OBJETIVO

Dado um conjunto de pontos, determinar uma função g(x) que melhor se ajusta ao conjunto.

x0 x1 x2 x3 x4x5

f(x)

g(x)

Pontos conhecidos: (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4), (x5, y5).

A função f(x) pode ser ou não conhecida.

Nesse estudo procuraremos ajustar uma função polinomial g(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a0 ao conjunto de pontos.

INTERPOLAÇÃO POR SISTEMAS LINEARES

Conhecidos n + 1 pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), ...., (xn, f(xn)), g(x) será um polinômio de grau menor ou igual a n, tal que:gn(xk) = f(xk), k = 0, 1, 2, ..., n, ou seja: gn(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + anxn.

gn(x0) =     a0 + a1x0 + a2x02 + .... + anx0

n = f(x0)gn(x1) =     a0 + a1x1 + a2x1

2 + .... + anx1n = f(x1)

gn(x2) =     a0 + a1x2 + a2x22 + .... + anx2

n = f(x2). . . . . .      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .gn(xn) =     a0 + a1x2 + a2x2

2 + .... + anxnn = f(xn)

A definição permite construir um sistema linear

Onde:

xik , i = 0, 1, 2, .... n e k = 0, 1, 2, ... n, são os coeficientes das variáveis

ai, i = 0, 1, 2, ... n.

Um aplicativo referente a este processo está disponível no curso.Vejamos como utilizá-lo.

Determinar a função polinomial que melhor se ajusta ao conjunto de pontos: {(0, -17), (1, -14), (2, -5), (3, 28), (4, 127), (5, 358)}

Sendo conhecidos seis pontos o grau da função é cinco ou menor que 5,ou seja g5(x) = a5.x5 + a4.x4 + a3.x3 + a2.x2 + a1.x1 + a0

Formando o sistema:

g5(0) = a5.05 + a4.04 + a3.03 + a2.02 + a1.01 + a0 = - 17g5(1) = a5.15 + a4.14 + a3.13 + a2.12 + a1.11 + a0 = - 14g5(2) = a5.25 + a4.24 + a3.23 + a2.22 + a1.21 + a0 = - 5g5(3) = a5.35 + a4.34 + a3.33 + a2.32 + a1.31 + a0 = 28g5(4) = a5.45 + a4.44 + a3.43 + a2.42 + a1.41 + a0 = 127g5(5) = a5.55 + a4.54 + a3.53 + a2.52 + a1.51 + a0 = 358

0 0 0 0 0 1 a5 1 1 1 1 1 1 a4

32 16 8 4 2 1 a3

243 81 27 9 3 1 a2

1024 256 64 16 4 1 a1

3125 625 125 25 5 1 a0

-17-14-5 28127358

X =

O sistema pode ser transformado na equação matricial:

Representando a equação por AX = B, teríamos X = A-1.B

Deste modo:

=X

a5 = 0, a4 = 1, a3 = -3, a2 = 5, a1 = 0, a0 = -17.

Portanto, g(x) = 0x5 + x4 – 3x3 + 5x2 + 0x – 17 ou g(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 17.

USANDO O APLICATIVO

Digite as coordenadas nestas células.

RESULTADO

g(x) = -17 + 5x2 – 3x3 + x4

Se o número de coordenadas for menorque as células, repita as últimascoordenadas até completar as células.

MÉTODO DE LAGRANGE

O polinômio interpolador tem a forma

gn(x) =  f(x0).L0(x) + f(x1).L1(x) + f(x2)L2(x) + … f(xn).Ln(x)  

sendo Lk(x) = (x – x0).(x – x1)...(x – xk-1).(x – xk+1)....(x – xn)(xk – x0).(xk – x1)...(xk – xk-1).(xk – xk+1)....(xk – xn)

Observe a ausência de (x – xk) no numerador e (xk – xk) no denominador.

EXEMPLO: Determinar o polinômio que melhor se ajusta aos pontos (1, 2), (2, 2) e (3, 4).

Como são três pontos, devemos ter um polinômio de grau 2.

g2(x) = f(x0).L0(x) + f(x1).L1(x) + f(x2)L2(x) 

Calculando os polinômios de Lagrange:

L0(x) = (x – x1).(x – x2)/(x0 – x1).(x0 – x2) = (x – 2).(x – 3)/(1–2).(1–3) = (x2 – 5x + 6)/2.

L1(x) = (x – x0).(x – x2)/(x1 – x0).(x1 – x2) = (x – 1).(x – 3)/(2–1).(2–3) = (x2 – 4x + 3)/(-1).

L2(x) = (x – x0).(x – x1)/(x2 – x0).(x2 – x1) = (x – 1).(x – 2)/(3–1).(3–2) = (x2 – 3x + 2)/2.

g(x) = 2.[(x2 – 5x + 6)/2] + 2.[(x2 – 4x + 3)/(-1)] + 4.[(x2 – 3x + 2)/2]

= x2 – 3x + 4

O APLICATIVO

INSIRA AS COORDENADAS NESTAS CÉLULAS

Resposta:

f(x) = x2 – 3x + 4

MÉTODO DE NEWTON

Polinômio interpolador

pn(x) = D0 + D1.(x – x0) + D2.(x – x0)(x – x1) + D3.(x – x0)(x – x1)(x – x2) + ... + Dn.(x – x0)(x – x1)(x – x2)…(x – xn-1).

(D0, D1, D2, …, Dn) são chamados de operadores diferenças divididas (ODD) pois os coeficientes Di, i = 0, 1, 2,...,n, são obtidos por uma razão entre diferenças.D0 = pode ser simbolizado por f[x0] = f(x0) (ODD de ordem zero).

D1 = simbolizado por f[x0, x1] = (f[x1] – f[x0])/(x1 – x0) = (f(x1) – f(x0))/(x1 – x0)

D2 = f[x0, x1, x2] = (f[x1, x2] – f[x0, x1])/(x2 – x0) = = {[(f(x2) – f(x1))/(x2 – x1)] – [(f(x1) – f(x0))/(x1 – x0)]}/(x2 – x0) = = [(f(x2) – f(x1)).(x1 – x0) – (f(x1) – f(x0)).(x2 – x1)]/(x2 – x1).(x2 – x0).(x1 – x0).

D3 = f[x0, x1, x2, x3] = (f[x1, x2, x3] – f[x0, x1, x2])/(x3 – x0).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dn = f[x0, x1, x2, x3, …, xn] = (f[x1, x2, x3, …, xn] – f[x0, x1, x2, … xn-1])/(xn – x0)

Devido à complexidade das fórmulas é comum apresentar os cálculos em uma tabela:

xi Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3

X0 (1a) f(x0) (1b) (D0)

(2b–1b) (D1)

(2a-1a) (1c)

X1 (2a) f(x1) (2b) (2c – 1c) (D2)

(3a – 1a) (1d)

(3b–2b)

(3a-2a) (2c)

(2d – 1d) (D3)

(4a – 2a)

X2 (3a) f(x2) (3b) (3c – 2c)

(4a – 2a) (2d)

(4b–3b)

(4a-3a) (3c)

X3 (4a) f(x3) (4b)

O APLICATIVO

Digite os valores de x nesta coluna

Digite os valores de f(x) nesta coluna

MÉTODO DE NEWTON-GREGORY

Usado quando o espaçamento entre os valores de “x” são igualmente espaçados.

O procedimento é semelhante ao usado no processo de Newton. Somente não se faz a divisão das diferenças dos Di pelas diferenças dos xi.

EXEMPLO: determinar o polinômio interpolador para a tabela:

x (x)

3 -1

4 5

5 7

6 8

7 6

8 4

0

1

2

3

4

5

O polinômio interpolador, com

g(x) = -1 + 6.(x – 3) + 0.(x – 3).(x – 4) –1.(x – 3)(x – 4).(x – 5) – -1. (x – 3)(x – 4).(x – 5)(x – 6) + 6.(x – 3)(x – 4).(x – 5)(x – 6)(x – 7),

0 = -1, 1 = 6, 2 = 0, 3 = -1, 4 = -1 e 5 = 6

que desenvolvido resulta em:

é

g(x) = 6x5 – 151x4 + 2087x3 – 7157x2 + 12500x + 15543.

UM PROBLEMASuponhamos que se conheça a tabela:

x 0 1 2 3

y 0 4 10 18

e que se deseja determinar o valor de x, quando y = 13,75.

A função y = f(x) exigiria a resolução de uma equação, enquanto uma Relação do tipo x = f(y), levaria a uma simples substituição, do valor de y.

Neste caso, podemos usar qualquer um dos processos já descrito, trocando apenas os valores de x por y e vice-versa.

Optando pelo método de Newton:

Obs: O método de Newton-Gregory não é adequado pois na troca de x por y, a diferença entre as abscissas não é constante.

Usando o aplicativo

f(y) = 0,0006y3 – 0,0149y2 + 0,3012y

f(13,75) = 0,0006.(13,75)3 – 0,0149.(13,75)2 + 0,3012.(13,75) = 2,8842