Uma Abordagem a Tratado de Las Curvas Especiales Notables

Liliana Isabel Monteiro Soares Pereira

Uma Abordagem Interactiva ao

Tratado das Curvas Especiais

Notaveis

deGomes Teixeira

Departamento de Matematica Pura

Faculdade de Ciencias da Universidade do Porto

23 de Novembro de 2007

Liliana Isabel Monteiro Soares Pereira

Uma Abordagem Interactiva ao

Tratado das Curvas Especiais

Notaveis

deGomes Teixeira

Tese submetida a Faculdade de Ciencias da Universidade do Porto

para obtencao do grau de Mestre em Ensino da Matematica

Departamento de Matematica Pura

Faculdade de Ciencias da Universidade do Porto

23 de Novembro de 2007

Resumo

O trabalho mais famoso e, possivelmente, o mais importante de Gomes Teixeira e o

Tratado das Curvas Especiais Notaveis, na medida em que foi um trabalho premiado,

reconhecido e com grande aceitacao pela comunidade matematica. Nesta dissertacao

propos-se uma abordagem interactiva a este tratado.

O objectivo do trabalho apresentado prende-se com o esforco de reeditar (recorrendo

as novas tecnologias) esta obra de referencia e disponibiliza-la na Internet, para deste modo

contribuir para a sua divulgacao. Adicionou-se novas potencialidades a obra, nomeada-

mente nas ilustracoes, no sentido de proporcionar ao leitor alguma interactividade.

O trabalho esta dividido em tres partes. Na primeira parte, onde estao incluıdos os dois

primeiros capıtulos, tentou-se tracar uma breve panoramica sobre a vida de Gomes Teixeira

e, tambem, apresentar uma visao global de todas as etapas deste trabalho. Nesta mesma

parte, nomeadamente no capıtulo dois, descreve-se todas as ferramentas informaticas uti-

lizadas. A segunda parte, composta pelos capıtulos tres, quatro e cinco, contem a traducao

de tres dos capıtulos originais da obra estudada. Na terceira parte, designadamente no

capıtulo seis, apresenta-se as conclusoes desta dissertacao.

O trabalho e composto, ainda, por um apendice onde se encontra a lista das vinte e

sete alteracoes feitas ao texto original. Desenvolveu-se, tambem, um ”cd”, que se anexou

ao presente trabalho e, a partir do qual, se pode navegar a pagina de Internet produzida

no ambito desta dissertacao, e que permite ao utilizador aceder interactivamente a obra.

3

Agradecimentos

Esta seccao e dedicada a todos aqueles que, de uma forma ou de outra, deram a sua

contribuicao para que esta dissertacao fosse realizada. A todos eles deixo aqui o meu

agradecimento sincero.

Em primeiro lugar agradeco ao Prof. Dr. Fernando Jorge Moreira a forma como

orientou o meu trabalho. Obrigada pelo apoio tanto cientıfico como tecnico, pela paciencia

e pelas dicas sempre oportunas.

Aos meus pais e irmao, pelos valores que me transmitiram ao longo da vida, dois dos

quais, a perseveranca e a capacidade de acreditar que sou capaz, foram fundamentais para

ultrapassar os obstaculos que foram surgindo ao longo do caminho. E tambem por voces

que sinto a maior alegria ao concluir esta tese.

A minha avo, por tudo.

A Antonia, pelo incentivo, apoio e amizade.

Finalmente, ao Antonio, por estar sempre presente. Pela infinita paciencia, carinho,

compreensao, pelo incentivo, pelo apoio incondicional e pela tranquilidade que me soube

transmitir. E tambem por, insistentemente, me lembrar que a vida nao e so trabalho!

A todos agradeco, nao sei se da forma mais adequada, mas pelo menos da forma mais

sincera.

4

Conteudo

Indice de Figuras 8

1 Introducao 10

2 Ferramentas Utilizadas 17

2.1 Regua e Compasso (C.a.R.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 LATEX, MiKTEX e TEXnicCenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Maxima e wxMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 TiddlyWiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Curvas Notaveis Transcendentes 36

3.1 A Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 A Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 A Tractriz de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 A Sintractriz de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5 Catenaria de igual resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5

3.6 A Curva dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7 Quadratriz de Dinostrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.8 Curva Elastica ou Lintearia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.9 Curva Isocrona Paracentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4 As Espirais 90

4.1 Espiral de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2 Espiral de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3 Espiral de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4 Espiral Parabolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.5 Espiral Hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.6 Lituus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.7 Espiral Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.8 Espiral de Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.9 Espiral Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.10 A Cocleoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.11 A Clotoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.12 A Pseudocatenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.13 A Pseudotractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5 Parabolas e Hiperboles 155

5.1 As Parabolas em geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6

5.2 A Parabola Semicubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.3 A Parabola Cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.4 As Hiperboles em geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6 Conclusao 170

Apendice 173

Bibliografia 178

7

Lista de Figuras

103 Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

104 Construcao da Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

105 Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

106 Tractriz de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

107 Sintractriz de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

108 Catenaria de igual resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

109 Curva dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

110 Construcao da Quadratriz de Dinostrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

111 Quadratriz de Dinostrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

112 Curva elastica quando a > c e c > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

113 Curva elastica quando a > c e c < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

114 Espiral de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

115 Espiral de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

116 Espiral de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

117 Espiral Parabolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8

118 Espiral Hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

119 Lituus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

120 Espiral Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

121 Espiral de Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

122 Espiral Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

123 Cocloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

124 Clotoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

125 PseudoCatenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

126 PseudoTractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

127 Parabola quando m ımpar e n par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

128 Parabola quando m e n ımpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

129 Hiperbole quando m ımpar e n e par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

9

Capıtulo 1

Introducao

Francisco Gomes Teixeira (1851-1933), nasceu a 28 de Janeiro de 1851 na aldeia

de Sao Cosmado, freguesia de Armamar, no distrito de Viseu.

Fez os estudos elementares na sua terra natal, e depois foi para o Colegio do Padre

Roseira, em Lamego. Chegada a altura de uma escolha profissional, houve divergencias de

opiniao entre o pai de Gomes Teixeira e o seu primo, Dr. Carvalho. Este destinava, para o

jovem, o estudo da matematica, e aquele pretendia que seguisse ou a carreira eclesiastica,

ou a de direito. Perante esta situacao, o pai perguntou a Gomes Teixeira qual era a sua

preferencia, ao que este tera respondido ser-lhe indiferente uma ou outra. O pai decidiu,

entao, que fosse tirada a sorte a carreira do seu filho, e a sorte ditou que ele iria estudar

matematica.

Gomes Teixeira aceitou o resultado do acaso e, em Outubro de 1869, matriculou-se na

Faculdade de Matematica da Universidade de Coimbra, a unica em Portugal nesse tempo.

Ainda durante o curso Gomes Teixeira escreveu o seu primeiro trabalho, Desenvolvimento

das funcoes em fraccao contınua, que foi publicado na imprensa da Universidade, em 1871.

Concluiu o curso em 1874, com a classificacao maxima de Muito Bom por Unanimidade,

com 20 valores. Em 1875, concluiu o doutoramento com a mesma classificacao.

10

CAPITULO 1. INTRODUCAO 11

Terminado o percurso academico como aluno, Gomes Teixeira iniciou a sua carreira de

docente na mesma Universidade que o acolheu enquanto estudante. A actividade cientıfica

de Gomes Teixeira foi bastante abrangente, contemplando inumeros e diversificados tra-

balhos de investigacao.

Em 1884, Gomes Teixeira pediu transferencia para a Academia Politecnica do Porto,

onde dirigiu a cadeira de Calculo diferencial e integral. Veio a ser pouco tempo depois

director desta Academia, cargo que desempenhou ate 1911, quando foi nomeado reitor da

recem formada Universidade do Porto, que depressa se tornou conhecida internacional-

mente, devido ao prestıgio de tao ilustre reitor.

Gomes Teixeira relacionou-se com alguns dos mais destacados matematicos de renome

mundial da sua epoca, e deslocou-se varias vezes a outros paıses onde contactava com outros

matematicos e participava em congressos. Foi membro de varias sociedades cientıficas

e academias de ciencias, nacionais e estrangeiras. Contribuiu de forma sublime para

o desenvolvimento da Matematica em Portugal, as suas contribuicoes foram reconheci-

das internacionalmente atraves da publicacao dos seus estudos matematicos nas revistas

cientıficas mais conhecidas da sua epoca. Gracas aos seus trabalhos de alta valia mereceu

ser considerado no seu tempo o mais notavel matematico da Penınsula Iberica.


Em 1897, concorreu ao premio da Academia das Ciencias de Madrid com o ”Tratado

de las curvas especiales notables” [1], tendo ganho o premio ex-aequo com Gino Loria

(1862-1954), um dos maiores geometras de entao. Esta obra, de F. Gomes Teixeira

e considerada uma obra classica de grande qualidade cientıfica e historica com grande

impacto internacional, tendo sido reeditada em 1971, em Nova York, e em 1995 em Paris.

Neste tratado, Gomes Teixeira tratou os conceitos geometricos, sob o ponto de vista

da geometria diferencial classica, introduzindo a historia de cada uma das curvas tratadas.

Ate entao, Gomes Teixeira, que se tinha ocupado principalmente da analise, ”descobre”a

geometria, e comeca, com entusiasmo, a estudar questoes relacionadas com este ramo da

Matematica.

Apesar da obra ter sido considerada muito completa, Gomes Teixeira admitiu que

ainda faltava tratar algumas curvas importantes, mas a falta de tempo nao lhe tinha

permitido incluı-las no seu estudo. Apos o seu tratado ter sido premiado, Gomes Teixeira

aumentou-o e completou-o, consideravelmente, e reescreveu-o, em frances, com o tıtulo

Traite des Courbes Speciales Remarquables planes et gauches [2].

E inegavel o marco na historia que este tratado representa e neste sentido, o objec-

tivo proposto para o trabalho apresentado nesta dissertacao fixa-se com a tentativa de


reproduzir (recorrendo as novas tecnologias) esta obra de referencia e disponibiliza-la na

Internet, para deste modo contribuir para a sua melhor e maior divulgacao. Adicionou-

se, tambem, novas potencialidades a obra, nomeadamente nas ilustracoes, no sentido de

proporcionar ao leitor alguma interactividade.

E de salientar, que todo o trabalho elaborado foi realizado utilizando a obra original

(1897) com a qual Gomes Teixeira concorreu ao premio da Academia das Ciencias de

Madrid, e que, por imposicao do regulamento do concurso, encontra-se escrita em castel-

hano.

O ”Tratado de las curvas especiales notables” [1] e constituıdo por catorze capıtulos,

cada um dos quais referente a um determinado grupo de curvas. Devido a sua extensao foi

tomada a decisao de tratar neste trabalho, somente, tres desses capıtulos, nomeadamente

o ”Capıtulo sete: Curvas Transcendentes Notaveis”, o ”Capıtulo oito: As Espirais” e o

”Capıtulo nove: Parabolas e Hiperboles”. Na seleccao destes tres capıtulos, teve-se em

consideracao o facto de serem capıtulos autonomos, ou seja, eram tres capıtulos que nao

estavam directamente relacionados com outros. Estes capıtulos encontram-se expostos,

respectivamente, nos Capıtulos tres, quatro e cinco desta dissertacao.

Torna-se importante referir, ainda, que toda esta dissertacao faz parte de um trabalho


mais abrangente, que se encontra em desenvolvimento na Faculdade de Ciencias da Univer-

sidade do Porto e que tem como objectivo disponibilizar esta e outras obras de referencia

em formato digital.

Todo o trabalho desenvolvido foi realizado tendo em vista a divulgacao desta obra, que

e, ainda nos dias hoje, considerada uma obra de referencia da literatura Matematica. Com

este proposito, era entao, essencial converter o conteudo da obra para um formato digital.

Para tal, optou-se por usar unicamente software de uso livre (nao comercial), denominado

internacionalmente por freeware.

A descricao das ferramentas utilizadas e feita no capıtulo seguinte. Contudo, apenas

sera feita uma descricao sumaria de cada programa, de modo a possibilitar ao leitor

informacao das potencialidades aqui utilizadas e o modo de adquirir informacao adicional.

Numa primeira fase, e sem alterar o conteudo original da obra foram traduzidos para

portugues os tres capıtulos seleccionados e reescritos usando a linguagem LATEX e o editor

TEXnicCenter [15], no sistema operativo Windows.

As imagens que ilustram esta obra foram redesenhadas utilizando o programa de

geometria dinamica plana: Regua e Compasso (C.a.R.) [9]. Sempre que as imagens

representavam curvas que dependiam de um ou mais parametros, estes foram inseridos na

ilustracao de tal forma, que o utilizador com a manipulacao do rato facilmente pode alterar

o valor desse mesmo parametro e observar de imediato as alteracoes na ilustracao que essa

mudanca acarreta.

E importante salientar, que apesar do conteudo da obra nao ter sido alterado, procedeu-

se a uma exaustiva verificacao de todas as formulas e expressoes nela contidas, figurando em

rodape as vinte e sete alteracoes ao texto original. Para esta trabalhosa verificacao muito

auxiliou o programa Maxima [14]; programa cujo objectivo e a realizacao de calculos

matematicos, tanto numericos como simbolicos.

Finalmente, era necessario criar um documento, contendo os tres capıtulos da obra,


num formato adequado para a sua divulgacao. O formato pdf (Portable Document For-

mat) e incontornavel nos dias de hoje, sendo por isso uma das opcoes escolhidas para

apresentacao desta obra.

Para a correcta visualizacao deste trabalho em pdf e para usufruir de todas as suas

potencialidades, e necessario que o utilizador tenha instalado, no seu computador, um leitor

de ficheiros pdf assim como o programa C.a.R (Regua e Compasso) [9], que lhe permite

aceder a interactividade das imagens. Inicialmente a figura apresentada e estatica, ou seja

e meramente uma imagem e so apos um clique com o rato o utilizador acede ao programa

C.a.R [9] que lhe vai permitir manipular a ilustracao.

Actualmente, a Internet, rede mundial de computadores, e indiscutivelmente um dos

meios de comunicacao mais popular e eficaz. Como tal, foi tambem criado um ficheiro

para disponibilizar a obra nesta rede. Este ficheiro foi produzido usando a tecnologia

TiddlyWiki [10], sendo esta uma nova forma de fazer paginas de Internet de forma

acessıvel e inteligente. As potencialidades desta tecnologia sao inumeras, desde guardar

documentos, anotacoes, criacao de blogues, usar como agenda pessoal, e neste caso em

particular para publicar um livro electronico.

O objectivo era criar uma pagina simples, pratica, de facil utilizacao e claro agradavel

ao utilizador. Para tal, adicionou-se a barra de tıtulo tres atalhos, designadamente um


para aceder a Ajuda, outro para permitir mostrar ou esconder a barra lateral de menu, em

qualquer momento da navegacao, o que facilita a leitura do conteudo do documento e por

fim um atalho para permitir ao utilizador/leitor voltar ao inıcio da pagina. Introduziu-

se, tambem, um menu lateral que contem um campo que permite a pesquisa rapida de

informacao em todo o documento, certamente bastante util para aceder aos pontos de

maior interesse do utilizador. Neste menu esta tambem localizada uma tabela de conteudos,

onde se encontram organizados os tres capıtulos, assim como as suas respectivas seccoes

e subseccoes. Nesta pagina, o utlilizador tambem tera acesso aos capıtulos da obra em

formato pdf, bastando para isso aceder a opcao Ver em pdf colocada no menu lateral.

Acredito que todo este trabalho contribua de forma eficaz para a divulgacao desta

notavel obra, assim como ajude na difusao e promocao da Historia da Matematica em

Portugal.

Capıtulo 2

Ferramentas Utilizadas

Nos ultimos anos tem-se verificado um significativo aumento de programas de com-

putadores gratuitos de elevada qualidade. Neste sentido, e tendo em vista abranger o

maior publico possıvel, todo o trabalho desenvolvido nesta dissertacao foi realizado usando

softwares gratuitos (freewares) e de codigo livre (Open Source).

Um freeware e um programa de computador gratuito, ou seja, nao e preciso pagar por

algum tipo de licenca de uso. Pode ser utilizado por tempo indeterminado (nao deixa de

funcionar nem perde parcialmente sua funcionalidade apos um certo perıodo). Por outro

lado, um software e considerado livre quando o seu codigo fonte e visıvel e pode ser usado,

copiado, estudado e modificado por qualquer utilizador.

Neste capıtulo, vao ser descritos, resumidamente, todos os programas utilizados nesta

dissertacao, assim como o endereco electronico de onde e possıvel transferi-los.

Grande parte do esforco aplicado na elaboracao deste trabalho assentou na parametriza

cao e integracao das varias ferramentas que estao descritas nas seccoes seguintes. Uma

exaustiva enumeracao de todas as intervencoes que as diversas aplicacoes tiveram de sofrer

e que conduziram a versao final apresentada tanto no trabalho escrito como no CD, foi

preterida face a uma descricao sumaria das aplicacoes utilizadas e de como o utilizador

17

CAPITULO 2. FERRAMENTAS UTILIZADAS 18

pode obter informacao adicional de configuracao e instalacao.

Todos os programas usados na elaboracao deste trabalho encontram-se disponıveis no

CD que acompanha esta dissertacao.

2.1 Regua e Compasso (C.a.R.)

O programa Regua e Compasso (Compass and Ruler, C.a.R.) [9] e um programa

de geometria dinamica plana que simula construcoes geometricas que, tal como o nome

indica, seriam feitas com compasso e regua. Para isto ser possıvel, o programa dispoe de

varios menus e de diversos botoes/ıcones que permitem fazer construcoes tradicionalmente

obtidas com estes instrumentos de desenho.

Saliente-se, ainda, que todos os menus e ıcones do C.a.R. estao bem organizados e

sao bastante perceptıveis, tornando deste modo a sua utilizacao extremamente simples

e pratica, por parte de qualquer utilizador. Neste sentido, nao se ira desenvolver nesta

dissertacao qualquer explicacao mais detalhada dos comandos e opcoes disponıveis neste

programa.

Ao contrario do que ocorre com a regua e o compasso tradicionais, as construcoes feitas

com o C.a.R sao dinamicas e interactivas, o que faz do programa um excelente laboratorio

de geometria. O utilizador para alem de obter a figura da construcao geometrica pretendida

no ecra, pode manipula-la, conservando mesmo assim, as suas relacoes geometricas. Isto

significa, que uma vez feita a construcao, pontos, rectas, cırculos, . . . podem ser deslocados

no ecra mantendo as suas relacoes geometricas (paralelismo, perpendicularidade, etc).

Por exemplo, se construirmos tres pontos e os respectivos segmentos de recta que

os une, obtendo assim um triangulo, o utilizador pode arrastar os pontos iniciais que

os segmentos de recta serao automaticamente actualizados, de modo a acompanhar a

movimentacao dos vertices do triangulo. Do mesmo modo, ao construir uma circunferencia


de raio r e de centro c, o utilizador podera movimentar com auxılio do rato o seu centro

que a circunferencia acompanhara o seu movimento.

A figura seguinte, produzida neste programa, pretende representar a curva definida

pela equacao, ρ2θ = a2, expressa em coordenadas polares.

Uma vez que, a equacao desta curva depende do parametro a, introduziu-se um slider

vertical, que permite variar os valores deste parametro dentro uma escala previamente

definida. Entende-se por slider a construcao dinamica de um segmento de recta e de um

ponto nele contido, em que esse ponto representa o parametro que se pretende fazer variar.

A variacao do ponto (no exemplo o ponto A) ao longo do referido segmento vai permitir

observar, imediatamente, as alteracoes produzidas na curva pelo respectivo parametro.

Construıdo o slider, e agora indispensavel definir, no C.a.R. a equacao da curva. No

entanto, a equacao encontra-se expressa em coordenadas polares e este programa nao

possibilita a representacao de expressoes definidas neste tipo de coordenadas. E, entao,

necessario proceder, previamente, a mudanca para coordenadas cartesianas.

ρ2θ = a2 ⇔ ρ =

√a2

θ


x = ρ cos(θ)

y = ρ sin(θ)⇔

x =√

a2

θcos(θ)

y =√

a2

θsin(θ)

Agora que a equacao da curva se encontra parametrizada e possıvel inseri-la no

programa, sendo para isso necessario aceder ao respectivo ıcone ou ao menu Accoes e

escolher a opcao ”Criar Funcao”. Imediatamente se abrira uma janela que permitira ao

utilizador inserir a equacao da curva assim como definir outras opcoes tais como: o nome

e o domınio da curva, a sua espessura e cor, etc.

Construıda a curva, o utilizador podera agora deslocar o ponto A no slider, atraves

da manipulacao do rato e observar de imediato as alteracoes na imagem que essa mudanca

provoca.

Este e apenas um exemplo simples das potencialidades deste software de geometria

dinamica.

O programa C.a.R utiliza a linguagem Java, e funciona na maioria das plataformas

modernas (Microsoft Windows c©, Linux, Macintosh c©, etc. . . ); alem disso, o programa


possui uma opcao que permite exportar todas as construcoes para posterior publicacao na

Internet.

Relativamente a sua instalacao e necessario o utilizador aceder a pagina:

http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/ e transferir o

ficheiro executavel car.exe. Um pre-requisito para o bom funcionamento deste programa e

ter instalado, no seu computador, uma plataforma Java. Caso nao a possua, instale o Java

Runtime Envorinment (JRE) disponıvel no endereco:

http://java.sun.com/j2se/1.4.2/download.html.

2.2 LATEX, MiKTEX e TEXnicCenter

Nesta dissertacao usou-se a linguagem LATEX , linguagem esta que permite criar

documentos de alta qualidade tipografica. Em particular, e bastante eficiente na producao

de textos tecnicos ricos em linguagem matematica.

A indicacao de todos os comandos assim como das formulas e caracteres especiais

usados ao longo deste trabalho e a descricao de todas as potencialidades e possibilidades

que o LATEX permite, esta fora do ambito desta dissertacao e pode ser consultado, por

exemplo, nos seguintes enderecos electronicos:

http://www.tex-br.org

http://www.latex-project.org/

http://pt.wikipedia.org/wiki/LaTeX

http://www.dm.ufscar.br/ sadao/curso/latex/

http://www.mat.ufmg.br/ regi/topicos/intlat.html


Um documento em LATEX e formado pelo texto propriamente dito e por mais alguns

comandos. Estes comandos definem o tipo de letra, a formatacao do texto, alguns sımbolos

especiais, etc. Todos os comandos em LATEX iniciam-se com uma barra invertida 1 (\) .

Todo o documento deve comecar pela seguinte linha de comando:

\documentclass[opcoes]classe.

Em opcoes deve ser indicado a forma e a disposicao do texto, o tamanho da letra, etc..

Ja em classe, escolhe-se o tipo do documento a ser trabalhado (tese, relatorio, livro, etc..).

Apos esse comando, incluem-se pacotes, atraves do comando \usepackage, que in-

fluenciam o estilo do documento e possibilitam a adicao de novas caracterısticas. O

texto propriamente dito e escrito entre os comandos \begin{document} e \end{document}.

Mostra-se, na figura seguinte um exemplo de um ficheiro simples escrito em LATEX.

\documentclass[a4paper,12pt]{book}

\usepackage{amsmath,amsfonts}

\usepackage[portuges]{babel}

\title{Tratado das Curvas Especiais Notaveis}

\author{Liliana Pereira}

\begin{document}

\maketitle % gera o Tıtulo

\tableofcontents % gera o ındice

\pagebreak % muda de pagina

\chapter {As Espirais} % Inicia um novo capıtulo

Aqui esta o conteudo deste capıtulo.

\end{document}

O LATEX organiza o documento em partes, capıtulos, seccoes etc, fornecendo para isso

1Do ingles backslash.


uma completa lista de comandos.

Relativamente a insercao de formulas matematicas, o LATEX tem um modo especial

para as escrever. Podem ser escritas directamente em linha com o respectivo texto, ou

o paragrafo pode ser quebrado e a formula introduzida numa linha autonoma. O texto

matematico dentro de um paragrafo pode ser introduzido entre $ e $. Por exemplo, a

seguinte linha de comando

"Dada a equac~ao $5x-3=\frac{1}{2}+3x$, indica o 1omembro e o 2omembro."

gera o texto:

"Dada a equac~ao 5x− 3 = 12

+ 3x, indica o 1omembro e o 2omembro."

Quanto a insercao de formulas matematicas centradas e em linha autonoma, basta

introduzir o texto matematico entre $$ e $$, como se mostra no exemplo seguinte:

"Dada a equac~ao $$5x-3=\frac{1}{2}+3x,$$ indica o 1omembro e o 2omembro."

gera o texto:

"Dada a equac~ao

5x− 3 =1

2+ 3x,

indica o 1omembro e o 2omembro."

A grande diferenca do LATEX para programas bem conhecidos, como por exemplo o

MsWord, reside no facto de no LATEX nao haver a necessidade de nos preocuparmos com

a forma do documento. Existem estilos pre-definidos para os mais diferentes tipos de

arquivos, tais como teses, artigos, relatorios e livros.

Para utilizar o LATEX neste trabalho, foi usada a implementacao MikTEX [16] e uma

interface grafica junto com um editor de textos chamado, TEXnicCenter [15]. Todos estes

programas podem trabalhar juntos, no sistema operativo Windows da Microsoft, como se

fossem um so, mas e necessario configura-los para que isso aconteca.


Para a instalacao destes programas pode-se aceder ao site http://miktex.org/, para

instalar o Miktex e a http://www.toolscenter.org/, para transferir e instalar o editor

TEXnicCenter. E de salientar, que antes de instalar o TEXnicCenter e necessario verificar

que o MikTEX esta instalado e configurado correctamente uma vez que o TEXnicCenter

e apenas um editor e requer o sistema LATEX para ser usado. Ao iniciar o TEXnicCenter

pela primeira vez, ira aparecer uma janela de configuracao para executar o TEX; avance,

mantendo os valores pre-definidos.

Depois de tudo correctamente instalado e possıvel comecar a escrever um documento

em LATEX, bastando para isso aceder ao programa TEXnicCenter e ao menu File e de seguida

seleccionar a opcao New.

Atraves do editor TEXnicCenter podemos compilar um arquivo com extensao .tex e

gerar um arquivo com mesmo nome mas com outra extensao, nomeadamente ficheiros em

formato pdf (Portable Document Format), em formato ps (Post Script) muito utilizado

para impressoes de grande qualidade e tambem ficheiros dvi (DeVice Independent).

Nesta dissertacao optou-se pelo formato pdf, pois actualmente, a divulgacao de textos

neste formato tem-se tornado cada vez mais usual, sendo por isso um ficheiro de facil leitura

para qualquer utilizador.


2.3 Maxima e wxMaxima

O Maxima [14] e um programa computacional, cuja finalidade e a realizacao de calculos

matematicos, tanto numericos como simbolicos. Este software e capaz de manipular

expressoes algebricas, e permite, tambem, fazer construcoes de graficos, assim como resolver

equacoes e sistemas lineares e nao lineares, equacoes diferenciais com e sem condicao inicial,

derivadas, integrais, limites, etc etc. . . E, ainda, de salientar que este programa, trabalha

com funcoes e dados em duas ou tres dimensoes.

O wxMaxima e uma interface grafica para o Maxima, disponibilizando um acesso as

funcoes do Maxima atraves de menus e caixas de dialogos. A interface wxMaxima veio, sem

duvida, facilitar o uso e o acesso ao programa Maxima. Um dos aspectos extremamente

positivo desta interface e, sem duvida, a melhoria significativa no documento de saıda do

Maxima, assim como a facilidade em aceder a todas as suas funcoes e opcoes.

Tal como referido anteriormente, todas as formulas e expressoes contidas na obra

”Tratado das Curvas Especiais Notaveis” foram verificadas de forma a tentar corrigir

gralhas que, eventualmente, pudessem existir. Neste sentido, o programa wxMaxima foi de

imensa utilidade, uma vez que ajudou a encurtar o tempo na realizacao de alguns calculos


mais complexos e extensos.

Neste trabalho as opcoes mais usadas no programa wxMaxima foram sobretudo as

que permitiam a manipulacao algebrica de expressoes, nomeadamente as funcoes expand

e triexpand que desenvolvem expressoes racionais e trignometricas; as funcoes ratsimp e

trigsimp que simplificam qualquer expressao racional e trignometrica, respectivamente; o

comando diff que permite calcular as derivadas, de qualquer ordem, de uma dada funcao

e o comando integrate que rege o calculo de integrais.

Por exemplo, no capıtulo ”Curvas Transcendentes Notaveis” na seccao relativa a curva

”Sintractriz de Sylvester” era necessario comprovar que a expressao apresentada para o raio

de curvatura desta curva estava correcta.

A sintractriz de Sylvester e definida pela equacao:

x = c. loga+

√a2 − y2

y−

√a2 − y2.

A formula do raio de curvatura envolve derivadas de primeira e de segunda ordem e

uma raiz quadrada, o programa Maxima foi aqui usado para minimizar o tempo dispensado

nestes calculos simples mas morosos.

Ao abrir o Maxima e apresentado, imediatamente, ao utilizador a area de trabalho do

programa. Na parte inferior desta area encontra-se uma caixa de texto onde se insere os

comandos e tambem doze botoes de atalho (apesar de puderem ser adicionados mais) para

varios comandos e funcoes .

Para a verificacao da expressao do raio de curvatura, comecou por introduzir-se a

equacao da sintractriz atraves do comando:

(\%i1) f:-sqrt(a^2-y^2)+c*log((a+sqrt(a^2-y^2))/y);

De seguida, e atraves do comando diff (este comando encontra-se no menu ”Calculo”)


calculou-se a primeira e a segunda derivada da sintractriz:

(\%i2) f1:diff(f,y,1);

(\%i3) f2:diff(f,y,2);

No entanto, tanto a expressao da primeira como da segunda derivada ficaram bastante

extensas e antes de proceder ao calculo do raio de curvatura, optou-se primeiro por

factorizar expressoes atraves dos comandos:

(\%i4) f11:factor(f1);

(\%i5) f22:factor(f2);

Posteriormente, procedeu-se, entao, a aplicacao da formula do raio de curvatura:

R =

[1 +

(dxdy

)2]3/2

d2x

dy2

(\%i6) r1:(1+f11^2)^(3/2)/(f22);

Para finalizar, factorizou-se a expressao do raio de curvatura para se obter, deste

modo, uma expressao mais simples:

(\%i7) r:factor(r1);

Finalmente, a expressao obtida para o raio de curvatura foi a seguinte:

r =

y2 (y − a) (y + a)√a2 − y2

(a ((2 c−a) y2−a c2)

y2−a2

) 32

a (2 c y2 − a y2 − a2 c) y3.


Contudo, esta expressao ainda nao se encontrava com o aspecto apresentado na obra,

no entanto, bastou algumas manipulacoes algebricas, sem recurso ao Maxima, para se

alcancar a forma desejada:

r =(a2 − y2)

32

(a(a−2c)y2+ac2)32

(a2−y2)32

ay (2cy2 − ay2 − a2c)=

r =(a (a− 2c) y2 + ac2)

32

ay (2cy2 − ay2 − a2c)=

r =a

12 ((a− 2c) y2 + ac2)

32

y (2cy2 − ay2 − a2c).

Nao se vai descrever detalhadamente todos os outros comandos e opcoes disponıveis

no programa wxMaxima, por tal, como ja se referiu, nao se encontrar no ambito desta

dissertacao. Para este efeito, o leitor pode consultar o menu Ajuda do programa, embora

actualmente o seu conteudo ainda nao esteja particularmente organizado. Apesar disso,

este software e, extremamente, completo e uma optima opcao para a manipulacao algebrica

de formulas e expressoes matematicas.

Relativamente a sua instalacao, tanto o programa Maxima como a interface grafica

wxMaxima estao disponıveis no endereco: http://maxima.sourceforge.net.

E possıvel ter o programa Maxima e o wxMaxima tanto em ambiente Windows como

em Linux.

2.4 TiddlyWiki

O TiddlyWiki e uma nova tecnologia, baseada na linguagem Javascript [12], que

permite a construcao de paginas de Internet de modo bastante simples. Esta moderna


ferramenta faz parte de uma famılia de paginas de Internet (websites) chamadas wikis 2.

Os wikis [11] sao websites com recursos que facilitam a adicao ou a edicao de conteudo pelos

utilizadores, sem que seja necessario mexer com codigo html. O exemplo mais conhecido

de um site wiki e a enciclopedia online Wikipedia.

No entanto, o TiddlyWiki [10] e um wiki francamente diferente dos outros. Todo

o conteudo de um site TiddlyWiki fica dentro de um unico ficheiro .html que pode ser

editado dentro do navegador, sem necessidade de programas especiais. A navegacao no

TiddlyWiki baseia-se no conceito de micro conteudo, onde a menor unidade de informacao

sao os chamados ”tiddlers”: pequenas notas cronologicamente organizadas. Para testar

esta nova ferramenta pode-se aceder ao site http://www.tiddlywiki.com/, seleccionar a

opcao DownloadSoftware e transferir o ficheiro empty.html. Seguidamente e so necessario

criatividade, pois o ficheiro esta pronto para ser editado!

Uma vez que, todo o conteudo de um TiddlyWiki e formado por tiddlers, e importante

destacar os tiddlers que nos permitem alterar as caracterısticas da pagina, tais como: tipo,

cor e tamanho das fontes, menus, tıtulos e subtıtulos, a cor do fundo, etc etc. . . Estes

tiddlers encontram-se no menu sombra (Shadoewd) do ficheiro empty.html e estao cata-

logados como: SiteSubtitle, SiteTitle, StyleSheet, TopMenu, MainMenu, SideBarOptions,

SideBarTabs, PageTemplate, MainMenu,. . .

O aspecto final da pagina elaborada, no ambito desta dissertacao, para apresentar

a obra ”Tratado das Curvas Especiais Notaveis”, resulta da parametrizacao de alguns

destes tiddlers. No entanto, nao se ira aqui descrever detalhadamente todas as alteracoes

e parametrizacoes realizadas, apenas serao apresentadas breves notas para os leitores que

pretendam introduzir-se nesta nova tecnologia.

No caso da obra estudada, os tiddlers SiteTitle e SiteSubtitle, foram preenchidos com

o texto ”Gomes Teixeira” e ”Tratado das Curvas Especiais Notaveis”, respectivamente.

Relativamente, ao tiddler TopMenu foram inseridos tres atalhos designadamente um para

2A palavra wiki significa ”rapido”.


aceder a Ajuda, outro para permitir mostrar ou esconder a barra lateral de menu e por fim

um atalho para permitir ao utilizador/leitor voltar ao inıcio da pagina.

Para inserir um tiddler com a informacao pretendida e necessario aceder a opcao

”Novo tiddler” localizada no menu lateral, de seguida introduzir o texto desejado e por

fim, carregar na opcao guardar. Saliente-se que, a informacao introduzida ainda nao se

encontra gravada definitivamente no disco do computador, para isso tera de seleccionar a

opcao no menu lateral, ”Guardar para o disco”.

Relativamente ao menu lateral e de salientar que o seu conteudo esta divido por

tres tiddlers de sistema, nomeadamente: MainMenu (contem o tiddler com a opccao

Ver em Pdf ), SideBarOptions (contem as opcoes de gravar e abrir novos tiddlers, etc)

e SideBarTabs (este contem a tabela de conteudos com os capıtulos da obra).

Os tres capıtulos da obra, assim como as suas respectivas seccoes e subseccoes, encontram-

se organizados numa tabela de conteudos como se exemplifica nas figuras seguintes.

Para aceder a cada uma das seccoes, basta clicar na mesma, e serao expandidas as


subseccoes que lhe sao associadas. De seguida, um clique sobre uma subseccao abre um

tiddler com a informacao nela contida. Algumas seccoes contem imagens interactivas, e

para que seja possıvel proceder a sua manipulacao, o utilizador deve primeiro clicar sobre

as mesmas.

Esta forma de organizar a obra segue o conteudo original da mesma, excepto em

algumas (vinte e nove) formulas que apos exaustiva verificacao foram alteradas. O conteudo

original destas correccoes encontra-se disponıvel atraves de um clique no numero adjacente

a formula como se ve na figura:

Uma vez que, neste trabalho de dissertacao, a matematica e pedra fundamental foi

necessario adicionar uma ferramenta para a inclusao de notacao matematica na pagina de

Internet proporcionada pelo TiddlyWiki. A ferramenta escolhida foi o JsMath [20].


O JsMath interpreta a linguagem TEX e deste modo oferece um meio para incluir

linguagem matematica em websites. Esta ferramenta, e tambem alguns guias de utilizador

e de instalacao, pode ser transferida do endereco electronico:

http://www.math.union.edu/ dpvc/jsMath/.

Contudo, com o aparecimento do Internet Explorer 7.0 ja no final deste trabalho,

verificou-se que o plugin do JsMath nao era totalmente compatıvel com este browser.

Uma vez que, o internet explorer apresentava diversas imperfeicoes na visualizacao do

site (chegando a exibir apenas um pagina em branco) e tambem nao permitia a correcta

visualizacao das expressoes matematicas. Sendo assim, optou-se por criar outro ficheiro

TiddlyWiki com um outro plugin 3, o LaTeXMathMLPlugin [18], que funcionou perfeita-

mente tanto no Internet Explorer como no Mozzila Firefox.

No caso do utilizador optar pelo browser Internet Explorer sera tambem necessario

transferir o programa MathPlayer [21] (por defeito o Internet Explorer nao o incorpora),

que vai permitir em conjunto com o LaTeXMathMLPlugin traduzir a linguagem LATEX

para linguagem MathML [13] (Mathematical Markup Language) e permitir a visualizacao

de formulas matematicas nas paginas de Internet.

O plugin MathPlayer pode ser transferido do endereco electronico:

http://www.dessci.com e o LaTeXMathMLPlugin de

http://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/drw/lm.html.

Ainda relativamente a visualizacao no browser Internet Explorer assinala-se que devido

a opcoes de seguranca inerentes ao software da Microsoft, sempre que o utilizador aceder,

via CD, a pagina web, do trabalho aqui apresentado, o browser inicialmente bloqueia

a sua abertura. Para visualizar a pagina correctamente o utilizador tera de permitir a

visualizacao do conteudo bloqueado clicando com o rato na barra de alerta exibida na

parte superior do ecra.

3Um plugin e um tiddler que contem codigo para extender as funcionalidades do TiddlyWiki.


Para efeitos deste trabalho, o plugin LaTeXMathMLPlugin e o suficiente para a

interpretacao das formulas aqui apresentadas. Contudo, num contexto mais geral, o plugin

JsMath e bastante mais abrangente pois e capaz de interpretar um maior numero de

comandos LATEX. Por este motivo, optou-se por deixar o plugin do JsMath incluıdo neste

trabalho, ficando este a funcionar quando e usado o browser Mozzila Firefox. Por outro

lado, quando o browser escolhido pelo utilizador for o Internet Explorer o plugin usado

passara a ser o LaTeXMathMLPlugin, que apesar de ser um pouco mais restritivo nas

formulas, tem a vantagem de ser um pouco mais leve e portanto mais rapido.

Estes plugins, JsMath e LaTeXMathMLPlugin, quando adicionados ao ficheiro Tid-

dlyWiki permitem, apos introduzir todo o conteudo matematico pretendido no respectivo

tiddler, que as formulas matematicas sejam reconhecidas e, depois do tiddler gravado,

apresentadas com bastante qualidade.

Alem disto, achou-se conveniente que ao editar um tiddler se tivesse a possibilidade de

editar a cor, o tamanho do texto, o respectivo alinhamento, o tipo de letra, etc. . . atraves

de um menu com ıcones de facil acesso. Para esse efeito, utilizou-se um pluggin designado

por HtmlArea.

Apesar da informacao sobre esta nova tecnologia ainda nao ser muito abundante, e de

salientar que, existem ja paginas de Internet com inumeros plugins e alguns themes (temas)

para que o resultado final das paginas criadas com recurso a esta ferramenta seja realmente

agradavel e principalmente o mais funcional possıvel. Nomeadamente os enderecos:

http://www.tiddlytools.com

http://tiddlythemes.com

http://tiddlywikiguides.org


http://tiddlyspot.com

Existem inumeras vantagens e recursos interessantes na tecnologia TiddlyWiki. Trata-

se de uma ferramenta extremamente portatil: pode ser armazenada numa so disquete ou

cd, sendo por isso extremamente util para guardar documentos, anotacoes e ate ser usada

como uma agenda pessoal, devido a sua capacidade de organizar a informacao.

Merecidamente, TiddlyWiki e uma tecnologia com um, cada vez mais, crescente

numero de utilizadores em todo o mundo, no entanto e como todas as tecnologias recentes


o seu ponto fraco reside na (ainda) pouca informacao disponıvel.

Capıtulo 3

Curvas Notaveis Transcendentes

3.1 A Logarıtmica

345.

Huygens aplicou o nome de logarıtmica a curva representada pela equacao, em

coordenadas cartesianas,

y = aexm , ou

x

m= log

y

a.

Anos antes, em 1644, esta curva tinha ja sido considerada por Torricelli, numa

carta dirigida a Ricci, contida na coleccao de cartas desse perspicaz geometra, publicada

em 1864 por Ghinassi, e, posteriormente, tambem por James Gregory, que tratou esta

curva no seu Geometriae pars prima, tornado publico em 1668, definindo-a em termos

equivalentes a igualdade

(y

y′

)x′′−x

′

=

(y′′

y′

)x−x′

;

36

CAPITULO 3. CURVAS NOTAVEIS TRANSCENDENTES 37

na qual as coordenadas x e y referem-se a um ponto variavel, e as x′e y

′, e x

′′e y

′′a dois

pontos fixos da curva.

Mas o estudo das suas propriedades, como o nome, deve atribuir-se principalmente

a Huygens, que determinou a sua area, as suas tangentes, o volume dos solidos de

revolucao gerados por ela, etc, etc. (Huygens: De causa gravitatis, 1691). Sendo de

advertir que os resultados obtidos por este celebre geometra foram por ele simplesmente

enunciados, e demonstrados mais tarde por Nicolas na sua obra De spiralibus hyperbolicis

et lineis logarithmicis, publicada em 1696, e tambem por P.Guido-Grandi, num trabalho

intitulado Demonstratio theorematum Hugenianorum.

346.

Como a forma da curva e sempre a mesma, qualquer que sejam os sinais de a e m,

vamos supor que a e m sao positivos, e nesse pressuposto procuraremos determina-la.

Quando x varia desde −∞ ate +∞, y mantem-se sempre positiva e aumenta, constante

e indefinidamente, desde 0 ate ∞. Logo a curva consta de um unico ramo, que, quer a

direita quer a esquerda se estende indefinidamente (fig.103) no sentido das abcissas positivas

e negativas, e tem por assımptota este eixo. O eixo das ordenadas corta a curva no ponto

A, e portanto OA = a. E como a derivada y′′

nao se anula em nenhum ponto, resulta que

a curva nao possui qualquer ponto de inflexao.

347.

A subtangente, a subnormal, o comprimento da tangente e o comprimento da normal

da logarıtmica sao expressas pelas formulas


Figura 103: Logarıtmica

St = m ; Sn = y2

m; T =

√y2 +m2 , e N = y

m

√y2 +m2 ;

a primeira das quais mostra que a subtangente da logarıtmica e constante.

348.

O raio da curvatura tem por expressao:

R =(y2 +m2)

32

my=m2N3

y4=N3

S2n

.

349.

E a area compreendida entre a logarıtmica, o eixo das abcissas e as ordenadas dos

pontos (x0, y0) e (x1, y1), e dada pela expressao


A = a

x1∫x0

exmdx = m(y1 − y0).

350.

O comprimento do arco, compreendido entre os mesmos pontos da curva, deduz-se da

formula

S =

y1∫y0

√1 +

dx2

dy2dy =

y1∫y0

1

y

√y2 +m2dy =

=√y2

1 +m2 +m

2log

√y2

1 +m2 −m√y2

1 +m2 +m−

[√y2

0 +m2 +m

2log

√y2

0 +m2 −m√y2

1 +m2 +m

];

ou

S = T1 − T0 +m

2log

(T1 −m)(T0 +m)

(T1 +m)(T0 −m),

onde T0 e T1 representam os comprimentos das tangentes a curva nos pontos (x0, y0) e

(x1, y1).

351.

E o volume do solido gerado pela zona plana, cuja area foi anteriormente determinada,

quando gira em torno do eixo das abcissas, e dado por esta outra formula, tambem de uma

simplicidade notavel:


V =mπ

2(y2

1 − y20).

A este volume corresponde uma area, U , da superficie lateral do solido referido, que

pode ser determinada da seguinte forma :

U = 2π

y1∫y0

√y2 +m2dy.

Ou, representando por s1 o comprimento do arco da parabola y2 = 2mx, compreendido

entre os pontos (x0, y0) e (x1, y1),

U = 2πm.s1.

352.

A curva que acabamos de estudar encontra-se estritamente ligada, analıtica e geomet-

ricamente, com a curva que tem por equacao

y =q

px+

b

ax. log

x− 12a

p− 12a,

que o engenheiro espanhol D.E.Saavedra utilizou na resolucao do seguinte problema:

”encontrar as melhores formas e dimensao das bancadas de um anfiteatro, para que todos

os espectadores que nelas se sentem possam ver facilmente um determinado ponto da

sala.”(Anales de la Contruccion e de la Industria - Madrid, 1886, p.329-332). Curva a que

o ilustre sabio, seu descobridor, depois de estuda-la minuciosamente no lugar designado,

ao qual, para mais detalhes, remetemos ao leitor, a denominou de visoria, porque a solucao


do mencionado problema, passa, ou deve passar, pelo orgao visual dos espectadores que

ocupam uma mesma fila do anfiteatro.

A conexao da visoria com a logarıtmica pode estabelecer-se facilmente, deduzindo-se

dela um simples procedimento de construcao da primeira curva e das suas tangentes por

referencia a segunda.

Para demonstra-lo, transformaremos a equacao da visoria, fazendo y = Y xa

, e encon-

traremos a seguinte :

Y =qa

p+ b

[log

(x− 1

2a

)− log

(p− 1

2a

)], ou

Y − β = b. log

(x− 1

2a

),

na qual β =qa

p− b. log

(p− 1

2a

).

E feito isto, constroi-se a logarıtmica, relativa aos eixos coordenados (fig.104), O′x′e

O′y′, que tem por equacao

y′= b log x

′.

Ou a seguinte, relativa aos eixos Ox e Oy,

Y − β = b log

(x− 1

2a

);

na qual−1

2a e −β representam as coordenadas do ponto O, em relacao aos eixos anteriores.

Designaremos agora por N um ponto desta segunda logarıtmica; por NK e NR duas

paralelas aos eixos coordenados, tracados pelo ponto N ; e por KH outra paralela ao eixo


Figura 104: Construcao da Logarıtmica

das ordenadas, tracadas a distancia a de Oy, e teremos

MR

NR=MR

KH=OR

OH,

ou

y

Y=x

a.

Logo, M e um ponto da visoria.

E, por contrucao analoga a aplicada no Num.78, e facil de ver que, as tangentes as

duas curvas consideradas, nos pontos M e N , intersectam-se noutro ponto da recta KP .

Da equacao da visoria e da segunda derivada desta,


y′′

=2b

a(x− 12a)

[1− x

2(x− 12a)

],

deduz-se sem dificuldade as seguintes consequencias, suficientes para definir a forma e as

propriedades mais notaveis da referida curva.

Curva que possui uma assımptota, determinada pela equacao x =1

2a, para a qual

indefinidamente converge quando x varia desde ∞ ate1

2a, se p >

1

2a; ou desde −∞ ate

1

2a

se p <1

2a; um ponto de inflexao real, quando x = a, no primeiro pressuposto, e imaginario

no segundo; e dois de interseccao com o eixo das abcissas, onde

x = 0 ou x = 12a+

(p− 1

2a)e−

aqbp . 1

Tudo o qual e de imediata e util aplicacao pratica.

3.2 A Catenaria

353.

Pelo ano de 1690, Jacobo Bernoulli propos na Acta Eruditorum, p.219, o seguinte

problema: encontrar a curva formada por um fio pesado, flexıvel, inextensıvel, e de den-

sidade constante em todo o seu comprimento, suspenso nos seus extremos. E, no mesmo

volume da Acta (p.360 ), declarou pouco tempo depois Leibnitz saber o resultado daquele

problema; mas que nao o publicava ate ver se algum geometra tambem o resolvia. Como

1No documento original, x = 12a +

(p− 1

2a)e−

aqbx .


efectivamente foi resolvido pelo autor do problema, pelo seu irmao Juan Bernoulli, e

Huygens, no volume da Acta correspondente a 1691.

A mesma curva foi tambem encontrada por Juan Bernoulli como solucao do

problema que tem por objectivo determinar a figura de uma vela, impulsionada e inflamada

pelo vento (Opera omnia,t.I p.59). Tendo sido as suas principais propriedades, estudadas

por este eminente geometra, em varias partes das suas obras (Opera omnia, t.I, p.49; t.III,

p.495-504, etc.).

A curva a que nos referimos da-se o nome de catenaria, que se demonstra em Mecanica

Racional, que tem por equacao:

y =c

2

(e

xc + e−

xc

).

Da qual facilmente se deduz que o eixo dos y e o eixo de simetria da curva, e a tangente

no ponto inferior, A, cuja ordenada OA = c (fig.105), e paralela ao eixo das abcissas. Alem

disso, y cresce desde c ate∞, conforme x varia desde 0 ate ±∞. E, por y′′

se manter sempre

positiva e finita, a curva apresenta-se constantemente convexa ao eixo das abcissas, sem

inflexoes em nenhum ponto, como e mostrado claramente na figura.

354.

Da equacao

√y2 − c2 =

c

2

(e

xc − e−

xc

),

tem-se que,

y′=

√y2 − c2

c.


Figura 105: Catenaria

Expressao da qual se deduz o seguinte procedimento para construir a tangente a curva

num qualquer ponto B.

Tendo O como centro e raio OA, igual a c (fig.105), traca-se uma circunferencia; e

desde Q, sobre o eixo das ordenadas, e a mesma distancia de B ao eixo das abcissas,

traca-se a tangente QT a circunferencia referida. Como OQ = y e OT = c, entao

QT =√y2 − c2.

E se TS e tambem paralela ao eixo das abcissas, resulta tambem que

tanQTS = tanQOT =

√y2 − c2

c= y

′.


Logo, a tangente a curva no ponto B e tambem paralela a QT .

355.

O raio de curvatura da catenaria e expresso pela formula

R =1

cy2.

De maneira que, no ponto A, onde y e mınima e igual a c, tambem R possui um

valor mınimo, e igual a esta mesma quantidade c: o que resulta na maxima curvatura da

catenaria.

356.

Representando por s o comprimento do arco AB da curva, tem-se que

S =

x∫0

√1 +

1

4(e

2xc + e−

2xc − 2)dx =

=c

2(e

xc − e−

xc ) =

√y2 − c2 = QT = BM.

Igualdade da qual se deduz uma consequencia importante, com auxılio dos teoremas

de Huygens, relativos a teoria das evolutas.

Com efeito: o lugar geometrico descrito pelo ponto M , de interseccao da recta BM

com a TS, e uma envolvente da catenaria considerada; e devendo ser a tangente a esta

perpendicular a BM , devera ser tambem paralela a OT ; e portanto, MU = TO. Logo, a

envolvente da catenaria, gerada por M , e uma curva tal que os segmentos das tangentes,

compreendidos entre os pontos de contacto e uma recta fixa, sao constantes.


Por simples consideracoes geometricas se veria alem disso que, as outras envolventes

da catenaria possuem todas a mesma propriedade.

As curvas que possuem esta propriedade chamam-se tractrizes, e serao estudadas um

pouco mais a frente.

357.

Designando por A a area BPOA, facilmente se encontra que

A =c2

2(e

xc − e−

xc ) = cs = c

√y2 − c2;

a qual mostra que a area varia proporcionalmente ao arco AB = s.

358.

A curva plana que passa por dois pontos dados e gera uma area mınima, quando gira

em torno de um eixo situado nesse mesmo plano, e uma catenaria.

Aplicando, com efeito, o metodo das variacoes a integral

2π

x1∫x0

y

√1 + y′2dx,

que representa o valor da area descrita por um arco de curva plana, compreendido entre

os pontos cujas abcissas sao x0 e x1, quando gira em torno do eixo das abcissas; obtem-se,

para determinar a curva, a equacao

yy′′ − y

′2 − 1 = 0


que, por integracao se tem

x− a

c= log

y +√y2 − c2

c;

na qual a e c representam constantes arbitrarias. Ou, as que se seguem :

y+√

y2−c2

c= e

x−ac , 2

e

c

y +√y2 − c2

=y −

√y2 − c2

c= e−

x−ac .

Onde, por adicao, se deduz facilmente que :

y =c

2

(e

x−ac + e−

x−ac

),

facilmente reduzıvel a forma na qual se apresentou anteriormente a equacao da catenaria,

por uma simples translaccao ou mudanca da origem das coordenadas.

Mas note-se que, se a analise anterior nos mostra que o problema a que se refere,

dado que admite solucao, somente pode satisfazer a catenaria; de forma alguma prova que

a admite na realidade: sendo necessario para decidir ou esclarecer este ponto preliminar,

recorrer a variacao de segunda ordem da funcao integral de onde se partiu.

Para o qual pode consultar o leitor a obra de Todhunter, intitulada Researches in

the Calculus os Variations, p.55.

2No documento original,y+√

y2−c2

c = cx−a

c .


359.

De todas as curvas planas de igual perımetro, que passam por dois pontos dados, a

catenaria e tambem aquela que, girando em redor de um eixo tracado no seu mesmo plano,

gera a superfıcie de revolucao de area maxima ou mınima.

Para demonstra-lo basta, como no caso anterior, aplicar o metodo das variacoes a

integral

2π

x1∫x0

y

√1 + y′2dx,

tendo em conta a igualdade

x1∫x0

√1 + y′2 = l

que expressa a condicao de que todas as curvas tem igual perımetro.

E assim se obtem a mesma equacao diferencial do numero anterior e se demonstra o

teorema acabado de enunciar.

Note-se a proposito deste assunto que das condicoes a que devem satisfazer os dois

pontos dados, para que a area considerada seja mınima, tratou Lindeloff num tratado

inserido nos Math.Annalen, t.II, p.160, ao qual remetemos ao leitor a sua consulta se

considerar necessario.

E alem disso, parece-nos pertinente advertir que a superfıcie, estudada neste e no

anterior paragrafo, a qual se da o nome de catenoide ou de aliseide, possui, alem das

anteriormente referidas, a propriedade de que qualquer contorno fechado, descrito sobre ela,

compreende uma area mınima: como Meusnier demonstrou pela primeira vez (Memoires

des Savants etranders, d.X, p.477).


360.

Por ultimo, ve-se facilmente que a equacao da catenaria, em coordenadas intrınsecas,

e

cR = s2 + c2,

compreendida na seguinte

cR = s2 + a2,

a qual corresponde a uma classe de curvas, designadas por Cesaro com o nome de alisoides

- de αλυσις : cadena.(Nouvelles Annales des Mathematiques, 1886, p.75).

3.3 A Tractriz de Leibnitz

361.

O problema de encontrar uma curva, cuja tangente tenha comprimento constante, c,

depende da integracao da equacao

y

√1 + y′2 = cy

′

da qual se deduz a seguinte :

(1)

x+ a = ±

[√c2 − y2 − c. log

√c2 − y2 + c

y

],


sendo a uma constante arbitraria.

Esta equacao representa curvas diferentes, todas iguais, mas distintamente distribuıdas

relativamente aos eixos coordenadas, e a todas se aplica o nome de tractrizes, ou de curvas

de tangentes iguais.

O primeiro geometra que descobriu as tractrizes foi Leibnitz (Acta Eruditorum,

1693 ), ao tentar encontrar a curva descrita por um ponto em movimento constante que se

dirige ate outro, tambem movel, em linha recta, de maneira que a distancia compreendida

entre ambos os pontos nao varie.

Na curva que satisfaz este problema, o segmento da tangente compreendido entre o

ponto de contacto e a recta dada e, com efeito, de comprimento constante. Huygens e

Clairaut tambem trataram este mesmo problema, o primeiro dos quais denominou por

tractoria a curva que o satisfaz.

362.

Consideremos umas das curvas representadas pela equacao (1), ou seja, em particular,

a que corresponde a equacao :

x = −√c2 − y2 + c.

log√c2 − y2 + c

y.

Por meio desta equacao e da diferencial que a origina

dy

dx= − y√

c2 − y2,

ve-se que, quando y tende para 0, x aproxima-se constantemente e indefinidamente de +∞,


edy

dxtende para 0: logo o eixo das abcissas e (fig.106) assımptota da curva.

Quando y = c, resulta que x = 0, edy

dx= ∞; de maneira que a curva intersecta o eixo

das ordenadas num ponto A, cuja ordenada e igual a c: ponto singular de partida ou parada

(point d’arret), pois a valores de y, superiores a c, correspondem valores imaginarios de x.

Como correspondem tambem os negativos da mesma ordenada y, qualquer que sejam os

seus valores absolutos.

Figura 106: Tractriz de Leibnitz

363.

Como OA = c, e o comprimento de todas as tangentes a curva tambem igual a c, pode

construir-se a tangente a esta num qualquer ponto M , tracando uma circunferencia com

centro nesse mesmo ponto M e de raio igual a AO, e unindo M por uma recta ao ponto

N , situado do lado das abcissas positivas, onde a circunferencia intersecta este eixo.


364.

E como,

y′′

=c2y

(c2 − y2)2,

resulta tambem que a expressao do raio de curvatura e:

R =c√c2 − y2

y,

e que as coordenadas, x1 e y1, do centro da curvatura, sao expressas do seguinte modo:

x1 = c. logc+

√c2 − y2

ye y1 =

c2

y.

De onde se deduz que,

c+√c2 − y2

y= e

x1c , ou

c−√c2 − y2

y= e−

x1c ;

e consequentemente,

y1 =c

2

(e

x1c + e−

x1c

).

Logo, a evoluta da tractriz e uma catenaria: teorema recıproco ao demonstrado no

Num.356.


365.

Para determinar a area compreendida entre a curva, o eixo das abcissas e duas paralelas

ao eixo das ordenadas, note-se que

A =

y1∫y0

y

y′dy = −

y1∫y0

√c2 − y2dy

=c2

2arcsen

y0

c+y0

2

√c2 − y2

0 −c2

2arcsen

y1

c− y1

2

√c2 − y2

1.

De onde de deduz que a area compreendida entre a curva e os dois eixos coordenados

e igual aπc2

4.

366.

O comprimento do arco da tractriz, compreendido entre os pontos (x0, y0), (x1, y1),

tem por expressao, a seguinte:

s =

y1∫y0

√1 +

dx2

dy2dy = c. log

y1

y0

.

367.

E, a area da superficie de revolucao gerada pela tractriz em torno do eixo das abcissas,

nao menos notavel pela sua simplicidade, e a seguinte:

U = 2π

∞∫0

y

√1 +

dy2

dx2dx = 2πc2.


A superficie de revolucao, a que corresponde a area determinada pela ultima formula,

denomina-se por pseudoesfera, e foi cuidadosamente estudada por Beltrami, que demon-

strou a sua importancia na interpretacao da Geometria de Lobatchevsky, segundo pode

ver-se no Giornale di Matematiche, Napoli, t.VI, 1868.

368.

A tractriz encontra-se no grupo de curvas especialmente consideradas pelo geometra

espanhol Sr. Duran Loriga (Intermediaire des Mathematiciens, t.IV, p.148 ), que

individualmente satisfazem a condicao de ser constante o perımetro do triangulo formado

pela tangente a uma qualquer destas curvas; pela ordenada do ponto de contacto; e pelo

eixo das abcissas, qualquer que seja o angulo, θ, deste eixo com o das ordenadas.

Representando, com efeito, por x e y as coordenadas do ponto de contacto e por x0

a abcissa do ponto em que a tangente intersecta o eixo dos xx,os comprimentos dos lados

do triangulo serao:

√y2 + (x0 − x)2 − 2y(x0 − x) cos θ, y e x0 − x;

sendo a ultima igual a −ydxdy

.

Do facto do perımetro ser constante, resulta a equacao:

y2

(dx

dy

)2

+ y2

(dx

dy

)cos θ + (y2 − c2) = 0.

Da qual se deduz que :

x = −12y cos θ ± c

[√1− y2

q2 − logq+√

q2−y2

y

], 3

3No documento original, x = − 12 cos θ ± c

[√1− y2

q2 − log q+√

q2−y2

y

].


sendo que

q2 =4c2

4− cos2 θ.

E, se nesta equacao, que representa o grupo das curvas antes definido, se supor

que θ =π

3, encontraremos em particular, a correspondente a tractriz, considerada nos

paragrafos anteriores.

3.4 A Sintractriz de Sylvester

369.

Seja B (fig.106) um ponto da tangente MN a tractriz; c o comprimento de MN ; e a

o comprimento de BN . Ao lugar descrito por B, quando a tangente varia, sem variar a,

foi dado por Sylvester o nome de sintractriz (∑µυ : cum, partier).

Para encontrar a equacao desta curva, representando por x e y as coordenadas do

ponto B, e por X e Y as do ponto M , deduz-se entao que:

Y

y=c

a, e x−X =

√c2 − Y 2 −

√a2 − y2.

E, eliminando agora X e Y destas equacoes e da correspondente a tractriz,

X +√c2 − Y 2 = c. log

c+√c2 − Y 2

Y,

resulta a equacao da sintractriz :

x+√a2 − y2 = c. log

a+√a2 − y2

y.


Figura 107: Sintractriz de Sylvester

370.

Para determinar a sua forma basta fixar a atencao na equacao acabada de encontrar

e nas duas seguintes, derivadas da anterior:

dx

dy=

y2 − ac

y√a2 − y2

,d2x

d2y=a [(a− 2c)y2 + a2c]

y2(a2 − y2)32

E, recordando que a < c, conclui-se facilmente que a nova curva, companheira in-

separavel da tractriz, considerada no Num. 362, e da forma indicada na figura: com um

ponto de parada ou arranque sobre o eixo das ordenadas, em A, onde a ordenada maxima e

igual a a; uma tangente a este ponto, unica paralela ao eixo das abcissas; uma inflexao em

C, cuja ordenada tem por expressao y = a

√c

2c− a; e uma assımptota, o eixo das abcissas.


371.

O raio de curvatura da sintractriz determina-se pela formula,

R =a1/2 [y2(a− 2c) + ac2]

3/2

y [(a− 2c)y2 + a2c].

372.

O comprimento dos arcos da mesma curva e o valor das suas areas podem tambem

determinar-se por meio de funcoes elementares. Com efeito, representando por A a

area limitada pela curva, pelo eixo das ordenadas, e pela ordenada do ponto (x, y), sem

dificuldade se encontra que,

A =y∫a

y2−ac√a2−y2

dy = −12y√a2 − y2 + a

2(a− 2c)

[arcsen y

a− π

2

]. 4

E fazendo y = 0, conclui-se a expressao do valor da area, compreendida entre a curva,

a assımptota, e o eixo das ordenadas:

A1 =1

4πa(2c− a).

De modo analogo, se encontra que o comprimento dos arcos da curva depende do

integral

∫ √(a2−2ac)y2+a2c2

y√

a2−y2dy 5

4No documento original, A =y∫a

y2−a2√a2−y2

dy = − 12y

√a2 − y2 + a

2 (a− 2c)[arcsen y

a −π2

].

5No documento original,∫ √(a−2c)y2+ac2

y√

a2−y2dy.


ou do seguinte, expresso por funcoes elementares,

1

2

∫ √(a2 − 2ac)t+ a2c2

t√a2 − t

dt, 6

substituindo no anterior y2 pela variavel t.

373.

Nos pontos anteriores temos suposto que c > a; ou que o ponto gerador da curva, B,

se encontra compreendido entre o correspondente da tractriz, M , e o N , onde a tangente

MN intersecta o eixo das abcissas.

E do mesmo modo pode considerar-se o caso de c < a.

As propriedades especiais da curva, quando se supoe que a = 2c, foram estudadas por

M. D’Ocagne nos Nouvelles Annales des Mathematiques, 1871, p.82.

3.5 Catenaria de igual resistencia

374.

Da-se o nome de catenaria de igual resistencia a curva correspondente a equacao

y = −a log cosx

a,

(−π

2≤ x

a≤ π

2

).

Curva estudada pela primeira vez por Minchin, no seu Treatise of Statics Oxford, 1877,

segundo disse Ramsey em Intermediaire des Mathematiciens (1896, p.30).

6No documento original, 12

∫ √(a−2c)t+ac2

t√

c2−tdt.


375.

Da equacao anterior deduz-se facilmente que a catenaria de igual resistencia e da forma

representada na figura 108: simetrica relativamente ao eixo das ordenadas; tangente em O

ao eixo das abcissas, com duas assımptotas, as rectas KL e KL′, definidas pelas equacoes

x = ±aπ2

; e sem nenhum ponto de inflexao.

Figura 108: Catenaria de igual resistencia

376.

Como,

y′= tan

x

a,

ve-se que o angulo ϕ, formado pela tangente no ponto (x, y) com o eixo das abcissas, tem

por expressao:


ϕ =x

a.

E o raio de curvatura tem por expressao:

R =a

cos xa

=a

cosϕ;

o qual mostra que a projeccao deste raio sobre o eixo da curva e constante.

377.

Como ds =dx

cos xa

, integrando e tomando para origem dos arcos o vertice O da curva,

tem-se que

s = a. log tan( x

2a+π

4

)= a. log tan

(ϕ2

+π

4

);

formula usada para a determinacao do comprimento dos arcos da catenaria de igual

resistencia.

378.

E por se ter,

tan(ϕ

2+π

4

)= e

sa , e

1

tan(

ϕ2

+ π4

) = e−sa ,

deduz-se que


esa + e−

sa =

sec2(ϕ2

+ π4)

tan(ϕ2

+ π4)

=2

sen(ϕ+ π2)

=2

cosϕ. 7

Logo,

R =a

2(e

sa + e−

sa ).

Equacao esta da catenaria de igual resistencia em coordenadas intrınsecas, usada por

alguns geometras para definir a curva. (Cesaro: Lezione di Geometria intrinseca, Napoli,

1896, p.8).

379.

Quando a catenaria de igual resistencia gira sobre a recta OK, os seus centros de

curvatura, correspondentes aos pontos que ao girar vao tocando sucessivamente em OK,

formam uma curva, cuja equacao e facil de encontrar. A abcissa de cada ponto da nova

curva e igual ao comprimento s do arco da catenaria considerada compreendido entre o

ponto O e o ponto em que chega a tocar a recta OK; e a ordenada e igual ao valor

correspondente de R.

Representando, por X e Y estas coordenadas, a equacao da curva assim gerada sera

Y =a

2

(e

Xa + e−

Xa

).

A qual representa uma catenaria ordinaria.

7No documento original, esa + e−

sa = sec2( ϕ

2 + π4 )

tan( ϕ2 + π

4 ) = 2sen(ϕ+ π

4 ) = 2cos ϕ .


3.6 A Curva dos Senos

380.

Leibnitz deu o nome de curva dos senos a curva que tem por equacao

y = a.senx

m,

posteriormente denominada de sinusoide: curva, que, antes de Leibnitz, foi tratada por

Roberval num trabalho, intitulado De trochoide ejusque spatio, inserido no volume VI

das Memorias de la Academia de Ciencias de Paris, 1730, onde por intervir no metodo

idealizado para quadrar a cicloide ou trocoide, a denominou de companheira da celebre

curva (trochoidis comes).

A sinusoide foi tambem estudada mais tarde por Pitot (Histoire de l’Academie des

Sc. de Paris, 1724, p.107), que demonstrou que, quando se planifica um cilindro recto, de

base circular, as seccoes planas, que formam com o eixo angulos de 45o, se transformam

em sinusoides : como o sao tambem as curvas obtidas projectando uma helice, tracada

na superfıcie do mesmo cilindro, sobre um plano paralelo ao seu eixo. (Chasles: Apercu

histoirique, 1875, p.139; e Cantor: Vorlesungen etc, t.II, 1900, p.878, e t.III, 1896, p.428).

Para encontrar a forma da sinusoide, e com o objectivo de fixar ideias, vamos supor

que a e m sao positivos.

Quando x cresce desde 0 ate1

2mπ, y cresce tambem desde 0 ate a; e quando depois x

cresce desde1

2mπ ate mπ, y decresce desde a ate 0: correspondendo alem disso aos valores

de x, equidistantes de1

2mπ, valores iguais de y. Logo, aos valores de x compreendidos

entre 0 e mπ corresponde um arco, OAB (fig.109), da curva dos senos, cuja base OB e

igual a mπ, simetrico relativamente a recta AP , perpendicular ao eixo das abcissas no

ponto medio de OB. Sendo evidente que aos outros valores sucessivos ou anteriores de x


correspondem outros arcos, iguais ao considerado inicialmente e com a mesma base mπ,

alternadamente situados uns em continuidade indefinida dos outros, por cima ou por baixo

do eixo das abcissas.

Figura 109: Curva dos Senos

Adverte-se que, no ponto A, a tangente a curva e paralela ao eixo das abcissas; e que

os outros pontos O, B, ..., onde a curva intersecta o mesmo eixo e onde y′=

a

m, sao pontos

de inflexao.

381.

A subtangente, a subnormal, o comprimento da normal, e o comprimento da tangente

sao determinadas pelas formulas:

St =my√a2 − y2

; Sn =y

m

√a2 − y2,


N =y

m

√m2 + a2 − y2, T = y

√m2 + a2 − y2

a2 − y2.

E o raio de cuvatura por,

R =(m2 + a2 − y2)

32

my=m2N3

y4.

382.

A area da figura limitada pela curva, pelo eixo das abcissas e pelas ordenadas, y0 e

y1, dos pontos correspondentes as abcissas x0 e x1, pode calcular-se pela seguinte formula:

A = m

[√a2 − y2

0 −√a2 − y2

1

].

383.

A rectificacao da curva dos senos depende de uma integral elıptica; pois representando

por s o comprimento do arco compreendido entre o ponto O e o ponto (x,y), tem-se que

s =

y∫0

√a2 +m2 − y2

a2 − y2dy;

ou fazendo, y = at e k =a√

a2 +m2,

s =√a2 +m2

t∫0

√1 + k2t2

1− t2dt.


De maneira que, s depende de uma integral elıptica de segunda especie.

A esta expressao do valor de s pode, fazendo t = senϕ, e portanto y = asenϕ, dar-se

a forma

s =√a2 +m2

ϕ∫0

√1− k2sen2ϕ.dϕ,

ou s = A.E(k, ϕ);

onde A =√a2 +m2 e E(k, ϕ) =

ϕ∫0

√1− k2sen2ϕ.dϕ.

384.

Analisemos o teorema que corresponde, no caso da curva dos senos, ao teorema de

Fagnano, relativo aos arcos da elipse. A igualdade, anteriormente empregada no

Num.161,

E(k, ϕ) + E(k, ψ)− E(k,π

2

)=

k2sen2ϕ cosϕ√1− k2sen2ϕ

,

conduz, tendo em conta que (fig.109)

OM = AE(k, ϕ);

OM′= AE(k, ψ); e


OA = AE(k,π

2),

ao seguinte resultado :

OM +OM′ −OA = OM − AM

′=Ak2sen2ϕ cosϕ√

1− k2sen2ϕ,

quando entre ϕ e ψ existe a relacao cosϕ cosψ = senϕ.senψ.√

1− k2.

O segundo membro desta igualdade pode ser facilmente construıdo. Substituindo,

seno ϕ por ya, encontra-se que

Ak2sen2ϕ cosϕ√1− k2sen2ϕ

= y

√a2 − y2√

a2 +m2 − y2=y2

T,

onde T designa o comprimento da tangente a curva no ponto M .

Logo, OM − AM′=y2

T, quando

tanϕ. tanψ =

√a2 +m2

m.

Mas, sendo MT a tangente a curva no ponto M , MN a normal, e QL uma perpen-

dicular a esta normal, tracada pelo pe da ordenada de M , resulta que

y = MQ = T.senMTO, e QL = ysenNMQ = ysenMTO.

Logo, OM − AM′= QL.


Igualdade que, abreviadamente, expressa o teorema que, no caso da curva dos senos,

corresponde ao de Fagnano, relativo aos arcos da elipse.

385.

Com a curva dos senos, estudada nos paragrafos anteriores, tem estreita conexao a

das tangentes ou tangentoide, e a das secantes ou secantoide, as quais correspondem as

equacoes:

y = tanx e y = secx ,

ambas compostas por um numero infinito de ramos iguais.

O ramo da tangentoide, correspondente aos valores de x, compreendidos entre −π2

eπ

2,

estende-se indefinidamente no sentido das ordenadas positivas e negativas ; e intersecta o

eixo das abcissas no ponto onde x = 0: no qual, ao mesmo tempo um dos pontos de inflexao,

corresponde a um dos centros da curva, esta limitada por duas das suas assımptotas,

x = −π2

e x =π

2.

E o ramo da secantoide, correspondente aos mesmos valores de x, extende-se por

completo no sentido das ordenadas positivas, e tangente ao eixo das abcissas no ponto

y = 0 e x = 0, e tem por assımptotas as rectas x = −π2

e x =π

2.

386.

A proposito destas curvas, representativas das funcoes trigonometricas, advertimos que

tambem outras terao sido tomadas em conta, correspondentes a distintas funcoes funda-

mentais da Analise: como a sinusoide elıptica, de forma parecida a secantoide trigonometrica;

e a curva gamma, considerada por Godefroy na sua excelente monografia sobre a funcao

com o mesmo nome (Paris, 1901), etc; etc.


Mas tais curvas, exclusivamente destinadas a representar graficamente as variacoes

das funcoes a que se referem, nao irao ser tratadas aqui.

387.

Maior interesse tera o estudo de uma outra especie de sinusoide, definida pela equacao

(1)

|sen(x+ iy)| = c;

no qual x e y representam as coordenadas dos pontos da curva, c uma constante, i o radical

imaginario√−1 e |sen(x+ iy)| o modulo de sen(x+iy), por nos primeiramente considerado

nos Memorias de la Academia de Madrid (t.XVIII, 1897, p.96), e pouco depois no Journal

de Crelle (t.116, p.16), ao tratar do desenvolvimento das funcoes em series, ordenadas pelas

potencias do seno da variavel: problema em que a solucao representa papel fundamental na

curva mencionada. De ambos os trabalhos segue o que, a proposito do assunto, passamos

agora a expor.

A equacao (1) pode escrever-se como segue :

|senx. cos iy + seniy. cosx| = c,

na qual

seniy = −ie−y − ey

2, e cos iy =

e−y + ey

2,

ou

(2)


√sen2x. cos2 iy − cos2 x.sen2iy = c.

E como o valor do primeiro membro desta equacao nao varia, quando se substitui x

por x + π, ve-se que y e uma funcao periodica de x, de periodo igual a π, pelo que basta

considerar no estudo da curva, o ramo definido pelos valores de x, compreeendidos entre

−π2

eπ

2. E como a curva tambem e simetrica, relativamente aos eixos coordenados, conclui-

se sem dificuldade que, para completar o estudo, basta limitar-se a parte correspondente

aos valores positivos de x e y.

Consideremos separadamente o caso de c ≤ 1, e de c > 1.

Primeiro caso. Imediatamente se ve, supondo que x = 0, que a parte considerada da curva

intersecta o eixo das ordenadas no ponto cuja ordenada e igual a log(c+√c2 + 1).

E tambem quando y = 0, a parte da curva a que nos referimos, intersecta o eixo das

abcissas no ponto cuja abcissa e igual a arcsen(c).

Faca-se agora na equacao (2), sen2iy = 1− cos2 iy, resultara que:

(3)

cos2 iy = c2 + cos2 x;

e consequentemente,

e−y + ey

2= ±

√c2 + cos2 x,

ou,

y = log[±√c2 + cos2 x±

√c2 − sen2x

].


Assim, considerando somente o ramo da funcao y, que se reduz a log(c +√c2 + 1)

quando x = 0, tem-se:

(4)

y = log[√c2 + cos2 x+

√c2 − sen2x

];

equacao cartesiana da curva de que agora se trata, por meio da qual se ve que, quando x

varia de 0 ate arcsen(c), y varia desde log(c+√c2 + 1) ate 0.

Derivando a equacao (3), em relacao a variavel x, obtem-se

y′= ±sen(2x)

isen2iy, 8

que serve para determinar as tangentes a curva, e da qual se conclui, alem disso, que esta

intersecta perpendicularmente os eixos coordenados.

Para encontrar os pontos de inflexao e necessario eliminar y da equacao

sen22x. cos iy = cos 2x.sen22iy,

resultante da derivacao anterior, com respeito tambem a x, fazendo y′′

= 0, e a transfor-

mada da (2)

cos 2iy = 2c2 + cos 2x.

De onde resulta que

(5)

8No documento original, y′= sen(2x)

isen2iy .


cos 2x = −c2 ±√c4 − 1.

A qual demonstra que, quando c ≤ 1, a curva de que se trata carece de pontos de

inflexao real.

De maneira que, no caso a que nos referimos, a curva representada pela equacao (1),

compoe-se de um numero infinito de ovalos convexos, iguais uns aos outros, cujos centros

correspondem aos pontos (0, 0), (0,±π), (0,±2π) ..., e cujos eixos sao iguais a 2 arcsen(c)

e a 2 log(c+√c2 + 1).

Segundo caso, c > 1.

Por meio de uma consideracao, analoga a anterior, e facil verificar que a curva consid-

erada apresenta dois ramos simetricamente dispostos relativamente ao eixo das abcissas, e

indefinidamente prolongados no sentido das abcissas positivas e negativas, formando uma

serie de ondas, de amplitude igual a π. A ordenada adquire um valor maximo, igual a

log(c +√c2 + 1), nos pontos onde x possui os valores de 0, ±π, ±2π, ...; e um valor

mınimo, igual a log(c+√c2 − 1), nos pontos onde os valores de x sao iguais a ±1

2π, ±3

2π,

±5

2π, ... . E, entao a curva apresenta pontos de inflexao reais, cujas abcissas determina a

equacao (5).

3.7 Quadratriz de Dinostrato

388.

Chama-se Quadratriz de Dinostrato a curva gerada (fig.110) por um ponto M , que

se movimenta de tal maneira que em todas as suas posicoes verifica a igualdade,

AP

AO=arc ab

arc ac;


sendo A um ponto fixo, e abc o quadrante de uma circunferencia de centro O e de raio

igual a unidade.

Figura 110: Construcao da Quadratriz de Dinostrato

Por termos, designando por a o segmento OA, por θ o arco ab, e sendo x e y as

coordenadas do ponto M ,

y = x. tan θ ea− x

a=

2θ

π,

encontra-se, eliminando θ destas expressoes, a seguinte equacao da quadratriz de Dinostrato:

y = x. cotπx

2a.


389.

A historia da quadratriz de Dinostrato encontra-se relacionada com os celebres

problemas de trisseccao do angulo e da quadratrura do cırculo, que tanto se empenharam

por resolver os antigos geometras. No estudo desta curva ocupou-se pela primeira vez

Hippias, que se cre ter vivido na segunda metade do seculo IV, anterior a Jesus Cristo,

como afirma Proclo em Comentarios (9aprop. do 3o livro e principio do 4o) e na qual a

emprega para resolver o primeiro daqueles problemas.

Nas obras de Pappo (ed.Hultsh, p.250-252) encontra-se exposto um procedimento de

construcao da curva que tratamos, assim como a sua aplicacao na resolucao do problema

da quadratura do cırculo (l.e, p.256 ): aplicacao esta que se deve a Dinostrato, de onde

resultou o nome da curva.

Muitos seculos depois, P. Leotaud, que viveu no sec. XVII, escreveu sobre este

assunto numa obra intitulada Liber in quo mirabiles quadratricis facultates variae expo-

nuntur. Tambem estudaram esta curva Roberval (Memoires de l’Academie des Sciences,

Paris, t.VI, 1730, p.57 ); Fermat (Euvres, t.III, p.145 ); Juan Bernoulli (Opera Omnia,

t.I, p.447, e t.II, p.176 e p.179 ); e outros autores.

A quadratriz de Dinostrato pertence a uma classe de curvas estudadas recentemente

por Fouret nos Nouvelles Annales des Mathematiques (3aserie, t.V, 1886, p.39).

390.

A forma da quadratriz deduz-se facilmente da analise da sua equacao, anteriormente

apresentada.

Fazendo nela x = 0, deduz-se que y = 0 ×∞; cujo verdadeiro valor, obtido por um

procedimento muito conhecido, e o seguinte y =2a

π.

Logo, a curva intersecta o eixo das ordenadas no ponto B (fig.111), onde a ordenada


OB =2a

π. E, como neste ponto y

′= 0, a tangente aqui sera paralela ao eixo das abcissas.

Note-se, alem disso, que o eixo das ordenadas e tambem eixo da curva, consequente-

mente bastara, estudar a forma e propriedades, desta, na regiao situada a direita do eixo

mencionado.

Figura 111: Quadratriz de Dinostrato

Quando x varia, desde 0 ate 2a, y decresce constantemente desde BO ate −∞, e o

ponto (x, y) descreve o ramo BDC da curva que intersecta o eixo das abcissas no ponto

D, dado pela abcissa OD = a. A este ramo corresponde a assımptota PQ, que tem por

equacao x = 2a.

Quando x varia desde 2a ate 4a, y decresce constantemente desde ∞ ate −∞, e o

ponto (x, y) descreve o ramo infinito GFG′da curva que intersecta o eixo das abcissas no

ponto F , onde x = 3a, e onde sao assımptotas as rectas PQ e P′′Q

′′as quais correspondem

as seguintes equacoes x = 2a e x = 4a.


E, continuando a variacao de x no mesmo sentido, obtem-se os outros ramos da curva,

todos iguais ao anterior, e em numero infinito.

Os antigos geometras limitavam-se a considerar uma parte muito reduzida da curva

em torno do ponto B. Ate que P.Leotaud, na sua obra anteriormente citada, demonstrou

pela primeira vez que a curva contem infinitos ramos e determinou as suas assımptotas.

Usando a equacao y′′

= 0, resulta

πx

2a= tan

πx

2a;

e portanto, y =2a

π. Logo, a quadratriz de Dinostrato possui um numero infinito de pontos

de inflexao, situados todos sobre a paralela ao eixo das abcissas que passa pelo ponto B.

391.

Para se compreender como e que a curva que estamos a considerar pode servir para

quadrar o cırculo, basta ver que, sendo OB =2a

π, esta igualdade determina o valor de

π, quando e conhecida a ordenada OB, do ponto onde a curva intersecta o eixo das

ordenadas. Solucao do problema, puramente teorico, uma vez que nao se conhece nenhum

procedimento de tracar a curva por meio de um movimento contınuo: tal como ja havia

sido antigamente advertido, segundo afirma Pappo.

Na obra de Zeuthen, intitulada Geschichte der Mathematik in Altertum und Mit-

telarte (Kopenhagen, 1896, p.76), encontra-se exposta em linguagem corrente a solucao,

dada por Dinostrato, do referido problema.


392.

A area A, limitada pelo arco DBD′da quadratriz e pelo eixo das abcissas, obtem-se

facilmente partindo da seguinte formula, na qual,πx

2a= t,

A = 2

a∫0

x. cotπx

2adx = 2

(2a

π

)2π2∫

0

t. cot tdt;

que, integrando por partes, e tendo em conta que t log sent e igual a zero, quando t e zero,

se converte na formula seguinte:

A = −2

(2a

π

)2π2∫

0

log sentdt.

O integral definido, do qual depende o valor de A, foi determinada do seguinte modo

por Todhunter (A Treatise on the Integral Calculus - London, 1883, p.65 ) :

π2∫

0

log sentdt =

π2∫

0

log cos tdt =1

2

π2∫

0

log

(sen2t

2

)dt

=1

2

π2∫

0

log sen2tdt− π

4log 2.

Mas, fazendo 2t = y,

π2∫

0

log sen2tdt =1

2

π∫0

log senydy =

π2∫

0

log senydy.

Logo,


π2∫

0

log sentdt = −π2

log 2.

De maneira que, finalmente,

A =4a2. log 2

π.

3.8 Curva Elastica ou Lintearia

393.

Da-se o nome de lintearia, ou curva elastica, a curva definifa pela equacao:

y =

x∫0

(x2 + c)dx√a2 − (x2 + c)2

,

de cuja analise se deduz facilmente a forma da curva.

Para tal, vamos supor primeiramente que c > 0. Como a integral considerada e igual

ao limite de uma soma de elementos, da forma

(x2 + c)dx√a2 − (x2 + c)2

,

conclui-se imediatamente que y sera imaginario quando c > a, qualquer que seja x, e

portanto, que neste caso nao existe curva realizavel; se a > c, y e tambem imaginario,

quando o valor absoluto de x e maior que√a− c, e, consequentemente, a curva nao se

estende para alem das rectas paralelas ao eixo das ordenadas que passam pelos pontos

M e M′, cujas abcissas sao iguais a

√a− c e −

√a− c; e que aos valores negativos do


limite superior do integral correspondem valores de y iguais, mas de sinal contrario aos que

correspondem aos valores positivos deste limite: de maneira que a curva se compoe de dois

arcos iguais, OM e OM′(fig.112), dispostos um de cada lado dos eixos coordenados.

Figura 112: Curva elastica quando a > c e c > 0

As tangentes a curva elastica determinam-se pela equacao:

dy

dx=

x2 + c√a2 − (x2 + c)2

;

a qual mostra que y nao admite valores maximos nem mınimos; que o coeficiente angular

da tangente na origem das coordenadas e igual ac√

a2 − c2; e que as rectas PM e P

′M

′,

paralelas ao eixo das ordenadas nos ponto extremos da curva, sao tangentes a mesma curva.

E do mesmo modo conclui-se que, no caso de c < 0 e a > c, a curva possui a forma


representada na figura 113, onde OP , e igual a O′P

′, e tambem igual a

√a− c. Mas

neste caso deve salientar-se que a curva admite ordenadas maximas (em valor absoluto)

nos pontos N e N′, correspondentes as abcissas

√−c e −

√−c.

Figura 113: Curva elastica quando a > c e c < 0

394.

Para encontrar o valor do raio de curvatura de ambas as curvas consideradas, note-se

que

y′′

=2a2x

[a2 − (x2 + c)2]32

.

Com o qual se conclui que

R =a

2x.


Logo, o raio de curvatura da curva elastica no ponto (x, y) e inversamente proporcional

a abcissa x.

E de salientar que esta propriedade e exclusiva da curva de que agora se trata, e que

a define analiticamente. Para o mostrar basta integrar a equacao

(1 + y′2

)32

y′′=

a

2x, ou

ady′

(1 + y′2)32

= 2xdx.

Por se ter, com efeito,

∫dy

′

(1 + y′2)32

=y′√

1 + y′2,

obtem-se que

dy

dx=

x2 + c√a2 − (x2 + c)2

,

precisamente a equacao diferencial das curvas elasticas.

395.

Embora a integral de que depende a expressao finita de y nao possa ser determi-

nada por procedimentos ou funcoes elementares, pode se-lo, naquele integral, por funcoes

elıpticas, como agora veremos.

Fazendo naquela integral x2 = v−1, resulta que

x∫0

(x2 + c)dx√a2 − (x2 + c)2

=1

2√a2 − c2

∞∫v

(cv + 1)dv

v√(

v − 1a−c

) (v + 1

a+c

)v.


Ou fazendo, v = t+2

3.

c

a2 − c2,

x∫0

(x2 + c)dx√a2 − (x2 + c)2

=c√

a2 − c2.

∞∫t

(ct+ α+ 1)dt

(ct+ α)√

4t3 − g1t− g2

=c√

a2 − c2

∞∫t

dt√4t3 − g1t− g2

+

∞∫t

dt

(ct+ α)√

4t3 − g1t− g2

onde,

α =2

3.

c2

a2 − c2;

g1 =4

3.c2 + 3a2

(a2 − c2)2 ;

g2 =8c(9a2 − c2)

27 (a2 − c2)3 .

Logo, y depende de uma integral elıptica de primeira ordem e de outra de terceira,

reduzidas, a forma adoptada por Weierstrass.

Para expressar y por meio de funcoes elıpticas, faca-se agora:

∞∫t

dt√4t3 − g1t− g2

= u; t = p(u); e y.dt√

4t3 − g1t− g2

= −du;

sendo p(u) a funcao elıptica de Weierstrass, correspondente as invariantes g1 e g2.


E assim tem-se que,

x∫0

(x2 + c) dx√a2 − (x2 + c)2

=c√

a2 − c2.

u+

u∫0

du

c.p(u) + α

;

ou fazendo αc

= −p(v)

x∫0

(x2 + c) dx√a2 − (x2 + c)2

=c√

a2 − c2.

u+1

c.

u∫0

du

p(u)− p(v)

.

Expressao que, por uma igualdade conhecida (exposta no nosso Curso de Analisis,

t.III, p.175 )

ζ(u− v)− ζ(u+ v) + 2ζ(v) =p′(v)

p(u)− p(v),

e recordando que ζ(u) e o integral de −p(u) (l.e., p.179 ), se transforma na seguinte :

x∫0

(x2 + c) dx√a2 − (x2 + c)2

=1

p′(v)√a2 − c2

.

[c.u.p

′(v) + log

σ(u− v)

σ(u+ v)+ 2ζ(v)u

]. 9

Onde finalmente, se conclui que :

x2 =c

ct+ α=

1

p(u)− p(v), e

9No documento original,x∫0

(x2+c)dx√a2−(x2+e)2


y =1

p′(v).√a2 − c2

.

[(c.p

′(v) + 2ζ(v)

).u+ log

σ(u− v)

σ(u+ v)

].

Formulas que expressam os valores de x e y, em funcao da variavel independente u,

por meio das funcoes elıpticas de Weierstrass.

396.

O comprimento dos arcos da curva elastica, contados a partir da origem das coorde-

nadas, deduz-se da formula:

s =

x∫0

adx√a2 − (x2 + c)2

,

dependendo mesmo assim das funcoes elıpticas, e da qual, procedendo como anteriormente,

se deduzem as seguintes formulas:

x∫0

adx√a2 − (x2 + c)2

=a√

a2 − c2.

∞∫t

dt√4t3 − g1t− g2

=a√

a2 − c2u.

E, finalmente,

s =a√

a2 − c2u.

397.

Jacobo Bernoulli tratou pela primeira vez da curva elastica em 1694, nas Acta

Eruditorum (Jacobi Bernoulli Opera, t.I, Geneve, 1744, p.576), e em 1705 nas Memoires


de l’Academie des Sciences de Paris (Opera, t.II, p.976 ). Ao fixar a atencao nesta curva,

surgiu o problema da determinacao da forma que adquire uma lamina elastica, fixa por

um dos seus extremos, e sobre a qual actua uma forca perpendicular a mesma lamina; e

situada no plano da sua fibra media. Problema que, posteriormente, foi generalizado por

Poisson (Traite de Mecanique, seconde edition, t.I, Paris, 1833, p.598 ), considerando o

caso de a forca nao ser perpendicular a lamina,mas se-lo simplesmente a superfıcie que

passa pela mencionada fibra media; e, mais tarde, Binet (Comptes sendus de l’Academie

des Sciences de Paris, t.XVIII, p.115 ) e Wantzel (Item, p.1197 ), que estudaram o caso

da forca actuar numa direccao qualquer.

A estas generalizacoes do problema considerado corresponde outra muito notavel da

nocao de curva elastica, que, no ultimo caso considerado, converte-se numa curva de

curvatura dupla, as coordenadas de cujos pontos os geometras anteriormente menciona-

dos ensinaram a determinar, fazendo-as depender de simples quadraturas; e Hermite,

expressou-as por meio de funcoes elıpticas, em Sur quelques applications des donctions

elliptiques (Paris, 1885, p.93).

A curva elastica foi tambem estudada por Euler como solucao dos seguintes proble-

mas, faceis de resolver pelo metodo das variacoes :

1o - Entre as curvas com o mesmo perımetro que passam por dois pontos fixos, encontrar a

que, girando em torno de um eixo, gera um solido de volume maximo (Methodus inveniendi

lineas curvas maximi minive proprietate gaudentes, 1744), cap.V, num 46 ).

2o - Entre as curvas de igual perımetro e que limitam a mesma area, encontrar aquelas

que, girando em torno de um eixo, geram um solido de maximo ou mınimo volume (l.e.,

cap.VII, num 22 ).


398.

Note-se, para concluir, que Jacobo Bernoulli (Opera, t.I, p.597 ) encontrou a

mesma equacao para a forma de uma lamina elastica, sujeita a accao de uma forca, em

determinadas condicoes,e para a de um lenco rectangular, suspenso por dois dos seus cantos

opostos, sobre o qual se faz cair um lıquido pesado: sendo por este motivo que aplicou o

nome de lintearia.

3.9 Curva Isocrona Paracentrica

399.

Em 1689, Leibnitz propos na Acta Eruditorum, pag.198, o seguinte problema: en-

contrar a curva plana pela qual deve descer um ponto grave, para que a sua distancia a

outro ponto fixo varie proporcionalmente ao tempo gasto a descrever cada arco da curva.

A curva que satifaz a condicao anterior, Leibnitz chamou de isocrona paracentrica.

E o problema anteriormente exposto foi resolvido, como vamos seguidamente expor, por

Jacobo Bernoulli, que publicou a solucao no mesmo volume da Acta, correspondente

ao ano de 1694, pags. 276 e 336 (Opera, t.I, p.601 e 608 ).

400.

Adoptando para origem das coordenadas o ponto fixo dado, e para o eixo das ordenadas

a recta vertical que passa por este ponto; e representando por x e y as coordenadas do

movel e a distancia r =√x2 + y2 entre ambos os pontos deve variar, conforme o enunciado

do problema, proporcionalmente ao tempo t. E portanto,


d√x2 + y2

dt=

1√x2 + y2

(xdx

dt+ y

dy

dt

)= k;

sendo k uma constante dada.

Em virtude da descida ou queda dos graves, verifica-se alem disso, segundo o que e

sabido, que

ds2

dt2=dx2 + dy2

dt2= 2g(y + h),

onde s representa o comprimento de um qualquer arco da curva.

E, eliminando dt das equacoes anteriores, resulta que:

k2(x2 + y2)(dx2 + dy2) = 2g(y + h)(xdx+ ydy)2.

Suponhamos, em particular, que a curva passa pelo ponto fixo considerado na sua

definicao, e tem-se que, quando y = 0, sera tambemd(

√x2 + y2)

dt=ds

dt10 e, em con-

sequencia, k =√

2gh: com a qual a equacao anterior se reduz a sequinte:

h(x2 + y2)(dx2 + dy2) = (y + h)(xdx+ ydy)2

ou, em termos mais simples,

(xdx+ ydy)√y =

√h(ydx− xdy). 11

10No documento original,d(x2 + y2)

dt=

ds

dt.

11No documento original, (xdx + ydy)√

y =√

h(ydx + xdy).


401.

Para integrar a equacao diferencial da curva isocrona paracentrica, Bernoulli pro-

cedeu conforme a seguir se explica.

Fazendo primeiramente,

hy = vz e hx = v√h2 − z2,

obtem-se,

ydx− xdy = − v2dz√h2 − z2

, e xdx+ ydy = vdv;

de onde se conclui que,

v−12dv = − hdz√

(h2 − z2)z.

Integrando agora, e determinando a constante arbitraria pela equacao v = 0, quando

se tem z = 0, obtem-se que

√v = −1

2h

z∫0

dz√(h2 − z2)z

,

ou, supondo que z = h. cos 2ω,

√v =

ω∫π4

√hdω√

cos 2ω.


Ve-se, pois, que os valores de v e de x e y dependem do valor do comprimento de um

arco de lemniscata (Num.146): razao pela qual a curva estudada no Num.139 lhe foi

aplicado, entre todas com um mesmo nome generico, o especial de lemniscata de Jacobo

Bernoulli.

402.

A integracao da equacao diferencial, considerada no paragrafo anterior, pode fazer-se

por um procedimento mais simples que o que acabamos de expor, comecando por escrever

aquela equacao em coordenadas polares, mediante as expressoes x = ρ cos θ e y = ρsenθ,

transformando-se na seguinte:

dρ√ρ

= −√h.

dθ√senθ

. 12

Onde, integrando e determinando a constante arbitraria pela condicao ρ = 0, quando

θ = 0, se deduz que :

√ρ =

√h

2

θ∫0

dθ√senθ

;

ou, supondo que θ = π2− w ,

√ρ =

√h

ω∫π4

dω√cos 2ω

.

12No documento original, dρρ = −

√h. dh√

senθ.

Capıtulo 4

As Espirais

4.1 Espiral de Arquimedes

403.

A espiral de Arquimedes e a curva gerada por um ponto movel, com movimento

uniforme, ao longo de uma linha recta, enquanto que esta gira, tambem com movimento

uniforme, em torno de um ponto fixo, no caso deste ponto coincidir com o primeiro na

sua posicao inicial. Curva minuciosamente estudada pelo grande geometra de Siracusa

no Tratado que o consagrou; mas cuja descoberta e o enunciado das suas principais

propriedades e atribuıdo por alguns autores a Canon, reservando as demonstracoes para

Arquimedes: motivo pelo qual foi durante muito tempo conhecida pelo nome de espi-

ral de Canon (Pappo: Comentarios, ed.Hultsch, t.I, p.234; Montucla: Histoire des

Mathematiques, 2aed.t.I, p.226; etc).

Pero Nize, autor de uma traducao alema das obras de Arquimedes, demonstrou

com uma grande abundancia de documentos a falsidade desta conjectura, tendo sido as suas

conclusoes aceites como boas pelos historiadores modernos (P.Tannery,Cantor,G.Loria,

90

CAPITULO 4. AS ESPIRAIS 91

etc).

As demonstracoes das propriedades da espiral, propostas por Arquimedes, eram

para Libri demasiado extensas e complicadas, tendo chegado a afirmar: ”Depois de vinte

seculos de trabalhos e de descobertas, as inteligencias mais possantes monstram-se contra

a difıcil sıntese do Tratado das Espirais”. Opiniao esta refutada por Peyrard, tradutor

frances e comentador das obras do celebre geometra grego, que com razao afirmou que

somente podem qualificar as obras de difıceis os leitores nao familiarizados com os antigos

metodos de investigacao geometrica; mas nao os conhecedores daqueles metodos, para os

quais estas nao aprsentariam qualquer dificuldade.

No entanto, actualmente, aquelas propriedades demonstram-se de uma maneira mais

simples usando procedimentos da Analise Moderna, e apoiando-se na equacao extrema-

mente simples da curva, ou na sua definicao expressa em coordenadas polares:

ρ = aθ.

Desta equacao deduz-se, imediatamente, que o ponto gerador da curva parte da origem

das coordenadas, tangencialmente ao eixo polar, e descreve depois um numero infinito de

voltas ou revolucoes em torno do ponto inicial, afastando-se dele constantemente (fig.114),

num sentido ou noutro, segundo o sentido inicial do movimento.

404.

A subnormal, Sn; a subtangente, St; o comprimento da normal, N ; e o angulo, V da

tangente a curva com o raio vector do ponto de contacto, sao expressos pelas formulas:

Sn =dρ

dθ= a

St =ρ2.dθ

dρ= ρθ


Figura 114: Espiral de Arquimedes

N =√a2 + ρ2

tangV =ρ.dθ

dρ=ρ

a

Destas, a primeira e a ultima permitem facilmente construir as normais e as tangentes

a espiral considerada. E a segunda, mostra que a subtangente OT e igual ao comprimento

do arco MA1M1 da circunferencia, descrita desde o ponto O, com raio OM , igual a ρ.

Relacao bastante curiosa, entre o problema da rectificacao da circunferencia e a de-

terminacao da tangente a espiral, falada por Arquimedes, e o primeiro e mais antigo

exemplo conhecido da determinacao da tangente a uma curva por meio da subtangente.


405.

O raio de curvatura da espiral de Arquimedes tem por expressao

R =(ρ2 + a2)

32

ρ2 + 2a2=

N3

N2 + a2;

da qual se conclui uma simples construcao do raio de curvatura.

406.

A area, A, percorrida pelo raio vector da espiral considerada, quando θ varia desde θ0

ate θ1, determina-se do seguinte modo:

(A)

A =a2

6(θ3

1 − θ30) =

1

6a(ρ3

1 − ρ30).

E, comparando o valor de A com o das areas dos sectores circulares, que contem o

mesmo angulo θ1 − θ0 e correspondem aos raios ρ1 e ρ0 determinadas pelas formulas:

A1 =1

2aρ2

1.(ρ1 − ρ0)

e

A0 =1

2a.ρ2

0(ρ1 − ρ0)

deduz-se as seguintes igualdades, obtidas por Arquimedes:

A

A1

=ρ3

1 − ρ30

2ρ21(ρ1 − ρ0)

=ρ1ρ0 + 1

3(ρ1 − ρ0)

2

ρ21

;


eA1 − A

A− A0

=ρ0 + 2ρ1

ρ1 + 2ρ0

=ρ0 + 2

3(ρ1 − ρ0)

ρ0 + 13(ρ1 − ρ0)

.

Da formula (A) deduz-se tambem, fazendo θ0 = 2(n− 1)π e θ1 = 2nπ e representando

por A(n) o valor da area percorrida pelo raio vector, quando esse descreve a espiral na volta

de ordem n, a igualdade

A(n) =4

3π3a2(3n2 − 3n+ 1)

da qual resultam varias relacoes interessantes, indicadas tambem por Arquimedes, entre

as quais recordamos as seguintes:

A(1) =4

3π3a2;

A(2) − A(1) = 8π3a2;

A(n) − A(n−1) = 8(n− 1)π3a2;

A(1) =1

6

(A(2) − A(1)

);

A(n) − A(n−1) = (n− 1)(A(2) − A(1)).

O procedimento de Arquimedes para determinar o valor de A foi verdadeiramente

notavel, e constitui um dos primeiros exemplos do metodo dos indivisiveis e dos infinites-

imais. Como nos metodos mencionados, Arquimedes considerou, com efeito, a area A


como uma soma de sectores circulares, num numero crescente indefinido, e isto bastou para,

em certo modo, mostrar o resultado que procurava, utilizando depois para demonstrar a

sua legitimidade o procedimento classico de exaustao, empregado sempre pelos antigos

geometras para a resolucao de questoes deste genero, e referente ao qual o leitor pode

consultar a excelente obra de Zeuthen, intitulada Geschichte des Mathmatik in Altertum

und Mittelarter (1986, p.166-183), onde tambem encontrara exposto o metodo original de

que se valeu Arquimedes para calcular o valor de A.

407.

O comprimento, s, do arco da espiral de Arquimedes, compreendido entre os pontos

(ρ0, θ0) e (ρ1, θ1), e expresso pela formula

s =

∫ ρ1

ρ0

√ρ2.

(dθ

dρ

)2

+ 1.dρ =1

a

∫ ρ1

ρ0

√ρ2 + a2.dρ 13

E como o comprimento do arco de parabola y2 = 2px, compreendido entre os pontos

(x0, y0) e (x1, y1) e dado pela formula

s1 =1

a

∫ y0

y1

√a2 + y2dy,

tem-se que o comprimento do arco da espiral de Arquimedes e igual ao do arco da parabola

anterior, compreendida entre os pontos cujas ordenadas sao iguais aos raios vectores das

extremidades do arco da espiral.

Esta ultima proposicao e devida, segundo testemunho de Pascal, a Roberval.

Porem, como a demonstracao dada por este celebre geometra esta acente em consideracoes

cinematicas, Pascal propos outra bastante distinta, completamente geometrica (Oeuvres,

ed.Hachette, t.II, 1889, p.450).

13No documento original, s =∫ ρ1

ρ0

√ρ2. dθ

dρ + 1.dρ.


Para mais informacoes referentes a historia da espiral de Arquimedes, ver G.Loria:

Le scinze esatte nel’antica Grecia, t.II,Moderna, 1895,p.113-122.

4.2 Espiral de Galileu

408.

Fermat, nas suas cartas a P.Mersenne, de 26 de Abril de 1636 e 3 de Junho do

mesmo ano (Oeuvres, ed. G. Villars, t.II, 1894, p.12), e num dos seus descritos (Oeu-

vres, t.III,p.70), menciona uma espiral, a qual atribui o nome de Espiral de Galileu.

Algumas passagens das obras de Mersenne (transcritos no volume II, p.15, da nova

edicao das obras de Fermat), sugeriram a P.Tannery a conclusao de que a espiral assim

denominada e a curva representada em coordenadas polares pela equacao

ρ = a− bθ2.

Curva que Fermat estudou a pedido de Mersenne, que a tinha encontrado ao

resolver o problema de ”descobrir a curva descrita, relativamente a Terra, animada com

movimento de rotacao diurno, por um ponto material pesado, que descia livremente ate

ela, segundo a lei de Galileu”.

409.

A forma desta espiral e facil de obter (fig.115).

Quando θ varia desde 0 ate

√a

b, ρ decresce desde a ate 0; e quando depois θ varia

desde

√a

bate ∞, o raio vector ρ e negativo e cresce em valor absoluto desde 0 ate ∞.

Logo, o ponto gerador da curva parte de A, onde se tem OA = a; aproxima-se de 0 ate

encontra-lo, descrevendo o arco ABCO e depois afasta-se indefinidamente deste ponto,


dando um numero infinito de voltas em torno do mesmo. A tangente no ponto O forma

um angulo, igual a

√a

b, com o eixo Ox.

Aos valores negativos de θ corresponde o outro ramo da curva, simetrico ao primeiro

ramo relativamente ao eixo Ox.

Figura 115: Espiral de Galileu

410.

Representando por V o raio vector do ponto de contacto, tem-se que

tangV = − ρ

2√b(a− ρ)

.

Formula que permite construir facilmente as tangentes a curva, e mostra que no ponto

A a tangente e perpendicular ao eixo das abcissas.


411.

A expressao do raio de curvatura da curva, no ponto (ρ, θ), e a seguinte:

R =(ρ2 − 4bρ+ 4ab)3/2

ρ2 − 6bρ+ 8ab.

E, como substituindo no segundo termo do denominador desta igualdade, ρ pelo seu

valor em funcao de a, b e θ, se ve que este denominador nao pode ser nulo, e conclui-se

entao que a curva nao tem nenhum ponto de inflexao.

412.

Para determinar os pontos de contacto duplo, existentes no ramo da curva, para os

valores positivos de θ, basta atender que estes pontos devem evidentemente corresponder

valores de θ, separados um do outro pelo arco (2n+1)π, sendo n um numero inteiro e

positivo, e alem disso aos valores de ρ iguais e de sinal contrario, conforme indicam estas

expressoes:

ρ = a− bθ2

−ρ = a− b [θ + (2n+ 1)π]2 .

Das quais, por eliminacao de ρ e da resolucao da equacao de 2o grau resultante, se

deduz que

(1)

θ =−(2n+ 1)πb±

√4ab− b2π2(2n+ 1)2

2b. 14

14No documento original, θ = −(2n+1)πb±√

4ab−b2π2(2n+1)2

b .


Equacao que e valida para valores de θ imaginarios, negativos e positivos. Aos

imaginarios nao correspondem pontos da curva; e aos negativos tambem nao corresponde

nenhum ponto do ramo considerado; basta, pois, considerar os valores positivos de θ.

Para que θ seja real, e necessario que se verifique a condicao

4a > bπ2(2n+ 1)2;

e para que seja positivo e necessario tambem que satisfaca esta outra condicao√4ab− b2π2(2n+ 1)2 > (2n+ 1)πb,

ou

2a > bπ2(2n+ 1)2.

A condicao unica para que o valor de θ seja real e positivo reduz-se, entao a seguinte

2a > bπ2(2n+ 1)2,

da qual se deduz os valores de n a que correspondem os de θ, dados pela igualdade (1),

pertencentes aos pontos de contacto duplo procurados.

Fazendo, nas formulas anteriores n = 0, conclui-se que somente existirao pontos de

contacto duplo quando se tem

√a

b>

π√2.

Mas, para alem dos pontos de contacto duplo acabados de determinar, a curva possui

ainda os pontos existentes no ramo da curva que corresponde aos valores negativos de θ,

simetricos aos anteriores relativamente ao eixo Ox, e os pontos pertencentes a este eixo,

onde os ramos da curva se intersectam.

413.

A area descrita pelo raio vector, quando θ varia desde 0 ate θ, e definida pela formula


A =1

2

∫ θ

0

ρ2dθ =1

2

(a2θ +

1

5b2θ5 − 2

3bθ3

). 15

414.

A rectificacao da curva obtem-se com auxılio das integrais elıpticas de primeira e de

segunda especie, conforme agora passamos a demonstrar.

Por agora, tem-se que

ds =√b2θ4 + 2(2b2 − ab)θ2 + a2.ds;

ou fazendo θ2 = z,

ds =1

2.

b2z2 + 2(2b2 − ab)z + a2√z [b2z2 + 2(2b2 − ab)z + a2]

dz.

Tomando agora,

z[b2z2 + 2(2b2 − ab)z + a2

]= F (z), 16

obtem-se que

ds =1

6.[F ′(z) + 2(2b2 − ab)z + 2a2] dz√

F (z);

e portanto,

ds =1

3

[√dF (z) +

(2b2 − ab)z + a2√F (z)

dz

]. 17

15No documento original, A = 12

∫ θ

0ρ2dθ = 1

2

(a2θ + 1

5b2θ5 − 23abθ3

).

16No documento original, z2[b2z2 + 2(2b2 − ab)z + a2

]= F (z).

17No documento original, ds = 13

[dF (z) + (2b2−ab)z+a2√

F (z)dz

].


Para conseguir desprezar o termo de 2o grau em F(z), admitamos que

z = v + h e h = −2

3.2b− a

b;

e assim obtem-se que

ds =1

3

[b

2d√

4v3 − g1v − g2 +2(2b− a)vdv√4v3 − g1v − g2

+2a2dv

b√

4v3 − g1v − g2

],

onde,

g1 = 12h2 − 4a2

b2e g2 = 4

(2h2 − a2

b2

)h.

De maneira que, com efeito, s depende de dois integrais elıpticos, um de primeira e

outro de seguinte especie, reduzidos a forma adoptada por Weierstrass.

E alem disso note-se, em conclusao, que um dos integrais desaparece quando b =1

2a.

4.3 Espiral de Fermat

415.

A chamada espiral de Fermat, estudada pelo grande geometra de Toulouse, na carta

dirigida em P.Mersenne a 3 de Junho de 1636 (Oeuvres, ed. G.Villars, t.III, 1896, p.277),

tem por equacao,

ρ2 = a2θ.


Quando θ varia de 0 ate ∞, os valores proximos de ρ, correspondentes a θ, aumentam

tambem de 0 ate ∞. O ponto gerador da curva da um numero infinito de voltas em torno

da origem das coordenadas, descrevendo a curva OABCD... (fig.116), que se afasta cada

vez mais da origem, onde a curva e tangente ao eixo polar ou eixo das abcissas. Aos valores

negativos de ρ corresponde o ramo OA′B′... da curva, igual a primeira e tambem tangente

no ponto O ao eixo das abcissas. Os dois ramos reunidos formam uma curva contınua, da

qual O e um ponto de inflexao e um centro.

Figura 116: Espiral de Fermat

416.

O angulo V , formado pela tangente com o raio vector do ponto de contacto; a

subnormal Sn; e a subtangente St sao expressas pelas formulas:

tangV =2ρ2

a2;


Sn =a2

2ρ; e

St =2ρ3

a2,

das quais se obtem varios procedimentos para construir as tangentes a curva.

417.

A expressao para o raio de curvatura e

R =

(ρ2 + a4

4ρ2

)3/2

ρ2 + 3a4

4ρ2

.

418.

A area descrita pelo raio vector, quando θ varia de θ0 ate θ1, e determinada pela

formula

A =1

2

∫ θ1

θ0

ρ2dθ =a2

4

(θ21 − θ2

0

).

Da qual, fazendo θ0 = 0, 2π, 4π, ... e θ1 = θ0 + 2π, se deduzem para valores das areas

A1, A2, A3,... correspondentes a uma, duas, tres, etc, revolucoes do respectivo raio, estas

outras formulas:

A1 = a2π2, A2 = 3a2π2, A3 = 5a2π2, ...


Por se ter OD = a√

2π, a area A1, resulta igual a metade da area do cırculo de raio

OD. E por ser constante, e igual a 2a2π2, a diferenca dos numeros sucessivos da serie A1,

A2, A3,..., ve-se que o aumento da area em cada revolucao e igual a area do cırculo com o

mesmo raio. Ambas as proposicoes foram demonstradas por Fermat na carta a que nas

linhas anteriores se fez referencia.

419.

O comprimento do arco da curva, compreendido entre o ponto O e o ponto (θ, ρ) tem

por expressao

s =

∫ θ

0

√ρ2 +

(dρ

dθ

)2

= a

∫ θ

0

(4θ2 + 1)dθ

2√θ((4θ2 + 1))

,

resoluvel nas integrais elıpticas

∫θ2dθ√

θ(4θ2 + 1)e

dθ√θ(4θ2 + 1)

.

A primeira destas integrais e susceptıvel de reducao, pois integrando por partes, obtem-

se, com efeito, que

∫θ2dθ√

θ(4θ2 + 1)=

1

8

[2.

√θ(4θ2 + 1)−

∫4θ2 + 1√4θ2 + 1

.dθ

];

e portanto,

∫θ2dθ√

θ(4θ2 + 1)=

1

6

√θ(4θ2 + 1)− 1

12

∫dθ√

θ(4θ2 + 1).


Logo,

s =a

3

[√θ(4θ2 + 1) +

∫ θ

0

dθ√θ(4θ2 + 1)

],

cujo valor depende exclusivamente de uma integral elıptica de primeira especie.

4.4 Espiral Parabolica

420.

A espiral de Fermat pertence a um grupo de curvas estudadas por Jacobo Bernoulli

no seu Specimen Calarli Differentialis in dimensione parabole e helicoidis, publicado em

1691 em Acta Eruditorum (Opera, t.I, p.431 ), onde determinou as suas tangentes, os seus

pontos de inflexao, as suas areas e o comprimento dos seus arcos, e as quais aquele notavel

geometra deu o nome de espirais parabolicas.

Estas curvas tem a seguinte equacao geral:

(ρ− a)2 = 2paθ.

Da qual se deduz a que corresponde a espiral de Fermat fazendo, primeiramente,

p =b2

a, e depois a = 0.

421.

As espirais parabolicas sao compostas por dois ramos.

O primeiro ABCD... (fig.117), correspondente a equacao


ρ = a+√

2.p.a.θ,

parte do ponto A, onde θ = 0, e ρ = OA = a, e da um numero infinito de voltas em torno

da origem O, afastando-se indefinidamente deste ponto.

O segundo ramo, AOEFG... corresponde a equacao

ρ = a−√

2.p.a.θ,

parte do mesmo ponto A e aproxima-se cada vez mais de O, ate encontra-lo quando θ =a

2p,

para depois afastar-se indefinidamente do mesmo ponto.

Figura 117: Espiral Parabolica

A tangente a curva no ponto O forma um angulo igual aa

2pcom o eixo das abcis-

sas. Nos restantes pontos, Bernoulli determinou as tangentes valendo-se das seguintes

expressoes:


tang w =ρ (ρ− a)

ap, e St =

ρ2 (ρ− a)

ap,

designando por w o angulo da tangente formada com o raio vector do ponto de contacto,

e por St a subtangente: formulas das quais se deduz que a curva e tangente ao eixo das

abcissas no ponto A.

422.

A curva tem evidentemente pontos de contacto duplo e para a sua determinacao e

necessario encontrar dois valores de θ, que diferem entre si em (2n+ 1) π, sendo n numero

inteiro e positivo, e aos quais correspondem valores de ρ iguais e de sinal contrario. Nestes

pontos, deve, pois verificar-se que:

ρ = a+√

2p.a.θ, e −ρ = a+√

2pa [θ + (2n+ 1) π]; 18

ou

ρ = a−√

2p.a.θ, e −ρ = a−√

2pa [θ + (2n+ 1) π],

uma vez que o ponto de contacto duplo advem da interseccao, uma com a outra, de ambos

os ramos, ou de intersectar um dos ramos em si mesmo. Em ambos os casos, por eliminacao

de ρ, se obtem este resultado:

{4a2 − 2pa [2θ + (2n+ 1) π]

}2= 16p2a2θ [θ + (2n+ 1) π] ;

e portanto,

θ =[2a− p (2n+ 1) π]2

8ap.

18No documento original, −ρ = a−√

2pa [θ + (2n + 1) π].


Formula na qual n representa qualquer numero inteiro positivo, e que serve para

determinar os valores de θ a que correspondem pontos de contacto duplo da curva.

423.

Para determinar os pontos de inflexao da espiral considerada, recorremos a formula

geral:

ρ2 − ρd2ρ

dθ2+ 2

(dρ

dθ

)2

= 0,

que, aplicada ao caso de que agora se trata, se transforma na seguinte:

ρ2 (ρ− a)3 + 2p2a2 (ρ− a) + p2a2ρ = 0.

Desta equacao, combinada com a da curva, deduz-se os valores de ρ e θ, correspon-

dentes aos pontos de inflexao procurados, as mesmas equacoes mostram tambem que a

curva ha de ter, pelo menos, um real. E tambem, da sua atenta consideracao se deduz que

os pontos de inflexao reais da curva se situam no interior da circunferencia, cujo centro

coincide com a origem das coordenadas, e cujo raio e igual a a ; e que o valor de ρ nestes

pontos e positivo. Logo, fora do arco AEFO da curva, nao e possıvel que esta possua

nenhum ponto de inflexao.

424.

A area descrita pelo raio vector ρ, ao passar de uma posicao para outra, e facil de

calcular. Pois, com efeito, tomando como posicao inicial do raio OA, a area encontra-se

expressa deste modo:


A =1

2

∫ θ

0

ρ2dθ =1

2

[a2θ + paθ2 ± 4

3a√

2paθ32

].

De onde se deduz, por referencia ao sinal −, e substituindo θ pelo seu valor no ponto

O, onde θ =a

2p, que a area A1, compreendida entre o arco OA e a sua corda, tem por

expressao

A1 =a3

24p.

425.

Para rectificar a espiral considerada, contando os arcos a partir do ponto A, descobre-

se que

s =

∫ ρ

a

√ρ2dθ2

dρ2+ 1.dρ =

1

aρ

∫ ρ

a

√ρ2 (ρ− a)2 + a2ρ2.dρ

formula transformavel em integrais elıpticas.

Para mais amplas informacoes referentes a espiral parabolica ver G.E.Weyer: Ueber

die parabolishe Spirale, Leipzig, 1894.


4.5 Espiral Hiperbolica

426.

Com o nome de espiral hiperbolica designou Juan Bernoulli (Acta Eruditorum,

1713, p.77; Opera omnia, t.I, p.552) a curva definida pela equacao

ρ.θ = m,

na qual m representa uma constante.

Como ρ diminui e tende para 0, conforme θ aumenta e tende para ∞, ve-se que a

curva da um numero infinito de voltas em torno da origem, O, das coordenadas, da qual se

aproxima indefinidamente, e que por tal motivo constitui um ponto assimptotico da mesma

curva (fig.118).

Representando por x e y as coordenadas cartesianas da curva, tem-se que

y = ρ sen θ = msen θ

θ;

de maneira que y tende para m, conforme θ se aproxima de zero. Logo, a recta AB,

paralela ao eixo Ox, e cuja distancia a este eixo e igual a m, e assimptota da curva.

427.

A subtangente, a subnormal, o comprimento da tangente e o comprimento da normal

a espiral hiperbolica, sao expressas pelas formulas seguintes:

St = −m; Sn = −mθ2 = −ρ2

m;

N = ρm

√ρ2 +m2; e T =

√ρ2 +m2.


Figura 118: Espiral Hiperbolica

A primeira das quais mostra que a subtangente e uma quantidade constante, qualquer

que seja o ponto da curva a que se refira: propriedade que permite construir com facilidade

a tangente em qualquer caso.

428.

O raio da curvatura tem por expressao:

R =ρ (m2 + ρ2)

32

m3=N3

ρ2=

N3

−m.Sn

=N3

SnSt

; 19

da qual tambem facilmente se deduz a determinacao do centro da curvatura, e que, alem

disso mostra que a curva carece de pontos de inflexao.

19No documento original, R =ρ

(m2 + ρ2

) 32

m3=

N3

ρ2=

N3

m.Sn=

N3

SnSt;


429.

A area descrita pelo raio vector, quando este se move desde a posicao correspondente

ao angulo θ0, ate a posicao correspondente ao angulo θ1, determina-se pela formula

A =1

2

∫ θ1

θ0

ρ2dθ =m

2(ρ0 − ρ1),

e e igual a area de um triangulo de muito facil construcao.

430.

O comprimento do arco da curva compreendido entre os pontos (ρ0, θ0) e (ρ1, θ1), e

determinado pela formula:

s =

∫ ρ1

ρ0

√ρ2dθ2

dρ2+ 1.dρ =

∫ ρ1

ρ0

ρ−1(m2 + ρ2

) 12 .dρ

=√ρ2

1 +m2 +m

2. log

√ρ2

1 +m2 −m√ρ2

1 +m2 +m

−

[√ρ2

0 +m2 +m

2. log

√ρ2

0 +m2 −m√ρ2

0 +m2 +m

].

Ou,

s = T1 − T0 +m

2+ log

(T1 −m) (T0 +m)

(T1 +m) (T0 −m);

representando por T0 e T1 os comprimentos das tangentes a curva nos pontos considerados.


431.

Entre os resultados que acabamos de obter, referentes a espiral hiperbolica, e os obtidos

nos Nums. 347 a 350, ao tratar da curva logarıtmica, adverte-se para algumas analogias

e relacoes nos quais convem insistir um momento.

Se considerarmos um ponto da espiral hiperbolica e outro da logarıtmica (Num.345),

tal que a ordenada cartesiana deste seja igual ao raio vector daquele, os comprimentos da

subtangente, da subnormal, da tangente, e da normal em ambas as curvas, correspondentes

aos dois pontos mencionados, sao iguais. E se considerarmos alem disso, dois pontos da

espiral hiperbolica e outros dois da logarıtmica, tal que as ordenadas dos ultimos sejam

iguais aos raios vectores das primeiras, a area da figura, formada por estes raios vectores

e pela espiral, e metade da area da figura limitada pelas duas ordenadas, pelo arco da

logarıtmica compreendida entre elas, e pelo eixo das abcissas. Assim como, o comprimento

do arco, compreendido entre os dois pontos considerados da espiral, e igual ao comprimento

do arco compreendido entre os pontos correspondentes da logarıtmica.

4.6 Lituus

432.

O lituus (cayado ou baculo) e uma curva espiral, que foi tratada pela primeira vez

por Cotes em Harmonia mensurarum, publicada em 1722, e que tem por equacao, em

coordenadas polares, a que se segue:

ρ2θ = a2.

Da qual imediatamente se deduz que : ”O lituus e uma curva com a propriedade de,

ao variar de posicao o ponto gerador, passando de M a M1..., a area do sector circular,


que tem por centro a origem O das coordenadas, e que se encontra compreendida entre o

eixo polar Ox e o raio vector OM , permanece constante”.

Figura 119: Lituus

433.

A mesma equacao ilustra que, quando θ aumenta, o ponto gerador da curva descreve

um numero infinito de voltas em torno de O, aproximando-se indefinidamente dele, sem

nunca alcanca-lo. Quando, pelo contrario, θ tende para 0, o ponto gerador afasta-se

indefinidamente do eixo das ordenadas, aproximando-se ao mesmo tempo do eixo das

abcissas, como assimptota que e da curva. Nos pontos A,B,C,D,E, . . . , onde θ e sucessi-

vamente igual a π2,π ,3

2π ,2π ,5

2π ,...,ρ adquire estes outros valores, correspondentes aos de

θ(fig.119):

OA = a√

2π

,OB = a√

22π

,OC = a√

23π, ...


434.

A subtangente da curva no ponto (θ, ρ) tem por expressao

St = ρ2dθ

dρ= −2a2

ρ;

igualdade que permite construir as tangentes ao lituus.

435.

Para determinar os raios da curvatura do Lituus usa-se a formula seguinte:

R =ρ (4a4 + ρ4)

32

2a2 (ρ4 − 4a4).

436.

E os pontos de inflexao da curva encontram-se mediante a analise da igualdade

ρd2ρ

dθ2− 2

(dρ

dθ

)2

− ρ2 = 0,

que, neste caso, se reduz a

1

4θ−2 − 1 = 0;

de onde se conclui que θ = ±1

2. Como a θ = −1

2corresponde um valor imaginario de ρ,

a curva possui um so ponto de inflexao, M2, definido pelas coordenadas θ =1

2e ρ = a

√2.


437.

A area A, descrita pelo raio vector, quando θ varia desde θ0 ate θ1, e expressa pela

formula

A =1

2a2 log

θ1

θ0

.

438.

Mas como,

∫ √dρ2

dθ2+ ρ2.dθ = a

∫θ−

12

(1 +

1

4θ−2

) 12

dθ

a curva nao e rectificavel por meio de funcoes elementares.

Reduzindo o integral anterior a forma

a

∫(1 + 4θ2)dθ

2θ√θ(1 + 4θ2)

,

e simplesmente se vera que a rectificacao da curva depende dos integrais∫dθ

θ√θ(1 + 4θ2)

e

∫θdθ√

θ(1 + 4θ2);

e tendo presente a conhecida igualdade geral, facil de verificar,∫(4θ2 + 1)dθ

θ√

(4θ2 + 1)θ= −

2√θ(4θ2 + 1)

θ+ 4

∫2θdθ√

θ(4θ2 + 1), 20

20No documento original,∫

dθ

θ√

(4θ2+1)θ= − 2

√θ(4θ2+1)

θ + 4∫

θdθ√θ(4θ2+1)

.


deduz-se, em conclusao, que

s = a

[√θ0(4θ2

0 + 1)

θ0

−√θ1(4θ2

1 + 1)

θ1

+ 4

∫ θ1

θ0

θdθ√θ(4θ2 + 1)

].

Portanto, s depende de uma integral elıptica de segunda especie, reduzida a forma

adaptada por Weierstrass.

4.7 Espiral Logarıtmica

439.

As primeiras indicacoes referentes a espiral logarıtmica encontram-se nas cartas es-

critas por Descartes a P.Mersenne em 1638: nas quais o grande filosofo fala da

curva, secante a todas as rectas, situadas no mesmo plano e que partem de um certo

ponto ou origem, formando com elas um angulo constante: precisamente a denominada

espiral logarıtmica. Cujas notaveis propriedades foram mais tarde descobertas por Jacobo

Bernoulli, que as expos em dois artigos, publicados em 1691 e 1692 na Acta Eruditorum

(Opera, t.I, p.442 e p.491).

440.

Representando por V , o angulo formado pelo raio vector que passa por um ponto da

curva com a tangente a curva no mesmo ponto,

tangV =ρdθ

dρ,


a equacao diferencial das curvas, as quais corresponde um valor constante de V , sera

ρdθ

dρ=

1

c;

que, integrada, origina a seguinte equacao finita das mesmas curvas, ou das espirais

logarıtmicas :

ρ = C.ecθ.

Por meio desta equacao ve-se que a parte da curva, corresponde aos valores positivos

de θ, desde 0 ate ∞, parte (fig.120) do ponto A, cujas coordenadas sao 0 e C, e da um

numero indeterminado de voltas em torno da origem das coordenadas ou polo, desviando-

se cada vez mais da origem; e a correspondente aos valores negativos, desde 0 ate −∞,

parte do mesmo ponto, e descreve tambem um infinito numero de voltas em torno do polo,

aproximando-se dele continuamente sem nunca alcanca-lo.

441.

A subnormal, a subtangente e o comprimento da normal tem respectivamente as

seguintes expressoes:

Sn = c.ρ , St = ρc

, N = ρ.√

1 + c2;

das quais imediatamente se deduz que Sn, St e N sao proporcionais a ρ.

442.

O raio de curvatura e dado por:


Figura 120: Espiral Logarıtmica

R = ρ.√

1 + c2,

proporcional tambem a ρ, alem disso e igual ao comprimento da normal.

Tracando, pois, a normal a curva no ponto M , e prolongando-a ate intersectar em N

a recta ON , perpendicular a OM , obtem-se o centro de curvatura N , correspondente ao

ponto M .

E assim e facil obter o valor das coordenadas θ1 e ρ1 do ponto N .

Temos, com efeito, por ON ser a subnormal,

ρ1 = ON = cρ = C.c.ecθ, e θ1 = NOx = θ + π2.

Eliminando θ destas equacoes, tem-se que

ρ1 = C.c.ec(θ1−π2) = C.ecθ1−c π

2+log c.


E fazendo agora

θ1 = θ2 +π

2− log c

c,

Resulta finalmente,

ρ1 = C.ecθ.

Logo, a evoluta da espiral logarıtmica e outra espiral logarıtmica, igual a primeira e

associada ao mesmo polo (Jacobo Bernulli).

Se tivermos, representado por n qualquer numero inteiro,

π

2− log c

θ= 2nπ,

a evoluta da espiral considerada coincidira com a propria curva.

443.

Se OS representa a perpendicular, tracada desde a origem 0 ateMT (fig.120), tangente

a espiral no ponto M , o lugar geometrico de S, conforme M varia, sera a podaria da curva,

relativamente ao ponto O.

Por se ter OS = OM. senOMS e tanOMS =1

c, resulta que

OS =ρ√c2 + 1

.


E por tambem se terMOS = OMN , o anguloMOS sera constante, e podera designar-

se por a. Representando, pois, por ρ′e θ

′as coordenadas polares de S, tem-se que

ρ′=

ρ√c2 + 1

e θ′= θ − a.

Equacoes que, combinadas com a da curva, originam a seguinte equacao para a

podaria:

ρ′=

C√c2 + 1

.ec(θ′+a),

da qual se conclui, procedendo como no numero anterior, que a podaria da espiral

logarıtmica e outra espiral logarıtmica, igual a primeira (Jacobo Bernoulli).

444.

Demonstra-se tambem na Optica que as causticas por reflexao e por refraccao da

espiral logarıtmica sao assim mesmo espirais logarıtmicas (Jacobo Bernoulli). Estas

propriedades de reproducao da curva, e as consideradas nos Nums.442 e 443, entusias-

maram vivamente e prenderam a atencao do geometra mencionado e no detalhado estudo

a que se dedicou determinou-as claramente.

445.

A area descrita pelo vector da espiral logarıtmica, quando θ varia desde θ0 ate θ1, tem

por expressao

A = 14c

(ρ12 − ρ0

2).


446.

E com a mesma facilidade se encontra o comprimento de um arco, s, da curva,

compreendida entre os pontos (θ0, ρ0) e (θ1, ρ1) valendo-se da formula

s =

ρ1∫ρ0

√ρ2dθ2

dρ2+ 1.dρ =

√1 + c2

c.(ρ1 − ρ0).

4.8 Espiral de Poinsot

447.

Da-se o nome de espiral de Poinsot a curva definda pela equacao

ρ =2a

emθ + e−mθ,

por ter sido considerada por esse tao ilustre geometra no seu celebre estudo intitulado

Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps, apresentada ao Institudo de Franca em 1834 e

publicada no Journal de Liouville(1aserie,t.XVI).

Por se ter ρ = a quando θ = 0, e ρ = 0 quando θ = ∞, e por ser negativa a derivada

dρ

dθ= −2am

emθ − e−mθ

(emθ + e−mθ)2 ,

quando θ e positivo e diferente de zero, ve-se que uma parte, ABCD..., da curva resulta

gerada por um ponto que, partindo de A, onde ρ = a e θ = 0, da um numero infinito de

voltas em torno da origem O, no sentido positivo, aproximando-se indefinidamente deste


ponto. E, como a equacao da curva nao se altera quando se muda θ para −θ, conclui-se

que a outra parte AB1CD1..., da curva e simetrica da primeira, relativamente ao eixo OA

(fig.121).

Figura 121: Espiral de Poinsot

448.

O angulo V , formado pela tangente a curva com o raio vector do ponto de contacto,

determina-se pela formula

tanV = − 2a

mρ(emθ − e−mθ),

segundo o qual a tangente a curva no ponto A e perpendicular a OA. Representando por

N o comprimento da normal polar, tem-se que

N =ρ

a.√

(1 +m2)a2 −m2ρ2,


formula adequada para construir as normais a curva.

449.

O raio de curvatura da espiral de Poinsot pode calcular-se pela seguinte formula:

R =ρ [(1 +m2)a2 −m2ρ2]

3/2

a3(1 +m2).

Da qual se conclui que a curva carece de pontos de inflexao.

No ponto A, a expressao do raio da curvatura reduz-se a

R =a

m2 + 1.

450.

Para encontrar a area percorrida pelo raio vector da espiral considerada, quando θ

varia desde 0 ate θ, serve a seguinte formula:

A = 2a2

θ∫0

dθ

(emθ + e−mθ)2= 2a2.

1

2m

[1

2− 1

e2mθ + 1

]. 21

451.

E para determinar o comprimento s do arco da mesma espiral, compreendido entre o

ponto A e o ponto (θ, ρ), comecaremos por escrever a expressao, facil de encontrar,

21No documento original, A = 2a2θ∫0

dθ(emθ+e−mθ)2

= 12m

[12 −

1e2mθ+1

].


s =

θ∫0

2adθ

(emθ + e−mθ)2.√

(1 +m2)(e2mθ + e−2mθ) + 2(1−m2).

Mas, fazendo e2mθ = z, e representando por U a integral

U =

∫dθ

(emθ + e−mθ)2.√

(1 +m2)(e2mθ + e−2mθ) + 2(1−m2)

tem-se

U =1

2m

∫dz

(z + 1)2

√(1 +m2)z2 + 2(1−m2)z + 1 +m2

z

=1

2m

∫[(1 +m2)z2 + 2(1−m2)z + 1 +m2] dz

(z + 1)2√z [(1 +m2)z2 + 2(1−m2)z + 1 +m2]

.

Supondo tambem que

z[(1 +m2)z2 + 2(1−m2)z + 1 +m2

]= F (z) ,

deduz-se a identidade

F (z)

z(z + 1)2= 1 +m2 − 4m2

[1

z + 1− 1

(z + 1)2

].

Da qual se infere que


U =1

2m

[(1 +m2)

∫dz√F (z)

− 4m2

∫dz

(z + 1)√F (z)

+ 4m2

∫dz

(z + 1)2√F (z)

].

E desta, empregando uma formula demonstrada na Teoria das Funcoes elıpticas, ou a

seguinte identidade, facil de verificar por diferenciacao:

∫dz

(z + 1)2√F (z)

=

√F (z)

4m2(z + 1)+

∫dz

(z + 1)√F (z)

− 1 +m2

8m2

∫(z + 1)dz√

F (z)

segue que :

U =1

2m

[√F (z)

z + 1+m2 + 1

2

∫dz√F (z)

− 1 +m2

2

∫zdz√F (z)

].

Para que as integrais elıpticas que figuram nesta formula adquiram a formula adoptada

por Weierstrass, basta fazer

z = v + h e h = −2

3.1−m2

1 +m2;

Com a qual desaparece o termo de segundo grau que entra na composicao de F (z) e

obtendo-se finalmente

U =

√1 +m2

2m

[1 +m2

1(1 +m2)

∫dv√

4v3 − g1v − g2

−∫

vdv√4v3 − g1v − g2

+

√4v3 − g1v − g2

2(v + 1 + h)

],

22

22No documento original, U =√

1+m2

2m

[5+m2

3(1+m2)

∫dv√

4v3−g1v−g2−

∫vdv√

4v3−g1v−g2+√

4v3−g1v−g2

2(v+1+h)

].


onde as invariantes g1 e g2 significam o que se segue :

g1 = 4(3h2 − 1

)e g2 = 4h

(2h2 − 1

).

Ve-se, pois, que a rectificacao da espiral de Poinsot depende de duas integrais epıpticas,

uma de primeira e outra de segunda especie.

4.9 Espiral Tractriz

452.

Com o nome de espiral tractriz designa-se uma curva cuja tangente, em coordenadas

polares, tem comprimento constante. Curva estudada por Rouquel nos Nouvelles Annales

de Mathematiques (1863,p.494), onde tambem se encontram determinadas pelo mesmo

matematico duas questoes que, referentes a ela, tinham sido propostas anteriormente por

Haton de la Goupilliere (Nouvelles Annales de Mathematiques 1863,p.336).

453.

Da definicao anterior imediatamente se deduz que

ρ2 + ρ4

(dθ

dρ

)2

= a2, ou dθ = ±

[a2dρ

ρ2√a2 − ρ2

− dρ√a2 − ρ2

].

E, integrando, encontra-se, em termos finitos, que a equacao da curva mencionada

sera


θ = ±

[√a2 − ρ2

ρ− ar cos

ρ

a

],

na qual θ pode ser positivo ou negativo, nao figurando nela a constante arbitraria, intro-

duzida pela integracao, por ter sido eliminada mediante a condicao de θ = 0 quando ρ = a.

Por meio da equacao anterior e a da sua diferencial

dθ

dρ= −

√a2 − ρ2

ρ2,

note-se que, quando ρ varia desde a ate 0, os valores positivos de θ crescem constantemente

desde 0 ate ∞, e o ponto gerador da curva descreve um arco (fig.122), ABCD..., que parte

do ponto A, colocado a distancia a do ponto O, e descreve um numero infinito de voltas

em torno deste ponto, ou polo assimptotico, ao qual se aproxima cada vez mais, sem nunca

chegar a confundir-se com ele.

Aos valores negativos de θ corresponde o outro ramo da curva, AB1CD, igual a

precedente e simetricamente disposta relativamente ao eixo Ox.

454.

Por se ter

dy

dx=senθ − cos θ

√a2−ρ2

ρ

cos θ + senθ

√a2−ρ2

ρ

,

ve-se, em primeiro lugar, que os dois ramos da curva sao tangentes ao eixo Ox em A, onde

em consequencia a curva possui um ponto de retrocesso.


Figura 122: Espiral Tractriz

E, por meio da mesma equacao, ve-se tambem que os pontos onde y passa por um

valor maximo ou por um mınimo sao definidos pela expresao

tan θ =

√a2 − ρ2

ρ.

E fazendo x = ρ cos θ e y = ρsenθ, tem-se a equacao:

x2 + y2 ± ax = 0,

que representa dois cırculos iguais, cujos centros estao no eixo Ox, a distancia1

2a do

polo O, e resulta que os pontos da curva onde y passa por um maximo ou por um mınimo

correspondem as circunferencias nos cırculos a que acabamos de referir. E do mesmo modo,


se conclui que os pontos onde x passa por um maximo ou por um mınimo se encontram

situados sobre as circunferencias

x2 + y2 ± ay = 0.

Propriedades que nao encontramos mencionadas por nenhum autor nem dos quais

sabemos tao pouco se antes terao sido reparadas por alguem.

455.

O raio da curvatura da espiral tractiz tem por expressao

R =aρ

√a2 − ρ2

a2 − 2ρ2,

segundo o qual a curva possui dois pontos de inflexao, cujas coordenadas sao (Rouquel:l.c)

ρ =a√2

e θ = ±(1− π

4

).

Representando por α o angulo da normal num ponto qualquer com o raio vector do

mesmo ponto, deduz-se que

cotα = −√a2 − ρ2

ρ, ou senα =

ρ

a.


E, utilizando esta igualdade, podemos expressar o raio da curvatura da seguinte forma

(Rouquel:l.c)

R =ρ cosα

cos 2α.

456.

Designando por s, como habitualmente, o comprimento dos arcos da curva,

ds =

√ρ2dθ2

dρ2+ 1.dρ = −adρ

ρ;

e, em consequencia, tomando para origem dos arcos o ponto A,

s = a loga

ρ= −a log senα.

457.

E nao mais difıcil e encontrar a seguinte expressao da area, A, descrita pelo arco vector

da espiral tractriz, quando este raio varia desde a ate um valor qualquer, ρ:

A = −1

4ρ√a2 − ρ2 − 1

4a2 arcsen

ρ

a+

1

8a2π.


458.

Para dar por terminado este assunto, transcrevemos, sem demonstracao, as duas

proposicoes, seguintes, enunciadas por Haton de la Goupilliere (l.c), e demonstradas

por Rouquel(l.c) e Laquiere (Nouvelles Annales des Mathematiques, 1863, p.549):

1. A curva recıproca da envolvente do cırculo para os raios oriundos do centro e uma

espiral tractriz.

2. E tambem o e, o lugar geometrico do polo de uma espiral hiperbolica que roda sobre

outra igual, coincidentes uma com a outra no inıcio do movimento.

4.10 A Cocleoide

459.

Falkenburg e Benthen (Niew Archief, Amsterdam, t.x,p.76 ) designaram pelo nome

de cocleoide (de χoγχη, concha) a curva que tem por equacao

ρ = a.senθ

θ.

Curva da qual se teve a primeira nocao por um problema proposto em 1857 por Cata-

lan no seu Manuel des Candidats a l’Ecole Polytecnique, e que anos depois foi estudada

por Cesaro (Nouvelle Correspondance, t.N,1878,pagina 283 ),Falkenburg (Archiv des

Mathematik,Leipzig, t.cxx, pagina 259 ), etc., etc.


460.

Da analise da equacao e facil inferir a forma da curva. Quando θ varia desde 0 ate π,

o seu ponto gerador descreve o arco ABO(fig.123), tangente em O ao eixo polar. Quando,

em continuacao, θ varia desde π ate 2π, o mesmo ponto descreve o arco OdeO, tambem

tangente em O ao eixo polar. E, supondo que a variacao de θ continua, obtem-se uma serie

de arcos fechados, como o OfgO, todos tangentes ao eixo polar no ponto O, e que nao se

intersectam uns com os outros; porque, se se intersectassem, os valores de θ nos pontos de

interseccao deveriam satisfazer a condicao:

sen(θ + nπ)

θ + nπ=sen(θ +mπ)

θ +mπ,

na qual m e n representam numeros inteiros positivos, um par e outro ımpar: com o qual

se obtem para θ um valor negativo, contradizendo o que antes se tinha suposto.

Admitindo valores negativos de θ, obtem-se, sim, outro ramo da curva, simetrica

a anterior relativamente ao eixo polar, assinalada na figura 123 com as mesmas letras,

diferenciadas com subındices, que a primeira, excepto nos pontos A e O, comum aos dois.

461.

Por se ter,

dρ

dθ= a.

θ cos θ − senθ

θ2=ρ(a cos θ − ρ)

asenθ

ve-se que,dρ

dθ= 0 quando θ = 0, e tambem quando ρ = a cos θ.

Logo, a circunferencia, de raio igual a1

2OA, e cujo centro coincide com o ponto medio


Figura 123: Cocloide

de OA, intersecta a curva nos pontos em que ρ passa por um valor maximo ou mınimo.

462.

E por se ter,

dy

dx=

θ.sen(2θ)− sen2θ

θ. cos(2θ)− 12sen(2θ)

,

resulta que a tangente a curva no ponto A e perpendicular ao eixo das abcissas.

A derivadady

dxe infinita nos pontos onde

a(cos2 θ − sen2θ) = ρ. cos θ.


E, fazendo nesta equacao x = ρ cos θ e y = ρsenθ, resulta que

(x2 + y2)x = a(x2 − y2).

Logo, todos os pontos em que a tangente e perpendicular ao eixo das abcissas corre-

spondem a cubica representada por esta equacao, ou seja, a uma estrofoide.

Por se terdy

dx= 0 nos mesmos pontos onde

ρ = 2a. cos θ,

ve-se que todos os pontos onde a tangente e paralela ao eixo das abcissas correspondem a

uma circunferencia de raio igual a a, e cujo centro se encontra em A.

463.

A equacao, em coordenadas polares, das tangentes a cocleoide, e

1

ρ= − 1

ρ1senθ1

sen(θ − 2θ1) +1

asenθ1

sen(θ − θ1).23

sendo θ1 e ρ1 as coordenadas do ponto de contacto. E fazendo nesta equacao θ = 2θ1,

obtem-se ρ = a. Logo, a tangente a curva no ponto (θ1, ρ1) passa por (2θ1, a): isto e, pelo

ponto simetrico ao vertice A, relativamente a recta que une (θ1, ρ1) com a origem. Teorema

atribuido a Cesaro(l.c.) que muito facilita a construcao das tangentes a cocleoide.

23No documento original,1ρ

= − 1ρ1

sen(θ − 2θ1) +1

asenθ1sen(θ − θ1).


464.

O raio de curvatura da curva e determinado pela formula

R =(a2 + ρ2 − 2aρ cos θ)3/2

2θ(a2 − aρ cos θ);

da qual, no caso de θ = 0, se tem para valor do raio, no ponto A, R =3

4a. E, fazendo

ρ = 0, tem-se que no ponto O, onde θ = ±π,±2π,±3π, ..., se verifica que R =a

π,a

2π.

465.

As propriedades da cocleoide acabadas de expor, juntamos, para concluir, o seguinte

enunciado de um teorema tambem descoberto por Cesaro(l.c.)de facil demonstracao:

Quando um ponto movel descreve uma circunferencia, o centro de gravidade do arco

descrito move-se assim mesmo sobre uma cocleoide, cuja tangente num qualquer ponto

se dirige constantemente ate ao ponto gerador da circunferencia.

466.

A cocleoide e uma curva inversa da quadratriz de Dinostrato. Adverte-se, porem,que

os antigos geometras usavam esta designacao num sentido diferente ao atribuido actual-

mente. Segundo um comentario de Jamblique, conservado por Simplicius, nos seus

Comentarios sobre Aristoteles, Pappo aplicou o nome de cocleoide a mesma curva a que

Proclo e Eutocio deram o nome de concoide; isto e, a curva considerada no Num.163.

[ver P.Tannery: Histoire des lignes et des surfaces courbes dans l’antiquite.(Bulletin des

Sciences Mathematiques, 1883, p.183)]


4.11 A Clotoide

467.

Cesaro designou por clotoide, nome derivado de hilandera ClotoKλoθω, a curva com

curvatura proporcional ao comprimento de arco da mesma, determinada a partir de um

ponto fixo, a qual chamou atencao pela primeira vez a Jacobo Bernoulli, segundo pode

ver-se num fragmento dos seus escritos, publicado depois da sua morte (Jacobi Bernoulli

Basileensis Opera, t.II, Genevoe, 1744, p.1084 ) ; e que Cornu descobriu recentemente,

ao ocupar-se do estudo dos fenomenos de difraccao da luz (Comptes rendus de l’Academic

des Sciences, Paris, 1864, p.113 ). Pero Cesaro, como ja foi referido, foi quem lhe deu o

nome (Nouvelles Annales des Mathematiques, 3a serie, t.V, 1886; e Lezionu di Geometria

intrinseca, Napoli, 1896 ), e quem descobriu e estudou as suas principais propriedades.

468.

Representando por ρ o raio de curvatura da clotoide num ponto qualquer; por s o

comprimento do arco, compreendido entre este ponto e outro ponto fixo, e por a uma

constante, a equacao da clotoide e, por definicao,

(1)

ρ.s = a2.

Para obter a equacao da curva, em coordenadas cartesianas, recorre-se ao Calculo

Integral, como se segue. Das equacoes diferenciais conhecidas:

d2x

ds2=

1

ρ

dy

dxe

d2y

ds2= −1

ρ

dx

ds


se deduz as seguintes:

d2x

ds2=

s

a2

dy

dse

d2y

ds2= − s

a2

dx

ds,

que iremos integrar. Para o qual, fazendodx

ds= t e

dy

ds= z, se obtem que

dt

ds=

s

a2z e

dz

ds= − s

a2t.

E como a equacao ds2 = dx2 + dy2 e equivalente a t2 + z2 = 1, resulta que

dt

ds=

s

a2.√

1− t2;

e consequentemente,

arcsen(t) =s2

2a2+ c1, ou

dx

ds= t = sen

(s2

2a2+ c1

).

Da equacao t2 + z2 = 1 se deduz tambem que

dy

ds= z =

√1− t2 = cos

(s2

2a2+ c1

);

e consequentemente, para determinar os valores de x e y dispomos das seguintes equacoes:


x =

s∫0

sen

(s2

2a2+ c1

)ds+ c2, e

y =

s∫0

(cos

s2

2a2+ c1

)ds+ c3;

as quais podem ser simplificadas adoptando para origem das coordenadas o ponto, origem

dos arcos, onde s = 0 e para direccao do eixo das ordenadas tangente a curva no mesmo

ponto. Uma vez que, neste caso, tem-se que c1 = 0, c2 = 0, e c3 = 0; e portanto,

(2) x =

s∫0

sens2

2a2ds e y =

s∫0

coss2

2a2ds.

469.

Investigemos agora qual a forma da clotoide. Da equacao (1) imediatamente se infere

que ρ somente adquire o valor ∞ quando s = 0; e que somente sera igual a zero quando

s e ∞. Logo, a curva somente admite um ponto de inflexao na origem (fig.124), sem

mais inflexoes em todo o seu trajecto : Como se deduz tambem que a curvatura aumenta

constantemente com s.

E desta outra relacao,

dy

dx=

cos s2a2

sen s2

2a2

= cots2

2a2,

conclui-se tambem, com grande facilidade, que as tangentes a clotoide, paralelas ao eixo

das abcissas, correspondem a infinidade de pontos, determinados pelos valores de s, dados

pelas equacoes


Figura 124: Clotoide

s2

2a2=π

2,

3

2π,

5

2π,

7

2π, ...;

e que os pontos ondes as tangentes ao eixo das ordenadas correspondem aos valores de s

sao dados pelas equacoes

s2

2a2= 0, π, 2π, 3π, ...;

Fazendo nas equacoes (2),s2

2a2= v, e tomando como limite de s o ∞, encontra-se

lims=∞

x =a√2.

∞∫0

senv√vdv e


lims=∞

y =a√2.

∞∫0

cos v√vdv.

Os integrais que figuram nestas equacoes sao conhecidos na Analise pelo nome de

integrais de Fresnel, devido a este perspicaz fısico e eminente geometra os ter usado nas

suas investigacoes de Optica, e representam o numero constante

√π

2. Logo,

lims=∞

x =a

2

√π e lim

s=∞y =

a

2

√π.

E, em consequencia disto tudo, as coordenadas x e y serao finitas, qualquer que seja s;

e o ponto (x, y) aproxima-se indefinidamente de

(1

2a√π,

1

2a√π

)conforme s se aproxima,

tambem indefinidamente, de ∞.

Fazendo s = −s, x e y simplesmente mudam de sinal: logo a curva possui outro ramo

igual ao considerado, disposto, nos eixos das coordenadas negativas, como o primeiro esta

nos eixos positivos.

A clotoide, em suma, apresenta, como anunciou pela primeira vez Cornu, a forma in-

dicada na figura 124, na qual A e B representam dois pontos assimptoticos

(1

2a√π,

1

2a√π

)e

(−1

2a√π,−1

2a√π

); e O um ponto de inflexao.

470.

A evoluta da clotoide pode deduzir-se por meio das equacoes

x− α = −ρdyds

e y − β = −ρdxds,


(onde α e β designam as coordenadas do centro de curvatura), e das quais se deduz que

x− α = −a2

s. cos

s2

2a2, e y − β =

a2

s.sen

s2

2a2;

equacoes estas que determinam as coordenadas α e β dos pontos da evoluta em funcao de

s.

471.

As propriedades mais interessantes da clotoide sao as que se referem aos centros de

gravidade dos seus arcos, descobertas por Cesaro (Nouvelles Annales des Mathematiques,

3aa serie, t.V, 1886, p.511: e Leziane di Geometria intrinseca, ς.V I). Entre elas, mere-

cendo especial destaque as seguintes :

1. Sejam s0 e s1 os valores de s, a contar da origem das coordenadas, ate as extremidades

de um arco da cocloide; (x0, y0) e (x1, y1) as coordenadas destes pontos; e (X, Y ) as

do centro de gravidade do arco. E, segundo Poisson (Traite de Mecanique, t.I, 1883,

p.121 ) tem-se que

(s1 − s0)X =

s1∫s0

ds

s∫0

sens2

2a2ds

= s1

s1∫0

sens2

2a2ds− s0

s0∫0

sens2

2a2ds−

s1∫s0

sens2

2a2ds

= s1

s1∫0

sens2

2a2ds− s0

s0∫0

sens2

2a2ds+ a2

(cos

s21

2a2− cos

s20

2a2

);


e, do mesmo modo,

(s1 − s0)Y =

s1∫s0

ds

s∫0

coss2

2a2ds

= s1

s1∫0

coss2

2a2ds− s0

s0∫0

coss2

2a2ds− a2

(sen

s21

2a2− sen

s20

2a2

).

Portanto, representando por (α0, β0) e (α1, β1) as coordenadas dos centros de curvatura

nas extremidades do arco considerado, pode escrever-se :

(s1 − s0)X = s1α1 − s0α0 e (s1 − s0)Y = s1β1 − s0β0.

E, por meio destas igualdades resulta igual a zero o seguinte determinante

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x y 1

α0 β0 1

α1 β0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

estando entao demonstrado que, o centro de gravidade dum arco qualquer da clotoide

corresponde a recta que une os centros de curvatura das extremidades do mesmo arco.

2. Pelo exposto, as coordenadas do centro de gravidade do arco OM sao expressas pelas

formulas


s1X = s1

s1∫0

sens2

2a2ds+ a2

(cos

s21

2a2− 1

)e

s1Y = s1

s1∫0

sens2

2a2ds− a2sen

s21

2a2,

ou seja,

s1X = s1α1 − a2 e Y = β1.

E, sendo a equacao do cırculo osculador da clotoide, no ponto (x1, y1),

(x− α1)2 − (y − β1)

2 =a4

s21

,

e facil verificar queX e Y a satisfazem. Logo, o centro de gravidade do arco OM da clotoide

esta situado na interseccao do cırculo osculador em M com a perpendicular a tangente em

O, tracada pelo ponto (α1, β1).

472.

A clotoide faz parte de uma importante classe de curvas, cuja equacao, R = ksm, em

coordenadas intrınsecas, foi estudada por Pirondini no Giornale di Matematiche (Napoli,

1892, p.326 ), e a qual pertencem tambem a envolvente do cırculo e a espiral logarıtmica.

Neste consagrado trabalho o ilustre geometra mencionou alguns outros teoremas referentes

as relacoes que existem entre os raios da curvatura, comprimento dos arcos, e as dimensoes


das areas das varias curvas consideradas e das suas envolventes e evolutas, e que merecem

um atento estudo.

4.12 A Pseudocatenaria

473.

Da-se o nome de pseudocatenaria a curva que tem por equacao em coordenadas

intrınsecas (E.Cesario: Lezione di Geometria intrinseca, 1896, p.17 ) a seguinte :

R = k2a− s2

a,

na qual s representa o comprimento dos arcos, e R o raio da curvatura no ponto onde se

supoe que o arco termina.

Como a posicao do ponto inicial da curva e arbitraria, supomos que este ponto se

encontra em O (fig.125), onde s = 0, e para eixo das abcissas adoptamos a tangente OK,

correspondente ao mesmo ponto inicial.

E desta forma, para determinar o angulo que qualquer outra tangente a curva faz com

OK, temos a seguinte formula

(1)

ϕ =

s∫0

ds

R=

s∫0

a.ds

k2a2 − s2=

1

2klog

ka+ s

ka− s.

Adoptada a tangente OK para eixo das abcissas, as quantidadesdx

dsedy

dsencontram-se

expressas pelas formulas

dx

ds= cosϕ e

dy

ds= senϕ;


Figura 125: PseudoCatenaria

das quais se deduz os seguintes valores de x e y :

x =

ϕ∫0

cosϕds

dϕdϕ e y =

ϕ∫0

senϕds

dϕdϕ,

tomando o ponto O, correspondente a s = 0, como a origem das coordenadas. E substi-

tuindo pords

dϕseu valor em funcao de ϕ, deduzido da igualdade (1),

(A)

s =ka(e2kϕ − 1)

e2kϕ + 1= ka

ekϕ − e−kϕ

ekϕ + e−kϕ,

obtem-se estes resultados :

ds

dϕ= 4ak2.

1

(ekϕ + e−kϕ)2, e


(B)

x = 4ak2

ϕ∫0

cosϕdϕ

(ekϕ + e−kϕ)2

y = 4ak2

ϕ∫0

sendϕ

(ekϕ + e−kϕ)2

474.

Tendo por base as formulas anteriores, podemos facilmente determinar a forma da

curva, no intervalo de s = 0 ate s = ±ka.

Ve-se, em primeiro lugar, pelas formulas (A) e (B), que, quando por s se toma −s com

o que, ϕ se transforma em −ϕ : com o qual x se converte em −x, nao havendo nenhuma

alteracao no valor de y. Logo, a curva resulta simetrica em relacao ao eixo das ordenadas

(fig.125).

Por R ser finito, qualquer que seja o valor de s, a curva nao possui pontos de inflexao.

E, como as derivadasdx

dsedy

dsnao se podem anular ao mesmo tempo, o ramo considerado

carece tambem de pontos de retrocesso.

Quando s = 0, tem-se que R = k2a; e este sera o raio do cırculo osculador da curva

com origem em O.

E, quando s tende para ak, ϕ tende ate ∞: logo o angulo da tangente com o eixo

das abcissas aumenta indefinidamente, enquanto que nas mesmas circunstancias o raio da

curvatura, R, diminuiu indefinidamente e tende para 0.

Ve-se, pois, que a curva e composta de dois ramos, OB e OB′, que partem do ponto O

e dao um numero infinito de voltas, estas situadas umas dentro das outras, aproximando-


se cada vez mais dos pontos assimptoticos, cujas coordenadas, x1 e y1, expressam-se deste

modo :

x1 = ±4k2a

∞∫0

cosϕdϕ

(ekϕ + e−kϕ)2= ± πa

eπ2k − e−

π2k

,

y1 = 4k2a

∞∫0

senϕdϕ

(ekϕ + e−kϕ)2=

πa

2(eπ4k + e−

π4k ).

475.

Fixemos agora a atencao nos valores de s, superiores a ka. Tomando como ponto

inicial desta parte da curva (x0, y0), para o valor correspondente de s: s0; e para posicao

inicial da tangente uma paralela a Ox, deduz-se que

ϕ =

s∫s0

ds

R=

1

2k

[log

s+ ka

s− ka− log

s0 + ka

s0 − ka

].

E para determinar os valores de x e y tem-se as formulas :

x =

ϕ∫0

cosϕds

dϕdϕ+ x1 e y =

ϕ∫0

senϕds

dϕdϕ+ y1.

24

Mas, fazendos0 + ka

s0 − ka= e2h, tem-se que

s = kaekϕ+h + e−kϕ−h

ekϕ+h − e−kϕ−h

24No documento original, x =

ϕ∫0

cos ϕds

dϕ+ x0 e y =

ϕ∫0

senϕds

dϕdϕ + y0.


e, portanto,

ds

dϕ=

−4ak2

(ekϕ+h − e−kϕ−h)2.

Logo,

x = −4ak2ϕ∫0

cos ϕdϕ(ekϕ+h−e−kϕ−h)2

+ x125

e

y = −4ak2ϕ∫0

senϕdϕ(ekϕ+h−e−kϕ−h)2

+ y126

E, como no caso anteriormente examinado, este ramo AA, da curva, isoladamente

considerada, nao tem pontos de inflexao nem pontos de retrocesso, mas sim um ponto

assimptotico, correspondente a s = ka, em torno do qual da uma infinidade de voltas.

E, assim mesmo, se ve que, quando s tende para ∞, R tende para −∞, e consequente-

mente, a curva vai tomar a forma rectilınea.

Aos valores de s, compreendidos entre −ka e −∞, corresponde o ramo da curva, A′A′,

igual ao anterior.

Para estabelecer a continuidade de s supoe-se unidas nos pontos assimptoticos os

ramos AA e A′A′ com o ramo unico BOB′.

25No documento original, x = −4ak2ϕ∫0


+ x0.

26No documento original, y = −4ak2ϕ∫0


+ y0.


4.13 A Pseudotractriz

476.

Com o nome de pseudotractriz designa-se a curva cuja equacao, em coordenadas

intrınsecas (Cesaro: Lezioni de Geometria intrinseca, 1896, p.18 ), e a seguinte:

R = ka

√1− e

−2sa ;

da qual desde logo se conclui que R = 0 quando s = 0; e portanto, que a origem das

coordenadas e um ponto de retrocesso da curva.

Apliquemos a esta curva as conhecidas equacoes

ϕ =

s∫0

ds

R,

dx

ds= cosϕ, e

dy

ds= senϕ;

representando por ϕ o angulo da tangente com o eixo das abcissas, vamos admitir que este

se confunde com a tangente no ponto correspondente a s = 0. E com este pressuposto

deduz que

ϕ = ± 1

ka

s∫0

ds√1− e

−2sa

= ± 1

ka

s∫0

esads√e

2sa − 1

.

Para obter a integral indicada, faca-se esa = t; e encontraremos assim este outro

resultado:

∫e

as ds√e

2sa − 1

= a

∫dt√t2 − 1

= a. log(t+√t2 − 1).


Da qual se deduz que

ϕ = ±1

klog(e

sa +

√e

2sa − 1).

Alem disso,

dx

ds= cos

[1

klog(e

sa +

√e

2sa − 1)

]e

dy

ds= ±sen

[1

klog(e

sa +

√e

2sa − 1)

]De onde resultam as seguintes expressoes para as coordenadas x e y :

x =

s∫0

cosϕds =

s∫0

cos

[1

klog(e

sa +

√e

2sa−1)

]ds, e

y =

s∫0

senϕds = ±s∫

0

sen

[1

klog(e

sa +

√e

2sa−1)

]ds,

tomando o ponto correspondente a s = 0 como origem das mesmas.

As expressoes anteriores de x e y podem apresentar-se de forma diferente. Integrando

por partes, obtem-se que

x =

ϕ∫0

cos ϕds

dϕdϕ = senϕ

ds

dϕ−

ϕ∫0

senϕd2s

dϕ2dϕ, e

y =

ϕ∫0

senϕds

dϕdϕ =

[− cos ϕ

ds

dϕ

]ϕ

0

+

ϕ∫0

cosϕd2s

dϕ2dϕ.

Mas, como esa =

ekϕ + e−kϕ

2, e portanto,

s = a. logekϕ + e−kϕ

2,


ds

dϕ=ak(ekϕ − e−kϕ)

ekϕ + e−kϕ, e

d2s

dϕ2=

4ak2

(ekϕ + e−kϕ)2 ,

tendo em conta queds

dϕ= R, obtem-se finalmente que,

x = Rsenϕ− 4ak2

ϕ∫0

senϕdϕ

(ekϕ + e−kϕ)2, e

y = −R cos ϕ+ 4ak2

ϕ∫0

cosϕdϕ

(ekϕ + e−kϕ)2;

expressoes nas quais se deve substituir ϕ pelo seu valor, previamente encontrado.

477.

Das expressoes que acabamos de obter deduz-se facilmente a forma da curva. Porque,

em primeiro lugar, ve-se que a cada valor de s correspondem dois valores de y, iguais e

de sinal contrario, e um so valor de x: logo a curva e simetrica relativamente ao eixo das

abcissas(fig.126).

Como as derivadasdx

dsedy

dsnao sao simultaneamente nulas, a curva nao tem pontos de

retrocesso, alem do que ja foi anteriormente mencionado. E como R nao pode ser infinito,

tao pouco admite pontos de inflexao.

A expressao de ϕ mostra que a tangente a curva forma com o eixo das abcissas um

angulo, que aumenta indefinidamente com s.

E, quando s se aproxima de ∞, R parece confundir-se com ka, e a curva, portanto, a

confundir-se com uma circunferencia de raio igual a ka.


Figura 126: PseudoTractriz

Conclui-se, pois, que cada ramo da curva da um numero infinito de voltas, dentro

de um cırculo assimptotico da curva, permanecendo cada volta no exterior de que o

imediatamente a precede.

478.

As coordenadas do centro do cırculo assimptotico considerado sao facilmente determi-

nadas. Com efeito, sendo x1 e y1, as coordenadas do centro do cırculo osculador da curva

no ponto s,

x1 = x−Rsenϕ e y1 = y +R cosϕ.

Logo,


(A)

x1 = −4ak2

ϕ∫0

senϕdϕ

(ekϕ + e−kϕ)2

y1 = 4ak2

ϕ∫0

cosϕdϕ

(ekϕ + e−kϕ)2

E como, quando s se aproxima indefinidamente de ∞, ϕ tende tambem a confundir-se

com ∞, e os cırculos osculadores a que nos referimos, tendem igualmente a confundir-

se com os cırculos assimptoticos considerados, as coordenadas dos centros destes cırculos

serao:

x1 = −4ak2

∞∫0

senϕdϕ

(ekϕ + e−kϕ)2= − πa

2(eπ4k + e

−π4k )

, e

y1 = ±4ak2

∞∫0

cosϕdϕ

(ekϕ + e−kϕ)2= ± πa

(eπ2k + e

−π2k )

.

Da formula (A) deduz-se, alem disso, outra consequencia importante, pois comparando-

a com a formula (B) do Num.473, conclui-se que a evoluta da pseudotractriz e uma

pseudocatenaria.

Capıtulo 5

Parabolas e Hiperboles

5.1 As Parabolas em geral

479.

Aplica-se o nome de parabolas as curvas que tem a seguinte equacao geral:

(1)

y = a1−kxk,

na qual k representa qualquer numero real, maior que zero.

Se k e um numero irracional, a curva sera transcendente; e se e um numero racional

igual am

n, e algebrica. Neste ultimo caso sera

(2)

am−nyn = xm.

155

CAPITULO 5. PARABOLAS E HIPERBOLES 156

Os primeiros geometras que se ocuparam do estudo desta classe de curvas foram

Fermat (Oeuvres,t.II, p.95, e t.III, p.169 e 216 ), e estimulado por este, Roberval

(Memoires de l’Academie de Paris, t.VI, p.429, 1730 ), que determinaram as suas areas, e

alem disso os volmues dos solidos produzidos por revolucao em torno dos eixos coordenados,

os centros de gravidade destas areas e solidos, as suas tangentes, etc; Descartes, que de

forma distinta chegou aos mesmos resultados de Fermat e Roberval, dos quais deu

conhecimento a P.Mersenne numa das suas cartas (Lettres de Descartes, ed.in 4o, t.II,

carta 89 ); e Wallis, que determinou as areas por metodos expostos na sua Arithmetica

Infinitorum; etc; etc.

480.

A forma de qualquer das parabolas estudadas pelos mencionados geometras obtem-se

por meio das equacoes

y = an−m

n .xmn , y

′=m

n.a

n−mn .x

mn−1 e y

′′=m

n.m− n

n.a

n−mn .x

mn−2,

e depende dos valores de m e n, os quais se pode supor, sem restringir a questao, que

satisfazem a condicao m > n.

Se m e um numero ımpar e n e par, a curva e composta (fig.127) por 2 ramos infinitos,

simetricamente dispostos relativamente ao eixo das abcissas, ao qual sao tangentes, e que

se estendem indefinidamente no sentido das abcissas positivas. A origem O sera entao um

ponto de retrocesso da curva, desprovida de pontos de inflexao a uma distancia finita.

Se m e par e n e ımpar, a curva tem a mesma forma que a parabola conica.

E se m e n sao ımpares, a curva possui dois ramos infinitos iguais, tangentes (fig.128)

ao eixo das abcissas na origem, onde a curva apresenta uma inflexao.


Figura 127: Parabola quando m ımpar e n par

No caso das parabolas transcendentes ve-se, do mesmo modo, que a curva apresenta

um ramo unico, o qual parte da origem das coordenadas, onde e tangente a um dos eixos,

e se estende indefinidamente no sentido das abcissas e das ordenadas positivas.

481.

A equacao das tangentes as parabolas y = a1−kxk e:

Y − y = ka1−kxk−1(X − x).

Da qual, fazendo X = 0, se deduz para a expressao da ordenada do ponto, onde cada

tangente intersecta o eixo das ordenadas,


Figura 128: Parabola quando m e n ımpares

Y = (1− k)y,

que proporciona um meio facil de construir as tangentes as curvas consideradas.

482.

O raio da curvatura da curva y = a1−kxk e determinado pela formula

R =(x2 + k2y2)

3/2

k(k − 1)xy.


483.

A area, A, limitada por um arco de parabola, pelo eixo das abcissas, e por uma paralela

ao eixo das ordenadas, tracada pelo ponto (x1, y1), tem a seguinte expressao:

A = a1−k

x1∫0

xkdx =x1y1

k + 1,

e e igual a fraccao1

k + 1da area do rectangulo, cujos lados sao iguais a x1 e y1.

484.

O volume do solido de revolucao, gerado pela area que acabamos de considerar, quando

gira em torno do eixo das abcissas, e determinado pela formula

V = π

x1∫0

y2dx = π.y2

1 + x1

2k + 1.

E o volume do solido, tambem de revolucao, gerado pela area limitada por um arco

da parabola, pelo eixo das ordenadas, e pela perpendicular a este eixo tracada pelo ponto

(x1, y1), girando em torno do mesmo eixo e dado por:

V1 = π

y1∫0

x2dy =πk

k + 2x2

1 y1.27

27No documento original, V1 = πy1∫0

x2dy = kk+2 x2

1 y1.


485.

O comprimento dos arcos das curvas de que agora tratamos, compreendido entre o

ponto (x1, y1) e a origem das coordenadas, depende da integral:

s =

x1∫0

√1 + k2.a2(1−k).x2(k−1).dx

que somente se pode expressar por funcoes elementares quando um dos numeros seguintes

e inteiro

1

2(k − 1)ou

k

2(k − 1).

486.

Escrevendo a equacao das tangentes as curvas (2) do seguinte modo:

Y =m

nyx−1X +

n−m

ny,

e comparando esta equacao com a expressa em coordenadas tangenciais

uY + vX − 1 = 0,

deduz-se que

x = − m

(n−m)ve y = − m

(n−m)u.


E, substituindo estes valores de x e y na equacao cartesiana da curva, resulta a equacao

tangencial das parabolas algebricas

am−n.vm = (−1)m.mm

nn(n−m)n−mun.

A qual mostra que a classe das parabolas algebricas e igual a ordem das mesmas

curvas.

5.2 A Parabola Semicubica

487.

Fazendo na equacao geral das parabolas algebricas, m = 3 e n = 2, encontra-se a

equacao particular

ay2 = x3,

que representa uma curva, denominada parabola semicubica, e tambem, muitas vezes,

parabola de Neil, em memoria ao geometra que primeiro a rectificou.

488.

Dos resultados obtidos anteriormente, referente as parabolas de qualquer ordem, deduz-

se imediatamente, e em particular, os aplicaveis a parabola semicubica, entre os quais o

mais notavel que corresponde a rectificacao da curva.


Representando por s o comprimento do arco, compreendido entre a origem das coor-

denadas e o ponto (x1, y1), tem-se, imediatamente que

s =

x1∫0

√1 +

9

4axdx =

8a

27

[(1 +

9

4.x1

a

) 32

− 1

];

com o qual fica demonstrado que a parabola semicubica e algebricamente rectificavel.

A este interessante resultado, o primeiro caso de rectificacao algebrica de uma curva,

chegou em primeiro lugar o geometra ingles Neil, com base num metodo que e consequencia

imediata das doutrinas publicadas por Wallis na sua Arithmetica Infinitorum; e depois

o geometra holandes Van-Houraet, usando outro procedimento, que permitiu tambem

rectificar outras curvas. (Montucla: Histoire des Mathematiques, t.II, p.151 ).

489.

A parabola semicubica e a evoluta da parabola conica: representada pela equacao

y2 = 2px, e cuja evoluta, facil de determinar, tem por sua vez a seguinte equacao:

Y 2 =8

27p(X − p)3,

que corresponde a uma parabola semicubica, de eixo coincidente com a da conica, e um

ponto de retrocesso (p, 0): conforme descobriu Huygens e o anotou no seu Horologium

oscillatorium (Opera varia, t.I, p.99 ).

490.

A parabola semicubica figura na interessante questao de Mecanica proposta por Leib-

nitz em 1687, onde se pede a curva que deve percorrer um grave para que se afaste


uniformemente de um plano horizontal. Problema resolvido muito pouco tempo depois

pelo mesmo Huygens, e do qual Leibnitz tambem apresentou uma solucao que publicou

em 1689 na Acta Eruditorum. Por esta tao curiosa propriedade, a parabola semicubica foi

classificada de isocrona.

491.

A evoluta da parabola semicubica, ou segunda evoluta da conica, tem por equacao

(Salmon: Highes plane Curves, 2aed, num.99 ) a seguinte:

a(a− 18x)3 =

(54ax+

729

16y2 + a2

)2

.

5.3 A Parabola Cubica

492.

Fazendo agora, m = 3 e n = 1, na equacao geral das parabolas algebricas, encontramos

a equacao correspondente a parabola cubica

a2y = x3,

denominada tambem por alguns geometras parabola de Wallis.


493.

Dos resultados gerais obtidos anteriormente, referentes as parabolas de qualquer or-

dem, se deduz os aplicaveis ao caso da parabola cubica, entre os quais, destacaremos aqui,

o estudo relativo a rectificacao da curva.

Seja, s o comprimento de um arco, compreendido entre a origem das coordenadas e o

ponto (x1, y1), determinado pela expressao

s =

x1∫0

√1 +

9x4

a4dx,

da qual, supondo que x2 = t, se deduz a seguinte :

s =a2

6

t1∫0

dt√t(t2 + a4

9)

+3

2a2

t1∫0

t2dt√t(t2 + a4

9).

Que, por se ter

∫3t2dt√t(t2 + a4

9)

= 2

√t(t2 +

a4

9)− a4

9

∫dt

t(t2 + a4

9)

deduz-se, esta outra:

s =1

a2

√t(t2 +

a4

9) +

2a2

9

t1∫0

dt√4t(t2 + a4

9),

que apresenta uma so integral elıptica de primeira especie, reduzida a forma adoptada por

Weierstrass.


5.4 As Hiperboles em geral

494.

Chama-se hiperbole as curvas compreendidas na equacao

y = a1+kx−k (k > 0),

transcendentes, quando k e irracional, e quando k e racional, algebricas. Neste segundo

caso, fazendo k igual a fraccaom

n, na qual m e n representam numeros inteiros, a equacao

anterior converte-se na seguinte:

xmyn = am+n.

495.

Para encontrar a forma destas curvas basta atender as igualdades :

y = am+n

n .x−mn ; y

′= −m

n.a

m+nn .x−

mn−1, e

y′′

=m

n.m+ n

n.a

m+nn .x−

mn−2.

Se m e um numero ımpar e n e par, a curva tem a forma indicada na figura 129:

simetrica relativamente ao eixo das abcissas, e com dois ramos infinitos, sem pontos de

inflexao e com eixos coordenados como assımptotas.


Se m e par e n e ımpar, a curva tambem tem dois ramos do mesmo modo que no caso

anterior, mas dispostos de um modo distinto: um em cada lado do eixo das ordenadas,

sendo este, entao, um eixo de simetria da curva.

Figura 129: Hiperbole quando m ımpar e n e par

E, se m e n sao ımpares, a curva e composta por ramos iguais, um colocado no angulo

yOx dos eixos, e outro no angulo inferior y′Ox

′, de vertice oposto ao primeiro.

Quando k e irracional, a curva tera somente um ramo, situado no angulo yOx dos

eixos coordenados, ambos assımptotas da curva.

496.

Comparando a equacao das parabolas com a das hiperboles, ve-se que se passa de

uma para a outra pela simples troca de k por −k. Logo, das formulas obtidas, referentes

as parabolas, deduzem-se as correspondentes no caso das hiperboles, efectuando em cada


uma a mesma mudanca.

Assim, a ordenada do ponto em que uma tangente a uma qualquer hiperbole intersecta

o eixo das ordenadas, encontra-se expressa pela formula

Y = (1 + k)y.

O raio da curvatura da mesma hiperbole por:

R =(x2 + k2y2)

32

k(k + 1)xy.

A area, limitada por um arco da curva, pelo eixo das abcissas, e pelas paralelas ao

eixo das ordenadas, que passam pelos pontos (x0, y0) e (x1, y1), por esta outra

A =x1y1 − x0y0

1− k.

O volume gerado pela area anterior, quando gira em torno do eixo das abcissas, pela

seguinte:

V = πy2

1x1 − y20x0

1− 2k.

E o volume, gerado pela area, limitada pela curva, pelo eixo das ordenadas, e por

duas paralelas ao eixo das abcissas, no seu movimento de revolucao em torno do eixo das

ordenadas, e dado por


V1 =kπ

k − 2.(x2

1y1 − x20y0).

O comprimento do arco da curva, compreendido pelos pontos (x0, y0) e (x1, y1), pelo

integral:

s =

x1∫x0

√1 + k2a2(1+k)x−2(1+k)dx.

Assim como, a equacao tangencial das hiperboles algebricas encontra-se representada

pela equacao

(m+ n)m+n.am+n.unvm = nn.mm,

a qual mostra que a classe da curva a que se refere e igual a sua ordem.

497.

Os geometras que primeiramente se ocuparam do estudo das hiperboles, de qualquer

ordem, foram tambem Wallis, que determinou as suas areas, na sua Arithmetica infini-

torium, e Fermat que resolveu a mesma questao no seu trabalho Sur la transformation

et la simplification des lieux etc (Oeurves, t.III, p.216 ), onde o mesmo eminente geometra

manifesta (p.224 ) ter apresentado aos matematicos seus contemporaneos, outro metodo

para tracar tangentes a estas curvas, e para determinar os seus centros de gravidade.

A tudo isto devemos acrescentar que as duas cartas, dirigidas a Digby por Fermat

(Oeurves, t.II, p.338 e 377 ), demonstram que este geometra havia ja tratado das curvas


a que agora nos referimos antes da publicacao da celebre obra de Wallis, anteriormente

citada.

Capıtulo 6

Conclusao

Concluıda a apresentacao do trabalho desenvolvido intitulado: ”Uma Abordagem

Interactiva ao Tratado das Curvas Especiais Notaveis de Gomes Teixeira”, e necessario

proceder a sua avaliacao retrospectiva, nomeadamente no respeita aos objectivos iniciais e

em que medida e que foram atingidos, as contribuicoes efectuadas e a sua utilidade. Neste

capıtulo e efectuada essa analise.

No que se refere ao objectivo inicial de criar uma pagina de Internet simples, agradavel,

objectiva, e de facil utilizacao foi, no meu entender, alcancado. A utilizacao da ferramenta

TiddlyWiki foi fundamental para conseguir atingir este objectivo. Existem inumeras

vantagens e recursos interessantes nesta tecnologia. E uma ferramenta extremamente

portatil: pode ser armazenada numa so disquete ou CD, sendo por isso bastante util

para guardar documentos, anotacoes e ate ser usada como agenda pessoal, devido a sua

capacidade de organizar a informacao. Neste caso, em particular, foi usada para publicar

um livro electronico, com bastante exito. No entanto, e como todas as tecnologias recentes

o seu ponto fraco reside na (ainda) pouca informacao de apoio disponıvel.

Nesta dissertacao usou-se a linguagem LATEX, linguagem esta que permite criar doc-

umentos de alta qualidade tipografica e que e bastante eficiente na producao de textos

170

CAPITULO 6. CONCLUSAO 171

tecnicos ricos em linguagem matematica. Para utilizar o LATEX neste trabalho, foi usada

a implementacao MikTEX e uma interface grafica junto com um editor de textos chamado,

TEXnicCenter. O uso desta linguagem contribuiu de forma significativa para a qualidade

apresentada tanto no trabalho escrito como no CD.

Em relacao as ferramentas utilizadas e tendo em vista abranger o maior publico

possıvel, o recurso aos softwares de uso livre foi, na minha opiniao, uma opcao bastante

positiva. Veio, tambem, revelar que nos ultimos anos se verificou um aumento significativo

de programas informaticos gratuitos e de alta qualidade.

Particularmente, apreciei bastante o funcionamento do programa Regua e Compasso

(Compass and Ruler, C.a.R.), na medida em que disponibiliza numerosos recursos inter-

essantes e contem tudo o que e necessario para uma admiravel investida pelo fascinante

mundo da Geometria Dinamica. Porem, a construcao de algumas das curvas expostas

transformou-se em verdadeiros desafios, que, por vezes, pareciam intransponıveis mas

que, com perseveranca, foram todos ultrapassados. O que faz do programa um excelente

laboratorio de aprendizagem da geometria. Saliente-se, ainda, que todos os menus e ıcones

do C.a.R. estao bem organizados e sao bastante perceptıveis, tornando deste modo a sua

utilizacao extremamente simples e intuitiva, por parte de qualquer utilizador.

Quanto ao programa wxMaxima, posso dizer que foi de imensa utilidade, uma vez que

ajudou a encurtar o tempo na realizacao de alguns calculos mais complexos e extensos. Este

software e, extremamente, completo e uma optima opcao para a manipulacao algebrica de

formulas e expressoes matematicas.

Grande parte do esforco aplicado na elaboracao deste trabalho assentou na parametrizacao

e integracao das varias ferramentas que estao mencionadas anteriormente. Foram varias as

intervencoes que as diversas aplicacoes tiveram de sofrer e que conduziram a versao final

apresentada tanto no trabalho escrito como no CD, que se anexou ao presente trabalho

e, a partir do qual, se pode navegar na pagina de Internet produzida no ambito desta

dissertacao.


Devo, tambem, sublinhar a forma ordenada, clara e funcional que se encontra organi-

zado o Tratado das Curvas Especiais Notaveis. E, igualmente, excepcional a forma como

Gomes Teixeira desenvolve, por vezes detalhadamente, a historia de cada curva que trata

e desenvolve alguns temas da Historia da Matematica.

Acredito que todo este trabalho contribua de forma util para a divulgacao desta notavel

obra, assim como ajude na difusao e promocao da Historia da Matematica em Portugal.

Ao fazer uma retrospectiva de todo o trabalho desenvolvido nao posso deixar de realcar

o facto de ter aumentado e actualizado, vivamente, o meu conhecimento cientıfico. Ao longo

deste trabalho, tive o prazer de aprofundar o meu conhecimento em tres areas que me

fascinam: Matematica, Historia da Matematica e Informatica. O facto de poder explorar e

trabalhar estas tres areas foi, para mim, um grande estımulo na realizacao desta dissertacao.

Como aluna da Faculdade de Ciencias, gostava ainda de destacar o agrado em estudar

Gomes Teixeira, grande Matematico portugues que esta ligado ao imaginario de todos os

estudantes da Universidade do Porto, quanto mais nao seja pela Praca de Gomes Teixeira,

tambem conhecida por Praca dos Leoes e que tantos e tantos caloiros recebeu e continua

receber!

Apendice

Neste apendice encontra-se a lista das vinte e sete alteracoes ao texto original:

1. Capıtulo 3, A Logarıtmica - secccao 352

x = 12a+

(p− 1

2a)e−

aqbp .

No documento original, x = 12a+

(p− 1

2a)e−

aqbx .

2. Capıtulo 3, A Catenaria - secccao 358y+√

y2−c2

c= e

x−ac .

No documento original,y+√

y2−c2

c= c

x−ac .

3. Capıtulo 3, A Tractriz de Leibnitz - secccao 368

x = −12y cos θ ± c

[√1− y2

q2 − logq+√

q2−y2

y

].

No documento original, x = −12cos θ ± c

[√1− y2

q2 − logq+√

q2−y2

y

].

4. Capıtulo 3, A Sintractriz de Sylvester - secccao 372

A =y∫a

y2−ac√a2−y2

dy = −12y√a2 − y2 + a

2(a− 2c)

[arcsen y

a− π

2

].

No documento original, A =y∫a

y2−a2√a2−y2

dy = −12y√a2 − y2 + a

2(a−2c)

[arcsen y

a− π

2

].

173


5. Capıtulo 3, A Sintractriz de Sylvester - secccao 372√(a2−2ac)y2+a2c2

y√

a2−y2dy.

No documento original,

√(a−2c)y2+ac2

y√

a2−y2dy.

6. Capıtulo 3, A Sintractriz de Sylvester - secccao 3721

2

∫ √(a2 − 2ac)t+ a2c2

t√a2 − t

dt.

No documento original, 12

∫ √(a−2c)t+ac2

t√

c2−tdt.

7. Capıtulo 3, Catenaria de Igual Resistencia - secccao 378

esa + e−

sa =

sec2(ϕ2

+ π4)

tan(ϕ2

+ π4)

=2

sen(ϕ+ π2)

=2

cosϕ.

No documento original, esa + e−

sa =

sec2(ϕ2+π

4)

tan(ϕ2+π

4)

= 2sen(ϕ+π

4)

= 2cos ϕ

.

8. Capıtulo 3, Curva dos Senos - secccao 387

y′= ±sen(2x)

isen2iy.

No documento original, y′= sen(2x)

isen2iy.

9. Capıtulo 3, Curva Elastica ou Lintearia - secccao 395x∫

0

(x2 + c) dx√a2 − (x2 + c)2

=1

p′(v)√a2 − c2

.

[c.u.p

′(v) + log

σ(u− v)

σ(u+ v)+ 2ζ(v)u

].

No documento original,x∫0

(x2+e)dx√a2−(x2+e)2

.

10. Capıtulo 3, Curva Isocrona Paracentrcia - secccao 400d(

√x2 + y2)

dt=ds

dt.

No documento original,d(x2 + y2)

dt=ds

dt.


11. Capıtulo 3, Curva Isocrona Paracentrcia - secccao 400

(xdx+ ydy)√y =

√h(ydx− xdy).

No documento original, (xdx+ ydy)√y =

√h(ydx+ xdy).

12. Capıtulo 3, Curva Isocrona Paracentrcia - secccao 402dρ√ρ

= −√h.

dθ√senθ

.

No documento original, dρρ

= −√h. dh√

senθ.

13. Capıtulo 4, Espiral de Arquimedes - secccao 407

s =

∫ ρ1

ρ0

√ρ2.

(dθ

dρ

)2

+ 1.dρ =1

a

∫ ρ1

ρ0

√ρ2 + a2.dρ.

No documento original, s =∫ ρ1

ρ0

√ρ2.dθ

dρ+ 1.dρ.

14. Capıtulo 4, Espiral de Galileu - secccao 412

θ =−(2n+ 1)πb±

√4ab− b2π2(2n+ 1)2

2b.

No documento original, θ =−(2n+1)πb±

√4ab−b2π2(2n+1)2

b.


A =1

2

∫ θ

0

ρ2dθ =1

2

(a2θ +

1

5b2θ5 − 2

3bθ3

).

No documento original, A = 12

∫ θ

0ρ2dθ = 1

2

(a2θ + 1

5b2θ5 − 2

3abθ3

).


z[b2z2 + 2(2b2 − ab)z + a2

]= F (z).

No documento original, z2 [b2z2 + 2(2b2 − ab)z + a2] = F (z).



ds =1

3

[√dF (z) +

(2b2 − ab)z + a2√F (z)

dz

].

No documento original, ds = 13

[dF (z) + (2b2−ab)z+a2√

F (z)dz

].

18. Capıtulo 4, Espiral Parabolica - secccao 422

ρ = a+√

2p.a.θ, e −ρ = a+√

2pa [θ + (2n+ 1) π].

No documento original, −ρ = a−√

2pa [θ + (2n+ 1) π].

19. Capıtulo 4, Espiral Hiperbolica - secccao 428

R =ρ (m2 + ρ2)

32

m3=N3

ρ2=

N3

−m.Sn

=N3

SnSt

.

No documento original, R =ρ (m2 + ρ2)

32

m3=N3

ρ2=

N3

m.Sn

=N3

SnSt

.

20. Capıtulo 4, Lituus - secccao 438∫(4θ2 + 1)dθ

θ√

(4θ2 + 1)θ= −

2√θ(4θ2 + 1)

θ+ 4

∫2θdθ√

θ(4θ2 + 1).

No documento original,∫

dθ

θ√

(4θ2+1)θ= −2

√θ(4θ2+1)

θ+ 4

∫θdθ√

θ(4θ2+1).

21. Capıtulo 4, Espiral de Poinsot - secccao 450

A = 2a2

θ∫0

dθ

(emθ + e−mθ)2= 2a2.

1

2m

[1

2− 1

e2mθ + 1

].

No documento original, A = 2a2θ∫0

dθ(emθ+e−mθ)2

= 12m

[12− 1

e2mθ+1

].

22. Capıtulo 4, Espiral de Poinsot - secccao 451

U =

√1 +m2

2m

[1 +m2

1(1 +m2)

∫dv√

4v3 − g1v − g2

−∫

vdv√4v3 − g1v − g2

+

√4v3 − g1v − g2

2(v + 1 + h)

].

No documento original, U =√

1+m2

2m

[5+m2

3(1+m2)

∫dv√

4v3−g1v−g2

−∫

vdv√4v3−g1v−g2

+

√4v3−g1v−g2

2(v+1+h)

].


23. Capıtulo 4, A Cocleoide - secccao 463

1

ρ= − 1

ρ1senθ1

sen(θ − 2θ1) +1

asenθ1

sen(θ − θ1).

No documento original,1

ρ= − 1

ρ1

sen(θ − 2θ1) +1

asenθ1

sen(θ − θ1).

24. Capıtulo 4, A PseudoCatenaria - secccao 475

x =

ϕ∫0

cosϕds

dϕ+ x1 e y =

ϕ∫0

senϕds

dϕdϕ+ y1.

No documento original, x =

ϕ∫0

cosϕds

dϕ+ x0 e y =

ϕ∫0

senϕds

dϕdϕ+ y0.


x = −4ak2ϕ∫0


+ x1.

No documento original, x = −4ak2ϕ∫0


+ x0.


y = −4ak2ϕ∫0


+ y1.

No documento original, y = −4ak2ϕ∫0


+ y0.

27. Capıtulo 5, As Parabolas em Geral - secccao 484

V1 = π

y1∫0

x2dy =πk

k + 2x2

1 y1.

No documento original, V1 = πy1∫0

x2dy = kk+2

x21 y1.

Bibliografia

[1] F. Gomes Teixeira, Tratado de Las Curvas Especiales Notables, Madrid, Gaceta de

Madrid, Obra publicada en el tomo XXII de las Memorias de la Real Academia de

Ciencias Exactas, Fısicas y Naturales de Madrid,1905.

[2] F. Gomes Teixeira, Traite des Courbes Speciales Remarquables planes er

gauches,Editions Jacques Gabay.

[3] Bulletin Cim, Gallery: Francisco Gomes Teixeira, June 2004.

[4] Adams, Robert A., Calculus: a Complete Course, Third Edition, Addison-Wesley

Publishers Limited, 1995.

[5] Netto, Cesar Dacorso., Leal, Nilza Real., Elementos de Geometria Diferencial,

2a edicao, Editora InterCiencia, 1978.

[6] Rutter, John W., Geometry of Curves, Chapman e Hall/Crs.

[7] Tobias Oetiker, Hubert Partl, Elisabeth Schlegl, A nao tao pequena introducao

ao LATEX2 , Versao 4.00, 2002. Traducao portuguesa por Alberto Simoes.

[8] Francisco Gomes Teixeira, o homem, o cientista, o pedagogo,

Maria da Graca Dias Ferreira Alves, Tese de Doutoramento, Braga 2004.

http://hdl.handle.net/1822/2603.

[9] http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/

178

BIBLIOGRAFIA 179

[10] http://www.tiddlywiki.com/

[11] http://pt.wikipedia.org/wiki/Wiki/

[12] http://www.javascript.com/

[13] http://www.w3.org/

[14] http://maxima.sourceforge.net/

[15] www.toolscenter.org/

[16] http://miktex.org/

[17] http://docs.miktex.org/manual/

[18] http://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/drw/lm.html/

[19] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/Curves/Curves.html

[20] http://www.math.union.edu/ dpvc/jsMath/

[21] http://www.dessci.com/

[22] http://www.mathcurve.com/

[23] http://integrals.wolfram.com/index.jsp

[24] http://www.instituto-camoes.pt/cvc/ciencia/

[25] http://www.math.ist.utl.pt/ psoares/

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