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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

CENTRO DE TECNOLOGIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

ROTINA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE TRELIÇAS

PLANAS CONSIDERANDO DESLOCAMENTOS DE APOIO E

FUNDAÇÕES FLEXÍVEIS

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

Rafael Luis Moresco

Santa Maria, RS, Brasil

2015

ROTINA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE TRELIÇAS

PLANAS CONSIDERANDO DESLOCAMENTOS DE APOIO E

FUNDAÇÕES FLEXÍVEIS

por

Rafael Luis Moresco

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Graduação em

Engenharia Civil da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), como

requisito parcial para obtenção do grau de

Engenheiro Civil

Orientador: Prof. Dr. João Kaminski Junior

Santa Maria, RS, Brasil

2015

Universidade Federal de Santa Maria

Centro de Tecnologia

Curso de Engenharia Civil

A Comissão Examinadora, abaixo assinada,

aprova o Trabalho de Conclusão de Curso

ROTINA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE TRELIÇAS PLANAS

CONSIDERANDO DESLOCAMENTOS DE APOIO E FUNDAÇÕES

FLEXÍVEIS

elaborado por

Rafael Luis Moresco

como requisito parcial para a obtenção do grau de

Engenheiro Civil

Comissão examinadora:

Prof. Dr. João Kaminski Junior

(Presidente/Orientador)

Prof. Dr. Marco Antônio Silva Pinheiro

Profa. Dra. Larissa Degliuomini Kirchhof

Santa Maria, 16 de julho de 2015

Dedico este trabalho aos meu pais que sempre

incentivaram e priorizaram a educação de seus filhos.

AGRADECIMENTOS

Agradeço infinitamente a todos que contribuíram de alguma forma para que esse

trabalho fosse realizado.

Ao meu orientador Prof. Dr. João Kaminski Junior, por todos os auxílios.

Aos meus familiares e amigos, pela amizade e apoio.

RESUMO

Trabalho de Conclusão de Curso

Curso de Engenharia Civil

Universidade Federal de Santa Maria

ROTINA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE TRELIÇAS PLANAS

CONSIDERANDO DESLOCAMENTOS DE APOIO E FUNDAÇÕES FLEXÍVEIS

AUTOR: RAFAEL LUIS MORESCO

ORIENTADOR: Prof. Dr. JOÃO KAMINSKI JUNIOR.

Santa Maria, 16 de julho de 2015.

Construções de grandes obras da engenharia, como a Torre Eiffel (1889) e a Ponte

Golden Gate (1937), se tornaram famosas pela sua beleza e magnitude. Estas estruturas

possuem um enorme nível de complexidade que fascina as pessoas até hoje. O avanço

tecnológico das últimas décadas trouxe a criação de ferramentas computacionais que passaram

a colaborar com os engenheiros que as idealizaram. O meio acadêmico adquiriu estas premissas

e evoluiu, passando a ofertar disciplinas de análise numérica. Dentro desse contexto foram

inseridas as rotinas de cálculo e os algoritmos. Estas técnicas ajudam os alunos a terem um

melhor aprendizado, uma vez que facilitam a resolução de sistemas estruturais mais arrojados.

Pensando nisso, esse trabalho modificou um programa já existente que analisava treliças planas

pelo método da rigidez, em linguagem FORTRAN 90. A fim de aumentar sua área de

aplicabilidade foi realizada a alteração do código fonte, buscando uma leitura de estruturas que

possuíssem deslocamentos nos apoios. Por fim, o programa apresenta no arquivo de saída

resultados de todos os passos da solução da estrutura, que conferem com os de outro programa

já conceituado, o Ftool. Ainda, em uma segunda etapa do trabalho, investiga-se o

comportamento de treliças planas com apoios flexíveis, simulando o efeito elástico do solo. As

análises foram realizadas usando o programa já elaborado e o software acadêmico Ftool, os

resultados obtidos são análogos, comprovando a funcionalidade da simulação.

Palavras-chave: Apoios elásticos; Deslocamento de apoio; Método da rigidez; Treliças planas.

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1 - (a) viga; (b) pórtico plano; (c) pórtico espacial; (d) treliça plana; (e) treliça

espacial; (f) grelha. ................................................................................................................... 13

Figura 3.2 – Representação de uma estrutura com dois apoios externos, três barras e quatro

nós. ............................................................................................................................................ 14 Figura 3.3 – Representação de uma estrutura submetida a uma carga concentrada P=50 kN, a

uma ação uniformemente distribuída q=10 kN/m e a um momento fletor M=5 kNm. ............ 14 Figura 3.4 – (a) apoio de primeiro gênero; (b) apoio de segundo gênero; (c) apoio de terceiro

gênero. ...................................................................................................................................... 15 Figura 3.5 – Nó rígido (a) e nó rotulado (b). ............................................................................ 15 Figura 3.6 – Estrutura de uma treliça plana (tesoura) em madeira. .......................................... 16

Figura 3.7 – Estrutura de uma treliça plana em aço. ................................................................ 17 Figura 3.8 – Representação gráfica de uma treliça plana com 8 nós, 13 barras e 3 ações

externas. .................................................................................................................................... 17 Figura 4.1 – Treliça plana na numeração arbitrária. ................................................................. 19

Figura 4.2 – Treliça plana na numeração prioritária. ............................................................... 19 Figura 4.3 – Barra genérica de uma treliça plana no sistema de referência global e local. ...... 20 Figura 4.4 – Numeração dos GDL de uma barra de treliça plana no sistema de referência

local. ......................................................................................................................................... 20

Figura 4.5 – Deslocamento unitário de D1L. ............................................................................. 21




Figura 5.1 – Treliça plana usada como exemplo para a solução pelo método da rigidez. ....... 28 Figura 5.2 – Treliça plana exemplo com deslocamentos numerados de forma arbitrária. ....... 29 Figura 5.3 – Barra 1 da treliça plana exemplo. ......................................................................... 29

Figura 5.4 – Barra 2 da treliça plana exemplo. ......................................................................... 31 Figura 5.5 – Barra 3 da treliça plana exemplo. ......................................................................... 32

Figura 5.6 – Treliça plana exemplo com deslocamentos numerados de forma prioritária. ...... 34 Figura 5.7 – Representação dos esforços normais nas barras da treliça plana exemplo. ......... 39 Figura 7.1 – Representação da treliça plana exemplo no Ftool. ............................................... 44 Figura 7.2 – Respostas fornecidas pelo Ftool para a treliça plana exemplo. ............................ 45

Figura 8.1 – Ponte Akashi Kaikyo Ohashi, Japão. ................................................................... 47 Figura 8.2 – Torre de Pisa, Itália. ............................................................................................. 48 Figura 8.3 – Edificações da cidade de Santos, Brasil. .............................................................. 49 Figura 8.4 – Treliça plana elaborada no Ftool. ......................................................................... 49

Figura 8.5 – Numeração das barras na treliça plana. ................................................................ 50 Figura 8.6 – Treliça plana elaborada no FTOOL com deslocamento de apoio no detalhe. ..... 52 Figura 9.1 – Gráfico resultante do ensaio Tração x Deformação. ............................................ 55

Figura 9.2 – Modelo de treliça plana com apoio esquerdo elástico. ........................................ 57 Figura 9.3 – Primeiro modelo rodado no Ftool. ....................................................................... 60 Figura 9.4 – Segundo modelo rodado no Ftool. ....................................................................... 61 Figura 9.5 – Gráfico para o primeiro modelo rodado no Ftool. ............................................... 61 Figura 9.6 – Gráfico para o segundo modelo rodado no Ftool. ................................................ 62

LISTA DE SIMBOLOS

𝜎 tensão normal;

𝜀 deformação específica;

𝐸 módulo de elasticidade longitudinal do material;

𝑃 carga de tração ou compressão;

𝐴 área da seção transversal da barra;

∆𝐿 deformação sofrida por um elemento linear;

𝐿 comprimento inicial do elemento linear;

𝑆𝑀 𝐿 matriz de rigidez da barra de treliça;

𝑆𝑀𝑖𝑗𝐿 elemento da matriz 𝑆𝑀

𝐿 na posição 𝑖𝑗;

𝑆𝑀𝑖𝐿 matriz de rigidez de uma barra genérica “i” de treliça plana em coordenadas locais;

𝑅𝑖 matriz de rotação de uma barra genérica “i”;

𝑅𝑖𝑇 matriz de rotação transposta de uma barra genérica “i”.

𝜃 ângulo formado pelo eixo longitudinal da barra XL e o eixo horizontal global da treliça

plana X;

𝑆𝐽 matriz de rigidez global;

𝑆 matriz de rigidez relativa aos deslocamentos livres;

𝑆𝑅𝐷 matriz que engloba os coeficientes de rigidez correspondentes aos deslocamentos

restringidos na estrutura original;

𝑆𝐷𝑅 matriz que contém os coeficientes de rigidez correspondentes aos deslocamentos livres

na estrutura original

𝑆𝑅𝑅 matriz que enquadra os coeficientes de rigidez correspondentes aos deslocamentos

restringidos na estrutura

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ vetor de cargas nodais;

𝐷𝑟 vetor que contém os deslocamentos nos apoios dos nós restringidos, na numeração

prioritária;

�̅� vetor que representa os deslocamentos nodais livres ou deslocamentos incógnitos;

𝐴𝑅 vetor que contém as reações de apoio da estrutura;

𝐴𝑅𝐿 vetor de cargas nodais que representa as ações que estão agindo na direção dos

deslocamentos restringidos da estrutura, na numeração prioritária;

�̅� vetor que contêm os deslocamentos nodais livres, na numeração prioritária;

𝐷𝑟 vetor que contêm os deslocamentos prescritos nos apoios, na numeração prioritária;

𝑆𝑀𝑖𝐿 matriz de rigidez de barra em coordenadas locais;

𝐷𝑖𝐿 vetor que contém os deslocamentos nos nós inicial (J) e final (K) da barra 𝑖, em

coordenadas locais;

𝐴𝑀𝑖𝐿 vetor que contém as ações de extremidade de barra em coordenadas locais;

𝐷𝑖 vetor que contém os deslocamentos dos nós inicial e final da barra “i” em coordenadas

globais;

𝑅𝑖 matriz de rotação da barra “i”;

𝐹 variável que representa força na equação na Lei de Hooke;

𝐾 constante elástica da mola ou corpo na Lei de Hooke.

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ____________________________________________ 7

LISTA DE SIMBOLOS __________________________________________ 8

SUMÁRIO _____________________________________________________ 9

1 INTRODUÇÃO ______________________________________________ 10

2 OBJETIVOS _________________________________________________ 12

3 MODELOS ESTRUTURAIS ___________________________________ 13

3.1 Conceitos ____________________________________________________________________ 13

3.2 Treliças planas _______________________________________________________________ 15

4 MÉTODO DA RIGIDEZ _______________________________________ 18

4.1 Método da rigidez aplicado a treliças planas com deslocamentos de apoio ______________ 18 4.1.1 Dados da estrutura ______________________________________________________ 18 4.1.2 Numeração arbitrária e numeração prioritária _______________________________ 18 4.1.3 Determinação da matriz de rigidez de barra no sistema de referência local _______ 20 4.1.4 Determinação da matriz de rigidez de barra no sistema de referência global ______ 24 4.1.5 Determinação da matriz de rigidez global da treliça plana _____________________ 25 4.1.6 Cálculo dos deslocamentos nodais __________________________________________ 25 4.1.7 Determinação das reações de apoio _________________________________________ 26 4.1.8 Cálculo das ações de extremidade de barra __________________________________ 26

5 EXEMPLO NUMÉRICO ______________________________________ 28

6 O PROGRAMA TRELIÇAS ____________________________________ 40

6.1 Informações Gerais ___________________________________________________________ 40

6.2Arquivos de dados _____________________________________________________________ 40 6.2.1 Arquivo ‘[nome_da_estrutura_dados].txt’ ___________________________________ 40 6.2.2 Arquivo ‘[nome_da_estrutura_saida].txt’ ___________________________________ 42 6.2.3 Exemplo de aplicação do programa Treliças _________________________________ 42

7 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS NO PROGRAMA FTOOL ____ 44

8 DESLOCAMENTOS DE APOIO ________________________________ 47

8.1 Desenvolvimento teórico _______________________________________________________ 47

8.2 Exemplo numérico ____________________________________________________________ 49

9 APOIOS ELÁSTICOS _________________________________________ 55

10 CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÃO ____________________ 63

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS _____________________________ 65

ANEXO A – Manual do Usuário do Programa Treliças ________________________________ 66

ANEXO B – Arquivo De Saída Do Programa Treliças Para o Exemplo Didático ____________ 69

ANEXO C – Arquivo de Entrada da Treliça em Arco __________________________________ 76

10

1 INTRODUÇÃO

A tecnologia sempre foi uma grande aliada da humanidade. Graças a ela, conseguem-se

realizar grandes feitos, ultrapassando a cada dia o conhecimento adquirido. Essa evolução

ocorre justamente pelo fato do homem ser uma criatura curiosa, sempre buscando respostas e

soluções para o inexplicável. Esse cenário importador de mudanças se reflete nos avanços, que

sempre acompanham as inúmeras novidades. Celulares, GPS, Internet, etc. tudo está em

constante transformação. Com a grande área das engenharias não é diferente. A criação de

resistores, circuitos e posteriormente placas inteligentes e processadores, tornou possível a

concepção desde simples calculadoras até sofisticados computadores. A partir disso, essas

novas ferramentas têm auxiliado no trabalho de engenheiros, servindo de atalho para tarefas

árduas e exaustivas que anteriormente demandavam muito tempo.

Seguindo essa tendência, grandes empresas de softwares (programas para

computadores) passaram a oferecer ferramentas que permitiam a elaboração e análise de plantas

e modelos estruturais cada vez mais complexos e em menor tempo. Nesse espaço, os

engenheiros calculistas passaram a desempenhar um papel de grande importância.

As estruturas pensadas por arquitetos e projetistas adquiriram tamanho grau de

sofisticação, que a sua análise praticamente só é possível com o uso de programas

computacionais. Estes tem o objetivo de revelarem números e dados sobre as estruturas

esboçadas, mas ainda necessitando de uma interpretação sobre as respostas. O engenheiro deve,

aliado à teoria do software, decifrá-los, e por isso a ação humana sobre um modelo estrutural é

tão importante. A frase atribuída a Bill Gates, fundador e presidente da empresa Microsoft®,

resume devidamente esse conceito:

“A primeira regra de qualquer tecnologia utilizada nos negócios é que a automação

aplicada a uma operação eficiente aumentará a eficiência. A segunda é que a automação

aplicada a uma operação ineficiente aumentará a ineficiência.”

A teoria na qual os softwares são baseados é assunto de algumas disciplinas na

graduação. Dentro das cadeiras de Teoria das Estruturas, os alunos aprendem dois métodos para

a resolução de estruturas compostas por barras, são eles: o Método das Forças (ou Flexibilidade)

e o Método dos Deslocamentos (ou Rigidez). Ambos visam analisar estruturas isostáticas e

hiperestáticas e/ou hipergeométricas, a fim de obter a resposta destas (reações nos apoios,

esforços nas barras, etc.) para um determinado carregamento.

11

O Método das Forças baseia-se no grau de hiperestaticidade da estrutura a ser analisada,

eliminando vínculos da mesma e criando uma estrutura isostática, chamada de Forma Principal.

Devido a isso, uma mesma estrutura pode apresentar diversas soluções, devendo o calculista

optar por um caminho a seguir. Portanto, para a automação e elaboração de softwares, o Método

das Forças não é muito utilizado, pois a exigência da intervenção humana dificulta o algoritmo

de resolução.

O Método dos Deslocamentos, por sua vez, é perfeito para o emprego em rotinas de

análise de estruturas. Ele é baseado no grau de hipergeometria da estrutura a ser analisada, que

está relacionado com os deslocamentos livres dos nós. Para a solução é necessário obter a Forma

Principal da estrutura, e esta deve ser indeslocável, existindo apenas uma Forma Principal, não

havendo necessidade de intervenção humana nesse processo, isto facilita a automação do

método. Portanto, o Método dos Deslocamentos é utilizado em larga escala para a elaboração

de rotinas computacionais, sendo por isso mais abordado nos cursos de graduação em

Engenharia Civil.

A sua abrangência permite que estruturas como treliças, vigas, pórticos e grelhas sejam

facilmente resolvidas, mesmo possuindo complexidades promovidas por fatores que vão além

de simples carregamentos. Um dos fatores que pode ocorrer em estruturas são os deslocamentos

de apoio. O mais popular é o chamado recalque, o qual é um movimento vertical descendente

que pode ocorrer nas fundações de uma estrutura. Ainda podem ocorrer movimentos

ascendentes, chamados levantamentos, deslocamentos horizontais e giros nas fundações, que

são os elementos construtivos que tem contato direto com o solo.

O solo, na Engenharia Civil, representa uma das variáveis mais complexas a ser

estudada durante a elaboração de uma edificação. Devido ao fato de apresentar uma elevada

diversidade e possuir grandes diferenças de comportamento ao ser solicitado por uma mesma

força. Esse comportamento está vinculado à teoria da elasticidade, a qual relaciona a força

aplicada à deformação promovida em um elemento. Na análise de estruturas pode-se simular o

comportamento da fundação à translação e à rotação com o uso de barras flexíveis (ou molas)

colocadas nos vínculos.

Neste contexto, o presente trabalho trata da elaboração de uma rotina computacional

para a análise de treliças planas, considerando deslocamentos de apoio e flexibilidade das

fundações.

12

2 OBJETIVOS

O presente trabalho consiste em modificar um programa computacional para a análise

de treliças planas pelo método da rigidez, desenvolvido em linguagem FORTRAN 90, a fim de

implementar a consideração de deslocamentos de apoio na análise.

Será alterado o código fonte de um programa já existente, fazendo com que seja aceita

a leitura de valores de deslocamento numéricos nos apoios das estruturas, permitindo desse

modo as operações de cálculo pelo método da rigidez utilizando as matrizes SDR e SRR.

Além disso, a saída de resultados do programa deverá apresentar os resultados de todas

as etapas da solução do problema pelo método da rigidez, ou seja, desde a montagem das

matrizes de rigidez de barra, em coordenadas locais e globais; das matrizes de rotação das

barras, passando pela geração da matriz de rigidez global da estrutura; dos vetores de carga, até

as matrizes envolvidas na solução do sistema de equações pelo método Cholesky, e os vetores

de resultados, em termos de deslocamentos dos nós, reações nos apoios e esforços nas barras.

Um modelo de treliça será solucionado através do software. Por fim, os resultados

obtidos deverão ser confrontados com aqueles fornecidos por outros programas de análise de

estruturas como, por exemplo, o Ftool.

Outro objetivo do trabalho consiste na avaliação da resposta fornecida pelo programa

quando forem analisadas treliças planas com fundações flexíveis, definidas através de barras

em seus vínculos que representem a flexibilidade do solo. Será construído um exemplo

aplicando esses artifícios. Após, os resultados deverão ser comparados com aqueles fornecidos

pelo programa Ftool, para a mesma estrutura.

13

3 MODELOS ESTRUTURAIS

3.1 Conceitos

Quando uma estrutura é analisada por um engenheiro calculista, inicialmente ela deve

ser representada por um modelo, a fim de simplificar a análise. Escolhido o modelo, com base

no projeto arquitetônico, devem ser lançadas as ações e analisadas todas as combinações de

ações, para que se possa obter as solicitações de projeto e, por fim, realizar o dimensionamento

da estrutura.

Os modelos estruturais são elaborados em função da necessidade da estrutura, a qual

deverá suportar uma edificação, uma cobertura, uma ponte, uma torre, etc. Existem diferentes

tipos de estruturas reticuladas (estruturas representadas por elementos lineares), as quais podem

apresentar diversas formas e configurações, destacando-se entre eles a viga, o pórtico plano, o

pórtico espacial, a grelha, a treliça plana e a treliça espacial, conforme ilustrado na figura 3.1.

Figura 3.1 - (a) viga; (b) pórtico plano; (c) pórtico espacial; (d) treliça plana; (e) treliça espacial; (f) grelha.

(Fonte: Elaborado pelo Autor)

(a)

(b) (c)

(d) (e)

(f)

14

No estudo de análise matricial, essas estruturas são compostas por barras, nós e vínculos

externos. As ações que atuam nas mesmas podem ser de natureza permanente ou variável.

Alguns exemplos de ações seriam os momentos de flexão e ou torção, as cargas concentradas

e ou distribuídas, as variações térmicas, os deslocamentos de apoio, entre outras. Na sequência

a figura 3.2 ilustra as representações de barras, apoios e carregamentos.

Figura 3.2 – Representação de uma estrutura com dois apoios externos (vermelho), três barras (verde) e quatro

nós (azul).


Figura 3.3 – Representação de uma estrutura submetida a uma carga concentrada P=50 kN, a uma ação

uniformemente distribuída q=10 kN/m e a um momento fletor M=5 kNm.


Os vínculos, também conhecidos como apoios, são responsáveis pela ligação da

estrutura ao corpo que serve de suporte a mesma (podendo ser o solo ou outra estrutura).

Segundo ALMEIDA (2011), os apoios são classificados em função do número de

deslocamentos impedidos, são eles:

1

2

1

2

4

3

1

2

3

15

1) Apoio simples (ou apoio de primeiro gênero): são aqueles que possuem uma reação,

restringindo apenas o movimento em uma direção, permitindo o giro e a translação na outra

direção. Esses apoios podem ser encontrados na ligação das vigas de uma ponte ou viaduto com

os pilares de fundação.

2) Rótula (ou apoio de segundo gênero): são aqueles que possuem duas reações,

restringindo a translação em duas direções, permitindo apenas o giro. Esses apoios podem ser

encontrados na ligação das vigas com pilares pré-moldados.

3) Engaste (ou apoio de terceiro gênero): são aqueles que possuem três reações,

restringindo todos os movimentos. Esses apoios podem ser encontrados na ligação dos pilares

com a fundação em uma edificação.

A figura 3.4 mostra as representações normalmente utilizadas para os tipos de apoio.

Figura 3.4 – (a) apoio de primeiro gênero; (b) apoio de segundo gênero; (c) apoio de terceiro gênero.


Uma estrutura pode apresentar ainda dois tipos de ligações entre as barras, as quais

podem ser rígidas, quando transmitem momento de uma barra para outra e o giro relativo no nó

é zero. Ou ainda rotuladas, quando não transmitem momento de uma barra para outra e o giro

relativo no nó é máximo. A figura 3.5 mostra as devidas representações.

Figura 3.5 – Nó rígido (a) e nó rotulado (b).


3.2 Treliças planas

(a) (c) (b)

16

As treliças surgiram com o propósito de vencerem vãos maiores e suportarem cargas

mais pesadas do que as vigas convencionais. A sua utilização é comum em pontes, coberturas

de grandes estruturas, guindastes e torres metálicas para telecomunicações, transmissão de

energia elétrica ou radiofrequência. Geralmente são construídas em aço, ligas metálicas ou

madeira.

Treliças planas são compostas de barras retas e nós rotulados ou articulados. As

chamadas treliças ideais apresentam cargas aplicadas exclusivamente nos seus nós.

Diferentemente das treliças espaciais, toda a sua concepção (cargas e barras) se encontra dentro

de um mesmo plano (o plano vertical X-Y). Devido a isso, as barras ficam submetidas apenas

a esforços normais. Os nós das treliças planas apresentam 2 graus de liberdade, podendo

deslocar-se à translação na direção X e na direção Y.

Como exemplo de treliças planas pode-se citar as tesouras que compõem a cobertura de

uma residência (figura 3.6) ou de um galpão para a prática de esportes (figura 3.7). Já na Figura

3.8 está ilustrado um modelo de treliça plana no programa Ftool.

Figura 3.6 – Estrutura de uma treliça plana (tesoura) em madeira.

(Fonte: http://www.madeiratratada.com/br/arquivos/image/madeira-tratada/telhados/processo.jpg)

17

Figura 3.7 – Estrutura de uma treliça plana em aço.

(Fonte: http://static.wixstatic.com/media/7816ca_d97fabc1bcdf48c68ed7fbafe83b45a2.jpg)

Figura 3.8 – Representação gráfica de uma treliça plana com 8 nós, 13 barras e 3 ações externas.

(Fonte: software Ftool)

18

4 MÉTODO DA RIGIDEZ

4.1 Método da rigidez aplicado a treliças planas com deslocamentos de apoio

4.1.1 Dados da estrutura

O primeiro passo para a análise de uma estrutura é o fornecimento dos dados da mesma.

Para a análise matricial de treliças planas com deslocamentos de apoio são necessários: as

coordenadas dos nós e as conectividades das barras, os vínculos, as ações externas, as

propriedades geométricas das seções transversais das barras (neste caso apenas a área), as

propriedades mecânicas do material (neste caso apenas o módulo de elasticidade longitudinal),

além dos deslocamentos prescritos nos apoios.

4.1.2 Numeração arbitrária e numeração prioritária

Os nós das treliças planas possuem apenas duas possibilidades de deslocamento: uma

translação na direção do eixo X e uma translação na direção do eixo Y. Neste tipo de estrutura

os graus de liberdade (GDL), ao serem numerados de forma arbitrária (indicando os

deslocamentos livres e restringidos), devem seguir a numeração dos nós informada pelo

calculista.

Neste trabalho, a numeração dos GDL das treliças planas segue a seguinte ordem:

primeiro a translação em direção ao eixo X e segundo a translação em direção ao eixo Y.

Na figura 4.1 está apresentada uma treliça plana de quatro nós (NJ=4), cinco barras

(M=5), três nós com algum tipo de restrição (NRJ=3), cinco deslocamentos restringidos (NR=5;

D1, D2, D5, D7 e D8) e três deslocamentos livres (N=3; D3, D4 e D6), totalizando oito GDL

(N+NR=5+3=8).

19

Figura 4.1 – Treliça plana na numeração arbitrária.


Durante a análise da treliça plana é necessário que os seus deslocamentos estejam

numerados na ordem prioritária. Esta é estabelecida seguindo a regra de que, primeiramente,

devem ser numerados os deslocamentos livres e, posteriormente, os restringidos. Deve-se

seguir as numerações atribuídas dos nós pelo calculista e a preferência da translação na direção

do eixo X sobre a translação na direção do eixo Y. A figura 4.2 mostra a mesma treliça anterior

na numeração prioritária.

Figura 4.2 – Treliça plana na numeração prioritária.


20

4.1.3 Determinação da matriz de rigidez de barra no sistema de referência local

Todas as barras de uma treliça plana estão dentro de um mesmo plano vertical,

normalmente, denominado plano X-Y. Considerando uma barra genérica 𝑖, que inicia no nó J e

termina no nó K, pode-se representar suas coordenadas como indicado na figura 4.3.

Figura 4.3 – Barra genérica de uma treliça plana no sistema de referência global e local.


No sistema de coordenadas local o eixo XL coincide com o eixo longitudinal da barra,

por isso a posição da barra no plano não tem importância. A numeração dos GDL nesse caso

será sempre como indicado na figura 4.4.

Figura 4.4 – Numeração dos GDL de uma barra de treliça plana no sistema de referência local.


21

Para obter a matriz de rigidez 𝑆𝑀 de barra no sistema de referência local, é necessário

impor um deslocamento unitário a cada um dos deslocamentos possíveis dos nós. Para isso,

assume-se uma barra bi-apoiada.

Fazendo D1L=1 tem-se (figura 4.5):

Figura 4.5 – Deslocamento unitário de D1L.


Segundo KAMINSKI (2009), admitindo um material com módulo de elasticidade 𝐸,

uma barra com seção transversal de área 𝐴, um comprimento 𝐿, tem-se pelas leis da mecânica

o seguinte coeficiente de rigidez:

𝜎 = 𝐸 𝜀

𝜎 = 𝑃/𝐴

𝜀 = ∆𝐿/𝐿

onde:

𝜎 é a tensão normal, medida em Pascal;

𝜀 é a deformação específica (adimensional);

𝐸 é o módulo de elasticidade longitudinal do material;

𝑃 é a carga de tração ou compressão;

𝐴 é a área da seção transversal da barra;

∆𝐿 é a deformação sofrida por um elemento linear;

𝐿 é o comprimento inicial do elemento linear.

Obs.: as origens destas equações serão explicadas no capítulo 9. Substituindo a 2ª e a 3ª

equações na 1ª obtem-se:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

22

𝑃

𝐴= 𝐸 ∗ ∆𝐿/𝐿

Como ∆𝐿 = 1:

𝑃 = 𝐸𝐴/𝐿

Desse modo é elaborada a primeira coluna da matriz:

||

𝑆𝑀11𝐿

𝑆𝑀21𝐿

𝑆𝑀31𝐿

𝑆𝑀41𝐿

|| = |

𝐸𝐴/𝐿0

−𝐸𝐴/𝐿

0

|

Na sequência, tornando D2L = 1, tem-se (figura 4.6):



Como a barra é bi rotulada não surgem esforços. Logo, a segunda coluna da matriz SML

fica:

||

𝑆𝑀12𝐿

𝑆𝑀22𝐿

𝑆𝑀32𝐿

𝑆𝑀42𝐿

|| = |

0000

|

Fazendo D3L = 1, encontra-se (figura 4.7):

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

23



E assim a terceira coluna da matriz SML fica:

||

𝑆𝑀13𝐿

𝑆𝑀23𝐿

𝑆𝑀33𝐿

𝑆𝑀43𝐿

|| = |

−𝐸𝐴/𝐿0

𝐸𝐴/𝐿

0

|

Tomando D4L = 1, acha-se (figura 4.8):



E finalmente, a quarta e última coluna da matriz SML fica:

||

𝑆𝑀14𝐿

𝑆𝑀24𝐿

𝑆𝑀34𝐿

𝑆𝑀44𝐿

|| = |

0000

|

Desta maneira, a matriz de rigidez de barra da treliça plana no sistema de referência

local é descrita como:

(4.8)

(4.9)

24

𝑆𝑀𝐿 = |

𝐸𝐴/𝐿 0 −𝐸𝐴/𝐿 00 0 0 0

−𝐸𝐴/𝐿 0 𝐸𝐴/𝐿 00 0 0 0

|

4.1.4 Determinação da matriz de rigidez de barra no sistema de referência global

As matrizes de rigidez de barra de uma treliça plana são determinadas a partir da

equação:

𝑆𝑀𝑖 = 𝑅𝑖𝑇 ∗ 𝑆𝑀𝑖

𝐿 ∗ 𝑅𝑖

onde:

𝑆𝑀𝑖𝐿 é a matriz de rigidez de uma barra genérica “i” de treliça plana em coordenadas

locais;

𝑅𝑖 é a matriz de rotação de uma barra genérica “i”;

𝑅𝑖𝑇 é a matriz de rotação transposta de uma barra genérica “i”.

A matriz de rotação (𝑅𝑖) de uma barra genérica “i” de treliça plana é dada por:

𝑅𝑖 = |

cos 𝜃 sin 𝜃 0 0− sin 𝜃 cos 𝜃 0 0

0 0 cos 𝜃 sin 𝜃0 0 − sin 𝜃 cos 𝜃

|

Nessa matriz, o valor de 𝜃 corresponde ao ângulo formado pelo eixo longitudinal da

barra XL e o eixo horizontal global da treliça plana X, sendo positivo no sentido anti-horário.

Pode-se calcular esses valores por simples trigonometria, seguindo as equações abaixo:

cos 𝜃 =𝑋𝐾 − 𝑋𝐽

𝐿

sin 𝜃 =𝑌𝐾 − 𝑌𝐽

𝐿

Onde:

𝐿 = √(𝑋𝐾 − 𝑋𝐽)2

− (𝑌𝐾 − 𝑌𝐽)2

(4.10)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

(4.14)

25

4.1.5 Determinação da matriz de rigidez global da treliça plana

A matriz de rigidez global 𝑆𝐽 pode ser obtida, na numeração arbitrária, somando-se as

𝑚 matrizes de rigidez das 𝑚 barras da estrutura, expandidas à dimensão da matriz de rigidez

global.

𝑆𝐽 = 𝑆𝑀1 + 𝑆𝑀2 + ⋯ + 𝑆𝑀𝑚

Em seguida, a matriz 𝑆𝐽 deve ser reescrita na numeração prioritária e então,

particionada nas matrizes 𝑆, 𝑆𝑅𝐷, 𝑆𝐷𝑅 e 𝑆𝑅𝑅.

𝑆𝐽 = |𝑆 𝑆𝐷𝑅

𝑆𝑅𝐷 𝑆𝑅𝑅|

Segundo KAMINSKI (2009), a matriz 𝑆 é a matriz de rigidez relativa aos deslocamentos

livres. Ela contém os coeficientes de rigidez correspondentes aos deslocamentos livres na

estrutura original. Apresenta dimensões 𝑛 x 𝑛 (portanto uma matriz quadrada), onde 𝑛 refere-

se ao número de deslocamentos livres. É sempre uma matriz simétrica.

A matriz 𝑆𝑅𝐷 engloba os coeficientes de rigidez correspondentes aos deslocamentos

restringidos na estrutura original. Ela possui dimensões 𝑛 x 𝑛𝑟, na qual 𝑛𝑟 é o número de

deslocamentos restringidos, e é utilizada para obtenção das reações de apoio da estrutura.

A matriz 𝑆𝐷𝑅 contém os coeficientes de rigidez correspondentes aos deslocamentos

livres na estrutura original. Ela apresenta dimensões 𝑛𝑟 x 𝑛, e é idêntica a matriz 𝑆𝑅𝐷

transposta. É usada no cálculo dos deslocamentos livres, quando houver deslocamentos de

apoio.

A matriz 𝑆𝑅𝑅 enquadra os coeficientes de rigidez correspondentes aos deslocamentos

restringidos na estrutura. Ela possui dimensões 𝑛𝑟 x 𝑛𝑟 (quadrada), sendo utilizada quando

ocorrerem deslocamentos em algum dos apoios para calcular as reações de apoio finais da

estrutura. Também é uma matriz simétrica.

4.1.6 Cálculo dos deslocamentos nodais

Os deslocamentos nodais podem ser encontrados a partir do sistema de equações a seguir

(considera-se a numeração prioritária):

(4.15)

(4.16)

26

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑆 ∗ �̅� + 𝑆𝐷𝑅 ∗ 𝐷𝑟

ou

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ − 𝑆𝐷𝑅 ∗ 𝐷𝑟 = 𝑆 ∗ �̅� onde:

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ é o vetor de cargas nodais. Ele representa as ações que estão agindo na direção

dos deslocamentos não restringidos da estrutura, estando sempre na numeração

prioritária;

𝐷𝑟 é o vetor que contém os deslocamentos nos apoios dos nós restringidos, na

numeração prioritária;

�̅� é o vetor que representa os deslocamentos nodais livres ou deslocamentos

incógnitos.

Em sistemas simétricos de equações, como este, o Método Cholesky é recomendado

para a resolução, pois necessita de um número reduzido de operações para solucionar o

problema.

4.1.7 Determinação das reações de apoio

Em uma estrutura, as ações externas são responsáveis por solicitarem as barras. As

barras transmitem os esforços até os pontos de vinculação, que reagem produzindo as reações

de apoio. Na treliça plana com deslocamentos de apoio, as reações de apoio (𝐴𝑅) são obtidas

através da equação:

𝐴𝑅 = 𝐴𝑅𝐿 + 𝑆𝑅𝐷 ∗ �̅� + 𝑆𝑅𝑅 ∗ 𝐷𝑟

onde:

𝐴𝑅𝐿 é o vetor de cargas nodais que representa as ações que estão agindo na direção

dos deslocamentos restringidos da estrutura, na numeração prioritária;

�̅� é o vetor que contêm os deslocamentos nodais livres, na numeração prioritária;

𝐷𝑟 é o vetor que contêm os deslocamentos prescritos nos apoios, na numeração

prioritária.

4.1.8 Cálculo das ações de extremidade de barra

(4.17)

(4.18)

27

Para o cálculo das ações de extremidade das barras de uma treliça plana é utilizada a

seguinte equação:

𝐴𝑀𝑖𝐿 = 𝑆𝑀𝑖

𝐿 ∗ 𝐷𝑖𝐿

onde:

𝑆𝑀𝑖𝐿 é a matriz de rigidez de barra em coordenadas locais;

𝐷𝑖𝐿 é o vetor que contém os deslocamentos nos nós inicial (J) e final (K) da barra 𝑖,

em coordenadas locais;

𝐴𝑀𝑖𝐿 é o vetor que contém as ações de extremidade de barra em coordenadas locais.

Todos os deslocamentos da estrutura (os incógnitos e os de apoio) se encontram em

coordenadas globais, portando para determinar 𝐷𝑖𝐿 é necessário o uso da seguinte operação:

𝐷𝑖𝐿 = 𝐷𝑖 ∗ 𝑅𝑖

onde:

𝐷𝑖 é o vetor que contém os deslocamentos dos nós inicial e final da barra “i” em

coordenadas globais, e 𝑅𝑖 é a matriz de rotação da barra “i”.

Assim, a equação para o cálculo das ações de extremidade de barra de uma treliça plana

fica:

𝐴𝑀𝑖𝐿 = 𝑆𝑀𝑖

𝐿 ∗ 𝐷𝑖 ∗ 𝑅𝑖

(4.19)

(4.20)

(4.21)

28

5 EXEMPLO NUMÉRICO

O método da rigidez utilizado é exemplificado pela treliça plana da figura 5.1. Essa

treliça possui três nós e três barras. Em todos os apoios existem deslocamentos, e em dois deles

há cargas pontuais. É importante evidenciar que o único tipo de carregamento que uma treliça

plana pode receber são as cargas pontuais e exclusivamente em nós. O fato de todos os seus nós

serem rotulados, não permite a possibilidade de aplicação de momentos.

Figura 5.1 – Treliça plana usada como exemplo para a solução pelo método da rigidez.


A treliça plana apresenta as seguintes conectividades:

Barra 1: nó 1 → nó 2



Todas as suas barras possuem área 𝐴 = 10𝑐𝑚2 = 0,001𝑚2 e módulo de elasticidade

com o valor 𝐸 = 200𝐺𝑃𝑎 = 200 ∗ 109𝑁/𝑚2.

Seguem-se os passos do capitulo 4. Enumera-se de forma arbitrária a estrutura de acordo

com a figura 5.2:

1

2

3

29

Figura 5.2 – Treliça plana exemplo com deslocamentos numerados de forma arbitrária.


O procedimento de resolução pelo Método da Rigidez inicia-se pelo cálculo da matriz

de rigidez das barras em coordenadas locais. Começa-se o processo pela barra 1.

Figura 5.3 – Barra 1 da treliça plana exemplo.


O primeiro passo é encontrar o seu comprimento 𝐿. Para isso utiliza-se a equação 4.14:

𝐿 = √(𝑋𝐾 − 𝑋𝐽)2

− (𝑌𝐾 − 𝑌𝐽)2 = √(2 − 0)2 − (2 − 0)2 = 2,8284𝑚

Na sequência deve ser montada a matriz de rigidez com os dados fornecidos, segundo a

equação 4.1:

30

𝑆𝑀𝐿 = |

𝐸𝐴/𝐿 0 −𝐸𝐴/𝐿 00 0 0 0

−𝐸𝐴/𝐿 0 𝐸𝐴/𝐿 00 0 0 0

| =𝐸𝐴

𝐿∗ |

1 0 −1 00 0 0 0

−1 0 1 00 0 0 0

|

𝑆𝑀1𝐿 =

200 ∗ 109 ∗ 0,001

2,8284∗ |

1 0 −1 00 0 0 0

−1 0 1 00 0 0 0

| = 108 ∗ |

0,7071 0 −0,7071 00 0 0 0

−0,7071 0 0,7071 00 0 0 0

|

A próxima etapa consiste em montar a matriz de rotação da barra 1. Para isso deve-se

calcular os valores dos seno e co-seno da barra. Utilizando-se (4.13):

cos 𝜃 =𝑋𝐾 − 𝑋𝐽

𝐿=

2 − 0

2,8284= 0,7071

sin 𝜃 =𝑌𝐾 − 𝑌𝐽

𝐿=

2 − 0

2,8284= 0,7071

Assim encontra-se:

𝑅𝑖 = |

cos 𝜃 sin 𝜃 0 0− sin 𝜃 cos 𝜃 0 0

0 0 cos 𝜃 sin 𝜃0 0 − sin 𝜃 cos 𝜃

| → 𝑅1 = |

0,7071 0,7071 0 0−0,7071 0,7071 0 0

0 0 0,7071 0,70710 0 −0,7071 0,7071

|

Com os dados obtidos conseguem-se, pela equação 4.11, montar a matriz de rigidez da

barra em coordenadas globais:

𝑆𝑀𝑖 = 𝑅𝑖𝑇 ∗ 𝑆𝑀𝑖

𝐿 ∗ 𝑅𝑖

𝑆𝑀1 = |

0,7071 −0,7071 0 00,7071 0,7071 0 0

0 0 0,7071 −0,70710 0 0,7071 0,7071

| ∗ 108 ∗ |

0,7071 0 −0,7071 00 0 0 0

−0,7071 0 0,7071 00 0 0 0

| ∗ |

0,7071 0,7071 0 0−0,7071 0,7071 0 0

0 0 0,7071 0,70710 0 −0,7071 0,7071

|

𝑆𝑀1 = 108 ∗ |

0,3536 0,3536 −0,3536 −0,35360,3536 0,3536 −0,3536 −0,3536

−0,3536 −0,3536 0,3536 0,3536−0,3536 −0,3536 0,3536 0,3536

|

Agora, usando-se do mesmo raciocínio, encontram-se os mesmos dados, mas para a

barra 2.

31



Comprimento:

𝐿 = √(4 − 2)2 − (0 − 2)2 = 2,8284𝑚

Matriz de rigidez em coordenadas locais:

𝑆𝑀2𝐿 =

200 ∗ 109 ∗ 0,001

2,8284∗ |

1 0 −1 00 0 0 0

−1 0 1 00 0 0 0

| = 108 ∗ |

0,7071 0 −0,7071 00 0 0 0

−0,7071 0 0,7071 00 0 0 0

|

Seno e co-seno:

cos 𝜃 =4 − 0

2,8284= 0,7071

sin 𝜃 =0 − 2

2,8284= −0,7071

Matriz de rotação:

𝑅2 = |

0,7071 −0,7071 0 00,7071 0,7071 0 0

0 0 0,7071 −0,70710 0 0,7071 0,7071

|

Matriz de rigidez em coordenadas globais:

32

𝑆𝑀2 = 108 ∗ |

0,3536 −0,3536 −0,3536 0,3536−0,3536 0,3536 0,3536 −0,3536−0,3536 0,3536 0,3536 −0,35360,3536 −0,3536 −0,3536 0,3536

|

Finalmente, repetem-se os cálculos para a barra 3.



Comprimento:

𝐿 = √(4 − 0)2 − (0 − 0)2 = 4,0𝑚

Matriz de rigidez em coordenadas locais:

𝑆𝑀3𝐿 =

200 ∗ 109 ∗ 0,001

4,0∗ |

1 0 −1 00 0 0 0

−1 0 1 00 0 0 0

| = 108 ∗ |

0,50 0 −0,50 00 0 0 0

−0,50 0 0,50 00 0 0 0

|

Seno e co-seno:

cos 𝜃 =4 − 0

4,0= 1,0

sin 𝜃 =0 − 0

4,0= 0,0

Matriz de rotação:

𝑅3 = |

1,0 0 0 00 1,0 0 00 0 1,0 00 0 0 1,0

|

33

Matriz de rigidez em coordenadas globais:

𝑆𝑀3 = 108 ∗ |

0,50 0 −0,50 00 0 0 0

−0,50 0 0,50 00 0 0 0

|

A matriz de rigidez global da estrutura 𝑆𝐽 é encontrada somando as matrizes 𝑆𝑀 das

barras em coordenadas globais. No caso dessa treliça, a matriz 𝑆𝐽 será da ordem 6 x 6, pois a

estrutura possui 3 nós, e cada nó de treliça plana possui 2 graus de liberdade (GDL) ou

possibilidades de deslocamentos (3 ∗ 2 = 6).

Para que a soma se torne possível, o primeiro passo deve ser expandir as matrizes de

rigidez de cada barra. Isso se faz colocando-se cada coeficiente em seu lugar numa matriz de

ordem equivalente à da 𝑆𝐽.

Inicia-se pela barra 1. A barra 1 está situada entre os nós 1 e 2, portanto ela compreende

os deslocamentos 1, 2, 3 e 4. Por isso, os seus coeficientes de rigidez ocupam as posições

mostradas abaixo, quando a sua matriz é expandida.

𝑆𝑀1 = 108 ∗

|

|

𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6

𝐷1 0,3536 0,3536 −0,3536 −0,3536 0 0𝐷2 0,3536 0,3536 −0,3536 −0,3536 0 0𝐷3 −0,3536 −0,3536 0,3536 0,3536 0 0𝐷4 −0,3536 −0,3536 0,3536 0,3536 0 0𝐷5 0 0 0 0 0 0𝐷6 0 0 0 0 0 0

|

|

Analogamente, para a barra 2 encontra-se a matriz expandida abaixo:

𝑆𝑀2 = 108 ∗

|

|

𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6

𝐷1 0 0 0 0 0 0𝐷2 0 0 0 0 0 0𝐷3 0 0 0,3536 −0,3536 −0,3536 0,3536𝐷4 0 0 −0,3536 0,3536 0,3536 −0,3536𝐷5 0 0 −0,3536 0,3536 0,3536 −0,3536𝐷6 0 0 0,3536 −0,3536 −0,3536 0,3536

|

|

E, por último, a matriz expandida da barra 3:

34

𝑆𝑀3 = 108 ∗

|

|

𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6

𝐷1 0,5 0 0 0 −0,5 0𝐷2 0 0 0 0 0 0𝐷3 0 0 0 0 0 0𝐷4 0 0 0 0 0 0𝐷5 −0,5 0 0 0 0,5 0𝐷6 0 0 0 0 0 0

|

|

Com as três matrizes construídas, basta unir os termos para encontrar a matriz 𝑆𝐽.

𝑆𝐽 = 108 ∗

|

|

𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6

𝐷1 0,8536 0,3536 −0,3536 −0,3536 −0,5 0𝐷2 0,3536 0,3536 −0,3536 −0,3536 0 0𝐷3 −0,3536 −0,3536 0,7072 0 −0,3536 0,3536𝐷4 −0,3536 −0,3536 0 0,7072 0,3536 −0,3536𝐷5 −0,5 0 −0,3536 0,3536 0,8536 −0,3536𝐷6 0 0 0,3536 −0,3536 −0,3536 0,3536

|

|

A operação com a treliça plana envolveu até o momento cálculos com dados na

numeração arbitrária. A próxima etapa, seguindo a resolução, é a numeração da estrutura na

forma prioritária. Obedecendo-se as regras citadas no item 4.1.2, encontra-se a figura 5.6.

Figura 5.6 – Treliça plana exemplo com deslocamentos numerados de forma prioritária e no detalhe a figura 5.2

(deslocamentos numerados de forma arbitrária).


Em uma rápida comparação percebe-se que quase todos deslocamentos mudaram de

posição. Por exemplo, o deslocamento 𝐷1 passou a ser o 𝐷3, o 𝐷2 passou a ser o 𝐷4 e assim por

diante.

35

Resumindo:

𝐷1 → 𝐷3

𝐷2 → 𝐷4

𝐷3 → 𝐷5

𝐷4 → 𝐷1

𝐷5 → 𝐷2

𝐷6 → 𝐷6

Tem-se a necessidade de um reposicionamento dos elementos de dentro da matriz 𝑆𝐽.

Isso se faz colocando cada termo em sua posição nova, seguindo as novas orientações. Por

exemplo, o número que ocupava a posição 𝑎34 agora ocupa a 𝑎51, ou o número que ocupava a

posição 𝑎12 agora ocupará 𝑎34. Assim:

𝑆𝐽 = 108 ∗

|

|

𝐷1→3 𝐷2→4 𝐷3→5 𝐷4→1 𝐷5→2 𝐷6→6

𝐷1→3 0,7072 0,3536 −0,3536 −0,3536 0 −0,3536𝐷2→4 0,3536 0,8535 −0,50 0 −0,3536 −0,3536𝐷3→5 −0,3536 −0,50 0,8535 0,3536 −0,3536 0𝐷4→1 −0,3536 0 0,3536 0,3536 −0,3536 0𝐷5→2 0 −0,3536 −0,3536 −0,3536 0,7072 0,3536𝐷6→6 −0,3536 −0,3536 0 0 0,3536 0,3536

|

|

Com a 𝑆𝐽 construída, pode-se dividi-la nas matrizes de interesse:

𝑆 = 108 ∗ |0,7072 0,35360,3536 0,8535

|

𝑆𝑅𝐷 = 108 ∗ |

−0,3536 −0,50−0,3536 0

0 −0,3536−0,3536 −0,3536

|

𝑆𝐷𝑅 = 108 ∗ |−0,3536 −0,3536 0 −0,3536

−0,50 0 −0,3536 −0,3536|

𝑆𝑅𝑅 = 108 ∗ |

0,8535 0,3536 −0,3536 00,3536 0,3536 −0,3536 0

−0,3536 −0,3536 0,7072 0,35360 0 0,3536 0,3536

|

36

Seguindo o procedimento, a próxima etapa é calcular os deslocamentos incógnitos

utilizando a equação 4.17.

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑆 ∗ �̅� + 𝑆𝐷𝑅 ∗ 𝐷𝑟

Arbitrariamente, deve-se montar os vetores 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐷𝑟.

Inicia-se pelo 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ que deve estar na ordem prioritária. Como na estrutura existem dois

deslocamentos não restringidos (𝐷1 e 𝐷2), o vetor será composto por dois valores. Observa-se

que existe apenas a carga de 10kN agindo na direção de algum deslocamento não restringido

(no caso o 𝐷1). Como a carga está apontada para baixo atribui-se sinal negativo. Na análise

segue-se a convenção: positivo para cima e para a direita, negativo para baixo e para a esquerda.

O outro valor será zero. Logo:

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = |−10000

0|

Obs.: os cálculos são realizados tendo todas unidades no S.I. e por isso usa-se

10kN=10000N.

Em seguida deve-se encontrar o vetor 𝐷𝑟. A estrutura apresenta quatro reações de apoio

e portanto quatro possíveis deslocamentos de apoio. Adotando-se a numeração prioritária nota-

se que eles podem se localizar nas posições 3, 4, 5 e 6.

Nesta treliça apenas a posição 3 não apresenta um deslocamento, as outras possuem.

Novamente seguindo a mesma convenção das cargas, escreve-se o vetor:

𝐷𝑟 = |

0−0,0050,002

−0,003

|

Lembrando mais uma vez que todos valores estão no S.I, portanto nesse caso em metros.

Na sequência, executa-se o cálculo para encontrar os deslocamentos incógnitos:

|−10000

0| = 108 ∗ |

0,7072 0,35360,3536 0,8535

| ∗ |𝐷1

𝐷2| + 108 ∗ |

−0,3536 −0,3536 0 −0,3536−0,50 0 −0,3536 −0,3536

| ∗ |

0−0,0050,002

−0,003

|

Resolvendo as multiplicações chega-se ao sistema:

{70720000 ∗ 𝐷1 + 35360000 ∗ 𝐷2 = −29288035360000 ∗ 𝐷1 + 85350000 ∗ 𝐷2 = −35320

37

Resolvendo-se pelo Método de Cholesky, encontra-se:

�̅� = |𝐷1

𝐷2| = |

−0,49620,1641

| ∗ 10−2𝑚

De posse do vetor �̅�, pode-se calcular as reações de apoio pela equação 4.18:

𝐴𝑅 = 𝐴𝑅𝐿 + 𝑆𝑅𝐷 ∗ �̅� + 𝑆𝑅𝑅 ∗ 𝐷𝑟

O primeiro passo é encontrar o vetor 𝐴𝑅𝐿. Existem duas forças na estrutura que agem

na direção de deslocamento restringido, ambas de 5kN, uma no nó 1 e outra no nó 2,

respectivamente nas posições dos deslocamentos 𝐷3 e 𝐷5 (numeração prioritária). Dessa forma

o vetor se apresenta da seguinte maneira:

𝐴𝑅𝐿 = |

−50000

−50000

|

Como o 𝐴𝑅𝐿 foi montado, fazendo-se as multiplicações, acha-se 𝐴𝑅:

𝐴𝑅 = |

−50000

−50000

| + 108 ∗ |

−0,3536 −0,50−0,3536 0

0 −0,3536−0,3536 −0,3536

| ∗ |−0,49620,1641

| ∗ 10−2 + 108 ∗ |

0,8535 0,3536 −0,3536 00,3536 0,3536 −0,3536 0

−0,3536 −0,3536 0,7072 0,35360 0 0,3536 0,3536

| ∗ |

0−0,0050,002

−0,003

|

𝐴𝑅 = |

𝐴𝑅1

𝐴𝑅2

𝐴𝑅3

𝐴𝑅4

| = |

−159113,68−72063,68149134,2482070,56

|

Após o término desses 2 últimos processos deve-se apresentar os vetores 𝐷 e 𝐴𝑅 na

numeração arbitrária. O vetor 𝐷 é a união dos vetores �̅� e 𝐷𝑟. Unem-se os dois e coloca-se cada

elemento na posição adequada de acordo com a numeração arbitrária inicial.

𝐷 = �̅� + 𝐷𝑟 =|

|

0−0,50,2

−0,49620,1641

−0,3

|

|∗ 10−2

Faz-se o mesmo para o vetor 𝐴𝑅:

38

𝐴𝑅 =|

|

−159113,68−72063,68149134,24

00

82070,56

|

|

O último processo de cálculo é o que pretende obter as ações de extremidade das barras.

Empregando a equação 4.21, tem-se para a barra 1:

𝐴𝑀1𝐿 = 𝑆𝑀1

𝐿 ∗ 𝐷1 ∗ 𝑅1

O vetor 𝐷1 é o conjunto de todos os deslocamentos de extremidade de barra da barra 1

na numeração arbitrária. Seguindo a figura 5.3, constrói-se o vetor abaixo.

𝐷 = |

𝐷1

𝐷2

𝐷3

𝐷4

| = |

0−0,50,2

−0,4962

| ∗ 10−2

Desse modo, pode-se calcular as ações de extremidade de barra:

𝐴𝑀1𝐿 = 108 ∗ |

0,7071 0 −0,7071 00 0 0 0

−0,7071 0 0,7071 00 0 0 0

| ∗ |

0−0,50,2

−0,4962

| ∗ 10−2 ∗ |

0,7071 0,7071 0 0−0,7071 0,7071 0 0

0 0 0,7071 0,70710 0 −0,7071 0,7071

|

𝐴𝑀1𝐿 = |

−101898,050

101898,050

|

Pelo mesmo raciocínio, temos para a barra 2:

𝐷 = |

𝐷3

𝐷4

𝐷5

𝐷6

| = |

0,2−0,49620,1641

−0,3

| ∗ 10−2

𝐴𝑀2𝐿 = 108 ∗ |

0,7071 0 −0,7071 00 0 0 0

−0,7071 0 0,7071 00 0 0 0

| ∗ |

0,2−0,49620,1641

−0,3

| ∗ 10−2 ∗ |

0,7071 −0,7071 0 00,7071 0,7071 0 0

0 0 0,7071 −0,70710 0 0,7071 0,7071

|

39

𝐴𝑀2𝐿 = |

116047,770

−116047,770

|

E para a barra 3:

𝐷 = |

𝐷1

𝐷2

𝐷5

𝐷6

| = |

0−0,5

0,1641−0,3

| ∗ 10−2

𝐴𝑀3𝐿 = 108 ∗ |

0,50 0 −0,50 00 0 0 0

−0,50 0 0,50 00 0 0 0

| ∗ |

0−0,5

0,1641−0,3

| ∗ 10−2 ∗ |

1,0 0 0 00 1,0 0 00 0 1,0 00 0 0 1,0

|

𝐴𝑀3𝐿 = |

−82050,000

82050,000

|

Com todas as ações de extremidade de barra calculadas, na figura 5.7 são ilustrados os

valores do esforço normal em todas as barras. Pode-se observar que quando 𝐴𝑀𝑖𝐿

1 é positivo,

𝐴𝑀𝑖𝐿

3 é negativo e a barra sofre compressão. Quando ocorrer o contrário, 𝐴𝑀𝑖

𝐿1 negativo e

𝐴𝑀𝑖𝐿

3 positivo a barra sofre tração.

Figura 5.7 – Representação dos esforços normais nas barras da treliça plana exemplo.


40

6 O PROGRAMA TRELIÇAS

6.1 Informações Gerais

Para a modificação do programa Treliças, desenvolvido na linguagem FORTRAN 90,

foi utilizado o compilador Force 2.0 Fortran Compiler and Editor. O programa Treliças havia

sido elaborado pelo Professor João Kaminski Junior em parceria com acadêmico Dêmis Rafael

Heemann no ano de 2009, no seu trabalho de conclusão de curso. O principal objetivo deste

programa é analisar treliças do tipo planas que possuam deslocamentos em seus apoios. Como

resposta ele deve fornecer todos as matrizes e vetores envolvidas na sua resolução, pelo método

da rigidez, bem como as reações de apoio da estrutura, os deslocamentos nos nós e as ações de

extremidade de barra na treliça.

Para utilizar este programa são necessários arquivos de entrada e saída de dados. Esses

arquivos utilizam a extensão “.txt”, padrão do Bloco de Notas, programa do Microsoft

Windows®.

As treliças planas analisadas podem ser isostáticas ou hiperestáticas, não sendo

obrigadas a apresentarem cargas ou deslocamentos nos apoios. Lembrando que treliças planas

isostáticas, ao sofrerem um deslocamento de apoio, não exibem nenhuma modificação nos seus

esforços e reações.

O FORTRAN utiliza o ponto como separador das casas decimais. Além disso, devido a

incompatibilidade com o compilador não se deve usar sinais gráficos (crase, acento agudo,

acento til, etc.) e espaços no nome de arquivos.

6.2 Arquivos de dados

O programa Treliças utiliza dois arquivos para seu funcionamento: um de entrada

“[nome_da_estrutura_dados] .txt” e um de saída de “[nome_da_estrutura_saida].txt”. Estes

arquivos devem ser salvos na mesma pasta do arquivo “Trelicas.exe”.

6.2.1 Arquivo ‘[nome_da_estrutura_dados].txt’

O arquivo “[nome_da_estrutura_dados].txt” contém todos os dados necessários para a

resolução da estrutura. As informações dizem respeitos a suas características geométricas

(coordenadas dos nós, área das seções das barras, etc.), a informações sobre as ações aplicadas

41

e também sobre os deslocamentos de apoios. De forma genérica, o arquivo de entrada deve

possuir o seguinte conteúdo:

Nome da estrutura:

[Caracteres]

Numero de barras:

[Inteiro maior que zero]

Numero de apoios simples:


Numero de apoios duplos:


Numero de nos:


Modulo de elasticidade do material:


Coordenadas dos nos:

[Número do nó (Inteiro), Coordenada X (Real), Coordenada

Y(Real)]

Barras:

[Número da barra (Inteiro),Nó Inicial (Inteiro),Nó Final

(Inteiro), Área da seção (m²)]

Restricoes nodais:

[Número do nó (Inteiro),Restrição em X (1 – restringido; 0 –

livre), Restrição em Y (1 – restringido; 0 – livre)]

Numero de nos com cargas:


Cargas nos nos:

[Nó com ação concentrada (Inteiro),Ação em X (Real),Ação em Y

(Real)]

Numero de nos com deslocamentos:


Deslocamento nos nos:

[Nó com deslocamento (Inteiro), Deslocamento em X (Real),

Deslocamento em Y (Real)]

Todas as informações apresentadas entre colchetes deverão ser substituídas pelos

valores respectivos da treliça plana a ser analisada.

42

O programa trabalha normalmente sem a presença de carregamentos e deslocamentos,

bastando que nos itens “Número de nós com cargas” e “Números de nós com deslocamentos”

seja informado o valor 0 (zero).

6.2.2 Arquivo ‘[nome_da_estrutura_saida].txt’

Quando o arquivo Trelicas.exe for executado ele irá criar o arquivo

“[nome_da_estrutura_saida].txt”. O conteúdo desse arquivo apresenta toda a análise matricial

da estrutura e seus resultados. Para conferência, nas primeiras linhas são mostrados todos os

dados fornecidos pelo usuário na entrada.

6.2.3 Exemplo de aplicação do programa Treliças

Neste exemplo de aplicação do programa Treliças, será utilizada a mesma treliça plana

da figura 5.1, a qual já foi resolvida de forma manual anteriormente.

O primeiro passo é a criação de um arquivo com os dados de entrada da treliça plana.

Observando a ilustração e obedecendo as regras de formatação apresentadas na seção 6.2.1, o

conteúdo deste arquivo deve ser:

Nome da estrutura:

TRELICA_FIGURA17

Numero de barras:

3


2


1

Numero de nós:

3


200000000000


1, 0.0, 0.0

2, 2.0, 2.0

3, 4.0, 0.0

Barras:

1, 1, 2, 1.0e-3

2, 2, 3, 1.0e-3

43

3, 1, 3, 1.0e-3

Restricoes nodais:

1, 1, 1

2, 1, 0

3, 0, 1


2

Cargas nos nos:

1, 5000.0, 0.0

2, 5000.0, -10000.0


3


1, 0.000, -0.005

2, 0.002, 0.0

3, 0.000, -0.003

Obs.: 1.0e-3 equivale a 1.0*10-3.

O arquivo “.txt” deverá ser salvo na mesma pasta em que está localizado o programa

Trelicas.exe. O próximo passo é executar o programa. Observa-se a criação de um novo arquivo

automaticamente, com nome atribuído no programa. No nosso caso, o nome é

“TRELICA_FIGURA17_SAIDA.txt”.

O resultado (arquivo de saída) é apresentado no ANEXO B.

44

7 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS NO PROGRAMA FTOOL

Encerrados os processos de cálculo nos capítulos anteriores, a próxima etapa consiste

em observar se os resultados fornecidos pelo programa Treliças.exe se enquadram dentro

daquilo que é esperado. Como terceira fonte de resultados para análise dos deslocamentos de

apoio se utilizou o programa Ftool.

O Ftool foi desenvolvido pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro e é

considerado uma das ferramentas mais conhecidas quando se trata de análise bidimensional de

estruturas na graduação. Nele é possível construir uma enorme variedade de esquemas

estruturais e, através da especificação de alguns parâmetros, encontrar gráficos de momentos

fletores, esforços normais e cortantes, além de linhas elásticas e configurações de deformadas.

No programa Ftool a treliça exemplo, desenvolvida nos capítulos 5 e 6, foi representada

como mostra a figura 7.1.

Figura 7.1 – Representação da treliça plana exemplo no Ftool.


45

Obs.: a ilustração não apresenta o carregamento de 5000N na direção horizontal no nó

2, mas ele foi contabilizado no processamento.

Como respostas à análise, o software reportou a ilustração que se segue, onde estão

presentes os esforços normais nas barras e as reações dos apoios.

Figura 7.2 – Respostas fornecidas pelo Ftool para a treliça plana exemplo.


Através dessas informações tornou-se possível a construção das tabelas 7.1 e 7.2, que

têm por objetivo comparar os resultados obtidos nos três métodos empregados.

Tabela 7.1 – Comparação dos resultados para as reações de apoio.

REAÇÕES DE APOIO (N)

Método Rigidez - Cálculo

Manual

Rigidez - Programa

Desenvolvido

Programa Ftool

AR1 -159113,68 -159110,2862 -159110,2862

AR2 -72063,68 -72055,1431 -72055,1431

AR3 149134,24 149110,2862 149110,2862

AR4 82070,56 82055,1431 82055,1431


46

Tabela 7.2 – Comparação dos resultados para os esforços normais das barras.

ESFORÇO NORMAL DAS BARRAS (N)

Método Rigidez - Cálculo

Manual

Rigidez - Programa

Desenvolvido

Programa Ftool

Barra 1 101898,05 101901,3606 101901,3606

Barra 2 116047,77 116043,4963 116043,4963

Barra 3 82050 82055,1431 82055,1431


Observando as tabelas notamos que os resultados se aproximam muito entre si. O

Método da Rigidez é melhor representado pelo software desenvolvido, uma vez que o cálculo

manual apresenta maior divergência da realidade, pois é realizado com poucas casas decimais,

fazendo com que haja acúmulo de erros.

47

8 DESLOCAMENTOS DE APOIO

8.1 Desenvolvimento teórico

Segundo MARTHA (2011), deslocamentos de apoio podem possuir muitos agentes de

origem, mas comumente estão associados a algum comportamento relacionado ao solo. São

peculiares, pois impõe às estruturas esforços muitas vezes não contabilizados em sua análise.

Os terremotos e os recalques são alguns exemplos de fenômenos que podem ocasioná-los.

Os terremotos, ou abalos sísmicos, são os piores ocasionadores de deslocamentos em

termos de danos estruturais. Caracterizam-se pela vibração violenta do solo, fazendo com as

estruturas nele apoiadas sofram esforços não previstos anteriormente nos projetos, podendo

levá-las ao colapso.

Existem diversos casos na engenharia que relatam a importância desse fenômeno. Um

episódio importante ocorreu durante a construção da Ponte Akashi Kaikyo no Japão. No ano de

1995, um tremor aumentou a distância entre suas torres, passando dos 1990 metros projetados

para 1991 metros. Felizmente a engenharia japonesa já havia previsto no projeto um

acontecimento de magnitude semelhante e assim a estrutura pode resistir.

Figura 8.1 – Ponte Akashi Kaikyo Ohashi, Japão.

(Fonte: http://traveljee.com/wp-content/uploads/2015/01/akashi_kaikyo_bridge.jpg)

O caso mais corriqueiro de deslocamentos de apoio é o recalque. Segundo a norma NBR

6122: 2010, recalque é o movimento vertical descendente de um elemento estrutural. Quando

esse movimento indicar levantamento é dito que o movimento é ascendente. Esse tipo de

movimento pode ser ocasionado devido ao mau adensamento ou compactação do solo, bem

48

como escavações e sobrecarga em intermediações da estrutura analisada. O recalque também

pode ser resultado de um solo singular. De acordo com GUSMÃO (2006), no Brasil são

encontrados diversos exemplos deles, destacando-se:

1) Solos colapsíveis: são aqueles que possuem uma estrutura molecular que é facilmente

destruída ao ter contato com a água e sobre constante solicitação de uma carga. A ocorrência

acaba por diminuir o volume do próprio o que causa rebaixamento das fundações;

2) Solos expansivos: são aqueles que ao entrarem em contado com a água englobam

suas moléculas aumentando o seu volume. Esse inchamento pode causar o levantamento dos

alicerces estruturais;

3) Argilas dispersivas: são solos que sofrem rápida erosão ao serem submetidos a um

fluxo subsuperficial. O fato pode motivar a formação de túneis e valas subterrâneas.

Esses tipos de solo citados, geralmente são identificados quando é realizada uma

mudança de nível do lençol freático presente abaixo das estruturas de fundações, ocorrência

necessária para a criação de reservatórios e bacias para contenção de água.

A razão entre as diferenças dos recalques de dois apoios e a distância entre eles é

chamado de recalque diferencial. Em obras na qual há a predominância de cargas verticais, os

recalques são um dos recursos fundamentais para a observação do comportamento estrutural.

Casos famosos de recalques são mostrados nas figuras 8.2 e 8.3.

Figura 8.2 – Torre de Pisa, Itália.

(Fonte: http://www.arqhys.com/arquitectura/torre-pisa.jpg)

49

Figura 8.3 – Edificações da cidade de Santos, Brasil.

(Fonte: http://farm6.staticflickr.com/5295/5512501104_ebcceb78f2_b.jpg)

8.2 Exemplo numérico

Nessa seção, exemplifica-se o que o deslocamento de apoio pode causar nos esforços

das barras de uma treliça plana. Para isso utilizou-se da estrutura representada na figura 8.4.

Essa treliça plana apresenta 58 nós, 113 barras e 15 ações externas de 50000N. Todas as barras

possuem seção transversal com área 𝐴 = 0.25𝑚² e material com módulo de elasticidade

longitudinal 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎.

O esboço da estrutura foi gerado pelo Ftool. Na figura 8.5 encontra-se a numeração das

barras, a qual é necessária na interpretação da resposta e comparações finais.

Figura 8.4 – Treliça plana elaborada no Ftool.


50

Figura 8.5 – Numeração das barras na treliça plana.


Submetendo a estrutura ao programa Treliças, obtém-se os resultados apresentados na

sequência. Obs.: o arquivo de entrada da estrutura encontra-se no ANEXO C.

#### ACOES DE EXTREMIDADE DE BARRA: BARRA COMPRESSAO(N) TRACAO(N) 1 13237.7868 2 -666480.9660 3 -97632.6714 4 -203436.4146 5 89148.5798 6 -702183.6604 7 -81325.0066 8 -159981.3477 9 59307.5013 10 -729305.8221 11 -54129.2622 12 -127926.9209 13 23359.2863 14 -743467.4277 15 -19974.4432 16 -114497.3846 17 -18067.1262 18 -738265.6738 19 21174.2353 20 -127787.7927 21 -59051.3337 22 -708377.2133 23 67378.6005 24 -173877.2119 25 -102909.3230 26 -646581.4263 27 121492.2286 28 -260996.1789 29 -99829.5820 30 -544893.2071 31 130550.9471 32 -355788.5764 33 -92799.9829 34 -439053.6222 35 127254.5570 36 -450081.6969 37 -79516.4480 38 -336990.5889 39 129127.7473 40 -544390.5062 41 -67569.6588 42 -236532.7555 43 115092.7247 44 -628709.4982 45 -47471.3432

51

46 -148710.2638 47 104415.1417 48 -703516.0151 49 -30107.0645 50 -71319.9372 51 81455.9354 52 -761449.4687 53 -8083.0772 54 -12236.9306 55 35863.9720 56 -786975.8118 57 0.0000 58 -8083.0772 59 -12236.9306 60 35863.9720 61 -786975.8118 62 -30107.0645 63 -71319.9372 64 81455.9354 65 -761449.4687 66 -47471.3432 67 -148710.2638 68 104415.1417 69 -703516.0151 70 -67569.6588 71 -236532.7555 72 115092.7247 73 -628709.4982 74 -79516.4480 75 -336990.5889 76 129127.7473 77 -544390.5062 78 -92799.9829 79 -439053.6222 80 127254.5570 81 -450081.6969 82 -99829.5820 83 -544893.2071 84 130550.9471 85 -355788.5764 86 -102909.3230 87 -646581.4263 88 121492.2286 89 -260996.1789 90 -59051.3337 91 -708377.2133 92 67378.6005 93 -173877.2119 94 -18067.1262 95 -738265.6738 96 21174.2353 97 -127787.7927 98 23359.2863 99 -743467.4277 100 -19974.4432 101 -114497.3846 102 59307.5013 103 -729305.8221 104 -54129.2622 105 -127926.9209 106 89148.5798 107 -702183.6604 108 -81325.0066 109 -159981.3477 110 13237.7868 111 -666480.9660 112 -97632.6714 113 -203436.4146

52

Obs.: nesta seção mostram-se apenas os resultados finais e de interesse da análise

(esforços normais nas barras), os resultados contidos no mesmo arquivo .txt não são mostrados

em razão do grande volume de informações.

A próxima etapa do estudo consistiu em submeter a mesma estrutura a análise, mas com

um deslocamento vertical de 5mm no apoio esquerdo inferior, como ilustrado na figura 8.6. Na

sequência são mostrados os novos resultados fornecidos pelo Trelicas.exe.

Figura 8.6 – Treliça plana elaborada no Ftool com deslocamento de apoio no detalhe.


#### ACOES DE EXTREMIDADE DE BARRA: BARRA COMPRESSAO(N) TRACAO(N) 1 -8620.0024 2 -614552.7484 3 -92773.3461 4 -251084.6469 5 85473.7989 6 -648912.0286 7 -77151.1338 8 -209535.4491 9 57139.9067 10 -675112.3912 11 -51037.3406 12 -178891.9960 13 22680.2150 14 -688791.6009 15 -17965.1695 16 -166273.2470 17 -17329.1220 18 -683619.8832 19 21541.5272 20 -179476.8002 21 -56701.7470 22 -654611.3024 23 66325.0200 24 -224446.2238 25 -99119.6670 26 -594591.3811 27 118740.5374 28 -309219.8227

53

29 -94297.2113 30 -495897.5802 31 126131.2560 32 -400319.5517 33 -86345.0743 34 -394082.7207 35 120741.4135 36 -489456.6392 37 -71555.3940 38 -297535.7761 39 121004.8847 40 -577362.3417 41 -59178.2776 42 -203560.9200 43 105267.3627 44 -654164.9170 45 -38376.7737 46 -123319.0287 47 93358.3057 48 -720712.2244 49 -21143.5437 50 -54149.1278 51 69686.1968 52 -770082.7344 53 500.1069 54 -3605.7957 55 23826.0417 56 -786975.8118 57 0.0000 58 -16666.2613 59 -20868.0655 60 47901.9024 61 -786975.8118 62 -39070.5852 63 -88490.7466 64 93225.6740 65 -752816.2029 66 -56565.9127 67 -174101.4989 68 115471.9776 69 -686319.8058 70 -75961.0399 71 -269504.5909 72 124918.0868 73 -603254.0794 74 -87477.5019 75 -376445.4018 76 137250.6099 77 -511418.6708 78 -99254.8915 79 -484024.5237 80 133767.7005 81 -410706.7546 82 -105361.9528 83 -593888.8341 84 134970.6381 85 -311257.6012 86 -106698.9790 87 -698571.4715 88 124243.9198 89 -212772.5350 90 -61400.9205 91 -762143.1242 92 68432.1809 93 -123308.2000 94 -18805.1304 95 -792911.4644 96 20806.9433 97 -76098.7852 98 24038.3576 99 -798143.2545 100 -21983.7170 101 -62721.5222 102 61475.0960

54

103 -783499.2530 104 -57221.1838 105 -76961.8459 106 92823.3607 107 -755455.2923 108 -85498.8793 109 -110427.2463 110 35095.5760 111 -718409.1837 112 -102491.9967 113 -155788.1822

A comparação dos resultados fornecidos nas duas análises indica que os deslocamentos

de apoio acarretam à estrutura grandes modificações em seu comportamento. Como exemplo,

citam-se as barras mais próximas dos apoios:

A barra 1 inicialmente tinha um esforço normal de tração no valor de 13237,79 N.

Passou a apresentar um esforço normal de compressão de – 8620,0 N. Já a barra 110 aumentou

seu esforço de tração de 13237,79 para 35095,58 N, quase o triplo do valor em comparação

com a estrutura sem o recalque de apoio. Isto comprova a importância do estudo dos

deslocamentos de apoio em estruturas, neste caso recalques diferenciais de apoio, mesmo

quando ocorrerem em estruturas simples como as treliças planas.

55

9 APOIOS ELÁSTICOS

Os deslocamentos de apoio, a qual o trabalho fez referência até o momento, possuem

alguns agentes de origem já citados na seção anterior. O fato de uma estrutura possuir um de

seus apoios ligados a elementos elásticos, pode ocasionar movimentação dos mesmos. Esses

elementos variam, desde um tipo específico de solo até uma estrutura a qual o apoio está

vinculado.

A Lei de Hooke faz menção à elasticidade dos corpos, servindo para calcular a

deformação que é causada a um corpo quando este é submetido a uma força. A sua equação

geral diz que a força é igual ao deslocamento (sofrido pela massa a partir do seu centro

gravitacional) multiplicado pela constante da mola ou do corpo que irá sofrer a deformação.

𝐹 = 𝐾 ∗ ∆𝐿

A força 𝐹 é medida em Newtons, a constante 𝐾 em Newtons/metro e o ∆𝐿 em metros.

Essa lei é válida até que o limite elástico do material não seja excedido, pois após um

determinado valor de 𝐹, a relação entre a força e o deslocamento, ou entre a tensão e a

deformação, deixa de ser linear.

Através do ensaio de tração, realizado em materiais como o aço, a Lei de Hooke é

percebida por meio do gráfico Tensão de tração x Deformação (alongamento).

Figura 9.1 – Gráfico resultante do ensaio de tração.

(Fonte: http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/11/ensaio-de-tracao2.jpg)

A parte inicial do gráfico demonstra um comportamento linear, evidenciando a

regularidade na razão das duas grandezas. A equação 9.2 representa tal relação:

(9.1)

56

𝜎 = 𝜀 ∗ 𝐸

onde:

𝜎 é a tensão normal, medida em Pascal;

𝜀 é a deformação específica (adimensional);

𝐸 é o módulo de elasticidade longitudinal do material, também em Pascal.

Ao trabalhar-se com barras de comprimento finito 𝐿, a deformação específica pode ser

definida como sendo a razão entre a deformação longitudinal que a barra sofre e o comprimento

inicial, como mostrado em 9.3:

𝜀 =∆𝐿

𝐿

Quando se trata de tensões, um caso particular é a conhecida como tensão uniaxial. Essa

ocorre quando a uma força 𝐹 é aplicada de maneira distribuída sobre uma superfície de área 𝐴.

Nessa situação a tensão que é exercida sobre a superfície é dada por:

𝜎 =𝐹

𝐴

Esse tipo de tensão é a mesma que se encontra na teoria em barras de treliças.

Utilizando-se 9.2, 9.3 e 9.4 se pode chegar a equação:

𝐹

∆𝐿= 𝐸𝐴/𝐿

A equação 9.5 já foi usada no capitulo 4 para construir as matrizes de rigidez de uma

barra de treliça plana, com módulo de elasticidade 𝐸, comprimento 𝐿 e área 𝐴. Naquela ocasião

foi considerado o valor de ∆𝐿 como sendo igual a 1 e 𝐹 sendo 𝑃.

Isolando a constante 𝐾 na equação da Lei de Hooke, obtém-se:

𝐾 =𝐹

∆𝐿

Dessa forma, pode-se fazer uma associação entre 9.5 e 9.6 e encontrar:

𝐾 = 𝐸𝐴/𝐿

(9.2)

(9.3)

(9.4)

(9.5)

(9.6)

(9.7)

57

Assim, vincula-se qualquer comportamento elástico de um elemento a uma barra de um

material definido, bastando que sejam alteradas as suas características geométricas,

comprimento e área da seção.

Baseando-se nesses conceitos, foi simulado o comportamento dos esforços em uma

treliça plana que apresentava um apoio elástico. O caso foi executado no programa Treliças

utilizando o método das barras, e para efeito comparativo, também no Ftool, utilizando-se o

mesmo método das barras e também apoios elásticos com molas. A figura 9.2 ilustra o modelo

de treliça plana usado.

Figura 9.2 – Modelo de treliça plana com apoio esquerdo elástico.


A treliça estudada apresenta todas as barras com 𝐸 = 200𝐺𝑃𝑎. As barras numeradas de

3 até 15 possuem 𝐴 = 0.16𝑚². As áreas das barras 1 e 2 foram calculadas usando a equação

9.7. Foi estabelecido que as barras 1 e 2 representariam um coeficiente 𝐾 = 5,0𝑘𝑁/𝑚 nas

direções horizontal (apoio do nó 1) e vertical (apoio do nó 2), desse modo, optando por um

comprimento de barra igual a 2𝑚, foi encontrado:

58

𝐾 =𝐸𝐴

𝐿 →

5,0𝑘𝑁

𝑚=

200 ∗ 106𝑘𝑃𝑎 ∗ 𝐴

2𝑚→ 𝐴 = 5 ∗ 10−8𝑚2

A partir esses dados construiu-se o arquivo de entrada .txt para o programa Treliças.

Nome da estrutura:

trelica_01

Numero de barras:

15


1


2

Numero de nos:

10


200000000000


1, 0.0, 2.0

2, 2.0, 2.0

3, 2.0, 0.0

4, 4.0, 2.0

5, 4.0, 4.0

6, 6.0, 2.0

7, 6.0, 6.0

8, 8.0, 2.0

9, 8.0, 4.0

10, 10.0, 2.0

Barras:

1, 2, 1, 0.00000005

2, 3, 2, 0.00000005

3, 2, 5, 0.16

4, 2, 4, 0.16

5, 4, 5, 0.16

6, 5, 7, 0.16

7, 5, 6, 0.16

8, 6, 4, 0.16

9, 6, 7, 0.16

10, 7, 9, 0.16

11, 9, 6, 0.16

12, 6, 8, 0.16

13, 8, 9, 0.16

14, 9, 10, 0.16

15, 8, 10, 0.16

Restrições nodais:

1, 1, 1

3, 1, 1

59

10, 0, 1


3

Cargas nos nós:

5, 0, -1000.0

7, -1000.0, -500.0

9, 0, -1000.0


0

Deslocamentos nos nos:

1, 0.0, 0.0

2, 0.0, 0.0

3, 0.0, 0.0

4, 0.0, 0.0

5, 0.0, 0.0

6, 0.0, 0.0

7, 0.0, 0.0

8, 0.0, 0.0

9, 0.0, 0.0

10, 0.0, 0.0

11, 0.0, 0.0

12, 0.0, 0.0

13, 0.0, 0.0

14, 0.0, 0.0

15, 0.0, 0.0

Ao executar o arquivo Trelicas.exe, este gerou os seguintes resultados (nesta seção são

mostradas apenas os deslocamentos e esforços nas barras da estrutura):

#### DESLOCAMENTOS DOS NOS E REACOES DE APOIO:

NO UX (m) UY (m) R. HORIZ. X (N) R. VERT. Y (N)

1 0.00000 0.00000 1000.0000 0.0000

2 -0.200000 -0.350000 0.0000 0.0000

3 0.00000 0.00000 0.0000 1750.0000

4 -0.200000 -0.262501 0.0000 0.0000

5 -0.287500 -0.262501 0.0000 0.0000

6 -0.200000 -0.175001 0.0000 0.0000

7 -0.375000 -0.175000 0.0000 0.0000

8 -0.200000 -0.875004E-01 0.0000 0.0000

9 -0.287500 -0.875004E-01 0.0000 0.0000

10 -0.200000 0.00000 0.0000 750.0000

#### ACOES DE EXTREMIDADE DE BARRA:

BARRA COMPRESSAO(N) TRACAO(N)

60

1 -1000.0000

2 -1750.0000

3 -2474.8737

4 750.0000

5 0.0000

6 -1767.7670

7 -707.1068

8 750.0000

9 1000.0000

10 -353.5534

11 -707.1068

12 750.0000

13 0.0000

14 -1060.6602

15 750.0000

Em uma próxima etapa, processou-se a mesma estrutura no programa Ftool. Foi

montado o esquema de duas maneiras, a primeiro exatamente do mesmo jeito que foi

apresentado na primeira parte, com o apoio esquerdo decomposto em duas barras, e o segundo

com molas no apoio esquerdo, possuindo o valor 𝐾 = 5,0𝑘𝑁/𝑚.

Figura 9.3 – Primeiro modelo rodado no Ftool.


61

Figura 9.4 – Segundo modelo rodado no Ftool.


A partir desses modelos o Ftool forneceu os seguintes resultados, em termos de esforço

normal nas barras:

Figura 9.5 – Resultado (esforço normal nas barras) para o primeiro modelo rodado no Ftool.


62

Figura 9.6 – Resultado (esforço normal nas barras) para o segundo modelo rodado no Ftool.


Com os resultados obtidos do programa Ftool, foi construída a tabela 9.1 que apresenta

os valores dos deslocamentos em cada nó nos modelos 1 e 2, os quais apresentaram resultados

idênticos.

Tabela 9.1 – Deslocamentos nos nós para os modelos 1 e 2 construídos no Ftool.

NÓ X (m) Y (m)

1 0,0000 0,0000

2 -0,2000 -0,3500

3 0,0000 0,0000

4 -0,2000 -0,2625

5 -0,2875 -0,2625

6 -0,2000 -0,1750

7 -0,3750 -0,1750

8 -0,2000 -0,0875

9 -0,2875 -0,0875

10 -0,2000 0,0000


Confrontando os resultados do Ftool e do Trelicas.exe, percebe-se que apresentam

exatamente as mesmas respostas. Os esforços nas barras da treliça plana e os deslocamentos

dos nós foram rigorosamente os mesmos em todas as análises, mostrando que barras podem

substituir molas, ou vínculos elásticos, sem alterar a resposta da estrutura.

63

10 CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÃO

O mundo contemporâneo baseia-se na tecnologia e é através dela que se evolui a cada

dia, buscando sempre aperfeiçoar o funcionamento das atividades. A Engenharia Civil,

acompanhando essas mudanças, trouxe novas responsabilidades aos profissionais da área,

obrigando universidades a se adequarem para os novos campos de conhecimento que surgem a

cada dia.

As mudanças trazem inovações, sendo que através delas é que os engenheiros têm

alcançado patamares cada vez mais altos em termos de produtividade e grandiosidade das obras.

Empresas de softwares têm inovado a cada dia o modo como os problemas da vida do

profissional são vistos e resolvidos. Nunca esteve-se tão próximos de saber o comportamento

real de estruturas e materiais perante as solicitações. A tecnologia permite representar condições

de projeto com grande fidelidade, utilizando-se modelos tridimensionais nunca imaginados

antes. Dentro deste contexto, as universidades assumem uma grande participação, sendo elas

que preparam os futuros engenheiros para o mercado de trabalho. Estes poderão assumir

carreiras de usuários ou até mesmo programadores de softwares para a área da construção civil,

estruturas, geotecnia, recursos hídricos, etc.

O primeiro profissional será cobrado para que possua o entendimento dos projetos,

tendo assim a capacidade de lançar dados nos computadores e analisar os resultados obtidos,

colocando-os em prática. O segundo profissional é aquele que conseguirá perceber a carência

do mercado em determinado serviço, construindo assim uma ferramenta para facilitar o trabalho

dos colegas. Essas ideias movem os professores e alunos a procurarem o aperfeiçoamento do

ensino.

O objetivo inicial desse trabalho foi modificar um programa para que ele atendesse um

maior número de problemas e conseguisse resolvê-los corretamente. A alteração do código

fonte do software Treliças foi realizada com sucesso. Um exemplo de treliça plana foi resolvido

pelo algoritmo e seus resultados foram idênticos aos do outro software empregado para

comparação, o Ftool. Obteve-se todos os dados almejados no arquivo de saída: a montagem das

matrizes de rigidez de barra, em coordenadas locais e globais; das matrizes de rotação das

barras, passando pela geração da matriz de rigidez global da estrutura; dos vetores de carga, até

as matrizes envolvidas na solução do sistema de equações pelo método Cholesky, e os vetores

de resultados, em termos de deslocamentos dos nós, reações nos apoios e esforços nas barras.

Desse modo foi comprovada a funcionalidade do programa.

64

A segunda etapa deste trabalho objetivou a comprovação e revisão da validade do

comportamento elástico em apoios de estruturas simulado com barras. Esse estudo foi

completado com sucesso, obtendo resultados através de um exemplo construído que

posteriormente foi comparado aos de outro software para validação. Por meio disso foi

concluído que o comportamento elástico pode ser simulado com o uso de barras no programa

Treliças, apresentando como resultado os mesmos valores que o programa Ftool.

65

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6122: Projeto e Execução de

Fundações. Rio de Janeiro, 2010

GUSMÃO, J.F. Desempenho de Obras Geotécnicas. Editora Universitária da UFPE. 2006

ALMEIRA, M. C. Ferreira. Estruturas Isostáticas. Editora Oficina de Textos. São Paulo, 2011.

KAMINSKI, J. Jr. Apostila de Análise Matricial de Estruturas “A”. Departamento de

Estruturas e Construção Civil – UFSM, 2009

MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos. Editora Campus. Rio de

Janeiro, 2011

66

ANEXO A – Manual do Usuário do Programa Treliças

A entrada e saída do programa Treliças acontece por meio de arquivos com extensão

“.txt”. Esse manual mostra como criar esses arquivos e obter resultados.

O programa analisa estruturas do tipo treliças planas, onde as ações são aplicadas sobre

os nós rotulados, que não apresentam resistência quanto a rotação.

Não devem ser utilizados sinais gráficos no nome e conteúdo dos arquivos; as casas

decimais são separadas com ponto (.); os dados são separados por vírgula (,); as indicações

entre chaves ([...]) devem ser desconsideradas.

1º Passo: criação do arquivo Entrada.txt

Abra o Bloco de Notas do Windows. Na primeira linha escreva “Arquivo de entrada de

dados:” (sem as aspas). Na segunda linha, escreva o nome do arquivo que contém os dados da

estrutura (a construção do arquivo de dados será explicada adiante). Na terceira linha, escreva

“Arquivo de saida de dados:”. Na quarta linha escreva o nome desejado para o arquivo que

conterá os resultados. Não insira espaços nos nomes dos arquivos.

Por exemplo:

Arquivo de entrada de dados:

TRELICA1_DADOS.TXT

Arquivo de saida de dados:

TRELICA1_SAIDA.TXT

Em seguida salve o arquivo com o nome “Entrada.txt”, o qual deve estar na mesma pasta

do arquivo Trelicas.exe (arquivo executável do programa).

2º Passo: criação do arquivo de dados

Abra o Bloco de Notas do Windows. Na primeira linha digite “Nome da estrutura:”.

Insira, na segunda linha, o nome desejado para a estrutura. Não insira espaços no nome da

estrutura.

Nome da estrutura:

[digite o nome da estrutura]

Na terceira linha escreva “Numero de barras:”. Na quarta linha digite o número total de

barras da treliça (número inteiro e maior que zero). Na quinta linha digite “Numero de apoios

67

simples:”. Na sexta linha insira o número de apoios simples (restrição em uma direção) da

estrutura (número inteiro maior ou igual à zero). Na sétima linha digite “Numero de apoios

duplos:”. Na oitava linha insira o número de apoios duplos (restrição em duas direções) da

estrutura (número inteiro maior ou igual à zero). Na nona linha escreva “Numero de nos:”. Na

décima linha insira o número total de nós da estrutura (número inteiro e maior do que um). Na

décima primeira linha digite “Modulo de elasticidade do material:”. Na décima segunda linha

digite o valor do módulo de elasticidade do material.

Numero de barras:

[número de barras da estrutura - inteiro]


[número de apoios simples - inteiro]


[número de apoios duplos - inteiro]

Numero de nos:

[número de nós - inteiro]


[módulo de elasticidade - real]

Na décima terceira linha escreva “Coordenadas dos nos:”. A seguir, crie uma linha para

cada nó da estrutura com os seguintes dados: número do nó (inteiro maior que zero), coordenada

X (número real) e coordenada Y (número real).


[(Nº do nó - inteiro),(coordenada X - real),(coordenada Y - real)]

[(Nº do nó - inteiro),(coordenada X - real),(coordenada Y - real)]

...

Na linha seguinte digite “Barras:”. Em seguida, crie uma linha para cada barra da

estrutura com o seguinte conteúdo: número da barra (inteiro maior que zero), nó inicial (inteiro

maior que zero), nó final (inteiro maior que zero) e área da barra (valor real maior que zero).

Barras:

[(Nº da barra - inteiro),(nó inicial - inteiro),(nó final -

inteiro),(área da seção transversal – real)]

[(Nº da barra - inteiro),(nó inicial - inteiro),(nó final -

inteiro),(área da seção transversal – real)]

...

Na próxima linha escreva “Restricoes nodais:”. Depois crie uma linha para cada nó com

algum tipo de restrição externa, a qual deverá conter: número do nó, restrição em X (valor 1

para restringido ou 0 para livre) e restrição em Y (valor 1 para restringido ou 0 para livre).

[(Nó com restrição - inteiro),(Restr. X – 1 ou 0),(Restr. Y – 1 ou 0)]

[(Nó com restrição - inteiro),(Restr. X – 1 ou 0),(Restr. Y – 1 ou 0)]

...

68

Na linha abaixo escreva “Numero de nos com carga:”. Na linha seguinte digite o número

de nós com alguma carga horizontal ou vertical ou horizontal e vertical. Na próxima linha digite

“Carga nos nos:”. Em seguida crie tantas linhas quanto o número de nós com carga, as quais

deverão conter: número do nó com carga, valor da carga em X (número real, positivo para a

direita, negativo para a esquerda) e valor da carga em Y (número real, positivo para baixo,

negativo para cima).

[(Nó com carga - inteiro),(Ação X – real),(Ação Y – real)]

[(Nó com carga - inteiro),(Ação X – real),(Ação Y – real)]

...

Finalmente na próxima linha digite “Numero de nos com deslocamento:” e nas seguintes

crie tantas linhas quanto o número de nós com deslocamentos, as quais deverão conter: número

do nó com deslocamento, valor do deslocamento em X (número real, positivo para a direita,

negativo para a esquerda) e valor do deslocamento em Y (número real, positivo para baixo,

negativo para cima).

[(Nó com deslocamento - inteiro),(Deslocamento X – real),(Deslocamento

Y – real)]

[((Nó com deslocamento - inteiro),(Deslocamento X – real),(Deslocamento

Y – real)]

...

Salve o arquivo com o nome desejado no formato texto (.txt, padrão do Bloco de Notas

do Windows), por exemplo: Trelica1_dados.txt, na mesma pasta do arquivo Entrada.txt e do

arquivo executável do programa Trelicas.exe.

3º Passo: execução do programa

Abra a pasta do programa e dê um duplo clique sobre o arquivo Trelicas.exe. Note que

foi criado um novo arquivo de texto com o nome do arquivo de saída inserido no Entrada.txt.

Este arquivo contém os dados da estrutura e os resultados da análise executada pelo programa.

69

ANEXO B – Arquivo De Saída Do Programa Treliças Para o Exemplo Didático

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

################# TRELICAS PLANAS #################

VERSAO: 3.0

***************************************************

NOME DA ESTRUTURA:

***************************************************

TRELICA_FIGURA17

***************************************************

DADOS DA ESTRUTURA:

***************************************************

NUMERO DE BARRAS: 3

NUMERO DE APOIOS SIMPLES: 2

NUMERO DE APOIOS DUPLOS: 1

NUMERO DE NOS: 3

MODULO DE ELASTICIDADE: 200000000000.0

COORDENADAS DOS NOS:

NO X Y

1 0.000000 0.000000

2 2.000000 2.000000

3 4.000000 0.000000

DADOS DAS BARRAS:

BARRA NO INICIAL NO FINAL AREA (m2)

1 1 2 0.001000

2 2 3 0.001000

3 1 3 0.001000

RESTRICOES NODAIS:

NO Restr. X Restr. Y

1 1 1

70

2 1 0

3 0 1

CARGAS (ACOES CONCENTRADAS):

NO PX PY

1 5000.0000 0.0000

2 5000.0000 -10000.0000

DESLOCAMENTOS DE APOIO:

NO DESL.X DESL.Y

1 0.0000 -0.0050

2 0.0020 0.0000

3 0.0000 -0.0030

NUMERO DE DESLOCAMENTOS LIVRES: 2

NUMERO DE DESLOCAMENTOS RESTRINGIDOS: 4

***************************************************

RESULTADOS:

***************************************************

#### COMPRIMENTOS E CO-SENOS DIRETORES DAS BARRAS:

BARRA COMPRIM. SENO CO-SENO

1 2.8284 0.70711 0.70711

2 2.8284 -0.70711 0.70711

3 4.0000 0.00000 1.00000

#### MATRIZES DE RIGIDEZ DE BARRA NO SISTEMA DE

#### COORDENADAS LOCAL (SML)

#### E MATRIZES DE ROTACAO (R):

BARRA: 1

MATRIZ SML:

0.707107E+08 0.00000 -0.707107E+08 0.00000

71

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

-0.707107E+08 0.00000 0.707107E+08 0.00000

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

MATRIZ DE ROTACAO (R):

0.707107 0.707107 0.00000 0.00000

-0.707107 0.707107 0.00000 0.00000

0.00000 0.00000 0.707107 0.707107

0.00000 0.00000 -0.707107 0.707107

BARRA: 2

MATRIZ SML:

0.707107E+08 0.00000 -0.707107E+08 0.00000

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

-0.707107E+08 0.00000 0.707107E+08 0.00000

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000


0.707107 -0.707107 0.00000 0.00000

0.707107 0.707107 0.00000 0.00000

0.00000 0.00000 0.707107 -0.707107

0.00000 0.00000 0.707107 0.707107

BARRA: 3

MATRIZ SML:

0.500000E+08 0.00000 -0.500000E+08 0.00000

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

-0.500000E+08 0.00000 0.500000E+08 0.00000

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000


1.00000 0.00000 0.00000 0.00000

-0.00000 1.00000 0.00000 0.00000

0.00000 0.00000 1.00000 0.00000

0.00000 0.00000 -0.00000 1.00000

#### MATRIZES DE RIGIDEZ DE BARRA NO SISTEMA

#### DE COORDENADAS GLOBAL (SM)

#### SM = RT * SML * R

72

BARRA: 1

0.353553E+08 0.353553E+08 -0.353553E+08 -0.353553E+08

0.353553E+08 0.353553E+08 -0.353553E+08 -0.353553E+08

-0.353553E+08 -0.353553E+08 0.353553E+08 0.353553E+08

-0.353553E+08 -0.353553E+08 0.353553E+08 0.353553E+08

BARRA: 2

0.353553E+08 -0.353553E+08 -0.353553E+08 0.353553E+08

-0.353553E+08 0.353553E+08 0.353553E+08 -0.353553E+08

-0.353553E+08 0.353553E+08 0.353553E+08 -0.353553E+08

0.353553E+08 -0.353553E+08 -0.353553E+08 0.353553E+08

BARRA: 3

0.500000E+08 0.00000 -0.500000E+08 -0.00000

0.00000 0.00000 -0.00000 -0.00000

-0.500000E+08 -0.00000 0.500000E+08 0.00000

-0.00000 -0.00000 0.00000 0.00000

#### MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA ESTRUTURA (SJ)

#### NA NUMERACAO PRIORITARIA:

#### | S | SDR |

#### SJ = |-------|-------|

#### | SRD | SRR |

#### MATRIZ SJ NA NUMERACAO PRIORITARIA:

0.707107E+08 0.353553E+08 -0.353553E+08 -0.353553E+08 0.00000 -0.353553E+08

0.353553E+08 0.853553E+08 -0.500000E+08 -0.00000 -0.353553E+08 -0.353553E+08

-0.353553E+08 -0.500000E+08 0.853553E+08 0.353553E+08 -0.353553E+08 -0.00000

-0.353553E+08 -0.00000 0.353553E+08 0.353553E+08 -0.353553E+08 -0.00000

0.00000 -0.353553E+08 -0.353553E+08 -0.353553E+08 0.707107E+08 0.353553E+08

-0.353553E+08 -0.353553E+08 -0.00000 -0.00000 0.353553E+08 0.353553E+08

#### MATRIZ S NA NUMERACAO PRIORITARIA:

0.707107E+08 0.353553E+08

0.353553E+08 0.853553E+08

#### MATRIZ SRD NA NUMERACAO PRIORITARIA:

73

-0.353553E+08 -0.500000E+08

-0.353553E+08 -0.00000

0.00000 -0.353553E+08

-0.353553E+08 -0.353553E+08

#### MATRIZ SDR NA NUMERACAO PRIORITARIA:

-0.353553E+08 -0.353553E+08 0.00000 -0.353553E+08

-0.500000E+08 -0.00000 -0.353553E+08 -0.353553E+08

#### MATRIZ SRR NA NUMERACAO PRIORITARIA:

0.853553E+08 0.353553E+08 -0.353553E+08 -0.00000

0.353553E+08 0.353553E+08 -0.353553E+08 -0.00000

-0.353553E+08 -0.353553E+08 0.707107E+08 0.353553E+08

-0.00000 -0.00000 0.353553E+08 0.353553E+08

#### VETOR AC-BARRA (NUMERACAO PRIORITARIA):

-10000.000000

0.000000

5000.000000

0.000000

5000.000000

0.000000

#### VETOR DESLOCAMENTOS DE APOIO (PRIORITARIA):

0.000000

0.000000

0.000000

-0.005000

0.002000

-0.003000

#### AC-BARRA - SDR * DESLOCAMENTOS (PRIORITARIA):

-292842.712475

-35355.339059

252487.373415

247487.373415

-207132.034356

35355.339059

74

#### VETOR DOS DESLOCAMENTOS (D) NA NUMERACAO

#### PRIORITARIA:

-0.496197E-02

0.164110E-02

0.00000

-0.500000E-02

0.200000E-02

-0.300000E-02

#### VETOR ARL (nao ‚ nulo se existir pelo menos

#### uma carga aplicada na direcao de um

#### deslocamento restringido):

-5000.0000

-0.0000

-5000.0000

-0.0000

#### VETOR DAS REACOES DE APOIO (AR) NA NUMERACAO

#### PRIORITARIA:

-159110.2862

-72055.1431

149110.2862

82055.1431

#### MATRIZ C: MATRIZ S FATORADA NO METODO CHOLESKI

8408.96 4204.48

0.00000 8226.64

#### VETOR DOS DESLOCAMENTOS (D) NA NUMERACAO

#### ARBITRARIA:

0.00000

-0.500000E-02

0.200000E-02

-0.496197E-02

0.164110E-02

-0.300000E-02

#### VETOR DAS REACOES DE APOIO (AR) NA NUMERACAO

#### ARBITRARIA:

75

-159110.2862

-72055.1431

149110.2862

0.0000

0.0000

82055.1431

#### DESLOCAMENTOS DOS NOS E REACOES DE APOIO:

NO UX (m) UY (m) R. HORIZ. X (N) R. VERT. Y (N)

1 0.00000 -0.500000E-02 -159110.2862 -72055.1431

2 0.200000E-02 -0.496197E-02 149110.2862 0.0000

3 0.164110E-02 -0.300000E-02 0.0000 82055.1431

#### ACOES DE EXTREMIDADE DE BARRA:

BARRA COMPRESSAO(N) TRACAO(N)

1 101901.3606

2 -116043.4963

3 82055.1431

FIM

76

ANEXO C – Arquivo de Entrada da Treliça em Arco

Nome da estrutura:

TRELICA_ARCO

Número de barras:

113

Número de apoios simples:

2

Número de apoios duplos:

2

Número de nós:

58

Módulo de elasticidade do material:

200000000000

Coordenadas dos nós:

1, 0.0, 0.0

2, 0.0, 50.1

3, 18.0, 12.9

4, 18.0, 57.2

5, 36.0, 24.9

6, 36.0, 64.0

7, 54.0, 35.8

8, 54.0, 70.4

9, 72.0, 45.6

10, 72.0, 76.3

11, 90.0, 54.3

12, 90.0, 81.8

13, 108.0, 62.0

14, 108.0, 86.8

15, 126.0, 68.7

16, 126.0, 91.3

17, 144.0, 74.3

18, 144.0, 95.1

19, 162.0, 78.9

20, 162.0, 98.4

21, 180.0, 82.4

22, 180.0, 100.9

23, 198.0, 84.9

24, 198.0, 102.8

25, 216.0, 86.3

26, 216.0, 103.9

27, 234.0, 86.8

28, 234.0, 104.3

29, 252.0, 86.8

30, 252.0, 104.3

31, 270.0, 86.8

32, 270.0, 104.3

33, 288.0, 86.3

34, 288.0, 103.9

77

35, 306.0, 84.9

36, 306.0, 102.8

37, 324.0, 82.4

38, 324.0, 100.9

39, 342.0, 78.9

40, 342.0, 98.4

41, 360.0, 74.3

42, 360.0, 95.1

43, 378.0, 68.7

44, 378.0, 91.3

45, 396.0, 62.0

46, 396.0, 86.8

47, 414.0, 54.3

48, 414.0, 81.8

49, 432.0, 45.6

50, 432.0, 76.3

51, 450.0, 35.8

52, 450.0, 70.4

53, 468.0, 24.9

54, 468.0, 64.0

55, 486.0, 12.9

56, 486.0, 57.2

57, 504.0, 0.0

58, 504.0, 50.1

Barras:

1 , 1 , 2 , 0.25

2 , 1 , 3 , 0.25

3 , 2 , 3 , 0.25

4 , 2 , 4 , 0.25

5 , 3 , 4 , 0.25

6 , 3 , 5 , 0.25

7 , 4 , 5 , 0.25

8 , 4 , 6 , 0.25

9 , 5 , 6 , 0.25

10 , 5 , 7 , 0.25

11 , 6 , 7 , 0.25

12 , 6 , 8 , 0.25

13 , 7 , 8 , 0.25

14 , 7 , 9 , 0.25

15 , 8 , 9 , 0.25

16 , 8 , 10 , 0.25

17 , 9 , 10 , 0.25

18 , 9 , 11 , 0.25

19 , 10 , 11 , 0.25

20 , 10 , 12 , 0.25

21 , 11 , 12 , 0.25

22 , 11 , 13 , 0.25

23 , 12 , 13 , 0.25

24 , 12 , 14 , 0.25

25 , 13 , 14 , 0.25

78

26 , 13 , 15 , 0.25

27 , 14 , 15 , 0.25

28 , 14 , 16 , 0.25

29 , 15 , 16 , 0.25

30 , 15 , 17 , 0.25

31 , 16 , 17 , 0.25

32 , 16 , 18 , 0.25

33 , 17 , 18 , 0.25

34 , 17 , 19 , 0.25

35 , 18 , 19 , 0.25

36 , 18 , 20 , 0.25

37 , 19 , 20 , 0.25

38 , 19 , 21 , 0.25

39 , 20 , 21 , 0.25

40 , 20 , 22 , 0.25

41 , 21 , 22 , 0.25

42 , 21 , 23 , 0.25

43 , 22 , 23 , 0.25

44 , 22 , 24 , 0.25

45 , 23 , 24 , 0.25

46 , 23 , 25 , 0.25

47 , 24 , 25 , 0.25

48 , 24 , 26 , 0.25

49 , 25 , 26 , 0.25

50 , 25 , 27 , 0.25

51 , 26 , 27 , 0.25

52 , 26 , 28 , 0.25

53 , 27 , 28 , 0.25

54 , 27 , 29 , 0.25

55 , 28 , 29 , 0.25

56 , 28 , 30 , 0.25

57 , 29 , 30 , 0.25

58 , 31 , 32 , 0.25

59 , 31 , 29 , 0.25

60 , 32 , 29 , 0.25

61 , 32 , 30 , 0.25

62 , 33 , 34 , 0.25

63 , 33 , 31 , 0.25

64 , 34 , 31 , 0.25

65 , 34 , 32 , 0.25

66 , 35 , 36 , 0.25

67 , 35 , 33 , 0.25

68 , 36 , 33 , 0.25

69 , 36 , 34 , 0.25

70 , 37 , 38 , 0.25

71 , 37 , 35 , 0.25

72 , 38 , 35 , 0.25

73 , 38 , 36 , 0.25

74 , 39 , 40 , 0.25

75 , 39 , 37 , 0.25

79

76 , 40 , 37 , 0.25

77 , 40 , 38 , 0.25

78 , 41 , 42 , 0.25

79 , 41 , 39 , 0.25

80 , 42 , 39 , 0.25

81 , 42 , 40 , 0.25

82 , 43 , 44 , 0.25

83 , 43 , 41 , 0.25

84 , 44 , 41 , 0.25

85 , 44 , 42 , 0.25

86 , 45 , 46 , 0.25

87 , 45 , 43 , 0.25

88 , 46 , 43 , 0.25

89 , 46 , 44 , 0.25

90 , 47 , 48 , 0.25

91 , 47 , 45 , 0.25

92 , 48 , 45 , 0.25

93 , 48 , 46 , 0.25

94 , 49 , 50 , 0.25

95 , 49 , 47 , 0.25

96 , 50 , 47 , 0.25

97 , 50 , 48 , 0.25

98 , 51 , 52 , 0.25

99 , 51 , 49 , 0.25

100 , 52 , 49 , 0.25

101 , 52 , 50 , 0.25

102 , 53 , 54 , 0.25

103 , 53 , 51 , 0.25

104 , 54 , 51 , 0.25

105 , 54 , 52 , 0.25

106 , 55 , 56 , 0.25

107 , 55 , 53 , 0.25

108 , 56 , 53 , 0.25

109 , 56 , 54 , 0.25

110 , 57 , 58 , 0.25

111 , 57 , 55 , 0.25

112 , 58 , 55 , 0.25

113 , 58 , 56 , 0.25

Restrições nodais:

1, 1, 1

2, 1, 0

57, 1, 1

58, 1, 0

Número de nós com cargas:

15

Cargas nos nós:

15 , 0 , -50000

17 , 0 , -50000

19 , 0 , -50000

21 , 0 , -50000

80

23 , 0 , -50000

25 , 0 , -50000

27 , 0 , -50000

29 , 0 , -50000

31 , 0 , -50000

33 , 0 , -50000

35 , 0 , -50000

37 , 0 , -50000

39 , 0 , -50000

41 , 0 , -50000

43 , 0 , -50000


1


1, 0, -0.005

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