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UNIVERSIDADE TECNOL ´ OGICA FEDERAL DO PARAN ´ A COORDENAC ¸ ˜ AO DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEM ´ ATICA SIMONE ANDREIA ROEHRS TRANSFORMADA DE LAPLACE E SUAS APLICAC ¸ ˜ OES: UM ESTUDO TRABALHO DE CONCLUS ˜ AO DE CURSO TOLEDO 2016
Transcript of TRANSFORMADA DE LAPLACE E SUAS APLICAC¸ OES:˜ UM …
UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANACOORDENACAO DO CURSO DE LICENCIATURA EM
MATEMATICA
SIMONE ANDREIA ROEHRS
TRANSFORMADA DE LAPLACE E SUAS APLICACOES:
UM ESTUDO
TRABALHO DE CONCLUSAO DE CURSO
TOLEDO
2016
UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANACOORDENACAO DO CURSO DE LICENCIATURA EM
MATEMATICA
SIMONE ANDREIA ROEHRS
TRANSFORMADA DE LAPLACE E SUAS APLICACOES:
UM ESTUDO
Trabalho de Conclusao de Curso apresentado
ao Curso de Licenciatura em Matematica
da Universidade Tecnologica Federal do Pa-
rana, Campus Toledo, como requisito parcial
a obtencao do tıtulo de Licenciado em Ma-
tematica.
Orientador(a): Ma. Marcia Regina Piovesan
TOLEDO
2016
UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANACOORDENACAO DO CURSO DE LICENCIATURA EM
MATEMATICA
TERMO DE APROVACAO
O Trabalho de Conclusao de Curso intitulado “TRANSFORMADA DE
LAPLACE E SUAS APLICACOES: UM ESTUDO” foi considerado
APROVADO de acordo com a ata n➸ de / /
Fizeram parte da banca examinadora os professores:
Professora Ma. Marcia Regina Piovesan
Professora Ma. Jahina Fagundes de Assis Hattori
Professora Ma. Karen Carrilho da Silva Lira
TOLEDO
2016
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus que permitiu que tudo isso acontecesse ao longo da
minha vida, e nao somente nestes anos como universitaria, e que em todos os momentos
e o maior mestre que alguem pode conhecer.
A minha famılia, em especial a minha mae Noeli Hubner, minha heroına, que
apesar de todas as dificuldades enfrentadas me deu apoio e incentivo nesta caminhada.
A Universidade Tecnologica Federal do Parana, por proporcionar que fizesse
este curso.
A minha querida orientadora, professora Ma. Marcia Regina Piovesan pelo
conhecimento transferido e por todo carinho ao longo do curso.
A todos os professores que tive, que contribuıram para minha formacao, e por
lecionarem com amor. Levarei os ensinamentos adquiridos para o resto de minha vida.
A todos meus colegas que conquistei durante estes anos difıceis. Com certeza
o caminho ficou mais facil com voces ao meu lado. Em especial meus queridos colegas
Camila Koyama, Matheus Carvalho, Claudia Borgmann, Rosane Spielmann, Guilherme
de Martini e Pablo Chang.
A todos que nao impediram a realizacao deste trabalho, o meu muito obrigado.
RESUMO
Este trabalho e um breve estudo sobre a Transformada de Laplace, visando o conhecimento
desta importante ferramente para resolucao de equacoes diferencias, nao vista durante o
curso. Para alcancar o objetivo, foi estudado inicialmente suas definicoes, teoremas e
propriedades, para em seguida estudar sua utilizacao em algumas funcoes especiais e
aplicacoes.
Palavras-chave: Transformada de Laplace, Equacoes diferenciais, Transformada inversa.
ABSTRACT
This work is a brief study on the Laplace Transform, aiming the knowledge of this impor-
tant tool for solving equations, not seen during the course. In order to reach the objective,
it was initially studied its definitions, theorems and properties, and then to study its use
in solving some special functions and applications.
Key Words: Laplace transform, Differential equations, Inverse transform.
LISTA DE ILUSTRACOES
3.1 Grafico do Exemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1 Grafico do Exemplo 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Grafico da Funcao u3(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Grafico do Exemplo 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.1 Grafico de E(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
LISTA DE TABELAS
3.1 Transformadas de Laplace de algumas funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . 17
SUMARIO
LISTA DE ILUSTRACOES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 APONTAMENTOS HISTORICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 TRANSFORMADA DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 Principais Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE . . . . . . 20
4.1 Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 APLICACAO E ALGUMAS FUNCOES ESPECIAIS . . . . . . . . . 32
5.1 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Funcao Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Funcao Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.4 Funcao Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 CONSIDERACOES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1 INTRODUCAO
Neste trabalho sera apresentado um breve estudo da Transformada de Laplace,
compreendendo sua definicao, resolucao de exemplos, o estudo de suas propriedades bem
como algumas aplicacoes.
A Equacoes Diferenciais Ordinarias (EDO’s) e Equacoes Diferenciais Parciais
(EDP’s) expressam a variacao de grandezas e seu comportamento de acordo com o tempo,
tal como circuitos eletricos, osciladores harmonicos, sistema mecanicos, ou o fluxo de calor
atraves de um condutor. De forma geral, essas equacoes geralmente estao acompanhadas
de condicoes iniciais que descrevem o estado do sistema no instante de tempo inicial.
Existem diversos metodos para resolucao das EDO’s e EDP’s, e segundo Zill
(2001) o que se aplica a um tipo de equacao pode nao funcionar para outra equacao.
Assim, estudar diferentes metodos se faz necessario para compreensao de certos tipos de
equacoes diferenciais, como e o caso da Transformada de Laplace.
O metodo da Transformada de Laplace e uma importante ferramenta para
a resolucao de equacoes diferenciais, especialmente das EDO’s lineares com coeficientes
constantes e respectivos problemas de valor inicial (PVI’s), muito comuns para resolver
problemas aplicados nas areas das engenharias. Da mesma forma, a Transformada de
Laplace pode ser empregada para a resolucao das EDP’s.
De forma geral, os metodos de resolucao podem ser numericos ou analıticos,
resultando, respectivamente, em solucoes aproximadas ou solucoes exatas. O metodo da
Transformada de Laplace e um procedimento analıtico.
Nos cursos de “Calculo Diferencial” e “Calculo Integral”, tem-se o primeiro
contato com as operacoes de transformar uma funcao, ou seja, as operacoes de diferenciar
e integrar, transformam uma funcao em outra funcao, e suas aplicacoes nas mais diferentes
areas. A operacao de transformacao de um problema do calculo para a algebra e chamada
de “calculo operacional”.
A Transformada de Laplace configura-se como um calculo operacional pois
transforma uma equacao diferencial em uma equacao algebrica que pode ser resolvida
sem muito esforco, obtendo-se a solucao, que pode ser facilmente transformada novamente
(atraves da Transformada de Laplace Inversa), chegando a solucao da equacao diferencial
inicialmente dada. Este processo torna-se importante entao, pois consegue-se aplica-
lo na resolucao de problemas, ou seja, torna-los uteis para facilitar o desempenho de
alguma atividade ou tarefa. A Transformada de Laplace possui outras propriedades muito
uteis, alem das propriedades acima citadas (ZILL, 2001). Nas ciencias exatas, muitos
problemas aplicados acabam por recair em equacoes diferenciais, e e neste contexto que
a Transformada de Laplace vem para auxiliar na resolucao, visando facilitar os calculos.
10
11
Assim, o objetivo deste trabalho e estudar as principais definicoes e proprieda-
des da Transformada de Laplace, para entao estudar algumas de suas aplicacoes, visando
servir de subsıdio para estudos futuros. Para isto este trabalho foi dividido em cinco
capıtulos, incluindo esta Introducao, sendo entao o capıtulo dois uma breve abordagem
historica sobre as origens da transformada. No capıtulo tres apresentou-se o estudo das
definicoes, teoremas e propriedades, ja o capıtulo quatro refere-se ao estudo de teoremas
envolvendo translacao, derivadas e convolucao, que serviram de auxılio para o entendi-
mento das aplicacoes que compreendem o ultimo capıtulo.
2 APONTAMENTOS HISTORICOS
A Transformada de Laplace leva este nome gracas ao Marques Pierre-Simon
Laplace. Nascido em 23 de marco de 1749, na localidade de Beaumont-en-Auge, na
Normandia (Franca), publicou varias obras sobre mecanica, algebra, analise e geometria.
Alem de ser um proeminente cientista, Laplace teve uma vida polıtica ativa, vindo a
falecer em 5 de marco de 1827, em Paris.
Apesar deste metodo ser atribuıdo a Laplace, varios foram os responsaveis
por desenvolve-lo ate a forma atual. Para entender a historia que permeia o surgimento
da Transformada de Laplace, e preciso voltar 200 anos. De acordo com Boyer (2012),
a principal contribuicao de Laplace para a matematica foi a teoria das probabilidades,
publicando em 1812 o classico Theorie analytique des probabilites. Nesta obra, e possıvel
tambem verificar calculos avancados envolvendo integrais, assim como os primeiros es-
tudos da transformada de Laplace. A historia tambem revela a contribuicao de outros
matematicos ao surgimento da Transformada de Laplace. Tonidandel e Araujo (2012)
revelam as contribuicoes de Euler e Lagrange:
Historicamente, o desenvolvimento das tecnicas de transformacaocomeca com a procura por solucoes de certos tipos de equacoes diferenci-ais na forma de integrais reais definidas. Esta busca comeca com Euler,que considera transformacoes [...] similares a versao moderna da trans-formada de Laplace. Somente em 1779, Euler considera a solucao deequacoes diferenciais parciais. Mas, como Laplace entra nesta historia?Apos os primeiros trabalhos de Euler, Lagrange fez uso [com algumasadaptacoes] das integrais de Euler no estudo da teoria das probabilida-des que, por sua vez, viriam a influenciar o marques de Laplace. Apos1774, Laplace escreveu varios artigos sobre o assunto, incorporando osresultados em 1812. (TONIDANDEL; ARAUJO, 2012)
O metodo atribuıdo a Laplace foi desenvolvido ao longo do tempo sendo apri-
morado por diversos autores, que aplicavam a transformada em problemas praticos da
engenharia. Pacheco (2011) afirma que uma das ultimas aplicacoes refere-se ao traba-
lho de Bateman (1910), no qual se transformam equacoes decorrentes do trabalho de
Ruherford em decaimento radioativo:
dP
dt= −λiP
atraves de,
p(x) =
∫∞
0
e−xtP (t)dt
Neste cenario, tambem e fundamental citar o trabalho de Oliver Heaviside no
12
13
campo da engenharia eletrica. Sua funcao denominada de funcao de Heaviside, mais tarde
tambem ficou conhecida como funcao degrau unitario
H(t) =
0 t < c
1 t > c
buscando auxiliar engenheiros para resolucao de seus problemas (PACHECO, 2011), (TO-
NIDANDEL; ARAUJO, 2012). E tambem, a funcao responsavel por estabelecer uma
relacao entre as transformadas de Fourier e de Laplace.
Dado este breve contexto historico, os capıtulos seguintes apresentam um es-
tudo da transformada de Laplace com seus principais teoremas e sua aplicacao em re-
solucao de equacoes diferencias e algumas funcoes especiais.
3 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Esta secao trara a priori algumas definicoes, teoremas e propriedades con-
sideradas importantes para o entendimento e estudo de aplicacoes da transformada de
Laplace. Tambem apresentar-se-ao alguns exemplos para melhor compreensao.
Porem, e necessario antes relembrar alguns conceitos de integrais, mais espe-
cificamente de integrais improprias, dado que a transformada de Laplace e uma integral
de zero a infinito.
3.1 Principais Definicoes
Definicao 3.1 (Integral impropria) Uma integral impropria em um intervalo nao-
limitado da reta e definida como o limite de integrais sobre intervalos finitos; portanto:∫
∞
a
f(t)dt = limA→∞
∫ A
a
f(t)dt
onde A e um numero real positivo. Se a integral de a ate A existe para cada A > a e se o
limite quando A → ∞ existe, diz-se que a integral impropria converge a esse valor limite.
Caso contrario, diz-se que a integral diverge ou nao existe.
Exemplo 1 Seja f(t) = e−5t, t ≥ 0. Entao:
∫∞
0
e−5tdt = limA→∞
∫ A
0
e−5tdt
= limA→∞
−e−5t
5
∣∣∣
A
0
= limA→∞
−1
5(e−5·A − e−5·0)
=1
5
Neste exemplo pode-se verificar que a integral impropria converge para o valor
de1
5, e tambem que para o caso de f(t) = ect, com t ≥ 0, isto so ocorrera caso c < 0.
Com isto ja e possıvel definir a transformada de Laplace.
Definicao 3.2 (Transformada de Laplace) Seja f(t) uma funcao definida em (0,∞).
A Transformada de Laplace de f e a funcao F definida pela integral
F (s) =
∫∞
0
e−stf(t)dt (3.1)
O domınio de F (s) e o conjunto de todos os valores de s para os quais a integral acima
converge. A transformada de Laplace de f sera denotada por F ou L{f}.
14
15
Nesta definicao, foi utilizado a notacao de t para representar a variavel inde-
pende de funcoes definidas por letras minusculas como x, y ou f . Ja a letra s representa
a variavel independente da funcao transformada, assim:
L{f(t)}(s) = F (s)
A funcao original f(t) e chamada transformada inversa e sera denotada por:
L−1{F (s)} = f(t)
Exemplo 2 Seja f(t) = 1. Entao:
L{f(t)} =
∫∞
0
e−stf(t)dt
L{1} =
∫∞
0
e−st · 1dt
= limA→∞
∫ A
0
e−stdt
= limA→∞
e−st
s
∣∣∣
A
0
=1
s(3.2)
para s > 0.
Teorema 3.3 (Linearidade) Suponha que f1 e f2 sao duas funcoes cujas transformadas
de Laplace existem para s > a1 e s > a2, respectivamente. Alem disso, sejam c1 e c2
numeros reais ou complexos. Entao, se s e maior que o maximo de a1 e a2,
L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1L{f1(t)}+ c2L{f2(t)} (3.3)
Demonstracao:
L{c1f1(t) + c2f2(t)} =
∫∞
0
e−st[c1f1(t) + c2f2(t)] dt
=
∫∞
0
e−stc1f1(t) dt+
∫∞
0
e−stc2f2(t) dt
= c1
∫∞
0
e−stf1(t) dt+ c2
∫∞
0
e−stf2(t) dt
= c1L{f1(t)}+ c2L{f2(t)}
Definicao 3.4 (Continuidade por partes) Uma funcao f e dita seccionalmente contınua1
em um intervalo α ≤ t ≤ β se o intervalo pode ser dividido por um numero finito de pontos
α = t0 < t1 < ... < tn = β tal que:
1Dizer que uma funcao e seccionalmente contınua e equivalente a dizer que ela e contınua por partes.
16
(i) f e continua em cada subintervalo aberto ti−1 < t < ti, e;
(ii) f tende a um limite finito nos extremos de cada subintervalo, quando se aproxima
destes extremos por dentro dos subintervalos.
Tal definicao diz que uma funcao f e seccionalmente contınua em [α, β], se em
qualquer subintervalo ha apenas um numero finito de descontinuidade e existem os limites
laterais.
Exemplo 3 Calcule a Transformada de Laplace de f(t) =
e3t 0 ≤ t < 1
5 t ≥ 1
Solucao: A Figura 3.1 mostra o grafico desta funcao, onde e possıvel verificar que os
limites laterais quando t tende a 1 sao diferentes, o que indica que f tem um salto finito
em t = 1.
Figura 3.1: Grafico do Exemplo 3.Fonte: Da autora.
Assim, para calcular esta transformada, divide-se a integral em duas partes:
F (s) =
∫∞
0
e−stf(t)dt
=
∫ 1
0
e−ste3tdt+
∫∞
1
e−st · 5dt
=
∫ 1
0
e−(s−3)tdt+ 5 limA→∞
∫ A
1
e−stdt
= −e−(s−3)t
s− 3
∣∣∣
1
0− 5 lim
A→∞
e−st
s
∣∣∣
A
1
=1
s− 3− e−(s−3)
s− 3− 5 lim
A→∞
(e−As
s− e−s
s)
=1
s− 3− e−(s−3)
s− 3+ 5
e−s
s
17
com s > 0 e s 6= 3
Definicao 3.5 (Ordem Exponencial) Uma funcao f(t) e de ordem exponencial (quando
t → ∞) se existem constantes reais M ≥ 0, K > 0 e c tais que:
|f(t)| ≤ Kect
quando t ≥ M .
Estas duas ultimas definicoes sao as condicoes de existencia da Transformada
de Laplace de uma funcao, ou seja, f so pode ter um numero finito de descontinuidade
em um intervalo, e tambem, nao crescer mais rapidamente que ect.
Algumas funcoes mais utilizadas possuem seu resultado em uma tabela, vi-
sando a facilitacao nos calculos. No decorrer deste trabalho e durante alguns exemplos,
serao utilizados alguns resultados da Tabela 3.1.
Tabela 3.1: Transformadas de Laplace de algumas funcoes
Funcao f(t) Transformada L{f(t)} = F (s)
I L{1} 1
s
II L{tn} n!
sn+1
III L{eat} 1
s− a
IV L{senkt} k
s2 + k2
V L{cos kt} s
s2 + k2
Fonte: (ZILL, 2001)
A transformada de (I) ja foi provada no Exemplo 2. O item (II) sera provado
via Funcao Gama, como pode ser visto na subsecao 5.3. Prova-se agora o item (III).
L{eat} =
∫∞
0
e−steatdt
=
∫∞
0
e−(s−a)tdt
= limA→∞
∫ A
0
e−(s−a)tdt
= limA→∞
−e−(s−a)t
s− a
∣∣∣
A
0
=1
s− a
com s > a.
18
A demonstracao de (IV) da Tabela 3.1 sera feita utilizando a transformada de
uma derivada, no Exemplo 13. Ja o item (V) sera provado utilizando-se da definicao da
transformada de Laplace e da integral por partes conforme segue.
L{cos(kt)} =
∫∞
0
e−st cos(kt)dt
= limA→∞
∫ A
0
e−st cos(kt)dt
Fazendo agora u = cos(kt) e dv = e−stdt, tem-se que du = k cos(kt)dt e
v = −1
se−st. Por meio de integral por partes, segue que:
= limA→∞
−e−st
scos(kt)
∣∣∣
A
0−∫
∞
0
−e−st
s[−k sen(kt)]dt
= limA→∞
−e−st
scos(kt)
∣∣∣
A
0− k
s
∫∞
0
e−stsen(kt)dt
Novamente, identificando u = sen(kt), du = k cos(kt)dt, v = −1
se−st e dv =
e−stdt, e fazendo as substituicoes:
= limA→∞
−1
s[e−s·A cos(k · A)− 1]
∣∣∣
A
0− k
s
[
− e−st
ssen(kt)
∣∣∣
A
0−∫
∞
0
−e−st
sk cos(kt)dt
]
= limA→∞
1
s− k
s
[
− 1
s(e−s·Asen(k · A)− 0) +
k
s
∫∞
0
e−st cos(kt)dt]
= limA→∞
1
s− k2
s2
∫∞
0
e−st cos(kt)dt
Pela sequencia de igualdade das equacoes anteriores, percebe-se que:
∫∞
0
e−st cos(kt)dt =1
s− k2
s2
∫∞
0
e−st cos(kt)dt
∫∞
0
e−st cos(kt)dt+k2
s2
∫∞
0
e−st cos(kt)dt =1
s(
1 +k2
s2
)∫∞
0
e−st cos(kt)dt =1
s
∫∞
0
e−st cos(kt)dt =
1
s
1 +k2
s2∫
∞
0
e−st cos(kt)dt =s
s2 + k2
19
Portanto,
L{cos(kt)} =
∫∞
0
e−st cos(kt)dt =s
s2 + k2
Apesar de existirem tabelas com resultados de diferentes funcoes, estas sao
as que serao utilizadas neste trabalho. Tambem a partir de agora fica entendido que s
pertence a um intervalo que garante a convergencia da transformada de Laplace.
Exemplo 4 Encontre a Transformada de Laplace de cos 3t.
Solucao: Utilizando (V) da Tabela 3.1, percebe-se que k = 3. Fazendo as substituicoes,
o resultado sera:
L{cos 3t} =s
s2 + 9
Como mencionado na Definicao 3.2, a funcao original f(t) e chamada trans-
formada inversa e e denotada por L−1{F (s)} = f(t). Ou seja, agora e preciso encontrar
uma funcao f(t) cuja transformada de Laplace seja F (s). Assim, a tabela acima tambem
pode ser entendida da forma inversa, como por exemplo:
L−1
{1
s
}
= 1
Exemplo 5 Encontre a Transformada Inversa de Laplade de5
s2 + 49.
Solucao: Para que se possa utilizar a transformada inversa, e necessario antes algumas
manipulacoes algebricas. Aqui basta colocar a constante em evidencia como em (3.4), e
usando IV da Tabela 3.1, tem-se:
L−1
{5
s2 + 49
}
=5
7L−1
{7
s2 + 49
}
(3.4)
=5
7sen7t
Assim como a Transformada de Laplace, a Transformada Inversa de Laplace
tambem e uma transformada linear, seguindo o Teorema 3.3. Ela tambem pode ser cal-
culada analiticamente, mas com a utilizacao de integracao complexa, que foge ao objetivo
deste trabalho.
Para uma melhor compreensao da transformada de Laplace, o proximo capıtulo
trara alguns teoremas que compreendem o deslocamento das funcoes, assim como a
aplicacao da transformada na solucao de equacoes diferenciais.
4 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ate agora foi estudado sobre as definicoes principais que serviram de base
para a compreensao dos teoremas que serao apresentados a seguir. Existem funcoes cuja
transformada demanda calculos trabalhosos quando se usa apenas a Definicao 3.2. Nesse
sentido existem teoremas que facilitam o calculo, afim de tornar mais simples e rapido o
resultado.
4.1 Translacao
Teorema 4.1 (Primeiro Teorema da Translacao) Se a e um numero real, entao
L{eatf(t)} = F (s− a),
em que F (s) = L{f(t)}.
Demonstracao: Para esta demonstracao sera utilizada a Definicao 3.2:
L{eatf(t)}dt =
∫∞
0
e−steatf(t)dt
=
∫∞
0
e−(s−a)tf(t)dt
= F (s− a) (4.1)
Exemplo 6 Calcule L{e10tt3}.
Solucao:
L{e10tt3} =
∫∞
0
e−ste10tt3dt
=
∫∞
0
e−(s−10)tt3dt
Pode-se verificar que no lugar do s tem-se agora s− 10. Usando (4.1) tambem
(II) da Tabela 3.1, resulta em:
L{e10tt3} =3!
(s− 10)4
Essa “substituicao” feita acima e comumente adotada com a notacao a seguir:
L{eatf(t)} = L{f(t)}s→(s−a)
20
21
em que s → (s− a) significa que em F (s) foi feita uma substituicao de s por s− a.
Esta translacao tambem e chamada de deslocamento, pois o grafico da funcao
sofre um deslocamento em a unidades a direita (se a for positivo) ou a esquerda (se a for
negativo) de s. No exemplo feito, o grafico da funcao esta representado na Figura 4.1.
Figura 4.1: Grafico do Exemplo 6.Fonte: Da autora.
Este teorema tambem permite a forma inversa, ou seja:
f(t) = L−1{F (s)} ou ainda L−1{F (s− a)} = eatf(t)
Antes de continuar com o Segundo Teorema da Translacao faz-se necessario
o entendimento da Funcao Degrau Unitario (ou Funcao de Heaviside). Esta funcao e
utilizada em circuitos que representam funcoes com a dualidade de “estar ligado” ou
“estar desligado”, ou seja, utilizada em funcoes que possuem saltos. Na sua forma original,
costuma representar forcas que ligam no instante t = 0, ficando ligadas daı em diante. E
representada pela funcao:
u(t) =
0 t < 0
1 t ≥ 0
Ocorre que o instante que essas forcas sao ligadas variam no tempo, ocorrendo
uma translacao da Funcao de Heaviside. Logo, seja c um numero real, a funcao com a
translacao no tempo sera dada por:
uc(t) =
0 t < c
1 t ≥ c
Neste caso, o instante t = c sera o momento em que o sistema sera ligado.
Exemplo 7 Represente graficamente a funcao u3(t) =
0 0 ≤ t < 3
1 t ≥ 3.
22
Figura 4.2: Grafico da Funcao u3(t).Fonte: Da autora.
Solucao: O grafico obtido esta representado na Figura 4.2. O sistema liga-se em t = 3,
ficando ligado a partir deste momento.
A Funcao de Heaviside tambem pode ser multiplicada por outra funcao definida
para t ≥ 0, cancelando assim uma parte do grafico, como pode ser visto no exemplo abaixo.
Exemplo 8 Represente graficamente f(t) = cos t · u2π(t).
Solucao: A funcao cos t esta sendo multiplicada pela funcao degrau unitario u2π(t), o
que significa que tera uma parte do seu grafico cancelada, mais precisamente no intervalo
[0, 2π[.
f(t) = cos t · u2π(t) =
0 0 ≤ t < 2π
cos t t ≥ 2π
O grafico sera da forma:
Figura 4.3: Grafico do Exemplo 8.Fonte: Da autora.
A Transformada de Laplace da Funcao de Heaviside pode ser encontrada fa-
cilmente atraves da definicao. Seja c ≥ 0,
L{uc(t)} =
∫∞
0
e−stuc(t)dt
=
∫ c
0
e−st · 0 dt+
∫∞
c
e−st · 1 dt
=
∫∞
c
e−stdt
=e−cs
s
23
O Primeiro Teorema de Translacao garante um deslocamento em s, ou seja,
uma translacao da transformada F (s). A seguir apresenta-se uma teorema que mostra que
quando F (s) e multiplicada por uma exponencial conveniente, provoca um deslocamento
na transformada inversa.
Teorema 4.2 (Segundo Teorema de Translacao) Se a for uma constante positiva,
entao
L{f(t− a)ua(t)} = e−asF (s)
em que F (s) = L{f(t)}.
Demonstracao: Usando a Definicao 3.2, segue que
L{f(t− a)ua(t)} =
∫∞
0
e−stf(t− a)ua(t)dt
=
∫ a
0
e−stf(t− a)ua(t)dt+
∫∞
a
e−stf(t− a)ua(t)dt
=
∫∞
a
e−stf(t− a)ua(t)dt
aqui e necessario fazer uma substituicao de variaveis v = t− a e portanto dv = dt.
L{f(t− a)ua(t)} =
∫∞
0
e−s(v+a)f(v)dv
=
∫∞
0
e−sve−asf(v)dv
= e−as
∫∞
0
e−svf(v)dv
= e−asL{f(t)}
Exemplo 9 Calcule L{(t− 4)5u4(t)}.
Solucao: Primeiro e preciso identificar a, que neste caso e igual a 4. Utilizando o teorema
anterior e a Tabela 3.1, segue:
L{(t− 4)5u4(t)} = e−4sL{t5}
= e−4s 5!
s6
=120
s6e−4s
O Teorema 4.2 tambem permite a forma inversa, ou seja:
f(t− a)ua(t) = L−1{e−asF (s)}
onde a > 0 e f(t) = L−1{F (s)}.
24
4.2 Derivadas
O estudo feito ate agora envolveu a Transformada de Laplace, suas proprie-
dades e teoremas para resolucao de exercıcios e problemas. Para resolucao de equacoes
diferencias, e necessario que conhecer alguns teoremas envolvendo derivadas.
Teorema 4.3 (Derivadas de Transformadas) Para n= 1, 2, 3, ...
L{tnf(t)} = (−1)ndn
dsnF (s)
em que F (s) = L{f(t)}.
Demonstracao: A demonstracao deste teorema pode ser feita de modo recursivo, pro-
vando inicialmente para n = 1, onde em (4.2) utilizou-se a Regra de Leibniz.
d
dsF (s) =
d
ds
∫∞
0
e−stf(t)dt
=
∫∞
0
∂
∂s[e−stf(t)] dt (4.2)
=
∫∞
0
−te−stf(t) dt
= −∫
∞
0
e−st[tf(t)] dt
= −L{tf(t)}
Com este resultado, pode-se escrever ainda que:
d
dsF (s) = −L{tf(t)} ou seja, L{tf(t)} = − d
dsF (s)
Utilizando este resultado, e ainda por meio da recursividade, calcula-se as
derivadas de ordem superior.
d2
ds2F (s) =
d2
ds2
∫∞
0
e−stf(t)dt
=
∫∞
0
∂2
∂s2[e−stf(t)] dt
=
∫∞
0
t2e−stf(t) dt
=
∫∞
0
e−st[t2f(t)] dt
= L{t2f(t)}
25
d3
ds3F (s) =
d3
ds3
∫∞
0
e−stf(t)dt
=
∫∞
0
∂3
∂s3[e−stf(t)] dt
=
∫∞
0
−t3e−stf(t) dt
= −∫
∞
0
e−st[t3f(t)] dt
= −L{t3f(t)}
que tambem podeser escrito como
− d3
ds3F (s) = L{t3f(t)}
Percebe-se entao que ao calcular a n-esima derivada, o resultado sera dado por
L{tnf(t)} = (−1)ndn
dsnF (s)
Exemplo 10 Calcule L{t cos 2t}.
Solucao: Utilizando o teorema anterior e (V) da Tabela 3.1, segue:
L{t cos 2t} = − d
dsL{cos 2t}
= − d
ds
( s
s2 + 4
)
= −[ −2s2
(s2 + 4)2+
1
s2 + 4
]
=s2 − 4
(s2 + 4)2
Teorema 4.4 (Transformada de uma Derivada) Se f(t), f ′(t), ..., f (n−1)(t) forem
contınuas em [0,∞[, de ordem exponencial, e se f (n) for contınua por partes em [0,∞[,
entao
L{f (n)(t)} = snF (s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− ...− f (n−1)(0)
em que F (s) = L{f(t)}.
Demonstracao: Para provar este teorema sera utilizado o Princıpio da Inducao Finita.
26
Primeiramente, sera provado para n = 1.
L{f ′(t)} =
∫∞
0
e−stf ′(t)dt
= limA→∞
∫ A
0
e−stf ′(t)dt
Fazendo uso da integral por partes, onde u = e−st, du = −se−stdt, v = f(t) e dv = f ′(t)dt.
L{f ′(t)} = limA→∞
e−stf(t)∣∣∣
A
0+ s
∫∞
0
e−stf(t)dt
= −f(0) + sL{f(t)}= sF (s)− f(0)
Ao supor que e verdade para n = k (em 4.3), prova-se verdadeiro para n = k+1 tambem
atraves da Definicao 3.2.
L{fk(t)} = skF (s)− sk−1f(0)− sk−2f ′(0)− ...− f (k−1)(0) (4.3)
para n = k + 1,
L{f (k+1)(t)} =
∫∞
0
e−stf (k+1)(t)dt
utilizando integracao por partes novamente,
∫∞
0
e−stf (k+1)(t)dt = e−stf (k)(t)∣∣∣
∞
0−
∫∞
0
−se−stf (k)dt
= −f (k)(0) + s
∫∞
0
e−stf (k)(t)dt
= −f (k)(0) + sL{f (k)(t)}
Agora, basta substituir L{f (k)(t)} pela expressao em 4.3, que e a hipotese de inducao.
∫∞
0
e−stf (k+1)(t)dt = s[skF (s)−sk−1f(0)−sk−2f ′(0)−...−f (k−1)(0)]−f (k)(0)
= sk+1F (s)−skf(0)−sk−1f ′(0)−...−sf (k−1)−f (k)(0)
O teorema acima e util para resolucao de problemas de valor inicial para
equacoes diferencias lineares com coeficientes constantes pois a transformada da derivada
de f esta relacionada de forma clara a transformada de f .
Exemplo 11 Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y′′ − y′ − 6y = 0 y(0) = 1, y′(0) = −1
27
Solucao: Usando o Teorema 4.4, a equacao acima pode ser resolvida como a seguir.
s2L{y} − sy(0)− y′(0)− [sL{y} − y(0)]− 6L{y} = 0
s2L{y} − s+ 1− sL{y}+ 1− 6L{y} = 0
L{y}(s2 − s− 6) = s− 2
L{y} =s− 2
s2 − s− 6(4.4)
O resultado acima e a funcao Y (s), sendo necessario que se encontre a funcao
y(t) cuja transformada seja Y (s). Para isso, utiliza-se a transformada inversa de Laplace,
com auxılio de fracoes parciais. A partir da equacao (4.4) entao,
s− 2
s2 − s− 6=
s− 2
(s+ 2)(s− 3)=
A
s+ 2+
B
s− 3
O seguinte sistema e encontrado
A+B = 1
−3A+ 2B = −2
de onde A =4
5e B =
1
5. Logo, utilizando a forma inversa de (III) da Tabela 3.1 a solucao
sera dada por
L−1{4
5
( 1
s+ 2
)
+1
5
( 1
s− 3
) }
=4
5e−2t +
1
5e3t
A resolucao acima mostra que a equacao diferencial com problema de valor ini-
cial foi resolvida transformando-a numa equacao algebrica de simples solucao, ressaltando
assim a utilidade da Transformada de Laplace. A solucao satisfaz as condicoes iniciais,
trazendo junto os valores das constantes de forma automatica. Pelos metodos tradicio-
nais estas constantes seriam encontradas somente apos o obtencao da solucao geral da
EDO e posterior imposicao das condicoes iniciais. E possıvel tambem resolver equacoes
diferenciais nao-homogeneas (como sera visto no Exemplo 12), pois estas sao tratadas da
mesma forma que as equacoes homogeneas.
O problema maior deste metodo e encontrar a transformada inversa da Laplace,
o que pode ser facilmente resolvido com auxılio de tabelas e dos teoremas apresentados
neste trabalho.
Exemplo 12 Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y′′ + 2y′ + y = 4e−t, y(0) = 2, y′(0) = −1
Solucao: Assim como no exemplo anterior, sera usado o Teorema 4.4, aplicando a trans-
28
formada de Laplace a equacao diferencial nao-homogenea.
s2L{y} − sy(0)− y′(0) + 2[sL{y} − y(0)] + L{y} =4
s+ 1
s2L{y} − 2s+ 1 + 2sL{y} − 4 + L{y} =4
s+ 1
L{y}(s2 + 2s+ 1) =4
s+ 1+ 2s+ 3
L{y}(s2 + 2s+ 1) =2s2 + 5s+ 7
s+ 1
L{y} =2s2 + 5s+ 7
(s+ 1)(s2 + 2s+ 1)
L{y} =2s2 + 5s+ 7
(s+ 1)3(4.5)
Usando fracoes parciais, e possıvel reescrever (4.5) como
2s2 + 5s+ 7
(s+ 1)3=
A
(s+ 1)+
B
(s+ 1)2+
C
(s+ 1)3(4.6)
=A(s+ 1)2 +B(s+ 1) + C
(s+ 1)3
obtendo assim o seguinte sistema
A=2
2A+B=5
A+B+C=7
de onde, A = 2, B = 1 e C = 4. Substituindo esses valores em (4.6)
L{y} =2
(s+ 1)+
1
(s+ 1)2+
4
(s+ 1)3
Para encontrar a solucao do problema de valor inicial, basta agora encontrar
a transformada inversa da equacao algebrica acima. Utilizando a Tabela 3.1 e o Primeiro
Teorema de Translacao (Teorema 4.1), o resultado sera dado por
L−1{
2( 1
s+ 1
)
+1
(s+ 1)2+ 2
[ 2
(s+ 1)3
]}
= 2e−t + te−t + 2t2e−t
Usando o Teorema 4.4 e possıvel tambem provar o item (IV) da Tabela 3.1
conforme o exemplo abaixo.
Exemplo 13 Mostre que L{sen(kt)} =k
s2 + k2.
Solucao: Sendo f(t) = sen(kt), primeiramente e preciso encontrar a segunda derivada
29
de f(t).
f(t) = sen(kt)
f ′(t) = k cos(kt)
f ′′(t) = −k2sen(kt) (4.7)
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros da equacao (4.7)
acima e sabendo que f(0) = 0 e f ′(0) = k.
L{f ′′(t)} = L{−k2sen(kt)}s2L{f} − sf(0)− f ′(0) = −k2L{sen(kt)}
s2L{sen(kt)} − k = −k2L{sen(kt)}(s2 + k2)L{sen(kt)} = k
L{sen(kt)} =k
s2 + k2
4.3 Convolucao
Quando a transformada de Laplace aparece como o produto de duas outras
transformadas, ha um tipo de operacao especial que auxilia na resolucao. Isto acontece
pois a integral de um produto de funcoes nao e igual ao produto das integrais.
A convolucao2 de duas funcoes f e g, contınuas no intervalo [0,∞], e definida
por
f ∗ g =
∫ t
0
f(τ)g(t− τ)dτ (4.8)
Esta operacao, da forma como esta definida, tem muitas propriedades da mul-
tiplicacao usual, ou seja, vale a comutatividade, a distributividade, associatividade e
existencia do elemento neutro.
Teorema 4.5 (Teorema da Convolucao) Sejam f(t) e g(t) funcoes contınuas por par-
tes em [0,∞[ e de ordem exponencial, entao
L{f ∗ g} = L{f(t)}L{g(t)} = F (s)G(s)
2A convolucao de duas funcoes sera denotada pela sımbolo *.
30
Demonstracao: Sejam
F (s) = L{f(t)} =
∫∞
0
e−sτf(τ)dτ
G(s) = L{g(t)} =
∫∞
0
e−sβg(β)dβ
Ao fazer F (s)G(s), tem-se
F (s)G(s) =(∫
∞
0
e−sτf(τ)dτ)(∫
∞
0
e−sβg(β)dβ)
=
∫∞
0
∫∞
0
e−s(τ+β)f(τ)g(β) dβ dτ
fixando τ e fazendo uma substituicao de variaveis com t = τ + β, resulta em dt = dτ .
E preciso tambem substituir os extremos de integracao. Quando β = 0, τ = t, e quando
β = ∞, corresponde a t = ∞.
F (s)G(s) =
∫∞
0
∫∞
t
e−stf(τ)g(t− τ) dt dτ
utilizando o fato de f e g serem contınuas por partes em [0,∞[ e de ordem exponencial,
e possıvel inverter a ordem de integracao.
F (s)G(s) =
∫∞
0
∫ t
0
e−stf(τ)g(t− τ) dτ dt
ao fazer a integracao em relacao a τ , percebe-se que e−st e uma constante que pode ser
colocada para fora.
F (s)G(s) =
∫∞
0
e−st[ ∫ t
0
f(τ)g(t− τ) dτ
︸ ︷︷ ︸
f∗g
]
dt
A expressao entre colchetes acima e igual ao lado direito da igualdade da equacao (4.8),
logo
F (s)G(s) = L{f ∗ g}
Exemplo 14 Encontre a transformada de Laplace de L{t2 ∗ tet}.
31
Solucao: Utilizando o teorema anterior,
L{t2 ∗ tet} = L{t2}L{tet}
=2!
s3· 1
(s− 1)2
=2
s3(s− 1)2
O teorema da convolucao tambem permite a forma inversa, podendo calcular
a transformada de Laplace inversa de um produto de duas transformadas.
L−1{F (s)G(s)} = f ∗ g
Exemplo 15 Encontre f(t) de L−1
{1
(s+ 1)(s− 2)
}
.
Solucao: Para utilizar a forma inversa do teorema da Convolucao, e necessario primeiro
definir F (s) e G(s). Aqui, e facil perceber que
F (s) =1
s+ 1e G(s) =
1
s− 2
Encontrando as transformadas inversas de cada funcao
L−1{F (s)} = f(t) = e−t e L−1{G(s)} = g(t) = e2t
Agora basta fazer
L−1
{1
(s+ 1)(s− 2)
}
=
∫ t
0
f(τ)g(t− τ)dτ
=
∫ t
0
e−τe2(t−τ)dτ
=
∫ t
0
e−τe2t
e−2τdτ
= e2t∫ t
0
e−3τdτ
= e2t(
−1
3e−3τ
)∣∣∣∣∣
t
0
=1
3e2t − 1
3e−t
Os teoremas e exemplos apresentados neste capıtulo servirao de base para a
utilizacao da transformada de Laplace na resolucao de algumas funcoes especiais, assim
como em um problema aplicado de um circuito em serie R− C.
5 APLICACAO E ALGUMAS FUNCOES ESPECIAIS
Para aplicacao do estudo feito sobre a Transformada de Laplace, este capıtulo
trara uma aplicacao e algumas funcoes especiais, evidenciando a importancia deste opera-
dor na resolucao de problemas aplicados. A Funcao de Heaviside ja mostrada no capıtulo
anterior tambem pode ser vista como uma aplicacao da transformada de Laplace, como
ja mencionado, principalmente em problemas fısicos com a presenca de alguma forca que
e ligada em um instante.
5.1 Aplicacao
A equacao diferencial da carga q(t) em um capacitor em um circuito em serie
R− C e dado por
Rdq
dt+
1
Cq = E(t) (5.1)
Sabendo isto, e possıvel resolver o seguinte problema “Use a transformada de
Laplace para determinar a carga no capacitor em um circuito em serie R−C se q(0) = 0,
R = 10 ohms, C = 0, 08 farad e E(t) e a voltagem dada pela figura abaixo.”
Figura 5.1: Grafico de E(t).Fonte: Da autora.
Solucao: Primeiramente e preciso encontrar a funcao de E(t), dada pelo grafico. Neste
caso, e facil perceber que a funcao esta deslocada, sendo portando dada por:
E(t) = u3(t) =
0 0 ≤ t < 3
5 t ≥ 3
Substituindo os valores dados no problema na equacao (5.1)
2, 5dq
dt+
1
0, 08q = 5u3(t)
32
33
Para simplificar os calculos, pode-se dividir toda a equacao por 2, 5
dq
dt+ 5q = 2u3(t)
Aplicando a transformada de Laplace na equacao acima e resolvendo
sL{q} − q(0) + 5L{q} = 2L{u3(t)}
Pelo Teorema 4.4 e usando a transformada da funcao de Heaviside do lado direito da
igualdade
L{q}(s− 5) = 2e−3s
s
L{q} = 2e−3s
s(s+ 5)
A solucao e dada encontrando a transformada inversa da equacao acima. Perceba que a
mesma pode ser organizada da seguinte maneira
q(t) = 2L−1
{1
s(s+ 5)e−3s
}
Utilizando fracoes parciais, a funcao de Heaviside e o Teorema 4.2, pode-se escrever ainda
q(t) = 2 L−1
{[1
5
(1
s
)
− 1
5
( 1
s+ 5
)]
e−3s
}
= 2[1
5+
1
5e−5t
]
u3(t)
=2
5u3(t) +
2
5e−5(t−3)u3(t)
A solucao acima foi obtida com auxılio da forma inversa do segundo teorema
da translacao.
5.2 Funcao Delta de Dirac
Existem aplicacoes em circuitos eletricos ou sistemas mecanicos, cuja forca
e exercida em tempo muito curto e com elevada intensidade. A forca impulsiva ocorre
durante a colisao de dois objetos e e constante durante o curto tempo que atua. Pode ser
uma bola ao receber um chute, o impulso de um martelo ao bater em um prego ou ate
mesmo uma colisao atomica.
Uma funcao impulso unitario δ funciona como um impulso de tamanho 1 em
t = 0, sendo zero para todos os outros valores de t. Este impulso se refere a forca realizada
34
sobre o objeto. Pode-se escrever as seguintes propriedades:
δ(t) = 0, t 6= 0 (5.2)∫
∞
−∞
δ(t)dt = 1 (5.3)
Um impulso unitario em um ponto arbitrario t = t0 e dado por δ(t − t0). A
funcao Delta de Dirac representa este impulso, que nada mais e do que uma expressao
desse tipo de impulso unitario atraves de:
δ(t− t0)
que de acordo com (5.2) e (5.3) possui as seguintes propriedades,
(i) δ(t− t0) =
∞ t = t0
0 t 6= t0
(ii)
∫∞
−∞
δ(t− t0)dt = 1
Na pratica, buscou-se uma funcao limite denotada por δ(t − t0) que fosse
aproximada por δa(t − t0) quando a → 0. Logo, a Funcao Delta de Dirac pode ser
definida pelo limite
δ(t− t0) = lima→0
δa(t− t0)
Apesar de nao satisfazer as condicoes de existencia, de modo formal, pode-se
obter a Transformada de Laplace atraves do limite. Assim, supondo t0 > 0, tem-se,
L{δ(t− t0)} = lima→0
L{δa(t− t0)}
Teorema 5.1 (Tranformada de Laplace da Funcao Delta de Dirac) Para t0 > 0,
L{δ(t− t0)} = e−st0
Exemplo 16 Encontre a Transformada de Laplace da seguinte equacao diferencial:
y′ − 3y = δ(t− 2), y(0) = 0
Solucao: Primeiro e necessario identificar t0, que neste caso e igual a 2. Usando a
linearidade e o Teorema 4.4, pode-se escrever,
sL{y} − y(0)− 3L{y} = e−2s
L{y}(s− 3) = e−2s
L{y} =e−2s
s− 3(5.4)
35
Podemos reescrever (5.4) como
L{y} = e−2s 1
s− 3
Agora, pela forma inversa do segundo teorema de translacao, e possıvel encontrar o re-
sultado
L−1{
e−2s 1
s− 3
}
= e3(t−2)u2(t)
5.3 Funcao Gama
A funcao Gama foi definida por Euler, da seguinte forma
Γ(x) =
∫∞
0
tx−1e−tdt (5.5)
para x > 0.
Esta funcao e frequentemente chamada de fatorial generalizado, pois uma im-
portante propriedade da Funcao Gama se da pela recorrencia, como visto abaixo calcu-
lando Γ(x+ 1).
Γ(x+ 1) =
∫∞
0
tx+1−1e−tdt
=
∫∞
0
txe−tdt (5.6)
Aplicando integral por partes, com u = tx, du = xtx−1dt, dv = e−tdt e v = −e−t, segue
que
Γ(x+ 1) = −e−ttx∣∣∣
∞
0+
∫∞
0
xtx−1e−tdt (5.7)
a primeira parcela da equacao (5.7) tende a zero, e tambem, x e constante na derivacao
em relacao a t, portanto
Γ(x+ 1) = x
∫∞
0
tx−1e−tdt
Γ(x+ 1) = xΓ(x) (5.8)
Na pratica,o que se tem e,
Γ(1) =
∫∞
0
e−tdt = 1
36
utilizando a recorrencia,
Γ(2) = 1Γ(1) = 1
Γ(3) = 2Γ(2) = 2× 1
Γ(4) = 3Γ(3) = 3× 2× 1
Γ(5) = 4Γ(4) = 4× 3× 2× 1
fica facil perceber entao que:
Γ(n+ 1) = n!
com n um inteiro positivo.
A funcao Γ(x) e usada como extensao da funcao fatorial valida para todo
numero natural, e tal extensao vale para todo numero real onde esta integral converge.
Mais especificamente, a funcao Gama e definida para todo x 6= −n, com n = 0, 1, 2, 3, ....
Exemplo 17 Dado que Γ
(1
2
)
=√π, calcule Γ
(3
2
)
.
Solucao: Usando (5.8),
Γ
(3
2
)
= Γ
(1
2+ 1
)
=1
2Γ
(1
2
)
=1
2
√π
Com a Funcao Gama tambem e possıvel provar (II) da Tabela 3.1,
L{tn} =
∫∞
0
e−sttndt
fazendo uma substituicao de variaveis, x = st, dx = sdt. Verifica-se que os extremos de
integracao permanecem iguais,
L{tn} =
∫∞
0
e−x(x
s
)n dx
s
=1
sn+1
∫∞
0
e−xxndx
︸ ︷︷ ︸
Γ(n+1)=n!
Logo,
L{tn} =Γ(n+ 1)
sn+1=
n!
sn+1(5.9)
Exemplo 18 Calcule L{t− 1
2}.
37
Solucao: Utilizando (5.9),
L{t− 1
2} =Γ(−1
2+ 1)
s−1
2+1
=Γ1
2
s1
2
=
√π√s=
√π
s
5.4 Funcao Beta
A Funcao Beta, conhecida tambem como integral de Euler de primeiro tipo e
definida por
B(m,n) =
∫ 1
0
xm−1(1− x)n−1dx (5.10)
para m > 0 e n > 0.
Esta funcao possui relacao com a funcao Gama (do item anterior). A equacao
que define esta relacao e dada por
B(m,n) =Γ(m)Γ(n)
Γ(m+ n)
A demonstracao da relacao acima depende de algumas manipulacoes. Partindo
da integral definida,
f(t) =
∫ t
0
xm−1(t− x)n−1dx
Para desenvolver, e preciso perceber que g(t) = tm−1 e portanto g(x) = xm−1.
Tambem h(t) = tn−1 e assim h(t − x) = (t − x)n−1. Com isto, e possıvel fazer a relacao
seguinte, lembrando do teorema da convolucao (Teorema 4.5).
f(t) =
∫ t
0
xm−1(t− x)n−1dx
=
∫ t
0
g(x)h(t− x)dx
= (g ∗ h)(t)= tm−1 ∗ tn−1
Aplicando a transformada de Laplace, o resultado segue
L{f(t)} = L{g ∗ h}= L{tm−1 ∗ tn−1}= L{tm−1} × L{tn−1}
38
Utilizando a primeira igualdade de (5.9), as transformadas acima resultam em
L{f(t)} =Γ(m− 1 + 1)
sm−1+1· Γ(n− 1 + 1)
sn−1+1
=Γ(m)
sm· Γ(n)
sn
=Γ(m)Γ(n)
sm+n
Para encontrar a solucao, basta encontrar a transformada inversa de Laplace da equacao
acima, fazendo
f(t) = L−1
{Γ(m)Γ(n)
sm+n
}
Como Γ(m) e Γ(n) sao constantes,
f(t) = Γ(m)Γ(n) L−1
{1
sm+n
}
Novamente de (5.9), para encontrar a transformada inversa,
f(t) = Γ(m)Γ(n)tm+n−1
Γ(m+ n)
assim, organizando a equacao acima
f(t) =Γ(m)Γ(n)
Γ(m+ n)tm+n−1
Para chegar ao resultado, faz-se t = 1,
Γ(m)Γ(n)
Γ(m+ n)=
∫ 1
0
xm−1(1− x)n−1dx = B(m,n)
Neste capıtulo estou-se algumas aplicacoes e solucoes de algumas funcoes espe-
ciais, como a Funcao Gama, Funcao Beta e a Funcao Delta de Dirac. A transformada de
Laplace tambem e util para resolver outras funcoes especiais como as Funcoes de Bessel,
a Funcao Erro, Funcoes Nulas, entre outras.
6 CONSIDERACOES FINAIS
Ao considerar o tema “Transformada de Laplace” como um metodo para re-
solver equacoes diferenciais, considera-se esta pesquisa descritiva de cunho bibliografico,
pois ao longo da pesquisa tratou-se de definicoes, propriedades e teoremas, de maneira
que fosse possıvel entender o assunto para fazer uso nas aplicacoes.
Analisando o estudo aqui abordado, percebe-se a importancia desta ferra-
menta, pois alem de simplificar alguns calculos de equacoes diferenciais, possibilita a
resolucao de alguns tipos de funcoes especiais cuja aplicacao e fundamental em diversas
areas.
Como complementacao deste trabalho, pode-se vir a estudar as demais funcoes
especiais e resolver um problema aplicado, como por exemplo de distribuicao de tempe-
ratura.
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REFERENCIAS
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BOYER, C. B. Historia da matematica. 3. ed. Sao Paulo: Edgard Blucher, 2012.
BRANNAN, J. R.; BOYCE, W. E. Equacoes diferenciais: uma introducao a metodosmodernos e suas aplicacoes. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
PACHECO, A. L. S. Transformada de Laplace: algumas aplicacoes. 2011. Monografia(Especializacao em Matematica), UFSC (Universidade Federal de Santa Catatina),Florianopolis, Brasil.
TONIDANDEL, D. A. V.; ARAUJO, A. E. A. de. Transformada de laplace: uma obrade engenharia. Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 34, n. 2, p. 2601, 2012.
ZILL, G. Equacoes Diferenciais. 2. ed. Sao Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
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