Universidade Politécnica

Curso: Engenharia Elétrica

Disciplina de Informática Aplicada a Engenharia Elétrica II

Docente: Eng. Malange Marcos Lourenço

Unidade I – Método de Euler

A Matemática Aplicada geralmente é dividida em 4 partes, sendo elas:

I) Formulação do modelo matemático que irá descrever alguma situação Física.

II) Análise e precisa e apropriada do problema matemático.

III) Cálculo Numérico das propriedades Físicas.

IV) Comparação dos valores encontrados através do item (III) com valores

experimentais para validação do modelo apresentado.

Dentre os 4 itens acima apresentado, os itens I e II geralmente dizem respeito aos Físicos,

Químicos e Engenheiros, sendo assim necessário um alto nível de conhecimento dos processos

físicos/químicos a serem analisados. Já os itens III e IV são de competência dos matemáticos, porém,

lembremo-nos que antes de sermos engenheiros, devemos ser exímios matemáticos, logo, estes

dois últimos itens competem também aos Físicos, Químicos e Engenheiros.

Como a maioria dos eventos naturais (físicos e/ou químicos) são regidos por equações

diferenciais, deve-se ter o mínimo de conhecimento a respeito desse tema para os fins modelagem e

simulação dos Processos em análise.

1. Introdução às Equações Diferenciais

Uma Equação Diferencial é uma equação que envolve uma ou mais variáveis dependentes,

independentes e derivadas dependentes. Caso haja apenas uma variável independente, então as

derivadas são todas ordinárias, sendo assim denominadas Equações Diferenciais Ordinárias (EDO’s),

que são do tipo:

ou

Quando a função desconhecida depender de mais de uma variável, diz-se que a equação

diferencial é considerada Equação Diferencial Parcial (EDP), sendo do tipo:

( )

Uma Solução de uma E.D. é uma função que cumpre com as condições dadas pela equação.

Exemplo: x

a)

Exercícios Resolvidos em sala, verificar se as funções apresentadas são soluções das ED’s

apresentadas:

( ) ( ) ( )

N.B.: Para Resolver Novamente.

Problema do Valor Inicial (P.V.I.)

Quando as equações diferenciais são dadas com uma condição inicial ( ) , tem-se aí

o Problema de Valos Inicial ou PVI, que é apresentado da seguinte forma:

( )

1.1. Métodos de Resolução de Equações Diferenciais

Entre os métodos de resolução de Equações Diferenciais, veremos dois tipos, um Analítico e

outro Numérico, respectivamente o Método de Separação de Variáveis e o Método de Euler. O

método numérico aparece em situações em que a E.D. apresentada é de difícil resolução a partir do

método analítico, como acontece frequentemente após a modelagem de processos físicos/químicos.

1.1.1. Método da Separação de Variáveis

São equações do tipo

( ) ( ) ( ) , assim sendo, podemos fazer ( )

( ).

Deste tipo de substituição achamos a seguinte igualdade:

( )

( ) ⇒ ( ) ( ) ( ) ,e a

partir desta igualdade, podemos tirar as integrais indefinidas de ambos os lados da equação.

Ficando:

∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ⇒ ( ) ( )

Onde: ( )

Exemplo: Resolva a E.D. apresentada

( ) . Solução:

Exemplo 2:

( ) Solução:

Resolva: Quando um assassinato é cometido, o corpo da vítima, originalmente a 37oC, esfria de

acordo com a lei de resfriamento de Newton. Supondo que 2 horas depois temos T=35oC e Tamb =

20oC.

a) Encontre a temperatura do Corpo em função do Tempo.

b) A que horas o crime foi cometido se o corpo for encontrado as 16:00 com a temperatura de

30oC?

1.1.2. Método de Euler

Este método trata-se de resolver a equação Diferencial y’(x) = F(x,y) passando pelos pontos

(X0,y0). Ele corresponde ao Método de Taylor parando-se na primeira derivada, conforme

demonstrado abaixo:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

no método de Euler tem-se a seguinte equação geral:

( )

Assim, este método consiste em calcular recursivamente a sequência aproximada de {y} através das

fórmulas:

(A) ( )

(B) ( )

Por ser uma sequência aproximada, caso tenhamos a função y(t) solução da equação

diferencial yn(t), graficamente teremos o seguinte:

Daí que por ser uma solução numérica e não exata, aos valores encontrados através destemétodo

terão um erro ( ) a eles associados.

Exemplo 1: Achar as aproximações para a solução do PVI abaixo.

(A)

(B) ( ) ; com malha [0;0,8] e h=0,1

Solução:

Exercício 1: Achar as aproximações para a solução do PVI abaixo, com malha [1;1,3] e h=0,1.

(A)

(B) ( )

(C) ( )

Exercício 2: Achar as aproximações para a solução do PVI abaixo, com malha [1;1,3] e h=0,1.

(A)

(B) ( )

(C) ( )

(D) ( )