Cap7 - Parte 4 - Teste De Duas Média
-
Upload
regis-andrade -
Category
Technology
-
view
8.123 -
download
3
Transcript of Cap7 - Parte 4 - Teste De Duas Média
Teste de Hipóteses
para médias
Caso 2: Duas Médias
Teste de Médias com Duas Variáveis.
Objetivo
Ter duas populações, digamos população A e população B. Em cada uma delas ser avaliada a mesma variável.
Seja esta variável denotada por X para a população A e por Y para a população B.
Teste de Médias com Duas Variáveis.Objetivos – Cont.
Em cada população esta variável tem que ser real ou inteira não-restrita obtida através de mensurações.
Denotando por µX e µY a média desta variável em cada população, o objetivo é o de avaliar se estas médias são iguais entre si ou se existe valores diferentes para cada população.
Teste de Médias com Duas Variáveis.Situação 1: Populações Independentes
Condições Iniciais.
Esta variável tenha distribuição normal em cada uma das populações em análise, isto é:
Tenha amostras para cada variável, a saber:
),(N~X 2
XX σµ ),(N~Y 2
YY σµ
Situação 1: Populações IndependentesComposição da Amostra
População A: X1 , X2 , X3 , . . . , Xn
População B: Y1 , Y2 , Y3 , . . . , Ym
Sejam independentes:
População A da população B;
A amostra dentro da população A bem
como da população B.
Situação 1: Populações IndependentesPropriedade das Amostras
Por serem independentes e possuírem distribuição normal, tem que:
e
),(N~X 2XX1 σµ ),(N~X 2
XX2 σµ . . . ),(N~X 2XXn σµ
),(N~Y 2YY1 σµ ),(N~Y 2
YY2 σµ . . . ),(N~Y 2
YYm σµ
Situação 1: Populações IndependentesQuadro de Hipóteses
Unilateral à esquerda
µ<µµ=µ
YX1
YX0
:H
:H
Unilateral à direita
µ>µµ=µ
YX1
YX0
:H
:H
Bilateral
µ≠µµ=µ
YX1
YX0
:H
:H
Situação 1: Populações IndependentesCaso 1 – Mesma Variância
Neste caso considera que as duas populações possuem a mesma variância, isto é:
σ2x = σ2
Y
Desta forma estima a variância única usando as duas amostras de forma ponderada cuja fórmula é:
2mn
s.)1m(s.)1n(s
2Y
2X2
−+−+−
=
Situação 1: Populações IndependentesCaso 1 – Teorema
Dentro das condições especificadas no caso a. tem que:
Possui distribuição t-student com (n+m-2) graus de liberdade.
m
s
n
s
YXt
22
+
−=
Situação 1: Populações IndependentesCaso 1 – Teorema Simplificado
Desenvolvendo chega a:
mn
)2mn(mn
s)1m(s)1n(
YXt
2Y
2X
+−+××
××−+×−
−=
Situação 1: Populações IndependentesCaso 2 – Variâncias Não-iguais
Neste caso não se estima a variância como única e usa o:
Teorema:
Possui distribuição t-Student
m
s
n
s
YXt
2Y
2X +
−=
Caso 2 – Variâncias Não-iguaisGraus de Liberdade
Modelo preciso:
Ao qual pode-se aproximar por:
m
s.)1m(
n
s.)1n(
m
s
n
s
.L.G2Y
2X
22X
2X
−+
−
+
=
)1m;1n(menor.L.G −−=
Teste da Diferença de MédiasExemplo 1
Pesquisa: Avaliar a capacidade de
respiração máxima em pacientes obesos
e submetidos à cirurgia de estomago e
com o auxilio da fisioterapia. (Acadêmicas Renata e Joyce)
Teste da Diferença de MédiasExemplo 1 – Amostra Auferida
Pressão Inspiratória Pressão Expiratória Sexo
Pré-operatório Pós-operatório Pré-operatório Pós-operatório
M 150 56 150 120
F 150 88 150 132
F 120 50 100 92
F 150 150 128 68
F* 80 28 100 52
M 200 128 160 160
F 120 100 96 84
M 120 120 120 120
F 120 75 80 30
F 140 130 132 118
F 140 40 72 35
F 120 116 120 90
F 92 68 52 30
F 120 100 120 85
F 40 52 46 52
F 120 80 80 60
F 120 80 68 46
M 180 120 164 100
Exemplo 1 – Comparação Proposta
No tocante à pressão inspiratória máxima
no pré-operatório, testar se existe ou não
diferença significativa entre masculino e
feminino caso as variâncias destes dois
grupos sejam a mesma.
Exemplo 1 – Solução
Denotando por X a capacidade de inspiração dos homens e de Y a capacidade de inspiração das mulheres vem:
Quadro de hipóteses:
µ≠µµ=µ
YX1
YX0
:H
:H
Bilateral, pois deseja se são
ou não iguais entre si.
Exemplo 1 – Estimativas
Homens
Tamanho da Amostra: n = 4
5,162
4
180120200150x:Média =+++=
14
)5,162180()5,162120()5,162200()5,162150(s:Variância
22222
−−+−+−+−=
0,351225s:Padrão.D;00,2251s:Variância 2 ===
Exemplo 1 – Estimativas
Mulheres. Tamanho da Amostra: m = 14
6,116
14
80...120150y:Média =+++=
03,863
114
)6,11680(...)6,116120()6,116150(s:Variância
2222 =
−−++−+−=
4,2903,863s:PadãoDesvio ==
Exemplo 1 – Modelo Matemático
Original:
Calculando com ajuda dos dados da Amostra
144
)2144(144
4,29)114(0,35)14(
6,1165,162t
22 +−+××
××−+×−
−=
mn
)2mn(mn
s)1m(s)1n(
YXt
2Y
2X
+−+××
××−+×−
−=
t = 2,4837.
Como usar a tabela t-Student
Localize na coluna 1 a linha de graus de liberdade correspondente
Neste Exercício é 14, tal qual:
Tabela t-Student – Caso Bilateral
Valores de p = P( - x < X < x ) GL
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,10 0,20 0,30
13 3,012 2,650 2,436 2,282 2,160 1,771 1,350 1,079
14 2,977 2,624 2,415 2,264 2,145 1,761 1,345 1,076
15 2,947 2,602 2,397 2,249 2,131 1,753 1,341 1,074
Como usar a tabela t-Student
Localize o intervalo que contenha o valor especificado,
neste caso: 2,4837
Olhando na tabela percebe que este número está entre:
2,415 e 2,624;
Agora olha na linha de p e encontre o intervalo de p,
nas linhas definidas por estes limites, 0,02 e 0,03
Exemplo 1 – Comparação
Uso da tabela: Graus de liberdade: 4 + 14 – 2 = 16
Conclusão Como p < 0,05, conclui que existe diferença significativa
entre a capacidade de inspiração dos homens quando
comparada com a das mulheres.
Valor de p na tabela t: 0,020 < p < 0,030
Teste da Diferença de MédiasExemplo 2
Refaça o problema 01, caso não possuírem a mesma variância.
Solução
Neste caso tanto o quadro de hipóteses bem como as estimativas são as mesmas, pois os dados não mudaram, o que vai ficar alterado é apenas o Modelo Matemático.
Exemplo 2* Solução *
As estimativas forneceram:
4,29s:PadrãoDesvio
;6,116yMédia:YDe
Y ==
0,35s:PadrãoDesvio
;5,162xMédia:XDe
X ==
Exemplo 2* Solução *
Na fórmula:
Fica:
m
s
n
s
YXt
2Y
2X +
−=
3927,2
14
4,29
4
0,35
6,1165,162t
22=
+
−=
Graus de liberdade: min (4-1, 14-1) = 3.
Conclusão
Como p > 0,05, conclui que não existe diferença significativa entre a capacidade de inspiração dos homens comparada com a das mulheres sendo esta diferença apenas casual.
Exemplo 2 * Solução *Uso da Tabela
Valor de p 0,06 < p < 0,10
Teste de Médias com Duas Variáveis.* Situação 2* Variáveis Pareadas
No caso de variáveis pareadas, o valor de
uma delas está diretamente associada ao
valor da outra, alem do mais elas possuem
o mesmo tamanho da amostra,ao qual
podem ser dispostas tal qual a tabela:
Variáveis PareadasAmostra - Tabela de Dados
Aqui o que se calcula é a diferença:
De X X1 X2 X3 . . . Xn
De Y Y1 Y2 Y3 . . . Yn
iii YXd −=
Variáveis PareadasFórmulas de Análise
Com as condições anteriores de normalidade, porem envolvendo variáveis pareadas, o modelo matemático é:
E t possui distribuição t-student com (n − 1) graus de liberdade.
n
sd
td
=
.amostranaparesdequantidadeaén
;diferençasdaspadrãodesviooés
;sindividuaidiferençasdasmédiaaéd
:onde d
Variáveis Pareadas* Exemplo *
Da pesquisa sobre mastigação, os dados
coletados pela Dra. Jordana e Dra. Ana
Márcia, das crianças com seis anos de idade,
o tempo de mastigação forneceu:
Variáveis Pareadas* Exemplo * Dados Amostrais
Salgadinho Bolo Pão de Queijo Pão Francês Maçã Banana 18 22 65 76 16 9 15 39 21 33 11 9 24 21 25 54 11 15 10 19 23 12 8 14 8 6 11 7 5 3 7 7 28 18 17 4 7 14 27 21 10 6 8 18 24 16 12 9
10 19 12 22 9 8 10 20 25 12 20 10 10 20 15 12 10 8 11 19 15 18 7 14
Variáveis Pareadas* Exemplo *
No tocante a salgadinho e bolo, testar se existe
diferença entre o tempo de mastigação.
Solução Sejam as variáveis: X = tempo de mastigação de salgadinho Y = tempo de mastigação de bolo.
Variáveis Pareadas* Exemplo *
Hipótese pleiteada:
Ora uma mesma criança ingeriu cada um dos
tipos de salgados, assim trata-se de Variáveis
Pareadas.
µ≠µµ=µ
YX1
YX0
:H
:H
* Exemplo *Solução
Modelo Matemático
Onde d é a diferença entre X e Y
n
sd
td
=
* Exemplo *Solução Dados Originais.
Salgadinho (x) Bolo (y) Diferença (d)
18 22 − 4
15 39 − 24
24 21 3
10 19 − 9
8 6 2
7 7 0
7 14 − 7
8 18 − 10
10 19 − 9
10 20 − 10
10 20 − 10
11 19 − 8
* Exemplo *Solução – Estimativas -
Média da Diferença:
Variância:
17,7
12
86
12
)8(...)9(3)24()4(d −=
−=
−++−++−+−=
24,51
112
)17,78(...)17,724()17,74(s
2222d =
−−−++−−+−−
=
* Exemplo *Solução – Estatística -
Desvio Padrão:
Na fórmula:
16,724,51sd ==
017,12
12
16,717,7
n
sd
td
−=−
==
* Exemplo *Solução – Uso da Tabela -
Graus de Liberdade: 12 – 1 =11
Tabela t-Student: p < 0,010
Conclusão
Existe diferença estatisticamente significativa entre o
tempo de mastigação de salgadinhos e o de bolo.
Teste de HipótesesCaso 2 – Duas Médias
FimProf. Gercino Monteiro Filho