7

Transferência de Calor e Massa

1. Introdução

Neste tópico apresenta-se uma breve descrição, importância e alguns exemplos de

aplicações de transferência de calor e massa, bem como das equações básicas que governam

estes processos.

1.1 Importância de Transferência de Calor (Energia) e Massa

A Civilização Moderna depende fortemente de como ela manuseia e usa sua energia,

energia esta suprida através de recursos naturais, nem sempre fáceis de serem explorados.

O uso de energia pode ser identificado como trabalho, potência e calor, mas na

realidade o trabalho e potência que são usados finalmente degeneram em calor. Calor é a troca

de energia entre objetos (sistemas) “quentes” e “frios” e a troca ocorre espontaneamente do

“quente” para o “frio”

(Transferência) de Calor é a ciência que explica e prediz quão rápida ocorre a troca de

energia como calor. É a ciência que integra as várias ferramentas analíticas e empíricas

provendo um fórum, um corpo de conhecimento, para projetistas, construtores, operadores,

gerentes e pesquisadores de forma mais acurada estudar calor como uma troca de energia.

A preocupação com energia, sua conservação ou economia pela sociedade requer

numa extensão importante a compreensão dos conceitos de transferência de calor e

transferência de massa.

Alguns casos de aplicação de transferência de calor:

- isolamento (por fibra de vidro) de tetos e paredes de edifícios para manter determinadas

condições climáticas;

- quantificação da perda de energia através de janelas modernas e isoladas para manter o

ambiente confortável tanto no inverno quanto no verão;

- projeto e operação de geradores de vapor (caldeiras) ou ebulidores requer a compreensão

da transferência de calor que ocorre da queima (combustão) de carvão, gás ou óleo para a

água nos tubos;

8

- projeto e construção de um radiador (convector) para um motor de automóvel para mantê-

lo “frio” quando em operação envolve transferência de calor e massa;

- dissipação de calor em linhas de potência elétrica devido à resistência elétrica;

- proteção de cabos elétricos contra fogo e altas temperaturas;

- manutenção de temperaturas adequadas em circuitos de computadores e outros sistemas;

- condicionamento de ar para conforto térmico;

- processos sanitários, manuseio de lixo, esterilização;

- manuseio e processamento de alimentos.

Transferência de massa é o estudo do movimento de massa de um local para outro

através do uso de dispositivos mecânicos ou naturalmente devido a diferença de densidade. A

diferença de densidade provoca difusão (transporte microscópico) de massa (uma espécie

penetra em outra) ou convecção natural (transporte macroscópico) de massa. Os dispositivos

mecânicos (bombas, ventiladores e compressores) provocam difusão e convecção forçada de

massa. Exemplos onde ocorre transferência de massa:

- processos químicos;

- poluição do ar;

- combustão;

- processos criogênicos (baixas temperaturas) tais com produção de N2, H2 e O2 líquidos,

gelo seco (CO2 líquido)

1.2 Conceitos

1.2.1 Sistema Físico

Um sistema físico pode ser considerado com sendo constituído de um sistema material

(subsistema 1) mais um campo de radiação (subsistema 2). O sistema material, geralmente,

considerado como meio contínuo, é composto a nível elementar de moléculas (incluindo íons

e átomos), de elétrons e de partículas fictícias tais como fônons (quanta de energia vibracional

num sólido), etc.

Um meio pode ser considerado como contínuo quando o menor elemento de volume

ainda contém de 1015 a 1020 moléculas. Sob determinadas condições físicas, tais elementos

podem ser caracterizados estatisticamente por propriedades físicas macroscópicas médias

sobre todas as moléculas que eles contêm (massa média, velocidade, pressão ou temperatura).

9

O campo de radiação eletromagnética é caracterizado em escala macroscópica pela

definição em cada ponto r do espaço e para cada direção Δ de uma quantidade νI ′ , a

intensidade monocromática relacionada com a freqüência ν . O campo de radiação resulta da

distribuição de fótons (quanta de energia particular de Bose-Einstein que em repouso possuem

massa nula) cada caracterizado pela freqüência ν , momentum p e spin s. Um quanta tem

energia νhe = , onde 346 6256 10h , x Js−= é a constante de Planck.

1.2.2 Equilíbrio Termodinâmico

Em termodinâmica, o conceito de equilíbrio termodinâmico perfeito envolve equilíbrio

térmico (T uniforme), equilíbrio mecânico (P uniforme) e equilíbrio químico (potencial

químico μ uniforme) e é utilizado para equacionamento dos problemas. O equilíbrio térmico

significa que o sistema material é isotérmico a temperatura T; o campo de radiação tem uma

distribuição uniforme dependente apenas de T; o campo de radiação e sistema material estão

na mesma temperatura. Entretanto, para ocorrer transferência de calor, os sistemas devem

estar em não equilíbrio térmico.

1.2.3 Equilíbrio Termodinâmico Local

O não equilíbrio térmico causa a transferência de calor devido colisões entre

moléculas ou entre moléculas e uma parede; interações moléculas/fótons (absorção, emissão

espontânea, emissão estimulada); interações entre fônons, entre fônons e elétrons, elétrons e

fótons, outras interações. Como as leis da termodinâmica são utilizadas para equacionar

problemas de transferência, tem-se que lançar mão do conceito de equilíbrio termodinâmico

local (LTE).

A hipótese de equilíbrio termodinâmico local permite definir variáveis físicas

T( r ,t ), P( r ,t ), ( r ,t )μ , etc. em qualquer instante de tempo e para cada ponto r . Sob esta

hipótese, pode-se assumir que durante um intervalo dt e em um elemento de volume

arbitrariamente pequeno (mas macroscópico, contínuo) o sistema material está localmente

infinitamente próximo a um estado de equilíbrio, descrito por propriedades intensivas e

extensivas.

10

Em LTE adotado para estudo de problemas de transferência de calor o sistema físico é

o local dos seguintes processos macroscópicos irreversíveis com os quais um fluxo está

associado:

- relativo a um elemento de matéria, o efeito cumulativo em escala macroscópica do

transporte de várias quantidades físicas (carga elétrica, no de moléculas de um dado tipo,

energia) por partículas (moléculas, elétrons, fônons, etc.) traduz para fluxos por difusão:

condução elétrica, difusão de uma espécie em outra, condução térmica;

- simultaneamente associado com cada transferência macroscópica por um movimento

global de parte do sistema material estão associados fluxos macroscópicos de carga

elétrica, energia, etc. Estes são chamados fenômenos convectivos: convecção elétrica,

convecção térmica, etc.;

- interações entre moléculas do sistema material e os fótons do campo de radiação, quando

eles não estão em equilíbrio térmico resulta num fluxo macroscópico de energia na forma

de radiação.

1.2.4 Meio Contínuo

Em teoria cinética dos gases o conceito de meio contínuo é apresentado através da

seguinte definição de temperatura:

∑=

=N

s

sB

mvTNk

1

2

223 (1.1)

na qual N é o no de átomos idênticos de massa m cada em equilíbrio térmico num elemento de

volume dV ( 2015 1010 −≈N ) o meio é considerado contínuo; KJxkB /1038054,1 23−= é a

constante de Boltzmann e sv é velocidade de um átomo em relação a dV.

1.3 Modos Principais de Transferência de Energia

Os modos principais de transferência de energia na forma de calor são condução,

convecção e radiação. A condução térmica ocorre através de um elemento material no qual

existe um gradiente de temperatura. Ela representa o efeito global do transporte de energia por

portadores elementares (moléculas, fônons: partícula fictícia que representa quanta de energia

vibracional de um sólido, elétrons, etc.).

Em fluidos os portadores elementares (moléculas, átomos, íons, etc.) são

caracterizados por energia de translação, possivelmente vibração e rotação, energia eletrônica.

11

Em sólidos os átomos são arranjados em uma estrutura cristalina mais ou menos

perfeita. Os vetores de energia são fônons (quanta de vibração da estrutura cristalina) e talvez

elétrons livres (condução elétrica e térmica).

Em radiação, energia é permanentemente trocada entre um sistema material e um

campo de radiação pelos seguintes processos:

- emissão espontânea de radiação que consiste na conversão de energia térmica (energia de

vibração ou rotação, energia eletrônica, energia de fônons, etc. para uma energia radiativa

(de fótons);

- absorção de radiação pela conversão inversa de energia radiativa para energia térmica.

Sob o ponto de vista de radiação, pode-se definir três tipos de meio:

- meio transparente como aquele que não emite, não absorve, não reflete ou difunde, mas

transmite toda radiação incidente qualquer que seja sua direção e freqüência;

- meio opaco que não transmite qualquer radiação incidente (Ii) que pode ser absorvida (Ia)

ou refletida (Ir). O meio opaco também pode emitir a radiação (Ie);

- meio semitransparente que reflete, absorve ou difunde a radiação incidente, ou a transmite

em distâncias finitas.

Figura 1.1 Radiação em meios transparente e opaco

Os modos de transferência de energia por condução e radiação são objeto de estudo

deste curso de TCMI. O modo de transferência de energia por convecção será objeto de

estudo do curso TCMII e será abordado ao longo daquela disciplina.

12

1.4 Objetivos e Convenções

O objetivo principal é determinar para qualquer sistema em LTE, a evolução do campo

de temperatura ),( trT e o fluxo de energia (para todas as formas de energia) que é necessário

para controlar um processo. Um processo será em regime transiente (RT) se as quantidades

físicas A (escalares, vetores, tensores) dependem do tempo, isto é,

0),(≠

∂∂

ttrA (1.2)

Para processos em regime permanente (RP), não há variação das grandezas físicas com o

tempo. Ou seja,

0),(=

∂∂

ttrA (1.3)

Define-se fluxo de energia como a potência Φd (em Watts) atravessando um

elemento de superfície dS , cuja normal é n e cujo vetor densidade de fluxo é q [W/m2].

Numericamente,

dSnqd •=Φ (1.4)

Define-se a densidade de fluxo [W/m2] como

nqq •=′′ (1.5)

ou

dSdq Φ

=′′ (1.6)

Figura 1.2 Vetor densidade de fluxo através de um elemento dS com normal n .

13

1.4.1 Lei de Fourier da Condução

Nos processos de condução térmica, define-se o vetor densidade de fluxo condutivo,

pela Lei de Fourier, como

Tkq cd ∇−= (1.7)

na qual k é denominada condutividade térmica do material que pode depender da temperatura

e da direção espacial (caso em que k é um tensor e Tkq cd ∇•−= ). O sinal negativo na Lei

de Fourier é requerido pela 2a Lei da Termodinâmica. O fluxo condutivo pode, então, ser

calculado na forma

nTknTknqq cd

∂∂

−=•∇−=•=′′ (1.8)

para q ′′ no sentido da normal ao contorno.

Compare a Lei de Fourier com as lei de Ohm e lei de Fick de difusão. A Lei de Ohm

estabelece que o vetor densidade de corrente j é dado na forma:

elVEj ∇−== σσ (1.9)

na qual E é o campo elétrico, σ é a condutividade elétrica e elV é o potencial elétrico. Já a

Lei de Fick de difusão de massa, estabelece que a taxa de difusão αj de uma espécie α numa

espécie β é definida pela equação

ααβα CDj ∇−= (1.10)

na qual αβD é a difusividade de α em β e αC é a concentração molar definida por

nn

MC α

αρ

= (1.11)

onde ρ é a massa específica da mistura e M é o peso molecular da mistura.

1.4.2 Fluxo Conduto-Convectivo – Condução e Convecção Combinadas numa Parede

Considere um fluido a temperatura fT escoando paralelo a uma parede mantida a uma

temperatura sT diferente da temperatura do fluido, Figura 1.3. Na interface do lado sólido o

fluxo por condução será

w

ss

cds y

Tkq

∂∂

−= (1.12)

14

Figura 1.3 Escoamento sobre uma parede

O fluxo condutivo do lado do fluido pode ser definido como

w

ff

cdf y

Tkq

∂

∂−= (1.13)

de modo que se tem a igualdade dos fluxos, ou seja,

w

ff

w

ss y

Tk

yT

k∂

∂−=

∂∂

− (1.14)

Para o fluxo condutivo do lado do fluido, o problema é determinar o gradiente de

temperatura na parede y

T f

∂

∂ que depende da convecção. Este fluxo deveria chamar fluxo

conduto-convectivo ccq (mas é erroneamente chamado de fluxo convectivo).

1.4.3 Coeficiente de Transferência de Calor Convectiva

Considere o escoamento de um fluido com velocidade )(rV e temperatura )(rT num

canal de altura l , cuja parede inferior ( 0y = ) está a 1T e a parede superior ( 1y = ) está a 2T .

Suponha que a distribuição de temperatura em função de y seja como ilustrado na Figura 1.4

O fluxo conduto-convectivo na parede inferior pode ser definido como

)( 11

00 m

mf

y

ffy

cc TThTT

ky

Tkq −=

−−=

∂

∂−=

== ξ

(1.15)

na qual ),( escoamentodonaturezafluidodoespropriedadfunçãoh = e é denominado de

coeficiente de transferência de calor por convecção. Generalizando pode-se calcular o fluxo

conduto-convectivo por

cwcc TThq −= (1.16)

15

na qual wT é a temperatura na parede e cT é uma temperatura característica do fluido. A

ordem de grandeza do coeficiente de transferência de calor é apresentada na Tabela 1.1.

Figura 1.4 Temperatura de um fluido num canal em função de y.

Tabela 1.1. Valores de h para determinados escoamentos

Tipo Fluido h [Wm-2K-1]

Convecção natural

gás 5-30

água 100-1000

Convecção forçada

gás 10-300

água 300-12000

óleo 50-1700

metal líquido 6000-110000

Mudança de fase

ebulição (água) 3000-60000

condensação (água) 5000-110000

16

O fluxo conduto-convectivo será denominado pela sigla convencional, qqcc ′′= ou

simplesmente q (este último símbolo em T.C. é equivalente a Q ). Desta forma

fw TTqh−′′

= , para fw TT > (1.17)

ou

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−−

=yfw y

TTT

kh (1.18)

h é uma propriedade do escoamento; k é a condutividade térmica do fluido; wT é a

temperatura em 0=y que coincide com a interface entre o fluido e o outro meio (por

exemplo, um parede sólida); fT é uma temperatura característica da corrente de fluido longe

da parede; 0=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

yyT é o gradiente de temperatura do lado do fluido na interface.

1.4.4 Radiação - Transferência de calor entre superfícies negras

Considere o problema de determinar a taxa líquida de transferência de calor

( )1 2q W− entre duas superfícies negras isotérmicas ( )1 1,A T e ( )2 2,A T mostradas na Figura 1.5.

Um corpo negro é aquele que emite uma intensidade de radiação de acordo com a lei

( )5 4 4 4

2 22 30

215b

k T TI T n nc hπ σ

π π= = (1.19)

na qual 5 4

2 30

215

kc hπσ = (1.20)

é a constante de Stefan-Boltzmann e seu valor em unidades SI é 8 2 45,67 10 W/(m K )xσ −= ⋅ .

h e k são, respectivamente, as constantes de Planck e de Boltzmann, 0c é a velocidade da luz

no vácuo, T é a temperatura absoluta e ν é a freqüência de propagação da onda.

Esta análise pode ser feita nos seguintes passos:

1. A fração da radiação emitida pelo elemento de área 1dA e interceptada (absorvida

totalmente) pelo elemento de área 2dA ;

2. A fração da radiação emitida pelo elemento de área 2dA e interceptada (absorvida

totalmente) pelo elemento de área 1dA ;

17

3. A taxa de transferência líquida de 1dA para 2dA , isto é, a diferença entre as respostas

da parte 1. e 2. e finalmente,

4. A taxa de transferência líquida de 1A para 2A , que é entre as duas áreas finitas

isotérmicas.

Figura 1.5 – Parâmetros geométricos para cálculo do fator de forma

Se r é a distância entre os elementos de áreas 1dA e 2dA , então o ângulo sólido

através do qual 2dA é visto por um observador estacionado em 1dA é igual a 22 2cos /dA rφ .

Note que 2 2cosdA φ é a dimensão de 2dA após ele ter sido projetado na direção da linha

1 2dA dA− .

Viajando de 1dA na direção de 2dA (e para todo o resto do espaço) tem-se a

intensidade total de radiação de corpo negro ( ),1 1b bI I T= . O tamanho da área emitente que é

normal à direção r é a área “ 1dA projetada”, 1 1cosdA φ . Portanto, a resposta ao item 1. é:

1 2

2 2,1 1 1 2

coscosdA dA bdAq I dA

rφφ→ = (1.21)

A seta usada no subscrito 1 2dA dA→ é para lembrar que 1 2dA dAq → representa a

transferência de energia unidirecional por unidade de tempo, neste caso, de 1dA (emissor) para

2dA (alvo). Analogamente, a resposta ao item 2. será:

18

2 1

1 1,1 2 2 2

coscosdA dA bdAq I dA

rφφ→ = (1.22)

O terceiro passo consiste simplesmente de subtrair a Eq. (1.22) da Eq. (1.21) para

calcular a transferência de calor líquida de 1dA para 2dA :

( )1 2 1 2 2 1

1 2,1 ,2 1 22

cos cosdA dA dA dA dA dA b bq q q I I dA dA

rφ φ

− → →= − = − (1.23)

Usando a equação (1.19) para as intensidades de radiação de corpo negro, com 1n = , a Eq.

(1.23) pode ser reescrita como

( )1 2

4 4 1 21 2 1 22

cos cosdA dAq T T dA dA

rφ φσπ− = − (1.24)

Para se calcular ( )1 2q W− deve-se somar as contribuições de todos os elementos de

área de 1A e 2A , ou seja,

( )1 2

4 4 1 21 2 1 2 1 22

cos cosA A

q T T dA dAr

φ φσπ− = − ∫ ∫ (1.25)

No lado esquerdo da Eq. (1.25) o subscrito 1-2 estabelece que a taxa de transferência

( )1 2q W− deixa a superfície 1A e entra (cruza) a superfície 2A .

A unidade da integral dupla na Eq. (1.25) é metro quadrado ( )2m . É conveniente

definir um fator adimensional formado pela razão da integral dupla por 1A , denominado de

fator de forma geométrico baseado em 1A :

1 2

1 212 1 22

1

1 cos cosA A

F dA dAA r

φ φπ

= ∫ ∫ (1.26)

A equação (1.25) pode, então, ser reescrita como

( )4 41 2 1 2 1 12q T T A Fσ− = − (1.27)

O fator de forma é puramente geométrico, pois depende apenas de dimensões,

orientações e posições relativas das duas superfícies.

Alternativamente poderia se definir

1 2

1 221 1 22

2

1 cos cosA A

F dA dAA r

φ φπ

= ∫ ∫ (1.28)

de modo que ( )1 2q W− fica na forma

( )4 41 2 1 2 2 21q T T A Fσ− = − (1.29)

19

Assim para se calcular ( )1 2q W− deve-se calcular ou 12F ou 21F . Ao se integrar a Eq. (1.21)

obtém-se o resultado

1 2

41 21 2 ,1 1 2 1 1 122

cos cosb A A

q I dA dA T A Frφ φ σ→ = =∫ ∫ (1.30)

Se 1b,E representa o fluxo emissivo total ou poder emissivo total da superfície 1, este fluxo é

da forma 4

,1 1bE Tσ= (1.31)

Portanto, pode-se demonstrar que 4

1 1 ,1 1bT A E Aσ = (1.32)

que é o número de watts de radiação de corpo negro emitida pela superfície 1A em todas as

direções que os pontos de 1A podem “olhar”. Apenas uma porção de ,1 1bE A é interceptada e

absorvida por 2A ( porque, em geral, 1A pode ser cercada por outras superfícies além de 2A );

aquela porção é 1 2q → ou ,1 1 12bE A F . Em conclusão, o significado físico do fator de forma é:

1 2 1 212

,1 1 1

radiaçao deixando e sendo interceptada por radiaçao deixando em todas as direçoesb

q A AFq A A

→= = (1.33)

A razão formulada na Eq. (1.33) sugere que o fator de forma está no intervalo entre 0 e

1. Livros textos de transferência de calor apresentam gráficos e tabelas de fatores de forma

para várias configurações. Vide Bejan (1993) Cap. 10, por exemplo.

1.5 Medições de temperatura usando termopares: (Prática 1)

Nesta parte do curso será realizado um experimento de medições de temperatura

através de termopares. O experimento consiste na confecção, aferição e fixação de

termopares, bem como o manuseio de milivoltímetros e registradores potenciómetricos.

Temperatura é um conceito intuitivo de quente e frio. Existem várias maneiras de

medir temperatura, por exemplo, baseando-se na variação de pressão, variação de volume,

resistência elétrica, coeficientes de expansão, etc., uma vez que todos estes efeitos são

relacionados com a temperatura através da estrutura molecular da matéria. Eles mudam com a

temperatura e estas mudanças podem ser usadas para medir temperatura. Os termômetros de

gás baseiam-se no efeito de variação da pressão para medir a temperatura através da equação

de estado de gases ideais. Medida de temperatura por efeito mecânico baseia-se na dilatação

20

de um material, como por exemplo, a dilatação de mercúrio em um tubo de vidro graduado. O

efeito bi metálico baseia-se na colagem de duas fitas de metais de diferentes coeficientes de

expansão que se deformam de forma diferente sob o efeito da temperatura. Efeito elétrico é

uma maneira conveniente de medir porque o sinal elétrico pode ser facilmente detectado,

amplificado, ou usado para propósitos de controle.

O método elétrico mais comum de se medir temperatura usa termopares. Quando dois

metais diferentes são unidos por uma de suas extremidades, Figura 1.6, aparece entre as

extremidades livres uma força eletromotriz (emf – electromotive force) que será função da

temperatura da junção. Este fenômeno é chamado efeito Seebeck. Se os dois materiais são

conectados a um circuito externo de tal maneira que origina uma corrente, a emf pode ser

alterada levemente devido ao fenômeno chamado efeito Peltier. Além do mais, se um

gradiente de temperatura existe ao longo de um ou ambos os materiais, a emf da junção sofre

uma alteração adicional chamada de efeito Thomsom. Existem, portanto, três emf’s presentes

no circuito: o efeito Seebeck causado pela junção de materiais não similares; o efeito Peltier

causado pelo efeito de escoamento de corrente elétrica no circuito; e o efeito Thomson, que

resulta de gradiente de temperatura nos materiais. A emf de Seebeck é a mais importante visto

que ela depende da temperatura da junção. Se a emf gerada da junção de dois materiais

diferentes é cuidadosamente medida como uma função da temperatura, então tal junção pode

ser utilizada para medida de temperatura.

Figura 1.6 Junção de dois metais não similares indicando efeito termoelétrico.

Duas regras estão disponíveis para análise de circuitos termoelétricos:

1) Se um terceiro metal é conectado no circuito como mostrado na Figura 1.7, a emf

líquida não é afetada se ambas as conexões estiverem na mesma temperatura. Isto

pode ser provado com ajuda da segunda lei da termodinâmica e é conhecido como lei

de metais intermediários.

2) Considere o arranjo da Figura 1.8. Os circuitos simples de termopares são construídos

dos mesmos materiais mas operam entre diferentes limites de temperaturas. O circuito

21

na Figura 1.8a desenvolve uma emf de valor E1 entre as temperaturas T1 e T2; o

circuito na Figura 1.8b desenvolve uma emf de valor E2 entre as temperaturas T2 e T3 .

A lei das temperaturas intermediárias estabelece que este mesmo circuito desenvolve

uma emf E3= E1 + E2 quando operando entre as temperaturas T1 e T3, como mostrado

na Figura 2.8c.

Figura 1.7 Influência de um terceiro metal no circuito termoelétrico; lei de metais

intermediários.

Figura 2.8 Circuitos ilustrando a lei de temperaturas intermediárias.

Os circuitos termopares devem envolver pelo menos duas junções. Se a temperatura de

uma junção é conhecida, então, a temperatura da outra junção pode ser facilmente calculada

usando as propriedades termoelétricas dos materiais. A temperatura conhecida é chamada de

temperatura de referência. Um arranjo comum para estabelecer a temperatura de referência é

banho de gelo como mostrado na Figura 1.9. Uma mistura de gelo e ar saturado de água

destilada à pressão atmosférica produz uma temperatura de 0 oC. Quando a mistura é mantida

numa garrafa térmica, ela pode ser mantida por longos períodos. Ambos os fios do termopar

podem ser mantidos à temperatura de referência como mostrado na Figura 1.9a ou apenas um

fio pode ser mantido na temperatura de referência como mostra a Figura 1.9b. O arranjo da

Figura 1.9a seria necessário se os conectores no medidor de voltagem estiverem à diferentes

temperaturas, enquanto a conexão na Figura 1.9b seria satisfatório se os conectores estiverem

na mesma temperatura. Para ser efetivo o sistema na Figura 1.9a deve ser de mesmo material.

22

Figura 1.9 Métodos convencionais para estabelecer temperatura de referência em circuito

termopar. Termopar ferro-constantan ilustrado.

É comum expressar a emf do efeito termoelétrico em termos do potencial gerado com

a junção de referência a 0 oC. Tabelas de termopares padrões têm sido elaboradas com base

nisso e um sumário das características de saída dos termopares mais comuns é apresentado na

Tabela 1.2, na qual também está indicado o tipo de termopar: T, E, J, K, S. Estes dados são

mostrados graficamente na Figura 1.10, juntamente com o comportamento de alguns dos mais

exóticos materiais.

Tabela 1.2 - Emf térmica em milivolts absolutos para combinações de termopares comumente

usados (Junção de referência a 0oC) Temperatura Cobre

Constantan1

(T)

Cromel2

Constantan

(E)

Ferro

Constantan

(J)

Cromel

Alumel3

(K)

Platina

Platina-10%Ródio

(S)

oF oC

-300 -184,4 -5,341 -8,404 -7,519 -5,632

-250 -156,7 -4,745 -7,438 -6,637 -5,005

-200 -128,9 -4,419 -6,471 -5,760 -4,381

-150 -101,1 -3,365 -5,223 -4,623 -3,538

-100 -73,3 -2,581 -3,976 -3,492 -2,699

1 Liga de 60% Cu – 40% Al 2 Liga de 90% Ni – 10% Al 3 Liga de 95% Ni-2%Mn-2%Al-1%Si

23

-50 -45,6 -1,626 -2,501 -2,186 -1,693

0 -17,8 -0,674 -1,026 -0,885 -0,692 -0,092

50 10 0,422 0,626 0,526 0,412 0,064

100 37,8 1,518 2,281 1,942 1,520 0,221

150 65,6 2,743 4,075 3,423 2,667 0,408

200 93,3 3,967 5,869 4,906 3,819 0,597

250 121,1 5,307 7,788 6,425 4,952 0,807

300 148,9 6,647 9,708 7,947 6,092 1,020

350 176,7 8,085 11,728 9,483 7,200 1,247

400 204,4 9,523 13,748 11,023 8,314 1,478

450 232,2 11,046 15,844 12,564 9,435 1,718

500 260,0 12,572 17,942 14,108 10,560 1,962

600 315,6 15,834 22,287 17,178 12,865 2,472

700 371,1 19,095 26,637 20,253 15,178 2,985

800 426,7 31,108 23,338 17,532 3,524

1000 537,8 40,056 29,515 22,251 4,609

1200 648,9 48,927 26,911 5,769

1500 815,6 62,240 33,913 7,514

1700 926,7 38,287 8,776

2000 1093,3 44,856 10,675

2500 1371,1 54,845 14,018

3000 1648,9 17,347

A voltagem de saída de um circuito termopar simples é usualmente escrita na forma

2 31 12 3

E AT BT CT= + + (1.34)

na qual T é a temperatura em graus Celsius e E é baseada na temperatura de junção de 0 oC.

As constantes A, B e C são dependentes do material do termopar.

A sensibilidade ou coeficiente de Seebeck, ou potência termoelétrica, de um termopar

é definida por

2dES A BT CTdT

= = + + (1.35)

24

A Tabela 1.3 contém valores do coeficiente de Seebeck (sensibilidade) de vários materiais

versus platina.

Figura 1.10 Relações emf temperatura para materiais termopares, eletrodo positivo listado

primeiro.

A Figura 1.11 ilustra um termopar com duas junções de referência para os dois

materiais. Neste circuito termopar pode-se demonstra que a relação entre a força eletromotriz

a temperatura é da forma da Eq. (1.36):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Ref . Tip Ref . Gageout lead A B LeadGage Ref Tip Ref

Tip Ref .A BRef Tip

TipA BRef

dT dT dT dTE S T dx S T dx S T dx S T dxdx dx dx dx

S T dT S T dT

S T S T dT

= + + +

= +

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

(1.36)

25

Figura 1.11 – Circuito termopar

Tabela 1.3 – Sensibilidade de termo elementos feitos de materiais listados contra platina, 1oV Cμ − (Junção de referência mantida a 0oC)

Bismuto -72 Prata 6,5

Constantan -35 Cobre 6,5

Níquel -15 Ouro 6,5

Patássio -9 Tungstênio 7,5

Sódio -2 Cádmio 7,5

Platina 0 Ferro 18,5

Mercúrio 0,6 Nicromo 25

Carbono 3 Antimônio 47

Alumínio 3,5 Germânio 300

Chumbo 4 Silício 440

Tântalo 4,5 Telúrio 500

Ródio 6 Selênio 900

Se os coeficientes de Seebeck forem aproximadamente constates com a temperatura, a

Eq.(1.36) pode ser integrada resultando

( )( )out A B Tip RefE S S T T= − − ou outTip Ref

A B

VT TS S

= +−

(1.37)

Para cálculos computacionais, fórmulas polinomiais, por exemplo, de nona ordem

podem ser usadas na forma

26

2 90 1 2 9T a a E a E a E= + + + + ou (1.38)

( )( )( )( )( )( )( )0 1 2 3 4 5 6 7 8 9T a E a a a a a a a a a E E E E E E E E⎛ ⎞= + + + + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.39)

na qual T é a temperatura em oC; E é a voltagem do termopar em volts referente a junção a 0 oC e a são os coeficientes do polinômio dados na Tabela 1.4 para várias combinações de

termopares.

Tabela 1.4 - Coeficientes de polinômios para Eq. (1.39) para várias combinações termopares

padrões. Tipo E Tipo J Tipo K Tipo R Tipo S Tipo T

Cromel(+)

Contantan(-)

Ferro(+)

Constantan(-)

Cromel(+)

Ni-5%(-)

(Al-Si)

Pt-13%-Rh(+)

Platina(-)

Pt-10%-Rh(+)

Platina(-)

Cobre(+)

Constantan(-)

100oC a 1000 oC

± 0,5 oC

Nona ordem

0oC a 1000 oC

± 0,1 oC

Quinta ordem

0oC a 1370 oC

± 0,7 oC

Oitava ordem

0oC a 1000 oC

± 0,5 oC

Oitava ordem

0oC a 1750 oC

± 1oC

Nona ordem

-160oC a 400 oC

± 0,5 oC

Sétima ordem

a0 0,104967248 -0,048868252 0,226584602 0,263632971 0,927763167 0,100860910

a1 17189,45282 19873,14503 24152,10900 179075,491 169526,5150 25727,94369

a2 -282639,0850 -218614,5353 67233,4248 -48840341,37 -31568363,94 -767345,8295

a3 12695339,5 11569199,78 2210340,682 1,90002E+10 8990730663 78025595,81

a4 -448703084,6 -264917531,4 -860963914,9 -4,82704E+12 -1,63565E+12 -9247486589

a5 1,10866E+10 2018441314 4,83506E+10 7,62091E+14 1,88027E+14 6,97666E+11

a6 -1,76807E+11 -1,18452E+12 -7,20026E+16 -1,37241E+1? -2,66192E+13

a7 1,71842E+12 1,38690E+13 3,71496E+18 6,17501E+17 3,94078E+14

a8 -9,19278E+12 -6,33708E+13 -8,03104E+19 -1,56105E+19

a9 2,06132E+13 1,69535E+20