Edio de agosto de 2005 Universidade Federal da Bahia Samuel Luporini Transferncia de Massa OBJETIVOS: 1. Conhecimento bsico das leis de transferncia de massa indispensvel a uma formulao correta dos problemas correntes de engenharia qumica. 2.Desenvolvimentodacapacidadeparamodelarmatematicamente,simulareavaliarprocessosde transferncia de massa com nfase em equipamentos de contato direto. TRANSFERNCIA DE MASSA 1.Fundamentos da transferncia de massa 1.1.Transferncia de massa molecular 1.2.O coeficiente de difuso 1.3.Transferncia de massa convectiva 2.Equaes diferenciais de transferncia de massa 2.1.A equao diferencial de transferncia de massa 2.2.Formas especiais da equao de transferncia de massa 2.3.Condies de contorno 2.4.Modelagem de processos envolvendo difuso molecular 3.Difuso molecular no estado estacionrio 3.1.Transferncia de massa independente de reao qumica 3.2.Sistemas associados com reao qumica 3.3.Sistemas de duas e trs dimenses 3.4.Transferncias simultneas de momento, calor e massa 4.Difuso molecular no estado transiente 4.1.Difuso transiente e a segunda lei de Fick 4.2.Difuso transiente em meio semi-infinito 4.3.Difusotransienteemummeiofinitosobcondiesderesistnciadesuperfcie desprezvel 4.4.Cartas de concentrao tempo para formas geomtricas simples 5.Transferncia de massa convectiva 5.1.Consideraes fundamentais em transferncia de massa convectiva 5.2.Parmetros significantes em transferncia de massa convectiva 5.3.Analise dimensional 5.4.Anlise exata da camada limite de concentrao laminar 5.5.Anlise aproximada da camada limite de concentrao 5.6.Analogias entre transferncia de massa, calor e momento 5.7.Modelos para coeficientes de transferncia de massa convectiva 6.Transferncia de massa convectiva entre fases 6.1.Equilbrio 6.2.Teoria das duas resistncias 7.Correlaes para transferncia de massa convectiva 7.1.Transferncia de massa para placas, esferas e cilindros 7.2.Transferncia de massa envolvendo escoamento atravs de tubos 7.3.Transferncia de massa em colunas de parede molhada 7.4.Transferncia de massa em leitos fixo e fluidizado 7.5.Transferncia de massa gs-lquido em tanques agitados 7.6.Coeficientes de capacidade para torres de recheio 7.7.Modelagem para processos de transferncia de massa envolvendo conveco 8.Equipamentos de transferncia de massa 8.1.Tipos de equipamentos de transferncia de massa 8.2.Operaes de transferncia de massa gs-lquido em tanques de mistura perfeita 8.3.Balanos de massa para torres de contatos contnuos 8.4.Balano de entalpia para torres de contatos contnuos 8.5.Coeficientes de capacidade para transferncia de massa 8.6.Analises de equipamentos de contatos contnuos Bibliografia: WELTY,J.R.,WICKS,C.E.,WILSON,R.E.,RORRER,G.,FundamentalsofMomentum,Heat and Mass Transfer, 4th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2001. WELTY,J.R.,WICKS,C.E.,WILSON,R.E.,FundamentalsofMomentum,HeatandMass Transfer, 3th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1984. BIRD,R.B.,STEWART,W.E.,LIGTHFOOT,E.N.,FenmenosdeTransporte,2a.edio,LTC EDITORA, 2004. CREMASCO,M.A.,FundamentosdeTransfernciadeMassa,2.Ediorevista,Editora UNICAMP, 2002. GEANKOPLIS, C.J., Mass Transfer Phenomena, Holt Rineart and Winston, Inc., 1972. MILLS, A.F., Mass Transfer, Prentice Hall, 2001. CUTLIP,M.B.,SHACHAM,M.,ProblemSolvinginChemicalEngineeringwithNumerical Methods, Prentice Hall PTR, Chapter 7 Mass Transfer, 1999. Fundamentos de Transferncia de Massa 1.1 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 1. FUNDAMENTOS DA TRANSFERNCIA DE MASSA oQuandoumsistemadoisoumaiscomponentesnaqualasconcentraesvariamdepontoa ponto,humatendncianaturaldamassasertransferida,minimizandoasdiferenasde concentrao entre os sistemas. oOtransportedeumconstituintedeumaregiodealtaconcentraoparaaquelademenor concentrao chamado de transferncia de massa. oExemplos:oA remoo de poluente a partir de uma corrente de descarga por absoro. Stripping de gases por lavagem de gua. oDifuso de nutron em um reator nuclear. oA difuso de substncias adsorventes dentro de poros de carbono ativado. oA taxa de catalise qumica e reaes biolgicas. oAtransfernciademassapodeocorrerpelomovimentomolecularaoacasoemfluidos estagnados ou podem ser transferidos a partir de uma superfcie para um liquido em movimento, adicionado pelas caractersticas dinmicas do escoamento. oDois modos distintos de transporte: molecular convectivo simultneos 1.1 TRANSFERNCIA DE MASSA MOLECULAR 1815Panotobservouquantitativamentequeumamisturadegasescontendoduasoumais espcies moleculares, na qual as concentraes relativas variam de um ponto ao outro, um processo natural resulta em diminuir a desigualdade da composio, chamando de difuso molecular. Ofluxolquidodecadaespciemolecularocorrenadireodeumgradientedeconcentrao negativo. Teoria cintica dos gases. A transferncia de massa ou difuso ocorre somente em misturas. Fundamentos de Transferncia de Massa 1.2 Samuel Luporini/DEQ/UFBA CONCENTRAES: densidade outotal mssica o concentraAespcie da mssica o concentramistura da volumeA de massaA (1.1) (1.3) 1 w(1.2) w mssica Fraon1 iiAn1 iiAA n = nmero de espcie da mistura A concentrao molar da espcie A, cA o nmero de moles de A presentes por unidade de volume da mistura. 1 mol de A massa equivalente ao seu peso molecular McAAA (1.4) MA = peso molecular de A Pela lei dos gases ideais pAV = nART, logo:

RTpVncA AA (1.5) Onde:PA = presso parcial da espcie A na mistura nA = nmero de moles da espcie A V = volume do gs Molculas de espcie A Molculas de espcie A Fundamentos de Transferncia de Massa 1.3 Samuel Luporini/DEQ/UFBA T = temperatura absoluta R = constante dos gases A concentrao molar total, c, o mole total da mistura por unidade de volume. RTPVnc cn1 itotali (1.6) P = presso total Frao molar de lquidos e slidos: xA = cA/c Gases: yA = cA/c(1.7)

Para uma mistura que obedece a lei dos gases ideais: (1.9)1 ye1 xDalton de Lei (1.8) PpRT PRT pccyn1 iin1 iiA A AA Tabela 24.1Concentraes em uma mistura binria com A e B (Welty) Exemplo1:Acomposiodoarmuitasvezesdadaemtermosdasduasespciesprincipaisna mistura de gases: 79 , 0 y N21 , 0 y O22N 2O 2 Determinar a frao mssica de O2 e N2 e o peso molecular mdio do ar a 25o C e 1atm. Velocidades Numsistemamulticomponentesasvariasespciesn,movernormalmenteadiferentes velocidades. A velocidade de mistura ser a media das velocidades da cada espcie presente. Fundamentos de Transferncia de Massa 1.4 Samuel Luporini/DEQ/UFBA mdia molare velocidad a relativa i de difuso de e velocidad V vmdia mssica e velocidad a relativa i de difuso de e velocidad v vmolar mdia ade velocid (1.11) cv cVio estacionr eixo um para i de absoluta velocidade vmssica mdia ade velocid (1.10)v vviin1 ii iin1 ii in1 iin1 ii i rrr rrrrr rr DeacordocomaleideFickumcomponentepodeterumavelocidaderelativaparaavelocidade mdia molar ou mssica somente se existir gradientes de concentrao. Exemplo 2: Sabendo que as velocidades absolutas das espcies qumicas presentes na mistura gasosa so:cm/s; 11 v cm/s; 19 v cm/s; 13 v cm/s; 10 vz , N z O, H z O, z CO,2 2 Determinar: a) velocidade mdia molar da mistura b) velocidade mdia mssica da mistura c) velocidade de difuso de O2 na mistura relativa a velocidade mdia molar da mistura d) velocidade de difuso de O2 na mistura relativa a velocidade mdia mssica da mistura Fluxos um vetor quantitativo atribudo a quantidade da espcie particular, em unidade mssica ou molar, que passa em um incremento de tempo atravs de uma rea normal ao vetor. Podem ser definidos com referncia a coordenadas fixas no espao, coordenadas que movem com a velocidade mdia mssica ou molar. O fluxo molar na direo z: Fundamentos de Transferncia de Massa 1.5 Samuel Luporini/DEQ/UFBA

z dc dD JAAB z , A 1 Lei de Fick (1.12) DAB = difusividade mssica ou coeficiente de difuso do componente A difundindo em B. dcA/dz = gradiente de concentrao na direo z. z dy dcD JAAB z , A (1.13) O fluxo mssico na direo z: z dw dD jAAB z , A (1.14) z ddD jAAB z , A (1.15) Paraumsistemabinriocomumavelocidademdiaconstantenadireozofluxomolar relativo a velocidade mdia molar : ( ) V c Jz z , A A z , A (1.16) Igualando (1.13) com (1.16), temos: ( )( ) ( )z , B B z , A A A z A z , B B z , A A zz AAB A, z , A AAB A, z z , A A z , Ac c y V c ouc cc1V : sendoV cdzdycD c : Portanto

dzdy-cD V c J + + + Fundamentos de Transferncia de Massa 1.6 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ( ): que temosc N e c N: so io estacionr eixo ao relativo B e As componente dos fluxos Osc c ydzdycD c : LogoB B B A A Az , B B z , A A AAB A, z , A A + + r r r r ( )

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+

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+ + soluo da globalmovimento doresultante fluxodifusivao contribui daresultante fluxoz eixo aoreferncia c/ A de fluxoN N y dzdycDNz , B z , A AAB A, z , A ( ): temos forma mesma Damistura na Ade difuso de e coeficient D(1.18)N y y cD N: nente multicompo mistura uma para(1.17) N N y y cD NM A,n1 ii A A M A, AB A A A B A, A+ + + r rr r r ( )( )B,z A,z AAA,B A,zB,z A,z AAA,B A,zn n wdzdwD nliquidos paraN N xdzdxcD N+ + + + Fundamentos de Transferncia de Massa 1.7 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Exemplo 3: Sabendo que a mistura gasosa tem as velocidades relativas: cm/s. 11 cm/s; 19 cm/s; 13 cm/s; 10z , N z , O H z , O z , CO2 2 2 Determine para a temperatura de 105 C e 1 atm: a) Fluxo difusivo molar de O2 na mistura. b) Contribuio do fluxo convectivo de O2 na mistura. c) Fluxo molar total com referncia ao eixo estacionrio 2. COEFICIENTE DE DIFUSO Lei de Fick a constante de proporcionalidade conhecida como coeficiente de difuso. ( ) w , T , P f DtLL 1 L M1t LMdz dcJDAB23 2Az , AAB

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Idntico as dimenses fundamentais de outras propriedades de transporte. Viscosidade cinemtica: Difusividade trmica: = k/cp Difusividade mssica de gases - mistura gasosa de baixa densidade - teoria cintica dos gases Aumenta a mobilidade da molcula Gases 5 x 10-6 a 10-5 m2/s lquidos 10-10 a 10-9 m2/s slidos 10-14 a 10-10 m2/s DAB

diminui Fundamentos de Transferncia de Massa 1.8 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Figura 1.2Movimento molecular para a superfcie de um volume de controle Transferncia de massa mdio livre caminhoN d 21acaso ao moleculare velocidadmkT 8CC31DyC31j2AAAy , A ? k = constante de Boltzmann N = concentrao molecular m = massa de uma molcula C N41Z d = dimetro da molcula esfrica Z = freqncia em que as molculas alcanam a rea x z 0 (estacionrio) ( ) 0 dvtdA nCV CS + rr Fluxo para frente = fluxo para trs y x x y A = A(y) Fundamentos de Transferncia de Massa 1.9 Samuel Luporini/DEQ/UFBA * A istopo seue AEx similares. molculas de mistura uma de difuso de e CoeficientmT kP d 32* DP cRT NkT: ideal gs um ParamkTN d 32* D : Logo2 13 32 2 3AA2 12 2 3AA

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A equao de Chapman-Enkosg: D2AB2 1B A2 3 3ABPM1M1T 10 x 858 , 1D 1]1

+ onde: DAB (cm2/s) MA e MB = pesos moleculares P = presso absoluta (atm) AB = dimetro de coliso, parmetro de Leonard-Jones () D = integral de coliso vlida para um par de gases apolares e molculas no reagentes.

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ABkTfTABELA K.1 WELTY onde: k = constane de Boltzmann = 1,38 x 10-16 erg/K A = energia de interao molecular (ergs) Os parmetros de Leonard-Jones e AB TABELA K.2 WELTY Na ausncia de dados experimentais: Fundamentos de Transferncia de Massa 1.10 Samuel Luporini/DEQ/UFBA b Ac A3 1cc3 1c3 1bT 15 , 1 kT 77 , 0 kPT44 , 2V 841 , 0V 18 , 1

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Vb = volume molar para o ponto normal de ebulio (cm3/gmol) TABELA 24.4 WELTYVc = volume molar crtico (cm3/gmol) Tc = temperatura crtica (K) Tb = temperatura de ebulio normal (K) Pc = presso crtica em (atm) Para pares de molculas apolares, tem-se B A ABB AAB2 + Para molculas polar-polar e polar-apolar so discutidas por Bird e Cremasco Predio de DAB variando com a P e T 211 1 2 2T , DT , D2 31221P , T , AB P , T , ABTTPPD D

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Apndice J.1 de Welty Exemplo4:AvaliarocoeficientededifusoparaoCO2noara20Ce1atm.Compararcomos dados experimentais. Fundamentos de Transferncia de Massa 1.11 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Quando os parmetros de Lennard-Jones no so disponveis pode-se utilizar a equao de Fuller. ( ) ( ) [ ]23 1B3 1A2 1B A75 , 1 3ABPM1M1T 10D +

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+ TABELA 24.3 WELTY Exercicio 5 (24.12), itens a, b, e Determinar os valores da difusividade dos seguintes gases. a)CO2/ar 310 Ke 1,5 x 105 Pa b)Etanol/ar 325 K e 2,0 x 105 Pa e)SO2/ar 300 Ke 1,5 x 105 Pa Exemplo6.Reavaliarocoeficientededifusododixidodecarbonoemara20Ce1atm, utilizandoaequaodeFuller,SchettlereGiddingsecompararonovovalorcomoobtidono exemplo 4. Para compostos polares, tem-se a equao de Hirschfelder com a integral de coliso avaliada por: ( )(K) ebulio de normal ponto T) gmol / (cm ebulio de ponto no lquido do molarvolume V(debyes) dipolo momentoT V10 x 94 , 1: ondeT169 , 0b3bpb bp32 1B A AB2ABDo D + Fundamentos de Transferncia de Massa 1.12 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ( )( ) ( ) ( ) * HT expG* FT expE* DT expC* TAT 3 , 1 1 18 , 1kk k kkTT*BDob22 1B A ABAB+ + + +

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+ A = 1,06036E = 1,03587 B = 0,15610F = 1,52996 C = 0,19300G = 1,76474 D = 0,47635H = 3,89411 ( )3 12b2 1B A ABAB3 , 1 1V 585 , 1coliso de dimetro

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+ Mistura de gases (WILKE) y y y yyy 1 de livre molarFraoDyDyDy1Dn 4 3 222n , 1n3 , 132 , 12mistura , 1+ + + +LL Fundamentos de Transferncia de Massa 1.13 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Exemplo 7: Determinar a difusividade do monxido de carbono atravs de uma mistura de gases na qual a frao molar de cada componente so: 10 , 0 y , 70 , 0 y , 2 , 0 yCO N O2 2 O gs esta a 298 K e 2 atm de presso total. Exemplo 8 (24.14 WELTY) Determinar a difusividade do dixido de carbono em uma mistura de gases com as seguinteComposio: O2 = 7%, CO = 10%, CO2 = 15% e N2 = 68%. T = 273 K e P = 1,5 x 105 Pa. DIFUSIVIDADE MSSICA EM LQUIDOS Equao de Stoke-Einsteim, da teoria hidrodinmica. BAB6kTD Soluo diluda de no eletrlitos. uma equao pouco precisa Em geral: ( ) V fkTDAB Funo do volume molar Equao de Wilke-Chang para no eletrlitos: ( )6 , 0A2 1B B8ABBVM 10 x 4 , 7TD Onde:B = viscosidade da soluo de no eletrlitos cP VA = volume molar no ponto normal de ebulio (TABELAS 24.4 E 24.5 WELTY) B = parmetro de associao para o solvente B (complemento da TABELA 24.5 WELTY) Dedues de compostos com anel (complemento da TABELA 24.5 WELTY) Exemplo 9Estimar o coeficiente de difuso em liquido do etanol (C2H5OH) em soluo diluda de gua a 10oC O volume molecular do etanol pode ser avaliado usando valores da tabela 24.5. Hayduk e Laudie propuseram a equao: 589 , 0A14 , 1B5ABV 10 x 26 , 13 D . Com resultados semelhantes a equao Wilke-Chang. Fundamentos de Transferncia de Massa 1.14 Samuel Luporini/DEQ/UFBA O coeficiente de difuso de um sal univalente em solues diludas pode ser calculado utilizando a equao de Nernst e equivalent Coulumbs/g 96500 Faradayde constanteCREMASCO - 1.10 Tabela

cme equivalent gcm volt Ampzero o concentra a inica a condutnci ,gmol . K / J 316 , 8 R1 1RT 2D3 3o o2o oAB

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+ + + Substituindo 2 por 1/n+ + 1/n- onde n+ e n- so as valncias do ction e anion. Para temperaturas diferentes de 25oC, estes parmetros podem ser estimados a partir da seguinte correlao: ( ) ( )3 2C 25 iT C iT) 25 T ( c ) 25 T ( b ) 25 T ( ao o + + + Tabela 1.11 CREMASCO Exemplo 10: Estimar o coeficiente de difuso em soluo diluda do cloreto de potssio a 30o C. Comparar com o valor experimental de 2,233 x 10-5 cm2/s. Fundamentos de Transferncia de Massa 1.15 Samuel Luporini/DEQ/UFBA DIFUSO EM SLIDOS CRISTALINOS Fundamentos de Transferncia de Massa 1.16 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Arranjos nas estruturas cristalina: cbica, CCC, CFC. Movimento do soluto ocupar vazios (falhas na estrutura cristalina ou nos interstcios entre os tomosdamatriz cristalina. A energia de vibrao do tomo deve ser alta o suficiente para vencer a barreira energtica Q determinada pela energia de ativao. Exerccio 11: Estime a difusividade do carbono em Fe (CCC) e em Fe (CFC) a 1000 C. Analise os resultados. Q difuso z Energia RT Qo ABe D DQ = energia de ativao difusional (cal/mol) R = 1,987 cal/mol K Do=coeficientededifusosemque houvesse a necessidade de salto energtico Q e Do = TABELA 1.13 - CREMASCO Fundamentos de Transferncia de Massa 1.17 Samuel Luporini/DEQ/UFBA DIFUSO EM SLIDOS POROSOS a)Difuso de Fick ou ordinria b)Difuso de Knudsen c)Difuso configuracional Difuso ordinria Poros maiores que o livre caminho mdio das molculas difundentes. dzdCD JAef z , A 1 Lei de Fick Def = coeficiente efetivo aparece em razo da natureza tortuosa do slido poroso. Fundamentos de Transferncia de Massa 1.18 Samuel Luporini/DEQ/UFBA pAB efD D p = porosidade = tortuosidadeTABELA 1.14 CREMASCO = 4,0 p= 0,5Na ausncia de dados tabelados Difuso de Knudsen Poros estreitos da ordem de tamanho do livre caminho mdio do difundente, ocorre colises com as paredes dos poros. p kd31D dp = dimetro mdio dos poros (cm) = velocidade mdia molecular (cm/s) [ ][ ] cm SV 2S2rs / cmMTr 10 x 7 , 9 DpBpp22 1Ap3k

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Fundamentos de Transferncia de Massa 1.19 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Onde:p = porosidade do slido S = rea da matriz porosa B = massa especifica aparente do slido Vp = volume especifico do poro da partcula slida Quando a tortuosidade do poro considerada, efetuar a correo: pK KefD D Devidoaestruturadoslidoporoso,umsolutogasoso,aosedifundir,podedepararcomvrios tamanhos de poros, ocorrendo a difuso ordinria e a de Knudsen, logo: { 3 2 1 3 2 1KnudsenKefFick de Lei 1a segueordinriaefefetivoAefD1D1D1a+ Exemplo 1.12: Determine o coeficiente efetivo de difuso do dixido de carbono em partcula cataltica esfrica de alumina a 30 C. Difuso configuracional Ocorre em matrizes porosas (zelitas). Macro e microporos. Arranjo tipo colmia peneira molecular. A difuso ocorre devido a saltos energticos do solutos pelos microporos.

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RTQexp D Do Azeo TABELA 1.16 CREMASCO Fundamentos de Transferncia de Massa 1.20 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Difuso em membranas Osmose inversa Ultrafiltrao Dilise Perevaporao Perpetrao Podem ser de materiais cermicos inorgnicos ou materiais polimricos orgnicos A difuso do soluto em polmeros ocorrepor um processo de estado ativado, via saltos energticos, ocupando vazios na estrutura polimrica.

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RTQexp D Do ame TABELA 1.17 - CREMASCO Fundamentos de Transferncia de Massa 1.21 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Exemplo 1.13: Estime a difusividade do CO2 a 30 C para as seguintes situaes: a)difuso em um membrana de borracha butilica. b)difuso em uma membrana de polibutadieno. c)difuso em uma membrana de poli(dimetil butadieno). Fundamentos de Transferncia de Massa 1.22 Samuel Luporini/DEQ/UFBA TRANSFERNCIA DE MASSA CONVECTIVA oEnvolveumfluidoemmovimentoeumasuperfcieouentredoisfluidosemmovimento relativamente imiscveis. oDependedaspropriedadesdetransporteedascaractersticasdinmicasdofluidoem escoamento. oQuandobombasououtrosequipamentossimilaresexternoscausamomovimentonofluido conveco forada. oMovimento do fluido causado pela diferena de densidade, a qual conseqncia da diferena de concentrao ou temperatura conveco natural. A c Ac k N Equao da taxa de transferncia de massa convectiva, generalizada de uma maneira anloga a lei de resfriamento de Newton. NA = Transferncia de massa molar, cA=diferenaentreaconcentraodasuperfcieeaconcentraomdiadacorrentede fluido da espcie A se difundindo. kc = coeficiente de transferncia de massa convectivo. oTransfernciademassamolecular:atransfernciademassaconvectivaocorrenadireodo decrscimo de concentrao. okcinclui as caractersticas de escoamento laminar e turbulento. okc uma funo da: geometria, propriedades do fluido e escoamento, cA. oSimilaridades entre kc e h tcnicas desenvolvidas para avaliar h, pode ser reaplicadas para kc.Equaes diferenciais em transferncia de massa 2.1 Samuel Luporini/DEQ/UFBA CAPITULO 2: EQUAES DIFERENCIAIS EM TRANSFERNCIA DE MASSA O balano material para uma dada espcie qumica A atravs de um volume de controle apropriado :

controle de volume no massa deacmulo de Taxacontrole de volume no massa deproduo de Taxacontrole de volume no sai quemassa de Taxacontrolede volume no entraque massa de Taxa

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+

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(2.1) A transferncia de massa atravs da reaz y para x ser : A A Axx , A An ou z y r O fluxo lquido (entrada-sada) do constituinte A ser: zz A,z zz A,yy A,y yy A,xx A,x xx A,y x n y x n : z direo a n ez x n z x n : y direo a nz y n z y n : x direo a n + + + A taxa de acmulo de A no volume de controle ser: y ? y x y z x z Equaes diferenciais em transferncia de massa 2.2 Samuel Luporini/DEQ/UFBA z y xtA Se A produzido no interior do volume de controle por uma reao qumica a uma taxa rA (massa de A produzida)/(volumetempo), a taxa de produo de A : z y x rA Substituindo cada termo na equao (2.1) temos: 0 rt zn nyn nxn n: termos os cancelando e , z y x volume pelo Dividindo0 z y x r z y xty x ny x n z x n z x n z y n z y nAA zz A,z zz A,yy A,y yy A,xx A,x xx A,AAzz A,z zz A,yy A,y yy A,xx A,x xx A, +++ + + + + + + + + + (2.3) 0 rtnA componente o para de continuida da equao A (2.2)0 rt znynxn: temos zero a tendendo ? z e ? y? x, com limite o AvaliandoAAAAAz , A y , A x , A + +++r Uma equao da continuidade similar pode ser desenvolvida para o componente B. 0 rtnBBB + r(2.4) Adicionando os dois componentes, ns obtemos: Operador divergente Equaes diferenciais em transferncia de massa 2.3 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ( )( )( ) 0 r rtn nB AB AB A + + + + r r Para uma mistura binria vale: + +r r rr rn nB B A A B A + B A r rB A Logo: ( )0t + r(2.5) Da definio de derivada substantiva: +rt DtD Figura 3.2 Cremasco Logo: 0DtD +r em termos de frao molar: Equaes diferenciais em transferncia de massa 2.4 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 0 r JDtDwA AA + r 0 r J wtwA A AA + +r r Em termos de unidades molares: 0 RtcNAAA + rComponente A 0 RtcNBBB + rComponente B e a mistura: ( )( )( ) 0 R Rtc cN NB Ac AB AA + + + + r r + +r r r r rc c c N NB B A A B A c c cB A + No se pode tomar RA + RB = 0, salvo para cada mol de A produzido desaparece o mesmo tanto de B (ou vice-versa). B A em geral: ( ) 0 R RtccB A + + r [ ] ( )B AR R c ctc+ + +r r Equaes diferenciais em transferncia de massa 2.5 Samuel Luporini/DEQ/UFBA FORMAS ESPECIAIS DA EQUAO DIFERENCIAL DE TRANSFERNCIA DE MASSA Temos a equao para o componente A: AAARtcN + r Como:( )B A A A AB AN N y y cD Nr r r+ + e seus equivalentes: + r rA A AB Ac y cD N e( )B A A A AB An n w w D nr r r+ + e seu equivalente: + rrA A AB Aw D n ns obtemos: 0 rtw DAAA A AB + + r (2.6) 0 Rtcc y cDAAA A AB + + r(2.7) SIMPLIFICAES a)Seadensidadedamistura,,eocoeficientededifuso,DAB,soassumidosconstantes,a equao (2.6) torna-se:

{0 rtDAAAde continuida da equao0A A2AB + + + r r Equaes diferenciais em transferncia de massa 2.6 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Dividindo cada termo pelo peso molecular ( ) ( ) geraodifusivao contribuiacmuloconvectivao contribuiR c DtccA A2ABAA+

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+

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+ + r (2.8) b)RA = 0: sem reao qumica, e DAB = constantes A2ABAAc Dtcc + r ou A2ABAc Dt Dc D c)0 r, RA = 0: sem reao qumica, e DAB = constantes A2ABAc Dtc 2 Lei de Fick da difuso. - Lquidos estagnados - Slidos d)Asequaesdositensa,becpodemsersimplificadasseoprocessoestaemestado estacionrio, isto : 0tcA Se0 cA2 temos a equao de Laplace. Laplaciano 2 : coordenadas retangulares, cilndricas e esfricas. 2 Lei de Fick

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++2A22A22A2ABAzcycxcDtcCoordenadas retangulares. Equaes diferenciais em transferncia de massa 2.7 Samuel Luporini/DEQ/UFBA

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+ ++2A22A22A2A2ABAzc cr1rcr1rcDtc Coordenadas cilndricas. 11]1

+

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+

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2A22A2A 22ABAcsen r1csensen r1rcrrr1DtcCoordenadas esfricas. A equao diferencial geral para transferncia de massa do componente A, ou a equao da continuidade de A so descritas nas 3 coordenadas, como: Az , A y , A x , AARzNyNxNtc

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+++ ( )Az , A , Ar , AARzN Nr1N rr r1tc

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+ ++ ( ) ( )A, A, A r , A22ARNsen r1sen Nsen r1N rrr1tc11]1

+ ++ CONDIES DE CONTORNO E INICIAL MAIS COMUM As condies de contorno e inicial utilizadas so muito similares aquelas de transferncia de calor. Condies iniciais: Para t = 0, cA = cA0 (unidades molares) Para t = 0, A = A0 (unidades mssicas) As condies de contorno geralmente encontradas, so: a)A concentrao na superfcie pode ser especificada: cA = cA1 , fraes molares yA = yA1, gases Equaes diferenciais em transferncia de massa 2.8 Samuel Luporini/DEQ/UFBA xA = xA1, lquidos e slidos A = A1, concentrao mssica wA = wA1, frao mssica Quando o sistema um gs pode-se utilizar a presso parcial pela lei Dalton: pA = pA1 = yA1P Para casos especficos de difuso de um lquido dentro de uma fase gasosa, pode-se utilizar a equao da lei de Rault: pA1 = xAPA onde: xA = frao molar da fase lquida PA = presso de vapor de A na transferncia ao lquido b)O fluxo mssico para a superfcie pode ser especificado como, por exemplo: jA = jA1 ou NA = NA1

O fluxo na superfcie pode ser: 0 zAAB z , AdzdwD j Em superfcies impenetrveis: jA,z = 0 c)A taxa de reao qumica pode ser especificada: 1 A 1 1 Ac k N reao de 1 ordem, sendo k1 a constante da taxa. Equaes diferenciais em transferncia de massa 2.9 Samuel Luporini/DEQ/UFBA d)Quandoofluidoestaescoandosobreumafase,aespciepodeserperdidaapartirdafasede interesse por transferncia de massa convectiva. ( ) A 1 A c 1 Ac c k N cA = concentrao de A na corrente de fluido. cA1 = concentrao de A no fluido adjacente a superfcie. kc = coeficiente de transferncia de massa convectivo. EXEMPLO 2.1: Numcilindrodecombustvelnuclearcommaterialfissionvel,ataxadeproduodenutrons proporcional a concentrao de nutrons. Use a equao diferencial de transferncia de massa para escreveraequaodiferencialquedescreveoprocessodetransfernciademassa.Listesuas condies de contorno. EXEMPLO 2.2: Numa cmara de combusto, o oxignio difunde atravs de um filme de ar para a superfcie de carbono, onde ele reage de acordo com a seguinte equao: 2 2CO CO 2 O 2 C 3 + + a)Escrevaaequaodiferencialespecificaparaesteprocessoemestadoestacionrioparao componente O2. b)Escreva a lei de Fick para o componente oxignio. z = 0 O2 CO CO2 z = Difuso em regime permanente 3.1 Samuel Luporini/DEQ/UFBA CAPTULO 3: DIFUSO EM REGIME PERMANENTE Temos a equao diferencial de transferncia de massa: 0 RtcNAAA + r RA = taxa de produo qumica do componente A dentro da fase atravs da qual a massa esta sendo transferida. tcA = acumulo de A dentro da fase. AN = taxa lquida de fluxo mssico do componente A. tcA = 0 no estado estacionrio, ou seja, a concentrao de A no varia com o tempo. TRANSFERNCIADEMASSAUNIDIMENCIONALINDEPENDENTEDEREAO QUMICA Num sistema binrio, o componente z deste fluxo expresso por: ( )z , B z , A AAAB z , AN N ydzdycD N + + 3.1 DIFUSO ATRAVS DE UM FILME GASOSO INERTE E ESTAGNADO Encontrar o fluxo molar da difuso atravs de um filme gasoso inerte e estagnado Hipteses: T e P = constantes B quimicamente inerte a A Solubilidade de B em A desprezvel Difuso em regime permanente 3.2 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Figura 3.1 Clula de difuso de Arnold Soluo: ( ),ln B2 A 1 A1 2ABz , Ayy yz zcDN(3.1) Para um gs ideal: Ppy eRTPVncAA , substituindo em (3.1), temos: ( )( )ln , B2 A 1 A1 2ABz , App pz z RTPDN (3.2) Asequaes(3.1)e(3.2),correspondenteadifusoemestadoestacionriodeumgs atravs de um segundo gs estagnado. Um difunde e o outro no absoro e umidificao. Aequao(3.2)temsidousadaparadescreverocoeficientedetransfernciademassa convectivo pela teoria do filme. Figura3.2ModelodofilmeparaatransfernciademassadocomponenteAmovendoparaa corrente gasosa. Lquido puro A z = z1 z = z2 z NAz|z NAz|z+z Gs B escoando Escoamento de gs B Lquido A Lquido A z = z = 0 NAz Corrente de gs principal Filme de gs movendo lentamente Difuso em regime permanente 3.3 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Neste casoz2 z1 = , logo a equao (3.2) fica: ( )ln , B2 A 1 A ABz , App pRTPDN Pela definio de conveco temos: ( )2 A 1 A c z , Ac c k N ou ( )2 A 1 Acz , ARTkN Por comparao o coeficiente de transferncia de massa convectivo : ,ln BABcpP Dk Modelo do filme sugere que AB cD k Outros modelos (captulo 28 Welty)1 a 0,5 n: onde, D knAB c Determine o perfil de concentrao para a difuso atravs de um filme gasoso inerte estagnado e tambm sua concentrao media. Soluo: ( ) ( )1 2 1z z z z1 B2 B1 BByyyy

,_

Perfil de concentrao

( ),ln B1 b 2 B1 B 2 BByy y lny yy Concentrao mdia Difuso em regime permanente 3.4 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Exerccio 3.1: Atravsdeumaaberturaacidentaldeumavlvula,guafoiespalhadanochodeumaplanta industrialemumarearemotadedifcilacesso.Estimarotemponecessrioparaevaporaragua nas vizinhanas que esta estagnada. A camada de gua de 0,04, que pode ser assumida constante a temperatura de 75 F. O ar esta a 75 F e 1 atm, com uma umidade absoluta de 0,002 lb de gua/lb ar seco.A evaporao assumida constante e ocorre por difuso molecular atravs do filme de gs de espessura 0,20 in. Resposta: 2,73 hrs 3.2 DIFUSO PSEUDO-ESTACIONRIA NUM FILME GASOSO ESTAGNADO Um dos contornos move com o tempo Aps um intervalo de tempo longo, nota-se a variao no nvel do lquido a partir do topo do capilar. Figura 3.3 Clula de difuso de Arnold com liquido se movendo na superfcie. Sobre um intervalo de tempo considervel somente uma pequena frao de difuso. t1 t0 => longo tempo. O fluxo molar na fase gasosa estagnada : ( )z z zonde ,yy yzcDN1 2,ln B2 A 1 A ABz , A (3.2.1) z z = z1 para t0 = zto z = z1 para t1 = zt Lquido puro A NAz|z NAz|z+z Gs B escoando Difuso em regime permanente 3.5 Samuel Luporini/DEQ/UFBA O fluxo molar NA,z esta relacionado com a quantidade de A deixando o liquido por: lquida fase na Ade molardensidadeMonde ,dtdzMNAL , AAL , Az , A (3.2.2) Em condies pseudo-estacionria, igualam-se (3.2.1) e (3.2.2), ( ),ln B2 A 1 A ABAL , Ayy yzcDdtdzM (3.2.3) Integrando: ( ) t0tzz2 A 1 A ABA ln , B L , At0dz zy y cDM ydt Rearranjando, temos: ( )

,_

2z zt y y cM yD2t2t2 A 1 AA ln , B L , AAB0(3.2.4) A equao (3.2.4) utilizada para determinao do coeficiente de difuso do gs a partir dos dados experimentais da clula de Arnold. Exemplo 3.2: E. M. Larson, usando uma clula de Arnold, mediu a difusividade do clorofrmio no ar a 25 C e 1 atm de presso. A densidade do clorofrmio lquido a 25 C 1,485 g/cm3, e sua presso de vapor a 25C200mmHg.Notempotempot=0asuperfciedoliquidodeclorofrmioera7,40cma partir do topo do tubo, e aps 10 hrs a superfcie do lquido caiu de 0,44 cm. Se a concentrao do clorofrmio zero no topo do tubo, qual seria o coeficiente de difuso do gs clorofrmio no ar? Resposta: 9,3 x 10-6 m2/s Difuso em regime permanente 3.6 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3.3 CONTRADIFUSO EQUIMOLAR Destilao de 2 constituintes quando os calores latentes de vaporizao so iguais. Fluxos iguais em direes opostas. z , B z , AN N 0 NA Considerando somente a direo z: 0 Ndzdz , A Lei de Fick ( )4 4 4 3 4 4 4 2 143 42 1bulkz , B z , A AdifusoAAB z , AN N ydzdcD N + + Como z , B z , AN N , logo: dzdcD NAAB z , A (3.3.1) Condies de contorno: Para z = z1 temos: cA = cA1 Para z = z2 temos: cA = cA2 Integrando a equao (3.3.1) com as c.c., temos: ( )2 A 1 A1 2ABz , Ac cz zDN (3.3.2) Pela lei dos gases ideais: e.e. = 0sem reao = 0 0 RtcNAAA + r Difuso em regime permanente 3.7 Samuel Luporini/DEQ/UFBA RTpVncA AA , substituindo, fica: ( )( )2 A 1 A1 2ABz , Ap pz z RTDN (3.3.3) Asequaes(3.3.2)e(3.3.3)socomumentereferidascomoequaesdacontradifuso equimolar no estado estacionrio. Obter o perfil de concentrao para contradifuso equimolar no estado estacionrio. Resposta: 2 112 A 1 A1 A Az zz zc cc c Por comparao: ( ) ( ) AB o2 A 1 Ao2 A 1 AABz , ADk : Logoc c k c cDN para a contradifuso equimolar. Exemplo 3.3: Calculeofluxomolardaamniagasosa,sabendo-sequeelasedifundenumcapilarde10cmde comprimentocom2reservatrioscontendonitrognio.Osistemaestaa25Ce1atm.Apresso parcial da amnia em um dos reservatrios 90 mmHg e no outro 10 mmHg. Resposta: -1,07 x 10-7 gmol/s.cm2 NA,z pA2 =90 mmHg pA1 =10 mmHg z A amnia B Nitrognio Difuso em regime permanente 3.8 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3.4 SISTEMAS ASSOCIADOS COM REAES QUMICAS Quandoocorreuniformementeatravsdeumafase=>reaohomognea.Aconteceemtodos os pontos do elemento de volume. Aparece diretamente na equao da continuidade do soluto. Toma lugar numa regio restrita no contorno da fase => reao heterognea. {0 RtcN) (homognea Aespcie dato aparecimen de taxaAAA + r (3.4.1) NumareaoheterogneaataxadeaparecimentodeAnoaparecenaequaodiferencial, desde que a reao no ocorra dentro do volume de controle, ao invs disto ela entra na analise como uma condio de contorno: 0 A szz , A Ac k N R AreaoheterogneaasvezesaparecenaequaodacontinuidadedeA=>sistemaspseudo-homogneo. 3.4.1 DIFUSO SIMULTNEA E HETEROGNEA, REAO QUMICA DE 1 ORDEM: DIFUSO COM VARIAO DE REA Quandoataxadereaoinstantneaemrelaoataxadedifuso=>processocomdifuso controlada. Quando a taxa de reao para o componente transferido nos limites da superfcie limita a taxa de transferncia de massa => processo com reao controlada. Difuso em regime permanente 3.9 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Exemplo: Partcula de carvo pulverizada dentro de uma cmara de combusto em leito fluidizado => difuso controlada. Moles de oxignio transferido pelo tempo Figura Difuso atravs de um filme esfrico ( ) ( ) ( ) ( ) g CO g CO 2 g O 5 , 2 s C 32 2+ + Equao geral de transferncia de massa em coordenadas esfricas: ( ) ( )Ar em nal unidireciodifuso0, A, A r , A22io estacionrestado0ARNsen r1sen Nsen r1N rrr1tc11111111]1

+ ++4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 2 1 3 2 1 RA = 0 se A = O2 => nenhuma reao homognea ocorre ao longo do caminho da difuso. ( )Rr , O2rr , O2r , O2r , O22 2 2 2N R N r ou cte N r 0 N rr quadro C R r r NCO2,r NO2,r NCO,r Ar nas vizinhanas Difuso em regime permanente 3.10 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Equao da Lei de Fick para o O2 fica: drdyy 2 , 0 1cDN2222OOmis Oz , O+ Condies de contorno: r = R, yO2 = 0reao instantnea r = , yO2 = 0,21 Soluo:,_

,_

042 , 11ln2 , 0cDR1N rmis Oz , O2 22 Como( )r O22 O2 2N r 4 tempo pelo do transferi O de Moles W ( ) 042 , 1 ln2 , 0cDR 4 Wmis OO22 A esfera de carvo oxida com o tempo => diminuio da esfera => pseudo-estacionrio Tempo para esfera de carbono encolher de um raio inicial para um final. Balano material para o carbono: ( ) ( ) ( )( ) ( )dtdRR 4M dtdVMondedtdVMw 0C C C2CCCCCCCacumulado sai entra

,_

quadro ( )( ) 042 , 1 ln cD 12R RMtmis O2f2iCC2 Difuso em regime permanente 3.11 Samuel Luporini/DEQ/UFBA PRODUO DE DIOXIDO DE CARBONO SOMENTE ( ) ( ) ( ) g CO g O s C2 2 + quadro Equao da Lei de Fick para o O2 fica: drdycD N22 2Omis O r , O Condies de contorno: r = R,a) instantne (no ordem 1a. de Reao c k Ns O sR rO2 2 r = , yO2 = yO2 Soluo:( )s O O mis O r , O22 2 2 2y y cDR1N r ,_

Como ( )r O22 O2 2N r 4 tempo pelo do transferi O de Moles W ( )s O O mis O O2 2 2 2y y RcD 4 W C R r r NCO2,r NO2,r Ar nas vizinhanas Difuso em regime permanente 3.12 Samuel Luporini/DEQ/UFBA quadro c kNccysR O s Os O2 22 logo: R kD1y RcD 4Wsmis OO mis OO22 22 + Se mis O s2D k>> 2 2 2O mis O Oy RcD 4 W EXEMPLO 3 Um reator de leito fluidizado de carvo tem sido proposto para uma nova planta. Se operar a 1145 K,oprocessoserlimitadopeladifusodeoxignioemcontracorrentecomdixidodecarbono, formado na superfcie da partcula. Assumir que o carvo carbono puro slido com densidade de 1,28x103kg/m3equeapartculaesfricacomdimetroinicialde1,5x10-4m.Ar(21%O2e 79% N2) existe a vrios dimetros da esfera. Sob as condies de combusto, a difusividade do O2 na mistura 1,3 x 10-4 m2/s a 1145 K. Se o processo esta em estado estacionrio, calcular o tempo necessrio para reduzir o dimetro da partcula de carbono a 5 x 10-5 m. O ar nas vizinhanas uma fonteinfinitadetransfernciadeO2,ondeaoxidaodocarbononasuperfciedapartcula diminuda pela transferncia de O2. A reao na superfcie :( ) ( ) ( ) g CO g O s C2 2 +Resposta: t = 0,92 s Difuso em regime permanente 3.13 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3.4.2 DIFUSO COM UMA REAO QUMICA DE 1 ORDEM HOMOGNEA Operaes unitrias: um constituinte de uma mistura gasosa preferencialmente dissolvido em contato com um liquido. Dependendo da natureza qumica das molculas envolvida a absoro pode envolver reao qumica. Condies de contorno: Em z = 0 cA = cA0 Em z = cAs = 0 Figura Absoro com reao qumica homognea. Fluxo molar:( )4 4 4 3 4 4 4 2 143 42 1filmedo dentro pequena muito A de o concentra a 0,bulkz , B z , A AdifusoAAB z , AN N ydzdcD N+ + (3.4.2.1) Equao diferencial de transferncia de massa no estado estacionrio considerando apenas a direo z: {0 RdzdN) (homognea Aespcie damento desapareci de taxaAz , A (3.4.2.2) A 1 Ac k R Taxa de desaparecimento de A reao qumica de 1 ordem. (3.4.2.3) Substituindo (3.4.2.3) e (3.4.2.1) em (3.4.2.2), temos: z z = 0 zz = NAz|z NAz|z+z Lquido BSuperfcie do lquidoMistura gasosa(A e gs inerte) Difuso em regime permanente 3.14 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 0 c kdzdcDdzdA 1AAB +

,_

, com DAB = constante, fica: 0 c kdzc dDA 12A2AB + (3.4.2.4) A soluo geral da equao (3.4.2.4) : zDksenh c zDkcosh c cAB12AB11 A+ As condies de contorno permitem calcular c1 e c2 (quadro), e o perfil de concentrao fica: AB1AB10 AAB10 A ADktghzDksenh czDkcosh c c (3.4.2.4) Fluxo molar: dzdcD NAAB z , A Soluo: AB1AB10 A AB0 zz , ADktghDkc DN(3.4.2.5) Se no houver reao qumica: 0 A ABz , Ac DN Numero adimensional de Hatta =AB1AB1DktghDkmostra a influencia da reao qumica. Difuso em regime permanente 3.15 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Se a taxa da reao qumica aumenta (k1 aumenta) o fatorAB1Dktghse aproxima de 1, e ( ) 0 c k D N0 A 1 AB0 zz , A Por comparao com a equao da conveco:( )2 A 1 A c z , ac c k N , temos que: AB cD kTeoria da penetrao Se AB cD kTeoria do filme EXEMPLO 4 Considerandoumprocessounitriocomumdiscorotativoparaotratamentodefenol(espcieA) emgua.Obiofilmecontmummicrorganismoemenzimaperoxidasequedegradaofenol.A concentraodeAdentrodobiofilmediminuirmedidaqueopenetra,ousejaAdegradado. No h resistncia convectiva entre o fluido e a superfcie do biofilme. Figura Tratamento de gua de lavagem por biofilme. desejvel tratar 0,1 m3/h de gua contendo 0,1 mol/m3 de fenol. Se a espessura do biofilme 2 x 10-3 m, qual a rea do biofilme necessria para obter uma concentrao de sada de 0,02 mol/m3? A taxa de degradao descrita pela cintica de Michales-Menten: A AA max , AAc kc RR+ onde RA,max = 5,7 x 10-3 mol/m3, kA = 0,3 mol/m3 e DAB = 2 x 10-10 m2/s a T = 25 C. Soluo: S = 57 m2 Corrente de alimentao da gua de lavagem CAi = moles/m3

Biofilmegua de lavagem tratadaCAO Mistura perfeita Seo transversal do biofilme CAO CA(z) biofilme Superfcie Slida inerte z = 0 z = dcA/dz = 0 Captulo 28 Welty Difuso em regime permanente 3.16 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3.4.3 DIFUSO INTRAPARTICULAR COM REAO QUMICA (Cremasco) Quando um slido poroso apresenta sua rea interna maior (30 m2/g ou maior) ou da mesma magnitudedoqueasuasuperfcieexterna,considera-seosoluto,depoisdeatingirasuperfcieda partcula,difundanointeriordestaparadepoisserabsorvidoesofrertransformaoporreao qumica nas paredes dos stios ativos do catalisador, conforme mostra a figura. Figura - Difuso com reao qumica heterognea no interior de um slido poroso Termoreacional=aRA,ondea=superfciedoporo/unidadedevolumedamatrizporosa (sistema pseudo-homogneo) Equao geral para espcie A: ( ) ( )Ar em nal unidireciodifuso0, A, A r , A22io estacionrestado0AR aNsen r1sen Nsen r1N rrr1tc 11111111]1

+ ++4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 2 1 3 2 1

( )A r , A22R a N rrr1 (3.4.3.1) Sendo a reao de desaparecimento do soluto A escrita como: A s AC k R (3.4.3.2) RA slido poro A B CAs Difuso em regime permanente 3.17 Samuel Luporini/DEQ/UFBA O fluxo de A no interior da matriz porosa ser dado por: drdCD NAef r , A (3.4.3.3) Supondo temperatura e presso constantes e substituindo (3.4.3.2) e (3.4.3.3) em (3.4.3.1), Aefs 2 A 2CDa krdrdCrdrd

,_

(3.4.3.4) Denominando: efs 2Da k A equao (3.4.3.4) fica na forma: 0 CdrdCr2drC dA2 A2A2 + (3.4.3.5) a qual esta sujeita as seguintes condies de contorno: C.C.1: em r = R CA = CAs C.C.2: em r = 0 finito valorC lim ou0drdCA0 rA (simetria da partcula) Chamando: ArC A equao (3.4.3.5) fica: 0drd222 + (3.4.3.6) A soluo geral da eq. (3.4.3.6) : ( ) ( ) r senh C r cosh C2 1 + ou ( ) ( ) [ ] r senh C r cosh Cr1C2 1 A + (3.4.3.7) A determinao das constantes parte da aplicao das condies de contorno C.C.1 e C.C.2, ficando: Difuso em regime permanente 3.18 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ( )( ) R senhr senhrRCCAsA (3.4.3.8) Aeq.(3.4.3.8)forneceoperfildeconcentraodeAnointeriordamatrizporosaemfunoda relao entre as resistncias a difuso e a reao qumica irreversvel de 1 ordem que se processa nos stios internos da partcula. O fator de efetividade Ofatordeefetividaderepresentaoefeitoqueataxadamatriaexercenataxadereao numapartcula,sendodefinidocomoarazoentreataxarealdereaoqumica,Rsg,eataxada reao baseada nas condies de superfcie externa da partcula, como se toda a superfcie ativa dos poros estivesse exposta nas mesmas condies da superfcie, sgR . Assim: sgsgRR com: R rAef2R , A2sgdrdCD R 4 N R 4 R representadotodoosolutoconsumidonasuperfcieexternadapartculatransportadoparadentro dessa partcula. Substituindo a eq. (3.4.3.8) e efetuando a derivao, temos: ( ) ( ) [ ] R coth R 1 C RD 4 RAs ef sg Caso ocorra somente reao qumica irreversvel de 1 ordem, a taxa : As s3A3sgC ak R34R R34R Logo: ( ) ( ) [ ]( )2R1 R coth R 3 Oparmetropodeserreformuladodaseguintemaneira: neR ,queomodulodeThiele, indica a relao entre a taxa de reao qumica de 1 ordem e a taxa de difuso. E Rne = Vp/Sm um raiogeneralizadoquedependedageometriadapartcula.Paesferaperfeita:Vp=4R3/3eSm= 4R2, logo: R = 3. Difuso em regime permanente 3.19 Samuel Luporini/DEQ/UFBA O perfil de concentrao do soluto e o fator de efetividade em funo do modulo de Thiele no interior do catalisador esfrico so fornecidos por: ( )( ) 3 senhR r 3 senhrRCCAsA ( )231 3 coth 3 Para catalisadores muito ativos (ks elevado) = elevado baixos valores de Para catalisadores pouco ativos altos valores de utilizam quase toda a rea interna do catalisador. Exemplo Nocraqueamentocatalticodopetrleoutilizaram-semicroesferasdeslica-aluminadedimetro igual a 1,8 mm e de rea especifica dos poros de 3,2 cm2/cm3. Estime o valor do fator de efetividade considerandoqueareaoqumicacataltica,cujavelocidade6,9cm/s,irreversvelede1 ordem. O coeficiente efetivo de difuso 8,0 x 10-4 cm2/s. Resposta: = 0,187 Difuso em regime permanente 3.20 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3.5 SISTEMAS DE DUAS E TRS DIMENSES A transferncia de conduo de calor anloga a transferncia de massa molecular, as solues analticas, analgicas e numricas so similares (cap. 17 Welty). J.Crank The Mathematics of Diffusion, Oxford University Press, London,1957. Exemplo: Considerarumaplacaplanaretangularfina,larguraWecomprimentoL.Otopoimersoem inseticida (y = L). Figura 3.5.1 Modelo de trs dimenses para o transporte de inseticida. A equao geral de transferncia de massa fica: 0 RtcNAAA + r ou {0 RtczNyNxNqumicareaosem0Aio estacionrestado0A0AzAyAx +++3 2 1 3 2 1(3.5.1) ( )4 4 4 3 4 4 4 2 10 bulktermoBx Ax AAAB AxN N ydxdCD N+ + (3.5.2) x y CA = 0 CA = C(x) CA = 0 CA = 0 L 0W Difuso em regime permanente 3.21 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ( )4 4 4 3 4 4 4 2 10 bulktermoBy Ay AAAB AyN N ydydCD N+ + (3.5.3) Substituindo (3.5.3) e (3.5.2) em (3.5.1): 0yCxC2A22A2+(3.5.4) que uma equao diferencial parcial, linear e homognea com soluo da forma: ( ) ( ) ( ) y Y x X y , x CA(3.5.5) Substituindo (3.5.5) em (3.5.4), temos: 2222y dY dy1x dX dx1 Ambos os lados so constantes, logo: 0 Xx dX d222 + (3.5.6) 0 Yy dY d222 (3.5.7) A eq. (3.5.6) tem a soluo geral da forma: x Bsen x cos A X + (3.5.8) A eq. (3.5.7) tem a soluo geral da forma: y yEe De Y + (3.5.9) A eq. (3.5.5) fica: ( ) ( )( )y yAEe De x Bsen x cos A y , x C + + (3.5.10) Difuso em regime permanente 3.22 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Onde A, B, C e D so constantes avaliadas pelas condies de contorno: x = 0 CA = 0 x = W CA = 0 y = 0 CA = 0 y = L CA = C(x) Utilizando as trs primeiras condies de contorno a soluo : ( )Wy nsenhWx nsen A y , x C1 nn A (3.5.11) Utilizando a ultima condio de contorno: ( )WL nsenhWx nsen A x C1 nn A (3.5.12) A avaliao de An mostrada por Cremasco, a soluo final : ( ) ( ) dxWx nsen x CWx nsenWL nsenhWy nsenhW2y , x CW0A1 nA

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1111]1

,_

,_

(3.5.13) A equao (3.5.13) resolvida aps se conhecer a funo CA(x). Exemplo: Considere a situao na qual ocorra o fluxo mssico de A atravs da superfcie de um catalisador. Ao entrar em contato com o catalisador, o soluto A se difunde nas direes x e y. Atingindo trs das quatrosuperfcies,aespcieAreageinstantaneamente.Emy=Lparaqualquerx,asua concentraomantm-seconstanteemumvalor.Considerandoaexistnciadacontradifuso equimolar entre produto e reagente, pede-se: a) a distribuio mssica do soluto A. Difuso em regime permanente 3.23 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3.6 TRANSFERNCIA SIMULTNEA DE MOMENTO, CALOR E MASSA Exemplo:Secagemdeumasuperfciemolhadapelocalordeumgsquenteeseco:energia transferidaaparasuperfciefriaporconvecoeradiao;transfernciademassaassociadaa entalpia na corrente gasosa se movendo. Osprocessosdetransportesimultneossomaiscomplexos,requerendootratamento simultneo de cada fenmeno de transporte envolvido. 3.6.1 Transferncia simultnea de calor e massa Condies isotrmicas n1 ii iDH NAqrr (3.6.1.1) mistura numa i de parcial molarentalpia Hmssica difuso porcalorde fluxoAqiDr Condies no isotrmicas (diferenas de temperatura) { {+ n1 ii iconvectivo condutivoDH N T h T kAqrr (3.6.1.2) Difuso em regime permanente 3.24 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Exemplo: Condensao de vapor em uma superfcie fria A condensao de um filme liquido escoando para baixo em uma superfcie fria e um filme de gs na qual o condensado transferido por difuso molecular. Figura Condensao de vapor em uma superfcie fria. z1 yA1 = conhecido por psicometria T1 = conhecido T3 = conhecida (temperatura na superfcie) Na fase gasosa ocorre conveco natural onde h estimado pela equao: ( ) [ ]9 416 94 1LLPr / 492 , 0 1Ra 670 , 068 , 0 Nu++ A equao diferencial que descreve a transferncia de massa na fase gasosa : 0 Ndzdz , A fluxo mssico constante na direo z. SeocomponenteAestasedifundindoatravsdogsestagnado,ofluxodescritopelaseguinte forma da lei de Fick: dzdyy 1cDNAAABz , ASe o perfil de temperatura conhecido: Filme lquido condensado Contorno do filme gasoso T1 T2 T3 T = T(z) yA1 yA2 yA= yA(z) z3z2 z1 Difuso em regime permanente 3.25 Samuel Luporini/DEQ/UFBA n1 1zzTT

,_

Podemos estimar o coeficiente de difuso que varia com a temperatura: 2 n 31TAB2 31TAB ABzzDTTD D1 1

,_

,_

A concentrao tambm varia com a temperatura: ( )n1z z RPRTPc A equao de fluxo torna-se: ( ) dzdyzzy 1 RTD PNA2 n1 A 1TABz , A1

,_

Para uma pequena faixa de temperatura, pode-se aproximar para uma equao: ( )( ) dzdyy 1cDNAAmdioABz , A Com as condies de contorno: Para z = z1 yA = yA1 Para z = z2 yA = yA2 = PA/P, Lei de Dalton, Integrando a equao temos: ( ) ( )( )ln , B 1 22 A 1 AmdioABz , Ay z zy y cDN O fluxo de energia total : ( ) ( ) ( )2 1 A z , A 2 1 C 3 2 LzH H M N T T h T T hAq + Difuso em regime permanente 3.26 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 2 lquido de plano no Entalpia H1 vaporde plano no Entalpia HA de molecularMassa Mgasoso filme no natural calorde ncia transfer de convectivo e Coeficient hlquido filme no calorde ncia transfer de convectivo e Coeficient h21ACL Para resolver a equao de fluxo de energia, utiliza-se a tcnica de tentativa e erro: Assume o valor da temperatura da superfcie liquida: T2 Calcula hC e (cDAB)mdio. Calcula yA2 = PA/P,com PA = presso de vapor acima do liquido a T2 e P = presso total do sistema Quando os lados esquerdo e direito se satisfazerem o chute de T2 esta correto. Exemplo: Uma mistura de vapor etanol-gua esta sendo destilada pelo contato da soluo liquida etanol/gua. O etanol transferido a partir do lquido para a fase vapor e a gua transferida na direo oposta. Acondensaodevapordeguaforneceaenergiaparaavaporizaodoetanol.Ambosos componentes esto se difundindo atravs do filme de gs de 0,1 mm de espessura. A temperatura 368Keapresso1,013x105Pa.Paraestascondies,aentalpiadevaporizaodos componentes puros do etanol e gua so 840 e 2300 kJ/kg, respectivamente.a)Desenvolver a equao de fluxo para o vapor de etanol. b)Desenvolveraequaodefluxoassumindoqueoscomponentestemcaloresequimolaresde vaporizao. Figura - Retificao adiabtica de uma mistura etanol/gua. Assumir uma direoProcesso de transferncia de massa molecular adiabtico Espessura do filme Parede adiabtica Mistura liquida saturada de etanol/gua Filme gasoso () Vapor etanol/gua NEtOH (vapor) NH2O (condensado) Difuso em regime permanente 3.27 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3.6.2 Transferncia simultnea de momento e massa Absoro: A dissoluo seletiva de um dos componentes de uma mistura gasosa por um lquido: coluna de parede molhada. Escoamento de um filme ao longo de uma parede na qual esta em contato com uma mistura de gs. Suposies: 1.Ocomprimentoparacontatoentreasduasfasescurto,portantoumapequenaquantidadede massa absorvida propriedades do liquido so inalteradas. 2.A velocidade do filme no afetara o processo de difuso. - Balano de momento na direo x: {{{x0zxyx0xx0x0zx0ycte0xxio estacionr estado0xgz y x xPz y x tx +

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+ +

,_

+ + + 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Logo,gyyx (3.6.2.1) As condies de contorno que devem ser satisfeitas: C.C.1paray = 0 x = 0 C.C.2paray = x/y = 0 ( contato do liquido com o gs) Difuso em regime permanente 3.28 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Fluido newtoniano: dydxxy Substituindo em (1), temos: 2 12x 1x2x2c y c2y gc ygygy+ + + (3.6.2.2) Pela C.C.1 c2 = 0 Pela C.C.2 c1 = g/ Substituindo e aps um rearranjo, temos: 11]1

,_

22xy21 y g(3.6.2.3) 2yx max2g (3.6.2.4) Logo: 11]1

,_

2max xy21 y2(perfil de velocidade) (3.6.2.5) Equao diferencial de transferncia de massa {0 RtcNqumicareaosem0Aio estacionrestado0AA + 3 2 1r nas direes x e y apenas: 0yNxNy , A x , A+ (3.6.2.6) Os fluxos molares so definidos pela Lei de Fick como: Difuso em regime permanente 3.29 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ( )4 4 4 3 4 4 4 2 143 42 1x Acx , B x , A Acurto.muito liquido o com vapordocontato de tempo o desprezar,AAB x , AN N xdxdcD N + + (3.6.2.7) ( )4 4 4 3 4 4 4 2 1B em Ade de solubilida abaixa muito , desprezary , B y , A AAAB y , AN N xdydcD N + + (3.6.2.8) Direo y: A transportado principalmente por difuso. Direo x: A transportado principalmente por conveco. Substituindo (3.6.2.7) e (3.6.2.8) em (3.6.2.6), temos: ( ): logo apenas, yde dependente como , 0ycDxcx2A2ABx A + 0ycDxc2A2ABAx + (3.6.2.9) Sendo x dado pela equao (3.6.2.5), 0ycDxc y21 y22A2ABA2max +11]1

,_

(3.6.2.9) As condies de contorno para a pelcula deslizando so: C.C.1: para x = 0 cA = 0 C.C.2: para y = 0 0ycA (parede) C.C.3: para y = cA = cA0 (contato com o gs) A qual pode ser resolvida numericamente pelo mtodo das diferenas finitas. Johnstone&Pigford(1942)resolveramaequao(3.2.6.9)analiticamente,eobtiverama concentrao adimensional no fundo da coluna(Trans. AICHE, 38, 25, 1942): Difuso em regime permanente 3.30 Samuel Luporini/DEQ/UFBA L + ++ + n 75 , 204n 64 , 105 n 318 , 39 n 1213 , 5yA0 xAyAL xAe 01811 , 0e 03500 , 0 e 1001 , 0 e 7857 , 0c cc c (3.2.6.10) Onde: lquido no soluto do difuso de e coeficient Dsuperfcie na localizada filme, do mxima e velocidadpelcula da espessuracoluna da altura Lcoluna da topo no soluto do o concentra cliquido - gs interface na soluto do o concentra ccoluna da fundo no soluto do o concentra cL Dn ABmax0 xAxAL xAmax2AB Teoria da penetrao: modelo desenvolvido por Higbie (Trans, AICHE, 31, 368-389, 1935) Um soluto transferido dentro de uma pelcula em y = . O efeito da pelcula deslizando sobre a espciedifundindo,talqueavelocidadedoescoamentodofluidopodeserconsiderada uniforme e igual a max. OsolutoAnoserafetadopelapresenadaparede,entoofluidopodeserconsideradode profundidade infinita. Profundidade da penetrao Difuso em regime permanente 3.31 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Com estas simplificaes, a equao (3.2.6.8) fica: 2A2ABAmaxycDxc com as condies de contorno: C.C.1: para x = 0 cA = 0 C.C.3: para y = cA = cA0 (contato com o gs) C.C.3: para y = - cA = 0 Fazendo = - y, temos: 2A2ABAmaxcDxc e as condies de contorno ficam: C.C.1: para x = 0 cA = 0 C.C.2: para = 0 cA = cA0 (contato com o gs) C.C.3: para = cA = 0 Aplicando a Transformada de Laplace na direcao x, na equao acima, temos: ( )2A2AB A maxs , cD 0 c s no domnio de Laplace rearranjando: ( )0Dc s s , cABA max2A2 Esta equao diferencial ordinria de 2 ordem, possui a soluo geral de: ( )

,_

+

,_

ABmax1ABmax1 ADsexp BDsexp A s , c AsconstantesA1eB1soavaliadasutilizandoascondiesdecontornotransformadaparao domnio de Laplace: C.C.1: para = 0 ( )scs , 0 c0 AA (contato com o gs) Difuso em regime permanente 3.32 Samuel Luporini/DEQ/UFBA C.C.2: para = ( ) 0 s , cA Produzindo a soluo: ( )

,_

ABmax 0 AADsexpscs , c Aplicando a inversa da transformada de Laplace, temos: ( )11111]1

,_

maxAB0 A Ax D 4erf 1 c , x cou ( )11]1

,_

exp AB0 A At D 4erf 1 c , x c onde o tempo de exposio definido como texp = x/max. A funo erro: erf() apndice L de Welty. Fluxo: {{

,_

02 Ac1 AexpABexpAB0 AyAAByy , A0y , Ac ctDtDcycD N N0 A Por comparao com a equao de conveco:( )2 A 1 A c y , Ac c k N 2 1ABcexpABcD k ou tDk Teoria da penetrao. Difuso molecular no estado transiente 4.1 Samuel Luporini/DEQ/UFBA CAPTULO 4: DIFUSO MOLECULAR NO ESTADO TRANSIENTE 2 variveis independentes: posio e tempo Grandesquantidadesdeproblemasdedifusopodemserresolvidossimplesmenteolhandoas solues do problema anlogo conduo de calor. Quando a equao diferencial ea condio inicialedecontornodoprocessodedifusosoexatamentedamesmaformadaquelesdo processo de conduo de calor, ento a soluo pode ser tomada com as mudanas apropriadas na notao. Muitas solues analticas em:oCarslaw & Jaeger, Heat conduction in solids, Oxford University Press, 1959, 2 edio. oJ. Crank, The mathematics of diffusion, Oxford University Press, London, 1958. So peculiares apenas para transferncia de massa: oDifuso com reaes qumicas oDifuso com velocidade media molar diferente de zero oDifuso com mais de 2 componentes oConveco forada com taxas de transferncia de massa elevada Processos transientes: oO processo na qual esta em estado no estacionrio somente em sua partida inicial. oO processo na qual uma batelada (descontnuo) ou operaes em sistemas fechados do comeo ao fim de sua durao. SOLUO ANALTICA A segunda lei de Fick, descreve uma situao onde: No ocorre nenhuma contribuio ao movimento (bulk), isto ,0 = r Nenhuma reao qumica, isto , RA = 0 Logo: {0 RtcNqumicareao sem0AAA= + =r(1) Difuso molecular no estado transiente 4.2 Samuel Luporini/DEQ/UFBA ( )4 43 4 42 1r rr0 cB A A A AB z , AN N x x cD N= =+ + = 1 Lei de Fick, logo: A AB z , Ac D N = (2) Introduzindo (2) em (1), temos: A2ABAc Dtc =2 Lei de Fick(3) til para: Difuso em slidos, lquidos estacionrios, ou em sistemas em contradifuso equimolar. Devidoataxadedifusoextremamentelentaemlquidos,acontribuiodomovimentobulk, da 1 lei de Fick (isto , i AN xr) aproxima de zero para solues diludas, portanto satisfaz a 2 lei de Fick. 4.1 DIFUSO TRANSIENTE EM UM MEIO SEMI INFINITO Transfernciademassaunidirecionaldentrodeummeioestacionriosemi-infinitocomuma concentrao superficial fixa. Absoro de O2 a partir do ar na aerao de um lago. Processo de difuso na fase slida envolvendo a dureza do ao em atmosfera rica em carbono. A equao diferencial a ser resolvida : 2A2ABAzcDtc= e as condies inicial e de contornos so: C.I.:0 A Ac c = para t = 0, para todo z C.C.1:As Ac c = para z = 0, para todo t C.C.2:0 A Ac c = para z = , para todo t, o soluto penetra uma distncia muito pequena durante o tempo finito de exposio em relao a profundidade do meio. Difuso molecular no estado transiente 4.3 Samuel Luporini/DEQ/UFBA usando a transformao: 0 A Ac c = 22ABzDt = (2) e as condies inicial e de contornos so: C.I.: ( ) 0 0 , z = C.C.1: ( )0 A Asc c t , 0 = C.C.2: ( ) 0 t , = Pela transformada de Laplace da eq. (2), temos: 22ABzD 0 s = ou 0Dsz AB22= (3) E as condies de contorno na T.L.: C.C.1: ( )( )sc cs , 00 A As = z CA0 CAs z t aumenta CA0 CAs Difuso molecular no estado transiente 4.4 Samuel Luporini/DEQ/UFBA C.C.2: ( ) 0 s , = A soluo geral de (3) : z D s z D sAB ABBe Ae+ = Pelas condies de contorno: z = A = 0 z = 0 B = (cAs-cA0)/s Logo: z D s 0 A AsABesc c = (4) A inversa da T.L. da eq. (4), fica: ( ) = t D 2zerfc c cAB0 A Asou =t D 2zerf 1c cc cAB0 A As0 A A(perfil de concentrao) (5) erf( ): funo erro, apndice L de Welty ou no Excel. O fluxo unidirecional de A na placa semi-infinita, na superfcie do meio : ( )0 A AsAB0 zAAB0 zAc ctDdzdcD N = ===(6) 4.2DIFUSOTRANSIENTEEMUMMEIODIMENSIONALFINITOSOBCONDIES DE RESISTNCIA DE SUPERFCIE DESPREZIVEL Umcorposubmetidoaumamudanasubtanasvizinhanasaqualinfluenciasua concentrao na superfcie cAs. Consideramos uma lamina larga de madeira a qual possui uma espessura uniforme L. A distribuio de concentrao inicial uma funo de z, ou seja, cA0(z). Difuso molecular no estado transiente 4.5 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Condies: C.I.: ( ) z c c0 A A=para t = 0, para todo 0 z L C.C.1:As Ac c = para z = 0, parat > 0 C.C.2:As Ac c = para z = L, para t > 0 A equao da 2 lei de Fick, com a concentrao adimensional, As 0 AAs Ac cc cY= , na direo z, fica: 22ABzYDtY= (1) Com as condies inicial e de contorno adimensionais: C.I.: ( ) z Y Y0= para t = 0, para todo 0 z L C.C.1: 0 Y = para z = 0, parat > 0 C.C.2: 0 Y = para z = L, para t > 0 ( ) 0 t , 2 LdzdY= , devido a simetria no meio da placa. Resolvendoaequao(1)pelomtododeseparaodevariveis(Welty)levaaseguintesolucao produto: ( )t D2 12ABe x sen C x cos C Y + = z = 0 CAs CAs z = L Difuso molecular no estado transiente 4.6 Samuel Luporini/DEQ/UFBA As constantes C1 e C2 e o parmetro so obtidos da C.I. e das C.C.1 e C.C.2, obtendo: ( )( ) dzLz nsen z Y eLz nsenL2c cc cYL00X 2 n1 nAs 0 AAs AD2 == = (2) onde: L 5, 3, 1, nL/2 de tico caracteris o compriment xrelativo tempo de razoxDX11ABD== = Se a lamina tem uma concentrao uniforme, no instante inicial, isto Y0(z) = Y0, ento a eq. (2), fica: ( )D2X 2 n1 nAs 0 AAs AeLz nsenn1 4c cc cY = == (3) onde: n = 1, 3, 5, ... O fluxo mssico para algum plano da placa de madeira pode ser avaliado por: zcD NAAB z , A = ( )( )D2X 2 n1 n0 A AsABz , AeLz ncos c cLD 4N = = onde: n = 1, 3, 5, ... No centro da placa (z = L/2), NA = 0 pois( ) 0 t , 2 LdzdcA= Difuso molecular no estado transiente 4.7 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Exemplo: Considerandoadopagemdofsforonosilciocristalino,semicondutortipon,a1100C,uma temperatura capaz de promover a difuso do fsforo. A concentrao da superfcie do fsforo (cAs) no silcio 2,5 x 1020 atomos de P/cm3 de Si slido, que relativamente diludo, desde que o silcio contem 5 x 1022 atomos de Si/cm3 de slido. A cobertura rica de fsforo considerada como uma fonteinfinitaparaaquantidadedetomosdePtransferido,demaneiraque,cAsconstante. Predizer a profundidade do filme Si-P aps 1 h, se a concentrao de 1% na superfcie (2,5 x 1018 atomos de P/cm3 de silcio slido). Resposta: 1,76 m z = 0 Si(s) + 2POCl3(g) SiO2(s) + 3Cl2 + 2P(s) P POCl3Cl2Vapor de POCl3 Cobertura de SiO2(s) + 2P(s) Placa de Si Fonte rica de P PSi cAs Difuso molecular no estado transiente 4.8 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 4.3 GRFICOS CONCENTRAO-TEMPO PARA FORMAS GEOMTRICAS SIMPLES Grficos de Gurney-Lurie apresentam solues para placa plana, esfera e cilindros longos. Equaodiferencialparaconduodecaloranlogaaequaodiferencialparadifuso molecular estes grficos podem ser utilizados para ambos os fenmenos de transportes. Para difuso molecular, temos: Y = mudana na concentrao adimensional = 0 A AsA Asc cc c XD = tempo relativo = 21ABxt D n = posio relativa = 1xx m = resistncia relativa = 1 cABx kD=interna molecularmassa de ncia transfer de a resistnciconvectiva massa de ncia transfer de a resistnci x1 = comprimento caracterstico, a distncia do ponto mdio para a posio de interesse. Condies: a)Assumir a 2 lei de Fick, isto ,0 = , nenhum termo de produo, RA = 0, e difusividade constante. b)O corpo tem um concentrao inicial uniforme, cA0. c)O contorno esta sujeito a uma nova condio que permanea constante com o tempo. 1.Paraformasondeotransporteocorreemsomenteumadasfaces,arazesadimensionaisso calculadas como se a espessura fosse duas vezes o valor verdadeiro. Difuso molecular no estado transiente 4.9 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 1)Transporte em uma barra retangular com extremidades seladas: Ybar = YaYb Ya = avaliao com a largura x1 = a Yb = avaliao com a espessura x1 = b 2)Paraleleppedoretangular

Ypar = YaYbYc Ya = avaliao com a largura x1 = a Yb = avaliao com a espessura x1 = b Yc = avaliao com a espessura x1 = c aa b b c c aa b b selada selada Difuso molecular no estado transiente 4.10 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 3)Cilindros, incluindo ambas as extremidades Ycil = YcilindroYa, Ycilindro = avaliado em coordenada radial(x1 = R) Ya = avaliado para placa plana, de espessura x1 = a (axial) Exemplo Umaplacademadeira12inpor12inpor1in,expostaaoarseco.Asextremidadesso inicialmente seladas para limitar o processo de secagem para as faces planas mais largas da placa. O liquidointernodifundeparaasuperfcie,ondeevaporadapelapassagemdacorrentedear.O contedodeumidadesobreasuperfciepermanececonstantea15%empeso.Aps10hrde secagemocontedodeumidadedocentrodiminuide50para32%empesoSeocoeficientede transfernciademassaconvectivopodeserconsideradosuficientementeelevado,aresistncia relativa m aproximada para zero, calcule: a)O coeficiente de difuso efetiva. b)O contedo de umidade se as seis faces so usadas para o mesmo perodo de secagem. c)O tempo necessrio para diminuir o contedo de umidade do centro de um cubo de 1 ft de aresta feito com a mesma madeira, de 50 para 32% em peso se todas as 6 faces so usadas. Assumir que o coeficiente de difuso efetiva calculado em (a) constante atravs do cubo. Resposta: a) 8,85 x 10-5 ft2/h; b) 0,471 lbm de gua/lbm de madeira seca; c)650 h a a R R Difuso molecular no estado transiente 4.11 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 4.4MTODOSNUMRICOSPARAANLISEDETRANSFERNCIADEMASSA TRANSIENTE Enunciado: Umaplacadematerialcomumaespessurade0,004mtemumasuperfciesubitamenteexpostaa umasoluodocomponenteAcomCA0=6x10-3kg-mol/m3enquantoqueaoutrasuperfcie suportada slido isolado permitindo nenhuma transferncia de massa. H um perfil de concentrao inicial linear para o componente A dentro da placa a partir de CA = 1 x 10-3 kg-mol/m3 para um lado e CA = 2 x 10-3 kg-mol/m3 para o lado slido. A difusividade DAB = 1x 10-9 m2/s. O coeficiente de distribuio. O coeficiente de distribuio entre a concentrao na soluo adjacente a placa CALi e a concentrao na placa slida para a superfcieCAi definida por: K = CAli/CAi, onde K = 1,5. O coeficiente de transferncia de massa para a superfcie da placa pode ser considerado infinito. x = 0,004 mCA3 CA5 CA7CA1CA2 CA4 CA6CA81 2 3 4 5 6 7 8 9xdx = 0,0005 mCA9Superfcie expostaCondies de contorno CA1 mantido a um valor constante. Figura 1 Transferncia de massa transiente em uma placa unidimensional A equao diferencial parcial: 2A2ABAxCDtC=2 Lei de Fick Condies iniciais CA para t = 0, perfil linear de 1 x 10-3 a 2 x 10-3 Difuso molecular no estado transiente 4.12 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Condies de contorno Como a equao diferencial de 2 ordem so necessrias duas condies de contorno: CC1: kCC0 A0 xAi==, onde k = 1,5 CC2:0xC004 , 0 xA==, condio de fluxo difusional para o contorno isolado. a)Calcularasconcentraesdentrodaplacaat2500s.Utilizeomtodonumricoemxcom intervalo entre nodos de 0,0005 m (ver fig. 1) correspondente a 9 nodos. b) Fazer o grfico da concentrao versus tempo ate 2500 s. Mtodo numrico Omtododelinhas(MOL:methodoflines):otemporesolvidocomoequaesdiferenciais ordinrias:mtododeEulerouRungeKuttaporexemplo.Oespaodiscretizadopordiferenas finitas. Neste exemplo o espao dividido em N = 8 intervalos envolvendo N + 1 = 9 nodos (figura 1). Utilizando a frmula da diferena centralpara a 2 derivada (equao A9), deixando o tempo como uma derivada ordinria, temos: ( )1 n n 1 nA A A2AB AC C 2 CxDdtdC ++ = para 2 n 8 Condies de contorno Superfcie expostaNeste exemplo em x = 0 ( )0 xAAB 1 A 0 A cxCD KC C k= = CA1 x = 0 CA0 Difuso molecular no estado transiente 4.13 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Usando a formula das diferenas (A5) para o derivativo do lado direito desta equao temos: ( )x 2C 3 C 4 CxC1 A 2 A 3 A0 xA + == Logo:( )( )x 2C 3 C 4 CD KC C k1 A 2 A 3 AAB 1 A 0 A c + = Isolando CA1, que nos interessa temos: x K k 2 D 3C D 4 C D x C k 2Cc AB2 A AB 3 A AB 0 A c1 A ++ = no nosso exemplo temos que kc logo KCC0 A1 A= , onde K = 1,5. Superfcie isolada Neste exemplo em x = L 0xC004 , 0 xA== Utilizando a formula da diferena finita (A7) para este derivativo, temos 0x 2C C 4 C 3dxdC7 A 8 A 9 A 9 A=+ = Isolando CA9 que nos interessa, temos: 3C C 4C7 A 8 A9 A= CA9 x = 0 isolante x = L = 0,004m Difuso molecular no estado transiente 4.14 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Condio inicial Perfil de concentrao inicial, neste exemplo lineal de 1 x 10-3 a 2 x 10-3, ficando: x em mCA x 103 Nodo n 011 0,00051,1252 0,0011,253 0,00151,3754 0,0021,55 0,00251,6256 0,0031,757 0,00351,8258 0,00429 dx = 0,0005Equaes discretizadas: ( )( )( )( )( )( )( )27 A 8 A 9 AAB8 A826 A 7 A 8 AAB7 A725 A 6 A 7 AAB6 A624 A 5 A 6 AAB5 A523 A 4 A 5 AAB4 A422 A 3 A 4 AAB3 A321 A 2 A 3 AAB2 A2dxC C 2 CDdtdCfdxC C 2 CDdtdCfdxC C 2 CDdtdCfdxC C 2 CDdtdCfdxC C 2 CDdtdCfdxC C 2 CDdtdCfdxC C 2 CDdtdCf+ = =+ = =+ = =+ = =+ = =+ = =+ = = CA9 e CA1 so diferentes devido as condies de contorno, logo KCC3C C 4C0 A1 A7 A 8 A9 A== Difuso molecular no estado transiente 4.15 Samuel Luporini/DEQ/UFBA onde CA0 = 6 x 10-3 e K = 1,5 Neste exemplo usaremos o mtodo de Euler para discretizar o tempo: ( ) ( )( ) ( ) j 2 A 2 1 j 2 Aj 2 A 1 j 2 A22 A2C t f CtC CfdtdCf+ ===++ Neste exemplo t = 1 s e j o numero de tempos. Difuso molecular no estado transiente 4.16 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Fluxograma: Dados Condies iniciais J = 0 a 2500 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )27 A 8 A 9 A AB 826 A 7 A 8 A AB 725 A 6 A 7 A AB 624 A 5 A 6 A AB 523 A 4 A 5 A AB 422 A 3 A 4 A AB 321 A 2 A 3 A AB 2dx j C j C 2 j C D fdx j C j C 2 j C D fdx j C j C 2 j C D fdx j C j C 2 j C D fdx j C j C 2 j C D fdx j C j C 2 j C D fdx j C j C 2 j C D f+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) dt j t 1 j t3 1 j C 1 j C 4 1 j Cdt f j C 1 j Cdt f j C 1 j Cdt f j C 1 j Cdt f j C 1 j Cdt f j C 1 j Cdt f j C 1 j Cdt f j C 1 j CK C 1 j C7 A 8 A 9 A2 8 A 8 A2 7 A 7 A2 6 A 6 A5 5 A 5 A4 4 A 4 A3 3 A 3 A2 2 A 2 A0 A 1 A+ = ++ + = ++ = ++ = ++ = ++ = ++ = ++ = ++ = += + Impresso Difuso molecular no estado transiente 4.17 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Mdulo em VBA aplicado ao EXCEL Public Sub Ptran() Dim t(3000) As Double Dim CA1(3000) As Double Dim CA2(3000) As Double Dim CA3(3000) As Double Dim CA4(3000) As Double Dim CA5(3000) As Double Dim CA6(3000) As Double Dim CA7(3000) As Double Dim CA8(3000) As Double Dim CA9(3000) As Double 'Dados dx = 0.0005 CA0 = 0.006 K = 1.5 DAB = 0.000000001 tf = 2500 Cells(12, 1) = "dx =" Cells(12, 2) = dx Cells(13, 1) = "CA0 =" Cells(13, 2) = CA0 Cells(14, 1) = "K =" Cells(14, 2) = K Cells(15, 1) = "DAB =" Cells(15, 2) = DAB 'Condies iniciais t(0) = 0 CA1(0) = 0.001 CA2(0) = 0.001125 CA3(0) = 0.00125 CA4(0) = 0.001375 CA5(0) = 0.0015 CA6(0) = 0.001625 CA7(0) = 0.00175 Difuso molecular no estado transiente 4.18 Samuel Luporini/DEQ/UFBA CA8(0) = 0.001825 CA9(0) = 0.002 dt = 1 'Soluo numrica For j = 0 To 2500 f2 = DAB * (CA3(j) - 2 * CA2(j) + CA1(j)) / dx ^ 2 f3 = DAB * (CA4(j) - 2 * CA3(j) + CA2(j)) / dx ^ 2 f4 = DAB * (CA5(j) - 2 * CA4(j) + CA3(j)) / dx ^ 2 f5 = DAB * (CA6(j) - 2 * CA5(j) + CA4(j)) / dx ^ 2 f6 = DAB * (CA7(j) - 2 * CA6(j) + CA5(j)) / dx ^ 2 f7 = DAB * (CA8(j) - 2 * CA7(j) + CA6(j)) / dx ^ 2 f8 = DAB * (CA9(j) - 2 * CA8(j) + CA7(j)) / dx ^ 2 CA1(j + 1) = CA0 / K CA2(j + 1) = CA2(j) + f2 * dt CA3(j + 1) = CA3(j) + f3 * dt CA4(j + 1) = CA4(j) + f4 * dt CA5(j + 1) = CA5(j) + f5 * dt CA6(j + 1) = CA6(j) + f6 * dt CA7(j + 1) = CA7(j) + f7 * dt CA8(j + 1) = CA8(j) + f8 * dt CA9(j + 1) = (4 * CA8(j + 1) - CA7(j + 1)) / 3 t(j + 1) = t(j) + dt Next j 'impresso na planilha For i = 0 To 8 Cells(18, 5 + i) = i * dx te = 50 Next i For j = 0 To 2500 Step te Cells(20 + j / te, 4) = t(j) Cells(20 + j / te, 5) = CA1(j) Cells(20 + j / te, 6) = CA2(j) Cells(20 + j / te, 7) = CA3(j) Cells(20 + j / te, 8) = CA4(j) Cells(20 + j / te, 9) = CA5(j) Cells(20 + j / te, 10) = CA6(j) Difuso molecular no estado transiente 4.19 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Cells(20 + j / te, 11) = CA7(j) Cells(20 + j / te, 12) = CA8(j) Cells(20 + j / te, 13) = CA9(j) Next j End Sub Planilha Placa_transiente_7_13.xls do EXCEL: Prxima pagina. Difuso molecular no estado transiente 4.20 Samuel Luporini/DEQ/UFBA dx =0.00050 CA0 =0.00600 K =1.50000 DAB =1.00000E-09 distncia x 00.00050.0010.00150.0020.00250.0030.00350.004 tempo (s)CA1CA2CA3CA4CA5CA6CA7CA8CA9 00.0010.0011250.001250.0013750.00150.0016250.001750.0018250.002 500.0040.0016160.0012940.0013780.00150.0016240.0017410.0018160.00184 1000.0040.0019650.0013940.0013920.0015010.0016220.0017330.0018060.00183 1500.0040.0022170.0015140.0014210.0015050.001620.0017260.0017960.00182 2000.0040.0024060.0016350.0014620.0015140.0016190.0017190.0017870.00181 2500.0040.0025530.0017510.001510.0015270.0016180.0017130.0017780.0018 3000.0040.0026690.0018590.0015640.0015440.001620.0017070.001770.00179 3500.0040.0027640.0019570.001620.0015650.0016230.0017030.0017610.001781 4000.0040.0028430.0020470.0016760.0015890.0016280.0016990.0017540.001772 4500.0040.002910.0021280.0017320.0016150.0016350.0016960.0017470.001764 5000.0040.0029670.0022020.0017870.0016430.0016440.0016950.001740.001756 5500.0040.0030170.0022690.0018410.0016730.0016550.0016940.0017350.001748 6000.0040.0030610.002330.0018920.0017030.0016670.0016950.001730.001741 6500.0040.0031010.0023860.0019410.0017340.0016810.0016970.0017250.001735 7000.0040.0031360.0024380.0019870.0017650.0016950.00170.0017220.001729 7500.0040.0031670.0024850.0020320.0017950.001710.0017040.001720.001725 Difuso molecular no estado transiente 4.21 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 8000.0040.0031960.0025290.0020740.0018250.0017260.0017090.0017180.001721 8500.0040.0032220.002570.0021140.0018550.0017430.0017150.0017170.001718 9000.0040.0032460.0026080.0021530.0018840.001760.0017210.0017170.001716 9500.0040.0032690.0026430.0021890.0019130.0017770.0017280.0017180.001715 10000.0040.0032890.0026770.0022240.001940.0017950.0017360.001720.001714 10500.0040.0033080.0027080.0022570.0019680.0018120.0017450.0017230.001715 11000.0040.0033260.0027370.0022880.0019940.001830.0017540.0017260.001716 11500.0040.0033420.0027640.0023190.002020.0018480.0017640.001730.001719 12000.0040.0033580.002790.0023470.0020450.0018650.0017740.0017350.001722 12500.0040.0033720.0028140.0023750.0020690.0018830.0017850.001740.001726 13000.0040.0033860.0028370.0024010.0020930.00190.0017960.0017470.00173 13500.0040.0033980.0028590.0024260.0021150.0019180.0018070.0017530.001736 14000.0040.0034110.002880.002450.0021380.0019350.0018190.0017610.001742 14500.0040.0034220.0028990.0024730.0021590.0019520.001830.0017690.001748 15000.0040.0034330.0029180.0024950.002180.0019690.0018430.0017770.001756 15500.0040.0034430.0029360.0025160.0022010.0019860.0018550.0017860.001763 16000.0040.0034530.0029530.0025370.0022210.0020030.0018680.0017960.001772 16500.0040.0034620.0029690.0025560.002240.0020190.001880.0018050.00178 17000.0040.0034710.0029850.0025750.0022590.0020350.0018930.0018160.00179 17500.0040.0034790.0030.0025940.0022770.0020520.0019060.0018260.001799 18000.0040.0034870.0030140.0026110.0022950.0020680.0019190.0018370.001809 18500.0040.0034950.0030280.0026280.0023130.0020830.0019330.0018480.00182 19000.0040.0035030.0030410.0026450.002330.0020990.0019460.0018590.001831 19500.0040.003510.0030540.0026610.0023460.0021140.0019590.0018710.001842 20000.0040.0035160.0030660.0026760.0023630.002130.0019730.0018830.001853 20500.0040.0035230.0030780.0026910.0023790.0021450.0019860.0018950.001865 Difuso molecular no estado transiente 4.22 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 21000.0040.0035290.003090.0027060.0023940.002160.0020.0019070.001876 21500.0040.0035350.0031010.002720.002410.0021750.0020130.001920.001888 22000.0040.0035410.0031110.0027340.0024250.0021890.0020270.0019320.001901 22500.0040.0035470.0031220.0027470.0024390.0022040.002040.0019450.001913 23000.0040.0035520.0031320.002760.0024540.0022180.0020540.0019580.001926 23500.0040.0035580.0031410.0027730.0024680.0022320.0020680.0019710.001938 24000.0040.0035630.0031510.0027860.0024820.0022460.0020810.0019830.001951 24500.0040.0035680.003160.0027980.0024950.002260.0020950.0019970.001964 25000.0040.0035730.0031690.002810.0025090.0022740.0021080.002010.001977 Difuso molecular no estado transiente 4.23 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 0.00100.00150.00200.00250.00300.00350.00400.00450 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600tempo (s)CA (kg-mol/m3)CA1 CA2 CA3 CA4 CA5 CA6 CA7 CA8 CA9Difuso molecular no estado transiente 4.24 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Aproximaes por diferenas finitas teis: Transferncia de massa por conveco 5.1 Samuel Luporini/DEQ/UFBA CAPTULO 5: TRANSFERNCIA DE MASSA POR CONVECO Envolveotransportedematerialentreumasuperfciedecontornoeumfluidoescoandoou entre dois fluidos relativamente imiscveis em escoamento. { { {o concentrade diferenaAconvectivomassa decia transfernde e coeficientco concentrade decrscimo dodireo na ocorremassa de FluxoAc k N sistema do geometria e dinmicas ticas caracteris fluido, do des proprienda das funohkc; anlogo a :T hAq da transferncia de calor Consideraes fundamentais em transferncia de massa Camada extremamente fina junto superfcie escoamento laminar. Escoamento laminar: o transporte entre a superfcie do fluido escoando por meio molecular. Escoamento turbulento: movimento fsico de volume de material atravs de linhas de corrente, transportada por turbilhes. Altas taxas de transferncia de massa ou transferncia de calor esto associadas ao escoamento turbulento. ( )A As c Ac c k N Onde: fluido fase da dentro ponto algum para composico csistema do presso e ra temperatu a para slido o com equilbrio em fluido do composio a interface; na fluido no soluto do o concentra cl interfacia rea xtempointerface a deixando Asoluto do molesNAAsA H quatro mtodos de avaliao do coeficiente de transferncia de massa convectivo que sero discutidos neste captulo. Estes so: Transferncia de massa por conveco 5.2 Samuel Luporini/DEQ/UFBA 1.Anlise dimensional ligada a experimentos; 2.Anlise exata da camada limite; 3.Anlise aproximada da camada limite; 4.Analogia entre momento, energia e transferncia de massa. EXEMPLO 1 Oarescoasobreumaplacaslidadedixidodecarbonocongelado(geloseco)comumarea superficialexpostade1x10-3m2.OCO2sublimacomumacorrenteescoandoa2m/setaxade liberao de 2,29 x 10-4 mol/s. O ar est a 293 K e 1,013 x 105 Pa ( s m 10 x 5 , 1 D2 5ar , CO2e ar = 1,55x10-5 m2/s). Determine o coeficiente de transferncia de massa do CO2 sublimando sobre o ar escoando. Resp.: 0,118 m/s 5.2. PARMETROS SIGNIFICANTES: A difusividade molecular para cada fenmeno de transporte so: 11]1

; tLmssica de difusivida D trmica de difusividackmomento de de difusivida2ABp Nmero de Schmidt (Sc) mssica de difusividamomento de de difusividaD DScAB AB Sc (T.M.) anlogo ao Pr (T.C.) Nmero de Lewis (Le) mssica de difusivida trmica de difusividaD ckDLeAB p AB Le importante quando o processo envolve transferncia de massa de energia simultaneamente. Transferncia de massa por conveco 5.3 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Figura 5.1 Perfil de velocidade e concentrao para um fluido escoando numa superfcie slida. Na interface => mesmo fluxo do componente A deixando a superfcie do fluido. ( ) A As c Ac c k N deixando a superfcie por conveco ( )0 yAs AAB Adyc c dD N Entrando no fluido por difuso melecular Logo:( )( )0 yAs AAB A As cdyc c dD c c k Rearranjando e multiplicando por L, ambos os lados, temos: ( ) ( ) Lc cdyc c dDL kA As0 yAs AABc global o concentra de gradientesuperfcie a para o concentra de gradientefluido do convectiva massa de ncia transfer de a resistncimolecular massa de ncia transfer de a resistnci Sh ou NuDL kABABc NuAB: nmero de Nusselt para transferncia de massa Sh: nmero de Sherwood. = (y)

cAs - cA

cAs - cA =(cAs cA)(y) xycAs na interfaceTransferncia de massa por conveco 5.4 Samuel Luporini/DEQ/UFBA EXEMPLO 2 Determine o nmero de Schmidt para o metanol em ar a 298 K e 1,013 x 103 Pa e em gua lquida a 298 K. 5.3. ANLISE DIMENSIONAL DE TRANSFERNCIA DE MASSA CONVECTIVA Transferncia em uma corrente escoando sob conveco forada Considerando a transferncia de massa da parede de um tubo para o fluido escoando atravsdo conduite. (fora direcional cAs cA) VarivelSmboloDimenses Dimetro do tuboDL Densidade do fluidoM/L3 Viscosidade do fluidoM/Lt Velocidade do fluidoL/t Difusividade do fluidoDAB L2/t Coeficiente de transferncia de massakc L/t DDAB kc M011101 L1-3-1020 t00-1-1-11 - Vrias combinaes de matriz 3 x 3. - Variveis incluem sistema geomtrico, o escoamento, props. do fluido - kc tem o interesse principal -rank=3rdeumamatriz:significaonumerodecolunadomaiordeterminantediferentede zero, que se pode formar a partir dela. i = no de variareis rank = 6 3 = 3 grupos adimensionais. DAB, e D variveis central (ncleo) pode conter qualquer das variveis que, entre elas incluem todas as dimenses bsicas (MLt). Transferncia de massa por conveco 5.5 Samuel Luporini/DEQ/UFBA i h gAB3f e dAB 2cc b aAB 1D DD Dk D D Escrevendo 1 na forma adimensional: ( )

,_

,_

,_

tLLLMtL1cba2 Equacionando os expoentes, temos: 1 c0 b1 ab 0 : M1 a 0 : t1 c b 3 a 2 0 : L ; + + {Sherwood de no.massa dencia transfer paraNusselt de no.ABABc1Sh ou NuDD k3 2 1 Os outros 2 grupos so determinados da mesma maneira, produzindo: {Schimidt de no.AB3AB2ScDeDD Dividindo 2 por3: {Reynolds de no.ABAB 32ReD DDD

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Portanto uma correlao poderia ser feita da forma: Sh = NuAB = f(Re, Sc) Que anloga a correlao de transferncia de calor, Transferncia de massa por conveco 5.6 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Nu = f(Re, Pr) Transferncia dentro de uma fase na qual o movimento devido a conveco natural Correntes de conveco natural desenvolvera se existir variao de densidade na fase lquida ou gasosa. Ex.: parede plana vertical com um fluido adjacente. As variveis importantes, seus smbolos e representaes adimensionais so: VarivelSmboloDimenses Comprimento caracterstico LL Difusividade do fluidoDAB L2/t Densidade do fluidoM/L3 Viscosidade do fluidoM/Lt Fora de empuxog A M/L2t2 Coeficiente de transferncia de massakc L/t LDABg Akc L121110 M00-3-1-21 t0-10-1-2-1 DAB,Levariveiscentral(ncleo)podeconterqualquerdasvariveisque,entreelas incluem todas as dimenses bsicas (MLt). Matriz 3 x 3 maior det 0, portanto o rank = 3 i = no de variareis rank = 6 3 = 3 grupos adimensionais. Ai h gAB3f e dAB 2cc b aAB 1g L DL Dk L D Resolvendo os 3 grupos adimensionais, obtemos ABA33AB2 ABABc1Dg L,Sc1D, NuDL k Transferncia de massa por conveco 5.7 Samuel Luporini/DEQ/UFBA Multiplicando 2 e 3 3 2 1Grashof de noAB2A3ABA3AB3 2Grg LDg L D

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Portanto sugere uma correlao da forma: Sh = f(GrAB, Sc) para conveco natural. Ascorrelaesdedadosexperimentaispodeserfeitaemtermosde3variveisaoinvsde6 originais, tanto para conveco forada como para natural. Correlaes => equaes empricas capitulo 30 do Welty, 7 deste apontamento. 5.4 ANLISE EXATA DA CAMADA LIMITE LAMINAR DA CONCENTRAO Extenso da soluo exata desenvolvida por Blasius para a camada limite hidrodinmica. Figura Camada limite de concentrao para escoamento laminar em uma placa plana A equao da continuidade em coordenadas retangulares; componentes A, e DAB = constantes. { {A deproduoenhuma n0A) y , x ( f c02A22A2yc2A2ABA0zAyAxio estacionrestado0ARzcycxcDzcycxctcA2A2