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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA BEATRIZ ALVES DA SILVA DALMOLIN A TRICOTOMIZAÇÃO ENTRE ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA NOS ERROS APRESENTADOS POR ESTUDANTES DA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL I Tubarão 2015
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
BEATRIZ ALVES DA SILVA DALMOLIN
A TRICOTOMIZAÇÃO ENTRE ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA NOS
ERROS APRESENTADOS POR ESTUDANTES DA DISCIPLINA DE CÁLCULO
DIFERENCIAL INTEGRAL I
Tubarão
2015
BEATRIZ ALVES DA SILVA DALMOLIN
A TRICOTOMIZAÇÃO ENTRE ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA NOS
ERROS APRESENTADOS POR ESTUDANTES DA DISCIPLINA DE CÁLCULO
DIFERENCIAL INTEGRAL I
Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação
em Educação, linha de pesquisa Educação em Ciências
da Universidade do Sul de Santa Catarina, requisito
parcial à obtenção do título de Mestre em Educação.
Orientadora: Profª Drª Josélia Euzébio da Rosa
Tubarão
2015
BEATRIZ ALVES DA SILVA DALMOLIN
A TRICOTOMIZAÇÃO ENTRE ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA NOS
ERROS APRESENTADOS POR ESTUDANTES DA DISCIPLINA DE CÁLCULO
DIFERENCIAL INTEGRAL I
A todos que participaram direta ou
indiretamente durante a realização deste e,
em especial, ao meu esposo Rudinei e à
minha filha Luiza.
AGRADECIMENTOS
O início desta caminhada foi difícil e diversas vezes cheia de conflitos. A sua
realização até o presente momento só foi possível, pois tivemos a contribuição de muitas
pessoas, as quais agradeço de modo especial:
A Deus, por ter me oportunizado conhecer pessoas tão especiais.
À minha orientadora, professora Dr.ª Josélia Euzébio da Rosa, a quem tenho
profunda admiração e respeito pela pessoa incrível que é: profissional competente e amiga.
Agradeço por compartilhar seus conhecimentos, com muita paciência e dedicação, pois a
realização desta só foi possível com sua presença constante. A ela, meu muito obrigada.
Ao professor Dr. Ademir Damazio, por suas contribuições sempre valiosas,
também responsável pela minha determinação em ingressar em um Programa de Pós-
Graduação.
À professora Dr.ª Vanessa Dias Moretti e ao Prof. Dr. Gilvan Luiz Machado
Costa pelo aceite em participar da banca de qualificação e pelas contribuições que virão.
A todos os professores doutores do Mestrado em Educação da Unisul que, durante
a realização das disciplinas geraram discussões e com muito empenho contribuíram para o
desenvolvimento deste trabalho. Agradeço também, a todos os colegas do mestrado.
À coordenadora do curso (Mestrado em Educação), Doutora Maria da Graça
Nóbrega Bollmann.
À secretária Dani, por sua eficiência no desempenho de sua profissão.
Aos integrantes do GPEMAHC (Grupo de Pesquisa em Educação Matemática na
Abordagem Histórico-Cultural) Dr. Ademir, Dr.ª Josélia, Eloir, Sandra, Lucas Sid, Lucas
Lemos, Willian, Osvaldo, Manoel, Day, Val, Ediséia, Cris, Ana e Josiane pelos momentos de
estudos, perguntas e reflexões, e pelos materiais bibliográficos disponibilizados.
À Sandra, Ana, Cris e Cleber pelas leituras com olhar crítico. Obrigada por todas
as contribuições e principalmente pelos momentos de angústias compartilhados. Muito
obrigada pela amizade.
Aos coordenadores da Faculdade em que a pesquisa foi realizada, em especial à
professora da turma e aos estudantes.
A toda a minha família, em especial: meus pais, Nicolau e Mariléia, por todo o
incentivo e educação concedida. A meus irmãos por todo o apoio psicológico. A meus sogros
por todo o incentivo.
A meu esposo Rudinei, grande amor, pelo companheirismo, carinho, e presença
incansável em momentos de tantas angústias e aflições. Cabe um agradecimento especial a
minha filha Luiza, que por mais que ainda não entenda, sempre se mostrou compreensível,
amiga, um grande amor, razão da minha vida.
A todos que direta ou indiretamente estiveram presentes, meu MUITO
OBRIGADA!
RESUMO
O objetivo deste presente estudo é investigar a natureza dos erros apresentados pelos
estudantes da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, em dois cursos de Engenharia. A
análise dos dados fundamenta-se nos princípios da Teoria Histórico-Cultural, com foco para
obra de Davýdov, cuja matriz epistemológica encontra-se no Materialismo Histórico
Dialético, considerado como método de estudo. Desenvolvemos as seguintes ações: Estudo
dos pressupostos da teoria Histórico-Cultural para o ensino de Matemática; Levantamento dos
erros apresentados pelos estudantes na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I;
Categorização e análise dos erros encontrados com base nos fundamentos da Teoria
Histórico-Cultural; O contexto de coleta de dados foi uma Faculdade da rede particular
localizada no sul do Estado de Santa Catarina. A investigação foi realizada em uma turma de
Cálculo Diferencial e Integral I com sete estudantes de dois cursos de Engenharia. Estes
foram acompanhados individualmente pela pesquisadora. Durante a coleta de dados, foram
realizados registros escritos, fotografias e gravações de áudio das conversas dos estudantes
com a professora ou com a própria pesquisadora e os erros cometidos foram fotografados. A
organização dos dados foi realizada a partir da seguinte unidade de análise: Tricotomia entre
Aritmética, Geometria e Álgebra. Durante a análise de dados, apresentamos as contribuições
da Teoria Histórico-Cultural com vistas à compreensão dos erros detectados. Concluímos que
a natureza dos erros detectados revela essa tricotomia das áreas mencionadas. Vislumbramos,
como possibilidade de superação, a proposição davydoviana que prevê a interconexão dessas
significações matemáticas desde o primeiro ano escolar, a partir do estudo das grandezas.
Palavras-Chave: Tricotomia entre aritmética, geometria e álgebra; erros; Cálculo Diferencial e
Integral I; Teoria Histórico-Cultural.
ABSTRACT
The objective of this present study is to analyze the nature of the errors made by students of
the discipline of Differential and Integral Calculus I, in two engineering courses. Data
analysis is based on the principles of historical-cultural theory, with focus to the work of
Davýdov, whose epistemology is in Dialectical Materialism History, considered as a study
method. We developed the following actions: Study of the assumptions of historical-cultural
theory to the teaching of mathematics; Analysis of errors presented by the students in the
discipline of Differential and Integral Calculus I; Categorization and analysis of the nature of
the errors found on the grounds of the Historic-Cultural Theory; Reflection on content and
teaching methods that make it possible to overcome the errors detected. The methodology
used in this research is a qualitative approach, the study type of case, which had as data
collection context a private college network in southern state of Santa Catarina. The research
was carried out in a class of Differential and Integral Calculus I students in two engineering
courses. The research collaborators are seven students, who were followed individually by the
researcher. During data collection, written records, photographs and audio recordings of
conversations of the students with the teacher or with the researcher were made and the
mistakes were photographed. The organization of data was performed using the following
analysis unit: Trichotomy between arithmetic, geometry and algebra. After data analysis, we
present the contributions of historical-cultural theory with a view to understanding the errors
detected. At this stage of research, we concluded that the nature of the errors made by
students of the discipline of Differential and Integral Calculus I is related to the trichotomy of
the mentioned areas. We see as a possibility for overcoming the Davýdov proposal which
provides for an interconnection of such mathematical meanings, from the first school year,
with the study of quantities.
Keywords: Trichotomy of arithmetic, geometry and algebra; Errors; Differential and Integral
Calculus I; Theory Historical-Cultural.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Ilustração 01 – Resolução E2 da operação 1.000 x 0,9 =___ ................................................... 54
Ilustração 02 – Resolução de E4 para: D = 2 x π x 385.000 ..................................................... 57
Ilustração 03 – Resolução E2 exercício de divisão 90 ÷ 81 ...................................................... 57
Ilustração 04 – Resolução de E7 referente à divisão de 8.100 por 1.000 ................................. 59
Ilustração 05 – Resolução de E6 referente à multiplicação: 16 x 36 ......................................... 60
Ilustração 06– Resolução E7 referente a uma equação envolvendo fração ............................... 61
Ilustração 07 – Resolução com predomínio das significações aritméticas ............................... 62
Ilustração 08 - Resolução correta fundamentada na aritmética, geometria e álgebra ............. 63
Ilustração 09 – Resolução E1 exercício de função: limites das significações geométricas ...... 67
Ilustração 10 – Resolução de E5 exercício envolvendo função ................................................ 69
Ilustração 11 – Resolução E3 exercício de função .................................................................... 70
Ilustração 12 – Resolução E2 exercício de função .................................................................... 71
Ilustração 13 – Resolução E5 exercício de função .................................................................... 72
Ilustração 14 – Exercício de função ......................................................................................... 74
Ilustração 15 - Exercício de função .......................................................................................... 76
Ilustração 16 - Exercício função ............................................................................................... 81
Ilustração 17 – Resolução apresentada por E1 referente ao exercício de função ...................... 81
Ilustração 18 – Exercício de função ......................................................................................... 83
Ilustração 19 – Resolução E6 exercício de função .................................................................... 83
Ilustração 20 – Resolução E1 exercício de função .................................................................... 85
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 – Índice de reprovação na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I de quatro
cursos de engenharia nos anos de 2012 e 2013. ....................................................................... 12
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 10
1 MÉTODO DE INVESTIGAÇÃO ................................................................................... 18
2 CONTEXTO DE COLETA DOS DADOS ..................................................................... 31
2.1 OS PRIMEIROS CONTATOS ........................................................................................ 32
2.2 OS ESTUDANTES QUE PARTICIPARAM DA PESQUISA ....................................... 33
2.2.1 Estudante E1 – 24 anos de idade ................................................................................ 33
2.2.2 Estudante E2 – 19 anos de idade ................................................................................ 34
2.2.3 Estudante E3 – 24 anos de idade ................................................................................ 35
2.2.4 Estudante E4 – 19 anos de idade ................................................................................ 35
2.2.5 Estudante E5 – 18 anos de idade ................................................................................ 36
2.2.6 Estudante E6 – 25 anos de idade ................................................................................ 37
2.2.7 Estudante E7 – 47 anos de idade ................................................................................ 37
3 O ERRO DE MATEMÁTICA NA LITERATURA BRASILEIRA ............................ 39
3.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O ERRO ........................................................................... 39
3.2 ALGUMAS PESQUISAS BRASILEIRAS SOBRE ANÁLISE DE ERROS ................ 43
4 A NATUREZA DOS ERROS APRESENTADOS PELOS ESTUDANTES ............... 50
4.1.1 Erros de Aritmética ..................................................................................................... 50
4.1.2 Erros de Geometria ..................................................................................................... 64
4.1.3 Erros de Álgebra ......................................................................................................... 78
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................... 91
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 94
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INTRODUÇÃO
No momento em que iniciei1 a graduação na Licenciatura em Matemática, já
estava há algum tempo fora da sala de aula, enquanto estudante. Nesse período, verifiquei o
quanto meus colegas, que haviam recém-concluído o Ensino Médio, tinham dificuldades com
os conceitos considerados básicos de Matemática. Isso me inquietava, e iniciava aqui um
caminho a ser trilhado. Ao ingressar a docência na Educação Básica, pude constatar como se
encontrava a educação, mais especificamente a educação Matemática escolar.
Durante a graduação, conheci a Teoria Histórico-Cultural e vislumbrava nesta a
possibilidade de refletir sobre a realidade detectada na docência. Mas para isso, precisaria
aprofundar seus fundamentos. Para tanto, resolvi cursar uma especialização, o que não se
mostrou suficiente. Nesse período, iniciei a docência no Ensino Superior e percebi o quanto
havia piorado a compreensão dos estudantes em relação aos conceitos básicos de Matemática,
afinal, eram muitos erros cometidos. Na busca por possibilidades que poderiam me auxiliar,
vislumbrei o mestrado.
Desse modo, foram as experiências por mim vivenciadas na prática docente que
me levaram ao mestrado e, consequentemente, desenvolver a presente pesquisa sobre os erros
apresentados pelos estudantes na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I de dois cursos
de engenharia de uma faculdade localizada no sul do Estado de Santa Catarina.
Enquanto professora de Matemática na Educação Básica e de Cálculo no Ensino
Superior, tenho acompanhado as opiniões negativas de inúmeros professores e estudantes a
respeito dos conteúdos matemáticos, além do número consideravelmente elevado de
reprovação.
Em sua tese de doutorado, Barufi (1999) pesquisou sobre a construção/negociação
de significados no curso universitário inicial de Cálculo Diferencial e Integral. Na época, a
autora em referência já chamava atenção para o alto índice de reprovação nas disciplinas de
Cálculo Diferencial e Integral. Os estudantes da Escola Politécnica da USP podem
exemplificar essa situação. As reprovações, no período de 1990 a 1995 variavam entre 20% e
1 Dada a natureza do texto, neste início utilizaremos a primeira pessoa do singular e na sequência a primeira
pessoa do plural.
11
75%. E no universo dos estudantes do Instituto de Matemática e Estatística o menor índice
não é inferior a 45%, isto é, não se aprovava mais que 55% dos matriculados em uma
disciplina de Cálculo. A autora considerou os livros didáticos como sua principal fonte de
dados por se tratar de um instrumento de trabalho do professor. Após análise, constatou que as
dificuldades não estão relacionadas à falta de bons livros. Porém, ressalta a importância de se
repensar o papel do professor no processo de ensino e aprendizagem e a adoção do
computador como um instrumento facilitador, possibilitando múltiplas relações.
Rezende (2003) pesquisou em sua tese de doutorado as dificuldades de natureza
epistemológica dos estudantes de Cálculo I. Nessa pesquisa, apresentou alguns dados de
reprovação da Universidade Federal Fluminense, mais agravantes do que os revelados por
Barufi (1999) na USP. Segundo Rezende (2003), o índice de reprovação se encontrava na
faixa de 45% a 95%, sendo que, para o Curso de Matemática, este não é inferior a 65%. O
autor ressalta que a falta de conceitos considerados essenciais para o Cálculo advém da
educação básica e da própria evolução histórica da matemática, por tratar-se de obstáculos
epistemológicos.
Atualmente, o problema persiste, como revela a pesquisa de Rocha (2010). Rocha
(2010) desenvolveu, com estudantes de Cálculo I, atividades computacionais. Em sua
pesquisa, os índices de reprovação variaram entre 40% e 50% e alcançam 85% no curso de
Engenharia de Minas. Rocha acompanhou uma turma de Cálculo Diferencial e Integral I.
Durante um semestre, desenvolveu atividades computacionais referente ao conteúdo de
Cálculo I a partir do software GeoGebra. Seu intuito era desenvolver nos estudantes uma
compreensão mais profunda dos conceitos. O autor detectou que o ambiente de informática
contribui para que os estudantes se tornem mais exploradores e participativos nas aulas, o que
auxilia na compreensão de aspectos conceituais.
Essa realidade de reprovações não é diferente na faculdade em que a presente
pesquisa foi desenvolvida. Os índices de reprovação também são altos na disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral I, nos cursos em que são oferecidas (Engenharias) conforme o
gráfico2 a seguir (1):
2 Para obtenção de tais dados, foi necessária uma autorização prévia da instituição. O gráfico foi elaborado a
partir do acesso ao sistema de gestão da própria faculdade no qual consta o percentual de aprovação e
reprovação (Gráfico 1).
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Gráfico 1 – Índice de reprovação na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
de quatro cursos de engenharia nos anos de 2012 e 2013.
Fonte: Faculdade pesquisada, 2014.
O levantamento das informações apresentadas no gráfico 1 foi realizado no ano
de 2014. Os dados são referentes à reprovação em quatro cursos de Engenharia nos quatro
semestres dos anos 2012 e 2013. A fim de preservar a identidade, os cursos foram
denominados, aleatoriamente, por: Engenharia 1, Engenharia 2, Engenharia 3 e Engenharia 4.
Tal conduta se fez necessária em função da política de privacidade da instituição pesquisada.
A análise do gráfico 1 nos possibilita constatar que: na Engenharia I, o maior
índice de reprovação é de 81,08% e o menor é de 24,73%. Nesse mesmo curso, há uma
grande variação entre os índices e a média é de 47,98%. Na Engenharia 2, o percentual fica
entre 77,78% e 45,33%, cuja média para os quatro semestres é 63,13%. No curso de
Engenharia 3, os dados variam entre 69,66% e 46,34%, com média de 61,65%. Por fim, na
Engenharia 4, os indicadores não mudam muito em relação aos demais cursos, pois o índice
de reprovação fica entre 60,42% e 48,89%, com média de 53,88%3.
Assim, nos anos de 2012 e 2013, a média de reprovação, nos quatro cursos de
Engenharia juntos, resultou em 56,66%. Portanto, menos de 50% dos estudantes matriculados
nesses cursos foram aprovados.
3 Não tivemos acesso às razões que geraram tais discrepâncias em semestre letivo e outro ou entre uma
engenharia e outra.
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Os índices de reprovação, anteriormente apresentados, não ocorrem apenas com
os universitários brasileiros, mas também na realidade mundial. Essa situação também é
investigada por pesquisadores internacionais. David Tall (1976) é um dos principais
articuladores da área de pesquisa “pensamento matemático avançado”, cujas questões giram
em torno das dificuldades de aprendizagens dos conceitos básicos de Cálculo, tendo a
psicologia cognitiva como base para as suas análises epistemológicas.
Outro exemplo internacional foi o movimento em prol da reforma do ensino de
Cálculo, iniciado na década de 1980, liderado por Peter Lax. Nascido em Budapeste
(Hungria) em 1926, seus trabalhos foram tanto em Matemática aplicada como em Matemática
pura. Seu principal trabalho ficou conhecido por “Calculus Reform” (Reforma do Cálculo).
Esse movimento teve como principal atributo o uso de tecnologia, visto por meio de software
computacional e de calculadoras gráficas, usadas para o aprendizado de conceitos, teoremas e
também para a resolução de problemas, que devem ser apresentados numérica, geométrica e
analiticamente.
Nasser (2007) cita algumas pesquisas realizadas em âmbito internacional que
possuem como objeto de estudo as dificuldades apresentadas pelos estudantes nas disciplinas
de Cálculo:
As pesquisas relacionadas ao fracasso em Cálculo focam principalmente nas
dificuldades da compreensão das noções de função (Vinner, 1983), limite e derivada
(Giraldo, 2002; Tall, 1991; Leme e Igliori, 2003), no domínio do Teorema
Fundamental do Cálculo (Vianna, 1998), ou na forma como os alunos estudam
(Frota, 2000).
Os fatores que provocam dificuldades de aprendizagem também foram objeto de
pesquisas da escola francesa. Bachelard, por exemplo, apontou os obstáculos
didáticos (Brousseau, 1983; Artigue, 1989), que podem ser de origem ontogênica, de
natureza didática e de ordem epistemológica (Igliori, 2002) (NASSER, 2007, p. 2).
Um dos trabalhos mais recentes foi desenvolvido por David Tall e Mikhail Katz.
Nessa pesquisa, os autores concentram a análise no:
[...] desenvolvimento do pensamento matemático da percepção e da ação humana
em formas mais sofisticadas de raciocínio e prova, oferecendo diferentes percepções
daquelas oferecidas por análises históricas ou matemáticas. Ela revela o poder
conceitual da visão de Cauchy e da mudança fundamental envolvido na passagem da
variabilidade dinâmica do cálculo para a formulação da teoria conjunto moderno de
análise matemática (TALL E KATZ, 2014, p. 1).
14
A reflexão dos referidos autores, é que Cauchy “incentiva a refletir sobre os
princípios que usamos para analisar o desenvolvimento do raciocínio matemático dos alunos,
e fazer um esforço para entender a lógica de diferentes pontos de vista teóricos” (TALL E
KATZ, 2014, p. 1).
Diante da realidade anteriormente exposta, delimitei, o objeto de investigação: Os
erros de Matemática apresentados pelos estudantes durante a disciplina de Cálculo Diferencial
e Integral I de dois cursos de Engenharia.
Ao analisar a natureza dos erros cometidos pelos estudantes, apresentamos
algumas reflexões com vistas à superação destes, com base na Teoria Histórico-Cultural, com
foco para obra de V.V. Davýdov.
A finalidade da pesquisa é contribuir com o processo de ensino e aprendizagem da
Matemática com vistas à aprendizagem dos conceitos científicos e o desenvolvimento do
pensamento teórico. Partimos da hipótese de que os erros apresentados pelos estudantes na
disciplina de Cálculo Diferencial Integral I revelam a tricotomia entre aritmética, álgebra e
geometria.
Gomes (2013) diz que, historicamente, essas três eram disciplinas distintas, desde o
descobrimento, quando o primeiro grupo de jesuítas chegou ao Brasil em 1549, pois os:
[...] conhecimentos matemáticos, contemplava-se o ensino da escrita dos números no
sistema de numeração decimal e o estudo das operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão de números naturais. [...] Havia pouco espaço para os
conhecimentos matemáticos e grande destaque para o aprendizado do latim. [...] Em
1772, um alvará do marquês de Pombal criou as “aulas régias”, nas quais
isoladamente se ensinaram primeiramente a gramática, o latim, o grego, a filosofia e
a retórica, e, posteriormente, as disciplinas matemáticas: aritmética, álgebra e
geometria. Eram aulas avulsas, e, em relação aos conhecimentos matemáticos, há
indícios de que havia poucos alunos e, também, que era difícil conseguir professores
(GOMES, 2013, pp. 14-15).
No início do século XX, a congregação do Colégio Pedro II, liderada por Euclides
Roxo (1890-1950), então Diretor do Externato (Colégio Pedro II, cargo que ocupou de 1925 a
1930), sugeriu para Conselho Nacional de Ensino uma transformação do ensino secundário,
que foi homologada em 26 de julho de 1928, e legitimada pelo Decreto nº 18.564, de 15 de
janeiro de 1929. Tal sugestão tendia a um movimento maior cuja intenção era uma reforma da
educação Matemática nos cursos secundários. A reforma era a criação de uma única disciplina
15
chamada Matemática, que incorporaria a aritmética, geometria e álgebra, que até o momento
eram separadas em três disciplinas (DASSIE E ROCHA, 2003).
Até a promulgação do referido decreto, faziam parte do currículo do ensino
secundário a aritmética, a álgebra e a geometria (onde era incluída a trigonometria),
ou seja, não existia uma disciplina intitulada “matemática”, pois o seu ensino era
realizado de forma fragmentada, por meio de seus diferentes ramos. Sem dúvida, de
todas as mudanças realizadas na seriação do Colégio Pedro II, a que implicou
transformações mais profundas foi essa fusão empreendida nas disciplinas
generalizadas com a denominação “matemáticas” (DASSIE E ROCHA, 2003, pp.
65-66).
O objetivo da reforma é que a Matemática, como disciplina única, não seria mais
focada apenas no desenvolvimento do raciocínio, como era vista até o momento, mas
contemplaria também a aplicação, despertando no estudante a capacidade de entender o
mundo e assim poderia aplicar seus conhecimentos em diversas situações da vida prática,
podendo, obter uma interpretação exata e profunda do mundo objetivo (BICUDO, 1942, p.
156).
A implementação dessa reforma foi efetuada gradualmente, planejada por
Euclides Roxo:
Na cadeira de Matemática fez-se uma completa renovação, de acordo com as atuais
diretivas pedagógicas dominantes, quanto a essa disciplina, em quase todos os países
civilizados. Adotados somente para o 1º ano em 1929, será a nova orientação
estendida, em 1930, ao 2º ano e, assim sucessivamente, a todos os anos do curso.
Em conseqüência dessa reforma, deverão os alunos, ao invés de um exame final de
Aritmética, outro de Álgebra e um terceiro de Geometria, fazer, no 4º ano, um
exame final único de Matemática, sendo os do 1º, 2º e 3º de simples promoção
(ROXO, 1929, p. 2).
As mudanças aqui ocorridas tinham por base a experiência já realizada em outros
países, como, Alemanha, França, Inglaterra e Estados Unidos. Essas transformações eram
uma tentativa de adaptar o ensino de Matemática ao desenvolvimento industrial que vinha
acontecendo em todo o mundo, no final do século XIX. Aqui no Brasil, inicialmente foi
implantada apenas no Colégio Pedro II e após a Reforma Francisco Campos (1931), essas
mudanças foram implementas no âmbito nacional.
Porém, quase um século depois, detectamos nos dados da presente investigação,
resquícios da tricotomização entre aritmética, geometria e álgebra subjacente aos erros
cometidos pelos estudantes. Portanto, uma investigação sobre a natureza destes, por meio da
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análise dos dados obtidos e do diálogo com os estudantes sobre o raciocínio que os levaram a
cometê-los, pode contribuir para repensarmos o ensino da Matemática no Ensino
Fundamental, Médio e Superior.
De acordo com Khidir (2006, p. 15):
[...] os alunos que estão concluindo os anos iniciais do Ensino Fundamental,
possuem dificuldades pontuais e elementares com relação ao desempenho em
Matemática e a consequência disto é que estão ingressando nos anos finais de
mesmo nível de ensino com carências de conceitos fundamentais para o
desenvolvimento cognitivo nesta disciplina.
No decorrer dos anos de escolarização, os estudantes têm acumulado fragilidades
na aprendizagem dos conteúdos, considerados básicos para o desenvolvimento do pensamento
matemático. E as consequências dessas carências se agigantam no ensino superior o que pode
gerar os índices de reprovação anteriormente apresentados. Dentre as dificuldades detectadas
por Khidir (2006), a pior delas, está relacionada à aquisição das habilidades cognitivas e dos
conceitos necessários à passagem de uma fase de ensino à outra. Quando um estudante passa
para fases seguintes de escolarização sem a apropriação dos conceitos básicos, a
aprendizagem fica cada vez mais complexa, uma vez que implica na dificuldade de
compreensão dos outros conteúdos a serem aprendidos.
Perante esse quadro, questionamo-nos: O que há de específico nesse
conhecimento que o torna quase incompreensível aos estudantes? O que acontece no processo
de ensino da Matemática que alguns estudantes chegam à graduação com dificuldades
inclusive sobre as operações básicas? Será que os conceitos matemáticos atualmente
abordados no Ensino Fundamental são suficientes? Ou, o problema reside no método de
ensino adotado no Ensino Superior, que não dá conta da apropriação do conhecimento por
parte dos estudantes? Como se dá o processo de apropriação do conhecimento matemático no
Ensino Fundamental, Médio e Superior? Quais as aproximações e distanciamentos entre esses
níveis de escolarização no que tange aos conhecimentos matemáticos?
Diante desses nossos questionamentos referentes ao ensino de Matemática, surge
a necessidade de delimitação da pergunta diretriz. Para tanto, elaboramos o seguinte problema
de pesquisa: Qual a natureza dos erros apresentados pelos estudantes durante a realização da
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, em dois cursos de Engenharia?
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Para isso, propomos o seguinte objetivo na pesquisa: Identificar e analisar os erros
apresentados pelos estudantes da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I em dois cursos
de Engenharia. A fim de alcançar o objetivo proposto elencamos as seguintes ações:
Estudo dos pressupostos da teoria Histórico-Cultural para o ensino de
Matemática;
Levantamento dos erros apresentados pelos estudantes na disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral I;
Categorização, análise e reflexão da natureza dos erros encontrados com base
nos fundamentos da Teoria Histórico-Cultural;
Após a coleta dos dados, procedemos à análise. Durante esse processo, revelamos
a seguinte unidade: Tricotomização entre aritmética, geometria e álgebra.
A base do referencial teórico para esta análise foi a Teoria Histórico-Cultural. A
referida teoria se fundamenta nos princípios do Materialismo Histórico e Dialético, que
constitui o método de investigação do estudo apresentado no capítulo I.
No capítulo dois, apresentamos o contexto em que se realizou a coleta dados.
Traremos como a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I é trabalhada em específico
nessa Faculdade, assim como carga horária e estudantes matriculados nessa disciplina.
Mostraremos também como foram os primeiros contatos da pesquisadora com esses
estudantes e professora titular da disciplina. Por fim, como decorreu a coleta de dados e como
cada um dos estudantes pesquisados reagiu diante da pesquisadora, trazendo um pouco do
contexto social, escolar de cada estudante pesquisado.
No terceiro, abordamos algumas considerações sobre o que é o erro para alguns
autores. Quando que deve-se considerar que um erro do estudante pode auxiliar na
aprendizagem ou não. Trazendo também pesquisas sobre erros de estudantes brasileiros
relacionadas com a Educação Básica e Ensino Superior, referentes à Matemática.
No quarto procedemos a análise dos dados, não apenas descrevendo o erro mas
sim explicando e fazendo uma reflexão teórica fundamenta na Teoria Histórico Cultural. Para
finalizar, tecemos algumas considerações.
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1 MÉTODO DE INVESTIGAÇÃO
No decorrer do presente capítulo, discorremos sobre os princípios provenientes do
método de investigação adotado, o Materialismo Histórico Dialético. Inicialmente trataremos
do movimento investigativo ancorado em Marx, Engels entre outros, assim como a unidade de
análise. Na sequência, anunciamos os pressupostos que sustentam as reflexões teóricas
realizadas no decorrer da análise dos dados, a partir de Lev Semenovich Vigotski e
Vasilievich Davýdov.
Segundo Moraes (2012), o Materialismo Histórico e Dialético é o método mais
adequado para realização de pesquisas comprometidas com a prática social e com a
transformação da realidade. O Materialismo Histórico e Dialético se origina a partir das ideias
de Marx, a partir do princípio de que “não é a consciência que determina a vida, mas a vida
que determina a consciência” (MARX, ENGELS, 1984, p. 37).
Para Martins (2008), o indivíduo se constrói a partir da sociedade, ou seja, não
existe constituição de homem fora das relações sociais. O modo como as pessoas agem,
pensam e se comportam reflete as relações sociais vinculadas à produção de vida material.
Para Triviños (1987), de acordo com a concepção do marxista, há uma realidade fora da
consciência. Portanto, a realidade existe independentemente de como pensamos ou
conhecemos.
A lógica dialética de Marx tem seus princípios na dialética de Hegel. Marx deu
continuidade ao trabalho feito por Hegel. Entretanto, a dialética de Hegel se fundamentava no
pensamento, ou seja, o movimento se dava no pensamento. Já para Marx, a concepção da
dialética se dá na construção do ser em suas relações materiais. Ou seja, o princípio
constituinte da história para Hegel é o pensamento, para Marx são as relações materiais. Nas
palavras de Martins (2008, p. 33) “Marx tem as relações materiais como princípio constitutivo
e organizativo do ser social, [...] o idealismo, por sua vez, inverte essa assertiva”.
Para o Materialismo Histórico o homem é um ser social, que se determina na
história, por meio das relações sociais. Nas palavras de Marx, podemos afirmar que:
19
[...] na produção social da própria vida, os homens contraem relações determinadas,
necessárias e independentes de sua vontade, relações de produção estas que
correspondem a uma etapa determinada de desenvolvimento das suas forças
produtivas materiais. A totalidade destas relações de produção forma a estrutura
econômica da sociedade, a base real sobre a qual se levanta uma superestrutura
jurídica e política, e à qual correspondem formas sociais determinadas de
consciência. O modo de produção da vida material condiciona o processo em geral
da vida social, político e espiritual. Não é a consciência dos homens que determina
seu ser, mas, ao contrário, é o seu ser social que determina sua consciência (MARX,
1991, p. 29).
Portanto, na concepção de Marx, não é possível aceitar a ciência com uma visão
neutra da realidade. Assim, para os precursores do Materialismo, Marx e Engels, a relação
homem-mundo era vista de modo que o mundo possui a capacidade de restringir o homem,
mas, de modo simultâneo, o aponta diversas possibilidades para a ação humana (MARTINS,
2008).
A realidade, o concreto, torna-se um elemento abstraído pela consciência e esta,
por sua vez, inserida na realidade prática, pensa-o como um concreto situado em um ambiente
de múltiplas relações sócio-históricas. Portanto, deve-se entender a consciência, o pensamento
como um permanente processo de movimento, no surgimento das contradições e sua solução
(MARTINS, 2008).
Nesse sentido, em pesquisa que se pauta no Materialismo Histórico e Dialético, há
que se considerar a concepção marxista da realidade:
O pesquisador que segue uma linha teórica baseada no materialismo dialético deve
ter presente em seu estudo uma concepção dialética da realidade natural e social e do
pensamento, a materialidade dos fenômenos e que estes são possíveis de conhecer.
Estes princípios básicos do marxismo devem ser completados com a idéia de que
existe uma realidade objetiva fora da consciência e que esta consciência é um
produto resultado da evolução do material, o que significa que para o marxismo a
matéria é o princípio primeiro e a consciência é o aspecto secundário, o derivado
(TRIVIÑOS, 1987, p. 73).
Ainda para Triviños (1987), o conhecimento do objeto, na perspectiva materialista
dialética, pode ser esboçado a partir da contemplação viva do fenômeno. Para a análise do
fenômeno, o autor em referência sugere a elaboração e aplicação de diferentes tipos de
instrumentos para reunir informações como questionários, entrevistas, observações, etc.
Assim, pautamo-nos em uma concepção materialista da história, a qual parte do
princípio de que o homem é um ser social determinado pelas relações vividas por ele. E,
20
portanto, só é possível a mudança da realidade por meio da prática sócio-histórica,
fundamentada na teoria.
É característica do marxismo ressaltar as transformações da realidade ao observá-la
ao longo dos tempos. Fixando o olhar em todo esse processo, percebe-se que as
alterações sofridas pelo mundo em cada nova etapa histórica são decorrências da
luta que os agrupamentos humanos travaram pela manutenção da vida (MARTINS,
2008, p. 25).
Na luta pela sua sobrevivência, o homem defronta-se com a natureza, e a
transforma, por meio do trabalho, com o objetivo de garantir as condições necessárias para
isso. Desse modo, o mundo natural e social é produto da atuação do homem e não de um ser
transcendental. A capacidade humana de modificar a natureza pelo trabalho é o que distingue
o homem dos demais seres (MARTINS, 2008). Assim “nessa perspectiva, o trabalho é aquilo
que fundamentalmente humaniza e possibilita o desenvolvimento da cultura” (Moretti,
Asbahr, & Rigon, 2011, p. 478).
Nessa direção, no estudo do objeto, é necessário considerá-lo em seu movimento
de transformação, visto que a realidade está em constante mudança. Inclusive, como nos
ensina Engels (1979, p. 51): “O movimento é o modo de existência da matéria.”
Historicamente, com o desenvolvimento da ciência:
[...] tudo aquilo que se considerava rígido, se havia tornado flexível; tudo quanto era
fixo, foi posto em movimento; tudo quanto era tido por eterno, tornou-se transitório;
ficava comprovado que toda a Natureza se movia num eterno fluxo e permanente
circulação (ENGELS, 1976, p. 23).
Tanto Marx quanto Engels partem dessa constante transformação, das
inumeráveis mudanças que ocorrem a todo o momento na realidade, para explicar a dialética.
Dessa forma, voltava-se às concepções dos grandes fundadores da filosofia grega:
em tôda a Natureza, desde o menor ao maior, do grão de areia aos sóis, dos protistas
ao homem, há um eterno vir a ser e desaparecer, numa corrente incessante, num
incansável movimento e transformação. Tudo isso, apenas com uma diferença
essencial: tudo quanto, entre os gregos, era uma intuição genial, tornou-se agora para
nós o resultado de uma investigação severamente científica, ligada à experiência e,
por conseguinte, o conhecimento se apresenta sob uma forma muito precisa e clara
(ENGELS, 1976, p. 23).
21
Marx e Engels assumem que os princípios do movimento do mundo foram
pesquisados inicialmente por Hegel. A partir da concepção dialética de Hegel é que os autores
do materialismo se fundamentam, mas com ressalvas materialistas ao idealismo.
[...] Hegel que pela primeira vez - e aí está o seu grande mérito - se concebe todo o
mundo da natureza, da história e do espírito como um processo, isto é, em constante
movimento, mudança, transformação e desenvolvimento, tentando, além disso,
ressaltar a íntima conexão que preside a esse processo de movimento e
desenvolvimento. Contemplada deste ponto de vista, a história da humanidade já não
parecia como um caos inóspito de violências absurdas, todas igualmente
condenáveis diante do foro da razão filosófica hoje já madura, e boas para serem
esquecidas quanto antes, mas como o processo de desenvolvimento da própria
humanidade, que cabia agora ao pensamento acompanhar nas etapas graduais e
através de todos os desvios, e demonstrar a existência de leis internas que orientam
tudo aquilo que à primeira vista poderia parecer obra do acaso cego (ENGELS,
1985, p. 49).
Portanto, para Hegel, que é idealista, o conhecimento é formado pelo pensamento,
já para o materialismo dialético, a prática é que propicia o pensamento pelo conhecer. Ao se
discutir a dialética como um processo de conhecimento, não se deve dispensar as
considerações que Kosik nos traz:
A dialética da totalidade concreta não é um método que pretenda ingenuamente
conhecer todos os aspectos da realidade, sem exceções, e oferecer um quadro “total”
da realidade, na infinidade de seus aspectos e propriedades; é uma teoria da
realidade e do conhecimento que dela se tem como realidade. A totalidade concreta
não é um método para captar e exaurir todos os aspectos, caracteres, propriedades,
relações e processos da realidade; é a teoria da realidade como totalidade concreta.
Se a realidade é entendida como concreticidade, como um todo que possui a sua
própria estrutura (e que, portanto, não é caótico), que se desenvolve (e, portanto, não
é imutável nem dado de uma vez por tôdas, que se vai criando (e que, portanto, não
é um todo perfeito e acabado no seu conjunto e não é imutável apenas em suas
partes isoladas, na maneira de ordená-las), de semelhante concepção da realidade
decorrem certas conclusões metodológicas que se convertem em orientação
heurísticas e princípio epistemológico para estudo, descrição, compreensão,
ilustração e avaliação de certas seções tematizadas da realidade (KOSIK, 1976, p.
36).
Por conseguinte, a dialética não é designada apenas pelo movimento do mundo,
mas também as incessantes modificações do pensamento, ou seja, toda a maneira de pensar e
suas constantes transformações. De acordo com Kosik (1976), a dialética também conceitua a
realidade como uma totalidade que possui interconexões entre suas partes, e não apenas como
um acúmulo de partes isoladas. Logo, ao modificar seus aspectos quantitativos, podem
provocar mudanças qualitativas em sua totalidade. Portanto, para obter o conhecimento do
22
constante movimento de transformação da realidade, é necessário fazer a análise de suas
partes em conexão com o todo, pois, por meio das mudanças dessas partes é que ocorrem as
modificações do todo.
Ancorado nessa concepção, Vigotski (2007), afirma que a concepção da história
humana não está fundamentada somente nas decorrências da natureza sobre o ser humano,
mas que o homem também “[...] age sobre a natureza e cria, através das mudanças nela
provocadas, novas condições naturais para sua existência.” (VIGOTSKI, 2007, p. 62).
Para uma análise dessa constante transformação, a qual deve orientar uma
construção de análise para os elementos pesquisados, o autor propõe que o todo seja analisado
a partir de unidades de análise. Estas são, “[...] um produto da análise que, diferente dos
elementos, possui todas as propriedades que são inerentes ao todo e, concomitantemente, são
partes vivas e indecomponíveis dessa unidade” (VIGOTSKI, 2009, p. 8).
Para o processo de análise, adotamos os três princípios apresentados por Vigotski
(2007): 1) Análise de processos e não de objetos; 2) Explicação e não apenas a descrição; 3)
Revelação do problema do comportamento fossilizado.
1) Análise de processos e não de objetos: Vigotski (2007) esclarece que a
análise de processo norteia a investigação de um objeto ou fenômeno que se encontra em
constante movimento. Para tanto, reconstroem-se as etapas do processo desde sua gênese até o
presente a fim de se atingir a totalidade da realidade investigada. Nesse sentido, para a análise
dos erros dos estudantes, não é suficiente apenas obter as avaliações por eles realizadas, mas
acompanhá-los durante a realização dos exercícios, exposição das dúvidas e a respectiva
solicitação de explicações a professora.
2) explicação e não apenas a descrição: O autor em referência nos alerta que “a
mera descrição não revela as relações dinâmico-causais reais subjacentes ao fenômeno”
(VIGOTSKI, 2007, p. 45). A descrição se restringe aos aspectos externos, ou seja, limita-se à
aparência do fenômeno. Já a explicação é caracterizada pela análise da essência e não na sua
aparência externa. Desse modo, em vez de apenas descrever os erros, buscamos revelar sua
natureza, por meio de entrevistas e conversas realizadas durante a resolução dos exercícios.
3) Revelação problema do comportamento fossilizado: Vigotski (2007) nos informa
sobre os processos mecanizados que tornam-se fossilizados ao perderem sua aparência
original. Assim, as características externas já não dão subsídios que possibilitam a revelação
da natureza interna, sua essência. Nesse sentido, a análise dos erros por si só, nada diz sobre
23
sua natureza. Fez-se necessário buscar, durante o processo de resolução dos exercícios e por
meio da explicação dos estudantes sobre o raciocínio por eles utilizado, a natureza desses.
A prática social, contexto no qual emergem os erros analisados, é ponto de partida e de
chegada da investigação. Primeiramente, essa prática mostrou-se pelo seu aspecto inicial,
enquanto concreto caótico. Portanto, fez-se necessário todo um processo investigativo para
que revelássemos as abstrações. Esse movimento culminou na redução de todas as
informações que tínhamos em uma unidade de análise: Tricotomização entre aritmética,
geometria e álgebra. Portanto, foi durante a análise do comportamento fossilizado que
revelamos a unidade de análise. A etapa seguinte consistiu na explicação dos erros detectados
a partir da unidade revelada, no movimento de ascensão do abstrato ao concreto pensado.
Isso porque o concreto, de acordo com Marx (2003, p. 248), estabelece-se como
dessa forma, pois é “a síntese de múltiplas determinações, logo, unidade da diversidade”. O
concreto é, “para o pensamento, um processo de síntese, um resultado, e não um ponto de
partida, apesar de ser o verdadeiro ponto de partida e, portanto, igualmente o ponto de partida
da observação imediata e da representação” (MARX, 2003, p. 248).
No processo de síntese, capta-se o concreto como o produto da análise de
determinado fenômeno ou objeto. Portanto, o modo como o pensamento apreende o objeto de
estudo não ocorre imediatamente, mas mediatizado pelo processo de análise e de abstrações
teóricas.
Embora a abstração represente o objeto não sob a forma em que ele existe na
realidade, ela tem por conteúdo aquilo que realmente existe. As abstrações da
produção em geral, da matéria em geral, do átomo em geral refletem o que existe em
cada forma concreta de produção, em cada tipo de matéria, em cada átomo. Não se
pode apreender nenhuma forma de produção, nenhum tipo de matéria, etc. sem a
abstração sobre a produção em geral, a matéria em geral (KOPNIN, 1978, pp. 158-
159).
Para o referido autor, na lógica dialética, o princípio para a abstração não consiste
em separar os indícios sensoriais que são perceptíveis no objeto, mas a partir deles desvelar
outras características no objeto que possibilitam revelar sua essência.
Marx inicia sua análise mostrando que, no terreno da ciência, no caso, da economia
política, ao estudar-se uma determinada realidade, por exemplo, um país, o
procedimento mais correto aparentemente seria começar pelo real, pelo concreto.
Mas Marx mostra que existe aí um equívoco, pois o pensamento não pode se
apropriar do concreto de forma imediata, não pode reproduzi-lo através do contato
24
direto definido pela experiência empírica. O contato direto produz no pensamento
uma “representação caótica do todo”, que não pode ser considerada como efetiva
apropriação da realidade pelo pensamento (VERNEQUE, 2011, p. 5).
Nesse sentido, o concreto consiste na reprodução, pelo pensamento humano, das
relações internas genéticas, essenciais, de um dado objeto no interior de um todo em
desenvolvimento (DAVÝDOV, 1982). No ponto de chegada, o fenômeno passa a ser
compreendido como síntese de múltiplas determinações. A “compreensão de tais
determinações e mediações possibilitará a elaboração e implementação de ações
transformadoras” (PASQUALINI, 2010, p. 25).
É importante ressaltar que os dados de reflexão são aqueles que o pesquisador
coleta na sua relação direta com o fato, durante as observações, entrevistas e experimentos.
Mas, o que designa o processo de formação do conhecimento são as investigações e
generalizações elaboradas pelo pesquisador (ILYENKOV, 2008). A representação inicial, a
manifestação externa, não é capaz de traduzir o todo, torna-se necessário passar para análise
das partes e revelar a essência que as interconecta (DAVÝDOV, 1982).
Na realidade, a psicologia nos ensina a cada instante que, embora dois tipos de
atividades possam ter a mesma manifestação externa, a sua natureza pode diferir
profundamente, seja quanto à sua origem ou à sua essência. Nesses casos são
necessários meios especiais de análise científica para pôr a nu as diferenças internas
escondidas pelas similaridades externas. A tarefa da análise é revelar essas relações.
Nesse sentido, a análise científica real difere radicalmente da análise introspectiva
subjetiva, que pela sua natureza não pode esperar ir além da pura descrição. O tipo
de análise objetiva que defendemos procura mostrar a essência dos fenômenos
psicológicos ao invés de suas características perceptíveis (VIGOTSKI, 2007, p. 46).
A revelação da essência, obscurecida pelas características externas do objeto ou
fenômeno consiste no concreto pensado, no ponto de chegada da investigação. Trata-se do
conhecimento mais profundo, pois reflete as relações internas do objeto estudado na relação
entre universal, particular e singular. Para atingir a concretude de um objeto de estudo, deve-
se revelar o universal, o essencial na universalidade do objeto em estudo e reproduzi-lo em
termos conceituais (PASQUALINI, 2010).
O ser singular se designa como todo o ser determinado. Portanto, é imprescindível
instituir a conexão dialética entre o singular e universal, para assim se chegar ao conceito. O
elemento mediador entre singular e universal é o particular. Para mergulhar na essência de um
25
objeto ou fenômeno é necessário revelar a vinculação dialética entre o universal, o particular e
o singular.
Quanto mais autêntica e profundamente os nexos da realidade, suas leis e
contradições, vierem concebidos – de um modo aproximativamente adequado – sob
a forma da universalidade, tanto mais concreta, dúctil e exatamente poderá ser
compreendido também o singular. A imensa superioridade do marxismo-leninismo
sobre qualquer teoria burguesa se baseia, entre outras coisas não mais importantes,
sobre esta ininterrupta utilização das leis da unidade dialética e do caráter
contraditório na relação de singularidade, particularidade e universalidade. Quem
estuda as grandes análises históricas dos clássicos do marxismo-leninismo, suas
explicações teóricas de etapas decisivas e de reviravoltas históricas, encontrará
sempre a elaboração e a aplicação desta dialética (LUKÁCS, 1978, p. 104).
Para Oliveira (2005), o universal nos expõe o complexo, as ligações internas, as
leis de todo o processo e evolução que compreendem a totalidade histórico-social. A
expressão singular de um objeto, nos mostra somente o que é imediato, considerando este
como o ponto de partida do conhecimento (MARTINS, 2006). Já o particular, por estar entre
o singular e o universal, tem sua função mediadora. “Ou seja, o particular assume qualidades
constitutivas e características pelas quais a singularidade se constitui” (ALVES, 2013, p. 24).
Ocorre, porém, que nenhum fenômeno se expressa apenas em sua singularidade ou
universalidade. Como opostos, se identificam, e a contínua tensão entre eles
(singular - universal) se manifesta na configuração particular do fenômeno. Em sua
particularidade ele assume as especificidades pelas quais a singularidade se constitui
em dada realidade de modo determinado, porém não completo, não universal. Ainda
segundo Luckács, o particular representa para Marx a expressão lógica da categoria
de mediação entre o específico (singular) e o geral (universal), que não podem ser
compreendidos de modo isolado e por si mesmos (MARTINS, 2006, p. 11-12).
Desse modo, na especificidade do nosso objeto de estudo, o universal é algo que
ocorre em todas as universidades, como verificamos nas pesquisas sobre a temática (CURY,
1988; ZANARDI, LIMA, 2008; ROCHA, 2010; PEREIRA FILHO, 2012; GARZELLA,
2013). Os erros por nós detectados não são apresentados apenas pelos estudantes da faculdade
pesquisada, não ocorre apenas no Brasil, mas mundialmente. Porém, como nos alerta Sousa
(2014), o universal não pode ser considerado como um coroamento definitivo de
singularidade, o que justifica a realização da presente pesquisa. Para tanto, a singularidade
investigada, os erros apresentados pelos estudantes não podem ser considerados como a
realidade do sujeito em si e por ela mesma. Portanto, faz-se necessário considerar a existência
de elemento mediador entre o universal e singular.
26
A fim de capturar a essência da realidade investigada em concernência com os
princípios teóricos apresentados, a coleta dos dados foi realizada por meio de gravações de
áudio, fotos, registros escritos e entrevistas.
Durante a análise dos dados, elegemos uma unidade de análise, a tricotomização
entre aritmética, geometria e álgebra. Amparados no modo de organização do ensino proposto
por Davýdov e colaboradores, a partir dos fundamentos da Teoria Histórico-Cultural,
apontamos alguns elementos que indicam possibilidades de superação dos limites detectados
na investigação.
Um dos precursores da Teoria Histórico-Cultural foi L. S. Vigotski (1896-1934).
Esse renomado cientista iniciou seus estudos no início do século XX, mais precisamente em
1917, coincidindo com a revolução russa. Existia, na realidade da revolução, a necessidade de
redefinição de uma nova concepção de educação para uma nova sociedade, a socialista. Para
tanto, Vigotski seguiu as ideias iniciais de Marx e Engels sobre o Materialismo Histórico e
Dialético. Posteriormente, Luria, Leontiev, Rubinstein, Galperin, Elkonin, Davýdov, entre
muitos outros, deram continuidade a seus estudos.
Vigotski centrou suas reflexões sobre a origem e desenvolvimento do psiquismo
humano. Buscou em Marx e Engels a explicação para constituição de homem a partir do
Materialismo Histórico e Dialético, em que a essência humana não é uma abstração, mas é
constituída por um conjunto das relações sociais (VIGOTSKI, 2007).
A Psicologia histórico-cultural toma como seu objeto a atividade humana no
desenvolvimento do psiquismo, cujo conceito foi introduzido por Vigotski e,
posteriormente, analisado e desenvolvido por outros psicólogos soviéticos, entre os
quais, Rubinstein e Leontiev (DAVÍDOV, 1988). A atividade, entretanto, não se
refere, como em geral é entendida, a uma mera ação de um sujeito que responde às
influências de seu meio de forma imediata (SOUSA, 2014, p. 69).
Para Vigotski, o convívio em sociedade e a comunicação entre as pessoas é o que
impulsiona o desenvolvimento humano. É pelo trabalho que o homem modifica não apenas a
natureza, mas também a sua consciência e seu comportamento, distinguindo-se, assim, de
outros seres e se instituindo como humano.
Nesse contexto, o que origina a consciência e o pensamento abstrato é a vivência
do ser a partir de suas condições da vida em sociedade. A comunicação entre as pessoas é
27
classificada por Vigotski (2007) de atividade externa, ocorre no plano interpessoal e mais
adiante se internaliza no processo de internalização a linguagem que é o elemento mediador.
Mas o processo que determina a história e a cultura de um ser humano, não deve
ser entendido de maneira que o ser humano apenas toma para si determinados
comportamentos para em seguida reproduzi-los, pois pode modificar-se e transformar também
todos os sujeitos que participam da vida social desse ser humano.
Na perspectiva histórico-cultural a aprendizagem é um fenômeno social, acontece e
se desenvolve nas relações estabelecidas entre os sujeitos mediados pelas trocas
simbólicas. Desta forma, o meio social constitui o manancial no qual se baseia o
desenvolvimento conceitual da criança. Segundo Vygotsky, o homem, ao buscar
relacionar-se com os objetos, utiliza-se dos sistemas simbólicos de que dispõe,
fornecidos pela cultura, pelo meio social. Esse tipo de operação permite o
desenvolvimento da abstração e da generalização que, nessa perspectiva, vai do
social para o individual (MOURA, MORETTI, 2003, p. 68).
Assim, a gênese das transformações que ocorrem no homem decorre da vivência
em sociedade e de sua constituição histórica. Segundo Vigotski (2009), o que subsidia a
evolução das funções mentais é a aprendizagem. O desenvolvimento mental é resultado de
uma aprendizagem bem articulada e organizada que vai ao encontro de diversos processos de
desenvolvimento.
Tal aprendizagem inicia em casa, desde o nascimento, quando a criança entra em
contato com sujeitos e situações distintas. Apesar da relevância atribuída por Vigotski (2009)
para a aprendizagem extra escolar, o autor considera essencial a aprendizagem vinda da
escola. Pois é quando deve surgir o novo para o desenvolvimento da criança.
Assim, funções psicológicas superiores têm primeiro sua correspondente social e são
internalizadas no processo de interação com outros indivíduos. Esse é um processo
dinâmico em que a internalização de determinada função leva à reestruturação de
outras e acaba transformando o próprio processo (Vygotsky, 1984), implicando uma
reestruturação mental. Para o autor, existe uma diferença substancial entre o que
uma criança é capaz de produzir isoladamente e o nível de desenvolvimento que
atinge numa situação de interação, seja com o professor ou com a colaboração de um
colega (MOURA, MORETTI, 2003, p. 68).
Vigotski denomina de nível de desenvolvimento real o estágio em que a criança se
encontra e potencial quando precisa ser orientada por um adulto ou um companheiro para
desenvolver uma determinada tarefa. A distância entre o nível de desenvolvimento real e o
nível de desenvolvimento potencial é denominado por Vigotski (2007) de Zona de
28
Desenvolvimento Proximal (ZDP): “O nível de desenvolvimento real caracteriza o
desenvolvimento mental retrospectivamente, enquanto a zona de desenvolvimento proximal
caracteriza o desenvolvimento mental prospectivamente” (VIGOYSKI, 2007, p. 98). O
conceito de ZDP
[...] se constitui como um importante indicador do progresso intelectual da criança,
também evidencia a importância da aprendizagem no desenvolvimento psicológico
humano e a importância das acumulações histórico-culturais no desempenho escolar
da criança (KHIDIR, 2006, p. 52).
Assim, para se avaliar o nível de desenvolvimento de um estudante, é necessário
reconhecer o que este consegue atingir, não apenas independentemente, mas também com o
auxílio de outros colegas ou até mesmo do professor.
A execução correta em determinada tarefa nem sempre revela a compreensão por
parte dele. Uma resposta correta pode apenas resultar de uma resolução mecânica, do tipo
“siga os passos”. Portanto, é importante que o professor investigue a origem do raciocínio
adotado e, de alguma forma, contribua para compreensão conceitual. Além disso, faz-se
necessário repensar não apenas o modo de organização do ensino, mas também seu conteúdo.
Um dos pesquisadores que objetivou os princípios de Vigotski e seus
continuadores em uma proposição de ensino foi Davýdov, por ele denominada de Ensino
Desenvolvimental.
Para Davýdov, a questão mais central da psicologia pedagógica é a relação entre
educação e desenvolvimento, explicada pela lei geral da gênese das funções
psíquicas da criança no convívio com os adultos e os colegas no processo de ensino
e de aprendizagem na escola (LONGAREZI & PUENTES, 2013, p. 324).
Trata-se do processo de ensino e aprendizagem do conhecimento teórico. Na
proposição davydoviana, o professor tem um papel fundamental na orientação do estudante
durante o desenvolvimento das tarefas. Porém, tal orientação é organizada de modo que
desenvolva a autonomia intelectual da criança.
Na base do pensamento de Davídov está a idéia-mestra de Vygotsky de que a
aprendizagem e o ensino são formas universais de desenvolvimento mental. O
ensino propicia a apropriação da cultura e o desenvolvimento do pensamento, dois
processos articulados entre si, formando uma unidade (LIBÂNEO, 2004, p. 14).
29
Para tanto, Davídov (1987) propõe o princípio da educação que desenvolve. O
ensino deve dirigir os ritmos e o conteúdo do desenvolvimento e criar nos estudantes as
condições psíquicas que podem ainda faltar do ponto de vista dos próximos anos escolares
com base em generalizações teóricas. Para tanto, Davídov (1987) sugere os seguintes
princípios:
1) todos os conceitos que constituem a disciplina escolar dada ou seus principais
capítulos devem ser assimilados pelas crianças por via do exame das condições de origem,
graças às quais, tais conceitos tornam-se indispensáveis (em outras palavras, os conceitos não
se dão como “conhecimentos já prontos”);
2) a assimilação dos conhecimentos de caráter geral e abstrato precede a
familiarização com conhecimentos mais particulares e concretos; este princípio se desprende
da orientação de revelar a origem dos conceitos e se corresponde com as exigências da
ascensão do abstrato ao concreto;
3) no estudo das fontes objetal-materiais, de uns ou outros conceitos, os
estudantes devem, diante de tudo, descobrir a conexão geneticamente inicial, geral, que
determina o conteúdo e a estrutura do campo dos conceitos dados (por exemplo, para todos os
conceitos da matemática escolar, essa conexão geral é a das grandezas; para os conceitos da
gramática escolar, é a relação da forma e o significado na palavra);
4) é necessário reproduzir esta conexão em modelos objetais, gráficos ou símbolos
especiais que permitam estudar suas propriedades de “forma pura” (por exemplo, as crianças
podem representar as conexões gerais das magnitudes em fórmulas com letras, cômodas para
o estudo ulterior das propriedades dessas conexões; a estrutura interna da palavra pode ser
representada com ajuda de esquemas gráficos especiais);
5) em especial, é preciso formar nos estudantes ações objetais de tal índole que
permitam às crianças revelar no material de estudo e reproduzir nos modelos a conexão
essencial do objeto e, logo, estudar suas propriedades (por exemplo, para revelar a conexão
que está na base dos conceitos de números inteiros, fracionais e reais é necessário formar nas
crianças uma ação especial para determinar a característica de divisibilidade e multiplicidade
das grandezas);
6) os estudantes devem passar paulatinamente e ao seu devido tempo das ações
objetais à sua realização no plano mental.
30
Davýdov, juntamente com um grupo de colaboradores, objetivou esses princípios
em uma proposição para o ensino de Matemática. Esta é objeto de investigação de vários
pesquisadores brasileiros. A opção pelo estudo da proposição davydoviana ocorre pelo
entendimento de que ela pode contribuir para a reflexão sobre o atual modo de organização do
ensino de Matemática no Brasil (ROSA, 2012; MADEIRA, 2012; ALVES, 2013;
CRESTANI, 2013; DORIGON, 2013; MATOS, 2013; SILVEIRA, 2012; SOUZA, 2013;
ROSA, DAMAZIO e ALVES, 2013; ROSA, DAMAZIO e CRESTANI, 2014; ROSA,
DAMAZIO e SILVEIRA, 2014; SILVEIRA, 2014; HOBOLD, 2014; SOUSA, 2014;
SILVEIRA, 2015.
A proposição de Davýdov e colaboradores para o ensino de Matemática foi
desenvolvida na Rússia por 25 anos a partir dos pressupostos da Teoria Histórico-Cultural. O
ponto de partida para o ensino de Matemática são as grandezas discretas e contínuas. A partir
das relações entre elas é que são introduzidos os conceitos matemáticos. O conceito de
número, ponto de partida, por exemplo, é o real. Diferentemente do que ocorre no Brasil,
cujo início se dá pelos números naturais (ROSA, 2006 e 2012).
As representações gráficas (significações geométricas) se constituem em
elementos mediadores no movimento que se inicia a partir das grandezas, no plano objetal, até
atingir a modelação algébrica (ROSA, 2012). Desse modo, na proposição davydoviana as
significações aritméticas, algébricas e geométricas são indissolúveis, forma um todo único.
A reflexão dos erros apresentados pelos estudantes, ancorada na proposição
davydoviana, vai ao encontro de uma das nossas finalidades: apresentar possibilidades
didáticas que permitam o desenvolvimento do pensamento teórico dos estudantes. Pois
concebemos a pesquisa desenvolvida em um Programa de Pós-Graduação em Educação como
um dos instrumentos que fomenta a busca por soluções para a superação dos limites inerentes
ao processo de ensino e aprendizagem e o consequente desenvolvimento do pensamento
teórico. Para tanto, entendemos a importância da explicitação do contexto em que a presente
pesquisa foi realizada, que será tratado no próximo capítulo.
31
2 CONTEXTO DE COLETA DOS DADOS
Consideramos que os erros cometidos estão relacionados à aprendizagem, que por
sua vez, está diretamente ligada ao ensino. Por isso, foi preciso analisar os erros dos
estudantes no contexto de sua manifestação, a fim de investigar sua natureza. Desse modo:
• as aulas de Cálculo Diferencial e Integral I, do curso de engenharia, formam o
contexto no qual a coleta de dados foi realizada;
• a sala de aula que é o ambiente dos sujeitos pesquisados (estudantes), no qual
pesquisadora se fez presente;
• a pesquisadora esteve em contato direto com o processo de explicitação do
objeto investigado (os erros cometidos pelos estudantes);
• os meios de coleta de dados foram utilizados pela pesquisadora.
A coleta de dados ocorreu em uma Faculdade da rede particular localizada no Sul
do estado de Santa Catarina. O nome da instituição deverá ser mantido em sigilo, por isso,
atribuímos o nome fictício de Faculdade Pesquisada. A disciplina contexto de pesquisa é
composta por quarenta estudantes, todos do sexo masculino, com idade entre 18 e 47 anos.
Destes, apenas sete aceitaram participar da pesquisa. A fim de preservar a identidade dos
estudantes, elencamos nomes fictícios, conforme segue: E1, E2, E3, E4, E5, E6 e E7, todos do
sexo masculino, como já mencionado. Estes, não são apenas de um curso, pois como a
disciplina de Cálculo é comum para todos os cursos de engenharia, essa turma é mista - são
estudantes de várias engenharias. A escolha pela turma de Cálculo I se deu pelo fato de que
essa disciplina constitui todo o início da Matemática para as fases e disciplinas seguintes.
Os estudantes da pesquisa, fonte de dados, são da disciplina de Cálculo
Diferencial e Integral I de dois cursos de Engenharia, com carga horária de cento e oito
horas/aula, equivalentes a seis créditos, dos quais, quatro são integralizados nas quintas-feiras,
no período noturno, e dois aos sábados pela manhã. Nas aulas realizadas nas quintas-feiras,
ocorre a explicação do conteúdo pela professora e a realização das avaliações. Aos sábados,
os estudantes resolvem os exercícios sob orientação da professora da disciplina. Os encontros
realizados aos sábados, num total de nove, são distribuídos ao longo do semestre sem
regularidade temporal.
32
A coleta de dados foi realizada durante todos os encontros de sábado, do segundo
semestre do ano de 2014. Os sete estudantes que aceitaram colaborar com a pesquisa foram
acompanhados durante a resolução dos exercícios. Desse modo, os dados consistem nas
produções desenvolvidas pelos estudantes (exercícios e avaliações). A coleta ocorreu por
meio de gravações de áudio, registros escritos e fotográficos. Os registros foram realizados
durante as conversas dos estudantes com a professora da disciplina ou com a própria
pesquisadora. Nesses momentos, solicitávamos que explicassem suas resoluções. As
gravações em áudio foram transcritas.
2.1 OS PRIMEIROS CONTATOS
No primeiro momento, solicitamos autorização para realizar a pesquisa na
faculdade. Fomos muito bem recebidos pela coordenação e direção. Após a autorização
concedida para a realização da pesquisa na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I,
conversamos com a professora da turma que também não se opôs à pesquisa, e sempre apoiou
e ajudou no que fosse necessário. No primeiro dia de coleta de dados, a professora nos
apresentou como estudante de um curso de Pós-Graduação (Mestrado) que iria desenvolver
uma pesquisa com aqueles que aceitassem participar.
Inicialmente, os estudantes resistiram, não aceitaram. Então, explicamos o objeto
de investigação, finalidade da pesquisa e perguntamos quem aceitaria participar. Apenas dois
concordaram. Reforçamos, com ajuda da professora, a relevância da pesquisa para a educação
matemática escolar e, finalmente, sete estudantes aceitaram colaborar.
O início da coleta de dados foi difícil devido à resistência dos estudantes. Eles
tentavam ocultar suas produções, quando percebiam que haviam errado, apagavam
rapidamente. Além disso, ao conversar conosco sobre o raciocínio utilizado, falavam com tom
de voz muito baixo, o que prejudicava a captação do áudio. O processo de conquista foi se
dando conforme os dias passavam. Reforçamos, por várias vezes, em conversas individuais, o
processo de pesquisa. Até que chegou o momento em que eles não se incomodavam mais com
nossa presença. Inclusive, em alguns momentos da resolução dos exercícios, em vez de pedir
33
explicação para a professora titular, dirigiam-se a nós. A partir desse estágio é que os dados
foram considerados para análise.
2.2 OS ESTUDANTES QUE PARTICIPARAM DA PESQUISA
Na sequência, apresentamos os estudantes4 da pesquisa (E1, E2, E3, E4, E5, E6 e
E7). O foco incide na relação com a Matemática, na ótica dos estudantes, desde o Ensino
Médio até o Curso Superior.
2.2.1 Estudante E1 – 24 anos de idade
Cursou o Ensino Médio e Fundamental em uma escola da rede Municipal da
região sul de Santa Catarina, reside no mesmo município da Faculdade. Desloca-se de moto,
leva em média quinze minutos no percurso até sua residência. É solteiro, mora sozinho, não
tem filhos e trabalha oito horas por dia em uma empresa da indústria química localizada
próximo à região onde reside. Leva em média meia hora de deslocamento para o trabalho. Já
reprovou uma vez disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I.
Faz cinco anos em que concluiu o Ensino Médio. Nesse nível de ensino, suas
notas em média eram cinco. Para E1, sua professora de Matemática “[...] era uma professora
boa, ela era mais velha, considerava que tinha bastante experiência e conhecimento [...]”
(sic).Porém, faz uma autocrítica (E1):
[...] eu não era dedicado [...] mas pelo fato de eu ser complicado não aproveitei o
que a professora tinha pra passar, e acabei sendo empurrado [...] eu era um aluno
ruim comparado a outros alunos do Ensino Médio, era sempre aquele que era
4 Para manter os nomes dos estudantes em sigilo, utilizamos a letra E (inicial da palavra estudante),
acompanhada de um número, aleatoriamente, de 1 a 7.
34
passado empurrado, em Matemática e diversas matérias, era um dos piores da turma,
fui um aluno complicado, rebelde [...] (sic).
Atualmente, no curso superior, cursa apenas três disciplinas, ou seja, estuda três
dias na semana e no sábado pela manhã. Sua dedicação aos estudos, além do período de aula,
é de aproximadamente três horas semanais. Não estuda para as avaliações, pois afirma ficar
nervoso quando assim o faz. Prefere ir estudando conforme a professora avança no conteúdo
da disciplina.
Quando questionamos se sua prioridade é os estudos ou o trabalho, ele para, pensa
e depois responde que se não trabalhar não estuda e nem come. Precisa trabalhar para
satisfazer suas necessidades básicas de sobrevivência. Gosta muito do curso que faz, não
pensa em desistir, mesmo que reprove várias vezes.
2.2.2 Estudante E2 – 19 anos de idade
E2 frequentou o Ensino Fundamental e Médio em duas escolas particulares da
região sul do Estado de Santa Catarina. Reside em um município vizinho da faculdade onde
faz a Graduação. Desloca-se de ônibus escolar por aproximadamente uma hora e trinta
minutos. É solteiro, não tem filhos e mora com os pais.
Já reprovou uma vez em Cálculo e uma vez em Álgebra. Reprovou também no
primeiro ano do Ensino Médio. Neste nível de ensino E2 relata que foi “[...] sempre
arriscando, arrisquei tanto que reprovei um ano [...] bem empurrado com a barriga, eu deixei a
desejar, nunca estudei pra nenhuma prova, que eu lembro só estudei uma vez pra química pra
passar” (sic).
O estudante trabalha em período integral, em um supermercado da família e o
período que não está na Faculdade está trabalhando. Só folga aos domingos. Portanto, não tem
tempo para dedicação semanal aos estudos em casa, estuda somente em sala de aula, durante
as aulas.
35
2.2.3 Estudante E3 – 24 anos de idade
E3 cursou o Ensino Médio em uma escola estadual localizada na região sul do
estado de Santa Catarina. É casado, mora com a esposa e seu irmão. A esposa está grávida do
seu primeiro filho. Trabalha nove horas diárias de segunda a sexta-feira. Seu local de trabalho
é na mesma localidade onde reside. Vai de carro da casa para o trabalho e Faculdade. Leva em
média quarenta minutos para se locomover da casa para a faculdade. Em relação à última
etapa da educação básica, comenta (E3):
Os professores do Ensino Médio eram bons, mas os alunos não queriam nada com
nada, a turma era muito bagunceira, o professor mal conseguia dar aula. Eu era
dedicado, [...] mas, hoje vejo que faltou muito (sic).
Diferentemente de E1 e E2, E3 se julga um estudante dedicado e com desempenho
satisfatório.
E3 já reprovou duas vezes em Cálculo Diferencial e Integral I e uma vez em
Álgebra. Ele lamenta que não sobre tempo para estudar durante a semana, pois tem aula todos
os dias. Resta somente o final de semana e ainda tem aula no sábado pela manhã. O único
momento dedicado aos estudos, fora da sala de aula, é aos sábados à tarde, quando tem prova
durante a semana.
2.2.4 Estudante E4 – 19 anos de idade
E4 sempre frequentou escola pública, onde nunca reprovou. Suas notas eram
sempre maiores que oito, por isso, considerado um dos melhores da classe. A escola que
frequentou fica no mesmo município onde mora e onde se localiza a faculdade. Desloca-se de
ônibus. Leva aproximadamente quinze minutos de sua residência para a faculdade. É solteiro,
mora somente com sua mãe e não tem filhos. Trabalha oito horas diárias, em uma indústria do
ramo de metais, na mesma região onde reside. Quanto ao seu Ensino Médio, E4 afirma:
36
Eu acho que foi fraco estudei [...] eu acho que comparando o Ensino médio com o
que os professores cobram aqui na faculdade, existe um espaço muito grande. Eles
cobram coisas que eu nunca vi, pois eu nunca fiquei nem em recuperação no Ensino
Médio, sempre passei direto, era um dos melhores da turma. Quando cheguei aqui
na faculdade já até reprovei! Do Ensino Médio pra Faculdade foi um salto muito
grande, comparando os conteúdos passados lá e o conteúdo cobrado aqui (sic).
E4 é satisfeito com seus professores do Ensino Médio, mas reclama a falta de
livros didáticos e o pouco tempo disponível para o conteúdo ser registrado no quadro e
posteriormente no caderno. Sem tempo para pensar e interpretar.
Atualmente cursa apenas três disciplinas, suas aulas se concentram em três noites
e no sábado pela manhã. O estudante é repetente da disciplina de Calculo Diferencial e
Integral I. Sua dedicação semanal aos estudos se concentra em duas noites por semana.
Salienta que precisa trabalhar para pagar a faculdade e, portanto, não consegue ter dedicação
exclusiva aos estudos.
2.2.5 Estudante E5 – 18 anos de idade
E5 é solteiro, não tem filhos, mora com seus pais e um irmão. Teve sua formação
de Ensino Fundamental e Ensino Médio em uma escola da rede particular, localizada no
mesmo município onde reside. Quanto ao Ensino Médio, o estudante afirma ter sido mediano,
seus professores eram bons, mas nunca teve rotina de estudos, suas notas eram entre seis e
sete.
O meio de transporte para faculdade é o ônibus escolar, a locomoção é de
aproximadamente vinte minutos. Trabalha na empresa de seu pai, que é na mesma área de seu
curso superior:
É, tem que gostar, tenho que continuar, levar adiante a empresa do meu pai, que já
era do meu avô, é empresa de família há três gerações. A minha será a quarta, não
posso falhar com a minha família. Essa empresa é um sonho antigo do meu bisavô
(sic).
37
Embora nunca tenha reprovado na Educação Básica, já reprovou uma vez na
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. Afirma que não estuda em casa, nem nos dias
que tem prova, sua dedicação é apenas nos momentos da sala de aula.
2.2.6 Estudante E6 – 25 anos de idade
E6 fez o Ensino Médio em uma escola pública na mesma localidade onde reside.
Seu deslocamento para a faculdade é feito de carro por aproximadamente vinte minutos.
Trabalha oito horas diárias em uma empresa próxima a sua residência. Mora com a esposa e
não tem filhos.
Considera que o Ensino Médio foi proveitoso, e se avalia como um aluno
dedicado e estudioso, pois sempre passou direto no Ensino Fundamental e Médio. E6 pondera
que seus professores até eram bons, mas lamenta que “não tinha muita cobrança, os
professores não cobravam muito” (sic).
Já reprovou uma vez na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. Lastima não
ter tempo para se dedicar aos estudos em casa. Só estuda aos finais de semana quando tem
prova. Sua maior dedicação é em sala de aula, onde aproveita todo o tempo necessário. Gosta
do curso, mas sua prioridade é o trabalho, pois se não trabalhar não come e também não
consegue estudar.
2.2.7 Estudante E7 – 47 anos de idade
Por fim, E7, é um dos estudantes com maior idade da sala de aula. É casado, tem
dois filhos, inclusive sua filha mais velha também já é casada. Mora com sua esposa e seu
filho caçula. Tem uma empresa do ramo elétrico e também trabalha em outra empresa, ou
seja, possui duas frentes de trabalho.
38
Quanto ao Ensino Médio, E7 afirma não lembrar mais, “[...] faz muito tempo que
terminei” (sic). Concluiu a Educação Básica, graduação e especialização, na área
administrativa, no Estado do Paraná. Após concluir a especialização, migrou para o Estado de
Santa Catarina em busca de emprego, construiu uma família e permaneceu.
Decidiu fazer outro curso superior por conta da empresa da qual é proprietário.
Sua prioridade não é os estudos, pois é um pai de família que precisa sustentar um lar. Afirma
que se precisar estudar todos os dias, ele estudará, mas não tem rotina de estudo e trabalho,
pois este depende da demanda. O estudante já reprovou uma vez na disciplina de Cálculo
Diferencial e Integral I.
Em síntese, todos os estudantes já reprovaram ao menos uma vez na disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral I. Alguns são oriundos de escolas da rede pública, outros da
rede particular. Enquanto uns acabaram de concluir o Ensino Médio, outros concluíram faz
um tempo. Há aqueles que afirmam ter levado a sério o Ensino Médio e outros nem tanto.
Mas todos têm algo em comum: fragilidades que geraram reprovação. Essas fragilidades não
são exclusividade dos estudantes que participaram da presente investigação e nem da
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, conforme apresentaremos no próximo capítulo.
39
3 O ERRO DE MATEMÁTICA NA LITERATURA BRASILEIRA
Abordaremos, no presente capítulo, algumas pesquisas que tratam dos erros em
matemática apresentados por estudantes brasileiros. No primeiro momento, faz-se necessário
refletir sobre o que podemos considerar como um erro. Trataremos do erro no processo de
aprendizagem na ótica de alguns pesquisadores sobre o assunto. E, posteriormente,
apresentamos algumas pesquisas sobre a análise de erros. Essas reflexões se fazem
necessárias com a contextualização e explicação da natureza e estado da arte do objeto de
pesquisa da presente investigação.
3.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O ERRO
Relatamos anteriormente nossas angústias com relação aos erros cometidos por
nossos estudantes, porém, necessitamos refletir sobre o que é erro a partir da literatura. Para
tanto, inicialmente recorremos a Bueno (1992, p. 254) que atribui a palavra erro, a um
desacerto, algo incorreto, um engano, a diferença entre o valor absoluto e o valor exato de
uma grandeza. Para Barichello (2008), um erro é parte de um produto final que não esteja de
acordo com o que se deseja ensinar. O autor salienta que também pode ser caracterizado pela
falta de conhecimento em relação à Matemática, que o professor espera ser desenvolvida por
seu aluno.
Seguindo as palavras de Barrichello (2008), podemos também dizer que o erro
pode ser considerado como uma falha, cuja causa pode ser provocada por falta de
conhecimento, ou ainda, um conhecimento adquirido de forma incorreta, que obteve ao longo
de sua vida estudantil.
De acordo com Pinto (2000) e Cravasotto (2010), os erros podem ter um papel
importante na formação do sujeito. Para tanto, faz-se necessário concebê-lo como uma
contribuição para aprendizagem e não como uma condenação. O estudante não é o único
responsável por seus erros, faz-se necessário uma postura de modo a preveni-los. Quando um
40
estudante comete um erro, expressa sua incompreensão. É nesse momento que o professor
deve agir, oportunizando ao estudante reflexão sobre o que lhe falta e de seus limites
conceituais.
Por esse viés, Cury (2007, p. 80) chama atenção sobre a importância da
intervenção do professor no processo de desconstrução das aprendizagens equivocadas. Uma
das possibilidades é fazer com que os estudantes questionem suas próprias respostas.
Conforme Cury (1988), geralmente aliamos o acerto ou o erro ao sucesso ou
insucesso, em que temos de um lado a gratificação, de outro a penalidade. Ainda segundo a
autora, professor pode aproveitar do erro de um estudante e não apenas penalizá-lo, mas
também, aproveitar a oportunidade para explorar o conhecimento, mesmo que equivocado, de
seu estudante, pois,
[...] o aluno que corrige um erro e o entende pode mudar sua aprendizagem.
Comparar erros desencadeia caminhos para a construção de novos saberes. Um erro
corrigido pelo aluno pode ser mais proveitoso para ele, para o professor e para todo
o grupo de estudantes, do que um acerto imediato (FELTES, 2007, p. 29).
Conforme a autora citada acima, o erro faz parte do processo de ensino, pois ao
errar, o estudante constrói novos conhecimentos. O erro não pode ser explorado apenas como
penalidade, o professor precisa conhecer os erros que seus estudantes cometem, e criar
condições para que eles adquiram conhecimento a partir de seus erros. Pinto (2000) esclarece
que o professor precisa utilizar-se de um erro cometido por seu estudante para que ele interaja
e muitas vezes consiga superar. Assim, pode-se utilizar o erro para auxiliar os estudantes. Ou
seja, pode ser benéfico tanto para o estudante quanto para o professor.
[...] o erro surge não mais como declaração de incompetência ou ignorância,
assumindo um papel de Protagonista na construção do conhecimento. Desta forma,
também é possivel afirmar que não irão desaparecer e sempre que forem detectados
há possibilidade de novos saberes serem constituidos (PEREIRA FILHO, 2012, p.
32).
Portanto, como sugere Pereira Filho, podemos aproveitar o erro para interferir
prospectivamente o aprendizado do estudante. Uma atitude que pode ser tomada pelo
professor é juntar-se ao estudante para então discutir sua resolução, a fim de suscitar um
diálogo entre ambos. Cury (2007) trata dessa interação do seguinte modo:
41
[...] a análise qualitativa das respostas dos alunos, com uma discussão aprofundada
sobre as dificuldades por eles apresentadas, apoiada em investigações já realizadas é,
talvez, a melhor maneira de aproveitar os erros para questionar os estudantes e
auxiliá-los a (re)construir seu conhecimento (CURY, 2007, p. 27).
Para tanto, não se pode apenas penalizar o estudante por conta de seu erro, pois
ele pode e deve contribuir para a construção do conhecimento. Não é tarefa fácil verificar um
erro, pois ao informar o que está certo ou errado apenas na solução escrita do estudante,
acaba-se por desprezar todo o pensamento por ele desenvolvido. Na verificação de um erro,
faz-se necessário uma análise cuidadosa, pois, precisa estar de acordo com os objetivos
pretendidos, em relação ao conhecimento que se espera deste estudante.
Ainda que a questão do erro não tenha sido tratada de maneira clara pela teoria
Histórico-Cultural, Oliveira (1997) tece algumas considerações:
Nessa abordagem postula-se a geração da singularidade humana, com base na
plasticidade de nosso sistema nervoso e na interação entre diferentes planos
genéticos no processo de constituição do psiquismo. Não haveria, portanto, um
único caminho de desenvolvimento ou uma única forma de “bom funcionamento”
psicológico para o ser humano (OLIVEIRA, 1997, p. 60).
Ainda, para a autora em referência, o desenvolvimento psicológico não está
totalmente aberto, pois existem limites e possibilidades que são definidos no plano genético.
Todos esses diferentes indivíduos, com suas singularidades culturais, vão para escola. Para
tanto, a intervenção da educação tem que ser sobre o indivíduo, no sentido de lhes dar acesso,
na relação entre sujeito e objeto, ao conhecimento. Esse é o papel fundamental da escola, a
fim de promover transformações em seu desenvolvimento (OLIVEIRA, 1997).
A partir do pressuposto de que aprendizagem gera desenvolvimento, Vigotski (2001,
p. 318) afirma que “[...] o próprio conceito de erro da criança deve significar sempre uma
falha da educação. O crime do aluno escolar é antes de tudo um crime da escola e a ele só se
pode responder com a eliminação dessa falha na organização social da própria escola”.
Para Souza (2006), no contexto da Teoria Histórico-Cultural, os conceitos de zona de
desenvolvimento proximal, mediação pedagógica, conceitos cotidianos e científicos,
evidenciam o papel da escola e do professor nos processos educativos e oferecem elementos
para a superação/compreensão do erro.
42
A escola, como espaço privilegiado, deve organizar-se para que todos que nela estão
inseridos trabalhem no sentido de compreender que a aprendizagem não é
desenvolvimento, mas que a partir dela o desenvolvimento é constituído. Um dos
objetivos da escola é oferecer ao aluno situações de experiências que o oportunizem
realizar aprendizagens. Para tanto, os pressupostos teóricos de Vigotski, aqui
apresentados, reafirmam a importância das inter-relações entre professor-aluno-
aluno para a abertura de novos caminhos de aprendizagem e a
superação/compreensão de eventuais erros (SOUZA, 2006, p. 83)
De acordo com Souza (2006), para entender o significado de erro, na Teoria
Histórico-Cultural, é preciso primeiro compreender a zona de desenvolvimento proximal
como algo a ser explorado pelo professor, pois ele deve conhecer seu aluno a fim de planejar
suas ações promovendo o desenvolvimento dos estudantes com vistas ao conhecimento
potencial. Assim, trabalhar/explorar o erro, em sala de aula, requer um planejamento das
medidas tomadas pelo professor.
O erro, então, não é considerado algo que deve ser banido da sala de aula, mas
entendido como uma hipótese elaborada pela criança no decorrer da apropriação dos
conceitos científicos, que oferece caminhos para a criança explorar suas
possibilidades cognitivas, que podem ser mediatizadas pelo professor ou um colega
mais experiente, ocasionando novas aprendizagem (SOUZA, 2006, p. 85).
À vista disso, faz-se necessário organizar o ensino prospectivamente em relação
ao desenvolvimento do estudante. Um dos diversos aspectos que precisam ser repensados, na
especificidade da disciplina de Matemática, é a interconexão entre as significações
aritméticas, algébricas e geométricas a partir do estudo com as grandezas discretas e
contínuas, tal como ocorre na proposição davydoviana, pois, como apresentaremos no
capítulo de análise dos dados, parte dos erros apresentados pelos estudantes revelam a
tricotomia dessas significações sustentadas na grandeza discreta.
Com a finalidade de contribuir com maior clareza para tais critérios analisados,
faremos a seguir uma revisão de algumas pesquisas brasileiras realizadas na Educação
Matemática com relação à análise de erros cometidos pelos estudantes.
43
3.2 ALGUMAS PESQUISAS BRASILEIRAS SOBRE ANÁLISE DE ERROS
As pesquisas sobre análise de erros na realidade nacional tiveram início no final
da década de 1980. Pinto (2000) traz por meio de um dos trabalhos levantados por Fiorentini
que até o ano 1990 foram realizadas somente nove pesquisas. Dentre eles, encontra-se o
trabalho de Helena Cury que vem desde 1988 com sua dissertação de Mestrado, na qual
pesquisou análise de erros. A pesquisa de Cury (1988) foi desenvolvida com estudantes do
Ensino Superior, apresentada à Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Seu tema foi
relacionado à análise de erros em demonstrações de Geometria plana. Participaram de sua
pesquisa onze estudantes de um curso de Licenciatura Plena em Matemática, os quais
realizaram demonstrações de proposições em Geometria Plana. A análise teve o objetivo de
classificar os erros e descobrir suas causas. Para a realização de sua pesquisa, a autora aplicou
três questões individualmente aos onze estudantes, dispondo quinze minutos por questão para
a resolução.
No momento da análise, Cury (1988) separou os erros cometidos pelos estudantes
e categorizou como: Erros tipo I, erros ligados à linguagem dos símbolos matemáticos; Erros
tipo II, relacionam-se aos erros produzidos pelas figuras, afirmativas retiradas do desenho por
simples visualizações; Erros tipo III, são erros relacionados a conceitos matemáticos, quando
se tem um conceito errado de Matemática; Erros tipo IV, quando o estudante tira certas
conclusões a partir de outras; Erros tipo V, ocorrem quando o estudante não faz a utilização
ou não reconhece um teorema já existente na teoria; Erros tipo VI, esse tipo de erro ocorre
quando o estudante se utiliza da tese como um dos elementos da hipótese; Erros tipo VII,
relacionados com a escrita e a leitura; Erros tipo VIII, erros da língua portuguesa.
Os erros tipo I são os que mais aparecem em sua análise, representando 43,4% de
todos os erros encontrados. Cury (1988) completa que cada tipo de erro tem sua causa, assim
como os que estão ligados com a linguagem Matemática, que são problemas vindos da
reforma da Matemática Moderna com uma precipitação de novos termos e símbolos. A autora
associa também o fato de que o estudante quase sempre recebe o conteúdo acabado, sem a
devida demonstração de fórmulas e teoremas.
44
Para os erros tipo II e III, Cury (1988) considera que a causa desse erro é
pertinente ao abandono dessa disciplina com relação aos anos que antecedem o 3º grau, o que
acaba impedindo o estudante de fazer a passagem pelo concreto, não lhes dando a
possibilidade de adquirir uma base de conhecimentos que sirva para sua formação
subsequente. Ainda assim, apresentados, de acordo com a autora, esses conteúdos não
contemplam a abstração e a generalização.
Como decorrência dos erros tipo IV, V e VI, Cury destaca que a educação deve se
fundamentar nas necessidades de certo momento e nas suas soluções, pois todos esses erros
estão relacionados ao processo de dedução.
Os erros tipo VII são os lapsos orais de escrita ou de leitura. Cury destaca que é
importante considerar esses erros ao se avaliar uma prova, pois a causa do erro não está
vinculada ao conhecimento que ele tem de determinado contexto.
Para o erro tipo VIII, Cury enfatiza tratar-se da língua portuguesa, portanto foge
da pesquisa. Com ele, a autora apenas detectou esses erros, pois considera que um professor
de Matemática deve-se expressar corretamente.
Os pesquisadores Zanardi e Lima (2008) focaram seus estudos na disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II. A análise foi realizada sobre os erros cometidos pelos
estudantes na referida disciplina, no Curso de Engenharia Mecânica da UNESP. O objetivo
dos autores consistia em fazer um levantamento das dificuldades enfrentadas pelos estudantes
do referido curso, na Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá – FEG/UNESP, na disciplina
de Cálculo II.
Os autores fizeram o levantamento dos dados por meio das provas que foram
aplicadas pelo professor titular e resolvidas pelos estudantes. O pressuposto era que as causas
dos erros cometidos estavam relacionadas aos conceitos básicos.
Após análise, os pesquisadores confirmaram o pressuposto, pois os conceitos de
Cálculo I, Álgebra Linear e Cálculo Vetorial, não foram assimilados adequadamente.
Detectou-se também, durante a análise de erros, que as maiores dificuldades estão
relacionadas aos conteúdos do Ensino Médio. As estratégias apontadas foram relacionadas
com a metodologia de ensino a ser adotada, priorizando o envolvimento dos estudantes em
visualizações de gráficos e em resoluções de exercícios. No entanto, alguns obstáculos
também estão relacionados, como a carga horária das disciplinas e com a grande quantidade
45
de estudantes em cada turma. O problema se agrava quanto ao número reduzido de docentes
com dedicação exclusiva à docência na Universidade.
Na busca por pesquisas, citamos o trabalho realizado por Rocha (2010), sua
dissertação de Mestrado, que foi o desenvolvimento de atividades computacionais na
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, uma proposta de ensino pautada na articulação
entre a visualização e a experimentação. Sua pesquisa foi realizada na Universidade Federal
de Ouro Preto, onde os índices de reprovações encontram-se em um nível elevado.
Para a efetivação de sua investigação, Rocha (2010) acompanhou uma turma de
Cálculo I em atividades nas quais os conceitos de limite, derivada e integral, abordados em
sala de aula, eram explorados por meio do software GeoGebra. As atividades desenvolvidas
buscavam uma compreensão mais profunda dos conceitos. A coleta de dados foi desenvolvida
por meio de registros produzidos pelos estudantes, questionário e avaliações.
A análise realizada por Rocha (2010) em sua pesquisa indicou que em um
ambiente informatizado, a contribuição é de modo que os estudantes se tornem mais
participativos e exploradores, o que facilita na compreensão dos aspectos conceituais do
Cálculo. O referido autor ainda conclui que esse ambiente permite maior autonomia ao
estudante e que a visualização e a experimentação propiciadas pelo software têm um papel
importante nesse processo.
Outra pesquisa brasileira é de Albano Dias Pereira Filho (2012), que tinha como
objetivo, em sua dissertação de Mestrado, investigar e analisar os erros cometidos na
resolução de problemas da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. Os sujeitos de sua
pesquisa são estudantes de um curso de Engenharia Civil da Faculdade Presidente Antônio
Carlos - FAPAC, Campus de Porto Nacional – TO.
Na realização de sua pesquisa, Pereira Filho (2012) utilizou-se de um questionário
sociocultural, um Teste Inicial e das provas institucionais realizadas durante um semestre
(três). Nesse questionário, ele identificava o perfil do acadêmico. No segundo instrumento de
coleta, o Teste Inicial, ele abordou oito questões referente a conteúdos do Ensino Médio,
principalmente ao conteúdo de função. Para o terceiro instrumento, que são as avaliações
institucionais aplicadas pelo professor regente da turma e que são divididas em três, abordam
os conteúdos de função, limite, derivada e integral.
Para a análise dos dados, o autor adotou as categorias consideradas por
Movshovitz-Hadar et al. (1987), tais como: Uso errado dos dados; Linguagem mal
46
interpretada; Inferência lógica inválida; Definição do teorema distorcido; Solução não
verificada; Erros técnicos. Pereira Filho (2012) constatou que os erros mais presentes são os
erros de linguagem mal interpretada, inferência lógica inválida e definição do teorema
distorcido.
Considera-se que as dificuldades dos estudantes estão relacionadas principalmente à
interpretação dos dados de um problema, à leitura e interpretação de gráficos e
tabelas e ao desenvolvimento de atividades algébricas baseadas em regras e
propriedades. Acredita-se, portanto, que a análise e classificação dos erros
cometidos pelos estudantes confirmam a necessidade de engajá-los em atividades
que propiciem o desenvolvimento de habilidades e competências, de acordo com as
deficiências detectadas, possibilitando assim uma adequação recíproca dos alunos,
que podem melhorar o seu desempenho em sala de aula, e dos professores, na
efetivação de sua própria missão como educador e na busca da prática de um ensino
eficiente (PEREIRA FILHO, 2012, p. 87).
Outro trabalho recente é o de Garzella (2013), que em sua tese de doutorado na
Unicamp pesquisou a disciplina de Cálculo I. A autora analisou as relações entre as práticas
pedagógicas do professor e seus impactos nos estudantes. Após algumas aproximações com
os estudantes e professores da universidade pesquisada, Garzella (2013) concluiu que existem
alguns aspectos que levam aos altos índices de reprovação, como:
O grande número de alunos por turma, impedindo que necessidades particulares de
determinados grupos de alunos sejam atendidas; a presença da disciplina de Cálculo
I, no primeiro semestre dos cursos, dividindo espaço com outras disciplinas que já
demandam o conhecimento acerca da área – como Física I, por exemplo; a grande
quantidade de conteúdos previstos por semestre que, segundo os alunos, dificulta a
aprendizagem; além de aspectos pertencentes à dinâmica do ingresso na
universidade, como a mudança de ambiente, a busca por uma nova moradia, a
convivência com novas pessoas, a diferença da natureza dos assuntos estudados, etc.
(GARZELLA, 2013, p. 2-3).
Ao iniciar a coleta de dados, Garzella (2013) identificou que o processo de ensino
e aprendizagem da disciplina de Cálculo I é caracterizado por várias questões. A autora trata
tais questões como as que envolvem a vida acadêmica e pessoal do estudante, que está
iniciando na universidade, muitas vezes sem os pré-requisitos necessários, além de citar
também a dinâmica do professor de sala de aula.
Garzella (2013) concluiu que a disciplina de Cálculo I na universidade por ela
pesquisada possui um planejamento muito rígido, que é seguido por todos professores e
estudantes. Tal situação é prejudicial, pois não considera o tempo que cada estudante leva
47
para se apropriar de determinado conteúdo, nem os conceitos que são pré-requisitos. “Os
dados sugerem que as formas de organização da disciplina são fortes determinantes do
aproveitamento insatisfatório de parcela significativa de aluno, sendo que os impactos
afetivos dessa experiência são marcadamente negativos em suas vidas.” (GARZELLA, 2013,
p. 110).
Mas esses problemas referentes à aprendizagem da Matemática não surgem na
Educação superior. Kaled Sulaiman Khidir em sua dissertação de mestrado investigou a
aprendizagem em Álgebra, com base na Teoria de Davýdov. Seu objetivo consistiu em
pesquisar e compreender as causas pelas quais alguns estudantes aprendem Álgebra e outros
enfrentam muitas dificuldades (KHIDIR, 2006).
Os sujeitos da pesquisa desenvolvida por Khidir (2006) foram os estudantes e o
professor de uma turma de 7ª série de uma escola pública de Goiânia. A coleta de dados foi
realizada nas cinco aulas semanais de matemática durante todo um semestre. Como
instrumento de pesquisa, o autor se dispôs de observação, entrevista e dois testes
desenvolvidos pelos estudantes sobre os conceitos algébricos. Em sua análise, o autor ressalta:
Percebemos que alguns alunos têm dificuldades e facilidades com relação aos
conteúdos da Álgebra. Da mesma forma que entendemos que alguns alunos estão no
pensamento empírico e outros no pensamento teórico. Com base em nosso material
coletado e em nossas observações, podemos apontar que há uma relação entre ter
facilidade com a Álgebra e ter o pensamento teórico desenvolvido (KHIDIR, 2006,
p. 75).
Para o referido autor, apesar de existirem pesquisas que demonstram a ineficiência
dos métodos de ensino mecanizados e descontextualizados, ainda são os mais presentes nas
aulas de Matemática. De acordo com Khidir (2006, p. 76), os professores tentam se esforçar
para contextualizar com os recursos existentes, mas “acabam reduzindo a matemática escolar
a um ensino que conduz somente ao pensamento empírico. Muitas vezes nem isso.”
As dificuldades encontradas pelos sujeitos pesquisados por Khidir (2006) estão
principalmente voltada para a definição da linguagem matemática, em especial a linguagem
algébrica que conduz as dificuldades de resolução algébrica.
Os alunos mostraram insuficiências na apropriação e reprodução dos conceitos
algébricos como, por exemplo, a identificação e aplicação de operações, a não
decodificação de enunciados para a linguagem algébrica e a ausência da
reversibilidade nas atividades propostas (KHIDIR, 2006, p. 76).
48
O autor completa que, embora seja conhecida a realidade sociocultural dos
estudantes, esta não está sendo considerada, a fim de melhorar a aprendizagem deles.
Segundo Khidir (2006), o professor não tem a preocupação do modo como os estudantes
assimilam e interiorizam os conceitos algébricos, sem aplicações teóricas e práticas. E conclui
que a Álgebra é apresentada sem nenhuma relação com a continuidade da vida escolar do
estudante.
Outra pesquisa desenvolvida na educação básica, nessa direção, foi a de Maria
Lucia Panossian, sobre Álgebra, com enfoque nas manifestações do pensamento e da
linguagem algébrica dos estudantes. A intenção da autora era de proporcionar aos estudantes
maiores condições de assimilação do simbolismo algébrico (PANOSSIAN, 2008). Seu
objetivo consistiu em “investigar as manifestações e as peculiaridades do movimento do
pensamento e da linguagem algébrica, por meio de situações-problema com estudantes de 6ª
série do Ensino Fundamental.” (PANOSSIAN, 2008, p. 11) a partir das seguintes categorias
de análise: qualidade do pensamento, qualidade da linguagem e o conceito de variável.
Inicialmente, a autora aplicou uma situação problema a alguns estudantes da 6º
série do Ensino Fundamental e do 1º ano do Ensino Médio. Os problemas encontrados foram
semelhantes, nos dois grupos. “As dificuldades dos estudantes avançam pelos anos de estudo
e se acumulam com a apresentação constante, realizada pelo professor, de técnicas e conceitos
algébricos que não são devidamente apropriados.” (PANOSSIAN, 2008, pp. 13-14).
Após aplicar o teste, a autora chegou ao seu problema de pesquisa: quais são as
dificuldades dos estudantes e qual a natureza dessas dificuldades, referente aos conceitos
algébricos. Na tentativa de encontrar respostas às suas inquietações, Panossian (2008) dividiu
a turma em grupos de quatro estudantes para resolverem cinco situações problemas. A autora
propôs a resolução de um problema por aula, durante cinco aulas, gravou e filmou as
conversas e resoluções. Em outro momento, fez a análise do material coletado, por meio das
categorias selecionadas e citadas anteriormente.
Para a referida autora:
O pensamento dos estudantes manifesta-se para nós a partir da explicitação por meio
da linguagem, entretanto, muitas vezes tal pensamento não está suficientemente
elaborado para que seja expresso. A insistência para que tal pensamento se expresse,
ainda mais por meio de uma linguagem formal e simbólica, não pode limitar a
formação do conceito principalmente (PANOSSIAN, 2008, p. 134).
49
Panossian sintetiza afirmando que os atos cometidos pelos estudantes no momento
da resolução das situações-problema desvendam motivos os quais gerem as suas atividades.
Para tanto, essas situações permitem que os estudantes cheguem a algumas deduções, mas não
obtêm a formação de conceito. A generalização alcançada pelos estudantes foi a empírica,
portanto, não há garantias de que os estudantes conseguirão resolver outros problemas,
mesmo que semelhantes.
Os estudantes resolveram os problemas aritmeticamente, o que não pode-se dizer
que conseguirão resolver algebricamente. Além disso, também possuem dificuldades em
expressar de maneira oral e escrita o seu registro simbólico (PANOSSIAN, 2008). A autora
ressalta que “os estudantes não terão condições de compreender a essência de um conceito, no
seu movimento lógico-histórico, se esta não estiver contemplada em várias e diferentes
situações de estudo propostas a eles” (PANOSSIAN, 2008, p. 163).
Khidir (2006) e Panossian (2008) pesquisaram a Álgebra no Ensino Fundamental
com 7ª série e 6ª série, respectivamente. As respostas encontradas às suas perguntas foram
semelhantes: os dois autores verificaram dificuldades na linguagem algébrica e também no
modo de lidar com os conceitos, pois os estudantes não se apropriam da essência do conceito,
mas apenas do procedimento de resolução. A pesquisa de Cury (1988) considerada
anteriormente, também detectou problemas com a linguagem Matemática.
Todas as pesquisas que apresentamos, voltadas ao Ensino Superior, tais como
Cury (1988), Zanardi e Lima (2008), Albano Filho (2012) e Garzella (2013) constataram que
as dificuldades dos estudantes, em grande parte, são oriundas do Ensino Médio e Ensino
Fundamental, uma vez que durante os anos de estudo, as fragilidades dos estudantes vão se
acumulando e essas deficiências os acompanham, porém, também permanecem no Ensino
Superior. No capítulo seguinte apresentaremos e analisaremos os dados coletados para a
presente pesquisa.
50
4 A NATUREZA DOS ERROS APRESENTADOS PELOS ESTUDANTES
No presente capítulo, abordaremos a análise dos erros apresentados pelos
estudantes, na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, de dois cursos de Engenharia,
durante resolução de exercícios e realização de provas. Mostraremos, quando necessário,
partes das resoluções e falas dos estudantes, da professora e da pesquisadora que revelam a
tricotomia entre aritmética, geometria e álgebra.
Apresentamos inicialmente os erros advindos do conhecimento aritmético, depois
da geometria e finalmente da álgebra. Ressaltamos que essa divisão foi em função da
organização do texto, mas em vários momentos um mesmo erro era expressão dos três.
4.1.1 Erros de Aritmética
A aritmética, de acordo com Dantzig (1970, p. 44) “é a base de tôda a
Matemática, pura ou aplicada. É a mais útil das ciências e provavelmente não existe nenhum
outro ramo do conhecimento humano tão espalhado entre as massas”. No contexto da
aritmética, surgiu, historicamente o conceito de número. Uma das grandes invenções da
humanidade que, segundo Ifrah (1985, p. 09), é decorrente da obrigatoriedade de
levantamento das propriedades. Surge a partir da necessidade de quantificar grandezas
discretas e contínuas. A aritmética, por sua vez, é considerada, como a ciência dos números
por ser o ramo da Matemática que lida com os números e com as operações entre eles
(LORENSATTI, 2012, p. 02).
Para Dantzig (1970, p. 59), a evolução da Teoria dos Números, pode ter surgido
de uma “espécie de numerologia” e ter atravessado por um “período errático de solução de
charadas antes de adquirir o status de ciência”. Para o referido autor, todo e qualquer processo
que envolve Matemática se sustenta no conceito de número.
Segundo Newman (apud TELES, 2004, p. 02), a aritmética é definida como uma
parte da Matemática que lida com cálculos e é dividida em Aritmética Comum (cálculos de
51
números já definidos) e Aritmética Literal (cálculo de números representados por letras -
cálculo algébrico).
Para Cambi (1999), alguns dos filósofos da antiguidade que iniciaram com o
conhecimento referente à aritmética. Pitágoras (570-497 a.C.), foi quem iniciou a escrita da
disciplina dos números, depois Nicômaco (60-120 d.C.) deu continuidade, expandindo e
ampliando ao que já existia. Essa produção, posteriormente, foi traduzida para os latinos,
inicialmente por Apuleio (125-180 d.C.) e, após, por Boécio (475-524 d.C.).
Foi Santo Isidoro (560-636 d.C.), quem, de maneira geral, transmitiu a cultura
clássica, daquela época para a Idade Média. Nascido em Sevilha, bispo por quase quatro
décadas (600 a 636 d.C.) deixou uma obra, que é uma espécie de enciclopédia, dividida em
vinte livros, o qual escreve sobre artes e ciências (LAUAND, 2002). Em um dos livros
intitulado: Quadrivium: las matemáticas: arithmética, geometría, música, y astronomía
Isidoro nomeia a Matemática como ciência do conhecimento abstrato, a qual foi expressa a
partir de necessidades humanas (SAN ISIDORO, 1951).
A aritmética foi considerada a primeira disciplina da Matemática, servindo
também à religião. “A Aritmética é a disciplina da quantidade numerável em si mesma
considerada” [...] “a música, a geometria e a astronomia, para existir, necessitam de seu
auxílio” (SAN ISIDORO, 1951, p. 75).
Foram muitos os sinais encontrados em ossos, pedras, peças de argila entre outros,
sobre a história da contagem. Conforme Ifrah (1985, p. 150), “A invenção dos algarismos
aconteceu muito antes da descoberta da escrita [...]”, nesta fase favorecia a memorização de
quantidades.
A aritmética se tornou indispensável desde que as primeiras civilizações chegaram
ao Oriente Médio, nas regiões férteis, propicias para a agricultura e cultivo de animais,
surgindo então o comércio. Atualmente, essa região “vai desde a Turquia até a Arábia,
também ao Norte da África, numa coexistência que ‘no seu pluralismo’ se influencia e se
contrapõe, encontrando no Mediterrâneo o centro de intercâmbio e o meio de comunicação”
(CAMBI, 1999, p. 68).
No que se refere ao sistema de numeração, de acordo com Boyer (1974), alguns
documentos foram encontrados há cerca de quatro mil anos. Refere-se à um sistema de
numeração de base sessenta. O autor apresenta também alguns escritos egípcios, considerados
52
ainda mais antigos, descobertos quais foram descobertos por volta de 1799, que trata de um
sistema de numeração de base dez.
A Matemática teve um progresso após a concepção dos algarismos indo-arábicos,
o qual consistia em métodos de resolução mais simplificados do que os que já existiam, o que
possibilitou a criação dos números inteiros.
Fibonacci (1170-1250) divulgou em 1202, pela Europa, um livro (Liber Abaci) no
qual trazia a representação numérica hindu, os seus fundamentos e algoritmos, para as
operações aritméticas.
A Aritmética tomou poder no uso do comércio e um dos motivadores foi Lutero,
que popularizou e defendeu “os quatros evangelhos comerciais da adição, subtração,
multiplicação e divisão”, disseminando como a “estranha doutrina de que todos os meninos
deviam aprender a calcular” (HOGBEN 1970, p. 28).
E, atualmente, a aritmética tornou-se indispensável no uso diário, é componente
necessário à vida de qualquer ser humano contemporâneo. Essa aritmética de origem
primitiva, mas, que atingiu elevado grau de abstração e generalização em nível teórico se faz
presente no currículo de todas as escolas nos dias atuais.
Em relação à aritmética, um dos conceitos que faz parte do currículo escolar,
desde os anos iniciais da Educação Básica, é o sistema de numeração e suas operações. No
atual contexto educacional brasileiro, inicia-se com os números naturais no 1º ano do Ensino
Fundamental e este acompanha o estudante em boa parte de sua trajetória. De acordo com os
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), alguns conteúdos aritméticos que são abordados no
6º ano do Ensino Fundamental, também são ensinados em anos anteriores. Portanto, gera o
desinteresse do estudante quando se depara com a mesma circunstância de aprendizagem, a
qual por diversas vezes, acaba por apenas repetir exercícios (BRASIL/SEF, 1998).
De acordo com os PCN, as escolas devem visar ao desenvolvimento do
pensamento numérico, para a aplicação em situações que delas se fizerem necessário. Há
também uma preocupação com relação ao sistema posicional numérico:
Associar a quantidade de grupos aos algarismos não é o suficiente para a aquisição
pela criança, em alfabetização, das estruturas fundantes do Sistema de Numeração
Decimal, pois, além de decimal, o sistema é posicional. O posicionamento, assim
como o agrupamento, devem figurar na proposta pedagógica como uma forma de
regra de jogo. Assim, [...] vamos propor que, a partir de uma estrutura lúdica seja
possível fazer emergir conceitos matemáticos. Nessa interlocução entre o lúdico e os
53
conceitos, o aluno pode conceber a ideia da posição como elemento fundamental na
representação das quantidades numéricas do Sistema de Numeração Decimal
posicional (BRASIL, 2014a, p. 28)
Portanto, de acordo com o documento em referência, não basta apenas a criança
saber quantificar o algarismo, mas, também saber qual é a posição que ele ocupa nesse
sistema, para isso, a sugestão dos PCN é que se trabalhe com recursos lúdicos.
Para as operações do sistema de numeração decimal, a sugestão é que faça a
utilização do próprio corpo e dos jogos e que se evidenciem os seus significados e suas
relações com o cotidiano (BRASIL, 2014a). Embora se fale de cotidiano no saber escolar,
Giardinetto (1997) nos alerta, ao dizer “é preciso ter claro o que é limitante no conhecimento
cotidiano” (GIARDINETTO, 1997, p. 146). O conteúdo matemático escolar não se limita
“aos parâmetros daquilo que pode ser apropriado fora da escola pelo cotidiano”
(GIARDINETTO, 1997, p. 20). Faz-se necessário considerar os conhecimentos científicos,
teóricos (DAVÍDOV, 1982). O que significa, na especificidade do conceito de número, ir
além dos limites dos números naturais, tal como ocorre atualmente no sistema educacional
brasileiro (ROSA, 2006 e 2012), para se contemplar, desde os primeiros anos de
escolarização, o conceito de número real (DAVÝDOV, 1982).
A origem do número natural, historicamente, está relacionada com a necessidade
de contagem. Caraça ainda acrescenta:
Para o primitivo, e mesmo para o filósofo antigo, os números estavam impregnados
de Natureza – a Natureza em cuja labuta o homem adquiriu todos os seus
conhecimentos – os números estavam ligados às coisas de que eles se serviam para
contar.
Para o homem civilizado de hoje o número natural é um ser puramente aritmético,
desligado das coisas reais e independente delas – é uma pura conquista do seu
pensamento. Com essa atitude, o homem de hoje, esquecido da origem humilde
histórica do número, e elevando-se (ou julgando elevar-se) acima da realidade
imediata, concentra-se nas suas possibilidades de pensamento e procura tirar delas o
maior rendimento (CARAÇA, 1951, p. 10)
Os números racionais, entretanto, emergiram da utilidade prática da medida.
“Medir consiste em comparar duas grandezas da mesma espécie – dois comprimentos, dois
pesos, dois volumes, etc.” (CARAÇA, 1951 p. 29). Os números racionais são desenvolvidos
devido à impossibilidade de se fazer uma divisão, que não seja exata.
54
Segundo Caraça (1951, p. 29, grifos do autor), “medir e contar, são as operações
cuja realização a vida de todos os dias exige com maior frequência.”
Portanto, só os números naturais não dão conta nem da vida de todos os dias, que
envolve situações de medições. Essa fragilidade é ainda maior no contexto mais abstrato das
grandezas incomensuráveis, nas quais os números racionais não possibilitam o registro da
medição. Além disso, os números, ao longo do desenvolvimento histórico, adquiriam
significações geométricas e algébricas. Mas a ênfase no processo de ensino e aprendizagem,
recaem sobre as significações aritméticas. Na sequência, apresentamos alguns erros cometidos
pelos estudantes da pesquisa em relação à aritmética. Iniciamos a análise da resolução
apresentada por E2 para operação 1.000 x 0,9 =___ (Ilustração 01):
Ilustração 01 – Resolução E2 da operação 1.000 x 0,9 =___
Fonte: Acervo da autora, 2014.
E2 precisava multiplicar 1.000 por 0,9. As multiplicações parciais estão corretas: 9
x 1.000 e 0 x 1.000. Porém, a vírgula foi colocada no lugar errado, trata-se de um equívoco
sobre valor posicional numérico. A resposta correta é 900 e não 0,9000 tal como E2 procedeu.
Ao ser questionado, E2 responde que não sabe onde vai a vírgula (registros escritos), e
acrescenta, “[...] quando se multiplica por 10, 100, 1.000, ..., devemos apenas acrescentar
zeros’’(Sic). E2 continua dizendo, “[...] cometo muitos erros de multiplicação e divisão, coisas
simples que não consigo entender, sempre me esqueço se vai vírgula, zero. Quando eu vejo
um número com vírgula eu penso, que já vou errar, pois não consigo fazer essas coisas com
vírgula [...]” (Sic). E2 sabe que vai uma vírgula no registro do resultado, que deve-se
acrescentar zeros, mas não sabe quantos devem ser acrescentados, pois desconhece a lógica
interna do sistema de numeração. Para ele, o número é uma abstração verbal vazia de
conteúdo.
55
Isso porque, de acordo com Silveira (2015), no ensino tradicional, a lógica interna
do sistema de numeração não é contemplada, diferentemente do que ocorre na proposição
davydoviana. Nesta, a relação universal subjacente ao sistema de numeração é revelada a
partir do estudo das grandezas na interconexão entre as diferentes bases numéricas, tais como
a ternária, quinária, entre outras. Este trabalho culmina com a sistematização da base decimal
sustentada na relação interna das demais bases, ou seja, em interconexão com elas. A
generalização do sistema de numeração ocorre por meio da relação universal existente nas
diferentes bases numéricas particulares, ou seja, partindo da constituição de ordens de
medidas distintas, mediante os agrupamentos (SILVEIRA, 2015).
A lógica do sistema de numeração, para Ifrah (1997), ocorreu historicamente,
seguindo conforme:
[...] uma‘escala’ a partir da qual é possível repartir os números e seus diversos
símbolos segundo estágios sucessivos, aos quais se pode dar os respectivos nomes:
unidades de primeira ordem, unidades de segunda ordem, unidades de terceira
ordem, e assim sucessivamente. E é dessa maneira que se chegou a uma
simbolização estruturada dos números, evitando-se esforços de memória ou de
representação considerável (IFRAH, 1997, p. 48, grifos do autor).
Ifrah (1997) chama essa lógica de princípio da base, “sua descoberta marcou o
nascimento dos sistemas de numeração – sistemas cuja ‘base’ nada mais é do que o número
de unidades que é necessário agrupar no interior de uma ordem dada para formar uma unidade
de ordem imediatamente superior” (IFRAH, 1997, p. 48, grifos do autor), seja no contexto dos
números inteiros ou não.
Davýdov propõe que no estudo de qualquer conceito matemático, inclusive do
sistema de numeração, com a ajuda de um professor, os estudantes iniciem com as relações
entre várias grandezas, identifiquem a relação essencial correspondente ao conceito em estudo
e a modelem (SILVEIRA, 2015). Nesse processo, constatem que a relação anteriormente
identificada se manifesta em outras situações independentemente da base numérica
considerada ou do conjunto numérico (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais).
Por outro lado, uma das mais atuais orientações brasileiras para o ensino do
sistema de numeração, o Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa - PNAIC
(BRASIL, 2014) no que diz respeito a Matemática, mais especificamente, ao sistema de
numeração, o mesmo limita-se à base decimal e sugere a utilização dos dedos para
56
operacionalização com os números. Além disso, também propõe a utilização de recursos
lúdicos, jogos e objetos variados, como, tampinhas de garrafas, palitos entre outros. Para a
operacionalização do sistema de numeração decimal, a proposta do PNAIC é que também se
trabalhe com jogos e materiais manipuláveis (BRASIL, 2014a), mas sempre nos limites da
grandeza discreta. Estas por sua vez, do modo como proposto nas orientações em referência,
constituem a gênese, apenas, dos números inteiros.
Em sua pesquisa, Silveira 2015 constatou que:
[...] a proposição do PNAIC, para a assimilação dos conceitos pelos estudantes,
ocorre a partir da separação das características comuns, por meio da comparação dos
diversos materiais manipuláveis ou visuais utilizados para a contagem. Por exemplo,
agrupamentos compostos por dez dedos das mãos, de dez palitos, dez tampinhas...
têm em comum a quantidade, uma dezena. Esse procedimento de abstração
corresponde, de acordo com Davýdov (1982), ao ensino tradicional [...] (SILVEIRA,
2015, pp. 160-161).
Essas orientações não se constituem em novidade para o ensino brasileiro, tal
como apontam os estudos de DAMAZIO, ROSA E EUZÉBIO (2012). Consequentemente
desenvolve-se a significação empírica do sistema de numeração, válida para um conjunto
numérico em particular, os números inteiros. Porém ela não dá conta da lógica interna
geradora de qualquer conjunto numérico. Isso pode se constatar nas falas de E2, apresentadas
anteriormente, quando ele nos afirma que não sabe quantos zeros acrescentar, que não sabe
resolver uma multiplicação de decimais. Durante os exercícios em sala de aula recorre ao uso
da calculadora e, por isso, atinge o resultado correto, mas na avaliação, nas quais o uso da
calculadora não é permitido, é que os problemas referentes à aritmética básica são
explicitados (registros escritos). A fim de superar tais limitações, Davýdov (1982) propõe que
desde o primeiro ano de escolarização se inicie com os números reais, a partir do estudo das
grandezas não só discretas, mas também contínuas. Nesse movimento, de acordo com
Davýdov (1982), diminuem-se consideravelmente os problemas recorrentes no ensino
tradicional, tal como o erro apresentado por E4 (Ilustração 02), semelhante ao anteriormente
analisado:
57
Ilustração 02 – Resolução de E4 para: D = 2 x π x 385.000
Fonte: Acervo da autora, 2014.
Na multiplicação de 6,28 x 385.000, E4 obteve como resultado 2.410.800 em vez
de 2.417.800. De acordo com a ilustração 2, o estudante errou a multiplicação. Ao explicar o
raciocínio utilizado, por meio de nova realização do cálculo, pergunta à pesquisadora: “onde
vai a vírgula?” (E4). Ou seja, o estudante não se dá conta de que errou na multiplicação, que a
vírgula automaticamente não aparece mais, pois após ela só há zeros. Portanto, no momento
em que propusemos a repetição do cálculo, almejávamos a realização correta da multiplicação
dos números 6,28 x 385.000, mas, nesse momento, ele não sabia o que fazer com a vírgula.
Isso evidencia que o estudante não se apropriou da essência do conceito, de sua lógica interna
de funcionamento e operacionalização, mas apenas decorou algumas “regras” que foram
esquecidas. E4 afirma que, atualmente, seus principais erros em relação à Matemática, na
disciplina de Cálculo I, são (E4): “[...] regras de Matemática Básica, interpretação, fração e
sinal” (sic).
Nos erros em análise, não há evidências de compreensão tanto da lógica interna
do sistema de numeração quanto do algoritmo da multiplicação. Trata-se de uma realização a
partir de passos a serem seguidos, mas sem relação conceitual interna que os sustenta. O
mesmo ocorre na operação inversa da multiplicação: a divisão, conforme a ilustração 03.
Ilustração 03 – Resolução E2 exercício de divisão 90 ÷ 81
Fonte: Acervo da autora, 2014.
58
O resultado correto é uma dízima periódica: 90 ÷ 81 = 1,1111.... E2 não consegue
concluir a divisão, de qualquer forma iniciou incorretamente: “[...] eu não sei terminar, só sei
que dá dez vírgula alguma coisa” (Sic). Explica que seguiu o algoritmo, primeiro dividiu o 90
por 81, deu 1 e sobrou 9 de resto, como o nove não dá pra dividir por 81, acrescentou zero no
quociente. Após acrescentar o zero, colocou uma vírgula também no quociente e um zero no
resto. Mas ficou novamente 90 dividido por 81 e não conseguiu terminar. Afirmou que
sobraria 9 e teria que acrescentar zeros e vírgulas e não saberia como concluir (registros
escritos).
Segundo Bézout (1849, p. 45), “Repartir ou dividir um número por outro, não é
outra coisa mais do que buscar quantas vezes o primeiro deles contém o segundo; e a
operação com que se busca chama-se [...] divisão”. Para a proposição davydoviana:
A essência do conceito da divisão é revelada [...] nas tarefas que envolvem
agrupamentos (unidade de medida intermediária), ou seja, quantas unidades de
medida intermediária cabem no total de unidades de medida básicas. A tarefa é
objetivada a partir das significações geométricas (esquema e reta numérica),
algébricas (representação da medida da grandeza por meio de letras) e aritméticas
(representação dos valores por meio de algarismos) (ROSA, et al, 2014, p. 10).
E2 não tem essa compreensão correspondente à relação interna no conceito de
divisão válida para qualquer campo numérico. Ao ser questionado sobre quantas vezes o
divisor 81 cabe no dividendo 90, ele respondeu rapidamente, “[...] uma é claro, sobrando
nove” (Sic). Sobre o resultado que obteve no algoritmo (10) explicou que nunca compreendeu
a divisão com vírgula (registros escritos), em entrevista E2 relata que suas principais
dificuldades estão relacionadas a:
[...] erros de fatoração, mínimo múltiplo comum, aquelas divisões, essas coisas que
parecem ser mais simples. Que para mim, são muito complicadas não entra na minha
cabeça, não entendo [...] (sic).
E2 comete erros de multiplicação, divisão, o que confirmamos em sua fala, mas
isso não é exclusividade deste estudante, seus colegas repetem os mesmos erros, conforme a
ilustração 04:
59
Ilustração 04 – Resolução de E7 referente à divisão de 8.100 por 1.000
Fonte: Acervo da autora, 2014.
A resposta correta seria: 8.100 ÷ 1.000 = 8,1. E2 e E7 cometem erros semelhantes.
E7 afirma que tentou fazer a divisão, mas como não lembrava mais como prosseguir, então,
resolveu ir pela “regrinha” dos zeros para dividir por mil (registros escritos), ou seja, “[...]
apenas pular as casas decimais conforme a quantidade de números que tenho na chave, assim
como tenho quatro números na chave vou pular quatro casas decimais” (Sic).
Subjacente às respostas dos estudantes, explicita-se o movimento de formação
conceitual percorrido por eles. O foco incidiu na aparência externa do fenômeno (algoritmo)
em detrimento de sua essência, das relações internas que norteiam a resolução do algoritmo.
Por isso, operam empiricamente em detrimento da resolução teórica. Os procedimentos
adotados refletem a formação empírica dos conceitos de multiplicação e divisão, na qual,
“apoiando-se nas observações, refletem nas representações as propriedades externas dos
objetos.” (DAVÍDOV, 1988, p. 154).
Por outro lado, com base nos fundamentos da lógica dialética, Davýdov sugere
que se contemple no ensino a relação universal dos conceitos. Essa relação rege a lógica
interna que fundamenta e explica a aparência externa. Ou, na especificidade das reflexões
aqui empreendidas, trata-se da lógica que norteia o procedimento de elaboração e resolução
dos algoritmos das operações e do sistema em operação, o sistema de numeração, a partir do
campo dos números reais. De acordo com Davýdov (1982), os números reais devem ser o
ponto de partida desde o primeiro ano escolar, diferentemente do que ocorre na educação
escolar brasileira, em que a ênfase recai sobre os naturais. Porém, Davýdov (1982) fala da
existência de limitações ao iniciar e permanecer por um prolongado período de estudo nos
naturais, pois os próprios números naturais não são desenvolvidos adequadamente, conforme
a ilustração 5:
60
Ilustração 05 – Resolução de E6 referente à multiplicação: 16 x 36
Fonte: Acervo da autora, 2014.
Ao multiplicar os números 16 x 36, E6 obtém 476 que somado a 36 chega em 512.
O valor correto da multiplicação de 16 x 36 seria 576 somados a 36, resultaria em 612. E6
afirma que gosta muito de Matemática, mas acha muito difícil, em função das muitas regras e
fórmulas para memorizar e às vezes se confunde, não sabe qual adotar. “[...] essa coisa de
deixar uma casa, coloca um em cima, pede um emprestado, passa somando, passa
diminuindo, multiplicando, dividindo. Muita coisa pra minha cabeça ter que se lembrar de
tudo isso, já tanta coisa pra pensar e se preocupar” (sic). Subjacente à fala de E6 está a falta de
compreensão da essência do conceito, da sua lógica interna, que possibilita, inclusive a
reprodução das fórmulas em caso de esquecimento das mesmas. Ainda no contexto dos
racionais, há problemas na operacionalização destes na forma fracionária, conforme a
ilustração 06.
61
Ilustração 06– Resolução E7 referente a uma equação envolvendo fração
Fonte: Acervo da autora, 2014.
E7 resolve uma equação em que precisa determinar o valor da incógnita x, para
tanto, operou com números racionais. Multiplica corretamente o número inteiro (-5) pelos
fracionários por meio da propriedade distributiva. Entretanto, ignora o denominador
(3), ficando apenas . A partir desse estágio, segue com a resolução correta:
, e obtém como resultado , o que não se pode ser considerado como
correto, pois no processo, o estudante desconsiderou o denominador (3). E explica: “cortei”
(sic). O estudante concebe o três como se o denominador fosse de toda a equação e, portanto,
poderia eliminar. A todo momento falava em cortar o mínimo, tirar o mínimo, mas não sabia
para que tirar o mínimo e cortar depois (registros escritos). Isso corre, pois segundo
orientação dos PCN:
Embora as representações fracionárias e decimais dos números racionais sejam
conteúdos desenvolvidos nos ciclos iniciais, o que se constata é que os alunos
chegam ao terceiro ciclo sem compreender os diferentes significados associados a
esse tipo de número e tampouco os procedimentos de cálculo, em especial os que
envolvem os racionais na forma decimal.
Uma explicação para as dificuldades encontradas possivelmente deve-se ao fato de
que a aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com idéias construídas
para os números naturais (BRASIL, 1998, p. 101).
62
Para superar tais limites, Davýdov (1982) propõe que no ensino se contemple os
números reais, desde o primeiro ano escolar, a partir das relações entre grandezas discretas e
contínuas no contexto da reta numérica.
O conteúdo que é ensinado nas escolas é realizado por meio de abstrações vazias
que contribuem para consolidar o pensamento empírico, formando obstáculos para a
compreensão posterior do conteúdo teórico (DUSAVITSKII, 2014; DAVYDOV,
SLOBODCHIKOV, 1991). Tal como se explicita no erro de E2 apresentado na ilustração 07,
referente a um exercício de avaliação. A proposta era desenvolvê-lo por meio do modelo
algébrico da função: y = ax + b. Entretanto, E2 utiliza outro procedimento de resolução.
Ilustração 07 – Resolução com predomínio das significações aritméticas
Fonte: Acervo da autora, 2014.
A ilustração 07 refere-se a uma das questões da primeira avaliação proposta pela
professora da disciplina. Um dos estudantes pesquisados (E2) extraiu corretamente as
informações do enunciado: a 100m de profundidade em relação à superfície da terra a
temperatura é de 25ºC, em seguida, a cada 100m a temperatura aumenta em 3ºC. A resolução
aritmética está correta até o penúltimo cálculo (Ilustração 07). Porém, no último, ele se perde
e erra, pois calculou 64 + 3 = 65 em vez de 67. E2 afirma que não sabia como resolver a partir
do modelo algébrico de função, então, foi acrescentando sempre 3ºC, assim, seria mais fácil
para ele (registros escritos). Ainda acrescenta “[...] não podia ter errado essa soma, era
simples, mas não consigo explicar, acho que fico muito nervoso, porque já sou repetente e não
63
posso mais reprovar” (sic). De acordo com o conteúdo da disciplina, o estudante deveria
desenvolver por meio do modelo da função: , ou seja, algebricamente. Além disso,
para subsidiar a interpretação do problema, poderia representar a relação de variação entre as
grandezas (comprimento e temperatura) geometricamente, na forma gráfica, conforme segue
(Ilustração 08):
Ilustração 08 - Resolução correta fundamentada na aritmética, geometria e álgebra
Fonte: Acervo da autora, 2014.
No entanto, a resolução apresentada por E2 ocorre apenas nos limites da
aritmética. Os erros dessa natureza não são exclusividade de E2. Todos os pesquisados
cometeram erros semelhantes. Faz-se necessário ressaltar que dos onze anos que eles
estiveram na Educação Básica, pelo menos seis deles foram dedicados ao estudo da
aritmética, ou seja, mais de 50%. E ainda assim, erros desse tipo são cometidos.
Com relação ao conteúdo de função, os PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais)
trazem a compreensão do conceito de variável de uma função, a representação algébrica e
gráfica assim como sua formulação e resolução de problemas por meio das equações, fala da
importância do conhecimento da “sintaxe” que são as regras para resolução de uma equação
por meio de memorização (PCN de Matemática, 1998, p. 84).
64
Ao analisar os livros didáticos brasileiros Dorigon (2013, p. 82) constatou que
estes “conduzem o ensino dos conceitos por meio de associações a exemplos, memorizações
de regras e macetes, e, comparação com situações particulares que não desenvolvem [...] a
gênese do conceito”.
A fim de superar tais limites, na proposição davydoviana, a introdução do
conceito de equação já ocorre a partir das relações entre grandezas no contexto das
significações aritméticas, geométricas e algébricas (ROSA, et al, 2014) em detrimento de sua
tricotomização em sequência linear: aritmética → geometria → álgebra. Tal como ocorre
atualmente no modo de organização do ensino em nosso país (ROSA, 2012). E que produz
resultados insatisfatórios em cada uma delas, tal como veremos na sequência em relação à
geometria.
4.1.2 Erros de Geometria
A geometria surgiu da própria evolução da história humana desde o início da
civilização. A palavra geometria é derivada do grego, geometrein, a qual geo significa terra e
metrein quer dizer medida. Portanto, a geometria em seu estágio atual de desenvolvimento
derivou de uma ciência que originalmente se tratava da medição da terra. Herodotus (Século 5
a.C.), credita aos egípcios por todo início de estudo da geometria, mas, algumas antigas
civilizações, como, os babilônios, hindus e os chineses também possuíam muito
conhecimento geométrico (SANTOS e VIGLIONI, 2011).
Assim, o aparecimento da geometria ocorreu em função do desenvolvimento da
agricultura, por meio da necessidade de demarcação de terras e do cálculo de áreas.
Precisavam, também, armazenar suas produções, iniciando, neste momento, o cálculo de
volume. Para tanto, a arquitetura não fica de fora, a construção de templos, pirâmides,
também exigiam certo conhecimento geométrico (SANTOS e VIGLIONI, 2011).
Um dos primeiros nomes da história da geometria foi Thales de Mileto. Mesmo
sem se saber muito sobre a vida desse matemático grego, a história traz alguns registros
importantes sobre suas demonstrações. Porém, a geometria só assumiu seu estágio mais
65
desenvolvido por meio da obra de Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.). Este foi um
professor, matemático platônico, que criou a geometria euclidiana (PINHO et all, 2005).
Os Elementos de Euclides é um tratado matemático e geométrico consistindo de 13
livros escrito pelo matemático grego Euclides em Alexandria por volta de 300 a.C.
Os 4 primeiros livros, que hoje pode ser pensando como capítulos, tratam da
Geometria Plana conhecida da época, enquanto os demais tratam da teoria dos
números, dos incomensuráveis e da geometria espacial (SANTOS e VIGLIONI,
2011, p. 14).
Nesses livros, Euclides sistematiza a geometria que mais era importante na sua
época, “com um rigor nas demonstrações que se tornou padrão para toda a matemática por
mais de dois milênios” (PINHO et all, 2005).
O ensino de geometria no Brasil, no início do século XX ainda não era visto com
muita relevância, tendo em vista que a maioria da população era analfabeta. Somente os filhos
e parentes de latifundiários conseguiam chegar a um nível mais elevado de educação. Estes
tinham preferência pelo jurídico, que facilitava o acesso a cargos políticos. Havia, portanto,
pouco interesse em estudos geométricos de nível teórico. Por outro lado, o ensino de
matemática nas escolas primárias era essencialmente utilitário: aprendia-se apenas algumas
técnicas operatórias necessárias à vida prática das atividades comerciais existentes naquela
época, e se trabalhavam apenas algumas noções de geometria (PAVANELLO, 1993).
Por sua vez, o ensino secundário é, em geral, pago e destina-se, pois, às elites e à
preparação para os cursos superiores. Os conteúdos de matemática (aritmética,
álgebra, geometria, etc) são ensinados separadamente e por professores diferentes. O
tratamento dado a eles e puramente abstrato, sem qualquer preocupação com as
aplicações práticas (PAVANELLO, 1993, p. 8).
Atualmente, o que encontramos em algumas escolas brasileiras, é que o ensino de
geometria é desenvolvido somente no final do ano letivo e seu estudo ocorre superficialmente,
enfatiza-se a memorização de fórmulas e as correspondentes aplicações, sob alegação da falta
de tempo (ALMOULOUD et al, 2004).
Para Pavanello (1993), foi a partir da divulgação da Lei 5692/71, que as escolas
brasileiras conseguiram definir seus currículos e, muitas delas retiraram a geometria ou
deixaram para o final do ano letivo. Esse abandono causou preocupação, por ser tão
importante quanto à aritmética e a álgebra. Nessa direção, os Parâmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Fundamental defendem que a Geometria “desempenha um papel
66
fundamental no currículo, na medida em que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de
pensamento particular para compreender, descrever e representar, de forma organizada”
(BRASIL, 1998, p. 122), o mundo em que vive.
Ainda conforme os PCN, a geometria é uma área pela qual os estudantes têm
interesse em aprender. Também destaca que auxilia na aprendizagem de números e medidas,
estimulando a observação, percepção, identificação de algumas regularidades, entre outras.
De acordo com o referido documento, o professor que trabalha com espaço e
forma, em sala de aula, pode explorar situações com construções geométricas. Não apenas nos
limites do estudo das formas, “mas também as noções relativas à posição, localização de
figuras e deslocamentos no plano e sistemas de coordenadas”. O estudo do espaço e forma
precisam ser “explorados a partir de objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas,
desenhos, esculturas e artesanato, de modo que permita ao aluno estabelecer conexões entre a
Matemática e outras áreas do conhecimento” (BRASIL, 1998, p. 51).
Para, Del Grande (1994, p. 126) a sugestão é que algumas atividades geométricas
poderiam desenvolver e destacar habilidades espaciais em criança dos anos iniciais. Para o
referido autor, a percepção espacial é “a habilidade de reconhecer e discriminar estímulos no e
do espaço e para interpretar esses estímulos associando-os a experiências anteriores”. Para
ele, os exercícios matemáticos desenvolvidos geometricamente contribuem para a apropriação
dos conceitos, oportunizando aos professores detectarem como o pensamento geométrico é
construído nas crianças. Del Grande (1994) ainda ressalta que essa percepção geométrica é
fundamental para a elaboração de exercícios e para a organização do ensino de Matemática.
Para Davýdov as significações geométricas desempenham um papel fundamental
na mediação entre a realidade, o plano objetal e o plano mental. Os esquemas e modelos que
representam a relação geneticamente inicial, formados a partir de elementos geométricos tais
como segmentos, retas, arcos, entre outros, constituem o elo entre a ação objetal e a mental.
Trata-se de uma etapa importante no processo de abstração, até atingir as representações
algébricas (DAVÝDOV, 1982). Porém, os estudantes não se apóiam nas significações
geométricas durante o desenvolvimento dos exercícios e atividades propostos pela professora
da disciplina, conforme segue a ilustração 09:
67
Ilustração 09 – Resolução E1 exercício de função: limites das significações geométricas
Fonte: Acervo da autora, 2014.
A proposta do exercício consiste em desenvolver uma função com base no raio do
cilindro, que represente o custo de uma lata. De acordo com o enunciado, a lata possui
formato de um cilindro circular reto, com capacidade para 500cm³. O custo para a tampa e a
base é de 0,02 centavos/cm² e o custo da lateral de 0,01 centavo/cm².
E1 iniciou corretamente a resolução, considerou 500cm³ (volume) relacionado
com a fórmula Volume = base x altura. A fórmula da área da base é dada por está
correta, pois a base é circular, mas como temos duas áreas da base (tampa), portanto a área,
considerando a base e a tampa, seria . Ao expressar a altura em termos do raio,
o estudante adotou a fórmula do comprimento da circunferência ( ), que não possui
relação alguma com a altura, e sim com área da lateral, pois a lateral da lata forma um
retângulo, onde ficaria . O correto seria representar primeiramente a altura em
termos do raio, ou seja, iniciando do volume , como e o ,
logo, , para posteriormente representar a função,
ou ainda .
Vale salientar que a geometria é uma parte da Matemática que estuda as formas
em sua dimensão abstrata. E não como representação direta de objetos, tal como antecede no
ensino tradicional. “Desde o nascimento, o ser humano encontra-se em contato com a
realidade, com objetos e com o mundo ao seu redor, e é a partir dessa relação que vai se
68
constituindo seus conhecimentos” empíricos (VAZ, 2013, p. 70). Cabe ao ensino desvelar as
relações teóricas, abstratas que respaldam aquela aparência externamente dada (DAVÝDOV,
1982). “No entanto, quando se fala em ensino de geometria, os professores associam o ensino
a nomeação de figuras simples e usuais (quadrado, triângulo, círculo), para, posteriormente,
ensinarmos o cálculo da área dessas figuras” (VAZ, 2013, p. 70), nos limites da segunda
dimensão, sem muitas relações com a terceira. De acordo com Del Grande (1994), a
geometria possibilita o desenvolvimento da compreensão referente à dimensão espacial dos
estudantes, no entanto, E1 não consegue raciocinar espacialmente e relata “[...] sempre me
confundo nesses exercícios em que envolve área e volume, pois não consigo pensar, se tivesse
o desenho já pronto acho que seria mais fácil” (sic). Consequentemente, os estudantes não dão
conta dessas relações no plano abstrato, tal como o erro apresentado por E1 (Ilustração09), que
se apoiou apenas nas fórmulas prontas, sem refletir sobre a situação apresentada, uma vez que
não consegue representar geometricamente a situação dada, o que poderia se constituir em
elemento mediador para que pudesse atingir a interpretação algébrica correta. Cury (1988), na
pesquisa apresentada no capítulo anterior, afirma que os erros relacionados à geometria estão
ligados ao fato de que os estudantes quase sempre recebem o conteúdo acabado, sem a devida
demonstração de fórmulas e teoremas, não possuindo a compreensão teórica. A autora é
enfática: trata-se do abandono da geometria na Educação Básica, o que impede a formação de
conceitos que servirão de base para a aprendizagem de novos conhecimentos. O mesmo
ocorre com o E5, conforme ilustração 10.
69
Ilustração 10 – Resolução de E5 exercício envolvendo função
Fonte: Acervo da autora, 2014.
E5 comete um erro semelhante a E2. Ambos consideram o comprimento da
circunferência como a altura do cilindro. E5, além de não representar a base e a tampa, não
contempla o custo do material envolvido e explica que é “[...] difícil esses exercícios em que
tem que interpretar” (Sic). Tanto E5 quanto E2 têm dificuldades em interpretar o problema.
A interpretação de problemas, de acordo com Davýdov, requer a capacidade de
representar a relação interna inerente à situação dada por meio de esquemas abstratos,
compostos por elementos geométricos. Esses esquemas não representam a situação
diretamente dada, mas a relação essencial do conceito, ou do sistema conceitual que
possibilita a sua resolução. Trata-se da interpretação teórica do problema (DAVÝDOV,
1982). Porém, nem a representação empírica da situação dada os estudantes apresentaram.
As limitações na interpretação de problemas em níveis mais abstratos também
decorrem, de acordo com Davídov (1987), do predomínio do “princípio do caráter visual” no
ensino. Como no exercício em análise não se apresenta nenhuma imagem, o estudante não
consegue interpretar e assim resolver. Para Davídov (1987) esse princípio contempla o reflexo
sensorial das propriedades externas do objeto. O “princípio do caráter visual” “é externamente
simples, até banal, se, de fato, a prática de sua aplicação não fosse tão séria (e, para o
desenvolvimento mental, tão trágica), como é na realidade”. Isso ocorre, pois esse princípio
desenvolve nos estudantes unicamente o pensamento empírico (DAVÍDOV, 1987, p. 148).
70
Veremos nas imagens seguintes os erros cometidos por estudantes referentes à
função do 1º grau. Tais estudantes não conseguem relacionar a função com sua representação
gráfica. Uma função, no entendimento do estudante, não passa de uma abstração com
procedimentos algébricos. A incompreensão das significações geométricas é recorrente
inclusive nos exercícios referentes às funções, conforme a ilustração 11.
Ilustração 11 – Resolução E3 exercício de função
Fonte: Acervo da autora, 2014.
E3 entende que precisa iniciar a partir da lei geral de uma função do primeiro grau
, mas não dá continuidade. No entanto, não faz nenhum esboço gráfico, como
também não possui relação com as variáveis. Ele só substitui o “a” por três e o “b” por 25,
pois 25 e 3 constituem as variáveis que se relacionam com a temperatura. Em seguida, faz a
relação das variáveis de profundidade 1.500m e 100m e determina um valor para x (x = 15).
Na sequência, substitui o valor de 15 para x na primeira função . O estudante não
faz relação alguma com os valores de x e y.
E3 explica que chegou à função porque entende que 25 é a
temperatura inicial e 3 é a temperatura que varia, então, é multiplicado por x. Para a segunda
função diz apenas que teria que encontrar o valor de x para 1.500 metros de
profundidade, por isso o faz dessa maneira, encontrando então , após resolver a
71
equação de primeiro grau. E finaliza informando que o valor final que precisava encontrar era
o valor de y, e, portanto, era só substituir o x na primeira equação, , cujo
resultado foi: (registros escritos).
O estudante apresenta argumentos com base na resolução imediata da situação,
sem manifestar compreensão conceitual durante a explicação referente ao processo de
resolução de uma questão. Realizou tais procedimentos para não deixar em branco. Podemos
confirmar na sua fala (E3):
Tenho dificuldade em tudo, pois fiquei quatro anos parado antes de iniciar a
graduação. Agora não lembro mais de nada! Esqueci tudo, até pra tirar da raiz, estou
aprendendo tudo novamente, tenho que relembrar, tem muito sinal, essas troca de
sinal não consigo entender, quando tá somando, quando tá multiplicando. Quando
passa pra lá diminuindo, ou somando, dividindo, é muito complicado. Função,
fração é tudo muito complicado. Agora que eu tô aprendendo o mínimo múltiplo
comum! Tá feio o negócio! (sic).
Tanto na resolução quanto na explicação, E3 não recorre a modelação geométrica
da situação, embora não solicitada no enunciado, o que poderia mediar a interpretação do
modelo algébrico (lei da função), tal como ocorre com E2 na ilustração 12, na resolução de um
exercício avaliativo.
Ilustração 12 – Resolução E2 exercício de função
Fonte: Acervo da autora, 2014.
72
E2 consegue relacionar a informação de que em 100m de profundidade temos
25ºC ao modelo de função ( ). Mas no momento de representar graficamente, ele o
faz incorretamente. Considera, no gráfico, a temperatura como a variável independente e a
profundidade, a variável dependente. Consequentemente, não consegue fazer corretamente o
gráfico. A interpretação correta, neste caso, seria o inverso, pois a profundidade seria o x
(independente) e a temperatura o y (dependente).
Segundo Caraça (1952, p. 134) a curva gerada por um sistema de coordenadas
cartesiana, define-se uma função real de y(x), desde que “sejam a e b dois números reais, um
pertencente ao domínio da variável x, outro ao domínio da variável y”. O par (a,b)
corresponde o ponto M pertencente a curva. Os números (a,b) são denominados de
“coordenadas cartesianas do ponto M, a abscissa e b ordenada; ao eixo Ox, eixo das abscissas;
ao eixo Oy, eixo das ordenadas; ao ponto O, origem das coordenadas” (CARAÇA, 1951, p.
135).
No entanto, durante a análise, não detectamos tal compreensão no plano
geométrico atrelado a sua representação algébrica. Em outras palavras, tratam-se de modelos
algébricos, vazios de significação geométrica. Situação semelhante ocorreu com E5 na
ilustração seguinte (Ilustração 13)
Ilustração 13 – Resolução E5 exercício de função
Fonte: Acervo da autora, 2014.
Assim como outros estudantes, E5 também não vincula a função a uma
representação gráfica. A interpretação do estudante foi que a temperatura de 25º C
correspondia ao momento inicial (na posição zero de profundidade), e não após 100 metros,
73
como consta no enunciado. Na resolução, o estudante traz a função sem
relacionar com a forma geral de função , descartando, assim, a relação entre as
variáveis.
Quando questionado sobre a resolução, E5 não percebe o erro e relata o modo
como chegou à função . Afirma que a temperatura de 25ºC consiste na
temperatura da profundidade inicial, e a partir daí é que a temperatura aumenta 3ºC conforme
a profundidade também aumenta, em razão de 100m, portanto 3/100, ou seja,
temperatura/profundidade. E5 explica sobre o lugar da incógnita x: é temperatura inicial e a
partir desse ponto é que aumenta a razão de 0,03, portanto, a incógnita x vai nessa razão. Para
o estudante, o f(x) representa temperatura e o x a profundidade (registros escritos). Ainda
sobre suas dificuldades acrescenta, (E5):
[...] função do segundo grau e função de primeiro grau. Não sei quando é pra aplicar
Báskara ou não. Função composta eu também não consigo entender. A derivada nem
se fala, eu olho a tabela e fico pensando, pra que todas essas fórmulas? Erro quando
vou aplicar as fórmulas da tabela. Também não consigo interpretar os problemas, os
exercícios no meu Ensino Médio eram sem interpretação (sic).
Os erros cometidos nas avaliações anteriormente relatados são recorrentes,
conforme constatamos no período de realização de exercícios. Os estudantes não concebem
função como uma relação entre duas grandezas que pode ser representada graficamente. Não
compreendem a relação de equivalência, erram na operacionalização, e apresentam
dificuldades na identificação das variáveis dependentes e independentes, na representação e
interpretação geométrica. Para Caraça (1951), o conceito de variável é essencial para a
compreensão do conceito de função. Esse é um instrumento propício para o estudo das leis
quantitativas da realidade. De acordo com o autor em referência, a definição de uma função
consiste em:
Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz-se que y é
função de x e escreve-sey = f(x) se entre as duas variáveis existe uma
correspondência unívoca no sentido x y. A x chama-se variável independente, a y
variável dependente.
Para indicar que y é função de x, usaremos também escrever simplesmente y(x); para
representar aquele valor b de y que corresponde a um valor particular a de x,
escreve-se b = f(a) ou b = y(a), conforme se usou a representação y = f(x) ou y(x)
(CARAÇA, 1951, p. 129).
74
No entanto, os estudantes não manifestam essa compreensão em relação ao
conceito base para o conteúdo da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. E continuam
sem compreender, mesmo após a revisão proposta no início da disciplina, tal como se verifica
no exercício proposto pela professora para resolução em sala de aula, apresentado na
sequência (Ilustração 14). Ressaltamos que todos os exercícios propostos apresentam o
gabarito com as correspondentes resoluções. Esse exercício refere-se ao conteúdo do conceito
de função (domínio, imagem e valor numérico de uma função).
Ilustração 14 – Exercício de função
Fonte: Acervo da autora, 2014.
A seguir, transcrevemos um diálogo entre E2 e a professora da disciplina durante o
período de realização dos exercícios:
E2: Nessa questão aqui tá pedindo a imagem da função, o que é a imagem?
Professora: O que define uma função pra onde ela existe é o domínio, então a partir
do domínio é que vai existir a imagem, o y. É o domínio que manda na função, então
neste exercício, o domínio começa no -1, e quando o x é -1, substituindo na função -
1 pro x, resolvendo pra y, que encontramos y=2.
E2: o resultado no caso?
Professora: é. O gráfico pra y inicia a partir do 2, logo a tua imagem. Agora você
tem que analisar o gráfico da função pra saber pra onde essa imagem vai, ela inicia
no 2, mas pra onde ela vai? Pode ir pro infinito, parar em algum ponto, você precisa
analisar isso agora. Você pode substituir um valor dentro do domínio pra ver se o
gráfico vai crescendo, se ele é infinito.
E2: Então a imagem é só substituir?
Professora: Não necessariamente, nessas mais simples dá pra fazer desta maneira,
pega-se o valor onde começa o domínio e analisa a imagem (Sic).
75
O diálogo apresentado possibilita a constatação de que E2 não tem conhecimento de
domínio e imagem de uma função e não se apropriou do conhecimento geométrico referente à
função, pois não é capaz de representar uma função em sua forma gráfica.
Após a conversa anteriormente relatada, E2 vai para seu lugar, sem entender muito
sobre o que é imagem, resolve o exercício conforme orientação da professora. Encontra para y
o valor de 2, mas não compreende por que vai para o infinito e nem por que o intervalo é
fechado em 2. Ao formular a resposta final, coloca o intervalo aberto no 2. Quando vê a
resposta do exercício, ele apaga rapidamente e coloca intervalo fechado, conforme resposta
que tem em mãos. A pesquisadora, que até o momento somente observava, intervém e inicia
um diálogo com o estudante.
Pesquisadora: Como chegou à resposta?
E2: A professora falou que era só substituir o domínio aqui na raiz, no lugar do x,
pois o domínio deu que o x tem que ser -1, pois -1+1=0 porque dentro da raiz tem
que ser zero ou maior que zero, não pode ser negativo.
Pesquisadora: Porque não pode ser negativo?
E2: Porque não existe raiz de um número negativo
Pesquisadora: Mas por que não existe?
E2: Sabe que eu não sei, só lembro que a professora sempre falava que não existia.
Pesquisadora: Voltando à imagem, tu partiu do domínio pra encontrar o que mesmo?
E2: Eu parti do domínio pra encontrar imagem eu acho, foi como a professora me
mandou fazer, onde começa o gráfico, sei lá... alguma coisa assim.
Pesquisadora: E por que 2 é infinito?
E2: Não entendi, só coloquei, pois está na resposta que a professora deu (Sic).
Percebemos que o estudante não compreendeu a ideia de função, seus limites de
domínio e imagem. Ou seja, fez sem compreender o que fez. Apenas seguiu as orientações
procedimentais da professora.
O que segue são reflexões apresentadas referentes ao exercício a seguir (Ilustração
15) desenvolvido em sala de aula. E3 não consegue compreender, assim como E2, domínio e
imagem de uma função.
76
Ilustração 15 - Exercício de função
Fonte: Acervo da autora, 2014.
E3 faz alguns questionamentos à professora sobre domínio e imagem de uma
função:
E3: Não entendi esta questão, o que é mesmo a imagem, domínio?
Professora: A imagem é o y onde a função vai existir. A questão quer saber qual é o
x cujo y é o seu dobro. Em termos gerais é isso, então se o x é x o y vai ser o seu
dobro, quem é o dobro de x?
E3: Então eu tenho que achar primeiro o valor de x?
Professora: Se tu tem um número qual é o dobro dele?
E3: É o valor de y
Professora: Um número qualquer, se tu tens três qual é o dobro de três?
E3: Nove, ...seis
Professora: Seis, duas vezes três, quatro o dobro de quatro?
E3: Oito
Professora: Duas vezes quatro que é oito, então o dobro é duas vezes, então se tu
tens um número qualquer, x, qual é o dobro dele?
E3: Vai ser x², não?
Professora: Dobro! É ao quadrado, ou...?
E3: então, ele vezes ele!
Professora: O dobro é duas vezes ele, então?
E3: então, tá certo.
Professora: se tens um número que é x o dobro é 2x, se o domínio é um número x
que tu não conhece o y vai ser duas vezes ele, 2x, então tu vai substituir aqui por 2x
e tu vai resolver essa equação, e vai achar o x, e tu vai ter um número cuja imagem
vai ser o dobro dele.
E3: Então é só resolver que vai dar a imagem? Mas a imagem é o x?
Professora: sim, é só resolver e a imagem não é o x é o y (Sic).
O estudante não interpreta o problema e não sabe relacionar imagem com o
domínio nos planos aritmético, geométrico e algébrico, assim como ocorre com E2 e E3. Para
Caraça (1951, p. 135) a imagem de uma função é definida por meio da correspondência entre
x e y. Em uma função y(x), x corresponde aos valores de a e y corresponde aos valores de b.
Essa correlação possibilita a construção de um conjunto de pontos no plano. Portanto, a
imagem de uma função define-se como os pontos correspondentes aos valores de y(x).
77
Nos exercícios anteriores (Ilustração 11, 12, 13, 14 e 15) relacionados à função,
constatamos que os estudantes pesquisados, não somente E2, E3 e E5, mas todos os
pesquisados (E1, E2, E3, E4, E5, E6 e E7) não concebem função como variação entre grandezas,
conforme sugere Caraça (1951). Portanto, não representada geometricamente, inclusive para
mediar o processo de interpretação da situação dada e de abstração até atingir a lei da função
que possibilita a generalização para as diversas situações singulares.
Ao contrário, a generalização é realizada a partir das características comuns,
substanciais, dadas externamente. Nesse sentido, nos exercícios apresentados anteriormente
sobre função, as características que fundamentam a generalização consistem em que o
domínio da função são os valores de x e a imagem são os valores de y. Isso está exposto
somente na representação algébrica da função. Mas em momento algum se fala de
representação geométrica para essas funções, chegando, então, à generalização empiricamente
abstrata, pois trata-se de uma abstração vazia, sem a compreensão da relação entre as
grandezas que lhe deram origem e sem a mediação das significações geométricas até atingir a
modelação algébrica. Isso porque, para Caraça:
[...] o conceito de função permite estabelecer uma correspondência entre as leis
matemáticas e as leis geométricas, entre as expressões análiticas e os lugares
geométricos (conjuntos de todos os pontos que gozam de uma mesma propriedade).
Para estabelecer essa correspondência não há mais que, a cada expressão analítica,
fazer corresponder aquele lugar que define a mesma função que ela (CARAÇA,
1951, p. 139, grifos do autor).
Ao não se contemplar essa essência teórica, a relação geneticamente inicial que
possibilita a resolução de qualquer situação singular, cada nova situação é uma novidade e
impossível de ser resolvida. Isso ocorre porque o foco das reflexões não incide nas relações
internas que são comuns, mas nas características externas. Como resultado desse processo, as
significações algébricas surgem vazias de significado, conforme apresentamos na sequência.
78
4.1.3 Erros de Álgebra
Para Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), a Álgebra divide-se em Álgebra
Clássica ou Elementar e Álgebra Moderna ou Abstrata. A Álgebra Clássica ou Elementar é
considerada como uma Aritmética universal ou generalizada, já a Álgebra Moderna ou
Abstrata a compreende como um “sistema cujos símbolos e regras operatórias sobre eles são
de natureza essencialmente arbitrária” (FIORENTINI, MIORIM, MIGUEL, 1993).
Para Usiskin (1995, p. 13), a concepção de álgebra generalizada “trata-se de
técnicas importantes, não só para a álgebra, mas também para a aritmética”. De acordo
Panossian a
concepção de ensino de álgebra como aritmética generalizada é muito presente em
propostas curriculares e nas ações dos professores. Essa generalização é realizada
sobre as propriedades numéricas. É verdade que, com o uso dos símbolos, é possível
generalizar a aritmética, mas há uma diferença entre identificar a álgebra como
aritmética generalizada e entender que a álgebra pode generalizar a aritmética
(PANOSSIAN, 2014, p. 55).
Segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), na evolução histórica da álgebra
destacam-se as seguintes etapas de desenvolvimento da linguagem algébrica: retórica ou
verbal, sincopada e simbólica. A etapa conhecida como retórica ou verbal teve início com os
povos egípcios, babilônios e os gregos pré-diofantinos. Ficou conhecida por esse nome
porque os passos relativos aos esquemas operatórios dos números e equações eram escritos na
linguagem corrente. Já a sincopada e simbólica teve início no século III com o grego Diofanto
de Alexandria, que inseriu um símbolo para a incógnita. E, mais adiante no século XII, o povo
hindu, especialmente Brahmagupta, também teria utilizado. O matemático francês Viète
(1540-1603) teria sido o principal responsável pelo desenvolvimento de ideias algébricas que
passaram a ser expressas somente por símbolos. Na obra “La Géométrie” de Descartes (1596-
1650) o autor teria utilizado as últimas letras do alfabeto (x, y, z,...) para representar as
incógnitas e variáveis, e para as quantidades fixas utilizou das primeiras letras do alfabeto (a,
b, c, d,...) (FIORENTINI et al, 1993a, pp. 79-80).
79
Assim, a definição de variável está diretamente associada à álgebra, que por sua
vez, relaciona-se com a noção de função, pois, de acordo com Eves (2004, p. 661), Lejeune
Dirichlet define:
Uma variável é um símbolo que representa um qualquer dos elementos de um
conjuntos de números; se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que,
sempre que se atribui um valor a x , corresponde automaticamente, por uma lei
ou regra, um valor a y , então se diz que y é uma função (unívoca) de x .
Segundo Eves (2004), foi Leibniz quem atribuiu pela primeira vez a palavra
função, em 1694, para explicitar uma quantidade qualquer associada a uma curva. Para Boyer
(1974, p. 297) “Leibniz não é responsável pela moderna notação para função, mas é a ele que
se deve a palavra “função”, praticamente no mesmo sentido em que é usada hoje, pois se
referia a quantidades que dependem de uma variável”.
Já em 1718, Johann Bernoulli, relacionou a palavra função a uma expressão
qualquer formada por variáveis e constantes. Mais tarde, foi Euler quem “considerou uma
função como sendo uma equação ou fórmula qualquer envolvendo variáveis e constantes”
(EVES, 2004, p. 660).
Boyer (1974) traz a seguinte definição de função escrita por Euler: “Se x é uma
quantidade variável, então, toda a quantidade que depende de x de qualquer maneira,
ou que seja determinada por aquela, chama – se função da dita variável” (BOYER, 1974, p.
326).
O desenvolvimento histórico do conceito de função, segundo Moura e Moretti
(2003):
[...] foi marcado por alguns estágios facilmente identificados através das estratégias
utilizadas, em diferentes épocas, para a resolução de problemas envolvendo
variações de quantidades. Segundo Youschkevitch (1976, p. 39) são três os
principais estágios. Na Antigüidade há o estudo de casos particulares de
dependência entre duas variáveis não havendo, contudo, a noção geral de quantidade
variável e funções. Já na Idade Média estas noções gerais são expressas pela
primeira vez sob uma forma geométrica e mecânica, mas na qual cada caso concreto
de dependência entre duas quantidades é definido por uma descrição verbal ou por
um gráfico. É só no Período Moderno, final do século XVI e especialmente durante
o século XVII, que expressões analíticas e funções começam a prevalecer. Estes
estágios refletem, na realidade, o caminho percorrido pelo homem através da história
rumo à generalização e à formalização do conceito de funções. O processo de
abstração demonstra uma real e profunda compreensão do conceito ao mesmo tempo
em que é fator de construção desta compreensão (MOURA, MORETTI, 2003, p.
69).
80
Para Caraça (1951), entender o conceito de função nos permite instituir relações
entre a geometria e a álgebra, chamadas também de expressão analítica e lugar geométrico,
que segundo o autor é um passo fundamental para a unificação dessas duas áreas.
Conforme os PCN, o estudo da álgebra contempla também o uso das regras para
resolução à suas diversas funções, no que se relaciona a generalização de padrões, no trabalho
com resolução de problemas, relações entre grandezas e outros. Referente aos 6º e 7º anos, os
PCN afirmam que é necessário nesse ciclo:
[...] que os alunos compreendam a noção de variável e reconheçam a expressão
algébrica como uma forma de traduzir a relação existente entre a variação de duas
grandezas. É provável que ao explorar situações-problema que envolvam variação
de grandezas o aluno depare com equações, o que possibilita interpretar a letra como
incógnita. Nesse caso, o que se recomenda é que os alunos sejam estimulados a
construir procedimentos diversos para resolvê-las, deixando as técnicas
convencionais para um estudo mais detalhado no quarto ciclo (BRASIL, 1998, p.
68).
Com relação ao ensino de resolução das equações, inequações e sistemas de equações,
os PCN sugerem que aconteça no decorrer do 8º e 9º anos. Ainda dizem que apesar de ser
possível desenvolver aspectos algébricos nos anos iniciais, será nos anos finais do ensino
fundamental que o estudo da álgebra será ampliado.
Pela exploração de situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da
Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre grandezas,
modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por
meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas,
tomando contato com fórmulas), compreenderá a sintaxe (regras para resolução) de
uma equação.
Esse encaminhamento dado à Álgebra, a partir da generalização de padrões, bem
como o estudo da variação de grandezas possibilita a exploração de noção de função
[...]. Entretanto, a abordagem formal desse conceito deverá ser objeto de estudo do
ensino médio (BRASIL, 1998, p. 50-51).
Em síntese, de acordo com os PCN, a álgebra deve então ser inserida no 6º ano e
aprofundada no 8º e 9º ano e ainda dar continuidade no Ensino Médio. Tal orientação ocorre
porque a
tendência da Educação Algébrica tem sido acreditar que o pensamento algébrico só
se manifesta e desenvolve através da manipulação sintática da linguagem concisa e
específica da Álgebra. Entretanto, essa relação de subordinação do pensamento
81
algébrico à linguagem desconsidera o fato de que, tanto no plano histórico quanto no
pedagógico, a linguagem é, pelo menos a princípio, a expressão de um pensamento.
Acreditamos subsistir entre pensamento algébrico e linguagem não uma relação de
subordinação, mas uma relação de natureza dialética (FIORENTINI et al, 1993, p.
85).
Durante a coleta de dados, buscamos indícios de expressão de um pensamento
algébrico. No entanto, a análise indica que a ênfase incide na manipulação de símbolos sem a
compreensão do que estes significam. Na sequência, apresentamos um exercício proposto pela
professora em sala (Ilustração 16) e, na sequência, expomos a resolução apresentada por E1
(Ilustração 17):
Ilustração 16 - Exercício função
Fonte: Acervo da autora, 2014.
Ilustração 17 – Resolução apresentada por E1 referente ao exercício de função
Fonte: Acervo da autora, 2014.
82
E1 resolve conforme a regra: “[...] o que está dividindo passa multiplicando”
(Sic). Portanto o x que estava dividindo o 1.000 passou multiplicando o x que estava
somando. Trata-se de um procedimento com símbolos algébricos, mas sem a compreensão do
que estes representam. O movimento operatório correto seria: ou .
E1 relata que seus erros consistem em “[...] erros de funções, erros de sinal, coisas bem
básicas mesmo, o maior problema é as regrinhas para resolução de função” (Sic). Os erros de
E1 nos levam ao estudo da álgebra. Essas “regras” relatadas pelo estudante nada mais são do
que os procedimentos operatórios realizados para a resolução de uma função. O que o
estudante apresenta é a generalização da álgebra abstrata, mas vazia do significado sobre as
relações que lhe deram origem, sem a compreensão do porquê desses processos operatórios.
Conforme já constatou Panossian (2014), a álgebra como aritmética generalizada é muito
comum e utilizada sem iniciar pelo conceito em si, mas direto pela generalização abstrata. O
que pode gerar falta de compreensão por parte dos estudantes de tantas “regras” na
Matemática.
Desse modo, como afirmam Lins e Gimenez (1997), de nada adianta prorrogar a
introdução da álgebra na educação escolar. Ao contrário, é necessário sim, iniciar mais cedo o
seu ensino, para que se desenvolva juntamente com a aritmética e a geometria, para que uma
implique no desenvolvimento da outra (DAVÝDOV, 1982).
Conforme mencionamos anteriormente, para os PCN, a álgebra deve ser
introduzida somente no 6º ano, sendo aprofundada, de fato, somente no final do Ensino
Fundamental, ou seja, prorroga-se o estudo da álgebra para os anos finais desse período
escolar. Enquanto que, para Davýdov (1982) esse estudo deve iniciar desde o primeiro ano
escolar juntamente com a relação entre grandezas, introduzindo, assim, a unificação das três
áreas da Matemática.
O que observamos em nossa pesquisa com os estudantes é claramente o oposto do
que propõe Davýdov, no que se refere ao ensino dos conceitos científicos. Apresentamos mais
um erro de álgebra semelhante ao de E1 no exercício (Ilustração 18), que foi proposto pela
professora em sala de aula, seguido da resolução apresentada por E6 (Ilustração 19).
83
Ilustração 18 – Exercício de função
Fonte: Acervo da autora, 2014.
Ilustração 19 – Resolução E6 exercício de função
Fonte: Acervo da autora, 2014.
E6 inicia o exercício questionando a professora:
E6: Tem uma fórmula, tem outra e agora? Já não entendi mais nada! Essa questão é
de primeiro grau ou de segundo grau? Diz aqui que o 5 corta o eixo y, então o 5 é o
b? Você disse que era o b.
Professora: Não, o 5 é o c, porque agora a função é de 2º grau, então o número que
fica sozinho onde corta o y, na do 1º grau é o b e na do 2º grau é o c. Então o c vai
ser o 5.
84
Em uma das entrevistas que realizamos com os estudantes, E6 revela que suas
dificuldades são “referentes ao conteúdo de função”. Diz que não consegue identificar “se é
de segundo grau ou primeiro grau, se é Báskara ou não” (sic). O diálogo entre professor e
estudante, apresentado anteriormente, confirma sua fala referente a tais dificuldades. Fica
evidente que o estudante apenas memorizou as fórmulas sem atribuir significado aos seus
elementos e a relação entre eles.
O estudante comete dois erros (Ilustração 19), um na multiplicação de sinais e
outro ao determinar o valor final da incógnita. Ele faz , onde encontra . Após
verificar, na lista de resolução, que não encontrou a resposta correta, resolve analisar a sua,
mas não detecta o erro. Após algum tempo de silêncio apaga, sem encontrar o erro e resolve
novamente, mas chega ao mesmo resultado. Explica para a pesquisadora que fez 4/2 “[...]
porque está multiplicando e então passa dividindo, não é?” (Sic).
Esse tipo de compreensão também foi detectada na pesquisa de Freitas (2002, p.
98), quando o estudante afirma “aqui está multiplicando e passa dividindo e está menos passa
mais”. E6 relata que comete muitos erros “com as regras de sinais e em como montar e
resolver uma função” (sic), tal como ocorreu na ilustração 19.
Moura e Sousa (2004) falam que é indispensável que se estude a álgebra no seu
sentido lógico-histórico e não apenas seu estágio atual de desenvolvimento. A importância de
se fundamentar o uso de conceitos vinculados ao seu processo generalizador e formativo
incontestável. Pois, a história dos conceitos possui um caráter conceitual entre a “causalidade
dos fatos e a formalização dos conceitos científicos” (MOURA; SOUSA, 2004, p. 11). Mas
aspecto lógico-histórico não é evidenciado nas respostas analisadas na presente investigação.
Todos os estudantes investigados cometem erros semelhantes: a álgebra não passa de
manipulações simbólicas sem sentido, desvinculadas do processo de generalização e formação
dos conceitos teóricos, tal como ocorre com E1 (Ilustração 20):
85
Ilustração 20 – Resolução E1 exercício de função
Fonte: Acervo da autora, 2014.
E1 consegue relacionar os dados com função, ou seja, faz a relação entre as duas
variáveis, esboça o gráfico, mas depois comete um erro algébrico ao resolver as equações do
1º grau. Questionado sobre o erro, o estudante responde: “[...] como manda a regra, tudo que
tá multiplicando passa dividindo” (Sic). É isso que E1 faz, mas esquece de um termo que
estava somando. Afirma que tem dificuldades em resolver equações, o que confirma em sua
resolução. Um dos procedimentos corretos consiste em primeiro dividir o 200 por 100, assim,
, dá propriedade distributiva, temos: para, finalmente,
por meio da propriedade de equivalência, concluir que Após determinar o valor de b,
faz-se necessário determinar o outro valor desconhecido: , portanto,
. E1 afirma que suas “[...] principais dificuldades são erros básicos,
relacionados à Matemática básica, conteúdo de Ensino Médio” (Sic).
As resoluções apresentadas anteriormente refletem o tipo de conceito
desenvolvido pelos estudantes. Tratam-se de conceitos empíricos, constituídos por “[...]
essências fixas, coaguladas. E cada ‘essência’ aparece ao exame como uma coleção de
86
qualidades justapostas, exteriores, numa ordem de generalidade crescente” (LEFEBVRE,
1983, pp. 142-143, grifo do autor). Conforme expressam as falas de E1 “regrinha [...] o que
está dividindo passa multiplicando”, “como manda a regra, tudo que tá multiplicando passa
dividindo” e E6 “Porque está multiplicando e então passa dividindo [...]”. Mas por que passa
dividindo? Qual a relação interna, qual a essência, que possibilita essa síntese? Essa e outras
respostas, os estudantes não sabem responder. Os estudantes não conseguem explicar os
porquês não só algebricamente, mas também geometricamente e aritmeticamente. Não
concebem essas três significações como constituintes dos conceitos matemáticos em unidade.
Para eles, são áreas distintas da Matemática.
Panossian (2008) se utiliza de um exemplo em que estudantes precisavam
encontrar uma fórmula geral para a resolução de uma situação proposta pela pesquisadora. A
partir de casos particulares, com orientação da pesquisadora, os estudantes resolveram o
problema, expressaram uma forma geral. No entanto, essa forma só se fazia geral para uma
situação particular e não para qualquer situação. Isso porque, a generalização se deu por meio
de um caso em particular, denominada por Davýdov de empírica, característica do ensino
tradicional no qual o conhecimento não chega à dimensão universal dos conceitos em nível de
concreto pensado. Ao atingir o concreto pensado, o ser revela o universal aplicável a qualquer
situação particular. Porém, tanto no exemplo apresentado por Panossian (2008) como os
estudantes que participaram da presente investigação, não contemplam a dimensão universal
dos conceitos. Portanto, trata-se, de acordo com Davýdov (1982), de manifestação apenas do
pensamento empírico.
Isso se dá, de acordo com Davýdov (1982), porque o ensino tradicional é
organizado conforme a faixa etária do estudante. Em cada fase do ensino, são apresentados
aos estudantes “aquilo que são capazes de assimilar na idade dada. Porém, quem e quando se
pode definir com precisão a medida desta ‘capacidade’? [...] a medida dessa capacidade se
formou espontaneamente na prática real do ensino tradicional” (DAVÍDOV, 1987, p. 146).
Desse modo, subestima-se a capacidade da criança, entende-se, por exemplo, que a álgebra é
inacessível para elas nos primeiros anos de escolarização e só para os adolescentes, para tanto,
deve ser ensinada nos últimos anos do Ensino Fundamental. Mas Davýdov parte do
pressuposto vigotskiano de que aprendizagem gera desenvolvimento e que, portanto, a álgebra
deve ser incluída desde os primeiros anos de escolarização. De acordo com Vigotski (2007), a
87
álgebra contribui para a compreensão da aritmética com maior clareza. E Davídov (1987)
argumenta que a aprendizagem nos limites da aritmética restringe a compreensão da álgebra.
Ilienkov (2006, p. 53) reforça tais assertivas ao afirmar que o “pensamento lógico
inicia seu desenvolvimento a partir dos 6 anos”. O ideal para uma criança, em idade escolar, é
receber “informação e socialização adequada, depois é mais difícil adquiri-la, apesar da
capacidade e plasticidade do cérebro.” (ILIENKOV, 2006, p. 53)
Em relação aos conhecimentos matemáticos correspondentes ao currículo da
Educação Básica, conforme as falas de E1, E2, e E4, respectivamente: “Minhas principais
dificuldades são erros básicos, relacionados à Matemática básica, [...] coisas bem básicas
mesmo [...]” (sic); “[...] essas coisas que parecem ser mais simples. Que para mim, são muito
complicadas não entra na minha cabeça, não entendo, [...]” (sic); “[...] regras de Matemática
básica, interpretação, fração e sinal [...]”.
Entendemos que, tais fragilidades decorrem dos conteúdos e métodos adotados no
ensino denominado por Davýdov de tradicional. Este possibilita o desenvolvimento do
pensamento empírico, suficiente para resolver situações corriqueiras do dia a dia das pessoas,
mas que não dá conta da atuação no plano teórico, tal como requerem os cursos de engenharia
em foco. E4 explicita as limitações do Ensino tradicional quando diz: “Do Ensino Médio pra
Faculdade, foi um salto muito grande, comparando os conteúdos passados lá e o conteúdo
cobrado aqui” (sic). Nessa direção, E3 lamenta: “[...] hoje vejo que faltou muito” (sic).
O propósito do ensino tradicional incide em inculcar nos estudantes
conhecimentos empíricos. O processo de abstração, generalização e formação do conceito
fundamenta-se na lógica formal tradicional (DAVÝDOV, 1982). Em outras palavras, o
pensamento empírico é desenvolvido nos estudantes a partir dos fundamentos da lógica
formal que fundamenta o ensino tradicional.
Segundo Davídov (1987), a origem da escola tradicional está relacionada aos
modos de produção capitalista, em que para servir ao capital não precisa ir além da empiria.
Para servir esse sistema, o referido autor afirma que a educação precisaria somente incutir
conhecimentos e habilidades das quais garantam a formação mais ou menos qualificada de
mão de obra para a produção industrial.
O ponto de partida para a formação do conceito, na lógica formal tradicional, são
as características externamente dadas nos objetos ou ilustrações que representam, diretamente
aos órgãos dos sentidos, o conteúdo do conceito em estudo. A partir da análise das
88
características externamente dadas, separa-se àquelas que são comuns a várias situações
observadas. Nessa perspectiva, não se adentra nas relações internas que explicam e
determinam a origem da aparência externa (DAVÝDOV, 1982).
Como resultado do processo, forma-se, no plano ideal, uma imagem, uma
representação geral e abstrata do diretamente observável. Nesse movimento entre o plano
externo e o plano interno não há um elemento mediador cujo conteúdo seja a relação essencial
do conceito. Ao contrário, é o sensorial diretamente refletido no plano mental, trata-se de uma
“imagem sensorial-concreta sob forma empírica” (KOPNIN, 1978, p. 158).
Trata-se de uma representação válida para serem aplicadas em situações
específicas, semelhantes àquelas que visualmente lhes deram origem. Qualquer traço distinto,
em uma nova situação, mesmo que no interior de um mesmo conceito, é considerada como
algo novo.
Ou seja, por mais que o ensino tradicional desenvolva generalizações e abstrações
consideradas como gerais, na verdade são particulares. Não se contempla a relação essencial
que possibilita a orientação no desenvolvimento nas várias situações que aparentemente são
distintas, mas que internamente, tem a mesma relação de origem, a mesma fórmula. E7
afirmou que só tinha dificuldade em identificar a fórmula a ser adotada para a resolução dos
exercícios e sugere: “[...]se tivesse a fórmula pra cada exercício não errava nada[...] o
problema maior é que tem muita fórmula”.O depoimento de E5, assim como de outros
estudantes, também vai nessa direção: (E5): “[...] não sei quando é pra aplicar Báskara ou não”
(Sic).
As fórmulas representam uma relação. De acordo com Davýdov (1982), a
compreensão dessa relação, a partir do estudo das grandezas, sejam elas discretas, contínuas
ou escalares e sua posterior modelação nas formas objetal, gráfica e literal constituem o
conteúdo do pensamento teórico-matemático formado a partir da interconexão entre as
significações aritméticas, algébricas e geométricas. No entanto, conforme explicitam os
depoimentos, não há compreensão dessa relação, por isso, a impossibilidade da interpretação
do problema e de identificação da fórmula a ser adotada.
Na entrevista com os estudantes que colaboraram com a presente pesquisa,
constatamos que estes iniciaram o 1º ano escolar somente com aritmética (números naturais),
e apenas no sétimo ano tiveram contato com a álgebra. Quanto à geometria, foram raros os
89
momentos dedicados ao seu estudo. Daí a origem da unidade de análise da presente
investigação: a tricotomia da aritmética, geometria e álgebra.
Durante o processo de realização da presente pesquisa, exploramos alguns
trabalhos já realizados por pesquisadores os quais foram mostradas no capítulo anterior.
Quanto à pesquisa de Khidir (2006) e Panossian (2008), as dificuldades encontradas nos
estudantes foram principalmente em como lidar com os conceitos algébricos, pois para os
pesquisadores, seus estudantes investigados não se apropriaram da essência do conceito, mas,
apenas, de procedimentos de resolução. As outras pesquisas Cury (1988), Zanardi e Lima
(2008), Albano Filho (2012) e Garzella (2013) constataram que as dificuldades dos
estudantes, em grande parte, são procedentes de conteúdos do Ensino Médio e Ensino
Fundamental. Constatamos que de acordo com os dados apresentados na presente pesquisa,
também encontramos dificuldades semelhantes a essas trazidas por esses pesquisadores.
Enfim, os estudantes de nossa pesquisa não desenvolveram o pensamento teórico
dos conceitos, não atingiram a relação universal, por isso, não desenvolvem as situações
particulares solicitadas pela professora nos exercícios e avaliações. Podemos levantar a
hipótese de que esses estudantes talvez conseguissem resolver os problemas propostos e
chegassem às respostas corretas se tivessem realmente apreendido, mesmo a partir dos
fundamentos da lógica formal. Ou seja, mesmo que tivessem memorizado, por meio da
repetição mecânica, quem sabe iriam conseguir desenvolver os procedimentos de cálculo
corretamente. Talvez sim, mas isso não é o que desejamos, pois quando um determinado
conteúdo é desenvolvido por meio dos fundamentos da lógica formal, desenvolve-se apenas o
pensamento empírico (DAVÝDOV, 1982). Os conceitos concernentes a esse pensamento
podem ser facilmente esquecidos, quando, ficam algum tempo fora da escola e sem utilizá-lo.
Isso porque não houve apropriação do procedimento de reprodução dele, mas apenas a
memorização do seu resultado, do ponto de vista do desenvolvimento histórico. Além disso,
ignora-se o sistema conceitual no qual os conceitos estão inseridos, assim, a aprendizagem de
conceitos mais complexos leva ao esquecimento de conceitos mais básicos e não a sua
ampliação e complexificação. Então, ficam no esquecimento. Partimos do pressuposto teórico
davydoviano de que se esses estudantes tivessem atingido o concreto pensado, chegado a
relação universal do conceito, teriam aprendido sua verdadeira essência. E, quando se
reproduz a essência de um conceito, ela não é esquecida, pois todos os conceitos estão
interligados, num movimento que não é linear.
90
Ao comparar os resultados obtidos na presente investigação, detectamos algumas
semelhanças àqueles detectados por Davýdov em seu país (Rússia), quanto ao predomínio do
pensamento empírico. A fim de superar tal limitação, o autor em referência elaborou,
juntamente com alguns colaboradores, uma proposição de ensino com vistas ao
desenvolvimento do pensamento teórico. Acreditamos que esta pode contribuir para
repensarmos o modo de organização de ensino predominantemente adotado no Brasil.
Para Davýdov (1982), a educação escolar tem como finalidade principal
desenvolver integralmente o ser humano em seus aspectos, social, político, cultural, ético.
Nessa perspectiva, Rubinstein (1979, p. 75) preconiza que a educação escolar “consiste,
sobretudo, em conseguir que o aluno opere facilmente com generalizações já dadas ou
firmemente assimiladas”. Para tanto, a aprendizagem “constitui uma atividade mental de
análise, síntese, abstração e generalização” (RUBINSTEIN, 1979, p. 47).
Neste sentido, a educação escolar não pode se restringir à mera transmissão de
conteúdos, mas proporcionar ao estudante a aprendizagem do conhecimento científico, e
desenvolvimento da ação investigativa para que os próprios estudantes busquem caminhos
autônomos de orientação no processo de aprendizagem.
A análise dos erros apresentados pelos estudantes na presente investigação nos
leva a pensar que são decorrentes da simples junção da aritmética, álgebra e geometria em
uma única disciplina, sem a interconexão teórica entre elas, com evidência nas significações
aritméticas.
Davýdov (1982), ao analisar a organização do ensino em seu país, também
detectou semelhante tricotomia e sugeriu que ela fosse superada. Para tanto, propõe que,
desde o primeiro ano escolar as significações aritméticas, algébricas e geométricas sejam
contempladas em inter-relação (ROSA, 2012), uma vez que tal fragmentação obstaculiza o
desenvolvimento do pensamento matemático em nível teórico.
Desse modo, Davýdov propõe que o ponto de partida para o ensino dos conceitos
matemáticos seja a relação entre grandezas discretas e contínuas. Tais relações são modeladas
objetalmente, geometricamente e algebricamente. Esses modelos, gerados a partir da
dimensão geral (relação entre grandezas), são aplicados em situações singulares, nas quais
entram em cena as significações aritméticas, contemplando assim, a interconexão entre
aritmética, geometria e álgebra.
91
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
As angústias iniciais acerca do elevado índice de reprovação de estudantes do
ensino superior foi o que nos impulsionou a esta investigação. Nossa hipótese era de que os
erros apresentados pelos estudantes, na disciplina de Cálculo Diferencial Integral I, revelaram
a tricotomia entre aritmética, álgebra e geometria. Nesse sentido, o problema que desencadeou
a investigação foi: Qual a natureza dos erros apresentados pelos estudantes na disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral I?
Na busca pela resposta ao problema de pesquisa, a fim de confirmar ou refutar a
hipótese investigativa, realizamos, primeiramente, os estudos dos fundamentos da Teoria
Histórico-Cultural e sua objetivação em uma proposição de ensino de Matemática, a partir da
obra de Davýdov. Para, em um segundo momento, adentrarmos à sala de aula e iniciarmos a
coleta de dados, prosseguindo assim com a pesquisa. Depois de coletados os dados, estes
foram organizados e analisados.
No momento de análise dos dados, revelamos a unidade de análise: a
tricotomização entre as significações aritméticas, algébricas e geométricas. Os dados foram,
então, expostos conforme unidade mencionada.
Assim, identificamos que os erros apresentados pelos estudantes da disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral I estão relacionados à tricotomia entre aritmética, geometria e
álgebra. E procedemos à crítica a partir dos fundamentos da Teoria Histórico-Cultural e da
proposição davydoviana, apontando, assim, algumas possibilidades de superação.
Os resultados da análise nos possibilitaram apontar algumas inferências mais
gerais sobre os achados da pesquisa. Assim, mesmo que muitas pesquisas já tenham sido
realizadas na temática dos erros, como algumas apresentadas no decorrer da presente
dissertação, nenhuma delas apontou a tricotomia aritmética, geometria e álgebra. Além disso,
depois de estar comprovando a ineficiência de um ensino que promove apenas cálculos
mecânicos e descontextualizados teoricamente da essência conceitual, este tipo de ensino
ainda é o que mais está presente na sala de aula, caso contrário, os resultados seriam outros.
Portanto, a Matemática ensinada hoje nas escolas está desenvolvendo apenas o pensamento
92
empírico, sem revelar a verdadeira essência dos conceitos, ou seja, sem o desenvolvimento do
pensamento teórico.
Desse modo, os estudantes erram quando operam com números naturais, inteiros,
racionais na forma fracionária e decimal, erram também na resolução das equações, funções e
não a compreendem no plano geométrico.
O que constatamos nos depoimentos dos estudantes é que eles aprenderam
matemática por meio de uma sequência de passos, com ênfase nas memorizações sem
sustentação das significações teóricas, o que justifica o fato de os estudantes considerarem a
Matemática difícil e abstrata, no sentido de vazia de relações internas que a sustenta.
Ao analisar os erros caracterizados como de aritmética, detectamos uma falta de
compreensão dos estudantes sobre o sistema de numeração. Eles desconhecem a lógica
interna desse sistema inclusive nos limites dos naturais. Embora boa parte da vida estudantil o
foco tenha sido somente no conjunto dos números naturais e sua operacionalização, como se
fosse o principal conjunto numérico existente, quando na verdade é o mais limitado deles.
Quanto à geometria, os estudantes não sustentam relação algébrica na significação
geométrica, passível, inclusive, de visualização e modelação. Também não relacionam a
representação gráfica a fim de auxiliar ou subsidiar o entendimento de uma função e da
variação das relações entre grandezas.
No que diz respeito à álgebra, constatamos que esta é concebida pelos estudantes
como procedimentos abstratos com as letras e símbolos, sem significação teórica que os
sustentem. Em vários momentos, os estudantes não compreendem o que fizeram e por que
fizeram. Muitas vezes fazem o que memorizaram, mas sem saber a verdadeira relação que
justifica a realização de tais procedimentos. Ou seja, sem sua compreensão interna.
Durante a análise, constatamos que a união, realizada historicamente, da
aritmética, geometria e álgebra em uma única disciplina do currículo escolar ainda não foi
realmente efetivada no processo de ensino e aprendizagem. De acordo com Rosa (2012), nos
primeiros anos da educação Matemática escolar brasileira, o foco incide no ensino da
aritmética. Embora haja esse predomínio, os dados trazem evidências de que há limitações
inclusive com a aritmética. Isso ocorre, de acordo com os princípios da Teoria Histórico-
Cultural, uma vez que a Matemática só é desenvolvida em sua plenitude na conexão entre as
significações algébricas, aritméticas e geométricas dos conceitos (ROSA, 2006 e 2012). Por
outro lado, o que ocorre nas escolas são períodos exclusivos para o ensino da aritmética, outro
93
para a geometria e outro para álgebra, enfatizando a aritmética nos cinco primeiros anos
(ROSA, 2012).
Portanto, não é por acaso que a ênfase da aritmética em um sistema de ensino de
uma sociedade organizada a partir do modo de produção capitalista, pois é um conhecimento
que deve ser dominado pelas massas para servir o capital.
Vale considerar também que alguns estudantes são trabalhadores, que não se
dedicam exclusivamente aos estudos. Há aqueles que por algum motivo ficaram muito tempo
fora da escola, e que tudo isso pode sim, também, interferir no processo de aprendizagem e
acentuar ainda mais os índices de reprovações. Mas, porém, é inegável, a ausência de
significações teóricas, restringindo-se a memorizações vazias, empiricamente dadas.
Faz-se necessário superar os limites do pensamento empírico na educação escolar.
Almejamos que a presente pesquisa contribua no sentido de que se desenvolvam propostas de
ensino que contemplem a interconexão da aritmética, geometria e álgebra. Tal necessidade faz
da conclusão da presente dissertação não um momento final, mas sim um novo começo na
caminhada rumo à superação das angústias iniciais acerca do elevado índice de reprovação de
estudantes do ensino superior.
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