Unidade 05 Valor do Dinheiro no Tempo CARLOS ALEXANDRE.

Unidade 05

Valor do Dinheiro no Tempo

CARLOS ALEXANDRE

Valor do dinheiro no tempo: O dinheiro perde o valor com o tempo.

Todo capital parado e não investido, ou que não está sendo remunerado, perde o que poderia estar recebendo sob a forma de juros, o que configura uma medida de custo de oportunidade perdido.

JURO é a remuneração do capital empregado.

Para o INVESTIDOR: é a remuneração do investimento

Para o TOMADOR: é o custo do capital obtido por empréstimo

TAXA DE JUROS: é o índice que determina a remuneração de um capital num determinado período de tempo (dias, meses, anos, etc.)

Esse período é representado pela letra “n” ou “t”.

Taxa percentual: 34% ao mêsTaxa unitária: 0,34 ao mês

Regime de Juros

Existem dois regimes de juros:A) simplesB) compostos

Conceito:É aquele em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide, pois sobre os juros acumulados.

O valor dos juros é obtido da expressão:J = P x i x n

J = valor dos juros produzidos pelo capital P à taxa de juros i em n períodos. P = valor do capital inicial ou principali = taxa de remuneração do capital inicialn = número de períodos

JUROS SIMPLES

JUROS SIMPLES

1- Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$10.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% a.m?

J = R$10.000,00 x 0,03 x 5 = R$1.500,00

J = P x i x n P = 10.000i = 3% = 0.03n = 5

JUROS SIMPLES

2 – Qual o capital que, à taxa de 4% a .m, rende juros de R$9.000,00 em um ano?

J = P x i x n P = J / ( i x n)

9.000 enter0,04 enter12 x /

P = R$9.000,00 / ( 0,04 x 12 ) = R$ 18.750,00

JUROS SIMPLES

3- Sabendo-se que os juros de R$6.000 foram obtidos com a aplicação R$7.500, à taxa de 8% a.m, pede-se que se calcule o prazo.

6.000 enter7.500 enter0,08 x /6.000 = 7.500 x 0,08 x nn = 10 meses

J = P x i x n J= 6.000P = 7.500 i = 0.08n = ?

JUROS SIMPLES

4 – Um empréstimo de R$23.000 é liquidado por R$29.200 no final 152 dias. Calcular a taxa de juros.

6.200 enter23.000 enter152 x /6.200 = 23.000 x i x 152i = 0,1773%

J = P x i x n J= 29.200 – 23.000 = 6.200P = 23.000 n = 152 i = ?

JUROS COMPOSTOS

No regime de juros compostos, os juros obtidos a cada novo período são incorporados ao capital, formando um montante que passará a participar da geração de juros no período seguinte, e assim sucessivamente. Dessa forma, não apenas o capital inicial rende juros, mas eles são devidos a cada período de forma cumulativa. Daí serem chamados juros capitalizados.

Calculadoras FinanceirasCalculadoras Financeiras

Teclas financeiras:Teclas financeiras:

nn = número de períodos= número de períodosPVPV = Present Value (Valor Presente)= Present Value (Valor Presente)FV = Future Value (Valor FuturoFV = Future Value (Valor Futuro))i = Taxa de juros expressa em porcentagemi = Taxa de juros expressa em porcentagemCHS = Inclui o sinal do fluxo de caixaCHS = Inclui o sinal do fluxo de caixa

Equação geral:FV = PV x ( 1 + i )n

VF – valor futuroVP – valor principal ou valor presente i – taxa n – número de períodos

JUROS COMPOSTOS

1 – Jane colocou R$ 800,00 em uma caderneta de poupança que paga 6% de juros compostos anualmente. Ela deseja determinar quanto dinheiro terá em sua conta no final de cinco anos.

VF = R$800,00 x ( 1 + 0,06 )5 VF =R$ 1.070,58 ou

PV = 800i = 6n = 5FV = ?

2 – Em que prazo um empréstimo de R$30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 51.310,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% ao mês?

VF = VP x ( 1+ i )n

R$51.310,18 = R$30.000,00 x ( 1 + 0,05 )n(1,05) n = 51.310,18 / 30.000,00(1,05) n = 1,71034n x log 1,05 = log 1,71034n = log 1,71034 / log 1,05N = 0,53669 / 0,04879 = 11 meses

3 – Paulo deseja encontrar o valor presente de um montante futuro de R$ 1.700,00 que será recebido em oito anos a partir de hoje. O custo de oportunidade de Paulo é 8% a.a.

VP = VF / ( 1+ i ) n

VP = R$1.700,00 / ( 1+0,08)8

VP= 918,46

4 – A Loja Topa Tudo financia o valor de R$16.000,00 para pagamento em única prestação de R$22.753,61 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal?

VF = VP x ( 1+ i ) n

22.753,61 = 16.000 x ( 1 + k )8

i = 4,5%

5 - Qual principal que deve ser aplicado hoje (valor presente), para se ter acumulado um total de R$1.000,00 daqui a 12 meses, no regime de juros compostos, a uma taxa de 3% ao mês?

VF = VP x ( 1+ i ) n

1.000 = VP x ( 1 + 0,03 ) 12

VP = 701,38

Quando a unidade de tempo for menor que a a taxa de juros o juros simples dá resultado maior

100.000 a uma taxa de 10% a.m durante 15 dias

Juros Simples:

J = P x i x n

J = 100.000 x 0,10 x 0,5

J = 105.000

Juros Compostos

FV = PV x ( 1 + i )n

FV = 100.000 (1 + 0,10) 0.5

FV = 104.880

Quando a unidade de tempo for maior que a a taxa de juros o juros simples dá resultado menor

100.000 a uma taxa de 10% a.m durante 60 dias

Juros Simples:

J = P x i x n

J = 100.000 x 0,10 x 2

J = 120.000

Juros Compostos

FV = PV x ( 1 + i )n

FV = 100.000 (1 + 0,10) 2

FV = 121.000

O maior cuidado que se deve ter ao se resolver problemas de matemática financeira é garantir que a taxa aplicada está na mesma unidade de tempo dos prazos da operação.

Entretanto, nem sempre os dados se apresentam assim, podendo ocorrer, por exemplo, que a taxa seja dada em anos (20% a.a.) enquanto a aplicação ocorra em meses (4 meses).

Assim, torna-se necessário converter a taxa dada à mesma unidade de tempo do prazo da operação que deseja calcular.

Juros Simples e Taxas Proporcionais

Ë uma taxa caracteristicamente de juros simples, formada de modo proporcional. A taxa proporcional (linear) é determinada pela relação simples entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrem juros,

Exemplo:

24 % ao ano é proporcional a 2 % a.m ( 24/12 meses)

2,4 % a.m é proporcional a 28,8 % a.a (2,4 x 12)

5,0 % a.t é proporcional a 20 % a.a

Juros Compostos e Taxas Equivalentes

Pelo critério de juros simples a taxa equivalente é a própria taxa proporcional.

A importância da taxa equivalente volta-se para as operações que referenciam suas taxas em juros compostos.

Juros Compostos e Taxas Equivalentes

São taxas referentes a períodos distintos de capitalização que produzem o mesmo montante no final de determinado tempo para um mesmo capital inicial;

Taxas Equivalentes LOGO:

iq = ( 1 + it)q/t - 1

Para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue:

iq – taxa para o prazo que eu queroit – taxa para o prazo que tenho q – prazo que eu quero t – prazo que eu tenho

Exemplo Numérico

Determinar a mensal equivalente a 60,103% a.a.:

iq=(1+0,60103)1/12 - 1 = (1,60103)1/12 – 1= 4% a.m.

iq = ( 1 + it)q/t - 1

Exemplo Numérico

iq = ( 1 + it)q/t - 1

2 – Determinar a taxa trimestral equivalente a 18 % a.a

iq=(1+0,18)3/12 - 1 = (1,18)3/12 – 1 = 4,2% a.t.

TAXA DE JUROS NOMINAL

É uma taxa referente a um período que não coincide com o período de capitalização de juros. A taxa nominal não corresponde, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio. Geralmente, tem periodicidade anual e aparece em contratos financeiros.

TAXA DE JUROS NOMINAL

Lembre-se, na taxa nominal emprega-se uma unidade de tempo que não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização!

Exemplo: 35% ao ano, com capitalização mensal;16% ao ano, com capitalização semestral;8 % ao mês, com capitalização diária.

TAXA DE JUROS EFETIVA

Veja bem: A taxa nominal é muito utilizada no mercado, quando da formalização dos negócios. Não é, porém, utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder, de fato, ao ganho / custo financeiro do negócio.

A taxa que representa o efetivo ganho / custo financeiro do negócio é a TAXA EFETIVA.

TAXA DE JUROS EFETIVA

É a que corresponde, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio. Toda taxa, cuja unidade de tempo coincide com o período de capitalização dos juros, é uma taxa efetiva.

Exemplo:40% ao ano, com capitalização anual;18% ao semestre, com capitalização semestral;4% ao mês, com capitalização mensal.

Como se obtém a taxa efetiva para o período de capitalização de juros?

a) A partir de uma taxa nominal Neste caso, você aplica o conceito de taxas proporcionais

(juros simples):

TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA

Ie = i n kOnde: i e = taxa efetiva para o período de

capitalização i n = taxa nominalk = número de capitalizações contidas

no período da taxa nominal


Exemplo: 36% ao ano, com capitalização mensal:(1 ano = 12 meses) k = 12Ie = i n = 36 = 3 % ao mês

k 12


b) Obtenção da taxa efetiva a partir de outra taxa efetiva, cuja unidade de tempo é diferente do período de capitalização dos juros.

Aqui se aplica o conceito de taxas equivalentes (juros compostos).


Exemplo: A partir da taxa nominal de 36% ao ano, cuja taxa

efetiva é de 3% ao mês, determinar a taxa efetiva anual equivalente.

iq = [(1+it)nq/nt – 1 ] x 100iq = [(1,03)12/1 – 1] x 100Taxa equivalente = 42,58% ao ano.Assim: A taxa efetiva anual equivalente à taxa

efetiva de 3% ao mês é de 42,58%, enquanto que a taxa nominal ao ano é de 36%.


VALOR PRESENTE - VALOR FUTURO

Capital inicial – Valor Presente – Present Value : é o valor que você aplica ou pega emprestado hoje.

Montante – Valor Futuro – Future Value : é o valor desta aplicação, ou de sua dívida no futuro, com a inclusão dos juros devidos.


Se você aplicar hoje 100,00 numa aplicação que paga juros compostos com uma taxa de 10% a.a quanto você terá em 3 anos?

PV = 100 i = 0.10 n = 3 FV = ?

FV = PV (1 + i )n

FV = 100 (1 + 0.10)3

FV = 100 x 1,331 133,10


Qual principal que deve ser aplicado hoje(PV) para se ter um acumulado um total de 1.000,00 daqui 12 meses, a uma taxa de 3% ao mês?

PV = ? i = 0.03 n = 12 FV = 1.000

FV = PV (1 + i )n

1000 = PV (1 + 0.03)12

1000 = PV x 1.4258

PV = 1000 / 1.4258 701.37

SÉRIES DE PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS UNIFORME

Diz-se que uma série é uniforme quando todos os seus termos (pagamentos ou desembolsos) são iguais e é feita em períodos homogêneos (a cada dia, mês, bimestre, semestre, ano, etc.).


Existem 2 tipos de séries uniformes: . Série Uniforme de Pagamentos

modelo Básico(postergada): onde o primeiro ocorre no final do primeiro período

. Série Uniforme antecipada: onde o primeiro termo ocorre no inicio do primeiro período.


PV = PMT x 1 – (1 + i ) –n

i

FV = PMT x (1 + i )n - 1 i

PMT = PV * i x (1 + i )n

i

SÉRIES DE DESEMBOLSOS UNIFORME

0 1 2 3 4 FV

Quando destinam-se a constituir um capital futuro, tomam o nome de SÉRIES DE DESEMBOLSO

SÉRIES UNIFORMES

Séries de Pagamentos ou recebimentos uniformes

Qual o valor presente (financiado) de um veículo adquirido em 10 parcelas mensais e iguais de R$5.000,00 cada, com uma taxa de juros de 2,0% ao mês.

PMT = 5.000,00 i = 2% n = 10 FV= 0 PV = ?

PV = PMT x 1 - (1+i)-n

iPV = 5000 x 1 - (1+0,02)-10

0,02PV = 5000 x 1 - 1,02-10

0,02PV = 5.000 x 8,982585 = R$44.912,93

SÉRIES UNIFORMES

Séries de Pagamentos ou recebimentos uniformes

Suponha que você tenha aplicado, ao final de cada mês a quantia de R$3.000,00 mensalmente, durante 12 meses, numa conta de poupança que rende 1,0% ao mês. A final do 12 meses, qual o valor acumulado na caderneta de poupança .

PMT = 3.000,00 i = 1% n = 12 FV= ?

FV = PMT x (1+i)n – 1 i

FV = 3000 x (1+0,01)12 – 1

0,01

FV = 3000 x 12,68

FV = R$38.047,51

SÉRIES UNIFORMES

Suponha que você queira financiar um veículo cujo valor à vista seria R$25.000,00, a concessionária oferece a seguinte alternativa: 24 prestações mensais e iguais, com juros de 2,5%. Qual deverá ser o valor de cada prestação?

PV = 25.000,00 n = 24 i = 2,5 FV = 0 PMT=?PMT =PV * i ×(1+ i)n

(1+ i)n - 1PMT = 25.000 x 0,025(1+0,025)24

(1+0,025)24 – 1PMT = 25.000 x 0,025 (1,025)24

(1,025)24 – 1PMT = 25.000 x 0,0452 0,8087PMT = R$1.397,82

Séries de Pagamentos não uniformes

Séries não uniformes

É quando recebimento/pagamentos de uma operação não são uniformes no que se refere a valores e periodicidades.

nPV= ∑ CF j=1 (1+i)j

nFV= ∑ CF x (1+i)j

j=1

Você tem uma dívida junto ao Banco, para a qual você efetuará os seguintes pagamentos a partir do próximo ano, anual e seqüencialmente: R$500,00, R$400,00, R$300,00 e R$100. Considerando uma taxa de juros de 10% ao ano, se você optar por pagar esta dívida à vista qual valor será pago:

n

PV= ∑ CF j=1 (1+i)j



PV = ∑ 500 + 400 + 300 + 100 = 1.078,81 1,101 1,102 1,103 1,104

n

PV= ∑ CF j=1 (1+i)j

500 400 300 100

1 2 3 4

0

0 TempoValor

CFo= 0 CFj1 = 500 CFj2= 400 CFj3= 300 CFj4 = 100 i=10% F NPV= ?

O gerente do seu banco lhe oferece a seguinte aplicação. Você deve aplicar a partir do próximo ano anualmente os seguintes valores: R$500,00, R$600,00 e R$800,00, os quais serão remunerados a uma taxa de 10% ao ano, qual será seu valor presente desta aplicação ?


5.4 – Apresentar e Calcular séries de pagamentos uniformes e séries de pagamentos não uniformes

500 600 800

1 2 3

0

0 TempoValor

PV = ∑ 500 + 600 + 800 = 1.551,46 1,101 1,102 1,103

5.5 – Apresentar e Calcular perpetuidades

Quando não há limite de tempo, ou seja quando o tempo a considerar é indeterminado (perpétuo). Exemplo: dividendos pagos por determinada ação.

PV = PMT i

5.5 – Apresentar e Calcular perpetuidades

Suponha que você participe de uma promoção na TV, a qual se for o ganhador terá uma renda perpétua de R$500,00. Considerando uma taxa de desconto de 2% ao mês, qual é o valor presente desta sua renda.

PV = PMT i

PV = 500 0,02PV = 25.000,00

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