8/7/2019 Um modelo para vrios problemas

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Matematica

Um modelo para dois problemas

Perguntas feitas e respostas esperadas

Afirmacao de partida:

Uma figura como a seguinte apoia a resolucao de problemas aparentemente muito diferentes,

&%'$&%'$&%'$

por exemplo,

Problema 1

Tres troncos cilndricos iguais e com 1m diametro, estao empilhados, um por cima e trilhado entre osdois de baixo. A que altura se encontra uma mosca pousada no ponto mais alto do tronco superior?

Problema 2

Qual e a area da regiao que fica entre tres circunferencias tangentes todas com o mesmo raio?

Pergunta Como pensaria para desenhar, na sua folha de papel, tres circunferencias tangentes como asda figura? Explique, o melhor possvel, o raciocnio que fizer.

Resposta Para que as tres circunferencias sejam tangentes duas a duas, as distancias entre os seus centrosdevem ser iguais a 2 raios da circunferencia. Isto e, os tres centros sao vertices de um trianguloequilatero de lado 2r Assim:

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Pergunta Pense na afirmacao de partida E explique, por palavras suas, o seu acordo (ou desacordo) como que e afirmado. Porque e que a figura pode ser um bom modelo para os dois problemas?

Resposta E claro que para calcular a altura a que se encontra a mosca, basta considerar um corte dostroncos por um plano perpendicular. A seccao e constituda por tres crculos de igual raio. Parao problema da area da regiao que fica entre as tres circunferencias de igual raio, e obvia a figuraproposta.

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Pergunta Pense numa resolucao para o primeiro problema, desenhando uma figura que a apoie. Ex-plique os passos dados para essa resolucao. Nao se esqueca de desenhar todos os novoselementos que considere essenciais (centros, raios, letras, etc). Apresente os calculos quefizer, acompanhados das devidas explicacoes.

Resposta Para calcular a altura a que esta a mosca (M), utiliza-se o triangulo equilatero [ABC], agorade lado 1m, que nos foi imposto pela necessidade da construcao das circunferencias tangentesduas a duas.

A altura a que se encontra a moscaM e MP = MC+CD+DP. Ora MC+DP = 1 (diametro).

Fica por determinar CD. Ora, CD2

+AD2

= AC2

. Substituindo AD e AC2

pelos seus valores

(relativos ao problema), vem CD2

+ 14 = 1, CD2

= 34 e, finalmente, CD =

32 .

Conclundo: A altura a que se encontra a mosca e exactamente, MP = 1 +

32 , em metros.

Pergunta Faca o mesmo com o segundo problema. Pode ser que as figuras auxiliares que desenhoupara o primeiro problema ajude a resolucao deste. Se for o caso, diga como pensou.

Resposta O melhor disto e mesmo o facto de nao so a figura inicial ser a mesma, mas ser tambem o mesmotriangulo equilatero [ABC] que permite resolver facilmente o problema da area da regiao quefica entre as tres circunferencias tangentes.

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De facto, se a area daquele triangulo tirarmos as areas das tres fatias dos crculos (

ADF), (

BDE)

e (

CFE), ficamos com a area da tal regiao intermedia que nos e pedida.

A area do triangulo e ABDC2

. Chamando r ao raio das circunferencias iguais, vira que a area

do triangulo [ABC] e A =2r

3r

2 =

3

r2

E, como o [ABC] e equilatero, os seus angulos internos sao iguais: A = B = C = 60o.Ora estes sao tambem angulos ao centro em cada um dos tres crculos, o que nos permite concluirimediatamente que, cada uma das fatias de que fal amos tem a sexta parte da area do crculorespectivo:

60

360 r2 = r

2

6

e as tres fatias correspondentes a 180o (metade do crculo) somam uma area de r2

2 .

A area da regiao compreendida entre as tres circunferencias e, por isso, em unidades quadradas,

A =

3 r2 r2

2

Dezembro de 2003Arselio MartinsLoureiro, Oliveira, Ralha, Bastos. Geometria: matematica 10o

ano de escolaridade. ME/DES. Lisboa:1997 (pp 93-94)