UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN … · classificação dos problemas de acordo com as...

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA

UNIBAN

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

MAYARA MAIA ESTEVES

ESTRUTURAS ADITIVAS: UMA ANÁLISE DAS SITUAÇÕES E RECURSOS

CONTIDOS EM DIFERENTES COLEÇÕES DE MATERIAIS DIDÁTICOS PARA OS

ANOS INICIAIS

SÃO PAULO

2013

MAYARA MAIA ESTEVES

ESTRUTURAS ADITIVAS: UMA ANÁLISE DAS SITUAÇÕES E RECURSOS

CONTIDOS EM DIFERENTES COLEÇÕES DE MATERIAIS DIDÁTICOS PARA OS

ANOS INICIAIS

Dissertação apresentada como exigência parcial à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante Anhanguera a título de MESTRE em Educação Matemática, sob orientação da Professora Doutora Maria Elisa Esteves Lopes Galvão.

SÃO PAULO

2013

Banca Examinadora

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_______________________________

_______________________________

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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total e parcial desta Dissertação por processos de fotocópias ou eletrônicos.

Assinatura Local e data

5

Dedico este trabalho à minha família

em especial à minha mãe Flávia

e à Professora Maria Elisa.

6

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus pela coragem, determinação e por me

sustentar nos momentos mais difíceis. Que minhas atitudes sejam, diariamente, o

reflexo deste sentimento de gratidão.

Quero agradecer eternamente a todos que contribuíram e me auxiliaram na

relização deste trabalho.

À Profª Drª Maria Elisa Esteves Lopes Galvão, pela sabedoria, incentivo,

críticas, sugestões, paciência e por acreditar no meu trabalho. Tê-la como

professora e poder compartilhar de seus conhecimentos foram um privilégio, muito

obrigada.

À professora Angélica da Fontoura Garcia Silva pelo carinho e apoio no

desenvolvimento deste trabalho. Foi uma honra tê-la como professora desde minha

licenciatura, obrigada.

A todos os professores e colegas do Programa de Pós-Graduação em

Educação Matemática da UNIBAN por todo o aprendizado, experiência e

principalmente pela amizade que proporcionaram. Em especial às professoras Vera

Helena Giusti de Souza, Rosana Nogueira de Lima, Verônica Yumi Kataoka e Maria

Helena Palma de Oliveira por todo carinho.

Aos colegas do grupo de pesquisa Observatório da educação pelos

momentos de discussão e aprendizado.

À Flávia Regina, minha mãe e, acima de tudo minha amiga, que sempre

acreditou em mim, me incentivando e me dando coragem para vencer as barreiras e

enfrentar os obstáculos. Fica aqui o meu obrigado especial.

Ao meu companheiro e amigo Renato Calixto, que me apoiou em todos os

momentos, me dando forças para levantar todas as vezes que eu enfraquecia e não

tinha mais esperança para continuar, muito obrigada.

A todos os familiares e amigos que, direta e indiretamente, me ajudaram

nesta jornada, em especial à minha irmã Nathália, minha querida avó Lúcia, ao Lik,

aos tios Renato, Tuca, Hugo, Graciela, e a todos os outros que não mencionei aqui.

A Capes pela bolsa de estudos concedida a mim.

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“Que os vossos esforços desafiem as

impossibilidades, lembrai-vos de que as grandes

coisas do homem foram conquistadas do que

parecia impossível.”

Charles Chaplin

8

RESUMO

ESTRUTURAS ADITIVAS: UMA ANALISE DAS SITUAÇÕES E RECURSOS CONTIDOS EM DIFERENTES COLEÇÕES DE MATERIAIS DIDÁTICOS PARA OS ANOS INICIAIS

A motivação para esse trabalho surgiu nos encontros do projeto Observatório da Educação: Educação continuada de professores das séries iniciais do Ensino Fundamental e resultados de pesquisas em Educação Matemática: uma investigação sobre as transformações da prática docente, do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNIBAN. Nosso objetivo foi analisar, à luz da Teoria dos Campos Conceituais, as situações do Campo Conceitual Aditivo e os recursos didáticos encontrados em quatro Coleções de materiais didáticos de Matemática voltadas aos anos iniciais do Ensino Fundamental. Uma pesquisa documental nos possibilitou uma abordagem qualitativa dos dados. Para isso estruturamos instrumentos a fim de organizar e classificar os problemas propostos e propiciar a elaboração de um detalhamento de cada coleção. Observamos a classificação dos problemas de acordo com as categorias estabelecidas por Vergnaud; analisamos os tipos de problemas, os recursos didáticos oferecidos e também examinamos as coleções em relação às resenhas de avaliação do Programa Nacional do Livro Didático PNLD (2010). Um estudo comparativo nos forneceu subsídios para verificar que as quatro Coleções propõem situações diversificadas, porém, apenas algumas delas oferecem uma quantidade significativa de problemas e uma distribuição equitativa da classificação quanto às categorias, aos tipos de problemas e aos recursos didáticos, de forma a contribuir para a construção de esquemas na resolução dos problemas. Os resultados demonstraram que muitas das situações podem ser classificadas segundo as categorias de relações básicas (elementares) estabelecidas na Teoria dos Campos Conceituais, mas que encontramos também situações que Vergnaud aponta como situações complexas. Esse olhar detalhado para as situações pode contribuir com o trabalho dos docentes da Educação Básica, sugerindo uma forma de análise que os oriente ou os auxilie na seleção de seu material de trabalho.

Palavras-chave: Campo Conceitual Aditivo, materiais didáticos, situações, anos inicias.

9

ABSTRACT

ADDITIVE STRUCTURES: AN ANALYSIS OF DIFFERENT CONDITIONS CONTAINED IN COLLECTIONS OF EDUCATIONAL MATERIALS FOR THE EARLY YEARS The motivation for this work arose in project meetings Observatory Education: Continuing education for teachers in the early grades of elementary school and research results in Mathematics Education: an investigation of the transformation of teaching practice, the Graduate Program in Mathematics Education UNIBAN. Our aim was to examine, in the light of the Theory of Conceptual Fields, situations of additive conceptual field and didactic resources found in four collections of mathematics didactic materials aimed at the early years of elementary school. A documentary survey enabled us to approach qualitative data. For this structured instruments to organize and classify the proposed problems and encourage the development of a breakdown of each collection. Observe the classification of problems according to the categories established by Vergnaud, we analyze the types of problems, didactic resources offered and also examine the collections in relation to reviews of evaluation of the National Textbook Program PNLD (2010). A comparative study on subsidies provided to verify that the four Collections propose different situations, but only some of them offer a significant amount of problems and an equitable distribution of classification as the categories, the types of problems and didactic resources in order to contribute for the construction of schemes in solving problems. The results showed that many of the situations can be classified according to the categories of basic relations (elementary) established in the Theory of Conceptual Fields, but we also find situations that Vergnaud points as complex situations. This detailed look at situations can contribute to the work of teachers of basic education, suggesting a form of analysis that orient or assist in the selection of material for labor. Key words: Conceptual Field Additive, instructional materials, situations, initial years.

10

SUMÁRIO

RESUMO..................................................................................................................... 8

ABSTRACT ................................................................................................................. 9

SUMÁRIO ................................................................................................................. 10

LISTA DE ILUSTRAÇÕES ....................................................................................... 12

LISTA DE TABELAS ................................................................................................ 13

INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 15

1 REVISÃO DE LITERATURA ................................................................................. 19

2 REFERENCIAL TEÓRICO ..................................................................................... 29

2.1 A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS ...................................................... 29

2.1.1 Campo Conceitual Aditivo ............................................................................. 34

3 PCN E PNLD .......................................................................................................... 47

3.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PCN (1997) .................................................. 47

3.1.1 Os objetivos dos PCN (1997) ........................................................................ 47

3.1.2 Dados estatísticos de avaliação .................................................................... 51

3.1.3 Resolução de problemas e a Teoria dos Campos Conceituais ..................... 51

3.1.4 Recursos didáticos ........................................................................................ 53

3.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PNLD 2010 .................................................. 55

3.2.1. Critérios eliminatórios comuns ...................................................................... 56

3.2.2. Critérios específicos da área de Matemática ................................................. 57

3.2.3. Estruturação das resenhas de avaliação dos livros didáticos ....................... 58

4 METODOLOGIA .................................................................................................... 61

4.1 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ......................................................... 61

4.1.1. Pré-análise ................................................................................................. 62

4.1.1.1 Levantamento das Coleções ...................................................................... 62

4.1.2. Exploração do material ............................................................................... 63

4.1.2.1. Elaboração dos instrumentos de coleta de dados ...................................... 63

4.1.3. Tratamento dos resultados ......................................................................... 64

5 ANÁLISE DOS DADOS ......................................................................................... 67

5.1. COLEÇÃO 1 ............................................................................................... 68

5.1.1. Classificação das situações segundo as categorias de Vergnaud (1982) na TCC ............................................................................................................ 68

5.1.2. Recursos didáticos ............ ........................................................................71

11

5.1.3. Exame da Coleção segundo critérios do Guia de Livros Didáticos PNLD 2010 ................................................................................................................ 72

5.2 COLEÇÃO 2 ............................................................................................... 74

5.2.1. Classificação das situações segundo as categorias de Vergnaud (1982) na TCC............................................................................................................... ..... 74

5.2.2 Recursos didáticos ..................................................................................... 78

5.2.3. Exame da Coleção segundo critérios do Guia de Livros Didáticos PNLD 2010 ............................................................................................................... 79

5.3 COLEÇÃO 3 ............................................................................................... 81

5.3.1. Classificação das situações segundo as categorias de Vergnaud (1982) na TCC.............................................................................................................. ...... 81



5.4 COLEÇÃO 4 ............................................................................................... 88

5.4.1. Classificação das situações segundo as categorias de Vergnaud (1982) na TCC............................................................................................................... ..... 88



5.5 ESTUDO COMPARATIVO ENTRE AS COLEÇÕES ................................. 93

5.5.1 Categorias de Vergnaud (1982) e tipos de problemas .............................. 93


5.5.3 Critérios de avaliação do PNLD 2010 ..................................................... 101

5.6 SÍNTESE DO CAPÍTULO ......................................................................... 102

CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 104

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 111

APÊNDICE A - CLASSIFICAÇÃO DAS SITUAÇÕES DO CAMPO ADITIVO DE ACORDO COM AS CATEGORIAS DA TCC ........................................................... 114

APÊNDICE B - CLASSIFICAÇÃO DAS SITUAÇÕES DO CAMPO ADITIVO DE ACORDO COM OS RECURSOS DIDÁTICOS ....................................................... 115

APÊNDICE C - EXEMPLOS DE PROBLEMAS TIPO 1 E 2.................................... 116

ANEXO A – CRITÉRIOS RETIRADOS DO GUIA DE LIVROS DIDÁTICOS PNLD 2010 ................................................................................................ 117

ANEXO B – PROBLEMAS QUE NÃO SE ENQUDRAM NAS CATEGORIAS BÁSICAS DE RELAÇÕES ADITIVAS DA TCC ...................................................... 119

12

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Códigos estabelecidos por Vergnaud ....................................................... 37

Figura 2 - Relações aditivas elementares ................................................................ 44

Figura 3 - Exemplo de “problema complexo” ............................................................ 45

Figura 4 - Exemplo de “problema complexo” ............................................................ 45

Figura 5 - Abordagem dos conteúdos ..................................................................... 59

Figura 6 - Classificação geral dos problemas, Coleção 1 ........................................ 68

Figura 7 - Classificação dos tipos de problemas e categorias de Vergnaud,

Coleção 1 .................................................................................................................. 70

Figura 8 - Classificação dos recursos didáticos, Coleção 2 (2o ao 5oanos) .............. 71

Figura 9 - Classificação geral dos problemas, Coleção 2 ........................................ 75


Coleção 2 .................................................................................................................. 77

Figura 11 - Classificação dos recursos didáticos, Coleção 2 (2º ao 5º anos) ........... 78

Figura 12 - Classificação geral dos problemas, Coleção 3 ..................................... 81


Coleção 3 ................................................................................................................ 84


Figura 15 - Classificação geral dos problemas, Coleção 4 ....................................... 89


Coleção 4 ................................................................................................................ 90


Figura 18 - Classificação geral dos problemas do 2o ao 5o ano - Coleção 1 a 4 .... 94

Figura 19 - Tipos de situações do 2º ao 5º anos - Coleção 1 a 4 ............................ 97

Figura 20 - Recursos didáticos do 2o ao 5o anos - Coleção 1 a 4 ............................ 99

13

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Classificação geral, Coleção 1 ........................................................................... 68

Tabela 2 - Classificação dos tipos de problemas ..................................................... 69

Tabela 3 - Classificação dos tipos de problemas ................................................................ 69



Tabela 6 - Classificação dos recursos didáticos, Coleção 1 ................................... 71

Tabela 7 - Classificação geral, Coleção 2 ............................................................................... 74

Tabela 8 - Classificação dos tipos de problemas ..................................................... 75


Tabela 10 - Classificação dos tipos de problemas .............................................................. 76


Tabela 12 - Classificação dos recursos didáticos, Coleção 2 .......................................... 78

Tabela 13 - Classificação geral, Coleção 3............................................................................. 81





Tabela 18 - Classificação dos recursos didáticos, Coleção 3 .......................................... 85

Tabela 19 - Classificação geral, Coleção 4 ........................................................................... 88




Tabela 23 - Classificação dos recursos didáticos, Coleção 4 ........................................... 91

Tabela 24 - Classificação geral do 2o ao 5o anos, Coleção 1 a Coleção 4 ................... 93

14

Tabela 25 - Tipos de situações do 2o ao 5o anos, Coleção 1 a 4 .................................... 97

Tabela 26 - Recursos didáticos - 2o ao 5o anos, Coleção 1 a 4 ....................................... 98

15

INTRODUÇÃO

Ensinar conceitos matemáticos que envolvam as estruturas aditivas nos anos

iniciais do Ensino Fundamental é um desafio para professores desta área, como foi

possível vivenciar no contato com os participantes do projeto Observatório da

Educação: “Educação continuada de professores das séries iniciais do Ensino

Fundamental e resultados de pesquisas em educação matemática: uma investigação

sobre as transformações da prática docente” junto ao Programa de Pós-Graduação

em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN.

Neste projeto, analisamos as transformações da prática docente de professores das

séries iniciais do Ensino Fundamental estimulados às inovações didático-

pedagógicas em sala da aula, que são fruto de discussões sobre resultados de

pesquisa em Educação Matemática. Dele participam professores da Educação

Básica, docentes, mestrandos e doutorandos do Programa de Pós-Graduação em

Educação Matemática da UNIBAN das linhas de pesquisa Ensino e Aprendizagem

de Matemática e suas inovações e Formação de Professores que ensinam

Matemática e alunos da Licenciatura em Matemática.

O primeiro módulo do projeto Observatório da Educação tratou do bloco de

conteúdo Números e Operações1, tendo por referencial os estudos da Teoria dos

Campos Conceituais de Gérard Vergnaud, e, mais especificamente, o Campo

Conceitual Aditivo.

Nesses encontros e com nossa experiência na prática docente, observamos a

importância da mobilização de diversos recursos para introduzir os conceitos e

abordar as situações-problema no trabalho com estudantes dos anos iniciais, em

especial, no que se refere ao Campo Conceitual das Estruturas Aditivas.

1 Segundo os PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais), os currículos de Matemática para o

Ensino Fundamental devem contemplar os blocos de conteúdo: Números e Operações (Aritmética e Álgebra); espaço e forma (Geometria); Grandezas e Medidas (interligação entre os campos da Aritmética, Álgebra e geometria) e Tratamento da Informação (Estatística, Probabilidade e Combinatória). (BRASIL, 1997b, p.38).

16

Segundo Vergnaud (2009), o funcionamento cognitivo do sujeito se assenta

sobre seus repertórios de esquemas já formados e as crianças descobrem novos

esquemas ou aperfeiçoam os anteriores em diferentes situações2. Portanto, é

importante que o material didático ofereça essas situações de aprendizagem que

podem propiciar ao aluno uma multiplicidade de experiências para que, ao defrontá-

las e, aos poucos, dominá-las, se dê a formação dos conhecimentos matemáticos.

Essa preocupação e conscientização foram à motivação para o

desenvolvimento desta pesquisa, na qual temos como objetivo principal:

ANALISAR AS SITUAÇÕES DO CAMPO CONCEITUAL ADITIVO E OS

RECURSOS DIDÁTICOS ENCONTRADOS EM QUATRO COLEÇÕES DE

MATERIAIS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA, VOLTADAS AOS ANOS INICIAIS,

OBSERVANDO QUAIS AS POSSIBILIDADES POR ELES OFERECIDAS PARA

FAVORECER A CONSTRUÇÃO DE ESQUEMAS PELO ALUNO AO LONGO DOS

ANOS.

Esse objetivo nos leva a delimitar os seguintes objetivos específicos:

classificar as situações propostas nas Coleções de acordo com as categorias

de relações básicas estabelecidas por Vergnaud e os recursos didáticos

apresentados nos materiais selecionados;

examinar as Coleções de acordo com critérios utilizados nas resenhas de

avaliação dos materiais citados no Guia de Livros Didáticos PNLD 2010;

comparar as quatro Coleções observando a multiplicidade de situações

oferecidas, evolução das situações apresentadas e seus recursos didáticos.

Assim, foram fixadas, em nossa investigação, as seguintes questões

de pesquisa:

1. É POSSÍVEL CLASSIFICAR AS SITUAÇÕES ADITIVAS ENCONTRADAS

EM QUATRO COLEÇÕES DE MATERIAIS DIDÁTICOS DE

MATEMÁTICA, SEGUNDO QUATRO CATEGORIAS DE RELAÇÕES

BÁSICAS DA TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS?

2 Estamos tomando “situação” como sinônimo de “situação-problema”.

17

2. QUE TIPOS DE RECURSOS DIDÁTICOS ESTÃO DISPONÍVEIS NAS

COLEÇÕES DE MATERIAIS DIDÁTICOS?

3. QUAIS OS ASPECTOS EM COMUM E AS DIFERENÇAS ENTRE AS

COLEÇÕES DE MATERIAIS DIDÁTICOS?

Delimitados os objetivos e questões fundamentais de nossa pesquisa, nos

propusemos a segui-los (os objetivos) e respondê-las com base em uma abordagem

qualitativa apoiada na ideia de Dias (2000), citando Bradley (1993), quando aponta

que, em pesquisas com esse tipo de abordagem, “as grandes massas de dados são

quebradas em unidades menores e, em seguida, reagrupadas em categorias que se

relacionam entre si de forma a ressaltar padrões, temas e conceitos” (p. 02).

Nossa análise não prevê um estudo intervencionista com aplicação de uma

sequência de ensino como a pesquisa de Santana (2010) e, de maneira diferente da

de Oliveira Filho (2009), que analisou livros didáticos observando o impacto dos

PNLDs de 2004 e 2007 no tratamento dos problemas de Estrutura Aditiva e

Multiplicativa, trata-se de uma pesquisa documental baseada na ideia de Gil (2010) -

que é um tipo de investigação elaborada a partir de “dados já existentes” (GIL, 2010,

p. 30) - retirados de materiais publicados, na qual pretendemos verificar as

possibilidades oferecidas por diferentes Coleções de materiais didáticos para

favorecer a construção de esquemas por alunos dos anos iniciais do Ensino

Fundamental, examinando as situações aditivas, quanto a sua natureza (de acordo

com as categorias de Vergnaud), e quanto a sua forma de apresentação (de acordo

com os tipos de problemas e seus recursos didáticos).

Cabe ressaltar que dentre as quatro Coleções apuradas para o presente

estudo, os volumes que são destinados aos alunos do 1o ano não foram

selecionados, pois só tivemos acesso a materiais destinados a esse ano de duas

das quatro Coleções selecionadas.

Para atender a nossos objetivos e solucionar a problemática inicial,

embasadas na Teoria dos Campos Conceituais e recomendações dos documentos

oficiais voltados aos anos iniciais do Ensino Fundamental, elaboramos um

detalhamento de cada Coleção, observando a classificação de acordo com as

18

categorias estabelecidas por Vergnaud, os tipos de problemas, os recursos didáticos

oferecidos e de acordo com as resenhas de avaliação do PNLD (2010). Foi realizado

um estudo comparativo entre as Coleções buscando analisar a evolução das

situações, ao longo dos anos.

No delineamento de nosso estudo, tem-se:

No Capítulo I, a apresentação da revisão de literatura, com o objetivo de

destacar pesquisas relacionadas a nosso trabalho, pesquisas, estas, que

contemplam aspectos relativos à análise de livros didáticos de uma forma geral;

avaliação dos vários tipos de atividades neles contidas e propostas de suporte ou

recurso didático para o ensino de Matemática nos anos iniciais do Ensino

Fundamental;

No Capítulo II, são apresentados os principais aspectos do referencial teórico

de nossa pesquisa. Encontramos na Teoria dos Campos Conceituais os subsídios

essenciais para a fundamentação de nosso trabalho;

No Capítulo III, é feita uma breve passagem pelos documentos oficiais: Os

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e o Programa Nacional do Livro Didático

(PNLD). No exame desses documentos, foram selecionados pontos fundamentais

condizentes com os intuitos da pesquisa;

O Capítulo IV refere-se à descrição dos aspectos e dos procedimentos

metodológicos que permeiam o desenvolvimento desta pesquisa;

No Capítulo V, são descritas as análises elaboradas a partir dos dados

coletados acerca das Coleções selecionadas para este estudo.

Por fim, têm-se as considerações finais com discussões e reflexões sobre os

resultados da nossa investigação.

19

CAPÍTULO I

REVISÃO DE LITERATURA

Como subsídio para analisar as situações do Campo Conceitual Aditivo

encontradas em Coleções de materiais didáticos de Matemática, voltadas aos anos

iniciais, buscamos alguns resultados de pesquisa nessa área. Neles, estão

contemplados aspectos relacionados à análise de livros didáticos de uma forma

geral, dos vários tipos de atividades relacionadas às Estruturas Aditivas, às

propostas de suporte ou recurso didático na abordagem desse tipo de atividade,

bem como a utilização de jogos e materiais concretos para o ensino de Matemática

nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Destacamos as pesquisas de: Santana (2010) que buscou analisar, com base

na Teoria dos Campos Conceituais, as contribuições que uma sequência de ensino,

elaborada para a utilização de diferentes suportes didáticos traz para o domínio do

Campo Conceitual Aditivo e para os alunos dos anos iniciais do Ensino

Fundamental; Oliveira Filho (2009), que analisou a abordagem dada aos problemas

de Estruturas Aditivas e Multiplicativas em livros didáticos, quanto aos significados

das operações e quanto às formas de representação simbólicas das situações-

problema, observando o impacto do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) no

tratamento desses problemas; Oliveira (2007), que investigou a maneira como estão

sendo tratados os livros didáticos de Matemática do Ensino Fundamental por

professores da rede municipal do Recife; Campos (2009), que analisou a presença

de jogos e materiais concretos encontrados em livros didáticos de Matemática das

séries iniciais a fim de contribuir para uma discussão na qual considera as diferentes

dimensões e conotações, como a cultural, a política, a pedagógica, dentre outras,

desses jogos e materiais concretos.

Encontramos em Santana (2010) a preocupação com a busca do

esclarecimento de como se dá o processo de aprendizagem das estruturas aditivas

dos alunos das séries iniciais, de quais as dificuldades dos estudantes na resolução

de problemas e de quais materiais didáticos podem ser utilizados com vista a um

melhor aproveitamento para esse processo de aprendizagem. Em sua tese de

doutorado em Educação Matemática, Santana (2010) apontou como objetivo geral:

20

“avaliar as contribuições que uma sequência de ensino, baseada na classificação

proposta pela Teoria dos Campos Conceituais, traz para o domínio do Campo

Aditivo por estudantes da 3ª série do Ensino Fundamental”. (SANTANA, 2010, p.24).

Seu objetivo específico foi: “avaliar se a utilização de suportes didáticos distintos

produz efeitos diferentes no domínio do campo conceitual aditivo”. (SANTANA, 2010,

p.24). Foram definidas as seguintes questões para a pesquisa:

1. Quais as contribuições que uma sequência de ensino baseada na classificação proposta pela Teoria dos Campos Conceituais traz para o domínio do Campo Aditivo por estudantes da 3ª série do Ensino Fundamental?

2. Considerando uma sequência de ensino baseada na classificação proposta pela Teoria dos Campos Conceituais, a utilização de suportes didáticos distintos traz diferença na expansão do Campo Conceitual Aditivo de estudantes da 3ª série do Ensino Fundamental?

3. Existe supremacia na utilização de um desses suportes? Se sim, em quê? (SANTANA, 2010, p.24).

A Teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud (1982, 1996)

subsidiou a elaboração da pesquisa. O foco do estudo de Santana (2010) foi o

Campo Conceitual Aditivo, a autora optou por considerar uma classificação das

situações-problema das Estruturas Aditivas seguindo as propostas por Vergnaud

(1982, 1991, 1996). As categorias de problemas adotadas por (SANTANA, 2010),

foram:

Composição: situações nas quais se têm partes e um todo;

Transformação: situações nas quais se tem um estado inicial, uma

transformação e um estado final;

Comparação: situações nas quais é estabelecida uma relação de

comparação entre duas quantidades;

Composição de várias transformações: situações nas quais são dadas

transformações e a partir da composição dessas se busca uma nova

transformação;

Transformação de uma relação: situações nas quais é dada uma relação

estática e a partir da transformação desta é gerada uma nova relação

estática;

Composição de relações estáticas: duas ou mais relações estáticas se

compõem para dar lugar a outra relação estática.

Seu trabalho consistiu em um estudo intervencionista classificado como

quase-experimental com grupos de controle e experimental e a aplicação de uma

sequência de ensino. Participaram da pesquisa 98 estudantes sendo 46 deles

21

subdivididos em dois grupos experimentais e 52 em dois grupos de controle. Todos

os quatro grupos responderam a pré e pós-testes, os grupos de controle tiveram oito

aulas com suas professoras sobre Estrutura Aditiva, e os experimentais tiveram oito

encontros para a aplicação da intervenção de ensino. Um dos grupos experimentais

trabalhou com situações-problema do tipo aditivo ancorado no material didático: o

material dourado e o ábaco; o trabalho com o outro grupo se ancorou no material

representacional, baseado nos diagramas de Vergnaud. A autora optou pela

utilização desses materiais didáticos por serem de fácil acesso ou de fácil aquisição

para os professores, e por serem passíveis de manipulação.

A pesquisadora enfatizou que

a ideia fundamental de uso do material didático é que esse uso seja reflexivo, que o estudante seja confrontado com situações de forma que não seja atraído apenas pelo uso do material, mas também pelas operações e conceitos envolvidos... (SANTANA, 2010, p. 104).

Os principais resultados, segundo Santana (2010), mostraram que a média de

acertos dos grupos de controle foi de 43% no pré-teste e 42% no pós-teste; já os

experimentais partiram de uma média de 47% no pré-teste e chegaram a 77% no

pós-teste, ou seja, “uma sequência de ensino baseada na classificação proposta na

Teoria dos Campos Conceituais para as situações-problema aditivas melhorou

significativamente o desempenho dos estudantes da 3ª série do Ensino

Fundamental” (p. 270). A autora detectou também que os estudantes que tiveram

contato com a sequência de ensino baseada nos métodos tradicionais da escola,

não obtiveram o mesmo desempenho que os outros. Ela constatou que “a principal

contribuição que a sequência de ensino trouxe para os estudantes foi à apropriação

e consequente expansão das estruturas aditivas.” (SANTANA, 2010, p. 271).

Verificou que a utilização de alguns suportes didáticos, como o material dourado, o

ábaco e um material representacional baseado nos diagramas de Vergnaud não

ofereceram grandes diferenças no avanço dos conhecimentos do Campo Aditivo.

Buscamos, em nosso estudo, observar a maneira como as coleções didáticas

propõem as situações do Campo Aditivo, ou seja, se estas recomendam situações

que podem ser classificadas de acordo com as categorias estabelecidas na Teoria

dos Campos Conceituais (TCC) que têm sua importância no desenvolvimento da

capacidade de resolver situações-problema do Campo Aditivo, conforme os

resultados da pesquisa de Santana (2010).

22

Oliveira Filho (2009) sustentou seus estudos na análise da abordagem de

problemas de Estruturas Aditivas e Multiplicativas em livros didáticos de Matemática

do Ensino Fundamental. O objetivo de sua pesquisa foi analisar coleções de livros

didáticos de Matemática presentes nos Guias do PNLD de 2004 e 2007 (de 1ª à 4ª

séries) e de 2005 e 2008 (de 5ª à 8ª séries), buscando observar o impacto desse

plano no tratamento dos problemas de Estrutura Aditiva e Multiplicativa, quanto aos

significados das operações apresentados e quanto às formas de representação

simbólicas utilizadas em situações-problema. Sua pesquisa foi fundamentada na

Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1987) e em Carpenter e Moser (1982)

no que se refere à classificação dos problemas de Estrutura Aditiva. Oliveira Filho

(2009) adotou a mesma categorização de Carpenter e Moser (1982) para os tipos de

problemas aditivos: “combinação”, “mudança”, “comparação” e “igualização”. Quanto

à classificação dos problemas de Estrutura Multiplicativa baseou-se nos estudos de

Terezinha Nunes e Peter Bryant (1997) que categorizam esses problemas, quanto a

seus significados, como “correspondência um-a-muitos” - subdivididos em:

“multiplicação”, “inverso da multiplicação”, “produto cartesiano” e “distribuição”.

O autor adotou como amostra 12 volumes de livros didáticos de Matemática,

cujas resenhas constaram nos Guias do PNLD de 2004 e 2007 (3ª série) e 2005 e

2008 (5ª série). Posteriormente, elaborou fichas para o levantamento de dados

objetivando uma classificação dos significados das operações e das representações

simbólicas envolvidas nos problemas propostos nos livros escolhidos. A partir dos

dados colhidos

foi efetuado um estudo comparativo quanto aos avanços, ou não, encontrados em termos de significados envolvidos e representações utilizadas e solicitadas, buscando contatar se houve, ou não, influência do PNLD nos problemas apresentados em diferentes edições e níveis de ensino distintos dos Guias do Livro Didático produzidos pelo MEC. (OLIVEIRA FILHO , 2009, p. 74).

O estudo apontou os seguintes resultados:

Quanto à diversidade de tipos de problemas aditivos e multiplicativos

trabalhados e quanto às formas de representação simbólica de apresentação

dos problemas sugeridos para uso por parte dos alunos, não foram

evidenciadas mudanças entre as edições anteriores e posteriores no terceiro

e quinto volumes das coleções analisadas;

Quanto aos problemas aditivos os mais usuais são os de “Combinação” e

também os de “Mudança”, que prevalecem em todos os volumes. As coleções

23

contêm poucos problemas de “igualização” e de “comparação”. O autor

também constatou que não há uma distribuição equitativa das subcategorias

destes tipos de problema, diferentemente dos problemas multiplicativos que,

quando comparados com os aditivos, apresentam-se melhor distribuídos;

essa distribuição não foi considerada ideal, pois não foi encontrado nenhum

problema inverso de “produto cartesiano” nos livros analisados.

Quando se refere às representações simbólicas também não foram

encontradas diferenças significativas em relação às edições anteriores e

posteriores das coleções. Os problemas predominantes são os de que

apenas o enunciado é apresentado sem uso de recursos auxiliares. Não são,

frequentemente, estimuladas atividades com jogos, o uso de calculadora e de

materiais manipulativos, “cujas formas de representação podem ser úteis ao

desenvolvimento do raciocínio aditivo e multiplicativo de alunos do Ensino

Fundamental.” (OLIVEIRA FILHO , 2009, p. 09) Poucas atividades envolvem

o cálculo mental e a utilização de gráficos e tabelas.

Oliveira Filho (2009, p.129) concluiu, pela análise dos documentos, que o

PNLD tem estimulado melhorias na qualidade dos livros didáticos, mas “não se pode

afirmar que o PNLD de Matemática tenha influenciado na distribuição equitativa das

subcategorias dos problemas de estrutura aditiva e multiplicativa”. Também conclui

que o PNLD, evidentemente, não influenciou na variedade de escolha das formas de

representação simbólica dos problemas aditivos e multiplicativos, nem na forma de

apresentação das situações-problema e, não, também, nas sugestões dadas aos

alunos. Segundo o autor, o PNLD é referência para o sucesso da política

educacional brasileira, mas faz uma ressalva:

constata-se que a análise dos livros didáticos não pode estar sujeita apenas a um único tipo de avaliação, e que outras formas de avaliar livros didáticos são necessárias para que possam ser evidenciados outros aspectos das propostas dos livros, de forma que os mesmos possam se adequar às necessidades exigidas pelo atual contexto da educação matemática. (OLIVEIRA FILHO , 2009, p. 129).

Ele constatou que alguns aspectos dos livros didáticos ainda precisam ser

melhorados com vista em avanços no desenvolvimento das Estruturas Aditivas e

Multiplicativas.

Assim como Oliveira Filho (2009), nosso estudo visa analisar as Estruturas

Aditivas propostas em Coleções de materiais didáticos de Matemática voltados ao

Ensino Fundamental. Porém, o autor observou as situações sob dois aspectos: a

classificação de acordo com a sua natureza e a sua forma de representação

simbólica e, em nossa investigação, será considerada a classificação das situações

24

de acordo com as categorias de Vergnaud e os recursos didáticos de apresentação

dessas situações. O estudo de Oliveira Filho (2009) buscou observar o impacto do

PNLD no tratamento dos problemas de e=Estrutura Aditiva e Multiplicativa de 2004 a

2007 e nossa maior preocupação está na maneira como as Coleções propõem

situações que contribuam, ou não, para o favorecimento da construção de

esquemas de ação pelo aluno.

Encontramos essa preocupação, com relação à utilização dos materiais

didáticos em sala de aula, nos estudos de Oliveira (2007). Ela afirma que o livro

didático ao longo da história da educação escolar vem se constituindo como

importante recurso, senão o mais importante, utilizado por professores e alunos, o

que a motivou buscar conhecer como os professores trabalham os conteúdos

matemáticos abordados nesses livros em suas práticas docentes. Neste sentido, o

seu estudo teve por objetivo investigar de que forma estão sendo utilizados os livros

didáticos de Matemática por professores das séries iniciais do Ensino Fundamental,

na Rede Municipal de Ensino do Recife. Seu referencial teórico baseou-se no

histórico e na concepção de livro didático de alguns autores como Batista, Oliveira,

Guimarães e Momény, Cavalcanti, Gatti Júnior, Bittencourt, Plane, dentre outros.

Para análise dos dados tomou como referência as ideias de Bardin sobre análise de

conteúdo temático.

A autora realizou dois estudos com quinze professores que atuam na Rede

Municipal de Ensino de Recife. No primeiro estudo, os professores foram

entrevistados. Nestas entrevistas eles falaram sobre: sua formação, tempo de

magistério, seus objetivos para o ensino de representações gráficas e resolução de

problemas de Estruturas Aditivas, uso do livro didático, dentre outras questões, a fim

de averiguar as práticas de representações gráficas e resolução de problemas de

Estruturas Aditivas desenvolvidas pelos professores. Também foi traçado um perfil

de cada de cada um deles para a identificação das relações existentes ou não, entre

os seus perfis e o uso do livro didático. O estudo mostrou que dez professores

utilizavam o livro didático em suas aulas e cinco não o utilizavam em função da

perspectiva de continuidade na carreira docente, ou seja, esses professores não

tinham mais a intenção de trabalhar com o ensino de Matemática, tinham planos de

outros projetos.

O segundo estudo consistiu em observações das aulas de quatro professores,

sendo quatro aulas sobre tratamento da informação e quatro sobre Estrutura Aditiva,

25

buscando investigar como eram, efetivamente, utilizados os livros didáticos em sala

de aula. A autora se propunha a verificar se o fato de o conteúdo (estatística ou

estrutura aditiva) ser familiar, ou não, aos professores alterava a forma de utilização

dos livros. Constatou que as estratégias mobilizadas pelos professores ao

trabalharem com os dois conteúdos não variaram em função do conteúdo abordado,

apesar de ter observado que os professores apresentaram uma maior variedade de

estratégias didáticas quando trabalharam com estatística. Outra constatação do

estudo é o fato de que o livro didático foi utilizado como referência e como fonte de

exemplos e exercícios. Os dados também mostraram que a utilização do livro

didático em sala de aula exigiu um investimento, por parte do professor, de se

apropriar dos conteúdos e das abordagens didáticas propostas no mesmo, mas nem

sempre o professor se mostra disposto a fazer esse investimento.

Oliveira (2007), após suas análises, chegou à conclusão de que a construção

do processo de ensino e aprendizagem de qualidade é possível se os professores

tiverem uma boa formação inicial e continuada, bem como um vasto número de

suportes dentre os quais estão inclusos bons livros didáticos, manual de professor

compatível com as necessidades deles, além de artigos científicos em periódicos e

anais de congresso.

Assim como a autora, acreditamos que “torna-se necessário assegurar a

qualidade dos livros didáticos, que devem apresentar propostas condizentes com as

necessidades de desenvolvimento do trabalho em sala de aula.” (OLIVEIRA, 2007,

p.138). Nesse sentido o PNLD procura assegurar essa qualidade e a adequação dos

livros didáticos às realidades do dia a dia escolar. Por essa razão, decidimos adotar

em nossa pesquisa, Coleções indicadas pelo programa e outras que não passaram

por essa avaliação, mas que também são utilizadas no ensino de Matemática nos

anos iniciais.

Campos (2009) investigou sobre a presença de jogos e materiais concretos

nos livros didáticos de Matemática voltados ao Ensino Básico. O objetivo geral de

sua pesquisa foi

contribuir para a discussão sobre os jogos e materiais concretos nas coleções de livros didáticos de Matemática das séries iniciais do Ensino Fundamental, considerando a sua complexidade, por ser um objeto composto de diferentes dimensões e conotações: cultural, política, econômica, pedagógica, entre outras. (CAMPOS, 2009, p. 14).

26

A autora buscou estabelecer concepções, ou seja, aspectos relacionados aos

jogos e materiais concretos que conduziram aos objetivos específicos do trabalho:

identificar livros didáticos de Matemática das séries iniciais do Ensino Fundamental, incluídos no PNLD (Programa Nacional do Livro Didático), que se destacam por favorecer o trabalho com jogos e materiais concretos;

identificar e descrever as atividades que envolvem jogos e materiais concretos nos livros didáticos de Matemática para o primeiro segmento do Ensino Fundamental;

investigar as concepções pedagógicas subjacentes à proposição das atividades nos livros. (CAMPOS, 2009, p. 15).

A questão de pesquisa adotada em sua investigação é “Que concepções

estão presentes nas atividades que envolvem jogos e materiais concretos nos livros

didáticos brasileiros atuais de Matemática para os anos iniciais do Ensino

Fundamental?” (CAMPOS, 2009, p. 14).

Os aspectos teóricos que nortearam a pesquisa foram:

Breve histórico da proposição de jogos e materiais concretos no

contexto educacional;

Algumas considerações sobre os livros didáticos de Matemática

brasileiros e sobre a presença de jogos e materiais concretos nessas obras;

O PNLD.

Em relação aos aspectos teórico-metodológicos da pesquisa, a autora,

inicialmente, buscou estabelecer uma conceituação para os termos “jogos” e

“materiais concretos” dentre as diversas que encontrou sobre os mesmos.

Campos (2009) procurou elaborar alguns critérios para considerar o jogo

como uma atividade. O primeiro critério é a existência de uma disputa na atividade,

ou seja, no jogo tem de haver uma competição que visa à vitória. Outro critério

adotado é a presença de regras no jogo para a realização do mesmo, na qual devem

ficar explícitas as condições para se vencer a disputa. A pesquisadora, seguindo os

estudos de Moyer e Reys encontrados no trabalho de Passos, optou por considerar

como materiais concretos os “objetos ou coisas que o estudante é capaz de

manipular sejam de seu cotidiano ou projetados com o objetivo de medir o ensino de

determinados conceitos ou procedimentos matemáticos” (CAMPOS, 2009, p. 35).

Os aspectos metodológicos da pesquisa foram subsidiados pela análise de

conteúdo que, de acordo com Barbin (2004) citado por Campos (2009) são um

27

conjunto de técnicas de análise das comunicações visando obter, por procedimentos sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens, indicadores (quantitativos ou não) que permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção/recepção (variáveis inferidas) destas mensagens (BARDIN, 2004, p.24 apud CAMPOS , 2009, p.36).

O trabalho de Campos (2009) foi dividido em: 1) pré-análise; 2) exploração do

material; 3) tratamento dos resultados obtidos e interpretação. A autora escolheu,

com base na análise de conteúdo das resenhas das Coleções no Guia do Livro

Didático do PNLD 2007, três Coleções que conferem especial atenção às atividades

com jogos e materiais concretos. Depois, foi realizado um aprofundamento nos

estudos teóricos, principalmente, em relação às concepções pedagógicas e ao livro

didático e, por fim, foram analisados os jogos e os materiais concretos das três

coleções selecionadas. Campos (2009) adotou alguns procedimentos para a seleção

dos conteúdos e das atividades a serem analisadas e foram confeccionados quadros

para cada uma das obras em estudo. Esses quadros mapearam as atividades

apresentadas nos conteúdos referentes a Números e Operações e Geometria, que

envolvem jogos e materiais concretos. A autora verificou as aproximações e

distanciamentos das três Coleções quanto à presença dos jogos e materiais

concretos.

Os resultados apontaram que as Coleções selecionadas apresentam diversas

atividades relacionadas ao uso de jogos e materiais concretos, também deixam

explícitas, em seus manuais para os professores, a relevância do aspecto lúdico em

suas propostas. “Permeia-se, aí, a concepção da função lúdica do ensino”

(CAMPOS, 2009, p. 101). Os resultados mostraram, ainda, segundo Campos (2009),

algumas considerações a serem apontadas quanto ao tipo de material utilizado nas

Coleções

que inclui tanto objetos de uso cotidiano, quanto materiais estruturados especificamente para a aprendizagem matemática, estes últimos, principalmente, indicando a adesão a uma pedagogia de natureza construtivista [...] (CAMPOS, 2009, p. 101).

A pesquisadora verificou que, em alguns momentos, as Coleções levam em

consideração as diversas realidades sociais brasileiras, mas isso pode restringir

certas práticas pedagógicas pela impossibilidade de, em alguns casos, substituir

determinados materiais.

Frente aos resultados das pesquisas acima mencionadas percebemos a

necessidade de um olhar diferenciado para as Coleções de materiais didáticos de

28

Matemática voltados para os anos iniciais, destacando a importância de propor ao

aluno uma diversidade de recursos na abordagem das situações. Para isso

buscamos uma fundamentação teórica que nos serviu de base para a elaboração

desta pesquisa da qual detalharemos os aspectos principais no capítulo

subsequente.

29

CAPÍTULO II

REFERENCIAL TEÓRICO

Apresentamos a motivação, os objetivos, as questões de pesquisa e algumas

leituras que contribuíram para nosso estudo e, consequentemente, para a

estruturação de nosso trabalho, que visa analisar as atividades do Campo

Conceitual Aditivo encontradas em quatro Coleções distintas de materiais didáticos.

Neste capítulo, serão destacados os principais aspectos do referencial teórico

a ser adotado; encontramos na Teoria dos Campos Conceituais os subsídios

essenciais para a fundamentação de nosso estudo.

2.1 A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS

A Teoria dos Campos Conceituais (TCC) é uma teoria cognitivista

desenvolvida pelo professor pesquisador e psicólogo francês Gèrard Vergnaud.

Essa teoria propõe uma sistematização para o estudo e análise do processo de

aquisição do conhecimento e “visa fornecer um quadro coerente e alguns princípios

de base para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem das competências

complexas.” (VERGNAUD, 1996, p. 155). O núcleo do desenvolvimento cognitivo é,

segundo Moreira (2002) citando Vergnaud (1996), a “conceituação do real”, que

permite identificar e estudar as hierarquias, as continuidades e as descontinuidades

entre os diferentes passos da construção de conhecimento. Além disso, permite

compreender as filiações e rupturas entre os conhecimentos nas crianças e nos

adolescentes e leva em conta os próprios conteúdos do conhecimento e a análise

conceitual de seu domínio.

A teoria de Vergnaud (1982, 1996, 1990, 2009) apresenta alguns pontos

herdados das teorias de Piaget e Vygotsky. A ideia piagetiana de esquema foi

essencial para a investigação e desenvolvimento da TCC. Da mesma forma que as

questões da linguagem e da representação simbólica são vestígios da influência de

Vygotsky. Identifica-se também, nesta teoria, a importância de se levar em

30

consideração a influência do meio cultural no processo de ensino e de

aprendizagem da Matemática.

A TCC não é específica da Matemática, mas foi elaborada com o propósito de

explicar o processo de conceituação das Estruturas Aditivas, Multiplicativas, da

álgebra e da relação número-espaço (VERGNAUD, 1996). Moreira (2002) aponta

que é uma teoria complexa, pois tem a necessidade de abarcar o desenvolvimento

do domínio de conceitos e teoremas necessários para operar em diferentes

situações e, também, das palavras e símbolos que representam esses conceitos e

operações para os estudantes, dependendo sempre de seus níveis cognitivos.

O Conhecimento para Vergnaud (1996) é o saber fazer e o saber expresso

pelo aluno, organizado em campos conceituais cujo domínio ocorre por meio da

experiência, maturação e aprendizagem. Segundo Vergnaud (1996) “O

funcionamento cognitivo do sujeito depende do estado dos seus conhecimentos,

implícitos ou explícitos” (VERGNAUD, 1996, p. 190). O conhecimento é considerado

implícito quando os alunos podem utilizá-lo na ação, na escolha das operações mais

adequadas à determinada situação, mas sem que consigam expressar a razão de

suas decisões. O conhecimento é considerado explícito, quando os alunos podem

expressá-lo de forma simbólica (por meio de esquemas e diagramas, de linguagem

natural, sentenças, etc...).

A construção do conhecimento ocorre por meio de situações e problemas

com os quais os estudantes têm certa familiaridade, apresentando assim

características locais e, consequentemente, um domínio de validade restrito variando

de acordo com a experiência e o desenvolvimento cognitivo de cada estudante. “As

competências e concepções dos alunos vão se desenvolvendo ao longo do tempo,

por meio de experiências com um grande número de situações” (MAGINA et al.,

2008, p.05), que podem ser vivenciadas dentro ou fora da escola.

A TCC sugere a formação de um “campo conceitual”, e não apenas de um

conceito. Vergnaud (1996, p.167) define Campo Conceitual como, primeiramente,

“um conjunto de situações”. Em outros trabalhos ele também designa Campo

Conceitual como “um conjunto de problemas e situações cujo tratamento requer

conceitos, procedimentos e representações de tipos diferentes, mas intimamente

relacionados” (MOREIRA, 2002, p. 09). Segundo Souza e Fávero (2002), citando

Vergnaud (1983), o conceito de Campo Conceitual é decorrente de três argumentos:

1. um conceito não se forma dentro de um único tipo de situações;

31

2. uma situação não se analisa com um único conceito; 3. a construção e apropriação de todas as propriedades de um conceito ou de todos os aspectos de uma situação é um processo de muito fôlego que se desenrola ao longo dos anos, às vezes, uma dezena de anos, com analogias e mal-entendidos entre situações, entre concepções, entre procedimentos, entre significantes (SOUZA E FÁVERO, 2002, p. 57).

O Campo Conceitual das Estruturas Aditivas é o conjunto de situações que

requeiram uma ou várias adições, subtrações, ou uma combinação destas duas

operações e os conceitos e teoremas que possibilitem analisar essas situações. Da

mesma forma, o Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas que consiste no

conjunto das situações que requeiram uma ou várias multiplicações, divisões, ou

uma combinação destas duas operações e os conceitos e teoremas que possibilitem

analisar essas situações (VERGNAUD, 1996).

A formação de conhecimento dos estudantes deve-se às “situações” em que

eles defrontam e dominam os problemas. Na TCC, o conceito de situação é remetido

a uma tarefa e uma situação complexa como um conjunto de tarefas. Segundo

Vergnaud (1996) temos duas ideias principais de situação:

1 – a ideia de variedade: existe uma grande variedade de situações num dado campo conceitual, e as variáveis de situação são um meio de gerar de forma sistemática o conjunto das classes possíveis; 2 – a ideia de história: os conhecimentos dos alunos são formados pelas situações com que eles depararam e que progressivamente dominaram, nomeadamente, pelas primeiras situações susceptíveis de dar sentido aos conceitos e aos procedimentos que se pretende ensinar-lhes (VERGNAUD, 1996, p. 171).

São as situações presentes, num determinado Campo Conceitual, que dão

sentido aos conceitos. Para que este se torne significativo é preciso uma diversidade

de situações, assim como a análise de uma única situação requer uma variedade de

conceitos. A descoberta de novos conceitos, pelas crianças, é fruto do contato com

situações diversificadas.

Para Vergnaud (1996) um “conceito” não deve ser reduzido a sua definição,

pelo menos quando tratamos de sua aprendizagem e seu ensino. O conceito adquire

sentido partindo de uma variedade de situações e problemas que o aluno tem de

resolver. Para compreender a construção do conceito, do ponto de vista cognitivo, o

investigador tem de analisar uma diversidade de esquemas e condutas. Em uma

abordagem didática e psicológica, tem-se que o conceito é considerado um conjunto

de invariantes que os estudantes utilizam na ação ou também como uma terna de

três conjuntos C = (S, I, s), em que:

S: conjunto das situações que dão sentido ao conceito (a referência);

32

I: conjunto dos invariantes nos quais assenta a operacionalidade dos esquemas (o significado); s: conjunto das formas pertencentes e não pertencentes à linguagem que permitem representar simbolicamente o conceito, as suas propriedades, as situações e os procedimentos de tratamento (o significante) (VERGNAUD, 1996, p. 166).

O conjunto das situações (S) é conhecido também como o “referente” ou

“referência”; o conjunto de invariantes (I) é o significado do “conceito” e o conjunto

das representações simbólicas (s) é o “significante”.

Em cada situação, está presente uma gama de conceitos e é importante que

o professor proponha ao aluno diversas situações a serem resolvidas, que

possibilitem a ele o reconhecimento e a manipulação dos invariantes operatórios e o

uso das representações simbólicas. Dessa forma, o contato com uma variedade de

situações permite que o aluno dê sentido aos conhecimentos matemáticos que

surgem de situações com distintos significados (ARRAIS, 2006). Na elaboração de

situações-problema, é necessário fazer as escolhas certas que auxiliem os alunos

na construção de novos conceitos. (MAGINA et al., 2008).

O funcionamento cognitivo dos sujeitos, em uma dada situação, repousa

sobre seus repertórios de esquemas disponíveis, anteriormente formados. Ao

mesmo tempo, as crianças podem descobrir novos aspectos, e eventualmente novos

esquemas, em uma dada situação.

Segundo Vergnaud, um Esquema é “a organização invariante da conduta

para uma dada classe de situações” (VERGNAUD, 1996, p. 157). O conceito de

esquema está localizado no centro do processo de adaptação das estruturas

cognitivas, na acomodação e assimilação. Moreira (2002) afirma que esquema:

é o conceito introduzido por Piaget para dar conta das formas de organização tanto das habilidades sensório-motoras como das habilidades intelectuais. Um esquema gera ações e deve conter regras, mas não é um estereótipo porque a sequência de ações depende dos parâmetros da situação (MOREIRA, 2002, p.12).

Os esquemas referem-se às situações, segundo Vergnaud (1996), e estas se

distinguem em duas classes: uma classe de situações em que o sujeito já dispõe

das competências necessárias para o tratamento imediato da situação e, outra

classe de situações em que o sujeito não dispõe de todas as competências

necessárias para o tratamento imediato da situação, fazendo com que ele se veja

obrigado a dispor um tempo maior de reflexão, de exploração, de hesitações, que

podem conduzi-lo ao fracasso ou ao êxito.

33

O conceito de esquema é interessante para as duas classes de situações, mas

funciona de maneira distinta nos dois casos. No primeiro caso, observa-se que a

conduta do aluno está organizada em torno de um único esquema e, esse esquema

passa a se tornar automatizado. Já, para a segunda classe de situações, observa-se

o desencadeamento de vários esquemas nos quais os alunos acabam por acomodá-

los, descombiná-los e recombiná-los.

Quando um esquema é ineficaz em uma determinada situação, os estudantes

alteram o esquema anterior ou mesmo modificam seus esquemas iniciais de modo a

se adaptarem à determinada situação. O processo de aquisição de informações

tanto na leitura de um enunciado quanto em documentos (livros, quadros, tabelas,

etc.) e a combinação dessas informações por meio das operações matemáticas

como adição e subtração, por exemplo, obedecem a esquemas, principalmente entre

os alunos que dominam aquelas situações.

Os ingredientes que o esquema comporta são:

- invariantes operatórios (teoremas-em-ação e conceitos-em-ação) que

possibilitam o reconhecimento dos elementos da situação e o recolhimento das

informações referentes a essa situação;

- antecipação de ação, do objetivo a atingir;

- regras de ação do tipo “se... então...” que é possível gerar sequências de

ação;

- inferências ou raciocínios que possibilitem “calcular” as regras e

antecipações.

Os “invariantes operatórios” são os conhecimentos contidos nos esquemas

que também são conhecidos por ‘conceito-em-ação’ e ‘teorema-em-ação’. “Um

teorema-em-ação é uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa. Um conceito-

em-ação é um objeto, um predicado, ou uma categoria de pensamento tida como

pertinente, relevante.” (VERGNAUD, 1998 apud SANTANA, 2010, p. 36). Um

teorema-em-ação não é propriamente um teorema, assim, como um conceito-em-

ação, não é, especificamente, um conceito, pois os conceitos e teoremas são

explícitos, constituem a parte visível da conceituação e pode-se discutir sua

pertinência e veracidade. Mas a parte “escondida”, ou seja, os invariantes

operatórios são fundamentais neste processo de conceituação do real e esses

podem tornar-se verdadeiros conceitos e teoremas no momento que os estudantes

conseguem exprimi-los de forma explícita. Essa é uma função difícil para o ensino,

34

pois, muitas vezes, quando os estudantes resolvem uma situação, utilizam

implicitamente os conceitos-em-ação e os teoremas-em-ação sem que consigam

explicá-los ou expressá-los em linguagem natural.

Como já mencionado acima, na definição de conceito, as “representações

simbólicas” para Vergnaud (1996) são, também, designadas como significantes do

conceito. São os diagramas, as sentenças formais, a linguagem natural, podendo ser

utilizados para representar as situações, auxiliar os estudantes na resolução de

problemas complexos bem como na designação das categorias e estruturas desses

problemas; são também meios para identificar objetos matemáticos decisivos para a

conceituação. As representações simbólicas nem sempre fazem o mesmo sentido

para os estudantes. O sentido de uma representação simbólica, assim como das

palavras e enunciados matemáticos, para certo indivíduo pode não ser o mesmo

para outro. (VERGNAUD, 1996)

Na Teoria dos Campos Conceituais uma das funções da “linguagem” é a de

representação e essa função de representação, é tripla:

- representação dos elementos pertinentes da situação; - representação da ação; - representação das relações entre a ação e a situação (VERGNAUD, 1996, p.181).

Outra função que a linguagem exerce é a de comunicação e de auxílio de

pensamento. Algumas crianças precisam que sua ação, em determinada situação,

seja acompanhada de linguagem verbal, às vezes, falam em voz baixa sua

sequência de ação. Aos poucos, elas deixam de ter essa necessidade. Parece estar

evidente que a atividade da linguagem auxilia na realização de tarefas e na

resolução de problemas, favorece a organização temporal da ação e o seu controle.

2.1.1 Campo Conceitual Aditivo

O Campo Conceitual das Estruturas Aditivas constitui o conjunto das

situações cujo tratamento utiliza uma ou várias adições ou subtrações acrescido do

conjunto dos conceitos e teoremas que permitam uma análise dessas situações

como tarefas Matemáticas. De acordo com Vergnaud (1996) os conceitos que

constituem as Estruturas Aditivas são de:

35

cardinal e de medida;

transformação temporal por aumento ou diminuição;

relação de comparação quantificada;

composição binária de medidas;

composição de transformações e de relações;

operação unitária;

inversão;

número natural e relativo;

abscissa;

deslocamento orientado e quantificado.

Estes conceitos aparecem conjuntamente com verdadeiros teoremas que lhes

atribuem alguma função no tratamento das situações com que se deparam.

Vergnaud aponta a existência de vários tipos de relações aditivas (adições e

subtrações). “As relações aditivas são relações ternárias que podem ser encadeadas

de diversas maneiras e resultar em uma grande variedade de estruturas aditivas.”

(VERGNAUD, 2009, p. 200). As relações ternárias “ligam três elementos entre si”

(VERGNAUD, 2009, p.57), por exemplo: “Sete é quatro a mais que três”.

Em nosso estudo, vamos nos ater às relações aditivas elementares que o

autor classificou em categorias básicas, ou seja, em “seis esquemas ternários

fundamentais” (VERGNAUD, 2009, p. 200).

Tal classificação foi feita com a intenção de auxiliar nas interpretações dos

procedimentos e dos erros que os estudantes cometem na tentativa de resolver as

situações, “oferece uma estrutura teórica que permite entender o significado das

diferentes representações simbólicas da adição e da subtração.” (SANTANA, 2010,

p. 49).

Categorias básicas de relações aditivas

36

Vergnaud (1982) identifica seis categorias, também chamadas de “relações

de base ou relações elementares3”, a partir das quais é possível classificar alguns

problemas de adição e subtração. A distinção na classificação é de origem tanto

psicológica quanto matemática. Essa classificação tem como objetivo:

oferecer uma estrutura teórica que auxilie o professor no entendimento do significado das diferentes representações simbólicas da adição e subtração, e de servir de base para o desenho de experiências sobre esses processos matemáticos na sala de aula. (MAGINA et. al. 2008, p.19).

Essa classificação é capaz também de ajudar os professores a interpretarem

os processos utilizados pelos estudantes na resolução de problemas e entender as

dificuldades desses estudantes para encontrar as resoluções. Vergnaud (1990) diz

ser possível que toda a situação seja interpretada como uma combinação de

relações com dados conhecidos e desconhecidos.

As seis categorias básicas de relações aditivas estabelecidas por Vergnaud

(1982), foram nomeadas da seguinte maneira:

1. Composição;

2. Transformação;

3. Comparação;

4. Composição de duas transformações;

5. Transformação de uma relação.

6. Composição de duas relações.

O quadro a seguir mostra os códigos simbólicos utilizados nos diagramas e

equações estabelecidos por Vergnaud (2009) para representar as categorias de

relações aditivas.

3 São as relações básicas, que ligam três elementos entre si (ternárias).

37

Símbolos Códigos

Representa um número

natural

Representa um número

relativo4

Ou

Representa a composição de

elementos de mesma natureza

Ou

Representa uma

transformação ou uma relação

(composição de elementos de

naturezas diferentes)

Figura 1 - Códigos estabelecidos por Vergnaud Fonte: Vergnaud (2009)

A seguir, serão mencionadas, resumidamente, as categorias de relações

elementares, dando ênfase, principalmente, as quatro primeiras, que serão

fundamentais em nossa pesquisa.

Categoria 1: Composição

Nesta categoria, são tratados problemas referentes às situações que

envolvem parte-todo, ou seja, juntar partes para obter-se o todo ou subtrair uma

parte do todo para obter-se a outra parte. Assim “duas medidas se compõem para

resultar em uma terceira” (VERGNAUD, 2009, p. 200).

Esta categoria dá lugar a duas classes de problemas, de acordo com

Vergnaud (2009):

4 No caso dos anos iniciais o símbolo para o número relativo estará associado aos

problemas de estrutura aditiva.

38

1 – “Conhecendo-se duas medidas elementares, encontrar a composta”

(VERGNAUD, 2009, p. 215), ou seja, conhecendo-se as duas partes se encontra o

todo. Exemplo:

Pedro tem 6 carrinhos azuis e 8 carrinhos amarelos. Quantos carrinhos ele

tem ao todo?

2 – “Conhecendo-se a composta e uma das elementares, encontrar a outra”

(VERGNAUD, 2009, p. 215), ou seja, conhecendo o todo e uma das partes, é

possível encontrar a outra parte. Exemplo:

Ana tem 2 vestidos verdes e alguns brancos. Ao todo ela tem 8 vestidos.

Quantos vestidos são brancos?

Vergnaud também propõe diagramas para as classes de problemas acima

descritas. Para cada um dos exemplos acima, temos, respectivamente, os

diagramas:

Equação correspondente: 6 + 8 = ?

Este é um exemplo de situação na qual temos duas medidas conhecidas (6 e

8) que se compõe para resultar em outra medida desconhecida (?).

Equação correspondente: 2 + ? = 8

Este é um exemplo de situação na qual temos uma medida (2) e o todo (8)

conhecidos e buscamos a outra medida desconhecida (?).

Categoria 2: Transformação

Nesta categoria, são tratados os problemas referentes às situações que

envolvem a ideia temporal, que são caracterizados por um Estado Inicial (Ei) que,

em geral são medidas que sofrem uma Transformação (T) (com perda ou ganho...) e

39

resultam no Estado Final (Ef). Assim, “uma transformação opera sobre uma medida

para resultar em outra medida” (VERGNAUD, 2009, p. 200).

Esta categoria distingue-se em seis grandes classes de problemas:

- conforme seja a transformação b positiva ou negativa; - conforme seja a pergunta concernente ao estado final c (conhecendo-se a e b), à transformação b (conhecendo-se a e c), ao estado inicial (conhecendo-se b e c). (VERGNAUD, 2009, p. 207).

Vejamos alguns exemplos das classes acima. O exemplo a seguir trata de

uma situação de transformação positiva na qual tem o Ei, a transformação e

buscamos o Ef.

Carlos tinha 8 figurinhas antes de jogar. Ganhou 3 durante o jogo. Quantas

figurinhas ele tem agora?

Diagrama correspondente à situação, de acordo com Vergnaud (2009):

Equação correspondente: 8 + 3 = ?

Neste exemplo, tem-se uma medida conhecida, um Ei (8) que sofre uma

transformação (+3) e resulta em uma medida que ainda é desconhecida, no estado

final (?).

O exemplo a seguir trata uma situação de transformação negativa na qual

temos o Ei, o Ef e buscamos a transformação.

Ricardo adora bombons. Ele tinha 15 bombons, mas comeu alguns e ficou

com apenas 9. Quantos bombons ele comeu?


Equação correspondente: 15 - ? = 9

40

Neste exemplo, tem-se uma medida conhecida, um Ei (15), que sofre uma

transformação desconhecida (-?) e resulta em outra medida conhecida, no Ef (9).

O exemplo a seguir trata uma situação de transformação positiva na qual

temos a transformação, o Ef e buscamos o Ei.

Mauro coleciona carrinhos, ganhou 4 carrinhos de sua tia e, agora, ficou com

10. Quantos carrinhos Mauro tinha antes?


Equação correspondente: ? + 4 = 10

Neste exemplo tem-se uma medida desconhecida, um Ei (?) que sofre uma

transformação positiva (+ 4) e resulta em outra medida conhecida, no Ef (10).

Categoria 3: Comparação

Nesta categoria, são abordados problemas referentes às situações que

envolvem a comparação de duas quantidades, uma denominada de referente (B) e a

outra de referido (A) com base em uma relação (R) positiva ou negativa dessas duas

medidas. Segundo Vergnaud (2009, p. 200), nesta categoria “uma relação liga duas

medidas” e se distingue em seis classes de problemas:

- conforme a relação (R) positiva ou negativa;

- conforme a pergunta busca-se o referente (B) (com o referido (A) e a relação

(R) conhecida), ou o referido (A) (com o referente (B) e a relação (R) conhecida), ou

a relação (R) (com o referido (A) e o referente (B) conhecido).

A seguir, daremos alguns exemplos. No primeiro, trata-se de uma situação de

comparação positiva na qual se tem o referido, a relação e buscamos o referente.

41

Cintia tem 23 anos. Roberta tem 6 anos a mais que Cíntia. Quantos anos tem

Roberta?

O diagrama correspondente à situação, de acordo com Vergnaud (2009):

Equação correspondente: 23 +6 =?

Neste exemplo, tem-se o referido conhecido (23), uma relação positiva

conhecida (+ 6) e um referente desconhecido (?).

O próximo exemplo trata de uma situação de comparação positiva na qual

temos o referido, o referente e buscamos a relação.

Os irmãos Silmara e Renato ganharam dinheiro de seus pais. Silmara ganhou

R$ 10,00 e Renato ganhou R$ 15,00. Quem ganhou mais dinheiro? Quanto a mais?


Equação correspondente: 10 + ? = 15

Neste exemplo, tem-se o referido conhecido (10), uma relação positiva

desconhecida (+ ?) e um referente conhecido(15).

O exemplo a seguir apresenta uma situação de comparação negativa na qual

se tem o referente, a relação e se busca o referido.

Ana Carolina tem algumas bonecas. Josiane tem 3 bonecas a menos que

Ana. Sabendo que Josiane tem 2 bonecas quantas bonecas tem Ana Carolina?

42


Equação correspondente: ? - 3 = 2

Neste exemplo, se tem o referido desconhecido (?), uma relação negativa (-

3) e um referente conhecido (2).

Categoria 4: Composição de duas transformações

Nesta categoria, são tratados problemas referentes às situações em que são

dadas duas transformações e, por meio de uma composição dessas duas, se

determina a terceira transformação (transformação – transformação –

transformação). (VERGNAUD, 1982). Esta categoria dá lugar a duas classes de

problemas, de acordo com Vergnaud (2009):

1. Conhecendo-se as duas transformações elementares, encontrar a composta.

2. Conhecendo-se a composta e uma das elementares, encontrar a outra. (VERGNAUD, 2009, p.216).

Vergnaud (2009) afirma que é possível diversificar as classes acima, mas não

as detalharemos aqui, pois não serão utilizadas nesta pesquisa.

A situação a seguir é um exemplo de problema desta categoria da classe 1:

Marcelo tem lápis coloridos. Ganhou 5 de sua irmã e deu 3 para seu amigo

Júlio. Ao final o que aconteceu?

Neste exemplo, temos a composição de duas transformações, uma positiva

(+3) e outra negativa (-5), que resulta na terceira transformação de medida

desconhecida (?).

Categoria 5:Transformação de uma relação

Nesta categoria são tratados problemas referentes às situações em que uma

transformação liga duas relações estáticas. É dada uma relação estática e uma

transformação e busca-se uma relação (relação – transformação – relação).

43

(VERGNAUD, 1982). A situação a seguir é um exemplo de problema dessa

categoria:

Marta devia 8 balas à sua amiga Rose e pagou 2. Quantas balas Marta ainda

ficou devendo à Rose?

Nesta situação temos uma relação estática negativa (-8) e uma transformação

positiva (+2) e, por meio desta transformação, buscamos uma nova relação estática,

neste caso, negativa (?).

Categoria 6: Composição de duas relações

Nesta categoria são tratados problemas referentes às situações de

composição de duas relações estáticas. São dadas duas relações estáticas e, por

meio de uma composição dessas duas, se determina a terceira relação. (relação –

relação – relação). (VERGNAUD, 1982). A situação a seguir é um exemplo de

problema dessa categoria:

Antônio deve 11 bolinhas de gude a Pedro e, Pedro deve 5 a Antônio.

Quantas bolinhas de gude, Antônio deve a Pedro?

Nesta situação, é mostrada uma relação estática negativa (-11) e outra

relação estática negativa (-5) que se compõe resultando numa nova relação estática,

neste caso, negativa (?).

Criamos o quadro abaixo com o propósito de resumir e auxiliar a visualização

geral dos diagramas referentes às relações aditivas estabelecidas por Vergnaud.

44

Figura 2 - Relações aditivas elementares Fonte: Adaptado de Vergnaud (2009)

Vamos considerar, em nosso estudo, apenas os problemas que trazem as

categorias de relações elementares, porém, segundo Vergnaud (2009) as relações

aditivas não se limitam apenas às relações básicas, não compreendem apenas os

problemas que se reduzem a uma relação. “A análise das relações elementares [...]

é, assim, insuficiente para dar uma imagem completa das questões que existem na

solução de problemas de aritmética.” (VERGNAUD, 2009, p. 269). Esses problemas,

que correlacionam várias relações elementares, foram designados por Vergnaud

45

como “problemas complexos” e, segundo o autor, não é possível elaborar uma

classificação para essas situações, pois há muitas possibilidades envolvendo

relações elementares distintas. O exemplo a seguir trata de um caso complexo com

várias transformações:

Queremos conhecer o número de habitantes de uma ilha em 1990. Dispomos para isso do número de falecimentos e de nascimentos que ocorreram na ilha desde 1990 (1.253 falecimentos e 1.785 nascimentos) e do número de chegadas e de partidas definitivas por barco, registradas no caderno do porto (342 chegadas e 2.785 partidas). Sabemos também que hoje há 603 pessoas na ilha. (VERGNAUD, 2009, 64).

Figura 3 - Exemplo de “problema complexo” Fonte: Vergnaud (2009)

No exame das coleções, encontramos alguns desses problemas complexos,

exemplo:

Figura 4 – Exemplo de problema complexo Fonte: Coleção 2 (2009)

O problema acima trata de uma composição de medidas com uma relação

que liga mais de três elementos (R$ 26,00 + R$ 9,00 + R$ 7,00 + R$ 12,00 + R$

13,00 + R$ 8,00 = ?), ou seja, não é uma relação ternária e assim não pode se

enquadrar nas categorias de relações elementares. Por esses problemas não serem

nossos objetos de estudo nos limitaremos a apenas mostrar alguns exemplos que

foram encontrados nas quatro Coleções examinadas e seguem em anexo (ANEXO

B).

46

Procuramos, até o momento, apresentar alguns dos conceitos principais

sobre Teoria dos Campos Conceituais, priorizando os aspectos relacionados ao

desenvolvimento da análise dos dados coletados para esta investigação, a seguir

trazemos alguns trechos dos documentos oficiais relativos a aspectos da nossa

investigação.

47

CAPÍTULO III

PCN E PNLD

Neste capítulo, apresentamos algumas considerações sobre os documentos

oficiais Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e o Programa Nacional do Livro

Didático (PNLD) destacando pontos fundamentais para o desenvolvimento do nosso

trabalho.

3.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PCN

Os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN - são as referências para a

educação do Ensino Fundamental no Brasil. O Ministério da Educação e do

Desporto, ao consolidar os PCN, buscaram “apontar metas de qualidade que ajudem

o aluno a enfrentar o mundo atual como cidadão participativo, reflexivo e autônomo,

conhecedor de seus direitos e deveres.” (BRASIL, 1997a, p. 07).

3.1.1 Os objetivos dos PCN

Um dos objetivos dos PCN, Brasil (1997a) referente às séries iniciais do

Ensino Fundamental é “contribuir, de forma relevante, para que profundas e

imprescindíveis transformações, há muito desejadas, se façam no panorama

educacional brasileiro” (p.10). Com o intuito de posicionar o professor, considerado

o principal agente nesta vasta jornada, os PCN se prontificam a

auxiliá-lo na execução de seu trabalho, compartilhando seu esforço diário de fazer com que as crianças dominem os conhecimentos de que necessitam para crescerem como cidadãos plenamente reconhecidos e conscientes de seu papel em nossa sociedade. (BRASIL, 1997a, p.07).

48

Os parâmetros conduzem o currículo e programas de transformação da

realidade da Educação Brasileira, buscando orientar e atentar os professores, a

refletir sobre a necessidade de urgentes mudanças na maneira de ensinar e avaliar

e organizar as situações de ensino e aprendizagem para que tragam mais igualdade

em todo o país.

Segundo esse documento, Brasil (1997a), são consideradas possibilidades

para sua utilização:

• rever objetivos, conteúdos, formas de encaminhamento das atividades, expectativas de aprendizagem e maneiras de avaliar; • refletir sobre a prática pedagógica, tendo em vista uma coerência com os objetivos propostos; • preparar um planejamento que possa de fato orientar o trabalho em sala de aula; • discutir com a equipe de trabalho as razões que levam os alunos a terem maior ou menor participação nas atividades escolares; • identificar, produzir ou solicitar novos materiais que possibilitem contextos mais significativos de aprendizagem; • subsidiar as discussões de temas educacionais com os pais e responsáveis (BRASIL, 1997a, p.10).

Nesse contexto, em relação aos estudantes, os PCN indicam dez objetivos

para o Ensino Fundamental que, resumidamente, citamos. Os alunos devem ser

capazes de:

compreender a cidadania, os direitos e deveres civis, políticos e sociais,

adotando solidariedade, cooperação e respeito com o outro;

posicionar-se de maneira responsável, construtiva e crítica diante das

diferentes situações;

reconhecer características do Brasil que são indispensáveis para a

construção da identidade nacional e pessoal;

conhecer e valorizar a diversidade sociocultural tanto brasileira como de

outras nações de modo a se posicionar contra discriminações;

contribuir para a melhoria do ambiente;

perceber a si mesmo e sentir-se confiante em suas capacidades: afetiva,

física, cognitiva, ética, estética, de inter-relação pessoal e de inserção

social;

cuidar do próprio corpo, adotando hábitos saudáveis e agindo com

responsabilidade em relação à sua saúde e à saúde coletiva. (BRASIL,

1997a).

49

Os PCN enfatizam o importante papel da Matemática no processo

educacional dos alunos do Ensino Fundamental. Ele detém um vasto campo de

relações e regularidades que instigam capacidades como a de generalização,

prevenção e abstração que propicia a estruturação do pensamento, bem como, o

desenvolvimento do raciocínio lógico, que são elementos essenciais para a vida das

pessoas, para o convívio social, político e econômico desde ações mais simples do

dia a dia como contar, comparar, fazer estimativas, no cálculo de faturas,

pagamentos, até as situações mais complexas. “Essa potencialidade do

conhecimento matemático deve ser explorada, da forma mais ampla possível, no

ensino fundamental” (BRASIL, 1997b, p. 25).

Em relação à Matemática destacamos três dentre os objetivos estabelecidos

pelos PCN:

• utilizar as diferentes linguagens — verbal, matemática, gráfica, plástica e corporal — como meio para produzir, expressar e comunicar suas ideias, interpretar e usufruir das produções culturais, em contextos públicos e privados, atendendo a diferentes intenções e situações de comunicação; • saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos; • questionar a realidade formulando-se problemas e tratando de resolvê-los,utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação (BRASIL, 1997a, p.09).

Observamos, dentre os diferentes tipos de linguagem, a importância da

linguagem Matemática na formação do aluno como cidadão consciente, nas

diferentes formas de expressão e de comunicação, na utilização da tecnologia para

construção de conhecimento e no desenvolvimento de outras capacidades como a

formulação e resolução de problemas, análise crítica das situações, nas quais se

utiliza o pensamento lógico matemático.

Em resumo, os PCN da área de Matemática, Brasil (1997b), estão pautados

nos princípios que destacamos a seguir:

a Matemática como componente fundamental na construção da

cidadania, precisando estar ao alcance de todos;

a atividade matemática “não é ‘olhar para coisas prontas e definitivas’”

(BRASIL, 1997b, p.17), mas sim a construção do conhecimento pelo

aluno;

50

em seu ensino, destacam-se dois aspectos: a relação com o mundo

real com representações e a relação entre as representações com

princípios e conceitos matemáticos;

“recursos didáticos, como jogos, livros, vídeos, calculadoras,

computadores e outros materiais têm um papel importante no processo

de ensino e aprendizagem” (BRASIL, 1997b, p.17). Esses recursos

precisar estar ligados a situações que levam o aluno a análises e

reflexões.

a “avaliação”, que faz parte do processo de ensino e aprendizagem, é

também considerado um princípio dessa área.

Para o primeiro ciclo do Ensino Fundamental são explicitados para o ensino

de Matemática os objetivos:

• Construir o significado do número natural a partir de seus diferentes usos no contexto social, explorando situações-problema que envolvam contagens, medidas e códigos numéricos. • Interpretar e produzir escritas numéricas, levantando hipóteses sobre elas, com base na observação de regularidades, utilizando-se da linguagem oral, de registros informais e da linguagem matemática. • Resolver situações-problema e construir, a partir delas, os significados das operações fundamentais, buscando reconhecer que uma mesma operação está relacionada a problemas diferentes e um mesmo problema pode ser resolvido pelo uso de diferentes operações. • Desenvolver procedimentos de cálculo — mental, escrito, exato, aproximado — pela observação de regularidades e de propriedades das operações e pela antecipação e verificação de resultados. • Refletir sobre a grandeza numérica, utilizando a calculadora como instrumento para produzir e analisar escritas. • Estabelecer pontos de referência para situar-se, posicionar-se e deslocar-se no espaço, bem como para identificar relações de posição entre objetos no espaço; interpretar e fornecer instruções, usando terminologia adequada. • Perceber semelhanças e diferenças entre objetos no espaço, identificando formas tridimensionais ou bidimensionais, em situações que envolvam descrições orais, construções e representações. • Reconhecer grandezas mensuráveis, como comprimento, massa, capacidade e elaborar estratégias pessoais de medida. • Utilizar informações sobre tempo e temperatura. • Utilizar instrumentos de medida, usuais ou não, estimar resultados e expressá-los por meio de representações não necessariamente convencionais. • Identificar o uso de tabelas e gráficos para facilitar a leitura e interpretação de informações e construir formas pessoais de registro para comunicar informações coletadas (BRASIL, 1997b, 47).

Alguns pontos indicados nos objetivos acima mencionados são de

fundamental relevância para a presente pesquisa, como a relação entre a

construção do significado das operações fundamentais e a resolução de problemas,

51

o desenvolvimento do cálculo mental e a utilização da calculadora na reflexão sobre

grandezas numéricas.

3.1.2 Dados estatísticos de avaliação

Destacada a importância do papel da Matemática pelos PCN, o documento

traz alguns resultados de pesquisas sobre o ensino brasileiro que evidenciam a

necessidade de melhorias, prioritariamente, na área da Matemática.

Segundo os indicadores da Secretaria de Desenvolvimento e Avaliação

Educacional (Sediae), do Ministério da Educação e do Desporto, que reafirmaram a

necessidade de revisão do projeto educacional do Brasil. Durante as décadas de 70

e 80, os índices de evasão e repetência foram muito elevados causando enorme

insatisfação com o trabalho das escolas em geral de nosso país. Apesar dos

investimentos em educação ao longo desse tempo, os resultados obtidos por meio

de pesquisas realizadas pelo SAEB/955 reafirmam a baixa qualidade no

desempenho dos alunos no Ensino Fundamental, principalmente, na área da

Matemática, mais especificamente nas questões conhecidas como de conhecimento

de procedimentos e resolução de problemas (BRASIL, 1997a).

3.1.3 Resolução de problemas e a Teoria dos Campos Conceituais

Visando a uma melhoria nos resultados das pesquisas que apontam a baixa

qualidade do desempenho dos alunos na área de Matemática, os PCN (1997)

propõem caminhos para se “fazer Matemática” em sala de aula, dando ênfase à

resolução de problemas. O documento afirma que os problemas estão sendo

5 Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica

52

utilizados inadequadamente, ou seja, “apenas como forma de aplicação de

conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos” (BRASIL, 1997b, p.32). Em

geral, a prática consiste em ensinar um conceito e depois apresentar um problema

para avaliar o que foi ou aprendido pelo aluno. Assim, para a maioria dos alunos,

“resolver um problema significa fazer cálculos com os números do enunciado ou

aplicar algo que aprenderam nas aulas” (BRASIL, 1997b, p.32).

Um problema matemático para os PCN de Matemática (Brasil, 1997b, p. 33)

“é uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou

operações para obter um resultado, ou seja, a solução não está disponível de início,

no entanto é possível construí-la.” Resolver um problema não se resume apenas em

compreender o que foi proposto e aplicar métodos adequados, e sim pressupõe que

o aluno elabore um ou mais procedimentos para a resolução fazendo simulações,

demandando tentativas e formulação de hipóteses.

Sobre essa vertente os PCN da área de Matemática defendem uma proposta

para o foco na resolução de problemas que se resume em alguns princípios como:

os conceitos e métodos matemáticos têm de ser abordados sob a

exploração de problemas, que são situações em que os alunos precisam

de alguma estratégia para resolvê-las;

o problema não é sinônimo de exercício de fixação; “o aluno não constrói

um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de

conceitos que tomam sentido num campo de problemas” (BRASIL, 1997b,

p.33);

com a resolução de problemas, se pode apreender conceitos,

procedimentos e também atitudes matemáticas.

É possível perceber, nesses princípios, a presença de definições que são

encontradas na Teoria dos Campos Conceituais, como a construção de um “campo

conceitual”, ou seja, um conjunto de situações que contêm uma gama de conceitos

envolvidos que acabam por dar sentido a essas situações, e não apenas de um

“conceito”, quando o aluno se depara com um problema, ou seja, com uma situação

isolada.

Também encontramos menção à Teoria dos Campos Conceituais no tópico

“Operações com Números Naturais”. Os PCN, Brasil (1997b) apontam os problemas

do Campo Conceitual Aditivo (os problemas aditivos e subtrativos) como aspecto

53

inicial na proposta escolar, no qual se trabalha, conjuntamente, esses problemas e a

construção do significado dos números naturais. Nos Parâmetros, encontramos

também que “a construção dos diferentes significados leva tempo e ocorre pela

descoberta de diferentes procedimentos de solução” (BRASIL, 1997b, p. 69).

As situações que envolvem adição e subtração foram distribuídas em quatro

grupos, que correspondem às quatro primeiras categorias estabelecidas por

Vergnaud (1996) na Teoria dos Campos Conceituais, são eles:

1º grupo: situações com a ideia de “combinar” dois estados para obter um

terceiro, “mais comumente identificada como ação de ‘juntar’” (BRASIL,

1997b, p. 70);

2o grupo: situações com a ideia de “transformação”, na qual se altera um

estado inicial;

3º grupo: situações com a ideia de “comparação”;

4º grupo: situações com “mais de uma transformação”.

3.1.4 Recursos didáticos

Em relação aos recursos tecnológicos utilizados no processo de ensino e

aprendizagem dos alunos do Ensino Fundamental, citados pelos PCN (1997),

destacamos o uso da calculadora (como citado anteriormente) que, segundo o

documento, “estudos e experiências evidenciam que a calculadora é um instrumento

que pode contribuir para a melhoria do ensino da Matemática” (BRASIL, 1997b, p.

34). É considerado um recurso motivador na realização das tarefas, além der ser

entendida como um instrumento valioso de autoavaliação quando utilizada para

verificação de resultados e correção de erros.

Temos, no jogo, outro recurso didático contemplado pelos Parâmetros, alguns

aspectos relevantes com a sua utilização:

é um objeto sociocultural que possibilita compreensão, gera satisfação,

forma hábitos e favorece a percepção de regularidades;

os alunos aprendem a lidar com símbolos e a imaginar o significado das

coisas (pensar por analogia);

54

são produtores de linguagem, capacitando os alunos a se submeterem a

regras e dar explicações que favorecem sua integração num mundo social;

jogos em grupo representam uma conquista cognitiva, emocional, moral e

social e estimula o desenvolvimento do raciocínio lógico;

o desafio do jogo gera interesse e prazer. (BRASIL, 1997b).

Também destacamos os materiais concretos dentre os recursos didáticos que

devem ser utilizados no ensino fundamental, como recomendado no trecho dos

PCN:

Ao explorarem as situações-problema, os alunos deste ciclo precisam do apoio de recursos como materiais de contagem (fichas, palitos, reprodução de cédulas e moedas), instrumentos de medida, calendários, embalagens, figuras tridimensionais e bidimensionais, etc. (BRASIL, 1997b, p. 45).

Os materiais de contagem acima mencionados são recursos importantes no

processo de aprendizagem principalmente quando utilizados nas situações-

problema, assim como os materiais de uso social, tais como jornais, revistas,

computadores e, também, filmes, avaliados como recursos imprescindíveis, pois

inserem o aluno no mundo à sua volta favorecendo o vínculo entre o que ele

aprende na escola e no extraescolar. (BRASIL, 1997a).

Outra menção importante que o documento traz faz referência aos dois tipos

de cálculo que o aluno desenvolve desde os ciclos iniciais: o cálculo mental e o

cálculo escrito; segundo os PCN, o primeiro serve de suporte para o segundo tipo,

assim “é recomendável que a organização do estudo do cálculo privilegie um

trabalho que explore, concomitantemente, procedimentos de cálculo mental e de

cálculo escrito, exato e aproximado...” (BRASIL, 1997b, p.76). O cálculo é

importante, pois estimula a memória, dedução, analogia, generalização, permite a

descoberta de equivalências, igualdades, desigualdades, bem como o

desenvolvimento da criatividade, da capacidade para tomada de decisões e

segurança na resolução de problemas. Porém, as estratégias de cálculo mental são

limitadas, é muito difícil a memorização de um grande número de resultados e a

necessidade do registro desses resultados acaba por originar procedimentos de

cálculo escrito. Assim, trabalhar o procedimento de cálculo mental desde as séries

iniciais é fundamental.

55

3.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PNLD 2010

Segundo as informações do FNDE (Fundo Nacional de Desenvolvimento da

Educação), o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) é o programa mais antigo

voltado à distribuição de livros didáticos para os alunos da rede pública de ensino do

Brasil. Iniciou-se em 1929, quando o Estado cria um órgão para legislar sobre a

política do livro didático, mas tinha outra denominação: Instituto Nacional do Livro

(INL). Ao longo dos anos, o programa foi sendo modificado, aperfeiçoado com

diferentes nomes e formas de execução.

Os principais acontecimentos, reformas administrativas e mudanças do

programa voltado ao livro didático por volta de 80 anos são:

a criação do Ministério da Educação (MEC) em 1930;

em 1938, por meio do Decreto-Lei no 1.006, de 30/12/38, é criada a

CNLD (não encontrei essa sigla) (Comissão Nacional do Livro

Didático);

a concepção da Comissão do Livro Técnico e Livro Didático (COLTED),

em 1966, cujo objetivo era coordenar as ações referentes à produção,

edição e distribuição dos livros didáticos. A criação da COLTED foi

fruto do acordo do Ministério da Educação (MEC) com a Agência

Norte-Americana para o Desenvolvimento Internacional (USAID);

em 1971, o INL desenvolve o PLIDEF (Programa do Livro Didático para

o Ensino Fundamental) que assume a administração e o

gerenciamento dos recursos financeiros, cargo da Colted. Assim,

ocorre o fim do acordo MEC/USAID e a implantação do sistema de

contribuição financeira das unidades federadas para o Fundo do Livro

Didático (FLD).

em 1976, o INL é extinto e é criada a Fundação Nacional do Material

Escolar (FENAME) que fica responsável pela execução do programa

do livro didático. Os recursos provêm do FNDE;

em substituição à FENAME, em 1983, surge a Fundação de

Assistência ao Estudante (FAE), que incorpora o PLIDEF;

Em 1985 com o Decreto nº 91.542, de 19/8/85, o PLIDEF dá lugar ao

PNLD com uma série de mudanças;

56

De acordo com as informações veiculadas pelo FNDE (site), na década de 90

ficam definidos os critérios para avaliação dos livros didáticos e é iniciada a

avaliação pedagógica dos livros inscritos para o PNLD, a responsabilidade pela

política do programa é transferida integralmente para o FNDE. De 1997 aos dias

atuais, o PNLD sofreu diversas mudanças administrativas e em relação a sua forma

de execução.

O PNLD acontece em ciclos trienais sempre alternados e, a cada ano o FNDE

distribui livros para todos os alunos de determinada etapa de ensino dos anos

iniciais e finais do Ensino Fundamental bem como os do Ensino Médio. Após a

utilização desses livros, deve ocorrer a devolução deles para que alunos dos anos

subsequentes possam utilizá-los.

De acordo com Oliveira Filho (2009), os critérios classificatórios e

eliminatórios de avaliação dos livros para o PNLD decorrem de diversas discussões,

eventos e seminários a cerca do assunto desde a década de 90, mais

especificamente, em 1993, quando foi criada uma comissão de especialistas

formados pelo MEC para avaliar a qualidade dos livros e estabelecer critérios gerais

para a avaliação destas obras. Esses critérios foram estruturados da seguinte forma:

critérios eliminatórios comuns;

critérios eliminatórios específicos;

critérios classificatórios comuns;

critérios classificatórios específicos.

Os critérios eliminatórios e classificatórios comuns tratam de todos os livros

do PLND de todas as áreas de conhecimento abrangidas pelo Programa. Os

critérios eliminatórios e classificatórios específicos se referem às especialidades das

áreas do conhecimento. Esses critérios sofreram aperfeiçoamentos ao longo dos

anos. Faremos, então, uma breve descrição dos principais critérios de avaliação no

processo de seleção das obras didáticas de Matemática a serem incluídas no Guia

de Livros Didáticos do 1º ao 5º ano do PLND de 2010 que (BRASIL, 2009):

3.2.1 Critérios eliminatórios comuns

57

(i) correção dos conceitos e das informações básicas;

(ii) coerência e adequação teórico-metodológicas;

(iii) respeito às especificidades do manual do professor;

(iv) observância aos seguintes preceitos legais e jurídicos: Constituição

Federal, Estatuto da Criança e do Adolescente, Lei de Diretrizes e Bases

da Educação Nacional, Lei no 10.639/2003, Diretrizes Nacionais do

Ensino Fundamental, Resoluções e Pareceres do Conselho Nacional de

Educação, em especial, o Parecer CEB no15/2000, de 04/07/2000, o

Parecer CNE/CP no 003/2004, de 10/03/2004;

(v) projeto gráfico editorial adequado aos fins a que se destinam as obras.

As coleções que não atenderem aos critérios acima mencionados serão

eliminadas.

3.2.2 Critérios específicos da área de Matemática

(i) correção dos conceitos e informações básicas devem ser evitados

erros explícitos, indução ao erro, contradições e conceituações

confusas;

(ii) adequação didático-metodológica das coleções de Matemática.

O livro didático de Matemática é adequado quando coopera para a aquisição,

pelo aluno, do saber matemático autônomo e significativo e que favorece o processo

de níveis gradativamente maiores e mais complexos de autonomia do pensar do

aluno. Assim, é importante que o livro didático contribua para:

• concretizar uma escolha pertinente dos conteúdos e uma maneira adequada de sua apresentação; • estimular a identificação e a manifestação do conhecimento que o aluno detém; introduzir o conhecimento novo sem se esquecer de estabelecer relações com o que o aluno já sabe; • favorecer a mobilização de múltiplas habilidades do aluno e cuidar da progressão inerente a esse processo; • estimular o desenvolvimento de competências mais complexas tais como análise, síntese, construção de estratégias de resolução de problemas, generalização, entre outras; • favorecer a integração e a interpretação dos novos conhecimentos no conjunto sistematizado de saberes. (BRASIL, 2009, p. 32).

58

É necessário que o desenvolvimento metodológico dos conteúdos expressos

pelas coleções mobilize o desenvolvimento de competências cognitivas, como

argumentação, organização, observação, compreensão, comunicação das ideias

matemáticas, memorização, saber raciocinar matematicamente, calcular

mentalmente, decodificar a linguagem matemática e saber se expressar por meio

dela, dentre outras. Assim o livro didático deve atender a dois requisitos:

• não privilegiar uma única habilidade ou competência entre aquelas a mobilizar e a desenvolver, visto que raciocínio, cálculo mental, interpretação e expressão em Matemática envolvem necessariamente várias delas; • ser coerente com os preceitos que afirma adotar. No caso de o livro didático recorrer a mais de um modelo metodológico, deve indicar claramente a articulação entre eles. (BRASIL, 2009, p. 33).

Apresentar uma metodologia que se enquadre nesses objetivos é um critério

fundamental para a decisão da eliminação ou classificação de uma coleção no

PNLD.

(iii) Manual do Professor

Para que um manual seja adequado ao dia a dia do professor em sala de aula

é necessário que fiquem explícitos seus princípios teórico-metodológicos e que

apresente, em todas as unidades, atividade por atividade seus objetivos, uma

discussão das escolhas didáticas pertinentes, antecipação dos possíveis caminhos

de desenvolvimento do aluno e de suas dificuldades, indicações de modificações da

atividade a fim de que o professor possa melhor adequar a atividade a sua realidade

local, auxílio ao professor na sistematização dos conteúdos trabalhados, possíveis

estratégias de resolução, indicações sobre a avaliação.

(iv) Construção da Cidadania

O livro didático deve “contribuir para o desenvolvimento da ética necessária

ao convívio social e à construção da cidadania...” (BRASIL, 2009, p. 34).

3.2.3 Estruturação das resenhas de avaliação dos livros didáticos

A seguir, explicitaremos como são as resenhas de avaliações dos livros

didáticos encontrados no Guia de Livros Didáticos do 1o ao 5o ano do PLND de 2010

59

(BRASIL, 2009). A priori, é identificado o nome da obra, código no PNLD (2010),

autoria, editora e capa. Em seguida a síntese avaliativa e os dados da coleção.

A Figura 4 apresenta a “analise” realizada pelos examinadores na avaliação

de uma coleção. Observamos na figura 4 que a abordagem dos conteúdos é feita

com base nos blocos indicados pelos PCN de Matemática.

Figura 5 - Abordagem dos conteúdos Fonte: BRASIL (2009)

Na etapa seguinte, é realizada uma análise da “metodologia de ensino e

aprendizagem” predominante na obra. Alguns aspectos são observados, tais como:

a valorização de atividades contribuintes para a construção de conhecimento e de

competências matemáticas, o uso e a manipulação de materiais didáticos, jogos e

atividades lúdicas. Também se observa os contextos nos quais as atividades são

apoiadas e as contribuições da obra para a formação da cidadania.

No item “linguagem e aspectos gráficos” é analisada a clareza da linguagem

utilizada. Por fim, é analisado o Manual do Professor.

Para servir de base na elaboração das resenhas, estruturadas da maneira

como citamos logo acima, os examinadores dispõem de uma “Ficha de Avaliação”

com os critérios eliminatórios e classificatórios, anteriormente mencionados.

Em relação aos materiais analisados neste estudo, selecionamos quatro

coleções direcionadas a alunos dos anos iniciais, sendo duas aprovadas para o

PNLD 2010 e duas coleções alternativas que não foram submetidas a essa

60

avaliação. Assim, de acordo com os objetivos da pesquisa, compilamos alguns

critérios de avaliação do documento oficial PNLD 20106 para um exame parcial

destas duas coleções alternativas de acordo com alguns parâmetros do PNLD 2010.

Detalharemos essa análise nos capítulos subsequentes.

6 Vide ANEXO A

61

CAPÍTULO IV

METODOLOGIA

Neste capítulo, descreveremos os aspectos metodológicos que serão

utilizados para analisar as situações do Campo Conceitual Aditivo encontradas em

quatro Coleções de materiais didáticos. O estudo se apoia na Teoria dos Campos

Conceituais e nos documentos oficiais Brasil (1997) e PNLD de 2010, no que se

refere às situações do Campo Aditivo e os recursos didáticos utilizados para tratar

das situações.

Nossa investigação é uma pesquisa documental seguindo a definição de Gil

(2010), ou seja, uma pesquisa elaborada a partir de “dados já existentes” (GIL, 2010,

p. 30) retirados de materiais publicados. Pretendemos verificar as possibilidades

oferecidas por diferentes coleções de materiais didáticos para favorecer a

construção de esquemas por alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental,

examinando as situações do Campo Aditivo encontradas nessas Coleções.

Em nosso estudo, foi adotada a abordagem qualitativa apoiada na ideia de

Dias (2000), citando Bradley (1993), quando aponta que em pesquisas com esse

tipo de abordagem “as grandes massas de dados são quebradas em unidades

menores e, em seguida, reagrupadas em categorias que se relacionam entre si de

forma a ressaltar padrões, temas e conceitos” (p. 02).

4.1 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

A nossa proposta de trabalho vale-se de técnicas semelhantes às fases de

desenvolvimento da “análise de conteúdo” que, de acordo com Bardin (1988)

consiste em “um conjunto de técnicas de análise das comunicações, que utiliza

procedimentos sistemáticos e objectivos de descrição do conteúdo das mensagens”

(BARDIN, 1988, p. 38). Existem três fases para o desenvolvimento da análise de

conteúdo:

As diferentes fases da análise de conteúdo, tal como o inquérito sociológico ou a experimentação, organizam-se em torno de três pólos cronológicos:

62

1) a pré-análise; 2) a exploração do material; 3) o tratamento dos resultados, a inferência e a interpretação. (BARDIN,

1988, p. 95).

Desta maneira, de acordo com as fases do desenvolvimento da análise de

conteúdo de Bardin (1988), foram realizados os seguintes procedimentos:

4.1.1 Pré-análise

Foram escolhidas quatro Coleções de materiais didáticos de Matemática

voltados aos anos iniciais do Ensino Fundamental que são utilizados em diferentes

sistemas de ensino.

4.1.1.1 Levantamento das Coleções

Os objetos de nosso estudo são quatro Coleções de materiais didáticos, do 2o

ao 5o ano que foram selecionadas com o objetivo de abranger materiais que são

utilizados em diferentes sistemas de ensino, porém destinados a públicos da mesma

fase escolar. Designaremos as mesmas como: Coleção1, Coleção 2, Coleção 3 e

Coleção 4.

Segue a relação das obras selecionadas:

Duas Coleções de materiais didáticos indicados no Guia de Livros

Didáticos PNLD 2010 – Alfabetização Matemática e Matemática, que

chamaremos de Coleção1 e Coleção2. Essas Coleções são destinadas

tanto às escolas de redes públicas de ensino, pois são indicadas pelo

PNLD, quanto às de redes privadas de ensino;

Uma Coleção de materiais didáticos destinada a redes privadas de

ensino que chamaremos de Coleção 3;

Uma Coleção de materiais didáticos destinada a uma rede de ensino

público que chamaremos de Coleção 4.

63

As duas Coleções indicadas no Guia de Livros Didáticos de 2010 (Coleção 1

e Coleção 2) foram selecionadas pelo nosso conhecimento do trabalho dos autores;

a escolha da outras duas (Coleção 3 e Coleção 4) pela facilidade de acesso da

pesquisadora a esses materiais. Dentre as quatro Coleções apuradas para o estudo,

os volumes que são destinados aos alunos do 1o ano não foram selecionados, pois

só tivemos acesso aos materiais destinados ao 1o ano de duas das quatro Coleções

selecionadas.

A escolha foi realizada com o intuito de analisar o conjunto de propostas para

o Campo Conceitual Aditivo contido em materiais que são utilizados em diferentes

sistemas de ensino, mas destinados a alunos do mesmo nível de escolaridade.

4.1.2 Exploração do material

Foram selecionadas situações referentes ao bloco temático Números e

Operações, mais precisamente o Campo Conceitual Aditivo; classificamos essas

situações quanto a sua natureza (de acordo com as categorias de Vergnaud), e

quanto a sua forma de apresentação (de acordo com os tipos de problemas e seus

recursos didáticos).

4.1.2.1 Elaboração dos instrumentos de coleta de dados

Foram elaboradas fichas para organização e classificação dos problemas do

Campo Aditivo encontradas nas Coleções de acordo com as categorias

estabelecidas por Vergnaud (1982), subdivididos em Problemas tipo 1 e Problemas

tipo 2 e de acordo com os recursos didáticos propostos para estes problemas, a

saber:

APÊNDICE A - Classificação das situações do Campo Aditivo de acordo com

as categorias da TCC

64

APÊNDICE B - Classificação das situações do Campo Aditivo de acordo com

os recursos didáticos

Em nossa pesquisa, foram analisados os problemas compostos por relações

elementares, ou seja, relações aditivas básicas. Segundo Vergnaud (2009) esses

problemas tratam de relações que são sempre ternárias (relacionam três elementos)

e podem ser classificadas de acordo com seis categorias básicas. Os objetos de

nosso estudo são voltados aos anos iniciais do Ensino Fundamental, por esse

motivo, vamos considerar apenas quatro categorias de problemas dentre as seis

estabelecidas por Vergnaud, que são compatíveis com a fase escolar adotada:

“composição”, “transformação”, “comparação” e “composição de duas

transformações”. Porém, as relações aditivas não se limitam apenas às relações

básicas, não compreendem apenas os problemas que se reduzem a uma relação,

existem problemas que correlacionam várias relações elementares e foram

designados por Vergnaud como “problemas complexos”.

4.1.3 Tratamento dos resultados

Os dados colhidos e registrados nos instrumentos foram interpretados e

analisados com o embasamento do referencial teórico e considerações dos PCN e

do PNLD de 2010, procurando atender aos objetivos e responder as questões que

motivaram essa investigação.

No exame dos volumes do 2o ao 5o ano das diferentes coleções encontramos

dois tipos de problemas. O primeiro tipo, que chamaremos de Problemas tipo 1, são

problemas que demandam uma simples ou imediata realização de operações para

se chegar à solução7. Fazendo a associação entre nossa definição para esse tipo de

problema e a classificação dos problemas para Dante tem que os Problemas tipo 1

7 No Apêndice C estão alguns exemplos dos tipos de problema (tipo 1 e tipo 2).

65

se assemelham aos “Problemas-padrão: fixar fatos básicos e algoritmos vinculando

seu emprego a situações do cotidiano; onde é preciso transformar linguagem usual

em linguagem matemática” (DANTE, 2000 apud PAGLIARINI, 2007, p.28).

O segundo tipo a que denominaremos Problemas tipo 2 são problemas mais

contextualizados, que exigem levantamento de dados, são mais desafiadores, cujos

dados podem ser organizados em forma de tabelas ou traçando gráficos. Este tipo

de problema demanda, na maioria das vezes, a realização de diferentes operações

e algoritmos e geralmente requer a resolução de mais de um problema numa mesma

situação8. Dante os considera como “Situações-Problema: levam o estudante a

coletar e organizar dados, matematizar uma situação real vivenciada diariamente e

solucionar o problema utilizando a Matemática” (DANTE, 2000 apud PAGLIARINI,

2007, p.28).

No transcorrer do trabalho foram realizados os seguintes procedimentos:

Detalhamos as Coleções, observando a classificação das situações

quanto a sua natureza, de acordo com as categorias de Vergnaud, e

quanto a sua forma de apresentação, de acordo com os tipos de

problemas e seus recursos didáticos propostos ao longo dos quatro

anos (2o ao 5o) que compõem as coleções.

Destacamos trechos das avaliações nas resenhas do Guia de Livros

Didáticos PNLD 2010 sobre as duas Coleções avaliadas Coleção1 e

Coleção 2 levando em conta os interesses da pesquisa; sobre as outras

duas Coleções: Coleção 3 e Coleção 4, que não passaram por essa

avaliação, elaboramos um breve exame seguindo alguns critérios

adotados nas avaliações do Guia de Livros Didáticos PNLD 2010.

Realizamos um estudo comparativo entre as quatro Coleções buscando

analisar a evolução das situações e seus recursos didáticos e

observando a maneira como conduzem a construção de esquemas

pelo aluno ao longo dos anos.

8 No Apêndice C estão alguns exemplos dos tipos de problema (tipo 1 e tipo 2).

66

Na sequência, será apresentada a análise dos dados colhidos com os

instrumentos de coleta, detalhados neste Capítulo.

67

CAPÍTULO V

ANÁLISE DOS DADOS

Neste capítulo, apresentaremos a análise dos dados obtidos examinando as

Coleções de materiais didáticos selecionadas para o presente estudo com a

utilização dos instrumentos de coleta de dados que foram mencionados e

detalhados no capítulo anterior.

Analisaremos as situações do Campo Conceitual Aditivo observando sua

classificação de acordo com as categorias de Vergnaud (1982); os demais recursos

didáticos propostos por essas Coleções serão analisados tendo em vista os

documentos oficiais: Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) e o Plano Nacional

do Livro Didático (2010).

A classificação a ser utilizada, estabelecida por Vergnaud (1982), será

baseada em quatro categorias de relações básicas do Campo Conceitual Aditivo:

“composição”, “transformação”, “comparação” e “combinação de duas

transformações”. Sobre as demais categorias vale ressaltar que as categorias

encontradas

[...] vão além das quatro séries iniciais do ensino fundamental. De fato, são problemas que, devido a sua complexidade, devem ser trabalhados nos quatro anos finais do ensino fundamental (MAGINA et al, 2008, p.50).

No exame das Coleções de materiais didáticos, encontramos alguns

problemas, com exemplos nos anexos (ANEXO B), que não podem ser classificados

de acordo com as categorias de relações básicas, ou elementares, da TCC e, dentre

outros motivos, o principal deles é o fato de serem problemas complexos, ou seja, as

relações contidas não são ternárias.

Detalharemos cada uma das Coleções, de maneira isolada, também

destacaremos trechos das resenhas do PNLD de 2010 sobre as duas Coleções

avaliadas “Coleção 1” e “Coleção 2” levando em conta os interesses da pesquisa;

sobre as outras duas Coleções, que não passaram por essa avaliação, elaboramos

uma breve análise de acordo com alguns critérios adotados para as avaliações e

elaboração das resenhas pelo PNLD de 2010. Posteriormente, serão observadas as

semelhanças e diferenças entre as quatro Coleções de materiais didáticos. Por fim,

faremos uma análise e discussão dos resultados evidenciando um quadro

68

comparativo, entre as quatro Coleções, no que diz respeito as categorias de

Vergnaud, os tipos de problemas, os recursos didáticos e os critérios de avaliação

do PNLD de 2010.

5.1 COLEÇÃO 1

5.1.1 Classificação das situações segundo as categorias de Vergnaud (1982) na

TCC

Na classificação geral das situações de acordo com as quatro primeiras

categorias do Campo Aditivo compostas de relações elementares, estabelecidas por

Vergnaud (1982), observamos a partir da Tabela 1 e da representação gráfica

abaixo, uma predominância da categoria “transformação” em relação as demais

categorias.

Tabela 1 – Classificação geral, Coleção 1

Categorias 2o ano 3o ano 4o ano 5o ano Total

Composição 44 27 12 9 92

Transformação 42 38 18 30 128

Comparação 19 7 9 6 41

Composição de duas transformações 0 1 1 0 2

Total 105 73 40 45 263 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 1

Figura 6 – Classificação geral dos problemas, Coleção 1 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 1

2º ano

3º ano

4º ano5º ano

0

20

40

60

ComposiçãoTransformação

ComparaçãoComposição de

2 transform.

Coleção 1 Classificação geral - categorias de Vergnaud

69

Em relação à quantidade total das situações, há um número bastante

significativo destas nos quatro volumes desta Coleção, mesmo com a diminuição

dessa quantidade ao longo dos volumes, o que já é esperado, pois as atividades do

Campo Multiplicativo começam a ser introduzidas ao longo dos anos.

Detalhando a subdivisão das situações quanto aos tipos de problemas

encontrados, elaboramos as tabelas seguintes e a Figura 7:

Tabela 2 – Classificação dos tipos de problemas

Coleção 1 – 2o ano

Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total

Composição 15 29 44

Transformação 17 25 42

Comparação 6 13 19

Composição de duas transformações

0 0 0

Total 38 67 105 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 1






Comparação 2 5 7


1 0 1





Composição 5 7 12


Comparação 3 6 9


1 0 1





Composição 3 6 9


Comparação 1 5 6


0 0 0

Total 19 26 45

70

Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 1

Figura 7 – Classificação dos tipos de problemas e categorias de Vergnaud, Coleção 1 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 1

71

Observamos uma boa distribuição das situações quanto ao tipo de problemas.

Os dois tipos são bastante explorados apesar da quantidade numérica dos

Problemas tipo 2 ser maior, com exceção do volume do 3o ano em que sobressaem

os Problema tipo 1. Verificamos também que a quantidade de Problemas tipo 2

correspondentes a categoria “composição” apenas se sobressai, em relação às

outras, no volume do 2o ano.


A Tabela 6 e a Figura 8 a seguir mostram as quantidades dos recursos

didáticos propostos nos materiais desta Coleção.

Tabela 6 – Classificação dos recursos didáticos, Coleção 1

Recursos didáticos 2o ano 3o ano 4o ano 5o ano Total

Apenas enunciado 30 32 13 5 80

Figura 69 34 19 24 146

Calculadora 0 3 0 1 4

Cálculo mental 3 1 8 15 27

Material concreto 0 1 0 0 1

Jogo 0 0 0 0 0

Criação de problema 3 2 0 0 5


Figura 8 – Classificação dos recursos didáticos, Coleção 2 (2

o ao 5

oanos)


72

O material dispõe de uma quantidade razoável de atividades com o estímulo

ao cálculo mental, recomendado pelos PCN. Porém, jogos e atividades com a

utilização da calculadora, que também são recomendados pelos PCN, são pouco

estimulados.

5.1.3 Exame da Coleção 1 segundo critérios do Guia de Livros Didáticos PNLD 2010

As Coleções avaliadas pelo PNLD 2010 foram subdivididas em dois grupos

no momento da análise e elaboração das resenhas. O primeiro grupo de materiais é

denominado “Alfabetização Matemática” e compreende os materiais do 1o e do 2o

anos e, o segundo grupo, denominado “Matemática”, os materiais do 3o, 4o e 5o anos

do Ensino Fundamental.

Destacamos alguns trechos das resenhas de avaliação do Guia de Livros

Didáticos PNLD 2010 sobre a Coleção 1, no que diz respeito aos interesses da

nossa pesquisa, visando atender a nossos objetivos.

1o e 2o Anos

Síntese avaliativa

Os conteúdos da obra são abordados a partir de situações do cotidiano e de uma grande quantidade de atividades diversificadas. Muitas destas, porém, são dirigidas passo a passo e possuem enunciados longos, o que pode dificultar o acompanhamento de sua leitura por crianças ainda não alfabetizadas. Outras são atividades bastante complexas e relacionadas a conteúdos ainda não explorados, pressupondo-se a aquisição prévia de conhecimentos pelos alunos em contextos sociais extraescolares [...] há uma preocupação excessiva com a sistematização. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 1).

Abordagem dos conteúdos

É feita a partir de situações do cotidiano, o que a torna mais significativa. No entanto, a coleção dá atenção excessiva ao campo dos números e operações. [...] As ideias associadas às operações são corretamente exploradas em aplicações de interesse das crianças. São trabalhados os algoritmos da adição e da subtração. [...] (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 1).

Metodologia de ensino e aprendizagem

Os capítulos se estruturam em sequências de atividades variadas, mas a maioria delas é bastante dirigida e exige pouca reflexão para ser respondida. [...] Porém, as atividades não valorizam o uso de estratégias pessoais ou diferentes possibilidades de abordagem. Algumas articulam

73

adequadamente mais de um campo da Matemática, no entanto, outras pressupõem conhecimentos construídos fora da escola e ainda não explorados pelo livro. [...] A contextualização dos conteúdos é feita nos enunciados das atividades, com a criação de situações relacionadas ao universo infantil e às práticas sociais do cotidiano. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 1).

3o, 4o e 5o Anos

Síntese avaliativa

Os conteúdos são desenvolvidos com base em exemplos e explanações. Estas últimas são acompanhadas de atividades nas quais se conduz o aluno a responder questões ou a realizar procedimentos. A sistematização dos conteúdos é feita, em geral, de forma apropriada, mas há casos em que ela é precoce ou traz excesso de simbologia, o que pode limitar a autonomia e a criatividade do aluno. Por outro lado, em várias situações, o aluno é solicitado a refletir, verificar processos e resultados e a interagir com os colegas e com o professor, o que pode favorecer sua participação ativa na construção do conhecimento. [...] É dada atenção excessiva ao campo de números e operações, particularmente no volume do 3º ano [...] (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 1).


Os conteúdos de cada campo de conteúdo são tratados adequadamente, sendo retomados em diferentes volumes ou em distintos momentos num mesmo volume. É dada atenção excessiva ao campo de números e operações, particularmente no volume do 3º ano, o que reduz o estudo dos demais, especialmente da geometria e do tratamento da informação. [...] Os conceitos relativos a este campo

9 são adequadamente introduzidos, e há

discussões sobre as diferentes abordagens de um mesmo conteúdo, como o emprego de diversos procedimentos para as operações fundamentais e o apelo à representação gráfica para explicar o algoritmo da divisão. Há diversidade de exercícios e propostas de abordagens e leituras que tornam interessantes os temas apresentados. [...] (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 1).


[...] Em várias situações, o aluno é solicitado a refletir, verificar processos e resultados e a interagir com os colegas e com o professor. Assim, a participação ativa do aluno na construção do conhecimento fica favorecida. Há, na coleção, situações que favorecem o desenvolvimento de competências para visualizar, classificar, questionar, expressar e registrar ideias e procedimentos. Há ainda atividades diversificadas que contemplam questões abertas, desafios, problemas com várias soluções e situações em que o aluno é solicitado a verificar processos e resultados. [...] Outro aspecto positivo da obra é a presença de temas interdisciplinares como espaço geográfico, meio ambiente, recursos naturais, fauna e flora

9 Números e operações

74

brasileiras, que podem contribuir para a formação da cidadania. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 1).

Em sala de aula

O aluno é conduzido a adquirir o conhecimento matemático por meio da resolução de atividades, que são ricas e bem diversificadas [...] um dos aspectos positivos da obra é a solicitação para que os alunos registrem suas respostas por escrito e realizem debates em sala de aula com base nessas produções [...] (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 1).

5.2 COLEÇÃO 2


TCC

Na classificação geral das situações desta coleção, observando a Tabela 7 e

a Figura 9, verificamos uma quantidade maior da categoria “transformação” em

relação às demais categorias, seguido da categoria “composição”, depois da

“comparação” e por fim da categoria “composição de duas transformações”.

Encontramos a categoria “composição” em maior quantidade apenas no volume do

3o ano.

Tabela 7 – Classificação geral, Coleção 2

Categorias 2o ano 3o ano 4o ano 5o ano Total






75


Verificamos também que a Coleção apresenta uma boa distribuição na

quantidade total de situações, apesar dessa quantidade se sobressair no volume do

3o ano em relação aos demais volumes: 2o, 4o e 5o anos. Porém a Coleção propõe

mais situações da categoria “comparação” no 2o quando comparado ao 3o ano, e no

4o quando comparado ao 5o ano.

No volume do 5o ano observamos que são pouco exploradas situações de

“comparação” e “composição de duas transformações”; para este ano espera-se que

sejam propostas mais situações desses tipos, pois são consideradas mais

complexas e desafiadoras que os demais, visando a ampliação do domínio do

Campo Conceitual.


elaboramos as tabelas seguintes e a Figura 10:








0 0 0


2º ano

3º ano

4º ano

5º ano

0

10

20

30

40

50


ComparaçãoComposição de 2

transform.


76






Comparação 0 2 2


1 0 1







Comparação 6 6 12


0 1 1





Composição 4 1 5


Comparação 1 3 4


0 0 0


77


78

Outro fato observado diz respeito à variedade dos problemas quanto aos tipos

(1 e 2). A Coleção propõe uma quantidade bem maior de Problemas tipo 1, em

especial no volume do 2o ano que corresponde a apenas 6% do total, esse

percentual é mais equilibrado nos demais volumes.


A Tabela 12 e a Figura 11, a seguir, mostram as quantidades dos recursos

didáticos propostos nos volumes desta coleção.




Figura 37 37 30 8 112




Jogo 2 2 0 0 4



Figura 11 – Classificação dos recursos didáticos, Coleção 2 (2º ao 5º anos) Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 2

79

A maior parte das situações propostas pela Coleção utiliza figuras em seus

enunciados, as que só utilizam o enunciado em sua apresentação também são

bastante explorados, principalmente no volume do 5o ano.

O recurso didático que contribui para o desenvolvimento do cálculo mental

também é encontrado em uma quantidade razoável. Outros recursos como

calculadora, jogo e criação de problema são propostos com menor frequência. O

único recurso que a Coleção não propõe é a utilização de material concreto para

auxiliar na discussão das situações.

5.2.3 Exame da Coleção segundo critérios do Guia de Livros Didáticos PNLD 2010

Destacamos alguns trechos de resenhas de avaliação do Guia de Livros

Didáticos PNLD 2010 sobre a Coleção 2, no que diz respeito aos interesses da

nossa pesquisa, visando atender a nossos objetivos.

Da mesma forma que a Coleção 1, as atividades desta Coleção foram

subdividas em dois grupos pelo PNLD (2010). O grupo “Alfabetização Matemática”

compreende os volumes do 1o e 2o anos e o grupo “Matemática” refere-se aos

volumes do 3o, 4o e 5o anos do Ensino Fundamental.

1o e 2o Anos

Síntese avaliativa

Sobressai, na obra, a riqueza de contextualizações e a linguagem usada, além da diversidade de gêneros textuais e de recursos gráficos. [...] as noções preliminares e intuitivas sobre os números naturais e as quatro operações aritméticas recebem bastante atenção. [...] páginas arejadas se alternam com outras em que há excesso de informações visuais, textos longos ou tarefas com muitos subitens. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 2).


Nos dois volumes e ao longo das unidades, os conteúdos de cada campo são distribuídos de maneira equilibrada e com boas articulações. No entanto, há abordagem mais formal das quatro operações apenas no livro 2, o que é acertado. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 2).


A obra se caracteriza por valorizar atividades que incentivam a participação ativa dos alunos e sua interação. Destacam-se as seções de resolução de

80

problemas, que não se limitam àqueles que exigem cálculos. Em ambos os volumes valoriza-se o desenvolvimento do raciocínio matemático em situações nas quais a criança é solicitada a refletir sobre as respostas e as estratégias de resolução de problemas. Na maioria dos casos, as sistematizações ficam a cargo do professor, embora haja atividades que trazem definições nos enunciados ou em “balões” com “falas” de personagens. [...] encontram-se também atividades cujos enunciados e ilustrações favorecem a reflexão sobre o cuidado com o meio ambiente e respeito ao outro, em particular ao idoso. Há ainda, atividades que promovem a articulação dos diferentes campos da Matemática e desta com outras áreas do conhecimento.” (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 2).

3o, 4o e 5o Anos

Síntese avaliativa

Os conceitos são abordados e retomados com aprofundamento gradual ao longo da coleção. As atividades são bem formuladas e contribuem para o estabelecimento de significados. São usados textos que ajudam na contextualização e interligam o assunto tratado a questões sociais e culturais. Dessa forma, a obra contribui para a formação de indivíduos críticos e autônomos. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 2).


Os conteúdos de números e operações, geometria, grandezas e medidas, e tratamento de informação são abordados e sempre retomados por meio de problemas diversificados. Isso é feito em cada unidade e por meio de itens que apresentam enfoques variados, com o cuidado de aprofundar os conteúdos a cada retomada. Em cada uma das quatro unidades dos livros um dos campos é mais enfatizado. Mas os outros também são trabalhados, em menor grau, nas diversas situações-problema propostas [...] [...] se verifica uma diminuição de números e operações no 5º ano, o que é adequado. Os conteúdos deste campo são bem explorados, por meio de atividades diversificadas e bem contextualizadas. Eles são abordados e retomados com ampliações gradativas. No trabalho com as quatro operações, são tratados gradativamente seus diferentes significados e algoritmos. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 2).


A resolução das situações-problema, que são diversificadas e instigadoras, dá oportunidade ao aluno para estabelecer relações e, progressivamente, adquirir os conceitos e procedimentos matemáticos. O estímulo ao uso de diferentes estratégias na resolução de problemas e de vários recursos didáticos, como calculadora, ábaco, régua e compasso, auxilia no processo de investigação. Por sua vez, as atividades com textos variados favorecem o desenvolvimento da criatividade. [...] São feitas boas contextualizações dos conteúdos, que são articulados às práticas sociais atuais e ao mundo infantil. Além disso, valorizam-se os conhecimentos prévios e extraescolares dos alunos. Há, também, preocupação em relacionar a Matemática às demais áreas, como Geografia e Ciências. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 2).

Em sala de aula

Ao longo da coleção, são propostas várias atividades para serem resolvidas oralmente, o que incentiva a reflexão, argumentação e a interação entre os

81

alunos. [...] As leituras complementares, sugeridas e comentadas ao final do livro, podem se constituir em excelentes recursos para o docente. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 2).

5.3 COLEÇÃO 3


TCC

Na classificação geral das situações desta Coleção, encontramos uma

quantidade maior destas da categoria “composição” em relação às demais

categorias, seguido da categoria “transformação”, “comparação” e por fim

“composição de duas transformações”. A quantidade total de situações diminui

bruscamente nos volumes do 2o para o 5o anos.

Tabela 13 – Classificação geral, Coleção 3 Categorias 2o ano 3o ano 4o ano 5o ano Total







2º ano

3º ano

4º ano5º ano

0

10

20

30

40

50



transform.


82

De acordo com a Figura 12 percebemos que a quantidade de problemas de

“comparação” é maior no 2o e no 3o anos, e a categoria “composição de duas

transformações” não é abordada no 4o e 5o anos. Problemas destas categorias são

mais complexos que os das demais e, assim, espera-se que sejam abordados com

maior ênfase nos anos finais (4o e 5o anos).

Quanto à classificação dos tipos de problemas, elaboramos as tabelas e

figuras abaixo representadas:






Comparação 0 5 5


0 0 0









1 0 1





Composição 5 5 10


Comparação 0 1 1


0 0 0

Total 6 11 17 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 3 Tabela 17 – Classificação dos tipos de problemas



Composição 0 3 3


Comparação 0 1 1

83


0 0 0


84


85

Quanto aos tipos de problemas10, os do tipo 2 são mais frequentes que os

problemas do tipo 1, em especial no volume do 2o ano na categoria “composição”

que corresponde a apenas 16% do total, conforme a Figura 13. Os problemas de

“comparação” e “composição de duas transformações” do tipo 1 são os que

aparecem com menor frequência nesta Coleção.


A Tabela 18 e a Figura 14 abaixo mostram as quantidades dos recursos

didáticos propostos por esta coleção.




Figura 77 9 2 3 91




Jogo 3 0 0 0 3



10

Na figura 13 a escala do primeiro gráfico: Coleção 3 – 2º ano foi alterada para se adequar

aos dados.

86


De acordo com os dados acima, verificamos que, no geral, o recurso mais

utilizado pela Coleção é a figura, que enriquece as situações e auxilia na

compreensão deles, seguido dos problemas apenas enunciados.

O destaque está nas situações com a utilização de material concreto e os que

propõem a formulação de problemas pelo aluno, que são recomendados pelos PCN

para esta fase escolar.

Recursos como calculadora e estímulo ao cálculo mental, também

recomendado pelos PCN, não são explorados pela coleção.


Elaboramos uma breve análise sobre a Coleção 3, que não foi submetida à

avaliação do PNLD 2010, baseando-nos em alguns critérios de avaliação

estabelecidos no Guia de Livros Didáticos PNLD 2010. Os critérios retirados do

documento original estão presentes nos dois tópicos Aspectos Teórico-

Metodológicos e Estrutura Editorial. Lembramos que a escolha foi realizada

observando os critérios que melhor se adequam aos interesses do trabalho.

87

2o, 3o, 4o e 5o Anos

Os conteúdos do campo números e operações são introduzidos, no 2o ano,

por meio da contagem, usando recursos diversificados como jogos, histórias e

situações do cotidiano, aprofundados ao longo da coleção e inseridos num grande

número de situações.

As atividades propostas na Coleção favorecem o desenvolvimento de

competências como a classificação e generalização e também levam os estudantes

a conjecturar e registrar as ideias e procedimentos, favorecendo a sistematização

dos conteúdos de maneira bem articulada e com aprofundamento gradual ao longo

do ano e em anos consecutivos.

Os diferentes significados de um conceito são articulados, em propostas de

discussões relativas a distintas abordagens de um mesmo conteúdo, contidas nos

enunciados das atividades, em balões com falas de personagens e em situações

com elementos familiares aos alunos.

Uma característica da Coleção é a apresentação de situações que estimulam

a verificação, pelo aluno, dos processos e resultados de problemas, auxiliando,

assim, no processo de investigação. A utilização de diferentes estratégias na

resolução de problemas é bem valorizada, assim como o desenvolvimento da

imaginação e da criatividade, com diversas situações que propõem a formulação de

problemas pelo aluno.

A Coleção se caracteriza ainda por estimular a participação dos alunos na

construção de seus conhecimentos com o uso dos recursos didáticos, como

materiais concretos que incentivam a interação entre os alunos e desenvolvem

competências como a exploração, a argumentação, a tomada de decisões e a

visualização. Algumas atividades propõem a utilização de recursos tecnológicos

como o computador; no entanto, é dada pouca importância ao cálculo mental e a

utilização da calculadora na realização das atividades.

São feitas boas contextualizações e incentivos à relação da Matemática com

as demais áreas do conhecimento. A história da Matemática também é abordada,

principalmente, nos volumes dos anos finais (4o e 5o anos). Porém a coleção pouco

estimula as práticas sociais atuais.

As ilustrações enriquecem a leitura e compreensão dos textos e são

distribuídas de forma adequada e equilibrada nas Coleções.

88

5.4 COLEÇÃO 4

Sobre a Coleção 4 tem-se que:

“[...] este material não é e nem deve ser tratado como um livro didático... Esperamos que este material seja útil, mas não único. Aqui, está contemplada apenas uma parte das atividades que devem compor a rotina de sala de aula[...] As demais propostas[...] [...]não foram incluídas aqui, pois não comportam uma formatação como essa. É fundamental, entretanto, que aconteçam na sua rotina.” (APRESENTAÇÃO DA COLEÇÃO 4)

A Coleção deixa claro que não contempla todas as atividades necessárias

para o ensino em sala de aula, fazendo-se necessária a utilização de outros

recursos concomitantemente a este. Este material está, por vezes, sendo

prioritariamente utilizado no dia a dia escolar, uma das razões pelas quais o

incluímos em nossa análise.

O material do 2o ano desta Coleção contém somente propostas de atividades

relativas a leitura e a escrita; o estudo dos conceitos do Campo Aditivo se inicia

apenas com o material do 3o ano desta Coleção.


TCC

A Tabela 19 e a Figura 15 mostram a classificação geral das situações do

Campo Aditivo desta Coleção. No geral, a quantidade total de problemas não é

muito significativa, são propostos poucos problemas aditivos ao longo dos volumes,

principalmente, porque no 2o ano não encontramos nenhuma situação deste Campo

Conceitual.

Tabela 19 – Classificação geral, Coleção 4 Categorias 2o ano 3o ano 4o ano 5o ano Total

Composição - 7 4 4 15

Transformação - 13 7 5 25

Comparação - 4 2 0 6

Composição de duas transformações - 0 0 1 1

Total - 24 13 10 47 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 4

89


A categoria que se sobressai às outras é a “transformação” de medidas,

principalmente no volume do 3o ano, como mostra a figura acima. As categorias

“comparação” e “composição de duas transformações” são pouco exploradas nos

volumes do 4o e 5o anos.


elaboramos as tabelas seguintes e a Figura 16:




Composição 2 5 7


Comparação 2 2 4


0 0 0



Coleção 4 – 4oano


Composição 2 2 4


Comparação 0 2 2


0 0 0

Total 5 8 13

2º ano

3º ano

4º ano

5º ano

0

10

20

30

40

50



transform.


90





Composição 0 4 4


Comparação 0 0 0


0 1 1



91

Verificamos uma distribuição equilibrada quanto aos dois tipos de problemas

1 e 2; no volume do 5o ano não encontramos problemas do tipo 1.


A seguir temos a Tabela 23 e a Figura 17 que mostram as quantidades dos

recursos didáticos propostos por esta Coleção.


Recursos didáticos 2oano 3o ano 4o ano 5o ano Total

Apenas enunciado - 16 12 6 34

Figura - 0 0 4 4

Calculadora - 0 1 0 1

Cálculo mental - 0 0 0 0

Material concreto - 1 0 0 1

Jogo - 2 0 0 2

Criação de problema - 5 0 0 5

Total - 24 13 10 47 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 4


Os problemas que utilizam apenas o enunciado para apresentar a situação

correspondem mais de 50% do total em todos os volumes desta Coleção, em

especial no volume do 4o ano que representa mais de 90% dos problemas propostos

92

como mostra a figura acima. No geral, a quantidade de situações com o recurso à

criação de problemas pelo aluno se sobressai, quando equiparada aos demais

recursos, mas, em contrapartida, esse recurso só é proposto no volume do 3o ano.

Nos volumes do 4o e 5o anos, foram encontrados poucos problemas que

utilizam os demais recursos. O cálculo mental não é estimulado em nenhum volume

desta Coleção.


Esta Coleção também não foi submetida à avaliação do PNLD 2010 e, nos

baseando em alguns critérios de avaliação estabelecidos no Guia de Livros

Didáticos PNLD 2010, elaboramos uma breve resenha.

3o, 4o e 5o anos

Nesta Coleção, as propostas de atividades para o estudo da Matemática

aparecem apenas nos volumes destinados ao 3o ano (segunda série), 4o ano

(terceira série) e 5o ano (quarta série).

Possivelmente, não há um aprofundamento adequado de alguns conteúdos

ao longo dos dois primeiros anos, pois sua introdução ocorre apenas no volume do

3o ano acarretando uma defasagem na proposta para o estudo desta área do

conhecimento. Há equilíbrio entre algoritmos e procedimentos, porém, há pouca

articulação entre os significados de um mesmo conceito e suas representações

Matemáticas. Não há discussões sobre as diferentes abordagens de um mesmo

conteúdo do campo Números e Operações.

O material do 3o ano se destaca por valorizar a utilização, pelo aluno, de

estratégias diversificadas na resolução de problemas e também por estimular sua

criação, incentivando o aluno a observar, conjecturar e utilizar a imaginação e

criatividade. Situações desse tipo também foram encontradas no volume do 5o ano.

Por outro lado, os materiais do 4o e 5o anos apresentam poucas situações que

envolvam a utilização de diferentes estratégias na resolução de problemas.

No geral, a coleção apresenta poucas situações desafiadoras, com nem uma

ou várias soluções, ou situações que incentivem a verificação dos resultados dos

93

problemas pelo aluno, que seriam importantes no desenvolvimento de

competências, como investigar; questionar; argumentar e tomar decisões.

O aluno não é encorajado a realizar leituras complementares e a utilizar de

recursos tecnológicos, por exemplo, o computador e a calculadora.

A Coleção não dispõe de ilustrações que auxiliariam na compreensão dos

textos e atividades e que enriqueceriam e estimulariam a leitura dos mesmos.

Em relação ao critério de contextualização a Coleção não contribui

significativamente para a construção dos conhecimentos matemáticos no que diz

respeito às práticas sociais, à história da Matemática e a outras áreas do

conhecimento. O uso de conhecimentos extraescolares também é pouco estimulado.

5.5 ESTUDO COMPARATIVO ENTRE AS COLEÇÕES

5.5.1 Categorias de Vergnaud (1982) e tipos de problemas

A Tabela 24 e a Figura 18 mostram, de uma maneira geral, todas as

situações do Campo Conceitual Aditivo, presentes nas quatro coleções de materiais

didáticos selecionadas para esta pesquisa e que podem ser classificadas de acordo

com as categorias elaboradas por Vergnaud (1982) na Teoria dos Campos

Conceituais.

Tabela 24 – Classificação geral do 2o ao 5

o anos, Coleção 1 a Coleção 4

Categorias Coleção 1

Coleção 2

Coleção 3

Coleção 4

Composição 92 88 106 15 Transformação 128 99 36 25 Comparação 41 28 19 6 Composição de duas transformações 2 2 1 1

Total 263 217 162 47 Fonte: Dados da análise realizada nas Coleções 1 a 4

94

Figura 18 – Classificação geral dos problemas do 2

o ao 5

o ano - Coleção 1 a 4

Fonte: Dados da análise realizada nas Coleções 1 a 4

Com os dados apresentados na Figura 18 é possível perceber, rapidamente,

que as Coleções que propõem maior número de situações do Campo Aditivo são as

Coleções 1 e 2, com um total de 263 e 217 respectivamente, sobressaindo-se às

totalidades da Coleção 3 que corresponde a 162 situações e por fim a Coleção 4

com 47, como mostra a Tabela 24.

Segundo Vergnaud (1996), a formação do conhecimento pelos alunos deve-

se às situações com as quais eles se defrontam e dominam e, para que o conceito

se torne significativo é preciso que sejam propostas muitas e diversificadas

situações para que o aluno, ao mobilizar seus esquemas de ação na resolução,

consiga representar os invariantes operatórios de forma explícita, ou seja,

transformar os conceitos e os teoremas-em-ação em verdadeiros conceitos e

teoremas matemáticos. Para isso as coleções devem propor inúmeras situações

referentes a este Campo Conceitual ao longo de todos os anos do Ensino

Fundamental. Observamos que a Coleção 4 não disponibiliza uma quantidade

significativa ou desejável de situações, para um possível tratamento dos conceitos

do Campo Aditivo, como as outras coleções. Lembrando que esse material, Coleção

4, não contempla todas as atividades necessárias da rotina em sala de aula, ou seja,

não deve ser tratado como livro didático (APRESENTAÇÃO DA COLEÇÃO 4).

Todas as Coleções selecionadas apresentam situações das quatro

categorias, mas as Coleções 1 e 2 apresentam uma distribuição mais equitativa,

quantitativamente, em torno das quatro categorias, quando comparadas às Coleções

3 e 4. Segundo os resultados da investigação de Santana (2010), observa-se outro

Coleção 1

Coleção 2

Coleção 3

Coleção 4

0102030405060708090

100110120


ComparaçãoComposição de

2 transform.

Coleção 1, 2, 3 e 4 Classificação geral - 2º ao 5º anos

95

benefício na proposta de situações que podem ser enquadradas nas categorias de

Vergnaud:

uma sequência de ensino baseada na classificação proposta na Teoria dos Campos Conceituais para as situações-problema aditivas melhorou significativamente o desempenho dos estudantes da 3ª série do Ensino Fundamental (SANTANA, 2010, p. 270).

A autora constatou que “a principal contribuição que a sequência de ensino

trouxe para os estudantes foi à apropriação e consequente expansão das estruturas

aditivas.” (SANTANA, 2010, p. 271).

No quadro geral, percebemos que a grande maioria das situações propostas

pelas Coleções são do tipo “composição e transformação” de medidas, mais

especificamente, do tipo “composição” na Coleção 3 e, de maneira similar, do tipo

“transformação” nas Coleções 1, 2 e 4, mas em menor quantidade nesta última.

Essas situações são consideradas menos complexas em relação às outras, pois de

acordo com Arrais (2006) citando Vergnaud (1994), são compostas de um raciocínio

que pode ser considerado intuitivo, construído pelos alunos baseado nas

experiências cotidianas, as quais a maioria dos estudantes não tem dificuldade para

resolver. Assim, de acordo com a Teoria dos Campos Conceituais, a partir dessas

situações com os quais os alunos têm certa familiaridade, é possível evoluir na

construção do conhecimento das Estruturas Aditivas. (VERGNAUD, 1996).

Verificamos, também, que, no exame dos dados coletados de todas as

Coleções11, com o passar dos volumes do 2o para o 5o ano a quantidade de

situações do tipo “composição e transformação” não decrescem concomitante ao

gradativo aumento da quantidade de situações do tipo “comparação” e “composição

de duas transformações”, em especial na Coleção 4. Assim os alunos podem utilizar

os teoremas e conceitos-em-ação que já lhes são familiares para tratar destas

situações de “composição e transformação de medidas”, pois apresentam menor

grau de complexidade do que as outras duas. Dessa forma, provavelmente, não há

grande estímulo à construção de novos esquemas, pois os, anteriormente, formados

pelos alunos já são suficientes para lidar com as situações propostas. Por essa

11

Ver Figuras 6; 9; 12 e 18.

96

razão a segunda classe de situações estabelecida na Teoria dos Campos

Conceituais, aquela na qual os alunos precisam desencadear novos esquemas ou

acomodar e recombinar os já existentes, possivelmente não será proposta

significativamente para propiciar a conceituação das Estruturas Aditivas necessárias

no processo de aprendizagem desses alunos.

Uma semelhança geral entre as quatro Coleções é o fato de apresentarem

poucos problemas de “comparação” e “composição de duas transformações” nos

volumes do 4o e 5o anos e, como são categorias mais complexas que as outras

duas, espera-se que sejam trabalhadas com maior ênfase nesses anos finais do

Ensino Fundamental.

Como os resultados de pesquisa de Oliveira (2007) mostraram que o material

didático foi utilizado como referência e como fonte de exemplos e exercícios para os

professores participantes de sua investigação, essa distribuição que deve ser

proposta pelas Coleções é importante “de maneira a não ficar repetindo, ao longo da

formação inicial do estudante, problemas que requeiram dele um único raciocínio.”

(MAGINA et al, 2008, p. 27).

Com a gradativa introdução dos conceitos do Campo Multiplicativo ao longo

dos volumes espera-se uma redução na quantidade de situações do Campo Aditivo,

que devem apenas ser trabalhadas com menor frequência. Dentre os argumentos de

Vergnaud para a formação de um Campo Conceitual e não apenas de um conceito,

é válido ressaltar que

a construção e apropriação de todas as propriedades de um conceito ou de todos os aspectos de uma situação é um processo de muito fôlego que se desenrola ao longo dos anos, às vezes, uma dezena de anos, com analogias e mal-entendidos entre situações, entre concepções, entre procedimentos, entre significantes. (SOUZA E FÁVERO, 2002, p. 57).

Assim, as várias situações que compõem o Campo Aditivo precisam ser

trabalhadas com os alunos ao longo de todos os anos do Ensino Fundamental para

que seja possível propiciar a oportunidade do domínio dos conceitos de do Campo

Conceitual Aditivo. Porém, em algumas Coleções examinadas neste nesta

explanação percebemos grande redução no número de situações aditivas com o

97

passar dos anos escolares, chegando ao 5o ano com uma quantidade pouco

significativa de situações. Por exemplo, a Coleção 312 apresenta uma repentina

queda na quantidade de situações de um ano para o outro, chegando ao 5o ano com

pouquíssimas situações aditivas. Já as Coleções 1 e 213 quando propõem um maior

contato dos alunos com inúmeras situações aditivas do 2º até o 5º ano, pois essa

redução é mais equilibrada, pode favorecer ao melhor domínio e à construção das

propriedades dos conceitos deste Campo Conceitual. A Coleção 4 também propõe

uma redução equilibrada na quantidade de situações de um ano para outro, porém a

quantidade total é muito pequena quando comparada às outras Coleções.

A Tabela 25 e a Figura 19 abaixo foram elaboradas a fim de ilustrar

sucintamente a subdivisão dos problemas em tipo 1 e 2 que foram encontrados nas

quatro Coleções e podem ser classificados de acordo com as categorias da TCC.

Tabela 25 – Tipos de situações do 2o ao 5

o anos, Coleção 1 a 4

Categorias Coleção 1 Coleção 2 Coleção 3 Coleção 4

Problemas tipo 1 116 46 35 14

Problemas tipo 2 147 171 127 33


Figura 19 – Tipos de situações do 2º ao 5º anos - Coleção 1 a 4 Fonte: Dados da análise realizada nas Coleções 1 a 4

12

Ver Figura 12 e Tabela 13.

13 Ver Figura 6 e Tabela 1; Figura 9 e Tabela 7.

020406080

100120140160180

Coleção 1Coleção 2

Coleção 3Coleção 4

Tipos de situações, 2º ao 5º anos

Problemas tipo 1 Problemas tipo 2

98

Verificamos que os Problemas tipo 2 predominam em todas as coleções,

principalmente nas Coleções 2 e 3. Esses problemas, geralmente, são mais

contextualizados que os do tipo 1, exigindo pesquisa por parte do aluno com

levantamento e organização de dados, são mais desafiadores, e demandam, na

maioria das vezes, a realização de diferentes operações e algoritmos. Esse tipo de

problema, às vezes, requer a resolução de mais de um problema numa mesma

situação, o que não acontece nos Problemas tipo 1 que demandam uma simples ou

imediata realização de operações para se chegar a solução.


Quanto aos recursos didáticos relacionados ao Campo Aditivo encontrados

nas coleções examinadas temos:

Tabela 26 – Recursos didáticos - 2o ao 5

o anos, Coleção 1 a 4

Recursos didáticos Coleção 1 Coleção 2 Coleção 3 Coleção 4 Total Apenas enunciado 80 69 30 34 213 Figura 146 112 91 4 353 Calculadora 4 6 0 1 11 Cálculo mental 27 21 0 0 48 Material concreto 1 0 21 1 23 Jogo 0 4 3 2 8 Criação de problema 5 5 17 5 32


99

Figura 20 – Recursos didáticos do 2

o ao 5

o anos - Coleção 1 a 4

Fonte: Dados da análise realizada nas Coleções 1 a 4

Quando as Coleções se utilizam de diversos recursos didáticos no ensino e

aprendizagem de competências matemáticas, estão abordando os conceitos de um

determinado Campo Conceitual em situações diversificadas, de diferentes maneiras

e, segundo Vergnaud (1996), são as situações, presentes num determinado Campo

Conceitual, que dão sentido aos conceitos. Assim é importante que as Coleções

ofereçam situações com a proposta de diversos recursos didáticos para abordar os

conceitos do Campo Aditivo.

De maneira geral, constatamos em todas as Coleções, a predominância das

situações que utilizam figuras em sua apresentação. Esse recurso pode contribuir

para a visualização e o enriquecimento da leitura e a compreensão das atividades e

textos e favorecer a familiarização do aluno com os elementos do exercício.

Consequentemente, poderá contribuir como auxiliador na construção do

conhecimento das Estruturas Aditivas, de acordo com Vergnaud (1983). As

Coleções que se destacam com a proposta desse recurso visual são: Coleção 1 e

Coleção 3 com 56% de seus problemas e, logo após, a Coleção 2 com 51% das

situações. A Coleção 4 não valoriza a utilização das figuras como as outras

coleções, correspondem a apenas 9% do total, como mostra a Figura 20.

Assim como Oliveira Filho (2009), verificamos também a presença de

diversos problemas apenas enunciados, em especial na Coleção 4, com 72% dos

seus problemas apresentados nesta forma. Outra característica semelhante aos

100

resultados de Oliveira Filho (2009) é a pouca exploração dos jogos e manuseio de

calculadora pelas quatro Coleções. Porém, em relação aos jogos, nossos resultados

se distanciam dos resultados de Campos (2009), que apontou a presença de

divesas atividades relacionadas a esse recurso. Dessa forma, as Coleções

selecionadas em nosso estudo, possivelmente, deixarão a desejar em relação a

aspectos importantes valorizados pelos PCN. Por exemplo, os jogos, que são

considerados objetos socioculturais, geram interesse, prazer e satisfação aos

alunos, auxiliando na formação de hábitos, percepção de regularidades e a se

submeterem a regras e dar explicações que favorecem sua integração em um

mundo social. O uso da calculadora é importante por ser valioso instrumento de

verificação dos resultados e correção de erros pelo aluno (BRASIL, 1997b).

Quanto à utilização de materiais concretos, Campos (2009) também

constatou uma grande quantidade de atividades com essa proposta, distanciando-se

dos resultados de nossa investigação, na qual verificamos que esse recurso é mais

valorizado em apenas uma das quatro Coleções analisadas (Coleção 314). Por outro

lado, lembramos que Santana (2010) concluiu que a utilização de alguns materiais

concretos (que a autora nomeou de suportes didáticos) como material dourado e

ábaco não ofereceram grandes diferenças no avanço dos conhecimentos do Campo

Aditivo.

Em relação ao cálculo mental observa-se uma semelhança entre as

Coleções 1 e 2, pois exploram uma quantidade razoável de situações com esse

recurso, aproximadamente 10% do total destas em cada coleção; segundo os PCN

(1997), é um recurso fundamental para o desenvolvimento do raciocínio lógico,

dedução, analogias, estimula a memória, a segurança na resolução de problemas e,

dentre outros aspectos, serve de suporte para o cálculo escrito, sendo importante

sua introdução desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. As Coleções 3 e 4,

por não indicarem nenhuma situação desse tipo, possivelmente, não oferecerão a

mesma contribuição para o desenvolvimento dos esquemas e habilidades acima

mencionados.

14

Ver Figura 14 e Tabela 18.

101

Outra característica comum entre as Coleções 3 e 4 é a proposta de

aproximadamente 10% de suas situações com o estímulo a criação de problemas

pelo aluno, que, possivelmente, poderão favorecer o desenvolvimento de

competências como conjecturar, argumentar, expressar, além de utilizar a

criatividade e imaginação. Como nas Coleções 1 e 2 foram encontradas poucas

situações com tal proposta, competências como estas provavelmente serão menos

valorizadas.

5.5.3 Critérios de avaliação do PNLD 2010

As Coleções 1, 2 e 3 oferecem uma boa articulação dos conteúdos referentes

ao campo Números e Operações por meio de situações com elementos familiares

aos alunos, que estão presentes em seu cotidiano e se utilizam do repertório de

esquemas pré-existentes desses alunos em suas resoluções. Na Coleção 1, há

discussões sobre as diferentes abordagens de um mesmo conteúdo e na Coleção 2,

segundo as informações do PNLD (2010), eles são distribuídos de maneira

equilibrada, com um aprofundamento gradual ao longo da coleção. Já a Coleção 4

não aborda os conteúdos de maneira adequada, pois o volume do 2o ano não trata

dos conteúdos desta disciplina, e, dessa forma, há uma defasagem na proposta

quando comparada às demais. Nos volumes seguintes, há pouca articulação entre

os significados de um mesmo conceito.

As Coleções 1, 2 e 3 também sugerem um grande número de situações

diversificadas, com boas contextualizações e valorização de atividades que

incentivam a participação ativa dos alunos e sua interação, além de situações em

que são solicitados a refletir sobre suas respostas e estratégias de resolução dos

problemas, verificando processos e resultados.

Na grande maioria dos volumes das Coleções 2 e 3, percebemos a

preocupação em relacionar a Matemática às demais áreas do conhecimento e

valorizar o estímulo ao uso de diferentes estratégias na resolução de problemas,

diferentemente da Coleção 4 que incentiva as diferentes possibilidades de abordar

os problemas apenas no volume do 3o ano.

102

Verificamos maior estímulo no registro de ideias e procedimentos pelos

alunos e o desenvolvimento de competências para visualizar e classificar nas

Coleções 1 e 3.

As Coleções apresentam algumas especificidades, por exemplo, a Coleção 2

é a que mais valoriza os conhecimentos extraescolares dos alunos, da mesma forma

que a Coleção 3 aborda a história da Matemática com maior ênfase que as outras

Coleções. A Coleção 1, por sua vez, contempla questões abertas e desafios, porém

há uma preocupação excessiva com a sistematização. Há casos em que a

sistematização é precoce ou traz excesso de simbologia, o que pode limitar a

autonomia e a criatividade do aluno.

As Coleções 1 e 2 apresentam algumas páginas com excesso de informações

visuais, com enunciados extensos, que podem dificultar a leitura por crianças ainda

não alfabetizadas. Isso não acontece com as Coleções 3 e 4.

5.6 SÍNTESE DO CAPÍTULO

Encontramos, nas Coleções, a proposta de diversas situações que oferecem

subsídios que possibilitam o favorecimento da construção de esquemas de ação na

resolução de problemas aditivos com situações diversificados quanto a sua natureza

(categorias da TCC) e quanto a sua forma de apresentação, que podem ser tanto de

maneira simples ou de mais desafiadora ou com a utilização (ou não) de recursos

didáticos diversificados. Percebemos que as Coleções selecionadas são distintas em

muitos aspectos e, ao mesmo tempo, similares em outros.

Em geral, as Coleções disponibilizam poucos problemas das categorias

“comparação” e “composição de duas transformações”, por outro lado nem todos as

situações encontrados nas Coleções selecionadas podem ser classificados

baseados nas categorias básicas de relações. Elas oferecem problemas que, de

acordo com a definição de Vergnaud (2009), são “problemas complexos”, e as

Coleções que mais propõem problemas desse tipo são as Coleções 1 e 2. Essas

Coleções também indicam uma quantidade total de problemas, correspondentes às

categorias básicas de relação estabelecidas por Vergnaud (1982), mais significativa

que as outras Coleções bem como uma distribuição mais equitativa deles. Por outro

103

lado a Coleção 3 se destaca, de forma proporcional, por ser a Coleção que mais

propõe Problemas tipo 2 e estes, em relação aos do tipo1, são os que podem

melhor contribuir para o aperfeiçoamento ou desencadeamento de novos esquemas

de ação para a resolução de problemas aditivos. Assim, em relação aos tipos,

quantidade e diversidade de problemas, essas três Coleções proporcionam um

contato maior com situações diversificadas e, com isso, podem favorecer a

construção de uma multiplicidade maior de esquemas, em relação a Coleção 4.

Quanto aos recursos didáticos, que também são uma forma diversificada de

abordar as situações e podem colaborar para a construção de esquemas pelos

alunos, verificamos em nossa análise que alguns deles são mais utilizados por

algumas Coleções, como a proposta de criação de problemas pelos alunos pelas

Coleções 3 e 4, assim como o recurso ao cálculo mental que é mais valorizado pelas

Coleções 1 e 2, e a utilização de materiais concretos pela Coleção 3. Quanto aos

critérios adotados pelo PNLD em suas avaliações, selecionados nesta pesquisa, de

maneira geral as Coleções 1, 2 e 3 se assemelham à valorização de atividades que

incentivam a interação dos alunos e o estímulo à verificação de processos e

resultados, levando-os a refletirem sobre suas estratégias de resolução dos

problemas. A Coleção 2 é a que mais estima os conhecimentos extraescolares, a

Coleção 3 aborda a história da Matemática com maior frequência que as demais

Coleções, a Coleção 1 contempla mais questões abertas e desafios e na Coleção 4

há pouca articulação entre os significados de um mesmo conceito.

No capítulo subsequente, apresentaremos nossas reflexões acerca das

questões norteadoras da nossa investigação em acordo com a análise dos dados

coletados.

104

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Acreditamos que a forma de apresentação dos conteúdos é de fundamental

importância no efetivo trabalho do professor em sala de aula, como foi possível

constatar nas discussões dos encontros do projeto Observatório da Educação do

Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNIBAN e, em acordo

com os resultados da pesquisa de Santana (2010): “uma sequência de ensino

baseada na classificação proposta na Teoria dos Campos Conceituais para as

situações-problema aditivas melhorou significativamente o desempenho dos

estudantes da 3ª série” (p. 270). A pesquisadora também verificou que os

estudantes que tiveram contato com a sequência de ensino baseada nos métodos

tradicionais da escola, não obtiveram o mesmo desempenho que os outros que

foram selecionados para a intervenção. Frente a essa constatação e assim como

Oliveira Filho (2009), consideramos ser pertinente a discussão sobre a diversificação

das situações em termos de seus significados, graus de complexidade e de sua

forma de representação. “Esta pode ser uma preocupação assumida pelos docentes

responsáveis pelo ensino do Ensino Básico que, certamente, pode facilitar se os

livros didáticos de Matemática levar estas questões em consideração.” (OLIVEIRA

FILHO, 2009, p.129).

Nesse sentido, buscamos analisar as situações do Campo Conceitual Aditivo

e os recursos didáticos encontrados em quatro Coleções de materiais didáticos de

Matemática, voltadas para os anos iniciais, observando as possibilidades oferecidas

para favorecer a construção, pelos alunos, de esquemas ao longo dos anos.

Encontramos, na literatura, resultados de pesquisas que corroboram com

nossa preocupação com a necessidade de as Coleções de materiais didáticos

contribuírem para a prática docente, propondo diferentes formas de apresentação de

um mesmo conteúdo, levando em conta os diferentes significados e graus de

complexidade, bem como a proposta de recursos didáticos para abordar as

situações e, possivelmente, contribuir na formação dos esquemas necessários para

tratar dessas situações do Campo Aditivo.

Tomamos como base teórica para o desenvolvimento de nosso estudo a

Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1982, 1990, 1996, 2009) com

105

enfoque no Campo Conceitual Aditivo e suas categorias básicas de relações, as

quais podemos classificar algumas situações aditivas. Realizamos considerações

sobre os documentos oficiais brasileiros: Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN)

(1997) e Plano Nacional do Livro Didático(PNLD) (2010) no que diz respeito ao

Campo Conceitual Aditivo e aos recursos didáticos necessários para no tratamento

das situações do bloco de conteúdo Números e Operações, e os critérios

eliminatórios e classificatórios contidos no Guia de Livros Didáticos PNLD 2010

destinados à confecção das resenhas de avaliação dos livros indicados no

programa.

A princípio, selecionamos duas Coleções distintas de materiais didáticos de

Matemática com o intuito de analisar como são abordadas as situações do Campo

Aditivo em Coleções destinadas a diferentes sistemas de ensino. Pesquisamos nos

volumes do 2o e 3o anos, pois foi onde detectamos a maior quantidade de situações

do Campo Aditivo, mas, com o avançar de nossos estudos percebemos a

necessidade de incluir os materiais destinados ao 4o e 5o ano destas Coleções, pois

neles também são propostas atividades deste Campo Conceitual, apesar de

predominar o Campo Multiplicativo.

Outro fator decisivo foi o fato da possibilidade de um maior aprofundamento

no momento de verificar a evolução da complexidade dessas atividades ao longo

dos anos; dificultaria olhar para a Coleção, como um todo, se fossem apenas

selecionados os volumes do 2o e 3o anos.

No decorrer do desenvolvimento de nossa pesquisa, percebemos também a

importância da inclusão de Coleções que passaram pela avaliação do Programa

Nacional do Livro Didático (PNLD) que, segundo o FNDE – Fundo Nacional de

Desenvolvimento da Educação, é o programa mais antigo voltado à distribuição de

livros didáticos para os alunos da rede pública de ensino do Brasil e com a garantia

de qualidade dos livros aprovados no programa. Assim, selecionamos mais duas

Coleções, agora indicadas no Guia de Livros Didáticos PNLD 2010.

Ao final, chegamos à escolha de quatro distintas Coleções de materiais

didáticos de Matemática voltados aos anos iniciais do Ensino Fundamental com a

finalidade de analisar as situações do Campo Conceitual Aditivo presentes nesses

materiais, que são destinados a diferentes sistemas de ensino.

Para a coleta de dados elaboramos instrumentos a fim de organizar e

classificar as situações propostas pelas Coleções, de acordo com as categorias

106

estipuladas na Teoria dos Campos Conceituais e com os recursos didáticos

oferecidos para o tratamento das mesmas. Os dados foram analisados com base no

referencial teórico adotado e nos documentos oficiais levando em conta os

interesses da pesquisa.

Sabemos que a utilização de materiais didáticos de Matemática por

professores e alunos em sala de aula é influenciada por diversos fatores.

Em sua pesquisa, Oliveira (2007) constatou que a opção pelo não uso do livro

pelo professor provém da relação entre a “indisposição” deste em desenvolver

práticas com este material e a sua perspectiva na continuidade da carreira docente.

Outro fator que influencia a utilização de recursos didáticos diversificados,

como jogos e materiais concretos é a questão do acesso a esse tipo de material.

Certas Coleções oferecem esses recursos, os chamados livros consumíveis, mas

outras não (os livros não consumíveis) que são livros reutilizáveis e a confecção dos

materiais fica a cargo dos professores e dos alunos. O que demanda habilidades e

disponibilidade de tempo em sala de aula e fora dela e Campos (2009, p.101)

acredita que “esse é um fator muito importante a ser considerado, quando se pensa

nas possibilidades reais de se efetivarem as práticas pedagógicas com jogos e

materiais concretos apresentados pelos livros didáticos”.

Diversos estudos apontam os aspectos positivos e os negativos da utilização

dos materiais didáticos adotados nas práticas docentes acerca do desenvolvimento

de conhecimentos matemáticos dos alunos do Ensino Básico. Esses são apenas

alguns dos vários fatores que compõem o atual panorama do ensino brasileiro, em

especial, relacionados à forma como são propostas as situações referentes aos

diversos Campos Conceituais desta área nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Na sequência, levantamos nossas reflexões acerca das questões de pesquisa

norteadoras deste estudo.

RETOMADA DAS QUESTÕES DE PESQUISA

Voltando às questões norteadoras do nosso estudo, apresentadas no

Capítulo Introdutório, temos:

107

1. É possível classificar as situações aditivas encontradas em quatro

Coleções de materiais didáticos de Matemática, segundo quatro categorias de

relações básicas da Teoria dos Campos Conceituais?

A grande maioria das situações encontradas nas Coleções examinadas pode

ser classificada com base na Teoria dos Campos Conceituais, de acordo com quatro

categorias básicas de relações, estabelecidas por Vergnaud (1982) e recomendadas

pelos Parâmetros Curriculares Nacionais para esta fase escolar:

“composição”;

“transformação”;

“comparação”;

“composição de duas transformações”.

Todas essas categorias, compostas por relações ternárias, são contempladas

nas quatro Coleções; porém, não foi possível classificar todas as situações do

Campo Aditivo encontradas, segundo essas quatro categorias básicas estabelecidas

por Vergnaud (1982).

Nas quatro Coleções verificamos que alguns problemas são complexos, ou

seja, são constituídos por várias relações elementares. Outros problemas não se

enquadram em nenhuma das quatro categorias recomendadas para esta fase

escolar, anos iniciais do Ensino Fundamental.

2. Que tipos de recursos didáticos estão disponíveis nas Coleções de

materiais didáticos?

Os recursos didáticos que foram encontrados nas Coleções examinadas e

que podem oferecer uma abordagem diversificada das situações, favorecendo a

construção de esquemas pelo aluno, são:

figuras que auxiliam a compreensão das situações;

utilização da calculadora;

o procedimento de cálculo mental;

material concreto;

jogo;

criação de problemas pelo aluno.

108

Porém, não são todas as Coleções que oferecem todos esses recursos, como

analisado no capítulo anterior. De maneira geral, o recurso mais disponibilizado é a

utilização de figuras, seguido dos problemas apenas enunciados. Na sequência

verificamos a proposta de situações com estímulo ao cálculo mental, depois a

criação de problemas pelos alunos e utilização de materiais concretos. Por fim, a

proposta de situações com estímulo ao uso da calculadora e jogos.

3. Quais os aspectos em comum e as diferenças entre as Coleções de

materiais didáticos?

As quatro Coleções propõem situações diversificadas, contribuindo para o

progressivo domínio dos conceitos deste Campo Conceitual. Porém, as Coleções1 e

2 podem favorecer um maior contato dos alunos com essas situações ao oferecerem

uma quantidade superior destas e uma distribuição mais equitativa quanto a sua

classificação, comparando-se com as outras Coleções.

Os dados mostram que, na Coleção 3, há uma brusca redução no número de

situações aditivas nos volumes do 2o para o 5o ano, chegando ao final com uma

quantidade pouco expressiva enquanto que, nas outras Coleções foi possível

observar que ocorre uma diminuição mais gradativa nas quantidades dessas

situações.

Há predominância da categoria “composição” sobre as demais na Coleção 3,

da mesma forma que da categoria “transformação” nas Coleções 1, 2 e 4. Um

aspecto comum as quatro Coleções é o fato de apresentarem poucos problemas de

“comparação” e “composição de duas transformações” nos volumes do 4º e 5º anos.

Quanto aos tipos de Problemas, apesar de predominar o de tipo 2 em todas

as Coleções, eles são propostos com maior ênfase nas Coleções 2 e 3, ou seja,

essas Coleções podem conduzir os alunos a uma maior reflexão na resolução dos

problemas, pois, em relação os do tipo 1, são mais desafiadares, exigem

levantamento e organização dos dados e também são mais contextualizados.

Um aspecto em que as Coleções se diferenciam um pouco diz respeito às

propostas de certos recursos didáticos,como a utilização de materiais concretos na

resolução dos problemas, que é valorizada apenas pela Coleção 3 e, o cálculo

mental que é um recurso explorado apenas pelas Coleções 1 e 2. Em relação a

outros recursos, como jogos e manuseio de calculadora as quatro Coleções são

109

símiles ao oferecem poucas situações com a proposta desses recursos. Quanto às

situações que utilizam figuras em sua apresentação, eles são mais valorizados pelas

Coleções 1, 2 e 3. Apenas as Coleções 3 e 4 se aproximam com uma quantidade

razoável de situações com o estímulo à criação de problemas.

As Coleções 1, 2 e 3 são semelhantes ao disponibilizarem boas articulações

dos conteúdos e um grande número de situações diversificadas, bem

contextualizadas e com a valorização de atividades que incentivem a interação dos

alunos e o estímulo à verificação de processos e resultados, levando-os a refletir

sobre suas estratégias de resolução dos problemas. Verificamos uma preocupação

mais considerável em relacionar a Matemática as demais áreas do conhecimento e

valorizar o estímulo ao uso de diferentes estratégias na resolução de problemas nas

Coleções 2 e 3.

A Coleção 2 difere das outras, pois é a que mais valoriza os conhecimentos

extraescolares dos alunos, da mesma forma que a Coleção 3 aborda a história da

Matemática com maior frequência que as outras Coleções. A Coleção 1contempla

mais questões abertas e desafios ao ser confrontada às demais e, na Coleção 4, há

pouca articulação entre os significados de um mesmo conceito.

A apropriação de todos os conceitos do Campo Conceitual Aditivo leva muito

tempo para se dar. Para que o conceito se torne significativo é necessária a

proposta de uma diversidade de situações nas quais o aluno, ao defrontá-las,

mobilize seus esquemas e consiga representar seus invariantes operatórios de

forma explícita, ou seja, transformar os conceitos e os teoremas-em-ação em

verdadeiros conceitos e teoremas matemáticos e, então, se faça a conceitualização

das Estruturas Aditivas (VERGNAUD, 2009).

Com o decorrer da pesquisa e aprofundamento de nossos estudos,

percebemos que essa forma de analisar os problemas nos possibilitou, na atuação

como docente, a visão dessas situações sob outro referencial, de maneira a atentar

questões imprescindíveis: como a valorização dos esquemas em ação dos alunos,

que muitas vezes, inconscientemente, não recebiam a devida atenção no processo

de ensino e aprendizagem de determinados conceitos.

Os materiais utilizados em sala de aula são influenciadores na condução do

ensino dos conceitos referentes aos diversos Campos Conceituais, assim, é

110

importante que esses materiais ofereçam um repertório de situações diversificadas

quanto a sua natureza e sua forma de apresentação para que não estimulem

sempre o mesmo tipo de raciocínio, para que se incite a criação de novos esquemas

de ação e assim os alunos tenham a possibilidade de construir um vasto repertório

desses esquemas para lidar com situações cada vez mais complexas.

No transcorrer deste trabalho, algumas questões que compartilhamos como

proposta para futuras pesquisas provocaram, em nós, um olhar mais atento para as

situações presentes nos materiais didáticos com maior detalhamento das categorias,

como a proposta de Magina et. al. (2008) com a subdivisão das categorias em

“protótipos” e “extensões” e/ou com um foco para os problemas complexos que são

propostos por algumas Coleções.

Este estudo buscou contribuir para a área da Educação Matemática propondo

uma maneira mais abrangente de considerar as Coleções de materiais didáticos,

que atente para os aspectos recomendados nos documentos oficiais e na Teoria dos

Campos Conceituais, relacionados às situações do Campo Aditivo, no sentido de

auxiliar os docentes da Educação Básica, sugerindo uma forma de análise que

oriente ou ajude na seleção de seu material de trabalho.

111

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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APÊNDICE A - CLASSIFICAÇÃO DAS SITUAÇÕES DO CAMPO ADITIVO DE ACORDO COM AS CATEGORIAS DA TCC

Classificação das situações de acordo com as categorias de

Vergnaud

Coleção: ___ Ano: ___

Composição Transformação Comparação Composição de

duas

transformações

Total

Problemas

Tipo 1

Total

Problemas

Tipo 2

Total

APÊNDICE B - CLASSIFICAÇÃO DAS SITUAÇÕES DO CAMPO ADITIVO DE ACORDO COM OS RECURSOS DIDÁTICOS

Classificação das situações de acordo os recursos didáticos

Coleção: ___ Ano: ___

Apenas enunciado

Com figura

Calculadora

Cálculo mental

Criação de problemas

Com material concreto

Jogo

116

APÊNDICE C - EXEMPLOS DE PROBLEMAS TIPO 1 E 2

Exemplo de “Problemas tipo 1”

Em um estojo há 5 lápis de cor e 2 lápis preto. Qual é o total de lápis no estojo?

Exemplos de “Problemas tipo 2”

Exemplo 1:

Um programa de rádio estava promovendo uma competição entre dois

artistas: a atriz Márcia Souza e o ator Jonas Braga. Veja os pontos que eles fizeram:

Perguntas

sobre futebol

Perguntas

sobre música

Márcia 25 30

Jonas 10 30

a) Quantos pontos fez Márcia? ____________

b) Quantos pontos fez Jonas? ____________

c) Quem fez mais pontos? Quantos a mais? _______________

Exemplo 2:

117

ANEXO A - CRITÉRIOS RETIRADOS DO GUIA DE LIVROS DIDÁTICOS PNLD 2010

119

ANEXO B - PROBLEMAS QUE NÃO SE ENQUADRAM NAS CATEGORIAS BÁSICAS DE RELAÇÕES ADITIVAS DA TCC

Coleção 1 – No total foram 53 problemas

29 situações de composição de medidas nas quais temos quatro elementos ou mais; Subdividimos essas situações em dois grandes grupos:

1 – 15 situações que envolvem soma de dinheiro.

2 – 14 situações que envolvem soma de objetos ou medidas quaisquer. Exemplo retirado do

volume do 2º ano:

2 problemas que envolvem a composição de mais de três elementos. Nestes problemas têm-se algumas das partes e o todo e pede-se a parte que está faltando. Exemplo retirado do volume do 2º ano:

4 problemas que exigem uma comparação dos estados finais de duas transformações. Exemplo retirado do volume do 2º ano:

“Roberto tinha 58 figurinhas e ganhou 3 de seu primo. Pedro tinha 70 figurinhas e deu 10 para seu

irmão. Agora, quem tem mais figurinhas: Roberto ou Pedro? Quantas a mais?”

9 problemas que envolvem mais de três elementos numa mesma situação. Nestes problemas tem-se um estado inicial que sofre duas transformações e pede o estado final.

O problema seguinte envolve uma medida desconhecida que sofre duas transformações e resulta em uma medida final conhecida, pede-se a medida inicial. Exemplo retirado do volume do 2º ano.

“Sandra: Tinha uma quantia, gastou 10 reais depois ganhou 14 reais, ficando com 59 reais. Qual

a quantia que ele tinha?”

4 problemas são introdutórios ao estudo do campo multiplicativo juntamente com a ideia da composição de medidas.

120

O problema a seguir, retirado do volume do 5º ano, envolve composições de várias medidas, mas com adições de duas parcelas de cada vez, assim como as relações ternárias.

O problema a seguir não se enquadra nas categorias da TCC e foi retirado do volume do 3º ano:

O problema, retirado do volume do 5º ano, a seguir envolve mais de três elementos numa mesma situação. Tem-se um estado inicial que sofre três transformações e pede o estado final.

“Mariana tinha R$ 1 275,00 em sua conta bancária no início da semana. Durante a semana ela

fez uma retirada de R$ 225,00, um depósito de R$ 492,00 e outra retirada de R$ 166,00. Qual foi

seu saldo bancário no final da semana, considerando apenas esse depósito e essas retiradas?”


“Rui tem 247 figurinhas e Mário tem 129. Quantas figurinhas Rui deve dar a Mário para que eles

fiquem com quantidades iguais?”


26 situações de composição de medidas que apresentam relações que ligam quatro elementos ou mais. Novamente, subdividimos essas situações em dois grandes grupos:

1 – Dezoito situações que envolvem somas de dinheiro. Exemplo retirado do volume do 3º ano.

121

2 – Oito situações que envolvem soma de objetos ou medidas quaisquer. O exemplo a seguir foi

retirado do volume do 2º ano:

“Tashiro trabalha em uma farmácia. Como o estoque de cremes dentais estava acabando, ele encomendou 7 cremes da marca Dente Branco, 5 de marca Bom Dente e 8 da marca Kidente. No total, quantos cremes dentais foram encomendados? Responda escrevendo uma conta só.”

Três problemas envolvem mais de três elementos numa mesma situação. Tem-se um estado inicial que sofre duas transformações e pede o estado final. Exemplo retirado do volume do 3º ano:

“Um ônibus com 43 passageiros partiu da cidade de Teresina com destino à cidade de Floriano.

No percurso, parou na cidade de Amarante, onde desceram 12 pessoas. Nessa mesma cidade

subiram então outros 16 passageiros. Quantos passageiros chegaram a Floriano?”

Cinco problemas envolvem mais de três elementos numa mesma situação. Tem-se uma composição de algumas medidas cujo resultado sofre uma transformação.

Dois problemas envolvem uma medida desconhecida que sofre duas transformações e resulta em uma medida final conhecida, pede-se a medida inicial.

Os problemas a seguir não se enquadram nas categorias básicas da TCC:

Exemplo retirado do volume do 4º ano

122

Exemplo retirado do volume do 4º ano

Exemplos retirados do volume do 3º ano:

“Na semana passada, o marceneiro José ficou devendo 215 reais para o vendedor de madeira, porque não tinha dinheiro para pagar. Esta semana, José recebeu uma quantia por um trabalho, pagou o vendedor e ainda lhe sobraram 320 reais. Quanto ele recebeu pelo trabalho?” “No início da semana, um pequeno supermercado recebeu 78 caixas do sabão em pó Brancura, e já havia 19 caixas nas prateleiras. No final da semana, sobravam apenas 35 caixas desse sabão.

a) Quantas caixas de sabão Brancura foram vendidas nessa semana?[...]”

Exemplo retirado do volume do 5º ano:

“Na primeira rodada, a avó de Ana fez 200 pontos. Na segunda, teve muito azar e perdeu 30 pontos. No final da terceira rodada, ele tinha acumulado, ao todo, 500 pontos. Quantos pontos a avó fez na terceira rodada.”

Os problemas a seguir, retirados do volume do 4º ano, propõem diagramas parecidos com os de Vergnaud na TCC:

123


7 situações de composição de medidas que apresentam uma relação que liga quatro elementos ou mais. Subdividimos essas situações em dois grandes grupos:

1 – 2 situações que envolvem quantias de dinheiro. Exemplo retirado do volume do 5º ano:

2 – 5 situações que envolvem soma de objetos ou medidas quaisquer.

1 situação de transformação de medidas que apresenta uma relação que liga quatro elementos ou mais

O problema a seguir, retirado do volume do 5º ano, envolve quatro elementos, ou seja, é uma relação quaternária, mas se assemelha à categoria composição de duas transformações, porém,

124

neste caso, encontramos uma composição de três transformações:

“D. Laura comprou um pacote com 546 balas. Deu 146 balas para Bruno, 98 para Carla e 172

para Denise. Quantas balas D. Laura deu ao todo?”

No exemplo abaixo, que foi retirado do volume do 5º ano, tem-se uma composição de três medidas que depois sofre uma transformação e resulta numa medida final; pede-se a medida inicial.

“Jonas comprou um brinquedo por R$12,50, um caderno por R$ 2,30 e uma caneta por R$ 0,89.

Qual a quantia em dinheiro que Jonas possuía, sabendo-se que ele recebeu de troco R$ 34,31?”

2 problemas, retirados do volume do 3º ano, utilizam diagramas parecidos com os de Vergnaud na TCC, nos quais o aluno é conduzido a realizar adições com dois elementos de cada vez (relações ternárias). Exemplo:


“A equipe de basquete do 4º ano A ganhou 52 pontos no primeiro jogo, ganhou 17 no segundo

jogo e perdeu 10 pontos no terceiro. Quantos pontos a equipe de basquete fez?”


6 situações de composição de medidas que apresentam uma relação que liga quatro elementos ou mais. Exemplo retirado do volume do 3º ano:

125

No exemplo abaixo, retirado do volume do 3º ano, pede-se uma comparação dos estados finais de algumas transformações:

“Lígia e Artur estão brincando de um jogo com cartas numeradas. Cada um começou o jogo com

20 cartas. Na primeira rodada, Artur perdeu 3 cartas e Lígia ganhou 2. Ao final do jogo, Artur

tinha perdido 6 cartas e Lígia, ganho 5. Como ficou o placar final?”

O problema a seguir, retirado do volume do 3º ano, envolve mais de três elementos numa mesma situação. Tem-se um estado inicial que sofre duas transformações e se pede o estado final:

“Leia os problemas abaixo e descubra quais os dados que faltam para que possam ser

resolvidos. [...] 3. Um ônibus saiu do primeiro ponto com 42 passageiros. No segundo ponto,

entraram e saíram pessoas. Qual a lotação do ônibus agora, após a segunda parada?”

O problema abaixo, retirado do volume do 4º ano, envolve mais de três elementos numa mesma situação. Tem-se uma composição de algumas medidas que depois sofre uma transformação: “Maria foi à padaria e gastou R$ 1,05 com pãezinhos e R$ 1,30 com um litro de leite. Ela pagou com uma nota de R$ 10,00. Quanto recebeu de troco?”

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN … · classificação dos problemas de acordo com as...

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