nós podemos chamar:

dtdxv (12. 180)

Onde sempre vale:

dtdx

dxdv

dtdv

dtxd

2

2

(12. 181)

Logo de (12. 180) temos:

vdxdv

dtdv

dtxd

2

2

(12. 182)

Usando ( ) em ( ) passamos a:

),(2 txfxdxdvv (12. 183)

Multiplicando tudo por dx temos:

dxtxfxdxvdv ),(2 (12. 184)

E

12

2

),(2

Cdxtxfdxxv (12. 185)

Logo

122 ),( Cdxxdxtxfv (12. 186)

e

2/11

2),( Cdxxdxtxfv (12. 187)

mas de ( ) temos que:

295

2/11

2),( Cdxxdxtxfdtdx

(12. 188)

Colocando só de um lado os termos em x e do outro os termos em t temos:

dtCdxxdxtxf

dx

2/1

12),(

(12. 189)

Integrando os dois lados temos:

ottCdxxdxtxf

dx

2/1

12),(

(12. 190)

i) Para o caso de constante temos:

ottCdxxdxtxf

dx

2/1

12),(

(12. 191)

e

ott

Cxdxtxf

dx

2/1

1

22

2),(

(12. 192)

ii) Para o caso de constante e )(),( tftxf independente de x temos:

ott

Cxdxtf

dx

2/1

1

22

2)(

(12. 193)

e

ott

Cxxtf

dx

2/122

2)(

(12. 194)

E

296

ott

Cxxtf

dx

2/122

2)(2

(12. 195)

E

ottCxxtf

dx

2/122)(2

2

(12. 196)

Mas podemos escrever:

CtfxxtftfCxxtf 2

222

2

222 )()(2)()(2

(12. 197)

E

Ctfxii

tfCxxtf

2

2222 )()()(2

(12. 198)

Substiutindo ( ) em ( ) temos:

ott

Ctfxii

tf

dx

2/1

2

22 )()(2

(12. 199)

Chamando de:

dxiduxii

tfu

)( (12. 200)

Logo ( ) passa a ser:

ott

Ctfu

dui

2/1

2

22 )(

2

(12. 201)

Chamando de:

297

dtfdutfu 2sec)(tan)( (12. 202)

Então

ott

Ctf

dtf

i

2/12

2

1tan)(

sec)(2

(12. 203)

E

ottC

di

2/12

2

sec

sec2

(12. 204)

Considerando C = 0 temos:

ottdi

secsec2 2

(12. 205)

E

ottdi

sec2 (12. 206)

Multiplivcando e divindindo ( ) por

ottd

i

tansectansecsec2 (12. 207)

e

ottdi

tansectansecsec2 2

(12. 208)

Chamando de:

2sectansectansec dvv (12. 209)

Então ( ) passa a ser:

298

ottvdv

i

2 (12. 210)

Portanto,

oo

ttvv

i

ln2

(12. 211)

Ou

oo

ttivv

2

ln (12. 212)

Exponenciando tudo temos:

otti

oevv

2

(12. 213)

Substituindo v de ( ) temos:

otti

oev

2tansec

(12. 214)

E de ( ) temos que:

2

222

)(1tan1sec

tfu (12. 215)

Logo ( ) fica:

otti

oevtfu

tfu

22

22

)()(1

(12. 216)

Mas de ( ) nós temos que:

)()()()(

)(

2

tfxii

tfxi

itftf

tfu

(12. 217)

Quadrando temos:

299

)()(21

)()(

24222

2

22

tfx

tfx

tfxii

tfu

(12. 218)

Logo ( ) fica sendo:

otti

oevtfxii

tfx

tfx

22242

)()()(211

(12. 219)

E

otti

oevtfxii

tfx

tfx

22242

)()()(2

(12. 220)

Reescrevendo ( 0 temos:

otti

oevtfxii

tfx

tfx

22242

)()()(2

(12. 221)

Quadrando os dois lados temos:

oo tti

o

tti

o evevtfxii

tfxii

tfx

tfx

22

222242

)(2

)()()(2

(12. 222)

Logo

oo tti

o

tti

o evevtfxii

tfx

tfx

tfx

tfx

22

2

2

242242

)(2

)()(21

)()(2

(12. 223)

E

ooo tti

o

tti

o

tti

o eveivevtf

xi

2222

21)(

2 (12. 224)

Portanto,

300

o

o

o

o

o tti

o

ttio

tti

o

ttieo

tti

o evi

tfev

evi

tfiv

evi

tfx

22

2

22

2

22 2

)(

2

)(2

2

)(

(12. 225)

E

ooo ttittitti

oe

ietftfe

vtifx

2

2

2

22

2 2)()(

2)(

(12. 226)

E

2

212

22

2 2)()(

2)(

ietftfe

vtifx

oo

ttitti

o

(12. 227)

Logo

1

22)( 2

22 i

eevitfx

o

o

ttitti

o

(12. 228)

E

122

)( 222

oo

ttitti

oeie

vitfx

(12. 229)

Chamando de:

o

o

ti

ti

o

eiB

eviA

2

2

2

2

(12. 230)

Nós ficamos com:

301

1)( 222

titi

BeAetfx

(12. 231)

Ou no caso geral temos que:

1)( 22

2

titi

BeAetfx

(12. 232)

onde:

mEA 2

(12. 233)

e

22 xAv o (12. 234)

302

12.8.2 – MHS com Movimento Vertical

Um corpo de massa m sob a ação da gravidade em um meio que oferece

resistência proporcional à velocidade do corpo. Deseja-se conhecer a posição do corpo num

instante t.

Seja x = x(t) a posição do corpo no instante t. Consideremos o sentido positivo do

movimento, isto é, para baixo. As forças que atuam sobre o corpo de massa m são: O peso P

= mg devido a gravidade (no sentido do movimento) e dtdxkF devido a resistência do

meio (no sentido contrário ao movimento).

Segue da 2ª Lei de Newton (F = ma) que a equação de movimento é dada por:

dtdxkmg

dtdxm 2

2

(12. 235)

Conhecendo-se 0)0( xx e 0)0( x , determinamos a posição do corpo em qualquer

instante.

303

Considere o oscilador harmônico na posição vertical sujeito a ação do campo

gravitacional na direção das oscilações, onde:

ay (12. 236)

E

kymgym (12. 237)

ou

ymkgy (12. 238)

Logo

0 gymky (12. 239)

ou

02 gyy o (12. 240)

Calculando o ponto de energia mínima temos:

kmgy

mgkydydV

o

o

0 (12. 241)

Logo

kmg

kgm

kgmkV

22

22

2

22

min 21

21

(12. 242)

Fazendo-se uma mudança de variáveis para transformar a Equação Diferencial Não-

Homogênea em uma Equação Diferencial Homogênea.

yhyh

yyh o

(12. 243)

Logo

304

0 gymky (12. 244)

e

0

kmgy

mky (12. 245)

Portanto,

0 oyymky (12. 246)

logo

0 hmkh (12. 247)

ou

02 hh o (12. 248)

Podemos enunciar o seguinte teorema com base nos dois exemplos anteriores.

305

12.8.3 – Oscilador Harmônico Forçado

Considere o seguinte oscilador harmônico forçado

kxwtFxm o )cos( (12. 249)

Chamando de

mk

o 2 (12. 250)

logo

)cos(2 wtmFxx o

o (12. 251)

306

12.8.4 – O Movimento de um Pêndulo Simples

O pêndulo simples consiste em uma massa m presa a um fio de comprimento l e

massa desprezível com uma extremidade presa a um ponto fixo. Quando deslocado de um

ângulo de sua posição de equilíbrio e solto, inicia-se um movimento pendular (este

movimento é peródico e oscilatório).

Considere as forças que atuam em um corpo de massa m suspenso por um fino fio

(ou haste) inextensível de comprimento l e massa desprezível, sujeito a uma tensão T em

oposição a força vertical, P = mg, devido a ação da gravidade. Se é o deslocameto angular

do fio a partir de vertical, a 2ª Lei de Newton nos fornece as equações:

sencos

TxmTmgym

(12. 252)

Eliminando-se T e lembrando que:

cossen

lylx

(12. 253)

Obtemos a equação do pêndulo:

0sen lg (12. 254)

Que é uma equação diferencial de 2ª ordem.

307

12.8.5 – Circuito Elétrico RLC

Dado o circuito

Figura - 12. 5

onde R, I, L e E é definido de forma idêntica ao problema anterior acima e C é a capacitância.

Sabe-se que a queda de potencial através da capacitância C é CQVC , onde Q é a carga na

capacitância. Pela lei de Kirchoff temos:

ECQRI

dtdIL (12. 255)

Mas

dtdQI (12. 256)

Então

ECQ

dtdQR

dtQdL 2

2

(12. 257)

que é uma equação linear de 2ª ordem.

308

12. 10 - Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente Variáveis

309

12.6.1 – Metodologia de Solução das Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente Variáveis

310

12. 11 - Método das Funções de Green

311

12. 12 - Equações de Sturm-Liouville

Um problema de Sturm-Liouville é caracterizado por uma equação diferencial do

tipo:

( ) ( ) ( ) 0d dp x x s x x r x xdx dx

(12. 258)

O operador de Sturm-Liouville é portanto definido como:

( ) ( )d dp x s xdx dx

L (12. 259)

onde

( )x r x x L (12. 260)

e são os auto-valores e x as auto-funções.

Considerando,

1 2 3 ... ...n (12. 261)

Chamamos de espectro de L .

O operador de Sturm-Liouville é um operador auto-adjunto o que implica que

seus auto-valores são reais, ou seja as grandezas a eles relacionados são observáveis. Pois

considera-se que números imaginários puros são grandezas não-observáveis.

312

12.10.1 - Teorema - 1

Considere x uma família livre de funções formando por um conjunto de

auto-funções ortogonais, onde

' ',x x A (12. 262)

Então

'r xx x (12. 263)

Se

' (12. 264)

Prova

Consideremos duas funções quaisquer onde vale:

i) m x

( )m m mx r x x L (12. 265)

e

ii) n x

( )n n nx r x x L (12. 266)

Multiplicando a primeira equação por n x e a segunda equação por m x e subtraindo as

equações resultantes

( ) ( )n m m n n m m m n nx x x x x r x x x r x x L L

(12. 267)

e integrando em um intervalo de ;a b temos:

( ) ( )b b

n m m n n m m m n na a

x x x x dx x r x x x r x x dx L L

(12. 268)

ou

( ) ( )b b

n m m n m n m n m na a

x x x x dx r x x x r x x x dx L L (12. 269)

313

ou ainda

( )b b

n m m n m n n ma a

x x x x dx r x x x dx L L

(12. 270)

Como as funções são ortogonais entre si podemos escrever a partir de ( ) que:

( )b b

n m m n m n nma a

x x x x dx r x dx L L (12. 271)

Integrando o lado esquerdo por partes temos:

b

n m m na

b bm n m

naa

b bn m n

maa

x x x x dx

d x d x d xx p x p x

dx dx dx


dx dx dx

L L

(12. 272)

Substituindo ( ) em ( ) temos:

( )

b bm n m

naa

b b bn m n

m m n nma aa


dx dx dx

d x d x d xx p x p x r x dx

dx dx dx

(12. 273)

Escolhendo as condições de contorno:

1) DIRICHLET (homogênea)

0n na b n (12. 274)

Então:

0 ( )b

m n nma

r x dx (12. 275)

logo

314

n nr xx x (12. 276)

2) NEUMANN (homogênea)

0n nd a d bn

dx dx

(12. 277)

Então:

0 ( )b

m n nma

r x dx (12. 278)

logo

n nr xx x (12. 279)

3) MISTA (não-homogênea)

0

0

nn

nn

d aa

dx nd b

bdx

(12. 280)

Então:

0 ( )b

m n nma

r x dx (12. 281)

logo

n nr xx x (12. 282)

4) COMPLETA= DIRICHLET + NEUMANN (homogênea)

n n

n n

a b

d a d bn

dx dxp a p b

(12. 283)

Então:

315

0 ( )b

m n nma

r x dx (12. 284)

logo

n nr xx x (12. 285)

Teorema - 2

Se um conjunto de funções n x são ortogonais entre si e são conjunto

completo. Logo as funções 'n x s formam uma base n x de um espaço funcional

(espaço vetorial de funções)

316

12. 13 - Método de Taylor

Suponhamos uma equação diferencial do tipo:

'' ' 0A x y x B x y x Cy x (12. 286)

onde ,A x B x são polinômios.

Chamando de:

B xp x

A x e

Cq xA x

(12. 287)

teremos:

'' ' 0y x p x y x q x y x (12. 288)

Se o novo polinômio p x não apresenta singularidade de 1ª ordem (pólo de 1ª ordem) e

q x não apresenta pólo de 2ª ordem então esta equação diferencial pode ser resolvida por

expansão em série de potências ou melhor dizendo em Série de Taylor, da seguinte forma:

0

nn o

ny x a x x

(12. 289)

317

12.11.1 – Equação Diferencial de Euler

Suponhamos que a equação diferencial que satisfaz as condições acima seja uma

equação do tipo:

2 '' ' 0o o o ox x y x p x x y x q y x (12. 290)

chamada de equação de Euler.

Nós podemos analisar os limites de:

2lim e limo o

o ox x x xx x p x x x q x

(12. 291)

vemos que neste caso temos:

lim e limo o

o o o ox x x xp p q q

(12. 292)

os polinômios são analíticos em ox x pois os limites são finitos e bem determinados.

Resolvendo a equação diferencial por Série de Taylor temos:

0

nn o

ny x a x x

(12. 293)

onde as derivadas são:

1

0' n

n on

y x na x x

(12. 294)

e

2

0'' 1 n

n on

y x n n a x x

(12. 295)

Substituindo ( ), ( ) e ( ) na equação ( ) temos;

2 2 1

0 0 01 0n n n

o n o o o n o o n on n n

x x n n a x x p x x na x x q a x x

(12. 296)

reescrevendo temos:

0 0 0

1 0n n nn o o n o o n o

n n nn n a x x p na x x q a x x

(12. 297)

318

Para que a soma destes termos seja nula é preciso que a soma dos coeficientes

correspondentes de cada potência de x também seja nula, logo:

0

1 0nn o n o n o

nn n a p na q a x x

(12. 298)

logo

1 0n o n o nn n a p na q a (12. 299)

ou ainda

1 0o on n p n q (12. 300)

logo teremos uma equação indicial que será válida para toda equação do tipo Euler.

2 1 0o on p n q (12. 301)

Resolvendo esta equação indicial temos:

21 1 4.1.2

o o op p qn

(12. 302)

teremos três casos a considerar:

Quando as raízes da equação acima forem:

1) 1 2n n teremos:

21 4.1. 0o op q (12. 303)

logo

1

1 1n

oy x C x x e 2

2 2n

oy x C x x (12. 304)

Com

1 2 0F n n n n n (12. 305)

Portanto, o Wronskiano de 1 2,y y será:

1 2

1 2 2 1, 0r roW y y r r x x (12. 306)

Pois 1 2r r , portanto, 1 2y x e y x são L. I. logo a solução geral será:

319

1 2

1 2n n

o oy x C x x C x x (12. 307)

2) 1 2n n teremos:

21 4.1. 0o op q (12. 308)

logo

1 1 oy x C x x e 2 2 oy x C x x x (12. 309)

com

21 2 0F n n n n n n (12. 310)

onde 2C x é calculado pelo método da variaçào das constantes ou Método de Abel. Onde

2

0 1

1xp x dxC x e dx

y x

(12. 311)

como

o

o

pp xx x

(12. 312)

então:

0

lnx

oo o

o

pp x dx dx p x xx x

(12. 313)

logo

ln2 2

0 1

1 o

o o

pxp x x o

o

x xC x e dx dx

x xy x

(12. 314)

e

2opoC x x x dx (12. 315)

mas

21 4.1. 0o op q (12. 316)

e

320

12

op

(12. 317)

logo

12 1

2o

o

pp

(12. 318)

Então

ln oo

dxC x x xx x

(12. 319)

Portanto,

2 ln o oy x x x x x (12. 320)

Portanto, a solução geral será:

1 1 2 lno o oy x C x x C x x x x (12. 321)

3) 1 2 *n n (raízes complexas) teremos:

21 4.1. 0o op q (12. 322)

logo

1 1i

oy x C x x e 2 2i

oy x C x x x (12. 323)

com

21 2F n n n n n n i (12. 324)

Portanto a solução geral será:

1 2i i

o oy x C x x C x x x (12. 325)

Ou ainda

1 2i i

o o oy x x x C x x C x x x (12. 326)

Ou

321

log log1 2

o oi x x i x xoy x x x C e C x e (12. 327)

Usando a fórmula de Euler temos:

1 2 1 2cos log sen logo o oy x x x C C x x i C C x x

(12. 328)

Ou

cos log sen logo o oy x x x A x x iB x x (12. 329)

322

12. 14 - Método de Frobëniüs

Agora vamos estudar um método mais geral para solução de equações diferenciais

do tipo:

'' ' 0A x y x B x y x C x y x (12. 330)

onde ,A x B x e C x são polinômios.

Chamando de:

B xp x

A x e

C x

q xA x

(12. 331)

teremos:

'' ' 0y x p x y x q x y x (12. 332)

323

12.12.1 - Teorema de Fucks

Nesta equação diferencial onde o polinômio p x pode apresentar no máximo

uma singularidade simples (pólo de 1ª ordem) e o polinômio q x pode apresentar no

máximo um pólo de 2ª ordem para que seja solúvel pelo “Método de Frobenuis”

A equação diferencial pode ser resolvida por expansão em série de potências do

tipo:

0

r no n o

ny x x x a x x

(12. 333)

Que é chamado de Método de Frobenius desde que encontramos os limites:

2lim e limo o

o ox x x xx x p x x x q x

(12. 334)

com valores finitos

Portanto, se ox é ponto singular regular usa-se o método de Frobenius. Mas se

por outro lado, eo op x q x são finitos, logo ox é ponto ordinário então emprega-se o

Método de Taylor. Conclui-se, portanto, que este método é uma extensão de resolução por

Série de Taylor. Ou seja, o Método de Frobenius coloca apenas explicitamente a singularidade

sob a forma de potência e faz uma expansão em série em torno dela. Portanto, vale os

seguintes casos:

1) y x é analítica em um ponto ox x e é diferente de zero. Portanto, 0r , recaindo no

Método de Taylor.

2) y x é analítica em um ponto ox x e possui zero de ordem m. Portanto, r m (inteiro

positivo).

3) y x possui pólo de ordem m em um ponto ox x . Portanto, r m (inteiro negativo).

4) y x possui ponto de ramificação em um ponto ox x . Portanto, r é racional ou

irracional.

324

12. 15 - Equações, Polinômios e Funções Especiais que são Soluções de Equações Diferenciais

12.13.1 - Função de Hipergeométrica

Em muitos problemas de Física encontramos equações diferenciais que foram

estudadas por, Bessel, Legendre, Laguerre, Hermite, as quais podem ser escritas de forma

genérica numa única equação diferencial chamada de Equação Diferencial Hipergeométrica,

da seguinte forma:

(1 ) '' 1 ' ( ) 0x x y x x y x y x (12. 335)

da qual as outras equações poderão ser deduzidas bastando apenas escolher convenientemente

os valores para as constantes, , e . Vejamos:

A equação de Bessel aparece quando trabalhamos em coordenadas cilíndricas, e

pode ser escrita a partir da Equação Hipergeométrica bastando apenas escolher:

325

12.13.2 - Equações, Polinômios e Funções de Lagrange

326

12.13.3 - Equações, Polinômios e Funções de Legendre

327

12.13.4 - Equações, Polinômios e Funções de Laguerre

328

12.13.5 - Equações, Polinômios e Funções de Hermite

329

12.13.6 - Equações, Polinômios e Funções de Gauss

330

12.13.7 - Equações, Polinômios e Funções de Laplace

331

12.13.8 - Equações, Polinômios e Funções de Bessel

A equação diferencial de Bessel aparece quando expressamos alguns problemas

da Física (Onda, Difusão, etc) na forma de equações diferenciais em coordenadas cilíndricas.

O termo das equações diferenciais responsáveis pelo aparecimento da chamda “Equação

Diferncial de Bessel”em coordenadas cilíndricas é o Laplaciano (2).

Em coordenadas cilíndricas:

2

2

2

2

22 11

zrrr

rr

(12. 336)

Desnvolvendo o termo dependente de r:

2

2

2

2

22

22 11

zrrrr

(12. 337)

Multiplicando tudo por r2 temos:

2

22

2

2

2

2222

zr

rr

rrr

(12. 338)

Como na maioria das equações diferenciais temos termos proporcionais a função

(3) então aparecerá para a coordenada r a seguinte equação:

0222

22

vr

rr

rr (12. 339)

Chamada de “Equação de Bessel”.

Para resolvê-la basta aplicar o “Método de Frobenius”, ou seja, tentar uma solução

do tipo:

n

nn

s rarr

0

)( (12. 340)

Fazendo as derivadas temos:

3 As equações diferenciais que aparecem na Física algumas delas podem ser reduzidas a equação Helmholtz

22 k

332

1

0

)(

sn

nnrasn

rr (12. 341)

e

2

02

2

1)(

sn

nnrasnsn

rr (12. 342)

Substituindo na equação diferencial

010

221

0

2

0

2

sn

nn

sn

nn

sn

nn ravrrasnrrasnsnr

(12. 343)

Reescrevendo temos:

010

22

000

sn

nn

sn

nn

sn

nn

sn

nn ravrarasnrasnsn

(12. 344)

Expandindo os dois primeiros termos, das duas primeiras séries e da última:

0...

)1(1)1(1

0

211

222

02

11

2

11

sn

nn

sso

sn

nn

sn

nn

sso

sn

nn

sso

ravravravrarasn

rasrsarasnsnrassrsas

(12. 345)

Fazendo n = m + 2, ou seja, m = n – 2 temos:

0

...2)1(

212)1(1

2

02

211

222

0

2

02

11

2

02

11

sm

mm

sso

sn

nn

sm

mm

sso

sm

mm

sso

ravravravra

rasmrasrsa

rasmsmrassrsas

(12. 346)

Como m é um índice de soma, podemos retornar ao índice n, ficando com:

0

...2)1(

212)1(1

2

02

211

222

0

2

02

11

2

02

11

sn

nn

sso

sn

nn

sn

nn

sso

sn

nn

sso

ravravravra

rasnrasrsa

rasnsnrassrsas

(12. 347)

333

Como as funções potenciais são ortogonais (Linearmente Independentes) a soma de cada

potência deve ser nula, portanto:

)2(0221

)1(0)1(0)1()1(

)0(001

22

122

12

222

naavsnsnsn

navsavsss

navsavsss

nn

oo

(12. 348)

Logo, cancelando os coeficientes ao e a1 e reescrevendo temos:

)2(0112

)1(012

)0(

22

22

22

naavsnsn

nvss

nvs

nn

(12. 349)

ou

02

)1(012

)0(

222

22

22

nn aavsn

nvss

nvs (12. 350)

Como ao pode ser escolhido arbitráriamente igual a unidade, ao = 1, e as raízes

serão:

)0/(2

1

npvsvs (12. 351)

Logo, da segunda equação termos que para a1=0,

vsvs

vs

vs

vs

nvss

11

2422

)1(4422

)1.(1.442

)1(012

2

2

2

2

22

(12. 352)

Vejamos agora os coeficientes das outras potências de r onde teremos uma

fórmula de recorrência para para os an’s da solução da equação diferencial:

334

222 2 vsnaa n

n

(12. 353)

Pela fórmula de recorrência concluímos que para todos os índices ímpares os an

serão nulos, porque dependem de a1 que foi escolhido igual a zero. Portanto, só termos os na

com índices pares. Logo, fazendo n = 2m, podemos escrever:

222

22 22 vsmaa m

m

(12. 354)

i) Tomando em primeiro lugar a raiz vs 1 temos:

222

22 22 vvmaa m

m

(12. 355)

Ou ainda

vvmvvmaa m

m

22222

22 (12. 356)

Logo

222222

22

mvmaa m

m (12. 357)

ou

11222

22

mvmaa m

m (12. 358)

Desenvolvendo temos:

v

mvmmvmmvma m

121

...112

12

1112

1

2

22222

(12. 359)

Logo podemos escrever:

!1!12

1222

mvm

a m

m

m (12. 360)

Portanto a solução para vs 1 é:

335

n

nn

nv r

nvnrr 2

02 !1!12

1)(

(12. 361)

ii) Tomando em primeiro lugar a raiz vs 1 temos:

222

22 22 vvmaa m

m

(12. 362)

Ou ainda

vvmvvmaa m

m

22222

22 (12. 363)

Logo

222222

22

mvmaa m

m (12. 364)

ou

11222

22

mvmaa m

m (12. 365)

Desenvolvendo temos:

v

mvmmvmmvma m

121

...112

12

1112

1

2

22222

(12. 366)

Logo podemos escrever:

!1!12

1222

mvm

a m

m

m (12. 367)

Portanto a solução para vs 1 é:

n

nn

nv r

nvnrr 2

02 !1!12

1)(

(12. 368)

Concluindo a solução geral da equação diferencial de Bessel é:

336

)()()( 21 rCrCr vv (12. 369)

No caos de Zv temos que representar o termo !1 vn Pela função Gama. Isto pode

ser feito porque ao é arbitrário e pode ser escolhido como:

)1(1

v

ao (12. 370)

Logo a solução será:

n

nn

nv

v rvnn

rr 2

02 1!12

1)(

(12. 371)

337

12.13.9 - Fórmula de Rodrigues para a Função de Bessel

A fórmula de Rodrigues para a função de Bessel é dada por:

)(')()(1 xJxJxnxJ nnn (12. 372)

Logo

i) Para n = 0 temos:

)(')( 01 xJxJ (12. 373)

ii) Para n =1 temos:

)(')(1)( 112 xJxJx

xJ (12. 374)

Usando ( ) em ( ) temos:

)(1)(

)()(1)(

)('')(1)(

02

002

002

xJdxd

dxd

dxd

xxJ

xJdxd

dxdxJ

dxd

xxJ

xJxJx

xJ

(12. 375)

Vamos calcular o seguinte produto de operadores:

dxd

dxd

xdxd

xx

dxd

dxd

xdxd

xdxd

xdxd

xdxd

x

111

11111

2

(12. 376)

Se multiplicarmos tudo por x2 temos:

dxd

dxd

dxd

x

dxd

dxd

xdxd

xxx

dxd

xdxd

xx

1

11112

22

(12. 377)

Portanto,

338

)(11)(

)(111)(

222

2

222

xJdxd

xxxJ

xJdxd

xdxd

xxxJ

o

o

(12. 378)

Por indução temos:

)(11)( xJdxd

xxxJ o

nnn

n

(12. 379)

339

12.13.10 - Fórmula Integral para a Função de Bessel

Partindo da equação ( ) e somando )(1 xJ n dos dois lados desta equação temos:

)()(')()()( 111 xJxJxJxnxJxJ nnnnn (12. 380)

Como

)(')()(1 xJxJxnxJ nnn (12. 381)

340


341


342

Capítulo – XIII

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES

RESUMO






Para se resolver equações diferenciais, ou sistemas de equações diferenciais, não

existem um único método definido. Portanto, dependendo do tipo de equação diferencial

adota-se um método cuja função solução da equação diferencial, corresponda a uma expansão

em uma série de funções conhecidas, ou cujas funções que são soluções do sistema de

equações diferenciais, correspondam a expansão em uma série de funções conhecidas, tais

como, a Série de Potências, a Série de Laplace, a Série de Fourier. Isto de tal forma que o

sistema original de equações diferenciais seja transformado em um sistema algébrico cuja

solução possui métodos definidos.

343

13. 2 - Definição de Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares

344

13. 3 -Aplicação do Problema de Auto-Valor na Solução de Sistemas de Equações Diferenciais

Vamos a partir de agora resolver alguns problemas de equações diferenciais

importantes, utilizando o método de solução por auto-valores e auto-vetores.

13.3.1 - O Pêndulo Simples

Seja uma partícula de massa m suspensa por um fio inextensível de comprimento

l, sob a ação da força gravitacional, conforme mostra a Figura - 13. 1.

Figura - 13. 1.

De acordo com a 2ª Lei de Newton, temos:

2

2

dtrdmF k

(13. 1)

Tendo em vista o comprimento fixo do fio, a posição r da partícula é dada apenas pela

coordenada correspondente ao ângulo de inclinação do pêndulo. Logo,

jyixr ˆˆ (13. 2)

Considerando as coordenadas polares temos:

sencos

lylx

(13. 3)

Onde

lrlyxr

)sen(cos 22222 (13. 4)

Em coordenadas polares temos:

345

),(),( lryx (13. 5)

Logo

rlr ˆ (13. 6)

Figura - 13. 2.

Portanto, a velocidade do pêndulo é:

dtrdl

dtrd ˆ

(13. 7)

Como ˆ/ˆ dtrd temos:

ˆ

ldtrd (13. 8)

E a aceleração é:

ˆ2

2

ldt

rddtvda (13. 9)

Portanto,

mlmg

mgTsen

0cos (13. 10)

Simplificando temos:

sen

cos

lgmgT

(13. 11)

Transformando essa equação diferencial em um sistemas de equações diferenciais temos:

346

xlgy

yx

y

x

sen (13. 12)

Este sistema de equações possui solução elíptica (a solução depende dela mesma),

portanto ele deve ser linearizado em torno dos seus pontos críticos (ou também chamados de

pontos fixos).

Determinação dos Pontos Críticos

Os pontos críticos são “pontos de equilíbrio dinâmico” obtidos quando as

derivadas primeiras são nulas, portanto:

Zny

nx

xlgy

yx

y

x

,

00sen

0

0

0

(13. 13)

Portanto, esses pontos são dados pelo conjunto:

Znn ,);0,);...(0,3();0,2();0,();0,0( (13. 14)

A partir dessas informações podemos desenhar o espaço de fase:

Figura - 13. 3.

Para linearizar a equação devemos expandir as funções f(x,y) e g(x,y) em série de

Taylor da seguinte forma:

....))((21)(

21)(

21

)()(),(),(

,

22

,2

22

,2

2

,,

ooyx

oyx

oyx

oyx

oyx

oo

yyxxyxfyy

yfxx

xf

yyyfxx

xfyxfyxf

oooooo

oooo

(13. 15)

347

Linearizando em torno do Ponto (0,0)

O resultado da expansão fornece:

xlgxx

lgy

yx

)]([ 3

(13. 16)

Supondo uma solução do tipo:

rtrt

rtrt

rt

rt

eqlgerqy

eqerqx

eqy

eqx

12

21

2

1

(13. 17)

Cancelando os termos semelhantes e rearranjando esses termos temos:

221

121

12

21

0

0

rqqqlg

rqqq

qlgrq

qrq (13. 18)

Colocando em forma de matrizes temos:

2

1

2

1010

qq

rqq

lg (13. 19)

Aplicando o problema de auto-valores o determinante é dado por:

lqir

lqr

lqrrlgr

/

/

0/010

det

2

2

(13. 20)

Logo, os auto-valores imaginários são:

lqir

lqir

/

/

2

1

(13. 21)

348

Observe que quando os auto-valores são imaginários as soluções do problema são do tipo

oscilatórias ( e vice-versa)

Portanto,

)/cos(2

)/cos(2

2/

2/

2

1/

1/

1

tlgqeqeqy

tlgqeqeqxtlgitlgi

tlgitlgi

(13. 22)

Linearizando em torno do Ponto (0,)

Expandindo novamente em Série de Taylor agora em torno do ponto (,0), temos:

))(/(...))(/(0),(........................0),(

xlgxlgyxgyyxf

(13. 23)

Fazendo uma transformação de variáveis onde

xxx ; (13. 24)

Temos:

xlgyyx

lgyy

)/()/(

(13. 25)

Com auto-valores reais com sinais opostos

lqr

lqr

/

/

2

1

(13. 26)

Estes auto-valores determinam um ponto de sela.

Finalmente desenhado o Espaço de fase temos;

349

13.3.2 - O Modelo de Lotka-Volterra

O modelo de Lotka-Volterra é um modelo do tipo predador-presa

),()1('),()1('yxgyxvy

yxfxyx (13. 27)

Seus pontos fixos são dados por:

0)1(0)1(

yxvxy

(13. 28)

Os quais são os pontos: (0,0) e (1,1):

I) Linearizando em torno do Ponto (0,0)

Expandindo as funções f(x, y) e g(x, y) em Série de Taylor temos:

vyyxvyyxg

xyxxyxf

...),(00),(

...),(00),(22

22

(13. 29)

Logo podemos propor a seguinte solução:

t

t

eqy

eqxvyyxx

2

1

''

(13. 30)

Obtendo e simplificando os termos

22

11

22

11

vqqqq

evqeq

eqeqtt

tt

(13. 31)

Colocando na foram matricial

2

1

2

1

00

qq

qq

v

(13. 32)

Cujo determinante

350

0)(

0))((00

0det

2

vv

vv

(13. 33)

os auto-valores são:

v 21 ; (13. 34)

Cálculo do auto-vetores para os auto-valores 1 e 2 no ponto crítico (0,0)

- Para o auto-valor 1

2211

1

; qvqqq

(13. 35)

O auto-vetor é do tipo:

01

1 e (13. 36)


Rqqqvqvqqvqq

v

22222

111

2

0

(13. 37)


10

ˆ2 e (13. 38)

Portanto a solução é:

vtt eeyx

10

01

(13. 39)

Cujo espaço de fases fornece:

351

Figura - 13. 4.

II) Linearizando em torno do Ponto (1,1)

Expandindo as funções f(x, y) e g(x, y) em Série de Taylor temos:

)1(...),(0)1(0),(

)1(...),(0)1(0),(22

22

xvyxxvyxg

yyxyyxf

(13. 40)

Fazendo

yyxx

11

(13. 41)

Logo podemos propor a seguinte solução:

t

t

eqy

eqxvyy

xx

2

1

''

(13. 42)

Obtendo e simplificando os termos

12

21

12

21

vqqqq

evqeq

eqeqtt

tt

(13. 43)

352

Colocando na foram matricial

2

1

2

1

00

qq

qq

v

(13. 44)

Cujo determinante

000

0det 2

vv

(13. 45)

os auto-valores são:

vivi 21 ; (13. 46)

Cálculo do auto-vetores para os auto-valores 1 e 2 no ponto crítico (0,0)


2112

1

; qvivqqviq

vi

(13. 47)


vie1

1 (13. 48)


2112

1

; qvivqqviq

vi

(13. 49)


vie

1ˆ2 (13. 50)

Portanto a solução é:

353

vtt evieviyx

11 (13. 51)

Ou ainda podemos simplificar

vtt ei

eiy

x

11 (13. 52)

e

)()cos(

)()cos(

wtisenwte

wtisenwtevt

wt

(13. 53)

Cujo espaço de fases fornece:

Figura - 13. 5.

Os sistemas caóticos são extremamente sensíveis as condições iniciais. E para

sistemas contínuos, o caos só ocorre se este sistema é tridimensional 3D.

354

13.3.3 - O Sistema de Massas e Molas Acopladas

Considere o exemplo do sistema massa-mola dado por:

Figura - 13. 6.

11

21

1221

mmkkk

(13. 54)

Aplicando a 2ª Lei de Newton temos:

amF (13. 55)

No corpo 1

)( 21121111 xxkxkxm (13. 56)

No corpo 2

22121222 )( xkxxkxm (13. 57)

Montando o sistema de equações temos:

t

t

eqy

eqxxxxxxx

2

1

212

211

02''02''

(13. 58)

Temos:

22

21

12

21

2122

2112

2

2

022

02

qqq

qqq

qqq

qqq

(13. 59)

355

Colocando na forma matricial temos:

2

12

2

1

2112

qq

qq

(13. 60)

Calculando o determinante do problema de auto-valor temos:

1)2(21

12det 222

2

(13. 61)

Chamando de:

i

2

(13. 62)

Logo

13

212164

341)2(

2

1

22

(13. 63)

retornando a temos:

3

31

33

22

12

21

11

2

i

ii

i

ii

(13. 64)

Os auto-valores para 1 =1 são:

11

ˆou 11

ˆ 11 ee (13. 65)

Os auto-valores para 2 =3 são:

11

ˆou 1

1ˆ 22 ee (13. 66)

Logo a solução é:

titiitit eeeexx 3

23

1212

1 11

11

11

11

(13. 67)

356

Onde 1, 2, 1 e 2 arbitrários Os autovalores de problemas dinâmicos vibratórios estão sempre associados a

freqüências naturais do fenômeno.

357

13. 4 - Matrizes Simétricas (AT = A)

Uma matriz é dita simétrica quando jiij AA

xx Α (13. 68)

1) Se A é simétrica os auto-valores são reais (’s R)

2) Se A tem de multiplicidade K seus auto-vetores geram sub-espaço de dimensão K.

3) Se A possui auto-valores distintos os auto-vetores são ortogonais entre si.

i) Se

321321 vvv (13. 69)

ii) Se

213231321 mas ; vvvvvv (13. 70)

iii) Se

231321 vvv (13. 71)

Figura - 13. 7.

358

13.4.1 - Teorema

Se os auto-valores j e k são distintos seus auto-vetores associados são

perpendiculares entre si.

Prova:

jkjjT

k

T

jT

kjjT

k

jT

kjjT

k

jjkjk

jjj

eAe

AA

eeeAe

eeeAe

eeeAeeeA

.

mas

..

..

.).(

jkkjT

k

T

jT

kkjTT

k

jT

kkjT

k

jkkjk

kkk

eAe

AA

eeeAe

eeeeA

eeeeAeeA

.

mas

..

..)(

.).(

0.)(.. jT

kjkjT

kjT

k eeeAeeAe

Mas

jkjkjk eeee 0 (13. 72)

359

13. 5 - Solução de Auto-Valores de Equações Diferenciais Não-Homogêneas

Considere a seguinte equação vetorial

cxxA (13. 73)

onde é um parâmetro. Sabendo que:

j

n

jjj

n

jj ecceax

11

; (13. 74)

temos:

j

n

jjj

n

jjj

n

jj eceaeaA

111

(13. 75)

Supondo que A tem auto-valores ’s

jj

n

jjj

n

jjj

n

jj eaeAaeaA

111

(13. 76)

Fica

ecean

jj

n

jj

11

)( (13. 77)

Então

nj

ca jjj

...,3,2,1

)(

(13. 78)

Com os seguintes casos:

i) Nenhum j =

única solução)(

j

jj

ca (13. 79)

ii) Existe um k = (Multiplicidade 1)

ii.1)

360

kk

k

jkk acc

ac

0)(0

(13. 80)

nenhum valor de ak satisfaz

)impossível (sistema solução temnão.0 1 cak (13. 81)

ii.2)

satisfaznúmero ?000 kkk aac (13. 82)

e

arbitrário é )(00

kkkk aca

(13. 83)

Portanto,

nkkj

ec

eax j

n

j j

jkk

,...1,,1,...2,1*

)(2*

(13. 84)

iii) k = com multiplicidade p ( p....21 ) se 0,..., 21 cc não há solução

iv) Se

0...21 cc (13. 85)

logo

j

n

j j

jpp e

ceaeaeax

2*2211 )(

......

(13. 86)

Solução indeterminada com p graus de liberdade (no. incógnitas > no. equações). Ver

exemplo 3 do livro no Capítulo - 11.

Ex.

361

13. 6 - Diagonalização

Vejamos o seguinte problema:

xAx ' (13. 87)

Onde a matriz A é acopla as soluções das equações diferenciais. Vamos escolher uma

transformação Q, tal que:

xQx ~ (13. 88)

Tal que substituindo em ( ) temos:

xAQxQ ~'~ (13. 89)

Logo

xAQxQ ~'~ (13. 90)

Pois queremos que exista uma transformação Q-1 de tal forma que:

xAQQxQQ ~~ 11 (13. 91)

Logo

xAQQxQQ ~'~ 11 (13. 92)

Portanto,

xDxI ~'~ (13. 93)

Onde

AQQD 1 (13. 94)

362

13.6.1 - Teorema

1) Uma matriz An x n é diagonalizável se e somente se A possui n auto-vetlores L. I.

2) Se uma matriz A possui auto-vetores L. I., neeee ˆ,...ˆ,ˆ,ˆ 321 logo fazendo

]ˆ...ˆˆˆ[ 321 neeeeQ temos que, AQQD 1 é uma matriz diagonal e os auto-valores de A

são os valores da diagonal.

Prova

Se A é diagonalizável então A possui n auto-vetores L. I.

nnd

dd

AQQD

..000..::0..00..0

22

11

1 (13. 95)

Onde

nnnnnn

n

n

d

dd

qqq

qqqqqq

AQ

..000..::0..00..0

..0..::

..

..

22

11

21

22221

11211

(13. 96)

Ou

nnn

nnnnnn

nnn

nnn

dqdqdq

dqdqdq

dqdqdqdqdqdq

AQ ..

..0..::

..

..

222111

222111

222221121

122121111

(13. 97)

Logo

nn qAqAqAqqqAAQ .... 2121 (13. 98)

Onde

363

nnnn qdqA

qdqAqdqA

:2222

1111

(13. 99)

Se os iq ’s são diferentes de zero ( 0iq ) para i = 1, 2, ...., n então q são auto-vetores e são

L. I. porque Q possui inversa (não pode existir qualquer vetor 0iq ). Se os iq ’s são L. D.

então não existe a inversa de Q ( IQQ 1 )

A prova da volta da parte 1 do teorema. Se A possui auto-vetores L. I. então A é diagonalizável. Podemos definir ]ˆ...ˆˆˆ[ 321 neeeeQ a matriz Q é formada pelos vetores ie nas colunas. Logo

nn eAeAeAeeeAAQ .... 2121 (13. 100)

Por hipótese temos um problema de auto-vetores.

nnn eeeeeeAAQ .... 221121 (13. 101)

Ou

nnnnn

n

n

nnn

nnn

nnn

eee

eeeeee

ddd

dddddd

AQ

..000..::0..00..0

..0..::

..

..

..0..::

..

..

2

1

21

22221

11211

222111

222111

222111

(13. 102)

ou

QDAQ (13. 103)

Multiplicando os dois lado por Q-1, temos:

DAQQ 1 (13. 104)

364

13.6.2 – Exemplo: Cinética Química

Considere duas espécies químicas X1, X2

2

21

12

1 xk

kx

(13. 105)

A cinética das reações são dadas por:

2121212

2121211

''

xkxkxxkxkx

(13. 106)

A qual pode ser escrita de forma resumida

xAx ' (13. 107)

Onde

1221

1221

kkkk

A (13. 108)

Fazendo

xQx '~ (13. 109)

Logo

xAQQx 1' (13. 110)

Onde

2

1

00~

x

(13. 111)

Calculado o determinante de 0 IA temos:

)(;00]([0)(

0))((

211221

2112

21122

21121221

kkkk

kk

kkkk

(13. 112)

365

11

11

:)(

:0

21

12

221122

21

1211

kk

Qekk

kk

e

(13. 113)

Logo

22112222

111~)(~'~

0~'~

xkkxxxx

(13. 114)

E

tkkeCx

Cx)(

22

11

2112~

~

(13. 115)

Portanto,

tkkeC

Ckk

xx

x )(2

1

21

12

2

121121

1 (13. 116)

tkk

tkk

eCkCeCk

xx

)(2211

)(212

2

12112

2112

(13. 117)

Considerando que:

21 1 xx (13. 118)

Temos:

][1 )(2211

)(212

21122112 tkktkk eCkCeCk (13. 119)

Logo

21112 1 kCk (13. 120)

366

13.6.3 – Exemplo: Sistema Mecânico

Considere o sistema mecânico da Figura - 13. 8.

Figura - 13. 8.

O sistema de equações diferenciais que rege o movimento do sistema mecânico é

dado por:

ykxkkxm2

)2

( 221 (13. 121)

ykxkym2222 (13. 122)

e podemos escrever:

0'' xAx (13. 123)

Onde

mk

mk

mk

mkk

A

22

222

22

221

(13. 124)

Fazendo

1;4;3 21 mkk (13. 125)

Temos:

2225

24

24

24

246

A (13. 126)

Cujos auto-valores e auto-vetores são:

367

12

51ˆ;6

21

51ˆ;1

12

11

e

e

(13. 127)

E a matriz Q que diagonaliza A é dada por:

51

52

52

51

Q (13. 128)

Então ficamos com:

0~''~ xDx

(13. 129)

E

)6(~)(~

~6''~~''~

22

11

tsenAy

tsenAxyy

xx (13. 130)

Portanto,

)6(5

1

)6(5

2

)(52

)(5

1

2

2

2

1

1

1

tsen

tsenA

tsen

tsenA

yx

(13. 131)

Cujos modos normais de vibração são:

368

13. 7 - Formas Quadráticas

Seja a função

22222112

211121 2),( xaxxaxaxxf , (13. 132)

esta é chamada de forma quadrática em x1 e x2. Em geral temos:

xAxxxxf Tn

),...,,( 21 , (13. 133)

Se A éuma matriz diagonal, a forma quadrática é chamada de “canônica”. Há

casos em que é interessante transformar f na forma canônica. Considere a nova variável x~

onde:

xQx ~ , (13. 134)

onde Q é uma matriz de transformação de coordenadas, logo

)~()~()( xQAxQxf T , (13. 135)

E ainda

xDxxAQQxxf TTT ~~~)(~)( , (13. 136)

Se A for simétrica então ao auto-vetores de A podem ser usados para formar Q onde:

n

n DeeeeQ

000:::

0..00..0

.. 2

1

21 (13. 137)

Portanto,

2222

211

~...~~)( nn xxxxf , (13. 138)

369

13.7.1 – Exemplo:

Considere a seguinte forma quadrática

2221

2121 323),( xxxxxxf , (13. 139)

Onde

3113

A , (13. 140)

Cujos auto-valores e auto-vetores são:

11

21ˆ;2

11

21ˆ;4

12

11

e

e

(13. 141)

E

2

1

2

1~~

21

21

21

21

xx

xx

x (13. 142)

Portanto,

222

21121

~~)~,~( xxxxf , (13. 143)

370

13.7.2 – Definição

A função ),( 21 xxf é positiva (ou negativa) definida se 0xAxT (< 0) para

0x . Observe que a matriz A é que comanda o sinal da forma quadrática.

13.7.3 – Teorema

Seja A uma matriz simétrica então A é positiva definida (ou negativa definida) se

todos os seus auto-valores são positivos (ou negativos).

13.7.4 – Exemplo – 4 (Flambagem)

Considere o sistema mecânico mostrado na Figura - 13. 9

Figura - 13. 9.

A energia potencial do sistema é dado por:

pzyxkykxV

2

)(21

21

21 2

22 , (13. 144)

Considerando o seguinte vínculo de:

LLLLz 3coscoscos , (13. 145)

Para pequenos temos:

2

2

2

211cos

211cos

211cos

Lyx

Ly

Lx

, (13. 146)

371

Portanto,

xyLPky

LPkx

LPkyxV

485

85),( 22 , (13. 147)

Coma matriz A associada dada por:

LPk

LPk

LPk

LPk

A

85

28

2885

, (13. 148)

Onde

kLPk

kLPk

23

2;

31

23

21 , (13. 149)

f é definida positiva se e somente se:

31

kLP , (13. 150)

372

13. 8 – Exemplo e Aplicações

373


374

Capítulo – XIV

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

NÃO-LINEARES

RESUMO














375

14. 2 - Equações Diferenciais Não-Lineares

376

14. 3 – Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem

14.3.1 - Caso - 1

A Equação Diferencial é um polinômio em y’.

0)(')(')( 2 yxcyxbyxa (14. 1)

Achar as raízes ,...',' 21 yy e procurar integrar cada uma delas. Vejamos o exemplo:

0')('2 xyyyxy (14. 2)

Resolvendo a equação do 2º grau pela fórmula de Báskara em y’temos:

2)()(

24)()(

'2 yxyxxyyxyx

y

(14. 3)

As duas raízes são:

yyxy 21 '' (14. 4)

com soluções

xCeyCxy 2

2

1 2 (14. 5)

Uma solução pode ser composta de ramos pertencentes a y1 e y2, bastando que se escolha as

constantes de forma que )()( 21 oo xyxy e )(')(' 21 oo xyxy , isto é, no ponto xo as duas

soluções se unem de forma suave (com a mesma tangente).

Exemplos:

377

14.3.2 - Caso - 2

A Equação Diferencial é da forma

F(y’) = 0. (14. 6)

Então y’ é igual a cada constante ki solução de F(y’) = 0. Assim

ikdxdy

(14. 7)

ou

Cxky i (14. 8)

ou

xcyki

(14. 9)

como

0)( ikF (14. 10)

Então

0

xcyF (14. 11)

É a solução geral.

Exemplos:

378

14.3.3 - Caso - 3

A Equação Diferencial é da forma:

)'(yfx . (14. 12)

Faz-se,

ty ' ou )(' tgy (14. 13)

sendo g escolhido convenientemente. Então

)(tfx ou )()(( thtgfx , (14. 14)

Englobando ambos os casos. Daqui se tira

dtthdx )(' (14. 15)

E tem-se

dtthtgdxtgdy )(')()( (14. 16)

Com o que

Cdtthtgy )(')( , (14. 17)

Portanto, x e y são expressos parametricamente em termos de t.

Exemplos:

379

14.3.4 - Caso – 4

A Equação Diferencial é da forma:

)'(yfy (14. 18)

Põe-se

ty ' (14. 19)

ou

)(' tgy (14. 20)

conforme se acha mais conveniente. Então

)(tfy ou )())(( thtgfy (14. 21)

E

dtthdy )(' (14. 22)

Daqui tira-se que:

dxtgdy )( (14. 23)

Ou

)()('

)( tgdtth

tgdydx (14. 24)

Integrando vem

Cdttgthx )()(' (14. 25)

Que juntamente com

)(thy (14. 26)

fornece a solução geral.

Exemplos:

380

14. 4 - Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem

Se a Equação Diferencial é daquelas que se reduzem a 1ª ordem, conforme os

seguintes tipos:

0,,

0,,

0,

2

2

2

2

2

2

ydxdy

dxyd

xdxdy

dxyd

dxdy

dxyd

(14. 27)

Sua solução pode ser obtida por substituição

0,,

0,,

0,

yvdydvv

xvdxdv

vdxdv

(14. 28)

que são de 1ª ordem em v. Supondo que v pode ser obtido, uma integração posterior levará à

solução do problema.

Note que: em , a sbstituição é:

dydvv

dxdy

dydv

dxdv

dxyd

2

2

(14. 29)

Exemplos:

381

1) Caso :

12 2

2

dx

yddxdya (14. 30)

Pondo-se

vdxdy

(14. 31)

Obtém-se:

12 dxdvav (14. 32)

ou

adxvd

21)( 2

(14. 33)

e

12

2C

axv (14. 34)

Sendo 1C a 1ª constante de integrassão (haverá uma segunda). Então:

12C

axv (14. 35)

Mas

dxdyv (14. 36)

E assim

dxCaxdy 12 (14. 37)

e

382

212CdxC

axy (14. 38)

Eis a segunda constante. Fazendo a integral

2

2/3

1234 CC

axay

(14. 39)

383

2) Caso:

01 2

22

dxdyx

dxydx (14. 40)

Faz-se

vdxdy

(14. 41)

E então tem-se:

01 2

vx

xdxdv (14. 42)

Portanto,

21 xxdx

vdv

(14. 43)

Integrando outra vez

12 '1loglog Cxv (14. 44)

Ou

21

1 xC

dxdyv

(14. 45)

Integrando-se outra vez chega-se a

21

1 CxsenhCy (14. 46)

384

3) Caso:

2

2

2

1

dxdy

dxydy (14. 47)

Com

vdxdy

(14. 48)

E

dydvv

dxyd2

2

(14. 49)

E então

21 vdydvyv (14. 50)

Ou

ydy

vvdv

21

(14. 51)

Integrando temos:

Cyv log1log21 2 (14. 52)

Ou

2/121 1

vCy (14. 53)

Quadrando temos:

1221

2 1

vCy (14. 54)

Ou

21

2

yCyv

(14. 55)

385

E

21

2

yCy

dxdy

(14. 56)

ou

dxdxdy

Cyy

1

2 (14. 57)

Integrando,

212 CxCy (14. 58)

Que é a solução.

386


387


388

Capítulo – XV

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

ORDINÁRIAS NÃO-LINEARES

RESUMO














389

15. 2 - Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias Não-Lineares

390


391


392

Capítulo – XVI

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES

RESUMO

















393

16. 3 - Equações Diferenciais Parciais

394

16.3.1 – Comentários sobre o Método da Separação de Variáveis

Na solução de muitas equação diferenciais a derivadas parciais é usual empregar-

se o método de separação de variáveis, que consiste em admitir a função incógnita digamos

, ,V x y z , seja um produto de funções de uma única variável.

, ,V x y z X x Y y Z z (16. 1)

Com issom a equação a derivadas parciais original se transforma em tantas equações

ordinárias quantas forem as variáveis independentes; em muitos casos de interesse prático as

equações ordinárias obtidas não-lineares. Este comentário serve apenas para mostrar a

relevância do estudo de equações diferenciais ordinárias.

Exemplo

Suponhamos que a equação para a função incógnita ,V x y seja a equação de

Laplace em duas dimensões:

2 2

22 2, 0V VV x y

x y

(16. 2)

Pelo método de separações de variáveis ordinárias supomos que ,V x y passa a ser escrita na

forma:

,V x y X x Y y (16. 3)

Substituindo na equação ( ) obtemos:

2 2

2 2 0X YY y X xx y

(16. 4)

Divindindo ( ) por X x Y y , obtemos:

2 2

2 2

1 1 0X YX x x Y y y

(16. 5)

Ou

2 2

2 2

1 1X YX x x Y y y

(16. 6)

395

Mas em ( ) o 1º membro é função apenas de x, enquanto que o 2º memebro depende apenas de

y. Sendo x e y independente, isso só é possível se cada um dos membros de ( ) for igual a uma

constante, k. Então obtemos as duas equações diferenciais ordinárias:

2

2

2

2

1

1

X kX x x

Y kY y y

(16. 7)

396

16. 4 - Equação de Difusão

i) Caso 1D

Considere a temperatura u(x,t) em uma barra de comprimento, L.

Figura - 16. 1.

O fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura (Lei de Fourier), ou

seja,

xTq

2 (16. 8)

Figura - 16. 2

)()( dqqqt

udx

(16. 9)

logo

xdxq

tuxd

dqtudx

)(

)(

(16. 10)

Substituindo a equação (16. 8) em (16. 10) temos:

397

2

22

2 )/(

xu

tu

xxu

tu

(16. 11)

ii) Caso 2D e 3D

Para o caso bi e tridimensional temos:

utu 22 (16. 12)

Para resolver esta equação vamos utilizar o “Método da Separação de Variáveis”.

Este método so vale para problemas finitos ( )0( L . Nele supõe-se que:

)()( tTxXu (16. 13)

E substitui-se na equação:

)()()()( 22 tTxXt

tTxX

(16. 14)

Logo

TXXT ''' 2 (16. 15)

Multiplicando tudo por XT/2

cteXX

TT

'''1

2 (16. 16)

Suponde que a constante de proporcionalidade é tipo 2k , onde Rk logo:

22

'''1 kXX

TT

(16. 17)

Logo, ficamos com duas equações diferenciais:

398

0''

0'2

22

XkX

TkT (16. 18)

A solução deste sistema de equações diferenciais parciais é:

0/),sen()cos(

0/,kpkxBkxA

kpExDX (16. 19)

e para T temos:

0/,

0/,22

kpFe

kpGT

tk (16. 20)

i) Para k = 0

A solução geral da equação diferencial da difusão para u(x,t) é:

ExDGtxu ),( (16. 21)

ii) Para k 0


)sen()cos(),(22

kxBkxAFetxu tk (16. 22)

A solução totalmente geral para qualquer k para )()( tTxXu é dada por:

)sen()cos(),(22

kxBkxAFeExDGtxu tk (16. 23)

ou

tkekxKkxJIxHtxu22

)sen()cos(),( (16. 24)

de posse da solução geral vamos agora aplicar as condições de contorno.

i) Condições de contorno em x = 0, u = u1

0),0( 1122

JeuHtuJeHtxu tk (16. 25)

ou ainda

399

0..01. 1122

JeuHtILJeuH tk (16. 26)

Logo, retornando a equação

tkekxKIxutxu22

)sen(),( 1 (16. 27)

ii) Condições de contorno em x = L, u = u2

2122

)sen(),( uekLKILutLxu tk (16. 28)

Como as funções são L. I. temos:

0)sen(22

00

21

tkekLKILuu (16. 29)

Temos:

0)sen(

21

kLKL

uuI (16. 30)

Logo

,...2,1,

nL

nk

nkL

(16. 31)

Portanto,

tL

n

exL

nKxL

uuutxu2

2

)sen(),( 211

(16. 32)

Observe que K varia para diferentes k, que por sua vez dependem de diferentes n,

Logo, precisamos supor que a combinação linear de todas as solu;coes com K diferentes

também é solução, logo,

tL

n

nn ex

LnKx

Luuutxu

22

)sen(),(1

211

(16. 33)

400

Observe que a solução (12. 357) representa uma solução em Série de Fourier e

não foi especificada nenhuma condição inicial para a solução (12. 357). Isto significa que esta

solução pode representar qualquer função que possa ser expressa em termos de uma Série de

Fourier. Portanto, devemos especificar qul é a condição inicial para poder restringir a Série de

Fourier da Solução (12. 357) para uma solução que represente uma função f(x) dada pela

condição inicial, onde:

)()sen()0,(1

211 xfx

LnKx

Luuutxu

nn

(16. 34)

Logo

)sen()(1

211 x

LnKx

Luuuxf

nn

(16. 35)

com período 2L.

Chamando de x

LuuuxfxF 21

1)()( , logo,

)sen()(1

xL

nKxFn

n

(16. 36)

Onde,

L

Ln dxx

LnxF

LK )sen()(1 (16. 37)

401

Exemplo

Considere o problema de Difusão de Calor onde 021 uu e 100)( xf e

10L , logo para a solução:

tL

n

nn ex

LnKx

Luuutxu

22

)sen(),(1

211

(16. 38)

temos:

tL

n

nn ex

LnKtxu

22

)sen(),(1

(16. 39)

e

100)sen()0,(1

xL

nKtxun

n (16. 40)

onde

LL

Ln dxx

Ln

Ldxx

LnxF

LK

0

)sen(1002)sen()(1 (16. 41)

Logo

L

n xL

nn

K0

)cos(200

(16. 42)

cujas soluções são:

i) Para n ímpar

)2(200112001)cos(200

)0cos()cos(200

nnn

n

nn

Kn (16. 43)

Logo

402

nKn

400 (16. 44)

ii) Para n par

0112001)cos(200

)0cos()cos(200

nn

n

nn

Kn (16. 45)

logo

0nK (16. 46)

Portanto, a solução final é:

tL

n

nex

Ln

ntxu

22

)sen(1400),(1

(16. 47)

Na prática a barra se resfria de 100ºC até 0oC.

Figura - 16. 3

Observe que para n estes modos decem mais rápido, ou seja o calor

dissipa-se mais rápido (freqüências mais altas dissipam mais rápido).

403

Exemplo

Considere o problema no domínio

Figura - 16. 4

)0/;()()0,()0;(2

tpxxfxutxuu txx (16. 48)

Aplicando a Transformada de Fourier em ambos os lados da equação diferncial

temos:

txx uFuF 2 (16. 49)

Aplicando a Transformada de Fourier:

txx uFuF 2 (16. 50)

Temos:

tuui ˆˆ)( 22 (16. 51)

ou

dxetuui xi

ˆ)( 22 (16. 52)

E

dxetxudtdu xi

),(ˆ22 (16. 53)

E

404

dtudu ˆˆ22 (16. 54)

Logo

0ˆˆ 22 udtud (16. 55)

Integrando temos:

dtuud 22

ˆˆ

(16. 56)

Logo

)(ˆln 22ottu (16. 57)

Exponenciando temos:

)(22)(ˆˆ otteuu (16. 58)

Vamos usar a condição inicial:

)(ˆ)()()0,( fxfFuxuF (16. 59)

A partir de (12. 352) podemos ver que para ott temos:

)(ˆˆˆˆ )(22 fueuu o

tto

o (16. 60)

Mas

)(11

)(1

1

22

22

*),(

ˆ),(

ˆ),(

o

o

tto

tto

eFuFtxu

euFtxu

uFtxu

(16. 61)

Portanto,

)(*)(),(

*)(),( )(1 22

xgxftxueFxftxu ott

(16. 62)

Onde

405

)()( 1)(1 22 gFeFxg ott (16. 63)

Logo

det

xftxu tx

2

2

4)(

21*)(),( (16. 64)

e

deft

xgxftxu tx

2

2

4)(

)(2

1)(*)(),( (16. 65)

Ou

dxgfxgxftxu

)()()(*)(),( (16. 66)

Exemplo:

Para uma função f(x):

)(.0;00;

)( xHFxxF

xf

(16. 67)

ou

txerfFtxu2

12

),( (16. 68)

Onde:

dexerf t

2

2

2)( (16. 69)

406

16. 5 - Equação de Onda

i) Caso 1D

Considere o seguinte caso unidimensional com domínio infinito:

Figura - 16. 5

ttxx uuc 2 (16. 70)

Onde a condição inicial é dada por:

)()0,( xfxu (16. 71)

E a derivada no tempo:

)()0,( xgxut (16. 72)

Como o problema é de domínio finito, vamos resolver a equação pelo Método da

Separação de Variáveis

407

Para resolver esta equação vamos utilizar o “Método da Separação de Variáveis”.

Este método so vale para problemas finitos ( )0( L . Nele supõe-se que:

)()( tTxXu (16. 73)

E substitui-se na equação:

2

22

2

2 )()()()(x

tTxXt

tTxX

(16. 74)

Logo

''''2 XTTXc (16. 75)

Multiplicando tudo por XTc /2

cteXX

TT

c

''''12 (16. 76)

Suponde que a constante de proporcionalidade é tipo 2k , onde Rk logo:

22

''''1 kXX

TT

c (16. 77)

Logo, ficamos com duas equações diferenciais:

0''

0''2

22

XkX

TckT (16. 78)

A solução deste sistema de equações diferenciais parciais é:

0/),sen()cos(

0/,kpkxEkxD

kpBxAX (16. 79)

e para T temos:

0/),sen()cos(

0/,kpkctKkctJ

kpIxHT (16. 80)

i) Para k = 0


408

ItHBxAtxu ),( (16. 81)

ii) Para k 0


)sen()cos()sen()cos(),( kctKkctJkxEkxDtxu (16. 82)

A solução totalmente geral para qualquer k para )()( tTxXu é dada por:

)sen()cos()sen()cos(

),(kxEkxDkctKkctJ

ItHBxAtxu

(16. 83)

ou

)sen()cos()sen()cos(),( 4321

kctKkctJkxEkxDxtCtCxCCtxu

(16. 84)

de posse da solução geral vamos agora aplicar as condições de contorno.

i) Condições de contorno em x = 0, u = 0:

0

0)sen()cos()cos(),0(

31

31

DCCtkctKkctJkxDtCCtxu

(16. 85)

ou ainda

0..

0)sen()cos()cos(1.),0(

31

31

DCCtILkctKkctJkxDtCCtxu

(16. 86)


)sen()cos()sen(),( 42

kctKkctJkxExtCxCtxu

(16. 87)

ii) Condições de contorno em x = L, u = 0:

nkLeCCt

kctKkctJkLELtCLCtxu

)sen(0

0)sen()cos()sen(),(

42

42 (16. 88)

Logo

409

,...2,1,

nL

nk

nkL

(16. 89)

Como as funções são L. I. temos:

0)sen()cos()(00

42

kctKkctJkLEsenLtCC (16. 90)

Temos:

0)(042

kLEsenCC

(16. 91)


)sen()cos()sen(),( ct

LnKct

LnJx

LnEtxu

(16. 92)

ou

)sen()cos()sen(),( ct

LnSct

LnRx

Lntxu

(16. 93)

Observe que K varia para diferentes k, que por sua vez dependem de diferentes n,

Logo, precisamos supor que a combinação linear de todas as solu;coes com K diferentes

também é solução, logo,

)sen()cos()sen(),(

1ct

LnSct

LnRx

Lntxu nn

n

(16. 94)

Observe que a solução (12. 357) representa uma solução em Série de Fourier e

não foi especificada nenhuma condição inicial para a solução (12. 357). Isto significa que esta

solução pode representar qualquer função que possa ser expressa em termos de uma Série de

Fourier. Portanto, devemos especificar qul é a condição inicial para poder restringir a Série de

Fourier da Solução (12. 357) para uma solução que represente uma função f(x) dada pela

condição inicial, onde:

1)sen()0,(

nn x

LnRtxu

(16. 95)

410

Logo

)()(1

xL

nsenRxfn

n (16. 96)

com período 2L, logo,

)()(1

xL

nsenRxfn

n

(16. 97)

Onde,

dxxL

nsenxfL

Rn )()(1 (16. 98)

Como a função está definida apenas no intervalo ];[ LL

L

Ln dxx

Lnsenxf

LR )()(1 (16. 99)

Ou ainda podemos escrever

(16. 100)

iii) Usando a condição inicial t = 0, )()0,( xgxut :

1.0.)sen()0,(

)0cos()0sen()sen()0,(

1

1

nnn

nnn

SRL

cnxL

ntxu

SRL

cnxL

ntxu

(16. 101)

logo

)()sen()0,(1

xgxL

nL

cnSxun

nt

(16. 102)

onde

411

dxx

Lnsen

Lcnxg

LSn )()(1 (16. 103)

Como a função está definida apenas no intervalo ];[ LL

L

Ln dxx

Lnsen

Lcnxg

LS )()(1 (16. 104)

Ou ainda podemos escrever

L

n dxxL

nsenL

cnxgL

S0

)()(2 (16. 105)

Exemplo

Considere o problema de Equação de Onda onde 0)( xg , logo para a solução:

)sen()cos()sen(),(

1ct

LnSct

LnRx

Lntxu nn

n

(16. 106)

Logo

0)(1.0.)sen()0,(

)0cos()0sen()sen()0,(

1

1

xgSRL

cnxL

ntxu

SRL

cnxL

ntxu

nnn

nnn

(16. 107)

logo

0)sen()0,(1

nnt x

Ln

LcnSxu

(16. 108)

Logo 0nS . Portanto,

1

)cos()sen(),(n

n ctL

nxL

nRtxu (16. 109)

Mas

412

)sen()sen(21)cos()sen( bababa (16. 110)

Logo

1)(sen)(sen

21),(

nn ctx

Lnctx

LnRtxu

(16. 111)

Ou seja:

)()(21),( ctxfctxftxu (16. 112)

413

ii) Caso 2D e 3D

Para o caso bi e tridimensional temos:

ttuuc 22 (16. 113)

Figura - 16. 6

Solução de D’Alambert

Consideremos o problema unidimensional:

ttxx uuc 2 (16. 114)

Vamos fazer a seguinte transformação de coordenadas

ctxctx ; (16. 115)

Logo

xxx

[][][] (16. 116)

e

ttt

[][][] (16. 117)

Mas

1

xx (16. 118)

e

414

ct

ct

; (16. 119)

logo

[][][]

x (16. 120)

e

[][][] cc

t (16. 121)

Portanto,

[][][][][][] 22 c

xxc (16. 122)

E

[][][][][][] cccc

tt (16. 123)

Logo

2

2

2

22 ][][

tu

xuc

(16. 124)

Ou

uccccuc

[][][][][][][][]2 (16. 125)

Após algumas manipulações algébricas temos:

0

0[][]4

u

u (16. 126)

Logo

415

)(0 Au (16. 127)

E

)()(

)()()(

GFu

GFAu

(16. 128)

Portanto,

)()( ctxGctxFu (16. 129)

Este é um resultado absolutamente geral para a Equação de Onda em coordenadas cartesianas

Considerando o caso onde a condição inicial é dada por:

)()0,( xfxu (16. 130)

e a derivada no tempo:

)()0,( xgxut (16. 131)

temos:

ctx

ctx

dgc

ctxgctxfu )(21

2)()( (16. 132)

416


1) Dada a seguinte equação diferencial,

dttrditrtrVtr

m),(),(),(),(

22

2

, (16. 133)

válida para a Mecânica Quântica. Classifique-a quanto as variáveis, à ordem, ao grau, quanto

ao coeficiente das suas derivadas e quanto ao tipo.

Solução:

i) Quanto as variáveis: Equação Diferencial Parcial;

ii) Quanto a ordem: de Segunda Ordem

iii) Quanto ao grau: Primeiro grau

iv) Quanto aos coeficientes das derivadas: Linear

Quanto ao tipo: Elíptica

Exemplo

Encontre uma solução para o P.V.I.

1)0(yyy (16. 134)

Usando o Método de Picard.

417


418

Capítulo – XVII

SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES

RESUMO

















419

17. 3 - Sistema de Equações Diferenciais Parciais Lineares

420


421


422

Capítulo – XVIII

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES

RESUMO

















423

18. 3 - Equações Diferenciais Parciais Não-Lineares

424


425


426

Capítulo – XIX

SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES

RESUMO

















427

19. 3 - Sistema de Equações Diferenciais Parciais Não-Lineares

428


429


430

Capítulo – XX

TEORIA GERAL DAS DISTRIBUIÇÕES

RESUMO

















431

20. 3 - Teoria Geral das Distribuições

432


433


434

Referências Bibliográficas ALVES, Lucas Máximo, “Notas de Estudos Pessoais” 2007.

REDONDO, Djalma Mirabelli, “Apostila de Introdução a Física Matemática”. Notas de Aulas do Curso de Bacharelado em Física do Instituto de Física de São Carlos, vol. 01, p. 01-74, 1985.

GOBBI, Maurício, Notas de Aulas de Tópicos Avançados em Matemática para a Engenharia do Curso de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia, 2007.

DIAS, Nelson Luis, Notas de Aulas de Tópicos Avançados em Matemática para a Engenharia do Curso de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia, 2008.

435

Apêndices A. 1 – Estudo de Somatórios

436

A. 2 – Estudo de Produtórios

437

A. 3 – Estudo da Relação entre Somatórios e Produtórios

438

Anexos An. 1 – Título do seu primeiro Anexo

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