Mdulo 2125FunesFunesUm dos conceitos mais importantes da mate-mtica o conceito de funo. Em muitas situaes prticas,ovalordeumaquantidadepodedepender dovalordeumasegunda.Aprocuradecarnepelo consumidor, por exemplo, pode depender do seu preo atual no mercado. A quantidade de ar poludo, numa rea metropolitana, depende do nmero de veculos narua.Ovalordeumagarrafadevinho,podede-pender da safra. Essas relaes so matematicamente representadas por funes.SejamAeB doisconjuntos.Umafuno umarelaoemqueacadaelementodeA,se associaumnicoelementode B,eindicadaporf : A- B .A relao entre os conjuntosA eB dada atravs de uma regra de associao expressa na forma y =f (x) .Essa regra diz, que o elemento x A, chamado de varivel inde-pendente,estrelacionadodemodonicoaoelemento y =f (x) B ,chamado de varivel dependente. O conjuntoA chamado de domnio e indicamosA= Dom( f )e o conjuntoB, de contradomnio. O conjunto imagem, indicado comoIm( f ) o conjunto dos elementos deB aos quais foram associados elementos de A, isto ,Im( f ) ={y B | y =f (x) para algumx A}.O nmeroy B, y =f (x)recebe o nome de valor da funofno pontox .Voc, ao longo do curso, quando apresentado s disciplinas de Economia, teroportunidade de fazer aplicaes nos clculos econmicos, a fm de poder entender melhor os problemas relacionados a economia. Este tema ser aplicado nas disciplinas de Administrao da Produo e Administrao de Materiais.A partir deste momento, passaremos a nos preocupar com os aspectos das funes reais de uma varivel real.Curso de Graduao em Administrao a Distncia126Exemplo3.1 Af unoindicadaporf : 0,10 |||| - talque, y =f (x) = x2+1, a relao cujo domnio 0,10 |||| e contradomnio o conjunto dos nmeros reais. A regra que associa a todo ponto x 0,10 |||| um nico nmero real f (x) = x2+1. O conjunto imagem o conjunto dos nmeros reais no negativos. Deste modo,f (0) = 02+1= 1,f (1) = 12+1= 2 ,f (6) = 62+1= 37 ,f (10) = 102+1= 101.Exemplo3.2 SejamA= x | x = 1 }ef : A-0, + ||)talque f (x) =1x ~1 , isto , a regra que associa a todo pontox A o nmero realf (x) =1x ~1 em0, + ||). Assim,f12[\|Jj =112~1=1~ 12= ~2 ,f34[\|Jj =134~1=1~ 14= ~4 ,f 0,99( ) =10,99 ~1=1~0,01= ~100 ,f 3( ) =13~1= 12,f 100( ) =1100 ~1=199= 0,0101.Observao Quando o domnio e o contradomnio de uma funo esto contidos no conjunto dos nmeros reais, a funo chamada de uma funo real de varivel real. Duas funes so iguais, somente quando tm os mesmos domnios, contradomnio e regra de associao. Mdulo 2127Exemplo3.3 Asfunesf : -,f (x) = x2,e g : (~1, 1) - ,g(x) = x2, tm domniosDom( f ) = e Dom(g) = (~1, 1) . Essas fun-es so distintas, pois tm domnios diferentes, apesar de terem a mesma regra de associao e o mesmo contradomnio. Os conjuntos imagem de ambas so tambm distintos:Im( f ) = [0, +) eIm(g) =[0, 1) .Operaes com funesSejamfegduas funes defnidas num mesmo conjunto A.Soma das funesA funo* s defnida emA, tal ques(x) =f (x) + g(x)recebe o nome de funo SOMA defe g .Exemplo 3.4 Sef (x) = x3 e g(x) = 3x2+ 2, comx , ento a funo sdefnida em, tal ques(x) = x3+ 3x2+ 2 a soma defeg .Produto de funesA funop defnida emA, tal quep(x) =f (x).g(x)recebe o nome de funo produto defe g .Exemplo 3.5Sef (x) = x3 e g(x) = 3x2+ 2, comx , ento a funo p defnida em, tal quep(x) = x3.(3x2+ 2) = 3x5+ 2x3 o produto defe g .Diviso de funesSeg(x) = 0para todox A, a funoqdefnida emA, tal que q(x) =f (x)g(x) o quociente defe g .Exemplo 3.6 Sejamf (x) = x4 e g(x) = x4+ 2, comx . A funoqdefnida em, tal queq(x) =x4x4+ 2 o quociente das funesfe g .Funo*: NaMa-temtica, funo signifcaumarela-o(comalgumas caractersticasde-terminadas)entre membrosdedois oumaisconjuntos. Funesdescrevem relaesmatemti-casespeciaisentre doisobjetos,xey.O objeto x chama-dooargumentoda funofeoobjeto y que depende de x chamado imagem de x pela f.Funo: Em Admi-nistrao, funo o que relaciona deter-minado componente aoobjetivodeum sistema administra-tivo.Exemplo:fun-o marketing. Curso de Graduao em Administrao a Distncia128)TEQFGWOCHWPQOgrfcodeumafuno f : A- B ,dadacomo y =f (x) ,o conjunto dos pontos do plano, cujas coordenadas no sistema cartesiano retangular so dadas por(x, f (x)) , onde x A. Para isto, construmos um quadro(x, f (x)) , atribuindo a x valores convenientes.Vejamos alguns exemplos de grfcos:Exemplo3.7 Representargraficamenteafuno y =f (x) = 3~ x ,x 0,3 ||||.Resoluo: Temos o seguinte quadro:x 0 1 2 3y= f (x) = 3 x 3 2 1 05432100,5 1 1,5 2 2,5 3yxFigura 3.1Exemplo3.8 Representargrafcamenteafuno y =f (x) = x ~1 ,x ~1.Resoluo: Temos o seguinte quadro:Mdulo 2129x 1 2 5 10 . . .y= f (x) = x ~10 1 2 3 . . .1234501 2 3 4 5xyFigura 3.2Exemplo 3.9 Representar grafcamente a funo:y =f (x) =2, se x s 0x, se x > 0||.Re s ol u o: Tendo x s 0 , y =f (x) = 2 e pa r a x > 0 ,y =f (x) = x , construmos o seguinte quadro.x . . . ~2 ~1 0 1 2 . . .y . . . 2 2 2 1 2 . . .Curso de Graduao em Administrao a Distncia1301-1234502 -2 -4 -6 -8 -10 4 6 8 10xyFigura 3.3U m a f u n o f t a l q u e f (x) =f (~x) ,Vx Dom( f ) ,chamadadef unopar.Quandof (~x) = ~ f (x) , Vx Dom( f ) ,afunochamadade funo mpar. Exemplo3.10Af unof : [~2, 2] - ,dadapela f (x) = x2 p a r, p oi s f (~x) = (~x)2= x2=f (x) ,Vx [~2, 2] . A funo f (x) = x3, x [~2, 2] , mpar. De fato, f (~x) = (~x)3= ~x3= ~ f (x) .Observao Quando uma funo par, seu grfco simtrico em rela-o ao eixoY . Isso signifca que, se o ponto (x, y)pertence ao grfco, ento o ponto (~x, y)tambm pertence. Quando uma funo mpar, seu grfco simtrico em relao origem. Isso signifca que, se o ponto (x, y)pertence ao grfco, ento o ponto(~x, ~y)pertence tambm ao grfco.Vamos verifcar se voc est acompanhando tudo at aqui? Procure ento, resolver os exerccios propostos.Mdulo 2131Exerccios propostos 11) Representar grafcamente as funes dadas por:a)f : 0, 3 |||| -, f (x) = x +1.b)y = 5~ 3x , x ~4,3 ||||.c)y = x2~ 4x , x 0, 4 ||||.d)y =~2, sex < 0x, se x ~ 0||||.e)y =13~ x, x > 3.2) Verifque se as funes dadas so iguais:A={x ,/ x > 0} e B = , f (x) = x ~ 3 eg(x) = x2~ 3xx3)Dadasasfunesf (x) = x3+ 2x + 3,x ,e g(x) = 2x + 5,x (0, ) , obtenha as funes soma, produto e quociente defcomg .Agora, vamos estudar alguns tipos defuno.Se ao fnal deste primeiro estudo sobre funes (e demais tpicos) tratados at aqui voc continua com dvidas ou no conseguiu resolver os exerccios propostos, no desista! Releia o material, veja os exemplos mais uma vez, refaa os exerccios! Consulte as referncias na bibliografa. E busque esclarecimentos junto ao Sistema de AcompnhamentoCurso de Graduao em Administrao a Distncia132Funes elementaresA seguir apresentaremos algumas funes elementares.Funo constanteA funo que associa cada elemento do seu domnio a um mesmo elemento do contradomnio, chamada de funo constante. Exemplo 3.11.A funo f : [0, ) -, f (x) = 2 , uma funo cons-tante. Seu grfco no intervalo0, 2 |||| do seu domnio o seguinte:yx 022Figura 3.4: NO INTERVALO0, 2 ||||Funes ahm e linearChama-sefunoafmqualquerfunodadaporf (x) = ax + b ,onde os coefcientes ae b so nmeros reais dados. Quandob = 0, a funo chamada de linear. O grfco da funo afm com domnio e contradomnio uma reta com coefciente angular igual aa , e que intercepta os eixos coordenadosXe Ynos pontos~ ba , 0[\|Jj e0, b( ), respectivamente.Exemplo 3.12 O grfco da funo afm, tomando-sea = 1 eb = ~1, ou seja,y =f (x) = x ~1, no intervalo[~1, 2] , mostrado a seguir.Mdulo 213324y2400,5 1 1,5 2 0,5 1xFigura 3.5Umaretapodeserrepresentadaporumafunoafmdaformay = ax + b . Precisamos apenas determinara eb .Funo mdulo a funo defnida porf (x) = | x | =x, x ~ 0~x, x < 0||O grfco da funo mdulo o seguinte:0yxFigura 3.6Funo quadrticaSejama,b e c nmerosreaisquaisquer,coma = 0.Afunof ,defnida em e dada pory =f (x) = ax2+ bx + crecebe nome de funo quadrtica.Curso de Graduao em Administrao a Distncia134Exemplo 3.13(i) y =f (x) = x2~ 9x +14 a = 1; b = ~9; c = 14 .(ii) y =f (x) = 5x2+ 25xa = 5; b = 25; c = 0.(iii)y =f (x) = ~ 23x2+ 34x ~ 15a = ~ 23; b = 34; c = ~15.Funo polinomial toda funo cuja regra de associao um polinmio, ou seja,f (x) = anxn+ an~1xn~1+ ... + a1x + a0,ondeoscoefcientesa0, a1,..., ansonmerosreaisen umnmero natural, chamado de grau de f (x) .Exemplo 3.14As funes afm e linear so exemplos de funes polinomiais de graun = 1. A funo quadrtica f (x) = ax2+ bx + c , a = 0, uma fun-o polinomial de grau n = 2 . A funof (x) = 2x4~ x3+ 3x2~ 5x +1 uma funo polinomial de grau n = 4 .Funo racional toda funof , cuja regra de associao do tipo f (x) =p(x)q(x),ondep(x) eq(x) ( q(x) = 0 )sofunespolinomiais.Umafuno racional est defnida em qualquer domnio que no contenha razes do polinmioq(x) .Exemplo 3.15Determine o maior domnio possvel da funo racionalf (x) = x2+ x +1x +1.Resoluo: Uma funo racional, com esta regra de associao, est defnida em todo pontox , tal que x +1= 0. Portanto, o maior domnio possvel o conjunto x | x = ~1} .Mdulo 21350yx1Figura 3.7Funo exponencial e logartmicaFuno exponencial de base aSejaaum nmero positivo e a = 1. A funo f : - (0, ) , dada por f (x) = ax, chamada de funo exponencial de base a . Os grfcos dessas funes, so os seguintes:Grfco da funo exponencial quandoa >1.0yx11aa > 1Figura 3.8Curso de Graduao em Administrao a Distncia136Grfco da funo exponencial, quando0 < a 0, b > 0 :P1. ax ay= ax+ y.P2. (axbx) = (ab)x.P3.axay= ax~ y.P4.axbx[\|Jj =ab[\|Jjx.P5. (ax)y= (ay)x= axy.Afunoexponencialmaiscomumemaplicaesafuno exponencial de basea = eondee = 2,71828... a constante de Euler, que um nmero irracional. A funo, nesse caso, chamada de funo exponencial natural ou, simplesmente, funo exponencial. Mdulo 2137Funo logaritma Sejaa umnmeropositivoe a = 1.Afunodefinidapor y =f (x) = loga x x > 0 , recebe o nome de funo logartmico de basea .Vejamos os grfcos da funo logartmica:0yx11aa > 1logaxFigura 3.100yx11a0 < a < 1logaxFigura 3.11Propriedades da funo logaritmaPara todox, y > 0 , valem as seguintes propriedades.P1. Propriedade do produto:loga(xy) =loga x + loga y .P2. Propriedade do quociente:logaxy[\|Jj=loga x ~ loga y .P3. Propriedade da potenciao:loga(yx) = xloga y .Curso de Graduao em Administrao a Distncia138O logaritmo, na basea = e , chamado de logaritmo natural e comum indic-lo comolnx.Funo compostaDadasasfunesf eg ,afunocomposta,denotadaporF(x) =f o g , defnida por F(x) = ( f o g)(x) =f g(x)( ).e o domnio def o g o conjunto de todos os nmerosxno domnio de g , tal queg(x)esteja no domnio de f .Geralmente,f o g = g of.Exemplo3.16Sejamf afunodefinidaporx ~1 eg porg(x) = x + 5. Determinara)F(x) =f o g , e determine o domnio de F .b)G(x) = g of , e determine o domnio deG .Resoluo: a)F(x) = f o g( )(x) =f g(x)( ) =f x + 5( ) = x + 5~1 = x + 4O domnio de g ~, +( ), e domnio de f 1, + ||). Assim sen-do o domnio deF o conjunto dos nmeros reais, para os quaisx + 4 ~ 0, ou seja,x ~ ~4, ainda, ~4, + ||).b) G(x) = g of( )(x) = g f (x)( ) = g x ~1( ) = x ~1 + 5.Como o domnio def1, + ||). E o domnio deg~, +( ), o domnio de G 1, + ||).Mdulo 2139Exemplo 3.17Sejamfa funo defnida porf (x) = x~2=1x2 egpor g(x) = x2~ 4.Determinara)F(x) =f o g , e determine o domnio de F .b) G(x) = g of , e determine o domnio deG .Resoluo: a)F(x) = f o g( )(x) =f g(x)( ) =f x2~ 4( ) = x2~ 4( )~2.O domnio deg~, +( ), e o domnio def ~ 0}. Assim sendo,odomniodeF oconjuntodosnmerosreais,talquex = -2 .b) G(x) = g of( )(x) = g f (x)( ) = g1x2[\|Jj =1x4 ~ 4 .O domnio deg~, +( ), e o domnio def ~ 0}. Assim sendo, o domnio de G ~ 0}.Exemplo 3.18Sejamfa funo defnida porf (x) = logxegporg(x) = x ~ 5. Determinara)F(x) =f o g , e determine o domnio de F .b) G(x) = g of , e determine o domnio deG .Resoluo: a)F(x) = f o g( )(x) =f g(x)( ) =f x ~ 5( ) = logx ~ 5( ).O domnio deg~, +( ), e o domnio def x | x > 0 }.Assim sendo, o domnio deF o conjunto dos nmeros reais tal quex > 5.b) G(x) = g of( )(x) = g f (x)( ) = glogx( ) = logx ~ 5.O domnio deg~, +( ), e odomnio defx | x > 0 }Assim sendo, o domnio de G x | x > 0 }.Curso de Graduao em Administrao a Distncia140Funes crescentes e decrescentesSejaIum intervalo qualquer da reta efuma funo defnida emI . Sejamx1 ex2 comx1 < x2 dois pontos quaisquer de I .Dizemos que f uma funo crescente emI , quando f (x1) sf (x2) ,ou seja, medida que aumenta o valor dex , dentro do intervaloI , as imagens correspondentes tambm aumentam.Analogamente, dizemos quef uma funo decrescente emIquando f (x1) ~f (x2) ,ouseja,medidaqueaumentaovalorde x ,dentrodointervaloI ,asimagenscorrespondentesvodiminuindo.A fgura 3.12 ilustra essas duas situaes0yxx1f(x1)f(x2)x2ffuno crescentex1< x2e f(x1) < f(x2)0yxx1f(x2)f(x1)x2ffuno decrescentex1< x2e f(x1) > f(x2)Figura 3.12Exemplo 3.19 A funo da fgura 3.8,f (x) = ax, a >1 uma fun-ocrescenteparaqualquernmeroreal x .Afunodafgura3.11, y =f (x) = loga x , x > 0 e0 < a 0 .Mdulo 2141Funo inversaUma funof : A- B inversvel quando a relao inversa da ftambm uma funo. Nesse caso, diz-se que aftem funo inversaf~1: B - A.Dada uma funo f : A- B ,y =f (x) , a relao inversa dafe indicaremos por x =f~1(y) .Propriedades da funo inversaSeja f uma funo inversvel ef~1 a sua inversa. Ento, temos as seguintes propriedades:P1. Dom( f~1) = Im( f ) ;P2. Im( f~1) = Dom( f ) ;P3. Sejaf : A- B umafunoinversvel.Afunog : B - A funo inversa da f , quando para todox A e todoy Btem-se g f (x)( ) = xe f g(y)( ) = y .P4.Ogrfcodaf~1simtricoaogrfcodef emrelaoreta diagonal y = x . Isso signifca que, se o ponto(x, y)pertence ao grfco da f , ento o ponto(y, x)pertence ao grfco da f~1.Exempl o3. 20Asf unesf : [0, ) -[0, ) , f (x) = x2, eg : [0, ) -[0, ) , g(y) = y , so inversas uma da outra, pois g( f (x)) = f (x) = x2= x, Vx Dom( f ),ef (g(y)) = (g(y))2= y( )2= y, Vy Dom(g) , onde g =f~1.Note que,Dom( f~1) = Im( f ) e Im( f~1) = Dom( f ) .Curso de Graduao em Administrao a Distncia142Regra PrticaDada a regra de associao da f , y =f (x) . Para se obter a regra que defne f~1, procede-se assim:1: Apartirde y =f (x) ,trocamosx pory e y porx , obtendox =f (y) ;2:Expressamosyem funo de x , transformando algebricamente a expressox =f (y) em y =f~1(x) .Exemplo 3.21 Sejaf : -, defnida por y =f (x) = 3x ~ 5. Deter-mine a funo inversa f~1(x) .Resoluo: Vamos aplicar a regra prtica.1: Trocandox pory ey por x , vemx = 3y ~ 5;2: Expressandoyem funo de x , vem x = 3y ~ 5 = 3y = x + 5 = y = x + 53=f~1(x) .Portanto,f~1(x) = x + 53 a funo inversa de y =f (x) = 3x ~ 5.Exemplo 3.22 Seja

f : ~75||||-~25|||| defnida pory =f (x) = 2x ~ 35x ~ 7.Determine a funo inversa f~1(x) .Resoluo: Aplicando a regra prtica, temosy =f (x) = 2x ~ 35x ~ 7= x = 2y ~ 35y ~ 7= x5y ~ 7( ) = 2y ~ 3=5xy ~ 7x = 2y ~ 3=5xy ~ 2y = 7x ~ 3Mdulo 2143Logo,y5x ~ 2( ) = 7x ~ 3= y = 7x ~ 35x ~ 2=f~1(x) .Portanto,f~1(x) = 7x ~ 35x ~ 2 a funo inversa de y =f (x) = 2x ~ 35x ~ 7.Exemplo 3.23 O nmeroxde certo produto, demandado numa loja,relaciona-secomopreounitriop( ),conformeafunodemandap = 21~ x3. Determine a funo inversa da funo demanda p, ou seja, determine o preo em funo da quantidade demandada.Resoluo: Comop > 0 devemos ter21~ x3> 0 = 21~ x > 0 = 21> xou0 < x < 21.Aplicando a regra prtica, temosp = 21~ x3= x = 21~ p3= 3x = 21~ p = p = 21~ 3x, para0 < x < 7 .Portanto,p = 21~ 3x a funo inversa de p = 21~ x3.Exemplo 3.24 Determinar a funo inversa da funo demanda p =144 ~ x9.Resoluo: Comox > 0 , devemos ter144 ~ x9> 0 = 144 ~ x9> 0 =144 ~ x > 0 =144 > x ou0 < x 0 =144 > 9x2=122> 32x2=12 > 3x = 123> x = 4 > x ,ou,0 < x < 4 .Portanto,p = 144 ~ 9x2 a funo inversa de p =144 ~ x9.Funes trigonomtricas A funo seno e a funo cosseno Considere a circunferncia de raio unitrio e centro na origem do sistema ortogonal de coordenadas, chamada de crculo trigonomtrico.0yxx11-1-10B (cos x, sen x)AFigura 3.13: O Crculo TrigonomtricoVamos convencionar o seguinte: o ponto A a origem dos arcos sobre a circunferncia, e o comprimento x de um arco positivo quando o mesmo obtido a partir de A, deslocando-se, no sentido anti-horrio e, negativo, se no sentido horrio.Mdulo 2145Chama-sefunosenoafuno

f : -,indicadacomof (x) = senx ,queassociaacadanmeroreal x ,entendidocomoo comprimento de um arcoAB da circunferncia, a ordenada do ponto B no eixo y.011yxFigura 3.14: Grfco da funo seno.A funo cosseno a funof : -indicada por f (x) = cosx, que associa cada nmero real x , entendido aqui tambm como o comprimento de um arcoAB da circunferncia unitria, a abcissa do pontoB no eixo0X .Grfco da funo cosseno:011yx2 2 2 2Figura 3.15: Grfco da funo cosseno.Sendo x o comprimento de um arcoAB da circunferncia unit-ria, a ordenada e a abcissa de B,senx ecosx , so no mximo 1 e, no mnimo,~1,qualquerqueseja x ,comoseconstataexaminando-sea fgura acima.Uma funof (x) chamada de peridica, quando satisfaz para Curso de Graduao em Administrao a Distncia146algum p,arelao f (x) =f (x + p) ,qualquerqueseja x Domf .O menor valor dep, para o qual se temf (x + p) =f (x)para qualquer

x chamado de perodo da funo f .Asfunessenoecossenosofunesperidicascomperodo2 , ou seja,senx + 2( ) = sen x e cos x + 2( ) = cosxAs funessen xecosxsatisfazem algumas relaes, chamadas relaes ou identidades trigonomtricas:(i)cos2x + sen2x = 1.(ii) sena + b( ) = sen a cosb + cosa sen b .(iii)cos a + b( ) = cosa cosb ~ sen a sen b .(iv)sen(2a) = 2 sen a cosa .(v)cos(2a) = cos2a ~ sen2a .(vi)cos2a = 1+ cos(2a)2.(vii) sen2a = 1~ cos(2a)2.Funo tangenteA funo

f : A-, f (x) = tg x , defnida portg x = sen xcosx,onde

A= x | cosx = 0 } chamada de funo tangente.A funo tangente peridica. Seu perodo .0yx2 2 2 2Figura 3.16: Grfco da funo tangente.Mdulo 2147Funo secante a funo

f : A-, indicada por f (x) = secx , ondesecx =1cosxe

A= x | cosx = 0 }0yx2 2 2 2Figura 3.17: Grfco da funo secanteA funo secante uma funo par e peridica com perodo2 .Seu conjunto imagem Im(secx) = (~, ~1] |[1, + ) . Funo cossecante a funo f : A-, ondeA o conjunto dos nmeros reais x , tais quesenx = 0, dada porf (x) = cossecx =1sen xVejamos, agora, o grfco da funo cossecante:Curso de Graduao em Administrao a Distncia1480yx2 2 2 2Figura 3.18: Grfco da funo cossecante.A funocossecx uma funo peridica com perodo2 . Seu conjunto imagem o conjunto: Im(cossecx) = (~, ~1] |[1, )Funo cotagenteA funo

f : A-, dada porf (x) = cotg x = cosxsen xonde A o conjunto dos nmeros reais x , tais quesen x = 0, chamada funo cotangente.Vejamos, agora, o grfco da funo cotangente:0yx2 2Figura 3.19: Grfco da funo cotangente.Mdulo 2149Afunocotangenteumafunoperidicadeperodo eIm(cotg x) = .0yx2 2Figura 3.20: Grfco da funo arco secante.Observao 3.3 Na literatura existem as funes trigonomtricas inversas, mas nesse trabalho no faremos, estudo destas funes.#RNKECGURTVKECUFCUHWPGUA seguir, apresentaremos algumas aplicaes prticas de funes em forma de exemplos.Funo receitaExemplo 3.25 Um bem vendido por R$300,00 a unidade. Sendo x a quantidade vendida, a receita de vendas ser300 x . Podemos dizer queR(x) = 300 x uma funo que fornece a quantidade vendida x receita correspondente.Exemplo 3.26 Uma sorveteria vende um picol por R$6,00. Sejaxa quantidade vendida.a) obtenha a funo receitaR(x) ;Curso de Graduao em Administrao a Distncia150b) calculeR(50) ;c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$1.200,00?Resoluo:a) R(x) = 6 x .b) R(50) = 6 50 = 300 .c) Devemos ter1.200 = 6 x=x = 200 .Logo, a quantidade vendida deve ser de 20 picols. Funo Custo e Lucro do Primeiro Grau Sejax aquantidadeproduzidadeumproduto.Ocustototalde produo depende de x , e a relao entre eles chamada de funo cus-to total e a indicamos porC(x) . Existem custos que no dependem da quantidade produzida, tais como, aluguel, seguro e outros. soma desses custos (que no dependem da quantidade produzida) chamamos de custo fxo e indicamos porCF ; a parcela do custo que depende de x, chamamos de custo varivel, e indicamos porCV(x) . Logo, podemos escrever:C(x) = CF +CV(x) .A funo lucroL(x) defnida como a diferena entre a funo receitaR(x)e a funo custo C(x) , e temosL(x) = R(x) ~C(x) .Por exemplo, o custo fxo mensal de fabricao de um produto R$6.000,00 e o custo varivel por unidade R$ 15,00. Ento a funo custo total dada porC(x) = 6.000 +15x.Se o produto for, digamos, nmero de aparelhos de TV, os valores dexsero 0, 1, 2,...Caso o produto for, digamos, toneladas de soja produzidas, os va-lores dexsero nmeros reais positivos.Exemplo3.27 UmprodutovendidoporR$20,00aunidade(preo constante). A funo receita serR(x) = 20x . Se colocarmos o grfco Mdulo 2151da funo receita e o da funo custo C(x) = 6.000 +15x num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, teremos o grfco a seguir:x600800040 xcR(x)e C(x)R(x)C(x)AFigura 3.21: Grfco deR(x) = 20xe C(x) = 6.000 +15x no mesmo siste-ma de coordenadas.A abscissa,xc, do pontoA chamada de ponto de nivelamento ou ponto crtico. Note que: Se x > xc, entoR(x) >C(x)e L(x) > 0 . Se x < xc, entoR(x) C(x)e, portantoL(x) > 0 , ou seja, lucro positivo.12)Funo receita:R(x) = x 250 ~ x( );Mdulo 2161Funo custo:C(x) = 10 250 ~ x( ).a) Funo lucro:L(x) = 250 ~ x( ) x ~10( );b) 5.375.13)f~1(x) = x + 2 .14)20 ~ 4x( )2.15)a)5+x16;b)4 +x20;c) A medida que x aumenta o custo mdio tende para 5(cinco).