UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE COORDENAÇÃO DO CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM

ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO

ISLÂNIA D’ARC DA SILVA

EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM SITUAÇÕES CONCRETAS QUE REQUEREM SOLUÇÕES INTEIRAS POSITIVAS

CAICÓ 2016

ISLÂNIA D’ARC DA SILVA

EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM SITUAÇÕES CONCRETAS QUE REQUEREM SOLUÇÕES INTEIRAS POSITIVAS

Monografia apresentada ao curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito para obtenção do grau de ESPECIALISTA. Orientador: Prof. Ms. Benedito Tadeu Vasconcelos Freire.

CAICÓ 2016

ISLÂNIA D’ARC DA SILVA

EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM SITUAÇÕES CONCRETAS QUE REQUEREM SOLUÇÕES INTEIRAS POSITIVAS

Trabalho de conclusão de curso apresentado à Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como exigência parcial para a obtenção do grau de Especialista em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.

BANCA EXAMINADORA

Professor Ms. Benedito Tadeu Vasconcelos Freire

Professor Ms. Daniel Ecco

Professor Ms. Odilon Júlio dos Santos

Aprovada em _____ de ________________________ de 2016.

Dedico este trabalho a minha família, pois

ela é meu alicerce e a minha fonte de fé,

que me concede forças nessa longa

caminhada, fazendo com que todas as

barreiras encontradas por este caminho

parecessem ser pequenas.

AGRADECIMENTOS

Agradeço, primeiramente, ao meu bom Deus, que me deu coragem para

enfrentar este novo desafio, para questionar as realidades e propor sempre um novo

mundo de possibilidades em relação ao ensino-aprendizagem dos alunos.

Aos meus pais, Joana D’arc e Inácio Pacífico, aos sobrinhos, em especial, Ítalo

Mateus, ao meu cunhado Marcílio Cavalcanti, ao noivo Janailson da Silva e aos

amigos, pelo incentivo, paciência, confiança e apoio que me foram dados sempre

que precisei no decorrer de todo este curso.

Aos meus professores da Especialização em Ensino de Matemática para o

Ensino Médio da SEDIS/UFRN pela contribuição para a minha formação, em

especial, ao professor Benedito Vasconcelos por ser um orientador-incentivador,

pontual e um excelente transmissor de conhecimentos matemáticos.

Aos meus colegas da especialização pelo agradável convívio, amizade e ajuda

durante os encontros presenciais realizados no Polo, em especial, a Carlos José,

Fábia, Gizelda, Henrique e Verônica.

A Djanní Martinho pelo auxílio e incentivo que me proporcionou durante a

conclusão deste curso, mostrando-me que sou capaz de vencer qualquer obstáculo

que a vida possa oferecer.

Aos meus alunos, da Escola Municipal Arthéphio Bezerra da Cunha, que

participaram das aulas práticas referentes a este curso, mesmo sendo em horários

opostos ao turno ao qual estudavam, tornando uma aula prazerosa e bem

participativa e também pela torcida deles que ficam procurando saber se meu

resultado neste trabalho foi positivo.

Muito obrigada a todos!

“Que os vossos esforços desafiem as

impossibilidades, lembrai-vos de que as

grandes coisas do homem foram

conquistadas do que parecia impossível”.

(Charles Chaplin)

RESUMO

Este trabalho, baseado no artigo do Professor Antônio Carlos do Patrocínio,

publicado pela Revista do Professor de Matemática (RPM), veja na referência

bibliográfica, apresentamos como Trabalho Final de Conclusão do Curso, a nível de

Pós-graduação, Latu-Sensu, em Ensino de Matemática para o Ensino Médio, da

UFRN/SEDIS. Sabendo que as equações são apresentadas aos alunos de modo

bem formal, com poucas aplicações à realidade e com abundantes exercícios de

simplificação, esta monografia sugere ao professor possibilidades de formular

questões que aumente o interesse do aluno, facilitando o processo de ensino e

aprendizado. Para os discentes, as equações é um assunto abstrato, monótono e

cansativo de se entender, pois para eles matemática só “mexe” com números e não

com letras, então para o professor conseguir “derrubar” esta barreira encontrada no

ensino da matemática, ou seja, tornar este assunto agradável aos alunos, o

professor deve apresentar situações-problemas interessantes baseados nas suas

vivências e tornando-se assim, um assunto de boa compreensão entre eles. Desejo

que este meu trabalho ajude aos docentes fazer atividades interessantes e

formativas para melhor aprendizagem, fazendo com que haja descoberta, ação,

reflexão e comunicação entre professor-aluno, de acordo com os Parâmetros

Curriculares Nacionais - PCNs.

Palavras-chave: Equações. Matemática. Realidade.

ABSTRACT

This work, based on article by teacher Antônio Carlos do Patrocínio, published by

Revista do Professor de Matemática (RPM), see in the bibliographic reference, we

present as the final work of the conclusion of the course, post-graduate Latu-Sensu,

in the teaching of mathematics for the High School, of UFRN/SEDIS. Knowing that

the equations are presented to the students so well formal, with few applications to

reality and with abundant exercises of simplification, this monograph suggests to

teacher that he may be able to formulate questions that increase the interest of the

student, facilitating the process of teaching and learning. For learners, the equations

is a matter abstract, monotonous and tiring to understand, because for them

mathematics only “move” with numbers and not with letters, then for the teacher to

achieve “knock” this barrier found in the teaching of mathematics, i.e., make this

pleasant to students, the teacher must submit situations-interesting issues based on

their experiences and thus becoming a matter of good understanding between them.I

wish that my work help teacher to make interesting and formative activities to better

learning, causing the discovery, action, reflection and communication between

teacher-student, according to the National Curricular Parameters – PCN.

Keywords: Equations. Mathematics. Reality.

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ……………………………………………………………….…………… 10

CAPÍTILO 1 – A MATEMÁTICA NO DIA A DIA ……………………………..………. 11

CAPÍTULO 2 – A ORIGEM DAS EQUAÇÕES …………………………………..…… 13

2.1 Breve Histórico sobre François Viète …………………………………..……… 13

2.2 Equações do 1° grau ……………………………………………………………. 15

CAPÍTULO 3 – APLICAÇÕES ……………………………………………...………… 16

CONSIDERAÇÕES FINAIS …………………………………………………………… 40

REFERÊNCIAS …………………………………………………………….…………… 41

10

INTRODUÇÃO

Nesta monografia, baseada num artigo extraído da Revista do Professor de

Matemática (RPM), trataremos sobre equações do 1º grau com situações concretas

que requerem soluções inteiras positivas.

Sabendo que as equações são apresentadas aos alunos de modo bem formal,

com poucas aplicações à realidade e com abundantes exercícios de simplificação,

nota-se que o aluno demonstra muitas crenças e preconceitos sobre a álgebra, pois

para eles a utilização “concreta” das letras para representar números é algo

estranho.

A partir daí, os PCN’s nos orientam que “A aprendizagem em Matemática está

ligada à compreensão, isto é, à apreensão do significado de um objeto ou

acontecimento pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos e

acontecimentos”. (BRASIL, 1998, p. 19).

É justamente esta compreensão suficiente da solução algébrica de problemas

que os alunos não têm. O fato de montarem uma equação com “incógnitas” e depois

substituírem essas incógnitas por quantidades dadas no problema revela falta de

compreensão quanto ao uso de letras para representar quantidades desconhecidas.

O principal motivo desta proposta é esclarecer ao professor que é preciso

reconhecer a aridez desse assunto e intercalá-la com problemas atraentes,

provocantes e simples, que relacionem o conhecimento matemático com a realidade

do dia a dia, contribuindo assim, para o desenvolvimento dos alunos na criatividade,

imaginação e capacidade de raciocínio.

O público alvo são alunos do Ensino Médio, mas nada impede que este

material seja utilizado em outros níveis de ensino.

11

CAPÍTULO 1 – A MATEMÁTICA NO DIA A DIA

A matemática tem uma grande importância na vida das pessoas, pois estimula

o raciocínio, é uma ferramenta cada vez mais utilizada no dia a dia, indispensável na

vida acadêmica; uma disciplina instrumental como a leitura, que ajuda a

compreender as demais matérias.

Todavia, no Ensino Médio, quando ensinada em sintonia com a realidade, o

professor amplia o interesse do aluno, facilitando muito o processo de ensino e

aprendizagem.

No entanto, neste momento, a prática pedagógica deve-se apoiar sempre,

explícita ou implicitamente, em uma determinada forma de conceber o processo de

aprendizagem. Sendo que a aprendizagem não é para ser concebida como um

processo totalmente determinado pelo ensino sistemático e que a atividade

intelectual do sujeito desempenha um papel essencial na apropriação do

conhecimento, que é possível aprender interagindo com os objetos e consultando

com os demais, que a partir destas interações o sujeito em questão expõe múltiplos

problemas de conhecimento e tenta resolvê-los. “Estudar matemática é resolver

problemas. Portanto, a incumbência dos professores de matemática, em todos os

níveis, é ensinar a arte de resolver problemas. O primeiro passo nesse processo é

colocar o problema adequadamente”. (BUTTS apud DANTE, 2000, p. 43).

Sendo assim, um dos principais objetivos do ensino de Matemática é fazer o

aluno pensar produtivamente e, para isso, nada melhor que apresentar-lhe

situações-problemas que o envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las.

Esta é uma das razões pela qual a resolução de problemas tem sido reconhecida no

mundo todo.

Além disso, é preciso desenvolver no aluno a habilidade de elaborar um

raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que

ele possa propor boas soluções às questões que surgem em seu dia a dia, na

escola ou fora dela, pois a oportunidade de usar os conceitos matemáticos

diariamente favorece o desenvolvimento de uma atitude positiva do aluno em

relação à Matemática.

Uma aula de matemática onde os alunos incentivados e orientados pelo

professor trabalhem de modo ativo individualmente ou em pequenos grupos, na

12

aventura de buscar solução de um problema que os desafia é mais dinâmica e

motivadora do que a que segue o clássico esquema de explicar e repetir.

Freire (1996, p. 47) salienta que, “Saber que ensinar não é transferir

conhecimento, mas criar possibilidades para sua própria produção ou a sua

construção”.

Portanto, todos os que se ocupam do ensino da matemática, ou que a ele

foram alguma vez submetidos, conhecem o caráter fortemente cumulativo desta

matéria, sabe que cada passo depende de modo essencial dos anteriores, tornando

assim, a matemática com grande importância no currículo escolar e também na

construção de uma sociedade civilizada.

13

CAPÍTULO 2 - A ORIGEM DAS EQUAÇÕES

Equação é o modo de resolver situações quando se encontra valores

desconhecidos acompanhados do sinal de igualdade. Por serem desconhecidos,

esses valores são representados por letras e nomeados como incógnitas.

Sabe-se que a primeira referência a equações aparece no Papiro de Rhind, na

cidade de Luxor, Egito, em 1858, como sendo um dos documentos egípcios mais

antigos que trata de matemática.

E tendo sido Diofanto de Alexandria o único matemático de renome na Grécia

antiga que se interessou por uma grande variedade de equações para as quais

procurava soluções racionais e eventualmente inteiras, do qual lhe difere dos seus

predecessores que utilizavam métodos geométricos para deduzir as suas asserções.

Apesar do destaque deste grego no desenvolvimento das equações, foram os

árabes que, cultivando a matemática deles promoveram um acentuado progresso na

resolução de equações.

Segundo Giordani (1976), no campo da álgebra, podemos destacar Al-

Khowarizmi como o matemático árabe de maior expressão do século IX. O seu livro

Al-jabrWalMugãbalah, é considerado o mais importante, pois contém uma exposição

clara e sistemática sobre resolução de equações.

Mas, segundo Witmer (1983), as resoluções das equações só começaram a

ganhar importância a partir do momento em que passaram a ser escritas com

símbolos matemáticos e letras, e o primeiro a fazer isso foi o francês François Viète,

no final do século XVI.

2.1 Breve Histórico sobre François Viète

Nasceu no ano de 1540, em Fontenay-le-Comte, na França e morreu no dia 13

de dezembro de 1603, em Paris. Filho de um advogado, Viète formou-se em Direito

na Universidade de Poitiers e após a conclusão dos seus estudos, começou a

praticar a sua profissão com bastante êxito, principalmente resolvendo problemas

legais de famílias francesas de renome.

Foi no final do século XVI, quando o império espanhol começava a dominar

grande parte do mundo, e por isso que os agentes espanhóis tinham que se

comunicar usando cifras difíceis de serem entendidas. A cifra utilizada pelo Rei

14

Felipe II da Espanha durante sua guerra em defesa do catolicismo romano e dos

huguenotes franceses era composta por mais de 500 caracteres. Mas, do outro lado,

estava Viète que tinha uma aproximação com familiares influentes e foi conduzido a

cargos políticos importantes na corte francesa. Neste cargo, Viète tinha acesso às

cartas interceptadas direcionadas aos inimigos franceses Henrique III e IV escritas

pelo Rei Felipe II e conseguia decodificar. Com isso, o rei Henrique III pedia

conselhos secretos à Viète e o procurava para missões confidenciais. Certa vez,

após a morte de Henrique III, algumas mensagens de soldados espanhóis foram

interceptadas pelos franceses e acabou nas mãos do rei Henrique IV da França,

neste momento o rei entregou as mensagens espanholas para Viète, na esperança

dele decodificá-las.

Apesar de Viète não ser um matemático por formação, estudou matemática por

prazer no pouco tempo que lhe restava e teve sucesso nas suas decifrações e

guardou segredo, tornando assim um dos homens mais influentes na corte de

Henrique IV.

Após dois anos, os espanhóis descobriram que suas cartas estavam sendo

decifradas e o rei Felipe II que achava que suas cifras eram complexas e nunca

iriam ser quebradas ficou surpresa com a informação de que os franceses

começaram a conhecer seus planos militares.

Com a realização destes trabalhos no seu tempo livre, renderam a Viète um

título entre os matemáticos: “O pai da Álgebra Moderna”. Este título está associado

ao desenvolvimento de uma invenção que marcou o início da ciência moderna.

Então, na tentativa de atender aos padrões de exatidão vigentes no final do século

XVI, Viète propôs o uso de procedimentos algébricos aliados ao método analítico

para resolver qualquer tipo de problemas, o que constituiu uma grande inovação

matemática.

Segundo Khayyam (1851, p. 5),

a álgebra é uma arte científica. Seu objetivo são os números absolutos e as grandezas mensuráveis, estando desconhecidos, mas relacionados a algo que seja conhecido para poder ser determinado [...], o que procuramos nesta arte são relações que unem os dados dos problemas à incógnita.

15

Foi na álgebra que Viète adotou vogais para as incógnitas, consoantes para os

números conhecidos, gráficos para resolver equações cúbicas e biquadradas e a

trigonometria para as equações de graus mais elevados. Viète também simplificou

as relações trigonométricas podendo ser considerado precursor da Geometria

Analítica. Ele introduziu o uso de letras para representar não apenas grandezas

desconhecidas, mas também os coeficientes da equação.

Viète afirma que “Matemática não é apenas números, e sim envolve letras e

toda a capacidade que o ser humano consegue expressar”. (SOUSA, 2016, s.p.).

Portanto, o estudo da álgebra tem a finalidade de desenvolver a capacidade de

abstração e generalização de qualquer pessoa.

2.2 Equações do 1º grau

Uma equação do 1º grau é da forma:

( )

Resolver essa equação significa encontrar um valor para a incógnita, que torne

verdadeira a afirmação da igualdade. Este valor encontrado é chamado de “raiz da

equação”.

A maioria dos livros didáticos escreve a equação do 1º grau da seguinte forma:

( )

Para encontrar as raízes da equação, devemos isolar a incógnita , para a

equação do 1º grau, subtraindo dos dois lados da equação:

( )

Assim, toda equação do 1º grau do tipo (*) tem uma única solução.

No próximo capítulo, faremos aplicações, com situações concretas,

encontrando soluções de equação do 10 grau.

16

CAPÍTULO 3 – APLICAÇÕES

Problema 1 (Projeto Teláris: Matemática, 1ª edição. São Paulo: Ática, 2012) -

Conta-se, certa vez, um homem muito avarento entrou em uma igreja e desafiou

Santo Antônio: se o santo duplicasse o dinheiro que ele tinha no bolso, o homem

colocaria R$ 20,00 na caixinha da campanha de auxílio às comunidades carentes.

O milagre aconteceu e o homem cumpriu sua promessa. E gostou tanto que

prometeu dar mais R$ 20,00 se o santo, outra vez, multiplicasse por 2 o dinheiro que

tinha no bolso. Novamente, o milagre aconteceu, mas quando o homem colocou os

outros R$ 20,00 na caixinha, percebeu que ficara sem dinheiro nenhum.

Com quanto dinheiro o homem tinha entrado na igreja?

Solução

Se chamarmos de “ ” reais, o dinheiro que ele tinha no início, depois da

primeira doação o homem ficou com: ( – ) reais. Após a segunda doação o

homem ficou com: , ( – ) – - reais, o que corresponde a zero.

Então:

, ( – )– - – – –

( )

Logo, concluímos que o homem entrou na igreja com R$ 15,00 no bolso.

Problema 2 (Projeto Teláris: Matématica, 1ª edição. São Paulo: Ática, 2012) -

Em uma cozinha há dois potes diferentes A e B, sendo que o primeiro pesa 400g e o

segundo pesa 540g. A cozinheira Elisa distribuiu 1kg de farinha, uma parte em cada

pote, de forma que os potes com farinha ficaram com o mesmo peso. Qual a

quantidade de farinha que o pote A contém?

Solução

Dados:

Pote A: pesa 400g

Pote B: pesa 540g

Total de farinha: 1kg = 1000g

17

Ao distribuir a farinha em cada pote, consideramos que o pote A ficará com

gramas de farinha e o pote B com ( – ) gramas. Quando a cozinheira Elisa

distribuiu a farinha em cada pote e percebeu que os potes ficaram com os pesos

iguais, calculemos:

( – ) –

– – –

( )

Logo, concluímos que o pote A contém 570 gramas de farinha.

Problema 3 (Adaptado de Matemática: teoria e contexto, 1ª edição. São Paulo:

Saraiva, 2012) - Quatro amigos foi a Caicó para Currais Novos no carro de um deles

e combinaram dividir igualmente a despesa da gasolina. Saíram com o tanque cheio

e, no destino, encheram o tanque de novo para verificar a quantidade de gasolina

que foi gasta. Feita a divisão da despesa, um dos amigos percebeu que tinha

esquecido a carteira e só pôde contribuir com os R$ 5,00 que tinha no bolso. Com

isso, cada um dos outros três teve que dar mais R$ 3,50 para completar o total da

despesa. Qual foi a despesa total com a gasolina?

Solução

Dados: Eram 4 amigos

Valor para cada amigo gastar:

Total de gastos: (*)

1 amigo: R$ 5,00 (apenas)

Os outros três amigos: (cada)

Com isso, obtemos:

( )

– – –

– – – ( )

Sabendo que o total de gastos dos quatro amigos deverá ser (*), obtemos:

18

Logo, concluímos que a despesa total com a gasolina foi de R$ 62,00.

Problema 4 (OBMEP-2010) - Saci, Jeca, Tatu e Pacu comeram 52 bananas.

Ninguém ficou sem comer e Saci comeu mais que cada um dos outros. Jeca e Tatu

comeram ao todo 33 bananas, sendo que Jeca comeu mais que Tatu. Quantas

bananas Tatu comeu?

Solução

Vamos denotar por e o número de bananas comidas por Saci, Jeca,

Tatu e Pacu, respectivamente. Os dados do problema podem ser escritos como:

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

– ( )

–

Como , temos e do (3º) segue que . Por outro lado, do

(4º) e (5º) segue que:

Temos então ; logo e , ou seja, Tatu comeu 16

bananas.

Problema 5 (Adaptado de OBMEP 2010) - Rubens dirige seu carro com

velocidade constante. Ele presta muita atenção nas placas da estrada que indicam a

distância, em quilômetros, à cidade de Natal. Na primeira placa ele vê um número de

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três algarismos com um zero no meio. Quarenta e cinco minutos depois, ele passa

por uma segunda placa e vê um número de dois algarismos, formado pelos mesmos

algarismos da primeira placa em ordem inversa e sem o zero. Passados mais

quarenta e cinco minutos, ele vê uma terceira placa com um número formado pelos

mesmos dois algarismos da segunda placa. Qual é a velocidade do Rubens, em

quilômetros por hora?

Solução

As placas que Rubens encontrou foram, em ordem,

. À distância percorrida por Rubens entre a 1ª e a 3ª placa foi,

( ) – ( )

– –

Se , o número da 3ª placa é maior ou igual a 20 e a distância entre a 2ª e

a 3ª placa é maior ou igual a 90. Logo, o número da 2ª placa deve ser maior ou igual

a 20 + 90 = 110, o que não acontece, pois ele é um número de dois algarismos.

Logo, a = 1 e Rubens percorreu 90Km em 90min, ou seja, sua velocidade, em Km/h,

é 90: 1,5 = 60Km/h.

Problema 6 (Adaptado da Olimpíada de Matemática da Austrália) - Uma

floricultura vende uma rosa vermelha por R$ 3,00 e uma rosa amarela por R$ 5,00.

Um rapaz deseja presentear sua namorada com um buquê de 13 rosas, formado

com uma mistura dos dois tipos, mas no mínimo uma de cada cor e tendo mais

rosas amarelas do que vermelhas. Quais são os possíveis valores em reais que o

rapaz pode gastar?

Solução

Suponha que o rapaz compre rosas vermelhas e rosas amarelas. Assim,

temos:

–

Onde , pois tem de ter pelo menos uma de cada cor e a quantidade

de rosas amarelas tem de ser maior do que a quantidade de rosas vermelhas.

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Assim, a quantidade de reais, , que o rapaz vai gastar é dada por:

( – ) – – , onde .

Portanto, os possíveis valores em reais que o rapaz vai gastar decorrem de

fazer variar, na expressão de , que

nos dá:

= 63, 61, 59, 57, 55, 53.

Problema 7 (Adaptado da Olimpíada de Matemática da Austrália) - Uma loja

oferta dois tipos de chocolates numa promoção. Um deles custa R$ 3,00 e o outro

custa R$ 4,00. Uma garota dispõe de R$ 96,00 para comprar chocolates. De

quantas maneiras a garota pode realizar sua compra de modo que tenha pelo

menos um chocolate de cada tipo?

Solução

Suponha que a garota compre chocolates de R$ 3,00 cada e chocolates de

R$ 4,00 cada. Deste modo, temos que:

–

Agora, observe que , tem de ser números inteiros positivos, pois são as

quantidades de chocolate de cada tipo compradas pela garota. Isto significa dizer

que:

( ) –

( ) ( – )

Assim, os possíveis valores para y são 3, 6, 9, 12, 15, 18 e 21.

Logo, para:

21

Portanto, a garota pode realizar sua compra de 7 maneiras distintas.

Problema 8 (Adaptado da Olimpíada de Matemática da Austrália) - A

calculadora de Maria está danificada. Quando Maria liga sua calculadora, no display

aparece 0. Se ela aperta a tecla +, a calculadora soma 76. Se ela aperta a tecla -, a

calculadora subtrai 76. Se ela aperta a tecla , a calculadora soma 95. Se ela aperta

a tecla , a calculadora diminui 95. As teclas restantes não funcionam. Quando

Maria liga a calculadora, qual é o número mais próximo de 2016 que ela consegue

apertando as teclas +, -, e ?

Solução

Os números obtidos usando a calculadora são da forma:

, onde são números inteiros.

Observe que 76 = 4 19 e 95 = 5 19, o que significa dizer que os números

alcançados por Maria usando a calculadora são múltiplos de 19:

( )

Agora, basta observar que o múltiplo de 19 mais próximo de 2016 é 2014, pois,

19 106 = 2014, enquanto 19 107 = 2033 e 76 19 + 95 6 = 2014.

22

Problema 9 (Adaptado da Olimpíada de Matemática da Austrália) - Quando se

inverte os dígitos (na base 10) não nulos de um número natural entre 10 e 99, o

número obtido é 36 menos do que o número original. Qual é a soma dos dígitos do

número original?

Solução

Seja o número original. O que queremos é encontrar .

Na base 10, o número original se escreve como:

.

Quando invertemos os dígitos do número original, obtemos o número ba, que

na base 10 se escreve como:

Pelas hipóteses do problema, temos que:

( ) – ( – ) –

Logo, o número original pode ser um dos números: 95, 84, 73, 62 ou 51.

Portanto, as somas possíveis dos dígitos do número original são:

14, 12 10, 8 e 6.

Problema 10 (OBMEP-2012) – Um número natural A com dois dígitos(na base

10) é um supernúmero se é possível encontrar dois números naturais, B e C, ambos

também de dois dígitos, tais que:

A = B + C

Soma dos dígitos de A = (soma dos algarismos de B) + (soma dos dígitos de C)

Por exemplo, 35 é um supernúmero. De fato, podemos mostrar de duas

maneiras diferentes:

35 = 11 + 24 e

3 + 5 = (1 +1) + (2 + 4)

e

35 = 21 + 14 e

23

3 + 5 = (2 + 1) + (1 + 4).

A única maneira de mostrar que 21 é um supernúmero é observando que

21 = 10 + 11 e

2 + 1 = (1 + 0) + (1 + 1)

Quantos supernúmero existem?

Solução:

Como 10 é o menor número de dois dígitos, então 10 + 10 = 20 é o menor

número de dois dígitos que pode ser escrito como soma de dois números de dois

dígitos. Consideremos agora qualquer número de dois dígitos, maior ou igual a 20,

e chamamos de a o seu dígito das dezenas e b o seu dígito das unidades. Isto é,

.

Vamos agora pensar no número . Ele é pelo menos 10 (pois, é pelo

menos 20), possui dois dígitos; seu dígito das dezenas é – e seu dígito das

unidades é , como podemos ver fazendo a subtração:

– – ( ) ( )

Então a expressão ( ) mostra que é um supernúmero, pois,

( ) .

Um exemplo ajuda a entender melhor este raciocínio. Pensemos no número

natural Temos que:

38 = 3.10 + 8, 38 = 10 + (38 – 10) = 10 + 28 e 3 + 8 = ( 1+ 0) + ( 2 + 8).

Logo, podemos concluir que todos os números de 20 a 99 são supernúmeros,

e eles são em número .

Problema 11 (OBMEP-2012) – Ana e Cristina disputam um jogo de dupla

jogando contra Beatriz e Diana. No início de cada partida, elas embaralham nove

cartões numerados de 1 a 9 e cada uma pega dois cartões, sobrando sempre um

cartão na mesa. Cada menina calcula seus pontos somando os números de seus

cartões e o número de pontos da dupla é a soma dos pontos das duas parceiras.

Vence a dupla que fizer o maior número de pontos. Imagine em uma das partidas,

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uma das meninas ter tirado o cartão de número 3. Ana fez um ponto a menos que

Beatriz, que fez um ponto a menos que Cristina, que fez um ponto a menos que

Diana. Quantos pontos fez a dupla que ganhou?

Solução:

Se é a pontuação de Ana, então e são as pontuações de

Beatriz, Cristina e Diana, respectivamente. Logo a soma dos pontos das duas duplas

é ( ) ( ) ( ) . Como o cartão com menor número que

pode sobrar é 1 e o maior é 9. Logo, a soma dos pontos feitos pelas duas duplas

varia de 45 - 9 = 36 a 45 – 1 = 44.

Portanto, temos que:

( ) , com um número inteiro positivo.

Logo, conclui-se que os possíveis números de pontos para Ana são ou

. Mas, se estamos no caso * + , quando sobra o cartão de

número ( ) , e para estamos no caso * + ,

quando sobra o cartão de número ( ) . Como o cartão que

ficou na mesa não foi o de número 3, só resta a primeira possibilidade; concluímos

que Ana fez 8 pontos, Beatriz fez 9, Cristina fez 10 e Diana fez 11. A dupla que

venceu foi Beatriz e Diana, com 9 + 11 = 20 pontos contra 8 + 10 = 18 de Ana e

Cristina.

Problema 12 (OBMEP-2009) – Um “matemágico” faz mágicas com cartões

verdes, amarelos, azuis e vermelhos, numerados de 1 a 13 para cada cor. Ele

mistura os cartões e diz para uma criança. “Sem que eu veja, escolha um cartão,

calcule o dobro do número desse cartão, some 3 e multiplique o resultado por 5.

Depois,

Some 1, se o cartão for verde;

Some 2, se o cartão for amarelo;

Some 3, se o cartão for azul;

Some 4, se o cartão for vermelho.

Diga-me o resultado final e eu lhe direi a cor e o número do cartão que você

escolheu.

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Mariazinha disse “Setenta e seis” para o matemágico. Qual é o número e a cor

do cartão que ela escolheu?

Solução:

Seja o número de um cartão; então o número dito ao matemágico é:

( ) , onde é um número inteiro de 1 a 4

correspondente à cor do cartão. Temos aqui,

, ou seja, (*)

Considerando os seguintes valores para y e substituindo em (*), temos:

( )

( )

( )

( )

Se os cartões são representados por números inteiros de 1 a 13 para cada cor,

logo se conclui que o único valor que satisfaz é , então o cartão

escolhido foi o de Número 6 de cor VERDE.

Problema 13 (OBMEP-2012) - A professora de matemática organizou a

seguinte brincadeira em sala de aula: colocou três alunos em fila e pediu para o

primeiro falar três números inteiros e positivos. A seguir, pediu para o segundo aluno

somar dois a dois os números falados pelo primeiro aluno e falar os três resultados

em voz alta. A brincadeira prosseguiu com cada aluno falando as somas, dois a

dois, dos três números falados pelo aluno anterior.

Se os números falados pelo terceiro aluno da fila foram 13, 14 e 21. Quais

foram os números falados pelo primeiro aluno?

Solução:

26

Vamos denotar por , e os números ditos pelo primeiro aluno da fila. O

esquema a seguir fornece os números ditos pelos alunos.

1º aluno

2º aluno

3º aluno

Se o 3º aluno disse os números 13, 14 e 21, podemos supor que:

{

( ) ( ) ( )

}

Somando as três equações, temos:

Se (:4), obtemos (*).

(I)

( )

(II)

( )

(III)

( )

Logo, conclui-se que o 1º aluno da fila falou os seguintes números (1, 2, 9).

Problema 14 (OBMEP-2013) – Um número de três algarismos (escrito na base

10) tem as seguintes propriedades:

27

Quando trocamos o algarismo das unidades com os das dezenas, ele aumenta

em 18 unidades.

Quando trocamos o algarismo das dezenas com o das centenas, ele aumenta

em 180 unidades.

Quantas unidades aumentará esse número se trocarmos o algarismo das

unidades com os das centenas?

Solução:

Escrevemos o número , onde são, respectivamente, o algarismo

das centenas, dezenas e unidades; isso quer dizer que o número é .

O número obtido trocando o algarismo das unidades com o das dezenas é , ou

seja, ; o enunciado nos diz que:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

O número obtido trocando o algarismo das dezenas com o das centenas é ,

do enunciado segue, como acima, que:

( ) ( )

( ) ( ) (**)

Se ( ) ( )

O problema pede para calcularmos a diferença entre o número e aquele

obtido trocando os algarismos das unidades com os das centenas, que é .

Essa diferença é, então:

( ) ( )

28

( ) ( )

Se , substituindo em (***) obtemos que:

( )

Logo, conclui-se que este número aumentará 396 unidades.

Problema 15 (RPM-08) - Deseja-se adquirir um total de 100 animais das

espécies A, B e C; sabendo-se que os animais dessas espécies custam 1, 10 e 20

dólares, respectivamente, e que o total disponível para a compra é de 200 dólares,

pergunta-se: quantos animais de cada espécie devem ser comprados?

Inicialmente identificamos os animais das espécies A, B e C por incógnitas:

Animais da espécie A:

Animais de espécie B:

Animais de espécie C:

Como temos no total de 100 animais de cada espécie, obtém-se:

Sabendo que cada espécie custa respectivamente 1, 10 e 20 dólares

totalizando 200 dólares, obtém-se:

, formando assim o seguinte sistema de equação:

{ ( )

( )}

Como se trata de um sistema linear com duas equações e três incógnitas, é

usual esperar-se uma infinidade de soluções; com efeito, podemos proceder do

seguinte modo:

1º passo: Subtraindo a equação (I) da (II), temos:

29

Agora, vamos isolar “y”:

– – – ( )

( )

2º passo: Agora multiplicando a equação (I) por ( 10) e somando-a com a (II)

temos:

{ ( ) ( )

}

Somando membro a membro as duas equações, obtemos:

Agora, vamos isolar ”:

– –

– ( )

( )

Atribuindo-se valores arbitrários para encontramos valores para de

modo que as ternas ( ) se tornem soluções do sistema.

Por exemplo,

Para temos:

30

A terna (

), embora seja solução do sistema, não é a do problema

proposto dada a sua natureza.

Fazendo agora, para z = 1,

O terno ( ) é uma solução inteira positiva, e, portanto, solução do

problema proposto dada a sua natureza.

Fazendo agora, para ,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A terna (

), embora seja solução do sistema, não é a do problema

proposto dada a sua natureza.

Fazendo agora, para ,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A terna (

) embora seja solução do sistema, não é a do problema

proposto dada a sua natureza.

Será que existem outras soluções inteiras positivas para o sistema em

equação?

Da equação (*), temos:

31

–

Considerando 100 = 81 + 19, e desenvolvendo esta equação utilizando o

como constante, temos:

– – – –

– – ( – ) ( – )

( – ) –

Fazendo , temos:

– –

Como , logo ( ) – e ( ) , com isso

obtemos:

( ) – – ( )

( )

– –

Ou seja, e sendo inteiro, temos .

Logo, o terno (90, 9, 1) é a única solução inteira possível.

Problema 16 (RPM-08) - Poliedros regulares: quantos existem?

Diremos que um poliedro convexo é regular se todas as suas faces são

polígonos regulares congruentes e o número de arestas em cada vértice é o mesmo

para todos os vértices do poliedro.

32

Figura 1 - Poliedros Regulares

Fonte: brasilescola.uol.com.br/matematematica/os-solidos-platao.htm

Vamos provar o seguinte teorema:

Teorema

Existem apenas cinco poliedros regulares (Poliedros Platônicos): cubo

(hexaedro), tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Denomina-se Poliedro de Platão, se e somente se:

Todas as suas faces são polígonos com o mesmo número e lados;

Todos os seus vértices de ângulos poliédricos com o mesmo número de

arestas;

É Eureliano, ou seja, obedece à relação de Euler.

Podemos verificar que isso é verdade através do seguinte argumento:

Em cada vértice de um poliedro teremos o encontro de pelo menos três de

suas faces. O ângulo formado por essas faces deverá ser menor que 360º para que

o poliedro seja regular.

Analisando cada caso observa-se que,

Para o caso de três faces ligadas a um vértice:

33

Quando as faces do poliedro forem triângulos (ângulo interno 60º), têm-se 3 *

60º = 180º.

Figura 2 - Triângulo Equilátero

Fonte: http://procarlosteixeira.blogspot.com.br/2013/10/triangulos-classificacao-tipos-de.html

Quando as faces do poliedro forem quadrados (ângulo interno 90º), têm-se 3 *

90º = 270º.

Figura 3 - Quadrado

Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/o-teorema-pitagoras-aplicado-no-estudo-

trigonometria.htm

Quando as faces do poliedro forem pentágonos (ângulo interno 108º), têm-se 3

* 108º = 324º.

34

Figura 4 - Pentágono

Fonte: www.matematica.pt/faq/angulo-interno-externo.php

Quando as faces do poliedro forem hexágonos (ângulo interno 120º), tem-se 3

* 120º = 360º, o que contradiz a nossa hipótese.

Figura 5 – Hexágono

Fonte: www.matematica.pt/faq/angulo-interno-externo.php

Logo, verifica-se para esse caso que a face dos poliedros regulares não pode

ser formada por polígonos regulares com mais de cinco lados.

Para o caso de quatro faces ligadas a um vértice:

Quando as faces do poliedro forem triângulos, tem-se:

4 * 6º = 240º.

Quando as faces do poliedro forem quadrados, tem-se:

4 * 90º = 360º, o que contradiz a hipótese.

Logo, verifica-se que esse caso que um poliedro regular construído com quatro

faces a partir de um vértice, poderá ter apenas faces triangulares.

Para o caso de cinco faces ligadas ao mesmo vértice:

35

Quando as faces do poliedro forem triângulos, tem-se:

5 * 60º = 300º.

Quando as faces do poliedro forem quadradas, tem-se:

5 * 90º = 450º.

Do mesmo modo que foi verificado no caso anterior, concluímos que não

poderemos ter polígonos com mais de três lados, com cinco faces ligadas ao mesmo

vértice.

Prova:

Usaremos o famoso Teorema de Euler para poliedros convexos:

Teorema (Euler)

“Se P é um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, então V + F –

A = 2”.

Para usar o Teorema de Euler, vamos considerar um poliedro regular com F

faces, V vértices e A arestas. Seja o número de lados de cada face e o número

de arestas que concorrem em cada vértice. Temos:

Logo:

(i)

(ii)

Substituindo (i) em (ii) na equação de Euler:

( )

( )

36

Pelo domínio temos que ter,

( ) ( )

.

Para a construção de cada poliedro regular, citados a seguir, utilizamos o

software GeoGebra1.

Como p , chegamos à conclusão que p . Substituindo os valores de em

(*), obtemos:

Se

(**)

Agora, substituiremos os valores de em (**),

Para

Concluímos assim, que o poliedro regular é o TETRAEDRO.

Figura 6 - Tetraedro

Fonte: Arquivo do autor

1 Software disponível no site https://www.geogebra.org.

37

Para

Concluímos assim, que o poliedro regular é o OCTAEDRO.

Figura 7 - Octaedro

Fonte: Arquivo do autor

Para

Concluímos assim, que o poliedro regular é o ICOSAEDRO.

38

Figura 8 - Icosaedro

Fonte: Arquivo do autor

Se

(***)

Agora, substituiremos o valor de em (***),

Para

Concluímos assim, que o poliedro regular é o HEXAEDRO (CUBO).

Figura 9 - Hexaedro

Fonte: Arquivo do autor

Finalmente,

39

Se

(****)

Agora, substituiremos o valor de em (****),

Para

Concluímos assim, que o poliedro regular é o DODECAEDRO.

Figura 10 - Dodecaedro

Fonte: Arquivo do autor

Observe o quadro a seguir:

Arestas (A) Vértices (V) Faces (F) Poliedros Regulares

6 4 4 Tetraedro

12 6 8 Octaedro

30 12 20 Icosaedro

12 8 6 Cubo (hexaedro)

30 20 12 Dodecaedro

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ensinando equações, percebe-se que muitos alunos têm dificuldade para

resolver certos tipos de problemas algébricos que envolvem uma tradução da

linguagem escrita corrente para a linguagem matemática.

Por isso, achamos que o professor deve propiciar ao aluno a oportunidade de

buscar por si próprio seus interesses, de modo que ele adquira sua experiência.

Com isso será capaz de criar suas próprias convicções, mostrando uma contínua

relação entre teoria e prática, o que facilita e incentiva o aprendizado.

Com este trabalho, esperamos contribuir para facilitar o processo de ensino e

aprendizagem no Ensino Fundamental e Médio.

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REFERÊNCIAS

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, MEC/SEF, 1999. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf>. Acesso em 15 mar. 2016. CENTURIÓN, M.; JAKUBOVIC, J. Matemática: teoria e contexto. São Paulo: Saraiva, 2012. CORXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. D’AMBRÓSIO, U. Da realidade à ação: reflexões sobre educação em matemática. 4ª edição. São Paulo: Summus, 1986. DANTE, L. R. Projeto Teláris: Matemática. São Paulo: Ática, 2012. Disponível em: <https://ifspmatematica.files.wordpress.com/2015/07/tcc_anderson-costa.pdf>. Acesso em: 12 mar. 2016. DUMKE, S. A. S.; HONORATO, A. R.; REIS, M. E. T. Uma proposta para a resolução de problemas nas Olimpíadas de Matemática. Revista Eletrônica de Matemática. N° 02, 2010. Disponível em: <http://matematicajatai.com/rematFiles/2-2010/olimp.pdf>. Acesso em 08 mar. 2016. FREIRE, P. Pedagogia da Autonomia: Saberes necessários a prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1996. GIL, P. D. B. François Viète: o despontar da álgebra simbólica. 2001. 204f. Dissertação de Mestrado em Matemática – Fundamentos e Aplicações – Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Porto, 2001. Disponível em: <https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwi61_Gbh4POAhXCFZAKHfs9BLYQFggeMAA&url=https%3A%2F%2Frepositorio-aberto.up.pt%2Fbitstream%2F10216%2F9979%2F3%2F3596_TM_01_P.pdf&usg=AFQjCNGcKhtWSiaWf4_RZz9DuNgxI7oBnQ&sig2=VOsr2jZikp2tVBiQzb9y8w&cad=rja>. Acesso em 20 mar. 2016. HEFEZ, Abramo. Curso de Álgebra. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1993. LIMA, E. L. et. al. Matemática e Ensino. 2. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. 2007. NUNES, A. Resolução de problemas: uma abordagem atual e dinâmica no Ensino da Matemática. 2007. 73f. Dissertação de Mestrado em Ciências – Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro, 2007. Disponível em: <http://cursos.ufrrj.br/posgraduacao/ppgea/files/2015/05/Almir-Nunes.pdf>. Acesso em: 16 mar. 2016.

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PATROCÍNIO, A. C do. Soluções inteiras. Disponível em: <http://rpm.org.br/cdrpm/8/6.htm>. Acesso em: 25 fev. 2016. POLYA, G. Arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. SILVA, A. de A; COSTA, G. M. P. da. Equações do primeiro grau: uma proposta de aula baseada na análise de livros. 2014. 64f. Dissertação de Mestrado em Matemática – Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro, 2014. Disponível em: <http://www.impa.br/opencms/pt/ensino/downloads/PROFMAT/trabalho_conclusao_curso/2014/alexandre_azevedo.pdf >. Acesso em: 15 mar. 2016. SOUSA, José Henrique Ferreira. Françóis Viète. Disponível em: <http://clubes.obmep.org.br/blog/b_fviete/>. Acesso em 15 abr. 2016.