Transformada de LaplaceNótese que corresponde a la Transformada Bilateral de Laplace, reemplaznado...

© UdeC - DIE

0T

fc s T,( )lim

→1→fc s T,( )

1 es− T⋅

−

s T⋅:=fc s T,( )

0

∞

tfc t T,( ) es− t⋅

⋅⌠⌡

d:=

ImpulsoImpulso aproximadofc t T,( )1

TΦ t( ) Φ t T−( )−( )⋅:=Caso 3

fb s a,( )1

s a+:=fb s a,( )

0

∞

tfb t a,( ) es− t⋅

⋅⌠⌡

d:=

Exponencial decrecientefb t a,( ) ea− t⋅

Φ t( )⋅:=Caso 2

fa s( )1

s:=fa s( )

0

∞

tfa t( ) es− t⋅

⋅⌠⌡

d:=

Escalónfa t( ) Φ t( ):=Caso 1

f t( )1

2 π⋅ j⋅ c j ∞⋅−

c j ∞⋅+

sf s( ) es t⋅

⋅⌠⌡

d⋅=

la transformada inversa resulta ser,

f s( )

0

∞

tf t( ) es− t⋅

⋅⌠⌡

d=

Sea la señal f(t), entonces la Transformada de Laplace de

f(t), denotada por f(s) es,

Transformada de LaplaceDefiniciones

problema

solución

Dominio original

difíc

il

problema

solución

Dominio de la transformación

fácil

transformación

directa

transformación inversa

Estudiar la Aplicabilidad de la Transformada de Laplace en Sistemas de Ingeniería.Problema

Transformada de Laplace

Capítulo III - Transformaciones 1 de 31 Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214

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f2 s( )3−

s s 3−( )⋅:=f2 s( )

2−

s2

1−:=

f2 s( )exp s T⋅( ) 2− exp s− T⋅( )+

s2

:=f2 s( )

1

s

1

s 3−−:=f2 s( )

1

s 1+

1

s− 1++:=

f2 s( )

∞−

∞

tf t( ) es− t⋅

⋅⌠⌡

d:=f2 s( )

0

∞

tf t( ) es− t⋅

⋅⌠⌡

d

∞−

0

tf t( ) es− t⋅

⋅⌠⌡

d+:=f2 s( )

0

∞

tf t( ) es− t⋅

⋅⌠⌡

d

∞−

0

tf t( )− es− t⋅

⋅⌠⌡

d+:=

f t( ) t T+( ) Φ t T+( )⋅ 2 t⋅ Φ t( )⋅−t T−( ) Φ t T−( )⋅+

...:=Caso 4f t( ) Φ t( ) e3 t⋅

Φ t−( )⋅+:=Caso 3f t( ) et−

:=Caso 2

MM

Im n, Im f2 rz

mi iz

n⋅+( )( ):=R

m n, Re f2 rzm

i izn

⋅+( )( ):=Mm n, f2 rz

mi iz

n⋅+( ):=

izm

2− π⋅ m4 π⋅

N⋅+:=rz

m1.001− m

2

N⋅+:=n 0 N..:=m 0 N..:=N 45:=

f2 s( )

∞−

∞

tf t( ) es− t⋅

⋅⌠⌡

d 2exp 4 s⋅( ) 1−

s⋅ exp 2− s⋅( )⋅

exp 4 s⋅( )− 1+

sexp 2− s⋅( )⋅+→:=f t( ) Φ t T+( ) Φ t T−( )−:=T 2:=Caso 1

f2 s( )

∞−

∞

tf t( ) es− t⋅

⋅⌠⌡

d=

Sea la señal f(t), entonces la Transformada Bilateral de Laplace de f(t), denotada por f2(s) es,

Transformada Bilateral de Laplace


© UdeC - DIE

f s( )

0

t

tf t( )⌠⌡

df s( )

s

Valor Inicial f t( ) f s( )

0t

f t( )lim

→ ∞s

s f s( )⋅lim

→=

Valor Final f t( ) f s( )

∞t

f t( )lim

→ 0s

s f s( )⋅lim

→=

Señales

Periodicasfo t( ) fo s( ) f t( )

0

∞

i

fo t i T⋅−( )∑=

= f s( )1

1 es− T⋅

−fo s( )⋅=

Convolución f t( ) f s( ) g t( ) g s( ) τf t τ−( ) g τ( )⌠⌡

d f s( ) g s( )⋅

Convolución

Complejaf t( ) f s( ) g t( ) g s( ) f t( ) g t( )⋅

1

2 π⋅ j⋅ c j ∞⋅−

c j ∞⋅+

ωf s ω−( ) g ω( )⋅⌠⌡

d⋅

Propiedades

Linealidad fa t( ) fa s( ) fb t( ) fb s( ) αa fa t( )⋅ αb fb t( )⋅+ αa fa s( )⋅ αb fb s( )⋅+

Escalamient-

o en tiempof t( ) f s( ) f a t⋅( )

1

afs

a

⋅

Despl. en

tiempof t( ) f s( ) f t a−( ) e

a− s⋅f s( )⋅

Despl. en

frecuenciaf t( ) f s( ) e

a− t⋅f t( )⋅ f s a+( )

Derivación f t( ) f s( )tf t( )

d

ds f s( )⋅ f t 0=( )−

Integración f t( )


© UdeC - DIEAplicacio-

nes

Manipulación de Diagrama de Bloques

h s( )1

A

1

s⋅ fe s( ) fs s( )−( )⋅=

1

A

1

s⋅ v s( ) u s( )⋅ fs s( )−( )⋅=

h s( )1

A

1

s⋅ v s( ) kc e s( )⋅

1

Ti

1

s⋅ e s( )⋅+

⋅ fs s( )−

⋅=1

A

1

s⋅ v s( ) kc

1

Ti

1

s⋅+

⋅ e s( )⋅ fs s( )−

⋅=

fs

fe h

Estánque Válvula

u +

-

v(s)

Controlador

e

kc

+

-

+

1 1

iT s

1 1

A s

hd

h s( )1

A

1

s⋅ v s( ) kc

1

Ti

1

s⋅+

⋅ hd s( ) h s( )−( )⋅ fs s( )−

⋅=

h s( )1

A

1

s⋅ v s( )

1

Ti

kc Ti⋅ s⋅ 1+

s⋅

⋅ hd s( ) h s( )−( )⋅ fs s( )−

⋅=

h s( )1

A

1

s⋅ v s( )⋅

1

Ti

kc Ti⋅ s⋅ 1+

s⋅

⋅ h s( )⋅+1

A

1

s⋅ v s( )

1

Ti

kc Ti⋅ s⋅ 1+

s⋅

⋅ hd s( )⋅ fs s( )−

⋅= Diagrama de Bloques Original

h s( )

1

A

1

s⋅ v s( )

1

Ti

kc Ti⋅ s⋅ 1+

s⋅

⋅ hd s( )⋅ fs s( )−

⋅

11

A

1

s⋅ v s( )⋅

1

Ti

kc Ti⋅ s⋅ 1+

s⋅

⋅+

=

1

A

1

s⋅ v s( )⋅

1

Ti

kc Ti⋅ s⋅ 1+

s⋅

⋅ hd s( )⋅

11

A

1

s⋅ v s( )⋅

1

Ti

kc Ti⋅ s⋅ 1+

s⋅

⋅+

1−

A

1

s⋅ fs s( )⋅

11

A

1

s⋅ v s( )⋅

1

Ti

kc Ti⋅ s⋅ 1+

s⋅

⋅+

+=

h s( )

1

A

1

s⋅ v s( )⋅

1

Ti

kc Ti⋅ s⋅ 1+

s⋅

⋅

11

A

1

s⋅ v s( )⋅

1

Ti

kc Ti⋅ s⋅ 1+

s⋅

⋅+

hd s( )⋅

1−

A

1

s⋅

11

A

1

s⋅ v s( )⋅

1

Ti

kc Ti⋅ s⋅ 1+

s⋅

⋅+

fs s( )⋅+=

h2(s)

h1(s) h

+

fs

hd

h s( )g s( ) v s( )⋅ c s( )⋅

1 g s( ) v s( )⋅ c s( )⋅+hd s( )⋅

g s( )−

1 g s( ) v s( )⋅ c s( )⋅+fs s( )⋅+=

Diagrama de Bloques

Resultanteh s( ) h1 s( ) hd s( )⋅ h2 s( ) fs s( )⋅+=


© UdeC - DIE

uo do:= po eo:=

Modelo

Lineal.∆i ∆d io⋅ do ∆i⋅+( )− C

t∆vd

d⋅

∆v

R+= ∆e L

t∆id

d⋅ ∆v+ ∆d vo⋅ do ∆v⋅+( )−=

Modelo

Lineal

Normalizado.

∆v

vo

∆vn=∆i

io

∆in=∆d

do

∆dn=∆e

eo

∆en= Definción de Variables Normalizadas

t∆vn

d

d

1−

R C⋅∆vn⋅

1

R C⋅∆in⋅+

do−

R C⋅ 1 do−( )⋅∆dn⋅+= Modelo Normalizado y Ordenado

t∆in

d

d

R−

L1 do−( )2⋅ ∆vn⋅

R

L1 do−( )⋅ do⋅ ∆dn⋅+

R

L1 do−( )2⋅ ∆en⋅+=

An

1−

R C⋅

R−

L1 do−( )2⋅

1

R C⋅

0

:= bn

do−

R C⋅ 1 do−( )⋅

R

L1 do−( )⋅ do⋅

:= en

0

R

L1 do−( )2⋅

:= cn 1 0( ):=

Problema Estudiar el uso de la T.L. en la respuesta a impulso.

Parámetros L 5 103−

⋅:= C 200 106−

⋅:= R 12:= ∆d1 0.2−:= do 0.5:= eo 6:= ∆e 1:= ∆d2 0.2:=

+

-

L

e(t)

i(t) C

+

-

v(t) R

Sw(t)

Modelo

Promedio.i 1 d−( )⋅ C

tv

d

d⋅

v

R+= e L

ti

d

d⋅ v 1 d−( )⋅+=

Punto de

operaciónvo

eo

1 do−:= vo 12= io

vo

R 1 do−( )⋅:= io 2=


© UdeC - DIE

+

-

L

e(t)

i(t) C

+

-

v(t) R

Sw(t)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03500

0

500Respuesta (tensión) a impulso aproximado

0

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

1000

2000

Entrada impulso aproximada

0

Zno3 rkfixed CI 0, tf, nf, D3,( ):=D3 t x,( ) An

x0

x1

⋅ bn ∆un t 0.0005,( )⋅+ en ∆pn t( )⋅+:=

Zno2 rkfixed CI 0, tf, nf, D2,( ):=D2 t x,( ) An

x0

x1

⋅ bn ∆un t 0.005,( )⋅+ en ∆pn t( )⋅+:=

Zno1 rkfixed CI 0, tf, nf, D1,( ):=CI0

0

:=D1 t x,( ) An

x0

x1

⋅ bn ∆un t 0.01,( )⋅+ en ∆pn t( )⋅+:=

t 0tf

nf

, tf..:=n 0 nf..:=nf 2000:=

tf 0.03:=∆pn t( ) 0:=∆un t T,( ) delT t T,( ):=delT t T,( )1

TΦ t( ) Φ t T−( )−( )⋅:=

Simulación.Respuesta

Gráfica a

Impulso en

la Entrada

∆∆∆∆un(t) = d(t).


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+

-

L

e(t)

i(t) C

+

-

v(t) R

Sw(t)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03500

0

500Respuesta (tensión) a Entrada Impulso

0

∆hn t( ) kp exp ζ− ωn⋅ t⋅( )⋅1 2 ζ

2⋅+( ) ωn⋅ 1 ζ

2−⋅

1 ζ2

−

sin ωn 1 ζ2

−⋅ t⋅

⋅

2− ζ⋅ ωn⋅ 1 ζ2

−( )⋅

1 ζ2

−

cos ωn 1 ζ2

−⋅ t⋅

⋅+

⋅ Φ t( )⋅:=

Tomando

Laplace

Inversa.

∆hn s( ) kp

2− ζ⋅ ωn⋅ s⋅ ωn2

+

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅=

ζ1

2 R⋅ C⋅1

L C⋅1 do−( )⋅

⋅

:=

kp

do

1 do−:=ωn

1

L C⋅1 do−( )⋅:=∆hn s( ) ∆vn s( )=

do−

R C⋅ 1 do−( )⋅s⋅

1

L C⋅1 do−( )⋅ do⋅+

s2 1

R C⋅s⋅+

1

L C⋅1 do−( )2⋅+

=

Definiendo

Con ∆∆∆∆dn = δδδδ(t) y ∆∆∆∆en= 0s2

∆vn⋅1

R C⋅s⋅ ∆vn⋅+

1

L C⋅1 do−( )2⋅ ∆vn⋅+

do−

R C⋅ 1 do−( )⋅s⋅

1

L C⋅1 do−( )⋅ do⋅+=

t t∆vn

d

d

d

d

1−

R C⋅ t∆vn

d

d⋅

1

R C⋅

R−

L1 do−( )2⋅ ∆vn⋅

R

L1 do−( )⋅ do⋅ ∆dn⋅+

R

L1 do−( )2⋅ ∆en⋅+

⋅+do−

R C⋅ 1 do−( )⋅ t∆dn

d

d⋅+=

Reemplaza-

ndo la 2da

ec. en la

anterior:

t t∆vn

d

d

d

d

1−

R C⋅ t∆vn

d

d⋅

1

R C⋅ t∆in

d

d⋅+

do−

R C⋅ 1 do−( )⋅ t∆dn

d

d⋅+=

Derivando

la 1ra ec.:

2da

t∆in

d

d

R−

L1 do−( )2⋅ ∆vn⋅

R

L1 do−( )⋅ do⋅ ∆dn⋅+

R

L1 do−( )2⋅ ∆en⋅+=

Modelo

Normalizado

y Ordenado

1ra

t∆vn

d

d

1−

R C⋅∆vn⋅

1

R C⋅∆in⋅+

do−

R C⋅ 1 do−( )⋅∆dn⋅+=

Respuesta Matemática a Impulso en la Entrada ∆∆∆∆un(t) = d(t).


© UdeC - DIE

5 0 50

2

4

6Señal en Frecuencia

0

5 0 50

0.5

1

1.5Señal en el Tiempo

0

ω ωi ωiωf ωi−

nω+, ωf..:=t ti ti

tf ti−

nt

+, tf..:=

nω 300:=ωf 2 π⋅:=ωi 2− π⋅:=nt 300:=tf 6:=ti 6−:=

Señal a graficarftω ω( ) 2 sin ω T⋅( )⋅

ω:=ftω ω( )

∞−

∞

tft t( ) ej− ω⋅ t⋅

⋅⌠⌡

d=ej ω⋅ T⋅

ej− ω⋅ T⋅

−

j ω⋅=

cos ω T⋅( ) j sin ω T⋅( )⋅+cos ω T⋅( ) j sin ω T⋅( )⋅−( )−+

...

j ω⋅=

2 j⋅ sin ω T⋅( )⋅

j ω⋅=

ft2 s( )

∞−

∞

tft t( ) es− t⋅

⋅⌠⌡

d=es T⋅

es− T⋅

−

s=

Transformada Bilateral de Laplace, por lo tanto la

Transformada de Fourier es:

ft t( ) Φ t T+( ) Φ t T−( )−:=T 2:=Caso 1

f ω( )∞−

∞

tf t( ) ej− ω⋅ t⋅

⋅⌠⌡

d=Nótese que corresponde a la Transformada Bilateral de Laplace,

reemplaznado s por jω.

Sea la señal f(t), entonces la Transformada de Fourier de f(t), denotada por f(ω) es,

Transformada de FourierDefiniciones

Estudiar señales en el campo de la frecuencia.Problema

Transformada de Fourier (Señales No-Periodicas)


© UdeC - DIE

5 0 50

2

4

6


2 π⋅0

4 2 0 2 40

1

2

3Señal en el Tiempo

20


nω+, ωf..:=nω 300:=ωf 6:=ωi 6−:=t ti ti

tf ti−

nt

+, tf..:=nt 300:=tf 1.5 π⋅:=ti 1.5− π⋅:=

Señal a graficarftω ω( )100−

100


⋅⌠⌡

d:=ftω ω( )∞−

∞


⋅⌠⌡

d=ft t( )2

1 t2

+:=Caso 3

4 2 0 2 40

1

2


20

5 0 50

0.5

1


10


nω+, ωf..:=nω 300:=ωf 1.5 π⋅:=ωi 1.5− π⋅:=t ti ti

tf ti−

nt

+, tf..:=nt 300:=tf 6:=ti 6−:=

Señal a graficarftω ω( ) 2

1 ω2

+

:=ft2 s( )2

1 s2

−=

Transformada Bilateral de Laplace, por lo tanto la

Transformada de Fourier es:

Señal a graficarft t( ) et−

:=Caso 2


© UdeC - DIETransformada de Fourier (Señales No-Periodicas)

Problema Revisar su inversa, ejemplos y propiedades.

Determine la función f(t) si su T.F. es f(ω) = δ(ω - ωo). R.: f(t) = 1

( )2

j tf e d∞ ω

−∞ω ω

π ∫ = 1

( )2

j t

oe d

∞ ω

−∞δ ω−ω ω

π ∫ =

1(0)

2oj t

e d∞ ω

−∞δ ω

π ∫ = (0)2

oj te

dω

∞

−∞δ ω

π ∫ = 2

oj te

ω

π. Nótese que si ωo = 0; entonces la T.F. de f(t) =

1

2π es δ(ω). ♣

Determine la T.F. de f(t) = cos(ωot). R.: Como f(t) = cos(ωot) = (ejωot + e

-jωot)/2, y utilizando el resultado anterior se tiene que

f(ω) = πδ(ω - ωo) + πδ(ω + ωo). ♣

Determine la T.F. de f(t) = 0

( )l

t lT∞

=−∞

δ −∑ . R.: Como la señal es periódica, se puede escribir como f(t) = 0jn t

n

n

c e∞

ω

=−∞∑ , donde ω0 =

2π/T0 y cn = 0

0

00

1( )

Tjn t

t e dtT

− ωδ∫ = 1/T0; por lo tanto, f(t) = 0

0

1 jn t

n

eT

∞ω

=−∞∑ y f(ω) = 0

0

1 jn t

n

eT

∞ω

=−∞

∑F = 0

0

1 jn t

n

eT

∞ω

=−∞∑F =

0

0

12 ( )

n

nT

∞

=−∞

πδ ω− ω∑ = 0 0

( )n

n∞

=−∞

ω δ ω− ω∑ . ♣

Simetría de la T.F.. Sea f(t) con T.F. f(ω), si g(t) = f(ω)|ω = t, entonces, g(ω) = 2πf(t)|t = -ω. Dem.:

( )

1( ) ( ) ( ) | 2 ( )

2

12 ( ) 2 ( )

2

j t j t j t

t

j

t

g g t e dt f e dt f t e dt

f e d f t

∞ ∞ ∞− ω − ω − ωω=−∞ −∞ −∞

∞ −ω Ω=−ω−∞

ω = = ω = ππ

= π Ω Ω = ππ

∫ ∫ ∫

∫.

Convolución. Sea f(t) con T.F. f(ω) y g(t) con T.F. g(ω), entonces, f(t)*g(t) = f(ω)g(ω). Dem.:

-1

( )

1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )

2

j t j j t

j t

f g f g e d f e d g e d

g e d f d g t f d g t f t

∞ ∞ ∞ω − ωτ ω

−∞ −∞ −∞

∞ ∞ ∞ω −τ

−∞ −∞ −∞

ω ω = ω ω ω = τ τ ω ωπ π

= ω ω τ τ = − τ τ τ =π

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

F.


© UdeC - DIEProducto. Sea f(t) con T.F. f(ω) y g(t) con T.F. g(ω), entonces, f(t)g(t) = f(ω)*g(ω)/(2π). Dem.:

( )

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )

2 2 2

j t j t j t

j t

f t g t f t g t e dt f t g e d e dt

f t e dtg d f g d f g

∞ ∞ ∞− ω ψ − ω

−∞ −∞ −∞

∞ ∞ ∞− ω−ψ

−∞ −∞ −∞

= = ψ ψπ

= ψ ψ = ω−ψ ψ ψ = ω ωπ π π

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

F.

Modulación AM (caso especial del producto). Sea f(t) con T.F. f(ω), entonces, la T.F. de f(t)cos(ωot) es, 1/2f(ω - ωo) + 1/2f(ω + ωo). Dem.:

1 1( )cos( ) ( ) * cos( ) ( )* ( ) ( )

2 2

1( ) ( )

2

o o o o

o o

f t t f t t f

f f

ω = ω = ω πδ ω−ω + πδ ω+ωπ π

= ω−ω + ω+ω

F F F.

Muestreo con Impulsos (caso especial del producto). Sea f(t) con T.F. f(ω), entonces, la T.F. de

0( ) ( )l

f t t lT∞

=−∞

δ −∑ es 0

0

1( )

n

f nT

∞

=−∞

ω− ω∑ . Dem.:

0 0

0 0 0

0

1( ) ( ) ( )* ( )

2

1 1( )* ( ) ( )

2

k l

n n

f t t kT f t lT

f n f nT

∞ ∞

=−∞ =−∞

∞ ∞

=−∞ =−∞

δ − = ω δ −

π

= ω ω δ ω− ω = ω− ωπ

∑ ∑

∑ ∑

F F

.

Teorema de la Potencia. Sea f(t) con T.F. f(ω) y g(t) con T.F. g(ω), entonces *( ) ( )f t g t dt

∞

−∞∫ =

*1( ) ( )

2f g d

∞

−∞ω ω ω

π ∫ . Dem.:

*

* *

* *

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2

j t j tf t g t dt f t g e d dt f t g e d dt

g f d f g d

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ω − ω

−∞ −∞ −∞ −∞ −∞

∞ ∞

−∞ −∞

= ω ω = ω ω π π

= ω ω ω= ω ω ωπ π

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫.


© UdeC - DIETeorema de la Energía (Teorema de Rayleigh y caso especial del Teorema de Potencia). Sea f(t) con T.F.

f(ω), entonces 2| ( ) |f t dt∞

−∞∫ = 21| ( ) |

2f d

∞

−∞ω ω

π ∫ . Dem.:

Dado que 2| ( ) |f x = *( ) ( )f x f x se demuestra con el teorema anterior.

5 0 5 0

0.5

1

1.5

f(t) = e-|t|

π

0 π 0

1

2

3

f(ω) = 2/(1+ω2)a)

0 0

0.5

1

1.5

0( )l

t lT∞

=−∞

δ −∑

π

0 π 0

2π 0 0( )n

n∞

=−∞

ω δ ω− ω∑

b)

5 5 T0 2π

5 0 5 0

0.5

1

1.5

e-|t|

0( )l

t lT∞

=−∞

δ −∑

0

2 0( )

n

f n∞

=−∞

ω− ω∑ /T0

c)

π

0 π ω0 = 2π/T0


© UdeC - DIE

Transformada de Fourier

Discreta de ftp(t).

fto2 s( )es T⋅

es− T⋅

−

s:= ftoω ω( ) 2 sin ω T⋅( )⋅

ω:= ftpω n( )

1

To

2 sin 2 π⋅ n⋅ Fo⋅ T⋅( )⋅

2 π⋅ n⋅ Fo⋅⋅:=

ti 10−:= tf 10:= nt 300:= ωi 2.0001− π⋅:= ωf 2 π⋅:= nω 200:= ni 6.0001−:= nf 6:=

t ti ti

tf ti−

nt

+, tf..:= ω ωi ωiωf ωi−

nω+, ωf..:= n ni ni

nf ni−

nf ni−+, nf..:=

10 5 0 5 100

0.5

1


To0

5 0 50

2

4

6Fourier Continua y Discreta (por To)

2 π⋅

To

0

Transformada de Fourier (Señales Periodicas)

Problema Estudiar señales periodicas en el campo de la frecuencia.

Definiciones Transformada de Fourier para Señales Periodicas

Sea la señal f(t) de periodo ωo, entonces la Transformada de Fourier de f(t), denotada por f(mωo) es,

Nótese que corresponde a la Transformada de Fourier para un

periodo de la señal evaluada en frecuencias múltiples de ωο.f n( )

ωo

2 π⋅ 0

2 π⋅

ωo

tf t( ) ej− n⋅ ωo⋅ t⋅

⋅

⌠⌡

d⋅=

Definición para valores múltiples de la frecuencia Fο = 1/To.f n( )

1

To 0

To

tf t( ) ej− n⋅ 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅

⋅⌠⌡

d⋅=

Caso 1 T 2:= To 6:= Fo1

To

:= fto t( ) Φ t T+( ) Φ t T−( )−:= ftp t( )

3−

3

l

fto t l To⋅−( )∑=

:=

Transformada Bilateral de

Laplace de fto(t).

Transformada de Fourier

de fto(t).


© UdeC - DIE

nf 6:=

t ti ti

tf ti−

nt

+, tf..:= ω ωi ωiωf ωi−

nω+, ωf..:= n ni ni

nf ni−

nf ni−+, nf..:=

10 5 0 5 100

1

2


To0

5 0 50

2

4


2 π⋅

To

0

Caso 3 T 2:= To 6:= Fo1

To

:= fto t( ) t T+( ) Φ t T+( )⋅ 2 t⋅ Φ t( )⋅− t T−( ) Φ t T−( )⋅+:= ftp t( )

3−

3

l


:=

ftoω ω( ) 21 cos ω T⋅( )−

ω2

⋅:= T. de F. de fto(t). ftpω n( )2

To

1 cos 2 n⋅ π⋅ Fo⋅ T⋅( )−

2 n⋅ π⋅ Fo⋅( )2⋅:= T. de F. Discreta

de ftp(t).

10 5 0 5 100

1

2


To0

5 0 50

2

4


2 π⋅

To

0

Caso 2 T 2:= To 4:= Fo1

To

:= fto t( ) t T+( ) Φ t T+( )⋅ 2 t⋅ Φ t( )⋅− t T−( ) Φ t T−( )⋅+:= ftp t( )

3−

3

l


:=

T. de F.

Discreta de

ftp(t).ftoω ω( ) exp j ω⋅ T⋅( ) 2− exp j− ω⋅ T⋅( )+

j ω⋅( )2= ftoω ω( ) 2

1 cos ω T⋅( )−

ω2

⋅:= T. de F.

de fto(t).ftpω n( )

2

To

1 cos 2 n⋅ π⋅ Fo⋅ T⋅( )−

2 n⋅ π⋅ Fo⋅( )2⋅:=

ti 10−:= tf 10:= nt 300:= ωi 2.0001− π⋅:= ωf 2 π⋅:= nω 200:= ni 6.0001−:=


© UdeC - DIE

0 2 4 6 8 10 12 14 160

2

4

Fourier Discreta (por 2)

34

π⋅ cos

T

To

2⋅ π⋅

⋅

0 2 4 65

0


0

T

n ni ni

nf ni−

nf ni−+, nf..:=nf 16:=ni 0:=t ti ti

tf ti−

nt

+, tf..:=nt 300:=tf 6:=ti 0:=

T. de F. Discreta de ftp(t).

ftpω n( )1

To 0

To

tfto t( ) ej− n⋅ 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅

⋅⌠⌡

d⋅:=ftp t( )

3−

3

l


:=fto t( ) 3 Φ t T−( ) Φ tTo

2T−

−

−

Φ tTo

2T+

−

− Φ t To T−( )− ++

...

⋅:=Fo1

To

:=To 6:=T 0.5:=

Caso 4 To 6:= Fo1

To

:= fto t( ) 3.0000 sin 1 2⋅ π⋅ To1−

⋅ t⋅

⋅ Φ t( ) Φ t To−( )−( )⋅

0.5− sin 3 2⋅ π⋅ To1−

⋅ t⋅

⋅ Φ t( ) Φ t To−( )−( )⋅+

...

1.0− sin 5 2⋅ π⋅ To1−

⋅ t⋅

⋅ Φ t( ) Φ t To−( )−( )⋅+

...

:=ftp t( )

3−

3

l


:=ftpω n( )

1

To 0

To

tftp t( ) ej− n⋅ 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅

⋅⌠⌡

d⋅:=

T. de F. Discreta de ftp(t).

ti 6−:= tf 6:= nt 300:= t ti ti

tf ti−

nt

+, tf..:= ni 8−:= nf 8:= n ni ni

nf ni−

nf ni−+, nf..:=

5 0 55

0


0

To0

8 6 4 2 0 2 4 6 80

1

2Fourier Discreta

0

Caso 5


© UdeC - DIE

1000 500 0 500 1000200

0

200Fase de la T. de F. de la Sal. Per.

2 π⋅

To

0

1000 500 0 500 10000

0.01

0.02

0.03Mod. (x To) T. de F. de la Sal. Per.

2 π⋅

To

0


nω+, ωf..:=nω 300:=ωf 400 π⋅:=ωi 400− π⋅:=n ni ni

nf ni−

nf ni−+, nf..:=nf 9:=ni 9−:=

∆ynpn n( )1

To

kp

2− ζ⋅ ωn⋅ j 2 n⋅ π⋅ Fo⋅( )⋅ ⋅ ωn2

+

j 2 n⋅ π⋅ Fo⋅( )⋅ 2

2 ζ⋅ ωn⋅ j 2 n⋅ π⋅ Fo⋅( )⋅ ⋅+ ωn2

+

⋅1 2 exp 0.015− j 2 n⋅ π⋅ Fo⋅( )⋅ ⋅ ⋅− exp 0.030− j 2 n⋅ π⋅ Fo⋅( )⋅ ⋅ +

j 2 n⋅ π⋅ Fo⋅( )⋅⋅

⋅ 109−

+:=

T. de F. de la salida periodica ∆∆∆∆ynp(t) que se denotará por ∆ynpn(n) es,

∆ynω ω( ) kp

2− ζ⋅ ωn⋅ j⋅ ω⋅ ωn2

+

j ω⋅( )2 2 ζ⋅ ωn⋅ j ω⋅( )⋅+ ωn2

+

⋅1 2 exp 0.015− j⋅ ω⋅( )⋅− exp 0.030− j⋅ ω⋅( )+

j ω⋅⋅:=∆yns s( ) kp

2− ζ⋅ ωn⋅ s⋅ ωn2

+

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅1 2 exp 0.015− s⋅( )⋅− exp 0.030− s⋅( )+

s⋅:=

T. de F. de ∆∆∆∆yn(t) que se denotará por ∆ynω(ω) es,Laplace de la salida ∆yn(t) que se denotará por ∆yns(s) es,

∆hns s( ) kp

2− ζ⋅ ωn⋅ s⋅ ωn2

+

s2

2 ζ⋅ ωn⋅ s⋅+ ωn2

+

⋅:=∆uns s( )1 2 exp 0.015− s⋅( )⋅− exp 0.030− s⋅( )+

s:=

Laplace de la respuesta a

impulso ∆hn(t) que se

denotará por ∆hns(s) es,

Laplace de la entrada

∆un(t) que se denotará

por ∆uns(s) es,

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

0

Entrada

0

n 0 nf..:=t ti ti

tf ti−

nf

+, tf..:=nf 2000:=ti 0:=tf 2 To⋅:=

+

-

L

e(t)

i(t) C

+

-

v(t) R

Sw(t)

∆unp t( )

0

2

m

∆un t m To⋅−( )∑=

:=Fo1

To

:=To 0.045:=∆un t( ) Φ t( ) 2 Φ t 0.015−( )⋅− Φ t 0.030−( )+:=

Circuito Elevador. Coeficientes de Fourier.Caso 6


© UdeC - DIE

1000 500 0 500 10000

0.01

0.02

0.03Mod. (x To) T. de F. de la Sal. Per.

2 π⋅

To

0

1000 500 0 500 1000200

0

200Fase de la T. de F. de la Sal. Per.

2 π⋅

To

0

Coeficientes de Fourier de la salida ∆∆∆∆yn(t) para una entrada periódica ∆∆∆∆un(t) dada.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5Módulo de los Coeficientes de Fourier

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9180

90

0

90

180Fase de los Coeficientes de Fourier

Reconstrucción de la Salida en base a cuatro de los Coeficientes de Fourier.

Sal1234 t( ) 2 ∆ynpn 1( )⋅ cos 1 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅ arg ∆ynpn 1( )( )+( )⋅ 2 ∆ynpn 2( )⋅ cos 2 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅ arg ∆ynpn 2( )( )+( )⋅+

2 ∆ynpn 3( )⋅ cos 3 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅ arg ∆ynpn 3( )( )+( )⋅ 2 ∆ynpn 4( )⋅ cos 4 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅ arg ∆ynpn 4( )( )+( )⋅++

...:=


© UdeC - DIE

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.082

1

0

1

2Entrada y salidas.

0

Zpn 1,

Sal1234 t( )

∆un t( )

Zpn 0,

t, t,

Zp rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=CI

Zpnf 1,

Zpnf 2,

:=D t x,( ) An

x0

x1

⋅ bn ∆un t( )⋅+ en ∆pn t( )⋅+:=

Simulación

Zp rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=CI0

0

:=D t x,( ) An

x0

x1

⋅ bn ∆un t( )⋅+ en ∆pn t( )⋅+:=

Simulación para encontrar la C.I.

n 0 nf..:=t ti ti

tf ti−

nf

+, tf..:=

nf 2000:=ti 0:=tf 2 To⋅:=∆pn t( ) 0:=∆un t( ) ∆unp t( ):=

Simulación del sistema con la Entrada Periodica.


© UdeC - DIE

fc z( )T z

1−⋅

1 z1−

−( )2:=fb z( )

1

1 z1−

−:=fa z( ) 1:=

RampaEscalónImpulso

fc z T,( )

0

∞

k

k T⋅ zk−

⋅∑=

T z1−

⋅ 1 2 z1−

⋅+ ....+( )⋅=:= ....fb z T,( )

0

∞

k

fb kT( ) zk−

⋅∑=

:= kTfa z T,( )

0

∞

k

fa k T,( ) zk−

⋅∑=

:=fa

fc k T,( ) k T⋅:=Caso 3fb k T,( ) Φ k T⋅( ):=Caso 2fa k T,( ) δ k T⋅( ):= δ k T⋅( )Caso 1

f z( )

0

∞

k

f kT( ) zk−

⋅∑=

= f 0( ) f T( ) z1−

⋅+ f 2 T⋅( ) z2−

⋅+ f 3 T⋅( ) z3−

⋅+ ....+=

Sea la señal f(kT), entonces la Transformada Z de f(kT), denotada por f(z) = Zf(kT) es,

Transformada Z

0

∞

k

rk−∑

=

2

0

∞

k

r1−( )k∑

=

2

=1

1 r1−

−

2

=

0

∞

k

rk−∑

= 0

∞

k

r1−( )k∑

=

=1

1 r1−

−=por lo tanto:

0

∞

k

rk∑

=

2

1 2 r⋅+ 3 r2

⋅+ 4 r3

⋅+ 5 r4

⋅+ ....+=

0

∞

k

1 k+( ) rk

⋅∑=

=1

1 r−

2

=

0

∞

k

rk∑

=

2

1 r+ r2

+ ....+( ) 1 r+ r2

+ ....+( )⋅= 1 r+ r2

+ ....+( ) r r2

+ r3

+ ....+( )+ r2

r3

+ r4

+ ....+( )+ ....+=

por otro lado:

r 1<si y sólo si

0

∞

k

rk∑

=

1 r+ r2

+ r3

+ ....+ rk

+ ....+=1

1 r−=

La serie infinita:Definiciones

Estudiar la Aplicabilidad de la Transformada Z en Sistemas de Ingeniería.Problema

Transformada Z


© UdeC - DIE

Valor Final f k( ) f z( )

∞t

f k( )lim

→ 1z

1 z1−

−( ) f z( )⋅lim

→=

Señales

Periodicasfo k( ) fo z( ) f k( )

0

∞

i

fo k i p⋅−( )∑=

= f z( )1

1 zp−

−fo z( )⋅=

Convolución f k( ) f z( ) g k( ) g z( )

0

∞

i

f i( ) g k i−( )⋅∑=

f z( ) g z( )⋅

Derivación f k( ) f z( ) f k( ) f k 1−( )− 1 z1−

−( ) f z( )⋅

Integración f k( ) f z( )

0

k

i

f i( )∑=

1

1 z1−

−f z( )⋅

Propiedades

Linealidad fa k( ) fa z( ) fb k( ) fb z( ) αa fa k( )⋅ αb fb k( )⋅+ αa fa z( )⋅ αb fb z( )⋅+

Escalamient-

o en tiempof k( ) f z( ) f a k⋅( ) f z

1

a

Despl. en

tiempof k( ) f z( ) f k a−( ) z

a−f z( )⋅

Despl. en

frecuenciaf k( ) f z( ) a

kf k( )⋅ f a

1−z⋅( )

Valor Inicial f k( ) f z( )

0k

f k( )lim

→ ∞z

f z( )lim

→=


© UdeC - DIE

fkΩ Ω( ) ej Ω⋅ Tm⋅

T

Tm

1 ej Ω⋅ Tm⋅

1−

−

ej Ω⋅ Tm⋅

T−

Tm

1 ej Ω⋅ Tm⋅

1−

−

−:= ftω ω( ) 2 sin ω T⋅( )⋅

ω:=

ki 12−:= kf 12:= nk kf ki−:= ωi 2.5−π

Tm

⋅:= ωf 2.5π

Tm

⋅:= nω 300:= Ωi 2.5−π

Tm

⋅:= Ωf 2.5π

Tm

⋅:= nΩ 300:= ti ki Tm⋅:= tf kf Tm⋅:=

k ki ki

kf ki−

nk

+, kf..:= ω ωi ωiωf ωi−

nω+, ωf..:= Ω Ωi Ωi

Ωf Ωi−

nΩ+, Ωf..:= t ti ti

tf ti−

nf

+, tf..:=

5 0 50

0.5

1

1.5Señal en el Tiempo Continuo y Discreto

0

10 0 100

2

4

6Señal en Frec. (cont., discr. por Tm)

2 π⋅

Tm

0

Transformada de Fourier (Señales Discretas No-Periodicas)

Problema Estudiar señales discretas en el campo de la frecuencia.

Definiciones Transformada de Fourier

Sea la señal f(kTm), entonces la Transformada de Fourier de f(kTm), denotada por f(Ω) es,

Nótese que corresponde a la Transformada Z (bilateral) de la señal

f(kTm), reemplazando z por ejΩΤm.f Ω( )

∞−

∞

k

f k Tm⋅( ) ej− Ω⋅ Tm⋅ k⋅

⋅∑=

=

Caso 1 T 2:= ft t( ) Φ t T+( ) Φ t T−( )−:= Señal en el Tiempo Tm 0.5:= fk k( ) Φ k Tm⋅ T+( ) Φ k Tm⋅ T−( )−:= Señal Discreta

Transformada Z; por lo

tanto, la Transformada

de Fourier es:

fk2 z( )

∞−

∞

k

f k T⋅( ) zk−

⋅∑=

=z

T

Tm

1 z1−

−

z

T−

Tm

1 z1−

−−=

Transformada de

Fourier Señal

Discreta

Transformada de

Fourier Señal

Continua


© UdeC - DIE

10 0 100

1

2


2 π⋅

Tm

0

5 0 50

0.5

1


0

t ti ti

tf ti−

nf

+, tf..:=Ω Ωi Ωi

Ωf Ωi−

nΩ+, Ωf..:=ω ωi ωi

ωf ωi−

nω+, ωf..:=k ki ki

kf ki−

nk

+, kf..:=

tf kf Tm⋅:=ti ki Tm⋅:=nΩ 300:=Ωf 3π

Tm

⋅:=Ωi 3−π

Tm

⋅:=nω 300:=ωf 3π

Tm

⋅:=ωi 3−π

Tm

⋅:=nk kf ki−:=kf 12:=ki 12−:=

ftω ω( ) 2

1 ω2

+

:=T. de F.

Señal Continua

T. de F.

Señal DiscretafkΩ Ω Tm,( )

exp 2 Tm⋅( ) 1−( )−

2 exp Tm( )⋅ cos Ω Tm⋅( )⋅ exp 2 Tm⋅( )− 1−:=fkΩ Ω( )

exp 2 Tm⋅( ) 1−( )−

2 exp Tm( )⋅ cos Ω Tm⋅( )⋅ exp 2 Tm⋅( )− 1−=

fkΩ Ω( )∞−

∞

k

fk k Tm⋅( ) ej− Ω⋅ Tm⋅ k⋅

⋅∑=

=

0

∞

k

ek− Tm⋅

ej− Ω⋅ Tm⋅ k⋅

⋅∑= 0

∞

k

ek− Tm⋅

ej Ω⋅ Tm⋅ k⋅

⋅∑=

+ 1−=1

1 exp Tm− 1 j Ω⋅+( )⋅ −

1

1 exp Tm 1− j Ω⋅+( )⋅ −+ 1−=

Señal discretafk k( ) ek Tm⋅−

:=Tm 0.5:=Señal continuaft t( ) et−

:=Caso 2


© UdeC - DIE

10 0 100

1

2


2 π⋅

Tm

0

5 0 50

0.5

1


0

Ω Ωi Ωi

Ωf Ωi−

nΩ+, Ωf..:=ω ωi ωi

ωf ωi−

nω+, ωf..:=k ki ki

kf ki−

nk

+, kf..:=

nΩ 300:=Ωf 6π

Tm

⋅:=Ωi 6−π

Tm

⋅:=nω 300:=ωf 6π

Tm

⋅:=ωi 6−π

Tm

⋅:=nk kf ki−:=kf 6:=ki 6−:=

Señal discretafk k( ) ek Tm⋅−

:=Tm 1:=Señal continuaft t( ) et−

:=Caso 3

10 0 100

1

2


2 π⋅

Tm

0

5 0 50

0.5

1


0


© UdeC - DIE

Transformada de Fourier (Señales Discretas Periodicas)

Problema Estudiar señales discretas periodicas en el campo de la frecuencia.

Definiciones Transformada de Fourier para Señales Discretas Periodicas

Sea la señal f(kTm) de periodo Ωo, entonces la Transformada de Fourier de f(kTm), denotada por f(mΩo) es,

Nótese que corresponde a la

T. de F. para un periodo de la

señal evaluada en frecuencias

múltiples de Ωο. Nótese que

Fο = 1/To, donde To/Tm = N.

f mΩo( ) 1

N0

N 1−

k

f k T⋅( ) ej− m⋅ Ωo⋅ Tm⋅ k⋅

⋅∑=

⋅= f mΩo( ) 1

N0

N 1−

k

f k T⋅( ) e

j− m⋅2 π⋅

N⋅ k⋅

⋅∑=

⋅=

f Ω( )∞−

∞

k

f k Tm⋅( ) ej− Ω⋅ Tm⋅ k⋅

⋅∑=

=

f m( )

∞−

∞

k

f k Tm⋅( ) ej− m⋅ Ωo⋅ Tm⋅ k⋅

⋅∑=

=

f m( )1

N0

N 1−

k

f k Tm⋅( ) ej− m⋅ Ωo⋅ Tm⋅ k⋅

⋅∑=

⋅=

f m( )1

N0

N 1−

k

f k Tm⋅( ) ej− m⋅

2 π⋅

To

⋅ Tm⋅ k⋅

⋅∑=

⋅=

f m( )1

N0

N 1−

k

f k Tm⋅( ) ej− m⋅

2 π⋅

N⋅ k⋅

⋅∑=

⋅=


© UdeC - DIE

10 0 100

2

4

6Frec. (cont. x Tm, discr. x To)

2 π⋅

Tm

0

10 5 0 5 100

0.5

1

1.5Señal Discreta

0

Ω Ωi Ωi

Ωf Ωi−

nΩ+, Ωf..:=k ki ki

kf ki−

kf ki−+, kf..:=

m mi mi

mf mi−

mf mi−+, mf..:=

nΩ 600:=Ωf 2.5π

Tm

⋅:=Ωi 2.5−π

Tm

⋅:=kf 20:=ki 20−:=mf 15:=mi 15−:=

fkpΩ m( )1

N0

N 1−

k

fkp k( ) e

j− m⋅2 π⋅

N⋅ k⋅

⋅∑=

⋅:=NTo

Tm

:=

fkoΩ Ω( ) ej Ω⋅ Tm⋅

T

Tm

1 ej Ω⋅ Tm⋅

1−

−

ej Ω⋅ Tm⋅

T−

Tm

1 ej Ω⋅ Tm⋅

1−

−

−:=

fkp k( )

3−

3

l

fko k lTo

Tm

⋅−

∑=

:=

fko k( ) Φ k Tm⋅ T+( ) Φ k Tm⋅ T−( )−:=

Tm 0.5:=Fo1

To

:=To 6:=T 2:=Caso 1


© UdeC - DIE

k ki ki

kf ki−

kf ki−+, kf..:= Ω Ωi Ωi

Ωf Ωi−

nΩ+, Ωf..:= m mi mi

mf mi−

mf mi−+, mf..:=

10 5 0 5 100

1

2

3Señal Discreta

0

10 0 100

2

4


2 π⋅

To

0

Caso 3 T 2:= To 6:= Fo1

To

:= Tm 0.5:= fko k( ) k Tm⋅ T+( ) Φ k Tm⋅ T+( )⋅ 2 k⋅ Tm⋅ Φ k( )⋅− k Tm⋅ T−( ) Φ k Tm⋅ T−( )⋅+:=

T. de F. de la señal

periodica fkp(t) y la no

periodica fko(k).

fkp k( )

3−

3

l

fko k lTo

Tm

⋅−

∑=

:= NTo

Tm

:= fkpΩ m( )1

N0

N 1−

k

fkp k( ) e

j− m⋅2 π⋅

N⋅ k⋅

⋅∑=

⋅:= fkoΩ Ω( )10−

10

k

fko k( ) ej− Ω⋅ Tm⋅ k⋅

⋅∑=

:=

10 5 0 5 100

1

2

3Señal Discreta

0

10 0 100

2

4


2 π⋅

Tm

0

Caso 2 T 2:= To 4:= Fo1

To

:= Tm 0.5:= fko k( ) k Tm⋅ T+( ) Φ k Tm⋅ T+( )⋅ 2 k⋅ Tm⋅ Φ k( )⋅− k Tm⋅ T−( ) Φ k Tm⋅ T−( )⋅+:=

T. de F. de la señal

periodica fkp(t) y la no

periodica fko(k).

fkp k( )

3−

3

l

fko k lTo

Tm

⋅−

∑=

:= NTo

Tm

:= fkpΩ m( )1

N0

N 1−

k

fkp k( ) e

j− m⋅2 π⋅

N⋅ k⋅

⋅∑=

⋅:= fkoΩ Ω( )10−

10

k

fko k( ) ej− Ω⋅ Tm⋅ k⋅

⋅∑=

:=

ki 20−:= kf 20:= Ωi 2.5−π

Tm

⋅:= Ωf 2.5π

Tm

⋅:= nΩ 300:= mi 15−:= mf 15:=


© UdeC - DIE

8 6 4 2 0 2 4 6 80

1

2Fourier Discreto

0

4 2 0 2 45

0

5Señal Discreta

0

m mi mi

mf mi−

mf mi−+, mf..:=Ω Ωi Ωi

Ωf Ωi−


kf ki−

kf ki−+, kf..:=

mf 8:=mi 8−:=nΩ 300:=Ωf 1π

Tm

⋅:=Ωi 1−π

Tm

⋅:=kf 50:=ki 50−:=

fkpΩ m( )1

N0

N 1−

k

fkp k( ) e

j− m⋅2 π⋅

N⋅ k⋅

⋅∑=

⋅:=NTo

Tm

:=fkp k( )

3−

3

l

fko k lTo

Tm

⋅−

∑=

:=T. de F. de la señal

periodica fkp(k).

fko k( ) 3.0000 sin 1 2⋅ π⋅ To1−

⋅ k⋅ Tm⋅

⋅ Φ k Tm⋅( ) Φ k Tm⋅ To−( )−( )⋅

0.5− sin 3 2⋅ π⋅ To1−

⋅ k Tm⋅( )⋅

⋅ Φ k Tm⋅( ) Φ k Tm⋅ To−( )−( )⋅+

...

1.0− sin 5 2⋅ π⋅ To1−

⋅ k Tm⋅( )⋅

⋅ Φ k Tm⋅( ) Φ k Tm⋅ To−( )−( )⋅+

...

:=Tm 0.1:=Fo1

To

:=To 6:=T 2:=Caso 4


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0 2 4 6 8 10 12 14 160

2

4

Fourier Discreto (por 2)

34

π⋅ cos

T

To

2⋅ π⋅

⋅

0 2 4 65

0

5Señal Discreta

0

T

m mi mi

mf mi−

mf mi−+, mf..:=Ω Ωi Ωi

Ωf Ωi−


kf ki−

kf ki−+, kf..:=

mf 16:=mi 0:=nΩ 300:=Ωf 1π

Tm

⋅:=Ωi 1−π

Tm

⋅:=kf 30:=ki 0:=

fkpΩ m( )1

N0

N 1−

k

fkp k( ) e

j− m⋅2 π⋅

N⋅ k⋅

⋅∑=

⋅:=NTo

Tm

:=fkp k( )

3−

3

l

fko k lTo

Tm

⋅−

∑=

:=T. de F. de la señal

periodica fkp(k).

fko k( ) 3 Φ k Tm⋅ T−( ) Φ k Tm⋅To

2T−

−

−

Φ k Tm⋅To

2T+

−

− Φ k Tm⋅ To T−( )− ++

...

⋅:=Tm 0.2:=Fo1

To

:=To 6:=T 0.5:=Caso 5


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en

0

R

L1 do−( )2⋅

:= cn 1 0( ):=

∆un t( ) Φ t( ) 2 Φ t 0.015−( )⋅− Φ t 0.030−( )+:= To 0.045:= Fo1

To

:= Entrada

∆unp t( )

0

2

m

∆un t m To⋅−( )∑=

:= ti 0:= tf 2 To⋅:= nf 1500:= t ti ti

tf ti−

nf

+, tf..:=

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

0

Entrada

0ni 10−:= nf 10:=

n ni ni

nf ni−

nf ni−+, nf..:=

T. de F. de la salida periodica ∆∆∆∆ynp(t) que se denotará por ∆ynpn(n) es,

∆ynpn n( )1

To

kp

2− ζ⋅ ωn⋅ j 2 n⋅ π⋅ Fo⋅( )⋅ ⋅ ωn2

+

j 2 n⋅ π⋅ Fo⋅( )⋅ 2

2 ζ⋅ ωn⋅ j 2 n⋅ π⋅ Fo⋅( )⋅ ⋅+ ωn2

+

⋅1 2 exp 0.015− j 2 n⋅ π⋅ Fo⋅( )⋅ ⋅ ⋅− exp 0.030− j 2 n⋅ π⋅ Fo⋅( )⋅ ⋅ +

j 2 n⋅ π⋅ Fo⋅( )⋅⋅

⋅ 109−

+:=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10300

150

0

150


Coeficientes de Fourier de la salida

∆∆∆∆yn(t) para una entrada periódica ∆∆∆∆un(t) dada.

Caso 6 Circuito Elevador. Coeficientes de Fourier.

L 5 103−

⋅:= C 200 106−

⋅:= R 12:= ∆d1 0.2−:= do 0.5:= eo 6:= ∆e 1:= ∆d2 0.2:=

vo

eo

1 do−:= io

vo

R 1 do−( )⋅:= uo do:= po eo:= ωn

1

L C⋅1 do−( )⋅:= kp

do

1 do−:= ζ

L C⋅

2 R⋅ C⋅ 1 do−( )⋅:=

+

-

L

e(t)

i(t) C

+

-

v(t) R

Sw(t) An

1−

R C⋅

R−

L1 do−( )2⋅

1

R C⋅

0

:= bn

do−

R C⋅ 1 do−( )⋅

R

L1 do−( )⋅ do⋅

:=


© UdeC - DIE

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.082

1

0

1

2Entrada y salidas.

0

fkp k( ) Zp

k

nf

kf

⋅ 1,

:=k ki ki

kf ki−

kf ki−+, kf..:=kf

tf

Tm

:=ki 0:=Tm 0.0045:=Muestreo

Zp rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=

CI

Zpnf 1,

Zpnf 2,

:=Zp rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=CI0

0

:=D t x,( ) An

x0

x1

⋅ bn ∆un t( )⋅+ en ∆pn t( )⋅+:=

n 0 nf..:=t ti ti

tf ti−

nf

+, tf..:=nf 1500:=ti 0:=tf 2 To⋅:=∆pn t( ) 0:=∆un t( ) ∆unp t( ):=Simulación

Sal1234 t( ) 2 ∆ynpn 1( )⋅ cos 1 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅ arg ∆ynpn 1( )( )+( )⋅ 2 ∆ynpn 2( )⋅ cos 2 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅ arg ∆ynpn 2( )( )+( )⋅+

2 ∆ynpn 3( )⋅ cos 3 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅ arg ∆ynpn 3( )( )+( )⋅ 2 ∆ynpn 4( )⋅ cos 4 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅ arg ∆ynpn 4( )( )+( )⋅++

...:=Salida en

base a 4

coef. de la

T.F.


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T.F.D. NTo

Tm

:= mi 0:= mf N:= m mi mi

mf mi−

mf mi−+, mf..:= fkpΩ m( )

1

N0

N 1−

k

fkp k( ) e

j− m⋅2 π⋅

N⋅ k⋅

⋅∑=

⋅:=

0 2 4 6 8 100

0.5

1


0 2 4 6 8 10300

150

0

150


Salida en

base a 4

coef. de la

T.F.D.

Sal1234d t( ) 2 fkpΩ 1( )⋅ cos 1 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅ arg fkpΩ 1( )( )+( )⋅ 2 fkpΩ 2( )⋅ cos 2 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅ arg fkpΩ 2( )( )+( )⋅+

2 fkpΩ 3( )⋅ cos 3 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅ arg fkpΩ 3( )( )+( )⋅ 2 fkpΩ 4( )⋅ cos 4 2⋅ π⋅ Fo⋅ t⋅ arg fkpΩ 4( )( )+( )⋅++

...:=

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.082

1

0

1

2Entrada y salidas.

0

Zpn 1,

Sal1234 t( )

Sal1234d t( )

Zpn 0,

t, t,


Transformada de LaplaceNótese que corresponde a la Transformada Bilateral de Laplace, reemplaznado...

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