Triangulo Pascal
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E s c o l a S e c u n d á r i a J o ã o d e D e u s – F a r o
M a t e m á t i c a A
12.º Ano
Ano Lectivo
2005/2006
Triângulo de Pascal
Vamos começar por dispor os valores de n numa forma triangular, como se vê
de seguida:
pC
Vamos calcular os diferentes valores de n e substituí-los na pirâmide de cima. pC
Vamos observar atentamente para a forma triangular, e podemos concluir que:
1. Cada linha do triângulo começa e acaba por 1;
2. Em cada linha, elementos igualmente afastados das extremidades têm o
mesmo valor;
3. a partir da 2.ª linha, cada elemento (com excepção dos extremos) é a
soma dos dois elementos imediatamente acima dele.
Por exemplo ou ainda 4
2
3 31
C
C C+ 25
3
4 42 3
C
C C+ .
Triângulo de Pascal 1
4. A soma da n é linha do triângulo é 2 . sima− n
Podemos agora formalizar estas observações e definir assim as propriedades do
Triângulo de Pascal:
Propriedade 1
0 1, n nnC C n= = ∀ ∈
Propriedade 2
0 com n np n pC C , n,p n− p= ∀ ∈ ≥
Propriedade 3
11 1, , com 2n n n
p p pC C C n p n n++ + p+ = ∀ ∈ ≥ ∧ ≥
Propriedade 4
0 1 2 1... 2 , n n n n n nn nC C C C C n−+ + + + + = ∀ ∈
Exercícios
1. Demonstra as propriedades do triângulo de Pascal.
2. A soma de todos os elementos de uma linha de Pascal é 32. Escreve essa linha.
3. Se o terceiro elemento de uma linha do triângulo de Pascal é 120, qual é o
penúltimo elemento dessa mesma linha?
4. O produto dos dois primeiros elementos de uma linha do triângulo de Pascal é igual
a 32. Qual é o terceiro elemento da linha seguinte?
5. é igual a 1997 1997100 101C C+
A. 1998101C B. 1 996
100C
C. 1997201C D. 1 998
201C
6. O quarto número de uma certa linha do triângulo de Pascal é 19600. A soma dos
quatro primeiros números dessa linha é 20876. Qual é o terceiro número da linha
seguinte?
A. 2634 B. 2193 C. 1581 D. 1275
Triângulo de Pascal 2
7. Considere-se duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, das quais se
reproduzem alguns elementos:
Indique o valor de b.
A. 164 B. 198 C. 210 D. 234
8. a b c d e f g representa uma linha completa do triângulo de Pascal, onde todos os
elementos estão substituídos por letras. Qual das seguintes igualdades é verdadeira?
A. B. C. D. 63c C= 7
3c C= 62c C= 7
2c C=
9. O penúltimo número de uma certa linha do triângulo de Pascal é 10. Qual é o
terceiro número dessa linha?
A. 11 B. 19 C. 45 D. 144
10. Os quatro primeiros números de uma linha do triângulo de Pascal são 1, 11, 55 e
165. Então os três últimos números da linha seguinte são:
A. 36, 24 e 12 B. 66, 12 e 1 C. 220, 66 e 12 D. 24, 12 e 1
11. Uma certa linha do triângulo de Pascal tem quinze elementos. Qual é o sexto
elemento dessa linha?
A. B. 15 C. 14 D. 145C 5C 6C
156C
12. No triângulo de Pascal existe uma linha com onze elementos. Seja a o maior
número dessa linha. Qual o valor de a?
A. 10 B. 10 C. 11 D. 5C 6C 5C11
6C
13. A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do triângulo de pascal é 21.
Qual é o valor da soma dos três primeiros elementos dessa linha?
A. 121 B. 151 C. 181 D. 211
14. Considera a linha do triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35.
Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha. Qual é a probabilidade de estes
dois serem iguais?
A. 35
2
1C
B. 36
2
18C
C. 35
2
19C
D. 36
2
35C
Resolve todos os exercícios de escolha múltipla acerca do Triângulo de Pascal que
estão no livro do GAVE.
Triângulo de Pascal 3