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Capítulo 7 – Parte II -Projeto apoiado em Root Locus

CONTROLO | 1º sem 2018/2019 © Is

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, Ant

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, Edu

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Cap 7 – Parte II – Projeto apoioado em Root Locus

Isabel RibeiroAntónio Pascoal

Eduardo Morgado

Transparências de apoio às aulas teóricas

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (lecionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

CONTROLO

MAero1º semestre – 2018/2019



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Cap7-Parte II - 2

Root-Locus: Exemplo de projeto

22

2 1)()()(

ssUsY

dtyduf =Þ==

Sistem Físico y0

u=fm=1Kg

Massa que se desloca sem atrito ao longo da coordenada y (inércia pura).

Objectivo: projectar um sistema de controlo em malha fechada para estabilização em posição.

Sistema instável em malha aberta

Tentativa #1 – Ganho Proporcional

r21s0>K

y


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, A

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nio

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sco

al,

Ed

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Mo

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do

Cap7-Parte II - 3


Traçado do “Root-Locus”

0=-

= å å-mnzp ji

as

21s

1,0;0)12(==

-+

= kmn

kk pf

O sistema não é estável em malha

fechada

Verificação:m=0

n=2

n=2 ramos

n-m=2 assímptotas

Centro das assímptotas Ângulos das assímptotas

00 90,90 -

Não existem porções do diagrama no eixo

real (excepto o ponto 0, quando K=0)



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do

Cap7-Parte II - 4


r21s0>K )1( +s

Acção proporcionalAcção derivativa

(inclusão de um zero em s=-1 rad/s, no semi-plano complexo

esquerdo, para “atrair” o diagrama para a zona de “estabilidade”) –

esquecer por enquanto o facto de que o controlador não é causal.

-1 -1

Porções do diagrama no eixo real

yTentativa #2 – Ação

Proporcional e

Derivativa



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Cap7-Parte II - 5


Tentativa #2 – Ação Proporcional e Derivativa

Traçado das Assímptotas

-1

Porções do diagrama no eixo real

2)1(

ss + n=2 ramos

n-m=1 assímptota

(1 zero em infinito)

1)1(00 +=--+=-

=å å-mnzp ji

as 0;0)12(==

-+

= kmn

kk pf

Centro das assímptotas Ângulos das assímptotas

0180

Comportamento geral do diagrama:

Quando K tende para 0,polos em malha fechada polos em malha aberta

Quando K tende para infinito,polos em malha fechada zeros em malha aberta,

incluindo os zeros em infinito.



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, A

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Cap7-Parte II - 6

Root-Locus: exemplo de projeto

PormenoresA – ângulos de saída dos polos

-1 O zero exerce um efeito atractor e “encurva” o diagrama para a

esquerda

Verificar estas zonas( A e B) em pormenor

AB

0,0 30 @® as

- ponto de teste

21 aa =

0s

Zkkss Î+=--=+ ;)12()/)1arg(( 1232 paaa

3a

Condição de argumento

Quando 2/;)12(2 11 papa ±=®Î+=-® ZkkO diagrama sai dos pólos na “vertical”.



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Cap7-Parte II - 7

Root-Locus: exemplo de projeto

011 2 =+

+ssK

imaginárioeixonoraízumajSeja w

02 =++® KKss

Confirmação de que o não diagrama não cruza o eixo imaginário (excepto no ponto 0).

Polinómio característico: 02 =++® KKss

02 =++-® KjKww 0==® Kw(não existem intersecçõesnão triviais com o eixo imaginário)

Ponto de entrada no eixo real (“Breakin”)

111 2

2 +-=®-=

+ssK

ssK

0)2(0)1()1(22

2

=+®=+

-+-= ss

ssss

dsdK

Raízes possíveis: 0 (trivial), -2

-2

Confirmar esta raíz dupla



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Cap7-Parte II - 8

Interpretação física do efeito estabilizador da ação derivativa

r21s0>K )1( +s

r21s

Ks

Retroacção local de velocidade (termo dissipativo artificial, semelhante ao efeito de um amortecedor)

(sistemas equivalentes sob o ponto de vista de estabilidade)

y

y

Nos dois casos, o denominador de Y(s)/R(s) é

02 =++ KKssTermo estabilizante, fruto da retroacção local de velocidade

0>K



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Cap7-Parte II - 9

Interpretação física do efeito estabilizador da ação derivativa

Mas ... existe uma constrição prática. Não é possível realizar diferenciadores puros!

r21s0>K ps

s++1

y

1;)1( >>+

+ ppspsEstratégia: substituir o termo (s+1) por

Sistema causal, passa-baixo,com largura de banda “muito superior” a 1 rad/s.

Para valores possíveis de p, ver o exercício a seguir

Redefinir K como Kp



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Cap7-Parte II - 10

Exemplo de projeto mais realista

21)(s

sP =

%5.20£Ssts 75.0%)5( £

Objectivos: dado o sistema a controlar

Projectar um controlador K(s) tal que:

a. O sistema em malha fechada é estável

b. O sistema em malha fechada exibe comportamento (dominante) de segunda ordem com

b.1. Sobreelevação

b.2. Tempo de estabelecimento

475.0305.0ln%)5( ³Þ£@= n

nnst xw

xwxw

Resolução:

45.0%5.20)1/exp( 2 ³Þ£--= xxxpSb.1

b.2



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Cap7-Parte II - 11


nxw-

)45.0arcsin(

0

Zona desejada para os polos dominantesem malha fechada

112

1

894.71

89.845.0;4--

-

»=-Þ

=Þ³³

radsrads

rads

n

nn

xw

wxxw

Localização possível dos polos: -4+j8, -4-j8

4-

+j8



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Cap7-Parte II - 12


pszssK

++

=)(Tipo de controlador: Tentativa: fazer z=4 rad/s e determinar p tal que se cumpram (caso seja possível!) as especificações.

Utilizando a condição do argumento:

ok 180)12(4321 +±=--- aaaa

o901 =a 0132 117)2(tan180; »-== -oaa

o364 =a

a 1

- j 8

j 8

- 4

a 4

a 2 = a 3

- p

M 1

M 4 M 2=M 3

Localizar este pólo

o

x368tan 1 =÷

øö

çèæ-

x

115411 11 -=+=» radspx



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Cap7-Parte II - 13


Para calcular o valor de ganho necessário,

utilizar a condição do módulo:

- j 8

j 8

-4-15

M 1

M 4 M 2=M 3

-4+j8

136

|4||||15|

1||1.

|15||4|

0)()(1

.1

.2.3.4

84|

2

84|2

84|

==Þ

úû

ùêë

é+

+=Þ

=úû

ùêë

é++

Þ

=+

+-=

+-=

+-=

MMMMK

sssK

sssK

sGsK

js

js

js



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Cap7-Parte II - 14


5441362153

544136...)(2)(

)()()(

+++

+==

+++

+=

sss

s

zsKsps

zsKsRsY

Sobreelevação » 45 % !! >> 20% desejada

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

z = 4p = 15K = 136

Resposta ao escalão unitário



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Cap7-Parte II - 15


-25 -20 -15 -10 -5 0 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Real Axis

Root Locus

Imag

inar

y Ax

is

z = 4 p = 15 K = 136

pólos em cadeia fechada

! Efeitos de pólos e zeros adicionais (além dos projectados

s1,2 = -4 ± j 8 ) !

! Polos projectados não são dominantes !

)15(

)4(2 +

+

ss

sKf.t.c.aberta

Root-Locus

Mapa polos-zeros da malha fechada para K = 136:

zeros: s = - 4polos: s1,2 » - 4 ± j 8 s3 » - 7



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Cap7-Parte II - 16

Considerações adicionais

Para diminuir a Sobreelevação S�fechar�mais os ramos principais do root-locus

• deslocar o pólo do controlador para a esquerda e/ou • deslocar o zero do controlador para a direita

Variação consistente do ganho Pólos da malha fechada deslocam-se sobre o root-locus

TENTATIVAS à z=3 p=25 K=250

Resposta ao escalão unitário

75025025250

)()()(

)()(

232 +++=

++++

=sss

szsKsps

zsKsRsY

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

z = 3 p = 25 K = 250

Sobreelevação »25% Tempo de estabelecimento (5%) » 0,75s



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Cap7-Parte II - 17

Root-Locus

-25 -20 -15 -10 -5 0 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

z = 3 p = 25 K = 250

Considerações adicionais

TENTATIVAS à z=3 p=25 K=250 )25(:..

++s

abertamalhatf 2s3)(sK

Mapa pólos-zeros da malhafechada para K=250

zeros: s=-3

pólos: s1,2»-10±j7, s3 »-5

Pergunta: haverá, com este controlador, um conjunto de valores de parâmetros maisconveniente? (tente …)

Se o resultadonão satisfaz

Ensaiar outrocontrolador (com diferente estrutura)

Compromisso entre desempenho, complexidade, robustez, …



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Cap7-Parte II - 18

Dimensionamento do controlador por via puramente algébrica

01.)()4(1

2=

++

+sps

sK 04.. 23 =+++ KsKsps

KsKsps 4.. 23 +++

[ ][ ] xxsxssxsjsjs 80)880()8(...)()84()84( 23 +++++==++-----

ïî

ïí

ì

==+

=+

KxKx

px

480880

8

ïî

ïí

ì

===

66,1466,633,133

pxK

Equação característica:

Polinómio característico como função dos parâmetros do controlador:

Polinómio característico desejado:

• o polinómio característico é do 3º grau • além dos pólos projectados de 2ª ordem existe um terceiro pólo da malha fechada

em s = -x )

à ...

por identificação dos polinómios característicos assim formados, obtém-se:

Este procedimento, aplicável a casos simples, não dispensa a etapa posterior de ajuste de parâmetros, guiada pelo root-locus!



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Cap7-Parte II - 19

Projeto apoiado no Root-Locus: SínteseDados:§ Função de transferência do sistema G(s) (e dos sensores H(s))

§ Especificações de regime permanente à tipo

§ Especificações dinâmicas à pólos desejados da malha fechada (pólos de 2ª ordem supostosdominantes)

Projecto: Estrutura do Controlador C(s) (sugerida pelo root-locus)

Dimensionamento do Controlador C(s)

via algébricaapoiado no root-locus: condições de argumento e de módulo

simulação e comparação com o desempenho desejado

ajuste dos parâmetros de C(s) (ajuste guiado pelo root-locus)

simulação

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