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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU

INSTITUTO A VEZ DO MESTRE

UMA PROPOSTA PARA TRABALHAR FUNÇÕES DE FORMA INTERDISCIPLINAR ATRAVÉS DA CINEMÁTICA

MARCELO DA SILVA FERRAREZ

Orientador

Prof. Carlos Alberto Cereja de Barros

Rio de Janeiro

2009

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UMA PROPOSTA PARA TRABALHAR FUNÇÕES DE

FORMA INTERDISCIPLINAR ATRAVÉS DA CINEMÁTICA

Apresentação de monografia ao Instituto A Vez do

Mestre – Universidade Candido Mendes como

requisito parcial para obtenção do grau de

especialista em Docência do Ensino Superior.

Por: Marcelo da Silva Ferrarez

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AGRADECIMENTOS

Aos meus amigos e aos professores e

orientadores do Instituto A vez do

Mestre.

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DEDICATÓRIA

A minha família, e em especial

a minha esposa Jaqueline,

com muito carinho.

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RESUMO

A proposta deste trabalho constitui um projeto de pesquisa em Educação Matemática onde os processos de ensino-aprendizagem de Matemática e Física serão abordados de maneira interdisciplinar com relação aos conteúdos de Funções e Cinemática. A integração entre essas duas áreas de estudo promove um bom nível de compreensão com relação à construção dos conceitos físicos a partir das fundamentações matemáticas e vice-versa. No contexto da Cinemática, o conceito de funções pode ser construído de maneira natural, partindo da compreensão intuitiva para a fase formal, diferentemente do que se costuma ver nas salas de aulas, onde o conteúdo de funções é transmitido a partir da introdução do conceito formal. A característica sintetizadora e abstrata da linguagem matemática têm se constituído como um obstáculo para a sua aprendizagem. E a utilização da resolução de situações-problema como estratégia didático-pedagógica em conteúdos matemáticos pode ser uma alternativa motivadora para criar nos alunos uma capacidade mais crítica e investigativa com relação ao conhecimento a ser apreendido. Essa metodologia viabiliza a utilização do conhecimento trazido pelo aluno, visto que, idéias intuitivas que compõem um determinado contexto cotidiano, podem ser usadas tornando o ensino mais significativo, como por exemplo, as noções de velocidade, movimento e aceleração podem ser usados fazendo as devidas conexões com as propriedades do conteúdo de Funções. Assim, partiremos de atividades contextualizadas, dando significado aos conteúdos físicos e matemáticos.

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METODOLOGIA

Este trabalho foi baseado em uma pesquisa científica através dos livros

citados na bibliografia. Onde, também, foram selecionadas as situações-

problema e fundamentações que fazem parte do material didático proposto,

bem como todas as sugestões de avaliações que o professor poderá utilizar

nas suas salas de aula.

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 08

CAPÍTULO I - Conceito de Função e sua importância 10

CAPÍTULO II - Problemas freqüentes no processo de

ensino-aprendizagem de Funções 16

CAPÍTULO III – Cinemática como contexto para o estudo

de Funções 18

CAPÍTULO IV – Sugestões para avaliação 23

CONCLUSÃO 26

ANEXOS 28

BIBLIOGRAFIA 62

ÍNDICE 64

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INTRODUÇÃO

Vemos diariamente situações e fenômenos em que estão intrínsecas as noções de regularidade, o que em várias ocasiões são de percepção intuitiva, assim como também nos deparamos com certas representações, como, por exemplo, os gráficos, que estão presentes em muitos meios de comunicação. Podemos perceber que as relações entre duas grandezas, que estão presentes em muitos contextos do cotidiano, podem se tornar uma estratégia facilitadora do processo de ensino-aprendizagem de Funções Matemáticas.

Entre as várias situações observadas na sala de aula que colaboravam para esse “déficit” na aprendizagem desse conteúdo específico, serão citadas algumas: a reflexão da importância do estudo de Funções para o desenvolvimento escolar e sócio-cultural do aluno, e como esse conhecimento pode facilitar a compreensão do estudo da Cinemática; a fragilidade que muitos alunos têm em distinguirem equações e funções; a clareza dos termos variável, grandeza e dependência; o obstáculo encontrado nas atividades de relacionar as representações existentes no estudo de funções (verbais, gráficas e analíticas).

A partir dessas dificuldades observadas, é interessante, no papel de professor, repensar sobre os conteúdos a serem ensinados, e também como a metodologia empregada, pode ser introduzida de uma maneira satisfatória e motivadora, na qual possibilitarão a formação de um cidadão capaz de solucionar problemas e de analisar, de forma crítica, os seus resultados que servirão para o seu desenvolvimento dentro da sociedade, como estabelece no artigo 2° da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDBEN 9394/96, a educação “tem por finalidade o livre desenvolvimento do educando, seu preparo para o exercício da cidadania e sua qualificação para o trabalho”.

O objetivo deste trabalho consiste no estudo das relações existentes entre as disciplinas de Matemática e Física quanto ao processo de ensino-aprendizagem, mostrando como podem ser usados fenômenos físicos para a compreensão de definições matemáticas, e como a linguagem matemática constitui uma forma estruturante para os conceitos físicos.

E as relações abordadas nesse projeto apresentam uma perspectiva de ensino que contribui para que a aprendizagem ocorra de uma forma significativa.

E nessa linha de raciocínio, será desenvolvida uma proposta para ser aplicada em sala de aula, fundamentado no pressuposto de que a matemática não é só uma forma estruturante para várias áreas da ciência, e sim como um meio de investigação e com linguagem própria que possibilita a interpretação de vários fenômenos da Natureza.

Será confeccionada a proposta de uma aula para a aplicação em turmas do Ensino Médio, em que os conceitos da Cinemática serão expostos de uma maneira integrada ao conteúdo de Funções Matemáticas, mostrando como situações-problema do contexto físico podem ser introduzidas intuitivamente na compreensão de certos elementos da matemática. Deixando clara a identificação interdisciplinar que a Física possui relação direta com a Matemática, e embora o enfoque e a abordagem dos temas saiam da proposta

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do tradicional, isso não quer dizer simplificação, mas sim na adaptação a linguagem, para que fique mais próxima do aluno. Como consta no PCNEM: “a introdução à linguagem própria da Física, que faz uso de conceitos e terminologia bem definidos, além de suas formas de expressão que envolvem, muitas vezes, tabelas, gráficos ou relações matemáticas”.

E a partir de observações e instrumentos que terão o intuito de promover a verificação, não tão imediata, do processo de desenvolvimento intelectual e social do aluno, buscaremos atividades que proporcionem uma boa avaliação da aprendizagem, tendo como parâmetro principal a motivação do aluno.

Nessa perspectiva, a avaliação passa a ser vista como um processo dinâmico, direcionando o trabalho pedagógico no sentido de diagnosticar possíveis métodos, baseados na resolução de situações-problema que proporcionarão um maior significado no processo formativo para o sucesso escolar.

Assim, a partir dessas argumentações, procuraremos nos guiar num caminho onde as investigações em Educação Matemática se concentrarão nos princípios da interdisciplinaridade aplicados às disciplinas de Matemática e Física do Ensino Médio, focalizando um aprimoramento pedagógico no processo de construção do conceito de Funções através do estudo da Cinemática.

Diante do que foi exposto, o presente trabalho está estruturado da seguinte forma:

Apresento, no capítulo I, Conceito de Função e sua importância, no capítulo II, Problemas freqüentes no processo de ensino-aprendizagem de Funções, no capítulo III, Cinemática como contexto para o estudo de Funções, no capítulo IV, Sugestões para avaliação.

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CAPÍTULO I

CONCEITO DE FUNÇÃO E SUA IMPORTÂNCIA Temos noção que os conceitos matemáticos são construídos de forma lenta e progressiva, nunca como um produto final, mas como um processo em constante evolução. Ela por sua vez constituirá o conjunto de elementos formadores do que chamamos de conhecimento, como observa D’Ambrosio (1996, p.18):

Ao longo da história se reconhecem esforços de indivíduos e todas as sociedades para encontrar explicações, formas de lidar e conviver com a realidade natural e sociocultural. Isso deu origem aos modos de comunicação e às línguas, às religiões e as artes, assim como as ciências e às matemáticas, enfim a tudo que chamamos de “conhecimento”.

Podemos verificar nessa linha dinâmica do desenvolvimento do

conhecimento, que o conceito de Funções evolui de forma análoga, pois as

suas primeiras noções vieram da necessidade de se conseguir uma ferramenta

que pudesse analisar, de forma quantitativa, as regularidades dos fenômenos

naturais, Caraça (1958, p. 125) ao falar de funções, comenta que:

É natural, portanto esperar que, de coisa tão importante

para o entendimento e explicação da realidade como é a

lei quantitativa, surja também o conceito matemático

próprio para o seu estudo; esperar aqui, ainda, que a

necessidade crie o instrumento. Assim acontece de facto.

E tal instrumento se propõe a verificar a existência de regularidades

presentes entre dois conjuntos de forma unívoca, representando como cada

elemento de um conjunto se corresponde quantitativamente com o outro.

Dessa forma, a lei (conceito) consiste, segundo Caraça (1958, p. 127),

“Na forma de correspondência dos dois conjuntos. Se, por conseqüência,

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queremos estudar leis quantitativas, temos que criar um instrumento

matemático cuja essência seja a correspondência de dois conjuntos”.

O conceito de funções, segundo Tinoco (2004, p. 1), é apresentado nos

livros didáticos de acordo com as seguintes concepções:

• Função como expressão analítica;

• Função como conjunto de pares ordenados respeitando um caso particular

de relação.

Nesse trabalho adotaremos a primeira concepção para o

desenvolvimento da metodologia empregada.

Para o desenvolvimento do estudo para a construção do conceito de

funções, algumas noções fundamentais são importantes para a sua

compreensão, tais como: regularidade, variáveis, dependência entre grandezas

e generalização.

A idéia de regularidade, já mencionada anteriormente, permite a

identificação de condições de comportamento ordenado dos fenômenos

naturais, possibilitando fazer previsões de fases seqüenciais que não podem

ser observadas, como aponta Caraça (1958, p. 119):

A existência de regularidades é extremamente importante

porque permite a repetição e previsão, desde que criem

as condições iniciais convenientes; ora, repetir e prever é

fundamental para o homem na sua tarefa essencial de

dominar a Natureza. Daqui resulta que uma das tarefas

mais importantes no trabalho de investigação da Natureza

é a procura de regularidades dos fenômenos naturais.

Com o objetivo de tornar mais genérica à representação da

correspondência entre dois conjuntos, foi criada a variável, que é a linguagem

simbólica responsável por substituir, representativamente, todos os elementos

de um determinado conjunto. A sua importância é fundamental para o estudo

de Funções, visto que é necessária uma forma padrão para se representar um

elemento qualquer e ao mesmo tempo o conjunto, como expõe Caraça (1958,

p. 128), “a variável é e não é cada um dos elementos do conjunto”.

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A partir da análise comportamental de um fenômeno, onde duas

grandezas se relacionam univocamente, através de uma lei quantitativa,

poderemos verificar uma característica importante no tópico de Funções, como

podemos observar no seguinte exemplo:

As seqüências abaixo representam as variações de tempo e

deslocamento de um automóvel durante uma trajetória:

tempos (horas) 0 1 2 3 4 5 . . .

deslocamentos (kilômetro) 0 80 160 240 320 400 . . .

Notamos que para cada valor de tempo existe somente um valor de

deslocamento correspondente, e intuitivamente, deduzimos que a grandeza

deslocamento depende da grandeza tempo e não o contrário. O que nos

motiva a dizer que os valores de tempo representam as grandezas

independentes e os valores dos deslocamentos de grandezas dependentes,

como é mencionado em Tinoco (2004, p. 6):

A relação de dependência ente grandezas variáveis deve

ser salientada sempre que possível. No entanto, é bom

lembrar que, numa relação funcional, uma das grandezas

(a função) é perfeita e univocamente determinada pela

variação da outra (variável independente). Essa

característica da função deve surgir lentamente ao longo

do processo.

A generalização é o produto da atividade de identificação de

regularidades que estão presentes na evolução de fenômenos naturais, e a

sua constituição é obtida através da capacidade de abstração. Para a

utilização é necessário que haja a validação da lei para qualquer caso e não

para um caso em particular.

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Para uma compreensão mais satisfatória do conceito de funções, assim

como de toda a Matemática, devem-se salientar as várias formas de

representação presentes no seu estudo, como salienta Campos (2000, p. 48):

A aprendizagem matemática está vinculada à utilização

de sistemas de expressão e representação que

extrapolam a língua natural e as imagens: são sistemas

diversos de escrita para números, notações simbólicas

para objetos, escritas algébrica e lógica que adquirem

status de línguas paralelas para exprimir as relações e

operações, as figuras geométricas, os gráficos,

diagramas, esquemas e outros.

As representações podem ser: verbais, na formas escrita e oral; gráfica,

por gráficos e tabelas; e analítica, por expressões algébricas.

É fundamental, também a passagem de uma representação para outra,

favorecendo a generalização do conceito, isto é, do aspecto verbal para o

algébrico e para o gráfico e vice-versa, como afirma Duval apud Campos,

(2000, p. 50) que é:

na passagem de um registro de representação a um outro

que se pode observar a importância de uma forma de

representação. Esta passagem corresponde a operações

que são de natureza diferente daquelas de um

tratamento. Entende-se por tratamento as operações que

transformam uma representação, permanecendo no

interior de um mesmo registro e chama-se conversão as

operações que transformam uma representação pela

mudança de registro.

Como pode também ser exemplificado por Tinoco (2004, p. 6), através

da seguinte modelo: ver figura 2 do anexo 6.

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Então, seguindo o rumo do desenvolvimento cognitivo para se construir

o conceito de função, desde a sua origem, é necessário uma linha lógica de

raciocínio para evitar possíveis dificuldades posteriores.

E para organizar este estudo, utilizaremos as propostas de Bergeron e

Herscovics apud Tinoco, (2004, p. 7).

Em que a compreensão do conceito de funções segue os seguintes

níveis: “a compreensão intuitiva; a matematização inicial; a abstração; e a

formalização”. Ver figura 1 do anexo 6.

Uma atividade que representa a compreensão intuitiva é a análise não quantitativa da correspondência entre duas grandezas, verificando o tipo de relação que elas gozam.

Já se fizéssemos essa análise utilizando valores numéricos ou representativos, estaríamos no nível de matematização inicial.

Esses dois primeiros níveis de compreensão são considerados mais simples para a assimilação, os outros já requerem um pouco mais de atenção e cuidado, pois é deixado de lado qualquer tipo de contexto que iniciou o estudo de funções, prevalecendo à utilização de propriedades e operações puramente matemáticas.

O uso da generalização está compreendido no nível de abstração, já o uso da linguagem simbólica representa o da formalização.

Assim, o estudo de funções abrange bem mais que utilizar a sua definição já elaborada, para depois trabalhar isoladamente as técnicas das representações. Uma tarefa mais significativa para o seu aprendizado é conseguida através de uma prática em que são propostas atividades que possam habilitar o aluno a passar pelos níveis de compreensão já citados, desenvolvendo as noções de variáveis, dependência, regularidade e generalização para conseguir utilizar as representações pertinentes de uma forma harmoniosa e integralizada ao processo de construção do conceito de funções.

A importância do estudo de funções não se limita somente como ferramenta estruturadora para outras áreas de conhecimento e nem como um conceito introdutório de outros conceitos na matemática, devemos nos ater a idéia de que a criação do tópico funções se originou da necessidade de um instrumento que pudesse verificar através de previsões e repetições a formulação das leis científicas. Como expõe Caraça (1958, p. 108):

A exigência de acordo com a realidade. Os homens pedem a Ciência que lhes forneça um meio, não só de

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conhecer, mas de prever fenômenos – quanto maior for a possibilidade de previsão, maior será o domínio deles sobre a Natureza; quem sabe prever sabe melhor defender-se e, além disso, pode provocar a repetição, para o seu uso, dos fenômenos naturais.

E inserido no meio científico, através de disciplinas como Matemática, Física, Biologia e outras, o aluno passa a utilizar uma ferramenta importante para o seu desenvolvimento não só no seu período escolar, mas também para a sua evolução nas áreas profissional, social, cultural e política. Essa ferramenta é a álgebra, que é bem usado no ensino de funções, como é apontado no PCNEM (1999, p. 121):

O estudo das funções permite adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. Assim a ênfase do estudo de diferentes funções deve estar no conceito de função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções.

A álgebra com isso passa a ter um papel importante e necessário para a

formação do aluno não só de Matemática, mas de outras áreas de ensino.

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CAPÍTULO II PROBLEMAS FREQUENTES NO PROCESSO DE

ENSINO-APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES

A formalização do conceito de funções que são apresentadas, tem se mostrado como significativo problema para a compreensão do aluno, pois, muitas vezes, aparece de forma isolada, sem mostrar o porquê de seu surgimento e deixando de lado a sua importância para o processo de desenvolvimento escolar e para formação de um cidadão participativo, como observa Chaves e Carvalho (2004, p. 4):

Observa-se então que, o conceito de função de forma pronta e acabada, como é tratado por muitos professores de matemática, no Ensino Médio (EM), é fruto da conjunção/união de fatores históricos e sociais que, na forma de problemas, se propuseram ao homem, como obstáculos necessários a serem vencidos.

Durante a fase inicial de compreensão intuitiva do conceito de funções, destaca-se a importância em se representar a relação entre duas grandezas, analiticamente, através de símbolos que devem ser bem compreendidos pelo aluno, devendo-se evitar confusões do tipo, o que são incógnitas?O que são variáveis?Qual a relação entre equações e funções? Desse modo, podemos analisar claramente indícios que poderão facilitar o entendimento do conceito, como aponta Sierpinska apud Tinoco, 2004, p. 4, “a falta de familiaridade com a álgebra torna a compreensão de funções muito difícil, senão impossível”.

Ainda nessa fase, são colocados poucos exemplos de situações-problema com diferentes representações, onde as noções de correspondência e dependência entre grandezas devem ficar claras na concepção do aluno.

É justamente a partir dessa introdução que se formará uma base para a próxima etapa do conhecimento de funções, como é exposto no PCNEM (1999, p. 121):

Os problemas de aplicação não devem ser deixados para o final desse estudo, mas devem ser motivo e contextos para o aluno aprender funções. A riqueza de situações envolvendo funções permite que o ensino se estruture permeado de exemplos do cotidiano, das formas gráficas

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que a mídia e outras áreas do conhecimento utilizam para descrever fenômenos de dependência entre grandezas.

Outra característica importante quando utilizamos as situações-problema acima mencionadas, é a solução do problema de identificação das grandezas dependente e independente, já que, em determinados contextos, a dificuldade em se definir, quem é uma e quem é a outra, é freqüente.

Durante o período de familiarização das representações das funções, se torna complicado o entendimento da passagem de uma forma para a outra, ou seja, da verbal para analítica para a geométrica, e vice-versa, como ilustrado na fig. 1.

De modo que atividades voltadas para o treinamento dessas transições são imprescindíveis.

A utilização de uma representação gráfica para a identificação de valores a serem previstos numa função, também aparece como uma dificuldade a ser trabalhada, já que a interpretação de gráficos é uma das noções intrínsecas do conceito de funções, e se dá longo de seu estudo, como expressa Tinoco (2004, p. 11):

A familiarização do aluno com os diversos tipos de gráficos pode se dar ao mesmo tempo que o aluno adquire as noções de variável e dependência, básicas para a construção do conceito de função. Essas noções ficam cada vez mais claras ao passo que o aluno constrói e interpreta gráficos.

Com relação às letras que aparecem nas expressões analíticas que representam uma determinada função, vale ressaltar a confusão de idéias apresentada pelo aluno, quando são propostas letras diferentes das usuais. Freqüentemente, tanto em atividades em sala de aula, quanto em conteúdos de algumas coleções de livros didáticos, são usadas “x” e “y”, para variáveis independentes e dependentes, respectivamente. Daí a confusão.

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CAPÍTULO III

CINEMÁTICA COMO CONTEXTO PARA O ESTUDO DE FUNÇÕES

O processo de ensino-aprendizagem de matemática tem sido, por um longo tempo, objeto de análises e pesquisas, tanto por profissionais de educação, quanto para os pesquisadores e acadêmicos interessados no desenvolvimento da Educação Matemática. E um tópico que está sendo bem disseminado em pesquisas para a melhoria da educação em sala de aula é a utilização de situações contextualizadas para a introdução de um determinado conceito ou conteúdo a ser aprendido pelo aluno, como é exposto por Dante (2000, p. 10):

Tratar os conteúdos de ensino de forma contextualizada significa aproveitar ao máximo as relações existentes entre esses conteúdos e o contexto pessoal ou social do aluno, de modo a dar significado ao que está sendo aprendido, levando-se em conta que todo conhecimento envolve uma relação ativa entre o sujeito e o objeto do conhecimento. Assim, a contextualização ajuda a desenvolver no aluno a capacidade de relacionar o apreendido com o observado e a teoria com suas conseqüências e aplicações práticas.

Essa concepção também é verificada como fase inicial para a formalização para muitos conteúdos matemáticos como apontado num texto de Ávila (1988, p. 21):

O ensino de Matemática – é bom insistir – deve ser feito, sempre que possível, a partir de exemplos concretos e interessantes, que permitam motivar os conceitos e preparar o terreno para as definições formais, e isto deve ocorrer de maneira gradual, pois o aprendizado não acontece de uma só vez, mas por um processo de continuado amadurecimento.

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Deste modo, a compreensão de conteúdos é facilitada quando o aluno passa a fazer relações entre os conteúdos a serem aprendidos com determinados contextos onde estão intrínsecos vários elementos da linguagem matemática, que é bem observado por Bicudo e Borba (2005, p. 222):

Em nossa visão, a compreensão de Matemática, por parte dos alunos, envolve a idéia de que compreender é essencialmente relacionar. Esta posição baseia-se na observação de que a compreensão aumenta quando o aluno é capaz de: relacionar uma determinada idéia Matemática a um grande número ou a uma variedade de contextos, relacionar um dado problema a um grande número de idéias Matemáticas implícitas nele, construir relações entre as várias idéias Matemáticas contidas num problema.

E dentre os muitos contextos que podem ser relacionados com conteúdos matemáticos, destacamos aqueles presentes em outras áreas de estudo, que no caso desse trabalho, serão utilizados situações-problema, como disparadores de ensino, inseridos nos conteúdos da Física. A interdisciplinaridade é utilizada como um instrumento capaz de formar conceitos e facilitar o entendimento de conteúdos de disciplinas que possam ser integralizados durante um determinado estudo. E com relação à prática interdisciplinar, Dante (2000, p. 11) afirma:

Neste caso, são identificados os conceitos e procedimentos de cada disciplina que podem contribuir nesta tarefa, descrevendo-a, explicando-a, prevendo soluções e executando-a. Numa tarefa como essa, os conceitos podem ser formalizados, sistematizados e registrados no âmbito das disciplinas que contribuem para o seu desenvolvimento, ou seja, a interdisciplinaridade não pressupõe a diluição das disciplinas.

A resolução de situações-problema como estratégia de ensino tem se constituído como um instrumento didático-pedagógico para tornar mais fácil a compreensão dos conteúdos matemáticos, como está exposto no PCNEM (1999, p. 111):

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Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua formação.

A Física e a Matemática caminham juntas há bastante tempo. Foi com o objetivo de compreensão, análise e explicações de regularidades presentes em fenômenos físicos que se buscou na linguagem concisa da Matemática, uma forma estruturante e organizada que pudesse construir o conhecimento científico.

Kneller apud Campos,( 2000, p.14) comenta essa relação matemática-física:

O conhecimento científico consiste em conhecimento empírico – dados, esquemas de classificação, generalizações e leis descrevendo padrões entre coisas e eventos – e conhecimento teórico dos mecanismos ou causas que produzem esses padrões. Em suma, a Ciência procura descrever as coisas e os eventos do universo físico, classificando-os e expressando as suas inter-relações em leis e generalizações; e procura explicar essas leis unificando-as em teorias. (...) A Matemática é usada pelos teóricos de três maneiras principais. Por vezes, como Schroringer, o cientista cria um formalismo matemático e depois interpreta-o. Mais frequentemente, como Maxuell e Einstein, ele recorre à Matemática para expressar mais precisamente um hipótese física. Em ambos os casos entretanto, o cientista emprega a Matemática para deduzir as conseqüências testáveis de seus pressupostos (idem, op.cit., p. 153).

E é nesse contexto interdisciplinar entre os conteúdos de Física e Matemática que, além de focarmos a construção do conceito de função, veremos como se torna interessante e profundo a inter-relação produzida,

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quando promovemos o estudo da Cinemática, de maneira integralizada, com as propriedades e características da Função Afim.

A noção uniforme da relação entre as grandezas que constituem o Movimento Retilíneo Uniforme servem de base para consolidar a aprendizagem do conteúdo da função do 1° grau, motivando o aluno a trabalhar de forma natural os conceitos dessas duas disciplinas.

A utilização das variáveis t e e, que simbolizam as grandezas tempo e posição, respectivamente, amenizam a dificuldade em considerar apenas as variáveis x e y como as únicas existentes no estudo de funções, além do que colabora para uma melhor compreensão do significado da palavra variável.

Será possível fazer algumas considerações, através da compreensão intuitiva da tendência do movimento uniforme, sobre o fato da curva que representa a função afim ser uma reta, tornando essa abordagem mais esclarecedora para o aluno.

E a partir disso será mostrada que a função linear, que é um tipo de função afim, pode ser compreendida a partir de uma relação específica de proporcionalidade, como comenta Sierpinska (1992 apud Tinoco, 2004, p. 45), “historicamente, o conceito de função foi identificado com o de proporção”.

Através dos níveis de compreensão, já comentados anteriormente, será possível compreender o estudo das grandezas que variam de forma linear, associando a esse estudo, os conceitos do M.R.U./M.R.U.V. e a linguagem matemática predominante no conteúdo de função Afim.

Assim, através de contextos da Cinemática, faremos da resolução de problemas, a base para o processo de ensino-aprendizagem da Função Afim.

E assim, a presente proposta interdisciplinar, possibilita a utilização de modelos matemáticos como forma de resolução de situações-problema freqüentes na vida social do aluno, conforme afirma Pinheiro apud Campos, (2000, p. 53):

Devemos proporcionar ao estudante oportunidades de adquirir o domínio de modelos matemáticos de modo que possa verificar que por meio deles, é possível resolver problemas práticos e expressar regularidades e transformações, mudanças e permanências entre grandezas físicas.

Com isso, torna-se muito mais significativa a construção do saber utilizando as ferramentas matemáticas, tanto do ponto de vista da situação a

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que o aluno está acostumado a se deparar no dia-a-dia, quanto da compreensão da linguagem matemática.

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CAPÍTULO IV

SUGESTÕES PARA AVALIAÇÃO

Na maioria dos estabelecimentos de ensino, a avaliação é usada como um instrumento que estimula práticas de memorização e repetição de algoritmos e técnicas matemáticas, tornando menos significativo o aprendizado. Assim como a educação visa o aprimoramento intelectual do aluno, formando-o com um pensamento crítico a respeito das situações impostas pela sociedade, a avaliação tem como objetivo o emprego de processos que possam permitir a equipe pedagógica um conjunto de elementos que permita a preservação desses ideais, sobre avaliação, Vasconcelos, Scordamaglio e Cândido(2004, p. 18) comenta:

A escola tem assumido a responsabilidade de preparar nossos jovens para o melhor desempenho em uma sociedade contraditória e desigual, em que os pontos de partida e de chegada nem sempre são os mesmos para todos. Nos diversos momentos de avaliação, a escola deve considerar esse fato e deve estar pronta para percorrer um longo caminho.

Antes mesmo de dizer o tema da aula, será passada para a turma (dividida em duplas) uma lista contendo atividades para que a mesma possa resolvê-las. O conteúdo dessas atividades, citadas anteriormente, visa uma avaliação diagnóstica dos conhecimentos matemáticos considerados básicos para o estudo de Funções.

Com base na análise dessas fichas, o professor terá indícios que possibilitem uma pré-avaliação coletiva sobre as possíveis dificuldades que a turma terá com o conteúdo a ser dado, garantindo maior atenção àqueles tópicos que tiveram os maiores índices de dificuldade.

A observação também constitui uma ferramenta poderosa para se avaliar. Podem ser feitos alguns registros a respeito de observações feitas ao longo da aula, sobre os assuntos que despertaram maior interesse e motivação, e tentar refletir sobre os motivos que ocasionaram menor interesse em determinados conteúdos.

Como a concepção desse trabalho se estrutura no processo de ensino-aprendizagem do conteúdo de Funções através de resolução de situações-problema inserida no contexto da Cinemática, nada mais justo que propor uma forma de avaliação em que é verificado o desempenho do aluno com relação

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aos conteúdos propostos nessa concepção, como está exposto no PCNEM (1999, p. 131):

Numa proposta que toma como perspectiva metodológica a Resolução de Problemas, que articula as suas ações e conteúdos em torno de temas estruturadores e prevê que tão importantes quanto os conteúdos são as competências que os alunos devem desenvolver, ganham importância o cuidado com a obtenção de informações, a avaliação em diferentes contextos, o registro e a análise das informações obtidas.

A avaliação não serve apenas para diagnosticar o que foi compreendido pelo aluno, serve também para professor se auto-avaliar, aperfeiçoando, através de pesquisas, os procedimentos que colaborem para o processo de ensino-aprendizagem.

Como proposta para uma avaliação dinâmica sem a preocupação de classificar o conhecimento da turma, será distribuída, ao final da aula, uma ficha contendo alguns tópicos a serem preenchidos, desenvolvendo nos alunos o hábito de escrever, já que eles deverão criar um texto expressando sobre o que foi entendido sobre a aula, devendo inclusive, realizar pesquisas em livros didáticos. Essa proposta segue o molde do relatório-avaliação sugerido por D’Ambrosio:

A avaliação serve para que o professor verifique o que de sua mensagem foi passado, se seu objetivo de transmitir idéias foi atingido – transmissão de idéias e não a aceitação e a incorporação dessas idéias e muito menos treinamento. (...) Isso pode ser visto por meio de um relatório-avaliação da aula, entregue para o professor na aula seguinte. Trata-se de um relatório escrito, reconhecendo que o mundo moderno exige a escrita em praticamente todas as ações.

Assim, o modelo da ficha deverá ter as seguintes etapas:

v Cabeçalho: para que ajude o professor a identificar os alunos a partir da

primeira aula, o mesmo vale para o aluno a respeito do nome do professor.

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Colocando o título da aula, condiciona o aluno a criar sempre títulos para os

mais variados trabalhos escritos;

v Resumo da aula: no máximo uma lauda, cria no aluno a consciência de

sintetizar determinadas idéias;

v Bibliografia consultada: familiariza o aluno a consultar livros didáticos,

valorizando atividades de pesquisa, podendo inclusive utilizar a internet como

instrumento ;

v Comentário do aluno: espaço destinado a qualquer tipo de opinião do aluno

sobre a aula ou a atuação do professor. Poderão ser dadas sugestões para o

melhoramento da prática docente.

Essas fichas após serem entregues, deverão ser examinadas pelo professor para uma possível reformulação da sua prática docente.

Essa proposta visa o aprimoramento do trabalho docente, considerando a prática da avaliação como um processo de acompanhamento do que está sendo construído e assimilado pelo aluno.

Deve ficar entendido que, a implementação dessa proposta, não exclui as tradicionais “provas” do currículo. Porém devem-se considerar alguns objetivos com a aplicação das provas:

v A compreensão dos conceitos matemáticos e físicos;

v A aplicação de procedimentos matemáticos;

v A capacidade de resolução de problemas;

v A comunicação dos alunos com relação ao conteúdo matemático;

v A criatividade e o raciocínio lógico utilizados pelo aluno na solução do

problema.

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CONCLUSÃO

A construção do conceito de função não é uma tarefa simples, no que diz respeito ao processo de ensino-aprendizagem do aluno do Ensino Médio, pois envolve noções abstratas de outros conceitos matemáticos como grandezas dependentes, variáveis, domínio, imagem e outros mais. A sua importância não só dentro do contexto matemático como também para a evolução de outras áreas da educação deve motivar os professores e acadêmicos a criar/utilizar novas técnicas que favoreçam a participação ativa do aluno.

Buscando um caminho diferente do que normalmente é visto com relação a este conteúdo, onde é utilizado o conceito como introdução do estudo, partimos da compreensão intuitiva para a formal (conceito). E nessa linha de raciocínio, procuramos seguir uma seqüência natural da aquisição do conhecimento, que busca na realidade informações que possam ser usadas para modificar a própria realidade em seu benefício e de seu grupo. Onde a realidade considerada neste trabalho está inserida no contexto da Cinemática, o qual está diretamente relacionado ao cotidiano do aluno através de noções intuitivas de velocidade, movimento, e outros mais.

E a partir dessa introdução intuitiva, onde o aluno poderá levantar as suas opiniões a respeito do assunto, é que conseguiremos tornar a aula mais cativante e interessante. E assim poderemos inserir a matematização inicial e a abstração, dando então um significado mais formal ao saber a ser compreendido.

Devemos ter o cuidado quando propormos um exercício de contextualização em Matemática, visto que nem todos os conteúdos podem ser tratados através de um objeto concreto.

Matemática e Física caminham juntas há muito tempo, a própria criação de um instrumento matemático (função) com características que pudessem coletar e analisar dados quantitativos entre grandezas que se relacionavam com regularidade em um fenômeno natural é um exemplo dessa integração.

A partir da resolução de situações-problema do contexto da Física, são verificadas as interações existentes entre os conteúdos do MRU e o de função do 1° grau. Assim como, através de alguns dos conceitos e representações desta função podemos analisar as propriedades físicas do MRUV.

Contudo para que haja a devida integração entre disciplinas, deve-se haver na instituição escolar, um planejamento prévio onde serão discutidos entre os professores destas disciplinas alguns pontos que possam enriquecer ainda mais as atividades didáticas deste trabalho.

E práticas constantes de avaliação, como as citadas neste trabalho ajudam o professor a verificar se o seu trabalho está a contento, e também

27

para conseguir a real evolução do processo de ensino-aprendizagem. Onde podem ser utilizados vários meios que permitam a socialização e em conseqüência uma boa formação para o aluno.

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ANEXOS

Índice de anexos

Anexo 1 >> Situações-problema;

Anexo 2 >> Ficha de avaliação; Anexo 3 >> Exercícios para Pré-avaliação; Anexo 4 >> Gráficos; Anexo 5 >> Conteúdo Proposto; Anexo 6 >> Planejamento para o uso do Conteúdo Proposto.

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ANEXO 1

SITUAÇÕES-PROBLEMA

1) Nas situações abaixo, há correspondência entre as grandezas. Identifique a grandeza (variável) dependente e a grandeza (variável) independente:

a) O tempo que uma pessoa leva para correr 200 metros e a velocidade do corredor

b) O peso de uma criança em relação a sua idade

c) O consumo energia elétrica e o total a pagar

2) Resolva os problemas e organize-os em tabelas:

a) Um carro leva três horas, para percorrer 150 km. Mantendo-se à mesma velocidade, quanto levará para percorrer 350 km? E em 450 km?

b) Rodando à velocidade média de 80km/h, um carro faz um percurso em 3 horas. Se rodar a 60km/h, em quanto tempo fará o mesmo percurso?

3) O desenho ao lado é da pista do Autódromo de Interlagos, em São Paulo, onde é disputado o Grande Prêmio do Brasil de Fórmula 1. São 72 voltas de emoção, em que os pilotos percorrem 390 km num tempo máximo de 2 horas.

a) Se a corrida tiver duração

máxima, qual será a

velocidade média do

1° colocado?

b) Que distância o primeiro

colocado terá percorrido

depois de 30 minutos de

30

prova?

4) Expresse por uma lei de formação a função f: R → R que cada número real x associa:

a) o seu dobro c) o seu dobro aumentado mais 4

b) a sua metade d) a sua terça parte diminuída de 5

5) Ache a velocidade média e a partir dela encontre a lei de formação:

31

6) Quais das tabelas abaixo determinam 4 pontos que estão alinhados? Tente responder sem desenhar o gráfico. Em seguida confira através do gráfico.

32

a) b) c)

x y x y x y

1 3 1 1 1 10

2 5 2 4 2 7

3 7 3 9 3 4

4 9 4 16 4 1

7) A posição de um ponto varia no tempo conforme a tabela.

s(m) 25 21 17 13 9 5

t(s) 0 1 2 3 4 5

A equação horária desse movimento é:

a) s = 4 – 25t b) s = 25 + 4t

c) s = 25 – 4t d) s = - 4 + 25t

e) s = - 25 – 4t

E quais são os valores correspondentes aos coeficientes angular e linear?

8) Alguns trens costumam viajar a velocidades

praticamente constantes. Se um trem viajar a

uma velocidade constante de 50km/h, como

podemos representar esse movimento através

do gráfico da velocidade em função

do tempo? E qual será a lei de formação correspondente?

33

ANEXO 2

FICHA DE AVALIAÇÃO

FICHA DE AVALIAÇÃO

NOME DO ALUNO:

DISCIPLINA:

PROFESSOR:

TEMA DA AULA: DATA:

RESUMO DA AULA:

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:

COMENTÁRIO DO ALUNO:

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ANEXO 3

EXERCÍCIOS PARA PRÉ-AVALIAÇÃO

1) Um carro faz 180 km com 15 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina esse carro gastaria para percorrer 210km, em idênticas condições?

Resp.: 17,5 litros de gasolina

2) Com R$ 3,50 compro 7 pães. Quantos pães comprarei com 12,00?

Resp.: 24 pães

3) Observe a seguinte situação:

4) Responda as seguintes perguntas:

35

ANEXO 4

CONTEÚDO PROPOSTO

1 - Noções de Funções e a Cinemática

A principal característica, no estudo do tópico de Funções Matemáticas, é a identificação de formas especiais de relações entre grandezas presentes em várias situações ou fenômenos. Para essa aula serão utilizadas duas grandezas em que uma delas varia em função da outra, ou seja, uma será considerada grandeza independente e a outra como grandeza dependente.

Eis algumas relações de grandezas presentes no dia-a-dia (a meta fazer com que o aluno compreenda e dê outros exemplos de relações):

• O preço a pagar em função do número de pães comprados;

• Nota da prova em relação em função ao número de questões acertadas;

• Distância percorrida em função do consumo de combustível de um carro;

• Posições de um móvel numa trajetória em movimento com velocidade

constante em função dos instantes de tempo, em um determinado referencial;

Utilizando este último exemplo como um objeto de análise, poderemos nos familiarizar com algumas definições da Cinemática.

A figura acima nos mostra o movimento de um carro saindo da cidade C1 e passando pelas posições (placas) A e B, antes de chegar a seu destino na cidade C2.

Um corpo que, dentro de um intervalo de tempo, modifica as sua posições, em uma trajetória, em relação a um ponto de referência ou referencial, encontra-se em movimento. Na fig.1 as placas representam as

2h 3h

4h

1h

km 90

km 180

km 270

km 0

C1

36

posições em relação à placa 0km. Qual seria o deslocamento do carro entre os pontos A e B? Considerando que deslocamento é a variação da posição entre dois instantes, matematicamente pode ser representada pela diferença ente a posição final e a posição inicial (s2 – s1).

Como o objetivo desse trabalho é a análise da variação de uma grandeza em função da outra, podemos estudar o comportamento da velocidade a partir da variação do intervalo de tempo. Da mesma forma que o deslocamento, o intervalo pode ser conseguido através da diferença do instante final e o instante inicial (t2 – t1).

No nosso exemplo acima conseguimos o deslocamento, que pode ser simbolizado como ∆S, do carro referente aos pontos A ao B e depois o relacionamos com o intervalo de tempo correspondente, também simbolizado por ∆t.

∆s = sB – sA = 180 – 90 = 90 km

e

∆t = tB – tA = 3 – 2 = 1h

O carro se desloca 90 km do ponto A ao B, num intervalo de tempo de 1h.

A partir dessa relação poderemos verificar a criação de outra grandeza de movimento chamada Velocidade Média, e que é conseguida através da razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo correspondente.

Com isso podemos concluir que a velocidade média entre os pontos A e B é:

substituindo logo

Usando a fórmula acima, fica fácil achar as velocidades médias em todos os percursos entre os pontos da fig. 1. Peça aos alunos que ache essas velocidades médias, lembrando a eles sobre a importância das unidades das grandezas.

37

1) Do ponto C1 ao A:

km/h

2) Do ponto C1 ao B:

3) Do ponto C1 ao C2 :

Para analisar melhor os dados da fig.1, podemos organizá-los em tabelas e gráficos cartesianos.

Tabelas: são responsáveis pela coleta de dados.

Tempo (t) 1 2 3 4 Intervalo(∆t)

Posição(s) 0 90 180 270 Veloc.Média(vm) 90 90 90 90

Notem que para cada elemento de t existe um elemento correspondente em s. Com isso podemos conceituar Funções Matemáticas, como uma relação específica entre dois conjuntos, em que cada elemento do conjunto das grandezas independentes (Domínio) se corresponde com apenas um elemento do conjunto das grandezas dependentes (Imagem).

Observação: até agora só falamos de Velocidade Média num intervalo, porém se quisermos verificar a velocidade em um determinado instante, estará sendo usada à noção de Velocidade Instantânea. Seria a velocidade indicada no velocímetro (instrumento que indica velocidades) do carro para cada instante considerado. Não é nosso interesse nos aprofundarmos no cálculo da Velocidade Instantânea nesse trabalho, deixando esse estudo para outra oportunidade.

O gráfico cartesiano é outra forma para compreensão das Funções, e são muito utilizados em várias situações ligadas ao cotidiano das pessoas. Aparecem em vários meios de comunicação como jornais, revistas etc.

38

Usando-se a tabela do item anterior será construído o gráfico s em função de t correspondente.

Através do gráfico acima, o movimento do carro é entendido da seguinte forma: O carro passa no instante 1h pelo km0 (C1) da trajetória em direção a C2, às 2h ele passa pelo ponto A(km90), às 3h pelo ponto B(km180) e às 4h ele chega a C2(km270).

Agora faça o mesmo para as tabelas criadas até aqui.

2 – Função Afim e o M.R.U

A partir da tabela abaixo, observe como a variação das posições acontece de uma maneira uniforme quando o movimento ocorre a uma velocidade constante.

Posição(s) 0 40 80 120 160

Instante(t) 0 2 4 6 8

40 40 40 40

2 2 2 2

39

Como a variação na posição é proporcional a variação no tempo, podemos criar uma forma geral (expressão algébrica) que relacione as duas grandezas.

No instante de 2h, a posição é de 40km

Logo em 1h, a posição é de 20km

Seguindo a seqüência:

No instante 4h a posição é de 4 x 20 = 80km

No instante 6h a posição é de 6 x 20 = 120km

No instante 8h a posição é de 8 x 20 = 160 km

Então, no instante t h a posição é de t x 20 = 20 x t km

Podemos dizer que a forma algébrica da função é:

Posição = 20 vezes o instante do móvel

s = 20 t

O que vai nos facilitar muito na construção do gráfico, pois com essa expressão poderemos colocar quantos pontos quisermos, fazendo apenas as devidas substituições nos valores de t.

t v

0

1

2

3

4

5

6

20

40

60

80

100

120

140

40

7

8

160

180

Reparem que ao formarmos os pontos cartesianos e os unirmos, a curva que se forma é uma reta que parte da origem. A esse tipo de função, chamamos de Função Linear.

Notem ainda que :

Quando t cresce, s também cresce;

Quando t diminui. s também diminui.

Nesse caso, ela também recebe o nome de Função Linear Crescente.

Porém chamamos de Função Linear Decrescente quando:

t aumenta, s diminui;

t diminui, s aumenta.

Como é ilustrado no gráfico abaixo.

Nesse caso a expressão algébrica é:

s = - 20t

0km -40km -80km -60km -20km

t = 0h 1h 2h 3h 4h

41

Enunciando fisicamente o movimento do carro: o móvel está em sentido contrário ao da trajetória, e sua posição vai diminuindo cada vez mais com o passar do tempo.

Se os alunos tiverem dificuldade com relação ao fato da velocidade ser constante, peça eles que calculem a velocidade média nos vários intervalos, utilizando a equação da Velocidade Média , dos gráficos desse capítulo.

Exemplo: no primeiro gráfico, do instante 2h ao 4h, calcule a velocidade média.

Na Cinemática, um movimento de um corpo numa trajetória reta que possui a velocidade constante é chamado de Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.). E já que a velocidade não varia, podemos usar a equação da velocidade média para conseguir outra equação muito útil nos cálculos da física, chamada equação horária do M.R.U.

vm = v(já que ela é constante) então vm = ∆s/∆t ⇒ v = ∆s/∆t

∆s = v x ∆t ⇒ s – so = v (t – to)

O tempo inicial, em geral, é considerado igual a 0, ou seja ti= 0. Com isso obtemos a posição inicial nesse instante (si = sO).

s –so = v(t – 0) ⇒ s –so = vt ⇒ s = so + vt

Analogamente, podemos verificar qual a sua relação com a expressão matemática da função s = 20 t.

42

Substituindo os valores de so e v na equação horária s = so + vt temos:

s = 0 + 20t ⇒ s = 20t

Faça a mesma verificação para a função linear decrescente dada anteriormente.

Utilizando a seguinte situação-problema, construa o gráfico e a partir dele consiga a expressão algébrica.

Um ciclista faz um percurso em M.R.U. conforme os dados da tabela abaixo, que fornece as posições em função do tempo:

s(km)

5 20 35 50 65

t(h) 0 1 2 3 4

44

Note que a variação entre as posições é de 15km, porém devemos considerar a sua posição no instante t = 0 quando formos deduzir a expressão algébrica.

A cada hora a posição varia em 15km, mas a posição no instante t = 0 é de 5km.

Então:

No instante de 1h a posição será de 15 + 5(so) = 20km

No instante de 2h a posição será de 15 x 2 + 5 = 35km



No instante de th a posição será de 15 x t + 5 = 15 x t + 5 km

Logo a expressão é:

s = 15t + 5

Fazendo uma comparação com a equação horária do M.R.U..

s = so + vt e s = 15t + 5 ou s = 5 + 15t

Onde, algebricamente podemos dizer que a posição inicial (so) é 5km e a velocidade(v) é 15km/h.

Para constatar esse fato fisicamente, a posição inicial é de fato 5km como visto na tabela, e a velocidade pode ser conseguida usando qualquer intervalo através da equação da velocidade:

Por exemplo, entre 1h e 3h: v=∆s/∆t ⇒ v=(50-20)/(3-1) ⇒ v=30/2 v = 15km/h

Note que a diferença deste gráfico com relação ao gráfico da função linear é que ele não passa pela origem.

45

Chamamos esse tipo de função de Função Afim. A Função Linear é um caso especial da função Afim que tem a sua representação gráfica como uma reta passando pela origem.

E podemos dizer que a forma da expressão algébrica é y = ax + b , onde a e b são constantes, valores que representam os coeficientes da função. Graficamente, o coeficiente a, chamado de coeficiente angular, determina a inclinação da reta em relação ao eixo x; já o coeficiente b, chamado de coeficiente linear, é o valor de y no ponto que a reta corta o eixo y ( x = 0). Repare que na expressão da função linear y = ax , a reta corta o eixo y justamente na origem do gráfico, por isso o valor de b é igual a 0.

Com relação a noções de coeficientes angular e linear, podemos utilizar gráficos de funções para compreender mais facilmente o comportamento da Função Afim.

0

2

46

As duas funções possuem o mesmo coeficiente angular a = 2, portanto, o gráfico da função afim y = ax + b é o gráfico da função linear y = ax, deslocando b unidades. No exemplo, b = 3 (o gráfico deslocou-se 3 unidades para cima).

Peça para os alunos fazerem alguns exercícios de fixação do anexo.

3- Raiz ou zero da Função Afim

Já falamos que ao interceptar o eixo y, o valor do coeficiente linear fica evidenciado, agora queremos saber o valor de x quando a reta corta o eixo x ( y = 0). A esse valor de x, chamamos de zero ou raiz da função, e basta substituir o valor y por zero para que a expressão y = ax + b se torne uma equação do 1° grau do tipo 0 = ax + b, onde será achado o valor de x. Como vemos nos exemplos abaixo:

a) Qual é a raiz da função f(x) = 5x – 35 ?

Para f(x) = 0, 0=5x-35 ⇒35=5x ⇒ 5x=35 ⇒ x= 35/5 ⇒ x=7

b) Qual é a raiz da função: f(x) = 3x + 9?

Para f(x) = 0, 0=3x+9 ⇒-9=3x ⇒ 3x=-9 ⇒ x= (-9)/3 ⇒ x=-3

Obs.: O termo representante da variável y também poderá ser apresentado na forma f(x).

Em alguns deslocamentos do M.R.U., a raiz nem sempre vai representar um valor fisicamente possível, como no exemplo abaixo:

0

47

Notem que a reta só deveria interceptar o eixo x, para valores negativos de tempo, porém como vimos antes, na Física não são considerados valores negativos para a grandeza tempo. Já em outros movimentos é fisicamente possível. Os exemplos abaixo demosnstram esse fato. Considere os gráficos abaixo com gráficos Posição x tempo.

4- Função Constante no M.R.U.

Já vimos que a forma y = ax + b representa a Função Afim. E que quando o coeficiente linear b é igual a zero a função é chamada de Função Linear. O que acontece se o coeficiente angular a for igual a zero? Através da tabela do item 2 podemos fazer esta verificação.

Posição(s) 0 40 80 120 160

Instante(t) 0 2 4 6 8

Em seguida será construído o gráfico que representam as velocidades em função do tempo. Primeiramente calculam-se as velocidades nos instantes dados.

Desta vez vamos utilizar a equação horária:

s = s0 + vt

Em 2h: 40 = 0 + v2 ⇒ 2v = 40 ⇒ v = 40/2 ⇒ v = 20km/h

Em 4h: 80 = 0 + v4 ⇒ 4v = 80 ⇒ v = 80/4 ⇒ v = 20km/h

48

Em 6h: 120 = 0 + v6 ⇒ 6v = 120 ⇒ v = 120/6 ⇒ v = 20km/h

Em 8h: 160 = 0 + v8 ⇒ 8v = 160 ⇒ v = 160/8 ⇒ v=20km/h

Temos, portanto, a velocidade é constante para qualquer instante do percurso. O gráfico será da seguinte forma:

t v

0

2

4

6

8

20

20

20

20

20

E a sua expressão algébrica será: y = ax + b ⇒ y = 0x + b ⇒ y = b

Onde b = 20 km/h

Faça uma comparação desse gráfico em relação aos anteriores e verá que o coeficiente angular (que é a inclinação em relação ao eixo x) desse gráfico tem o ângulo nulo, cuja inclinação também é nula, ou seja, ele é paralelo ao eixo x.

Uma análise geométrica pode ser feita com relação ao gráfico v em função de t. Se quisermos descobrir o deslocamento de móvel, podemos utilizar a equação:

v = t

s

∆

∆ ⇒ tvs ∆=∆ .

49

Note que no gráfico, a área hachurada corresponde a área de um retângulo e é conseguida através da fórmula hBA .= .

Então a área hachurada é:

hBA .= ⇒ vtA .∆= ou tvA ∆= .

Fazendo uma comparação das duas equações:

tvs ∆=∆ . e tvA ∆= .

então As =∆

Podemos, então considerar, que num gráfico s x t, a área compreendida entre a curva da função e o eixo t corresponde ao deslocamento do móvel

v

∆t

50

5 – Funções no Movimento Retilíneo Uniformemente Variado – M.R.U.V.

Fig. 2

A figura acima nos mostra a seguinte situação:

Um carro em movimento cujo velocímetro indica 30 km/h, após 5 s ele indica 60 km/h. Podemos dizer que a velocidade variou 30 km/h em 5 s. Quando falamos em variação da velocidade num intervalo de tempo, estamos introduzindo a noção da grandeza chamada Aceleração Média. E, matematicamente, podemos representar a aceleração média através da seguinte forma:

aceleração média= (variação da velocidade)/(intervalo de tempo)

área (A) = deslocamento(∆s)

t1 v1 t2 v2

51

onde,

Nesta formula, v é a velocidade final e vo, é a velocidade inicial de um determinado intervalo de tempo.

Se considerarmos a velocidade no instante t1 igual a 10 m/s, e no instante t2 igual a 70 m/s. Qual a aceleração do carro se o intervalo entre t1 e t2 é 12s?

∆t = t2 – t1 ⇒ ∆t = 12 s

am = 5 m/s2

Além da aceleração média, existe também a aceleração instantânea, que é a aceleração tomada num determinado instante de tempo. Nosso estudo ficará restrito somente à aceleração média.

Repare que ao falarmos de aceleração média, estamos analisando a relação entre duas grandezas, onde a velocidade varia em função do tempo considerado nos vários instantes do carro da figura acima(t1,t2,...).

Suponhamos que as indicações do velocímetro desse carro a cada segundo marque:

1ª indicação 60 km/h




Notamos que a variação da velocidade a cada segundo não é constante.

∆v = 5 km/h

∆v = 15 km/h

∆v = 2 km/h

Para se conseguir a unidade representativa da aceleração:

52

Agora observamos as seguintes indicações do velocímetro do mesmo carro, a cada segundo, analisadas em outro momento, em que :





Nesse caso a variação da velocidade se mantém constante a cada segundo, ou seja, a aceleração do movimento é constante.

O movimento retilíneo cuja aceleração é considerada constante é chamado de Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.). Para facilitar a compreensão dos tipos de Movimento Variado, vamos considerar a velocidade com o valor positivo, ou seja, o sentido no qual o corpo se movimenta é o de aumento das posições. Diante disso:

Se 1v < 2v , ou seja, a velocidade ao longo do movimento é crescente, a aceleração é positiva. O movimento é chamado Acelerado.

Se 1v > 2v , ou seja, a velocidade ao longo do movimento é decrescente, a aceleração é negativa. O movimento é chamado Retardado. Como podemos ver no exemplo abaixo.

Podemos fazer um estudo sob o ponto de vista matemático, usando as representações das funções matemáticas.

• Pelas tabelas: podemos, por exemplo, organizar em tabelas os valores da

aceleração em função do determinado instante

aceleração média

a a a

tempo t1 t2 t3

• Pelo Gráfico cartesiano: já que a aceleração é constante para qualquer

instante considerado, o gráfico da aceleração em função do tempo é da

seguinte forma:

∆v = 5 km/h

∆v = 5 km/h

∆v = 5 km/h

53

Geometricamente, podemos analisar que a área entre a reta da função e o eixo t é um retângulo cuja área corresponde a variação de velocidade ∆v, pois:

t

va

∆

∆=

⇒⇒⇒⇒ ∆v = a.∆t e Aretângulo = ∆t.a = a.∆t

∆v = Aretângulo

• Pela expressão algébrica: analisando o gráfico, podemos verificar que a

aceleração é constante, visto que para cada instante, a aceleração (a) terá o

mesmo valor (b), ou seja, a = b(constante).

• Nessa situação, observamos que a velocidade varia uniformemente com o

tempo, a aceleração se mantém constante durante todo o movimento. Então

podemos considerar a aceleração instantânea tem o mesmo valor da

aceleração média.

maa =

a

t1 t2 t3

54

Exercício Resolvido: Um automóvel em M.R.U.V. tem a sua velocidade inicial igual à vo, considerada no instante to = 0, com aceleração no valor de a. Como se obtém a velocidade no instante t a partir dos valores dados?

t

va

∆

∆= ⇒

t

vva 0−

= , já consideramos o tempo inicial como 00 =t

0vvat −= ⇒ atvv += 0

Em 0=t , a velocidade é 00 avv +=

Em 1=t , a velocidade é 1.0 avv +=

Em 2=t , a velocidade é 2.0 avv +=

t v

0

1

2

v = v0

v = v0 + a.1

v = v0 +a.2

55

Se dermos valores concretos para v0 e a , poderemos facilmente visualizar que a relação v em função de t do M.R.U.V. é um modelo de função afim. Como exemplo, vamos usar v0 = 20km/h e a = 2

Para, t = 1, v = 2 + 2.1 ⇒ v = 2 + 2 ⇒ v = 4 km/h

Para, t = 2, v = 2 + 2.2 ⇒ v = 2 + 4 ⇒ v = 6 km/h

Para , t = 3, v = 2 + 2.3 ⇒ v = 2 + 6 ⇒ v=8 km/h

1 2

vo+2a

v0 + a

v0

56

E fica evidenciada a forma y = ax + b da função afim pela expressão algébrica tv 220 += .

Exercício proposto: Construa o gráfico de a em função de t, de um corpo que se encontra em movimento uniforme com o valor aceleração igual a a = 0. Que tipo de movimento é esse? Representa qual função?

Para todos os valores de t, a = 0, então:

Um movimento dito uniforme com aceleração nula é chamado M.U., e a reta da função do gráfico a em função de t coincidirá com o eixo t. Porém esse gráfico também pode representar o móvel em repouso.

57

ANEXO 5

PLANEJAMENTO PARA O USO DO CONTEÚDO PROPOSTO

1 SUGESTÕES PARA A AULA

Antes de utilizar o conteúdo elaborado para a aula, deverá ser aplicada a primeira etapa da avaliação, que consiste de uma ficha (ANEXO 3) contendo alguns problemas envolvendo alguns assuntos considerados fundamentais para o estudo de funções, como resolução de expressões algébricas, razões e proporções, equações e interpretação de gráficos.

O conceito de função não deve ser passado previamente, deve-se optar pela sua construção através de resolução de situações-problema do meio social do aluno. Seguindo o conteúdo, serão exploradas as primeiras situações com o objetivo de estabelecer relações entre grandezas, onde será verificada como uma varia em função da outra, e assim poderá se criada a compreensão de variáveis dependentes. O professor utilizará dos exemplos, podendo criar outros (ou utilizar o anexo 1), e ao final solicitará mais exemplos aos alunos. Com isso, estará sendo verificado o nível de compreensão intuitiva sobre função.

A situação-problema seguinte (fig. 1) ilustra o movimento de um carro que faz uma viagem da cidade C1 para a cidade C2, onde são registrados os tempos de saída, de chegada, e também os tempos que ele passa pelas placas A e B. Será dado início a integração entre os conteúdos de função e cinemática, para a utilização dessa situação em matemática, deve-se primeiramente passar alguns conceitos físicos como movimento, referencial, posição e outros mais constantes no conteúdo que tornarão o estudo mais compreensível. Para depois utilizar o nível de compreensão da matematização inicial, usando a subtração (operação aritmética) para se conseguir as variações de posição e instante (∆s/∆t). A partir dessas duas variações será criada a idéia matemática de velocidade média, com isso poderá ser solicitado aos alunos para que eles façam os cálculos das velocidades médias das outras distâncias da fig. 1, assim é possibilitado o uso do nível de abstração.

A construção de gráficos será a próxima atividade, já que eles expressam outra forma de representação de função. Pode ser feito uma oportunidade de comentar a importância desta forma de representação dentro do contexto social do aluno. Serão organizados os dados colhidos da tarefa anterior em tabelas conforme o conteúdo dado, e será solicitado para que os alunos façam o mesmo para os primeiros exemplos do conteúdo, quantificando as grandezas.

58

Ex.:

01 pão custa R$ 0,35

02 pães custam R$ 0,70



A partir dessa análise, é possível, junto aos alunos, ser construída uma representação verbal da definição de função, dando o primeiro passo para a introdução do nível de compreensão da formalização.

Pode ser comentada, de maneira breve, sobre a diferença entre as definições físicas entre velocidade média e velocidade instantânea.

Dando seqüência ao tópico de representação gráfica, será mostrado como pode ser representado à relação entre duas grandezas em um gráfico cartesiano. Mostrando para o aluno como pode ser feita a interpretação, através do gráfico, da situação-problema que originou esta representação gráfica.

Entrando no capítulo Função Afim e M.R.U., será determinada, através da abstração, a lei de formação que possa prever o comportamento entre grandezas dependentes, mostrando como dessa expressão algébrica pode ser construído o gráfico pertinente. E será verificada que a forma da curva que representa a função é uma reta. Sendo então, mostrada a função linear e a sua principal característica, ao mesmo tempo em que são reconhecidas, quando uma função é crescente ou decrescente. Tendo a preocupação de mostrar para os alunos a forma de se interpretar fisicamente o movimento através da idéia de funções crescente e decrescente.

A noção do Movimento Retilíneo Uniforme já pode ser compreendida a partir do cálculo da velocidade média dos dados da tabela, em que o seu valor vai se manter constante para todos os intervalos de tempo. E com isso, poderá ser conseguida, algebricamente, a equação horária do M.R.U. a partir da equação da velocidade média. Comparando a expressão da função antes achada com a equação horária, poderemos, facilmente, identificar a forma de uma função linear.

Passe a próxima situação-problema para os alunos resolverem sozinhos (podendo ser duplas). Dependendo do nível compreensão da turma, poderá ser dadas mais atividades para que os alunos possam exercitar a idéia proposta.

N° pães 1 2 3 4

Custo 0,35 0,70 1,05 1,40

59

Nessa atividade será definida a forma de uma Função Afim, mostrando para o aluno a diferença entre a função linear. E complementando a noção de que a função linear particular de função do 1º grau, aliás, é do 1° grau devido o expoente da variável independente ser de grau 1.

Agora será trabalhada a noção de função sob um ponto de vista matemático mais formal, ou seja, será abordado um conteúdo envolvendo a equação representativa da função (y = ax + b); os coeficientes angulares e linear; a identificação da raiz ou zero da função. Mostrando a importância desses tópicos para a construção do gráfico representativo. Convém dar alguns exercícios de fixação.

Voltando a linguagem física, explique para os alunos o que representam esses tópicos num movimento uniforme, deixando o fato do coeficiente angular ser igual à zero para o final, já que é o tem a do próximo capítulo.

Será verificado que, como mencionado no parágrafo anterior, quando o coeficiente angular for zero, a equação da função tomará a forma y = b, faça a conexão com o estudo físico, construindo o gráfico da velocidade constante em função do tempo.

Para terminar faça uma análise do gráfico que representa uma função constante, utilizando outro contexto matemático (geometria) para se conseguir uma forma alternativa de se conseguir o deslocamento de corpo em M.R.U.

No tópico 3.5, fala sobre o conteúdo de função do 1° grau sendo utilizado de forma integrada ao do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.). Será desenvolvido o conceito de aceleração, uma grandeza que surge da variação da velocidade em função do intervalo de tempo. Será mostrado os gráficos pertinentes a esse movimento sendo relevante a interpretação física de cada um.

60

ANEXO 6

GRÁFICOS

COMPREENSÃO

INTUITIVA

MATEMATIZAÇÃO

INICIAL

ABSTRAÇÃO FORMALIZAÇÃO

CARACTERÍSTICAS

Utilização do

conhecimento informal da

vida.

Pensamento com

base na percepção visual.

Ações espontâneas.

Organização e

quantificação das

primeiras noções

intuitivas.

O conceito é

confundido com o

procedimento que leva à

sua construção.

O conceito se

destaca do

procedimento e

alcança uma

existência própria.

Generalização

própria

Uso da linguagem

simbólica

Descontextualização

.

Justificação lógica

das operações.

PARA FUNÇÕES

Reconhecimento de

dependência (não

quantificada).

Estabelecimento de leis de

formação simples e visuais.

Construção e interpretação

de tabelas e gráficos de

colunas e setor.

Quantificação das leis.

Reconhecimento de

variáveis dependentes e

independentes.

Interpretação de gráficos

cartesianos.

Construção de gráficos

cartesianos simples.

Reconhecimento do

domínio(analisado no

contexto).

Escrita de expressões

analíticas.

Distinção entre

equações e funções.

Construção e

interpretação de

gráficos convencionais

e não-convencionais.

Caracterização de

relações funcionais.

Notação:

f:AB

Y = f(x)

Domínio, imagem.

Classificação.

Operações com funções.

Figura 1 fonte: Tinoco 2004

61

Figura 2 Fonte: Tinoco 2004

VERBAL

ANALÍTICAA

GRÁFICA

TIPOS DE REPRESENTAÇÕES DAS FUNÇÕES

62

BIBLIOGRAFIA

Paulo: ÁVILA, Geraldo. Funções e gráficos num problema de freagem. Revista do Professor de Matemática - Sociedade Brasileira de Matemática, São Paulo, n. 12, p. 18-23, 1° sem. 1988.

BICUDO, Maria Aparecida Viggiani; BORBA, Marcelo de Carvalho(Org.). Educação Matemática: pesquisa em movimento. 2ª Ed. São Paulo: Cortez, 2005.

BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Lei n° 9394/96. Brasília: MEC, 1999.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio. Área Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, 2000.

CABRAL, Fernando; LAGO, Alexandre. Física. v.1. São Paulo: Harbra, 2002.

CAMPOS, Celso Ribeiro. O ensino da Matemática e da Física numa perspectiva integracionista. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo: São Paulo, 2000.

CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Sá da Costa, 1958.

CHAVES, M. I. A.; CARVALHO, H. C. Formalização do conceito de funções no Ensino Médio: uma seqüência de ensino-aprendizagem. VIII Encontro Nacional de Educação Matemática. Recife, 2004.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria à prática. 8ª Ed. São Paulo: Papirus, 2001.

63

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. V. 1. São Paulo: Ed. Ática, 2000.

MÁXIMO, Antônio; ALVARENGA, Beatriz. Curso de Física. v. 1. São Paulo: Scipione, 2000.

TINOCO. Lucia A. A.(Coord.) Construindo o Conceito de Função. UFRJ – Instituto de Matemática - Projeto Fundão. 5ª edição. Rio de Janeiro, 2004.

TINOCO, L(coord.). Razões e Proporções. UFRJ – Instituto de Matemática - Projeto Fundão – SPEC/PADCT/CAPES. Rio de Janeiro, 2006.

VASCONCELOS, M. J. C. de. SCORDAMAGLIO, M. J.; CÂNDIDO, S. L. Matemática. São Brasil, 2000.

64

ÍNDICE

INTRODUÇÃO 8

CAPÍTULO I

Conceito de Função e sua importância 10

CAPÍTULO II

Problemas freqüentes no processo de

ensino-aprendizagem de Funções 16

CAPÍTULO III

Cinemática como contexto para o estudo

de Funções 23

CAPÍTULO IV

Sugestões para avaliação

CONCLUSÃO 26

ANEXOS 28

BIBLIOGRAFIA 62

ÍNDICE 64

65

FOLHA DE AVALIAÇÃO




CURSO: DOCÊNCIA DO ENSINO SUPERIOR

TEMA: UMA PROPOSTA PARA TRABALHAR FUNÇÕES DE FORMA INTERDISCIPLINAR ATRAVÉS DA CINEMÁTICA

AUTOR: MARCELO DA SILVA FERRAREZ

ORIENTADOR: PROF. CARLOS ALBERTO CEREJA DE

BARROS

CONCEITO:

_____________________________

AVALIADOR:

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