Trabalho de Vibrações 26 de Novembro de 2010, Foz do Iguaçu, PR

ACELERÔMETRO PIEZELÉTRICO, MODELAGEM MATEMÁTICA E

SIMULAÇÃO

Diego Baratto Paul, diegopaul@hotmail.com

Francisco Aquino, chico_aquino@hotmail.com

Mikhail T. Soares, mikhailts@hotmail.com

Tiago Sartor, tiago_sartor@hotmail.com Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Engenharia Mecânica, 4º Ano.

Resumo: Uma das ferramentas amplamente utilizadas na área de vibração, como ferramenta de aquisição de sinais no

tempo, são os acelerômetros piezelétricos. Este equipamento consiste de uma massa sísmica acoplada a elementos

piezelétricos, que ao serem cisalhados produzem uma carga elétrica de forma proporcional. A carga elétrica obtida é

diretamente proporcional ao deslocamento relativo da massa sísmica em relação à base e o equipamento pode ser

modelado com um sistema massa-mola-amortecedor de primeira ordem. A modelagem em software Scilab Scicos de

um sistema baseado no acelerômetro 4370 da Brüel & Kjaer permitiu, assim como esperado, identificar uma banda de

utilização adequada para este equipamento, sendo que esta ocorre em regiões onde o coeficiente de sensibilidade se

mantém praticamente constante. Utilizar o acelerômetro para medir sinais de freqüências mais baixa justifica também

pelo fato de que sua freqüência de ressonância é extremamente alta e este fato alavanca o surgimento de equipamentos

deste tipo, com freqüências naturais cada vez mais altas.

Palavras-chave: vibrações, acelerômetro, modelagem.

1. INTRODUÇÃO

Os acelerômetros, ou transdutores sísmicos são sensores utilizados para aquisitar sinais temporais oscilatórios,

periódicos ou não, a fim de detectar, por exemplo, desbalanceamentos ou desalinhamentos em mancais. O principio

básico da transdução de um sinal de aceleração é medir a força exercida por uma massa sísmica sobre elementos

piezelétricos, portanto estes instrumentos detectam basicamente o movimento relativo entre uma superfície e a massa

sísmica.

Após a década de 50, quando foram desenvolvidas as cerâmicas piezelétricas, o transdutor de vibrações

utilizando este material como elemento sensor vem sendo amplamente utilizado para medir vibrações. Este tipo de

acelerômetro converte o sinal oscilatório, atuante na base do mesmo, em sinais elétricos, tendo como principais

características uma alta sensibilidade e a abrangência de extensa banda de freqüências. Na engenharia as aplicações

deste equipamento são diversas, como na detecção de desbalanceamentos, desalinhamentos, desgaste de rolamentos,

falhas elétricas ou de lubrificação, no acionamento de airbags, para monitorar vibrações em estruturas expostas a cargas

dinâmicas e para medir a amplitude de abalos sísmicos, conforme Yacubsohn (1983).

Este trabalho apresenta uma explanação relacionada a acelerômetros piezelétricos, seu principio de

funcionamento, modelagem matemática e resolução numérica (através do software Scilab Scicos) da equação

governante do sistema, sendo esta baseada nas características do acelerômetro 4370, produzido pela empresa Brüel &

Kjaer.

2. DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO

2.1. Princípio de funcionamento do acelerômetro piezelétrico

Um acelerômetro piezelétrico consiste basicamente de uma massa sísmica acoplada a elementos piezelétricos, que

quando submetidos a esforços produzem uma carga elétrica.

A massa sísmica é o elemento sensível sobre o qual haverá maior efeito da aceleração a que o equipamento for

submetido e os componentes piezelétricos são elementos sensores. Quando este sistema é submetido a uma aceleração a

inércia da massa sísmica produz uma força sobre os elementos sensores, resultando na geração de um sinal elétrico

proporcional a esta força e conseqüentemente proporcional à aceleração que atua sobre a massa sísmica (Figura 1). Este

comportamento é previsto pela segunda lei de Newton, (DIAS, 2010).

Figura 1. Princípio de funcionamento de um acelerômetro piezelétrico (Fonte: MMF).

A carga elétrica produzida quando ha tensão aplicada ao material piezelétrico é uma característica intrínseca do

mesmo, sendo esta decorrente de seu arranjo cristalino. Quando a estrutura cristalina deste material é submetida a uma

distorção, há um rearranjo das cargas presentes na banda de condução, de forma a induzir uma diferença de potencial

entre suas superfícies. O baixo custo e a alta sensibilidade geradas por estes materiais, os tornam um excelente meio de

transdução de sinais, segundo Mazarini (2009).

Os acelerômetros piezelétricos normalmente são projetados para aquisitar um sinal no tempo em uma única direção,

sendo esta caracterizada pelo eixo de sensibilidade ou eixo sensível. Para o acelerômetro piezelétrico este eixo é

paralelo ao poste de sustentação e perpendicular à superfície de referência, ou face de montagem. No eixo de

sustentação estão fixados três elementos piezelétricos, sobre os quais se encontram os elementos sísmicos (Figura 2).

Figura 2. Componentes principais de um acelerômetro piezelétrico (Fonte: Brüel & Kjaer).

A carcaça destes equipamentos geralmente é feita em aço inox, sendo esta submetida a diversos tratamentos

químicos, visando torná-la inerte aos mais diversos meios corrosivos encontrados na indústria. Na parte inferior da

carcaça encontra-se um furo roscado utilizado para a fixação do acelerômetro na região de medição, sendo que para a

fixação com parafuso recomenda-se um torque de 1.8 Nm.

2.2. Modelagem matemática

O acelerômetro piezelétrico pode ser modelado por um sistema massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade,

com fator de amortecimento muito pequeno, sendo esta uma característica intrínseca do poste de sustentação (Figura 3).

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Figura 3. Modelo esquemático do acelerômetro.

Considerando que a tensão de saída do equipamento será proporcional a força atuante sobre a massa sísmica

em uma faixa adequada, a tensão de saída será proporcional à força atuante. Deste modo, podemos escrever:

(1)

Isolando :

(2)

Ou seja, considerando o domínio do tempo e uma faixa linear de operação, a tensão de saída será diretamente

proporcional a aceleração relativa da massa sísmica, sendo C0 uma constante, geralmente fornecida pelo fabricante do

equipamento.

Considerando que a tensão de saída seria proporcional ao deslocamento relativo da massa sísmica em relação à

base, então:

(3) Então, a equação diferencial que modela este sistema seria:

(4)

Considerando uma excitação na base do tipo senoidal, com fase igual a zero:

(5)

Considerando um regime permanente de operação e buscando um método alternativo de solução, podemos

estimar soluções do tipo:

(6)

(7)

(8)

Desta forma as funções de transferência, considerando a excitação externa como deslocamento, força e

aceleração, respectivamente, seriam:

(9)

(10)

(11)

Para obter as equações acima, além de considerar as condições iniciais nulas, temos que:

(12)

(13)

(14)

Considerando a equação (9), a solução no domínio do tempo para este sistema, seria:

(15)

Onde:

(16)

A equação (16) apresenta o atraso de fase , que é igual a 180 para , assim o deslocamento registrado Z(t)

está atrasado em relação ao deslocamento que está sendo medido por um tempo .

2.3 Função de resposta em freqüência

Os sistemas mecânicos costumam ter a maior parte de sua energia vibratória contínua numa faixa de freqüência

relativamente estreita que vai de 10 Hz a 1000 Hz, porém as medições geralmente são feitas até um nível baixo, em

torno de 10 Hz, mesmo porque é comum haver componentes de vibração interessantes nesta faixa. Por conseguinte,

deve-se ter a certeza, ao escolher um acelerômetro, de que a faixa de freqüência do aparelho realmente abrange a faixa

que interessa.

Na prática, a faixa de freqüência na qual o acelerômetro fornece a saída real é limitada no lado de baixa

freqüência por dois fatores. O primeiro é o limite inferior de corte de freqüência do amplificador que o segue.

Normalmente, isso não constitui problema porque esse limite geralmente é bem inferior a 1 Hz. O outro fator é o efeito

das oscilações da temperatura ambiente às quais o acelerômetro é sensível. Com os modernos acelerômetros do tipo de

cisalhamento, esse efeito é reduzido ao mínimo, permitindo medições até abaixo de 1 Hz em ambientes normais. O

limite superior é determinado pela freqüência de ressonância do sistema massa-mola do próprio acelerômetro. Na

pratica o limite superior de freqüência geralmente gira em torno de 1/3 da freqüência de ressonância. Nesta faixa o erro

de medição gira em torno de ± 10%.

No caso de acelerômetros pequenos, em que a massa é reduzida, a freqüência de ressonância pode ser até 180

kHz. Já para os aparelhos um pouco maiores, de saída mais alta e uso geral, as freqüências de ressonância de 20 a 30

kHz são comuns. Para o acelerômetro em questão, modelo 4730 o fabricante (Brüel & Kjaer) especifica uma faixa de

utilização entre 0.1 a 4800 Hz para ± 10% de erro na medida e uma faixa de 0.2 a 3500 Hz para ± 5% de erro. Esta faixa

de utilização recomenda é a faixa na qual:

(17)

Ou seja, é a faixa na qual a aceleração medida é aproximadamente igual à aceleração verdadeira, sendo que

esta faixa praticamente não apresenta atraso de fase no sinal. Atualmente, é comum na indústria utilizar-se da escala em

Decibéis (dB) para representar a sensibilidade do equipamento em função da freqüência do sinal aquisitado, de forma

que:

(18)

A figura 4 apresenta a função de resposta em freqüência (FRF) do acelerômetro piezelétrico 4370, fornecida

pelo fabricante.

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Figura 4. Função de resposta em freqüência do acelerômetro 4730 da Brüel & Kjaer.

Como o acelerômetro é um sistema do tipo massa-mola, é possível alterar os limites de freqüência do sistema de

medição apenas variando a massa sísmica. Reduzindo a massa obtêm-se freqüências maiores, porém a sensibilidade do

acelerômetro é reduzida, assim como para o aumento da massa a sensibilidade é maior, mas os limites de freqüência são

reduzidos, conforme MMF (2003).

A sensibilidade atingida pelo equipamento no ponto de ressonância depende de seu fator de amortecimento,

portanto, o fator de amortecimento utilizado nas simulações a frente apresentadas fora estimado variando-se o

amortecimento ζ até que a FRF apresentasse um pico na mesma posição da figura 4.

2.4 Montagem do acelerômetro

O método de montagem do acelerômetro no ponto a ser medido constitui um dos fatores mais delicados para se

obter resultados exatos na prática. Uma colocação mal feita resulta numa diminuição da freqüência útil do acelerômetro.

A maioria dos fabricantes recomenda a montagem com um pino roscado, ou com base magnética, sendo o equipamento

preso a uma superfície plana, sendo as tolerâncias de planeza especificados pelo fabricante.

A resposta em freqüência dos dispositivos é conseqüência direta da rigidez e amortecimento do dispositivo como

um todo, portanto o método de colagem tem grandes influências sobre o comportamento do sistema. Estas não são

controladas diretamente e a bibliografia leva a entender que seu controle apóia-se em bases puramente empíricas. A

rigidez resultante é fruto da geometria da barra, do acoplamento e do amortecimento dependente da atmosfera que

rodeia a massa sísmica. Por isso o método de fixação do sensor ao sistema pode interferir diretamente na freqüência de

resposta e na faixa de medição do acelerômetro (Figura 5).

Figura 1. Influência da colagem na função de resposta em freqüência (Fonte: Menna 2007).

É fundamental garantir que as leituras de vibração realizadas sobre a carcaça do equipamento sejam tomadas

próximas do sinal a ser medido, estes cuidados buscam evitar alterações na função de transferência e aproveitar ao

máximo a faixa de freqüência disponibilizada pelo equipamento

2.5 Simulação numérica

O sistema fora simulado no software Scilab Scicos, com base no equacionamento apresentado, nos parâmetros

fornecidos pelo fabricante (tabela 1).

Tabela 1. Características do acelerômetro 4730 da Brüel & Kjaer.

Grandeza Unidade Valor

Sensibilidade de carga

pC/g 98 2%

Freqüência de ressonância

Hz 16000

Banda de utilização recomendada Hz 0.1 a 4800

Freqüência de ressonância transversal Hz 10000

Temperatura de utilização C -74 a 250

Sensibilidade de tensão Vs2/m 0.008

Massa total g 54

Cotação R$ 3350

Os demais parâmetros necessários para a simulação foram estimados segundo critérios apresentados a seguir.

O gráfico da função de resposta em freqüência foi obtido variando a freqüência do sinal na equação (9) através da

função „rampa‟ do Scicos (Figura 6).

Figura 6. Função de resposta em freqüência obtida por simulação numérica.

Devido à falta de informações relacionada à massa sísmica do equipamento e ao fator de amortecimento ζ, a

massa sísmica foi estimada com base em equipamentos similares encontrados na bibliografia. Estando a massa sísmica

definida e sabendo que o valor da sensibilidade de pico para a freqüência de ressonância depende de ζ, o mesmo fora

variado até que a FRF da simulação atingisse o mesmo valor de pico apresentado pelo fabricante. Desta forma a curva

almejada foi obtida para um valor de ζ = 0.016 e m = 16 g.

O suposto sinal a ser aquisitado é um sinal de vibração apresentado por um mancal de rolamento de rolos,

sendo que este gira a 1800 RPM, com uma oscilação do tipo senoidal e uma amplitude de sinal de 1.5 mm. A este sinal

fora somado também um sinal randômico, simulando a existência de ruídos externos (Figura 7).

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Figura 2. Aceleração na base do sistema (esquerda) e tensão de saída registrada pelo acelerômetro (direita), para uma

excitação senoidal com ruído.

O gráfico a esquerda da figura 7 ilustra o sinal de aceleração com ruído, inserido na base do sistema e o gráfico

a direta ilustra o sinal de tensão que supostamente seria gerado no acelerômetro. A aceleração relativa foi relacionada

à tensão de saída através do valor de sensibilidade de tensão fornecido pelo fabricante. Este valor depende unicamente

do tipo de material piezelétrico utilizado, o acelerômetro piezelétrico 4730 utiliza PZ 23 – Chumbo – Zirconato –

Titanato.

Em segundo plano, para termos base para realizar comparações fora inserido, no sinal de excitação original

pulsos senoidais, com amplitude 1.1 vezes maior do que a amplitude original de forma a simular um desbalanceamento

no equipamento (Figura 8 – esquerda).

Figura 8. Pulsos senoidais adicionados a base do sistema (esquerda) e tensão de saída registrada pelo acelerômetro

(direita), para uma excitação senoidal ruidosa com pulsos

Apenas de que, na prática um desbalanceamento costuma inserir um sinal em forma de pulso, com amplitude

bem maior do que amplitude original, a simulação aqui realizada ilustra o comportamento de um equipamento com este

tipo de defeito. O gráfico da direita da figura 8 mostra ilustra, de forma superficial, como seria a tensão de saída do

acelerômetro submetido às condições citadas.

Apesar de acelerômetros piezelétricos dispensarem o uso de fontes externas para, por exemplo, amplificar o

sinal, muitas vezes esses sistemas são incorporados, servindo também para filtrar os ruídos presentes no sinal original.

3. COMENTÁRIOS FINAIS

Os resultados obtidos a partir da simulação estão em plena concordância com os resultados apresentados pelo

fabricante do equipamento em questão. Os altos valores de ωn justificam a utilização deste equipamento para aquisitar

dados de vibração em uma larga banda de freqüência, sendo que estes altos valores de ωn decorem do fato de que a

massa sísmica do equipamento é pequena. . O instrumento em questão é de extrema utilidade devido a ser pequeno,

portátil, simples e barato quando comparado aos demais equipamentos disponíveis no mercado.

4. REFERÊNCIAS

B&K – Bruel & Kjaer., 2002. “Accelerometer Catalogue”.

B&K – Bruel & Kjaer, 2010. “Piezoelectric DeltaShear® Accelerometers Uni-Gain®, DeltaTron® and Special Types –

Product data”.

Carneiro, F., 2010. “Levantamento Bibliográfico da Tecnologia dos Acelerômetros Comerciais”, Unicamp.

Dias, R.S., 2010. “Dispositivo para Redução de Vibrações Transversais em Calibrações Primárias de Acelerômetros”,

COPPE/UFRJ.

Inman, D. J. 1996. “Engineering Vibration”. Prentice Hall.

Mazarini, J. A., Oliveira, M. V., 2009. “Monitoramento de Vibração em Hidrogeradores”, Unisalesiano.

Menna, A, R., 2007. “Detecção de falhas em mancais de rolamento por análise de vibrações em banda larga: Um caso

prático de aplicação em uma população de equipamentos rotativos”, UFRGS, Porto Alegre, Brasil.

MMF - Metra Mess und Frequenztechnik Radebeul, 2003. “AN2E - Application Note - Piezeletric Accelerometers”.

Rao, S. 2009. “Vibrações Mecânicas”, Pearson, Brasil.

Yacubsohn, R.V., 1983. “El Diagnostico de Fallas por Analisis Vibratorio”, Edicomp, S. Paulo, Brasil.