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Matemaacutetica Discreta

Lista de exerciacutecios resolvidos

Parte I Teacutecnicas de prova e definiccedilotildees indutivas

1) Vamos provar a conjectura ldquoPara um nuacutemero ser primo natildeo eacute suficiente que seja iacutemparrdquo Siga os seguintes passos para provaacute-la

(a) Desconsidere o natildeo do enunciado e coloque o restante na forma ldquose P entatildeo Qrdquo(b) Para provar a frase original ldquonatildeo (se P entatildeo Q)rdquo basta refutar ldquose P entatildeo Qrdquo(a) Como o enunciado fala em suficiecircncia o P seraacute a segunda parte ldquoo nuacutemero eacute imparrdquo Logo o

enunciado sem a negaccedilatildeo seraacute ldquose um nuacutemero eacute iacutempar entatildeo ele eacute primordquo(b) para refutar (a) basta encontrar um contra-exemplo Ora 9 eacute iacutempar mas natildeo eacute primo Logo a

conjectura original estaacute provada

2) Prove que para um inteiro n n3+5 eacute iacutempar se somente se n eacute par

a) por contraposiccedilatildeo (a parte lsquosersquo)Temos que provar que Se n eacute par entatildeo n3+5 eacute iacutempar por contraposiccedilatildeo ou seja Temos que provar que Se n3+5 eacute par entatildeo n eacute iacutemparSe n3+5 eacute par entatildeo n3+5 = 2k logo n3 +22 + 1 = 2k logo n3 tem que ser iacutempar pois se fosse par daria 2m+22 + 1= 2(m+2) + 1 o que eacute iacutempar Mas se n3 eacute iacutempar n natildeo pode ser par pois nesse caso n3=2r2r2r = 2(4r2) que eacute parLogo n tem que ser iacutempar cqd

Temos que provar que Se n natildeo eacute par entatildeo n3+5 natildeo eacute iacutemparComo por hipoacutetese n eacute iacutempar seraacute da forma n= 2k+1 para algum k Entatildeon3 +5= (2k+1)3 +5= (4k2 + 4k+1)(2k+1)+5 = 8k3+8k+2k+4k2+4k+1+5 = 8k3+4k2+14k+6= 2 (4k3+2k714k+3) logo r= 4k3+2k714k+3 eacute um inteiro e temos quen3 +5= 2r portanto eacute par CQD

b) por absurdo ( a parte lsquosomente sersquo) Temos que provar que Se n3+5 eacute iacutempar entatildeo n eacute par por absurdoSuponhamos que n3+5 eacute iacutempar mas n tambeacutem eacute iacutempar Mas se n eacute iacutempar eacute da forma 2k+1 nesse caso teriacuteamos n3 +5 = (2k+1)3 = (2k+1) (2k+1) (2k+1) + 5 = (4k2+ 4k+3)(2k+1) + 5 = 8k3 + 4k2 + 8k2 + 4k + 6k + 3 + 5 = 8k3 + 12k2 + 8k + 8 = 2(4k3 + 6k2 + 4k + 4)

Que eacute para em contradiccedilatildeo de que n3+5 eacute iacutempar cqd

3) Prove que ldquose x eacute positivo entatildeo x+1 eacute positivordquoa) por contraposiccedilatildeob) por contradiccedilatildeo(a) provar que ldquose x+1 natildeo eacute positivo entatildeo x natildeo eacute positivordquo Ora se x+1 0 como xltx+1 teremos

que x tambeacutem eacute negativo(b) suponha que x 0 e x+1 lt 0 Como x 0 e x+1 gt x teremos x+1 gt 0 contradiccedilatildeo com a hipoacutetese

4) (a) Mostre por contradiccedilatildeo que a funccedilatildeo inversa de uma funccedilatildeo bijetiva f(x) eacute uacutenica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDDECENTRO DE CIEcircNCIAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E CCOMPUTACcedilAtildeOProfessor Ulrich Schiel

Suponhamos que f(x) tem duas inversas f1-1(y) e f2

-1(y) Como as duas funccedilotildees satildeo diferentes existe um y tal que f1

-1(y) f2-1(y) Neste caso se x1= f1

-1(y) e x2 = f2-1(y) temos que f(x1)=y e f(x2)=y jaacute que as

duas satildeo inversas de f(x) Mas neste caso f(x) natildeo eacute injetiva e portanto natildeo eacute bijetiva CONTRADICcedilAtildeO(b) Prove por induccedilatildeo que para todo inteiro positivo n vale que 7n-2n eacute divisiacutevel por 5 Para n=1 temos 7-2=5 OKSupondo que 7n-2n eacute divisiacutevel por 5 existe um k tal que 7n-2n=5k

Agora 7(n+1) ndash 2(n+1)= 7n+7-(2n+2)= 7n-2n +7-2 = 5k +7-2=5(k+1) CONFIRMADO

5) A sequumlecircncia de nuacutemeros triangulares eacute 1 3 6 10 eacute baseada nos triacircngulos

1 3 6Encontre a relaccedilatildeo de recorrecircncia e a foacutermula fechada desta sequumlecircncia Para encontrar a foacutermula fechada

use o princiacutepio expandir supor verificarA sequecircncia seraacute 1 3(=1+2) 6(=3+3) 10(=6+4) 15(=10+5) 21(=15+6) logo a relaccedilatildeo de recorrecircncia seraacute S(1) = 1 e S(n) = S(n-1) + nFoacutermula fechada Expandir S(1) = 1 S(2) = 1 + 2 S(3) = 1 + 2 + 3 S(4) = 1 + 2 + 3 + 4Supor S(n) = i=1n iVerificar S(1)=1 = i=11 i

Supondo verdadeiro que S(n) = i=1n i temos que S(n+1) = S(n) + n+1 = i=1n i + n+1 = i=1n+1 i CQDO

6) Mostre por induccedilatildeo que para a sequumlecircncia de Fibonacci vale a relaccedilatildeo

F(n) lt 2n

(NB a sequumlecircncia de Fibonacci eacute dada por F(1)=1 F(2)=2 e F(n)=F(n-1) + F(n-2))Hipoacutetese de induccedilatildeo F(1) = 1 lt 21 F(2) = 2 lt 22 F(n-1) lt 2n-1 e F(n) lt 2n Vamos mostrar que F(n+1) = lt 2n+1 para n gt 2Por definiccedilatildeo temos queF(n+1) = F(n) + F(n-1) substituindo a hipoacutetese de induccedilatildeo temos queF(n+1) lt = 2 2n-1 + 2n-1 = 32n-1 lt 42n-1 = 2n+1 estaacute provada a conjecturaNa prova acima foi usada lsquoinduccedilatildeo completarsquo A prova por induccedilatildeo simples seriaF(n+1) = F(n) + F(n-1) pela definiccedilatildeo de F(n) = F(n-1)+F(n-2) + F(n-1) pela hipoacutetese de induccedilatildeo lt 2n + F(n-1) como F(n-1) = F(n) ndash F(n-2) lt 2n + 2n ndash F(n-2) = 2n+1 ndash F(n-2)Entatildeo temos F(n+1) + F(n-2) lt 2n+1 e como F(n-2) gt 0 teremos F(n+1) lt 2n+1

7) Mostre por induccedilatildeo que n3 + 2n eacute divisiacutevel por 3n=1 1+2=3supondo que n3+ 2n eacute divisiacutevel por 3 temos n3+ 2n = 3kagora (n+1)3+ 2(n+1) =

(n+1)(n2 + 2n +1)+2n+2 = n3 + 2n2 + n + n2 + 2n + 1 + 2n +2 = 3k + 3n2 + 3n +3 = 3(k + n2 + 3n + 1)

8) Prove que ldquose x e y satildeo iacutempares entatildeo x+y eacute parrdquoa Por contraposiccedilatildeo Se x+y eacute impar entatildeo x ou y eacute par

Pela hipoacutetese x+y = 2n + 1 Mas para que isso aconteca x e y natildeo podem ser ambos iacutempares pois neste caso teriacuteamos x+y = 2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1) que eacute par Logo x ou y tem que ser parb Por contradiccedilatildeoPara x e y impares suponha x+y impar Mas se x+y eacute iacutempar x+y = 2k+1 Nesse caso x e y natildeo podem ser ambos iacutempares pois teriacuteamos x+y =2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1) que eacute par

9) Uma sequecircncia eacute definida por S(1) = 1 S(n)=n+S(n-1)Encontre a forma fechada usando o princiacutepio expandir supor verificar

RESP Expandir S(1) = 1 S(2) = 2 + 1 S(3) = 3 + S(2) = 3 + 2 + 1 S(4) = 4 + S(3) = 4 + 3 + 2 + 1Supor S(n) = i=1n iVerificar por induccedilatildeo S(1) = i=11 i = 1 OK

Supondo que vale S(n) = i=1n i teremos S(n+1) = n+1 + S(n) = n+1 + i=1n i = i=1n+1 i Verificado

10) Demonstre quais das afirmaccedilotildees a seguir satildeo verdadeiras ou mostre quais satildeo falsasa) O cubo de um nuacutemero par x eacute par Verdadeiro Prova por absurdo Suponhamos que existe um iacutempar n = p3 em que p eacute um par Logo n = ppp = p2p Como p eacute par existe um inteiro q tal que p=2q Mas entatildeo temos que = p2q2 e fazendo p2q = m temos n = 2m contradizendo a suposiccedilatildeo de que n eacute iacutemparb) |x+y| |x| + |y|Verdadeiro Temos 3 casos principais (1) x e y positivos (2) um deles eacute negativo e (3) ambos negativos (1) Neste caso |x| = x e |y| = y logo |x+y| = |x| + |y| = x+y(2) Seja xlt 0 e y 0 neste caso x+y lt |x| + y = |x| + |y| e como para todo nuacutemero n|n| temos que |

x+y| lt ||x| + |y|| = |x| + |y|(3) para x e y negativos teremos |x+y| |-(-x + -y)| = |(-x + -y)| |-x| + |-y| = |x| + |y|(4) Os casos em que um deles eacute 0 podem ser enquadrados nos casos anterioresc) 1+5+9+ + (4n-3) = n(2n-1) prove por induccedilatildeo que vale para todo inteiro positivo n

ProvaPara n=1 temos 4n-3=1 a sequecircncia teraacute um soacute termo como 1=1(21-1)= 1 OKSupondo que vale para n para n+1 seriacutea1+5+9+ + (4n-3)+(4(n+1)-3) = (n+1)(2(n+1)-1) n(2n-1) + 4n+4-3 = 2n2-n + 4n +1= 2n2 + 3n +1A outra parte fica sendo(n+1)(2n+2-1) = (n+1)(2n+1) = 2n2+n+ 2n+1=2n2+3n+1 CQD

11) Sabemos que para uma relaccedilatildeo de recorrecircncia do tipo S(n) = cS(n-1) + g(n) podemos encontrar a foacutermula fechada pela equaccedilatildeo S(n) = cn-1 S(1) + (k=0n-2) ck g(n-k) Aplique esta equaccedilatildeo agrave relaccedilatildeo de recorrecircncia a S(1) = 2 S(n) = 2S(n-1) + n2 + 1

a) Determine sua foacutermula fechadaA equaccedilatildeo S(n) = cn-1 S(1) + (k=0n-2) ck g(n-k) aplicada agrave relaccedilatildeo S(1) = 2 e S(n) = 2S(n-1) + n2 + 1Temos que c= 2 S(1)=2 e g(n) = n2+1 logo a foacutermula seraacute S(n) = 2n-1 2 + (k=0n-2) [2k ((n-k)2+1)] = 2n + (k=0n-2) [2k ((n-k)2+1)]

b) Calcule S(4)Para n=4 temos que S(4) = 24-1 2 + (k=04-2) [2k ((4-k)2+1)] = 23 2 + (k=02) [2k ((4-k)2+1)] = 16 + 20 (42+1) + 21(32+1) + 22(22+1) = 16 + 16+1 + 2(9+1) + 4(4+1) = 33 + 20 + 20 = 73

Conferindo S(1) = 2 S(2) = 4+4+1=9 S(3) = 29+9+1= 28 S(4) = 228+16+1= 73

Parte II Conjuntos e Gramaacuteticas

1) Sejam A = pqrs B = rtv e C = pstu subconjuntos de S=pqrstuvw Encontre (Obs Arsquo eacute o complemento de A)

1) (A B)rsquo2) Arsquo ndash (B C)3) (B-A) A4) R =(xy) B A tal que x precede y no alfabeto5) R =(xy) B S tal que x divide y1) (A B) = r logo (A B)rsquo = pqstuvw2) tuvw ndash prstuv = w3) tv pqrs = (tp) (tq) (tr) (ts) (vp) (vq) (vr) (vs)4) (rs)5) (11)(110)(33)(36)(39)(55)(510)

2) Sejam A = 24568 B = 135 e C = xx Z e 3 x lt 5 subconjuntos de S=010 Encontrea (A B)rsquo

(A B)rsquo = (24568 135)rsquo = (5)rsquo = 01234678910b Arsquo ndash (B C)

Arsquo ndash (B C) = 24568rsquo ndash (13534= 0137910 ndash 1345) = 07910c (B-A) A

(135 - 24568) 24568= 13 24568 = lt12gtlt14gtlt15gt16gtlt18gt lt32gtlt34gtlt35gtlt36gtlt38gt

d R =(xy) B A tal que x divide yR = lt12gtlt14gtlt15gt16gtlt18gt lt36gtlt55gt

3) Sejam A = letras do teu primeiro nome e B = letras do teu uacuteltimo nomea) Encontre (A Brsquo)rsquo (BA) Obs O universo eacute L=letras do alfabeto(ABrsquo)rsquo ndash (BA)rsquoABrsquo = U R(BA) = [ULRICHSE](ABrsquo)rsquo ndash (BA)rsquo = A-Z exceto U e R] - A-Z exceto U L R I C H S E] = LICHSE

b) Seja l1 = das duas primeiras letras de teu primeiro nome e l2 = das duas primeira letras de teu uacuteltimo nome Encontre (A B)(l1 l2) l1=UL L2 = SC logo li X l2 = ltUSgt ltUCgt ltLSgt ltLCgt Nesse caso teremos A X B ndash (l1 X l2) todos os pares de letras de ULRICH e SCHIEL exceto os 4 acima

2) Seja a gramaacutetica G = lt L Pgt com = tnt t = 01 nt= S L= te as produccedilotildees P = S 0S S 1

a) Quais sentenccedilas vaacutelidas satildeo produzidas por esta gramaacuteticab) E se acrescentarmos a produccedilatildeo S S0(a) As sentenccedilas vaacutelidas satildeo 1 01 001 0001 00001 (b) Agora temos 1 01 001 0001

e 10 100 1000 e 010 0010 00010

Ou seja todas cadeias com um lsquo1rsquo e restante lsquo0rsquos

3)a) Qual a diferenccedila entre Decirc a cardinalidade de cada um e as possiacuteveis relaccedilotildees

ou = entre elesRESP ||=||=0 e || = 1 = e

b) Dados os conjuntos A=a a a B=a e C= aa decirc a cardinalidade de cada um e mostre quais afirmaccedilotildees satildeo verdadeiras CA BA BC a aA A-BC

RESP |A| = 3 |B| = 1 |C| = 2 CA - falsa BA - verdadeira BC - falsa a aA - falsa A-BC - falsa

4) Dados 3 conjuntos A B e C mostre que

a) A X (B C) = (A X B) (A X C)Parte 1 A X (B C) (A X B) (A X C)Se ltxygt A X (B C) entatildeo x A e y (B C) Nesse caso y B e y C) Mas com x A e y B temos que ltx ygt (A X B) e com x A e y C temos que ltx ygt (A X C) Destes dois fatos deduzimos que lt xygt (A X B) (A X C)Parte 2 O inverso se mostra invertendo todos os argumentos anteriores

b) (A B) C) = A (BC)Parte 1 (A B) C) A (BC)

Se ltxygt (A B) C) entatildeo ltxygt A X B e ltxygt (A X C) Pela primeira pertinecircncia sabemos que x A e y B Logo para valer a relaccedilatildeo soacute eacute possiacutevel se y CNesse caso temos x A y B e y C o que caracteriza a situaccedilatildeo ltxygt (A X (B-C)) cqd

Parte 2 similar a anterior5) Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde = + - 1 2 3 4 5 67 8 9 0 U B S I P F sendo B o siacutembolo inicialR = B SIPF

S +|-| λ I ID | D

P F DDD 0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9

1) Qual a linguagem que esta gramaacutetica defineRESP esta gramaacutetica reconhece nuacutemeros com duas casas decimais podendo ter um sinal na frente ou natildeo Os nuacutemeros poderatildeo comeccedilar com um ou mais diacutegitos lsquo0rsquo Em outras palavras reconhece sequencias da forma +nnnnn ou ndashnnnn ou nnnnn2) Mostre como ela reconhece o nuacutemero -45933RESP para testar basta seguir em ordem inversa as regras ateacute chegar a B Ou seja temos-45933 -459DD -459F -459PF -45DPF -4DDPF -DDDPF SDDDPF SIDDPF SIDPF SIPF B (NB tambeacutem pode-se percorrer o caminho inverso)3) Modifique a gramaacutetica para que ela reconheccedila nuacutemeros inteiros sem fraccedilotildeesRESPPara reconhecer soacute nuacutemeros inteiros deve-se alterar a primeira regra para BSI e excluir as regras P e F DD

Para reconhecer tambeacutem nuacutemeros inteiros a primeira regra fica sendo BSIPF | SI5)

Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde = nt t sendo t = + - 1 2 3 4 5 67 8 9 0 e nt = B EXP OP N D com as regras de produccedilatildeoR = 1 B EXP 2 EXP ( EXP ) OP N 3 EXP N OP N

4 OP + | - | | 5 N D | ND 6 D 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9 a) Qual a linguagem que esta gramaacutetica define

Define expressotildees aritmeacuteticas da forma op1 op op2 em que op eacute um dos operadores + - ou op2 eacute um nuacutemero inteiro positivo e op1 eacute ou tambeacutem um inteiro ou outra expressatildeo da mesma forma entre parecircntesis

b) Mostre como ela reconhece a expressatildeo (30-5)+025 Indique qual regra foi aplicada em cada passo

-(1)- B EXP -(2)- ( EXP ) OP N -(4)- ( EXP ) + N -(5)- ( EXP ) + ND -(5)- ( EXP ) + NDD -(5)- ( EXP ) + DDD -(6)- ( EXP ) + 025 -(3)- ( N OP N ) + 025 -(5)- ( N OP D ) + 025 -(6)- ( N OP 5 ) + 025 -(5)- ( ND OP 5 ) + 025 -(5)- ( DD OP 5 ) + 025 -(5)- ( 30 OP 5 ) + 025 -(4)- ( 30 - 5 ) + 025

c) Modifique a gramaacutetica para que ela 1 tambeacutem reconheccedila expressotildees entre parecircntesis agrave direita e

Alterar a regra (2) para 2 EXP N OP (EXP) | ( EXP ) OP N2 um nuacutemero natildeo comece com 0 (zero)

Substituir as regras 5 e 6 por 5 N P | PD 6 D DF | F 7 P 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9 8 F P | 0 |

E acrescentar aos natildeo-terminais os siacutembolos P e F

6) Considere a gramaacutetica G = lt L R gt Onde R 0R1 | 1R0 | λ

a) A palavra 11001 pertence agrave linguagem geada por GNatildeo pois se tentamos produzi-la pex R1R011R001100 vai faltar a produccedilatildeo do uacuteltimo lsquo1rsquo a direita Generalizando toda regra produz um nuacutemero par de terminais logo eacute impossiacutevel produzir uma cadeia com 5 diacutegitos

b) Qual linguagem definida por GCadeias de 1s e 0s tal que para cada diacutegito na eneacutesima posiccedilatildeo da esquerda para a direita ocorre o inverso desse diacutegito na eneacutesima posiccedilatildeo da direita para a esquerda

7) Considere a gramaacutetica G = ltsum L R gt Onde = nt t sendo t = lsquoarsquo lsquobrsquo lsquocrsquorsquoxrsquo lsquoyrsquo lsquozrsquo lsquorsquo lsquo lsquo e nt = NC Nome Sobrenome N Letra com as regras de produccedilatildeoR = 1 NC Nome acute acute Sobrenome 2 Nome N | N lsquo lsquo Nome 3 Sobrenome N | N lsquo lsquo Nome

4 N Letra | Letra N 5 Letra lsquoarsquo | lsquobrsquo | | lsquozrsquo c) Mostre a sequecircncia de produccedilotildees para produzir teu nome completo

1 NC Nome acute acute Sobrenome (2) N acute acute Sobrenome (4) Letra N acute acute Sobrenome (4)5 vezes Letra Letra Letra Letra Letra Letra acute acute Sobrenome (5)6 vezes ulrich acute acute Sobrenome (3) ulrich acute acute NRepetindo (4)5 vezes e (5)6 vezes obtemos ulrich schiel

d) Altere a gramaacutetica para produzir o nome na forma inversa sendo que soacute o uacuteltimo sobrenome aparece antes da viacutergula

Basta alterar as regras (1) e (3) Ficaratildeo sendo1 NC Sobrenome acute acute Nome3 Sobrenome N

8) a) Uma mulher tem 7 blusas 5 saias e 9 vestidos De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir

(princiacutepios da adiccedilatildeo e multiplicaccedilatildeo)Existem duas formas de se vestir (1) blusa e saia ou (2) vestido

(1) Para combinar 7 blusas com 5 saias pelo princiacutepio da multiplicaccedilatildeo haacute 35 combinaccedilotildees possiacuteveis(2) Aqui haacute 9 vestidos diferentes que podem ser vestidos

Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute ao todo 35 + 9 = 44 possibilidades

b) Queremos criar uma codificaccedilatildeo binaacuteria para um conjunto de k caracteres Determine quantas casas binaacuterias satildeo necessaacuterias para codificar todos caracteres (princiacutepio das casas de pombos)

Para k=2 bastaria uma posiccedilatildeo binaacuteria Para k=3 ou 4 precisariacuteamos 2 casas que datildeo 4 combinaccedilotildees Para k entre 5 e 8 seriam 3 No geral em n posiccedilotildees cabem 2n combinaccedilotildees Logo para codificar k caracteres o nuacutemero de posiccedilotildees n seraacute tal que 2n-1

lt k lt 2n

9) Uma pesquisa dentre 150 estudantes revelou que 83 satildeo proprietaacuterios de carros 97 possuem bicicletas 28 tecircm motocicletas 53 satildeo donos de carros e bicicletas 14 tecircm carros e motocicletas sete possuem bicicletas e motocicletas e dois tecircm todos os trecircsResp Seja E o conjunto dos Estudantes C os que tecircm carro B os que tecircm bicicleta e M os que tecircm motocicleta Teremos|E| = 150 |C| = 83 |B| = 97 e |M| = 28 |CCM| = 14 |BM| = 7 e |CBM| = 2

1) Quantos estudantes possuem apenas bicicletasResp Os que soacute tecircm bicicletas satildeo dados por |B| - |C | - |B| + |C | = = 97 - 53 - 7 + 2 = 41

2) Quantos estudantes natildeo tecircm qualquer dos trecircsResp Todos que tecirc algum veiacuteculo satildeo dados por|C | = |C| + |B| + |M| - |C | - |C | - |B| + |C | = = 83 + 97 + 28 - 53 - 14 - 7 + 2 = 136Logo os que natildeo tecircm nada satildeo 150 ndash 136 = 14

10) Vocecirc estaacute desenvolvendo um novo sabonete e contratou uma empresa de pesquisa de opiniatildeo puacuteblica para realizar uma pesquisa de mercado para vocecirc A empresa constatou que em sua pesquisa de 450 consumidores os fatores a seguir foram considerados relevantes na decisatildeo de compra de um sabonete

Perfume 425Faacutecil produccedilatildeo de espuma 397Ingredientes naturais 340Perfume e faacutecil produccedilatildeo de espuma 284Perfume e ingredientes naturais 315Faacutecil produccedilatildeo de espuma e ingredientes naturais 219Todos os trecircs fatores 147

Vocecirc confiaria nesses resultados Justifique

Resp Seja C o conjunto dos consumidoresP o conjunto dos que preferem o perfumeE o conjunto dos que preferem a espuma eN o conjunto dos que preferem ingredientes naturais

Temos |C| = 450 |P| = 425 |E| = 397 e |N| = 340|PE| = 284 |P+ = 315 |NE| = 219 e |PE+ = 147

Supondo que Perfume significa Soacute Perfume todos conjuntos seratildeo disjuntos Nesse caso teremos que |C| = |P| + |E| +|N| + |PE| + |P+ + |NE| + |PE+ 425 + 397+340+284+315+219+147 = 2127 mas |C| = 450

Mesmo supondo que Perfume significa Tambeacutem Perfume teriacuteamos|C| = |P | = |P| + |E| + |N| - |P | - |P | - |E| + |P | =

425+397+340- 284 - 315 - 219 + 147 = 491o que ainda eacute maior que 450

10)Quantas vezes dois dados precisam ser lanccedilados para termos certeza que obtivemos algum par duas vezes (Sugestatildeo divida as soluccedilotildees em dois casos

1Quando os dados tiverem o mesmo valor

2Quando os valores forem diferentes)

Resp Como os resultados dos dois dados satildeo independentes e cada dado tem 6 faces haacute pelo princiacutepio da multiplicaccedilatildeo 6x6=36 possibilidades

Seguindo a sugestatildeo consideramos dois casos

a) Quando os dois dados tecircm o mesmo valor haacute 6 possibilidades

b) Fora (a) sobraram 30 possibilidades Para cada par (dado1=ndado2=m) existe outro lanccedilamento (dado1=mdado2=n) idecircntico Assim haveraacute 15 lanccedilamentos diferentes

Pelo princiacutepio da adiccedilatildeo haveraacute 6+15 = 21 possibilidades de pares diferentes Logo pelo princiacutepio da casa do pombo apoacutes 22 lanccedilamentos um par teraacute que se repetir

OUTRA SOLUCcedilAtildeO Haacute 6 casos aditivos dependentes

1 se para o dado-1 cair 1 haveraacute 6 combinaccedilotildees possiacuteveis com o dado-2

2 se para o dado-1 cair 2 aleacutem de (21) haveraacute mais 5 combinaccedilotildees possiacuteveis

3 se cair 3 haveraacute mais 4 combinaccedilotildees novas

4 para o 4 haveraacute mais 3 combinaccedilotildees novas

5 para o 5 haacute mais 2 combinaccedilotildees

6 para o 6 haacute mais uma combinaccedilatildeo o (66)

Assim pelo princiacutepio da adiccedilatildeo temos ao todo 6+5+4+3+2+1 = 21 combinaccedilotildees distintas

Parte III Relaccedilotildees 1) Podem ser definidas mais propriedades de relaccedilotildees binaacuterias em um conjunto S

eacute irreflexiva quando xS temos (xx) ] eacute assimeacutetrica quando xyS temos [(x y) (y x) ]

a Construa uma relaccedilatildeo binaacuteria em S = 123 que eacute assimeacutetrica e anti-simeacutetrica Obtenha o fecho transitivo desta tua relaccedilatildeo

b Analise o conjunto ltN lsquoltrsquogt os naturais com a relaccedilatildeo lsquomenor quersquo em relaccedilatildeo agraves duas propriedades definidas aqui e as outras

a R=(12) (23) o fecho transitivo eacute (12) (23) (13)b A relaccedilatildeo ltN lsquoltrsquogt natildeo eacute reflexiva e eacute irreflexiva pois nenhum nltn Eacute anti-simeacutetrica e assimeacutetrica

pois natildeo existe nenhum para n m com nltm e mltn Pelo mesmo motivo tambeacutem natildeo eacute simeacutetrica Eacute transitiva pois se nltm e mlt u temos nltu

2) Seja S=a abc acb e a relaccedilatildeo de 1 Desenhe o Diagrama de Hasse desta relaccedilatildeo

2 Encontre o fecho transitivo(2) A relaccedilatildeo jaacute eacute transitiva

a cb

ab ac

3) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaccedilotildees

(a) Diga se a relaccedilatildeo entre nuacutemeros naturais x y x = y + 1 eacute um-para-um um-para-muitos ou muitos-para-muitos

(b) Mostre se a relaccedilatildeo entre cadeias de caracteres dada por x y o comprimento de x eacute menor ou igual ao comprimento de y eacute reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica eou transitiva

(c) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que eacute reflexiva e simeacutetrica mas natildeo eacute transitiva(d) Crie uma relaccedilatildeo qualquer que natildeo eacute reflexiva nem simeacutetrica mas eacute transitiva

(a)Eacute um-para-um pois para cada natural existe exatamente um que eacute igual a x+1 e inversamente exceto o 0 cada um tem um antecessor x-1 nunca mais que um

(b) Reflexiva pois o comprimento de toda cadeia eacute igual ao seu comprimento logo eacute menor ou igualSimeacutetrico Natildeo pois se x eacute mais longo que y natildeo teraacute comprimento menorAnti-simeacutetrica pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e vice versa entatildeo x=yTransitiva sim pois se comprimento(x) lt= comprimento(y) e comprimento(y) lt= comprimento(z) eacute

claro que comprimento(x) lt= comprimento(z)(c) Seja a relaccedilatildeo x y x=y ou x eacute par ou y eacute par Eacute reflexiva pela condiccedilatildeo x=y Eacute simeacutetrica pois o

ou eacute comutativo Natildeo eacute transitiva pois pex vale 3 4 e 4 5 mas natildeo vale 3 5(d) A relaccedilatildeo xlty em N

4) Seja P o conjunto dos habitantes de uma cidade Considerando as relaccedilotildees a seguir mostre para cada uma delas quais propriedades baacutesicas (reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva) ela satisfaz e se ela eacute uma relaccedilatildeo de ordem (parcial ou total) ou uma relaccedilatildeo de equivalecircnciaa perto(xy) = x mora a menos de 500m de y

eacute reflexiva pois todo habitante mora perto dele mesmoeacute simeacutetrica pois a distacircncia de x para y eacute a mesma que a de y para xnatildeo eacute anti-simeacutetrica pois se dois habitantes moram perto um do outro natildeo significa que satildeo a mesma pessoanatildeo eacute transitiva pois se x mora a 400m de y e y mora a 400m de z a distacircncia de x para z pode ser de 800m logo natildeo estatildeo mais pertonatildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva

b longe(xy) = x mora a mais de 500m de ynatildeo eacute reflexiva pois ningueacutem mora longe dele mesmoeacute simeacutetrica pois se x mora longe de y o mesmo acontece entre y e xnatildeo eacute anti-simeacutetrica pois se x mora longe de y temos longe(xy) e longe(yx) mas xy natildeo eacute transitiva pois posso ter longe(xy) e longe(yz) mas z ser vizinho de x ou seja vale perto(xz)natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute reflexiva nem transitiva

c mesmo-bairro(xy) = x mora no mesmo bairro de yeacute reflexiva pois todo habitante mora no mesmo bairro dele mesmoeacute simeacutetrica pois sempre vale mesmo-bairro(xy) sss mesmo-bairro(yx)natildeo eacute anti-simeacutetrica pois basta ter mais de um habitante em um bairroeacute transitiva pois x y e z iratildeo morar no mesmo bairroeacute uma relaccedilatildeo de equivalecircncia pois valem as propriedades reflexiva simeacutetrica e transitiva

d mesmo-perto(xy) = perto(xy) mesmo-bairro(xy)eacute reflexiva pois tanto perto(xy) e mesmo-bairro(xy) satildeo reflexivaseacute simeacutetrica pelo mesmo motivonatildeo eacute anti-simeacutetrica pois ambas natildeo o satildeonatildeo eacute transitiva pois posso ter x y e z no mesmo bairro mas contradizendo a propriedade transitiva para perto(xz)natildeo eacute relaccedilatildeo de ordem nem de equivalecircncia pois natildeo eacute transitiva

5) Seja S = abcd e = (aa) (ac) (ad) (bd) (ca)Encontre os fechos reflexivo simeacutetrico e transitivo de Considerando rsquo a relaccedilatildeo apoacutes obter os fechos reflexivo e simeacutetrico encontre o fecho transitivo de rsquoFecho reflexivo de = (bb)(cc)(dd)Fecho simeacutetrico de = (da)(db)Fecho transitivo de = (cd)(cc)rsquo = (bb)(cc)(dd) (da)(db)Fecho transitivo de rdquo= rsquo (ab)(ba)(cd)(dc)(bc)

6) Seja P um conjunto finito de pessoas Considere as relaccedilotildees entre pessoasi) filho(pq) p eacute filho de q (da parte da matildee)ii) irm(pq) r tal que filho(pr) filho(qr) iii) parente(pq) filho(pq) irm(pq) 3) Analise as 3 relaccedilotildees quanto agraves propriedades reflexiva simeacutetrica anti-simeacutetrica e transitiva

Existe uma relaccedilatildeo de equivalecircnciafilho(pq) eacute anti-simeacutetricairm(pq) eacute reflexiva simeacutetrica e transitivaparente(pq) eacute reflexiva e transitiva

4) O que falta para filho(pq) ser uma relaccedilatildeo de ordem parcial Tente definir um lsquofechorsquo para que se torne uma ordem parcial Chame este fecho de desc(pq) Ela natildeo eacute reflexiva nem transitiva Podemos definirdesc(pq) filho(pq) irm(pq) r (filho(qr) desc(rq))

5) Descreva os elementos maximais e minimais de Smax S eacute maximal p S tal que vale desc(pmax)min S eacute maximal p S tal que vale desc(minp) soacute existiraacute se for filho uacutenico

6) O conjunto P pode ser particionado em famiacutelias Defina uma relaccedilatildeo de equivalecircncia baseada nesta particcedilatildeoComo ningueacutem tem duas matildees ou seja filho(pq1) e filho(pq2) implica q1=q2 todo elemento de S estaacute relacionado a um uacutenico elemento maximal max pela relaccedilatildeo desc(pmax) Logo para cada elemento maximal maxi S teremos uma classe de equivalecircncia [maxi] = p S tal que vale desc(pmaxi)A relaccedilatildeo seraacutemesma-fam(pq) max S tal que vale desc(pmax) desc(qmax)

7) Sejam A = pstu e B = pqrstuvw Encontrea) R =(xy) B A tal que y eacute a proacutexima letra no alfabeto apoacutes xR = (rs) (st) (tu) (para quem leu A B) R =(pq) (st) (tu) (uv)b) Encontre Rrsquo o fechos reflexivo de R e Rrdquo o fecho transitivo de RrsquoRrsquo=R (rr) (ss) (tt) (uu) (para A B) Rrsquo=R (pp)(qq)(ss)(tt)(uu) (vv)Rrdquo = R` (rt) (su) (ru) (para quem leu A B) Rrdquo=Rrsquo (su) (tv)(sv)c) Rrdquo eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial ou total Eacute uma relaccedilatildeo de ordem parcial pois eacute fechada reflexivamente e transitivamente e eacute anti-simeacutetrica pois para todo par (xy) de Rrdquo com xney x seraacute uma letra anterior a y logo eacute impossiacutevel termos (yx)

8) Sejam o conjunto S = a b c d e a relaccedilatildeo = (aa) (ab) (bd) (ba) (bb) (ca) 1) Determine se a relaccedilatildeo eacute reflexiva simeacutetrica transitiva anti-simeacutetrica irreflexiva ou assimeacutetrica e

justifique para cada caso Natildeo eacute reflexiva pois faltam (cc) e (dd) Natildeo eacute simeacutetrica pois tem (bd) mas falta (db) Natildeo eacute transitiva pois tem (ab) e (bd) mas falta (ad) Natildeo eacute anti-simeacutetrica pois tem (ab) e (ba) mas ab Natildeo eacute irreflexiva pois tem (aa) e (bb) Natildeo eacute assimeacutetrica pois tem (aa) e (ab) e natildeo deveria ter (aa) e (ba)2) Encontre rsquo o fecho reflexivo de e ldquo o fecho transitivo de rsquo rsquo = (cc) (dd)

rsquorsquo = (ad) (cb) (cd)3) Encontre as reduccedilotildees anti-simeacutetrica e irreflexivas de Um reduccedilatildeo significa retirar elementos da

relaccedilatildeo ateacute que ela satisfaccedila a condiccedilatildeoReduccedilatildeo anti-simeacutetrica (ba) ou entatildeo (ab)

Reduccedilatildeo irreflexiva (aa) (bb)

Parte IIIb Relaccedilotildees ndash Bancos de Dados


filho-de(FP) filha-de(FP)a) Obtenha uma relaccedilatildeo filho-ou-filha-de(FP) que conteacutem todos os filhos de cada pessoab) A partir da relaccedilatildeo de a) obtenha a relaccedilatildeo unaacuteria filhos-de-joatildeo(F) que conteacutem todos os filhos da

pessoa lsquoJoatildeorsquoc) Ilustre tudo com um pequeno exemploOBS lembre-se que sobre estas relaccedilotildees podem ser aplicadas as operaccedilotildees convencionais sobre conjuntos como uniatildeo intersecccedilatildeo diferenccedila assim como as operaccedilotildees relacionaisRrsquo=restriccedilatildeo(R condiccedilatildeo) que elimina de R todas tuplas que natildeo satisfazem a condiccedilatildeo eRrsquo=projeccedilatildeo(R(A Arsquo)) na qual Arsquo A o conjunto dos atributos de R e as tuplas de R satildeo truncadas para os atributos em Arsquo(a) filho-ou-filha-de(FP) = filho-de(FP) filha-de(FP)(b) R = restriccedilatildeo(filho-ou-filha-de P=rsquoJoatildeorsquo)

filhos-de-joatildeo(F) = projeccedilatildeo(R(F))(c)

2) Seja o banco de dadosCURSO(Cur Disc) EST(MatE NomeE) MON(MatE Disc) MAT(MatE Disc)

PROF(NomeP Disc)Obtenha os dados

1) Os nomes dos professores do curso de lsquoCiecircncia da ComputaccedilatildeorsquoR1 = CURSO[Cur=rsquoCiecircncia da Computaccedilatildeorsquo] uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(Cur Disc)R2 = PROFP[PDisc=R1Disc]R1 uma relaccedilatildeo com a estrutura R2(NomeP Disc Cur)RESPOSTA = R2[NomeP]

2) Os nomes de todos monitores existentesR1 = ESTE[EMatE=MMatE]MONM uma relaccedilatildeo com a estrutura R1(MatE NomeE Disc)RESPOSTA = R1[NomeE]

3) Os nomes dos monitores matriculados em lsquoMatematica DiscretarsquoR2 = MAT[Disc=rsquoMatematica Discretarsquo] [MatE] nesta operaccedilatildeo combinada selecionamos os alunos

matriculados em lsquoMatematica Discretarsquo e projetamos para definir soacute os nuacutemeros de matriculaA partir do resultado R1 da questatildeo anterior que conteacutem uma relaccedilatildeo de todos monitores

determinamos os monitores de lsquoMatematica Discretarsquo pela junccedilatildeo com R2R3 = R1[R1MatE=R2MatE]R2 uma relaccedilatildeo com a estrutura R3(MatE NomeE Disc) e

finalmente3) RESPOSTA = R3[NomeE]

3)Crie um banco de dados de produtos clientes e vendas Para o cliente temos um nuacutemero o nome e o ano desde quando estaacute cadastrado Dos produtos temos um coacutedigo nome e total em estoque e das vendas eacute registrado a data nr do cliente e coacutedigo do produto quantidade e preccedilo unitaacuterioCrie operaccedilotildees relacionais para responder agraves perguntas

a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 100000

b) Dado uma relaccedilatildeo R a funccedilatildeo count(R) determina o nuacutemero de tuplas contidas em uma relaccedilatildeo Determine quantos produtos natildeo foram vendidos no ano corrente Sugestatildeo calcule quantos produtos jaacute foram vendidos Contando todos produtos existentes da para determinar quantos natildeo foram vendidos

Temos CLIENTE(NR NOME ANO) PROD(COacuteD NOME ESTOQUE) e VENDAS(DATA CLIENTE COacuteD QUANT PRECcedilO)

a) RESP = VENDAS[QUANTPRECcedilO gt 1000)[CLIENTE]b) PV = VENDAS V[VCOD=PRODP]PROD

VENDIDOS = PV[COD] RESP = count(PROD) - count(PV)

Parte IV Funccedilotildees

1) Dada uma funccedilatildeo f S T seja a relaccedilatildeo em SxS dada por x y f(x)=f(y)a) Mostre que eacute uma relaccedilatildeo de equivalecircnciab) Dadas as funccedilotildees f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x) O que seria a classe de equivalecircncia [] para cada uma

dessas funccedilotildeesc) Se S eacute o conjunto dos nuacutemeros reais descreva as particcedilotildees de S criadas por sob f(x) e sob g(x)d) Qual seria a expressatildeo das combinaccedilotildees fdegg e gdegf (a) Reflexiva para todo x x x pois f(x)=f(x)

Simeacutetrica se x y entatildeo f(x)=f(y) e neste caso tambeacutem temos y xTransitiva se x y entatildeo f(x)=f(y) e se y z temos f(y)=f(z) logo com as duas igualdades temos f(x)=f(z) o que implica em x z

(b) Para f(x) [] seriacutea - pois f() = f(-) = 2+2 Jaacute para g(x) teriacuteamos sen()=0 logo [] = 0 - 2 -2 3 -3

(c) A particcedilatildeo de R sob f(x) seriacutea que para todo r R r -r eacute uma partepara g(x) cada parte seriacutea determinado pela classe [k] com 0 k lt

(d) fdegg(x) = sen2(x) + 2 e gdegf(x) = sen(x2+2)

2) Sejam os conjuntos S = 1 2 3 4 T = 1 2 3 4 5 6 e U = 6 7 8 9 10 e as funccedilotildees f S T com f = (1 2) (2 4) (3 3) (4 6) e

g T U com g = (1 7) (2 6) (3 9) (47) (5 8) (6 10) a Defina a funccedilatildeo g o f

g o fS U com g o f = (16) (27) (39) (410)b Mostre quais das funccedilotildees f g e g o f satildeo injetivas eou sobrejetivas

f eacute injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas natildeo eacute sobrejetiva pois os valores 1 e 5 de T natildeo satildeo imagem de fg natildeo eacute injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas eacute sobrejetiva pois todo valor de U eacute imagem de algum valor de T por gg o f eacute injetiva pois cada valor de S eacute levado a um valor distinto em U mas natildeo eacute sobrejetiva pois o valor 8 natildeo eacute imagem de nenhum valor de S

3)c) Seja a funccedilatildeo fS R dada por f(x) = x2 diga se ela eacute injetiva ou sobrejetiva e decirc o conjunto

imagem f(S) para S=Z S=N e S=RS=Z natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(Z)=0124916S=N eacute injetiva mas natildeo eacute sobre f(N)=0124916S=R natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva f(R)=xR | (x) R

d) Uma expressatildeo aritmeacutetica pode ser representada como um grafo de funccedilotildees Por exemplo (x+y)(yz) seria

O que resulta em uma composiccedilatildeo de funccedilotildees div(som(xy)mult(yz)) Crie um grafo de funccedilotildees e a respectiva composiccedilatildeo de funccedilotildees para a expressatildeo(x+sen2(y))(sen(x) + 2x)RESPOSTA

A expressatildeo ficaria som(div(som(xquad(sem(x))sen(x))mult(2x))

4)Quais das funccedilotildees a seguir satildeo bem definidas injetivas eou sobrejetivas Para as que natildeo satildeo bijetivas reduza o domiacutenio ou o contradomiacutenio para se tornar bijetiva e defina a funccedilatildeo inversa

a) fZ N dada por f(x) = x2 + 1f natildeo eacute injetiva pois para todo xZ f(x)=f(-x)f natildeo eacute sobrejetiva pois para todo x f(x) seraacute o quadrado de um nuacutemero mais um Logo pex 3 7 e 8 natildeo estatildeo em f(Z)Para tornar a funccedilatildeo injetiva basta reduzir o domiacutenio aos nuacutemeros positivos e o zero o N Para tornaacute-la sobrejetiva analisemos f(x) Em N teremosf(0)=1 f(1)=1 f(2)=5 f(3)=10 f(4)=17 e assim por diante Entatildeo para tornar f(x) uma bijeccedilatildeo consideramos N o conjunto dos naturais com o zero e D=xx=n2 + 1 para algum nN e fN D seraacute uma bijeccedilatildeo A inversa seraacute f-1DN tal que f-1(y)= (y-1)b) fZ Q dada por f(x) = 1xf natildeo eacute bem definida pois para 0Z f(0) natildeo estaacute definida Reduzindo o domiacutenio para Z-0 teremos quef eacute injetiva pois para quaisquer inteiros x e y se xy certamente 1x 1yf natildeo eacute sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-0 f(x) seraacute um nuacutemero entre -1 e 1 logo todos nuacutemero maiores que 1 ou menores que -1 natildeo estatildeo na imagem de f Para tornar a funccedilatildeo bijetiva notamos que a imagem de f(Z-0) = y y eacute um racional que pode ser escrito da forma 1x com xZ-0 Se chamarmos esse conjunto de D teremos uma bijeccedilatildeo f Z-0 D Nesse caso f-1(x)=f(x)=1xc) fN N N dada por f(x) = (xx2)f seraacute injetiva pois se xy eacute claro que (xx2) (yy2)f natildeo eacute sobrejetiva pois do contradomiacutenio NN o primeiro N seraacute todo coberto por f mas no segundo soacute os quadrados perfeitos seratildeo imagem de f Logo para tornar a funccedilatildeo uma bijeccedilatildeo definimos DNN como D=(yz) z=y2 Temos entatildeo fN D com f(x)=(xx2) e f-1 D N com f-1(xx2)=xd) f N N N dada por f(xy) = (x+y)2

Esta funccedilatildeo estaacute bem definida mas natildeo eacute injetiva (pex f(12)=f(21)) e natildeo eacute sobrejetiva (pex 3 natildeo eacute imagem de nenhum par (xy) N N Para tornaacute-la injetiva pode-se reduzir o primeiro

x

y

+

z

x+y+

yz

res

x

y+

+

res

sen

sen

z2

2x

domiacutenio a um uacutenico nuacutemero pex 0 (zero) e o contradomiacutenio aos quadrados perfeitos P=0124816 Assim teriacuteamos f 0 N P e a inversa f-1P 0 N tal que f-1(z) = (0 z)

Parte V Estruturas algeacutebricas

1) Em cada caso abaixo mostre se as funccedilotildees definidas satildeo bijeccedilotildees homomorfismos ou isomorfismos Se for isomorfismo mostre o homomorfismo inversof ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1xEacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inversoEacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1yEacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x

pertence agrave imagem f(R-0)Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a

soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos

(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo

f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero parEacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2mEacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = pPara ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y) Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)Tambeacutem f-1(x)+ f-1(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1(x+y) Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismof ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)

Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeoPara ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y)

Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem isomorfismo

2) Dadas as aacutelgebras de Boole B1 = lt01 + lsquo 0 1gt com x+y = max(xy) e x y = min(xy) e B4 = ltFV F Vgt entatildeo existe um isomorfismo natural h B1B4 com h(0) = F e h(1) = V Resolva cada expressatildeo a seguir de duas formas (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e) resolvendo em B4 e aplicando h-1 ao resultadoa) (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0)Forma direta (0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (0+1rsquo)rsquo ((0+1)0) =(0)rsquo (1 0) = 1 0 = 0Forma indireta h(0+(1+1)rsquo)rsquo ((0rsquorsquo+1) 0) = (F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F finalmente h-1(F) = 0 b) 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquoForma direta 1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = 0 1 + (1+(0))rsquo= 0+(1)rsquo = 0+ 0 = 0Forma indireta h(1rsquo 0rsquo + (1+1+(1 0))rsquo = V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F logo h-1(F) = 0

3) Prove que para toda Aacutelgebra de Boole valea) x = y se e somente se x yrsquo + y xrsquo = 0

i) se x=y temos x yrsquo + y xrsquo = x xrsquo + x xrsquo = 0 + 0 = 0ii) se x yrsquo + y xrsquo = 0 temos x yrsquo = 0 e y xrsquo = 0 mas se x yrsquo = 0 yrsquo eacute o complemento de x

logo y = x b) x+yrsquo = x + (xrsquo y + x y)rsquo

vamos mostrar que yrsquo = (xrsquo y + x y)rsquo Mas (xrsquo y + x y)rsquo = ((xrsquo + x)y)rsquo = (1y)rsquo = yrsquo

4) Dado S = 12345 seja o reticulado R=ltlt12gtlt13gt lt14gtlt25gtlt35gtlt45gtinfsupgt Porque a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt em que lsquo seria dado por xrsquo = y tal que sup(xy)=5 e inf (xy)=1 natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole (sugestatildeo na Aacutelgebra de Boole o complemento tem que ser uacutenico) E se retirarmos o elemento 4 de S

Natildeo eacute uma Aacutelgebra de Boole pois por exemplo o elementos 2 tem dois complementos o 3 e o 4 pois sup(23) = 5 e sup(24) = 5 Se retirarmos o 4 teriacuteamos 1rsquo=5 2rsquo=3 3rsquo=2 e 5rsquo=1 Portanto soacute tem um complemento Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por

x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12

E h(sup) = h(inf) = Para ser isomorfismo deve valer1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)4 h(xrsquo) = h(x)rdquoPodemos mostrar as propriedades 2 3 e 4 pela tabela

x y inf(xy) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo1 2 1 2 1 5 [12 121 3 1 3 21 5 1 5 122 3 1 5 12 3 2 22 5 2 1 5 123 5 3 2 5 12 2 1 1

Natildeo mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos

5)Dada uma aacutelgebra de Boole B = ltB + lsquo 0 1gt podemos definir um novo operador (ouexclusivo) como sendo x y = x yrsquo + y xrsquo

1 Analise as propriedades de ltB gt e determine sua estrutura algeacutebricaAssociativa x (y z) = x (yzrsquo + zyrsquo) = x (yzrsquo + zyrsquo)rsquo + (yzrsquo + zyrsquo)xrsquo= x((yzrsquo)rsquo(zyrsquo)rsquo) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = x(yrsquo+z)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = (xyrsquo+xz)(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquo(zrsquo+y)+xz(zrsquo+y) + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo+ xyrsquoy + xzzrsquo+xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo + xzy + (yzrsquoxrsquo+zyrsquoxrsquo) = xyrsquozrsquo+yxzrsquo + zxy+zxrsquoyrsquo = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z (xy+xrsquoyrsquo) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquoyrsquo+yyrsquo + xrsquox+yx) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z((xrsquo+y)yrsquo+(xrsquo+y)x)) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xrsquo+y)(yrsquo+x) = (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo + z(xyrsquo)rsquo(yxrsquo)rsquo= (xyrsquo+yxrsquo)zrsquo+z (xyrsquo+yxrsquo)rsquo=(xyrsquo+yxrsquo) z = (x y) zSoluccedilatildeo tabelarx y z y z x (y z) x y (x y) z0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 1 1 11 0 0 0 1 1 11 1 0 1 0 0 00 0 1 1 1 0 10 1 1 0 0 1 01 0 1 1 0 1 0

1 1 1 0 1 0 1

Comutativa x y = x yrsquo + y xrsquo = yxrsquo + xyrsquo = y xNeutro x 0 = x 0rsquo + 0 xrsquo = x1 + 0 = x logo 0 eacute o neutroInverso xx = xxrsquo + xrsquox = 0+0 = 0 logo todo elemento eacute seu proacuteprio inverso Conclui-se que ltB gt eacute um grupo comutativo

2 considerando x y uma funccedilatildeo booleana decirc suas definiccedilotildees tabelar e esquemaacuteticaTabelar x y x y xrsquo yrsquo xyrsquo yxrsquo xyrsquo+yxrsquo

0 0 1 1 0 0 00 1 1 0 0 1 11 0 0 1 1 0 11 1 0 0 0 0 0

Esquemaacutetico

6) Em cada caso determine a estrutura algeacutebrica de ltS gte) S = 1 -1 i -i e eacute a multiplicaccedilatildeo com i = -1 e i2= -1 (sugestatildeo faccedila a tabela de multiplicaccedilatildeo)

pela tabela vecirc-se que a operaccedilatildeo eacute fechada Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros complexos eacute associativa Tem elemento neutro (1) os inversos satildeo -1rsquo=1 1rsquo=1 irsquo=-i e ndashirsquo=i pela associatividade da multiplicaccedilatildeo ela tambeacutem eacute associativa e eacute comutativa pois a tabela eacute simeacutetrica Logo eacute um grupo comutativo

f) S = 1234 e eacute 5 o produto modulo 5Eacute fechado (vide tabela) Eacute associativo pois a multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros moacutedulo n eacute associativa Eacute comutativo pois a tabela eacute simeacutetrica O elemento neutro eacute 1 Inversos 1rsquo=1 2rsquo=3 3rsquo=2 e 4rsquo=4 Associativo

Tambeacutem eacute grupo comutativo

_____________________________________________________________________________

7) Assim como existe um isomorfismo entre aacutelgebras (que preserva as operaccedilotildees) pode-se definir isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados ltSgt e ltSrsquorsquogt como uma bijeccedilatildeo fSSrsquo que preserva as ordens ou seja se xy entatildeo f(x)rsquof(y) 1 Se S=Srsquo=abc d defina 3 ordens parciais em S que satildeo isomorfas entre si

x y

Tabela 1 -1 i -i1 1 -1 i -iacute-1 -1 1 -i 1i i -i -1 1-i -i i 1 -1

Tabela 1 2 3 4 1 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1

2 Se S tem 4 elementos abcd mostre quantos reticulados distintos (natildeo isomorfos) podem ser formados (SUGESTAtildeO use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens)

8) Dado = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole L = lt3 + lsquo ldquoaeirdquogt com 3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacuteticaa cadeia vaziax y = a cadeia com as letras comuns a x e y x +y = a cadeia com todas letras de x e y exrsquo = -x ou seja a cadeia com todas letras que natildeo estatildeo em x

e S = ltP(S) lsquo Sgta) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |L|=|PS|=8 Defina este isomorfismo

o isomorfismo h 3 S eacute dado pela tabelax = a e i ae ai ei aeih(x)= 1 2 3 12 13 23 123

Para mostrar que eacute isomorfismo tem que ser um homomorfismo e ser bijetorab) dada a expressatildeo (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras

(i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para L

i) direto (rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo) = (ldquoaeirdquordquoirdquo)+(ldquoaeirdquordquoeirdquo) = ldquoirdquo+rdquoeirdquo= ldquoeirdquoii) indireto h((rsquo (ldquoairdquo rdquoeirdquo) + (ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))=(( rsquo (1323) (S1rsquo)=

((S 3) (S 23) = 3 23 = 23 h-1(23 = ldquoeirdquo

9) Dados = aei e S =123 Que determinam duas Aacutelgebras de Boole L = lt3 inf sup lsquo ldquoaeirdquogt com 3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabeacutetica a cadeia vazia

inf(xy)=a cadeia com as letras comuns a x e y sup(xy) = a cadeia com todas letras de x e y exrsquo = ldquoaeirdquo-x ou seja a cadeia com todas as letras que natildeo estatildeo em x

e PS = ltP(S) Sgta) Pelo teorema das aacutelgebras booleanas finitas estas duas estruturas satildeo isomorfas pois |3|=|PS|=8 Defina este isomorfismo

b

c d

a b

c d

a

bc

d

a

b

c

d

a

bc

d

a

Seja h lt3 -gt P(S) dada porX ldquoardquo ldquoerdquo ldquoirdquo ldquoaerdquo ldquoeirdquo ldquoairdquo ldquoaeirdquo

h(x) 1 2 3 12 23 13 123E as funccedilotildees h(sup) = h(inf) = e h(lsquo) = lsquo lsquo

b ) dada a expressatildeo inf(sup(sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) Calcule o resultado de duas maneiras (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS resolvendo em PS e convertendo o resultado de volta para 3

Direto inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo)) = inf(sup((ldquoaerdquo)rsquo) inf(aeildquoeirdquo)) = inf(sup(ldquoirdquo) ldquoeirdquo) = inf( ldquoirdquo ldquoeirdquo) = ldquoirdquoIndireto h(inf(sup( sup(ldquoardquordquoaerdquo)rsquo) inf(ldquoaeirdquo (ldquoardquo)rsquo))) = (( )) (1231)) =( ) ((12323)) = ( ) (23) = () (23) = 3c) E temos que h-1(3) = ldquoirdquo

10)Dado uma Aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt qualquer mostrar justificando cada passoa) Se definirmos uma nova operaccedilatildeo ( lsquoou exclusivorsquo) como sendo xy=xyrsquo + yxrsquo vale xy =

yx e tambeacutem x1=xrsquo xy= xyrsquo + yxrsquo=yxrsquo+xyrsquo=yxx1= x1rsquo + 1xrsquo=1bx0+xrsquo1=4b0+xrsquo=4a xrsquo

b) Propriedades (xy)+(xz) = x[y+(xz)] e tambeacutem (x+yx)rsquo = xrsquo x[y+(xz)]=3b xy+x(xz)=2b xy+(xx)z=xy+xz(x+yx)rsquo=3a ((x+y)(x+x))rsquo=6a ((x+y)x)rsquo=7a (x+y)rsquo+xrsquo=1a xrsquo+(xrsquo+yrsquo)=absorccedilatildeo xrsquo (falta provar a absorccedilatildeo)

11) Dado uma aacutelgebra ltZ gt sendo Z os inteiros defina operaccedilotildees tal que

a Comutativa mas natildeo associativa (xy) = (x+y)2 eacute comutativa pois (x+y)2 = (y+x)2 e natildeo eacute associativa pois pex((1+2)2 +3)2 = (32 +3)2 = (9 +3)2 = 122 ((1+(2 +3)2)2 = (1+ 52)2 = 262

b Forma soacute um semi grupo(nm)=nEacute associativa pois((xy)z) = (xz) = x e (x (yz)) = (xy) = xMas natildeo eacute comutativa pois (xy) = x e (yx) = y Natildeo tem neutro pois deveria valer (xi) = (ix) = x mas para xi teremos (ix)=i x

c ltZ gt forma soacute um monoacuteide(xy) = xy eacute claramente associativa e tem neutro o 1 (um) Mas como o domiacutenio eacute Z os inteiros natildeo tecircm inverso tal que nn-1 = 1

12) Dado uma aacutelgebra ltS gt determine para cada caso se temos um semi-grupo monoacuteide grupo ou nenhum desses

a S = R (os reais) e xy = (x+y)2

Associativo contra-exemplo 1(23)=(1+(2+3)2)2=(1+25)2 = 262

(12)3=(1+2)2+3)2=(9+3)2 =122 Logo natildeo eacute semi-grupo portanto natildeo eacute monoacuteide nem grupo

b S = 124 e xy eacute o produto moacutedulo 6Assoc x(yz)=xq1 sendo q1 (= o resto da divisatildeo de yz por 6)

= q2 (= o resto da divisatildeo de xq1 por 6)

Observe que se yz estaacute fora de S soacute pode ser 8 que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4 Em ambos os casos pode-se mostrar por exaustatildeo que x(yz)=xyz mod 6 Analogamente pode-se mostrar que (xy)z tambeacutem coincide com xyz Logo x(yz) = xyz = (xy)zNeutro eacute o 1 pois x1=x=1x para todo x em SInverso nem o 2 nem o 4 possuem inverso pois 2x=2 para todo x e 41=4 42+2 e 44=4 logo nunca 4x=1Concluindo eacute um monoacuteide

c S = N (os naturais) e xy = min(xy)min(xmin(yz)) = min (xyz) = min(min(xy)z) ndash logo eacute associativamin(xy) = min(yx) ndash logo eacute comutativanatildeo existe um natural n tal que min(xn) = x para todo x pois basta tomar x=n+1 e teremos min(n+1n) = n e natildeo n+1 ndash logo natildeo tem neutroConclusatildeo eacute um semi-grupo comutativo

d S = N N e (x1y1) (x2y2) = (x1y2) ((x1y1) (x2y2))( x3y3) = (x1y2)( x3y3) = ( x1y3) e(x1y1) ((x2y2)( x3y3)) = (x1y1)( x2y3) = ( x1y3) logo eacute associativa(x1y1) (x2y2) = (x1y2) mas (x2y2) (x1y1) = (x2y1) logo natildeo eacute comutativa Como o resultado da operaccedilatildeo sempre teraacute um componente do segundo operando natildeo eacute possiacutevel haver um (i2i2) tal que (x1y1) (i2i2) = (x1y1) logo natildeo tem identidade e consequentemente natildeo tem inversoConclusatildeo eacute um semi-grupo natildeo comutativo

e S = f fNN (conjunto das funccedilotildees naturais e fg(x) = f(x)+g(x) Associativa (fg)h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = f(gh)(x)Identidade seja i(x)=0 teremos fi(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)Neutro seja g(x) = ndashf(x) entatildeo fg(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)Comutativa como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) seraacute comutativaLogo eacute um grupo comutativo

13) Mostre quea) ltR + gt eacute um corpo comutativo

Mostrar que ltR +gt eacute um anel ou seja ltR+gt eacute grupo comutativo (vale ANIC) e ltRgt eacute semi-grupo Eacute faacutecil mostrar isso ltRgt aleacutem de ser semi-grupo possui neutro logo eacute um monoacuteide ltR-0gt tambeacutem possui inverso 1x para todo x R-0 logo eacute grupo comutativo

b) Em uma aacutelgebra de Boole ltS + lsquo 0 1gt ltS+gt eacute um monoacuteiacutede comutativoPela propriedade 1a eacute comutativo pela 2a eacute associativo e pela 4a o neutro eacute 0 A operaccedilatildeo lsquo natildeo determina um inverso em relaccedilatildeo a + pois a+arsquo = 1 e deveria ser 0

14) Em cada caso abaixo mostre quais das funccedilotildees definidas satildeo bem definidas bijeccedilotildees homomorfismos e quais satildeo isomorfismos Para o isomorfismo mostre o isomorfismo inverso

a) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = 0eacute um homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z) Natildeo eacute isomorfismo pois natildeo eacute injetiva nem sobrejetiva

b) f ltZ + gt ltZ + gt dada por f(x) = x + 1Natildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto f(x+y)=x+y+1x+y+2 Se natildeo eacute homomorfismo tambeacutem natildeo pode ser isomorfismo

c) f ltZ +gt ltZ gt dada por f(x) = xNatildeo eacute homomorfismo pois se x+y=z deveriacuteamos ter f(x)f(y)=f(z) ou seja xy=z Logo tambeacutem natildeo eacute isomorfismo

d) f ltR-0 + gt ltR-0 + gt dada por f(x) = 1xEacute bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso

Eacute injetiva pois se xy tambeacutem temos 1x 1yEacute sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1x Nesse caso f(1x) = x logo x pertence agrave imagem f(R-0)Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) jaacute que dos dois lados a operaccedilatildeo eacute a soma A primeira parte eacute 1x + 1y = (y+x)(xy) e a segunda seraacute 1(x+y) logos satildeo diferentes Pex para x=1 e y=2 teriacuteamos(y+x)(xy) = 32 e 1(x+y) = 13 Concluiacutemos que eacute bijetora mas natildeo eacute homomorfismo

e) f ltZ + gt ltP + gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)Eacute bem definida pois para todo inteiro n 2n eacute um nuacutemero parEacute injetiva pois para inteiros n e m diferentes teremos 2n2mEacute sobrejetiva pois para todo par p existe o inteiro p2 tal que f(p2) = pPara ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y) Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y)Tambeacutem f-1(x)+ f-1(y)= x2 + y2 = (x+y)2 = f-1(x+y) Logo eacute bijeccedilatildeo e ambos satildeo homomorfismos portanto eacute um isomorfismo

f) f ltZ +gt ltP gt dada por f(x) = 2x (P eacute o conjunto de nuacutemeros pares)Pelos mesmos argumentos acima eacute uma bijeccedilatildeoPara ser homomorfismo deve valer f(x) f(y) = f(x+y) Temos f(x) f(y) = 2x 2y = 4xy mas f(x+y) = 2(x+y) Logo natildeo eacute homomorfismo nem isomorfismo

13) Defina a estrutura algeacutebrica de1) lt ||gt com o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)|| a operaccedilatildeo de concatenaccedilatildeo de strings

Eacute associativo pois se a=a1an b=b1bm e c=c1ck teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1an b1bm c1ck Natildeo eacute comutativo pois por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdabTem neutro pois para a cadeia vazia vale a=a para qualquer aNatildeo tem inverso pois a concatenaccedilatildeo soacute aumenta uma cadeia logo para toda cadeia natildeo vazia a natildeo

pode existir b tal que a||b=Conclui-se que a estrutura eacute um Monoacuteide

2) lt Z6 +66gt com Z6= 012345 sendo +6 a soma moacutedulo 6 e 6 o produto moacutedulo 6

Analisemos cada operaccedilatildeolt Z6 +gt eacute associativo pois como a soma eacute associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + rse x+(y+z) = x +(6q1+r1) = 6q2 + r2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r1 = r2 com r2 = r

Analogamente mostra-se tambeacutem que (x +6 y)+6 z = r Eacute comutativo por argumento anaacutelogo ao acima decorrente da comutatividade da somaTem neutro que eacute o 0 pois x+60=xTem inverso pois para todo nZ6 teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6) Logo xrsquo=6-xLogo lt Z6 +gt eacute um grupo comutativolt Z6 gtPelos mesmos argumentos acima vecirc-se que eacute associativo e comutativoTem neutro que eacute o 1 pois x1=xlt Z6-0 6gt natildeo eacute grupo pois Z6-0 soacute tem inteiros que natildeo tecircm inverso na multiplicaccedilatildeoLogo lt Z6 gt eacute um monoacuteide comutativo e lt Z6+ gt seraacute um anel comutativo com neutro na multiplicaccedilatildeo

3) ltZ5 +5 5 gt comZ5 = 01234x +5 y = (x+y) mod 5 ex 5 y = (xy) mod 5

como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5 e(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5A soma moacutedulo 5 eacute associativa Anaacutelogamente a multiplicaccedilatildeo tambeacutem o eacuteComo a soma e multiplicaccedilatildeo normais satildeo comutativas estas operaccedilotildees moacutedulo 5 tambeacutem o seratildeoO neutro de +5 eacute o 0 O neutro de 5 eacute o 1Os inversos em +5 seratildeo 0rsquo= 0 1rsquo=4 2rsquo= 3 3rsquo=2 e 4rsquo=1Em 5 natildeo pode haver inverso pois para x Z5 natildeo haveraacute inverso xrsquo com xxrsquo=1 Mesmo para Z5 ndash 0A distributividade que vale para as soma e multiplicaccedilatildeo normais pode ser aplicado agraves operaccedilotildees de moacutedulo pois teremosx5 (y+5z) = (x(y+z)mod 5) mod 5 = (x(y+z))mod 5 = (xy+xz))mod 5 = ((xy)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x5 y)+5 (x5z)

Concluimos que a estrutura eacute um Anel Comutativo

4) lt C sup infgt com C um reticulado finito ordenado por uma relaccedilatildeo pound e inf(xy) eacute o iacutenfimo de x e y e sup(xy) eacute o supremo de x e y

Associativa dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf3(xyz) como o iacutenfimo de xy e z Agora deve valer inf(xinf(yz)) = inf3(xyz) assim como inf(inf(xy)z) Pode ser provado por absurdo Analogamente vale para sup(xy)Neutro Jaacute que C eacute reticulado finito teraacute um elemento maacuteximo MAX e um miacutenimo MIN Nesse caso teremos inf(xMAX) = x e sup(xltMIN) = x Logo MAX eacute o neutro de inf() e MIN eacute o neutro de sup()Inverso se x MAX para todo y teremos inf(xy) x logo natildeo haveraacute y tal que inf(xy) MAX Logo natildeo tem inversoComutativa eacute claro que inf(xy) = inf(yx) assim como sup(xy) = sup(yx)Concluimos que ambas estruturas satildeo monoides comutativos logo ltCsupinfgt natildeo eacute anel

14) Seja B=01ab Defina uma aacutelgebra de Boole ltB+rsquo01gt sendo que lsquo eacute definido como 0rsquo=1 1rsquo=0 arsquo=b e brsquo=a Defina as operaccedilotildees + e por duas tabelas

+ 0 1 a b 0 1 a b0 0 1 a b 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 0 1 a ba a 1 a 1 a 0 a a 0b b 1 1 b b 0 b 0 b

15) Dado S = 1235 seja o reticulado R= ltlt12gtlt13gt lt25gtlt35gt inf supgt Mostre que a estrutura B=ltS inf sup lsquo 1 5gt eacute uma Aacutelgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B e ltP(12) ldquo 12gt

Para mostrar isso deve ser definido uma bijeccedilatildeo h entre S e P(12) e mostrado a conservaccedilatildeo das operaccedilotildees Para isso crie uma tabela com todas combinaccedilotildees possiacuteveis de x e y em S e mostre que vale h(inf(xy)) = h(x) h(y) h(sup(xy)) = h(x) h(y)h(xrsquo) = h(x)rdquo

Para ser uma Aacutelgebra de Boole vamos definir o isomorfismo Seja o morfismo h dado por

x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12

E h(sup) = h(inf) = Para ser isomorfismo deve valer

pq V F NV V F N

F F F F

N N F N

1 h eacute uma bijeccedilatildeo entre A e B Isto estaacute claro na tabela da funccedilatildeo2 h(inf(xy)) = h(x) h(y)3 h(sup(xy)) = h(x) h(y)4 h(xrsquo) = h(x)rdquoPodemos deduzir as propriedades 2 3 e 4 pela tabela

x y inf(xy) h(inf(xy)) h(x) h(y) sup(xy) h(x) h(y) xrsquo h(xrsquo) h(x)rdquo1 2 1 2 1 5 [12 121 3 1 3 21 5 1 5 122 3 1 5 12 3 2 22 5 2 1 1 5 123 5 3 2 2 5 12 2 1 1


16) Dado uma aacutelgebra ltS gt para cada operaccedilatildeo mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e que tipo de aacutelgebra eacute

1 S = inteiros e (xy) = (x+y)2 Natildeo eacute associativa pois pex ((1+1)2+3)2 = (4+3)2 = 49 e ((1+(1+3)2) 2= (1+16)2 =172= 289Natildeo tem neutro pois pex com x=2 o neutro seriacutea y tal que (2+y)2= 2 teriacuteamos y = 2 ndash 2 o que natildeo eacute um nuacutemero inteiroEacute comutativa pois (x+y)2= (y+x)2

Logo a estrutura eacute soacute comutativa e nada mais2 S = cadeias de caracteres e (xy) = x || y a concatenaccedilatildeo de cadeias

Eacute associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z))Tem neutro a cadeia vazia pois x || = xNatildeo tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para e tamanho 0Natildeo eacute comutativa pois pex ldquoaldquo||rdquobrdquo = ldquoabrdquo e ldquobrdquo || ldquoardquo = ldquobardquoLogo eacute um monoide natildeo-comutativo

17) Uma extensatildeo da loacutegica proposicional considera 3 valores possiacuteveis Verdade(V) Falso(F) ou Nulo(N) Nesta loacutegica os operadores e satildeo definidos como

p V V V F F F N N Nq V F N V F N V F Npq V F N F F F N F N

p V V V F F F N N Nq V F N V F N V F Npq V V V V F N V N N

p V F N p F V N Mostre que a loacutegica de 3 valores ltFVN F Vgt natildeo eacute uma aacutelgebra de Boole Analise para o as propriedades comutativa neutro e inverso e a distributiva x(y z) =(xy) (xz) Sugestatildeo para analisar o faccedila a matriz da operaccedilatildeoObservando a matrizVecirc-se que pq eacute comutativo pois a matriz eacute simeacutetricaO elemento neutro eacute V observando a primeira linha ou primeira colunaNatildeo tem inverso pois natildeo haacute nenhuma linha que leva todos valores em VDistributiva um exemploV(N F) = VN = N e (VN) (VF)= N F = N

Completo (as combinaccedilotildees de V e F satildeo as claacutessicas Mostramos as combinaccedilotildees de V com pelo menos um valor N)x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy)V V N V V V N VV N V V V N V VN V V V N N N NV N N N N N N NN N V V N N N NN N N N N N N N

Natildeo eacute aacutelgebra de Boole pois como V eacute o neutro de deve valer x x = V Mas pela tabela temos que N N = N N = N V

18) Dada a expressatildeo booleana (xyrsquo)(yrsquo+z)a) escreva ela apenas com operadores NAND

(xyrsquo)(yrsquo+z) =(xyrsquo)yrsquo + (xyrsquo)z = (( (xyrsquo)yrsquo+(xyrsquo)z )rsquo)rsquo = (( ((xyrsquo)yrsquo)rsquo ((xyrsquo)z)rsquo )rsquo)rsquo = (((xyrsquo) rsquo yrsquo) ((xyrsquo) rsquo z))rsquo = ((xyrsquo) rsquo y) rsquo ((xyrsquo) rsquo z) = (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo y) rsquo (((xyrsquo)rsquo)rsquo rsquo z) = (( ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo y) rsquo ((x rsquo yrsquo)rsquo rsquo z) )rsquo)rsquo = ( ((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo y) rsquo (((x rsquo yrsquo) rsquo 1) rsquo z) )rsquo= ( (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) )rsquo = (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1

b) escreva ela apenas com operadores NOR(xyrsquo)(yrsquo+z) = (xrsquo+y)rsquo(yrsquo+z) = ((xrsquo+y) + (yrsquo+z)rsquo)rsquo = (xrsquo + y) lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((xrsquo + y))rsquo)rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) =((xrsquo lsquo+ y))rsquo lsquo+ (yrsquo lsquo+ z) = (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z)

c) Calcule o valor da expressatildeo para x=1 y=0 e z=0 Use primeiro a expressatildeo original e depois a soacute com NAND e a soacute com NOR

Para x=1 y=0 e z = 0 teremosOriginal (xyrsquo)(yrsquo+z) = (10rsquo)(0rsquo+0) = 1(1+0) = 11 = 1NAND (((x rsquo (y rsquo 1)) rsquo (y lsquo 1)) lsquo y) lsquo (((x lsquo (y lsquo 1)) lsquo 1) lsquo z) lsquo 1 =

(((1 rsquo (0 rsquo 1)) rsquo (0 lsquo 1)) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo (0 lsquo 1)) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (((1 rsquo 1) rsquo 1) lsquo 0) lsquo (((1 lsquo 1) lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1 =((0 rsquo 1) lsquo 0) lsquo ((0 lsquo 1) lsquo 0) lsquo 1= (1 lsquo 0) lsquo (1 lsquo 0) lsquo 1 = (1 lsquo 1) lsquo 1 = 0 lsquo 1 = 1

NOR (((x lsquo+ 0) lsquo+ y) lsquo+ 0) lsquo+ ((y lsquo+ 0) lsquo+ z) = (((1 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) = ((0 lsquo+ 0) lsquo+ 0) lsquo+ (1 lsquo+ 0) = (1 lsquo+ 0) lsquo+ 0 = 0 lsquo+ 0 = 1

Suponhamos que f(x) tem duas inversas f1-1(y) e f2

-1(y) Como as duas funccedilotildees satildeo diferentes existe um y tal que f1

-1(y) f2-1(y) Neste caso se x1= f1

-1(y) e x2 = f2-1(y) temos que f(x1)=y e f(x2)=y jaacute que as

duas satildeo inversas de f(x) Mas neste caso f(x) natildeo eacute injetiva e portanto natildeo eacute bijetiva CONTRADICcedilAtildeO(b) Prove por induccedilatildeo que para todo inteiro positivo n vale que 7n-2n eacute divisiacutevel por 5 Para n=1 temos 7-2=5 OKSupondo que 7n-2n eacute divisiacutevel por 5 existe um k tal que 7n-2n=5k

Agora 7(n+1) ndash 2(n+1)= 7n+7-(2n+2)= 7n-2n +7-2 = 5k +7-2=5(k+1) CONFIRMADO

5) A sequumlecircncia de nuacutemeros triangulares eacute 1 3 6 10 eacute baseada nos triacircngulos

1 3 6Encontre a relaccedilatildeo de recorrecircncia e a foacutermula fechada desta sequumlecircncia Para encontrar a foacutermula fechada

use o princiacutepio expandir supor verificarA sequecircncia seraacute 1 3(=1+2) 6(=3+3) 10(=6+4) 15(=10+5) 21(=15+6) logo a relaccedilatildeo de recorrecircncia seraacute S(1) = 1 e S(n) = S(n-1) + nFoacutermula fechada Expandir S(1) = 1 S(2) = 1 + 2 S(3) = 1 + 2 + 3 S(4) = 1 + 2 + 3 + 4Supor S(n) = i=1n iVerificar S(1)=1 = i=11 i

Supondo verdadeiro que S(n) = i=1n i temos que S(n+1) = S(n) + n+1 = i=1n i + n+1 = i=1n+1 i CQDO

6) Mostre por induccedilatildeo que para a sequumlecircncia de Fibonacci vale a relaccedilatildeo

F(n) lt 2n

(NB a sequumlecircncia de Fibonacci eacute dada por F(1)=1 F(2)=2 e F(n)=F(n-1) + F(n-2))Hipoacutetese de induccedilatildeo F(1) = 1 lt 21 F(2) = 2 lt 22 F(n-1) lt 2n-1 e F(n) lt 2n Vamos mostrar que F(n+1) = lt 2n+1 para n gt 2Por definiccedilatildeo temos queF(n+1) = F(n) + F(n-1) substituindo a hipoacutetese de induccedilatildeo temos queF(n+1) lt = 2 2n-1 + 2n-1 = 32n-1 lt 42n-1 = 2n+1 estaacute provada a conjecturaNa prova acima foi usada lsquoinduccedilatildeo completarsquo A prova por induccedilatildeo simples seriaF(n+1) = F(n) + F(n-1) pela definiccedilatildeo de F(n) = F(n-1)+F(n-2) + F(n-1) pela hipoacutetese de induccedilatildeo lt 2n + F(n-1) como F(n-1) = F(n) ndash F(n-2) lt 2n + 2n ndash F(n-2) = 2n+1 ndash F(n-2)Entatildeo temos F(n+1) + F(n-2) lt 2n+1 e como F(n-2) gt 0 teremos F(n+1) lt 2n+1

7) Mostre por induccedilatildeo que n3 + 2n eacute divisiacutevel por 3n=1 1+2=3supondo que n3+ 2n eacute divisiacutevel por 3 temos n3+ 2n = 3kagora (n+1)3+ 2(n+1) =

(n+1)(n2 + 2n +1)+2n+2 = n3 + 2n2 + n + n2 + 2n + 1 + 2n +2 = 3k + 3n2 + 3n +3 = 3(k + n2 + 3n + 1)

8) Prove que ldquose x e y satildeo iacutempares entatildeo x+y eacute parrdquoa Por contraposiccedilatildeo Se x+y eacute impar entatildeo x ou y eacute par











Conferindo S(1) = 2 S(2) = 4+4+1=9 S(3) = 29+9+1= 28 S(4) = 228+16+1= 73













e 10 100 1000 e 010 0010 00010











S +|-| λ I ID | D

P F DDD 0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9


























lt k lt 2n




































a cb

ab ac
































































x

y

+

z

x+y+

yz

res

x

y+

+

res

sen

sen

z2

2x

















x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12






1 1 1 0 1 0 1



0 0 1 1 0 0 00 1 1 0 0 1 11 0 0 1 1 0 11 1 0 0 0 0 0

Esquemaacutetico





_____________________________________________________________________________


x y


Tabela 1 2 3 4 1 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1












b

c d

a b

c d

a

bc

d

a

b

c

d

a

bc

d

a

















































x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12


pq V F NV V F N

F F F F

N N F N































Conferindo S(1) = 2 S(2) = 4+4+1=9 S(3) = 29+9+1= 28 S(4) = 228+16+1= 73













e 10 100 1000 e 010 0010 00010











S +|-| λ I ID | D

P F DDD 0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9


























lt k lt 2n




































a cb

ab ac
































































x

y

+

z

x+y+

yz

res

x

y+

+

res

sen

sen

z2

2x

















x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12






1 1 1 0 1 0 1



0 0 1 1 0 0 00 1 1 0 0 1 11 0 0 1 1 0 11 1 0 0 0 0 0

Esquemaacutetico





_____________________________________________________________________________


x y


Tabela 1 2 3 4 1 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1












b

c d

a b

c d

a

bc

d

a

b

c

d

a

bc

d

a

















































x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12


pq V F NV V F N

F F F F

N N F N
































e 10 100 1000 e 010 0010 00010











S +|-| λ I ID | D

P F DDD 0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9


























lt k lt 2n




































a cb

ab ac
































































x

y

+

z

x+y+

yz

res

x

y+

+

res

sen

sen

z2

2x

















x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12






1 1 1 0 1 0 1



0 0 1 1 0 0 00 1 1 0 0 1 11 0 0 1 1 0 11 1 0 0 0 0 0

Esquemaacutetico





_____________________________________________________________________________


x y


Tabela 1 2 3 4 1 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1












b

c d

a b

c d

a

bc

d

a

b

c

d

a

bc

d

a

















































x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12


pq V F NV V F N

F F F F

N N F N




























S +|-| λ I ID | D

P F DDD 0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9


























lt k lt 2n




































a cb

ab ac
































































x

y

+

z

x+y+

yz

res

x

y+

+

res

sen

sen

z2

2x

















x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12






1 1 1 0 1 0 1



0 0 1 1 0 0 00 1 1 0 0 1 11 0 0 1 1 0 11 1 0 0 0 0 0

Esquemaacutetico





_____________________________________________________________________________


x y


Tabela 1 2 3 4 1 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1












b

c d

a b

c d

a

bc

d

a

b

c

d

a

bc

d

a

















































x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12


pq V F NV V F N

F F F F

N N F N








































lt k lt 2n




































a cb

ab ac
































































x

y

+

z

x+y+

yz

res

x

y+

+

res

sen

sen

z2

2x

















x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12






1 1 1 0 1 0 1



0 0 1 1 0 0 00 1 1 0 0 1 11 0 0 1 1 0 11 1 0 0 0 0 0

Esquemaacutetico





_____________________________________________________________________________


x y


Tabela 1 2 3 4 1 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1












b

c d

a b

c d

a

bc

d

a

b

c

d

a

bc

d

a

















































x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12


pq V F NV V F N

F F F F

N N F N











































a cb

ab ac
































































x

y

+

z

x+y+

yz

res

x

y+

+

res

sen

sen

z2

2x

















x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12






1 1 1 0 1 0 1



0 0 1 1 0 0 00 1 1 0 0 1 11 0 0 1 1 0 11 1 0 0 0 0 0

Esquemaacutetico





_____________________________________________________________________________


x y


Tabela 1 2 3 4 1 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1












b

c d

a b

c d

a

bc

d

a

b

c

d

a

bc

d

a

















































x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12


pq V F NV V F N

F F F F

N N F N




















































































x

y

+

z

x+y+

yz

res

x

y+

+

res

sen

sen

z2

2x

















x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12






1 1 1 0 1 0 1



0 0 1 1 0 0 00 1 1 0 0 1 11 0 0 1 1 0 11 1 0 0 0 0 0

Esquemaacutetico





_____________________________________________________________________________


x y


Tabela 1 2 3 4 1 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1












b

c d

a b

c d

a

bc

d

a

b

c

d

a

bc

d

a

















































x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12


pq V F NV V F N

F F F F

N N F N





































x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12






1 1 1 0 1 0 1



0 0 1 1 0 0 00 1 1 0 0 1 11 0 0 1 1 0 11 1 0 0 0 0 0

Esquemaacutetico





_____________________________________________________________________________


x y


Tabela 1 2 3 4 1 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1












b

c d

a b

c d

a

bc

d

a

b

c

d

a

bc

d

a

















































x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12


pq V F NV V F N

F F F F

N N F N





















1 1 1 0 1 0 1



0 0 1 1 0 0 00 1 1 0 0 1 11 0 0 1 1 0 11 1 0 0 0 0 0

Esquemaacutetico





_____________________________________________________________________________


x y


Tabela 1 2 3 4 1 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1












b

c d

a b

c d

a

bc

d

a

b

c

d

a

bc

d

a

















































x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12


pq V F NV V F N

F F F F

N N F N
































b

c d

a b

c d

a

bc

d

a

b

c

d

a

bc

d

a

















































x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12


pq V F NV V F N

F F F F

N N F N





































































x = 1 2 3 5h(x)= 1 2 12


pq V F NV V F N

F F F F

N N F N





















pq V F NV V F N

F F F F

N N F N





















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