COLÉGIO ESTADUAL JOSUÉ BRANDÃO 2º Ano de Formação Geral – Matemática Professor Alfredo Coelho

Trigonometria_2

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

Círculo, ou circunferência trigonométrica é o círculo ou circunferência de raio igual a 1, (uma unidade).

QUADRANTES Tomando-se, sobre o círculo trigonométrico, os eixos � e �, perpendiculares entre si no ponto 0 (orígem dos eixos coordenados), sendo � o eixo das abscissa e � o eixo das ordenadas, o círculo fica dividido em quatro partes chamadas de QUADRANTES de medidas iguais

a 90° ou �� � .

A medida que um ponto, partindo do ponto A, se desloca sobre a circunferência, no sentido anti-horário, o ângulo

central � aumenta gerando os quadrantes, de tal modo que:

• I Quadrante de A até B perfazendo o intervalo 0° a 90° ou 0° � �� rad.

• II Quadrante de B até C perfazendo o intervalo de 90° a 180° ou �� � � �.

• III Quadrante de C até D igual ao intervalo de 180° a 270° ou π � ��� rad.

• IV Quadrante de D até A ou seja o intervalo de 270° a 360° ou ��� � 2� �.

ARCOS OU ÂNGULOS CONGRUENTES:

Arcos congruentes são arcos/ângulos em que a diferença entre eles é igual a um múltiplo de 360° ou 2π rad. Acrescentamos, também, que arcos congruentes são arcos que têm a mesma extremidade.

Demonstração para o ângulo de 30° Número de voltas positivo, sentido anti-horário. Número de voltas negativo, sentido horário.

� � 0

30° � 360 390° 30° � 720 750° 30° � 1080 1110° 30° � 1440 1470° ……………………. ……………………. ……………………. 30° � 4320 4350° �% � � · 360 �

� 0

30° ' 360 '330° 30° ' 720 '690° 30° ' 1080 '1050° 30° ' 1440 '1410° ……………………. ……………………. ……………………

30° ' 4320 '3990° �% ' � · 360 �

EXPRESSÃO: Para representar todos os arcos/ângulos congruentes fazemos uso da expressão, já comprovada na tabela acima. () * + · ,-)° ( , em graus ou () * + · ./ (, em radianos.

2

Notas sobre a expressão:

1. Valores: • O valor de �% é chamado de Primeira Determinação Positiva; • O valor de � é igual ao Número de Voltas, a partir da primeira

determinação. • A primeira determinação positiva equivale a � 0, para cada outro valor de

�, este indica uma determinação, seja ela positiva (� � 0), ou negativa (� 0).

2. Correlação:

A expressão �% � � 1 360 ou �% � � 1 2� são semelhantes a 2 � 3 1 � que expressa o Dividendo 2 numa divisão, onde:

• 2 é o dividendo, corresponde ao nosso �; • é o resto da divisão, corresponde ao nosso �%; • 3 é o quociente, o nosso �; • � é o divisor, no nosso caso fixo e igual a 360° ou a 2� �.

para � em graus ou 4�� para � Podemos indicar a divisão pelo algoritmo

em radianos. Exercícios Resolvidos: Exercício Resolvido – 13. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltas nos casos: (a) 1856°, (b) 1732°. Solução:

(a) Aplicando o algoritmo da divisão temos: 1856° dividido por 360° tem quociente

igual a 5 e resto 56°. Respostas: Número de voltas k 5 e Primeira determinação positiva x% 56°.

(b) Procedendo como no caso anterior: temos 1732° por 360° tem quociente igual a 4 e

resto igual 292°. Respostas: Número de voltas k 4 e Primeira determinação positiva �% 292°.

Exercício Resolvido – 14. Encontre a primeira determinação positiva e o número de

voltas nos casos: (a) �7�8 rad e (b)

�9�: rad.

Solução:

(a) Fazendo

;<=>�� ? �7�

8 1 @�� �7A pela soma de frações temos:

�7A �

A� ��A ou seja:

�7A �

A� 4 ? �7A 1 2� B�A� 4C 1 2� .Temos

�7�8 ��

8 � 4 1 2�

Resposta: Número de volta k 4 e Primeira determinação positiva �% 3�4 �

(b) Fazendo

DE=F�� ? �9�

: 1 @�� �9@8 pela soma de frações temos:

�9@8 @�

@8� @8@8

�9@8 @�

@8� 1 ? �9@8 1 2� B@�@8� 1C 1 2�. De onde temos:

�9�: @��

: � 1 1 2�

Respostas: Números de voltas k 1 e Primeira Determinação Positiva �% 12�7 �

3

Exercício Resolvido – 15. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltas nos casos: (a) '1925°, (b) '1362°. Solução:

(a) Aplicando o algoritmo da divisão temos: '1925° dividido por 360° tem

quociente igual a ' 5 e resto '125°, mas não é positivo, para tanto devemos

somar 360° resultando 235° positivos. Para que não haja desequilíbrio

aumentamos mais uma volta negativa '1, totalizando '6 voltas.

Respostas: Número de voltas k '6 e Primeira determinação positiva x% 235°.

(b) Procedendo como no caso anterior: temos '1362° por 360° tem quociente igual a

4 e resto igual '282° valor negativo. Somando 360° e acrescentando mais

uma volta negativa temos:

Respostas: Número de voltas k '4 e Primeira determinação positiva �% 78°. Exercício Resolvido – 16. Encontre a primeira determinação positiva e o número de

voltas nos casos: (a) '25�4 rad e (b) '17�5 rad.

Solução:

(a) Fazendo

GD<=>�� ? ' �7�

8 1 @�� ' �7A deste modo temos: '258 '18' 248 de onde:

' �7A ' @

A' 3 ? ' �7A 1 2� B' @

A' 3C 1 2�. Temos ' 25�4 ' �4'3 1 2�.

Como primeira determinação está negativa devemos somar 2� e acrescentar mais uma volta negativa.

' � 8� 2� G�HA�

8 :�8 . O que dá a expressão final '25�4 7�4 '4 12�

Resposta: Número de volta k '4 e Primeira determinação positiva �% 7�4 �

(b) Fazendo

GIF=<�� ? ' @:�

7 1 @�� ' @:@% de onde temos: '1710 ' 710' 1010

' @:@% ' :

@%' 1 ? ' @:@% 1 2� B :@%' 1C 1 2�. Onde ' @:�

7 ' :�7 ' 1 1 2�.

Como primeira determinação está negativa devemos somar 2� e acrescentar mais uma volta negativa.

' :� 7 � 2� G:�H@%�

7 ��7 . Gerando a expressão '17�5 3�5 '4 12�

Respostas: Números de voltas k '2 e Primeira Determinação Positiva �% 3�5 �

Exercícios Propostos: Exercício Proposto – 22. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltas nos casos: (a) 2896°, (b) 2094°. Exercício Proposto – 23. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltas nos casos: (a) '3275°, (b) '1736°. Exercício Proposto – 24. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltas

nos casos: (a) ���7 � (b)

�:�8 �.

Exercício Proposto – 25. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltas

nos casos: (a) ' ���: � (b) ' 17�5 �.

Exercício Proposto – 26. Sendo o arco 89° calcule a 5ª determinação positiva e a 7ª negativa.

4

Exercício Proposto – 27. Encontre a 6ª determinação positiva e a 4ª negativa de 7�8 �.

FUNÇÕES:

Marcando-se o arco ABL de ângulo central igual a α sobre a circunferência. Projetando o ponto B sobre o eixo dos � encontramos o ponto B1. Em seguida projetamos o ponto B sobre o eixo dos � encontrando o ponto B2. Deste modo determinamos o triângulo BÔB2, retângulo em B2, de catetos NN�OOOOO (oposto ao ângulo α) e 0N�OOOOO (adjacente ao ângulo α) e

hipotenusa 0BOOOO (igual a 1).

OBSERVAÇÃO:

O cateto NN�OOOOO 0N@OOOOO Funções seno, cosseno e tangente:

Voltando às definições temos:

1. sen α SSDOOOOOO%SOOOO T UVW � %SIOOOOO

@ X UVW � 0N@OOOOO 2. cos α %SDOOOOO

%SOOOO T Z[U � %SDOOOOO@ X Z[U � 0N�OOOOO

3. tg α ^_` abcda T UVW � %SIOOOOO

%SDOOOOO

Podemos concluir que o eixo dos “x” é o eixo dos cosenos e o eixo dos “y” é o eixo dos senos. FUNÇÃO SENO:

Tomando-se um arco ABL de ângulo central igual a �, é sempre possível associar-se um valor 0B@OOOOO no eixo �, maior que –1 e menor que 1 chamado de seno do ângulo �.

e: ( g hij ( ou ek(l hij (

O gráfico da função seno é chamado de SENÓIDE. Na nossa representação utilizamos na parte positiva o intervalo m� n o | 0 q � q 2� �r e na parte negativa o intervalo

m� n o | ' � q � 0 �r. Conforme foi visto nas determinações positivas e negativas o arco ABL pode crescer indefinidamente, a cada volta, para valores positivos ou valores negativos, segundo as expressões: ( () * + · ,-)° ou ( () * + · ./ stu. Cada volta (repetição da senóide) representa um período de valor ,-)° ou ./ stu. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO SENO:

1. Domínio: o domínio é o Conjunto dos Números Reais o.

5

2. Contradomínio: m� n o | ' 1 q � q 1r 3. Sinal: positivo (+) para arco do 1º e 2º Quadrante e negativo (–) para arcos do 3º e 4º

Quadrante.

4. Variação: a função seno é crescente no 1º e 4º Quadrante e decrescente no 2º e 3º Quadrante.

5. Período: já vimos que a função vk�l UVW � é periódica de período igual a ,-)° ou ./ stu.

FUNÇÃO COSSENO:

Tomando-se um arco ABL de ângulo central igual a �, é sempre possível associar-se um valor 0B�OOOOO no eixo �, maior que –1 e menor que 1 chamado de cosseno do ângulo �.

e: ( g wxh ( ou ek(l wxh (

Como acontece com o seno, o gráfico da função cosseno também se repete em períodos de ,-)° ou ./ stu.

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO COSSENO:

1. Domínio: o domínio é o Conjunto dos Números Reais o. 2. Contradomínio: m� n o | ' 1 q � q 1r 3. Sinal: positivo (+) para arco do 1º e 4º Quadrante e negativo (–) para arcos do 2º e 3º

Quadrante. 4. Variação: a função seno é crescente no 3º e 4º Quadrante e decrescente no 1º e 2º

Quadrante. 5. Período: Como já foi visto o período de � cos � é igual a 360° ou 2� �.

FUNÇÃO TANGENTE:

Tomando-se um arco ABL de ângulo central igual a �, é possível associar-se um valor ATOOOO projetado no eixo �, entre mais infinito e menos infinito chamado de tangente do ângulo �.

e: ( g z{ ( ou ek(l z{ ( Não acontece com a função tangente o que acontece com as funções seno e cosseno, o gráfico da

função tangente se repete em

períodos de 180° ou π rad, sendo que a função tangente não é definida para congruentes de

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90° �� rad ou 270° ��

� rad.

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO TANGENTE:

1. Domínio: é o conjunto dos números reais diferentes de (�� � ��).

2. Contradomínio: é o conjunto dos números reais o. 3. Sinal: positivo (+) no 1º e 3º quadrante e, negativo (-) no 2º e 4º quadrante. 4. Variação: a função tangente é crescente em todos os quadrantes. 5. Período: a função tangente é periódica de período igual a �.

Exercícios Resolvidos: Exercício Resolvido 17. Construir a tabela, o gráfico e determinar o período da função � 2 �UVW � no intervalo 0 q � q 2�. Solução:

Com os dados da tabela construímos o gráfico. Nota-se que o valor 2 não interferiu no período, permanecendo os 2� �. Ou seja, tanto faz a função � UVW � como � 2 � UVW �, o período é o mesmo.

Exercício Resolvido 18. Construir a tabela, o gráfico e determinar o período da função � UVW 2� no intervalo 0 q � q �. Solução:

Neste caso observamos que o período encontrado é metade do período da função � UVW �. Ovalor das ordenadas continuaram os mesmos: 0, 1, 0, -1 e 0.

Exercício Resolvido 19. Construir a tabela, o gráfico e determinar o período da função � UVW 4� no intervalo 0 q � q 2�. Solução:

Pela representação gráfica observamos que foi representado apenas metade do períodoa parte positiva. A parte negativa, o intervalo 2� � q 4�. Deste

modo o período será de 2 · 2�, ou seja, 4� �.

OBSERVAÇÃO EM RELAÇÃO AO PERÍOD: Dada a função � | � W · UVW · � o cálculo do período é

dado por apenas } ��~ , o único valor que influi no cálculo é

o coeficiente de �. Quanto maior o valor de , menor será o período.

� UVW � 2 � UVW �

0 0 2

� 2� 1 3

� 0 2

3� 2� -1 1

2� 0 2

� 2� UVW 2�

0 0 0

� 4� � 2� 1

� 2� � 0

3� 4� 3� 2� -1

� 2� 0

� �2 UVW �2

0 0 0

� 2� � 4� √2 2�

� �2 1

3� 2� 3� 4� √2 2�

2� � 0

7

Exercício Resolvido 20. Construir a tabela, e o gráfico da função � 1 ' cos� no intervalo 0 q � q 2� e depois verifique o período. Solução:

O gráfico inverteu devido ao sinal negativo (-) ante do cosseno de x e subiu uma unidade. O período é o mesmo de � cos �, período igual a 2�.

Exercício Resolvido 21. Construir a tabela, e o gráfico da função � '1 � cos � no intervalo 0 q � q 2� e depois verifique o período. Solução:

O gráfico sofre um deslocamento de uma unidade para baixo devido ao (–1). O período é o mesmo de � cos�, período igual a 2�.

Exercício Resolvido 22. Construir a tabela, e o gráfico da função � '2 � cos 2� no intervalo 0 q � q 2� e depois verifique o período. Solução:

O gráfico sofre um deslocamento de duas unidades para baixo devido ao (–2). E o período é reduzido para metade do período de � cos �, portanto o período ida função � '2 � cos 2� é gual a �.

Exercício Resolvido 23. Construir a tabela, e o gráfico da função � '1 � 2cos � no intervalo 0 q � q 2� e depois verifique o período. Solução:

O gráfico tem a forma alterada devido ao coeficiente, dobrando o valor de cos �. Quanto ao período permanece o mesmo de cos �.

OBSERVAÇÃO: Com o período de � cos � ocorre o mesmo que em � sen � � Sendo � | � W · Z[U · �

podemos usar a mesma expressão para o cálculo } ��~ para calcular o período.

� cos � 1 ' cos �

0 1 0

� 2� 0 1

� '1 2

3� 2� 0 1

2� 1 0

� cos � '1 � cos �

0 1 0

� 2� 0 '1

� '1 '2

3� 2� 0 '1

2� 1 0

� cos 2 � '2 � cos 2�

0 1 '1

� 4� 0 '2

� 2� '1 '3

3� 4� 0 '2

� 1 '1

� cos � '1 � 2cos �

0 1 1

� 2� 0 '1

� '1 '3

3� 2� 0 '1

2� 1 1

8

Exercício Resolvido 24. Construir a tabela, e o gráfico correspondente da função � �� 2� no intervalo 0 q � q 2� e depois verifique o período. Solução:

O gráfico tem a sua forma ligeiramente alterada devido ao vaor do coeficiente, (2) dobrando o valor do ângulo e reduzndo o valor do período de tg �. O período da função tangente do dobro do ângulo é igual a

metade do período da função tangente do ângulo.

Exercício Resolvido 25. Calcular o domínio da função � �� �4� . Solução:

Condição �4� � �

� � �� ? 3� � � � 2�� X � � �� � ���

�

Resposta: � �� n o� � � �3� 2��

3 � Exercício Resolvido 26. Calcular o período da função � �� �4� . Solução:

Aplicando a fórmula } �~T } �

� �⁄ vem } ��� . Nem sempre podemos usar a fórmula

diretamente por isso, recomenda-se o seguinte cálculo: } �^ ' ��, onde �^ é o extremo

superior do período e �� o extremo inferior. �4�� 0 T 3�� 0 X �� 0 e

�4�� � T 3�^ 2� X �^ ��

�

Fazendo } �^ ' �� T} 2�3 '0 de onde temos } ��

� Resposta: } ���

Exercício Resolvido 27. Calcular o período da função � UVW k2� � �8l.

Solução:

2�� � �8 0 T 2�� ' �

8 X �� ' �A e 2�^ � �

8 2� T 2�^ 2� ' �8 X �^ :�

A } �^ ' ��T } :�

A ' B' �AC T } A�

A X } � Reposta: } � Exercícios Propostos:

Exercício Proposto – 28. Calcular o domínio de � UVW�� � �8 .

Exercício Proposto – 29. Calcular o domínio de � �� 3�. Exercício Proposto – 30. Calcular o domínio de � �� k2� ' �l. Exercício Proposto – 31. Calcular o período da função � �� 3�. Exercício Proposto – 32. Calcular o período da função � UVW �48 ·.

Exercício Proposto – 33. Construir a tabela e o gráfico da função � Z[U k� � �4l.

Exercício Proposto – 34. Faça o gráfico e dê o período da função � UVW k2� ' �l. Exercício Proposto – 35. Encontre o gráfico e o período da função � �� k� � �

�l.

� 2� �� 2�

0 0 0

� 8� � 4� 1

� 4� � 2� ∞

� 2� � 0

3� 8� 3� 4� '1

3� 4� 3� 2� ∞

� 2� 0

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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS: Tomando-se os pontos A, B e C nos eixos coordenados � e � do círculo trigonométrico,

mais o ponto T, temos os segmentos 0�OOOO·, 0NOOOO e ��OOOO, aos quais

definimos como secante, cossecante e cotangente do ângulo x, ou seja:

• sec � 0�OOOO inversa do Z[U �. • cossec � 0NOOOO inversa do UVW �. • cotg � ��OOOO inversa do �� �.

Do exposto acima concluímos que:

��� ( wxhG�( , ������ ( hijG�( e ���� ( z{G�(

FUNÇÃO SECANTE: A secante do ângulo x por definição é igual a medida de segmento 0�OOOO. Ou seja sec � 0�OOOO. e: ( � ���( ou ek(l ��� (

Tabela de Variação Pela tabela concluímos que a função não é definida para valores de � �

� � �� e não existe imagem entre os valores de maiores que – 1

e menores que 1. Logo o Domínio é �� n o|� � �2� �� �, a Imagem é m� n o|� q '1 [� � � 1 r.

Quanto ao sinal ek(l ��� ( é positiva (+) no 1º e 4º quadrante e negativa (-) no 2º e 3º quadrante. O período é dado por } �. FUNÇÃO COSSECANTE: A função cossecante do ângulo x por definição é igual a medida de segmento 0NOOOO. Ou seja cossec � 0NOOOO. e: ( � ������ ( ou ek(l ������ (

Tabela de Variação Pela tabela concluímos que a função não é definida para valores de � �� e não existe imagem entre os valores de � maiores que – 1 e menores que 1.

Logo o Domínio é m� n o|� � �� r,

� UVZ �

0 1

�/4 √2

�/2 *∞

3�/4 '√2

� '1

5�/4 '√2

3�/2 *∞

7�/4 √2

2� 0

� UVZ �

0 *∞

�/4 √2

�/2 1

3�/4 √2

� *∞

5�/4 '√2

3�/2 '1

7�/4 '√2

2� *∞

10

a Imagem é m� n o|� q '1 [� � � 1 r. Quanto ao sinal ek(l ������ ( é positiva (+) no 1º e 2º quadrante e negativa (-) no 3º e 4º quadrante. O período é dado por } �. FUNÇÃO COTANGENTE A função cotangente do ângulo x por definição é igual a medida de segmento ��OOOO. Ou seja cotg � ��OOOO. �: � g ���� � ou �k�l ���� �

Tabela de Variação

Pela tabela concluímos que a função Z[�� � não é definida para valores de � �� e a imagem está definida para qualquer valor de � n o.

Logo o domínio é m� n o|� � ��r e a imagem é o. Quanto ao sinal a função vk�l Z[�� � é positiva (+) no 1º e 3º quadrante e negativa (-) no 2º e 4º quadrante.. O período é dado por } �. Exercícios Resolvidos: Exercício Resolvido – 28. Dada sec � 2 calcule cosseno, seno, tangente, cossecante e cotangente do ângulo �. Solução:

sec � @bcd4 ? @

bcd 4 2. De onde temos cos � @�

Aplicando a 1ª Relação fundamental UVW�� � Z[U�� 1 ? UVW�� 1 ' k@�l�T UVW � √�� ,

�� � ^_` 4bcd4 ? �� � √3, Z[UUVZ � @

^_` 4 ? Z[UUVZ � �√�� . Z[�� � @

 ¡ 4 ? Z[�� � √�� . Respostas: cos � @

�, UVW � √�� , �� � √3, Z[UUVZ � �√�

� e Z[�� � √�� .

Exercícios Propostos: Exercício Proposto – 36. Calcular a ��� sabendo que a Z[UUVZ � 7

�. Exercício Proposto – 37. Calcular a Z[�� � sabendo que a UVZ � �√�

� .

Exercício Proposto – 38. Calcular a UVW � sabendo que a UVZ � 2. Exercício Proposto – 39. Construir o gráfico de função y 2 � sec x no intervalo �� � ��

� . Respostas dos Exercícios Propostos. Exercício Proposto – 22 (a) �% 16° e � 8 (b) �% 294° e � 5 Exercício Proposto – 23 (a) �% 325° e � '10 (b) �% 64° e � '5

Exercício Proposto – 24 (a) �% ��7 � e � 3 (b) �0 3�

4 � e � 3

Exercício Proposto – 25 (a) �% £�: � e � '3 (b) �0 3�

5 � e � '2

� Z[�� �

0 *∞

� 4⁄ 1

� 2⁄ 0

3� 4⁄ '1

� *∞

5� 4⁄ 1

3� 2⁄ 0

7� 4⁄ '1

2� *∞

11

Exercício Proposto – 26 1889° e '2431° Exercício Proposto – 27 7��8 � e ' �:�

8 �.

Exercício Proposto – 28 �� n o|� � ' �8 ��

Exercício Proposto – 29 m� n o|� � �9 � ��

� r Exercício Proposto – 30 m� n o|� � ��

8 � ��� r

Exercício Proposto – 31 } �� �

Exercício Proposto – 32 } A�� �

Exercício Proposto – 33

� � � �4 cos k� � �4l '� 4� 0 1 � 4� � 2� 0

3� 4� � '1

5� 4� 3� 2� 0

7� 4� 2� 1

Exercício Proposto – 34

Período } � � Exercício Proposto – 35

Período } � �

Exercício Proposto – 36 ��� �8

Exercício Proposto – 37 Z[�� � √3

Exercício Proposto – 38 UVW � √��

Exercício Proposto – 39

� 2� ' � sen k2� ' �l � 2� 0 0

3� 4� � 2� 1

� � 0

5� 4� 3� 2� '1

3� 2� 2� 0

� � � �3 tg k� � �3l '� 3� 0 0 � 6� � 2� *∞

2� 3� � 0

7� 6� 3� 2� *∞

5� 3� 2� 0