Trabalho de Graduação - Engenharia Aeroespacial - Universidade Federal do ABC

7/24/2019 Trabalho de Graduao - Engenharia Aeroespacial - Universidade Federal do ABC

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I

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

TRABALHO DE GRADUAO III

CLCULO DAS PROPRIEDADES TERMODINMICAS DE

ESCOAMENTO COMPRESSVEL EM BOCAL CONVERGENTE-

DIVERGENTE DE GEOMETRIA CONHECIDA

Relatrio de trabalho de graduao III apresentado ao

Curso deEngenharia Aeroespacial

Aluno: Luiz Felipe Silva Lopes

Orientador: Prof. Dr. Annibal Hetem Junior

Santo Andr

2015


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AGRADECIMENTOS

Agradeo ao Prof. Dr. Annibal Hetem Junior que me orientou na execuo deste trabalho de

graduao.


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RESUMO

Neste trabalho busca-se analisar a variao das propriedades termodinmicas de

escoamentos compressveis unidimensionais quando os mesmos se desenvolvem no interiorde um bocal convergente-divergente de geometria conhecida. Primeiramente ser

desenvolvido um modelo matemtico, com as devidas hipteses simplificadoras, a fim de se

obter uma equao diferencial que represente os efeitos fsicos que a geometria do bocal

acarreta no escoamento.

Tal equacionamento ser resolvido numericamente por meio de um algoritmo computacional

para casos de geometria de bocal que sero propostos.


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IV

SUMRIO

RESUMO ......................................................................................................................... III

1.

INTRODUO .......................................................................................................... 1

2. DEFINIES IMPORTANTES ................................................................................ 2

3. PROPRIEDADES DE ESTAGNAO ISENTRPICA LOCAL ......................... 10

4. CONDIES CRTICAS ........................................................................................ 11

5. RELAO ENTRE SEO DE REA TRANSVERSAL DO BOCAL COM O

NMERO DE MACH AO LONGO DO EIXO LONGITUDINAL .............................. 12

6.

EQUAO DIFERENCIAL QUE APRESENTA O VALOR DO NMERO DEMACH AO LONGO DO EIXO LONGITUDINAL EM FUNO DA GEOMETRIA DO

BOCAL CONVERGENTE-DIVERGENTE ................................................................... 13

7. CONDIES DE CONTORNO E CONDIES DE PROJETO APLICADAS AO

PROBLEMA .................................................................................................................... 15

8. MTODO PARA INTERPOLAO DOS PERFIS DOS BOCAIS C-D .............. 16

9. MTODO PARA RESOLUO NUMRICA DO PROBLEMA ........................ 20

10. RESULTADOS ........................................................................................................ 21

11. CDIGO EM MATLAB .......................................................................................... 28

12. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................... 36


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1. INTRODUO

O estudo de escoamentos compressveis se mostra de grande importncia emengenharia aeroespacial. Uma vez que boa parte dos escoamentos estudados em tal rea se

desenvolve em velocidades elevadas, as quais, muitas vezes, so superiores velocidade do

som no meio.

Um componente muito relevante s aplicaes de engenharia aeroespacial, no qual

ocorrem escoamentos compressveis, o bocal convergente-divergente de sistemas de

propulso.

Este tipo de bocal tem a funo de acelerar escoamentos de velocidades subsnicas

at velocidades supersnicas.

No estudo dos escoamentos que se desenvolvem no interior de tal componente

percebe-se a relao de dependncia que o nmero de Mach tem para com a variao da

seo de rea transversal ao longo do eixo longitudinal do bocal.

Dessa forma, percebe-se que o formato dos bocais de sistemas de propulso

influencia diretamente nas caractersticas e propriedades dos escoamentos. Portanto,

evidente que um bom projeto de bocal deve levar em conta, dentre outros fatores, a

otimizao da geometria do mesmo.

Neste presente trabalho, busca-se desenvolver um modelo matemtico que represente

a variao do nmero de Mach ao longo de Bocais Convergente-Divergentes de geometria

conhecida.

Para tanto, ser considerada apenas a contribuio da variao da rea das seestransversais de bocais no nmero de Mach. Sero desconsiderados os efeitos do atrito entre

o escoamento e as paredes do bocal, bem como a adio ou perda de calor e massa do

sistema.

Tais idealizaes so plausveis, uma vez que o foco deste trabalho estudar a

variao do nmero de Mach ocasionada por diferentes perfis de bocal que sero

apresentados adiante.


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2. DEFINIES IMPORTANTES

Equao de estados:

No estudo de escoamentos compressveis duas variveis adicionais so encontradas.

Portanto, mostra-se necessrio o uso de duas equaes adicionais na resoluo de problemas

relacionados a tais escoamentos. Tanto uma equao de energia quanto uma equao de

estados devem ser empregadas em modelagens de compressibilidade.

Na modelagem de escoamentos de gases reais a aproximao para o modelo de gs ideal se

mostra satisfatria. Assim a presso, temperatura e densidade de um fluido em um

escoamento podem ser relacionadas em uma equao de estados,

= (1)Sendo R uma constante definida para cada gs e a constante universal dos gases,com= 8,314 . /. = (2)


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Velocidade do som no meio:

Uma equao muito importante no estudo dos escoamentos compressveis e

consequentemente no que se refere velocidade do som em um meio. A velocidade do som

a uma funo da temperatura T assim a=a(T). Pode-se encontrar uma presso para a

velocidade do som considerando-se o seguinte modelo de propagao de onda:

Figure 1- Volume de controle se movendo junto a uma onda sonora

Em tal modelo, o volume de controle se move junto a uma onda sonora no sentido positivo

do eixo x. A presso p e a densidade sofrem um acrscimo infinitesimal no sentido de

propagao da onda. Enquanto a velocidade a de propagao da onda sonora sofre um

decrscimo infinitesimal.

Aplicando-se a equao da continuidade,

0 = .

E considerando o escoamento no regime permanente e uniforme em cada seo obtm-se,para tal volume de controle:

0 = Como 0, tem-se que:= (i)

Agora, aplicando a equao da quantidade de movimento,


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4

=

.

Utilizando as hipteses simplificadoras e sabendo que as foras de corpo so nulas e a fora

superficial tem origem na presso chega-se a seguinte equao:

= (ii)Combinando-se as equaes (i) e (ii) chega-se a seguinte expresso:

2= (iii)Como a variao da presso ocorre muito rapidamente, pode-se considerar o processo

isentrpico.

Sabe-se que = , , sendo s a entropia associada ao processo, que nesse caso semantem constante, pois, o processo considerado isentrpico.

Assim, tirando-se a diferencial total dep tem-se:

= () . () .

Logo: = . (iv)Substituindo (iv) em (iii) chega-se a seguinte equao:

= (v)Como o escoamento tratado como isentrpico tem-se que:

= (equao de processo que ser tratada na seo mais adiante)


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Derivando e manipulando-se a expresso acima e, tambm, utilizando a equao de estados

para um gs ideal se chega a:

= = Usando-se o resultado acima e a equao (v) chega-se a expresso para a velocidade do som

em funo da temperatura:

= (3)Sendo a razo entre os calores especficos a presso constante e a volume constante ,

= Nmero de Mach:

Um parmetro adimensional importante na anlise da compressibilidade o nmero de

Mach.

Tem-se:

= (4)


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Escoamento Isentrpico:

O estudo do escoamento isentrpico fundamental na modelagem da compressibilidade.

Para uma anlise preliminar ser considerado um volume de controle para um escoamentoisentrpico genrico, sendo o fluido um gs ideal. Assim tem-se a figura abaixo que

representa tal configurao de volume de controle.

Figure 2- Volume de controle para anlise de um escoamento isentrpico

Os ndices 1 e 2 diferem as propriedades na entrada e na sada do volume de controle. Rx

representa a componente de fora superficial na direo x.

T, p, , A e V representam a temperatura, presso, densidade, rea e velocidade

respectivamente.

Para tal configurao aplicam-se as leis da mecnica dos fluidos, bem como uma equao

de energia e uma equao de estados, j citada, a fim de se modelar o comportamento de talescoamento genrico atravs do volume de controle tomado.


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Equao da Continuidade:

necessrio garantir que no h perda e nem criao de massa atravs do volume de

controle. Dessa forma, o sistema deve obedecer equao da continuidade,

0 = .

Considerando-se o escoamento em regime permanente e unidimensional chega-se a seguinte

expresso simplificada para a continuidade,

= 222= = (5)Sendo a vazo mssica do escoamento em relao ao volume de controle.Equao da conservao da quantidade de movimento:

necessrio garantir que a quantidade de movimento se conserva no sistema. Portanto o

mesmo deve obedecer equao da conservao de quantidade de movimento,

=

.

Considerando-se as hipteses simplificadoras utilizadas anteriormente quando se analisava

a equao da continuidade e sabendo-se que a fora de superfcie ser devida as foras de

presso nas superfcies 1 e 2 do volume de controle tem-se,

22= 2 (6)


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Primeira lei da termodinmica:

O escoamento em questo deve obedecer a primeira lei da termodinmica,

= .

Onde: = 2 Aplicando-se as hipteses simplificadoras e considerando o escoamento como isentrpico,

no viscoso, desprezando-se os efeitos da gravidade e fazendo-se uso da expresso de

entalpia:

= tem-se uma expresso simplificada para a energia do no escoamento,

2 = 2

2 =

2 = (7)Sendo conhecida como entalpia de estagnao.

Segunda lei da termodinmica:

Como o sistema tratado como isentrpico no h variao de entropia no escoamento,

assim:

= 2= = (8)


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Equaes de processo:

Combinando-se a primeira e a segunda lei da termodinmica e atribuindo valor nulo a

variao da entropia, chegam-se as equaes de processo, para um processo isentrpico.

= (9)Sendo a variao da energia interna,o calor referente ao processo e trabalho realizado.Diferenciando-se a expresso acima se obtm:

= Sabe-se que = Ento, para um gs caloricamente perfeito: = Tambm se tem que = Substitudo tais valores na equao (9) e dividindo a equao gerada por T temos:

=

Sabe-se que: = ento: = (10)Usando-se = na equao (10) chega-se a: = (11)Integrando-se a equao (11) de um estado inicial 1 at um estado final 2, temos uma relao

para a variao de entropia:

2 = ln ln (12)Como se trata de um processo isentrpico a variao de entropia nula, logo a partir da

equao (12) e da equao de estados se chega s seguintes equaes de processo:

= = (13)


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3. PROPRIEDADES DE ESTAGNAO ISENTRPICA LOCAL

conveniente usar as propriedades de estagnao no estudo de escoamentos compressveis

como referncia para o clculo de parmetros termodinmicos. O estado de estagnao caracterizado pela velocidade local nula. Portanto, as propriedades de estagnao fazem

referncia s propriedades que seriam encontradas no escoamento caso a velocidade do

mesmo fosse desacelerada at zero. Tal desacelerao idealizada como uma desacelerao

isentrpica.

As relaes entre as temperaturas, presses e densidades de estagnao e esttica so muito

importantes na modelagem de escoamentos compressveis e relacionam-se ao nmero de

Mach local pelas seguintes expresses que so deduzidas fazendo-se uso das equaes de

continuidade e quantidade de movimento:

= 1 2 2 (14)

= 1

2 2

(15)

= 1 2 2

(16)

Sendo , e a temperatura, presso e densidade de estagnaorespectivamente.


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4. CONDIES CRTICAS

Nota-se que as propriedades de estagnao so uma ferramenta muito til na

determinao de parmetros termodinmicos do escoamento. Porm, a mesma situao noocorre em relao determinao das velocidades ao longo do escoamento, pois, sabe-se

que por definio a condio de estagnao assume velocidade nula.

Dessa forma, a condio de velocidade crtica (velocidade hipottica na qual o

nmero de Mach assume um valor unitrio) mostra-se como uma ferramenta til para se

estabelecer relaes no campo de velocidades do escoamento.

Podem-se reescrever as expresses referentes s propriedades de estagnaoisentrpica local descritas anteriormente considerando-se, agora, o nmero de Mach com um

valor unitrio. Assim:

= 1 2 = +2 (17)= 1 2

= +2

(18)

= 1 2

= +2

(19)


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5. RELAO ENTRE SEO DE REA TRANSVERSAL DO BOCAL COM O

NMERO DE MACH AO LONGO DO EIXO LONGITUDINAL

A partir da equao da continuidade e das equaes de processo chega-se a seguinte equaoque apresenta uma relao entre o valor das sees de rea transversal e o nmero de Mach

ao longo do eixo longitudinal do Bocal Convergente-Divergente.

=

+ (20)

Sendo que A* corresponde ao valor da seo de rea transversal na garganta do Bocal e A

corresponde ao valor da seo de rea em uma localidade arbitrria ao longo do eixo

longitudinal do Bocal.

Figure 3- relao entre a seo de rea transversal e nmero de Mach


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6. EQUAO DIFERENCIAL QUE APRESENTA O VALOR DO NMERO DE

MACH AO LONGO DO EIXO LONGITUDINAL EM FUNO DA

GEOMETRIA DO BOCAL CONVERGENTE-DIVERGENTE

A equao (20) tem importncia fundamental no desenvolvimento deste

trabalho. Pois, ela apresenta uma relao matemtica entre a razo das reas e o

nmero de Mach para uma posio arbitrria ao longo do eixo longitudinal do Bocal.

Contudo, tendo em vista o foco deste trabalho, o qual consiste em apresentar

um modelo matemtico que descreva a variao do nmero de Mach decorrente da

geometria de Bocais, til que seja obtida uma equao diferencial que modele o

problema. Apresentando o nmero de Mach M como uma varivel dependente darea, que por sua vez ser uma funo de x.

Dessa forma tem-se uma EDO que apresenta como resultado o nmero de

Mach em posies arbitrrias ao longo do eixo longitudinal do bocal (eixo x, como

pode se ver na figura anterior).

A fim de chegar-se a tal equao diferencial, so feitas manipulaes

matemticas na equao (20).

Segue abaixo a sequncia de manipulaes feitas a fim de obter-se a EDO.

Primeiramente chamar-se- 1 2 2 de , para ter-se equaes menosextensas e facilitar as manipulaes.

Dessa forma a equao (20) torna-se:

= 2

+ 2 (21)

Em seguida aplica-se o logaritmo natural de ambos os lados da equao acima:

= 2 + 2 (22)

Fazendo-se uso das propriedades de logaritmos chega-se a:

= +2 2 +2 (23)


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Considerando-se que a rea da garganta A* uma constante, pois a geometria do

bocal j conhecida e que tambm constante para o escoamento em questo, tem-se, aodiferenciar ambos os lados da equao (23) em relao a x o seguinte resultado:

= +2 1 2 2 (24)

Realizando-se a diferenciao do lado direito da equao acima se chega a:

= +

2[2++] 2 (25)

Tem-se que:

2= 2 (26)Usando-se (26) em (25) e rearranjando-se os termos das equaes subsequentes chega-se a

uma equao diferencial que apresenta a variao do nmero de Mach dependente da

variao do valor da seo de rea transversal do Bocal ao longo do eixo longitudinal x:

= (27)Sendo que a rea da seo transversalApode ser descrita como uma funo dexencontrando-se curvas polinomiais que interpolem o perfil do Bocal de geometria jconhecida.

Dessa forma:

A=A(x),

Como M=M(A), tem-se que: M=M(x)

Assim, pode-se escrever:

= (28)

Lembrando-se que:

= 1 2 2


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7. CONDIES DE CONTORNO E CONDIES DE PROJETO APLICADAS

AO PROBLEMA

Como a equao (28) uma equao diferencial ordinria necessita-se decondies de contorno para que a mesma possa ser resolvida.

A partir das equaes de conservao aplicadas ao escoamento no Bocal

Convergente-Divergente tem-se que:

= 1 2 (29)

Onde V e so a velocidade do escoamento e a densidade local do fluidorespectivamente.

A partir da equao (29) pode-se extrair informaes importantes a respeito

do comportamento de escoamentos compressveis.

Num bocal sabe-se que (dP/dx)


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8. MTODO PARA INTERPOLAO DOS PERFIS DOS BOCAIS C-D

Analisando-se a equao (28) percebe-se a necessidade de se escrever a seo

de rea transversal do bocal em funo de x.Para tanto, necessrio que sejam encontradas curvas polinomiais que

interpolem de maneira satisfatria os perfis dos Bocais de geometria j conhecida.

Tal interpolao permitir que o raio ao longo do Bocal seja descrito em

funo de x. Tendo-se o raio e sabendo-se que as sees de rea so circulares pode-

se, finalmente, descrev-las em funo de x.

Para realizar a interpolao sero utilizados Polinmios Cbicos, Quadrticos

e Lineares. Dessa forma sero gerados grficos comparativos apresentando o

comportamento das propriedades termodinmicas do escoamento nos diferentes

tipos de geometria de bocal propostos.

Optou-se por este tipo de interpolao polinomial mais simplificada, pois,

dessa forma, pode-se aplicar o algoritmo desenvolvido neste presente trabalho de

maneira relativamente simples. Tendo em mente que o usurio do cdigo possui

conhecimento cerca da geometria do bocal que deseja analisar.

Como j abordado na seo anterior sabe-se que o nmero de Mach na

garganta corresponde a uma unidade. Dessa forma, ser utilizado o mesmo perfil de

tubeira convergente. Assim, garante-se que independentemente da parcela divergente

escolhida, o nmero de Mach apresentar o mesmo valor na garganta do Bocal C-D.

Apenas ser variada a geometria da parte divergente da tubeira.

O perfil da tubeira convergente utilizado neste presente trabalho corresponde

a curva de um polinmio de primeiro grau rotacionada em torno do eixo x.

A seguir so apresentadas as curvas que representam a parte convergente e as

diferentes partes divergentes que sero empregadas no algoritmo desenvolvido.


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Figure 4- curva do polinmio que representa a parte convergente da tubeira

Figure 5- tubeira divergente de perfil linear


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Figure 6- tubeira divergente de perfil parablico

Figure 7- tubeira divergente de perfil cbico


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Para todas as diferentes geometrias de tubeira foram adotados:

Raio da seo de entrada re= 0,4 m

Raio da seo de sada rs= 0,32 m

Raio da garganta rg= 0,1 m

Comprimento da parte convergente Lc= 0,5 m

Comprimento da parte divergente Ld= 0,6 m


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9. MTODO PARA RESOLUO NUMRICA DO PROBLEMA

Tendo-se a equao (28) utilizou-se um mtodo numrico de resoluo de

equaes diferenciais para se encontrar o nmero de Mach ao longo do eixo x doBocal convergente-Divergente.

Foi desenvolvido um algoritmo implementado em Matlab fazendo-se uso de

ferramentas de interpolao polinomial e da funo ODE45. Tal funo consiste em

um algoritmo de Runge-Kutta numa variao 4-5 como apresentado abaixo.

Afim de realizar-se a interpolao dos polinmios, que representam os perfis

das tubeiras, o usurio do cdigo desenvolvido deve indicar pontos com coordenadas

(x,y) pertencentes a curvas que descrevem o bocal convergente-divergente

Nota-se que a condio de contorno na garganta da tubeira representa uma

condio de valor final para o equacionamento da parte convergente. Porm,

representa uma condio inicial tendo em vista o equacionamento da parte

divergente.

Desta forma necessrio utilizar-se de um artifcio matemtico para o clculo

da equao (28) na parte convergente. Tal procedimento consiste em resolver a EDOna parte convergente no sentido que vai da garganta entrada da tubeira convergente.

Assim, pode-se transformar uma condio final em uma condio inicial

facilitando-se a resoluo da EDO no MATLAB.

Tal artifcio matemtico justificado pela seguinte propriedade do clculo

integral:

=


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10. RESULTADOS

A seguir so apresentados os resultados obtidos para as diferentes geometrias debocal convergente-divergente que foram analisadas.

O perfil da parte convergente foi mantido constante nos trs casos analisados.Sendo tomado o formato cnico para a partes convergente.

Os Bocais C-D analisados foram:

Caso 1:Bocal C-D de parte convergente cnica e parte divergente tambm cnica

Caso 2:Bocal C-D de parte convergente cnica e parte divergente de perfil parablico

Caso 3:Bocal C-D de parte convergente cnica e parte divergente de perfil cbico

As diferentes geometrias e dimenses dos bocais utilizados foram apresentadas na seo 8deste relatrio.O grfico abaixo apresenta o valor de Mach ao longo do eixo x para os 3 casos conformeindicado na legenda

Figure 8- Nmero de Mach ao longo do eixo x


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Os grficos a seguir apresentam o valor da temperatura esttica, presso esttica e densidade

ao longo do eixo x para os 3 casos de Bocal C-D citados acima.

Figure 9- Temperatura Esttica ao longo do eixo x

Figure 10- Presso Esttica ao longo do eixo x


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Figure 11- Densidade ao longo do eixo x


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Abaixo apresentada uma tabela que contm os valores para o nmero de Mach ao longo

do eixo x para os perfis de tubeira propostos.

Tabela 1 Mach ao longo do eixo x para os perfis de tubeira propostos

x (m) Cubic

Profile

Parabolic

Profile

Linear

Profile x (m)

Cubic

Profile

Parabolic

Profile

Linear

Profile x (m)

Cubic

Profile

Parabolic

Profile

Linear

Profile

0,00 0,036 0,036 0,036 0,41 0,503 0,503 0,503 0,82 3,258 3,240 3,038

0,01 0,041 0,041 0,041 0,42 0,528 0,528 0,528 0,83 3,301 3,273 3,074

0,02 0,046 0,046 0,046 0,43 0,555 0,555 0,555 0,84 3,343 3,305 3,108

0,03 0,051 0,051 0,051 0,44 0,585 0,585 0,585 0,85 3,384 3,337 3,142

0,04 0,056 0,056 0,056 0,45 0,618 0,618 0,618 0,86 3,423 3,368 3,176

0,05 0,061 0,061 0,061 0,46 0,655 0,655 0,655 0,87 3,460 3,399 3,209

0,06 0,067 0,067 0,067 0,47 0,698 0,698 0,698 0,88 3,497 3,428 3,242

0,07 0,073 0,073 0,073 0,48 0,750 0,750 0,750 0,89 3,531 3,457 3,274

0,08 0,080 0,080 0,080 0,49 0,821 0,821 0,821 0,90 3,565 3,486 3,305

0,09 0,086 0,086 0,086 0,50 0,990 0,990 0,990 0,91 3,597 3,514 3,337

0,10 0,093 0,093 0,093 0,51 1,010 1,010 1,010 0,92 3,627 3,541 3,368

0,11 0,100 0,100 0,100 0,52 1,257 1,365 1,312 0,93 3,657 3,567 3,398

0,12 0,108 0,108 0,108 0,53 1,379 1,530 1,453 0,94 3,684 3,594 3,428

0,13 0,116 0,116 0,116 0,54 1,482 1,660 1,565 0,95 3,710 3,619 3,458

0,14 0,124 0,124 0,124 0,55 1,576 1,772 1,661 0,96 3,735 3,644 3,488

0,15 0,132 0,132 0,132 0,56 1,663 1,871 1,748 0,97 3,758 3,669 3,517

0,16 0,141 0,141 0,141 0,57 1,746 1,962 1,827 0,98 3,779 3,693 3,546

0,17 0,150 0,150 0,150 0,58 1,825 2,045 1,900 0,99 3,799 3,716 3,574

0,18 0,159 0,159 0,159 0,59 1,903 2,123 1,969 1,00 3,817 3,740 3,602

0,19 0,169 0,169 0,169 0,60 1,977 2,196 2,034 1,01 3,833 3,762 3,630

0,20 0,179 0,179 0,179 0,61 2,050 2,265 2,096 1,02 3,848 3,784 3,658

0,21 0,189 0,189 0,189 0,62 2,122 2,330 2,156 1,03 3,861 3,806 3,6850,22 0,200 0,200 0,200 0,63 2,191 2,393 2,213 1,04 3,872 3,827 3,712

0,23 0,211 0,211 0,211 0,64 2,260 2,452 2,267 1,05 3,882 3,848 3,738

0,24 0,222 0,222 0,222 0,65 2,326 2,509 2,320 1,06 3,889 3,869 3,765

0,25 0,234 0,234 0,234 0,66 2,392 2,564 2,372 1,07 3,895 3,889 3,791

0,26 0,246 0,246 0,246 0,67 2,455 2,617 2,421 1,08 3,898 3,909 3,817

0,27 0,259 0,259 0,259 0,68 2,518 2,668 2,469 1,09 3,900 3,928 3,843

0,28 0,272 0,272 0,272 0,69 2,579 2,717 2,516 1,10 3,899 3,947 3,868

0,29 0,285 0,285 0,285 0,70 2,639 2,765 2,562

0,30 0,299 0,299 0,299 0,71 2,698 2,811 2,606

0,31 0,314 0,314 0,314 0,72 2,755 2,856 2,650

0,32 0,329 0,329 0,329 0,73 2,811 2,899 2,692

0,33 0,345 0,345 0,345 0,74 2,866 2,941 2,734

0,34 0,362 0,362 0,362 0,75 2,920 2,982 2,7740,35 0,379 0,379 0,379 0,76 2,972 3,022 2,814

0,36 0,397 0,397 0,397 0,77 3,023 3,060 2,853

0,37 0,416 0,416 0,416 0,78 3,073 3,098 2,892

0,38 0,436 0,436 0,436 0,79 3,121 3,135 2,929

0,39 0,457 0,457 0,457 0,80 3,168 3,171 2,966

0,40 0,479 0,479 0,479 0,81 3,214 3,205 3,003

Nmero de Mach ao longo do eixo x paraos trs casos de Bocal C-D analisados




29/40

25

Abaixo apresentada uma tabela que contm os valores para a temperatura esttica ao

longo do eixo x para os perfis de tubeira propostos.

Tabela 2 Temperatura esttica ao longo do eixo x para os perfis de tubeira propostos

x (m) Cubic

Profile

Parabolic

Profile

Linear

Profile x (m)

Cubic

Profile

Parabolic

Profile

Linear

Profile x (m)

Cubic

Profile

Parabolic

Profile

Linear

Profile

0,00 2773,150 2773,150 2773,150 0,41 2640,500 2640,500 2640,500 0,82 888,100 895,100 974,600

0,01 2773,000 2773,000 2773,000 0,42 2627,500 2627,500 2627,500 0,83 872,300 882,800 960,100

0,02 2772,700 2772,700 2772,700 0,43 2612,800 2612,800 2612,800 0,84 857,400 870,900 946,000

0,03 2772,500 2772,500 2772,500 0,44 2596,100 2596,100 2596,100 0,85 843,200 859,500 932,500

0,04 2772,200 2772,200 2772,200 0,45 2576,900 2576,900 2576,900 0,86 829,800 848,600 919,400

0,05 2771,800 2771,800 2771,800 0,46 2554,500 2554,500 2554,500 0,87 817,100 838,000 906,700

0,06 2771,400 2771,400 2771,400 0,47 2527,700 2527,700 2527,700 0,88 805,200 827,900 894,400

0,07 2770,900 2770,900 2770,900 0,48 2493,300 2493,300 2493,300 0,89 793,900 818,100 882,400

0,08 2770,400 2770,400 2770,400 0,49 2444,500 2444,500 2444,500 0,90 783,200 808,700 870,900

0,09 2769,800 2769,800 2769,800 0,50 2319,300 2319,300 2319,300 0,91 773,200 799,600 859,600

0,10 2769,100 2769,100 2769,100 0,51 2303,800 2303,800 2303,800 0,92 763,800 790,900 848,700

0,11 2768,300 2768,300 2768,300 0,52 2107,600 2021,100 2063,900 0,93 755,000 782,400 838,100

0,12 2767,400 2767,400 2767,400 0,53 2009,800 1889,500 1950,500 0,94 746,800 774,300 827,800

0,13 2766,500 2766,500 2766,500 0,54 1927,200 1788,100 1862,000 0,95 739,100 766,400 817,800

0,14 2765,400 2765,400 2765,400 0,55 1853,700 1704,000 1787,400 0,96 732,000 758,700 808,100

0,15 2764,200 2764,200 2764,200 0,56 1786,100 1631,400 1722,100 0,97 725,400 751,300 798,600

0,16 2762,900 2762,900 2762,900 0,57 1723,400 1567,500 1663,700 0,98 719,300 744,200 789,400

0,17 2761,500 2761,500 2761,500 0,58 1664,600 1510,400 1610,800 0,99 713,800 737,300 780,400

0,18 2759,900 2759,900 2759,900 0,59 1609,100 1459,000 1562,300 1,00 708,800 730,600 771,600

0,19 2758,200 2758,200 2758,200 0,60 1556,600 1412,200 1517,700 1,01 704,200 724,100 763,000

0,20 2756,300 2756,300 2756,300 0,61 1506,800 1369,200 1476,300 1,02 700,200 717,800 754,700

0,21 2754,200 2754,200 2754,200 0,62 1459,700 1329,700 1437,700 1,03 696,700 711,700 746,6000,22 2752,000 2752,000 2752,000 0,63 1415,000 1293,200 1401,600 1,04 693,700 705,800 738,600

0,23 2749,500 2749,500 2749,500 0,64 1372,500 1259,300 1367,600 1,05 691,200 700,100 730,900

0,24 2746,800 2746,800 2746,800 0,65 1332,200 1227,700 1335,700 1,06 689,200 694,600 723,300

0,25 2743,900 2743,900 2743,900 0,66 1293,900 1198,100 1305,500 1,07 687,700 689,200 715,900

0,26 2740,700 2740,700 2740,700 0,67 1257,600 1170,500 1276,900 1,08 686,700 683,900 708,700

0,27 2737,300 2737,300 2737,300 0,68 1223,000 1144,500 1249,800 1,09 686,300 678,900 701,700

0,28 2733,500 2733,500 2733,500 0,69 1190,200 1120,000 1224,000

0,29 2729,400 2729,400 2729,400 0,70 1159,100 1096,900 1199,500

0,30 2725,000 2725,000 2725,000 0,71 1129,600 1075,000 1176,100

0,31 2720,200 2720,200 2720,200 0,72 1101,500 1054,400 1153,800

0,32 2715,000 2715,000 2715,000 0,73 1074,800 1034,800 1132,400

0,33 2709,400 2709,400 2709,400 0,74 1049,500 1016,100 1111,900

0,34 2703,200 2703,200 2703,200 0,75 1025,500 998,400 1092,300

0,35 2696,500 2696,500 2696,500 0,76 1002,600 981,600 1073,500

0,36 2689,200 2689,200 2689,200 0,77 981,000 965,500 1055,400

0,37 2681,200 2681,200 2681,200 0,78 960,400 950,100 1038,000

0,38 2672,500 2672,500 2672,500 0,79 940,900 935,500 1021,300

0,39 2662,900 2662,900 2662,900 0,80 922,400 921,400 1005,100

0,40 2652,300 2652,300 2652,300 0,81 904,800 908,000 989,600

Temperatura esttica ao longo do eixo x

para os casos de Bocal C-D analisados

[K]

Temperatura esttica a o longo do eixo

x para os ca sos de Bocal C-D analisados

[K]

Temperatura esttica a o longo do eixo

x para os ca sos de Bocal C-D analisados

[K]


30/40

26

Abaixo apresentada uma tabela que contm os valores para a presso esttica ao longo do

eixo x para os perfis de tubeira propostos.

Tabela 3 Presso esttica ao longo do eixo x para os perfis de tubeira propostos

x(m) Cubic

Profile

Parabolic

Profile

Linear

Profile x(m)

Cubic

Profile

Parabolic

Profile

Linear

Profile x(m)

Cubic

Profile

Parabolic

Profile

Linear

Profile

0,00 13435000 13959000 12436000 0,41 11318000 11759000 10476000 0,82 250000 267000 320000

0,01 13432000 13956000 12433000 0,42 11123000 11557000 10295000 0,83 235000 254000 304000

0,02 13428000 13952000 12429000 0,43 10907000 11332000 10096000 0,84 221000 242000 288000

0,03 13424000 13947000 12425000 0,44 10666000 11082000 9872000 0,85 208000 231000 274000

0,04 13418000 13942000 12420000 0,45 10392000 10797000 9619000 0,86 197000 221000 261000

0,05 13412000 13936000 12415000 0,46 10079000 10472000 9329000 0,87 187000 212000 249000

0,06 13405000 13928000 12408000 0,47 9714000 10093000 8991000 0,88 177000 203000 237000

0,07 13397000 13920000 12401000 0,48 9258000 9619000 8569000 0,89 169000 195000 226000

0,08 13388000 13910000 12392000 0,49 8640000 8977000 7997000 0,90 161000 187000 2160000,09 13378000 13900000 12383000 0,50 7187000 7468000 6653000 0,91 154000 180000 206000

0,10 13366000 13888000 12372000 0,51 7022000 7295000 6499000 0,92 147000 173000 197000

0,11 13353000 13874000 12360000 0,52 5141000 4613000 4422000 0,93 141000 167000 189000

0,12 13339000 13859000 12346000 0,53 4354000 3645000 3629000 0,94 136000 161000 181000

0,13 13323000 13842000 12331000 0,54 3759000 3005000 3085000 0,95 131000 155000 173000

0,14 13305000 13824000 12315000 0,55 3281000 2539000 2673000 0,96 127000 150000 166000

0,15 13285000 13803000 12296000 0,56 2881000 2180000 2347000 0,97 123000 145000 159000

0,16 13263000 13780000 12276000 0,57 2542000 1895000 2080000 0,98 119000 140000 153000

0,17 13239000 13755000 12254000 0,58 2251000 1665000 1857000 0,99 116000 135000 147000

0,18 13212000 13728000 12229000 0,59 1999000 1474000 1669000 1,00 113000 131000 141000

0,19 13183000 13698000 12203000 0,60 1780000 1315000 1508000 1,01 111000 127000 136000

0,20 13152000 13665000 12173000 0,61 1589000 1181000 1369000 1,02 109000 123000 131000

0,21 13117000 13629000 12141000 0,62 1422000 1066000 1248000 1,03 107000 120000 126000

0,22 13079000 13590000 12106000 0,63 1275000 967000 1141000 1,04 105000 116000 121000

0,23 13038000 13547000 12068000 0,64 1146000 881000 1048000 1,05 104000 113000 117000

0,24 12994000 13501000 12027000 0,65 1032000 806000 964000 1,06 103000 110000 113000

0,25 12946000 13451000 11983000 0,66 932000 740000 890000 1,07 102000 107000 109000

0,26 12893000 13396000 11934000 0,67 844000 682000 824000 1,08 102000 104000 105000

0,27 12836000 13337000 11882000 0,68 765000 630000 764000 1,09 101000 101000 101000

0,28 12775000 13273000 11825000 0,69 696000 584000 710000

0,29 12709000 13204000 11763000 0,70 634000 543000 662000

0,30 12637000 13130000 11697000 0,71 579000 506000 618000

0,31 12559000 13049000 11625000 0,72 531000 473000 578000

0,32 12475000 12962000 11547000 0,73 487000 443000 541000

0,33 12385000 12868000 11463000 0,74 448000 416000 508000

0,34 12286000 12766000 11372000 0,75 413000 391000 477000

0,35 12180000 12655000 11274000 0,76 382000 368000 449000

0,36 12065000 12536000 11167000 0,77 354000 348000 423000

0,37 11940000 12406000 11052000 0,78 328000 329000 399000

0,38 11804000 12265000 10926000 0,79 306000 311000 377000

0,39 11656000 12111000 10789000 0,80 285000 295000 356000

0,40 11495000 11943000 10640000 0,81 267000 280000 338000

Presso es ttica ao longo do eixo x


[Pa]



[Pa]



[Pa]


31/40

27

Abaixo apresentada uma tabela que contm os valores para a densidade do gs ao longo

do eixo x para os perfis de tubeira propostos.

Tabela 4 Densidade do gs ao longo do eixo x para os perfis de tubeira propostos


32/40

28

11. CDIGO EM MATLAB

function f = equationConv(x,M)

%condies iniciaisgama=1.4;

%definio dos coeficientes do polinmio que descreve o raio dassees de%rea ao longo da tubeira CONVERGENTE

%entrada de dados, pontos que descrevem a parte convergente do perfil%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

xdotsConv= [0 0.5];ydotsConv= [0.4 0.1];%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

coef=polyfit(xdotsConv,ydotsConv,1);

%coeficientes do polinmio da derivada do raio em relao a x

coefderiv=polyder(coef);

%valor de r ao longo da tubeira

r=polyval(coef,0:0.01:max(xdotsConv));

%valor da derivada de r ao longo de x

drdx=polyval(coefderiv,0:0.01:max(xdotsConv));

f = -1*(-M*(1+ (gama-1)*M^2/2)/(1-M^2)*((2/(coef(1)*x + coef(2)+))*(coefderiv(1)));

end


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29

functionf = equationDivergCubic(x,M)


%definio dos coeficientes do polinmio que descreve o raio das sees de%rea ao longo da tubeira DIVERGENTE

%entrada de dados, pontos que descrevem a parte divergente do perfil%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%xdotsDiver= [0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1];

ydotsDiver= [0.1 0.1299 0.1743 0.2276 0.2778 0.30 0.32];%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

coef=polyfit(xdotsDiver,ydotsDiver,3);




r=polyval(coef,0:0.01:max(xdotsDiver));


drdx=polyval(coefderiv,0:0.01:max(xdotsDiver));

f = -M*(1+ (gama-1)*M^2/2)/(1-M^2)*((2/(coef(1)*x^3 + coef(2)*x^2 +coef(3)*x + coef(4)))*(coefderiv(1)*x^2 + coefderiv(2)*x + coefderiv(3)));

end


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30

functionf = equationDivergParab(x,M)



%entrada de dados, pontos que descrevem a parte divergente do perfil%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%xdotsDiver= [0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1];

ydotsDiver= [0.1 0.1392 0.1841 0.2258 0.2643 0.30 0.32];%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%








f = -M*(1+ (gama-1)*M^2/2)/(1-M^2)*((2/(coef(1)*x^2 + coef(2)*x +coef(3)))*(coefderiv(1)*x + coefderiv(2)));end


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functionf = equationDivergLinear(x,M)



%entrada de dados, pontos que descrevem a parte divergente do perfil%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%xdotsDiver= [0.5 1.1];

ydotsDiver= [0.1 0.32];%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%








f = -M*(1+ (gama-1)*M^2/2)/(1-M^2)*((2/(coef(1)*x +coef(2)))*(coefderiv(1)));

end


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%SOLUO DA EDO PARA A PARTE CONVERGENTE%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%passo=0.01;compConv=.5;

compTOT=1.1;

[xconv,MACHconv]=ode45('equationConv',0:passo:compConv,.99);

%guardar valores que sero posteriormente usados ;)

machBACKUP=MACHconv;

%preparao para o loop que inveter a posio dos valores do vetor com os%numeros de MACH --> MACH(1)=MACH(51) MACH(50)=MACH(2)...

maxFOR=(compConv/passo)+1;

contCresc=1;

contDecresc=(compConv/passo)+1;

%"sacada" para inverter o vetor que contm os n de MACH ;)

forcont=1:1:floor(maxFOR/2)

MACHconv(contCresc)= MACHconv(contDecresc);

%atualizao dos contadores

contCresc=contCresc+1;contDecresc=contDecresc-1;

end

contCresc=contCresc+1;contDecresc=contDecresc-1;

for cont=floor((maxFOR/2)+2):1:maxFOR

MACHconv(contCresc)= machBACKUP(contDecresc);

%atualizao dos contadorescontCresc=contCresc+1;contDecresc=contDecresc-1;

end


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%SOLUO DA EDO PARA A PARTE DIVERGENTE%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

passo=0.01;

[xdiver,MACHdiverCubic]=ode45('equationDivergCubic',(compConv+passo):passo:1.1,1.01);

[xdiver,MACHdiverParab]=ode45('equationDivergParab',(compConv+passo):passo:1.1,1.01);

[xdiver,MACHdiverLinear]=ode45( 'equationDivergLinear',(compConv+passo):passo:1.1,1.01);

%Vetor que junta a parte convergente com a parte divergente

MACHCubic=[MACHconv;MACHdiverCubic];

MACHParab=[MACHconv;MACHdiverParab];

MACHLinear=[MACHconv;MACHdiverLinear];

%Plotagem dos grficos de Nmero de Mach para perfil cbico, parablico e%linear na tubeira divergente

figure(1)

plot(0:0.01:compTOT,MACHCubic,'r',0:0.01:compTOT,MACHParab,'g',0:0.01:compTOT,MACHLinear,'b')hold on;xlabel('Comprimento do tubo (m)')ylabel('Nmero de Mach')


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%ClCULOS PARA:%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1) TEMPERATURA ESTTICA% 2) PRESSO ESTTICA

% 3) DENSIDADE%% *AO LONGO DO EIXO X*%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%clculo da presso de entrada, considerando, idealmente,%que a presso de sada igual presso atmosferica (1.01325*10^5 Pa)%adotou-se uma temperatura de 2773.15 K na entrada da tubeira%adotou-se R=287 Nm/KgK para o ar

gama=1.4;Rar=287;

Psaida=1.01325*(10^5);Tent=2773.15;

TsaidaCubic=((1+ (gama-1)*MACHCubic(1)^2/2)/(1+ (gama-1)*MACHCubic(compTOT/passo)^2/2))*Tent; TsaidaParab=((1+ (gama-1)*MACHParab(1)^2/2)/(1+ (gama-1)*MACHParab(compTOT/passo)^2/2))*Tent; TsaidaLinear=((1+ (gama-1)*MACHLinear(1)^2/2)/(1+ (gama-1)*MACHLinear(compTOT/passo)^2/2))*Tent;

%usando-se P=densidade*R*T temos:

densaidaCubic=Psaida/(Rar*TsaidaCubic); densaidaParab=Psaida/(Rar*TsaidaParab); densaidaLinear=Psaida/(Rar*TsaidaLinear);

i=1;forcont=1:1:compTOT/passo

PCubic(i)=(((1+ (gama-1)*MACHCubic(compTOT/passo)^2/2)/(1+ (gama-1)*MACHCubic(i)^2/2))^(gama/(gama-1)))*Psaida;

TCubic(i)=(((1+ (gama-1)*MACHCubic(compTOT/passo)^2/2)/(1+ (gama-1)*MACHCubic(i)^2/2)))*TsaidaCubic;

denCubic(i)=(((1+ (gama-1)*MACHCubic(compTOT/passo)^2/2)/(1+ (gama-1)*MACHCubic(i)^2/2))^(1/(gama-1)))*densaidaCubic;


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

PParab(i)=(((1+ (gama-1)*MACHParab(compTOT/passo)^2/2)/(1+ (gama-1)*MACHParab(i)^2/2))^(gama/(gama-1)))*Psaida;

TParab(i)=(((1+ (gama-1)*MACHParab(compTOT/passo)^2/2)/(1+ (gama-1)*MACHParab(i)^2/2)))*TsaidaParab;

denParab(i)=(((1+ (gama-1)*MACHParab(compTOT/passo)^2/2)/(1+ (gama-1)*MACHParab(i)^2/2))^(1/(gama-1)))*densaidaParab;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

PLinear(i)=(((1+ (gama-1)*MACHLinear(compTOT/passo)^2/2)/(1+ (gama-

1)*MACHLinear(i)^2/2))^(gama/(gama-1)))*Psaida;

TLinear(i)=(((1+ (gama-1)*MACHLinear(compTOT/passo)^2/2)/(1+ (gama-1)*MACHLinear(i)^2/2)))*TsaidaLinear;

denLinear(i)=(((1+ (gama-1)*MACHLinear(compTOT/passo)^2/2)/(1+ (gama-1)*MACHLinear(i)^2/2))^(1/(gama-1)))*densaidaLinear;

i=i+1;

end

%Plotagem dos grficos

figure(2)plot(0:0.01:(compTOT-passo),PCubic, 'r',0:0.01:(compTOT-passo),PParab,'g',0:0.01:(compTOT-passo),PLinear, 'b')hold on;xlabel('Comprimento do tubo (m)')ylabel('Presso Esttica (Pa)')

figure(3)plot(0:0.01:(compTOT-passo),TCubic, 'r',0:0.01:(compTOT-passo),TParab,'g',0:0.01:(compTOT-passo),TLinear, 'b')

hold on;xlabel('Comprimento do tubo (m)')ylabel('Temperatura Esttica (K)')

figure(4)plot(0:0.01:(compTOT-passo),denCubic, 'r',0:0.01:(compTOT-passo),denParab,'g',0:0.01:(compTOT-passo),denLinear, 'b')hold on;xlabel('Comprimento do tubo (m)')ylabel('Densidade (Kg/m)')


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12. BIBLIOGRAFIA

ANDERSON, John. FUNDAMENTALS OF AERODYNAMICS. 2. ed. NewYork: Mcgraw-hill, Inc., 1991. 772 p.

FOX, Robert; MCDONALD, Alan. Introduction to Fluid Mechanics. 5. ed. WestLafayette: John Wiley &sons, Inc, 1998. 504 p.

SHAPIRO, Ascher. The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid

Flow. Boston: The Ronald Press Company, 1953.

Van Wylen, G. J. Fundamentos da termodinmica clssica. So Paulo: Edgard

Blcher, 2003.

Trabalho de Graduação - Engenharia Aeroespacial - Universidade Federal do ABC

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