TRIGO

Se sen e α for pertencente ao 4º Quadrante, o valor da expressão

será:

(A) 28 (B) -24 (C) -26 (D) 27 (E) 25

Utilizando a equivalência fundamental da trigonometria, sen²(x) + cos²(x) = 1Podemos calcular o valor de cos α:

Sabendo que α está no quarto quadrante, então o co-seno é positivo e vale 3/5.

Sabendo que temos que tan α = - 4/3

Agora iremos utilizar as seguintes fórmulas:

cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)

sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

podemos fazer uma transformação nestas fórmulas e utilzá-las da seguinte maneira:

(1)

(2)

estas transformações são válidas, pois a fórmula diz que o seno do dobro de um arco é igual à duas vezes o seno deste arco vezes o co-seno deste arco. Vamos tomar nosso arco como sendo x/2, portanto o dobro deste arco será x. O mesmo vale para o co-seno.

Na equação (2) vamos isolar o valor de e substituir o valor de cos x que já sabemos:

Veja que a raiz trouxe duas opçoes, ou + ou –, qual iremos utilizar? Como o ângulo é do quarto quadrante, a metade deste ângulo será do segundo quadrante, portanto terá seno positivo, vale o +.

Agora que já sabemos este valor, vamos substituí-lo na equação (1)

Para calcular melhor esta equação, vamos elevar os dois lados da equação ao quadrado. O valor de sen x já sabemos, podemos substituí-lo.

Dá para cortar o 16 com o 4

Para facilitar os cálculos daqui para frente, vamos chamar o , ou seja:

Aplicando Bhaskara, achamos como raízes:

Y'=4/5Y''=-1/5

Como , ou seja, é um número elevado ao quadrado, não pode ter como resposta um valor negativo, portanto, o único valor que Y pode admitir é 4/5:

Como α/2 está no segundo quadrante, seu cosseno será negativo, portanto, vale a raiz negativa.

Pronto, achamos o valor de

Agora só nos falta achar o valor de , utilizaremos a fórmula:

Pronto, já temos todas as informações pedidas, agora é só substituir na fórmula pedida.

Resposta correta, letra “C”

O conjunto imagem da função trigonométrica

Esta função é muito difícil de se determinar a imagem, no formato em que se encontra.

Devemos então "transformá-la" para que fique em um formato mais fácil de calcular o que se pede!

A transformação é a seguinte:

Vamos começar com a principal jogada desta transformação,

multiplicar a função por . Note que estamos multiplicando por

1(pois ) e isto não altera o valor da função.Agora vamos efetuar a multiplicação:Esta parte é um pouco complicada.

Vamos colocar o termo em evidência

Note que é o valor do seno de 45o

e também do cosseno de 45o. Vamos aplicar a substituição conveniente e racionalizar o termo

.Agora veja, que dentro dos colchetes temos uma expressão que podemos trocar por sen(45o-x), lembrando da fórmula:

sen(a-b)=sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)Pronto, agora é fácil calcular a imagem desta função. A imagem de sen(45o-x) é de -1 até 1, portanto, o valor máximo que f(x) poderá atingir é quando sen(45o-x) for igual a 1, portanto, o valor máximo de f(x) será . O valor mínimo que f(x) poderá atingir é quando sen(45o-x) for igual a -1, portanto, o valor mínimo de f(x) será .

A imagem de f(x) será

Na expressão abaixo,

com 0<x<2π qual(is) o(s) valor(es) de "x"?

Para iniciar a questão, vamos fazer uma coisa comum em questões de trigonometria que envolvam as funções trigonométricas elevadas ao cubo. Vamos "separar" os valores que estiverem ao cubo em uma multiplicação de dois valores. Veja abaixo:

Separando:

Agora, lembrando da equivalência fundamental da trigonometria:

EQUIVALÊNCIA FUNDAMENTAL

Efetuando a substituição destas equivalências na equação do exercício:

Efetuando algumas multiplicações:

Note, que, os termos grifados na equação acima, possuem o fator [sen(x).cos(x)] em comum, ou seja, podemos colocá-lo em evidência. Para isso, vamos reorganizar as parcelas:

E agora, colocando em evidência o fator [sen(x).cos(x)], temos:

Note, que, na parte esquerda da equação, podemos dizer que temos duas parcelas (indicadas abaixo com cores diferentes):

Estas duas parcelas possuem o fator em comum, ou seja, podemos colocá-lo em evidência:

Veja, agora, que o fator pode ser cortado de ambos os lados da igualdade.

Neste momento devemos ter um cuidado imenso. Ao cortar dos dois lados da igualdade, estamos, na verdade, dividindo os dois lados pelo mesmo valor, ou seja, por

. Como sabemos, não existe divisão por ZERO, portanto, devemos

garantir que será um número diferente de ZERO, para poder prosseguir com o cálculo.

Para esta desigualdade, temos apenas as soluções:

e

Portanto, a partir deste momento, estamos sabendo que estes valores não irão aparecer no nosso cálculo (pois para podermos prosseguir, tivemos que anular os fatores, e para isso garantimos que o x será diferente destes valores).

Note, que, isto não quer dizer que eles não poderão ser respostas. Para afirmarmos isto, devemos testar cada um destes valores na equação original para confirmar se eles serão ou não válidos! Deixamos este teste para o final. Voltanto à equação em que paramos:

Podemos, agora, "cortar" o fator dos dois lados da igualdade:

"Passando" o 4 para o outro lado dividindo:

Passando o 1 para o outro lado diminuindo:

Note, que, na expressão do lado esquerdo da igualdade, podemos multiplicar e dividir por 2. Veja abaixo:

Simplificando, e, sabendo que , temos:

Os ângulos entre 0 e 2π que possuem seno igual a , são 30o e 150o. Portanto:

ou

Agora, devemos testar os valores que ficaram pendentes (x = 45o e x = 225o). Para testar, devemos substituir o "x" da equação original por 45o e po 225o.

x = 45o

Efetuando os cálculos, temos:

0=0

Ok, é verdade. Portanto, x = 45o é uma resposta!x = 225o


0=0

Ok, é verdade. Portanto, x = 225o também é uma resposta!

As respostas para este problema, são:

x = 15o

x = 75o

x = 45o

x = 225o

O menor arco positivo "x", para o qual

é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Aplicando as propriedades de potenciação e igualando as bases, temos:

Cortando as bases:

O menor arco que possui cosseno igual a 1/2 é 60o,ou seja, resposta certa, letra “C”

Em um triângulo ABC, é igual a:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E) NRA

p = semiperímetro R = raio do círculo circunscrito

Sendo um triângulo temos: A+B+C=180°. Dividindo por 2 podemos ter:

Isolando

Assim podemos dizer que .

Substituindo este valor na equação do enunciado e desenvolvendo um pouquinho:

Agora vamos multiplicar e dividir a expressão por :

Efetuando as divisões pertinentes no qüociente acima:

Agora devemos utilizar as fórmulas que relacionam os arcos metades aos arcos inteiros, que são:

Substituindo estas fórmulas na expressão encontrada:

Efetuando a soma de frações e a multiplicação, ficamos com:

Os termos grifados acima são exatamente as parcelas do desenvolvimento de sen(A+B). Mas, por ser um triângulo A+B=180°-C e, assim, sen(A+B)=sen(180°-C)=sen(C). Substituindo:

Agora, utilizando a Lei-dos-Senos podemos substituir os senos por:

Onde a, b e c são os lados do triângulo e R é o raio do círculo circunscrito. Substituindo estes valores na última expressão encontrada:

BANCO DE QUESTÕES(Semelhança de triângulos)

A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminui 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:

(A) 30 cm (B) 45 cm (C) 50 cm (D) 80 cm (E) 90 cm

Vamos ilustrar a situação do enunciado antes das sombras diminuirem:

Como a altura do sol é a mesma para ambas as sombras, os dois triângulos retângulos com hipotenusas verdes, da figura, são SEMELHANTES.

Vamos aplicar a semelhança com base e altura. Falando, seria assim: a base do pequeno está para a base do grande assim como a altura do pequeno está para a altura do grande. Matematicamente seria:

10,611

=1

11,81

2 h

Calculando, temos:

0,6 . h = 1,8 . 20,6 . h = 3,6

h =13,6

0,6h = 6

Através deste cálculo, descobrimos o valor da altura do poste, que não irá se modificar no segundo momento (quando as sombras diminuem).

Portanto, no segundo momento, a ilustrução é:

Com esta ilustração conseguimos solucionar o problema. Novamente com uma semelhança de triângulos, iremos calcular o valor de "x" (que é o tamanho da sombra da pessoa no segundo momento).

A base do triângulo pequeno está para a base do grande assim como a altura do pequeno está para a altura do grande. Matematicamente:

Alternativa correta, letra "B".

(UnB - 1988) Assinale as afirmações verdadeiras.

1 A) Se sen x . cos x > 0 , então sen (π + 2x) < 0;B) A cotg x existe se, e somente se, a cossec x existe;C) Se 0 < x < π e |sen x|=1/2, então x = π/6;D) Sabendo que os gráficos abaixo representam as funções sen(x) e

cos(x), então os pontos assinalados correpondem aos valores de x tais que tg (x) = 0

E) Existe um único valor de x entre 0 e π/2 tal quesec2(x) - tg2(x) - 1 = 0

F) O período da função cos(2x)é menor do que o período da função cos(x).

G) No triângulo retângulo de hipotenusa 1000 m e um cateto igual a 350 m, o ângulo α oposto a este cateto é menor do que 30o.

H) cos(π/2 rad) < cos (1 rad)

AFIRMATIVA A - VERDADEIRA

(a) Se sen x . cos x > 0 , então sen (π + 2x) < 0;

O enunciado nos diz sen x . cos x > 0, vamos pegar esta sentença e multiplicar por 2 dos dois lados da desigualdade:

2 . sen x . cos x > 2 . 0 ou2 . sen x . cos x > 0

Note que do lado esquerdo da desigualdade temos o valor de sen(2x), substituindo:

sen (2x) > 0

Guarde que sen (2x) é um valor positivo. O exercício diz que se isso for verdade então sen (π + 2x) < 0 . Aplicando a fórmula do seno da soma de dois arcos, temos:

sen (π + 2x) < 0sen(π) . cos(2x) + sen(2x) . cos(π) < 0

Lembrando que sen(π) = 0 e cos(π) = -1, temos

- sen(2x) < 0

Note que na primeira sentença descobrimos que sen (2x) é um valor positivo, portanto, com o sinal negativo na frente se torna negativo. Fazendo com que a afirmativa "A" seja VERDADEIRA.

AFIRMATIVA B - VERDADEIRA

(b) A cotg x existe se, e somente se, a cossec x existe;

Lembre que co-tangente é o inverso da tangente:

Portanto, como não existe divisão por zero, a co-tangente só não irá existir quando a tangente for 0, ou seja, não irá existir em 0o, 180o, 360o,...

A co-secante de um arco é o inverso do seno deste arco:

Portanto, pelo mesmo motivo, não irá existir quando sen(x) for nulo, ou seja, não irá existir para x = 0o, 180o, 360o,...

Tornando a afirmativa verdadeira.

AFIRMATIVA C - FALSA

(c) Se 0 < x < π e |sen x|=1/2, então x = π/6;

Esta afirmativa é um pega-ratão, note que se substituirmos o valor de x que foi dado (x = π/6), poderemos dizer que está correta (pois |sen π/6|=1/2, realmente). O que está errado é dizer que só é verdade se x for π/6, pois também é verdade para 5π/6 e muitos outros.

AFIRMATIVA D - FALSA

(d) Sabendo que os gráficos abaixo representam as funções sen(x) e cos(x), então os pontos assinalados correpondem aos valores de x tais que tg (x) = 0

Os pontos assinalados na figura correspondem aos arcos em que o valor do seno é igual ao valor do co-seno. Estes arcos são 45o, 225o e todos os seus equivalentes. Ou seja:

tg(45o) = 1tg(225o) = 1

Tornando a afirmativa falsa.

AFIRMATIVA E - FALSA

(e) Existe um único valor de x entre 0 e π/2 tal que sec2(x) - tg2(x) - 1 = 0

Utilizando a equivalência da trigonometria, que é válida para qualquer valor de "x":

sec2(x) = tg2(x) + 1

Vamos substituir na equação dada:

sec2(x) - tg2(x) - 1 = 0

tg2(x) + 1 - tg2(x) - 1 = 0

0=0

Com esta resposta concluímos que, para qualquer valor real de x, teremos a equação dada como sendo verdadeira. Portanto, a afirmativa é falsa, já que diz que existe apenas um valor de x.

AFIRMATIVA F - VERDADEIRA

( f ) O período da função cos(2x) é menor do que o período da função cos(x).

A função cos(2x) possui período π, e a função cos(x) possui período 2π.

AFIRMATIVA G - VERDADEIRA

(g) No triângulo retângulo de hipotenusa 1000 m e um cateto igual a 350 m, o ângulo α oposto a este cateto é menor do que 30o.

Veja o desenho do triângulo abaixo:

Aplicando a fórmula do seno, temos:

Sendo um ângulo interno de um triângulo retângulo, só pode ser pertencente ao primeiro quadrante. O seno de 30o vale 0,5, ou seja, se α possui um valor de seno menor do que 0,5 e está no primeiro quadrante, com certeza será menor do que 30o.

AFIRMATIVA H - VERDADEIRA

(h) cos(π/2 rad) < cos (1 rad)

Sabemos que cos(π/2) = 0 e também sabemos que 1 radiano encontra-se no primeiro quadrante, portanto, é um valor positivo. O zero é menor do que qualquer valor positivo, por isso a afirmativa é correta.

(PSACN - 2001) Observe a figura abaixo que representa três semi-circunferências de centros M, N e P, tangentes duas a duas, respectivamente, nos pontos A, B e C.Os segmentos MM', NN', BB' e PP' são perpendiculares à reta r.Se a medida do segmento BB' é 6 cm, a área do triângulo M'N'P', em cm2, é igual a

(A) 9 (B) 10 (C) 12 (D) 18 (E) 36

Vamos chamar o raio do círculo maior (centro N) de R1, o raio do círculo menor (centro P) de R3 e o raio do círculo médio (centro M) de R2.

Primeiramente, vamos desenhar o triângulo que o exercício está pedindo a área (com o contorno verde logo abaixo):

Agora que já temos a visualização do que o exercícios está querendo, devemos visualizar algumas propriedades deste desenho.

Vamos começar com aquela que, se você a viu, tem muita chance de fazer a resolução correta (digo correta me referindo a mais rápida, pois este exercício possui outras soluções mais demoradas).

A propriedade é vista no desenho abaixo:

Os pontos A, M' e N' são colineares. Assim como também os pontos C, P' e N'.

Podemos provar que são colineares vendo que o ângulo MAM' vale 45° pois AM=MM' (formando assim um triângulo retângulo isósceles), e o ângulo NAN' também vale 45° pois AN=NN'. Como os ângulos MAM' e NAN' são iguais, os pontos A, M' e N' são colineares. O mesmo raciocínio pode ser usado para provar que os pontos C, P' e N' são colineares também.

E o triângulo ACN' é um triângulo inscrito em circunferência passando pelo centro da mesma, ou seja, é retângulo em N'.

Podemos então calcular a área do triângulo N'M'P' fazendo a metade do produto de M'N' por N'P'.

Veja que o segmento AN' é a hipotenusa do triângulo ANN', que é retângulo isósceles

com catetos medindo R2 . Portanto, o segmento AN' mede , você encontra este valor por pitágoras no triângulo.

Com este mesmo raciocínio, encontramos os comprimentos:

Assim, dá pra deduzir agora os comprimentos dos catetos do triângulo M'N'P.

E agora calcular a área pedida:

(1)

Guardamos esta expressão e vamos tentar encontrar o valor de cada fator dela.

Note que o diâmetro do círculo maior é igual à soma dos diâmetros dos círculos internos, ous eja:

2R1 = 2R2 + 2R3

R1 = R2 + R3

(2) R1 - R2 = R3

Substituímos a equação (2) na equação (1):

(3) Área = R3(R1 - R3)

Agora o último cálculo.

Olhando para o triângulo retângulo NBB' em vermelho na figura abaixo:

Note que os seus lados possuem os seguintes comprimentos: NB' = R1, NB = R1 - 2R3 e B'B=6. Podemos aplicar Pitágoras:

(R1)² = (R1 - 2R3)² + 6²

(R1)² = (R1)² - 4R1R3 + 4(R3)² + 36

4R1R3 - 4(R3)² = 36

R1R3 - (R3)² = 9

(4) R3(R1 - R3) = 9

Veja que a expressão (4) é exatamente a mesma coisa que a expressão (3). Ou seja, substituindo (4) em (3):

Área = 9

(OBM 1999 - 1a Fase Nível 3 ) Dois irmãos herdaram o terreno ABC com a forma de um triângulo retângulo em A, e com o cateto AB de 84m de comprimento. Eles resolveram dividir o terreno em duas partes de mesma área, por um muro MN paralelo a AC como mostra a figura abaixo. Assinale a opção que contém o valor mais aproximado do segmento BM.

(A) 55m (B) 57m (C) 59m (D) 61m (E) 63m

Veja que os triângulos ABC e MBN são semelhantes, portanto, podemos dizer que a razão de suas alturas (ao quadrado) é igual à razão de suas áreas.

Vamos dizer que o triângulo ABC tem área "A", se a parede MN dividiu em duas partes de áreas iguais, a área do triângulo MBN valerá A/2 (metade da área total). A razão dita anteriormente fica assim:

Calculando, temos:

Podemos cortar os fatores "A" dos dois lados da equação:

Calculando:

Racionalizando, temos:

Lembrando que vale aproximadamente 1,4:

BM = 42 . 1,4BM = 58,8

Resposta certa, letra "C"

(MACKENZIE - 74) A circunferência de raio a é tangente às duas semicircunferências menores e à semicircunferência maior. Se , então a é igual a:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

À primeira vista, este exercício parece um pouco difícil. Você verá, que, com alguns pequenos artifícios, ele se torna uma simples aplicação do Teorema de Pitágoras.

Vamos começar traçando alguns segmentos que irão nos auxiliar na resolução:

Os segmentos amarelo e vermelho, juntos, têm o comprimento igual a R.

Veja que o segmento amarelo vale a, portanto, o segmento vermelho vale (R - a).

Como as duas semicircunferências menores são tangentes entre sí, o ângulo que o segmento vermelho forma com a base MP é 90o. Estas são as primeiras informações que devemos guardar.

Veja, também, que o raio da semicircunferência com diâmetro MN vale (metade do raio da semicircunferência maior).

Continuando a traçar:

O traço verde é a junção do raio da semicircunferência menor com o raio da circunferência do desenho. Por isso seu valor é o que está na figura.

O traço azul é exatamente o raio da semicircunferência menor.

Agora sim. Devemos apenas aplicar o Teorema de Pitágoras.

Efetuando as operações:

Agora podemos cortar as parcelas comuns dos dois lados da igualdade.

Resposta certa, letra "D".

Dado um pentágono ABCDE inscrito numa circunferência de centro O, calcule o valor do ângulo a + b, sabendo que o ângulo CÔB é igual a 50º.

Começamos lembrando de uma propriedade de circunferências: sempre que temos um ângulo central (no caso BÔC), podemos transportar o ponto O para sobre a circunferência (para cima do ponto A, por exemplo) mantendo B e C no mesmo lugar. Assim, obteremos um ângulo BÂC que vale metade de BÔC. Ou seja:

Agora devemos nos ater ao quadrilátero CDEA:

Esse quadrilátero está inscrito na circunferência, portando, respeita a propriedade de quadriláteros inscritos: ângulos opostos são suplementares (somam 180°). Ou seja, podemos então dizer:

Sendo que CDE é o ângulo b:

Agora que sabemos o valor dos ângulos BAC e CAE, podemos calcular o valor de "a", que é a soma destes dois ângulos:

A soma pedida é a+b, sabemos o valor de "a", vamos calcular a soma pedida:

Seja P um ponto no interior do triângulo ABC tal que <PAC=10°,<PCA=20°,<PAB=30° e <ABC=40°.

Usando a Lei dos Senos, determine, em graus, o ângulo <BPC.

Começamos fazendo o desenho da situação, com todas informações do enunciado:

Bom, o enunciado diz que devemos utilizar a lei dos senos. A primeira dúvida é: em qual triângulo utilizar?

Note que ABC é um triângulo isósceles, com base AB. Vemos, então, a primeira relação, .

Já que temos esta realação, vamos aplicar a lei dos senos nos triângulos BPC e APC, chamaremos . Começamos com APC:

Sabemos que , portanto:

(1)

Antes de continuarmos, vejamos uma relação entre ângulos. Como a soma dos ângulos do triângulo ABC é 180°, podemos concluir que o ângulo BCP vale 80°. Consequentemente, temos o ângulo PBC valendo .

Agora, aplicamos a lei dos senos no triângulo BPC.

Sabemos que a=b e podemos substituir a equação (1):

Abrimos a subtração no seno desta equação utilizando a fórmula

:

Aplicamos então a relação com a=10°.

Seja C a circunferência . Considere em C a corda AB cujo ponto médio é M(2;2). O comprimento de AB é igual a:

(A) (B) (C) (D) (E)

Analisando a equação da circunferência, vemos que as coordenadas do centro são (1, 3). Lembrando que para calcular o X do centro pega-se o coeficiente da equação que contém “X” e divide-se por (-2), no caso o coeficiente é –2, ao dividir por (–2) resulta 1. Para calcular a coordenada Y do centro, pega-se o coeficiente do termo que possui "Y" na equação e divide-se por (–2) também, no caso o nosso coeficiente de "Y" é –6, ao dividir por (–2) resulta 3.

Utilizando a fórmula do raio de uma circunferência, concluímos que o raio desta circunferência será:

Onde Xc é a coordenada X do centro, Yc é a coordenada Y do centro, e F é o termo independente da equação da circunferência. Substituindo pelos valores, temos:

O ponto (2,2) é o ponto médio de uma corda AB desta circunferência, vamos calcular a distância deste ponto até o centro da circunferência.

A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:

Queremos saber a distância entre (2, 2) e (1, 3), substituindo os valores, temos:

Pronto, temos informações suficientes para resolver o problema, veja o desenho abaixo:

A distância AB que é pedida, nada mais é do que o dobro da medida PB, que podemos calcular utilizando Pitágoras no triânculo PCB, veja que o segmento CB vale pois é exatamente o raio da circunferência. Aplicando Pitágoras, temos:

Como o exercício pede o valor de AB que é o dobro deste valor, a resposta é .

Sabendo que o comprimento do segmento AB da figura abaixo é 12. Qual o valor

da área hachurada (desprezando-se as casas após a vírgula)? Utilize

(A) 10 (B) 14 (C) 20 (D) 28 (E) 56

Vamos colocar alguns "incrementos" na figura para melhor podermos calcular:

Vamos chamar o raio do círculo de centro C2 de “R” e o raio do círculo de centro C1 de “r”. Portanto, o raio do círculo maior (de centro C) será (2R + 2r)/2 = R + r

Utilizando a fórmula da área de um círculo, vamos achar a área da círcunferência de centro C e raio = R + r

Area(C) = π(R+r)²Area(C) = π (R² + 2Rr + r²)Área(C) = π R² + 2 π Rr + π r²

Agora vamos achar a área do círculo de centro C1:

Área(C1) = πr²

E a área do círculo de centro C2:

Área(C2) = πR²

Portanto, a área hachurada será a área do círculo externo menos as áreas dos dois círculos internos, ou seja

Area(hachurada) = π R² + 2 π Rr + π r² - πR²- πr²Area(hachurada) = 2 π Rr

Agora devemos olhar para o triângulo CEA.Se o ponto C é o centro do círculo externo, o segmento CF mede R + r. Como o segmento EF vale 2r, então o segmento CE vale (R + r) - 2r, que resulta CE=R - r.

O segmento CA é o raio do círculo externo, então vale R + r, e o segmento AE é metade do segmento AB, então vale 6. Com isso temos o triângulo retângulo ACE. Aplicando Baskhara temos:

(R + r)² = (R – r)² + 6²R² + 2Rr + r² = R² - 2Rr + r² + 364Rr = 36Rr = 9

Agora, substituindo este valor na fórmula da Área(hachurada), temos:

Area(hachurada) = 2 π Rr

Area(hachurada) = 2 π 9

Area(hachurada) =18*(22/7)

Area(hachurada) = 56 (Desprezando as casas decimais) Resposta certa, letra "E"

O segmento AB é uma das cordas da circunferência de centro C(2;2). Se M(1;1) é o ponto médio de AB e se um dos pontos de interseção da reta CM com a circunferência é D(0;0). Quais os pontos das extremidades de AB?

Veja o desenho que ilustra a situação acima:

Olhando para este desenho, podemos ver que o raio da circunferência será igual à distância do centro (2; 2) ao ponto D(0; 0). Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, temos:

Agora vamos substituir pelos nossos pontos

Este é o valor do raio da circunferência, agora vamos colocar esta informação na figura e "mexer mais uns pauzinhos".

Note que a distância do ponto C ao ponto B é justamente o raio da circunferência, assim como a distância do ponto C ao ponto A. Veja a figura abaixo.

Sabendo que a reta CD é a mediatriz do segmento AB, portanto, está a 90o do mesmo (como no desenho), e por isso conseguimos deduzir a equação da reta AB.

Primeiro vamos olhar para a reta CD. Sabendo as coordenadas dos pontos C e D, conseguimos deduzir que o coeficiente linear da reta CD é zero, pois passa pela origem (0; 0). Usando a fórmula do coeficiente angular de uma reta, calculamos a equação da reta CD.

Substituindo pelos nossos valores:

Portanto, a equação da reta CD é Y=X. E como a reta AB está perpendicular à CD terá a equação da seguinte forma:

Y = -X + b

Onde "b" é o coeficiente linear da equação que ainda não sabemos, mas sabemos que esta reta irá passar pelo ponto M(1; 1), substituindo estas coordenadas na equação, temos:

1 = -1 + bb = 2

Pronto, a equação da reta AB é Y=-X+2.Portanto, o ponto A e o ponto B terão coordenadas do tipo

A (Xa; Ya) B (Xb; Yb)

Sabendo que Y=-X+2, temos

A (Xa; -Xa+2) B (Xb; -Xb+2)

Sabemos que ambos os pontos estarão a uma distância de do C(2; 2). Então vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos para podermos deduzir as coordenadas dos pontos A e B.

Vamos elevar os dois lados da igualdade ao quadrado para tirarmos as raízes quadradas.

Chegamos em uma equação do segundo grau. Vamos aplicar Bhaskara e achar suas raízes.Aplicando Bhaskara, achamos estes pontos como raízes, ou seja, como coordenadas X dos pontos que estão a uma distância de do centro. Portanto, são as absissas (coordenadas X) dos pontos A e B.

Agora, para achar qual a coordenada Y de cada um deles, simplesmente substituímos estes valores na equação da reta AB que já

sabemos: Y = - X + 2

Portanto, os pontos A e B têm as seguintes coordenadas

Pronto, está aí a solução para este exercício!!!! :)

Há 18 anos Hélio tinha 3 vezes a idade do filho, agora tem 2 vezes essa idade. Qual a idade do filho e de Hélio?

Vamos dizer que Hélio possui X anos, e seu filho possui Y anos.

Vamos analisar a primeira frase.

Se hoje eu tenho 20 anos, há 18 anos atrás eu tinha 20-18, ou seja, tinha 2 anos.

Se Hélio tem hoje X anos, há 18 anos atrás ele tinha X-18 anos, e seu filho tinha Y-18 anos.

É dito na primeira frase que a idade de Hélio era 3 vezes a idade do filho nesta época, portanto:

X - 18 = 3 . (Y - 18)

Esta é a nossa primeira equação.

Agora vamos analisar a segunda frase. Diz que hoje a idade de Hélio é 2 vezes a idade do filho, portato:

X = 2 . Y

Agora sabemos o valor de X, vamos substituir este valor na primeira equação. Veja:

2Y - 18 = 3.(Y - 18)

2Y - 18 = 3Y - 54

54 - 18 = 3Y - 2Y

Y = 36

Veja que acabamos de descobrir a idade do filho de Hélio, portanto, Hélio terá 2 vezes esta idade, ou seja, 72.

Hélio tem 72 anos e seu filho tem 36.

( IME - 2001 ) Considere a figura abaixo, onde AB=AD=1, BC=x, AC=y, DE=z e AE=w. Os ângulos DÊA BCA e BFA são retos.

a) Determine o comprimento de AF e BF em função de x, y, z e w b) Determine a tangente do ângulo α em função de x, y, z e w

Para resolver o item "a", devemos visualizar o triângulo abaixo:

Note que as medidas pedidas são os catetos do triângulo vermelho. Para achar estes valores, vamos aplicar as fórmulas do seno e do cosseno do ângulo (β + θ):

Aplicando a fórmula do seno da soma de dois ângulos e do cosseno da soma de dois ângulos, temos:

(1)

(2)

Agora, para saber os valores dos cossenos e senos necessários, vamos olhar para outros triângulos:

Pelo triângulo acima laranja acima, podemos visualizar os valores das funções trigonométricas do ângulo β:

Agora, olhando para o triângulo verde abaixo:

Podemos calcular as funções trigonométricas do ângulo θ :

Agora, sabendo todos os valores necessários, podemos voltar para as equações (1) e (2) e substituir:

(1)

Estas são as respostas para o item "a" do exercício.

O item "b" agora fica fácil, olhando o triângulo vermelho da primeira figura, vemos que:

Substituindo pelos valores encontrados no item "a":

Esta é a resposta para o item "b".

Uma alga cresce de modo que a cada dia ela cobre a superfície de área igual ao dobro da coberta no dia anterior. Se esta alga cobre a superfície de um lago em 100 dias, assinale a alternativa correspondente ao número de dias necessários, para que duas algas da mesma espécie da anterior cubram a superfície do mesmo lago.

(A) 50 dias. (B) 25 dias. (C) 98 dias. (D) 99 dias. (E) 43 dias.

Vamos analisar cada um dos casos. No primeiro momento temos uma alga crescendo de acordo com uma P.G. de razão 2 (dobrando). É dito que esta alga irá demorar 100 dias para cobrir o lago, portanto, o centésimo termo da P.G. será exatamente o tamanho do lago (já que cada termo da P.G. é o espaço coberto pela alga e no centésimo dia ela cobrirá todo lago).

Como não é mencionado quanto ela cobriu no primeiro dia, vamos chamar de a1. Sendo assim:

Guardamos esta informação.

No segundo momento é perguntado quantos dias duas algas (iguais) irão cobrir o lago.

Ainda podemos dizer que temos uma P.G.. Veja a representação gráfica de um pedaço do lago abaixo:

Note que as duas algas, no primeiro dia, cobriram 2 espaços (o equivalente a 2a1), no segundo dia, 4 espaços, e assim por diante. Ou seja, mesmo com duas algas, continuamos com uma P.G. de razão dois. Portanto, no último dia (que ainda não sabemos, vamos chamar de "n-ésimo" dia) ela irá cobrir toda a extensão do lago. Aplicando a fórmula do termo geral:

Esta será a área coberta pelas duas algas no n-ésimo dia. Queremos saber quando

ela irá cobrir o lago inteiro, ou seja, quando ela irá cobrir que é o valor da área total do lago. Portanto, igualando:

Podemos cortar os fatores a1:

Cortando as bases:

n = 99

Resposta correta, letra "D".

( CESGRANRIO - 91 ) Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada de modo que o vértice C coincide com o ponto M médio de AB. Se o lado de ABCD é 1, o comprimento de BP é:

(A) 0,300 (B) 0,325 (C) 0,375 (D) 0,450 (E) 0,500

Como o exercício pede o valor de BP, vamos chamar este valor de "x". Para melhorar os cálculos, marcaremos o ponto P e o comprimento "x" na folha ainda não dobrada. Veja a figura abaixo:

Sabemos que o lado vale 1, portanto, o comprimento de CP irá valer (1 - x) e o comprimento de MB irá valer a metade do lado (pois é o ponto médio), ou seja, valerá 1/2. Marcando na figura, teremos:

Agora, quando dobrarmos, devemos manter estes valores. Veja a figura:

No triângulo retângulo MBP podemos aplicar pitágoras e achar o valor de "x":

Calculando o produto notável da esquerda e o quadrado da direita:

Aplicando MMC na direita:

Passando o -2 dividindo para o lado direito:

Efetuando a divisão:

x = 0,375

Resposta correta, letra "C".

Qual o valor de "x" na equação

Em uma primeira visualização, esta questão parece muito assustadora. Para resolvê-la, devemos fazer uso de uma tática bem legal, que podemos chamar de "Tática recursiva", fazendo com que fique barbadinha de achar o resultado.

Vamos ler a parte esquerda da equação da seguinte forma: "Raiz de x mais raiz de x mais raiz de x..., infinitas vezes". E elevar ao quadrado os dois lados da equação:

Esta operação irá "cancelar" a primeira raiz quadrada do lado esquerdo:

Podemos dizer que esta equação é "equivalente" à primeira, pois apenas elevamos ao quadrado os dois lados da igualdade.

Também podemos, ler esta nova equação da seguinte forma: x mais "raiz de x mais raiz de x mais raiz de x mais raiz de x... infinitas vezes" é igual a dezesseis.

Note que do lado esquerdo da igualdade temos as infinitas raízes que apareciam na equação do enunciado. E nele dizia que estas raízes valem 4. Portanto, podemos substituir e ter a seguinte equação:

(BANRISUL - 2001) O quadrado de área A(x) está inscrito em um quadrado de lado 5, conforme indica a figura abaixo.

O valor mínimo de A(x) é

(A) 6,25 (B) 7,00 (C) 8,33 (D) 12,50 (E) 25,00

Os valores que estão em jogo nesta situação, são: "x" e "5". Portanto, devemos expressar o valor do lado do quadrado cinza utilizando apenas os valores x e 5.

Vamos dar uma olhada no triângulo retângulo verde da figura abaixo:

A hipotenusa deste triângulo é o lado do quadrado cinza. Aplicando pitágoras neste triângulo, temos:

Desenvolvendo a expressão dos parênteses:

Note que a área A(x) do quadrado cinza é justamente lado2, portanto, podemos substituir:

Veja que esta é uma equação do segundo grau (o gráfico é uma parábola), mostrada no desenho abaixo:

O valor mínimo (pedido pelo exercício) da área do quadrado, será exatamente o valor da coordenada Y do vértice desta parábola (Yv).

Lembrando da fórmula do Yv.

Onde

O Yv será:

Yv = 12,5

Resposta correta, letra "D".

No sistema de equações abaixo, qual o valor de x e y?

Em uma primeira vista, este sistema parece ser difícil pois o "x" está no expoente e o "y" não. Isto não é uma coisa muito comum de acontecer em questões de vestibulares, por isso o espanto inicial!!!

Mas, veja bem!! Na segunda equação iremos isolar o valor de "y":

Agora, com este valor em mãos, vamos substituir na primeira equação:

Efetuando a divisão:

Agora, vamos passar todos os valores para base 2:

Pela propriedade de mutiplicação de potências de mesma base, temos:

Cortanto as bases:

Agora, para calcular o valor de "y", vamos substituir este valor de x na primeira equação do enunciado:

( AFA ) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, EFD é um triângulo equilátero e CDE são colineares. Sabendo que CB=FE= u.c., qual a área do triângulo DGH?

u.c. = Unidades de Comprimentou.a. = Unidades de Área

Primeiramente, vamos analisar algumas propriedades do desenho que serão importantes para a resolução.

A primeira propriedade, que é vista de cara, são os valores de comprimento das arestas. Como ABCD é um quadrado e EFD é um triângulo equilátero, podemos colocar o valor

em, praticamente, todas as arestas da figura. Veja o desenho abaixo.

Veja, que, o ponto D divide o segmento CE em dois segmentos de mesmo comprimento, portanto, é o ponto médio.

Prolongando o segmento BA e traçando uma paralela a BC passando por E temos um retângulo que pode nos auxiliar a "pegar" outra propriedade bem interessante. Veja a figura abaixo:

Note, que, o segmento BE é a diagonal do retângulo BPEC. Como D é o ponto médio de CE, e o segmento DA é paralelo à BC, o ponto G será o ponto médio da diagonal do retângulo, portanto, será o ponto médio do segmento AD. Sendo assim, o comprimento de GD será a metade de DA, ou seja, .

O triângulo GDE é retângulo, portanto, já sabemos o valor de sua base e de sua altura. Com isso, podemos calcular o valor da área, ou seja, chamando esta área de AGDE, temos.

Calculando:

AGDE = 11 u.a.

Guardaremos este valor para uso futuro.

Sabemos que o ângulo interno de um triângulo equilátero é 60o, portanto, o ângulo HDE irá valer 60o. Colocando na figura, vemos que o ângulo GDH só poderá valer 30o para completar os 90o do ângulo GDE. Veja o desenho ao lado:

Pronto, já temos todas informações necessárias para calcularmos a área desejada. Para facilitar a visualização, vamos trabalhar somente com o triângulo GDE da figura original, pois o restante já não será mais útil.

Note, que, o lado DH foi chamado de "X".

Relembrando a fórmula de trigonometria da área de um triângulo, poderemos calcular a área do triângulo hachurado assim que calcularmos o valor de "X". Para isso, vamos observar as áreas dos triângulos GDH e DHE por esta fórmula.

Observe, que, a soma destas duas áreas irá resultar, exatamente, a área do triângulo GDE (que calculamos anteriormente, AGDE = 11 u.a.). Portanto, falando matematicamente, podemos escrever:

Substituindo os valores:

Lembrando:

Podemos substituir:

O denominador 2 é comum às duas frações. Sendo assim, podemos escrever:

"Passando" o 2, que está dividindo o lado direito, multiplicando para o lado esquerdo e efetuando as multiplicações do numerador da fração maior, temos:

Novamente, o 2 é denominador comum, podemos escrever:

"Passando" o 2 que está dividindo para o outro lado multiplicando:

Do lado direito da equação, podemos colocar o fator " " em evidência:

Vamos isolar o valor "X":

Agora, com o valor de "X" em mãos, calcularemos a área do triângulo hachurado pela fórmula da trigonometria (vista anteriormente):

O fator pode ser anulado e sen(30o)=1/2:

Efetuando a multiplicação:

Efetuando a divisão das frações:

Calculando:

Simplificando:

Racionalizando:


Ufa, esta é a resposta final!! :)

(IME) Demonstrar que é isósceles o triângulo ABC cujos ângulos A e B verificam a equação

Para tal demonstração, devemos restruturar a equação. Veja a seguir:

Veja que não houve modificação numérica, apenas uma mudança estética para podermos utilizar algumas ferramentas. O co-seno ao cubo foi separado em uma multiplicação de um linear por um quadrado e multiplicamos os dois lados da igualdade, duas vezes, por 2. Vamos nos atentar para os fatores grifados abaixo:

Aplicando a fórmula de prostaférese nos fatores grifados acima, teremos:

PROSTAFÉRESE I

sen(X + Y) + sen(X - Y) = 2 . sen(X) . cos(Y)

A demonstração é simples. Aplique a fórmula do seno da soma de arcos e verifique a expressão :-)

Agora vamos aplicar a fórmula do co-seno do arco duplo nos dois co-senos ao quadrado

que sobraram e trocar o :

CO-SENO DO ARCO DUPLO

cos(2X) = cos2(X) - sen2(X)

Podemos substituir o sen2(X) por (1-cos2(X))cos(2X) = cos2(X) - (1 - cos2(X))

cos(2X) = 2cos2(X) - 1

2cos2(X) = cos(2X) + 1

Efetuando as multiplicações:

Dá para cortar a parcela sen[(A+B)/2] e colocar em evidência os fatores que possuem sen[(A+B)/2] e sen[(A-B)/2].

Podemos aplicar, novamente, as fórmulas de prostaférese na soma e na subtração de co-senos acima.

PROSTAFÉRESE II

Podemos cortar os fatores 2 que estão multiplicando todas as parcelas. Mas devemos ter uma atenção redobrada neste momento. Note que há também um fator sen[(A-B)/2] que também está presente em todas as parcelas. Mas este nós não podemos cortar, pois poderíamos estar cometendo o erro de dividir por ZERO, que é algo que não existe. Portanto, vamos apenas colocar este fatore em evidência.

Esta é a equação que vai finalizar o problema. Veja que temos uma multiplicação de dois fatores resultando ZERO. Isto só irá ocorrer quando, necessariamente, um dos fatores for ZERO. Vamos igualar o primeiro a ZERO.

Como queríamos demonstrar. Já que o exercício não pede para provar a unicidade desta solução, podemos dar como terminada a resolução. Se você quiser, iguale também o segundo fator a zero e veja o que acontece.

TRIGO

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