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Sinais e Sistemas

Professor: Rafael Antunes Nóbrega

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Continuação...• CAPÍTULO 1: Introdução:

– Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto;– Energia e Potência de um sinal– Transformações de variáveis independentes;– Sinais periódicos– Sinais senoidais e exponenciais;– Funções impulso unitário e degrau unitário;– Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto;– Propriedades básicas de sistemas;

• CAPÍTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo:– Representações de sinais em termos de impulso;– Convolução.– Esquema de Interconexões– Propriedades de sistemas LIT– Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes– Funções de singularidade

• CAPÍTULO 3: Série de Fourier– Perspectiva histórica– Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas– Representação de sinais periódicos de tempo contínuo– Convergência da série de Fourier– Propriedades da série de Fourier de tempo contínuo– Representação de sinais periódicos de tempo discreto– Propriedades da série de Fourier de tempo discreto– Série de Fourier e sistemas LIT– Filtragem– Exemplos filtros contínuos– Exemplos filtros discretos

• CAPÍTULO 4: A transformada de Fourier de tempo contínuo– Representações de sinais aperiódicos (tempo contínuo)– TF para sinais periódicos– Propriedades da TF de tempo contínuo– A propriedade da convolução– A propriedade da multiplicação

– Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes (parte do Cap. 6)

• CAPÍTULO 5: A transformada de Fourier de tempo discreto– Representações de sinais aperiódicos (tempo discreto)– TF para sinais periódicos– Propriedades da TF de tempo contínuo

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visto

Capítulo 5

A transformada de Fourier de tempo discreto

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• Vimos que os coef.s da série de Fourier para uma onda quadrada periódica de tempo contínuo podem ser vistos como amostras de uma função envoltória e que, à medida que o período da onda quadrada aumenta, essas amostras se tornam cada vez mais próximas.

• Isso sugeriu que se representando um sinal aperiódico x(t) como periódico x’(t), fazendo x’(t) = x(t) em um período; e fazendo com que o período se aproximasse de infinito de modo que x’(t) ficasse igual ao sinal aperiódico x(t).

• Assim a séria de Fourier x’(t) convergia para a representação por transformada de Fourier para x(t).

• Faremos algo parecido para o TF discreta....

Representação de sinais aperiódicos:Transformada de Fourier de tempo discreto

Transformada de Fourier


• Lembrando esse procedimento…

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• Considere a sequência x[n] abaixo; a partir deste sinal podemos criar uma sequência periódica x’*n+ para o qual x*n+ é um período.

• Escolhendo um período maior N, x’*n+ é idêntico a x*n+ por um período maior; e quando N∞, x’[n] = x[n];



• Analisando a partir das equações, temos da série de Fourier:

• Como x’*n+=x*n+ por um intervalo entre -N1 e N2, temos:

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(5.1)

(5.2)

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Definindo a função:

• Pode se ver que X(ejw) é periódico em w com período 2π, e o mesmo acontece com ejwn.

• Portanto o produto X(ejw)ejwn, também será periódico (figura ao lado).

• Cada parcela do somatório da Eq. 5.7, representa a área de um retângulo de altura x(ejkw0)ejkw0n e largura w0. Quando w0 0, o somatório torna-se uma integral. 9



(Eq. 5.7)

• Note também que, como o somatório é realizado sobre N intervalos consecutivos de largura w0 = 2π/N, o intervalo de integração total sempre será uma largura de 2π.

• Portanto, quando N ∞, x’*n+ = x*n+ e a equação anterior torna-se:

– Em que X(ejw)ejwn é periódico com período 2π, o intervalo de integração pode ser tomado como qualquer intervalo de comprimento 2π.

• Assim sendo, temos o par de Fourier:

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Representação de sinais aperiódicos:Transformada de Fourier discreta


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No tempo contínuo No tempo discreto

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• Exemplo 5.1...

– Ache a TF de x[n] = anu[n], |a|<1

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• Exemplo 5.1



a > 0 a < 0

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• Exemplo 5.2...

• Ache a TF de x[n] = a|n|, |a|<1



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• Exemplo 5.2...



a > 0

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• Exemplo 5.3...

– Ache a TF de:



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• Exemplo 5.3...



Exemplo N1 = 2

Correspondente de tempo discreto da função sinc (Exemplo 4.4), A diferença mais importante é que esta função é periódica com período 2π.

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(5.8)

(5.9)

(3.94)

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• Exemplo 5.4...

– Ache a TF de x[n] = δ[n]



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• Exemplo 5.4...



(próximo slide)

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• Exemplo 5.4...



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• Exemplo 5.4...



(próximo slide)

• Indo para o impulso no tempo contínuo...

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• Próxima aula...

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TF para sinais periódicos


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