CTI-UNESP-BAURU

Drielly Vicente Bezerra Finco Nº 8 11A

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Ponto - figura geométrica sem dimensão, extensão ou profundidade.

É caracterizado por sua posição no espaço através de coordenadas.

- Nomenclaturas:

Colineares ou não-colineares, coplanares ou não-coplanares, móvel ou

fixo, interiores ou exteriores.

Reta - É uma linha infinita e que tem uma única direção. Uma reta é

o caminho mais curto entre dois pontos quaisquer.

- Nomenclaturas:

Reta Qualquer ou Genérica, Reta Horizontal, Reta Frontal, Reta Vertical,

Reta de Topo, Reta Fronto-Horizontal, Reta de Perfil, reta tangente ou

cotangente, reta secante ou cossecante, Reta Orientada.

Semi-reta - Linha que é infinita em uma direção e finita em outra.

- Nomenclatura:

Bissetriz

Segmento de reta - Linha que é finita em ambos os lados.

Raio, corda.

- Nomenclaturas:

Altura e Mediana, Segmento orientado, Segmentos Opostos, Segmentos

Equipolentes.

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Ângulo

- Nomes:

Nulo, Agudo, Reto, Obtuso, Raso, Côncavo, Giro ou Completo.

Ângulo Agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0º e menor do que

90º.

Ângulo Reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente

90º. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.

Ângulo Obtuso: É um ângulo cuja medida está entre 90º e 180º.

Ângulos Complementares: Dois ângulos são Complementares quando

a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o

complemento do outro.

Ângulo de Aclive: ângulo de inclinação pra cima.

Ângulo de Declive: ângulo de inclinação pra baixo.

Ângulos Suplementares: Dois ângulos são Suplementares quando a

soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o

suplemento do outro.

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Triângulo

- Nomes: triângulo eqüilátero, triângulo isósceles, triângulo escaleno,

triângulo obtusângulo, triângulo acutângulo.

Ângulos internos e externos do triângulo Ângulos Internos:

Os ângulos internos do triângulo são os ângulos cujos vértices são os vértices do triângulo e os lados contêm os lados do triângulo. Assim temos três ângulos internos: ângulo ABC, ângulo ACB e ângulo BAC.

Ângulos Externos:

O ângulo externo de um triângulo é igual à soma das amplitudes dos outros dois ângulos internos não adjacentes ao mesmo.

Soma dos ângulos internos de um triângulos: soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus, isto é:

a + b + c = 180º

Altura: é um segmento (conhecido nesse caso como ceviana) que liga

um vértice ao lado oposto de forma perpendicular.

Mediana:é um segmento (também conhecido como ceviana) que liga um

vértice ao lado oposto no seu ponto médio. Por isso é dito que a mediana

divide o lado ao meio. O triângulo possui 3 medianas, uma para cada

vértice.

Bissetriz:é um segmento (ceviana) que liga um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo formado nesse vértice ao meio. Em um triângulo há 3 bissetrizes internas.

Mediatriz: segmento perpendicular a um lado do triângulo, e que o intercepta

em seu ponto médio. Em um triângulo existem 3 mediatrizes.

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Triângulo Equilátero:

Características : A principal característica de um triângulo equilátero é

que possui os 3 lados congruentes e 3 angulos de 60 graus cada.

Triângulo isósceles:

Característica: Tem apenas dois lados com o mesmo comprimento.

Triângulo escaleno:

Características: as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos

internos também possuem medidas diferentes.

Triângulo acutângulo:

É um triângulo com os três ângulos agudos.

Triângulo obtusângulo:

É um triânguo com um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.

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Triângulo Retãngulo :

Características : todo triângulo retângulo tem um ângulo de 90°(ângulo

reto). Possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos.

Cateto:

São os dois lados menores do triângulo retângulo.

Hipotenusa:

O lado mais longo de um triângulo retângulo, aquele oposto ao ângulo

reto.

Cateto oposto:Cateto oposto é o cateto oposto ao ângulo agudo do

triângulo.

Cateto adjacente:é o cateto que está junto ao ângulo agudo.

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Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras estabelece uma relação simples entre o

comprimento dos lados de um triângulo retângulo. Ele nos permite

calcular um lado de um triângulo retângulo conhecendo os outros dois.

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à

soma dos quadrados dos catetos .

Se c designar o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos

catetos, o teorema afirma que:

Não se sabe ao certo qual foi a demonstração utilizada por

Pitágoras, mas, muitos autores concordam que ela foi feita através

da comparação de áreas.

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Triângulos semelhantes

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela

expansão uniforme do outro. Este é o caso se seus ângulos

correspondentes são iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois

triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse ângulo.

Se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo

similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior

que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será

duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo.

Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a

mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

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Teodolito

Teodolito é um instrumento utilizado em agrimensura para medir

ângulos e direções inferiores a um segundo de arco (1/3.600 de

grau). É semelhante ao trânsito,instrumento mais comum.Mais um

teodolito permite leituras mais precisas que o trânsito.Ele é um

instrumento portátil de astronomia e de geodésia que serve para

medir ângulos horizontais e verticais.

Um teodolito possui uma luneta que permite visão apurada em

qualquer direção.Uma placa horizontal embaixo da luneta fornece

leituras no horizonte em graus,minutos e segundos.Uma placa e

uma escala verticais,montadas á esquerda da luneta,permitem a

tomada de leituras verticais.Em sua maioria,os teodolitos são

montados em um tripé ( base de três pés).

Um teodolito bem nivelado pode ser utilizado como um trânsito

astronômico para a determinação da latitude de um lugar.Para

isso,focaliza-se a luneta na direção do sol ou de alguma outra

estrela,lêem-se as medidas no teodolito e efetuam-se cálculos

matemáticos.

O teodolito é composto por uma estrutura fixa sobre a qual repousa

um limbo horizontal e uma alidade móvel em torno de um eixo

vertical.

A alidade suporta a luneta de visada ( móvel em torno do eixo dos

munhões da alidade) e os aparelhos de leitura do limbo

( nômios,micrômetros ópticos ou desviadores de lâmina de faces

paralelas). Utilizados também em topografia,os teodolitos a laser

possibilitam operações de alinhamento.

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Estar no prumo é estar alinhado na vertical e na horizontal,nivelado,

em linha reta!

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Trigonometria

Definição:

A trigonometria (do grego trigonon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos ângulos do triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo). Também estuda especificamente as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos; as funções trigonométricas, e os cálculos baseados nelas. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.

Aplicação:

A Trigonometria nasceu por volta do ano 300 a.C. entre os gregos, para resolver problemas de Astronomia Pura e Navegação Astronómica. As suas primeiras aplicações práticas ocorrem só com Ptolemeu (150 d.C.), o qual, além de continuar a aplicá-la nos estudos astronómicos, a usou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.

Na idade Média, os conhecimentos geográficos do homem europeu eram muito limitados e confusos. Imaginava-se a Terra como um grande quadrado ou como um disco achatado, limitado ao Norte por gelos inacessíveis e ao Sul por ondas em ebulição. Considerava-se a Europa o centro do mundo e que para além dela nada mais havia do que a África Setentrional e uma pequena parte da Ásia . Não se sabia da existência da América, da Oceânia e do oceano Pacífico.Devido ao papel divulgador dos árabes, que empreendiam grandes viagens e eram bons geógrafos, difundiram-se os conhecimentos dos sábios gregos.As técnicas de navegação e construção naval tinham já progredido de forma notável mas, não podendo orientar-se com precisão, os marinheiros não se afoitavam muito no mar alto. O emprego da bússolae do astrolábio deu aos marinheiros a possibilidade de se orientarem pelos astros e permitiu-lhes a ousadia de se afastarem da costa.Mas de nada teriam servido todos estes instrumentos sem uma ciência que fosse capaz de processar os dados obtidos através dos mesmos, de forma a se obter informações úteis para os marinheiros da altura que dependiam totalmente da navegação astronómica. Foi aí que surgiu a Trigonometria, o ramo da matemática responsável pelo estudo das relações entre os lados e ângulos dos triângulos.Na actualidade encontram-se aplicações para a trigonometria nas telecomunicações, na música, na determinação de distâncias entre estrelas, na medicina, na física, na sociologia e em muitas outras áreas científicas. Como tal, o seu estudo é indispensável para engenheiros, físicos, informáticos e praticamente para todos os cientistas.As funções trigonométricas podem ser vistas, por um lado, como funções que, a cada ângulo, se faz corresponder um número real. Por exemplo, para calcular distâncias entre estrelas e planetas, ou para determinar distâncias inacessíveis só necessitamos de medir a amplitude dos ângulos.Por outro lado, a trigonometria faz corresponder a cada número real um número real. Por exemplo, as funções trigonométricas do seno e do co-seno são utilizadas para procurar modelos matemáticos para fenómenos cíclicos, tais como variações de temperatura ou o movimento das marés. Na física as funções trigonométricas aparecem ligadas ao movimento harmónico.

Histórico

A palavra Trigonometria tem origem grega: TRI (três), GONO (ângulo) e METRIEN (medida). Significa medida de triângulos. Trata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo.

Apesar dos egípcios e dos babilónios terem utilizado as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos, para resolver problemas, foi a atracção pelo movimento dos astros que impulsionou a evolução da Trigonometria. No séc. III a.C., Arquimedes de Siracusa no seguimento do trabalho que desenvolveu para calcular o perímetro de um círculo dado o respectivo raio, calculou o comprimento de grande número de cordas e estabeleceu algumas fórmulas trigonométricas.

As medições e os resultados dos cálculos feitos pelos astrónomos eram registados em tábuas. As tábuas babilónicas revelam algumas semelhanças com as tábuas trigonométricas.

Surgiu então, na segunda metade do século dois a.C., um marco na história da trigonometria: Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.). Influenciado pela matemática da Babilónia, acreditava que a melhor base de contagem era a 60. Não se sabe exactamente quando se tornou comum dividir a circunferência em 360 partes, mas isto parece dever-se a Hiparco, assim como a atribuição do nome arco de 1 grau a cada parte em que a circunferência ficou dividida. Ele dividiu cada arco de 1° em 60 partes obtendo o arco de 1 minuto. Hiparco baseava-se numa única função, na qual a cada arco de circunferência de raio arbitrário, era associada a respectiva corda.Hiparco construiu a primeira tabela trigonométrica com os valores das cordas de ângulos de 0° a 180°.Assim, Hiparco representou um grande avanço na Astronomia e por isso recebeu o título de “Pai da Trigonometria”.

Outra tábua, também de cordas, mas mais completa foi construída por Ptolomeu (séc. II). Esta já possuía cordas para ângulos crescentes, desde 0º até 180º, em intervalos de 1/2 graus. O raio usado era diferente do de Hiparcus, sendo também fixo e muito grande. Note-se que o facto de usar um raio muito grande diminui o uso de fracções.

Foi Ptolomeu (séc. II) quem influenciou o desenvolvimento da Trigonometria, durante muitos séculos. A sua obra Almagesto contém uma tabela de cordas correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série de proposições da actual disciplina. No Almagesto reuniu os conhecimentos existentes na época sobre Astronomia e Trigonometria e a que os árabes tiveram acesso. Estes introduziram os conhecimentos de Trigonometria para a Europa através de Espanha.

A relação da Astronomia com a Trigonometria fez com que esta se desenvolvesse aplicada a triângulos curvos de lados curvilíneos que se formam sobre a superfície esférica. Assim, a Trigonometria Esférica desenvolveu-se anteriormente à Trigonometria Plana, o que se deveu ao facto de a Trigonometria Esférica ser muito utilizada nos cálculos astronómicos e na navegação, sendo sistematizada por árabes e hindus até meados do séc. XIII. A contribuição destes foi bastante grande, tendo calculado tabelas de senos para intervalos com variação de 15’. A palavra sinus – seno – é a tradução, em latim, da grafia árabe do sânscrito jyã. O seno correspondia a metade da corda do arco duplo e os árabes e os hindus usavam, geralmente, círculos de raio unitário.O recurso constante ao círculo trigonométrico e a aplicação da Trigonometria à resolução de problemas algébricos é feita por Viète– séc. XVI – que estabeleceu também alguns resultados importantes.Contudo, foi Euler (séc. XVIII) que, ao usar invariavelmente o círculo de raio um, introduziu o conceito de seno, de co-seno e de tangente como números, bem como as notações actualmente utilizadas.

O primeiro vestígio do tratamento funcional da Trigonometria surgiu em 1635, quando Roberval fez o primeiro esboço de uma curva do seno. Mas, a ligação da Trigonometria à Análise só é feita por Fourier (séc. XIX), como consequência do estudo dos movimentos periódicos por ele efectuado.As funções trigonométricas como o seno, o coseno e a tangente, relacionam medidas de ângulos, a medidas de segmentos de recta a eles associados.

Actualmente a trigonometria não se limita a estudar os triângulos. Encontramos aplicações na mecânica, electricidade, acústica, música, astronomia, engenharia, medicina, enfim, em muitos outros campos da actividade humana. Essas aplicações envolvem conceitos que dificilmente lembram os triângulos que deram origem à trigonometria:

Há métodos actuais de análise em medicina, onde são enviadas ondas ao coração, de forma que efectuem interacções selectivas com os tecidos a observar.

Geodésia: estudo da forma e dimensão da Terra

Método do momento eléctrico para cálculo de linhas de transporte de energia eléctrica: permite calcular com grande sensibilidade a potência de transporte de linhas, as perdas e a distância a que ela poderá ser transportada Estudo da intensidade luminosa: calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma fonte luminosa para uma determinada direcção

Instrumentos de medidas de ângulos: topografia, ciência náutica e cartografia Numa pesquisa realizada em 1997, com engenheiros que actuam em empresas de grande porte da região da Serra Gaúcha, foi constatado que a trigonometria é o conceito de matemática básica mais utilizado por eles no seu cotidiano.

BIBLIOGRAFIA:http://alfaconnection.net/pag_avsm/geo0300.www.somatematica.com.br http://pt.wikipedia.orghttp://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Pg000330.htmhttp://www.meualuno.com.br/index.php/geometria-animacoes/geometria/55-geometria-animacoes/86-altura-mediana-e-bissetrizhttp://dicionario.babylon.com/trigonometriahttp://anamixa.tripod.com/id9.html