Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG

Instituto de Ciências Exatas - ICEx

Departamento de Matemática

Um modelo de mínimos quadrados para a

audição humana

Deise Nunes de Arruda

Orientadora: Cristina Marques

Belo Horizonte, Dezembro 2005

2

AGRADECIMENTOS

A Deus, que está sempre presente iluminando e abençoando meu caminho.

Aos meus amados pais, Maria e Israel, que tornaram possível a concretização de todos

os meus sonhos.

Ao meu noivo Marcelo, pela sua compreensão e seu amor.

A todos os meus amigos, pela força, dedicação e companheirismo.

E de uma forma especial agradeço à minha orientadora Cristina Marques, pela

paciência e carinho.

3

INDICE

Introdução ................................................................................................................... 4

1 Espaços vetoriais com produto interno ..................................................................... 6

1.1 Espaço Vetorial .................................................................................................... 6

1.1.1 Espaço Vetorial das Funções Reais Contínuas ............................................ 7

1.2 Produto Interno .................................................................................................... 8

1.2.1 Produto Interno para o Espaço Vetorial das Funções Reais Contínuas ..... 9

2 Projeções Ortogonais em Espaços com Produto Interno ............................................ 11

3 Aproximação por Mínimos Quadrados ...................................................................... 13

4 Polinômios Trigonométricos e a Série de Fourier ...................................................... 15

5 Aproximação de Mínimos Quadrados a uma Onda Sonora ....................................... 19

Bibliografia ................................................................................................................. 21

4

INTRODUÇÃO

A percepção musical humana tende a combinar informações sonoras de acordo com o

contexto sonoro de formas muito variadas. Por exemplo, se duas notas musicais são similares

e tocadas muito próximas, o cérebro apenas percebe uma delas. Também se dois sons são

diferentes, mas um muito mais forte que o outro, o cérebro humano não notará o som mais

fraco. Essa percepção do que é captado ou não pelo ouvido humano ainda pode variar de

pessoa para pessoa. O estudo desse fenômeno é chamado psicoacústica, que utiliza modelos

matemáticos para representar padrões da audição humana, descritos em tabelas e quadros.

O ouvido consiste em 3 partes básicas - o ouvido externo, o ouvido médio, e o ouvido

interno. Cada parte serve para uma função específica para interpretar o som. O ouvido

externo serve para coletar o som e o levar por um canal ao ouvido médio. O ouvido médio

serve para transformar a energia de uma onda sonora em vibrações internas da estrutura óssea

do ouvido médio e finalmente transformar estas vibrações em uma onda de compressão ao

ouvido interno. O ouvido interno serve para transformar a energia da onda de compressão

dentro de um fluido em impulsos nervosos que podem ser transmitidos ao cérebro. As três

partes do ouvido podem ser vistas na figura 1.

Figura 1

Pode-se afirmar, com um grau razoável de exatidão, que o ouvido humano é um sistema

linear. Isso quer dizer que se uma onda sonora complexa é uma soma finita de componentes

senoidais de diferentes amplitudes, freqüências e ângulos de fase, digamos

)(...)()( 1110 nnn tsenAtsenAAtq

5

então a resposta do ouvido consiste de impulsos nervosos ao longo dos mesmos caminhos que

seriam estimulados pelos componentes individuais.

Figura 2

O objetivo desse trabalho é mostrar uma aplicação da Álgebra Linear à audição humana.

Aproximaremos uma onda sonora complexa a uma onda sonora do tipo serra que produz o

mesmo estímulo sonoro para o ouvido, a fim de calcularmos as freqüências de seus

componentes senoidais.

6

CAPÍTULO 1 - ESPAÇOS VETORIAIS COM PRODUTO INTERNO

1.1 - ESPAÇO VETORIAL

Seja K um corpo e V um conjunto não vazio com operações de adição e multiplicação por

escalar que determinam para qualquer u e v V uma soma u + v V e para qualquer u V e

k K um produto kv V. Então V é chamado de espaço vetorial sobre K (e os elementos de

V são chamados vetores) se os seguintes axiomas são verdadeiros:

1) u + v = v + u

2) Para quaisquer u, v, w V, (u+v)+w = u+(v+w)

3) Existe um vetor em V, denotado 0 e chamado elemento neutro, tal que u+0 = 0+u = u

para cada u V .

4) Para cada u em V, existe um vetor –u, chamado simétrico de u, tal que u+(-u) = (-u)+u

= 0.

5) Para qualquer escalar k K e quaisquer vetores u,v V, k(u+v) = ku+kv.

6) Para quaisquer a,b K e u V (a+b)u = au + bu e (ab)u = a(bu).

7) 1.u = u

7

1.1.1 Espaço Vetorial das funções reais contínuas

Se V é o conjunto das funções reais contínuas definidas na reta real (-,), com a soma de

duas funções quaisquer f e g em V sendo a função f + g em V definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

e o produto de um escalar kK e de uma função f V sendo a função kf definida por

(kf)(x) = kf(x)

então V é um espaço vetorial.

O espaço vetorial das funções reais contínuas é denotado por F(- , + ), sendo o vetor 0 a

função constante identicamente nula para todos os valores de x e o vetor negativo de f a

função - f = - f (x).

Demonstração

Considere f, g e h funções reais quaisquer em V e k, a e b escalares quaisquer em K.

1) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)

2) [(f + g) + h](x) = (f + g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) = f(x) + (g + h)(x) = [f + (g+h)](x)

3) 0 é a função constante identicamente nula para todo xR.

(0 + f)(x) = 0(x) + f(x) = f(x)

(f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x)

4) [f + (-f)](x) = f(x) + (-f(x)) = 0

[(-f) + f ](x) = -f(x) + f(x) = 0

5) k.(f + g)(x) = k.[f(x) + g(x)] = k.f(x) + k.g(x)

6) [(a+b).f](x) = (a+b).f(x) = a.f(x) + b.f(x) = (a.f)(x) + (b.f)(x)

8

(a.b.f)(x) = (ab)f(x) = a[b.f(x)] = a(b.f)(x)

7) 1.f(x) = f(x) , para toda f(x) em V.

Estudar espaços vetoriais mais gerais, que não sejam o euclidiano, fornece uma ferramenta

poderosa para estender a visualização geométrica a uma larga classe de importantes

problemas matemáticos, nos quais normalmente não poderíamos contar com a intuição

geométrica. É razoável usar produtos internos generalizados para definir as noções de

comprimento, distância e ângulo em espaços vetoriais arbitrários.

1.2. PRODUTO INTERNO

Um produto interno em um espaço vetorial real V é uma função que associa um número real

denotado por <u,v> a cada par de vetores u e v em V de tal maneira que os seguintes axiomas

são satisfeitos por quaisquer vetores u,v e w de V e qualquer escalar k:

1) <u,v> = <v,u>.

2) <u+v,w> = <u,w> + <v,w>

3) <ku,v> = k<u,v>

4) <u,u> ≥ 0

<u,u> = 0 se, e somente se, u = 0

Como dito anteriormente, o produto interno permite que se crie uma geometria num espaço

vetorial qualquer. Observe a seguinte definição:

9

Se V é um espaço vetorial com produto interno então a norma ou comprimento

de um vetor u de V é denotada por ||u|| e definida por

||u|| = <u,u>1/2

A distância entre dois vetores u e v é denotada por d(u,v) e definida por

d(u,v) = ||u-v||

E ainda pode-se definir um ângulo entre u e v tal que

0,||||.||||

,cos

vu

vu

1.2.1 Produto interno para o espaço vetorial das funções reais contínuas

Sejam f = f(x) e g = g(x) duas funções contínuas em [a,b] e defina

Essa fórmula define um produto interno em C[a,b] pois satisfaz todos os axiomas de produto

interno.

Demonstração

Considere f, g e h funções reais quaisquer em V e k escalar em K.

1) fgdxxfxgdxxgxfgf

b

a

b

a

,)().()().(,

2) b

a

b

a

b

a

dxxhxfdxxhxgxhxfdxxhxgxfhgf )().()]().()().([)()).()((,

b

a

dxxgxfgf )()( ,

10

hghfdxxhxg

b

a

,,)().(

3) gfkdxxgxfkdxxgxkfgkf

b

a

b

a

,.)().(.)().(,

4) 0)]([)().(, 2 dxxfdxxfxfff

b

a

b

a

11

w2

w1

u

W

u-projWu projWu

u

w u - w

W

CAPÍTULO 2 - PROJEÇÕES ORTOGONAIS EM ESPAÇOS COM PRODUTO

INTERNO

Se W é um subespaço de dimensão finita de um espaço vetorial com produto interno V, então

cada vetor u V pode ser expresso precisamente de uma única maneira como

u = w1 + w2

onde w1 está em W e w2 está em W (figura 3).

Figura 3

O vetor w1 é chamado de projeção ortogonal de u em W e denotado por uprojW . O vetor w2 é

chamado componente de u ortogonal a W e é denotado por uprojW .

A projeção de u em W é a melhor aproximação de u por vetores de W, ou seja,

wuuproju W

para qualquer w W (figura 4).

Figura 4

Se considerarmos {v1, v2, ..., vr} uma base ortonormal de W então teremos:

rrW vvuvvuvvuuproj ,...,, 2211

12

Lembramos que se W não possuir uma base ortonormal podemos utilizar o processo de Gram-

Schmidt para tornar seus vetores ortogonais e depois dividi-los pelo valor de sua norma para

normalizá-los.

13

CAPÍTULO 3 - APROXIMAÇÃO POR MÍNIMOS QUADRADOS

Imaginemos a seguinte situação problema:

Encontre a “melhor aproximação possível” de uma função f, contínua em

[a,b], dentre todas as funções de um subespaço W específico de C[a,b].

Para resolvermos esse problema precisaremos de uma maneira de medir o erro que resulta

quando uma função contínua é aproximada por outra sobre [a,b]. Se nossa preocupação fosse

aproximar f(x) somente num único ponto x0, então o erro causado por uma aproximação g(x)

seria simplesmente

)()( 00 xgxf

que pode ser chamado de desvio entre f e g em x0 (figura 5).

Figura 5

Mas, nesse momento, surge uma dúvida: será que a função g é a melhor aproximação da

função f em todos os pontos do intervalo? E se não for, como escolher, ou encontrar, a melhor

aproximação?

Vamos observar o gráfico das duas funções (figura 6):

Figura 6

14

A diferença entre f e g pode ser vista como a área entre os gráfico de f(x) e g(x). Ou melhor

b

a

dxxgxferro |)()(|

Matemáticos e cientistas costumam favorecer uma medida alternativa do erro total, chamado

erro quadrático médio (e.q.m)

dxxgxfmqe

b

a

2)]()([..

O erro quadrático médio é mais vantajoso, entre outras coisas, por nos permitir utilizar a

teoria dos espaços vetoriais com produto interno. Vejamos como.

Suponha que f seja uma função contínua em [a,b] e queremos aproximá-la por uma função g

em algum subespaço W de C[a,b] que tem o produto interno sendo

b

a

dxxgxfgf )()( ,

Teremos então erro quadrático médio igual a

dxxgxf

b

a

2)]()([

Mas

b

a

dxxgxfgfgfgf 22 )]()([,||||

Logo minimizar o erro quadrático médio será o mesmo que minimizar ||f - g||2.

Portanto a função g, que responde a pergunta feita no início deste capítulo, será a função em

W que minimiza ||f - g||2.

Mas vimos no capítulo 2 que a melhor aproximação de f em W será a sua projeção ortogonal,

então:

fprojg W

15

CAPÍTULO 4 - POLINÔMIOS TRIGONOMÉTRICOS E A SÉRIE DE FOURIER

Uma função da forma:

)(...)()cos(...)2cos()cos()( 1210 nxsendxsendnxcxcxccxt nn

é chamado de polinômio trigonométrico. Se cn e dn não são simultaneamente nulos, dizemos

que t(x) é de ordem n.

Polinômios trigonométricos de ordem n ou menor são as várias combinações lineares

possíveis de

)(),...,(),cos(),...,cos(,1 nxsenxsennxx

Essas 2n+1 funções são linearmente independentes e, portanto, para qualquer intervalo [a,b],

formam uma base de um subespaço (2n+1) dimensional de C[a,b].

Demonstração

Vamos provar que as funções acima citadas são linearmente independentes mostrando que

elas são ortogonais.

Considere m e n números naturais quaisquer com m n.

i)

0

22

0)(2

)(

)(2

)()cos().cos()cos(),cos(

nm

nmsen

nm

xnmsendxnxmxnxmx

0)(2

)cos()()cos()(

)(2

)cos()()cos()(

0

2

nm

mxnxsennxmxsen

nm

mxnxsennxmxsen.

Logo, )cos()cos( nxmx .

16

ii)

0

2

)(2

)(

)(2

)()().()(),(

2

0

nm

xnmsen

nm

xnmsendxnxsenmxsennxsenmxsen

0

2

)(2

)cos().()cos().(

)(2

)cos().()cos().(

nm

mxnxsennxmxsen

nm

mxnxsennxmxsen= 0.

Logo, )()( nxsenmxsen .

iii) 0)(

)cos(.1)cos(,1

0

22

0

m

mxsendxmxmx

Logo, )cos(1 mx .

iv) 0)cos(

)(.1)(,1

0

22

0

m

mxdxmxsenmxsen

Logo, )(1 mxsen .

Vamos considerar o problema de encontrar a aproximação de mínimos quadrados de uma

função f(x) contínua sobre o intervalo [0,2] por polinômios trigonométricos de ordem n ou

menor. Como já vimos a aproximação de f em W é a projeção ortogonal de f sobre W.

Para encontrar essa projeção vamos, primeiramente, encontrar uma base ortonormal para W.

Utilizaremos para tal o produto interno de duas funções contínuas (1.2.1):

b

adxxgxfgf )().(,

Isto nos dá:

2||1||

, || ||

, ||cos||

nxsen

nx

17

Portanto uma base ortonormal para W é:

)(1

....,,1

),cos(1

....,,cos1

,2

12110 nxsengsenxgnxgxgg nnn

Logo

nn

nnnnW

ggf

ggfggfggfggfggffproj

22

11221100

,

..., , ...,,,

Se introduzirmos a notação:

E substituirmos na equação acima obteremos:

Onde:

Ou seja,

A projW f dada por

) ... ()cos...cos( 2

110 nxsenbxsenbnxaxa

afproj nnW

nnnn

nn

gfbgfgfb

gfagfagfa

22211

1100

,1

...,,,1

b ,,1

,,1

...,,,1

,,2

2

) ... ()cos...cos( 2

110 nxsenbxsenbnxaxa

afproj nnW

2

0

2

0

2

0

2

0

1

2

0

2

0

0

cos)(1cos

)(1

cos)(1cos

)(1

)(1

2

1).(

2

2

dxnxxfnx

xfa

dxxxfx

xfa

dxxfdxxfa

n

2

0

2

0

2

0

2

0

1

)(1

)(1

)(1

)(1

dxnxsenxfdxnxsen

xfb

dxxsenxfdxxsen

xfb

n

2

0

2

0

)(1

kcos)(1

dxkxsenxfbdxxxfa kk

18

pode ser reescrita agora como

n

k

kkW kxsenbkxaa

fproj1

n

1k

0 cos2

Os números ak e bk são conhecidos como coeficientes de Fourier de f.

A aproximação por mínimos quadrados melhora à medida que aumenta o número de termos

do polinômio trigonométrico aproximante.

Isso quer dizer que quando n o erro quadrático médio 0. Portanto podemos considerar

n

k

kk ktsenbktaa

tf1

n

1k

0 cos2

)( .

O lado direito dessa equação é a Série de Fourier da função f.

19

CAPÍTULO 5 – APROXIMAÇÃO DE MÍNIMOS QUADRADOS A UMA ONDA

SONORA

Vamos, agora, através do processo de aproximação de mínimos quadrados visto no capítulo

anterior, calcular as freqüências dos componentes senoidais de uma onda sonora complexa

utilizando uma onda sonora do tipo serra que produz o mesmo estímulo sonoro para o ouvido.

Seja p(t) uma onda do tipo serra, com freqüência básica de 5000 cps (figura 7) .

Figura 7

Suponha que a amplitude máxima da onda seja A. O período básico da onda é

T=1/5000=0,0002 segundo.

De t = 0 a t = T, a função p(t) tem a equação

t

T

T

Atp

2

2)(

Então, para solucionar o problema, calcularemos o polinômio trigonométrico que mais se

aproxima de p(t), ou seja, aquele que minimiza o erro quadrático médio. Como p(t) está

definida em [0,T] e não em [0,2] (como vimos no capítulo 4) temos os seguintes coeficientes

de Fourier como resultado da mudança de escala:

T

k

T

k dttT

ksentf

Tbdtt

T

ktf

Ta

00

2)(

2e

2cos)(

2 .

Logo,

0

0

2

2

220cos)(

2 2

00

T

T

AtAt

Tdtt

T

T

A

Tdttp

T

TT

0a

20

0

0

2cos

2

42

2

42.

.2cos

2

22.2cos).(

2

2

00

T

tT

k

k

At

T

ksen

Tk

Att

T

ksen

k

A

dtT

tkt

T

T

A

Tdt

T

tktp

T

TT

ka

k

AT

tT

ksen

k

At

T

k

Tk

Att

T

k

k

A

dttT

ksent

T

T

A

Tdtt

T

ksentp

T

TT

2

0

2

2

42cos

2

42cos

2

2

222)(

2

2

00

kb

Agora nós podemos investigar como a onda sonora p(t) é percebida pelo ouvido humano.

Observe que 4/T = 20.000 cps (uma vez que T = 0,0002 segundo) , de modo que basta

avançar até k = 4 nas equações anteriores.

Portanto, o polinômio trigonométrico que melhor se aproxima de p(t) é dado por

Tsen

Tsen

Tsen

Tsen

Atq

8

4

16

3

14

2

122)(

Os termos senoidais têm freqüências de 5.000, 10.000, 15.000 e 20.000

Na figura 8 têm-se os gráficos de p(t) e q(t) ao longo de um período.

Figura 8

21

BIBLIOGRAFIA

[1] HOWARD, A.; RORRES, C. Álgebra Linear com aplicações. 8 Ed. Porto Alegre:

Bookman, 2001.

[2] LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. 3 Ed.São Paulo: Editora Harbra, 1994.

[3] GUYTON, A.C.; HALL, J, E. Tratado de fisiologia médica. 9 Ed. Rio de Janeiro:

Guanabara Koogan, 1997.

[4] BERTULANI C.A. O ouvido humano. Rio de Janeiro. Disponível em

http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/ondas2/ouvido/ouvido.html. Acesso em: 08 de jul. 2008.