trigonometria1

REVISO DE TRIGONOMETRIA facebook.com/matematica314 mtc314.blogspot.com.br

Aulas Particulares / Concursos / Vestibulares / Consultorias 2 1 - 9 7 5 8 5 - 2 7 0 7 Matemtica / Estatstica / Clculo Prof. Rodrigo Barbosa

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1. ngulos

Os ngulos de que se fala dizem respeito a ngulos no plano. (Existe os chamados ngulos slidos, definidos no espao, mas

esto fora do mbito desta Reviso.)

Assim, temos que o ngulo ao centro definido pela duas semi-rectas da figura 1. Este o ngulo mais pequeno definido pelas duas semi-rectas (repare que tm a mesma origem, o vrtice no centro da figura). Outro ngulo definido pelas semi-rectas o ngulo , que de abertura visivelmente maior que o ngulo . Por definio, uma volta completa no plano define o ngulo de 360, isto ,

+ = 360 .

No plano, o sentido positivo atribudo aos ngulos contrrio ao dos ponteiros do relgio. Na figura 2 est indicado o sentido de

crescimento de um ngulo. O ngulo aumenta se a abertura aumentar no sentido indicado pela seta. O sentido negativo definido pela semi-recta OA movendo-se no sentido horrio.

Em trigonometria, especialmente quando se usam funes trigonomtricas, definidas mais adiante, costume usar outra unidade

para os ngulos em vez da indicada: o radiano. definido de tal forma que um ngulo de radianos igual a 180:

radianos = 180,

em que o nmero irracional =3,1415927..., definido pelo quociente entre o permetro de uma circunferncia e o seu dimetro. usual no indicar a unidade radianos quando nos referimos a um ngulo nestas unidades, quando no h perigo de confuso. Assim teremos,

por exemplo, que = /4 = 45. Para ngulos em unidades de grau de arco, necessrio indicar o smbolo " " para distinguir da unidade radiano. H mais outra unidade de ngulo no plano, o grado, definida tal que 90 = 100 grados, mas menos utilizada que qualquer das

anteriores.

1.1. ngulo trigonomtrico

Um ngulo pode ter o valor real que se desejar. No entanto, a semi-recta que d o ngulo (com outra semi-recta, fixa, de

referncia) completa uma volta aps 360, duas voltas aps 720, etc., ou uma volta no sentido contrrio, e nesse caso diz-se que

descreveu um ngulo de 360. O menor ngulo descrito pela semi-recta o ngulo trigonomtrico, e para o ngulo descrito pela semi-recta tem-se:

= + k 360, (1.1)

em que k um nmero inteiro. O ngulo o de maior interesse em trigonometria, em particular no que toca s funes trigonomtricas, abordadas posteriormente. Por exemplo, se x = + m 360 e y = + n 360 (m e n nmeros inteiros), para igualar os ngulos x e y necessrio que m=0 e n=0 (por exemplo), uma condio trivial.

A razo para a existncia desta periodicidade para ngulos prende-se com o carcter das funes trigonomtricas, o qual ser

discutido adiante. No entanto, necessrio definir univocamente a aplicao que d o ngulo definido por duas rectas que se intersectam.

Figura 1. ngulo . Figura 2. O ngulo definido no sentido horrio.

vrtice

A

O



2

Portanto, e para esse efeito, medem-se os ngulos num domnio que vai de 0 a 360 (ou, o que equivalente, de 0 a 2 radianos), para que no haja lugar para dvidas; no caso de um ngulo no plano, ser de 0 a 180, visto que para ngulos entre 180 e 360 j haver outro ngulo mais pequeno definido pelas duas rectas dadas e que ser inferior a 180.

1.2. Classificao de ngulos

1.2.a. quanto abertura

1) ngulo nulo: = 0 figura 3.a.

2) ngulo agudo: 0 < < 90 figura 3.b. Reparar que um ngulo agudo toma sempre um valor entre 0 e 90, nunca tomando qualquer destes valores. Exemplos: = 30 , = 75,4 , = 89,99 (nunca igual a 90 ou 0 !).

3) ngulo recto: = 90 figura 3.c.

4) ngulo obtuso: 90 < < 180 figura 3.d. Novamente, o ngulo obtuso apenas toma os valores intermdios, nunca os dos extremos que o define.

Figura 3.d. ngulo obtuso. Figura 3.e. ngulo raso. Figura 3.f. ngulo giro. (90 < < 180) ( = 180) ( = 360)

Figura 3.a. ngulo nulo. Figura 3.b. ngulo agudo. Figura 3.c. ngulo recto.

( = 0) (0 < < 90) ( = 90)

Figura 3.g. ngulos complementares. Figura 3.h. ngulos suplementares. Figura 3.i. ngulos vertic. opostos.

( + = 180) ( + = 90) ( + + + = 360)



3

5) ngulo raso: = 180 figura 3.e.

6) ngulo giro: = 360 figura 3.f.

Quando se chega a um ngulo 360, j se descreveu uma volta completa no plano pelo que a abertura definida por um ngulo giro (de 360) a mesma que definida pelo ngulo raso. Na verdade, e por essa razo, muitos autores identificam o ngulo de 0 (ou

360, o que equivalente como acabmos de ver) como ngulo raso ou giro. Para ngulos superiores a 360, voltamos novamente ao

princpio da a definio peridica para o ngulo dada pela expresso (1.1). Assim sendo, um ngulo de 390 ser equivalente a outro de 30:

390 = 30 + 1 360 .

1.2.b. quanto ao posicionamento (relativamente a outros ngulos)

1) ngulos complementares: + = 180 figura 3.g. Diz-se que e so complementares, ou que complementar de , e vice-versa. Naturalmente, 0 < < 180, e tambm (com + = 180)!

2) ngulos suplementares: + = 90 figura 3.h. Diz-se que e so suplementares, ou que suplementar de , e vice-versa. Naturalmente, 0 < < 90, e tambm (com + = 90)!

3) ngulos verticalmente opostos: + + + = 360 figura 3.i. Os ngulos e dizem-se verticalmente opostos. Temos que = , e tambm = , que tambm so verticalmente opostos.

1.3. Arcos de circunferncia

Um arco de circunferncia definido de uma maneira semelhante que foi feita para um ngulo no plano. Desta feita, define-se

um arco sobre uma circunferncia.

Sobre uma circunferncia, um ponto pode-se mover em dois sentidos. O sentido positivo para os ngulos , por conveno,

anti-horrio, e o negativo o sentido horrio. Dessa forma, quando um ponto da circunferncia se desloca sobre ela do ponto A para B,

diz-se que esse ponto da circunferncia descreveu o arco AB .



4

2. Tringulos So figuras geomtricas definidas numa superfcie plana, constitudas

por trs segmentos de recta cujas extremidades se unem. Sejam ento trs

segmentos de recta, de comprimentos x, y e z. Quando unidas as extremidades,

definem ngulos internos , e . Seja o ngulo mais pequeno definido pelos segmentos de comprimentos x e y. Abusivamente, designarei de agora

em diante x e y os segmentos de recta de comprimento dado pelos valores de x

e y, respectivamente.

Propriedade 1: Todos os tringulos, quaisquer que sejam, que a soma

dos ngulos internos seja 180, isto ,

+ + = 180 .

Isto verifica-se sempre para todos os tringulos constitudos sobre uma superfcie plana(1).

Propriedade 2: A soma do comprimento de dois lados quaisquer sempre maior que o comprimento do terceiro lado.

Por exemplo: se o Gabriel (no vrtice de ngulo ) quiser ir casa da Alexandra (vrtice de ngulo ), percorrer um caminho menor, de comprimento x, indo directamente para l do que passando primeiro pela casa da Beatriz

(ngulo ) e indo depois at casa da Alexandra (num percurso total dado por y + z).

2.1. Semelhana de tringulos

Dois tringulos dizem-se semelhantes quando so homotticos, isto , quando existe uma homotetia entre os dois tringulos os lados dos tringulos so proporcionais entre si. Das seguintes relaes de

semelhana, conclui-se que os dois tringulos a considerar so homotticos:

a) trs lados proporcionais [LLL], ou trs ngulos iguais entre si [AAA]; Este caso trivial, e resulta da definio de homotetia que foi agora

apresentada. O efeito produzido por [LLL] ou por [AAA] o mesmo, e

equivalem-se entre si: dois tringulos com ngulos iguais entre si tm

lados correspondentes com comprimento de igual proporo, e

vice-versa ver figura 5.

b) dois lados proporcionais e um ngulo igual [LLA]; Aqui, dois lados dos tringulos so proporcionais, e um dos ngulos de

um tringulo tem igual abertura ao do ngulo correspondente no outro

tringulo: = e x/x = y/y. Consequncias: z/z obedece mesma proporo entre os comprimentos dos lados, e os ngulos correspondentes nos dois tringulos so iguais entre si.

c) dois ngulos iguais e um lado proporcional [LAA]; Dois ngulos quaisquer so iguais. Tem-se = , = , e um valor para x/x. Ento resulta que o terceiro ngulo igual para os dois tringulos, e que os lados so proporcionais.

Naturalmente, se nenhuma das trs situaes anteriores se verificar, o par de tringulos considerados no so semelhantes.

Estas classificaes no devem ser confundidas com as de tringulo equiltero, issceles e escaleno, definidos a seguir. Enquanto

que aquelas dizem respeito a relaes entre dois tringulos, as ltimas referem-se caracterizao de um nico tringulo.

z

x

y

Figura 4. Um tringulo.

'

=' ' '

Figura 5. Semelhana de

tringulos.



5

2.2. Classificao de tringulos

2.2.a. quanto aos ngulos internos

1) Tringulo acutngulo Todos os ngulos internos so agudos, isto , tm um valor inferior a 90 (mas nunca igual).

2) Tringulo rectngulo

Um dos ngulos internos recto; no caso da figura 6 o ngulo , e portanto temos = 90. Os restante ngulos internos so necessariamente agudos, pois a sua soma tem de ser igual a 90, visto a soma dos ngulos internos de um tringulo ter de ser

180. Logo, esses dois ngulos so suplementares.

3) Tringulo obtusngulo

Um dos ngulos internos obtuso, isto , tem entre 90 e 180; o caso do ngulo 90 < < 180. A soma dos restantes ngulos internos inferior a 90, visto ser condio obrigatria que a soma dos trs ngulos 180. Claro, os restantes ngulos

internos so agudos, pois no ultrapassam 90: a sua soma at inferior a 90.

2.2.b. quanto ao nmero de lados/ngulos iguais

1) Tringulo equiltero

Todos os lados so iguais. Todos os ngulos internos so iguais: = = . Como a soma dos ngulos internos sempre 180, forosamente = = = 60. um tringulo agudo, pois todos os ngulos so menores que 90. Como o nome indica, equiltero todos os lados medem o mesmo: x = y = z .

2) Tringulo issceles

Temos dois lados iguais (y e z, por exemplo), e dois ngulos iguais. Caso y = z, temos = ; ou seja, so iguais os ngulos no comuns aos lados iguais ( e no so comuns aos lados x e y, que so iguais).

3) Tringulo escaleno Todos os lados e ngulos respectivos so diferentes.

No dever confundir estas classificaes com as de semelhana de tringulos (seco 2.1), que dizem respeito a relaes entre

dois tringulos!



6

3. Trigonometria e relaes trigonomtricas Aquando da sua criao pelos matemticos gregos, a

trigonometria dizia respeito exclusivamente medio de

tringulos, e tal como as funes e relaes trigonomtricas

apresentadas a seguir, aplicada exclusivamente ao estudo de

tringulos rectngulos. Porm, as funes trigonomtricas

resultantes, e apresentadas mais adiante, encontram aplicaes

mais vastas e de maior riqueza noutras reas como a Fsica (por

exemplo, no estudo de fenmenos peridicos) ou a Engenharia.

Limitarmo-nos-emos trigonometria no plano. Assuntos

mais elaborados (alguns dos quais leccionados em cursos

universitrios), como desenvolvimentos em srie de Taylor de

funes trigonomtricas, nmeros complexos e funes

trigonomtricas hiperblicas no sero abordados neste texto.

Ainda no intuito de manter a generalidade deste texto, que se

pretende uma simples reviso sobre trigonometria leccionada no

ensino secundrio, no falarei tambm sobre trigonometria

esfrica.

Em trigonometria, os lados dos tringulos rectngulos assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado mais

comprido, oposto ao ngulo recto , chama-se hipotenusa; os lados restantes, ligados ao ngulo recto, chamam-se catetos.

3.1. Teorema de Pitgoras

O gemetra grego Pitgoras (570501 a.C.) formulou o seguinte teorema, que tem hoje o seu nome, e que relaciona a medida dos diferentes lados de um tringulo rectngulo: a soma do quadrado dos catetos igual ao quadrado da hipotenusa. Ou seja, se x e y forem o

comprimento dos dois catetos e h o comprimento da hipotenusa, ter-se-:

x + y = h .

A demonstrao deste teorema pode ser efectuada atravs do clculo de reas de tringulos rectngulos e de quadrados ver figura 7. A rea de um quadrado com comprimento do lado de valor l dada por l2. Para um rectngulo de comprimento de base a e de

altura b a rea dada pelo produto destes dois comprimentos, isto , ab. Se dividirmos esse rectngulo com uma diagonal, teremos dois

tringulos rectngulos, com catetos de comprimento a e b; a rea de cada um , ento, metade da rea do tringulo ab/2.

cateto hipotenusa

y h

x

cateto

Figura 6. Um tringulo rectngulo.

l b

l a

rea: ll = l2 rea: ab

b

a b

a

rea do rectngulo: ab

rea do tringulo: ab/2

Figura 7. reas do quadrado com comprimento l do lado, e do rectngulo com comprimentos a e b dos lados. A

partir da rea do rectngulo fcil ver que a rea de um tringulo rectngulo com comprimento da base a e

altura b (direita) metade da rea do rectngulo com os mesmos comprimento dos lados; ou seja, a rea desse

tringulo ab/2.



7

Observe agora a figura 8. O tringulo rectngulo tem lados de comprimento x e y. Pelo que se disse no pargrafo anterior, a rea

deste tringulo xy/2. O quadrado que est junto ao tringulo foi escolhido de modo a ter comprimento do lado precisamente igual ao

comprimento da hipotenusa do tringulo, ou seja, h. A rea do quadrado , naturalmente, h2. Ora bem, o tringulo pode ser copiado e colado aos restantes lados do quadrado de modo que se juntem as hipotenusas dos tringulos copiados aos lados do quadrado. Isto produz uma nova figura, um quadrado, no qual se inscrevem o quadrado e os tringulos o original e as cpias. Este novo quadrado tem lado com comprimento x+y canto inferior direito da figura 8.

Ora, a rea do novo quadrado (x+y)2, ou seja, x2 + 2xy + y2. Por outro lado, a rea deste novo quadrado igual ao espao

ocupado pelas figuras anteriores o quadrado e os quatro tringulos. Estas cinco figuras tm reas dadas por h2 e xy/2. Como temos quatro tringulos, a rea que todos eles ocupam 4xy/2 = 2xy. Ento, as cinco figuras dentro do quadrado maior ocupam uma rea que

totaliza h2 + 2xy. Mas esta rea igual do quadrado maior, como se v na figura 8. Portanto, temos

x2 + 2xy + y2 = h2 + 2xy x2 + y2 = h2 ,

que justamente a anterior frmula para o teorema de Pitgoras.

3.2. Relaes trigonomtricas de ngulos

Na esmagadora maioria das aplicaes trigonomtricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um tringulo recorrendo a

determinadas relaes dependentes de ngulos internos. Assim, apresentam-se de seguida algumas relaes trigonomtricas com esse fim.

Seno de

h

x

y

h h

x

y

Porque um quadrado,

os comprimentos dos

lados so iguais (h) !

y

x

y x

x+y

x+y

Figura 8. O teorema de Pitgoras pode ser demonstrado atravs de relaes de reas de tringulos e de

quadrados. No fim, a rea ocupada pelo quadrado mais pequeno e pelos quatro tringulos rectngulos

igual rea do quadrado maior (duas ltimas figuras, em baixo direita). A equao do teorema

obtida da relao das reas ocupadas pelas figuras ver texto.



8

o quociente do comprimento do cateto oposto ao ngulo pelo comprimento da hipotenusa do tringulo, ou seja,

h

y

hipotenusa

oposto cateto)sen( .

O seno de pode aparecer com uma das seguintes representaes: sen, sin, sen(), sin().

a) Coseno de o quociente do comprimento do cateto adjacente ao ngulo pelo comprimento da hipotenusa do tringulo, ou seja,

h

x

hipotenusa

adjacente cateto)cos( .

Em geral, o coseno de aparece com uma das duas representaes: cos, cos().

b) Tangente de o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente, ou seja,

x

y

x

h

h

y

hx

hy

/

/

adjacente cateto

oposto cateto)tan( .

usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras: tan, tan(), tg, tg().

c) Co-tangente de definida como o recproco da tangente de :

oposto cateto

adjacente cateto

)tan(

1)cotan(

y

x

.

A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes: cotan(), cotg(), cotan, cotg.

Pelas definies em c) e d), e segundo as definies em a) e b), podemos ver ainda que:

)cos(

)sen()tan(

e

)sen(

)cos()cotg(

.

d) Secante e co-secante de Definem-se ainda as funes secante de e co-secante de como, respectivamente:

x

h

)cos(

1)sec(

e

y

h

)sen(

1)cosec(

.

A secante pode ser representada por: sec(), sec. A co-secante pode ser representada por: cosec(), cosec, csc(), csc.

3.3. Frmula fundamental da trigonometria

A frmula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitgoras.

12

2

2

2222

h

y

h

xhyx .

Pela definio de seno e de coseno de um ngulo, dadas acima por a) e b), temos que:

1)(cos)(sen 22 . (3.1)



9

A equao (3.1) a frmula fundamental da trigonometria. Nela, sen2() = sen() sen(), e o mesmo se sucede para cos2(). Da frmula fundamental da trigonometria ainda possvel extrair outras frmulas importantes; por exemplo, dividindo-a por cos2(), vem:

)(cos

11)(tan

2

2

;

ou, dividindo por sen2():

)(sen

11)(cotan

2

2

.

3.4. Um problema de trigonometria

Por vezes no nos possvel (por quaisquer razes) encontrar os valores dos comprimentos dos lados e dos ngulos a partir dos

dados disponveis chama-se a isto resolver um tringulo. Mas se conhecermos, por exemplo, um ngulo (que no seja o ngulo recto, porque obviamente j conhecido) e um lado de um tringulo rectngulo, podemos encontrar os valores dos ngulos e lados que faltam.

Para isso necessitamos de dispor de uma tabela trigonomtrica ou de uma calculadora, para podermos obter os valores que tomam as

funes trigonomtricas para diferentes ngulos.

Suponhamos, por exemplo, que queramos medir a altura h de uma torre de farol que nos inacessvel, ou para a qual era

incmodo e difcil efectuar directamente uma medio sobre a torre com fita mtrica. Como fazer?

Em primeiro lugar, mediu-se, no ponto A, o ngulo a que a extremidade mais alta da torre faz com a linha de horizonte, e mediu-

se = 20. Depois, afastamo-nos uma distncia apropriada 10 metros, no caso presente(2). Faz-se uma nova medio do ngulo que o cimo da torre faz com a linha de horizonte, e obteve-se o valor = 18.

Consultemos uma tabela, ou usemos uma calculadora cientfica para obter os valores das funes trigonomtricas para os ngulos

mencionados. Na tabela seguinte esto transcritos os valores para os dois ngulos relevantes.

sen() cos() tan()

18 0,309 0,951 0,325

20 0,342 0,940 0,367

Que funes trigonomtricas utilizar? Pretende-se obter a altura da torre, h. No sabemos a distncia no solo at torre, mas

possumos um dado parecido: a distncia entre dois pontos de observao. O problema sugere-nos ento que usemos a funo tangente

para calcular a altura da torre sabemos uma distncia sobre um cateto, e queremos saber o comprimento de outro cateto. Assim, teremos:

= 20 = 18

h = ? m10AB

m10 aABab

A B

a 10m

b

Figura 9. Um problema muito concreto, envolvendo a trigonometria. Qual a altura h da torre, conhecendo-se apenas a

distncia entre os pontos A e B, e os ngulos e ?



10

b

h)tan( e

a

h)tan( .

Talvez possamos usar a tangente, visto h ser comum a tan() e a tan(), como se v pelas duas frmulas acima. Assim, ficamos com:

h = b tan() = a tan() .

E como b = a + 10,

metros 83,20)18tan()20tan(

)18tan(10

)tan()tan(

)tan(10

)tan()tan()tan(10)tan()tan()10(

a

aaa

Por fim, temos que a altura da torre :

h = a tan() = a tan(20) = 30,3 metros .



11

4. Seno, coseno e tangente como funes reais de varivel real

Anteriormente definimos as funes

trigonomtricas atendendo a que os seus

argumentos, o ngulo , era inferior a 90 e superior a 0 pois caso contrrio no teramos

um tringulo rectngulo. Se = 0, teramos um segmento de recta, e se = 90, teramos duas semi-rectas com os pontos de origem

ligados por um segmento de recta, com o qual

so perpendiculares. Temos, pois, que as

funes trigonomtricas, tal como

anteriormente definidas para o tringulo

rectngulo, tm o domnio restringido a 0 < < 90, ou se usarmos radianos, 0 < < 2.

A extenso do domnios das funes

trigonomtricas a toda a recta real faz-se

recorrendo ao crculo trigonomtrico. Ele

definido por uma circunferncia de raio unitrio

(isto , igual a um) centrada na origem dos

eixos coordenados.

O tringulo [OPx] rectngulo no ngulo com o eixo das abcissas o eixo dos XX como se pode ver pela figura. Visto a circunferncia ter raio r = 1, todos os pontos

distam da origem da mesma distncia, r. Logo,

o segmento [OP] tem comprimento 1OP .

Assim sendo, o quociente y/r representa o seno de , sendo r a hipotenusa. Da mesma forma, x/r representa o coseno do ngulo . Desta forma, posso definir o seno e o coseno do ngulo para todos os valores de , e no somente para aqueles entre 0 (ou 0

radianos) e 90 (ou /2 radianos), como anteriormente. Temos ento que:

r

ysen e

r

xcos .

Como no crculo trigonomtrico o raio r = 1, temos ento que as coordenadas do ponto P(x,y) so: P(x,y) = (x,y) = (cos, sen). Escrevo desta forma as coordenadas do ponto P(x,y) pois situa-se numa circunferncia de raio r = 1. Se fosse r 1, teria de dividir as coordenadas por r, sendo r2 = x2 + y2, pelo teorema de Pitgoras(3).

Prestando ateno figura, veremos que

12

sen

e 02

cos

.

De igual forma, para o ngulo = radianos (meia-volta no crculo), temos sen() = 0 e cos() = 1, obtemos o ponto P(x,y) = (0,1). Quando temos = 2 radianos (uma volta completa comeando em = 0, isto , sobre o eixo dos XX), voltamos a ter o ponto (0,1) logo sen(2) = 0 e cos(2) = 1. Prosseguindo para outros valores, verificamos que as funes se repetem cada vez que adicionamos

2 radianos ao argumento (ngulo). Da mesma forma que temos valores possveis para o seno e o coseno quando > 0, tambm

YY'

y P(x,y)

O x XX

Figura 10. O crculo trigonomtrico e um ponto P sobre ele.



12

possvel atribuir valores s funes trigonomtricas quando < 0. Nesses casos, temos ngulos descritos no sentido dos ponteiros do relgio. As duas funes ficam ento definidas para todos os valores da recta real.

Como se passaro as coisas com as funes tangente e co-tangente? Recordemos a definio de tangente de :

x

ytan .

Prestemos agora ateno aos tringulos [OPx] e [OPx]. So tringulos semelhantes, com trs ngulos iguais: os ngulos nos pontos P e P so iguais pois OP e OP so colineares (tm a mesma direco), bem como Px e Px; logo o ngulo 1. Como x = 1 em P, temos que(5):

1tan1tan1tan xyx .

Nesse caso, a altura do ponto P d-nos uma medida de tan. O mesmo se passa para cotg. O seu valor vai corresponder ao afastamento, distncia do ponto P, situado sobre o trao

horizontal tangente circunferncia no seu ponto mais alto. Quanto mais alto estiver o ponto P, maior ser o ngulo , e mais a semi-recta definida pelo ngulo com o eixo XX se aproxima do eixo YY, logo cotg diminui bem como a abcissa do ponto P.

Estas duas funes, no entanto, no podem ser definidas para todos os valores reais. De facto, quando

= /2, a altura de P infinita (ou seja, tan = ), e nesse caso a funo no fica bem definida nesse ponto(6). O mesmo se passa para 3/2, 5/2, e assim por diante ou seja, qualquer ponto na forma = /2 + k, sendo k um nmero inteiro. Pelas mesmas razes cotg fica indefinida nos pontos = 0, = , = 2 isto , qualquer ponto na forma = k. Portanto, o domnio destas funes deve necessariamente excluir todos estes pontos em que as funes no ficam bem definidas; os restantes pontos, obviamente, so permitidos.

YY'

P''

P P'

y

O x XX'

x'

Figura 9. Novamente o crculo trigonomtrico (de raio unitrio). A

ordenada (altura) do ponto P representa a tangente de , e a abcissa

do ponto P representa a co-tangente de .



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5. Propriedades importantes das funes trigonomtricas

Neste captulo sero apresentadas algumas importantes propriedades das funes trigonomtricas seno, coseno, tangente e co-

tangente, nomeadamente: paridade, sinal, monotonia, periodicidade, e o resultado de reduo ao primeiro quadrante. J de seguida, sero

dados tambm os valores dessas funes trigonomtricas para alguns ngulos do primeiro quadrante: 0, 30, 45, 60, e 90.

5.1. Valores das funes trigonomtricas para alguns ngulos-chave

Existem alguns ngulos do primeiro quadrante para os quais possvel determinar facilmente os valores tomados pelas funes

trigonomtricas. Para ngulos de outros quadrantes, torna-se necessrio efectuar em primeiro lugar uma reduo ao primeiro quadrante.

Finalmente, os restantes ngulos cuja reduo ao primeiro quadrante (discutida mais adiante) no devolve um destes ngulos, e tambm

para ngulos do primeiro quadrante que no sejam os descritos, necessrio recorrer a tabelas trigonomtricas ou uma calculadora

cientfica ou computador.

Para os ngulos 0 e /2 radianos (ou, 0 e 90, respectivamente), de imediato se

encontram os valores das funes trigonomtricas. Para = 0, a semi-recta que define o ngulo com o semi-eixo positivo dos XX coincide com este. Logo, sendo r = 1 e cos = x / r = x , vem que cos = 1 e sen = 0. Daqui decorre que tan = sen / cos = 0 , e cotg = 1 / tan = +. Para = /2 radianos, temos que a semi-recta coincide com o semi-eixo positivo dos YY, fazendo com que sen = 1 e cos = 0. Daqui vem que tan = + e cotg = 0.

Comecemos por considerar um tringulo equiltero como o da figura 12, cujos lados

tm comprimento 1 CABCAB . O ponto H ponto mdio do segmento [BC], logo

CHBH . E como ACCH /cos e 1AC , vem: )60cos(cos CH . Da

aplicao do teorema de Pitgoras resulta que:

2

3)60sen(1)60(cos)60(sen 22 .

Pela definio de tangente de , vem: 3)60tan( . Observando a figura, ainda possvel

concluir que:

2

1)60cos()30sen(

AC

CH ,

2

3)60sen()30cos(

AC

AH ,

3

3

3

1

23

21

)30cos(

)30sen()30tan( .

Consideremos agora um tringulo (rectngulo) issceles = 45 como o da figura 13. Como a ngulos iguais se opem lados iguais,

NPMN . Seja 1MP . Ento,

)45cos()45sen( MP

MN

MP

NP.

Sabendo ento que sen(45) = cos(45), e aplicando a frmula

fundamental da trigonometria, vem:

A

30

=60

C H B

Figura 12. O tringulo [ABC] issceles; os tringulos [CHA] e [BHA] so equilteros.

P

=45

N M

Figura 13. Um tringulo

rectngulo issceles.



14

)45cos(2

2

2

1)45sen(1)45(sen2)45(cos)45(sen 222

Pela definio,

1)45cos(

)45sen()45tan( .

Em resumo, temos o seguinte quadro:

Valores do argumento (radianos) 0 /6 /4 /3 /2

sen 0 1/2 2/2 2/3 1

cos 1 2/3 2/2 1/2 0

tan 0 3/3 1 3

cotg 3 1 3/3 0

0 30 45 60 90

Valores do argumento (graus)

5.2. Paridade das funes trigonomtricas

Das quatro funes trigonomtricas at agora discutidas (seno, coseno,

tangente e co-tangente), todas tm uma paridade bem definida.

a) O seno mpar Seja = , isto , = ||, e = || = . Ora, sen = y/r. Projectando o ngulo sobre o eixo dos YY, ento vem que sen = y/r < 0, pois y < 0. V-se facilmente que: sen = y/r < 0, e por conseguinte sen = y/r = y/r = sen = sen() sen() = sen(). Logo, a funo seno mpar.

b) O coseno par Seja = . Ora, cos = x/r, e cos = x/r. Na projeco para a figura acima, facilmente se ver que x = x. Logo, cos = x/r = x/r = cos = = cos(). Portanto, a funo coseno par.

c) A tangente mpar Seja = . Ora, tan = y/x, e tan = y/x, pela figura anterior alis, basta dividir seno por coseno. Analogamente, prova-se que tan() = tan ou seja, a tangente mpar.

d) A co-tangente mpar A demonstrao anloga a c). Sendo = , y = y e x = x, como se pode concluir do grfico acima, vem que cotg() = cotg: a co-tangente mpar.

5.3. Sinal das funes trigonomtricas

5.3.a. Seno

Esta funo mpar, e como tal sen() = sen(). Logo, para um ngulo situado no 1Q, teremos que o seno do ngulo , situado no 4Q, tem um valor simtrico. Como no 1Q sen > 0, ento para 4Q, temos sen < 0.

Um ponto P(x,y) do 2Q tem coordenadas tais que x0. Por

y

y'

Figura 14. Acerca da

paridade das funes

trigonomtricas.



15

definio sen = y/r relembrar que o seno se marca no eixo dos YY, correspondente altura do ponto P(x,y) a considerar, caso r=1. Ora r>0, pois trata-se de uma distncia, sendo sempre um nmero no negativo. Como r>0 sempre, e nessa regio particular (2Q), temos

que y>0; ento sen>0 no segundo quadrante. O que se sucede no 3Q? Seja um ngulo positivo pertencente ao 2Q (ou seja, tem-se /2 < < ); o ngulo = pertence

ao 3Q. De facto, e como a funo seno tem perodo 2 (isto , repetem-se os valore e a monotonia da funo em intervalos de largura 2),

o ngulo +2 ainda se situa na mesma regio do plano (3Q), e = + 2 = 2 . Resolva-se ento a desigualdade que resulta da localizao de no 2Q:

/2 < < /2 > > 2 /2 > 2 > 2 3/2 > 2 > 3/2 > 2 + > .

Ento: + 2 > , e ainda 3/2 > + 2 + 2 < 3/2, ou ainda: < 2 + < 3/2. Com a aplicao dada pelo ngulo no plano com o eixo dos XX uma aplicao de perodo 2 (isto , os ngulos voltam a ser

iguais ao fim de um arco de 360 = 2 radianos), ento b situa-se no 3Q pois maior que e menor que 3/2, como queramos demonstrar.

A funo seno mpar verifica-se que sen() = sen(), IR. De facto, se 2Q ento 3Q (como vimos), e sen = sen() = sen(). No 2Q o seno toma valores positivos (recordar que y>0), logo toma valores negativos no 3Q. De resto, um ponto P(x,y)3Q tem ordenada y0 a distncia de um ponto do plano origem do sistema de eixos, e x a distncia da projeco do ponto sobre o eixo dos XX, temos cos() = x/r.

No primeiro quadrante, x>0. Logo cos()>0, para todo o 1Q. Tambm no 4Q se tem x>0, embora y0 para 4Q.

De facto, e como vimos acima, se = e 1Q, ento 4Q. No 2Q e 3Q, x0, logo tan>0. No 2Q, x



16

5.4. Monotonia das funes trigonomtricas

Trata-se de se conhecer em que intervalos as funes crescem, decrescem, ou se mantm constantes se for caso disso.

Para toda a recta real, as funes seno e coseno dizem-se oscilantes, ou seja, no tm uma monotonia que se mantenha ao longo

de todo o seu domnio de aplicao. Quanto tangente e co-tangente, no possvel falar de monotonia da mesma maneira que o seno

ou o coseno, mas apenas a restries dos seus domnios; falar-se- disso adiante.

O comportamento das funes trigonomtricas diverso do anterior quando se trata de restries do domnio de aplicao.

Assim, por exemplo, a funo seno crescente no intervalo ]/2,/2[. Com efeito, sendo sen = y/r, nesse intervalo o valor de y a projeco do ponto P(x,y) do crculo trigonomtrico no eixo dos YY vai aumentando.

5.4.a. Seno

No primeiro quadrante (0 < < /2), a funo crescente pois y aumenta com . No segundo quadrante (/2 < < ), a funo decrescente pois y diminui com . No terceiro quadrante ( < < 3), a funo decrescente porque y continua a diminuir medida que aumentamos o ngulo

(recorde-se que o sentido do aumento do ngulo o sentido anti-horrio). No quarto quadrante (3/2 < < 2), a funo seno torna a crescer, pois nesse intervalo y cresce com o ngulo .

5.4.b. Coseno

Primeiro quadrante (1Q): o coseno decrescente porque a projeco do

ponto P(x,y) vai-se aproximando do centro do eixo medida que aumenta, ou seja, medida que x diminui.

Segundo quadrante: a funo decrescente (ou melhor, cresce em valor

absoluto, mas com sinal negativo), porque x continua a diminuir com o aumento de

. Terceiro quadrante: crescente, porque x comea agora a aumentar (ainda

com valor negativo; decresce em valor absoluto, mas com sinal negativo).

Quarto quadrante: crescente.

5.4.c. Tangente

crescente no 1Q (veja-se a monotonia das funes seno e coseno

acima). Relembrando a monotonia dos valores das coordenadas do ponto P(x,y)

sobre o crculo trigonomtrico de raio unitrio y para o valor de sen, e x para o valor de cos y aumenta e x diminui com o ngulo .

No segundo quadrante, a tangente de crescente, porm de valor negativo, porque a x0. Porm, medida que aumenta, x vai aumentando tambm (distncia da projeco do ponto P sobre o eixo dos XX), ao passo que y (o comprimento da projeco do ponto P sobre o eixo dos YY) vai diminuindo.

Para o 3Q, pode-se fazer a anlise da monotonia da funo do mesmo modo. Projectando um ponto P(x,y)3Q sobre o eixo

das tangentes (a recta vertical a tracejado no lado direito do crculo trigonomtrico representado na figura 15), temos que tan > 0, e se aumentar, tan aumentar tambm. Logo, no 3Q a tangente crescente.

No 4Q a tangente tambm crescente. Basta projectar o ponto P(x,y) do crculo trigonomtrico sobre o eixo das tangentes,

segundo a recta que assenta na semi-recta definida pelo ngulo com o eixo dos XX, para constatar que a altura do ponto P, projeco de P, vai aumentando, ainda que com valor negativo.

A concluso a tirar daqui que a monotonia da funo tangente de sempre crescente em todos os pontos do seu domnio. Claro, a tangente no fica definida para /2 (e outros valores para o argumento que produzam ngulos com a mesma abertura), pois estes pontos no fazem parte do domnio, porque para esses valores do argumento a tangente assume valores infinitos.

5.4.d. Co-tangente

O estudo da monotonia da co-tangente faz-se de modo semelhante ao efectuado para a tangente. Conclui-se que a funo

sempre decrescente em todo o seu domnio de aplicao (1Q, 2Q, 3Q e 4Q).

P

O

P'

Figura 15. Acerca da

monotonia da funo

tangente de . O eixo das tangentes a recta

vertical a tracejado, no

lado direito, que

contm o ponto P'.



17

Monotonia das funes trigonomtricas 1Q 2Q 3Q 4Q

sen + +

cos + +

tan + + + +

cotg

"+" = crescente "" = decrescente



18

5.5. Reduo ao primeiro quadrante

O crculo trigonomtrico usualmente dividido segundo regies

denominadas quadrantes, como indicado na figura 16. So quatro, e indicam-se de

acordo com o sentido do crescimento dos ngulos sentido anti-horrio. Existem certos ngulos para os quais as funes trigonomtricas tomam

valores fceis de determinar, e que convm ter sempre presente. No entanto,

alguns desses ngulos podem cair noutros quadrantes que no o 1, e nesse caso

convm reduzi-los ao 1 quadrante, at porque as tabelas trigonomtricas

apresentam ngulos que dizem respeito a esse quadrante.

Assim, iremos descobrir o comportamento das funes trigonomtricas

nos restantes quadrantes, e compar-lo com os valores tomados pelas funes

trigonomtricas para ngulos do primeiro quadrante. Na figura 16, o 1Q

corresponde ao intervalo 0 < < /2, o 2Q a /2 < < , o 3Q a < < 3/2, e o 4Q a 3/2 < < 2.

Considere-se, por exemplo, que 1Q, e 2Q, tal que = + /2. O que resulta da reduo ao primeiro quadrante das funes trigonomtricas para o ngulo ? Repare-se que esta reduo ter de ser tal que se relacionem funes com o mesmo contradomnio, isto , senos com cosenos (que tm contradomnio [1,1] ) e tangentes com co-tangentes (de contradomnio ], +[ ).

Comecemos pela funo seno. No 2Q, o seno diminui, pois y/r diminui com o aumento de . Para , o coseno que diminui com o aumento de . Se a for apenas um pouco maior que 0 (prximo de 0, mas no 1Q), teremos que ser tambm apenas um pouco maior que /2: lembre-se que = + /2, neste caso. Assim, como cos() se aproxima de 1 nessa situao, e sen() tambm se aproxima de 1, h equivalncia geomtrica entre cos e sen, ou seja: sen() = cos().

Para o coseno, e ainda para a situao em que 0 e /2, acima destes valores (para que e continuem no 1Q e 2Q, respectivamente), temos que sen()0 e cos()0. Mas no 2Q, o coseno toma valores negativos, pois x0. Quer cos() quer sen() tendem para zero quando 0 e /2 por valores acima dos indicados, portanto podemos relacionar sen() e cos(): temos cos() = sen(), com 1Q e 2Q. O sinal negativo, como acabo de referir, advm do facto de que o coseno toma valores negativos no 2Q e o seno valores positivos no 1Q.

Tudo isto pode ser visto de outro modo, talvez mais correcto ou mais fcil de visualizar. Suponhamos que temos o tringulo

rectngulo contido no primeiro quadrante e limitado pelo quarto de circunferncia, como assinalado no figura 17. Seja y o comprimento

da projeco do ponto P sobre o eixo dos YY. Seja x o comprimento da projeco de P sobre o eixo dos XX, e que resulta no ponto X, e

seja x o comprimento da projeco de P sobre o eixo dos XX, e que resulta no ponto X. Consideremos que a circunferncia tem raio

r=1. Ento, temos: sen = y, cos = x, sen = y, e cos = x. Consideremos que o ngulo suficientemente pequeno para que nos seja fcil visualizar o que se segue, e

que = + /2, ou seja, tambm forma um ngulo com o eixo dos YY, da mesma abertura que a forma com o eixo

dos XX. Pode-se constatar que o tringulo definido no

primeiro quadrante pelo ngulo (o tringulo [OPX]) igual ao tringulo do segundo quadrante, definido pelo

ngulo /2. Ou seja, o segundo tringulo resulta de uma rotao de /2 radianos do primeiro tringulo em torno do centro do sistema de eixos, o ponto O. Assim, o cateto de

maior comprimento no tringulo [OPX] igual ao cateto de maior comprimento no segundo tringulo, que assenta

sobre o eixo dos YY, no segundo quadrante. O mesmo se

passa para os catetos de menor comprimento dos dois

tringulos.

Deste modo, pode-se constatar que sen = y = x = cos ou seja, sen = cos. O sinal negativo surge porque y>0 e x



19

= x = y = sen (aqui j no h troca de sinal, pois x e y so ambos positivos). Alm disso, tan e cotg relacionam-se com tan e cotg de modo semelhante, e podemos descobrir as relaes recorrendo a um raciocnio geomtrico como o atrs descrito, ou de imediato por

clculos algbricos:

cotg

sen

cos

cos

sen

'

'tg

x

y

e

tgtg

1cotg .

Para outros quadrantes, o tratamento semelhante, e sugere-se que o leitor os realize a ttulo de exerccio. Os resultados para

outros quadrantes encontram-se resumidos no seguinte quadro:

Reduo de funes trigonomtricas ao

primeiro quadrante 2 quadrante

= /2 + 3 quadrante

= + 4 quadrante

= 3/2 +

sen() cos() sen() cos()

cos() sen() cos() sen()

tg() cotg() tg() cotg()

cotg() tg() cotg() tg()

= ngulo do 1 quadrante = ngulo a converter

5.6. Periodicidade das funes trigonomtricas

Em virtude das caractersticas da aplicao menor ngulo de uma semi-recta com o semi-eixo positivo dos XX (centrada na origem dos eixos), as funes trigonomtricas, que tm por argumento um ngulo no plano, tero certas caractersticas, nomeadamente a

repetio peridica de valores, e para os quais se verificam as mesmas caractersticas de monotonia (crescente ou decrescente). Por outras

palavras, as funes trigonomtricas so peridicas, e como tal voltamos a ter os mesmos valores para a funo ao fim de um nmero

inteiro de perodos, e para os quais a funo toma as mesmas caractersticas de monotonia: nesse ponto, a funo crescente, ou

decrescente, consoante o valor do argumento da funo.

Consideremos a funo seno do ngulo , definida por sen = y/r, num crculo trigonomtrico de raio r=1. Ento, temos sen= y. A projeco de dois ngulos, por exemplo, 1Q e 2Q, tal que = (ou seja tal que o arco que resta at igual a ), a mesma, isto , sen = sen. Mas, para o ngulo , a funo seno ainda est em crescimento (ramo crescente), e para o

ngulo a funo j est em decrescimento. Mas, para um ngulo + 2, a funo toma o mesmo valor que para o ngulo , e tambm est em crescimento(7). O mesmo se passa para outro

ngulo + 2, relativamente a 2. Ou seja, ao fim de uma volta completa os valores de seno repetem-se, e com a mesma

monotonia. O mesmo se passa para a funo coseno, como se

poder facilmente verificar: ao fim de uma volta completa (arco de

2 radianos), a funo retoma os mesmos valores, e com o mesmo sentido de crescimento (monotonia).

YY

XX

Figura 18. Acerca da periodicidade das

funes trigonomtricas.



20

As funes tangente e co-tangente, por outro lado, tm apenas perodo , isto , os valores repetem-se com a mesma monotonia

(crescente e decrescente, respectivamente) ao fim de arcos mltiplos de . Ora, por definio de tangente, tg = y/x = sen / cos. No 1Q,

sen>0 e cos>0, logo tg>0. No 2Q, sen>0 e cos



21

5.7.b. Coseno de f() = cos = x / r funo par, positiva no 1 e 4Q, negativa no 2 e 3Q. Monotonia: crescente no 3 e 4Q, decrescente no 1 e 2Q. Domnio: ] , + [. Contradomnio: [1 ; +1]. Perodo: 2

5.7.c. Tangente de f() = tg = y / x funo mpar, estritamente crescente em todo o domnio. Positiva no 1 e 3Q, negativa no 2 e 4Q. Domnio: IR\{k+/2, k = 0, 1, 2,...} . Contradomnio: ] ,+[. Perodo: .

Figura 20. Grfico da funo f() = cos para ]/2,+ /2[ .

Figura 21. Grfico da funo f() = tg para ]/2,+ /2[ .



22

5.7.d. Co-tangente de

f() = cotg = x / y funo mpar, estritamente decrescente em todo o domnio. Positiva no 1 e 3Q, negativa no 2 e 4Q. Domnio: IR\{k, k = 0, 1, 2,...}. Contradomnio: ] , + [. Perodo: .

Figura 22. Grfico da funo f() = cotg para ]/2,+ /2[ .



23

6. Relaes importantes de funes trigonomtricas

Em muitos casos sucede-se que ocorram relaes que envolvam funes trigonomtricas diferentes das que temos visto at aqui.

Algumas dessas relaes podem envolver, por exemplo, funes trigonomtricas de somas de ngulos, ou determinadas funes que

envolvem funes trigonomtricas de um ngulo, e cuja escrita pode ser simplificada. Nesta curta introduo no adiantarei muito mais,

porm deixarei que a leitura das seces seguintes permita ao leitor o esclarecimento destes pontos. No final deste captulo apresentada

uma tabela com os resultados aqui obtidos.

6.1. Frmulas de adio e subtraco

Sejam OA e OB dois vectores com origem no ponto O e extremidade no ponto A e B, respectivamente, e que fazem ngulos e

com o eixo dos XX, respectivamente. Pela definio de produto interno de dois vectores, temos que

)cos( OBOAOBOA ,

e o ngulo que OB faz com OA . O ponto A, pela figura 23, tem coordenadas (cos, sen), e o ponto B tem coordenadas (cos,

sen). Visto os vectores terem origem no ponto O(0,0), as coordenadas dos vectores coincidiro com as coordenadas dos pontos A e B. com isto em mente, o produto interno dos dois vectores pode ainda ser escrito como:

(cos, sen) (cos, sen) = cos sen + sen cos

Fazendo equivaler as duas expresses para o produto interno dos dois vectores, e notando que 1 OBOA (visto que o crculo

trigonomtrico tem raio r=1 ver figura 19), temos finalmente:

cos( + ) = cos cos + sen sen.

Fazendo agora = + (), vem ainda(9):

cos( + ()) = cos cos sen sen.

Calculemos de seguida sen( ). Para dois ngulo suplementares (isto , cuja soma /2 radianos), verifica-se que o seno de um ngulo igual ao coseno do outro ngulo. Observe a figura 24: supondo que a hipotenusa h=1, o comprimento do cateto adjacente a

cos. O cateto adjacente ao ngulo simultaneamente o cateto oposto ao ngulo logo, cos= sen. Igualmente, sen= cos, como se poder constatar observando a mesma figura.

sen( ) = cos[/2 ( )] = = cos(/2 +) = cos[ ( /2)] = = cos cos( /2) + sen sen( /2) = = cos [cos cos(/2) + sen sen(/2)] + sen sen(/2).

Ora, cos(/2)=0 e sen(/2)=1. O seno tem perodo 2 (isto , sen = sen( + 2) ), e por conseguinte

sen( /2) = sen( + 3/2). Faz-se esta reduo ao primeiro quadrante: sen( /2) = sen( + 3/2) = cos. Assim,

sen( + ) = ... = cosa (0 cos + 1 sen) + sen (cos) = cos sen sen cos.

Substituindo agora + por (), vem:

sen( ) = sen( + ()) = cos() sen sen() cos.

Lembrando a paridade das funes seno e coseno, temos: cos() = cos e sen() = sen. Logo,



24

sen( ) = cos sen + sen cos.

O clculo de tg( ) faz-se dividindo sen( ) por cos( ), como de resto resulta da definio de tangente de um ngulo. Portanto,

tgtg1

tgtg)tg(

e

tgtg1

tgtg)tg(

.

6.2. Frmulas de duplicao

Neste caso, faz-se = e aplicam-se as frmulas obtidas em 6.1 para arcos + = 2. Fica ento:

sen(2) = 2 sen cos cos(2) = cos2 sen2

2tg1

tg2)2(

tg .

6.3. Frmulas de bisseco

Neste caso, faz-se a substituio 2 = , e usam-se as frmulas obtidas em 6.2, e a frmula fundamental da trigonometria (relao (3.1)).

2

)2cos(1cos)2cos(1cos21cos2sencos)2cos( 22222

.

Aplicando a transformao de varivel 2 = , vem(10):

2

cos1)2/cos(

2

cos1)2/(cos 2

.

Para obter sen(/2), voltamos a usar a relao (3.1):

2

cos1)2/sen(

2

cos1)2/(sen1

2

cos1)2/(sen1)2/(cos)2/(sen 2222

a.

Novamente, para obter tg(/2) divide-se sen(/2) por cos(/2):

cos1

cos1

)2/cos(

)2/sen()2/(

tg

6.4. Frmulas de transformao

Interessa, por vezes, transformar somas ou diferenas de senos ou de cosenos em produtos de funes trigonomtricas. Para tal,

comecemos por definir a seguinte mudana de variveis, invertvel, T:

a = + T

b =

Daqui resulta ainda a transformao inversa, T:

(10) O sinal aparece porque os quadrados de nmeros simtricos so iguais, logo h que incluir as duas possibilidades.



25

2

ba

T

2

ba

Aplicando agora a transformao T:

)2/cos()2/sen(2

)2/sen()2/cos()2/cos()2/sen()2/sen()2/cos()2/cos()2/sen(

22sen

22sensensen

ba

babababa

baba

Da aplicao da transformao T resulta:

2cos

2sen2sensen

Para calcular sen sen, usa-se a paridade da funo seno e substitui-se sen por sen(). Logo,

2cos

2sen2sensen

O mesmo mtodo usado para calcular cos + cos e cos cos, bem como para outras relaes entre as funes como o produto de funes, por exemplo.

Os resultados obtidos neste captulo so resumidos no seguinte tabela:

Frmulas de adio Frmulas de subtraco

sen( + ) = cos cos + sen cos sen( ) = cos sen sen cos

cos( + ) = cos cos sen sen cos( ) = cos cos sen sen

tgtg1

tgtg)tg(

tgtg1

tgtg)tg(

Frmulas de duplicao Frmulas de bisseco

sen(2) = 2 . sen . cos 2

cos1)2/sen(

cos(2) = cos2 sen2 2

cos1)2/cos(

2tg1

tg2)2(

tg

cos1

cos1)2/(

tg

Frmulas de transformao

2cos

2sen2sensen

2cos

2sen2sensen



26

2cos

2cos2coscos

2sen

2sen2coscos

coscos

)sen(tantan

coscos

)sen(tantan



27

7. Funes trigonomtricas inversas Esta classe de funes representa a aplicao inversa para cada funo trigonomtrica j discutida. Devido s propriedades de

periodicidade das funes trigonomtricas, as respectivas inversas no so injectivas(11) quando se toma o domnio das funes

trigonomtricas ou seja, para um determinado argumento das funes trigonomtricas inversas, estas devolvem como soluo uma

infinidade de ngulos possveis, separados de um nmero inteiro de perodos da funo trigonomtrica original (2 no caso do seno,

coseno, secante e co-secante, e no caso da tangente e co-tangente). Desse modo, necessrio que as funes trigonomtricas inversas tenham um domnio restrito, para que a aplicao seja bem

definida. De facto, porque uma aplicao no pode ter, para o mesmo argumento, dois valores distintos, h que restringir esta classe de

aplicaes a um domnio onde as funes trigonomtricas sejam injectivas. Esse domnio deve tambm ser escolhido por forma a que

todos os seus elementos tenham imagem no contradomnio da funo trigonomtrica, isto , os contradomnios das funes restringida e

no restringida devem ser coincidentes. Por exemplo, sendo [1; +1] o contradomnio da funo seno isto , a imagem da aplicao da funo a qualquer ponto do seu domnio cai sobre este intervalo , deve-se escolher uma restrio do domnio da funo seno tal que os seus elementos representem todos os valores que possvel a funo seno tomar, e que caem no intervalo referenciado.

7.1. Arco seno: arcsen(a)

Por definio, esta funo devolve o arco(12) cujo seno a. Suponhamos que a = sen. Ento, o ngulo definido como o arco cujo seno a, isto , = arcsen(a).

Como se pode ver pelo grfico da funo seno (pgina 20), a funo no injectiva porque temos infinitos ngulos que possuem

o mesmo valor da funo seno. Desse modo, no nos possvel definir uma aplicao inversa para a funo seno, porque assim para um

valor do domnio dessa aplicao existe uma infinidade de valores possveis. Para que a aplicao fique bem definida, necessrio que

cada valor do seu domnio devolva um nico resultado. Pode acontecer que vrios elementos do domnio da funo dem origem ao

mesmo valor, mas cada elemento do domnio s pode originar um nico valor. Tal no se passa para a funo seno quando se toma por

domnio toda a recta dos nmeros reais.

No entanto, possvel definir uma funo inversa da funo seno para um domnio restrito em que haja injectividade, isto , para

o qual a cada elemento do domnio corresponda um valor que no imagem desse, e de nenhum outro, elemento do domnio. Como a

funo devolve resultados no intervalo [1, +1], interessa considerar um domnio para a funo inversa em que todos os elementos desse

intervalo sejam imagem da funo arco seno. Tal intervalo , por exemplo, [/2, +/2] que o usado convencionalmente. De facto, usando a funo arco seno de uma calculadora cientfica que suporte essa funo, obtemos valores dentro deste intervalo. Obviamente, a

introduo de valores fora do intervalo [1, +1] como argumento da funo arco seno produz uma informao de erro na calculadora.

Assim, suponhamos que se pretende calcular arcsen(1/2). Trata-se de procurar qual o arco (ngulo), no intervalo [/2, +/2],

cujo seno 1/2. Se tivermos sen=1/2, ento arcsen(1/2)=. Como sen(/6)=1/2, ento o resultado : arcsen(1/2)=/6. O arco seno tem domnio [1, +1], o contradomnio do seno: o argumento a s pode tomar valores dentro desse intervalo. O

contradomnio uma restrio do domnio do seno: [/2, +/2].

rr

Figura 23. Funo injectiva. Figura 24. Funo no injectiva.



28

7.2. Arco coseno: arccos(a)

A maneira de definir esta funo a mesma que foi utilizada para definir o arco seno.

O arco coseno definido como o arco cujo seno igual ao argumento da funo. Assim, se um ngulo a tem por coseno cos = a, ento arccos(a) = . O arco coseno assim a funo inversa da funo coseno.

A funo coseno no injectiva, como se pode observar pelo seu grfico, na pgina 21. Logo, h que procurar uma restrio do

domnio da funo coseno em que se possa definir inequivocamente a aplicao coseno. Por conveno, o intervalo usado [0; +], e os valores permitidos para o argumento desta funo situam-se no intervalo [1, +1], pois o coseno s toma valores neste intervalo.

O arco coseno tem por domnio [1, +1]: foroso que 1 a 1. O contradomnio convencionado para o arco coseno [0; +], uma restrio do domnio da funo coseno.

7.3. Arco tangente: arctg(a)

O arco tangente o ngulo (arco de circunferncia) cuja tangente igual ao argumento da aplicao: a funo inversa da tangente.

A tangente peridica, de perodo , sendo forosamente no injectiva (ver nota sobre funes injectivas e no injectivas, na

pgina anterior). O intervalo que usado para definir esta funo ] /2, +/2[. Note-se que os extremos do intervalo, /2 e +/2, so

excludos, pois nesses pontos a tangente no est definida (toma valores infinitos). O argumento, a, pode tomar todos os valores reais: a IR.

7.4. Arco co-tangente: arccotg(a)

o ngulo cuja co-tangente igual ao argumento a funo inversa da co-tangente.

A co-tangente, tal como a tangente, peridica e tem perodo . O intervalo de valores tomado pelo arco co-tangente ]0; +[, e o argumento a pode tomar qualquer valor real. Os extremos do domnio da funo arco co-tangente so excludos porque nesses pontos a

co-tangente no est definida (tem valor infinito).

7.5. Resumo: domnio e contradomnio das funes trigonomtricas inversas

Funo Domnio Contradomnio arcsen(a) a [1, +1] [/2, +/2]

arccos(a) a [1, +1] [0; +]

arctg(a) a IR ] /2, +/2[

arccotg(a) a IR ]0; +[



29

8. Resoluo de algumas equaes trigonomtricas

Trata-se de resolver equaes do tipo f(x)=y, sendo f(x) uma funo trigonomtrica ou trigonomtrica inversa, e y um valor real.

H que notar que a resoluo analtica de equaes de funes trigonomtricas (ou que envolvam funes trigonomtricas

inversas, ou ambas, ou outras funes quaisquer) nem sempre fcil, e frequentemente impossvel. Nesses casos, h que utilizar

mtodos numricos, com recurso a calculadoras programveis e/ou computadores, ou em alternativa mtodos grficos por exemplo, pode-se sobrepor os grficos das funes seno e a tangente e procurar os pontos em que os grficos das respectivas funes se seccionam

ou osculam (embora estes ltimos sejam mais difceis de determinar a olho) para determinar as solues da equao senx=tgx.

8.1. Resoluo de equaes de funes trigonomtricas do tipo f(x) = y

Este tipo de equaes tem como soluo geral um intervalo, em virtude da periodicidade das funes trigonomtricas.

8.1.a. senx = y

Como a funo seno tem perodo 2, so vlidos os valores de a separados de mltiplos inteiro do perodo. Naturalmente, como a funo seno limitada, x ter de se situar no intervalo [1, +1], sob

pena de a equao no ter soluo. Assim, caso y[1, +1], pode-se

fazer y = sen. Logo, a equao fica:

senx = sen.

No caso da figura 27, y=sen representa a altura do ponto P que se projecta sobre o eixo dos YY. Mas, a essa projeco

correspondem pelo menos dois ngulos, a e b, como se constata. Ora,

pode-se provar que os senos de dois ngulos complementares (isto ,

ngulos que somam 180 ver pgina 3) so iguais. Logo, se e so complementares, =180, e temos sen = sen. A partir daqui tm-se duas solues possveis.

Porm, podem-se obter mais solues adicionando (ou

subtraindo) ao argumento mltiplos do perodo da funo. Como se v,

entre 0 e 360, o seno de x igual ao seno de quando x=, ou quando x=180. Atendendo periodicidade do seno, vem ento:

NI,360180ou 360sensen kkxkxx ,

ou, em radianos:

NI,2ou 2sensen kkxkxx .

8.1.b. cosx = y

O mtodo de resoluo semelhante ao anterior. Faamos y=cos, logo para que a equao tenha soluo tem de se verificar que y[1, +1]. No intervalo [0; +2], h duas solues para x: e .

De facto, para que nesse intervalo se verifique que os cosenos de dois ngulos sejam iguais, os ngulos devem ser iguais (o que

trivial), ou devido paridade da funo coseno devem ser simtricos(13).

Devido ao facto do coseno ter perodo 2, as solues que distam entre si de um mltiplo inteiro do perodo tambm so soluo.

Logo, so soluo geral de cosx=cos:

YY

P

y

XX

x

Figura 27. Acerca da periodicidade das

funes seno e coseno.



30

NI,360coscos kkxx ,

ou ainda, em radianos:

NI,2sensen kkxx .

8.1.c. tgx = y

A tangente tem perodo 180, ou radianos. Calcula-se a soluo geral da maneira semelhante anterior. O resultado em radianos :

NI,tgtg kkxx .

8.1.d. cotgx = y

A co-tangente, tal como a tangente, tem perodo radianos. A soluo geral igual indicada em 8.1.c:

NI,cotgcotg kkxx .

8.2. Exemplo

O clculo de uma equao de qualquer dos tipos anteriores pode no ser apenas algo como senx=. Em vez de x pode aparecer algo como 5x+75 , ou outro polinmio de x. De qualquer modo, a resoluo continua a ser a mesma.

Procuremos a soluo de: cos(5x+75) = cos25. NB: neste exemplo, a soluo ser dada em graus; a soluo em radianos

determinada trivialmente. Comea-se por resolver a equao em ordem a x:

3602575525cos)755cos( kxx .

A soluo geral dada por:

kkxkx ,7216ou 7210

Se em vez de cos25 tivssemos sen25, por exemplo, teramos de mudar o seno para coseno, pois apenas podemos comparar

argumentos de funes iguais. Recordemos que, para dois ngulos suplementares(14),

+ = /2, se tem sen = cos, e cos = sen. No nosso caso o ngulo suplementar de 25 65. Logo, usar-se-ia cos65 no lugar de sen25, e a resoluo continuava de maneira anloga descrita.

8.3. Funes trigonomtricas inversas

Seja f() uma funo trigonomtrica (seno, coseno, ...) e g(x) a inversa de f(x). A resoluo da equao g(x) = pode ser feita de um modo similar para as alneas anteriores. possvel, por exemplo, tentar encontrar qual o argumento a da funo trigonomtrica inversa

que igual a , e nesse caso a equao escreve-se: g(x)=g(). Um processo alternativo, que por vezes se pode revelar til, consiste em aplicar a funo trigonomtrica f() inversa de g(x), aos

dois membros da equao para tal necessrio, em primeiro lugar, que figurem de ambos os lados da equao a mesma funo. Chama-se ainda a ateno para o pormenor dos intervalos de aplicao: se dentro desse intervalo a funo no for injectiva, no possvel definir

a funo inversa, logo este mtodo no aplicvel. Da aplicao deste mtodo resulta:

)f()f()g(f)g( xxx .



31

9. Derivadas de funes circulares e respectivas inversas

Para que uma funo seja diferencivel, deve ser contnua em todo o seu domnio. Tal verifica-se nas funes trigonomtricas e

nas respectivas funes inversas.

Seja x]0;/2[ um ngulo do primeiro quadrante, no crculo trigonomtrico, com amplitude em radianos. Pela figura 28, sendo

1OC e ACx sen , tem-se que

TCTCAC compr. ,

sendo TC o comprimento do segmento de recta [TC] e TCcompr. o comprimento do arco

TC . Pode-se ento concluir que senx < x.

Para x]/2;0[ teramos |senx| < |x|.

A desigualdade vlida para x]/2;/2[ , e vai servir para provar que a funo definida por f(x)=senx contnua para qualquer x real.

0)sen()sen(lim0

xhxh

.

Ora,

2cos

2sen2sen)sen(

hx

hxhx , e como |sen(h/2)| < |h/2| e |cos(x+h/2)| 1, temos:

hh

xhx 12

2sen)sen( .

Ento, sen(x+h)senx um infinitsimo com h, e verifica-se o limite anterior. Como x agora qualquer elemento do conjunto dos nmeros reais, conclui-se que senx contnua em todo o seu domnio.

Tambm cosx contnua: pode-se verificar imediatamente da identidade cosx = sen(/2 x). As funes tgx e cotgx tambm so contnuas em todo o seu domnio, pois resultam do diviso de funes contnuas nos

respectivos domnios(15).

Comecemos por estudar alguns limites que interessaro para o levantamento de indeterminaes aquando do clculo de

derivadas.



32

9.1. Estudo do x

x

x

senlim

0

Seja a funo f(x) = senx / x , cujo domnio toda a recta real, excepto o

ponto x=0. Calculemos o )f(lim0

xx

. Comparemos x, senx e tgx quando x]0;/2[.

Da figura 28 resulta:

TBTCAC

compr.

Como xAC sen , xTC

compr. , e xTB tg , vem:

senx < x < tgx. Dividindo por senx, ficamos agora com:

xx

x

cos

1

sen1 .

Como 1cos

1lim

0

xx, temos ento que

1sen

lim0

x

x

x.

Ora, a funo g(x) = x / senx par. Com efeito, )g()sen()sen()sen(

)g( xx

x

x

x

x

xx

. Por isso,

1sen

lim0

x

x

x, e 1

sen

1lim

senlim

00

x

xx

x

xx.

Por definio, a derivada da funo f(x) no ponto x :

h

xhxx

h

)f()f(lim)'(f

0

9.2. Derivadas de funes trigonomtricas

Apliquemos esta definio para obter as derivadas das funes trigonomtricas e das respectivas inversas.

9.2.a. Derivada do seno

Aplicando a anterior definio de derivada de uma funo, temos:

h

xhxx

h

)sen()sen(lim)'(sen

0

.

Sabendo que 2

cos2

sen2)sen()sen(qpqp

qp

, vem:

Figura 28. Estudo do x

x

x

senlim

0.

A circunferncia tem raio r = 1OC .

B

C

x

O A T



33

2

coslim2/

)2/sen(lim2

)(cos

2

)(sen2

lim)'(sen000

hx

h

h

h

xhxxhx

xhhh

.

A funo coseno contnua, logo lim(cos) = cos(lim). Assim,

(senx)' = 1 cosx = cosx.

Em particular, sendo u=u(x) uma funo diferencivel num intervalo aberto, e aplicando a regra da derivao da funo

composta, temos(16):

(sen[u(x)])' = u' cos[u(x)] .

9.2.b. Derivada do coseno

Sabendo que cos(x) = sen(/2x), e derivando (temos u(x) = /2 x), vem:

(cosx)' = 1 cos(/2 x) = sen(x) .

Em particular, sendo u(x) diferencivel num intervalo aberto ]a,b[, tal como para o seno, ento a funo cos[u(x)] diferencivel

em ]a,b[ e

(cos[u(x)])' = u' sen[u(x)] .

9.2.c. Derivada da tangente

A funo y=tgx tem por derivada y' = 1/cos2x = 1 + tg2x. Com efeito,

NI ,2

com ,cos

sentgy

kkx

x

xx .

Derivando senx/cosx, temos: xx

xx

x

xxx

22

22

2

2

cos

1

cos

sencos

cos

)sen(sencosy'

.

Em particular, se y=tg[u(x)], temos: ucos

u'y'

2 , com u=u(x).

9.2.d. Derivada da co-tangente



34

Obtm-se da mesma forma que a da tangente, sabendo que cotgx = cosx/senx. Daqui segue ento que:

y' = (cotgx)' = 1/sen2x = 1 + cotg2x.

Em particular, se y=cotg[u(x)], temos: usen

u'y'

2 .

9.3. Derivadas de funes trigonomtricas inversas

Vejamos agora as derivadas de algumas funes trigonomtricas.

9.3.a. Derivada do arco seno

Seja y=arcsen(x), com y]/2, +/2[ . Visto que y=arcsen(x), ento x=sen(y). A regra da derivao da funo composta inversa17 d ento:

cos(y)

1

)'(

1y'cos(y)'

xx .

Pela frmula fundamental da trigonometria, relao (3.1), temos ysen1cos(y) 2 . Ento,

22 1

1

ysen1

1y'

x

.

Se tivssemos y]/2, 3/2[ , ento ysen1ycos 2 e 21

1y'

x

.

Por fim, sendo y=arcsen(u) e u=u(x) funes diferenciveis, temos:

2u1

u')'(arcsen(u)y'

.

/2

/2

Figura 29. y]/2, +/2[

/2

3/2

Figura 30. y]/2, 3/2[



35

9.3.b. Derivada do arco coseno

Seja y=arccosx x=cosy. Ento, 2u1

1y'

.

Em particular, sendo u=u(x) uma funo diferencivel, e y=arccos(u),

2u1

u')'(arccos(u)y'

.

9.3.c. Derivada do arco tangente

Seja u=u(x) uma funo diferencivel, e y=arctg(u). Ento,

2u1

u''(arctg(u))y'

.

9.3.d. Derivada do arco co-tangente

Seja u=u(x) funo diferencivel, y=arccotg(u). Ento,

2u1

u'))'(arccotg(uy'

.

9.4. Resumo das derivadas de funes trigonomtricas e trigonomtricas inversas

Na tabela que se segue, u=u(x) uma funo diferencivel(18), e cujo contradomnio est necessariamente contido no domnio das

respectivas funes trigonomtricas e trigonomtricas inversas ver seco 7.5.

Derivadas de funes trigonomtricas

(sen(u))' = u'(x) cos(u) ucos

u'(tg(u))'

2

(cos(u))' = u' sen(u) usen

u'(cotg(u))'

2

usen

cos(u)u'

sen(u)

1'(cosec(u))

2

'

ucos

sen(u)u'

cos(u)

1(sec(u))'

2

'

Derivadas de funes trigonomtricas inversas

2u1

u')'(arcsen(u)

2u1

u''(arctg(u))

2u1

u')'(arccos(u)

2u1

u'))'(arccotg(u

2

'

u1u

u'

arcsen(u)

1u))'(arccosec(

2

'

u1u

u'

arccos(u)

1)'(arcsec(u)



36

10. Exerccios resolvidos Apresentam-se de seguida alguns exerccios, com uma resoluo possvel. Apela-se para que o leitor procure outras resolues

vlidas. Alguns conselhos:

Ao tentar resolver um problema, e sempre que possvel, que faa um desenho ou esquema relacionado com o problema; ver que isso contribui para uma melhor visualizao da situao e pode ajudar imenso a perceber o que se pede e a encontrar uma soluo!

Leia o problema uma vez, do incio ao fim. Depois, leia novamente o exerccio e tente perceber:

quais os dados do problema;

o que pedido para determinar.

Tente explicar por suas prprias palavras o que dado e o que pedido no problema. Se no consegue explicar por si prprio ou a

outra pessoa o que leu, bem possvel que no tenha percebido a informao dos dados, do que pedido, ou ambas as coisas! Leia o

problema, ou a(s) parte(s) que no percebeu, tantas vezes quantas as necessrias at que se torne perfeitamente claro para si.

1. Um vaivm em rbita terrestre descreve um trajecto tipicamente circular a uma altitude de cerca de 300km acima da superfcie. Sabendo que o raio da Terra 6380km, escreva a expresso para a distncia do horizonte quela altitude, e calcule o seu valor.

Resoluo:

Seja R o raio da Terra e h a altitude do vaivm acima da superfcie da Terra.

Pretende-se determinar a distncia d. O ngulo recto porque a recta a que pertence o segmento de comprimento d perpendicular ao raio da Terra tangente superfcie.

Aplicando o teorema de Pitgoras, temos:

RhhdRhhdhRdR 22)( 222222 .

Repare-se que no surge uma soluo do tipo ...d porque:

1) a soluo deve ser bem definida (um s valor, isto , uma distncia qualquer tem um valor bem definido);

2) trata-se de distncias valores reais positivos.

Assim, temos: km2000km1000,23006380230032 d .

Poder-se-ia resolver este problema de maneiras mais complicadas, mas em particular foi possvel usar aqui o teorema de Pitgoras, o

que simplificou significativamente os clculos. Se o ngulo no fosse recto, nesse caso j seria necessrio recorrer a frmulas trigonomtricas. Seria um bom exerccio para o leitor tentar obter uma relao entre o ngulo e a distncia d.

2. Uma aeronave prepara-se para aterrar numa pista (poderia ser o vaivm do exerccio anterior...). O avio faz uma aproximao a um ngulo de 60 do lado esquerdo da pista onde pretende aterrar. Os instrumentos de bordo indicam que o ponto de aterragem est a

uma distncia de 30km em linha recta e a um ngulo de 45 para a esquerda da direco em que o avio se desloca. Considere apenas

a projeco no solo do trajecto do avio (ou seja, ignore a altitude do avio acima do solo). Calcule a distncia do avio

a) ao eixo da pista de aterragem;

b) do local onde ir cruzar o eixo da pista de aterragem at ao ponto de aterragem.

R d

R h

Figura 31. Vaivm

espacial em rbita.



37

Resoluo:

O exerccio exige j um -vontade considervel nos assuntos versados at ao captulo 5. Embora parea difcil, no nos devemos

deixar intimidar. Na verdade, se comearmos a fazer um desenho baseado nos dados do problema veremos que at parecido com o

problema do farol na seco 3.4!

O avio aproxima-se da pista pelo lado esquerdo, fazendo com ela um ngulo de 60. Temos ento algo assim (figura do lado

esquerdo):

Por outro lado, sabemos que o ponto de aterragem est, pelas indicaes dos instrumentos de bordo, a um ngulo de 45 (para a

esquerda) com a direco a que viaja o avio (figura do lado direito). Alm disso, os instrumentos informam q

trigonometria1

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