UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

ANÁLISE ESTRUTURAL E DO CONSUMO DE MATERIAIS DE TRÊS ESTRUTURAS DE VARANDAS EM COCNRETO ARMADO; ESTUDO

DA TORÇÃO

José Henrique Mendes Jacob

Trabalho de Conclusão de Curso apre-sentado ao Departamento de Engenha-ria Civil da Universidade Federal de São Carlos como parte dos requisitos para a conclusão da graduação em Engenharia Civil Orientador: Dr. Jasson R. de Figueire-do Filho

São Carlos 2012

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais e a todos familiares pelo apoio constante.

A todos meus amigos, a todos que estiveram comigo durante o curso.

Em especial, agradeço à amizade do Gustavo, pelo auxílio irrestrito no dimensionamento

das estruturas do software AltoQi Eberick.

Ao meu orientador, Dr. Jasson R. de Figueiredo Filho, por todas sugestões e correções fei-

tas durante este trabalho.

Aos professores do curso de Engenharia Civil da Universidade Federal de São Carlos que

direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste estudo, em especial o professor

Dr. Fernando Menezes de Almeida Filho pelas pertinentes contribuições.

A Universidade Federal de São Carlos, pelos cinco anos de aprendizado contínuo de quali-

dade.

RESUMO

Em concreto armado pode-se destacar três tipos de estruturas de varanda, cada uma

criando diferentes tipos de esforços e intensidades.

O primeiro caso é o de laje engastada na viga, neste trabalho considerada com um

rebaixo de 5cm em relação à viga, para o devido escoamento de água pluvial na superfície

da laje. O dimensionamento desta estrutura é estudado mais detalhadamente por criar es-

forços de torção de equilíbrio na viga, devendo ser considerado o seu efeito. Para isto, di-

mensionou-se a estrutura a todos os esforços, baseando-se em fórmulas de dimensiona-

mento em concreto armado e obedecendo-se a norma NBR 6118:2003. Para o dimensio-

namento da estrutura utilizou-se do software Microsoft Excel e para o cálculo dos esforços

utilizou-se o software Ftool.

Nesta estrutura, duas condições impostas por norma são determinantes no dimensi-

onamento: a verificação de deslocamento máximo da laje, e a verificação de tensão na biela

comprimida para esforço cortante e torçor combinados.

Deste modo, várias análises através de tabelas e gráficos são feitas sobre o dimen-

sionamento da viga à torção, bem como a verificação de deslocamento máximo da laje en-

gastada, o deslocamento máximo permitido pela NBR 6118:2003 onde são variadas as di-

mensões da laje e da viga. Também são levados em conta a área de aço de flexão necessá-

ria da laje e o domínio de deformação de cada caso.

O segundo caso é a estrutura com laje apenas apoiada na viga e engastada na laje

do interior da edificação. Este caso não gera torção na viga porque a laje da varanda e a laje

do interior da edificação estão no mesmo nível, ou seja, como não há rebaixo para escoa-

mento superficial de água pluvial, há continuidade das lajes, e como a dimensão da laje da

varanda é menor, considera-se que esteja engastada na laje do interior da edificação.

O terceiro caso analisado foi o de estruturas com vigas e pilar em torno da laje, de

modo que a laje da varanda esteja apoiada por quatro vigas laterais e engastada na laje da

sala que, do mesmo modo que o segundo caso, considera-se como um engaste para a laje

da varanda.

Também, é comparado o consumo de materiais – aço, concreto e formas – para as

vigas e lajes das três estruturas.

Palavras-chave: laje engastada; torção em vigas; consumo de materiais; varanda em con-creto armado

ABSTRACT

In reinforced concrete, there are three main balcony structure types, each one creat-

ing different sort of efforts and intensity.

The first sort of structure it’s a beam’s clamped slap, with a 5 centimeter decrease in

relation to the beam level needed for rainwater runoff.

The structure designing is minutely studied in this instance because it’s created tor-

sion effort on support beam – this effect is measured in this labor.

The structure has been designed taking in account all sort of solicitations, based on

designing formulas for reinforced concrete considering the Brazilian regulation NBR

6118:2003. Therefore, has been used the software Microsoft Excel for the structure design-

ing, and the software Ftool for intensity efforts obtainment.

For this sort of structure, there are two designing determinant imposed norm condi-

tions: the maximum slap displacement verification and the concrete compressed rod verifica-

tion for the simultaneous efforts of torsion and shear force.

Thus, a lot of analyzes by tables and graphics about beam’s torsion designing, as

well as maximum clamped slap displacement and the NBR 6118:2003 maximum displace-

ment norm allowed – slap’s and beam’s dimensions are fixed for each analysis. It’s also tak-

en into account the steel’s flexure needed area and the deformation domain, for each struc-

ture case studied.

The second sort of structure is the one beam’s supported slap and slap clamped in

the internal slap’s floor. There is no beam’s torsion because between balcony slap and inter-

nal slap are at same level, in other words, because of there is no slap’s decrease for rainwa-

ter runoff, there is continuity among both slaps, and due to the internal slap be higher, it’s

considered that the balcony slap is clamped in it.

The third sort of structure studied is composed by slap rounded by four beams and a

pillar too, such that balcony slap is clamped in internal slap (higher dimension).

Also, it’s compared the material consumption – steel, concrete and forms – of beams and

slaps for all three structures.

Keywords: clamped slap; torsion in beams; material consumption; rein-forced concrete bal-

cony

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 8

1.1 Justificativa ............................................................................................................... 9

1.2 Objetivos .................................................................................................................... 9

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ..................................................................................... .11

3. METODOLOGIA ....................................................................................................... ....22

3.1 Determinação da Seção Vazada Equivalente.......................................................25

3.2 Definição da Inclinação da Biela............................................................................26

3.3 Verificação da Biela Comprimida........................................................................26

3.4 Disposições Construtivas........................................................................................27

3.5 Armaduras Transversais, Estribos........................................................................27

3.6 Procedimento...........................................................................................................28

4. APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS .................................................................... 30

4.1Considerações iniciais... ................................ ................Error! Bookmark not defined.29

4.2 Estrutura 1................................................................................................................29

4.2.1 Dimensionamento à Flexão de Laje em Balanço.......... .. .....................................30

4.2.2Cálculo do Deslocamento da Laje.............. ...................................................................34

4.2.2.1 Cálculo do Deslocamento Imediato.......................................................................34

4.2.2.2 Cálculo do Deslocamento não-linear por fissuração......................................35

4.2.2.3 Cálculo do Deslocamento não-linear por fluência.........................................35

4.2.3 Dimensionamento da Viga de Apoio..................................................................36

4.2.3.1 Cálculo das ações e esforços na viga................................................................36

4.2.3.2 Dimensionamento da Viga à Flexão................................................................38

4.2.3.3 Dimensionamento da Viga à Torção....................................................................39

4.2.3.3.1 Determinação da Seção Vazada Equivalente...............................................39

4.2.3.3.2 Verificação da Inclinação da Biela Comprimida.........................................40

4.2.3.3.3 Verificação da Biela comprimida por momento torçor e foça cortante.....40

4.2.3.4 Cálculo da Área Transversal para momento torçor...........................................41

4.2.3.5 Dimensionamento da viga à força cortante.....................................................42

4.2.3.5.1 Verificação da Biela comprimida..................................................................42

4.2.3.5.2. Cálculo da resistência do concreto à força cortante....................................42

4.2.3.6 Detalhamento Transversal da Armadura da Viga...........................................42

4.2.3.6.1 Detalhamento da armadura longitudinal......................................................42

4.2.3.6.2 Detalhamento da armadura transversal........................................................44

4.2.3.6.3 Detalhamento Final.........................................................................................44

4.3 Estruturas 2 e 3......................................................................................................45

4.3.1 Considerações feitas com o AltoQi Eberick......................................................45

5. ANÁLISE DOS RESULTADOS...................................................................................46

5.1 Análise do Dimensionamento da Estrutura 1......................................................46

6. CONSUMO DE MATERIAIS......................................................................................66

7. CONCLUSÃO................................................................................................................68

8. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS...........................................................................69

9. APÊNDICE.....................................................................................................................70

8

1. INTRODUÇÃO

Entende-se por varanda um ambiente que estabelece a transição dos espaços inter-

no e externo de uma edificação. É projetado como uma área exposta ao ambiente externo,

na qual considera-se que haja circulação de pessoas.

Por serem consideradas áreas de lazer, as varandas são versáteis em sua utilização,

sendo geralmente usadas para entreter hóspedes, servindo como área de churrascaria, jar-

dins ou até mesmo, em casos específicos, como piscina e banho sol. Mais atualmente tem-

se destacado o uso como cozinha e/ou churrasqueira externa, também chamada de varanda

gourmet.

Claramente, essa gama de utilização influencia nas cargas a serem adotadas em

projeto da varanda, sendo necessário melhor definir o uso em projeto, garantindo o bom

desempenho estrutural e de utilização da varanda.

Em termos de normas a NBR 6120, que trata das cargas em edifícios, recomenda a

utilização de 2,0 kN/m² para carga acidental em varandas/terraços sem acesso ao público.

Já as normas internacionais, o Eurocode (EC) e o InternationalBuildingCode (IBC), reco-

mendam 4,0 kN/m² e 2,87kN/m², respectivamente. Nota-se assim que a carga acidental va-

ria de região para região, e é difícil padronizar a carga acidental em varandas, reforçando a

necessidade de definir melhor o uso para utilização de uma carga coerente, assim como

justificativa para a escolha de suas dimensões.

De acordo com o tipo de utilização, o projeto da varanda pode variar muito, seja em

termos de dimensões, podendo ir de cerca de 2m² até casos específicos de 30m², ou de

formas, que podem ser retangulares, curvas, trapezoidais.

Este trabalho estuda três tipos de estruturas de varanda, com atenção especial para

o caso principal, aqui dimensionado e analisado, que é o de laje em balanço. Essa estrutura

causa esforço de torção de equilíbrio na viga, o que é incomum em concreto armado, sendo

apenas visto em varandas com rebaixo da superfície da laje em relação à viga de engaste e

em marquises de edifícios comerciais, caso onde não há laje interna ao edifício para a laje

da varanda ser engastada, engastando-se portanto na viga.

9

1.1 JUSTIFICATIVA

Atualmente, as varandas têm ganho destaque em edifícios residenciais, e com isso

também tem-se aumentado a área desse ambiente. Assim, é relevante que haja uma maior

disseminação do estudo desse tipo particular de estruturas de varandas no curso.

É de conhecimento indispensável para todos engenheiros que projetem estruturas

em concreto armado, exatamente por fugir um pouco ao comum principalmente no que se

refere à disposição das armaduras da laje em balanço, com a particularidade do cálculo à

torção.

No contexto atual da construção civil, não basta fornecer uma solução técnica ape-

nas, mas uma solução econômica. Para isto, procurou-se neste trabalho não somente for-

necer uma solução técnica para cada tipo de estrutura de varanda, mas também a compa-

ração de consumos de materiais, o que fornecerá fortes indícios de custo. Assim, é evidente

a necessidade de racionalização de projetos no panorama atual – e é prática comum no

cotidiano de bons projetistas - seja através de experiência ou o cálculo exato.

Por outra via, a idéia de se obter uma solução estrutural com menor consumo de

material, além de diminuir a retirada dos recursos naturais finitos – na qual a construção civil

tem enorme impacto – também gera menores quantidades de resíduos, contribuindo com a

sustentabilidade.

Pessoalmente, o tema foi escolhido por ter grande interesse na área de projetos em

concreto armado, e por diferenciar-se de estruturas usuais, caracterizando um conhecimen-

to complementar na graduação.

Também contribui como material para o curso, levando-se em conta que procurou-se

detalhar o máximo o dimensionamento para compreensão.

Além do dimensionamento de estruturas de varandas e levantamento do consumo de

materiais, é também importante entender a viabilidade construtiva em relação aos desloca-

mentos obtidos e facilidade de projeto e execução.

1.2 OBJETIVOS

O trabalho tem como um objetivo a descrição do método de dimensionamento de

armadura em vigas de concreto armado para situações em que ocorra torção, especifica-

mente laje em balanço (varandas e maquises), levando em conta as recomendações da

Associação Brasileira de Normas Técnicas contidas na NBR 6118:2003. O método de cálcu-

lo foi aplicado em exemplos práticos.

10

Também é objetivo deste trabalho comparar obter o deslocamento máximo para a

laje em balanço dimensionada, e a realização de várias análises sobre o dimensionamento

da estrutura.

Compara-se essa estrutura com outras duas estruturas de varanda também usuais,

em função do consumo dos materiais utilizados, que são eles: formas, concreto e aço.

Fazer também algumas considerações sobre a facilidade de projeto, execução des-

sas três estruturas, de modo que o objetivo final é encontrar a melhor solução de projeto

através de todas essas considerações aqui estudadas.

11

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Com o decorrer da evolução tecnológico-industrial, vários autores estudaram o esfor-

ço de torção em elementos estruturais. Por ser um estudo de difícil análise, em termos de

engenharia dispensa-se a complexidade do cálculo exato. Para isso admitem-se algumas

hipóteses que facilitam o cálculo sem que fugir consideravelmente a caracterização do fe-

nômeno físico. As hipóteses básicas admitidas são:

- Admite-se o regime de pequenas deformações

- Admite-se que o material seja homogêneo e isótropo

É importante notar que a hipótese de Navier, considerada em flexão em concreto

armado, na qual as seções planas permanecem planas e perpendiculares ao eixo da viga,

vale apenas para as vigas com seção circular, pois nestas não há empenamento. Tal hipó-

tese não é válida para as seções transversais retangulares, usuais em concreto armado,

pois há empenamento da peça.

FIGURA 1 – Empenamento de viga retangular

Fonte: Sussekind (1985)

Embora os primeiros estudos de torção sejam atribuídos a Coulomb (1777), os estu-

dos de Saint-Venant que impulsionaram a solução do problema quando o único esforço na

peça é o de torção, ou seja, o caso de torção pura.

O estudo sobre torção de Saint-Venant também desconsidera restrição ao empena-

mento, o que é incomum em estruturas de concreto armado, pois as regiões de apoio de

12

viga em pilares ou mesmo em outras vigas tornam incomum o livre empenamento. Assim,

surgem tensões normais (de coação) no eixo da peça e há redução da tensão cisalhante.

Este efeito pode ser desconsiderado nas estruturas usuais de concreto armado, pois

a fissuração da peça reduz a força normal de coação, e o restante passa a ser resistido pe-

las armaduras mínimas. Assim, os princípios básicos de dimensionamento propostos para a

torção clássica de Saint-Venant continuam adequados, com uma certa aproximação, para

várias situações práticas (PINHEIRO, 2007).

Outros pesquisadores estudaram a torção até que fosse compreendida como é atu-

almente, mas foram Leonhardt-Monnig (1977) quem trouxeram a maior contribuição experi-

mental para o dimensionamento realizado para a torção em vigas de concreto armado.

Segundo eles, existem três estágios distintos onde as vigas de concreto armado submetidas

ao esforço e torção demonstram seu comportamento em função da magnitude da solicita-

ção, descritos abaixo:

Estágio 1: Nível de solicitação baixo

- Para um momento de torção de pequena magnitude a fissuração é praticamente

nula;

- A seção transversal é considerada de forma completa

- Os princípios empregados para análise de peças de materiais homogêneos, isótro-

pos e elástico-lineares são aplicados.

Estágio 2: Nível de solicitação médio

- Existe dificuldade em se determinar quando ocorre o início e o término deste está-

gio de solicitação;

- Mesmo com o aparecimento das primeiras fissuras, as teorias elásticas ainda po-

dem ser utilizadas.

Estágio 3:Nível de solicitação alto

- Há o desenvolvimento da fissuração ao longo da viga;

- Os modelos elásticos para a análise do mecanismo interno resistente não podem

ser aplicados, pois o comportamento torna-se inelástico;

- É necessária a elaboração de modelos mais sofisticados, baseados na Teoria da

Plasticidade.

Nota-se uma analogia desses estágios de torção aos estádios de flexão.

13

Deve-se ressaltar que quando uma viga é solicitada à torção, as fissuras ocorrem para des-

prezíveis valores de solicitação, dificultando o estabelecimento do início e término dos está-

gios citados acima.

Segundo os mesmos pesquisadores, as tensões longitudinais de empenamento vari-

am ao longo do comprimento da viga, sendo que os valores máximos se dão onde o empe-

namento é impedido, ou seja, nos vínculos e apoios intermediários (caso de viga apoiada

em outra viga), como mostrado na FIGURA 2:

FIGURA 2 – Distribuição das tensões de empenamento

Fonte: Leonhardt; Monnig (1977)

O valor e distribuição dessas tensões de empenamento são calculados de acordo

com a Teoria da Elasticidade. Em peças de concreto, as hipóteses são válidas somente

quando não há fissuração (Estádio I). Em peças que estejam fissuradas, perde-se grande

parte do momento de inércia à torção e as tensões devido ao empenamento decrescem,

ocorrendo adaptação plástica na região de apoio.

No entanto, não é necessário o cálculo à torção em todas estruturas em concreto

armado. O exemplo são os casos de elementos onde exista a torção de compatibilidade,

com aquela criada pelos esforços das lajes em vigas de bordo, pois há compatibilização de

deslocamentos da viga com a laje, não afetando o equilíbrio, mas para isso é necessário

que haja capacidade de adaptação plástica da viga, como já foi comentado acima.

Do mesmo modo, não é necessário o cálculo à torção em vigas que são apoios (no-

te-se apoios, não engastes) de duas lajes. A torção causada em uma laje é subtraída no

14

valor da torção causada na outra laje, de modo que este caso é menos crítico que o caso

anterior.

Uma observação é feita na NBR 6118:2003 sobre o assunto: “Quando a torção não

for necessária ao equilíbrio, caso da torção de compatibilidade, é possível desprezá-la, des-

de que o elemento estrutural tenha a adequada capacidade de adaptação plástica e que

todos os outros esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados.

Em regiões onde o comprimento do elemento sujeito à torção seja menor ou igual a

2h, para garantir um nível razoável de capacidade de adaptação plástica, deve-se respeitar

a armadura mínima de torção e limitar a força cortante, tal que Vsd ≤ 0,7 VRd2.”

No entanto, o cálculo à torção deve ser feito onde ocorra a torção de equilíbrio, ou

seja, casos onde a torção influencia no equilíbrio da estrutura, de modo que se não for feito

o dimensionamento da peça à torção, pode levar à ruptura. Se diferenciam da torção de

compatibilidade porque a laje não está apenas apoiada na viga, mas engastada. São casos

de torção de equilíbrio: marquises, varandas e vigas-balcão.

Para estes casos deve-se compreender o fluxo de tensões de torção na viga, para

entender o dimensionamento e detalhamento de armaduras.

As experiências de Leonhardt (1977) mostraram que as rupturas de um prisma circu-

lar torcido se produzem por fissuração helicoidal a 45°. Daí a idéia de se armar em aços

enrolados em hélice a 45°, perpendicular às eventuais fissurações.

FIGURA 3 – Caminho espiral em 45 graus das tensões na barra cilíndrica, devido à

torção simples

Fonte: Leonhardt (1977)

15

Em seções retangulares há uma mudança na propagação, mas ela não é considerá-

vel, de modo que o caminho percorrido pelas cargas, ou seja, o caminho das fissuras, tam-

bém segue o caminho de hélice.

Os valores máximos das tensões ocorrem nas superfícies da barra, evidenciando

que as armaduras, próximas à face externa estão coerentemente localizadas. Admite-se

assim que as armaduras absorvam, sozinhas, todo o esforço de cisalhamento criado pela

torção.

Considera-se, por facilidade de execução em elementos de concreto armado, que a

armadura helicoidal seja substituída por armadura longitudinal, distribuída no perímetro da

seção transversal; para os esforços na seção transversal, utiliza-se de armadura transversal

(estribos a 90 graus).

Por volta de 1860, um dos primeiros a estudar a torção, Saint-Venant já tinha verifi-

cado antes que o valor máximo da tensão ocorre na superfície da viga, e no caso de viga

retangular, o maior valor se dá na metade do comprimento do lado maior, cujo ponto externo

é o mais próximo do centro de gravidade, e a tensão nos vértices é nula, como representado

na figura abaixo:

FIGURA 4 – Variações das tensões cisalhantes devido à torção em seções retangulares

Fonte: Leonhardt; Monnig (1977)

16

A tensão máxima de cisalhamento obtida em peças de seções retangulares plenas é

dada pela fórmula abaixo:

(equação 1)

onde,

T = momento torçor solicitante

b = menor dimensão do retângulo

h = maior dimensão do retângulo

φ = função da relação

que vale, segundo Saint-Venant (apud Guerrin),

( )

(equação 2)

E segundo Bach,

(equação 3)

No entanto, os valores de φ obtidos por essa formulação são consideravelmente

maiores do que os aceitos hoje, que foram obtidos por métodos mais precisos. Atualmente,

para a seção retangular, os valores de φ são os apresentados na tabela 1, de acordo com o

valor de :

Tabela 1 – Valores de ρ para os valores de φ

ρ 1 1,5 2 3 4 6 8 10 ∞

ϕ 4,81 4,33 4,07 3,74 3,55 3,35 3,26 3,2 3

Fonte: Leonhardt (1977)

Logo após Saint-Venant, Bredt (1986) já tinha realizado estudos sobre torção em

tubos de paredes finas, através dos quais pode-se entender o fluxo de tensões, teoricamen-

te. A primeira fórmula de Bredt é dada por:

17

(equação 4)

τ = tensão tangencial na parede provocada pelo momento torçor;

T = momento torçor;

Ae = área delimitada pela linha média da parede da seção equivalente;

t = espessura da parede equivalente

A análise de vigas à torção está fundamentada na Analogia de Treliça Clássica, pro-

posta inicialmente por Ritter (1889) e Morsch (1992), utilizada para a análise do comporta-

mento de vigas de concreto armado submetidas à força cortante, e na Teoria de Bredt. A

ideia de se juntar a analogia de treliça clássica e a Teoria de Bredt deve-se à Rausch

(1929), que propôs o modelo de Analogia de Treliça Espacial.

Posteriormente, Thurlimann-Lampert (1971) criaram o modelo de Treliça Espacial

Generalizada, que é o mais aceito até hoje.

A ideia deste método é a caracterização da peça como uma treliça, onde as tensões

de compressão causadas pelo momento torçor são resistidas pelas bielas de concreto e as

tensões de tração são resistidas pelas armaduras.

As paredes da seção vazada fictícia de espessura he podem ser associadas ao mo-

delo de cálculo que considera a viga como uma treliça espacial.

Ensaios de LEONHARDT (1977) justificam que só as paredes delgadas externas da

seção transversal colaboram na resistência à torção. Para essa verificação, foram ensaiadas

seções transversais retangular vazadas e cheias, de mesmas dimensões e com armaduras

longitudinais e transversais (estribos) nas mesmas posições. Notou-se que os diagramas de

tensão-deformação das barras de aço são semelhantes nos dois casos. Depreendeu-se

então que seções cheias podem sim ser calculadas como seções vazadas (espessura fictí-

cia he).

Na FIGURA 5 são mostradas as forças internas atuantes na seção transversal de

uma peça submetida a momento torçor exclusivamente. As forças Rsl são as resultantes das

tensões na barra da armadura longitudinal e o eixo destas precisam estar contidas no plano

médio da seção vazada fictícia. As forças Rcw,tor são as resultantes nas diagonais comprimi-

18

das ou bielas de concreto, e com as inclinações indicadas e em toda a espessura da seção

vazada fictícia. As forças Rs90 são as resultantes das tensões nos estribos verticais.

FIGURA 5 - Torção simples: modelo de uma seção fissurada

Fonte: Leonhardt (1977)

FIGURA 6 – Treliça espacial generalizada (Lima et al., 2000)

19

Fonte: Lima et al. (2000)

Segundo Timoshenko (1975), essas faces são analisadas em separado, constituem

quatro painéis fissurados submetidos a um fluxo de tensões tangenciais.

Equacionando o problema, tem-se como resultado final que:

Área de armadura longitudinal:

(equação 5)

Área de armadura transversal (estribos a 90 graus):

(equação 6)

Momento torçor resistente da biela de concreto comprimida:

√

(equação 7)

onde,

Ae = área efetiva da seção;

u = perímetro efetivo da seção;

fywd = tensão de escoamento do aço;

θ = inclinação da biela;

s = espaçamento entre estribos;

O dimensionamento a se fazer neste projeto é de viga submetida a esforços de tor-

ção; a laje tem três extremidades livres e uma extremidade engastada em viga. Por conta da

ação do momento fletor atuante na laje, tende-se a girar a viga. Como as rigidezes dos pila-

res se contrapõem ao giro, são gerados esforços de torção na seção transversal da viga,

cujos valores máximos ocorrem nos apoios das vigas, os pilares.

A esquematização está representada na figura a seguir:

20

FIGURA 7 – laje maciça ligada a viga de extremidade

Fonte: Leonhardt (1977)

Deve-se notar que além do momento torçor criado pela laje na viga, há também os

momentos fletores, devido a carregamentos distribuídos e força cortante atuando na viga,

conjuntamente.

Deste modo, foge-se da hipótese inicial de torção simples, que tem sido considerada

nos estudos apresentados anteriormente. É criado então um estado de tensões mais com-

plexo para ser analisado, de modo que para o estudo são feitos nos resultados obtidos por

ensaios.

Assim, foram realizados ensaios experimentais de interação entre esforços em vigas,

que chegaram ao diagrama abaixo:

21

FIGURA 8 – Diagrama de interação de torção, cortante e flexão

Fonte: Pinheiro, da Guarda, Lima (2007)

Qualquer ponto interior à superfície da figura acima indica que a verificação da biela

foi atendida. Verifica-se que para um mesmo valor de

, o momento torçor resistente dimi-

nui com o aumento da relação

.

A prática vêm demonstrando que, de uma maneira geral, os princípios básicos de

dimensionamento de torção simples são adequados, com boa aproximação, para solicita-

ções compostas. Assim, o procedimento adotado para solicitações compostas é a de super-

posição dos resultados obtidos para cada um dos esforços, separadamente, de tal forma

que há o dimensionamento para torção, flexão e força cortante; por exemplo, a armadura

total é a soma das armaduras calculadas para cada uma das solicitações.

A superposição de resultados mostra-se a favor da segurança. Por exemplo, a arma-

dura de tração devido à torção que estiver na parte comprimida pela flexão poderia ser re-

duzida, pois há alívio da tração nessa região. Ou ainda, como em uma das faces laterais da

viga as diagonais solicitadas por torção e cisalhamento são opostas, há alívio de tensões,

poderia reduzir-se a área da seção do estribo.

No entanto, na biela comprimida de concreto deve-se fazer a verificação consideran-

do não as resultantes relativas à torção e cisalhamento, mas a interação entre elas. O dia-

grama de iteração diz que a equação é de segundo grau, e ela muda consideravelmente

quando relação

for maior que 50%~60%.

22

Para considerar a superposição de efeitos, deve-se utilizar a mesma inclinação de

biela de concreto tanto para a cortante e quanto para a torção.

Segundo Figueiredo Filho, o deslocamento máximo da laje engastada pode ser cal-

culado considerando-se a laje como viga e levando-se em conta o cálculo de fissuração e

fluência dados pela NBR 6118:2003.

Por superposição de efeitos, a flecha imediata será dada pela soma da flecha por

carregamento distribuído, por carregamento concentrado e , que é dado por:

Fimed =

+

(equação 8)

onde,

q = carga distribuída

P = carga concentrada

M = momento concentrado no extremo da viga, devido à força horizontal no parapeito

L = comprimento em balanço

E = módulo de elasticidade do concreto

I = inércia da seção

Deste modo, o cálculo do deslocamento da laje engastada difere das lajes usuais.

Também não foi encontrado material específico para o cálculo de deslocamento deste caso

específico de vinculação de laje.

3. METODOLOGIA

Serão estudados duas estruturas de varanda, como exemplificados nas figuras a

seguir. A estrutura 2 é vista comum caráter de comparação da estrutura 1 (laje em balanço),

a qual é dado o destaque no dimensionamento e estudo neste trabalho.

23

FIGURA 9 – Estrutura 1, laje em balanço engastada na viga; há torção de equilíbrio

Fonte: autor

FIGURA 10 – Estrutura 2, laje em balanço engastada na laje; não há torção de equilíbrio

Fonte: autor

FIGURA 11 – Estrutura 3, laje apoiada em vigas

Fonte: autor

24

Em todos os casos, as vigas foram pré-dimensionadas considerando-se ( )

com arredondamento superior. Como todas vigas são contínuas, foi utilizado o maior vão

para o pré-dimensionamento e então adotada esta altura para toda a viga.

A exceção a este pré-dimensionamento é a viga da estrutura 1, estudada a parte,

que também levou o dimensionamento à torção em consideração, o que requisitou maiores

dimensões. Assim, manteve-se b = 0,19m por disposição construtiva e alterou-se a altura

para 0,7m.

No caso das lajes, como também não há recomendação para a altura inicial adotada,

utilizou-se a recomendação da NBR 6118:1980, como também indicam Carvalho e Figueire-

do Filho em “Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado” Cap. 7, no

qual é considerado o caso de vinculação da laje e uma razão de dimensões.

É necessário deixar claro que o lançamento estrutural do pavimento utilizado é o

mesmo em todas as três estruturas de varanda; apenas varia-se a estrutura da varanda.

Por não ser de interesse deste trabalho levar em conta os pilares, o pavimento esco-

lhido já constava de pilares pré-dimensionados, e a comparação de consumo de materiais é

apenas em relação as vigas e lajes. Este procedimento justifica-se porque são esses dois

elementos que mais variam em relação ao consumo de materiais.

Todos os cálculos de dimensionamento da estrutura 1 foram feitos com o software

Microsoft Excel, e os resultados serão apresentados com utilização de tabelas e gráficos

também criados com a utilização do Microsoft Excel. Para o cálculo dos esforços de flexão e

força cortante utilizou-se o software Ftool.

A estrutura do segundo e terceiro casos foram dimensionados utilizando-se do pro-

grama computacional AltoQi Eberick, que requer os dados de entrada do pré-

dimensionamento de lajes e vigas, e fornece como saída os arranjos das barras de aço e

deslocamentos obtidos.

A metodologia proposta para os dois casos de estruturas de varanda é a seguinte:

- adoção da largura e comprimento da laje de varanda

- adoção dos revestimentos, alvenaria

- estudo da utilização da varanda para adoção da carga acidental

- pré-dimensionamento das dimensões de vigas e da altura da laje

- discretização das cargas nas vigas e laje (maciça) e obtenção dos esforços de cálculo

- cálculo das armaduras longitudinais e transversais para flexão e cortante.

25

- no caso 1, o cálculo da armadura de torção na viga será feito de acordo com o método de

cálculo II da NBR 6118:2003, que utiliza o modelo de Treliça Espacial Generalizada. Para

isso, são utilizadas as seguintes considerações (apud PINHEIRO, 2003):

3.1 DETERMINAÇÃO DA SEÇÃO VAZADA EQUIVALENTE

Segundo a NBR 611:2003, os critérios são os seguintes:

onde,

he = espessura da parede da seção equivalente

A = área da seção cheia

μ = perímetro da seção cheia

e C1 é dado pela equação abaixo:

(equação 9) onde,

ϕl = diâmetro da armadura longitudinal

ϕt = diâmetro da armadura transversal

c = cobrimento da armadura

FIGURA 12 – Seção vazada resistente à torção

Fonte: Giongo (2011)

26

No entanto, normas internacionais como o CEB-FIP Model Code 1990 (seção

6.3.5.2), a norma espanhola EHE e o Eurocode 2 2010 (seção 6.3), recomendam que a es-

pessura seja:

(equação 10)

mas não deve ser inferior a:

(equação 11)

Portanto, há uma diferença da norma brasileira na primeira equação.

3.2 DEFINIÇÃO DA INCLINAÇÃO DA BIELA COMPRIMIDA

Assim como no cisalhamento, a inclinação da biela deve estar compreendida entre

30° e 45°, sendo que o valor adotado deve ser o mesmo para as verificações dos dois esfor-

ços.

3.3 VERIFICAÇÃO DA BIELA COMPRIMIDA

Para se assegurar o não esmagamento da biela comprimida na torção pura, a NBR

6118 exige a verificação da seguinte condição:

Tsd ≤ TRd,2

(equação 12)

Sendo TRd,2 o momento torçor que pode ser resistido pela biela. Este torçor pode ser

obtido por:

TRd,2 = 0,5 αv fcd Ae he sen(2θ)

(equação 13)

3.3.1 VERIFICAÇÃO DA TENSÃO NA BIELA COMPRIMIDA PARA SOLICITAÇÕES COM-BINADAS:

A norma menciona que, no caso de torção e cisalhamento, deve ser obedecida a

seguinte verificação:

27

(equação 14)

3.4 DETERMINAÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL

Deve ser verificada a seguinte condição:

Tsd ≤ TRd,4

(equação 15)

Sendo TRd,4 o momento torçor que pode ser resistido pela armadura longitudinal, da-

do por:

TRd,4 = (

) 2Ae fywd tgθ

(equação 16)

onde,

u = perímetro da seção equivalente

fywd = tensão de escoamento do aço

Ae = área efetiva da seção

θ = ângulo de inclinação da biela

3.5 DETERMINAÇÃO DA ARMADURA TRANSVERSAL, ESTRIBOS

Deve ser verificada a seguinte condição:

Tsd ≤ TRd,3

(equação 17)

Sendo TRd,3 o momento torçor que pode ser resistido pela armadura longitudinal, dada por:

TRd,3 = (

) 2 Ae fywd cotgθ

(equação 18)

3.6 ARMADURA LONGITUDINAL E TRANSVERSAL PARA SOLICITAÇÕES COMBINADAS

No banzo tracionado pela flexão, somam-se as armaduras longitudinais de flexão e

de torção. A armadura transversal total também deve ser obtida pela soma das armaduras

de força cortante e de torção.

28

3.6.1 VERIFICAÇÃO DA TAXA DE ARMADURA MÍNIMA

A taxa de armadura mínima, como se sabe, vem da necessidade de se garantir a

ductilidade da peça e melhorar a distribuição das fissuras. Em relação à NBR 6118/78, sua

revisão está mais coerente, por reconhecer que há influência da resistência característica do

concreto (apud PINHEIRO). É dada por:

(equação 19)

sendo fctm a tensão média de tração, dada por:

fctm = 0,3 √

(equação 20)

Não há referência quanto à taxa de armadura mínima longitudinal.

3.7 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS

Apenas as barras longitudinais e os estribos que estiverem posicionados no interior

da parede da seção vazada equivalente deverão ser considerados efetivos para resistir aos

esforços gerados pela torção.

Especificamente para a torção, valem as recomendações apresentadas a seguir.

3.7.1 ARMADURAS LONGITUDINAIS

Para que efetivamente existam os tirantes supostos no modelo de treliça, é necessá-

rio se dispor uma barra de armadura longitudinal em cada canto da seção.

De acordo com a NBR 6118:2003, deve-se procurar atender em todo contorno da vi-

ga a relação:

(equação 21)

onde,

Δu = trecho do perímetro correspondente a cada barra de área Asl. Em outras palavras, a

armadura longitudinal de torção não deve estar concentrada nas faces superior e inferior da

viga, e sim, uniformemente distribuída em todo o perímetro da seção efetiva.

Apesar de não haver prescrição na norma, deve-se adotar ϕl ≥ 10mm para evitar ruína

dos cantos da seção transversal da viga, causado pelas tensões de torção. O espaçamento

29

de eixo a eixo de barra, tanto na direção vertical quanto na horizontal, deverá ser sl≤

350mm.

3.7.2 ARMADURAS TRANSVERSAIS, ESTRIBOS

Os estribos devem envolver as armaduras longitudinais e estar posicionados a 90°

com o eixo longitudinal da peça, devendo ser fechados e adequadamente ancorados por

ganchos em ângulo de 45° e espaçados no máximo a cada 10cm, para evitar ruína dos can-

tos da viga.

3.8 PROCEDIMENTO GERAL

Os passos seguintes da metodologia são, então:

- detalhamento das armaduras longitudinais e transversais

- levantamento do consumo de aço, possível com o cálculo e detalhamento das arma-

duras

- levantamento do consumo de concreto de vigas e lajes, obtido através das dimen-

sões de cada estrutura

- levantamento do consumo de formas para vigas e lajes, possível pela área de forma

necessária para cada estrutura

- encontrar os casos limites de dimensionamento da laje e da viga, variando-se o

comprimento de balanço e a altura da laje.

- análises estruturais através de tabelas e gráficos obtidos sobre o dimensionamento

da estrutura, em especial o esforço de torção na viga de apoio da laje em balanço.

- discussão dos resultados: comparação do consumo de materiais dos casos de estrutu-

ras 1, 2 e 3; deslocamentos obtidos em cada estrutura; dissertação sobre a facilidade de

execução de cada estrutura e também a concepção arquitetônica da área e fachada da va-

randa do edifício.

30

4. APRESENTAÇÃO DOS RESULTA-

DOS

4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Utilizou-se de parapeito da varanda em aço inox e vidro de 10mm, o que diminui con-

sideravelmente a força concentrada na extremidade da laje, em comparação a parapeitos

em alvenaria.

Para a impermeabilização do ambiente, utiliza-se da tecnologia de manta impermeá-

vel, devendo-se tomar cuidado com as extremidades na execução.

O escoamento superficial de água pluvial deve ser feito com inclinação do contrapiso

de 1% no sentido do lado mais interno da varanda para o lado mais externo. Devem haver

dispositivos de coleta da água na extremidade e eliminação para o exterior da edificação.

A eliminação de água superficial para o exterior se justifica porque a vazão de água

superficial que adentra o ambiente da varanda é muito pequena. Assim, a limpeza do ambi-

ente deve ser feita sem que haja eliminação de água para o exterior da edificação, devendo

constar no manual do usuário final esta observação.

Para o dimensionamento das estruturas a seguir, utilizou-se de aço CA-50, concreto

de fck = 30MPa, vão livre em balanço L = 1,48m, comprimento da varanda b = 5,5m, altura

da laje h = 0,12m classe de agressividade do ambiente II que dá um cobrimento para a laje

de 2,5cm e para a viga 3cm.

Para a viga de engaste da laje, utilizou-se dimensões bw = 0,19m e h = 0,7m, como será justificado mais a frente.

4.2 ESTRUTURA 1

A planta baixa com todas informações geométricas necessárias para o dimensiona-

mento da estrutura 1 de varanda está no APÊNDICE.

A ilustração tridimensional para se entender o pavimento calculado, está na FIGURA

13. Trata-se, portanto, de um pavimento térreo pois como já foi dito, não há interesse em se

estudar a influência dos pilares neste trabalho, sendo mantidos com mesmas dimensões

para as três estruturas.

31

Também não há interesse no estudo da influência do vento, pois sua influência é

mais considerável nos pilares e é pequena a influência em vigas e lajes, objetos deste estu-

do.

FIGURA 13 – Ilustração 3D do pavimento da estrutura 1

Fonte: autor (2012)

4.2.1 DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO DA LAJE EM BALANÇO

4.2.1.1 Cálculo das ações e esforços na laje

Inicialmente, para a obtenção dos esforços levantou-se as cargas atuantes na laje,

de acordo com os pesos específicos e espessuras de componentes respectivamente na

Tabela 2 e Tabela 3.

Tabela 2 – Pesos específicos e cargas consideradas dos materiais

ϒ concreto armado (kN/m³) 25

ϒ revestimento forro (kN/m³) 19

ϒ piso (kN/m³) 28

ϒ contrapiso (kN/m³) 21

ϒ alvenaria (kN/m³) 16

ϒ vidro e aço (kN/m²) 0,3

32

Carga acidental (kN/m²) 2

Manta impermeável (kN/m²) 0,06

Fonte: autor (2012)

Tabela 3 – Dimensões dos componentes

(m)

Altura da laje 0,12

Espessura do forro 0,015

Espessura do piso 0,005

Espessura do contrapiso 0,05

Largura da alvenaria 0,19

Altura média alvenaria 2,42

Altura porta alvenaria 1

Altura do pé-direito 3

Altura do parapeito 1,1

Fonte: autor (2012)

Considerou-se uma altura média de 2,42m da alvenaria, que é o caso da altura da

alvenaria para os vãos da viga de 0,7m. Considerou-se esta altura em todos os vãos, à ex-

ceção do vão da viga da varanda, que por ter uma porta de grande dimensão, foi considera-

da, por facilidade, como 1m no decorrer de toda viga.

Segundo o item 2.2.1.5 da NBR 6120:1980 “Ao longo de parapeitos e balcões devem

ser consideradas aplicadas uma carga horizontal de 0,8kN/m na altura do corrimão e uma

carga vertical mínima de 2,0kN/m”.

Está esquematizado a seguir:

33

FIGURA 14 – Cargas sobre o parapeito segundo a NBR 6120:1980

Fonte: autor (2012)

Assim, considera-se a laje engastada como uma viga, e os carregamentos para o

cálculo de flexão da laje serão de três tipos: força distribuída, força concentrada e momento

concentrado (devido à força horizontal de 0,8kN/m).

O vão útil para o cálculo dos esforços considerado, de acordo com a NBR 6118:2003

é dado por:

L’ = L + 0,3h = 1,55 + 0,3.0,12 = 1,586m

Os carregamentos são:

q (força distribuída): 36,58 kN/m

P (força concentrada na extremidade): 12,82 kN

M = (momento concentrado na extremidade): 5,10 kN.m

O momento máximo de flexão na laje é dado por:

Mmax =

= 71,43 kN.m

34

Verifica-se que o momento na laje engastada é um momento negativo, logo, a arma-

dura da laje deve ser apenas superior.

Checou-se o valor de Mmax com o obtido pelo programa Ftool:

FIGURA 15 – Cargas sobre a laje em balanço

Fonte: autor (2012)

FIGURA 16 – Momento negativo total na laje em balanço, em kN.m

Fonte: autor (2012)

FIGURA 17 – Força cortante na laje em balanço, em kN

Fonte: autor (2012)

35

Verificou-se com o Ftool valores semelhantes de M max, a diferença é apenas de

arredondamento de ações que o software faz.

4.2.1.2 Cálculo da armadura longitudinal de flexão da laje em balanço

Assim, utilizando de fórmulas de dimensionamento à flexão, encontra-se a armadura

de flexão necessária.

(equação 22)

onde,

Md = momento solicitante (majorado);

z = braço de alavanca = d – 0,8x

Fyd = resistência do aço

Com o auxílio do Microsoft Excel, para o momento máximo, chegou-se ao valor de

armadura longitudinal necessária para a laje:

As = 25,93cm²

Foram utilizadas barras de aço de diâmetro 10mm (Aϕ = 0,785cm²) e foi imposto que

o espaçamento entre as barras de flexão seja de 16cm (será explicado mais a frente). Che-

gou-se a quantidade de 35 barras, e uma área efetiva de aço:

As = 27,49cm²

Como este valor é maior que o As necessário, está dimensionado.

4.2.2 CÁLCULO DO DESLOCAMENTO DA LAJE

4.2.2.1 Cálculo do deslocamento imediato

Considerando-se o carregamento distribuído na laje, calculou-se o deslocamento

imediato pela fórmula de viga engastada em balanço:

Para o deslocamento imediato concentrado, calculou-se o deslocamento com a fór-

mula para força concentrada em viga balanço:

36

Quanto ao momento concentrado na extremidade da laje, calculou-se também pela

sua fórmula de deslocamento para viga em balanço, dado por:

O deslocamento imediato total é soma dos deslocamentos por força distribuída, força

concentrada e momento concentrado, logo:

a = 0,145 + 0,085+ 0,032 = 0,262cm

4.2.2.2 Cálculo do deslocamento não-linear por fissuração

Calculou-se a fissuração da laje de concreto através do procedimento recomendado

pela NBR 6118:2003.

Assim, utilizou-se a redução da inércia da laje (considerada como viga) fissurada pe-

lo Método de Branson que considera a variação de fissuras ao longo do comprimento.

Devido à verificação de flecha ser de Estado Limite de Serviço, a combinação utiliza-

da deve ser a quase-permanente, no qual considera-se a ação de apenas 40% da carga

acidental – para cada um dos carregamentos - força distribuída, força concentrada e mo-

mento concentrado.

As ações acidentais consideradas foram: força distribuída devido à carga acidental

na laje(

),carga concentrada vertical devido à força distribuída na extremi-

dade da laje (

) e momento concentrado devido à força horizontal na ex-

tremidade da laje (

). Assim, são essas as ações que, no cál-

culo do momento atuante Mat. Necessário ao cálculo da flecha, são multiplicados por 0,4

(utiliza-se combinação quase permanente para o cálculo da flecha)

Devido à inércia equivalente, que foi calculada com a inércia média de Branson pelo

procedimento da norma, ter sido maior do que a da seção bruta, deve-se considerar a inér-

cia da seção bruta para o cálculo da flecha, e portanto, a flecha da laje fissurada é a mesma

da seção imediata:

a = 0,262cm

É incomum que a laje não esteja fissurada. No entanto, o cálculo dizer que não há

efeito da fissuração na laje deve-se a dois fatores.

37

O primeiro é que o momento obtido pelas 3 cargas acidentais (explicada acima) são

cerca de 56% do momento total, e devido a ela ser multiplicada por 0,4 no cálculo do mo-

mento atuante, faz com que o momento atuante (Mat.) seja reduzido. A outra razão é que o

momento resistente (Mr) é bastante alto, este deve-se principalmente ao fck do concreto ser

de 30MPa (valor alto).

Assim, o valor da relação Mr /Mat. = 1,25 que é um valor distante dos valores usuais

para concreto armado (tanto em vigas quanto em lajes). Em estrutura usuais, frequentemen-

te essa relação é inferior a 1.

Para se ter idéia, mesmo mudando-se o fck de 30MPa para 20MPa, haveria ainda

pequena fissuração e pequeno incremento na flecha na laje devido à fissuração (0,03cm), o

que faz entender que o maior responsável pela não fissuração da laje é o Mat ser muito pe-

queno, devido às cargas acidentais serem grandes para o caso da varanda; é exatamente o

que difere das estruturas usuais; justifica-se assim a sua não fissuração.

No entanto, deve-se calcular o deslocamento por fluência.

4.2.2.3 Cálculo do deslocamento não-linear por fluência

Para o cálculo do deslocamento por fluência considerou-se que o escoramento seja

retirado no décimo quarto dia após o lançamento do concreto, e considerou-se a fluência

num tempo tendendo ao infinito.

Assim, o deslocamento final encontrado foi de:

Nota-se que a flecha encontrada de 0,645cm está um pouco acima do limite imposto

pela norma que é de 0,64cm, mas por ser verificação de Estado Limite de Serviço, conside-

rou-se que a flecha está adequada.

4.2.3 DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE APOIO

4.2.3.1 Cálculo das ações e esforços na viga

A viga que serve de engaste para a laje em balanço deve ser considerada como viga

contínua. O cálculo de viga contínua segundo a NBR 6118:2003 pode ser feito considerando

a solidariedade entre a viga e pilares da extremidade, e os apoios intermediários são sem-

pre apoios móveis. A norma fornece fórmula para considerar o momento negativo da extre-

38

midade da viga devido ao pilar extremo, mas devido ao cálculo ser majorado, ela permite

que seja utilizado o cálculo exato, de acordo com a rigidez do pilar.

Neste trabalho foi feito o cálculo exato do valor da rigidez da mola, através da fórmu-

la que serve para edifícios com pilares contínuo (inércia do pilar inferior à viga igual à inércia

do pilar superior).

Onde,

Kmola = rigidez da mola

Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto

Ip = inércia do pilar extremo solicitada pela flexão na viga

H = comprimento de flambagem do pilar

Usou-se este valor como valor de entrada no Ftool, que permite utilização de mola.

Para o cálculo da força distribuída em todos tramos da viga contínua, adotou-se, como já

mencionado, dimensões de 0,19m x 0,7m para a viga contínua submetida à torção, sendo

utilizado este valor para o cálculo do peso próprio da viga.

Quanto ao peso distribuído da alvenaria sobre a viga, calculou-se de acordo com as

Tabelas 2 e 3. Assim, nos vão onde há varanda – checar APÊNDICE - a alvenaria foi consi-

derada com 1m de altura, enquanto nos outros vãos da viga contínua, foi considerada com

2,42m.

Também calculou-se a força distribuída devido à influência das lajes internas a edifí-

cio na viga, de acordo com as Tabelas 2 e 3, para todos os tramos da viga. Para isto foi

necessário levantar as áreas de influência das lajes interiores ao edifício.

As dimensões lx e ly da laje, assim como a numeração delas podem ser vistas no

pavimento do APÊNDICE. O pré-dimensionamento da altura das lajes foi feito como já ex-

plicado na metodologia deste trabalho, e podem ser vistos a seguir:

Tabela 4: Pré-dimensionamento das lajes da Estrutura 1

φ = 0,8cm ; c = 2,5cm e h = d + c + φ/2

LAJE Caso vinculação dmin (cm) h min (cm) h adotada (cm)

39

8 4 8,39 11,29 12

4 4 8 10,9 11

7 7 10,15 13,05 13

13 7 9,08 11,98 12

16 4 4,09 6,99 8

6 7 11,22 14,12 14

12 8 11,22 14,12 14

1 Engastada - - 12

Fonte: autor (2012)

Finalmente, feitas essas considerações, colocou-se os carregamentos corresponden-

tes a cada tramo da viga no software Ftool, e chegou-se aos esforços da viga, como repre-

sentados abaixo:

FIGURA 18 – Carga total distribuída na viga de engaste da laje, em kN/m total positivo atu-

ante na viga de 21,1kN.m, o que gera, considerando as dimensões

FIGURA 19 – Momento total distribuído na viga de engaste da laje, em kN.m

Fonte: autor (2012)

40

FIGURA 20 – Força cortante na viga contínua, em kN

Fonte: autor (2012)

4.2.3.2 Dimensionamento da viga à flexão

Verifica-se na FIGURA 19 que os momentos para a viga que serve de engaste para

a varanda são três:

- momento negativo de 47,3kN.m

- momento positivo de 30,9 kN.m

- momento negativo de 61,4 kN.m

Assim, existem três seções para calcular armadura necessária para flexão.

Como há necessidade de existir ao menos 2 barras porta-estribos tanto de armadura

positiva quanto de armadura negativa, utilizou-se a barra indo de um extremo ao outro da

viga, e considera-se o momento positivo e negativo máximos para o dimensionamento, res-

pectivamente 61,4kN.m e 30,9kN.m.

No dimensionamento considerou-se para o momento negativo barras de diâmetro de

16mm (será justificado posteriormente) e, para o momento positivo barra de diâmetro

10mm.

Assim, a armadura necessária foi calculada de acordo com a equação 22, e obteve-

se as áreas necessárias de aço:

Aflex, neg = 3,12cm²

Aflex, pos = 1,54cm²

No entanto, esses valores devem respeitar a armadura mínima de:

As,mínimo = 0,15% Ac =

41

onde,

Ac = bh

Logo, as armaduras devem ser:

Aflex,, neg = 3,13cm²

Aflex, pos = 1,99cm²

Estas armaduras serão somadas com a parcela de área longitudinal para torção, pa-

ra então proceder o detalhamento.

4.2.3.3 Dimensionamento da viga à torção

4.2.3.3.1 Determinação da seção vazada equivalente

Para o cálculo do C1 utilizou-se a barra longitudinal de flexão de maior diâmetro, ou

seja 16mm.

Logo, não há interseção para achar a espessura média segundo a norma brasileira.

No entanto, sabe-se que as normas internacionais a segunda equação é apenas um chute,

e o sina é de igualdade, devendo ser respeitado acima de tudo a primeira equação.

Logo, pode-se adotar he = 9,6 cm. Mas ainda,

Então adota-se he = 9,5cm, o que significa, afinal, que toda a seção está resistindo à torção,

e não somente uma certa espessura mais externa da viga.

4.2.3.3.2 Definição da inclinação da biela comprimida

Tomou-se o Modelo II da NRB 6118:2003 a ser seguido. Ele permite que se escolha

a inclinação da biela comprimida de concreto, para qualquer valor compreendido no interva-

lo:

.

42

Considerou-se a biela com 45° de inclinação inicialmente. Nos resultados, será apre-

sentado uma comparação de consumo de aço da estrutura do caso 1, variando-se o ângulo

de inclinação da biela.

4.2.3.3.3 Verificação da biela comprimida por momento torçor e

força cortante

A verificação a ser feita é a seguinte:

Para ser feita esta verificação, é necessário ter os valores de:

αv =

he = 9,5

Ae =

d (seção da cortante máxima) = 0,652m = 65,2cm

De acordo com a equação 13:

TRd,2 =

( ) = 51,48kN.m

E, de acordo com a equação do dimensionamento à força cortante:

VRd,2 =

( )

Os valores da carga solicitante a torção e a carga solicitante a cortante, na face do

pilar são, respectivamente:

Tsd =

Vsd =

Assim, a equação 14 fica:

Portanto, verifica-se que a viela não rompe por ações combinadas.

4.2.3.4 Cálculo da armadura transversal por momento torçor

43

De acordo com a equação 18:

( ) (

)

De acordo com a equação 16:

( ) (

)

Então, para a área superior da viga (armadura negativa), deve-se dispor de:

Ator,neg = (bw – he). (

)= (0,19 – 0,095).8,497 = 0,81cm²

Para a área inferior da viga (armadura positiva), deve-se dispor de:

Ator, pos = (bw – he). 8,497 (

) = (0,19 – 0,095). 8,497 = 0,81cm²

4.2.3.5 Dimensionamento da viga à força cortante

4.2.3.5.1 Verificação da biela comprimida

VRd,2 = 630,73kN > Vsd = 87,05kN

Logo, a biela de concreto não rompe por compressão

4.2.3.5.2 Cálculo da resistência do concreto à força cortante

Vc = 0,6. Fctd. Bw. d

onde,

Vc = parcela de força resistida pelo concreto apenas

fctd = √ em kN/m²

Assim,

Vc = 0,6. 1448,23. 0,19. 0,652 = 107,64kN

Como este valor é maior que Vsd = 87,05kN, o concreto resiste sozinho à força cor-

tante. No entanto, é necessário colocar a armadura mínima:

onde,

44

√ em MPa

para CA-50

Logo,

(

)

4.2.3.6 Detalhamento transversal da armadura da viga

4.2.3.6.1 Detalhamento da armadura longitudinal

Para obter a área total de aço necessário para o dimensionamento final, é necessário

somar as áreas de armadura longitudinais positivas e negativas provenientes de torção e

flexão.

Assim, para as armaduras de flexão e torção na parte superior da viga, têm-se:

Aneg, TOTAL = Aflex, neg +Ator, neg = 3,12cm² + 0,81cm² = 3,93cm².

Utilizando-se de barras de bitola de 16mm (Aϕ = 2,01cm²), são necessárias 2 barras

N1.

Somando-se também as armaduras de flexão e torção na parte inferior da viga, tem-

se:

Apos, TOTAL = Aflex, pos +Ator, pos = 1,54cm² + 0,81cm² = 2,35cm².

Utilizando-se de barras de bitola 10mm (Aϕ = 0,79cm²) serão necessárias 3 barras

N2.

Para cada face lateral da viga, há necessidade de se distribuir a armadura de torção,

repectiva àquele comprimento da seção. Assim,

Ator,lateral = (h– he). (

)= (0,7 – 0,095).8,497 = 5,14cm²

Esta área é necessária em cada lateral da viga, e deve ser comparada com o valor

de armadura de pele necessária, já que a viga tem:

.

Encontrou-se o valor de:

As,pele = 1,33cm², para cada lateral da viga

45

Como este valor é menor que a área necessária à torção, considera-se que a arma-

dura de torção calculada acima cumpra a função da armadura de pele, dispensando-se a

sua consideração de área de armadura.

Utilizando-se então barras de bitola 16mm (Aϕ = 2,01cm²), serão necessárias 3 bar-

ras N3, para cada lateral.

Para as barras N1 e N2, por serem porta-estribos em todo comprimento da viga, con-

tínua e não apenas no trecho estudado, e devido ao trecho em varanda ter 11m (vão de 2

varandas), considerou-se o comprimento de traspasse nessa região. Ele foi calculado de

acordo com o item 9.5.2 da NBR 6118:2003 , que leva em conta o comprimento de ancora-

gem lb.

Assim, para N1 (situação de boa aderência das barras, e ϕ = 10mm) chegou-se a

um comprimento de traspasse de 34cm.

Para N2 (situação de má aderência das barras, e ϕ = 16mm), chegou-se ao compri-

mento de traspasse de 75cm.

Em ambos casos, as barras situam-se em regiões comprimidas.

Nota-se que as barras N3 (submetida a torção), não foi calculado comprimento de

traspasse, justamente por não haver torção no tramo da viga contínua além de 11m de va-

randa em balanço. Assim, como é necessário armadura de pele para o restante da viga con-

tínua, são essas barras de menores diâmetros que adentram o tramo de 11m, no compri-

mento de traspasse que deve ser calculado para elas.

4.2.3.6.2 Detalhamento da armadura transversal

Também soma-se aqui a armadura necessária à torção e à força cortante. No entan-

to, não é necessário armadura para força cortante, como verificado no item 4.2.3.5, o con-

creto resiste sozinho. Assume-se então que a armadura total transversal seja a necessária

para a torção:

Aestribo, TOTAL = 8,5 (

)

Utilizou-se então, estribo com bitola 10mm (Aϕ = 0,785cm²), sendo necessário 1 N4

c/ 8cm, o que dá uma área efetiva de 9,82cm².

Em seguida calculou-se o comprimento de estribo necessário, considerando-se os

três trechos curvos e dois ganchos retos, além dos comprimentos retos. Assim, o compri-

mento do estribo encontrado foi:

46

Lestribo = 165,71cm 166cm

4.2.3.6.3 – Detalhamento Final

As barra de flexão da laje são é detalhadas formando um laço na viga, para transfe-

rência de momentos e ancoragem, além de servirem de armadura negativa para a laje L4 e

L5. Note-se que para esta barra foi utilizado espaçamento de 16cm, e o espaçamento dos

estribo acima adotou-se 8cm. Assim, descontando-se metade do diâmetro das barras, o

espaçamento livre entre elas será sempre de 3cm.

Este valor respeita o espaçamento horizontal necessário entre barras utilizando-se

brita 2, que é exatamente 3cm. Portanto, não haverá problema de concretagem.

Assim, tem-se os detalhamentos da FIGURA 21 e 22:

FIGURA 21 – Detalhamento da seção transversal da viga

Fonte: autor (2012)

FIGURA 22 – Detalhamento da armadura de flexão da laje L1 (em balanço) e da armadura

negativa de L4 e L5fonte

47

Fonte: autor (2012)

4.3 ESTRUTURAS 2 E 3

Os lançamentos das estruturas 2 e 3 estão em APÊNDICE, assim como os dimensio-

namentos de todas vigas e lajes que fazem parte da área de varanda, obtidos pelo software

AltoQi Eberick.

4.3.1 CONSIDERAÇÃO FEITAS COM O ALTOQI EBERICK

Para as cargas acidentais, utilizou-se 1,5kN/m² para os ambientes cozinha e área de

serviço, e 2kN/m² para os demais ambientes, segundo recomendação da NBR:6120.

A alvenaria foi considerada sobre todas vigas, à exceção da varanda que há o para-

peito de vidro e aço. Para todos os vãos, a altura considerada é a altura média de alvenaria

da Tabela 3, que é de 2,42m. Apenas para a alvenaria que há na porta da varanda foi con-

siderada com 1m de altura. São, portanto, valores médios, considerando-se as esquadrias.

No caso da Estrutura 2 (ver APÊNDICE), a viga V16 se apóia sobre a viga V10 que é

mais curta e portanto mais rígida. Aqui há a observação de que não foi possível rodar o pro-

grama de modo que a viga V16 tivesse bw = 19cm. Mudou-se o valor para bw = 21cm e então

procedeu-se o dimensionamento.

Foi informado ao programa para que o dimensionamento fosse feito todo com barras

de 10mm, bitola mais comum, para as barras longitudinais.

48

5. ANÁLISE DOS RESULTADOS

5.1 ANÁLISE DO DIMENSIONAMENTO DA ESTRUTURA 1

Com apoio do Microsoft Excel, várias análises foram feitas no dimensionamento à

torção da Estrutura 1.

A primeira análise baseia no compreensão dos dois problemas do dimensionamento

de laje em balanço: a verificação da flecha na extremidade da laje, e o cálculo das solicita-

ções combinadas (equação 14) na viga ser maior do que 1, para a viga considerando-se

dimensões 19cm de largura e 70cm de altura.

Assim, para a obtenção da Tabela 5 e da FIGURA 23 que ilustra a tabela, variou-se

o vão em balanço L de 0,8m até 2,5m, a cada 0,05m. Respeitando-se o deslocamento má-

ximo limite

, para cada variação do L, encontrou-se uma altura de laje máxima, de modo

que a verificação do deslocamento esteja justamente atendida. Ou seja, respeitando-se a

49

verificação de deslocamentos indicada pela norma, dimensionou-se no limite dessa verifi-

cação, diferentes combinações da largura de balando e altura da viga.

Calculou-se o valor das solicitações cortante e torção combinadas, para cada com-

primento em balanço L. Nas tabelas seguintes, o nome dessa verificação está como “Tor-

ção”, pois é apenas em casos de torção que esta verificação deve ser feita, além de que a

torção é o principal representante dessa verificação (equação 14).

Também foi calculado a área de armadura e o domínio de deformação da seção da

laje, necessário para verificar se o dimensionamento da seção estará trabalhando dentro

dos domínio 2 ou 3 e não no domínio 4 (onde seria necessário armadura dupla; opção não

considerada), e para a Tabela 5 também calculou-se a taxa de armadura (ou taxa de aço,

em %), que pode ser calculada pela área de armadura divido pela área da seção transversal

bruta da peça. Assim, obteve-se:

Tabela 5 – Altura máxima da laje máxima respeitando deslocamento limite

L(cm) h (m) As (cm²) Flecha (cm) H/250 (cm) Torção Domínio Taxa de Aço (%)

80 7 19,80 0,320 0,320 0,361 3 0,514

85 7,3 19,86 0,340 0,340 0,386 2 0,495

90 7,6 20,01 0,360 0,360 0,412 2 0,479

95 7,9 20,22 0,380 0,380 0,440 2 0,465

100 8,21 20,46 0,399 0,400 0,470 2 0,453

105 8,51 20,78 0,420 0,420 0,501 2 0,444

110 8,82 21,11 0,440 0,440 0,533 2 0,435

115 9,13 21,48 0,460 0,460 0,568 2 0,428

120 9,45 21,86 0,479 0,480 0,604 2 0,421

125 9,76 22,30 0,500 0,500 0,642 2 0,415

130 10,08 22,74 0,520 0,520 0,682 2 0,410

135 10,4 23,21 0,540 0,540 0,724 2 0,406

140 10,72 23,70 0,560 0,560 0,768 2 0,402

145 11,05 24,20 0,580 0,580 0,814 2 0,398

150 11,38 24,72 0,599 0,600 0,862 2 0,395

155 11,71 25,26 0,619 0,620 0,912 2 0,392

160 12,04 25,83 0,640 0,640 0,964 2 0,390

165 12,38 26,39 0,659 0,660 1,018 2 0,388

170 12,71 27,00 0,680 0,680 1,075 2 0,386

175 13,05 27,60 0,700 0,700 1,134 2 0,385

180 13,39 28,23 0,720 0,720 1,196 2 0,383

50

185 13,74 28,85 0,740 0,740 1,260 2 0,382

190 14,09 29,49 0,760 0,760 1,327 2 0,381

195 14,44 30,15 0,780 0,780 1,396 2 0,380

200 14,79 30,83 0,800 0,800 1,468 2 0,379

205 15,15 31,51 0,820 0,820 1,543 2 0,378

210 15,51 32,20 0,839 0,840 1,621 2 0,377

215 15,87 32,91 0,860 0,860 1,701 2 0,377

220 16,23 33,64 0,880 0,880 1,784 2 0,377

225 16,63 34,32 0,900 0,900 1,872 2 0,375

230 17,07 34,93 0,920 0,920 1,965 2 0,372

235 17,51 35,58 0,941 0,940 2,062 2 0,369

240 17,96 36,22 0,961 0,960 2,162 2 0,367

245 18,42 36,87 0,979 0,980 2,267 2 0,364

250 18,88 37,55 0,999 1,000 2,375 2 0,362

Fonte: autor (2012)

Pode-se concluir através desta tabela que o deslocamento, aumentando-se ao mes-

mo tempo o comprimento em balanço e L e a altura da viga h, o deslocamento obtido varia

linearmente.

Verifica-se que a área de armadura As encontrada para todos casos dá espaçamen-

to razoável para uma barra comum de 10mm, no entanto, após 1,65m a viga ultrapassa o

limite imposto pela equação de ações combinadas (cortante e torção) da viga, sendo neces-

sário aumentar as dimensões da viga.

Graficamente, os resultados da Tabela 5 também foram representados na FIGURA

23, a seguir:

51

FIGURA 23 – Comprimento do balanço vs armadura longitudinal e altura da laje

Fonte: autor (2012)

Pode-se considerar que o deslocamento varia linearmente aumentando-se simulta-

neamente L e h.

Embora a área de aço cresça exponencialmente, a taxa de aço diminui exponencial-

mente. Ou seja, para situações de dimensionamento limites para o deslocamento, o aumen-

to da altura da viga (portanto, de área da seção transversal) para cada L incrementado é

maior que o ganho de área de aço, para cada situação.

A próxima análise feita baseou-se em fixar uma altura de laje (h), e variar-se apenas

a dimensão de balanço (L). Três valores de altura de laje (h) foram considerados, h = 12cm,

15cm e 9cm. Os resultados seguem, respectivamente, nas Tabelas 6, 7 e 8:

Tabela 6 – Dimensionamento variando-se L; h=12cm

L(cm) Flecha (cm) H/250 (cm) Torção As (cm²) Domínio

80 0,0681 0,3200 0,392 8,938 2

85 0,0819 0,3400 0,419 9,699 2

90 0,0978 0,3600 0,446 10,498 2

95 0,1158 0,3800 0,476 11,335 2

100 0,1362 0,4000 0,506 12,210 2

105 0,1592 0,4200 0,537 13,124 2

110 0,1849 0,4400 0,570 14,077 2

52

115 0,2136 0,4600 0,604 15,071 2 120 0,2455 0,4800 0,639 16,105 2

125 0,2808 0,5000 0,675 17,180 2

130 0,3198 0,5200 0,713 18,297 2 135 0,3628 0,5400 0,751 19,457 2

140 0,4099 0,5600 0,791 20,661 2 145 0,4614 0,5800 0,832 21,909 2

150 0,5177 0,6000 0,875 23,202 2

155 0,5789 0,6200 0,918 24,542 2

160 0,6454 0,6400 0,963 25,928 2

165 0,7175 0,6600 1,009 27,364 2

170 0,7955 0,6800 1,056 28,848 2 175 0,9335 0,7000 1,104 30,384 2

180 1,1677 0,7200 1,154 31,971 2 185 1,4452 0,7400 1,204 33,612 2

190 1,7696 0,7600 1,256 35,309 2

195 2,1436 0,7800 1,309 37,062 2

200 2,5689 0,8000 1,364 38,873 2

205 3,0463 0,8200 1,419 40,745 2

210 3,5747 0,8400 1,476 42,679 2

215 4,1524 0,8600 1,534 44,678 3

220 4,7760 0,8800 1,593 46,744 3

225 5,4414 0,9000 1,653 48,880 3

230 6,1439 0,9200 1,715 51,088 3

235 6,8783 0,9400 1,777 53,372 3

240 7,6393 0,9600 1,841 55,736 3

245 8,4217 0,9800 1,906 58,182 3

250 9,2208 1,0000 1,973 60,715 3

Fonte: autor (2012)

Representou-se a variação da área de armadura longitudinal e do deslocamento,

variando-se o comprimento em balanço (L), e obteve-se o gráfico da FIGURA 25:

53

FIGURA 25– Comportamento da flecha e de As com o aumento do balanço L

Fonte: autor (2012)

É facilmente verificado que o deslocamento varia muito mais exponencialmente do

que a área de armadura, enquanto esse é levemente exponencial para vãos em balanço de

até 2,5m, o que é bastante grande. A maior questão está no deslocamento, e não na área

de aço, portanto.

Para h = 15cm e h= 9cm, seguem-se as Tabelas 7 e 8:

Tabela 7 - Dimensionamento variando-se L; h=15cm

L(cm) Flecha (cm) H/250 (cm) Torção As (cm²) Domínio

80 0,0363 0,3200 0,412 7,071 2

85 0,0437 0,3400 0,441 7,679 2

54

90 0,0523 0,3600 0,471 8,318 2

95 0,0621 0,3800 0,503 8,986 2

100 0,0731 0,4000 0,536 9,684 2

105 0,0856 0,4200 0,570 10,412 2

110 0,0995 0,4400 0,606 11,170 2 115 0,1151 0,4600 0,643 11,960 2

120 0,1325 0,4800 0,681 12,780 2

125 0,1518 0,5000 0,721 13,631 2 130 0,1731 0,5200 0,762 14,515 2

135 0,1966 0,5400 0,804 15,430 2 140 0,2224 0,5600 0,848 16,377 2

145 0,2506 0,5800 0,893 17,357 2 150 0,2815 0,6000 0,939 18,370 2

155 0,3151 0,6200 0,987 19,416 2

160 0,3517 0,6400 1,036 20,496 2

165 0,3913 0,6600 1,086 21,610 2 170 0,4342 0,6800 1,138 22,759 2

175 0,4806 0,7000 1,191 23,943 2

180 0,5306 0,7200 1,245 25,163 2 185 0,5844 0,7400 1,301 26,418 2

190 0,6422 0,7600 1,358 27,711 2

195 0,7042 0,7800 1,416 29,040 2

200 0,7707 0,8000 1,476 30,408 2 205 0,8417 0,8200 1,537 31,814 2

210 0,9709 0,8400 1,599 33,259 2

215 1,1766 0,8600 1,663 34,744 2

220 1,4147 0,8800 1,728 36,270 2

225 1,6873 0,9000 1,795 37,837 2

230 1,9963 0,9200 1,862 39,446 2

235 2,3432 0,9400 1,931 41,098 2

240 2,7285 0,9600 2,002 42,795 2

245 3,1523 0,9800 2,073 44,536 2

250 3,6138 1,0000 2,147 46,323 2

Fonte: autor (2012)

Tabela 8 - Dimensionamento variando-se ; h=9cm

L(cm) Flecha (cm) H/250 (cm) Torção As (cm²) Domínio

80 0,1547 0,3200 0,373 12,909 2

55

85 0,1859 0,3400 0,397 14,016 2

90 0,2215 0,3600 0,423 15,181 2

95 0,2618 0,3800 0,449 16,407 2

100 0,3073 0,4000 0,477 17,695 2 105 0,3585 0,4200 0,506 19,048 2

110 0,4157 0,4400 0,535 20,467 2

115 0,4795 0,4600 0,566 21,956 2

120 0,5503 0,4800 0,598 23,516 2

125 0,6285 0,5000 0,631 25,151 2

130 0,7148 0,5200 0,665 26,864 2

135 0,8598 0,5400 0,700 28,658 3

140 1,1329 0,5600 0,736 30,539 3

145 1,4694 0,5800 0,774 32,509 3

150 1,8761 0,6000 0,812 34,576 3

155 2,3579 0,6200 0,851 36,743 3

160 2,9173 0,6400 0,892 39,019 3 165 3,5541 0,6600 0,933 41,410 3

170 4,2651 0,6800 0,976 43,925 3

175 5,0444 0,7000 1,019 46,575 3

180 5,8840 0,7200 1,064 49,371 3

185 6,7740 0,7400 1,110 52,329 3

190 7,7040 0,7600 1,156 55,465 3

195 8,6630 0,7800 1,204 58,800 3 200 9,6404 0,8000 1,253 62,360 3

205 10,6260 0,8200 1,303 66,180 3 210 11,6100 0,8400 1,354 70,302 4

215 12,5827 0,8600 1,406 74,785 4

220 13,5338 0,8800 1,460 79,714 4 225 14,4508 0,9000 1,514 85,211 4

230 15,3165 0,9200 1,569 91,476 4

Fonte: autor (2012)

Para as Tabelas 6, 7 e 8, fez-se os gráficos das FIGURAS 26, 27 e 28 respectiva-

mente, para análise do comportamento do dimensionamento para diferentes alturas de laje:

56

FIGURA 26 - Limites de dimensionamento para h = 12cm

Fonte: autor (2012)

FIGURA 27 - Limites de dimensionamento para h = 15cm

Fonte: autor (2012)

0

2

4

6

8

10

0 100 200 300

Flecha (cm)

H/250 (cm)

Torção

0

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250 300

Flecha (cm)

H/250 (cm)

Torção

57

FIGURA 28 - Limites de dimensionamento para h = 9cm

Fonte: autor (2012)

Verifica-se que para o caso dimensionado, h= 12cm e L = 1,6m, o dimensionamento

está próximo do limite da torção na viga e no limite aceitável por norma do deslocamento da

laje. Para L= 1,6m e h=15cm, a flecha fica com folga para atingir a flecha máxima, mas o

dimensionamento não passa à torção, pois aumentou-se o peso próprio da estrutura com o

aumento da altura. Para L = 1,6m e h = 9cm, ocorre o inverso, a viga passa na verificação à

torção, mas o deslocamento é muito alto, ultrapassando facilmente o limite.

Observar que para o caso da laje com h = 9cm, o deslocamento após L = 230cm é

tão alto que as equações de cálculo de armadura longitudinal para a laje dá erro, pois desde

L = 2,10m já se encontra no Domínio 4 (caso a evitar necessidade de armadura dupla).

Procurou-se agora fazer o inverso, fixar L = 1,6m (logo a flecha limite é constante), e

variar-se a altura da laje h.

De modo análogo, seguem-se as Tabelas 9, 10 e 11 e os gráficos representados pe-

las FIGURAS 29, 30 e 31:

Tabela 9– Dimensionamento variando-se h para L = 1,60m

h(cm) Flecha (cm) H/250 (cm) Torção As (cm²) Domínio

9 2,917 0,640 0,892 39,02 3

9,5 2,115 0,640 0,903 35,62 3

10 1,533 0,640 0,915 32,92 2

10,5 1,115 0,640 0,927 30,71 2

11 0,820 0,640 0,939 28,86 2

0123456789

101112131415

0 50 100 150 200 250

Flecha (cm)

H/250 (cm)

Torção

58

11,5 0,725 0,640 0,951 27,29 2

12 0,645 0,640 0,963 25,93 2

12,5 0,577 0,640 0,975 24,74 2

13 0,519 0,640 0,987 23,69 2

13,5 0,468 0,640 0,999 22,76 2

14 0,424 0,640 1,011 21,93 2

14,5 0,385 0,640 1,023 21,18 2

15 0,352 0,640 1,036 20,50 2

15,5 0,322 0,640 1,048 19,88 2

16 0,296 0,640 1,060 19,31 2

16,5 0,272 0,640 1,073 18,79 2

17 0,251 0,640 1,085 18,31 2

17,5 0,233 0,640 1,098 17,87 2

18 0,216 0,640 1,110 17,46 2

18,5 0,201 0,640 1,123 17,08 2

19 0,187 0,640 1,135 16,72 2

19,5 0,175 0,640 1,148 16,39 2

20 0,163 0,640 1,160 16,08 2

Fonte: autor (2012)

Tabela 10– Dimensionamento variando-se h para L = 2,00m

h(cm) Flecha (cm) H/250 (cm) Torção As (cm²) Domínio

9 9,640 0,800 1,253 62,36 3

9,5 7,910 0,800 1,272 55,59 3

10 6,409 0,800 1,290 50,64 3

10,5 5,144 0,800 1,308 46,78 3

11 4,099 0,800 1,327 43,66 3

11,5 3,250 0,800 1,345 41,07 3

12 2,569 0,800 1,364 38,87 2

12,5 2,029 0,800 1,382 36,98 2

13 1,604 0,800 1,401 35,34 2

13,5 1,270 0,800 1,420 33,89 2

14 1,009 0,800 1,438 32,60 2

14,5 0,844 0,800 1,457 31,45 2

15 0,771 0,800 1,476 30,41 2

15,5 0,706 0,800 1,495 29,47 2

59

16 0,649 0,800 1,514 28,61 2

16,5 0,598 0,800 1,533 27,83 2

17 0,553 0,800 1,552 27,11 2

17,5 0,512 0,800 1,571 26,45 2

18 0,476 0,800 1,590 25,84 2

18,5 0,443 0,800 1,609 25,27 2

19 0,413 0,800 1,629 24,74 2

19,5 0,386 0,800 1,648 24,25 2

20 0,361 0,800 1,667 23,79 2

Fonte: autor (2012)

Tabela 11– Dimensionamento variando-se h para L = 1,30m

h(cm) Flecha (cm) H/250 (cm) Torção As (cm²) Domínio

9 0,715 0,520 0,665 26,86 2

9,5 0,614 0,520 0,673 24,73 2

10 0,532 0,520 0,681 22,99 2

10,5 0,464 0,520 0,689 21,53 2

11 0,407 0,520 0,697 20,29 2

11,5 0,360 0,520 0,705 19,23 2

12 0,320 0,520 0,713 18,30 2

12,5 0,286 0,520 0,721 17,48 2

13 0,256 0,520 0,729 16,75 2

13,5 0,231 0,520 0,737 16,10 2

14 0,209 0,520 0,745 15,52 2

14,5 0,190 0,520 0,753 14,99 2 15 0,173 0,520 0,762 14,51 2

15,5 0,158 0,520 0,770 14,08 2 16 0,145 0,520 0,778 13,68 2

16,5 0,134 0,520 0,786 13,31 2

17 0,123 0,520 0,795 12,97 2

17,5 0,114 0,520 0,803 12,65 2 18 0,106 0,520 0,812 12,36 2

18,5 0,098 0,520 0,820 12,09 2 19 0,091 0,520 0,829 11,84 2

19,5 0,085 0,520 0,837 11,60 2

20 0,080 0,520 0,846 11,38 2

Fonte: autor (2012)

60

FIGURA 29 - Limites de dimensionamento para L = 1,60m

Fonte: autor (2012)

FIGURA 30 - Limites de dimensionamento para L = 2,00mF

Fonte: autor (2012)

61

FIGURA 31 - Limites de dimensionamento para L = 1,30m

Fonte: autor (2012)

É interessante comparar que a torção varia com aumento da altura da laje (h) de

modo tão levemente exponencial que pode-se considerar linear, em todos os três casos. Ao

contrário do que pôde ser visto nas FIGURAS 26, 27e 28, onde o aumento do balanço (L)

fazia a torção aumentar visivelmente de modo exponencial.

Por fim, analisou-se a torção também para três casos, bw= 19cm, 21cm e 23cm, que

são dimensões que podem ser utilizadas em estruturas mais usuais de concreto armado.

Manteve-se fixados L=1,60m, h= 12cm, e variou-se a altura da viga para cada um dos três

casos, observou-se como a verificação à torção da equação 14 varia.

Seguem-se as Tabelas 12, 13 e 14 e os respectivos gráficos representados pelas

FIGURAS 30, 31 e 32:

62

Tabela 12 – Altura da viga vs verificação da torção; bw = 19cm

h VIGA (m) Torção

0,3 2,791

0,35 2,255

0,4 1,892

0,45 1,630

0,5 1,431 0,55 1,276

0,6 1,151 0,65 1,049

0,7 0,963

0,75 0,932 0,8 0,828

0,85 0,773 0,9 0,726

0,95 0,683

1 0,646

Fonte: autor

Tabela 13 – Altura da viga vs verificação da torção; bw = 21cm

h VIGA (m) Torção

0,3 2,312

0,35 1,869

0,4 1,568

0,45 1,351

0,5 1,187

0,55 1,058

0,6 0,955

0,65 0,870

0,7 0,799

0,75 0,738

0,8 0,687

0,85 0,642

0,9 0,602

0,95 0,567

1 0,536

Fonte: autor (2012)

63

Tabela 14 – Altura da viga vs verificação da torção; bw = 23cm

h VIGA (m) Torção

0,3 1,971

0,35 1,593

0,4 1,337

0,45 1,153

0,5 1,013

0,55 0,903

0,6 0,815

0,65 0,742

0,7 0,682

0,75 0,630

0,8 0,586

0,85 0,548

0,9 0,514

0,95 0,484

1 0,458

Fonte: autor (2012)

FIGURA 30 – Altura da viga vs verificação à torção; bw = 19cm

Fonte: autor (2012)

64

FIGURA 31 – Altura da viga vs verificação à torção; bw = 21cm

Fonte: autor (2012)

FIGURA 32 – Altura da viga vs verificação à torção; bw = 23cm

Fontes: autor (2012)

65

Assim pode-se ter idéia do dimensionamento da seção da viga, para uma situação

de cargas usuais. Para bw = 19cm pode-se usar uma viga de h = 70cm e a torção estará

atendida; para bw = 21cm, pode-se usar h = 60cm, e para bw = 23cm, pode-se considerar

que com h = 50cm a torção esteja atendida.

Nota-se também que de acordo com o aumento do bw, para uma mesma altura de

viga, as tabelas refletem uma diminuição exponencial na influência do aumento da altura da

viga em relação à verificação à torção, o que demonstra que o ganho na verificação à torção

de bw = 19cm para bw = 21cm é muito maior do que o ganho de bw = 21cm para bw = 23cm.

A próxima análise é feita em relação ao consumo de aço, variando-se o ângulo de

inclinação da biela de compressão da torção.

Sabe-se que, para a torção, a área necessária de barras longitudinais aumenta, en-

quanto a área necessária de aço transversal (estribos) diminui, com a diminuição do ângulo

de inclinação da biela (que neste dimensionamento foi considerada no valor máximo de

).

Com o dimensionamento à torção, obteve-se as áreas (longitudinais e transversais)

necessárias, para cada variando-se θ a cada 2 , e então levantou-se o con-

sumo de materiais finais, para cada inclinação. Para cada inclinação, também foi verificada

a equação 14, última coluna da tabela a seguir:

Tabela 15 – Consumo de aço variando-se o ângulo de inclinação da biela da torção

θ A trans. (cm²/m)

A long. (cm²)

Consumo trans. (kg)

Consumo long. (kg)

Consumo total (kg)

Torção

31 3,20 11,10 48,51 108,68 157,19 0,89

33 3,46 10,27 52,83 96,10 148,92 0,863

35 3,73 9,52 55,29 86,94 142,24 0,839

37 4,01 8,85 61,01 82,37 143,37 0,820

39 4,31 8,24 64,34 82,37 146,71 0,806

41 4,63 7,67 68,06 68,64 136,70 0,796

43 4,97 7,15 77,00 65,21 142,21 0,790

45 5,33 6,67 82,42 65,21 147,63 0,789

Fonte: autor (2012)

Com esses dados, obteve-se o gráfico abaixo:

66

FIGURA 33 – Consumo de aço vs ângulo de inclinação da biela

Fonte: autor (2012)

Em seguida, calculou-se o consumo total de aço para cada inclinação da biela, para

comparar economia de aço. Obteve-se o gráfico da FIGURA 34:

FIGURA 34 – Consumo de aço total vs ângulo de inclinação da biela

Fonte: autor (2012)

67

Nota-se então, que pode haver economia de aço considerável, com a redução da

biela. Para isto, no entanto, é necessário avaliar ângulo a ângulo da inclinação da biela por-

que, como trata-se de dimensionamento, não se sabe onde será mudado o diâmetro das

barras longitudinais (as transversais pode-se mudar apenas o espaçamento). A variação do

gráfico se deve a isso.

A última análise será sobre as cargas acidentais recomendadas pelas diferentes

normas comentadas na Introdução deste trabalho. Analisou-se o deslocamento obtido para

diferentes valores de cargas acidentais e calculou-se também o valor da equação 14 (“tor-

ção”) para cada caso. Pode-se ver os resultados no gráfico da FIGURA 35:

FIGURA 35 – Deslocamento vs cargas acidentais normativas

Fonte: autor (2012)

Observe-se que a curva de deslocamento sempre aumenta com o aumento da carga

acidental, mas aumenta cada vez com menor intensidade. Isso se deve ao fato de que o

cálculo do deslocamento – verificação de Estado Limite de Serviço (E.L.S.) - considerar a

combinação quase permanente, que reduz a 40% a carga acidental, ou seja, em função dis-

so a curva é “abaulada”.

68

6. CONSUMO DE MATERIAIS

A consideração aqui é de que a estrutura de varanda que se considerou para levan-

tar o consumo de materiais, é o tramo de 11m da viga contínua, referente às duas varandas,

somado ao ambiente todo das lajes e/ou vigas – dependendo da estrutura - das duas varan-

das. Assim, qualquer barra que ultrapasse esse limites (a laje do ambiente interno à edifica-

ção, a continuação da viga além dos 11m, por exemplo), não está considerada nesta com-

paração.

Para o levantamento do consumo de aço, foi considerada os valores de peso por

metro da seguinte tabela:

Tabela 15 – Peso por metro das barras utilizadas

Fios φ (mm) Barras φ (mm) Peso (kgf/m) Área (cm²)

3,2 - 0,063 0,08

4,0 - 0,1 0,125

5,5 5,5 0,186 0,24

6,3 6,3 (1/4") 0,248 0,315

8,0 8,0 (5/16") 0,393 0,5

10,0 10,0 (3/8") 0,624 0,8

- 12,5 (1/2") 0,988 1,25

- 16 (5/8") 1,57 2

- 20 (3/4") 2,48 3,15

- 22,5 (7/8") 3,12 4

- 25 (1") 3,93 5

- 32 (1,25") 6,24 8

Fonte: Chust, RC; Figueiredo Filho, J R.

Para o levantamento do consumo de concreto, considerou-se exatamente o volume

das seções brutas de concreto, para os elementos de vigas, lajes e pilares (no caso da es-

trutura 3, o pilar de apoio da viga está incluído no consumo).

Por fim, o levantamento do consumo de formas foi feito considerando a área de con-

tato com das formas em cada um dos elementos.

Com as dimensões dos elementos e as áreas de armaduras e comprimentos corres-

pondente a cada elemento, obtidas através do dimensionamento da Estrutura 1 feito no

69

Microsoft Excel e explicado anteriormente, e das Estruturas 2 e 3 dimensionadas no AltoQi

Eberick, chegou-se a:

FIGURA 36 – Consumo de aço da estrutura 1, 2 e 3

Fonte: autor (2012)

FIGURA 37 - Consumo de concreto das estruturas 1, 2 e 3

FIGURA 38 – Consumo de formas das estruturas 1, 2 e 3

438,34

249,78

213,08

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Estrutura 1 Estrutura 2 Estrutura 3

Consumo de Aço (kg)

3,44 3,13

4,25

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

Estrutura 1 Estrutura 2 Estrutura 3

Consumo de Concreto (m³)

70

Fonte: autor (2012)

Finalmente, verifica-se que a estrutura que consome mais aço é a estrutura 1, en-

quanto a que consome menos aço é a estrutura 3.

A estrutura que consome mais concreto é a estrutura 3, e a que consome menos é a

estrutura 3.

A estrutura que consome mais formas é a estrutura 3, enquanto que a estrutura 2

consome menor quantidade de formas.

35,31 32,01

51,87

0

10

20

30

40

50

60

Estrutura 1 Estrutura 2 Estrutura 3

Consumo de Formas (m²)

71

7. Conclusão

Para estrutura de laje em balanço criando torção na viga, sempre é possível encon-

trar o dimensionamento mais eficiente, levando-se em conta os limites de deslocamentos e

a verificação de ações combinadas (torção e cortante), ambas impostas pela NBR

6118:2003. A situação que chegue próximo ao limite tanto do deslocamento quanto da veri-

ficação à torção (equação 14) é o dimensionamento mais eficiente, ou seja, dada a neces-

sidade de um balanço de laje de comprimento L, encontra-se altura de laje e dimensiona-se

a viga (dentro das possibilidades dimensionais de cada projeto) com valores próximos de

ambas verificações, ou seja, no limite técnico da estrutura. Pode-se dizer que este dimensi-

onamento é o que mais aproveita as dimensões da viga de apoio e da laje em balanço, e

ainda, que esta solução é que mais aproveita os materiais, aço, concreto e formas, para um

L estabelecido. Além disso, ela está próxima de ser a mais econômica, também.

Foi verificado também que para um carregamento e dimensões de viga e laje usuais,

considerando-se todas ações por norma e parapeito de vidro a 1,1m, o comprimento do ba-

lanço fica em torno de 1,6m, se dimensionado atendendo às verificações.

Verifica-se também que a limitação de flecha imposta pela norma em

se dá logo

no início do trecho em que a curva da flecha inicia o trecho exponencial, como pode ser vis-

to nas FIGURAS 26, 27 e 28. A recomendação da norma justifica-se para o tipo de estrutura

de laje em balanço, portanto, visto que deve ser evitado o trecho que os ganhos de deslo-

camentos são altos, comparados a ganhos da altura da laje ou do comprimento em balanço.

Quanto à liberdade dada ao projetista em escolher a inclinação da biela, no Modelo

II de cálculo da torção da NBR 6118:2003, o estudo deve ser feito após já estarem dimensi-

onadas as seções dos elementos, para se reduzir o consumo de aço. Para isso, deve ser

feito um estudo levando em conta não uma inclinação determinada apenas, mas ver o di-

mensionamento final que será dado pelas barras em cada inclinação diferente de biela.

Como pode ser visto em na FIGURA 34, o consumo varia de acordo com as barras

escolhidas e a quantidade de área de armadura longitudinal necessária para cada caso de

inclinação da biela. Por exemplo, com a diminuição da inclinação da biela, pode existir dimi-

nuição no espaçamento dos estribos (maior consumo de aço), sem que haja necessaria-

72

mente redução real (em quantidade ou bitola) das barras longitudinais, aumentando o con-

sumo total, ao invés de diminui-lo. Para o caso estudado, a inclinação de biela que reduziria

o consumo de aço de torção ao máximo é de 41°.

Como pode ser visto nas Tabelas 12, 13 e 14, para h = 0,7m, a verificação à torção

(equação 14) para o caso estudado, considerando a viga com bw = 21cm é aproximadamen-

te 17% maior do que a viga com bw = 19cm, e apenas aproximadamente 8% menor que a

viga com seção bw = 23cm. Ou seja, pode ser mais interessante aumentar a largura da viga

para 21cm do que para 23cm, em termos de ganho no dimensionamento.

Além disso, nota-se que devido a resistência à torção variar de acordo com a área de

seção, o bw influencia bastante e é mais fácil – embora nem sempre seja a melhor opção –

aumentar o bw do que a altura da viga h.

Uma crítica que pode ser feita a este trabalho é que o método de levantamento de

consumo de materiais da varanda não ser perfeito. Deveria-se lançar as três estruturas e

levantar o consumo de materiais do pavimento inteiro e também dos pilares. Em contraparti-

da, é possível ter uma boa noção de consumo de materiais em caso de estrutura, e da exe-

cutabilidade, ações a se considerar e facilidade de projeto.

Assim, em termos de consumo de materiais, pode-se dizer que a estrutura 1, por

consumir cerca de 105% mais aço que a estrutura 3, embora seu consumo de formas seja

cerca de 47% menor, é a pior escolha estrutural. Somado a isso, a dificuldade de projeto

dado pelo cálculo à torção que é necessário, e a dificuldade de execução devido a quanti-

dade de dobras da armadura de flexão detalhada na FIGURA 22 e quantidade estribos, que

diminui a facilidade de execução dessa estrutura – mesmo comparando-se a estrutura 3 na

qual há mais vigas e um pilar a mais.

Assim, o uso da estrutura 1 justifica-se melhor seu uso em marquises, onde não é

possível utilizar a estrutura 2 por não existir laje do ambiente interno para engastar, além de

não houver repetição de pavimentos, como é o caso das varandas em edifícios.

Comparando-se agora o consumo de materiais da estrutura 2, ela tem 17% mais

aço, 35% menos concreto e 62% menos formas do que a estrutura 3. Em questão de cus-

tos, é evidente que a estrutura 2 é mais viável que a estrutura 3. Levando-se em conta a

facilidade de execução, também é favorável à estrutura 2, pois é menor a quantidade de

elementos a serem concretados e distribuídas armaduras do que a estrutura 3.

No entanto, embora melhor que a estrutura 3, na estrutura 2 há necessidade de se

lidar com o escoamento de água com alguma solução técnica no apoio da porta da varanda

que impeça da água infiltrar para dentro do ambiente interior, problema o qual não existia na

estrutura 1.

73

Assim, no geral para escolha da estrutura, da melhor para a pior tem-se a Estrutura

2, seguida da Estrutura 3 e Estrutura 1 por último.

Essas orientações de consumo de materiais e técnicas construtivas na comparação

das três estruturas, são válidas para vãos de viga de apoio por volta de 5,5m e comprimento

em balanço 1,6m, que foram as dimensões estudadas. Para varandas com dimensões maio-

res (>>10m²), aconselha-se utilizar estruturas com vigas e pilares, arranjados de modo efici-

ente, pois assim a estrutura terá mais rigidez, com um consumo razoável de materiais.

Em relação ao dimensionamento feito pelo software utilizado AltoQi Eberick, podem

ser feitas algumas observações para a estrutura calculada. Para laje em balanço da estrutu-

ra 2, o software calculou armadura no eixo x, onde não há reação pois é a direção perpendi-

cular à viga de apoio. Essa armadura, embora possa se considerar que reduza retração e

efeitos de temperatura na laje, é dispensável. A segunda observação é sobre a armadura

negativa que vem da laje da varanda para a laje do ambiente interior; o comprimento do tre-

cho dentro da laje do ambiente interior está muito grande, maior que a recomendação de

25% da dimensão do vão, o que também indica que haja um excesso de armadura. No en-

tanto, por ser da laje do interior da edificação, não foi considerada no cálculo do consumo de

aço.

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8. Referências Bibliográficas

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bro de 2012.

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9. Apêndice