Trabalho de Cálculo II

USC UNIVERSIDADESAGRADO CORAÇÃO

Cálculo Diferencial e Integral

Cálculo – Integração com uma variável

Octávio Henrique Sclaffani da Silva – ID: 369037

Vinícius Peral – ID: 363909

Alexandre Sversotti – ID: 365433

Welton Bueno – ID:

Lucas Dias – ID:

Bauru

25.11.2013

Trabalho: Cálculo Diferencial e Integral

Trabalho apresentado como

requisito parcial da disciplina de

Cálculo – Integração com uma

variável do curso de Engenharia

Civil na data de 25/novembro,

apresentado a Universidade do

Sagrado Coração, para a Profª.

Rosane

Universidade do Sagrado Coração

1. Resumo

Neste trabalho trataremos do Cálculo Diferencial e Integral, começando a

abordagem pelo cálculo diferencial e em seguida integração indefinida, que consiste no

processo inverso da derivação. Veremos também a integral definida – que é a integral

propriamente dita – juntamente com diversos exemplos de aplicações, depois o Teorema

Fundamental do Cálculo, que é peça chave de todo Cálculo Diferencial e Integral, pois

constitui na ligação entre as operações de integração e derivação. Finalmente,

estenderemos o conceito de integral para funções contínuas por partes, por

substituições, por substituições trigonométricas, por frações parciais e suas aplicações,

demonstrando as mais variadas técnicas utilizando as propriedades da integração na

resolução de problemas do cotidiano na área da Engenharia Civil.

Palavras Chave: Cálculo Diferencial. Cálculo Integral. Aprendizagem de Cálculo.

Intervalo. Conjunto. Aplicação.

2. Introdução

Com o mundo cada vez mais tecnológico e apressado, as universidades e

instituídos que oferecem cursos superiores na área das ciências exatas, tem como base o

estudo do Cálculo Diferencial e Integral. De suma importância principalmente para o

segmento das engenharias, o Cálculo Diferencial e Integral é a melhor forma de

resolução dos mais variados problemas da área e cotidiano dos engenheiros, seja ele de

qual for o campo de atuação.

No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar

a área sob uma curva no plano cartesiano (DOSS; 2002) e também surge naturalmente

em dezenas de problemas de Física, como por exemplo, na determinação da posição em

todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos

os instantes. O processo de se calcular a integral de uma função é chamado

de integração.

Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para

a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados

a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas

definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma

definição, mas não podem segundo outra. (DOSS; 2002)

A integral indefinida também é conhecida como antiderivação.

A integral definida ∫a

b

f ( x )dxé um número; não depende da variável x. A

integral indefinida, ao contrário, é uma função ou família de funções. A conexão entre

elas é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Se f for contínua em [a , b], então

(STEWART; 2002, pp. 379 e 401) .

∫a

b

f ( x )dx=∫ f ( x )dx

Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.

Ou seja, a integral indefinida, calculada no intervalo [a , b], resulta no valor da

integral definida.

É possível efetuar-se a resolução da integral acima, entre os limites a e b, o

resultado final pode ser escrito como:

S=∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F(a)


Onde a função F (x) é a função resultante da integração da função f (x) . O

problema da integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume

portanto a encontrar a função F (x).O resultado acima é extremamente importante pois

ele oferece uma indicação de como obter a integral. Para ver isto, supõe-se que o limite

superior da integral, isto é, b, seja muito próximo de a, tal que se possa escrever:

b=a+∆


Como os pontos limites da integral estão muito próximos, pode-se escrever:

∫a

a+∆ x

f ( x )dx=F (a+∆ x )−F(a)


Olhando na definição da integração como um limite, dada acima, pode-se dizer

que a integral, neste caso, se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto pode-

se afirmar, sem causar um erro muito grande, que:

∫a

a+∆ x

f ( x )dx=f (a )∆ x=F (a+∆ x )−F (a )


Comparando com a definição de derivada de uma função

f ( x )= F ( x+∆ x )−F ( x )∆ x

→ f ( x )= ddx

F (x )


Vê-se que a função procurada F(x) é uma função tal que, quando tomada a sua

derivada, obtém-se a função f(x). Em outras palavras, ao se calcular a derivada de uma

função pode-se também calcular a integral da função resultante. Esta propriedade

mostra que a integração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se uma

função for derivada e em seguida o resultado integrado, obtém-se a função original. Esta

propriedade é chamada de Teorema Fundamental do Cálculo. (STEWART; 2002, p.

401)

Durante as aulas de todo o semestre nos foi apresentado as mais diferentes

formas de resolução do Cálculo Diferencial e Integral, e neste trabalho iremos abordar

tópicos a fim demonstrar conceitos, propriedades das quais servirão de base, estudo e

exemplificação nas mais variadas formas de resolução e aplicação do conteúdo.

Os tópicos que serão abordados são os seguintes:

O cálculo Diferencial:

• Diferencial

• Conceito, cálculo e aplicação.

• Aplicação na resolução de problemas

• Cálculo de diferenciais e aplicação na resolução de problemas

Integral Indefinida:

• Conceito, propriedades, constante de integração.

• Aplicação das propriedades da integral indefinida

• Integrais imediatas

• Cálculo de integrais imediatas

• Cálculo de integrais mediante substituição de variáveis

• Resolução de exercício de cálculo de integrais

Integral Definida:

• Conceito

• Cálculo de integrais definidas

• Aplicação da integração definida no cálculo de áreas

• Resolução de exercício de cálculo de integrais definidas

Métodos de Integração:

• Integração por Partes

• Cálculo de integrais aplicando a técnica da integração por partes

• Integração por Substituição Trigonométrica

• Cálculo de integrais por meio de Substituição Trigonométrica

• Integração e Cálculo de Integrais de Funções Racionais por Frações Parciais

Aplicações da Integral Definida:

• Cálculo de volume de sólido de revolução

• Aplicação da integral definida no cálculo de volumes de sólidos de revolução

• Cálculo de comprimento de arco

• Aplicação da integral definida no cálculo de comprimentos de arcos

3. Resultados e discussões

Com o advento do Teorema Fundamental do Cálculo estabeleceu-se uma

conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O

cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu

de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de

Isaac Newton em Cambridge, Isaac Barrow, descobriu que esses dois problemas estão

de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são

processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram

para transformar o cálculo em um método matemático sistemático.

Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a

calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las

como limites de soma (método descrito pelo matemático Riemann, pupilo de Gauss)

3.1. Acréscimos Seja y=f (x ) uma função, podemos sempre considerar uma

variação da variável independente de x. Se x varia x1a x2 , definimos o acréscimo de x,

denotado por ∆ x, como: ( FLEMMING;2009, p. 173)

∆ x=x2−¿ x1¿.


A variação de x origina uma correspondente variação de y, denotado por ∆ y ,

dada por:

∆ x=f ( x2 )−f ( x1 )ou ∆ y=f ( x1+∆ x )−f (x1)

Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word.

3.1.1. Diferencial

Sejam y=f (x ) uma função derivável e ∆ x um acréscimo de x. Definimos:

(a) a diferencial da variável independente x, denotada por dx, como dx=∆ x;

(b) a diferencial da variável dependente y, denotada por dy , como dy=f ' ( x ) ∙∆ x .


De acordo com a definição anterior, podemos escrever dy=f ' ( x ) ∙ dxou

dydx

=f ' (x).

Assim, a notação dydx

já usada para f ' (x), pode agora ser considerada um

quociente entre duas diferenciais.

3.1.2. Exemplos

Exercícios que demonstram a aplicação do Cálculo Diferencial:

(i) Se y=2 x ²−6 x+5, calcule o acréscimo ∆ y para x=3 e ∆ x=0,01.

Usando a definição de ∆ y , escrevemos:

∆ y=f ( x1+∆ x )−f (x1)

¿ f (3+0,01 )−f (3)

¿ f (3,01 )−f (3)

¿ [2 ∙ (3,01 )2−6 ∙3,01+5 ]−[2 ∙32−6 ∙3+5]

¿5,0602−5

¿0,0602.


(ii) Se y=6 x ²−4 calcule ∆ ye dy para x=2 e ∆ x=0,001.

Usando a definição de ∆ y , temos:

∆ y=f ( x1+∆ x )−f ¿

¿ f (2+0,001 )−f (2)

¿ [6 ∙ (2,001 )2−4 ]−[6 ∙2²−4]

¿20,024006−20

¿0,024006.

Usando a definição de dy , temos:

dy=f ' ( x ) ∙∆ x

¿12 x ∙ ∆ x

¿12 ∙2 ∙ 0,001

¿0,024


Observamos que a diferença ∆ y−dy=0,000006 seria menor caso usássemos

um valor menor que 0,001 para ∆ x.

(iii) Calcule um valor aproximado para 3√65,5usando diferenciais.

Seja y=f ( x ) a função definida por f ( x )= 3√x.

Escrevemos:

y+∆ y=3√ x+∆ x e 1

3 x23

dx


Fazemos x=64 e ∆ x=1,5 , isto porque 64 é o cubo perfeito mais próximo de

65,5.

Portanto,

x+∆ x=65,5 , dx=∆ x=1,5 e

dy= 1

3 (64 ) 23

∙1,5= 1,53∙16

=0,03125

Então,

3√65,5= 3√64+1,5= 3√x+∆ x= y+∆ y .

Fazendo ∆ y ≅ dy, obtemos finalmente que:

3√65,5≅ y+∆ y=4+0,03125

¿4,03125


(iv) Considerando as funções e os pontos conhecidos, calcule a diferencial:

y=f ( x )=3 x ² e os pontos 1 e 1,01

y=f (1 )=3 (1 )2→ 3

y=f (1,01 )=3 ∙ (1,01 )2=3 ∙ (1,0201 )=3,0603

Em seguida,

∆ f =f (1,01 )−f (1 )=3,0603−3=0,0603

∆ x=1,01−1=0,01

Portanto,

y '=f ' ( x )=6 x

df =f ' (x) ∙ ∆ x

d f =f ' (1 ) ∙ 0,01=6 (1 ) ∙ 0,01=6 ∙ 0,01=0,06

df =f ' (1,01 ) ∙ 0,01=6 (1,01 ) ∙ 0,01=0,606


Como resultado final, encontramos que a diferencial é:

∆ f =f ' (1 )−f ' (1,01 )=0,606−0,06=0,546


(v) Considerando a função é os pontos conhecidos, calcule a diferencial:

y=f ( x )=4 x ³ e os pontos 2 e 2,02

y=f (2 )=4. (2 ) ³=32

y=f (2,02 )=4 (2,02 )3=32,9696


Em seguida,

∆ f =f (2,02 )−f (2 )=32,9696−32=0,9696

∆ x=2,02−2=0,02

Portanto,

y '=f ' ( x )=12 x ²

df =f ' (x) ∙ ∆ x

df =f ' (2 ) ∙ (0,02 )=12. (2 )2 ∙ (0,02 )=0,96

df =f ' (2,02 ) ∙ (0,02 )=12 (2,02 )2 ∙ (0,02 )=0,9793


Como resultado final, encontramos que a diferencial é:

∆ f =f ' (2,02 )−f (2 )=0,9793−0,96=0,0193


3.1.3. Exercício aplicado à área da Engenharia Civil

Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de

altura de 12m, raio interior 7 m e espessura 0,05. Qual o erro decorrente se resolvermos

usando diferenciais?

O volume V do cilindro interior é dado por:

V=πr ² ∙ h

¿ π ∙ 7² ∙ 12

¿588 π m ³


Dando um acréscimo ∆ r o volume da coroa será igual à variação ∆ V em V .

Usando diferenciais, temos:

∆ V ≅ dV=2 πrh ∆ r

¿2 π ∙ 7 ∙12 ∙0,05

¿8,4 π m ³.

O volume exato será

∆ V =π (r+∆ r )2 ∙h−πr ² h

¿ π (7,05 )2 ∙ 12−π ∙7² ∙12

¿596,43 π−588 π

¿8,43 π m ³.

Portanto, o erro cometido na aproximação usada foi

∆ V −dV =0,03 π m3 .


3.2. Integral Indefinida

3.2.1. Definição Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f (x) em um

intervalo 1 (ou simplesmente uma primitiva de f (x)), se para todo x e 1, temos

F ' (x)=f (x ).

Exemplo:

F (x)=¿ x^3/3e uma primitiva da função

f (x)=x2 , pois F ' (x)=1 /3 3 x2=x2=f (x ) .


Se f é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por

∫ f ( x )dx=F ( x )+c, onde F é uma primitiva de f, C é uma constante, chamada constante

de integração o símbolo ∫ é chamado sinal de integração, f(x) é o integrando e dx é a

diferencial de x, neste contexto, um símbolo indicando que a primitiva deve ser

calculada em relação à variável x.

Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de uma função

f (x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o

intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f , entendemos que essas

funções são primitivas de f no mesmo intervalo I . (FLEMMING;2009,p.240)

De acordo com o recurso de aula número dois, apresentado em sala no dia ___,

as propriedades para cálculo de integrais indefinidas são:

1ª. ∫ [ f ( x )± g (x ) ]dx=∫ f (x ) dx ±∫ g ( x ) dx, ou seja, a integral da soma ou diferença é a

soma ou diferença das integrais.

2ª. ∫ kf (x ) dx=k∫ f ( x )dx , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do

integrando.

3ª. ddx

¿, ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.


O processo de integração exige muita atenção em sua resolução, através destes

princípios podemos com a ajuda de uma tábua de integrais, resolver as integrais

primitivas, chamadas também de integrais imediatas. (FLEMMING; 2009)

Em alguns casos porém, é possível determinar a integral de uma função através

do uso de regras da matemática, utilizando-se de uma mudança de variável antes da sua

resolução propriamente dita.

Sejam f (x) e F (x) duas funções tais que F ' ( x )=f ( x ). Suponhamos que g seja

outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Podemos

considerar a função composta F0g. (FLEMMING; 2009,p.247)

Pela regra da cadeia, temos:

[ F ( g ( x ) ) ]'=F ' ( g ( x ) ) ∙ g' ( x )=f (g (x ))∙ g '(x ), isto é, F (g (x )) é uam primitiva de

f (g ( x )) ∙ g '(x ).

Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word

Temos, então:

∫ f ( g (x ) ) ∙ g ' ( x ) dx=F ( g ( x ) )+c . (1)

Fazendo u=g (x), du=g' ( x ) dxe substituindo em (1), vem:

∫ f ( g (x ) ) ∙ g ' ( x ) dx=∫ f (u )du=F (u )+c

Isto nos leva a encontrar uma integral primitiva para a resolução, o que torna a

integral obtida mais fácil e simples de ser resolvida.

3.2.2. Exemplos

Exercícios que demonstram a aplicação da Integral Indefinida:

(i) Calcule as integrais indefinidas.

Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais, temos:

∫(3 x2+5+√x¿)dx=3∫ x ² dx+5∫dx+∫ x21dx ¿

¿3 x3

3+5x+

x32

3/2+c

¿ x ³+5 x+ 23

x3 /2+c .


(ii) ∫ ( 3 secx ∙tgx+cose c2 x ) dx .

Temos:

∫ ( 3 sex ∙tgx+cose c2 x )=3∫secx tg xdx+∫ cosec2 x dx

¿3 secx−cotgx+c .


(iii) ∫ se c2 xcosec x

dx .

Nesse caso, temos:

∫ sec2 xcosecx

dx=∫ 1cosx

∙senxcosx

dx=∫ tg x ∙ sec xdx=sec x+c .

(iv) ∫ ( 3√x2+1/3 x )dx

Temos:

∫ 3√x ²+1/3 x¿dx=∫ 3√x ² ¿dx+∫ 1/3 dx

¿∫ x2/3 dx+ 13∫

dxx

¿ ∫ x53

5 /3+

13

ln|x|+c

¿ 35

x53+ 1

3ln|x|+c .


(v) ∫ x ³ dx

Temos:

∫ x3+1

3+1+c= x4

4+c


Através do cálculo da diferencial e da derivada, podemos provar a veracidade da

resolução da integral indefinida acima. Demonstrando através da derivada temos que:

y= x4

4+c

y '=4 x3

4+c=x ³


E por fim, calculando a diferencial desta função temos que:

dy= y ' ∙ dx

dy=x ³ dx .


(vi) ∫ 2 x1+x ²

dx .

Fazendo u=1+ x ². Então, du=2 xdx ( pois esta é a derivada da função).Temos:

∫ 2 x1+x ²

dx=∫ duu

¿ ln|u|+c

¿ ln (1+x2 )+c

Equações elaboradas através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word

3.2.3. Exercício aplicado à área da Engenharia Civil

Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja

aumentando à taxa de 4+5 t23 habitantes por mês. Se a população atual é 10.000

habitantes, qual será a população daqui a 8 meses?

Solução:

Seja p(t) a população da cidade no tempo t (medido em meses). A taxa de

variação de uma função é dada pela sua derivada. Assim, temos p ´ (t )4+5 t23

e, portanto, p (t )=∫ (4+523 )dt=4 t +5 t

53 +c . Como p(0) = 10.000, substituindo

na equação, ) 4( 5 ) 4 3 encontramos C = 10.000.

Logo...

A função que representa a população num instante t qualquer é

p (t )=∫ (4+523 )dt=4 t +5 t

53 +1000 e, consequentemente, daqui a 8 meses a

população será de p(8) = 4 × 8 + 3 × 32 +10.000 = 10.128 habitantes.


3.3. Integral Definida

3.3.1. Definição Dada uma função positiva no intervalo [a , b], onde a < b, isto é,

f ( x ) ≥ 0 nesse intervalo, querendo achar uma determinada área da região limitada por

um gráfico f , pelas retas x=a e x=b, e pelo eixo Ox . (BOULOS;2010) Pode-se,

entretanto, formular a definição sem apelar, necessariamente, para a geometria.

Gráfico 1.1. Exemplificando a área de curva calculada pela integral

Fonte: Disponível em http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/11/integral-definida-conceitos-e.html Acessado em 22/11/2013

Subdividiram-se o intervalo [a , b] em n subintervalos, por meio dos pontos x .k ,

k=1,2 ,... n−1 , escolhidos arbitrariamente. Em cada um dos novos intervalos

[a1 x1 ] , [ x1 x2 ] , …,[xn−1 , b], escolhemos também arbitrariamente, os pontos ε 1, ε2 ,…εn e

formaremos a soma:

f ( ε1 ) ( x1−a )+ f (ε2 ) ( x2−x1 )+ f ( ε3 ) ( x3−x2 )+¿....

+ f (εn ) (b−xn−1 ) (1)


Fazendo, x0=a , xn=b e ∆ xk= xk−xk−1 podemos escrever:

∑k =1

n

f (εk¿)( xk−xk−1 )=∑k=1

n

f (εk¿)∆ xk ¿¿ (2)


http://2.bp.blogspot.com/-RAdNpNbUN4o/TrPKN19du5I/AAAAAAAADP0/dQVhIlURniQ/s1600/aproarea.png

Geometricamente, esta soma representa a área total de todos os retângulos na

figura acima. Aumentando o número n de subdivisões, isto é, fazendo n → ∞ segue que

∆ xk → 0. Se, como resultado disso, a soma (1) ou (2) tender para um limite que não

dependa do modo da subdivisão do intervalo , chamaremos este limite de integral

definida de f (x) de x=ae x=b e será representada por:

∫a

b

f ( x )dx=¿ lim∆xk →0

∑k=1

n

f (ε k)∆ xk ¿ (3)


Na integral definida acima, f (x) é o integrando, [a , b] o intervalo de integração, a o limite inferior de integração e b o limite superior de integração.

Como primeira definição podemos dizer que, a função f (x) é Riemann integrável em [a , b] ou simplesmente integrável no intervalo finito e fechado [a , b], se o limite (3) existir e não depender da escolha da partição ou dos pontos ε k no subintervalo. Supõe-se que a < b e portanto, o limite superior de integração é maior que o limite inferior de integração.

3.3.2. Proposição 1: Se f é contínua no intervalo [a , b], então ela é integrável em [a , b].

Geometricamente, se f (x)≥ 0 para a ≤ x≥ b, o valor desta integral definida

representa a área delimitada pela curva f (x), o eixo x, e as ordenadasx=a e x=b.

Se f (x) se torna ora positiva, ora negativa, a integral definida representa a soma

algébrica das áreas acima e abaixo do eixo x, consideradas como positivas as áreas

acima do referido eixo e como negativas as áreas abaixo dele.

Gráfico 1.2. Exemplificando a área de curva calculada pela integral definida

http://4.bp.blogspot.com/-BPOqxSnNJgs/TrPPssCEl3I/AAAAAAAADQM/u5K8SExCb5M/s1600/area6.png

Fonte: Disponível em http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/11/integral-definida-conceitos-e.html Acessado em 22/11/2013

Se f é uma função integrável em [a , b], então o limite das somas à esquerda e à direita dadas por convergem para a integral definida de f em [a , b]. Portanto, podemos escrever:

∫a

b

f ( x )dx= limn→ ∞

b−an

∑k=0

n−1

f [a+¿(b−a ) k

n]¿


¿ limn → ∞

b−an

∑k=1

n

f [a+(b−a ) k

n]


Podemos observar que a integral definida depende somente da função f e dos

limites de integração, não dependendo da variável de integração. Portanto,

podemos escrever:

∫a

b

f ( x )dx=∫a

b

f ( t )dt=…=∫a

b

f (u)du


Seja f integrável no intervalo [a , b].

(i) Se a estiver no domínio de f , definimos que:

∫a

a

f ( x )dx=0


(ii) Se b for integrável em [a , b], então definimos que:

∫b

a

f ( x )dx=−∫a

b

f ( x ) dx


Se , então

∫a

b

cdx=c (b−a)


De fato, seja f ( x )=c. Sendo esta função integrável, então:

∫a

b

cdx=limn →∞

b−an

∑k=0

n−1

c=b−an

xcn= (b−a ) c


3.3.3. Exemplos

Exercícios que demonstram a aplicação da Integral Definida:

Sejam f e g funções integráveis em [a , b]. Se c é uma constante, então cf e f +g

são funções integráveis em [a , b].

Então,

(i) ∫a

b

cf (x ) dx=c∫a

b

f ( x ) dx

(ii) ∫a

b

[ f ( x )+g ( x ) ] dx=∫a

b

f ( x ) dx+∫a

b

g (x ) dx


Subdividimos o intervalo [a , b] em n subintervalos, por meio dos pontos x.k,

k=1,2 , …,n−1 escolhidos arbitrariamente. Em cada um dos novos

intervalos [a1 x1 ] , [ x1 x2 ] , …, [ xn−1 ,b ] escolhemos, também arbitrariamente, os

pontos ε 1, ε2 ,…, εn .

(i) Sendo f integrável em [a , b], então:

¿c∆ x limk →0

∑k=1

n

f (εk¿)∆ xk=c∫a

b

f ( x ) dx¿


(ii) Sendo f e g integráveis em [a , b], então:

∫a

b

[ f ( x )+g ( x ) ] dx= lim∆ x k→0

∑k=1

n

[ f ( εk )+g(εk¿)]∆ xk= lim∆ xk→0

∑k=1

n

f (εk )∆ xk+ lim∆x k →0

∑k=1

n

g ( εk ) ∆ xk=∫a

b

f ( x ) dx+¿∫a

b

g (x ) dx ¿¿


(iii) ∫0

3

x ² dx=[ x3

3 ]30=13

(33−03 )=273

=9

(iv) ∫1

2

x ² dx=[ x3

3 ]21=13

(23−13 )=13

(8−1 )=73


(v) ∫1

5

(5 x+7 ) dx=∫1

5

5 xdx+∫1

5

7dx


Não há necessidade de se integrar a parte inteira que consta dentro da integral,

consequentemente a retiramos da integral, de modo com que ela fique:

5∫1

5

xdx+7∫1

5

xdx


Depois de retirada a parte inteira da integral damos continuidade na sua

resolução, a fim de encontrar o resultado para os dois pontos estabelecidos:

5[ x2

2 ] 51+7

[ x ] 51

→52

[ x2 ] 51+7

[ x ] 51

→52

[52−12 ]+7 [5−1 ] → 52 [ 25−1 ] +7 [ 4 ] → 5 [12 ]+28=60+28=88.


3.4. Métodos de Integração

Os métodos de Integração tem como objetivo o auxiliamento nas mas variadas

técnicas para resolução dos problemas envolvendo integrais. (FLEMMMING;2009)De

fato, ´são de extrema importância quando não se tem uma integral imediata(primitiva)

para a resolução do problema em questão. As principais técnicas são a de substituição,

por partes e frações parciais,(BOULOS;2010) das quais iremos abordar uma a uma:

3.4.1. Integração por partes

3.4.1.1. Definição

O método de integração por partes se aplica particularmente bem aos produtos

de diferentes tipos de funções, tais como x cos(x ), que é um produto entre um

polinômio por uma função trigonométrica. Ao utilizar este método, a diferencial dada

deve ser pensada como um produto u ⋅dv. A parte chamada dv deve ser algo que

possamos integrar e a parte chamada u deve ser usualmente algo que é simplificado por

derivação.

Consideremos a função:

f =u ⋅ v (1)

Sua derivada será:

f '=u ' v+v ' u(2)

Também podemos escrevê-la da seguinte forma:

d (uv )=vdu+udv (3)

Da igualdade (3) temos que:

udv=d (uv)−vdu(4)

Integrando os dois membros da igualdade (4), temos:

∫ udv= ∫ d (uv )− ∫ vdu(5)

E obtemos o seguinte resultado:

∫ udv=uv−∫ vdu(6)

Quando formos realizar uma integração por partes, fazemos:

1ª parte da integral: u

2ª parte da integral (incluindo o dx): dv

3.4.1.2. Exemplos

3.4.1.2. Cálculo de Integrais aplicando a técnica da integração por partes.

Exercícios envolvendo cálculo de integrais por técnica de integração por partes.

a) ∫ x

√ x+1dx

Resolução:

Façamos u=x edv= x

√ x+1dx·, logo du=dx e v=√ x+1, e assim,

∫ x

√ x+1dx=∫u dv=uv−∫ v du=2x √x+1−∫ 2√x+1dx=2 x √ x+1−4

3( x+1 )√ x+1+C=2

3√x+1 ( x−2 )+C

b) ∫ arcsen x dx

Resolução:

Façamos u=arcsen x e dv=dx, logo du= 1

√1−x2dx e v=x , e assim,

∫ arcsen xdx=∫ udv=uv−∫ v du=x arcsen x−∫ x

√1−x2dx

Fazendo agora t=1−x ², temos que dt=−2 x , e assim,

∫ x

√1−x2dx=∫−¿ 1

21

√udu=u

12=−(1−x2)

12 ¿

Portanto,

∫ arcsen x dx=x arcsen x+√1−x ²+C

c) ∫ (2 x+1 ) sen x dx

Resolução:

Façamos u=2 x+1 e dv=sen xdx , logo du=2dxe v=−cosx, e assim,

∫ (2 x+1 ) senx dx=−(2 x+1 ) cosx+∫ 2 cosx dx=(senx−x cosx )−cosx+C

d) ∫ x ³ senx dx

Resolução:

Segue imediatamente do item c que ∫ x senx dx=senx−xcosx+C .

Façamos então u=x ³ e dv=senx dx , logo du=3 x ² dx e v=−cos x . Portanto,

∫ x ³ senx dx=−x3 cosx+3∫ x2 cos x dx .(1)

Analisando a integral ∫ x ² cosx dx , observamos que podemos calculá-la também por

partes, fazendo agora u=x ² e dv=cosx dx, logo du=2 xdxe v=sen x, e assim,

∫ x ² cosx dx=x ² se n x−2∫ x senx dx e pela observação acima, concluímos que

∫ x ² cos x dx=x ² sen x−2¿¿¿

Substituindo (2) em (1), obtemos.

∫ x ³ senx dx=−x3cos x+3 x ² senx+6x cos x−6 senx+C .

e) ∫ cossec ² xcotg xdx

Resolução:

Façamos u=cossecxe dv=cossecx cotg xdx, logo du=−cossecx cotg xdx e

v=−cossecx , e assim,

∫ cossec ² xcotg xdx=−cosse c2 x−∫ (−cossec x )−(−cossec x cotg x ) dx .

Logo,

2∫ cossec ² xcotg x dx=−cosse c2 x . Portanto, ∫ cosse c2 xcotg x dx=−cosse c2 x2

+C .

3.4.2. Integração por substituição trigonométrica


Em muitos casos, substituições trigonométricas convenientes acabam nos

levando a solução das integrais em questão. Se o integrando têm funções relacionadas as

expressões (FLEMMING;2009) :

√a ²−u ² ,√a ²=u ²ou √u ²−a ², onde a>0.


Com essas técnicas é possível fazermos uma substituição trigonométrica

adequada. No exemplo abaixo, iremos demonstrar uma das inúmeras maneiras de

resolução da integral estuda em questão, utilizando-se uma das expressões abordadas.

(i) A função integrando envolve √a ²−u ² .

Neste caso, usamos u=a senθ. Então, du=acosθ . Supondo que −π

2≤θ ≤

π2

,

temos:

√a ²−u ²=√a ²−a2 sen ² θ

= √a ²(1−sen2 θ)

¿√a ² cos ²

¿a cosθ.


3.4.2.2. Exemplos

Exercícios demonstrando a aplicação da Integração por Substituição

Trigonométrica.

(i) Considere a integral,

∫√16−x ² dx

Usando a substituição x=4 senθx , obtem-se dx=4cosθ dθ

∫√16(1−sen2 θ)4cosθ

16∫cos ²θ dθ

Equação elaborada através da ferramenta Equation, do programa Microsoft Word

A integral de Cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por

partes

u=cosθ , dv=cosθ

∫cos ² θ dθ=cosθ senθ+∫ sen ² θ dθ

∫cos ² θ dθ=cosθ senθ=∫ 1 dθ−∫cos ² dθ

∫cos ² dθ= cosθsenθ2

+ θ2


Voltando a equação original, temos:

16∫cos ²θ dθ=16 (cosθsenθ

2+ θ

2)

Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito traspondo o

ângulo θ para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4

e cateto oposto a θigual a x, consequentemente o cateto adjacente ao ângulo θ

valerá √16−x ².

Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da

função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:

cosθ=√ (16−x2 )4

senθ= x4


O ângulo θ pode ser expresso como ArcSen34

. Obtendo assim a resposta final.

(ii)∫ (dx )

x3 √ x2−16

Neste caso, usamos x¿4 sec θ. Então, dx=4 sexθ tgθ dθ. Assim:

√ x ²−16=4 tgθ , para 0 ≤ π /2 ou ≤ θ ≤3 π2

.


Logo,

∫ (dx )

x3 √ x2−16=∫ 4 secθ tgθ dθ

64 ∙ se c3 θ ∙4 ∙ tgθ

¿1

64∫dθ

sec2θ

¿1

64∫ cos² θdθ

¿1

64∫1+cos2 θ

2dθ

¿1

128∫ (1+cos2 θ ) dθ

¿1

128 (θ+12

sen2 θ)+C .

(iii) ∫cos5 xdx

Inicialmente, preparamos o integrando para a aplicação do método de

substituição, temos:

cos5=(cos2 x )2 ∙ cosx

¿ (1−se n2 x )2 cosx

¿ (1−2 se x❑2 +sen4 x ) cosx

¿cosx−2 se n2 x cosx+sen4 x cos x .

Portanto,

∫cos5 xdx=∫ (cosx−2 se n2 x cosx+sen4 cosx ) dx

¿∫cos xdx−2∫ sen ² x cosx dx+∫ sen4 x cosx dx

¿ sen x−23

se n3 x+ 15

sen5 x+C .

(iv) ∫ sen ³ 2 θ dθ .

Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, temos:

sen ³2 θ=sen ²2θ ∙2 θ

¿(1−co s2 2θ) ∙ sen2 θ

¿ sen2θ−cos2θ sen2θ .

Portanto,

∫ sen ³ 2 θ dθ=∫¿¿¿

¿∫ sen2θ dθ−∫cos ² 2θ sen2 θ dθ

¿−1/2cos2θ+ 16

cos ³ 2θ+C .

(v) ∫ sen5 x ∙ co s2 x dx .

Inicialmente preparando o integrando, temos:

sen5 xcos ² x=(sen2 x2) ² ∙ senx ∙ cos ² x

¿(1−co s2 x) ² ∙ senx ∙ cos² x

¿ (1−2co s2 x+cos4 x ) sen xcos ² x

¿cos ² x senx−2cos4 x sen x+cos6 x senx.

3.4.3. Integração por frações parciais


Algumas integrais, cujo integrando consiste numa fração racional, ou seja, uma

função do tipo:

f ( x )= p ( x )q ( x )

Onde p(x ) e q (x) são polinômios reais com q ≠ 0, são facilmente integráveis por

substituição ou por partes, ou mesmo diretamente. Mas isso nem sempre ocorre e o

integrando pode não ser facilmente calculada ou mesmo impossível por estes métodos.

Neste caso, podemos decompor a fração que define o integrando em frações

parciais.

O método consiste em reescrever a fração do integrando numa soma de outras

frações mais simples, de modo que a integração seja necessariamente mais simples. A

decomposição é feita a partir de fatoração do polinômio q(x) que aparece no

denominador, associando a cada fator linear ou quadrático irredutível uma ou mais

frações parciais.

Um polinômio em x é uma função da forma:

a0 xn+a1 xn−1+…+an−1 x+an


Onde os coeficientes são constantes, a 0≠ 0 e n é um inteiro positivo que também

pode ser nulo. Sendo assim, se dois polinômios do mesmo grau são iguais, qualquer que

seja o valor atribuído à variável nos dois polinômios são iguais.

Todo polinômio de coeficientes reais pode ser expresso, pelo menos

teoricamente, como um produto de fatores lineares reais, da forma ax+b e fatores de

segundo grau irredutíveis, da forma ax 2+bx+c .

Uma função:

F ( x )= f ( x )g ( x )

Onde f (x) e g(x ) são polinômios, é chamada de fração racional.

Se o grau de f (x) for menor que o grau de g(x ), F (x) é uma fração racional

própria; caso contrário, F (x) é denominada imprópria.

Uma fração racional imprópria pode ser expressa como a soma de um polinômio

e de uma fração racional própria. Assim:

x3

x2+1=x− x

x2+1


Toda fração racional própria pode ser expressa, pelo menos teoricamente, como

uma soma de frações mais simples: frações parciais, cujos denominadores são da forma:

(ax−b)ne (a x2+bx+c )n


Onde n é um inteiro positivo.

3.4.3.2. Exemplos

Exercícios com aplicação da Integração por fração parcial.

(i) Calcular I= ∫ x−2

x3−3 x2−x+3 dx

Temos que,

x−2x ³−3 x2−x+3

= x−2(x−1)(x+1)(x−3)

=A1

x−1+

A2

x+1+

A3

x−3

Reduzindo novamente ao mesmo denominador, vem:

x−2(x−1)(x+1)(x−3)

= (x+1 ) ( x−3 ) A1+¿¿

Eliminando os denominadores, obtemos:

x−2=( A1+ A2+ A3 ) x ²+ (−2 A1−4 A2 ) x+(−3 A1+3 A2−A3)

Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, através da resolução de

um sistema, chegamos à:

{ A1+A2+ A3=0−2 A1−4 A2=1

−3 A1+3 A2−A3=−2

Resolvendo o sistema de equações,obtemos:

A1=14

; A2=−38

; A3=18

Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:

x−2(x−1)(x+1)(x−3)

= 1/4x−1

+−3 /8x+1

+ 1/8x−3

¿ 14

∙1

x−1−3

8∙

1x+1

+18

∙1

x−3,

E, então,

I=14∫

dxx−1

−38∫

dxx+1

+1 /8∫ dxx−3

=14

ln|x−1|−38

ln|x+1|+ 18

ln|x−3|+C

3.5 Aplicações da Integral Definida – Cálculo de volume de sólidos e

comprimento de arco.

3.5.1. Definição

Aplicações da Integral Definida

Área: u.a

A=∫ f (x)dx

A=¿ ∫ f (x)dx∨¿

A=∫ f (x)dx ± ∫ g (x)dx

Comprimento do Arco: u.c

S= ∫ ₐraiz √ 1+[ f ’ (x )] ² dx

S= ∫ ₐ √ 1+[ g’( y)] ² dy

S=√ [x ’( t)] ²+[ y ’ (t)] ² dt

Volume: u.v

V=π ∫ ₐ[ f (x)] ² dx

V=π ∫ ₐ[ f (x)] ²−[ g(x )] ² dx

V=π ∫ ᵈ c [ g( y )] ² dy

V=π ∫ [ f (x )– L] ² dx

Área de Superfície: u.a

A=2 π ∫ ₐf (x)√ 1+[ f ’ (x)] ² dx

Cálculos de Volume de Sólido de Revolução

V=π ∫ ₐ[ f (x)] ² dx

V=π ∫ ₐ[ f (x)] ²−[ g(x )] ² dx

V=π ∫ ᵈc [ g( y )] ² dy

V=π ∫ [ f (x )– L] ² dx

3.5.2. Exemplos

Aplicação da Integral Definida no cálculo de volumes de sólido de revolução.

(i) A região R ,limitada pela curva y=¼x ² ,o eixo dos x e as retas x=1 e x=4,

gira em torno do eixo dos x. Encontrar volume do sólido de revolução gerado.

Aplicando a fórmula:

V=π ∫ ⁴₁(1/4 x ²)dx=¿

π /16. x ⁵ /5∨⁴₁=¿

π /80[ 4 ⁵−1 ⁵]=1.023 /80 π u . v

(ii) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x ,da

região entre o gráfico da função y=senxe o eixo dos x ,de – π /a até 3 π /2.

Aplicando a fórmula :

V=π ∫ i ntervalode 3π /2 ;−π /2(senx) ² dx=¿

π ∫ (1 /2 – ½cos2x )dx=¿

π (1/2 x−1/4 sem 2x )∨¿

π (1/2 .3 π /2 – ¼ sem(2. 3π /2)+½ . π /2+1/4 sen(2. – π /2))=¿

π (3 π /4−0+π /4+0)=π ² u . v

(iii) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x ,da

região limitada pela parábola y=¼(13−x ²) e pela reta y=½(x+5).

Aplicando a fórmula:

V=π ∫ intervalo de1 e−3 {[1/4 (13−x ²)] ²−[1/2(x+5)] ² }dx=¿

π ∫ [1/16(169−26 x ²+x ⁴)−¼(x ²+10x+25)]dx=¿

π /16 ∫ (69−40 x−30 x ²+x ⁴)dx=¿

π /16[69 x – 20 x ²−10 x ³+x ⁵/5]∨¿

π /16[69−20−10+1 /5+207−180+270+243/5]=¿

1.924 π /80=24,05 u . v

(iv) A região limitada pela parábola cúbica y=x ³, pelo eixo dos y e pela reta y=8,

gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução

obtido.

Para calcular o volume de T ,vamos aplicar a fórmula :

V=π ∫ ᵈc [ g( y )] ² dy=¿

π ∫ intervalo de8 a0 ; [(raiz cúbica)√ y ] ² dy=¿

π .3 /5 y (e levado a 5/3)∨¿

3 π /5 8(elevado a5 /3)=¿

96 π /5 u . v

(v) Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y=4, da

região limitada por y=1 /x , y=4 e x=4

Aplicando a fórmula :

V=π ∫ [ f (x )– L] ² dx=¿

π ∫ (¿ tervalo de 4 a¼)[1 /x−4 ] ² dx=¿

π ∫ [1/ x ²−8 /x+16 ]=¿

π [−1/ x−8 lnx+16 x ]∨¿

π (−1/ 4 –8 ln 4+64+4+8 ln¼−4)=¿

π (225 /4−8 ln 16)u . v

Cálculo de Comprimento de Arco

S= ∫ₐ √1+ [f’(x)]² dx

S= ∫ₐ √1+ [g’(y)]² dy

S= ∫(intervalo de t1 a t0) √[x’(t)]² + [y’(t)]² dt

3.5.3. Aplicação do cálculo, envolvendo as integrais na área da Engenharia

Civil.

Aplicação da Integral Definida no cálculo de Comprimento de Arco.

1. Calcular o comprimento do arco da curva dada por y=x (elevado á 3/2)– 4, de

A(1 ,−3) até B(4 , 4) .

S= ∫⁴₁ √ 1+ (3/2 x( elevado á ½)) ² dx=

∫⁴₁ √1 + 9/4x dx=

4/9. (1+ ⁹/₄x) (elevado a 3/2) / 3/2 |⁴₁ =

8/27 10(elevado a 3/2) – 8/27 (13/4) (elevado a 3/2)=

80√10 - 13√13 /27 u.c

2. Calcular o comprimento do arco dado por x= 1/2y³ + 1/6y – 1, 1<_ y <_ 3.

g(y) = ½ y³ + 1/6y – 1 e g’(y) = 3/2 y² - 1/6y²

Portanto:

S= ∫ ³ ₁√ 1+(³ /₂ y ²−1/6 y ²)² dy=¿

∫ ³ ₁√(9 y ⁴+1)/36 y ⁴ dy=¿

∫ ³ ₁9 y ⁴+1/6 y ² dy=¿

∫ ³ ₁(³ /₂ y ²+1/6 y (elevado a−2))dy

( ³/₂ . y ³ /3+1/6 . y (elevado a−1)/−1)∨³₁=¿

118 /9 u .c

3. Calcular o comprimento da hipociclóide,

{x=2 sen ³ t y=2cos³ t

S= ∫ (intervalo de t 1 a t 0)√ [x ’ (t )] ²+{y ’ (t)¿ ² dt=¿

∫ (intervalo de π /2 a0)√(6 sen ² t cost) ²+(−6 cos ² t sent ) ² dt=¿

∫ (intervalo de π /2 a0)√ 36 sen ⁴ t cos² t +36cos ⁴ t sen ² t dt=¿

∫ (intervalo de π /2 a0)√ 36 sem ² t cos² t dt=¿

∫ (intervalo de π /2 a0)6 sent cost dt=¿

6 . sen ² t /2∨(intervalo de π /2a 0)=¿

3 u . c

Logo, o comprimento total da hipociclóide dada é:

4 .3=12 u .c

4. Conclusão

O estudo do Cálculo Diferencial e Integral vem se aprimorando durante décadas

e mais décadas. Durante todo o semestre nos foi passado inúmeras técnicas para

resolução dos mais diversos tipos de problemas envolvendo integrais, diferenciais,

derivadas de funções, etc. Acreditamos que a base de todo o conhecimento de bases

estruturais, desde equações de física até simples nomenclaturas químicas, tudo envolva

o calculo, se não diretamente, até indiretamente. Toda a base do conhecimento das

ciências exatas tem como alicerce o Cálculo Diferencial e Integral.

Concluímos que o cálculo Diferencial e Integral é de suma importância na vida

dos estudantes e profissionais que trabalham com as ciências exatas. Estudantes de

engenharia, matemática, física, química, todos os estudantes e profissionais do

segmentos das ciências exatas tem como base de seus estudos e trabalhos o Cálculo

Diferencia e Integral.

5. Referências Bibliográficas

Piskounov, Nikolai Semenovich; Cálculo Diferencial e Integral; Edições Lopes da

Silva; 12ª edição, 2002.

FLEMMING Marília D. ;GONÇALVES Buss M.; Cálculo A ,6ª edição 2006. Editora

Pearson.

Aplicações da Integral : Comprimento de Arco – pág.335 a 339

Volume de Sólido de Revolução – pág. 346

BOULOS, Paulo; Cálculo Diferencial e Integral; vol.1; 2010. Editora Pearson.

Disponível em: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2012/06/integracao-por-fracoes-

parciais-parte-1.html Acessado em 25/11/2013.

Disponível em: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/07/metodo-de-

integracao-por-partes.html Acessado em 25/11/2013.

SILVA, M. A. et all. Dificuldades de Aprendizagem na Disciplina De Cálculo

diferencial E Integral: Estudo de Caso com Alunos do curso de Licenciatura em

Química. In V Congresso de Pesquisa e Inovação da rede norte nordeste de Educação

Tecnológica- CONNEPI, Maceió-AL, 2010.

NASCIMENTO, J.L. Matemática: conceitos e pré-conceitos. In: Educação em

Engenharia: metodologia (Pinto, D.P. e Nascimento, J.L, eds) pp 247-295, São Paulo:

Mackenzie, 2002.

Trabalho de Cálculo II

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