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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA JÚLIO CÉSAR PEREIRA O CONCEITO DE FUNÇÃO: a utilização do software Simcalc e as narrativas apresentadas por alunos de Licenciatura em Matemática SÃO PAULO 2013
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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA
JÚLIO CÉSAR PEREIRA
O CONCEITO DE FUNÇÃO: a utilização do software Simcalc e as narrativas apresentadas por alunos de Licenciatura em Matemática
SÃO PAULO
2013
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA
JÚLIO CÉSAR PEREIRA
O CONCEITO DE FUNÇÃO: a utilização do software Simcalc e as narrativas apresentadas por alunos de Licenciatura em Matemática
Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante Anhanguera, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Profa. Dra. Rosana Nogueira de Lima.
SÃO PAULO
2013
Pereira, Júlio César
P429c O conceito de função: a utilização do software SimCalc e as narrativas apresentadas por alunos de Licenciatura em Matemática. / Júlio César Pereira. -- São Paulo:Universidade Bandeirante Anhanguera, 2013. Xiii, 135 f. II,; 31 cm.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Bandeirante Anhanguera, 2013. Orientadores: Profa. Dra. Rosana Nogueira de Lima.
Referências bibliográficas: f. 120-122. 1. Narrativas 2. Tecnologias 3. Educação Matemática. I. Lima, Rosana Nogueira de. II. Universidade Bandeirante Anhanguera. III.Título.
CDD 510.71
Dedico este trabalho primeiramente a Deus por ter me dado força e perseverança para enfrentar todas as dificuldades nessa caminhada. Também, aos meus pais que sempre me apoiaram em minha jornada de estudo e pelo grande exemplo de vida que me deram. Por fim, a minha noiva Dayana Aguiar Botelho grande incentivadora e companheira de Mestrado durante os períodos de estudo.
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, que me deu forças durante toda a caminhada, responsável pelo sucesso de tudo que tenho. A minha família, pelos exemplos, compreensão eapoio a mim dirigido e que sempre me incentivou nesta jornada. A minha orientadora, professora doutora Rosana Nogueira de Lima, pelas orientações encorajadoras e dedicação incondicional para que este trabalho fosse realizado. Aos professores Lulu Healy, Maurício Rosa e Dora Soraia Kindel, pelas contribuições para a melhoria deste trabalho. Aos alunos do curso de Licenciatura em Matemática, que participaram desta pesquisa,os quais demonstraram atenção e dedicação na realização das atividades propostas, resultando no sucesso deste trabalho. A minha noiva Dayana que, com muita paciência, me ajudou e me incentivou para que pudesse terminar o Mestrado. Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNIBAN pelos ensinamentos e motivações. Enfim, a todos aqueles que participaram de uma forma ou de outra para que este trabalho acontecesse.
RESUMO
Esta pesquisa tem como objetivo analisar as narrativas produzidas por estudantes de Licenciatura em Matemática diante de uma abordagem para funções em um ambiente dinâmico, e ainda, observar as reações deles quando deparados com funções representadas por animações na janela do mundo do software SimCalc. Esse software permite manipular gráficos e expressões algébricas em função do tempo, e possui uma janela de animação que possibilita a visualização do movimento de atores de acordo com a função estabelecida. Nossa pesquisa se caracteriza por uma investigação qualitativa, feita com alunos de Licenciatura em Matemática, com os quais buscamos investigar como os modos de pensamento narrativo e paradigmático (BRUNER, 2002) podem favorecer o aprendizado de ideias relacionadas ao conceito de função. A intervenção foi composta por cinco sessões realizadas no laboratório de uma Universidade do Estado de Minas Gerais, e com a participação de alunos matriculados no segundo período do curso de Licenciatura em Matemática. Foram analisados os protocolos e as gravações de vídeo e áudio dos alunos, que realizaram as atividades em duplas. A análise dos resultados obtidos nos leva a concluir que a interação com as representações dinâmicas proporcionadas pelo ambiente mundo do software SimCalc traz mais sentido e gosto para desvendar formas matemáticas escondidas por detrás de uma simples estória, e ainda, percebemos que o papel das narrativas está relacionado à contribuição e envolvimento dos alunos para compreender conceitos de funções que muitas vezes são vistos como inexplicáveis ou até mesmo sem sentido. Palavras-chave: Narrativas. Tecnologias. Educação Matemática.
ABSTRACT
This research aims to analyze the narratives produced by students in Mathematics before an approach to functions in a dynamic environment, and also observe their reactions when faced with functions represented by animations in the window of the software world SimCalc. This software to manipulate graphics and algebraic expressions function of time, and an animation window that allows viewing the motion of players in accordance with the function set. Our research is characterized by a qualitative research done with students in Mathematics , with whom we seek to investigate how the modes of thought and paradigmatic narrative (Bruner, 2002) may promote learning of ideas related to the concept of function. The intervention consisted of five sessions conducted in the laboratory of a University of Minas Gerais, and with the participation of students enrolled in the second period of the course in Mathematics. We analyzed the protocols and audio and video recordings of students who performed the activities in pairs. The analysis of the results leads us to conclude that the interaction with the dynamic representations provided by the environment the software world SimCalc brings more sense and taste to unravel mathematical shapes hidden behind a simple story, and yet, we realize that the role of narratives is related to the contribution and involvement of students to understand concepts of functions that are often seen as inexplicable or even meaningless . Keywords: Narratives. Technologies. Mathematics Education.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Trabalho coletado dos alunos ............................................................. 36
Figura 2 - Tela inicial do software SimCalc ......................................................... 43
Figura 3 - Janela da lei algébrica da Função ...................................................... 44
Figura 4 - Janela da Tabela ................................................................................ 44
Figura 5 - Janela do Mundo ................................................................................ 45
Figura 6 - Representação de vários atores no Mundo ........................................ 45
Figura 7 - Janela Position .................................................................................... 46
Figura 8 - Janela da Animação ........................................................................... 46
Figura 9 - Criação de um ator no software SimCalc a partir da lei algébrica da
função .................................................................................................................. 47
Figura 10 - Ferramenta – “Gerenciador de sala de aula” .................................... 48
Figura 11 - Barra de ferramentas – opção conectar ........................................... 49
Figura 12 - Janela “conectar à sala de aula” ....................................................... 49
Figura 13 - Coleta do número de IP e Nome de usuário por meio da Janela
“Gerenciador de sala de aula”.............................................................................. 50
Figura 14 - Representação gráfica da função x
xfx 13
)(
, estabelecida na
janela “position” do software SimCalc ................................................................. 54
Figura 15 - Representação gráfica da função 1,0
)sin()(
xxf , estabelecida na
janela “position” do software SimCalc ................................................................. 55
Figura 16 - Função formada por mais de uma sentença – animação e
representação gráfica .......................................................................................... 62
Figura 17 - Função polinomial de segundo grau – animação e representação
gráfica ..................................................................................................................
62
Figura 18 - Função exponencial – animação e representação gráfica ............... 63
Figura 19 - Resposta apresentada pela Dupla 5 para a primeira animação ....... 70
Figura 20 - Resposta apresentada pela Dupla 2 para a primeira animação ....... 71
Figura 21 - Resposta apresentada pela Dupla 8 para a primeira animação ....... 71
Figura 22 - Resposta apresentada pela Dupla 4 para a segunda animação ...... 72
Figura 23 - Resposta apresentada pela Dupla 5 para a segunda animação ...... 73
Figura 24 - Resposta apresentada pela Dupla 3 para a segunda animação ...... 73
Figura 25 - Resposta apresentada pela Dupla 2 para a terceira animação ........ 74
Figura 26 - Resposta apresentada pela Dupla 1 para a terceira animação ........ 75
Figura 27 - Resposta apresentada pela Dupla 8 para a terceira animação ........ 75
Figura 28 - Resposta apresentada pela Dupla 1 para a quarta animação .......... 76
Figura 29 - Resposta apresentada pela Dupla 4 para a quarta animação .......... 77
Figura 30 - Resposta da Dupla 1 para a primeira animação ............................... 80
Figura 31 - Resposta da Dupla 3 para a primeira animação ............................... 81
Figura 32 - Resposta da Dupla 5 para a primeira animação ............................... 81
Figura 33 - Resposta da Dupla 4 para a segunda animação .............................. 85
Figura 34 - Resposta da Dupla 3 para a segunda animação .............................. 85
Figura 35 - Resposta da Dupla 1 para a terceira animação ................................ 87
Figura 36 - Resposta da Dupla 2 para a terceira animação ................................ 87
Figura 37 - Resposta da Dupla 3 para a terceira animação ................................ 87
Figura 38 - Resposta da Dupla 4 para a terceira animação ................................ 88
Figura 39 - Resposta da Dupla 1 para a quarta animação ................................. 90
Figura 40 - Resposta da Dupla 4 para a quarta animação ................................. 90
Figura 41 - Representação gráfica da primeira animação .................................. 94
Figura 42 - Resposta da Dupla 1 para a primeira atividade ................................ 95
Figura 43 - Resposta da Dupla 2 para a primeira atividade ................................ 95
Figura 44 - Resposta da Dupla 3 para a primeira atividade ................................ 95
Figura 45 - Representação gráfica da segunda animação ................................. 97
Figura 46 - Resposta da Dupla 1 para a segunda atividade ............................... 98
Figura 47 - Resposta da Dupla 3 para a segunda atividade ............................... 98
Figura 48 - Resposta da Dupla 2 para a segunda atividade ............................... 98
Figura 49 - Representação gráfica da terceira animação ................................... 100
Figura 50 - Resposta da Dupla 1 para terceira atividade .................................... 102
Figura 51 - Resposta da Dupla 2 para a terceira atividade ................................. 102
Figura 52 - Resposta da Dupla 3 para a terceira atividade ................................. 102
Figura 53 - Esboço da representação gráfica da primeira animação – Dupla 1. 105
Figura 54 - Esboço da representação gráfica da primeira animação – Dupla 2 . 105
Figura 55 - Esboço da representação gráfica da primeira animação – Dupla 3 . 105
Figura 56 - Construção da primeira estória – Dupla 1 ........................................ 107
Figura 57 - Construção da primeira estória – Dupla 2 ........................................ 107
Figura 58 - Construção da primeira estória – Dupla 3 ........................................ 108
Figura 59 - Esboço da representação gráfica da segunda estória – Dupla 1 ..... 109
Figura 60 - Esboço da representação gráfica da segunda estória – Dupla 3 ..... 109
Figura 61 - Esboço da representação gráfica da segunda estória – Dupla 2 ..... 110
Figura 62 - Construção da segunda estória – Dupla 1 ........................................ 112
Figura 63 - Construção da segunda estória – Dupla 2 ........................................ 112
Figura 64 - Construção da segunda estória – Dupla 3 ........................................ 113
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 -Classificação das observações dos alunos para a primeira animação
..............................................................................................................................
70
Tabela 2 -Classificação das observações dos alunos para a segunda
animação .............................................................................................................
72
Tabela 3 -Classificação das observações dos alunos para a terceira animação 74
Tabela 4 -Classificação das observações dos alunos para a quarta animação 76
Tabela 5 -Categorias de respostas para a primeira animação ........................... 80
Tabela 6 -Comentários das duplas para a animação da função 2)( xxf ......... 82
Tabela 7 -Categorias de respostas para a segunda animação ........................... 83
Tabela 8 -Comentários das duplas para a animação da função xxf 2)( ......... 84
Tabela 9 -Categorias de respostas para a terceira animação ............................ 86
Tabela 10 -Comentários das duplas para a terceira animação .......................... 88
Tabela 11 -Categorias de respostas para a quarta animação ............................ 89
Tabela 12 -Comentários das duplas para a animação da função x
xf10
)( ..... 91
Tabela 13 -Comentários dos alunos para a animação ........................................ 96
Tabela 14 -Comentários dos alunos para a segunda animação ........................ 99
Tabela 15 -Comentários dos alunos para a terceira animação .......................... 101
Tabela 16-Comentários dos alunos para a primeira estória ...............................
Tabela 17 - Comentários dos alunos para a segunda estória .............................
106
111
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Atividade 1 apresentada aos alunos participantes da pesquisa ......... 52
Quadro 2 - Atividade 2 apresentada aos alunos participantes da pesquisa ......... 56
Quadro 3 - Arquivo 1 – gráfico representado pela função f(x) = x² ....................... 58
Quadro 4 - Arquivo 2 – gráfico representado pela função f(x) = x2 ....................... 58
Quadro 5 - Arquivo 3 – representado pela função
6
86,152
3
3,51183
30,
)( 2
xsex
xsexx
xsex
xf ......................................................................
59
Quadro 6 - Arquivo 4 – gráfico representado pela função f(x) = x
10 ....................... 59
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .................................................................................................... 14
CAPÍTULO I – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................. 18
1.1 Duas concepções de pensamento ............................................................ 18
1.2 O pensamento paradigmático .................................................................... 18
1.3 O pensamento narrativo ............................................................................. 19
CAPÍTULO II – REVISÃO DE LITERATURA ..................................................... 23
2.1 Trinta anos de pesquisa sobre funções: diferentes abordagens ........... 23
2.1.1 Tecnologia como um meio simplificador .................................................... 26
2.1.2 Tecnologia como instrumento ou mediadora ............................................. 28
2.1.3 Tecnologia como integradora ..................................................................... 32
2.2 O uso dasnarrativas ................................................................................... 36
CAPÍTULO III – PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ................................. 41
3.1 Local do estudo e ética da pesquisa ......................................................... 41
3.2 Sujeitos ........................................................................................................ 42
3.3 Coleta de dados ........................................................................................... 42
3.4 O software SimCalc ..................................................................................... 43
3.5 A escolha das funções e a elaboração das atividades ............................ 51
3.5.1 Primeira sessão .......................................................................................... 52
3.5.2 Segunda sessão ......................................................................................... 55
3.5.3 Terceira sessão .......................................................................................... 56
3.5.4 Quarta sessão ............................................................................................ 61
3.5.5 Quinta sessão ............................................................................................ 65
CAPÍTULO IV – ANÁLISE DOS DADOS ........................................................... 67
4.1 Primeira sessão ........................................................................................... 67
4.2 Segunda sessão .......................................................................................... 69
4.3 Terceira sessão ........................................................................................... 78
4.3.1 Primeira animação ..................................................................................... 79
4.3.2 Segunda animação.....................................................................................
4.3.3 Terceira animação ......................................................................................
4.3.4 Quarta animação ........................................................................................
4.4Quarta sessão ...............................................................................................
4.4.1 Primeira atividade .......................................................................................
4.4.2 Segunda atividade ......................................................................................
4.4.3 Terceira atividade .......................................................................................
4.5Quinta sessão ...............................................................................................
4.5.1 Primeira estória ..........................................................................................
83
86
89
93
94
97
100
104
104
4.5.2 Segunda estória.......................................................................................... 108
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................ 115
REFERÊNCIAS ................................................................................................... 120
APÊNDICES......................................................................................................... 123
14
INTRODUÇÃO
Esta pesquisa vincula-se à linha de pesquisa Tecnologias Digitais e Educação
Matemática do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
Universidade Bandeirante Anhanguera.
Durante o curso de Licenciatura em Matemática, ao realizar meu estágio
supervisionado1, tive oportunidade de observar as dificuldades enfrentadas por
alunos do 1º ano do Ensino Médio de uma escola pública na região de Cambuí/MG,
quando da introdução e do desenvolvimento do conceito de função. Em seguida,
atuando como professor das séries finais do Ensino Fundamental (6º ao 9º ano),
pude constatar, ao trabalhar conceitos matemáticos em ambientes informatizados,
que uma nova percepção dos conteúdos matemáticos pode vir a ser construída por
meio do uso de ferramentas computacionais.
A partir da percepção de que o uso de tecnologias pode contribuir para a
aprendizagem, e ainda dar suporte para facilitar o ensino da Matemática, fizemos
uma pesquisa de monografia no curso de pós-graduação da Universidade do Vale
do Sapucaí (Univás) em Educação Matemática Latu Sensu intitulada “Concepções
de professores sobre o uso do computador no ensino e aprendizagem de
Matemática” (PEREIRA, 2011). O objetivo desse trabalho foi realizar um estudo
sobre a importância da utilização das tecnologias como contribuição para a
aprendizagem da Matemática, e conhecer a concepção de professores que atuam
no Ensino Fundamental ou no Ensino Médio de escolas públicas ou privadas sobre a
relação entre tecnologia e o ensino e aprendizagem de Matemática. Além disso,
considerando as dificuldades observadas no ensino e na aprendizagem do conceito
de função, nessa mesma pesquisa, procuramos desenvolver com alunos de um
curso de pós-graduação em Educação Matemática, que são professores da rede
pública ou particular, uma abordagem sobre os conhecimentos de função polinomial
do 2º grau utilizando como ferramenta suporte o software Winplot2. Não
pretendíamos verificar os conhecimentos dos professores pesquisados, mas
observar, nesse estudo, a importância da utilização da tecnologia no ensino e na
1“O estágio supervisionado é um momento de fundamental importância no processo de formação
profissional. Constitui-se em um treinamento que possibilita ao estudante vivenciar o que foi aprendido na faculdade, tendo como função integrar as inúmeras disciplinas que compõem o currículo acadêmico” (ESTÁGIO SUPERVISIONADO, S/A).
2 De acordo com Maia (2007) o softwareWinplot é um software livre, criado por Richard Parris, que
permite construir gráficos de funções em Matemática, em um ambiente Windows.
15
aprendizagem da Matemática, em especial de função, utilizando o dinamismo
oferecido pelo software Winplot.
Com essa pesquisa, percebemos a existência de uma relação entre
tecnologia e aprendizagem no contexto da Matemática. Entendemos que o uso de
tecnologia pode fazer com que o aprendiz tenha recursos para desenvolver a
compreensão de conceitos matemáticos, além de promover a motivação dos alunos,
pela novidade e pelas possibilidades que oferece, facilitando o contato entre
professor e aluno, o que pode auxiliar a promover aprendizagem.
[...] a utilização dos computadores na educação é muito mais diversificada, interessante e desafiadora, do que simplesmente a de transmitir informação ao aprendiz. O computador pode ser também utilizado para enriquecer ambientes de aprendizagem (VALENTE, 1999, p. 11).
Partindo dessas constatações e dos recursos que a tecnologia pode oferecer
para o desenvolvimento de habilidades na aprendizagem de funções, o objetivo de
nossa pesquisa é analisar as narrativas produzidas por estudantes de Licenciatura
em Matemática diante de uma abordagem para funções em um ambiente dinâmico,
e, ainda, observar as reações deles quando deparados com funções representadas
por animações na janela do mundo do software SimCalc3. Quando falamos de
narrativas, referimo-nos ao pensamento narrativo discutido por Bruner (1997),
apresentado no Capítulo I deste trabalho.
Pretendemos, então, dar continuidade à pesquisa sobre o uso de tecnologias
como ferramenta de aprendizagem. Desejamos, ainda, continuar focando a
importância delas no ensino e também na aprendizagem do conceito de função,
porém fazendo uso de uma nova ferramenta, o software SimCalc, e trabalhando com
alunos de Licenciatura em Matemática, ao invés de professores já formados, como
fizemos na pesquisa anterior.
A motivação pela escolha do software SimCalc ocorreu durante o curso de
Mestrado Acadêmico em Educação Matemática, no segundo semestre de 2011, ao
participar de uma aula da disciplina “Educação Matemática e a integração de novas
tecnologias”. A professora da disciplina propôs que, em duplas, apresentássemos,
3O SimCalc é um software educativo criado pelo Dr. James J. Kaput, PhD da Universidade de
Massachusetts no final dos anos 1980. Permite manipular gráficos e expressões algébricas. Disponível em: www.kaputcenter.umassd.edu.
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utilizando o software SimCalc, uma atividade adaptada dos cadernos do aluno ou do
professor4 do Estado de São Paulo.
Em um primeiro momento, tivemos a oportunidade de conhecer o software
SimCalc, explorando alguns dos diversos comandos que ele dispõe. Em seguida,
juntamente com a professora, realizamos algumas atividades que tinham como
objetivo observar o comportamento da representação animada de algumas funções
e, observando esse comportamento, deveríamos construir uma nova função que
apresentasse o mesmo comportamento de animação, ou seja, era preciso descobrir
qual era a função dada. Por fim, como proposta de trabalho, deveríamos apresentar,
em duplas, para a aula seguinte, atividades abordando tipos de função para o uso
desse software. As atividades apresentadas pelas duplas na disciplina, relacionadas
ao conceito de função, foram bem diversificadas, e abordavam funções polinomiais
de graus 1 e 2, funções exponenciais, logarítmicas e também funções definidas por
várias sentenças.
Já a motivação referente ao conteúdo matemático função e a proposta de
trabalhar com alunos de licenciatura para a elaboração desta pesquisa decorreu não
somente da pesquisa anterior que resultou em nossa monografia, mas também da
leitura das pesquisas de Sales (2008) e de Oliveira (2006).
Oliveira (2006), em sua pesquisa com alunos de graduação em Engenharia
na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, buscando respostas para o alto índice
de repetência nessa disciplina, deparou-se que o grande problema estava voltado ao
conceito de função, principalmente com situações em que era preciso esboçar
gráficos de funções da forma algébrica para a forma gráfica e vice-versa, na
construção de tabelas de valores numéricos, na distinção de variável dependente e
independente etc.
Sales (2008), em sua pesquisa, investigou as narrativas (BRUNER, 2002)
produzidas por estudantes de 1º ano do Ensino Médio diante de uma abordagem
matemática sobre funções polinomiais de 1º e 2º graus, utilizando um ambiente de
geometria dinâmica. Ela concluiu que as narrativas dos alunos possibilitaram uma
percepção particularizada dos tipos de funções, fizeram com que os alunos se
4 A nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo é um programa lançado em 2008 pelo governo
do Estado de São Paulo nas escolas estaduais, para fazer uso de apostilas denominadas “Caderno do Aluno” e “Caderno do Professor”. São 12 matérias no total, divididas em quatro volumes, um para cada bimestre do ano. Disponível em: http://www.treewy.com/2009/10/caderno-do-aluno-respostas-e-duvidas (SÂO PAULO, 2008).
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envolvessem na busca por descobrir semelhanças e diferenças em cada
representação gráfica das funções apresentadas, relacionando-as com suas
próprias estórias matemáticas. Refletindo sobre a pesquisa de Sales (2008),
acreditamos que trabalhar dentro desse contexto, abordando narrativas de alunos de
licenciatura, pode trazer diferentes percepções de função também para alunos
nesse nível de escolaridade.
Tais considerações a respeito do uso de tecnologias e das dificuldades
enfrentadas pelos alunos no trato com funções não muito familiares aos alunos
instigaram-nos a realizar uma investigação, procurando responder aos seguintes
questionamentos:
A utilização do software SimCalc como recurso dinâmico
colaborou para que os alunos percebessem a variação da função
representada pelo movimento do ator?
O fato de os sujeitos de pesquisa serem alunos de licenciatura em
Matemática?
Com o objetivo de buscar responder nossas questões de pesquisa,
compomos nosso trabalho em quatro capítulos.
No Capítulo I apresentamos o referencial teórico que dará suporte a esta
pesquisa, a teoria dos modos de pensamento estudados por Jerome Bruner, o
pensamento narrativo e o pensamento paradigmático.
No Capítulo II abordamos a revisão de literatura para que pudéssemos
observar estudos relacionados ao ensino e à aprendizagem de funções por alunos
do Ensino Médio ou Superior e também pesquisas que se utilizaram das tecnologias
como ferramenta de apoio para aprendizagem desse conceito. Também estudamos
pesquisas de Educação Matemática que destacam o papel das narrativas.
No Capítulo III delineamos os procedimentos metodológicos de nossa
pesquisa, apresentamos as condutas que tomamos na aplicação dos instrumentos
de coleta de dados. Fazemos, também, uma breve apresentação do software
SimCalc, que utilizamos para realizar as atividades de nossa pesquisa.
No Capítulo IV apresentamos as análises dos dados, e finalizamos nosso
trabalho apresentando as considerações finais sobre a análise dos dados que
realizamos durante todo o trabalho, conforme a teoria do pensamento narrativo e
paradigmático apontada por Bruner (1997).
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CAPÍTULO I
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste capítulo procuramos enfocar as principais ideias da perspectiva teórica
que influenciou nosso trabalho. Procuramos abordar considerações sobre o papel de
narrativas na percepção matemática, enfatizando a teoria dos modos de
pensamento apontada pelo filósofo e pesquisador Jerome Bruner. Apresentamos o
papel das narrativas a partir dos modos de pensamento estudados por esse
pesquisador, o pensamento narrativo e o pensamento paradigmático.
1.1 Duas concepções de pensamento
Acreditando que o pensamento pode ser constituído por palavras, imagens
visuais e dados que podem ser relacionados em categorias, Bruner (1997) estudou e
procurou entender como o homem formula seus pensamentos a partir de duas
percepções, que, segundo ele, embora sejam irredutíveis, uma complementa a
outra. De acordo com Bruner (1997), essas percepções partem de duas maneiras
diferentes de articular o pensamento. A primeira nos remete ao fato de que podemos
relacionar o pensamento por meio de palavras, estórias, imagens visuais etc. Já a
outra se aponta por meio da “veracidade” ou ainda por um “argumento lógico” como,
por exemplo: “Todos os números inteiros maiores ou iguais a zero são números
naturais. Oito é maior que zero. Logo, oito é um número natural”. Deste modo, para
Bruner (1997), essas maneiras de representação de pensamento são estratégias
para explorar as riquezas da diversidade de pensamento que o ser humano
apresenta.
Nas próximas seções, vamos explorar e abordar brevemente esses dois
modos de pensamentos: o pensamento paradigmático e o pensamento narrativo.
1.2 O pensamento paradigmático
Para Bruner (1997), o pensamento paradigmático ou lógico-científico é
caracterizado por um discurso lógico/teórico, podendo ser apresentado como
verdadeiro, ou seja, refere-se a um sistema formal e matemático, buscando focar os
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modos da Matemática por meio de argumentações lógicas como forma de descrição
e explicação.
Nesse sentido, o modo de pensamento paradigmático, de acordo com Bruner
(1997), é caracterizado como um sistema formal em que o indivíduo busca organizar
suas ideias por meio de um discurso teórico, utilizando argumentos lógicos para se
comunicar matematicamente.
De acordo com Rodrigues (2010) e Sinclair, Healy e Sales (2009),
fundamentadas em Bruner (1997), o modo de pensamento paradigmático é
relacionado a argumentações matematicamente usadas para expor fatos e
fenômenos do mundo por meio de um raciocínio lógico e dedutivo. Essas
argumentações nascem por causa de acontecimentos que são gerados em nossa
mente durante o ato de narrar ou de contar estórias, buscando transcender o fato
por meio de fundamentos lógicos que podem ser relacionados com uma linguagem
matemática. Ainda segundo as autoras, é este modo de pensamento que favorece o
conceito da realidade do discurso científico nos modos da fala, e as principais
características observadas nesse modo de pensamento são: busca pela verdade,
fornecimento de provas práticas, preposição e a explicação de um esquema formal e
matemático.
Sendo assim, entendemos que o pensamento paradigmático apontado por
Bruner (1997) representa uma forma de expressar o conhecimento usando, como
meio de convencer o outro, hipóteses fundamentadas, ou seja, podemos conceber
argumentos matemáticos para expor nosso pensamento.
1.3 O pensamento narrativo
Bruner (1997) descreve que a narrativa é uma característica do ato de contar
e expressar alguma coisa, seja por estórias, contos ou mesmo acontecimentos. De
acordo com Bruner (1997), as narrativas ajudam o indivíduo, em seu pensamento, a
construir e dar sentido a um determinado fato, ou seja, “[...] a narrativa, a invenção
de estórias, é o modo de pensar e sentir que ajuda as crianças e as pessoas a criar
uma versão do mundo na qual, psicologicamente, elas podem vislumbrar um lugar
para si. Um mundo pessoal” (BRUNER, 2002, p. 43). Sinclair, Healy e Sales (2009)
enfatizam que a narrativa tem uma característica temporal em uma relação com o
pensamento. Deste modo, as autoras acreditam que a narrativa está presente na
20
atividade matemática, e pode servir como poderoso meio para a construção de
estórias que dão significados a objetos matemáticos envolvidos nessa atividade.
Bruner (1997) afirma que os modos de pensar e de sentir ajudam os seres
humanos a criar uma versão do mundo na qual as narrativas são o meio principal
para levar o pensamento à produção de significados. De acordo com Rodrigues
(2010), a relação entre as narrativas e a produção de significados apontados por
Bruner (1997) se remete ao fato de expressar algo que aconteceu, ou seja, uma
reestruturação de nossa mente quando vivenciamos novamente o acontecido, mas
de uma maneira diferente. Quando buscamos organizar nossas ideias formulando
nossas experiências com o mundo, somos capazes de criar estórias com começo,
meio e fim. Essas estórias dão significados às relações do indivíduo com o mundo.
[...] isso significa que o modo narrativo tem um papel relevante na construção de representação de nossa experiência de vida e na organização dos nossos contatos com o mundo. Assim, nossas estórias que expressam possibilidades, desejos, emoções, julgamentos ou relatos podem ser contrários aos fatos contados, podem estar repletos de conhecimentos implícitos (RODRIGUES, 2010, p. 38).
Bruner (2002) enfatiza que a narrativa é um dos meios pelos quais
conseguimos desenvolver nosso pensamento por meio da fala interior; ela leva o
indivíduo a imaginar suas estórias, contos, relatos, dentro de um tempo, ou seja,
essa dinâmica tem um papel importante, e serve como instrumento motivador aos
modos narrativos de pensar. Desta maneira, as narrativas se tornam presentes em
nossas vidas, assim como temos a necessidade de nos comunicar uns com os
outros por meio da fala, gestos, expressões etc.
O pensamento narrativo também possui uma importante participação na
contrução do conhecimento matemático. De acordo com Sales (2008), com o
pensamento narrativo, esforçamo-nos para colocar fenômenos matemáticos em
experiências particulares, localizando essas experiências no tempo.
Segundo Sinclair, Healy e Sales (2009), ao realizarem uma intervenção
explorando representações dinâmicas de funções utilizando papel e lápis e um
micromundo5 denominado Dynagraph6, perceberam que as narrativas podem surgir
5"Micromundo é um ambiente de aprendizagem interativa baseado no computador, no qual os pré-
requisitos estão embutidos no sistema e os aprendizes podem tornar-se ativos, arquitetos construtores de sua própria aprendizagem" (PAPERT, 1985, p. 151).
6O Dynagraph é desenvolvido em CabriGéomètre, que apresenta, na tela do computador,
representações gráficas de funções nas quais os eixos x e y são configurados
21
com mais frequência quando a atividade matemática é mediada pela dinâmica do
movimento, ao invés de representações estáticas.
Segundo Bruner (1996 apud SINCLAIR; HEALY; SALES, 2009) é preciso
voltar a atenção para o modo da narrativa, ou seja, a aprendizagem de Matemática
não pode ser caracterizada como um domínio independente do domínio das
relações lógicas; sendo assim, a narrativa concentra-se em atividades particulares
desses objetos como eles são tomados no tempo.
Para podermos identificar como Bruner (2002) associa os estilos de
pensamento, apresentamos quatro passos ou quatro características, primeiramente
delineadas por Bruner (2002) e que Healy e Sinclair (2007) identificaram em estórias
apresentadas por alunos, que tentaram dar sentido a experiências matemáticas.
1º passo: Ter uma sequência inerente: esse passo estabelece que o
pensamento seja constituído de fatos contínuos, ou seja, comandos são
ordenados, assim, se isso acontece então aquilo acontece, estabelecendo
uma relação temporal com o acontecimento.
2º passo: Ser real ou imaginário: esse passo permite que o real e o
imaginário existam ao mesmo tempo. Essa coexistência pode ser vista em
uma Matemática que começa no mundo imaginário e parte para o mundo real
ou vice-versa.
3º passo: Conexões entre o excepcional e o ordinário: tenta atribuir por
meio da narrativa conhecimentos extraordinários mais acessíveis, ou seja,
seria como encontrar uma maneira de simplificar conhecimentos ou
terminologias mais complexas.
4º passo: Ter uma qualidade dramática: essa característica, segundo
Rodrigues (2010, p. 40), “indica que as narrativas são contadas por pessoas
tentando dar sentido matemático e engajadono pensamento matemático,
caracterizadas pelos antropormorfismos e objetos matemáticos ou
inanimados”.
De acordo com Kaput e Hegedus (2004), com o software SimCalc é possível
trabalhar com movimentos de um ator que representa uma função. Como nosso
horizontalmente.Esses gráficos são dinâmicos, ou seja, a variável independente pode ser dinamicamente controlada via mouse pelo movimento de uma bolinha em uma linha numérica (eixo das abscissas), enquanto sua imagem se move paralelamente em uma linha numérica (eixo das ordenadas) permitindo uma observação do comportamento da imagem da função à medida que movemos a coordenada ao longo do eixo das abscissas (SALES, 2008, p. 48).
22
objetivo de pesquisa é analisar as narrativas produzidas e observar as reações de
estudantes de Licenciatura em Matemática diante de uma abordagem para funções
em um ambiente dinâmico, em que as funções são representadas por animações na
janela do mundo do software SimCalc, elaboramos atividades específicas para esse
fim.
Em nossas atividades de pesquisa, procuramos seguir as quatro
características delineadas por Bruner (2002), que nos ajudaram a observar e
identificar as narrativas produzidas pelos alunos ao longo das atividades realizadas.
Para isso, conforme nossas atividades propostas, conduzimos os alunos para que
pudessem estabelecer um pensamento de fatos contínuos (ter uma sequência
inerente), estipular a existência do real e do imaginário (ser real ou imaginário),
simplificar as representações mais complexas por meio das narrativas (conexões
entre o excepcional e o ordinário) e atribuir um sentido matemático por meio das
narrativas expressas nas atividades propostas (ter uma qualidade dramática).
No próximo Capítulo, apresentamos nossa revisão de literatura, na qual
trazemos pesquisas relacionadas à utilização de softwares para o ensino de função,
que abordam a utilização das narrativas (BRUNER, 2002), e que utilizam o software
SimCalc como ferramenta interativa de aprendizagem no estudo de funções.
23
CAPÍTULO II
REVISÃO DE LITERATURA
Ferrara,Pratt e Robutti (2006) classificaram as pesquisas que utilizaram
tecnologia e foram apresentadas na Conferência Internacional do Grupo de
Psicologia da Educação Matemática em algumas categorias. Neste capítulo,
apresentaremos essas categorias, classificando nelas alguns relatos de pesquisa
que encontramos e que nos pareceram pertinentes à nossa. Apresentaremos,
também, pesquisas que abordam o uso de narrativas de acordo com a teoria de
Bruner (2002), e outras que fazem uso do software SimCalc na aprendizagem de
funções.
2.1 Trinta anos de pesquisa sobre funções: diferentes abordagens
Ferrara,Pratt e Robutti (2006) fizeram um levantamento das pesquisas
apresentadas em 30 anos da Conferência Internacional do Grupo de Psicologia da
Educação Matemática (PME), e identificaram três tipos diferentes de abordagens de
como a tecnologia utilizada nessas pesquisas contribuiu para o entendimento de
funções por parte dos alunos:
Investigação sobre o uso de tecnologia como um meio simplificador, dando ênfase a um tipo de representação;
Investigação sobre o uso de tecnologia como instrumento ou mediadora, isto é, o uso que o aprendiz faz da própria ferramenta;
Investigação sobre o uso de tecnologia como integradora, com o uso de vários sistemas de representação.
Na primeira abordagem, a tecnologia pode ser usada como meio facilitador
para executar ou verificar cálculos ou plotar gráficos de funções. Por exemplo, Mesa
e Gómez (1996 apudFERRARA; PRATT; ROBUTTI, 2006) apresentaram um estudo
com base nas respostas de dois grupos de alunos sobre problemas dados em sala
de aula usando calculadoras gráficas. Os autores analisaram diferentes estratégias
aplicadas por alunos na busca por soluções, e apontaram que a tecnologia foi usada
mais para executar cálculos e plotar gráficos do que para levantar ou testar
conjecturas.
24
Moreira (2002 apud FERRARA; PRATT; ROBUTTI, 2006), ao trabalhar com
estudantes de primeiro ano de um curso superior em Gestão, também apresentou
resultados semelhantes aos de Mesa e Gómez (1996 apud FERRARA; PRATT;
ROBUTTI, 2006). Moreira (2002 apud FERRARA; PRATT; ROBUTTI, 2006) utilizou
o Excel para trabalhar problemas sobre gráficos e cálculos de função. De acordo
com esse autor, o uso das tecnologias desenvolve uma “Competência democrática”
(MOREIRA, 2002 apud FERRARA; PRATT; ROBUTTI, 2006, p.248) no contexto da
Educação Matemática, ou seja, alunos foram capazes de verificar a validade de
afirmações relacionadas a um problema quando utilizam o computador.
Outra maneira de dar ênfase a uma representação é pelo uso de dispositivos
ou por simulação de situações reais. Nesse sentido, Yerushalmy, Shternberg e
Gilead (1999 apud FERRARA; PRATT; ROBUTTI, 2006) usaram o mouse para
desenhar trajetórias de um corpo em movimento de acordo com o tempo. O objetivo
das atividades foi analisar a relação entre a ação do desenho e o gráfico de funções
matemáticas. Outras pesquisas como as de Robutti e Ferrara (2002 apud
FERRARA; PRATT; ROBUTTI, 2006) fizeram uso de sensores para relacionar
movimento com as representações usuais de funções.
Hegedus e Kaput (2003 apud FERRARA; PRATT; ROBUTTI, 2006) utilizaram
o software SimCalc, que permite simulação de situações reais envolvendo
movimento, com alunos de 16 anos, e observaram melhorias no desempenho
desses alunos, e que a utilização de recursos visuais leva a uma perspectiva de
modelagem de funções no sentido em que as funções são vistas como um meio de
explorar ou analisar o mundo real ou um comportamento simulado.
Considerando a segunda abordagem, que aponta a utilização de tecnologias
como um instrumento mediador, Ferrara,PratteRobutti(2006) apontam pesquisas em
que há comparação entre desempenhos de alunos que usam ferramentas
tecnológicas e de alunos que usam abordagens sem tecnologia. Nessa linha,
Guttenberger (1992 apud FERRARA; PRATT; ROBUTTI, 2006) comparou o
desempenho de alunos que trabalharam com funções utilizando o computador, com
o desempenho de alunos que também trabalharam com funções, mas sem a
utilização do computador. O autor aponta que os alunos que utilizaram o computador
foram mais bem-sucedidos nas atividades.
Goméz Fernández (1997 apud FERRARA; PRATT; ROBUTTI, 2006)
observou resultados com dois grupos de alunos. O primeiro grupo teve acesso a
25
calculadoras gráficas e o segundo não teve acesso a essa ferramenta. Segundo o
autor, “não foram encontradas diferenças entre os dois grupos na fase de
adaptação, mas diferenças significativas foram encontradas na fase de
consolidação” (GOMÉZ FERNÁNDEZ, 1997 apud FERRARA; PRATT; ROBUTTI,
2006, p. 254, tradução nossa).
Dagher e Artigue (1993 apud FERRARA; PRATT; ROBUTTI, 2006)
estudaram dois grupos de alunos. Um com 33 alunos, com idades entre 16 e 18
anos, e o outro com 21 alunos, com idade entre 14 e15 anos. O primeiro grupo
trabalhou com o conteúdo de polinômios enquanto o outro trabalhou com o conteúdo
de funções lineares. Os estudantes receberam um jogo, constituído por uma curva a
qual tinha que ser representada algebricamente. De acordo com os autores, foram
identificados alguns fatores relevantes que contribuíram para o processo de
aprendizagem em relação ao jogo, “bem como à forma como o recurso mediou a
aprendizagem, nesse caso em forma de ideias revolucionárias" (DAGHER e
ARTIGUE, 1993 apud FERRARA; PRATT; ROBUTTI, 2006, p. 254, tradução nossa).
Os alunos perceberam a importância de: “i) reunião de uma parábola particular. (ii)
alteração de uma representação de forma diferente e (iii) a localização de pontos
específicos” (DAGHER e ARTIGUE, 1993 apud FERRARA; PRATT; ROBUTTI,
2006, p.254, tradução nossa).
Assim como os autores alegam que o uso das tecnologias desenvolve
recursos para o aprendiz quando estão diante de situações problema, acreditamos
também que a utilização de recursos computacionais pode fazer com que os sujeitos
de nossa pesquisa desenvolvam capacidades de trabalhar com problemas que
representam funções por meio da utilização de ambientes computacionais.
Esperamos também, em nossa pesquisa, trabalhando com o software SimCalc, que
os alunos possam utilizar recursos visuais que o software oferece para compor
melhorias quanto a explorar representações gráfica e algébrica de funções, e ainda,
compreender como explorar o comportamento simulado com a função estabelecida
nas formas gráfica, algébrica e tabular.
Observamos que Schwarz e Bruckheimer (1988 apud FERRARA; PRATT;
ROBUTTI, 2006) refletem que um dos benefícios da tecnologia é permitir a
representação de função de diversas maneiras, o que caracteriza a terceira
abordagem apresentada por Ferrara,Pratt e Robutti (2006). Em uma pesquisa com
alunos de 15 anos, Schwarz e Bruckheimer (1988 apud FERRARA; PRATT;
26
ROBUTTI, 2006) utilizaram um ambiente computadorizado que apresenta
representações algébrica, gráfica e tabular de funções, para ser usado por esses
alunos na busca por soluções de problemas que envolviam tal conceito. Dois grupos
foram formados; um começou procurando resultados por meio de representações
gráficas antes de utilizar representações algébricas, e o outro grupo procurou
resultados por meio de representações algébricas antes de utilizar as
representações gráficas. A partir dessa experiência, os autores concluíram que
“focar em gráficos antes da álgebra, levou a um nível mais alto de raciocínio
funcional” (SCHWARZ e BRUCKHEIMER, 1988 apud FERRARA; PRATT;
ROBUTTI, 2006, p. 251, tradução nossa).
De acordo com os autores, esperamos que, em nossa pesquisa, possamos
verificar que a utilização das tecnologias colabora para que os alunos deem
significados para representações gráficas e algébricas de funções por meio da
representação animada proporcionada pelo software SimCalc.
Ao analisar estas abordagens levantadas por Ferrara, Pratt eRobutti (2006),
observamos a possibilidade de classificar pesquisas que tratam do ensino e da
aprendizagem de funções de acordo com elas.
2.1.1 Tecnologia como um meio simplificador
De acordo com a utilização da tecnologia com um meio simplificador,
encontramos a pesquisa de Maia (2007), que aborda a utilização de recursos
computacionais, como softwares e outros, como auxílio para a manipulação de
representações gráficas de funções de maneira mais rápida do que com papelelápis,
permitindo fazer simulações em busca de efeitos satisfatórios, e desenvolver a
capacidade de fazer previsões e questionar resultados.
A autora apresenta alguns trabalhos que tratam das dificuldades encontradas
por alunos do Ensino Fundamental e Médio que trabalham com o conceito de
função. Algumas dificuldades mais comuns foram: construção de gráficos,
conversão de representação gráfica para representação algébrica (e vice-versa);
conhecer a função por meio do gráfico; entre outras. Maia (2007) faz, também, uma
análise de livros didáticos, verificando os tipos de exercícios e de abordagens de
ensino sobre função quadrática propostos no nível fundamental e no médio,
destacando a predominância da passagem da representação algébrica para a
27
representação gráfica. Maia (2007) ressalta, ainda, que em nenhum dos livros
analisados o uso do computador é citado como ferramenta para auxílio na
construção de gráficos. Nesse sentido, Maia (2007) afirma que sua pesquisa aborda
o uso do computador na complementação do estudo de funções, utilizando um
software gráfico e o caráter lúdico para introduzir noções como intervalo e domínio
de função.
Participaram da pesquisa oito alunos de 8ª série do Ensino Fundamental e
uma professora de Matemática de uma escola particular, que ajudou nas aplicações
das atividades. Os alunos trabalharam em duplas. A autora decidiu trabalhar com os
alunos de 8ª série, porque é nesta série que comumente se introduz o conceito de
função. As atividades iniciais da sequência eram relativas à função polinomial do 2º
grau e à utilização do software Winplot. Segundo a autora, este trabalho foi
desenvolvido utilizando os princípios da Engenharia Didática, por um esquema
experimental e pelas análises a priori e a posteriori.
Para a organização da sequência didática, as atividades elaboradas por Maia
(2007) tinham como foco representações de funções quadráticas, sendo divididas
em três partes: a primeira parte corresponde a quatro atividades que visavam
introduzir a forma canônica da função quadrática, ou seja, realizar um tratamento na
escrita algébrica da função, com o intuito de observar o comportamento do gráfico.
Para a primeira atividade, foi escolhida a função na forma 2)( axxf , na qual a
constante „a‟ assumia valores diversificados atribuídos pelos alunos, para que,
assim, pudessem construir vários gráficos num mesmo plano cartesiano, objetivando
a visualização da variação do parâmetro „a‟ em relação à concavidade e à abertura
da parábola. Na segunda parte, Atividade 2, utilizou funções do tipo nxxf 2)( ,
para explorar a posição do vértice da parábola em relação ao eixo das abscissas. As
funções utilizadas na terceira atividade eram do tipo 2)()( mxxf , na qual, „m‟ e „n‟
são constantes reais que eram variadas pelos alunos, para que fosse descoberta a
posição do vértice em relação ao eixo das ordenadas. Nas Atividades 4 e 5,
tomando os conhecimentos trabalhados nas Atividades 1, 2 e 3, Maia (2007) propôs
aos alunos que trabalhassem com o software, desenhando figuras a partir de formas
determinadas por parábolas dentro de um intervalo. Finalmente, a terceira parte
corresponde à Atividade 6, na qual se pretendia que os alunos reutilizassem os
conhecimentos envolvidos nas atividades anteriores.
28
Quanto à participação dos alunos na pesquisa, a autora relata que eles se
mostraram interessados em descobrir algo novo a cada atividade da sequência; e
ainda, a dinâmica do software proporcionou aos alunos maior interação com os
gráficos e suas respectivas fórmulas, pois pareciam estar empolgados por trabalhar
com o software nas atividades e ainda mostraram agilidade no processo de
construção dos gráficos, podendo fazer uma análise consistente, e permitindo
maiores discussões, o que talvez não fosse possível realizar com lápis e papel,
devido ao tempo gasto com a construção.
Maia (2007) aponta que a utilização do software Winplot na realização das
atividades que tinham como objetivo mostrar o gráfico da função quadrática e as
modificações desses gráficos quando se realizavam mudanças na escrita algébrica
e vice-versa, teve uma grande repercussão frente aos alunos, ou seja, os alunos
conseguiam observar, por meio da dinâmica do software, as modificações nos
gráficos quando a escrita algébrica era alterada. Por exemplo, a concavidade da
parábola ser voltada para cima quando o coeficiente de 2x é positivo; a mudança
dos valores atribuídos ao parâmetro “a” na função polinomial do segundo grau
definida por 2)( axy faz com que a parábola se desloque horizontalmente no
plano cartesiano. Sendo assim, acreditamos que, com a utilização de ferramentas
computacionais, é possível que alunos se apropriem do processo de construção
gráfica e de outras atividades que necessitam do conceito de função.
2.1.2 Tecnologia como instrumento ou mediadora
De acordo com a utilização da tecnologia como instrumento ou mediadora,
encontramos a pesquisa de Reis (2011), que traz a utilização da tecnologia como
suporte para a aprendizagem do conceito de função polinomial de 1º grau, como
instrumento mediador.
Na pesquisa de Reis (2011), o autor aponta que, a partir das dificuldades
apresentadas por alunos sobre o conceito de função afim, referentes à
representação e à interpretação gráfica, propôs uma sequência de atividades, na
tentativa de estabelecer melhorias para a compreensão desse conceito.
Participaram de sua investigação 20 alunos, com média de 16 anos de idade, de
uma escola pública estadual do Estado de São Paulo.
29
Para que pudesse estabelecer uma proposta de ensino que viesse a
contribuir com a compreensão da construção e representação gráfica de funções de
1º grau, o autor propôs uma sequência de atividades dividida em duas fases. A
primeira fase foi composta por quatro blocos de atividades em papel impresso,
visando explorar o conceito de função afim, para “identificar os possíveis erros dos
alunos para auxiliar na construção do conhecimento do objeto matemático
mencionado” (REIS, 2011, p. 81). Na segunda fase, foi proposta uma sequência de
atividades composta de cinco blocos, realizadas com o uso do software GeoGebra,
na pretensão de possibilitar um avanço na aprendizagem do conceito de função.
Essas atividades “foram criadas para o desenvolvimento do raciocínio matemático,
que possibilita a construção do conhecimento e não apenas a memorização e
reprodução de técnicas de resolução em torno do conceito da função afim” (REIS,
2011, p. 73). As cinco atividades da segunda fase buscavam o auxílio do
softwareGeoGebra para possíveis reparos nos erros ocorridos nas atividades da
primeira fase. Segundo o autor, os erros apresentados pelos alunos estavam
relacionados com avaliação de função de acordo com as representações algébrica e
gráfica, coeficientes angulares e lineares que abordam respectivamente a inclinação
e a intersecção da reta com o eixo das ordenadas, conversão entre a representação
gráfica para a representação algébrica, e conceitos que abordam o zero, domínio,
imagem e sinal da função conforme sua representação gráfica.
De acordo com as considerações apresentadas pelo autor, nas atividades em
papel e lápis, da primeira fase de sua pesquisa, foi possível observar que os erros
apresentados pelos alunos aconteciam muitas vezes por falta de grande atenção
dos alunos perante o estudo de funções, e que, ao trabalhar com o auxílio do
softwareGeoGebra, na segunda fase de sua pesquisa, muitos alunos classificaram
que o auxílio do software fez com que a aprendizagem se estabelecesse de forma
dinâmica de modo que a maioria dos erros pôde ser corrigida.
Ainda de acordo com a utilização da tecnologia como instrumento ou
mediadora, encontramos também a pesquisa de Alves (2010) por meio da qual o
autor investigou a utilização de tecnologias como apoio, dinamismo e integração no
ensino e na aprendizagem para o conceito de Funções, Limites e Continuidade.
Segundo Alves (2010), é possível observar uma grande dificuldade de alunos
em trabalhar conceitos e propriedades que envolvem funções; muitas vezes, esses
conceitos são explorados por meio de definições e regras, o que faz com que o
30
aluno não tenha um posicionamento questionador, o que pode dificultar uma
construção efetiva de seu conhecimento. Para que pudesse explorar maneiras
diferenciadas para tentar atribuir melhoras tanto na aprendizagem quanto para o
ensino de tópicos relacionados àsfunções, o autor, em sua pesquisa, preparou uma
intervenção na qual foram trabalhadas atividades que abordavam não somente o
conteúdo de funções, mas também os conteúdos de Limites e Continuidade.
De acordo com Alves (2010) seus objetivos em sua pesquisa foram:
Apresentar e discutir a utilização das TIC‟s no Ensino de Cálculo como uma tendência da Educação Matemática;
Elaborar e implementar atividades exploratórias voltadas para o ensino de Funções, Limites e Continuidade em um laboratório de informática, na perspectiva da Educação Matemática no Ensino Superior;
Acompanhar e avaliar a interação dos alunos no laboratório de informática, durante o processo de ensino e aprendizagem de Funções, Limites e Continuidade (ALVES, 2010, p. 51).
Segundo o autor, realizou-se uma intervenção com alunos do 1º período de
Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP), na
disciplina de Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral. O autor contou com a
presença de 16 alunos durante todas as atividades de sua intervenção. Foram
elaboradas 10 atividades exploratórias relacionadas ao estudo de Funções, Limites
e Continuidade, utilizando-se do laboratório de informática da Universidade e
contando com o apoio do software Geogebra para o desenvolvimento das mesmas.
Além disso, as atividades foram realizadas pelos alunos participantes
individualmente, incentivando-se a discussão em duplas.
Alves (2010) afirma que, para a elaboração das atividades, foi abordada a
dinâmica dos processos de aprendizagem investigativa relacionada a funções. Nesta
perspectiva, foram elaboradas atividades que abordassem: Funções em geral
(definição, domínio, imagem etc.); Funções polinomiais de graus 1 e 2 (coeficiente,
crescimento e decrescimento, máximos e mínimos); Funções modulares (graus 1 e
2, definidas por mais de uma sentença); Funções exponenciais e logarítmicas
(crescimento e decrescimento, funções inversas); Funções trigonométricas (período,
imagem, deslocamento vertical e horizontal); Funções polinomiais (multiplicidade e
natureza das raízes); Funções racionais e algébricas (assíntotas e limites);
Existência de limites e limites laterais (identificação algébrica e gráfica); Limites
fundamentais, infinitos e no infinito e Continuidade. Segundo o autor, o objetivo
31
dessas atividades foi de investigar as contribuições da utilização do software
GeoGebra para o ensino de Introdução ao Cálculo, a partir das observações feitas
em sala de aula e das interações entre os alunos no laboratório de informática,
durante o decorrer das atividades.
Alves (2010) aponta que, após a realização das atividades no laboratório de
informática, foi aplicado um questionário para ser respondido individualmente pelos
alunos. Esse questionário foi composto por perguntas, para a avaliação das
atividades trabalhadas na intervenção. Quais foram:
Você considerou que esta atividade complementou, de alguma forma, a aula ministrada pelo professor? Justifique.
Quais seriam alguns dos principais tópicos do conteúdo trabalhado na disciplina em que a utilização de softwares educacionais pode contribuir para sua aprendizagem? Por quê?
Em quais aspectos a realização das atividades contribuíram para que você se sinta melhor preparado para utilizar as TIC‟s no estudo de Cálculo? (ALVES, 2010, p. 56).
Alves (2010) relata que foi possível observar uma experiência positiva com a
utilização das TICs no desenvolvimento das atividades de sua pesquisa, pois os
alunos não possuíam nenhuma expectativa em utilizar tecnologias para a realização
das atividades, e, após a realização de cada atividade, pode-se ver que os alunos
puderam posicionar-se e expressar a respeito das contribuições trazidas com a
utilização das TICs, que, segundo Alves (2010), foram: A possibilidade de
visualização na dinâmica gráfica das funções, a abertura para conjecturas a partir
dos gráficos das funções geradas, o ambiente dinâmico propiciado pelo software e a
mudança de postura dos alunos que passaram a demonstrar uma atitude mais ativa
e questionadora durante a realização das atividades no laboratório.
De acordo com essas manifestações apontadas pelos alunos na pesquisa de
Alves (2010), em nossa pesquisa, com a utilização de ambientes computacionais,
esperamos que os alunos possam trazer manifestações positivas, e que a utilização
das tecnologias possa favorecer o dinamismo para futuras práticas no ensino e na
aprendizagem do conceito de função.
32
2.1.3 Tecnologia como integradora
Armella, Hegedus e Kaput (2008) pretendem investigar a participação de
alunos em sala de aula mediante o uso da conectividade. Os autores procuraram
responder algumas questões para investigar como o dinamismo das tecnologias
poderia contribuir com o ensino e a aprendizagem de Matemática em sala de aula.
De acordo com os autores, o objetivo da pesquisa foi estudar novas formas de
participação que podem ocorrer quando educadores combinam em salas de aulas a
estrutura subjacente de atividades matemáticas e as interações humanas
resultantes dessas atividades.
De acordo com Armella, Hegedus e Kaput (2008), o software SimCalc fornece
e permite a utilização de uma ferramenta que possibilita que o professor controle
quem está ligado ao seu computador, utilizando comandos que autorizam escolher o
momento para pausar as atividades (animações) ou ainda permite que os alunos
enviem uma série de tentativas de animações. Esta abordagem, segundo os
autores, “possibilita que o professor se concentre em manter a atenção dos alunos
em determinadas ideias matemáticas e promova a discussão, o raciocínio e a
generalização de uma forma progressiva e pública (ARMELLA; HEGEDUS; KAPUT,
2008, p. 3)”.
Armella, Hegedus e Kaput (2008) apresentam um estudo realizado em
Massachusetts (EUA) com alunos do nono ano do Ensino Fundamental, em uma
faixa etária entre 14 e 15 anos. Nesse estudo, os autores realizaram uma
intervenção em aulas regulares de Álgebra, sobre funções lineares, inclinação de
reta e sistema de equações.
Segundo os autores, a tecnologia também está ligada àrepresentação,
conectividade, currículo e técnicas pedagógicas de formas matematicamente
significativas e relevantes. Nesse sentido, os autores, acreditando que há diferenças
nas estruturas de comunicação nas salas de aula conectadas, apresentaram três
métodos para analisar a participação dos alunos quanto ao uso da conectividade em
sala de aula. No primeiro método, os alunos, em pares, trabalharam com atividades
em que o professor, gerenciando-as por meio do recurso da conectividade, exibiu,
na janela mundo do software SimCalc, um conjunto de atores em movimentos,
definidos por funções lineares chamadas de “pontos”, e, observando as animações
desses atores, os alunos deveriam debater entre si ou com o professor sobre os
33
movimentos dos atores e as funções lineares atribuídas. Segundo eles, o objetivo
desse método foi analisar como a conectividade pode influenciar nas discussões ou
nos debates de alunos em atividade matemática, ou seja, na sala de aula conectada,
os alunos poderiam usufruir dos recursos tecnológicos para discutir a atividade
matemática proposta.
No segundo método, Armella, Hegedus e Kaput (2008) analisaram a
participação dos alunos em sala de aula, ou seja, observaram as falas dos alunos,
tendo como foco facilitar a aprendizagem de assuntos e argumentos matemáticos
discutidos em sala. Nessa análise, os autores apontam que o discurso pode trazer
resultados na aprendizagem.
Para o terceiro método, Armella, Hegedus e Kaput (2008) apontam um estudo
sobre a forma com a qual os indivíduos usam e apropriam-se de linguagens,
símbolos e categorias sociais para representar a si mesmos e a outras pessoas por
meio de uma análise localizando o fato no tempo e no espaço, chamada de
“marcadores dêiticos”. Segundo eles, utilizar uma análise com relação ao tempo e
ao espaço ajuda a observar padrões de identificação, que surgem de atividades em
sala de aula, de forma mais ampla e com conceitos matemáticos. Em um ambiente
em que as tecnologias são agregadas ao trabalho dos alunos, pode-se observar um
uso alternativo ou até mesmo semelhante de marcadores dêiticos nos trabalhos dos
alunos por meio de uma exibição ao público.
De acordo com os resultados apresentados por Armella, Hegedus e Kaput
(2008), a diferença que a conectividade faz na sala de aula é na inclusão de
estruturas de participação e na promoção do discurso e/ou debate dentro de um
espaço de trabalho. Para os autores, a utilização das tecnologias em salas de aula
deve ser feita de forma a promover melhorias no ensino e na aprendizagem. Muitas
vezes, o comportamento de professores e alunos no que tange ao ensino e à
aprendizagem não permite que se alcance o sucesso, porque não possuem um
planejamento nas atividades. Além disso, Armella, Hegedus e Kaput(2008)
acreditam que não há um tipo de atividade matemática que pode ser mais bem
trabalhada ou que pode explorar mais o uso das tecnologias; é necessário entender
como é possível trabalhar e analisar o impacto e o potencial que o uso de
tecnologias e de redes de integração promovem no aprendizado de conceitos
matemáticos em práticas de ensino sobre o desempenho do aluno.
34
Em uma pesquisa que aborda a utilização do software SimCalc em
aprendizagem de funções que representam movimento, Felipe, Lima e Frant (2012)
analisam falas de dois alunos, estudantes de primeiro ano do Ensino Médio, em uma
atividade trabalhada com o apoio do software SimCalc, com uma função que não é
usual para aqueles alunos.
Segundo as autoras, o objetivo da pesquisa foi “levantar os modos de
pensamento desses estudantes, utilizando como fundamentação teórica os modos
de pensamento propostos por Bruner (2002), o pensamento narrativo e o
pensamento paradigmático” (FELIPE; LIMA; FRANT, 2012, p. 1).
Felipe, Lima e Frant (2012) apontam que os alunos, trabalharam com três
atividades. A primeira aborda funções afins; a segunda aborda uma situação de
movimento de um carro, e, por fim, a terceira atividade apresenta uma função
definida por x
xf1
)( com 0x , que consideram desconhecida pelos alunos.
Para a primeira atividade foi pedido que os alunos analisassem o
comportamento da função quando o coeficiente angular assume valores positivos e
negativos. Na segunda atividade, abordam o movimento representado por um carro,
envolvendo uma função definida por mais de uma sentença, mais especificamente,
três sentenças compostas por funções do primeiro grau. Para a terceira atividade foi
elaborada uma animação no software SimCalc, na qual o ator, representado por um
palhaço, movimenta-se de acordo com a função x
xf1
)( com 0x . Segundo as
autoras,
Esta função foi escolhida por dois motivos. Primeiro, por ser uma função que nem sempre é apresentada ao aluno quando da introdução do conceito de função. Segundo, por seu movimento no software SimCalc ser, também, não usual. Isto é, o palhaço se movimenta lentamente no início, para, depois, rapidamente “sair de cena”, saindo da tela por um lado e reaparecendo de outro lado (FELIPE; LIMA; FRANT, 2012, p. 4).
A atividade foi aplicada após o horário de aula para dois alunos do primeiro
ano do Ensino Médio. Foi apresentada a eles a animação do palhaço no software
SimCalc. Na animação, o palhaço se movimenta no intervalo [-10, 10], e os alunos
não tinham acesso às representações gráfica e algébrica da função. Eles deveriam
construir outro ator que se movimentasse exatamente da mesma maneira que o
palhaço. Conforme observamos, as autoras buscaram observar nas falas dos alunos
35
características dos pensamentos narrativo e paradigmático. Na primeira atividade,
os alunos apresentaram em suas falas características dos modos de pensamento
paradigmático, mencionando o “coeficiente de x, da função que cresce para valores
positivos de a, e da função que decresce quando a é negativo” (FELIPE; LIMA;
FRANT, 2012, p. 5). Na segunda atividade, os alunos também utilizaram
características de pensamento paradigmático, apontando diferentes movimentos
conforme a animação do carro, principalmente aquele em que o mesmo fica parado
(função constante). Por fim, na terceira atividade, ao visualizarem o movimento do
ator na tela,
[...] os alunos tiveram duas surpresas: a lentidão do palhaço durante os primeiros instantes, e o desaparecimento dele de um lado da tela e ressurgimento do outro, bem como, a velocidade em que este último movimento ocorreu. Os passos lentos do palhaço, como se ele patinasse, foram descritos pelos alunos como “Michael Jackson dançando Moon Walker”, numa tentativa de descrever a lentidão de crescimento da função f para valores entre -1 e zero, e de decrescimento para valores entre zero e 1 (FELIPE; LIMA; FRANT, 2012, p. 4).
De acordo com os dados apresentados, as autoras consideram que o uso do
software SimCalc, juntamente com as atividades propostas apresentadas aos
alunos, trouxe importantes narrativas que contribuíram para que os alunos
pudessem entender o comportamento das funções, principalmente aquela que para
eles era desconhecida, no caso a função x
xf1
)( com 0x .
Outra pesquisa que utiliza SimCalc em atividades matemáticas ligadas ao
conceito de função e a observação dos gestos e das expressões dos alunos
mediante a análise de funções algébricas representadas nesse software foi a de
Hegedus e Rodrigues (2006) em um projeto de pesquisa.
Os autores integraram o software SimCalc em salas de aulas do Ensino
Médio que estavam estudando Álgebra. Foi criado um conjunto de atividades que
exploravam o uso e o recurso que o software SimCalc pode oferecer para contribuir
com a aprendizagem de função. Segundo os autores, cada grupo de alunos criou
uma função a partir de um critério. O domínio da função seria um intervalo [0, 6] e a
velocidade seria igual ao número de cada grupo, ou seja, o Grupo 1 criou a função
definida por f(x) = x, o Grupo 2 criou a função f(x) = 2x, e o Grupo 3 criou a função
f(x) = 3x.
36
Segundo Hegedus e Rodrigues (2006), os estudantes observaram os
movimentos dos atores cujas animações são proporcionadas pelas funções criadas.
Foram coletadas as animações criadas pelos alunos e geradas em um recurso de
”hide/show”ondetodos os alunos tiveram acesso à visualização das animações para
que, assim, pudessem discutir coletivamente as animações.
Figura 1 - Trabalho coletado dos alunos
Fonte: Hegedus e Rodrigues, 2006.
Segundo os autores, observou-se que os alunos apresentaram falas que
abordam a movimentação dos atores conforme a função algébrica e a animação
observada e, para as falas que produziam, os alunos faziam gestos com as mãos
para representar um possível tipo de movimento discutindo as famílias de funções
observadas nas animações.
2.2 O uso das narrativas
Após várias leituras de pesquisas que abordaram a utilização das tecnologias
e, ainda, trabalharam com conceito de função, com diversificados públicos alvos
37
(alunos de Ensino Médio, Fundamental ou Superior), apresentamos duas pesquisas
que chamaram nosso interesse e que vinham ao encontro do nosso objetivo, que é
analisar as narrativas produzidas por estudantes de Licenciatura em Matemática
diante de uma abordagem para funções em um ambiente dinâmico, e, ainda,
observar as reações deles quando deparados com funções representadas por
animações na janela do mundo do software SimCalc.
A primeira foi de Sales (2008), cujo objetivo foi:
[...] identificar e estudar as narrativas produzidas matematicamente, pelos estudantes em ambientes de aprendizagem que abordam funções matemáticas e investigar a contribuição de tais narrativas na construção de conhecimentos e significados matemáticos (SALES, 2008, p. 128).
Para que pudesse nortear suas ideias sobre a narrativa na aprendizagem
matemática, Sales (2008) embasou-se na teoria de Bruner (1997), investigando as
narrativas produzidas por estudantes do Ensino Médio, buscando entender como
elas podem contribuir para o aprendizado matemático, diante de uma abordagem
matemática sobre funções, utilizando um ambiente de geometria dinâmica. Como
metodologia de pesquisa, a autora utilizou Design Experiments, apontando que, com
essa metodologia, o conhecimento matemático do estudante pode ser explorado por
meio de suas interações com o meio físico e sociocultural, ou seja, pretende estudar
e tentar compreender como os estudantes falam ou fazem Matemática. Em sua
pesquisa, a autora utilizou-se de duas fases distintas. A primeira consiste no design,
e a segunda fase na experimentação do design.
A fase do design consiste na elaboração dos micromundos, o Cartesiangraph
e Dynagraph, desenvolvidos com o uso de CabriGéomètre, e apresentam
representações dinâmicas de gráficos. O interesse da autora nessa fase foi abordar
a representação gráfica da função utilizando-se da Geometria Dinâmica,
fazendo uma relação da representação gráfica de uma função com sua expressão
simbólica, ou seja, uma percepção da imagem com movimentos no gráfico. A fase
de experimentação foi dividida em dois momentos. O primeiro momento partiu da
elaboração das atividades e escolha das funções, e o segundo momento foi a
aplicação das atividades desenvolvidas no primeiro momento.
Sales (2008) salienta que, durante a coleta de dados, foram utilizadas
gravações de áudio e vídeo, e os alunos trabalharam em duplas para que
2)( xxf
38
produzissem narrativas ao descreverem o comportamento de cada função
apresentada. Ainda segundo a autora, a captação dos movimentos realizados na
tela do computador também foi fundamental para analisar as narrativas dos alunos,
mediante a produção de gestos nas funções apresentadas pela dinâmica dos
micromundos.
Para que pudesse retomar o contexto de função, Sales (2008) iniciou seus
trabalhos elaborando três fichas de atividades. A primeira dispunha de algumas
perguntas relacionadas à função, como por exemplo: “Escreva tudo que vem a sua
cabeça quando ouve falar na palavra função” (SALES, 2008, p.55). A segunda e a
terceira fichas foram utilizadas na segunda sessão de ensino, nas quais os alunos
tinham que observar e anotar os comportamentos engraçados, interessantes etc. de
cada função construída com o auxílio do software.
Segundo a autora, no primeiro momento, foram definidos quais tipos de
funções seriam apresentados na fase de experimentação e algumas atividades a
serem trabalhadas nos dois micromundos. Em relação às funções escolhidas, optou-
se por 12 funções abrangendo cinco tipos: funções afins, quadráticas, descontínuas,
que possuem assíntota e funções trigonométricas. Com essa variedade de funções,
pretendia-se possibilitar uma visão mais ampla do conceito de função, e ainda
observar seus comportamentos quando trabalhadas no Cartesiangraph e no
Dynagraph. No segundo momento, as atividades desenvolvidas foram aplicadas a
um grupo de estudantes do 1º ano do Ensino Médio, pois os alunos poderiam ter
maior liberdade para expressar suas observações, pelo fato de ainda não terem
trabalhado com esse conhecimento matemático em sua vida escolar. Segundo a
autora, foi possível perceber que os alunos sentem-se mais à vontade para fazer
seus comentários, sem preocupar-se com o rigor matemático.
Após ler e observar as reações e conclusões dos alunos, apontadas pela
autora, inspirados em sua pesquisa, procuramos, também, investigar narrativas de
alunos quando deparados com representações dinâmicas de funções. Em relação a
que público observar, decidimos que fossem alunos de um curso de Licenciatura em
Matemática, acreditando que as narrativas podem contribuir com a formação do
professor. Em nosso trabalho, procuramos observar se os modos de pensamento
narrativo ou paradigmático seriam utilizados, a partir da análise, pelos alunos, da
representação animada do software SimCalc, e se o modo paradigmático pode estar
39
mais relacionado com as atividades apresentadas do que o modo narrativo,
considerando o grau de escolaridade dos alunos pesquisados.
Outro trabalho a que tivemos acesso e que consideramos importante em
nossa revisão de literatura pelo fato de trabalhar com o conceito de função e analisar
narrativas, foi o artigo de Sinclair, Healy e Sales (2009). Vale ressaltar que esse
artigo inclui a pesquisa de Sales (2008) à qual nos referimos anteriormente, e as
atividades utilizadas foram as mesmas, porém fizeram uma comparação com outros
sujeitos pesquisados.
As autoras acreditam que a narrativa está presente na atividade matemática,
e pode servir como poderoso meio de construção de estórias que dão significados
aos objetos matemáticos envolvidos na atividade. Os objetivos delas nessa pesquisa
foram investigar e explorar como e quando alunos envolvem narrativas em
Matemática, interagindo com ambientes de geometria dinâmica. Ainda, pretendiam
examinar a questão das narrativas no uso de abordagens dinâmicas, considerando
como essas narrativas podem apoiar e enriquecer o pensamento paradigmático.
Os participantes dessa intervenção foram estudantes brasileiros do Ensino
Médio, professores brasileiros de Matemática do Ensino Fundamental e professores
canadenses do Ensino Fundamental. Para Sinclair, Healy e Sales (2009), o objetivo
dos participantes serem brasileiros e canadenses era observar e averiguar a
compatibilidade de apresentarem narrativas mesmo sendo de nacionalidades
diferentes. Outro fator em destaque foi motivado pela conjectura de que o
pensamento narrativo, segundo Bruner (1997), pode se apresentar como um fator
universal, ou seja, ela pode ser averiguada em uma mesma definição com diferentes
povos e culturas.
Sendo assim, as autoras afirmam que as representações dinâmicas de
funções geram pensamento narrativo entre os participantes. Isto se dá na ideia que
a narrativa surge do desejo de narrar eventos que acontecem de acordo com o
tempo entre as representações dinâmicas das funções. Além disso, o pensamento
narrativo pode ocorrer no contexto da atividade matemática.
As autoras observaram que, ao trabalhar com as representações estáticas de
funções, os professores brasileiros se mostraram entusiasmados para reconhecerem
cada função. Assim, imediatamente, foram identificadas as funções quadráticas e
afins, mas nenhum deles em suas descrições mencionou o domínio e as relações de
dependência entre pontos e suas imagens. Ainda, ao longo das atividades, os
40
professores pareciam focados na identificação dos gráficos, e atribuíram
principalmente o modo paradigmático de raciocínio. Outro ponto relevante
observado pelas autoras da pesquisa foi que estudantes brasileiros do Ensino
Médio, ao analisarem a correspondência existente entre x e y, passaram a atribuir
nomes nas funções, como por exemplo: “funções locomotivas” em que o ponto x era
o motor que era empurrado ou puxado ao longo das carruagens do trem.
Um exemplo de narrativa, ao explorar a função x
xxo1
)( , contada por um
aluno de 15 anos, chamou a atenção dos pesquisadores. Assim disse:
[...] dois exploradores tentando chegar ao centro da terra, movendo-se da direita para a esquerda, de modo que se aproxima de zero, estando quase lá, quando de repente um deles é jogado para trás por meio de uma força magnética[...]ele é enviado em uma ida e volta do universo passando por um buraco negro, quando de repente surge do inferno[...]e eles se encontram novamente aqui (SINCLAIR; HEALY; SALES, 2009, p. 449, tradução nossa).
Segundo as autoras, essa narrativa foi a mais elaborada, evidenciando as
características determinadas por Bruner (2002). Deste modo, o mais impressionante
para as autoras é o fato de que os narradores com formações diferentes e de
diferentes países evocam contextos e metáforas semelhantes na interpretação dos
gráficos dessas funções.
Ao trabalhar no contexto da aprendizagem de funções, as autoras trazem que
o pensamento narrativo produziu um pensamento paradigmático nos participantes
ao trabalharem com as representações dinâmicas e que as narrativas utilizadas
como metáforas nas estórias também mostram um significado matemático.
Assim como Sinclair, Healy e Sales (2009), procuramos observar as
narrativas de alunos, mediante a utilização do software SimCalc, e de acordo com os
modos de pensamento “narrativo” e “paradigmático” observar que tipo de
pensamento os alunos apresentarão.
Passamos, no capítulo seguinte, a apresentar a metodologia que utilizamos
para desenvolver nossa pesquisa, desde o local de estudo até a escolha dos
sujeitos para a intervenção.
41
CAPÍTULO III
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Neste capítulo apresentamos os procedimentos metodológicos da pesquisa,
realizados com o intuito de atingir nosso objetivo de analisar as narrativas
produzidas por estudantes de Licenciatura em Matemática diante de uma
abordagem para funções em um ambiente dinâmico, e, ainda, observar as reações
deles quando deparados com funções representadas por animações na janela do
mundo do software SimCalc.
Esta pesquisa foi realizada em cinco sessões, com duração de
aproximadamente 90 minutos cada, nas quais os alunos trabalharam com um
conjunto de atividades elaboradas por nós (ver Apêndices C, D, E, F e G), realizadas
no laboratório de informática da Universidade. Com essas atividades, pretendíamos
que os alunos analisassem os movimentos dos atores no software SimCalc, para
que pudéssemos observar as narrativas usadas por eles ao se depararem com essa
situação.
Um fator importante a destacar é que, após a realização da primeira e da
segunda sessãode pesquisa, houve um intervalo de aproximadamente cinco meses
de interrupção da intervenção, para que pudéssemos reavaliar e reestruturar nossas
atividades de pesquisa para as próximas sessões, de forma a refletir sobre as
sugestões propostas em nosso exame de qualificação. Esse intervalo foi longo por
ter incluído tempo de férias escolares em dezembro e janeiro. Deste modo, ao
retomarmos as atividades de coleta de dados, observamos uma diminuição de
participação por parte dos alunos após a segunda sessão, o que nos leva a crer que
este fato esteja associado ao intervalo de interrupção das sessões.
3.1 Local do estudo e ética da pesquisa
A pesquisa foi realizada com alunos do segundo período do curso de
Licenciatura em Matemática de uma universidade particular localizada no sul de
Minas Gerais.
A escolha da universidade se deu por se tratar de uma universidade que
oferece, dentre os diversos cursos de graduação existentes, o curso de Licenciatura
em Matemática, por fazermos parte dessa instituição como professor, e também por
42
termos obtido consentimento por parte do coordenador do curso para a realização
da pesquisa.
Aos alunos do curso de Licenciatura em Matemática foi apresentado o termo
de consentimento livre e esclarecido (ver Apêndice A), por meio do qual foram
esclarecidos os objetivos da investigação e os direitos deles durante a pesquisa.
Apresentamos também, aos alunos, o termo de autorização de uso de imagens e
depoimentos (Apêndice B), para que pudéssemos, de acordo com os termos éticos,
usufruir das gravações de áudio, vídeo e dos depoimentos dos alunos investigados
em nossa pesquisa.
3.2 Sujeitos
Para realizar esta pesquisa, convidamos todos os 22 alunos matriculados no
primeiro ano (2º período) do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade,
que aderiram por livre participação.
3.3 Coleta de dados
Para a coleta de dados utilizamos câmeras filmadoras e gravadores de áudio,
para que pudéssemos coletar as falas dos alunos para analisá-las segundo os
modos de pensamento de Bruner (1997), e também para saber qual movimento eles
analisavam no momento em que utilizaram narrativas ou modo paradigmático de
pensamento. Contamos com o apoio de duas câmeras para capturar o áudio e
imagens dos alunos. Uma focando as expressões faciais e gestos e a outra focando
a tela do computador.
Para que possamos investigar as narrativas de alunos de Licenciatura em
Matemática quando deparados com representações de funções nas formas
algébricas, gráficas ou animadas, em um ambiente dinâmico, enfatizamos a
importância do software SimCalc como recurso para a coleta de dados de nossa
pesquisa, pela possibilidade de visualização de diversas representações de funções.
43
3.4 O software SimCalc
Para que pudéssemos observar as possíveis narrativas dos alunos mediante
as atividades propostas em nossa pesquisa, escolhemos como ferramenta
computacional o software SimCalc7. Apresentaremos algumas ferramentas,
proporcionadas pelo software, que consideramos fundamentais, e que são utilizadas
nas atividades deste trabalho.
O software SimCalc foi desenvolvido por Dr. James J. Kaput da Universidade
de Massachusetts, no final da década de 1980. Com ele, é possível manipular
gráficos e expressões algébricas e, de acordo com a função estabelecida no
software, é possível observar, em uma janela denominada “Mundo”, a
movimentação de um ator que representa esta função com um movimento em
relação ao tempo.
Ao abrir o software (Figura 2), o usuário se depara com quatro janelas: World
(Mundo), Position (posição), Tabela e Função.
Figura 2 - Tela inicial do software SimCalc
7Pelo fato de não ser gratuito, o usuário pode disponibilizar de uma versão do softwaredisponível no
sitewww.kaputcenter.umassd.edu, durante um período de 30 dias.
44
A janela “Função” (Figura 3) nos permite trabalhar com a lei algébrica da
função e com o intervalo do domínio em que ela está definida, os quais podem ser
estabelecidos a critério do usuário.
Figura 3 - Janela da lei algébrica da Função
Na janela “Tabela” (Figura 4), podemos observar a relação entre o tempo
(marcado por um cronômetro) e a posição do ator, de acordo com a função e o
intervalo estabelecido. A construção da tabela é feita automaticamente, ou seja, os
valores da coluna “Time” (tempo) e “Teacher – pos” (posição do ator) são
preenchidos conforme a função escolhida e o intervalo determinado para o domínio.
Figura 4 - Janela da Tabela
45
Na janela denominada “Mundo” (“World”) (Figura 5) observa-se a imagem de
um ator, no caso da Figura 4, um peixe. O papel do ator é de se movimentar,
conforme a função estabelecida no software, em relação à variação do tempo. É
este que chamamos de ambiente animado. Na janela do Mundo, também podemos
representar vários atores (Figura 6).
Para nossa pesquisa, pretendemos, com a representação deste ambiente,
propor ao aluno que seja feita, por meio da observação da movimentação do ator,
uma possível representação (esboço) do gráfico da função.
Figura 5 - Janela do Mundo
Figura 6 - Representação de vários atores no Mundo
Na janela “Position” (posição) (Figura 7), observa-se o gráfico associado à lei
algébrica da função escolhida. Podemos também observar, no gráfico, quando
colocamos o ator em movimento, uma marca de cor diferente dacordo gráfico da
função é apresentada e também uma reta perpendicular ao eixo “Time” (Seconds)
(Tempo). Essa cor e essa reta perpendicular mostram a movimentação do ator
conforme a variação do tempo em relação à sua posição.
46
Figura 7 - Janela Position
Há, ainda, na parte inferior da tela, a janela de Animação (Figura 8). Nesta
janela, há um cronômetro marcando a variação do tempo, segundo o intervalo em
que a função está definida. Quando o botão (play) é pressionado, o ator começa
a se movimentar e o cronômetro dispara, fazendo a marcação do tempo.
Figura 8 - Janela de Animação
Outro comando do software é a criação de um ator (Figura 9). Quando nos
referimos a “criar ator”, estamos nos referindo a fazer com que seja apresentado um
ou mais atores8 na janela “Mundo”, que se movimentam de acordo com a função
escolhida.
8Esses atores são representados por peixes, homens, carros, elevadores, foguetes, robôs etc.,
disponibilizados pelo software SimCalc.
47
Ao clicarmos em “criar ator” (Figura 9), aparecem pequenas figuras de
gráficos ( ) que determinam o tipo de função que o ator
representará.
As figuras são: criar ator linear definido por várias sentenças ( ), criar ator
quadrático definido por várias sentenças ( ), criar ator linear paramétrico ( ),
criar ator quadrático paramétrico ( ), criar ator periódico paramétrico ( ) e criar
ator exponencial paramétrico ( ). Assim, podemos criar um ator quando
escolhemos um dos comandos representados pelas figuras de pequenos gráficos
( ), e, ainda, podemos criar um ator por meio da opção
“criar expressão da função ator” ( ). Dessa forma, pode-se criar a função
desejada, ou seja, é possível criar diversificados tipos de funções como, por
exemplo, função quadrática, modular, exponencial, logarítmica, entre outras.
Quando inserida a função desejada na janela “Função”, automaticamente o software
cria o ator, insere o gráfico e preenche a tabela de valores.
Figura 9 - Criação de um ator no software SimCalc a partir da lei algébrica da função
48
Outra característica que também consideramos importante do software
SimCalc é o comando da conectividade, conforme mencionado por Armela et al.
(2008). Quando os computadores utilizados estão conectados em rede, o professor
pode enviar uma atividade para os alunos, e coletar o trabalho deles de volta,
podendo apresentar essa coletânea de trabalhos para que, juntos, o grupo de aluno
possa analisar e discutir os resultados das atividades realizadas.
Para utilizar essa ferramenta de conectividade, é preciso instalar o programa
com licenças diferentes para o professor e para o aluno, o que faz com que o
software do professor tenha o comando de “Gerenciador de sala de aula” (Figura
10).
Figura 10 - Ferramenta “Gerenciador de sala de aula”
Com esse recurso, o computador do professor é conectado ao dos alunos
selecionando o comando “Ferramentas” e, em seguida,“Conectar” (Figura 11).
49
Figura 11 - Barra de ferramentas – opção conectar
A/o selecionarem esse comando, aparece uma janela descrita “Conectar à
sala de aula” (Figura 12), para inserção do número de IP e nome de usuário.
Figura 12 - Janela “conectar à sala de aula”
50
Aparecerá uma figura de um boneco com o sinal positivo descrito “Adicionar
Aluno” (Figura 13).Clicando, automaticamente o programa gera o nome de usuário e
cria um número para o IP da sala de aula. Cada aluno deve inserir um nome de
usuário, e o número de IP, para que o professor possa gerenciar as atividades.
Para o envio de atividade proposta pelo professor, é necessário clicar no
botão ( ) localizado na parte inferior do lado direto da janela “Gerenciador de sala
de aula”, e todos os alunos terão a atividade proposta pelo professor em sua própria
tela.
Figura 13 - Coleta do número de IP e Nome de usuário por meio da Janela “Gerenciador de sala de aula”
Após o envio e realização das atividades, o professor pode pedir para que os
alunos as enviem ou pode também coletá-las. Ainda na janela “Gerenciador de sala
de aula” é possível observarmos outros comandos que podem ser utilizados nas
atividades propostas para análise, votação, remover aluno, adicionar ou remover
grupo etc.
O software SimCalc será utilizado em todas as cinco sessões de nossa
pesquisa. Pretendemos que os alunos possam conhecer e manusear comandos que
permitem fazer com que observem as principais representações de funções como:
algébrica, gráfica e tabular, e ainda, a representação do “Mundo”, que é a
representação para a qual daremos maior ênfase nas atividades de nossa pesquisa.
51
Para a primeira sessão, utilizaremos a ferramenta de construção gráfica “criar
expressão da função ator” ( ) para que os alunos possam inserir a lei algébrica
das funções,que escolhemos para este início. Nesta sessão, temos como principal
foco a observação dos alunos ao lidarem com a lei algébrica e com a animação das
funções representada na janela “Mundo”. Na segunda e terceira sessões, será
utilizada a janela “Mundo” para que os alunos possam relatar, da forma que
quiserem, o movimento do ator, e ainda, tentarem relacionar características dos
movimentos com algum tipo de lei algébrica que pode ser representada. Na quarta
sessão, utilizaremos novamente a janela “Mundo” para apresentar atores; em
seguida, os alunos utilizarão as ferramentas de construção de funções para criar um
novo ator, cujo movimento seja o mesmo movimento apresentado. Na última sessão,
os alunos utilizarão as ferramentas de criação de atores
( ) para fazer a animação de uma estória que será
contada. Deste modo, observarão a animação na janela “Mundo”. Ainda na quarta e
quinta sessões, utilizaremos o recurso da conectividade disponível no software
SimCalc, para que possamos coletar e discutir as animações realizadas pelos
alunos.
3.5 A escolha das funções e a elaboração das atividades
Para iniciar as atividades propostas nesta investigação, procuramos definir
quais funções seriam estudadas, de forma a direcionar o aluno para a observação
das animações das funções representadas na janela do “Mundo” do SimCalc, e
nossa atenção para as falas dos alunos participantes durante toda a intervenção.
Foram apresentadas aos alunos, nas atividades de pesquisa, funções
polinomiais de primeiro, segundo e quarto graus, funções exponenciais, função
seno, função definida por mais de uma sentença e uma função racional para que,
assim, se obtivesse um movimento diferente, durante a visualização da animação do
ator com o uso do software SimCalc. Procuramos, com as escolhas feitas, explorar
alguns tipos de funções que estão mais presentes nos estudos dos alunos do curso
de Licenciatura em Matemática, conforme a ementa apresentada na disciplina de
Cálculo Diferencial e Integra I e II (1º e 2º período) que aborda o estudo de funções,
e, ainda, que podem ser encontrados em livros didáticos do Ensino Médio.
52
3.5.1 Primeira sessão
Para a realização de nossas atividades, procuramos, num primeiro momento,
fazer uma breve apresentação do software SimCalc (assim como apresentado no
Capítulo 3). Para isso, fizemos, no laboratório de informática da Universidade, com
alunos do segundo período do curso de Licenciatura em Matemática, uma exposição
do software SimCalc. Iniciamos essa exposição explanando a criação do software, a
utilização dele para a construção de gráficos e expressões algébricas e a
visualização das janelas, que utilizamos nas atividades de nosso estudo, e
entregamos a eles uma folha com algumas informações e atividades (Apêndice C).
Em seguida, foram propostas atividades que auxiliassem os participantes
desta investigação a interagir com o software e a criar atores a partir de
representações algébricas e gráficas e, principalmente, com comandos que
permitissem construção e visualização dos atores na janela do Mundo.
Atividade 1 proposta é apresentada no Quadro 1.
Quadro 1 - Atividade 1 apresentada aos alunos participantes da pesquisa
1) Abra o software SimCalc. Em arquivos diferentes, faça e observe
a animação realizada pelo ator para as seguintes funções.
a) 1)( xxf
b) 7)( 4 xxf
c) xxf 5)(
d) x
xfx 13
)(
e) 1,0
)sin()(
xxf
Com esta atividade, tínhamos por objetivo que os alunos utilizassem o
software SimCalc, especificamente na criação de atores a partir da lei algébrica de
uma função, com o uso da ferramenta “criar expressão da função ator” ( ), que
53
xxf 5)(
permite construir qualquer tipo de função, e ainda observar se esses alunos as
construiriam com outros comandos proporcionados por SimCalc.
A escolha das funções apresentadas no Quadro 1 se deu pelo fato de a
sessão tratar de familiarização dos participantes com o software SimCalc. A tentativa
foi eleger algumas, da grande diversidade de funções que usualmente são
trabalhadas em cursos de Licenciatura em Matemática na disciplina de Cálculo
Diferencial e Integral.
Para iniciar os trabalhos desta sessão e para compor o quadro de funções
dessas atividades, resolvemos escolher uma função polinomial de primeiro grau
(função afim), definida por f(x) = x + 1 por ser uma função de maior conhecimento
dos alunos, conforme apresentado pelo professor da disciplina de Cálculo, que
trabalha com esse conceito em suas aulas e pela sua construção poder ser efetuada
com o comando “criar ator linear paramétrico” ( ), ou ainda, inserindo a lei
algébrica da função pelo comando “criar expressão da função ator” ( ). A
representação animada dessa função no software mostra o ator se movendo com
uma aceleração constante de acordo com o tempo.
Para a segunda atividade, foi escolhida a função 7)( 4 xxf por se tratar de
uma função polinomial do quarto grau, que apresenta um movimento diferente, pelo
ator no software, daquele da primeira função trabalhada. Essa atividade objetivou
propiciar que os alunos observassem o comportamento dessa função menos
conhecida, numa tentativa de que eles compreendessem melhor como o movimento
do ator se relaciona com a função. Neste caso, na medida em que o tempo passa, o
movimento do ator decresce e, depois, aos poucos, cresce. Para que essa animação
pudesse ser observada, propomos aos alunos que colocassem um intervalo
pequeno no domínio da mesma.
A função exponencial foi proposta para que os alunos tentassem
construí-la utilizando a ferramenta “criar ator exponencial paramétrico” ( ). A
função exponencial também faz parte dos estudos dos alunos no curso de
Licenciatura em Matemática, mas, ao representá-la em sua forma gráfica, eles
54
teriam um novo tipo de situação referente ao movimento apresentado pelo ator, um
movimento em que o ator começaria a trajetória devagar e, de repente,
desapareceria do campo de visão estabelecido, pois a velocidade dele aumenta
rapidamente.
Para a escolha da quarta função, a pretensão foi atribuir uma forma que
proporcionasse um movimento inesperado do ator. Deste modo, atribuímos, então,
uma função racional definida por x
xfx 13
)(
, cuja representação gráfica é
apresentada na Figura 14.
Figura 14 - Representação gráfica da função x
xfx 13
)(
, estabelecida
na janela “position” do software SimCalc
A quinta e última função selecionada para esta atividade foi a função
1,0
sin)(
xxf , uma função cujo gráfico (Figura 15), e, consequentemente, o
55
movimento realizado pelo ator, fossem diferenciados das outras funções
apresentadas. Quando a função seno é inserida no software SimCalc, a
representação animada mostra o ator se movimentandode um lado para o outro,
movimento esse que, acreditamos, pode gerar diferentes tipos de narrativas por
parte dos alunos. O fato dea função estar dividida por 0,1 deve-se à ampliação do
intervalo da curva senoide no eixo vertical, para que se possa melhor visualizar o
gráfico e também a movimentação do ator noSimCalc.
Figura 15 - Representação gráfica da função 1,0
sin)(
xxf , estabelecida
na janela “position” do software SimCalc
3.5.2 Segunda sessão
Na primeira sessão os alunos trabalharam na criação de atores que
representassem as funções descritas anteriormente, de forma a se familiarizarem
com o software e com as ferramentas de criação de atores. Já na segunda sessão
pretendíamos que os alunos, utilizando as mesmas funções, descrevessem o
comportamento do ator no mundo. Esperamos que, após terem trabalhado com a
56
construção de funções a partir de representações algébricas e gráficas na primeira
sessão, e, principalmente, com os comandos que permitem a construção e
visualização dos atores no mundo, os alunos pudessem começar a apresentar suas
narrativas, por meio da visualização do movimento dos atores no mundo para cada
função proposta. Resolvemos escolher as mesmas funções com os mesmos
objetivos, atribuídos na primeira sessão, pois acreditamos que, uma vez que as
representações animadas já tenham sido criadas, as narrativas podem começar
mais espontaneamente.
Quadro 2 - Atividade 2 apresentada aos alunos participantes da pesquisa
Observe a animação dos atores com sua respectiva função. Usando
sua criatividade, anote para cada função o comportamento do ator
realizado na animação.
a) 1)( xxf
b) 7)( 4 xxf
c) xxf 5)(
d) x
xfx 13
)(
e) 1,0
)sin()(
xxf
Para esta sessão, temos como objetivo coletar, na medida do possível, todas
as falas, indagações, discussões (narrativas) dos alunos mediante aanimação feita
pelo ator em cada função representada.
3.5.3 Terceira sessão
Nesta sessão apresentamos aos alunos participantes desta pesquisa alguns
tipos diversificados de animações. Nosso objetivo é que os alunos, ao analisarem o
movimento do ator, descubram características da lei algébrica da função, tentando
relacionar o movimento com o tipo de função que é representada por ele, para que,
assim, utilizem as falas como suporte para essas representações. Desta forma não
57
pretendemos que eles encontrem a lei algébrica específica para a função, mas sim
características que possam ser relacionadas com um tipo de lei algébrica.
Escolhemos quatro animações diferentes. Cada animação está associada a
um tipo diferente de função. As funções escolhidas para esta sessão foram: função
polinomial do segundo grau definida por 2)( xxf , função exponencial definida por
xxf 2)( , função definida por várias sentenças 6
86,152
3
3,51183
30,
)( 2
xsex
xsexx
xsex
xf
e uma função racional definida por x
xf10
)( .
Nesta sessão pretendíamos apresentar, por meio das animações do software,
formas diferentes e semelhantes das funções apresentadas na sessão anterior, pois
acreditamos que, após a realização da primeira e da segunda sessão, os alunos
poderiam compreender melhor a animação feita pelo ator no software, e poderiam
ter menores dificuldades de tentar encontrar as leis algébricas das funções
relacionadas aos movimentos dos atores.
A opção pelas leis algébricas específicas de cada função apresentada nesta
sessão surgiu de acordo com a escolha da representação gráfica e animada do ator
no software. Decidimos escolher funções que não fossem nem tão conhecidas e
nem tão desconhecidas pelos alunos, ou seja, pretendíamos apresentar algumas
funções diferentes e outras semelhantes das que já havíamos trabalhado em
sessões anteriores, e sendo assim, escolhemos as funções do segundo grau,
exponencial, definida por várias sentenças e racional.
Para compor a representação da lei algébrica de cada função determinada,
primeiramente escolhemos alguns comandos apresentados pela ferramenta “criar
ator” disponível no software, e, em seguida, apenas modificamos os gráficos
gerados por esses comandos: criar ator linear definido por várias sentenças ( ),
criar ator exponencial paramétrico ( ) e criar ator linear definido por várias
sentenças ( ). Assim, as leis algébricas de cada função surgiram.
Vale destacar que, nesta atividade, as funções representadas pela animação
do software SimCalc foram apresentadas aos alunos em um arquivo pronto, e a
58
representação gráfica delas não é visível no arquivo; ela só está apresentada nos
quadros abaixo para que seja possível ao leitor observar os gráficos.
Quadro3 - Arquivo 1 – gráfico representado pela função f(x) = x²
Observe a animação da representação geométrica das funções seguintes, apresentadas no software SimCalc. Anote comportamentos pertinentes, interessantes, engraçados (assim como feito na sessão anterior) apresentados pela animação dos atores no software SimCalc. Utilizando as estratégias e os conhecimentos adquiridos tente descobrir que tipo de função (1º grau, 2º grau, constante, ..., ou ainda algumas características, qualidades que as classificam) cada animação representa.
Essa função pode ser representada pela lei: ___________________________
Quadro 4 -Arquivo 2 – gráfico representado pela função f(x) = x2
Essa função pode ser representa pela lei: ______________________________
59
Quadro5 - Arquivo 3 - representado pela função 6
86,152
3
3,51183
30,
)( 2
xsex
xsexx
xsex
xf
Essa função pode representa por: ______________________________________
Quadro6 - Arquivo 4 – gráfico representado pela função f(x) = x
10 .
Essa função pode representa por: ___________________________________
60
A primeira função, f(x) = x², foi escolhida por ainda não termos usado uma
função polinomial de segundo grau nas sessões anteriores. Além disso, ela
apresenta uma forma diferente de animação daquelas já vistas pelos alunos durante
o desenvolvimento desta sessão e das anteriores. O movimento do ator que
representa esta função inicia-se a uma velocidade e conforme o tempo passa, aos
poucos, sua aceleração vai diminuindo até que, de repente, o sentido do movimento
muda e o ator volta ao ponto de origem de sua trajetória.
Procurando uma função cujo ator relacionado a ela fizesse algum movimento
em que a velocidade aumentasse rapidamente, fazendo-o sumir da tela quando o
intervalo do domínio fosse maior que o campo de visualização, escolhemos a função
f(x) = 2x.
Continuando nossa escolha para compor o quadro de funções para esta
sessão, decidimos estabelecer uma função definida por mais de uma sentença
definida por: 6
86,152
3
3,51183
30,
)( 2
xsex
xsexx
xsex
xf .
A obtenção dessa função se deu quando nos lembramos da apresentação de
algumas atividades trabalhadas no software SimCalc, durante a aula da disciplina
“Educação Matemática e a integração de novas tecnologias” no Mestrado. Numa
atividade apresentada, achamos interessante o comportamento feito pelo ator com a
animação, pois ele pode fazer um movimento de ida e volta, fazendo algumas
alterações de velocidade e/ou de aceleração durante o percurso. Sendo assim, a
atividade durante a disciplina nos instigou a apresentar uma função desse tipo, como
a proposta em nossa sessão, com a qual esperamos que os alunos possam
perceber que se trata de uma função definida por várias sentenças.
A escolha da função x
xf10
)( deu-se quando pensamos em algo um pouco
diferente das funções que apresentamos. Construímos diversificados tipos de
funções, até que observamos, em uma das animações feitas, um movimento em que
o ator desaparece por um lado da tela e aparece em outro. Foi então que
escolhemos a função x
xf10
)( . Ficamos pensando qual seria a reação dos alunos
61
mediante esse fato. Que tipos de falas (narrativas) poderiam ocorrer com essa
função, acarretando-nos a escolha da mesma.
3.5.4 Quarta sessão
Nesta sessão pretendíamos que os alunos criassem atores que
reproduzissem o mesmo movimento de atores apresentados no ambiente Mundo do
software SimCalc.
Nosso objetivo nesta sessão foi verificar as estratégias que os alunos
utilizariam para a construção de outro ator ao tentarem reproduzir o movimento
apresentado, pois acreditamos que, com o movimento do ator, os alunos gerariam
narrativas, e, a partir dessas narrativas e da observação do movimento dos atores
no Mundo, construiriam o ator.
Para reproduzir a animação, os alunos teriam que analisar o movimento do
ator e determinar quais características tem o gráfico que é compatível com a
animação apresentada, para que, consequentemente, pudessem estabelecer
características da lei algébrica da função representada pela animação. Para esta
sessão, ocultamos as janelas “Position”, “Função” e “Tabela”, deixando visível
somente a janela do Mundo. Para a reprodução do movimento, os alunos poderiam
utilizar qualquer das ferramentas de construção que achassem pertinentes.
Como não há possibilidade de apresentar o ator em movimento nas figuras
abaixo, apresentaremos a tela do SimCalc com a janela do Mundo e a janela
“Position”, para que o leitor possa refletir sobre o movimento que o aluno verá na
tela do computador.
Para a primeira animação (Figura 16) tivemos uma função formada por mais
de uma sentença, sendo:
868
628
204
)(
xsex
xse
xsex
xf .
62
Figura 16 - Função formada por mais de uma sentença – animação e representação gráfica
Na segunda animação (Figura 17) tivemos uma função polinomial do segundo
grau cujo movimento do ator seja realizado por meio da lei algébrica
44)( 2 xsexxf .
Figura 17 - Função polinomial de segundo grau – animação e representação gráfica
63
E para a terceira e última animação (Figura. 18) mantivemos a função
exponencial formada pela lei algébrica 1002)( xsexf x .
Figura 18 - Função exponencial – animação e representação gráfica.
Resolvemos escolher animações que representassem as funções
apresentadas nas figuras acima, devido a uma breve apresentação do SimCalc que
fizemos na época em que decidimos trabalhar com esse software. Estávamos
apresentando o programa para alguns alunos do curso de Licenciatura em
Matemática (que não foram sujeitos desta pesquisa) durante um intervalo das aulas
de graduação, quando, ao mostrarmos algumas animações que representavam
funções polinomiais do segundo grau, definidas por várias sentenças, linear,
exponencial etc., alguns daqueles alunos começaram a expor comentários
referentes às animações, trazendo à tona narrativas interessantes, e acreditamos
que isso poderia se repetir.
Quando ao perguntar para os alunos, após os comentários referentes ao
movimento dos atores na janela Mundo do software SimCalc: “Que tipo de
representação algébrica da função está associadoacada animação”? Observamos
que, para algumas animações os alunos conseguiram associar o movimento do ator
64
com a lei algébrica da função. Por exemplo, uma animação em que o ator tinha seu
movimento constante, representado por uma lei algébrica caracterizada pela função
baxxf )( , alguns alunos disseram que “o bichinho colocou uma marcha forte e
seguiu em frente”, e, logo em seguida complementaram dizendo que essa animação
tem características de uma função de primeiro grau. Para outras animações, os
alunos não disseram nada.
Ao não dizerem nada, acreditamos que os alunos possam ter alguma
dificuldade em associar as animações apresentadas com a lei algébrica dessas
animações. Acreditamos também que essas dificuldades possam estar relacionadas
à falta de estudo desse conceito no Ensino Médio ou até mesmo no Ensino Superior,
pois após perguntarmos diretamente para alguns alunos sobre o conhecimento
desse tipo de função, eles disseram que o conceito de função e a representação
gráfica delas não foram tão trabalhados em seus estudos no Ensino Médio, e que
ainda estavam começando a vê-las e estudá-las no Ensino Superior, visto que os
alunos estavam no primeiro período do curso de Licenciatura em Matemática. Dessa
forma, o principal motivo pela escolha das animações que representam essas
funções foio comentário feito por aqueles alunos sobre as animações que
apresentamos. Escolhemos as três animações de funções para as quais aqueles
alunos apresentaram algum tipo interessante de narrativa, percebendo
características da lei algébrica que as representam.
Para a função formada por mais de uma sentença, sendo:
868
628
204
)(
xsex
xse
xsex
xf , o comentário de alguns alunos foi: “[...] esse bichinho
está maluco e não sabe para onde ir, ele vai pra frente, fica parado e vai pra trás,
acho que ele está perdido!” Para a função polinomial do segundo grau definida por
44)( 2 xsexxf , tivemos como comentário feito por alguns alunos:
“Nossa... esse bichinho está sem forças de continuar o seu caminho... ou está com
medo de alguma coisa, acho que é por isso que ele está voltando”. Para a função
exponencial definida por 1002)( xsexf x , o comentário apresentado foi: “O
rapazinho está com pressa de chegar a sua casa, parece que seu elevador é um
foguete”.
65
3.5.5 Quinta sessão
Após a realização das quatro sessões de ensino, na nossa quinta e última
sessão, pedimos aos alunos que, a partir de uma breve estória proporcionada por
nós, elaborassem uma animação, usando sua criatividade, com um ou mais atores,
que representassem a estória dada. O objetivo desta sessão foi averiguar qual
estratégia os alunos utilizariam para montar a animação. Por exemplo, os alunos
poderiam utilizar alguma conexão com a estória apresentada e formas gráficas para
compor a animação.
A primeira estória que apresentamos foi:
“O peixe pai saiu com o peixe filho para passear. Ele estava contando para o filho
que o fundo do mar era perigoso e que não poderia sair sozinho, mas mesmo assim,
o filhinho insistiu para que o deixasse sair sozinho, e o pai deixou para provar que
realmente era perigoso. O pai parou, deixando o filho nadar sozinho, e assim, o
peixinho filho foi. Chegando até certo local, o pai avistou o filhinho voltando, pois o
filhinho percebeu que era muito pequeno e perigoso para nadar sozinho. Então, eles
foram nadando e conhecendo o mar juntos”.
Para a segunda estória, temos:
“Foi dada a largada. Três competidores na pista de corrida, cada um com o seu
carro tentando cruzar a linha de chegada. Impressionante, o carro A não saiu do
lugar, enquanto que os outros dois estão lado a lado, na disputa. De repente o carro
A sai em disparada e passa os outros dois carros. O carro B para, parece que
quebrou! e o carro C tenta se aproximar do carro A. Mas, sem explicações, o carro B
dispara e ultrapassa os carros A e C cruzando a linha de chegada”.
O motivo da escolha pela primeira estória apresentada se deu quando
tivemos a oportunidade de mostrar uma animação realizada com dois atores no
software SimCalc a uma aluna do curso de Licenciatura em Matemática de um
período diferente ao que estamos realizando nossa intervenção. Achamos
interessante e bem criativa a narração dela, mencionadano parágrafo anterior, com
66
o acontecimento do fato. Por isso, resolvemos apresentar a narração para que os
alunos possam criar a animação.
O objetivo de escolha da segunda estória aconteceu quando assistindo a um
desenho animado, na televisão, chamado “Corrida maluca9” pensamos em associar
essa corrida com alguma representação animada no software SimCalc. Enquanto no
desenho são doze competidores, em nossa estória atribuímos apenas três,
denominados A, B e C, para que não ficassem tantas representações de funções em
um mesmo ambiente.
Esperamos que os alunos possam utilizar sua criatividade e expor uma
animação para a estória apresentada. Após a animação realizada, procuramos
mostrá-las e compará-las com todos os alunos, finalizando assim nosso estudo.
9 Corrida maluca, “foi um desenho animado produzido pela Hanna-Barbera e lançado pela CBS que foi produzido entre 14 de setembro de 1968 e 5 de setembro de 1970, rendendo 34 episódios. Os competidores buscavam o título mundial de "Corredor Mais Louco do Mundo" (WIKIPÉDIA, 2012).
67
CAPÍTULO IV
ANÁLISE DOS DADOS
Neste capítulo, descrevemos detalhadamente as sessões que realizamos em
nossa pesquisa. A análise dos dados, compostos pelas falas dos alunos gravadas
em áudio e vídeo e dos protocolos escritos dos alunos, foi realizada mediante a
observação das falas e escritas apresentadas durante as cinco sessões de
pesquisa. Procuramos observar se os alunos utilizaram narrativas ou modo
paradigmático de pensamento na descrição das funções quando utilizamos SimCalc.
Para analisarmos o trabalho das duplas, fizemos um levantamento dos tipos
de respostas, comentários ou reações apresentados por eles em cada atividade,
para relacioná-los aos modos de pensamentos (narrativo ou paradigmático) de
acordo com a teoria de Bruner (1997), apresentada no Capítulo I deste trabalho.
Analisamos, também, se as narrativas estão ou não presentes nos comentários e
nas respostas dadas pelos alunos.
Apresentamos os dados coletados e as reflexões realizadas pelos alunos
durante cada atividade proposta nas sessões. Fazemos, também, nossas reflexões
sobre os dados apresentados de acordo com os modos de pensamento narrativo e
paradigmático apontados por Bruner (1997).
Em todas as cinco sessões de nossa pesquisa, pretendíamos contar com a
participação dos 22 alunos matriculados no segundo período do curso de
Licenciatura em Matemática, mas, devido à desistência de alguns e ausência de
outros, não foi possível termos todos os alunos participando da intervenção. Na
descrição de cada sessão, detalharemos a quantidade de alunos que dela
participaram.
4.1 Primeira sessão
Esta sessão ocorreu com a participação de 20 alunos, divididos em 10 duplas.
Pedimos às duplas que ocupassem um lugar em frente a um computador para que
pudessem trabalhar manuseando a máquina, e explorando o software SimCalc. A
pedido dos alunos, não utilizamos os nomes deles nas transcrições das falas, os
nomes mencionados nas transcrições ou comentários das falas dos alunos são
pseudônimos sugeridos por eles mesmos.
68
Na primeira sessão tivemos como proposta apresentar o software SimCalc
para os participantes, visto que o programa era novidade para eles. Distribuímos
para cada dupla uma folha abordando algumas explicações em relação ao software
SimCalc (Apêndice C). Nessa folha apresentamos orientações para conhecer
diferentes ferramentas do software, e propusemos a exemplificação das
possibilidades do uso do SimCalc a partir da introdução de algumas funções. Nosso
objetivo nesse momento era propiciar aos estudantes a familiarização com os
recursos a eles disponibilizados.
Observamos que os alunos se mostraram interessados em conhecer o
programa, acharam interessante a representação animada de atores que se
movimentam em função do tempo, e alguns alunos disseram: “Então, por trás desse
movimento existe uma função que é estabelecida em sua parte gráfica e algébrica,
nossa! Que legal!”, o que nos faz acreditar que a utilização de SimCalc pode ser um
meio importante de auxílio para o ensino e a aprendizagem de função, favorecendo
o desenvolvimento da capacidade de questionar e fazer previsões de resultados,
como apontado por Maia (2007). Porém, tivemos um pouco de dificuldade de
atender cada dupla em particular, visto que eles faziam perguntas relacionadas ao
manuseio do software SimCalc principalmente para construção de atores e leis
algébricas das funções. Vale ressaltar que, no decorrer da aplicação das demais
sessões, as dificuldades foram sendo sanadas e a tecnologia passou a ser utilizada
como um meio simplificador, como um instrumento ou mediador da aprendizagem e
também como algo integrador, por meio do uso de vários sistemas de
representação, sendo eles gráfico, algébrico, tabular, além da janela do Mundo de
SimCalc.
Nas Atividades 1 e 2 utilizamos as mesmas funções, na primeira, para que os
alunos tivessem contato e familiaridade com o software SimCalc, e na segunda, para
analisarmos as narrativas que eles pudessem trazer ao observar o movimento de
cada ator. Por este motivo, apresentaremos análises detalhadas somente da
Atividade 2. Pudemos observar, entretanto, durante o trabalho dos alunos com a
Atividade 1, que a maioria das duplas utilizouconhecimentos matemáticos para
explicar o que observavam na representação algébrica, gráfica e/ou animada das
funções propostas nas atividades, como por exemplo: “o gráfico representa uma
função do 1º grau. Devido a isso, a representação animada faz uma trajetória
retilínea, passando por cada ponto uma só vez. Isso acontece porque o gráfico é
69
uma reta” (Dupla 4 - primeira função); “A representação animada se move em linha
reta com a mesma velocidade enquanto o marcador do gráfico se move sobre a
reta”(Dupla 7 – primeira função).
Também verificamos que alguns comentários dos alunos estão
relacionadoscom formas narrativas de pensamento, caracterizando o que Bruner
(2002) determina como um modo em que o indivíduo organiza suas ideias e
apresenta suas colocações por meio de estória ou de uma fala que nasce a partir do
pensamento em relação ao tempo, como, por exemplo, podemos observar, “de
acordo com o movimento que faz a função, o peixinho vai andando”(Dupla 6 –
primeira função) ou,ainda,“o desenho se movimenta muito rápido aumentando a
velocidade”(Dupla 8 – segunda função), e também, “Nesta função o bichinho
aparece até o domínio 2, a partir do 3 ele não aparece”(Dupla 2 – terceira função).
Importante notar que, mesmo tendo as leis das funções em mãos, nem
sempre os alunos percebiam com qual tipo de função estavam trabalhando. Por
exemplo, ao lidavam com a função 7)( 4 xxf esses alunos mencionavam uma
“parábola”, talvez por observarem um comportamento do ator diferente daquele da
função afim.
4.2Segunda sessão
Na segunda sessão, tivemos como proposta que os alunos observassem a
animação dos atores que representam as funções que apresentamos na primeira
sessão, e que, a partir dessas animações, anotassem o comportamento do ator.
Nessas animações, os alunos apenas observaram os atores; as representações
algébrica e gráfica não foram apresentadas. Nesta sessão, contamos com a
presença de 16 alunos, que formaram oito duplas. Os alunos formaram as mesmas
duplas da primeira sessão.
Detalharemos, a seguir, as narrativas feitas com a observação das animações
das funções definidas por: 1)( xxf , 7)( 4 xxg , 13)( xxh e 1,0
sin)(
xxi .
Para a primeira animação, gerada pela função definida por 1)( xxf ,
classificamos as respostas apresentadas pelas duplas em três categorias: Função
de 1º grau; Movimento constante e Trajetória da figura.
70
Tabela 1 - Classificação das observações dos alunos para a primeira animação
Respostas Dupla
1
Dupla
2
Dupla
3
Dupla
4
Dupla
5
Dupla
6
Dupla
7
Dupla
8
Função de 1º
grau x X
Movimento
constante x X x
Trajetória da
figura x X x
Na categoria Função de 1º grau, classificamos as respostas que mencionam
características dessa função, como por exemplo: movimento constante, função afim;
o gráfico representa uma reta crescente. Para a categoria Movimento constante,
classificamos as respostas apresentadas pelas duplas que mencionam que o
movimento do ator está em uma velocidade fixa, e, também, relações entre valores
do domínio e respectivos valores da imagem da função. Na categoria, Trajetória da
figura, classificamos as respostas relacionadas com uma leitura visual da animação,
ou seja, a figura caminha, o ator corre, ele vai e nunca mais volta, caminha de
acordo com o gráfico.
Apresentamos a seguir um resumo da classificação das diferentes duplas.
Exemplo de resposta na categoria Movimento constante pode ser visto na
Figura 19, e para a categoria Trajetória da figura, na Figura 20.
Figura 19 - Resposta apresentada pela Dupla 5 para a primeira animação
71
Figura 20 - Resposta apresentada pela Dupla 2 para a primeira animação
Exemplo para a categoria Função de 1º grau é apresentado na Figura 21.
Figura 21 - Resposta apresentada pela Dupla 8 para a primeira animação
Com relação à categorização feita por Bruner, pensamento narrativo e
pensamento paradigmático, para a primeira animação, representada pela função
definida por 1)( xxf , observamos que, das oito duplas participantes, três
mencionaram características que se enquadram na categoria Trajetória da figura
cujas respostas parecem se enquadrar no modo de pensamento narrativo de Bruner
(1997). Já nas categorias Função de 1º grau e Movimento constante encontramos,
nas respostas dos alunos, características de pensamento paradigmático, como por
exemplo, “o ator faz uma trajetória retilínea, constante e sem voltas. Isso acontece
porque conforme o valor de x aumenta, a imagem aumenta na mesma proporção”
(Dupla 1 – primeira animação), ou seja, os alunos expressam seus pensamentos
usando linguagem comum a noções de matemática no estudo de funções.
Na segunda animação, representada pela função definida por 7)( 4 xxf ,
levantamos três categorias: Velocidade,Parábolae Vai e volta.
72
Para a categoria Velocidade, classificamos as respostas que mencionam a
velocidade do ator na animação, como por exemplo: aumenta ou diminui a
velocidade, locomoção da figura, dentre outras. Na categoria Parábola, agrupamos
as respostas que falam de parábola, concavidade voltada para cima ou para baixo,
curva em formato de parábola, dentre outras. Na a categoria Vai e volta, agrupamos
as respostas que mencionam que a função representa um movimento que vai e volta
de acordo com a distância ou com o passar do tempo, ou ainda, o ator caminha para
o sentido positivo e depois volta para o sentido negativo.
Podemos identificar na tabela que a maioria das duplas se enquadra na
categoria Velocidade.
Tabela 2 - Classificação das observações dos alunos para a segunda animação
Respostas Dupla
1
Dupla
2
Dupla
3
Dupla
4
Dupla
5
Dupla
6
Dupla
7
Dupla
8
Velocidade x x x x x x x
Parábola x x
Vai e volta x
O texto destacado na Figura 22 exemplifica essa categoria.
Figura 22 - Resposta apresentada pela Dupla 4 para a segunda animação
Observamos também que as Duplas 5 e 8 fazem uma ligação entre as
categorias Velocidade e Parábola, mencionando que o gráfico dessa função é uma
73
parábola com concavidade voltada para cima, e que o ator apresenta movimentos
com aumento e diminuição de velocidade, como por exemplo a resposta
apresentada na Figura 23.
Figura 23 - Resposta apresentada pela Dupla 5 para a segunda animação
Na categoria Vai e volta, observamos que somente a Dupla 3 menciona que o
ator chega até uma distância e depois volta (Figura 24).
Figura 24 - Resposta apresentada pela Dupla 3 para a segunda animação
Entendemos que, na categoria Vai e volta, há características de pensamento
narrativo, pois os alunos utilizam formas de expressar o pensamento por meio de
contos e/ou estórias.As narrativas das duplas na categoria Velocidade não
explicitam o uso de conceitos matemáticos. Nesse sentido, podemos identificar essa
característica explicitamente no diálogo da Dupla 3 que diz: “o carro chega a uma
distância e depois volta com o passar do tempo”.
74
Na terceira animação, apresentamos aos alunos a função determinada pela
lei x
xfx 13
)(
. Para essa animação, elencamos três tipos de categorias: Alteração
navelocidade, Agitado e Ao infinito.
Para a categoria Alteração na velocidade, identificamos as respostas que
relacionam o movimento do ator com a velocidade apresentada. Ou seja, como a
função é exponencial, a animação apresenta um movimento que cresce
exponencialmente. Na categoria Agitado, relacionamos as respostas que
mencionam que o ator apresenta um tipo de movimento agitado. Para a categoria Ao
infinito, separamos as respostas em que as duplas mencionam que o ator na
animação parte para o infinito.
Na Tabela 3 apresentamos a classificação das observações das duplas.
Tabela 3 - Classificação das observações dos alunos para a terceira animação
Respostas Dupla
1
Dupla
2
Dupla
3
Dupla
4
Dupla
5
Dupla
6
Dupla
7
Dupla
8
Alteração na
velocidade x X x x x
Agitado X X
Ao infinito x
Alteração na velocidade foi a categoria mais explicitada pelas duplas.
Acreditamos que isso se deve ao fato de que o ator apresenta diferentes
movimentos e que estes mudam drasticamente de um momento para outro.
Na Figura 25 apresentamos um exemplo de resposta na categoria Alteração
na velocidade.
Figura 25 - Resposta apresentada pela Dupla 2 para a terceira animação
75
Por outro lado, na Figura 26, apresentamos um exemplo de resposta na
categoria Agitado.
Figura 26 - Resposta apresentada pela Dupla 1 para a terceira animação
Nessa categoria, a dupla observa o que o ator faz em cada momento da
trajetória descrita pelo gráfico.
Classificamos na categoria Ao infinito a resposta da Dupla 8 (Figura 27), que
menciona que o ator não passa pela origem do plano, e que em alguns momentos
ele fica parado quando sua velocidade acelera indo ao infinito.
Figura 27 - Resposta apresentada pela Dupla 8 para a terceira animação
Para a terceira animação, cuja função é dada por xxf
x 13)(
, nas
categorias agitado e ao infinito, observa-se que três duplas se referem ao
movimento apresentado, que faz com que o ator se movimente de um lado para o
outro na tela, e ainda que o foguetinho acelere sua velocidade para o infinito.
Entendemos que essas formas de se expressar caracterizam-se com o pensamento
narrativo. Por exemplo, a Dupla 8 explica:
O foguetinho não passa pela origem. Ele fica constantemente parado alguns segundos quando depois recua (desce) quando passo por zero desativa
76
(pula) sobe e desce rapidamente, depois sua velocidade não sendo constante acelera indo a seu destino, que pode ser o infinito, não sabemos. (Dupla 8 – terceira animação).
Nesse sentido percebemos que as narrativas puderam ser apresentadas com
mais frequência na atividade proposta.
Para a última animação, apresentamos aos alunos um movimento
representado pela função definida por 1,0
)sin()(
xxf , e classificamos as respostas
deles em duas categorias: Ida e volta e Desorientado. A categoria Ida e volta refere-
se às respostas nas quais o movimento do ator na animação faz percursos
repetitivos em um intervalo de domínio da função. Para a categoria Desorientado,
apontamos as respostas em que as duplas mencionam que o ator está
desorientado, perdido, fazendo movimentos de um lado para o outro.
Tabela 4 - Classificação das observações dos alunos para a quarta animação
Respostas Dupla
1
Dupla
2
Dupla
3
Dupla
4
Dupla
5
Dupla
6
Dupla
7
Dupla
8
Ida e Volta x x X x x
Desorientado x x X
Apresentamos exemplo de resposta da categoria Ida e volta na Figura 28, e
da categoria Desorientado na Figura 29.
Figura 28 - Resposta apresentada pela Dupla 1 para a quarta animação
77
Figura 29 - Resposta apresentada pela Dupla 4 para a quarta animação
Por fim, para a quarta animação, representando a função definida por
1,0
)sin()(
xxf , observamos que três duplas disseram que o ator apresenta estar
desorientado no mundo, ou seja, de acordo com as respostas classificadas na
categoria Desorientado, constatamos que esse modo de pensamento mencionado
pelos alunos, por meio de suas respostas, remete-seao modo de pensamento
narrativo.
Notamos que, segundo as colocações dos alunos em suas observações, a
grande maioria relata características do pensamento narrativo. Ou seja, as duplas
criaram uma estória com começo, meio e fim para dar significado às observações
feitas sobre o movimento dos atores ao representarem funções. Como aponta
Bruner (2002), isto se deve a uma tradução de um acontecimento relacionado com a
vivência deles.
De acordo com as respostas apresentadas por algumas duplas, é possível
observarmos essa criação de estórias, traduzindo o acontecimento assistido pelas
duplas. Segundo a Dupla 4, “o autor corre de um lado para o outro desorientado na
sala de aula”; já a Dupla 7, aponta que “forma várias curvas onde o bichinho fica de
zig-zag”; e a Dupla 8, relata que “o seu bolinha está desorientado, corre de um lado
par o outro da sala, ele anda 10 metros para lá e 10 metros para cá”.
Constatamos que, conforme os alunos observavam as animações realizadas
pelas funções construídas no software SimCalc, eles mencionavam formas
engraçadas de contar o que estavam vendo na animação. Isso nos remete ao fato
de validarmos que a utilização do software SimCalc permitiu que os alunos
associassem as situações a experiências do diaadia para relatar o movimento do
ator, e que o ato de observar as animações trouxe uma perspectiva de que elas
78
podem ser vistas como um meio de explorar e analisar o comportamento simulado,
como apresentado por Hegedus e Kaput (2003 apud FERRARA et al., 2006). Nesse
sentido, observamos que a maioria dos alunos expressou suas ideias de acordo com
a definição de Bruner (2002) para o pensamento narrativo.
4.3 Terceira sessão
Na terceira sessão de nossa pesquisa, contamos com a presença de 12
alunos, formando assim seis duplas. Realizamos uma atividade, propondo aos
alunos que observassem as animações proporcionadas por um ator na janela
“Mundo” do software SimCalc referentes a quatro diferentes funções cujas leis de
formação e representações gráficas não estavam disponíveis para os alunos.
Nesta sessão, o nosso objetivo era que os alunos, ao analisarem o
movimento do ator, descobrissem características da função tentando relacionar o
movimento com o tipo de função. Queríamos verificar de que forma os alunos se
expressariam para buscar encontrar a lei que representasse o movimento dado.
As funções escolhidas para esta sessão foram: função polinomial do 2º grau
definida por 2)( xxf , função exponencial definida por xxf 2)( , função definida
por várias sentenças
86152
3
6351183
30
)( 2
xsex
xsexx
xsex
xf e uma função racional
definida por x
xf10
)( .
Antes de iniciar as atividades, alguns alunos pareciam não ter entendido
como relacionar o movimento do ator com algum tipo de função.Foi então que um
aluno pediu para que retomássemos algumas animações da sessão anterior (2ª
sessão) para que pudessem relembrar que tipo de função estaria relacionada a qual
movimento.
Acreditamos que essa necessidade esteja relacionada a pouca familiaridade
em associar leis de formação a representações gráficas e vice-versa. É importante
ressaltar que este tipo de abordagem é pouco presente em livros didáticos, o que foi
observado na pesquisa de Alves (2010). O autor aponta que o aluno, muitas vezes,
não atribui uma posição de questionamento em conceitos e propriedades que
79
envolvem funções, ou seja, se a função é do polinomial do 1º grau, então é uma
reta, se é do 2º grau, então é uma parábola e assim sucessivamente, observando a
exploração somente por meio de regras e definições.
Embora não esperássemos que os alunos pedissem para retomar algumas
animações no software, apresentamos uma função polinomial de primeiro grau, uma
de segundo grau, uma função definida por mais de uma sentença e uma função
exponencial para que explorassem. Essa retomada fomentou discussões, por parte
dos alunos, em relação ao movimento e ao tipo de função associada a ele. Os
alunos perceberam que o movimento do ator no mundo depende do tipo de
representação gráfica da função, e que, para a função polinomial do segundo grau
“o ator começa com uma velocidade vai diminuindo, quase parando, para, vira e
volta aumentando a sua velocidade”. Para uma função polinomial do primeiro grau “o
ator faz seu trajeto sem alterar sua velocidade”. Para uma função exponencial “o
ator começa sua velocidade muito devagar, e depois vai acelerando, acelerando e
acelerando muito”.
Depois dessa retomada e discussão sobre a relação entre a lei de formação
da função e o movimento do ator, voltamos para a tarefa proposta inicialmente, e
que será analisada a seguir.
4.3.1 Primeira animação
Para a primeira animação, utilizamos a representação algébrica da função
2)( xxf . As respostas apresentadas pelos alunos foram classificadas nas
categorias: Cita função do 2º grau, Cita movimentos do ator, Cita uma estória e Não
apresentou resposta.
Para a categoria Cita função do 2º grau, tomamos os comentários e as
respostas apresentadas pelos alunos em que fazem uso das palavras função do 2º
grau para expressar a animação na tela do computador, ou características que
podem estar relacionadas com essa função, como por exemplo, parábola, vértice,
concavidade etc. Na categoria Cita movimentos, consideramos as respostas e os
comentários em que as duplas mencionam a movimentação do ator na janela Mundo
do software, como por exemplo, ele vai e depois volta, aumenta a velocidade e
depois diminui, velocidade constante etc. Na categoria Cita uma estória,
80
consideraremos as respostas e os comentários apresentados pelas duplas em que
os alunos fazem uso de alguma estória ou de alguma narração para mencionar o
que estão observando na movimentação do ator. Para a categoria não apresentou
resposta, consideramos as duplas que não apresentaram respostas.
Apresentamos, na Tabela 5, a categorização associando o tipo de resposta
com as duplas.
Tabela 5 - Categorias de respostas para a primeira animação
Respostas Dupla 1 Dupla 2 Dupla 3 Dupla 4 Dupla 5 Dupla 6
Cita função do
2º grau x x x
Cita
movimentos x x
Cita uma
estória X
Não apresentou
resposta X x
A Figura 30 apresenta exemplo de resposta da categoria Cita função do 2 º
grau.Numa análise mais acurada, é possível identificar respostas bem objetivas,
como a da Figura 30, que associa o movimento a uma função do 2º grau, sem, no
entanto,explicitar sua lei.
Figura 30 - Resposta da Dupla 1 para a primeira animação
Como também observamos que eles procuraram associar o movimento do
ator com a trajetória descrita por uma função do 2º grau (Figura 31).
81
Figura 31 - Resposta da Dupla 3 para a primeira animação
Para a categoria Cita uma estória, observamos que a Dupla 5 menciona uma
estória para a animação apresentada e fez um esboço do gráfico de uma função do
2º grau (Figura 32).
Figura 32 - Resposta da Dupla 5 para a primeira animação
Apresentamos, na Tabela 6, os comentários dos alunos para a animação
proposta.
82
Tabela 6 - Comentários das duplas para a animação da função 2)( xxf .
Dupla 1
Observa-se a aluna Maria fazendo gestos com a mão conforme o movimento do ator. Isso... Decrescente... Ele sai rápido e depois fica bem devagarzinho.
Dupla 2
Ele vai até um limite e depois volta. (A aluna Roberta faz movimentos com a mão). Será que é uma função do 2º grau?... O peixinho inverte o movimento no zero... É uma parábola (afirmou Roberta). Mas professor, como que a gente sabe se é voltada para cima ou para baixo? (perguntou Roberta). Mas se ela vai até o zero é voltada... Acho que ela é voltada para cima, pois parece que o movimento é igual ao que fizemos como exemplo. Já sei! É voltada para cima, pois se fosse voltada para baixo iria trabalhar com a parte negativa do x.
Dupla 3
Ele vai e volta. Uma função do primeiro grau... Acho que não... Vai com uma velocidade constante, depois chegando perto do zero ele diminui a velocidade e volta até chegar no limite. Caminha com maior velocidade até chegar no zero, diminui a velocidade, inverte e depois volta. É verdade é mesmo uma função do segundo grau (disse a aluna Rosa para Fábio, fazendo gestos com a mão).
Dupla 4
O peixinho está com medo de continuar a busca pelo tesouro... Deve ter visto um tubarão... Reduz a velocidade e volta...(Risos do aluno Pedro). Tenho quase certeza que é uma função do 2ª grau.
Dupla 5
Mas que coisa... Que função será esse movimento... (o aluno Felipe pergunta para o colega João, e ele responde que é uma função do segundo grau).
Dupla 6 É uma função do segundo grau.
De acordo com os comentários apresentados pelos alunos, observamos que
todas as duplas mencionaram algum tipo de explicação para a animação
apresentada, e por eles analisada. Alguns apontaram algum tipo de pensamento
lógico e matemático, e outros utilizaram pensamento narrativo. As Duplas 1, 2, 3, 5 e
6 referem-se ao movimento do ator para explicitar o tipo de função. Enquanto a
Dupla 1 apenas descreve o movimento, as Duplas 2 e 3 discutem as possíveis
soluções e concluem que a função é do 2º grau. Enquanto as Duplas 5 e 6 associam
83
o movimento como sendo descrito por este tipo de função, a Dupla 4, apesar de ter
percebido que a função é do 2º grau, apresenta uma estória para descrever o tipo de
movimento visualizado na tela.
Observamos, ainda, que, para a resposta apresentada pela Dupla 4, é
possível notar que os alunos usam características de uma narrativa interessante,
apesar de terem ficado indecisos quando apontam, em seus comentários, uma
dúvida em relação ao possível tipo de função que pode estar associada ao
movimento. De acordo com a resposta da Dupla 4, os alunos relatam que “O
peixinho sai em disparada em alta velocidade, depois ele parece que perdeu as
forças e começa a diminuir a velocidade, de repente, volta para trás e logo começa a
acelerar de novo”.
4.3.2 Segunda animação
Nesta animação, utilizamos a função definida por xxf 2)( , e classificamos
as respostas dos alunos em três categorias: Cita função exponencial, Cita
velocidades, Não apresenta resposta. Na Tabela 7, associamos cada dupla ao tipo
de resposta.
Tabela 7: Categorias de respostas para a segunda animação
Respostas Dupla
1
Dupla
2
Dupla
3
Dupla
4
Dupla
5
Dupla
6
Cita função exponencial x x x
Cita velocidades x x x x
Não apresentam respostas x x
Considerando o quadro acima, é possível identificar que duas duplas não
responderam a questão e que as demais duplas não só responderam como
associaram movimento, velocidade e o tipo de função, no caso exponencial.
Apresentamos, na Tabela 8, os comentários das duplas para a animação.
84
Tabela 8 - Comentários das duplas para a animação da função xxf 2)(
Dupla 1
Oh... Que velocidade! Demora um ano para sair do lugar depois sai correndo a mil por horas. Parece um foguete, só que em linha reta. É uma função constante? (perguntou Maria para sua colega Sara)Fica dez dias parado no mesmo lugar. Ele fica constante no zero... Não, ele fica sete segundos parado. Então é uma função constante e depois que aumenta a velocidade é uma função linear... É como se fosse assim (Maria aponta a mão para cima, fazendo gestos).
Dupla 2
Olha... É um busão. Na função do segundo grau ele diminuiu a velocidade... Isso daqui não diminuiu a velocidade então é uma reta, ou não!? Ele sai reto, porque ele fica um tempo no zero (Roberta faz gestos com a mão para representar o movimento) e depois ele aumenta a velocidade muito rápido, ou ele está descendo, ou ele está subindo...
Dupla 3 Não apresentou comentários.
Dupla 4
Gente... Esse caminhão tá com problemas no motor! Já sei na verdade ele não fica parado, ele está em movimento, mas muito devagar ele só ganha velocidade maior após alguns segundos (Disse Pedro).
Dupla 5 e 6
Os alunos (Felipe, João, Carlos e Rafael) apenas observam, em alguns momentos fazem gestos com as mãos, mas não dizem nada.
De acordo com os comentários apresentados pelas duplas, observamos que
a Dupla 1 assim como as Duplas 2 e 4 apresentam um tipo de estória sobre a
movimentação do ator. A Dupla 1 “reclama” que o ator demora “um ano” para sair do
lugar, já a Dupla 2 diz que o “busão” não diminui a velocidade, e diz que o gráfico
pode ser uma reta. A Dupla 4 acredita que o caminhão está com problemas no
motor, por isso é que demora a sair do lugar ou que o movimento é muito lento.
85
Figura 33 - Resposta da Dupla 4 para a segunda animação
Assim como averiguamos nas Duplas 1, 2 e 4, classificamos as respostas dos
alunos e como eles apresentam a movimentação observada no software SimCalc
como modo narrativo, pois eles usam alguma estória para levantar possíveis
características da função.
Conforme observamos também os alunos da Dupla 3 não se pronunciaram ou
não comentaram nada a respeito da animação da função e as Duplas 5 e 6 apenas
observaram o movimento do ator na animação e apontaram gestos com as
mãossimulando o movimento observado.
Figura 34 - Resposta da Dupla 3 para a segunda animação
A terceira animação representa uma função definida por mais de uma
sentença e será descrita a seguir.
86
4.3.3 Terceira animação
Para a terceira animação apresentamos a função
86152
3
6351183
30
)( 2
xsex
xsexx
xsex
xf . Para essa animação as respostas foram
categorizadas em três tipos: as que falam de Velocidade, Várias funções e que Não
apresentam respostas, conforme a Tabela 9.
Tabela 9 - Categorias de respostas para a terceira animação
Respostas dupla
1
dupla
2
dupla
3
dupla
4
dupla
5 dupla 6
Velocidades x x x
Várias funções x x x x
Não apresentam
resposta x x
Na categoria Velocidade, classificamos as respostas em que os alunos falam
de movimentos alternados do ator, devido à função ser composta por mais de uma
sentença. Para a categoria Várias funções, selecionamos as respostas em que as
duplas apresentam características de que o movimento esteja relacionado não
somente com uma sentença, mas com mais de uma, como por exemplo, nesse
intervalo a função é de 1º grau, nesse outro intervalo a função é de 2º grau etc. Na
categoria Não apresentam resposta, estão as duplas que não opinaram sobre as
animações.
Conforme as categorias Velocidades e Várias funções, observamos que a
maioria dos alunos apresentou, em suas respostas, que a animação é representada
por movimentos diferenciados em intervalos diferentes nas funções, ou seja, a
função é composta por mais de uma sentença, como apresentamos nas Figuras 35
e 36.
87
Figura 35 - Resposta da Dupla 1 para a terceira animação
Figura 36 - Resposta da Dupla 2 para a terceira animação
As Duplas 1, 3 e 4 também levantaram características de várias funções
compondo o movimento do ator. As Duplas 1 e 3 disseram que a animação é
formada por função linear, polinomial do 2º grau, constante e linear (Figura 37 e 38),
e a Dupla 4 aponta função do 1º e 2º grau e função constante.
Figura 37 - Resposta da Dupla 3 para a terceira animação
88
Figura 38 - Resposta da Dupla 4 para a terceira animação
De acordo com as respostas apresentadas por essas duplas, observamos
que, apesar de apresentarem características da função que podem estar associadas
ao movimento do ator, os alunos se utilizaram de estratégias de pensamento
narrativo para entender a animação. As Duplas 2, 3 e 4 mencionaram que a
animação parte com uma velocidade menor e depois vai acelerando, ou apontam
que o caminhão começa bem devagar e em seguida começa a acelerar até ficar
bem rápido, os alunos que compõem essas duplas utilizaram-se de narrativas para
expressar e averiguar o tipo de função que poderia estar associada à animação.
Observemos na tabela os comentários apresentados pelos alunos para a
terceira animação.
Tabela 10 - Comentários das duplas para a terceira animação
Dupla 1
Agora é um ET... Nossa, tem um milhão de função! (Disse Maria). Vai devagar, sai correndo, volta para traz correndo, fica parado e volta pra traz. Realmente é um ET, nem sabe pra onde quer ir (risos).
Dupla 2
Bom... De zero a três devagar, de três a oito aumenta a velocidade, de oito a 9,5 ele aumenta muito a velocidade aí em 10 ele reduz e retorna de 10 ao 3... Aí chega no 3 ele fica constante e depois ele volta no zero. (em toda a fala a aluna Roberta faz gestos com a mão). Então... Na primeira, parece ser do primeiro grau... Já a segunda não é bem do primeiro grau porque aumenta mais a velocidade, aí eu posso falar que é o que? (pergunta Roberta para sua colega Patrícia).
Dupla 3 Tem mais de uma função... A primeira é do segundo grau.
Dupla 4 Acho que é uma função que não existe... Porque tem diversos movimentos. Éh... Esse ET está doidão, não sabe para onde ir.
Dupla 5 Não apresentou comentários.
Dupla 6 Não apresentou comentários.
89
Notamos, de acordo com os comentários apresentados pelos alunos das
Duplas 1, 2, 3 e 4, características de que o movimento é formado por uma função
definida por mais de uma sentença.
Refletindo ainda sobre os comentários apresentados pelas Duplas 1 e 4,
notamos que eles relataram que o ator está perdido, descontrolado e não sabe para
onde ir e dizem que é um ET. De acordo com esses comentários apresentados
pelos alunos, acreditamos que o modo de pensamento narrativo está inserido nas
colocações feitas.
4.3.4 Quarta animação
Para a quarta e última animação proposta na sessão, contamos com a função
definida por x
xf10
)( , e classificamos as respostas dadas pelas duplas em Função
racional, Não lembram e Não apresentou resposta.
Para a categoria Função racional, classificamos todas as respostas
apresentadas pelas duplas que mencionam que a função tem características de
função racional, e, também, respostas que apresentam intervalos da função, como
por exemplo, o ator sai de um ponto „x‟ depois aparece em um ponto „y‟. Para a
categoria Não lembram, classificamos as respostas em que as duplas apontam
alguma característica da função, como, por exemplo,a parte gráfica, mas não
recordam o tipo de função que pode ser representada. Para a categoria Não
apresentou resposta, agrupamos as duplas que não mencionaram nada a respeito
da atividade.
Tabela 11 - Categorias de respostas para a quarta animação
Respostas Dupla 1 Dupla 2 Dupla 3 Dupla 4 Dupla 5 Dupla 6
Função racional x x x
Não lembram x
Não apresentam
respostas x X
90
Três duplas apresentaram respostas para a animação associando-a a uma
função racional. Um exemplo de resposta para a categoria Função racional é
apresentado na Figura 39.
Figura 39 - Resposta da Dupla 1 para a quarta animação
Embora apenas a Dupla 4 tenha registrado que não lembra o tipo de função
que está associada ao movimento, ela apresenta um esboço de uma possível
representação gráfica para a função no intervalo [-2, 2] (Figura 40).
Figura 40 - Resposta da Dupla 4 para a quarta animação
Na tabela abaixo, apresentamos os comentários realizados pelos alunos para
a quarta animação.
91
Tabela 12 - Comentários das duplas para a animação da função x
xf10
)(
Dupla 1
Jogador de futebol... Agora ele vai indo pra baixo... Nossa! Sumiu, não tem jeito de ver! Ele deu um giro de 360°... Ele andou na reta inteirinha... Ele dá uma volta (Maria faz movimentos com as mãos representando a animação).
Dupla 2
Já sei que é voltada para baixo, porque o ponto inicial é menos dois e o ponto final é dois... E agora?! Ah... então ele pulou de menos dois até dois. O jogador saiu de menos dois e chegou em dois... Então é uma função do segundo grau negativa!... Então o intervalo vai de menos dois até dois. Pode ser? (perguntou Roberta). O bonequinho vai andar do menos dois pra lá (Patrícia aponta com a mão) e do dois pra cá (Em seguida, Patrícia aponta com a mão para o outro lado).
Dupla 3
(Rosa observa o movimento e faz riscos circulares com o dedo na mesa). Mas, como ela sai do menos dois e chega em dois (risos). No mesmo tipo que ele volta depois...
Dupla 4
O Neymar foi bater um pênalti que tomou tanta distância que deu a volta no mundo (risos). Sei lá... Essa função eu não conheço! O que será que é...
Dupla 5 e 6
(Os alunos observam a animação, fazem gestos com as mãos, mas não apresentaram comentários.)
De acordo com os comentários apresentados pelos alunos, observamos que
as Duplas 1 e 4 mencionam algum tipo de estória para comentar o que estavam
observando na animação. De acordo com as duplas “jogador de futebol”, “ele dá
uma volta”, “bater um pênalti” etc., são modos de expressar seus pensamentos por
meio do que observaram na representação animada, apesar de os alunos dessas
duplas terem apresentado nas respostas que a função tem características de função
racional. A Dupla 3, apresentando movimentos circulares com o dedo para tentar
reproduzir o movimento da animação, também aborda meios de expressão.
Acreditamos que o modo de pensamento narrativo pode estar presente nas falas
dos alunos durante a observação das animações e que a dinâmica do software
92
SimCalc pôde contribuir para que os alunos apresentassem modos de pensamento
narrativo assim como também Felipe et al. (2012) presenciaram em sua pesquisa
quando apresentaram aos alunos uma animação representada pela função algébrica
xxf
1)( com 0x que é semelhante à que referimos nessa atividade.
Assim como Hegedus e Rodrigues (2006) observaram que seus alunos se
expressavam por meio de gestos para representar o movimento e discutir sobre uma
possível representação algébrica da função, pudemos observar que a Dupla 3
apresentou recursos semelhantes, ou seja, ela tenta reproduzir o movimento da
animação fazendo movimentos circulares com o dedo. Preocupados em descobrir o
tipo de representação algébrica da função que pode estar associada com a
animação, observamos também nos comentários apresentados pelos alunos, que, a
todo o momento, relacionavam os movimentos dos atores nas animações com
características de representações de funções, como por exemplo, para a animação
representada pela função definida por 2)( xxf , a Dupla 3 apresenta:
Ele vai e volta. Uma função do primeiro grau... Acho que não... Vai com uma velocidade constante, depois chegando perto do zero ele diminui a velocidade e volta até chegar no limite. Caminha com maior velocidade até chegar no zero, diminui a velocidade, inverte e depois volta. É verdade é mesmo uma função do segundo grau (disse a aluna Rosa para seu colega Fábio fazendo gestos com a mão).
Para a animação representada pela lei algébrica
86152
3
6351183
30
)( 2
xsex
xsexx
xsex
xf , a Dupla 4diz: “apresentam diversos
movimentos. Parece que o bicho está perdido”. Observamos que os alunos apontam
características que não são diretamente relacionadas com ideias matemáticas para
falar, expor sobre as animações observadas, ou seja, é o que Bruner (2002) define
como pensamento narrativo, os alunos descrevem o movimento do ator na
animação observada.
93
4.4 Quarta sessão
Participaram da sessão seis alunos, componentes das Duplas 1, 2 e 3. Nesse
dia realizamos todas as atividades propostas para a quarta e a quinta sessões, dada
a ausência de mais alguns alunos. Pedimos para que eles, em duplas,ocupassem o
lugar frente a um computador.
Iniciamos a pesquisa apresentando a atividade da quarta sessão de ensino
para os alunos. A proposta da atividade era de que os alunos criassem atores que
reproduzissem o mesmo movimento das animações que seriam apresentadas em
um arquivo pronto. Nessas animações, os alunos não teriam acesso a nenhuma
outra informação que desse características de como poderiam ser representadas
algebricamente as animações, ou seja, as partes gráfica, algébrica e tabular das
animações não seriam apresentadas.
O objetivo dessas atividades é verificar que estratégias e narrativas seriam
usadas pelos alunos quando analisassem o movimento de atores que simulam o
movimento apresentado no ambiente mundo do software SimCalc, e quais dessas
narrativas seriam usadas para descobrir o tipo de função associada ao movimento.
Pedimos para os alunos que, em cada arquivo apresentado com a animação
do ator, relatassem da maneira que quisessem o movimento que o ator realizava.
Ficamos atentos, observando esses relatos dos alunos, contando com o apoio de
câmera de gravação e ainda de gravadores de áudio.
Antes que trabalhássemos com as animações, alguns alunos pediram que
retomássemos algumas animações representadas por leis algébricas de funções,
como, por exemplo, funções polinomiais de primeiro e segundo grau, exponencial e
definida por mais de uma sentença. Eles disseram que, se pudessem fazer isso
novamente, seria melhor para poder relembrar alguns movimentos de atores
conforme a lei que os representa.
Ao verem a animação criada, os alunos quase imediatamente expressaram
comentário. Por exemplo: “Acho que essa função não é de primeiro grau”; “Se não é
de primeiro grau, de segundo grau também não pode ser”; “Isso não é função... Têm
vários movimentos diferentes”; “Muito fácil! é mais de uma função, então só pode ser
uma função definida por mais de uma sentença, e todas são de primeiro grau.
Linear”; “Esse bichinho resolveu voltar pra casa, deve ter visto algum tubarão” (risos
da aluna Maria).
94
Nesse primeiro contato com a animação, já esperávamos que os alunos
pudessem apresentar algum tipo de comentário que não estivesse relacionado com
dizeres matemáticos, assim como observamos:“esse peixinho resolveu voltar pra
casa, deve ter visto algum tubarão”, “o peixe foguete”.Também esperávamos que
alguns alunos pudessem apresentar comentários matemáticos que apresentassem
indícios de como poderia ser o gráfico da função, como, por exemplo:“Muito fácil, é
mais de uma função, então só pode ser uma função definida por mais de uma
sentença, e todas são de primeiro grau. Linear”.
Averiguamos também que os alunos mostraram dificuldades em manusear o
software SimCalc, principalmente quando tinham que mudar a escala das janelas do
Mundo e Função, para poderem observar melhor a animação. Mas, apesar das
dificuldades em manusear o software SimCalc, no que tange à mudança de escala
das variáveis x e y do gráfico, as duplas puderam realizar com sucesso suas
animações.
4.4.1 Primeira atividade
Na primeira atividade, tivemos como animação uma função definida por mais
de uma sentença representada pela lei algébrica
868
628
204
)(
xsex
xse
xsex
xf e pela
representação gráfica, conforme apresentada na Figura 41.
Figura 41 - Representação gráfica da primeira animação
95
As Duplas 1 e 2 observam três tipos de funções, uma para cada intervalo de
tempo. Enquanto a primeira afirmou que o movimento se realiza por meio de uma
função de 1º grau, constante e depois inverte, entendemos que ela se refere ao
movimento decrescente; a outra não especifica, apenas consegue identificar três
movimentos distintos.A Dupla 3 caracteriza que o movimento é constante em dois
instantes e que fica parado em outro (Figura 44).
Figura 42 - Resposta da Dupla 1 para a primeira atividade
Figura 43 - Resposta da Dupla 2 para a primeira atividade
Figura 44 - Resposta da Dupla 3 para a primeira atividade
96
Podemos observar que as duplas relacionaram as animações apresentadas
com o tipo de representação algébrica da função que deveria ser construída, para
que, assim, conseguissem reproduzir o movimento. Observamos, ainda, que as
Duplas 1 e 3 fizeram um esboço de como poderia ser a representação gráfica da
animação, e a Dupla 2 apresentou as supostas funções que deveriam ser
construídas; de acordo com a Dupla 2, na representação gráfica, deve-se ter duas
funções de primeiro grau e uma reta. Entendemos que a palavra reta, apresentada
pela Dupla 2, refere-se ao instante em que o ator fica parado, enquanto que o tempo
passa, ou seja, a função é constante.
Observamos também os comentários apresentados pelos alunos durante a
realização da primeira atividade.
Tabela 13 - Comentários dos alunos para a animação
Dupla 1
Ele vai... para, e volta. (Maria e Sara falam mais de uma vez a frase, e, fazem gestos com a mão simbolizando a reprodução do movimento). Estamos com dúvidas se é do primeiro grau, mas temos certeza que do 2º grau não é. (Comenta a dupla). Já sei! (Disse Maria) É aquela função com mais de uma sentença.
Dupla 2
O peixinho anda, e depois dança... (risos da dupla). É assim! (pediu Roberta a sua colega Patrícia para voltar a animação). Podemos dividir a animação em três partes: a primeira é representada por uma função linear crescente, a segunda por uma função constante e a terceira por uma função linear decrescente (disse Roberta para Patrícia, apontando para a tela do computador no momento da animação).
Dupla 3
Ele caminha normal, até o ponto 8. É uma função de 1º grau (afirmou Rosa após pausar a animação). Nesse ponto onde ele fica parado e o tempo passando, a função é uma reta (afirmou novamente Rosa). Agora, quando ele volta, ele caminha normal novamente, então também é uma função de 1º grau. (nesse momento afirmou Fábio para Rosa). É isso mesmo! (disse Fábio).
Notamos que as duplas observaram que a cada movimentação diferenciada
do ator, há um diferente tipo de função. Todos puderam identificar que se trata de
uma função definida por mais de uma sentença, e puderam reproduzir o movimento
do ator em outra janela do Mundo no software SimCalc.
97
As duplas se preocuparam em abordar as leis algébricas de funções que
poderiam representar o movimento dos atores na animação. A Dupla 2, em alguns
momentos, faz comentários engraçados do acontecimento ocorrido, como por
exemplo, “o peixinho anda e depois dança” ao qual categorizamos como modo de
pensamento narrativo.
4.4.2 Segunda atividade
Para a segunda animação, propomos um movimento que seja representado
por uma função polinomial de segundo grau, cuja representação gráfica (Figura 45)
é dada pela lei algébrica representada por 44)( 2 xsexxf .
Figura 45 - Representação gráfica da segunda animação
Assim como observamos na primeira animação, novamente os alunos
apresentaram comentários diferenciados, ou seja, alguns enfatizando a Matemática
por trás da animação e outros relatando algum tipo de estória.
Caracterizando as respostas apresentadas pelos alunos, podemos observar
que as estratégias utilizadas para a construção das animações foram todas voltadas
para a aceleração apresentada pelo ator na animação. As Duplas 1 e 3
mencionaram que o movimento começa com uma velocidade e vai perdendo
98
aceleração até inverter de posição. Observamos que as duplas não citam o tipo de
função que pode ser representada, mas esboçam uma representação gráfica de
como pode ser a função (Figuras 46 e 47).
Figura 46 - Resposta da Dupla 1 para a segunda atividade
Figura 47 -Resposta da Dupla 3 para a segunda atividade
A Dupla 2, assim como as Duplas 1 e 3, também mencionam a movimentação
realizada pela animação, e apontam que a animação é representada por uma função
do 2º grau (Figura 48).
Figura 48 - Resposta da Dupla 2 para a segunda atividade
99
Observemos na tabela os comentários apresentados pelos alunos para a
segunda animação.
Tabela 14 - Comentários dos alunos para a segunda animação
Dupla 1
É isso... é uma função do segundo grau. Me lembro quando estudei no semestre passado na aula de cálculo que a função do segundo grau é formada por uma parábola, e esse movimento que estamos vendo representa uma parábola, porque a sua aceleração diminui até parar, é nesse momento que temos o vértice, e daí o bichinho volta aumentando a aceleração (Disse Maria).
Dupla 2
Veja... o que será que aconteceu com o bichinho... é igualzinho quando você joga uma pedra pro céu. Ela vai com maior velocidade, para, e volta ganhando velocidade. Como? Pedra no céu? (perguntou a aluna Roberta a sua colega Patrícia) não entendi! (disse Patrícia). É... se você jogar uma pedra para cima, ela vai, diminui a velocidade, e depois cai aumentando a velocidade. É igualzinho a uma função do segundo grau (explicou Roberta). Entendeu agora? (perguntou Roberta). Acho que sim (respondeu Patrícia).
Dupla 3
Nossa... o professor bolinha queria ir embora mas, depois ele pensou bem e resolveu voltar. Vou chamar o bolinha de professor quadrático (risos da dupla). Porque ele faz o movimento da função do segundo grau. Vai, para, vira e volta (risos da dupla).
De acordo com os comentários apresentados pelos alunos, podemos
observar que os alunos das Duplas 1, 2 e 3, observando a movimentação do ator na
animação, destacam que esse tipo de movimentação caracteriza uma função do 2º
grau, relacionando o movimento do ator com a parábola, pois o movimento do ator
iniciar com uma velocidade, diminuir a velocidade, inverter a posição (vértice da
parábola) e voltar aumentando a velocidade, são características de uma função do
2º grau. Os alunos da Dupla 2, discutindo entre eles, mencionaram um exemplo de
jogar uma pedra para o alto para simular a movimentação do ator na animação; os
alunos da Dupla 3 dizem que essa animação é uma simulação do que aconteceu
com o “professor bolinha”. Caracterizamos o trabalho das Duplas 2 e 3 como modo
narrativo.
100
4.4.3 Terceira atividade
Para a terceira e última animação dessa sessão, apresentamos aos alunos
uma movimentação do ator representado pela função exponencial
1002)( xsexf x (Figura 49).
Ffigura 49 - Representação gráfica da terceira animação
Nessa animação, percebemos que os alunos, ao verem a movimentação do
ator, ficaram observando o movimento sem dizer nada. Notamos apenas um aluno
da Dupla 1 fazendo movimentos com a mão em forma de reta começando com
pouca velocidade e aumentando. A partir de alguns segundos, observamos os
alunos comentando a respeito da animação, conforme apresentada na tabela
abaixo.
101
Tabela 15: Comentários dos alunos para a terceira animação
Dupla 1
Professor, esse movimento pode ser uma função do segundo grau? Será que é uma função linear? (perguntou Maria). Acho que não! (respondeu Maria) porque o movimento não é constante. Espera aí... acho que já sei! É uma exponencial (disse Patrícia para Maria).
Dupla 2
Essa agora eu sei (falou Roberta olhando para sua colega Patrícia ao lado) esse movimento é uma função exponencial, tenho certeza porque o movimento começa quase parando e vai aumentando, aumentando, rapidamente até chegar ao seu limite.
Dupla 3
Esse elevador deve estar com problemas. Começa muito lento, depois vai aumentando gradativamente até ganhar velocidade máxima. Vou chamá-lo de elevador exponencial. Porque parece com a função exponencial que vai para o espaço (disse Rosa).
Observando os comentários e as discussões dos alunos conforme a
observação da animação, vemos que eles tentaram determinar o tipo de lei algébrica
que poderia ser elencada para reproduzirem o movimento das animações. Notamos,
também, que esses alunos, sempre que observavam uma animação, faziam gestos
com a mão, tentando reproduzir o movimento para descobrir a lei algébrica da
função.
Os alunos da Dupla 1, a princípio, parecem ter dúvidas a respeito do
movimento com o tipo de representação gráfica. Acreditam ser uma função linear,
mas pensando e analisando novamente o movimento do ator, chegam a uma
decisão e afirmam ser uma função exponencial (Figura 50). A Dupla 2, de imediato
afirma ser uma função exponencial, pois considera que o movimento, ao fazer um
percurso com baixa velocidade, e, de repente, aumentá-la rapidamente, está
relacionado com uma função exponencial. Podemos observar, na resposta
apresentada por essa dupla, que os alunos apresentam um tipo de relação entre
valores do domínio e a imagem da função, dando indícios de que o valor da imagem
aumenta exponencialmente conforme o valor do domínio (Figura 51). Já os alunos
da Dupla 3, de acordo com a resposta apresentada, apontam que, com o passar do
tempo a figura ganha velocidade (Figura 52), apresentando ainda um esboço do
gráfico da função exponencial. Segundo seus comentários, o movimento é referido
por eles com uma forma de animação de um elevador com problemas, pois começa
102
lento e depois aumenta a velocidade, chamando de “elevador exponencial”, o que
nos remete ao fato de considerarmos o modo de pensamento utilizado por eles
como narrativa.
Figura 50 - Resposta da Dupla 1 para terceira atividade
Figura 51 - Resposta da Dupla 2 para a terceira atividade
Figura 52 - Resposta da Dupla 3 para a terceira atividade
103
Para a quarta sessão, nosso objetivo foi verificar as estratégias que os alunos
utilizariam para a construção de outro ator ao tentar reproduzir o movimento
apresentado, pois acreditamos que, com o movimento do ator colocado, os alunos
gerariam narrativas, e, a partir dessas narrativas e da observação do movimento dos
atores no Mundo, construiriam o ator.
De acordo com as respostas apresentadas pelos alunos na sessão,
percebemos que todos os seis alunos participantes imaginaram quais possíveis
características de função o movimento do ator apresenta, para reproduzir as
animações. Todos os alunos discutiram uma possível relação entre o movimento e a
lei algébrica da função, como por exemplo, os alunos da Dupla 2 para a animação
de lei algébrica 1002)( xsexf x apontam em seus comentários dizendo:
“Essa agora eu sei, esse movimento é uma função exponencial, tenho certeza
porque o movimento começa quase parando e vai aumentando, aumentando,
rapidamente até chegar ao seu limite”.
Apesar de muito do discurso desses alunos estar relacionado com o
pensamento paradigmático (BRUNER, 2002), encontramos, também, possíveis falas
dos alunos que mencionam características de narrativas, ou seja, observando
alguns comentários dos alunos, notamos que, antes de eles se referirem ao
movimento apresentado pela animação com características matemáticas, remetem-
se a estórias, forma de expressar a movimentação do ator como uma fala divertida
ou diferenciada, como por exemplo, os alunos da Dupla 3, antes de mencionarem
características matemáticas para a animação representada pela lei algébrica
1002)( xsexf x , dizem: “Esse elevador deve estar com problemas, começa
muito lento, depois vai aumentando”, ou até ainda para a animação representada
pela função definida por 44)( 2 xsexxf dizem: “Nossa... o professor
bolinha queria ir embora mas, depois ele pensou bem e resolveu voltar. Vou chamar
o bolinha de professor quadrático (risos da dupla). Porque ele faz o movimento da
função do segundo grau. Vai, para, vira e volta”.
De acordo com essas observações, notamos que, dos seis alunos
participantes, quatro apresentaram falas desse tipo, buscando narrar a animação.
Nesse sentido, reafirmamos que a dinâmica do movimento apresentado trouxe
características do pensamento narrativo nos alunos, dando-se a ideia de que a
narrativa aparece no desejo de narrar o fato observado no contexto da atividade
104
matemática, como apontam Sinclair, Healy e Sales (2009), remetendo-nos ao fato
de que essas estórias mencionadas pelos alunos estão relacionadas ao modo de
pensamento narrativo, classificado por Bruner (2002) em sua teoria.
4.5 Quinta sessão
Finalizando nossas atividades, nesta sessão, propomos aos alunos que
criassem atores que representassem duas estórias apresentadas a eles, utilizando o
software SimCalc.
O objetivo desta sessão é analisar as estratégias que os alunos utilizariam
para criar a animação. Por exemplo, os alunos utilizariam ou não alguma conexão
com a estória apresentada e formas gráficas para compor a animação.Observamos
queos alunos discutiram bastante a respeito das animações apresentadas. A grande
preocupação deles era de relacionar a estória com alguma forma gráfica para
poderem criar a animação com auxílio do software SimCalc.
4.5.1 Primeira estória
Para a primeira estória temos: “O peixe pai saiu com o peixe filho para
passear. Ele estava contando para o filho que o fundo do mar era perigoso e que
não poderia sair sozinho, mas mesmo assim, o filhinho insistiu para que o deixasse
sair sozinho, e o pai deixou para provar que realmente era perigoso. O pai parou,
deixando o filho nadar sozinho, e assim, o peixinho filho foi. Chegando até certo
local, o pai avistou o filhinho voltando, pois o filhinho percebeu que era muito
pequeno e perigoso para nadar sozinho. Então, eles foram nadando e conhecendo o
mar juntos”.
De acordo com o que observamos nas respostas apresentadas pelas duplas,
na primeira estória, verificamos que os alunos simularam algum tipo de
representação gráfica para compor a animação. As três duplas esboçaram, em uma
folha de papel, o plano cartesiano, para tentarem reconstituir a animação por meio
de gráficos. As Duplas 1 e 2 fizeram retas em seus planos cartesianos,
caracterizando funções polinomiais de 1º grau e função constante, para simular o
percurso realizado pelo peixe pai e pelo peixe filho (Figura 53 e 54). Já a Dupla 3,
em seu esboço gráfico, construiu alguns pontos simulando o percurso dos atores na
105
estória. Esses pontos, em determinados intervalos, assemelham-se a retas e
parábolas (Figura 55).
Figura 53 - Esboço da representação gráfica da primeira animação – Dupla 1
Figura 54 - Esboço da representação gráfica da primeira animação – Dupla 2
Figura 55 - Esboço da representação gráfica da primeira animação – Dupla 3
106
Conforme os comentários realizados pelos alunos da Dupla 1, observamos
que, com várias leituras da estória, os alunos disseram que, para cada tipo de
movimento dos peixinhos, teriam que construir tipos diferentes de funções, mas
todas teriam que ser função do 1º grau.
Observemos os comentários apresentados pelos alunos das duplas para a
primeira estória.
Tabela 16 - Comentários dos alunos para a primeira estória
Dupla 1
Nessa estória teremos que construir duas funções, porque fala do
peixe pai e do peixe filho. Mas que tipo de função? (perguntou a
aluna Maria). Acho que pode ser todas do primeiro grau (respondeu
Sara). Nossa,está difícil!
Vamos pensar juntas.(disse Sara para Maria).
Pra eles saírem juntos, a função tem que ser coincidente, depois o
filho continua, e o pai para, então a função do pai é constante e a do
filho continua reta, depois o filho volta, então a reta da função desce,
tem que ter um ponto de encontro do pai e do filho, porque eles se
encontram e voltam, e a partir daí as duas retas são coincidentes
novamente. Acho que é isso (disse Sara).
Até que não foi tão difícil! (falou Maria).
Dupla 2
Professor, como que faz isso? Quantas funções tem que usar?
(disse Roberta).
Então eu tenho que construir essas funções (disse Roberta ouvindo
os comentários da Dupla 1).
Se o peixe pai para, a função é constante.
O peixe filho sempre está em movimento, então a função é linear.
Olha como ficou a minha função.
Como que faz o peixe parar de andar
Nossa, que corrida... depois ele volta devagarinho (risos da dupla).
Olha, minha função parece um triângulo! (disse Roberta).
Dupla 3
Quanto mais a reta fica na vertical maior velocidade o peixinho tem.
Quando o peixe pai para pra ver o filho ir, a função do pai é
constante, e a do filho é sempre linear, só que quando ele volta ela
fica decrescente.
Parece uma pirâmide. Legal!
Constatamos, por meio das gravações, que os alunos discutiram bastante um
com o outro e que houve também algumas discussões entre as duplas.
Conforme apresentam os alunos, observamos que, a todo o momento,
utilizaram formas diferenciadas para registrarem o tipo de função a ser construída.
Notamos que, para cada movimento diferenciado, conforme mencionado na estória,
107
utilizaram estratégias diferentes para poder criar a animação. Por exemplo, se os
peixes saem juntos, as retas que representam as funções são coincidentes; se um
ator para, e outro continua, a função é constante para um, e contínua para o outro;
se o ator inverte a posição e volta a representação gráfica da função, se estiver
crescente fica decrescente.
Observemos a construção da animação da primeira estória feita pelas duplas.
Figura 56 - Construção da primeira estória – Dupla 1
Figura 57 - Construção da primeira estória – Dupla 2
108
Figura 58 - Construção da primeira estória – Dupla 3
4.5.2 Segunda estória
Na segunda estória apresentada temos: “Foi dada a largada. Três
competidores na pista de corrida, cada um com o seu carro tentando cruzar a linha
de chegada. Impressionante, o carro A não saiu do lugar, enquanto que os outros
dois estão lado a lado, na disputa. De repente o carro A sai em disparada e passa os
outros dois carros. O carro B para, parece que quebrou! e o carro C tenta se
aproximar do carro A. Mas, sem explicações, o carro B dispara e ultrapassa os
carros A e C cruzando a linha de chegada”.
Conforme observamos nas construções gráficas apresentadas pelos alunos,
de acordo com as estórias enunciadas, notamos que as duplas utilizaram os
mesmos métodos para relacionar a estória apresentada com a possível
representação animada para a simulação. De acordo com a Dupla 1 e com a Dupla
3, nos esboços de seus gráficos apresentados, averiguamos que novamente eles se
referiram aos tipos de movimentos apontados na estória com representações de
segmentos de retas que caracterizam funções do primeiro grau (Figura 59 e 60).
109
Figura 59 - Esboço da representação gráfica da segunda estória – Dupla 1
Figura 60 - Esboço da representação gráfica da segunda estória – Dupla 3
Na Dupla 2, observamos que os alunos também caracterizaram
representações de retas para um esboço gráfico da estória. Percebemos também
que os pontos A e C, conforme mostrados na Figura 61, parecem não estar
alinhados, ou seja, parecem estar sobre uma curva, o que remete ao fato de não ser
uma possível função de primeiro grau.
110
Figura 61 - Esboço da representação gráfica da segunda estória – Dupla 2
Um ponto em comum que observamos nos três esboços gráficos
apresentados pelos alunos é que, conforme observamos na estória, o carro A não
saiu do lugar e isso reflete que a representação gráfica é uma reta constante, e
nenhuma das três duplas enfatizaram esse critério; em todas as figuras
apresentadas observamos que, assim como os outros carros, o carro A também
inicia a corrida.
Observamos na tabela abaixo os comentários dos alunos para a segunda
estória.
111
Tabela 17 - Comentários dos alunos para a segunda estória
Dupla 1
Nossa essa corrida é maluca mesmo!
Quantas funções tem que ter? E do mesmo jeito que fizemos a
estória anterior? (perguntou Maria ao professor).
Vamos ver... (Observa-se a aluna Maria em silêncio, lendo a
estória e fazendo um esboço gráfico na folha).
Dupla 2
Ai meu Deus, socorro. Como vamos fazer isso!
Eu não sei! Você sabe? (perguntou Patrícia para Roberta).
A partir desse momento a aluna Rosa da Dupla 3 fala em voz alta
e todos os outros alunos da Dupla 1 e 2 observam sua fala.
Dupla 3
Vamos por etapa! (disse Rosa). Vamos construir o gráfico do
carrinho A. Se ele não sai do lugar, a função é constante. Depois
ele sai em disparada, pode ser uma função exponencial. Acho que
é só isso depois ele chega no fim.
Para o carrinho B, primeiro ele sai normal, função afim, depois ele
quebra, então é função constante, e aí ele acelera para ganhar a
corrida, então a função também pode ser do primeiro grau, mas
com maior velocidade pra ele ganhar a corrida.
E o carrinho C sai normal, é uma função de primeiro grau, depois
ele tenta aproximar do carrinho A, então temos que acelerar esse
carrinho, jogando mais potência no motor (risos da dupla). E agora
como faço pra ele aumentar a velocidade? (perguntou Fábio para
Rosa) é só deixar a reta mais em pé (respondeu Rosa). É mesmo!
Me lembrei da atividade passada (afirmou Fábio, tratando-se da
primeira estória) acho que é só isso, ele não ganha a corrida
mesmo.
Assim como observamos nos comentários pronunciados pelos alunos,
durante a leitura do conto, reparamos que cada dupla, assim como na primeira
estória, procuraram entender os fatos por partes, ou seja, em cada etapa da estória
buscaram relacionar com alguma forma gráfica. Por exemplo, se o carro A não sai
do lugar, a função é constante, se o B se movimenta normalmente, a função é afim,
conforme aponta a aluna Rosa da Dupla 3.
De acordo com os comentários apresentados pelos alunos, acreditamos que
as representações ou os modos de pensamento matemático estiveram mais
centrados na memória dos alunos durante as construções das animações para cada
estória proposta. Observamos, também, que em alguns momentos, é possível
112
observar algumas formas de pensamento narrativo apontado durante os
comentários dos alunos para abordar tal estória, como por exemplo, segundo a
aluna Rosa da Dupla 3, “então temos que acelerar esse carrinho, jogando mais
potência no motor”.
Observemos nas figuras, a construção da estória realizada por cada dupla.
Figura 62 - Construção da segunda estória – Dupla 1
Figura 63 - Construção da segunda estória – Dupla 2
113
Figura 64 - Construção da segunda estória – Dupla 3
Observando as representações gráficas das animações realizadas pelas
duplas na segunda estória, vemos que todas as representações gráficas têm alguma
semelhança entre si. Acreditamos que essa semelhança dos alunos ao construírem
atores referentes às estórias mencionadas se remete ao fato de que os indivíduos
usam e apropriam-se de padrões de identificação com relação ao tempo e ao
espaço como linguagens, símbolos e categorias, por meio de uma análise em que
observam os fatos trabalhados de forma mais ampla (ARMELLA; HEGEDUS;
KAPUT,2008). Nesse sentido, observamos que, ao construírem as animações das
estórias, os alunos se apoiaram nesses padrões de identificação, uma vez que,
conforme observamos nas representações gráficas das animações criadas pelas
duplas, notamos que a função é constante para representar que o carrinho A está
parado, notamos uma maior inclinação da reta que representa o carrinho B para ter
mais velocidade e ganhar a corrida etc.
Conforme observamos nas apresentações feitas pelos alunos por animações
referentes a cada estória proposta, notamos que os seis alunos participantes
utilizaram seus conhecimentos para montarem as animações. De acordo com o que
observamos, todas as duplas relacionaram o que estava sendo proposto na estória
com possíveis representações de movimentos, e, a partir desses movimentos,
estipularam qual função melhor se adaptaria ao movimento para que pudessem
114
realizar as animações das estórias apresentadas, como podemos observar nas
colocações feitas pelos alunos da Dupla 3 para a segunda animação:
Vamos por etapa! (disse Rosa). Vamos construir o gráfico do carrinho A. Se ele não sai do lugar a função é constante. Depois ele sai em disparada, pode ser uma função exponencial. Acho que é só isso; depois ele chega no fim. Para o carrinho B, primeiro ele sai normal, função afim, depois ele quebra, então é função constante, e aí ele acelera para ganhar a corrida, então a função também pode ser do primeiro grau, mas com maior velocidade pra ele ganhar a corrida. E o carrinho C sai normal, é uma função de primeiro grau, depois ele tenta aproximar do carrinho A, então temos que acelerar esse carrinho, jogando mais potência no motor (risos da dupla). E agora como faço pra ele aumentar a velocidade? (perguntou Fábio) é só deixar a reta mais em pé (respondeu Rosa). É mesmo! Me lembrei da atividade passada (afirmou o colega, tratando-se da primeira estória) acho que é só isso, ele não ganha a corrida mesmo.
Por meio das estórias apresentadas, ou seja, conforme apresentamos os
pensamentos narrativos por meio das estórias, observamos que os alunos puderam
apresentar seus modos de pensamento paradigmáticos, conforme a teoria de Bruner
(2002).
No próximo capítulo, apresentaremos nossas considerações finais fazendo
uma retrospectiva de nossa pesquisa.
115
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho teve por objetivo analisar as narrativas produzidas por
estudantes de Licenciatura em Matemática diante de uma abordagem para funções
em um ambiente dinâmico, e ainda, observar as reações deles quando deparados
com funções representadas por animações na janela do mundo do software
SimCalc.
Buscando um quadro teórico que pudesse nortear nossas ideias sobre as
narrativas na aprendizagem matemática, encontramos a teoria de Bruner (1997)
sobre os modos de pensamento narrativo e paradigmático estudados por esse autor.
Bruner (1997) afirma que o pensamento narrativo é um modo de pensamento que
organiza nossas ideias, dando sentido a um determinado fato, ou seja, é um modo
de pensar, narrar e/ou relatar nossas experiências matemáticas no tempo e no
espaço. O pensamento paradigmático, segundo Bruner (1997), é caracterizado por
um discurso lógico/teórico, podendo ser apresentado como verdadeiro, ou seja,
refere-se a um sistema formal e matemático, buscando focar os modos da
Matemática por meio de argumentações lógicas como forma de descrição e
explicação.
Para observar narrativas dos alunos participantes, decidimos utilizar o
software SimCalc, que foi desenvolvido de modo a auxiliar o aluno a trabalhar com
conceitos que envolvem variação de função. O software proporciona a criação de
movimentos por meio de gráficos de posição e velocidade. Esses movimentos são
apresentados no software, permitindo que o usuário veja um ator se movimentar por
meio de gráficos que são manualmente editáveis.
Elaboramos atividades para serem trabalhadas com SimCalc, para que
pudéssemos observar o trabalho e as falas dos alunos durante o desenvolvimento
das atividades propostas, e analisamos de acordo com os modos de pensamento
narrativo e paradigmático, apontados por Bruner (1997).
Em nosso trabalho, não pretendíamos observar se esses alunos dominam ou
não o conceito de função. A opção foi a de apresentar funções representadas por
leis algébricas, gráficos e representações diferenciadas, proporcionadas pela
dinâmica do software SimCalc, de modo que os alunos pudessem trabalhar de uma
forma que eles não haviam feito antes a partir de ideias de função.
116
Discutindo as questões da pesquisa
Refletindo sobre as questões da pesquisa, apresentadas na introdução deste
trabalho, e a fim de respondê-las, fazemos uma recapitulação de cada uma e
apresentamos as devidas respostas.
A utilização do software SimCalc como recurso dinâmico colaborou para
que os alunos percebessem a variação da função representada pelo
movimento do ator?
Quando apresentado o software SimCalc aos alunos, observamos que eles se
mostraram interessados em conhecer o programa, e, de imediato, observamos
alguns alunos dizendo: “Então, por trás desse movimento existe uma função que é
estabelecida em sua parte gráfica e algébrica, nossa! Que legal!”
Conforme observamos nas atividades propostas na Sessão 2, quando os
alunos olhavam a animação dos atores que representam funções, eles associavam
o movimento do ator à lei algébrica da função que estava sendo representada. Por
exemplo, para uma animação representada pela função definida por 1)( xxf ,
observamos comentários do tipo: “É uma reta constante, pois o carrinho anda de
acordo com que o valor de x e y aumenta constantemente. É uma função
crescente”.Nesse sentido, percebemos que, com o tempo, os alunos começaram a
relacionar o movimento apresentado pelo ator no software com a função. Vimos
também que alguns alunos, apesar de não terem percebido qual era a função que
estava sendo representada pela animação, apontaram características dela ao
observar o movimento e a variação da função.
Quando apresentamos aos alunos estórias e pedimos para que eles, a partir
delas, criassem atores que as representassem, todas as duplas associaram a
estória proposta com possíveis representações de movimentos, e assim, estipularam
qual função melhor se adaptaria ao movimento. Podemos observar melhor essa
associação quando a Dupla 3, de acordo com a segunda estória apresentada,
comenta que, se o carrinho não sai do lugar, a função é constante; se ele sai em
disparada, a função pode ser exponencial; e quanto mais inclinada deixar a reta,
mais velocidade terá o carrinho.
Nesse sentido, acreditamos que a utilização do software SimCalc pode
colaborar para que os alunos percebam a relação entre o movimento e a função que
117
estava sendo representada, e principalmente a variação da função a partir do
movimento.
O fato de os sujeitos de pesquisa serem alunos de Licenciatura em
Matemática pode influenciar na produção de narrativas?
Conforme observamos durante as atividades propostas em cada sessão de
ensino, percebemos que os alunos utilizaram tanto o pensamento paradigmático
quanto o pensamento narrativo. Notamos que os alunos se preocupavam em
caracterizar definições lógicas e matemáticas para tentar associar a movimentação
do ator com algum tipo de função. Por exemplo, em um comentário apresentado
pela Dupla 2 durante a primeira animação proposta na terceira sessão para a função
2)( xxf :
Ele vai até um limite e depois volta. (A aluna faz movimentos com a mão). Será que é uma função do 2º grau?... O peixinho inverte o movimento no zero... É uma parábola (afirmou a aluna). Mas professor, como que a gente sabe se é voltada para cima ou para baixo? (perguntou a aluna). Mas se ela vai até o zero é voltada... Acho que ela é voltada para cima, pois parece que o movimento é igual ao que fizemos como exemplo. Já sei! É voltada para cima, pois se fosse voltada para baixo iria trabalhar com a parte negativa do x.
Já para as narrativas, observamos que os alunos trouxeram ricas associações
entre a animação observada e as funções que poderiam ser associadas a elas,
como, por exemplo,quando os alunos da Dupla 3 mencionam, na quarta sessão de
ensino, para a representação animada composta pela função algébrica
1002)( xsexf x , que “o professor bolinha queria ir embora mas, depois ele
pensou bem e resolveu voltar. Vou chamar o bolinha de professor quadrático”.
Observamos, nesse momento, o principal papel das narrativas para a construção do
conhecimento de uma função, que, por meio de uma representação animada, pode
trazer sentido ao contexto da Matemática. Além disso, observamos que, por meio
das narrativas, os alunos dão mais sentido e gosto para desvendar formas
matemáticas “escondidas” por trás de uma simples estória, como também
observamos na resposta da Dupla 6 para a sexta função da primeira sessão:“Eu fiz
as funções juntas e mudei o mundo para o mundo dos robôs. Com tem função
quadrática, função exponencial, função linear e função periódica, os robôs saíram
dois correndo, um saiu atrás e dois ficaram de um lado para o outro”. Nessa
colocação feita pelos alunos da Dupla 6 notamos que, quando eles construíram
118
todas as funções em um mesmo ambiente do mundo no software SimCalc, e
observaram cada movimento diferenciado feito pelos atores, realizaram
comparações entre cada movimento com a função que estava sendo representada,
e, a partir desses diferentes movimentos, começaram a perceber que para cada tipo
de representação animada há uma função.
Assim como Sales (2008) aponta que trabalhar com funções utilizando a
interatividade de uma ferramenta computacional possibilitou a produção de
narrativas com alunos do Ensino Médio, já que eles puderam nomear os grupos,
conforme observavam a dinâmica das funções algébricas, produzidas por meio de
movimentos, como, por exemplo, grupo “locomotiva”, para função do primeiro grau
ou ainda grupo “bate volta” para funções quadráticas,também observamos
características semelhantes dos alunos de nossa pesquisa quando observam o
movimento representado pela função algébrica 1,0
)sin()(
xxf , como, por exemplo,
quando a Dupla 8, na segunda sessão, menciona que “o seu bolinha está
desorientado, corre de um lado para o outro da sala, ele anda 10 metros para lá e 10
metros para cá”.
Apesar de observarmos nas atividades propostas nas sessões, que a maior
preocupação dos alunos foi em atribuir características matemáticas e lógicas
conforme observavam as animações, acreditamos que isso não atrapalhou a
produção de narrativas nos alunos. Sendo assim, deduzimos que as narrativas
podem ser observadas em estudantes de Licenciatura em Matemática.
Limitações da pesquisa
Como exposto anteriormente, a pesquisa foi realizada no laboratório de
informática de uma universidade, com a turma do segundo período do curso de
Licenciatura em Matemática. Ao expor a pesquisa à classe selecionada, foi
observado grande entusiasmo e adesão por parte dos alunos, iniciando os trabalhos
com uma turma de 20 alunos. No desenvolvimento da pesquisa, foram aplicadas
atividades durante as aulas semanais e sábados letivos.
Conforme destacamos anteriormente, após a realização da segunda sessão,
decidimos repensar as atividades das próximas sessões de ensino para que
pudéssemos melhor estruturar nossas atividades para o bom desenvolvimento e
119
interatividade com o software SimCalc.Observou-se que, ao voltarmos com as
sessões de ensino, após um período de intervalo, as atividades das próximas
sessões passaram a ocorrer durante os sábados letivos, e, assim, observamos que
o número de alunos diminuiu, configurando, uma das limitações desta pesquisa.
Ressaltamosque isso ocorreu devido à falta de horário disponível no laboratório da
universidade durante os dias regulares da semana, o que fez necessário a partir da
segunda sessão de nossas atividades trabalharmos aos sábados, e ocasionou no
número decrescente de alunos nas sessões.
Sugestões para futuros trabalhos
Conforme observamos em nossa revisão de literatura, pesquisas no campo
da Educação Matemática vêm mostrando que as narrativas oferecem uma maneira
particular de o indivíduo expor seu pensamento, seja por estórias, falas, contos etc.
Entretanto esta investigação não finda nos questionamentos que
mencionamos.Como contribuição para futuras investigações, sugerimos pesquisas
que abordem alternativas com a utilização das narrativas, de acordo com a teoria de
Bruner, em que o professor possa utilizá-laspara facilitar e dinamizar suas práticas
pedagógicas para o ensino e aprendizagem de Matemática.
120
REFERÊNCIAS
ALVES, Davis Oliveira. Ensino de Funções, Limites e Continuidade em Ambientes Educacionais Informatizados: Uma proposta para cursos de Introdução ao Cálculo. 2010. 152 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Universidade Federal de Ouro Preto, Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Departamento de Matemática – UFOP, 2010. ARMELLA, Luis Moreno; HEGEDUS, Stephen J. Introduction: The transformative nature of “dinamic” educational techonology. JournalZDM, v. 41, 2009. No texto: Armella, Hegedus e Kaput (2008) BRUNER, Jerome. Atos de significação. Tradução de Sandra Costa. Porto Alegre: Artes Médicas,1997. _______. Realidade Mental, Mundos Possíveis.Tradução deMarcus A. G. Domingues. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997. _______. Realidade mental, mundos possíveis. 2. ed. Porto Alegre: Artes Médicas,2002. CONTIER, Ana Teresa; NETTO, Marcio Lobo. Representações Mentais: O pensamento Narrativo e o pensamento Paradigmático integrados.Revista de Estória e Estudos Culturais, v. 4, ano IV, nº 1, mar. 2007. COSTA, Acylena Coelho. Conhecimentos de Estudantes Universitários sobre o conceito de função. 2004. 164 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC/SP, 2004. ESTÁGIO Supervisionado (S/A). Disponível em: <http://www.fbb.br/downloads/estagio.pdf>. Acesso em: 23 maio 2011. FELIPE, P.;ROSANA, N. L.; FRANT, J.B. O Ambiente SimCalc e a aprendizagem de funções que representam movimento. 2012. Anais da Reunião Latinoamericana de Matemática Educativa. Belo Horizonte: [s.n.]. 2012. No texto: Felipe, Lima e Frant (2012) FERRARA, F.; PRATT, D., ROBUTTI, O. Technologies for teaching algebra and calculus.Handbook of Reserch on the Psychology of Mathematics education Past, Present and Futere. 2006. HEALY, Lulu; SINCLAIR, Nathalie. If this is our mathematics, what are our stories? International Journal Computer for Mathematical Leaming.Springer Science + Business Media, p. 3-21, 2007. HEGEDUS, S. J.; RODRIGUES, S.The Role of Gesture as a Form of Participation in Networked Classrooms. Proceedings of the Conference of the XXVIII North American Chpter of the Group fot Psychology of Mathematics Education. Yucatan, Mexico, 2006.
121
KAPUT, J.;HEGEDUS, S. An introduction to the profund potential of connected algebra activities: Issues of representation, engagement and pedagogy. 2004. Proceedings of the 28th Conference of the Group of Psychilogy of Mathematics Education, 3, p. 129-136. Bergen. MAIA, Diana. Função Quadrática: um estudo de uma abordagem computacional.2007. 141 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, PUC/SP, 2007. MORENO-ARMELLA, L.; HEGEDUS, S. J.; KAPUT, J. J. From static to dynamic mathematics: historical and representational perspectives. Educational Studies in Mathematics, 68, n. 2, 99-111, jun. 2008. OLIVEIRA, Francisco Canindé de. Dificuldades na construção de gráficos de funções. 2006. 117 f. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas da Terra, UFRGN, 2006. PAPERT, S; Logo: Computadores e educação. São Paulo: Editora Brasiliense, 1985. PEREIRA, Júlio César. Concepções de professores sobre o uso do computador no ensino e aprendizagem de Matemática. 2011. Monografia (Curso de Pós-Graduação) – Universidade do Vale do Sapucaí, Univás, Curso de Especialização em Educação Matemática, 2011. PINTO, José Benedito. Sequência Didática de taxa de variação média de função para alunos de Licenciatura em Matemática. 2010. 103 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Universidade Bandeirante de São Paulo, UNIBAN, 2010. REIS, Adinilson Marques. Uma proposta dinâmica para o ensino de função afim a partir dos erros dos alunos no primeiro ano do ensino médio. 2011. 171 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, PUC/SP, 2011. RODRIGUES, Maisa Aparecida Siqueira. Explorando números reais através de uma representação visual e sonora: Um estudo das interações dos alunos do Ensino Médio com a ferramenta MusiCALcolorida. 2010. 230 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Universidade Bandeirante de São Paulo, UNIBAN/SP, 2010. SALES, Cássia Osório Reis. Explorando função através de representações dinâmicas: narrativas de estudantes do Ensino Médio. 2008. 144 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Universidade Bandeirante de São Paulo, UNIBAN/SP, 2008. SÃO PAULO. Proposta curricular: “caderno do aluno” “caderno do professor”. 2008.Disponível em: <http://www.treewy.com/2009/10/caderno-do-aluno-respostas-e-duvidas>. Acesso em: 10 mar. 2011.
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SINCLAIR, Nathalie; HEALY, Lulu; SALES, Cassia Osorio Reis. Time for telling stories: narrative thinking with dynamic geometry. ZDM Mathematics Education, 2009. VALENTE, J. A. O computador na sociedade do conhecimento. 1999. Disponível em: <http://scholar.google.com.br/scholar>. Acesso em: 12 de set. 2010. p. 1-116.(Coleção Informática para a mudança na educação). WIKIPÉDIA. Corrida Maluca (Wacky Races). Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Wacky_Races> Acesso em: 21 maio 2012.
123
APÊNDICES
124
APÊNDICE A - Termo de consentimento livre e esclarecido
Título da Pesquisa: “Novas tecnologias no conceito de função real: a utilização do
software SimCalc e as narrativas de alunos de Licenciatura em Matemática”.
Nome do Pesquisador: Júlio César Pereira
Nome da Orientadora: Rosana Nogueira de Lima
O Sr.(Sra.) está sendo convidado(a) a participar desta pesquisa, que tem
como finalidade contribuir com subsídios para a área de Educação Matemática, em
particular com a linha de Tecnologias Digitais e Educação Matemática, investigando
as narrativas de alunos de Licenciatura em Matemática quando deparados com
funções que apresentam comportamentos diferenciados (não usual) em um
ambiente dinâmico.
Ao participar deste estudo, o Sr. (Sra.) permitirá que o pesquisador utilize as
atividades desenvolvidas ao longo da pesquisa, bem como as gravações das
sessões e filmagens. O Sr. (Sra.) tem liberdade de se recusar a participar, e ainda se
recusar a continuar participando em qualquer fase da pesquisa, sem qualquer
prejuízo para o Sr. (Sra.). Sempre que quiser poderá pedir mais informações sobre a
pesquisa por meio do telefone do pesquisador do projeto e, se necessário,por meio
do telefone do Comitê de Ética em Pesquisa.
Riscos e desconforto: a participação nesta pesquisa não traz complicações
legais. Os procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem aos Critérios da Ética
em Pesquisa com Seres Humanos conforme Resolução no. 196/96 do Conselho
Nacional de Saúde. Nenhum dos procedimentos usados oferece riscos à sua
dignidade.
Benefícios: ao participar desta pesquisa o Sr. (Sra.) não terá nenhum
benefício direto. Entretanto, esperamos que este estudo traga informações
importantes sobre formação e práticas didáticas, de forma que o conhecimento que
será construído a partir desta pesquisa possa auxiliar nas metodologias utilizadas
em sala de aula, e o pesquisador se compromete a divulgar os resultados obtidos.
Pagamento: o Sr. (Sra.) não terá nenhum tipo de despesa para participar
desta pesquisa, bem como nada será pago por sua participação.
Após estes esclarecimentos, solicitamos o seu consentimento de forma livre
para participar desta pesquisa. Portanto,preencha, por favor, os itens que se
125
seguem: Confiro que recebi cópia deste termo de consentimento, e autorizo a
execução do trabalho de pesquisa e a divulgação dos dados obtidos neste estudo.
Obs.: Não assine este termo se ainda tiver dúvida a respeito.
Tendo em vista os itens acima apresentados, eu, de forma livre e esclarecida,
manifesto meu consentimento em participar da pesquisa.
__________________________________________
Nome e Assinatura do Participante da Pesquisa
__________________________________
Júlio César Pereira
___________________________________
Rosana Nogueira de Lima
Pesquisador: Júlio César Pereira, RG: MG 12666798, FONE: (35) 98324021
Orientadora: Rosana Nogueira de Lima, RG 11536099-2, FONE: (11) 29729008
Telefone da Comissão de Ética: (11) 2972-9000
E-mail: [email protected]
126
APÊNDICE B - Termo de autorização de uso de imagem e depoimentos
Eu_________________________________,CPF__________________,
RG________________,depois de conhecer e entender os objetivos, procedimentos
metodológicos, riscos e benefícios da pesquisa, bem como de estar ciente da
necessidade do uso de minha imagem e/ou depoimento, especificados no Termo de
Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE), AUTORIZO, através do presente termo,
o pesquisador Júlio César Pereira do projeto de pesquisa intitulado “Novas
tecnologias no conceito de função real: a utilização do software SimCalc e as
narrativas de alunos de Licenciatura em Matemática” a realizar as fotos que se
façam necessárias e/ou a colher meu depoimento sem quaisquer ônus financeiros a
nenhuma das partes.
Ao mesmo tempo, libero a utilização dessas fotos (seus respectivos negativos) e/ou
depoimentos para fins científicos e de estudos (livros, artigos, slides e
transparências), em favor do pesquisador da pesquisa, acima especificado.
Pouso Alegre, _______ de _________ de 2013.
_______________________________
Pesquisador responsável pelo projeto
_______________________________
Sujeito da Pesquisa
______________________________
Responsável Legal (Caso o sujeito seja menor de idade)
Pesquisador: Júlio César Pereira, RG: MG 12666798, FONE: (35) 98324021
Orientadora: Rosana Nogueira de Lima, RG 11536099-2, FONE: (11) 29729008
Telefone da Comissão de Ética: (11) 2972-9000
E-mail: [email protected]
127
APÊNDICE C – Conhecendo um pouco o software SimCalc
O SimCalc é um software que permite manipular gráficos e expressões
algébricas. De acordo com a função estabelecida no software, é possível observar,
em uma janela denominada “Mundo”, a movimentação de um ator, que representa
esta função com um movimento em relação ao tempo.
___________________________________________________________________
Menus
Localizado na parte superior da tela inicial, possui vários comandos
separados por categorias.
___________________________________________________________________
Criar ator
Localizado, na parte superior ou inferir do programa e por meio dele é
possível inserir funções de diversificados tipos que se quer observar.
128
ou
Observação importante: Quando se quer inserir duas ou mais funções num mesmo
Mundo, após cada função inserida é preciso novamente pressionar o comando “criar
ator” e no campo “função” digitar a função pretendida.
___________________________________________________________________
Animação
Também localizado na parte superior ou inferir do programa, com ele é
possível observar a animação da função por meio do movimento do ator em seu
mundo.
___________________________________________________________________
129
Atividade 1) Abra o software SimCalc. Em arquivos diferentes, faça e observe a
animação realizada pelo ator para as seguintes funções.
a) 1)( xxf
b) 7)( 4 xxf
c) x
xfx 13
)(
d) xxf 5)(
e) 1,0
)()(
xsenoxf
___________________________________________________________________
130
APÊNDICE D - 2ª Sessão
Nesta sessão, os alunos descreverão o comportamento realizado pelo ator
correspondente à representação algébrica das funções (Atividade 1).
Observe a animação dos atores com sua respectiva função. Usando sua
criatividade, anote para cada função o comportamento do ator realizado na
animação.
1)( xxf
7)( 4 xxf
xxf
x 13)(
1,0
)()(
xsenoxf
131
APÊNDICE E - 3ª Sessão
Nesta sessão esperamos que os alunos consigam descobrir apresentando na
forma algébrica as funções que serão apresentadas na animação feita pelo software,
colocando em prática todos os conhecimentos adquiridos nas atividades
apresentadas na sessão anterior.
Observação: Nesta atividade as funções representadas pela animação do
software SimCalc estarão em arquivo denominado “Funções – sessão 3”.
Observe a animação da representação geométrica das funções seguintes,
apresentadas no software SimCalc. Anote comportamentos pertinentes,
interessantes, engraçados (assim como feito na sessão anterior) apresentada pela
animação dos atores no software SimCalc. Utilizando as estratégias e os
conhecimentos adquiridos procure descobrir que tipo de função (1º grau, 2º grau,
constante, ..., ou ainda algumas características, qualidades que as classificam) cada
animação representa.
1ª função (ver arquivo 1):
Essa função representa uma função: _________________________________
2ª função (ver arquivo 2):
Essa função representa uma função: _________________________________
3ª função (ver arquivo 3):
Essa função representa uma função: _________________________________
4ª função (ver arquivo 4):
Essa função representa uma função: _________________________________
5ª função (ver arquivo 5):
Essa função representa uma função: _________________________________
132
APÊNDICE F – 4ª Sessão
Observe o movimento do ator que será apresentado em seu computador na
janela “Mundo” do software SimCalc. Utilizando-se das ferramentas de construção
de atores no software tente reproduzir o mesmo movimento apresentado. Se achar
necessário anote nos quadros abaixo o tipo de movimento do ator no “Mundo”.
Animação 1. “Ver arquivo enviado”
Animação 2. “Ver arquivo enviado”
133
Animação 3. “Ver arquivo enviado”
134
APÊNDICE G – 5ª Sessão
A primeira estória que apresentamos é:
“O peixe pai saiu com o peixe filho para passear. Ele estava contando para o filho
que o fundo do mar era perigoso e que não poderia sair sozinho, mas mesmo assim,
o filhinho insistiu para que o deixasse sair sozinho, e o pai deixou para provar que
realmente era perigoso. O pai parou, deixando o filho nadar sozinho, e assim, o
peixinho filho foi. Chegando até certo local, o pai avistou o filhinho voltando, pois o
filhinho percebeu que era muito pequeno e perigoso para nadar sozinho. Então, eles
foram nadando e conhecendo o mar juntos”.
Para a segunda estória, temos:
“Foi dada a largada. Três competidores na pista de corrida, cada um com o seu
carro tentando cruzar a linha de chegada. Impressionante, o carro A não saiu do
lugar, enquanto que os outros dois estão lado a lado, na disputa. De repente o carro
A sai em disparada e passa os outros dois carros. O carro B para, parece que
quebrou! e o carro C tenta se aproximar do carro A. Mas, sem explicações, o carro B
dispara e ultrapassa os carros A e C cruzando a linha de chegada”.
