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UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

FIBRADOS QUASE-PARABÓLICOS

SOBRE A RECTA PROJECTIVA

Lígia Isabel Marques Carvalho(Licenciada)

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Matemática Aplicada

DOCUMENTO PROVISÓRIO

Janeiro 2005

Resumo

Nesta dissertação pretende-se descrever o conjunto das classes de isomor�smo dos �brados

vectoriais algébricos quase-parabólicos simples de característica 2 sobre P1 com n (n > 0)

pontos marcados. Este conjunto tem uma cobertura por um número �nito de espaços

projectivos e tem a propriedade universal de um espaço de moduli grosseiro. No entanto não

é Hausdor�. Será estudado com detalhe o caso de P1 com 4 pontos marcados. Identi�car-

se-á explicitamente o espaço moduli para o problema de moduli da classi�cação das classes

de isomor�smo de �brados quase-parabólicos simples sobre P1 com 4 pontos marcados, com

o mínimo de identi�cações adicionais que permite obter um espaço quociente Hausdor�.

Palavras-chave:

Fibrados Vectoriais, Fibrados Vectoriais Quase-Parabólicos, Feixes, Cohomologia, Recta

Projectiva, Espaço Moduli.

i

Abstract

In this dissertation we intend to describe the set of the isomorphism classes of simple quasi-

parabolic algebraic vector bundles of rank 2 over P1 with n (n > 0) marked points. This set

has a covering by a �nite number of projective spaces and has the universal property of a

coarse moduli space. However it is not Hausdor�. The case of P1 with 4 marked points will

be studied in detail. We will explicitly identify the moduli space for the moduli problem of

classifying the isomorphism classes of simple quasi-parabolic vector bundles of rank 2 over

P1 with 4 marked points, with the minimum of additional identi�cations needed to obtain

a Hausdor� quotient space.

Key-words:

Vector Bundles, Quasi-Parabolic Vector Bundles, Sheafs, Cohomology, Projective Line,

Moduli Space.

iii

Agradecimentos

Agradeço em primeiro lugar aos meus Pais todo o apoio, carinho e paciência com que

sempre me acompanham. O seu incentivo e as suas palavras são muito importantes.

Ao Professor Peter Gothen, que propôs o tema de estudo desta dissertação, estou

imensamente reconhecida pela disponibilidade para orientar a sua preparação. Agradeço a

sua importante ajuda na escolha de referências apropriadas, nas sugestões e esclarecimentos

que permitiram a realização deste trabalho.

Esta dissertação foi co-orientada pelo Professor Carlos Florentino a quem quero agra-

decer a disponibilidade e compreensão que sempre demonstrou e as sugestões que muito

enriqueceram este trabalho.

Agradeço aos meus colegas de mestrado a excelente camaradagem.

v

Conteúdo

Resumo i

Abstract iii

Agradecimentos v

Introdução 1

1 Fibrados Vectoriais Algébricos 3

1.1 De�nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Fibrados Vectoriais e Feixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Fibrados Vectoriais sobre Curvas Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Fibrados Vectoriais Quase-Parabólicos 21

3 Fibrados Vectoriais sobre P1 31

4 Fibrados Quase-Parabólicos de Característica 2 sobre P1 37

5 Caso de P1 com 4 Pontos Marcados 51

5.1 Conjunto dos Fibrados Quase-Parabólicos Simples . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Conjunto das Classes de Isomor�smo dos Fibrados Quase-Parabólicos Simples 53

5.3 Espaço Moduli dos Fibrados Quase-Parabólicos Simples . . . . . . . . . . . 57

vii

viii CONTEÚDO

Bibliogra�a 62

Introdução

Nesta dissertação estudamos os �brados vectoriais algébricos quase-parabólicos simples de

característica 2 sobre P1 com n (n > 0) pontos marcados. Dada uma curva algébrica C

não singular com n pontos marcados (n > 0), um �brado vectorial sobre C diz-se um �-

brado quase-parabólico se está munido de uma estrutura quase-parabólica, que consiste em

considerarmos bandeiras nas �bras correspondentes aos pontos marcados. Se além disso

considerarmos alguns pesos associados a estas bandeiras, munimos o �brado de uma estru-

tura parabólica, obtendo-se assim um �brado parabólico sobre C. A associação de pesos às

bandeiras permite de�nir grau parabólico e consequentemente atribuir sentido às noções de

�brados vectoriais parabólicos semi-estáveis e estáveis, generalizando as correspondentes

noções em �brados vectoriais, que assumem importância na construção do espaço moduli

em geral. Os �brados parabólicos assumiram especial importância na generalização do

Teorema de Narasimhan e Seshadri, [NS 65], a curvas algébricas perfuradas, por Mehta e

Seshadri, [MS 80].

Os �brados vectoriais quase-parabólicos são úteis no estudo das propriedades que não

dependem dos pesos associados às bandeiras. O objectivo deste trabalho é averiguar até

que ponto é possível descrever o espaço moduli sem recorrer à estrutura fornecida pela

associação de pesos às bandeiras. O ponto de partida para este estudo foi a secção 8 do

artigo de Furuta e Steer [FS 92], onde é feito um estudo do espaço moduli dos �brados

quase-parabólicos simples de característica 2 sobre P1 com n (n > 0) pontos marcados.

Pretendemos, neste trabalho, descrever o conjunto das classes de isomor�smo destes �bra-

dos. Este conjunto tem, de facto, a propriedade universal de um espaço de moduli grosseiro

1

2 CONTEÚDO

(proposição 4.6) mas, embora admita uma cobertura por um número �nito de espaços pro-

jectivos não é, em geral, um espaço Hausdor�. Se considerarmos P1 com quatro pontos

marcados, podemos veri�car que o espaço Hausdor� obtido deste conjunto, considerando

três identi�cações adicionais, é homeomorfo a P1. Este estudo será feito no último capítulo

da dissertação.

Apresentamos de seguida um breve resumo de cada capítulo.

No capítulo 1 é introduzida notação e são enunciados alguns resultados importantes

da teoria dos �brados vectoriais sobre uma curva algébrica não singular.

No capítulo 2 são apresentados os objectos de estudo desta dissertação, os �brados

vectoriais algébricos quase-parabólicos, e são demonstrados alguns resultados que nos per-

mitem conhecer melhor esta classe de �brados vectoriais.

No capítulo 3 é feita a classi�cação dos �brados vectoriais sobre a recta projectiva P1.

Esta classi�cação é feita num teorema conhecido por Teorema de Birkho�-Grothendieck

ou Teorema de Grothendieck. Terminamos o capítulo com a descrição do grupo de auto-

mor�smos de um �brado vectorial de característica 2 sobre P1.

O capítulo 4 é o capítulo mais importante desta dissertação. Neste capítulo é descrito o

conjunto das classes de isomor�smo dos �brados quase-parabólicos simples de característica

2 sobre P1 com n (n > 0) pontos marcados. Terminamos o capítulo com um resultado que

a�rma que este conjunto tem a propriedade universal de um espaço de moduli grosseiro.

O capítulo 5 aplica a teoria apresentada no capítulo anterior ao estudo do caso de

P1 com 4 pontos marcados. Vemos que, considerando três identi�cações adicionais no

conjunto das classes de isomor�smo de �brados quase-parabólicos simples, obtemos um

espaço Hausdor� homeomorfo a P1. Construimos assim o espaço moduli para o problema

de moduli da classi�cação de �brados quase-parabólicos simples a menos de isomor�smo,

com essas identi�cações adicionais.

Capítulo 1

Fibrados Vectoriais Algébricos

Neste capítulo vamos introduzir notação e enunciar alguns resultados que serão usados

mais tarde.

Ao longo de toda a dissertação consideraremos como corpo base o corpo dos números

complexos, C, e todas as variedades serão munidas da topologia complexa (Hausdor�).

As principais referências para este capítulo são [P 97], [Mi 97] e [Hart 77].

1.1 De�nições

Seja X uma variedade algébrica.

De�nição 1.1. Um �brado vectorial algébrico de característica r sobre X é uma variedade

algébrica E com uma aplicação regular sobrejectiva p : E → X de variedades algébricas

que veri�ca:

• Para cada x ∈ X, a �bra sobre x, p−1(x), tem a estrutura de um espaço vectorial

complexo de dimensão r. Denotaremos a �bra sobre x por Ex.

• Para cada x ∈ X existe uma vizinhança aberta U de x e um isomor�smo de variedades

ϕ : p−1(U) → U × Cr a que chamamos trivialização, tal que para cada x ∈ U a

3

4 Fibrados Vectoriais Algébricos

aplicação induzida ϕx : Ex → Cr é linear, e o seguinte diagrama é comutativo:

p−1(U)ϕ−→ U × Cr

↘ ↙

U

Um �brado vectorial de característica 1 é chamado um �brado linha.

Identi�caremos por vezes, cometendo um abuso de notação, o �brado vectorial E com

o mor�smo p : E → X.

Denotamos a característica de E por rk(E).

Para cada conjunto aberto U ⊂ X, escrevemos E|U para indicar a restrição de E a U ,

p−1(U) → U .

Se ϕi : E|Ui→ Ui × Cr e ϕj : E|Uj

→ Uj × Cr são duas trivializações sobre os

subconjuntos abertos Ui e Uj respectivamente, então a aplicação de�nida sobre Uij = Ui∩Ujpor

ϕi ◦ ϕ−1j : Uij × Cr → Uij × Cr

(x, v) 7→ (x, gij(x)v)

onde gij : Uij → GL(r,C) é uma aplicação de variedades algébricas. As aplicações gij são

chamadas funções de transição. Elas satisfazem as seguintes condições:

a) gij(x) · gji(x) = IdCr , ∀x ∈ Uij.

b) gij(x) · gjk(x) = gik(x), ∀x ∈ Uijk = Ui ∩ Uj ∩ Uk. (1.1)

Seja U = {Ui}i∈I uma cobertura aberta de X. Suponhamos que é dada uma colecção

de funções gij : Uij → GL(r,C), para Uij 6= ∅, satisfazendo as condições a) e b) acima.

Podemos então construir um �brado vectorial sobre X com funções de transição {gij}.

Consideremos o quociente

E =

(∐i∈I

Ui × Cr

)/ ∼

sob a relação de equivalência ∼ que identi�ca os pontos (x, v) ∈ Ui × Cr com (x′, v′) ∈

Uj ×Cr quando x = x′ e v′ = gij(x)v. Consideremos neste conjunto a topologia quociente.

1.1 De�nições 5

Temos então uma projecção contínua p : E → X e um homeomor�smo sobre Ui:

E|Ui

∼→ Ui × Cr. (1.2)

Podemos assim dar ao espaço topológico quociente E a estrutura de variedade algébrica

induzida da estrutura de variedade algébrica de Ui×Cr. Sobre Uij as estruturas induzidas

de Ui × Cr e Uj × Cr coincidem. Podemos também transportar a estrutura de espaço

vectorial das �bras: esta estrutura de espaço vectorial em Ex não depende do i. Obtemos,

assim, um �brado vectorial E → X e por de�nição, o isomor�smo 1.2 dá uma trivialização.

Vimos então que o �brado vectorial E �ca de�nido pelo seu sistema de funções de

transição.

De�nição 1.2. Um mor�smo entre dois �brados vectoriais E e F sobre X, de caracte-

rísticas r e s respectivamente, é dado por uma aplicação regular de variedades algébricas

f : E → F tal que o seguinte diagrama é comutativo:

Ef−→ F

↘ ↙

X

e para cada x ∈ X, fx = f |Ex : Ex → Fx é uma aplicação linear de espaços vectoriais.

O mor�smo f diz-se um isomor�smo entre os dois �brados vectoriais E e F se é um

isomor�smo entre as variedades algébricas E e F tal que para cada x ∈ X, a aplicação fx

é um isomor�smo linear de espaços vectoriais. Dois �brados vectoriais dizem-se isomorfos

se existe um isomor�smo entre eles.

Se ϕ : E|U → U × Cr e ψ : F |U → U × Cs são trivializações dos �brados E e F sobre

o mesmo conjunto aberto U , então as aplicações f = ψfϕ−1 : U × Cr → U × Cs são as

expressões locais de f nas cartas ϕ e ψ, e são escritas como

(x, v) 7→ (x, g(x)v),

onde g : U → L(Cr,Cs) é uma aplicação de variedades algébricas, de U para o espaço

vectorial L(Cr,Cs) das aplicações lineares Cr → Cs.


É imediato que f é um isomor�smo se e só se todas as suas expressões locais, f , são

isomor�smos.

De�nição 1.3. Um �brado vectorial p : E → X diz-se um �brado vectorial trivial de

característica r se é isomorfo a X × Cr, com a estrutura de espaço vectorial standard em

Cr, que não depende de x ∈ X.

De�nição 1.4. Um sub�brado F de característica m de um �brado p : E → X de carac-

terística r (r ≥ m) é uma subvariedade F ⊂ E tal que, para cada x ∈ X, a intersecção

F ∩ Ex é um subespaço vectorial de Ex de dimensão m e tal que o mor�smo induzido

p|F : F → X

é localmente trivial.

Nota 1.5. A inclusão i : F → E é um mor�smo de �brados.

De�nição 1.6. Seja p : E → X um �brado vectorial de característica r sobre X. Uma

secção regular de E sobre um conjunto aberto U é uma aplicação s : U → E de variedades

algébricas tal que p(s(x)) = x para todo x ∈ U .

Localmente, ou seja, composta com uma trivialização ϕi : E|Ui→ Ui × Cr, s �ca

de�nida por uma aplicação

ϕi(s) = (id, si) : Ui → Ui × Cr

x 7→ (x, si(x))

em que si : Ui → Cr é uma função regular em Ui.

Seja U um conjunto aberto de X. Designemos por O(U) a álgebra das funções regulares

em U e por Γ(U,E) o conjunto das secções regulares de E sobre U . Podemos dar ao

conjunto Γ(U,E) a estrutura de um módulo sobre a álgebra O(U). As operações são

de�nidas por

(s+ t)(x) = s(x) + t(x) e (αs)(x) = α(x)s(x)

1.1 De�nições 7

onde s, t ∈ Γ(U,E) e α ∈ O(U).

Nota 1.7. Seja p : E → X um �brado vectorial de característica r sobre X e s : X → E

uma secção regular global de E. Numa trivialização local ϕi : E|Ui→ Ui × Cr do �brado

vectorial, a secção �ca:

ϕi(s) : Ui → Ui × Cr

x 7→ (x, si(x))

e é então de�nida por uma função regular si : Ui → Cr. No conjunto Uij = Ui ∩ Uj, estas

funções locais estão relacionadas por

si = gijsj,

e podemos pensar numa secção global s como uma colecção de funções locais {si} que se

relacionam desta forma. O espaço de todas as secções globais de E é um espaço vectorial

sobre C, que denotamos por Γ(X,E) ou H0(X,E).

Exemplo 1.8. Consideremos C = P1 com a cobertura usual:

U0 ={[z0 : z1] ∈ P1 : z0 6= 0

}= {[1 : z1] ∈ P1} e

U1 ={[z0 : z1] ∈ P1 : z1 6= 0

}= {[z0 : 1] ∈ P1}

A função de transição g01([z0 : z1]) =(z1z0

)nem U0 ∩ U1 de�ne um �brado linha que se

denota geralmente por O(n). Uma secção deste �brado linha é dada pelas funções s0 e s1

em C relacionadas por

s0 = g01s1

em U0 ∩ U1. Expandindo estas funções como polinómios de Laurent nas suas respectivas

coordenadas locais, z0 e z1, e usando o facto de z0 = 1z1, temos, em U0 ∩ U1∑

k≥0

akzk1 = zn1

∑k≥0

bk

(1

z1

)k.

Equacionando os coe�cientes, encontramos ak = bk = 0 para k > n e a0 = bn, a1 = bn−1,

..., an = b0. Então a secção global será dada porn∑k=0

akzn−k0 zk1 ,


que é um polinómio homogéneo de grau n. Assim, para n ≥ 0 a dimensão de H0(P1,O(n))

é n+ 1. Em particular, para n < 0 a única secção global é a secção nula.

Construções:

1. Sejam L e L dois �brados linha sobre X. Podemos formar o seu produto tensorial

L ⊗ L, que é um �brado linha com funções de transição gij(L ⊗ L) = gij(L)gij(L).

Podemos construir o �brado dual L∗, também denotado L−1, tendo este funções de

transição gij(L∗) = g−1ij (L). Note-se que L ⊗ L∗ ∼= I, onde I denota o �brado linha

trivial (isomorfo a X × C).

2. Dados dois �brados vectoriais sobreX, E e E de características r e s respectivamente,

podemos formar a sua soma directa E ⊕ E, tendo este �brado como funções de

transição gij(E⊕E) : Uij → GL(Cr⊕Cs) de�nidas pela matriz

gij(E) 0

0 gij(E)

.

Note-se que a característica de E ⊕ E é r + s.

3. Dados dois �brados vectoriais sobre X, E e E, podemos construir os �brados E⊗ E,

Hom(E, E), o �brado dual E∗ := Hom(E, I), o produto exterior∧k(E). Temos os

isomor�smos Hom(E, E) ∼= E∗ ⊗ E, (E ⊕ E)∗ ∼= E∗ ⊕ E∗ e (E ⊗ E)∗ ∼= E∗ ⊗ E∗.

4. Sejam p : E → X um �brado vectorial de característica r sobre X e f : Y → X um

mor�smo de variedades algébricas. De�nimos o �brado vectorial pullback de E via

f , f ∗E, por

f ∗E := {(y, q) ∈ Y × E : f(y) = p(q)}.

Este �brado tem característica r e tem funções de transição gij(f ∗E) = gij(E) ◦ f .

5. Seja E um �brado vectorial de característica r sobre X. O produto exterior mais

alto forma um �brado linha denominado �brado linha determinante de E: det(E) =∧r(E). Este �brado linha tem como funções de transição det(gij(E)).

1.2 Fibrados Vectoriais e Feixes 9

1.2 Fibrados Vectoriais e Feixes

Vimos que as secções de �brados vectoriais são dadas por funções regulares si em Ui e que

�brados vectoriais são também dados por funções de transição gij em Ui ∩Uj. Iremos usar

a tecnologia da teoria de feixes e da sua cohomologia para trabalharmos globalmente com

estas noções.

De�nição 1.9. Seja X um espaço topológico. Um pré-feixe de grupos F em X é uma

colecção de grupos F(U), um para cada subconjunto aberto U ⊆ X, e uma colecção de

homomor�smos de grupos ρUV : F(U) → F(V ) para V ⊆ U , tal que

• F(∅) é o grupo trivial com um elemento,

• ρUU = id em F(U), e

• se W ⊆ V ⊆ U , então ρUW = ρVW ◦ ρUV .

Os homomor�smos ρUV são chamados as aplicações restrição do pré-feixe. Os elementos de

F(U) são geralmente chamados as secções de F sobre U . Os elementos de F(X), que são

as secções de F sobre todo o espaço X, são chamados as secções globais de F .

Podemos também considerar a noção de pré-feixe de anéis, onde cada grupo F(U) é,

de facto, um anel, e as aplicações restrição são homomor�smos de anéis.

De�nição 1.10. Um feixe sobre um espaço topológico X é um pré-feixe F sobre X que,

para cada aberto U de X e cobertura aberta {Ui} de U , satisfaz o axioma de feixe, ou seja,

dados si ∈ F(Ui) tais que ρUiUij

(si) = ρUj

Uij(sj) para todos i e j, onde Uij = Ui ∩ Uj, então

existe uma única secção s ∈ F(U) tal que ρUUi(s) = si para cada i.

Exemplo 1.11. Seja X é uma variedade algébrica. O feixe OX sobre X, com OX(U) =

{f : U → C regulares}, chamado feixe de estrutura ou feixe de funções regulares em X, é

um feixe de C-álgebras, em particular é um feixe de anéis. Quando não existir dúvida na

variedade considerada, representaremos este feixe simplesmente por O.


De�nição 1.12. Sejam F e G dois pré-feixes sobre um espaço topológico X. Um mor�smo

φ : F → G entre os pré-feixes F e G é uma colecção de homomor�smos

φU : F(U) → G(U),

para todo o subconjunto aberto U de X, que comuta com as aplicações restrição dos dois

pré-feixes, ou seja, o diagrama

F(U)φU−→ G(U)

ρUV ↓ (ρ

′)UV ↓

F(V )φV−→ G(V )

comuta, onde V ⊂ U é um subconjunto aberto, ρ e ρ′são as aplicações restrição de F e G

respectivamente. Se F e G são feixes em X, a aplicação φ diz-se um mor�smo de feixes.

De�nição 1.13. Seja φ : F → G um mor�smo de pré-feixes sobre um espaço topológico

X. O pré-feixe núcleo, K, de φ é o pré-feixe dado por K(U) = ker(φ(U)) e o pré-feixe

imagem, I, de φ é o pré-feixe dado por I(U) = im(φ(U)), para U subconjunto aberto de

X.

Note-se que se φ : F → G é um mor�smo de feixes, então o pré-feixe núcleo de φ é

um feixe, mas o pré-feixe imagem de φ não é, em geral, um feixe. Podemos considerar, no

entanto, um feixe associado ao pré-feixe imagem de φ. Remetemos o leitor para a referência

[Hart 77].

De�nição 1.14. Uma sequência de feixes de grupos abelianos

F1ϕ1−→ F2

ϕ2−→ F3 −→ . . . −→ Fiϕi−→ Fi+1 −→ . . .

diz exacta se imϕi = kerϕi+1 para todo i.

Uma sequência exacta de feixes da forma

0 −→ F1ϕ1−→ F2

ϕ2−→ F3 −→ 0 (1.3)

diz-se uma sequência exacta curta.

1.2 Fibrados Vectoriais e Feixes 11

De�nição 1.15. Dizemos que a sequência exacta ( 1.3) se cinde se qualquer uma das

seguintes condições equivalentes é satisfeita:

i) Existe uma aplicação α : F3 → F2 tal que ϕ2 ◦ α = idF3 .

ii) Existe uma aplicação β : F2 → F1 tal que β ◦ ϕ1 = idF1 .

iii) O feixe F2 é isomorfo à soma directa de F1 e F3.

De�nição 1.16. Seja A um feixe de anéis num espaço topológico X. Um feixe de A-

módulos é um feixe de grupos abelianos M tal que para qualquer subconjunto aberto U

de X o conjunto M(U) é um A(U)-módulo e a restrição respeita a multiplicação, isto é,

(a ·m)|V = a|V ·m|V para V aberto em U .

De�nição 1.17. Um feixe de A-módulos isomorfo ao feixe Ak, a soma directa de A consigo

próprio k vezes, chama-se feixe livre de característica k.

De�nição 1.18. Um feixe de A-módulos, M, diz-se localmente livre se existe uma co-

bertura aberta X =⋃Ui tal que os feixes restrição M|Ui

são feixes de A|Ui-módulos

livres. Um feixe de A-módulos localmente livre diz-se de característica k se todos osM|Ui

têm característica k. Um feixe de A-módulos localmente livre de característica um diz-se

invertível.

Exemplo 1.19. Se E é um �brado vectorial de característica r sobre uma variedade algébrica

X, o feixe de OX-módulos sobre X, OX(E), com OX(E)(U) = Γ(U,E), é localmente iso-

morfo a OrX , pelo que é um feixe localmente livre de característica r. Em particular, tendo

em conta a nota 1.7, OX(I) ∼= OX , onde I denota o �brado linha trivial sobre X. Quando

não existir dúvida na variedade considerada representaremos este feixe simplesmente por

O(E) e designá-lo-emos por feixe das secções regulares de E sobre X.

Proposição 1.20. O functor que associa o feixe de módulos de secções regulares a um

�brado vectorial E é uma equivalência de categorias entre a categoria dos �brados vectoriais

algébricos sobre X e a categoria dos feixes localmente livres de característica �nita em X.


A demonstração deste resultado pode ser encontrada em [P 97, Capítulo 1 (1.8)].

Tendo em conta o exemplo 1.19 e a proposição 1.20 anteriores, vemos que dado um

feixe localmente livre de característica r em X, podemos identi�cá-lo com um �brado

vectorial algébrico de característica r sobre X. Em particular, os �brados linha sobre

X podem ser identi�cados com os feixes invertíveis em X. Por causa disto, e quando

não resultar qualquer confusão, usaremos indiferentemente as palavras "�brado vectorial"e

"feixe localmente livre", identi�cando o �brado vectorial E com o feixe das secções regulares

de E sobre X, O(E).

1.3 Cohomologia

Se X é um espaço topológico eM é um feixe de grupos abelianos em X, podemos construir

os grupos de cohomologiaHp(X,M) com coe�cientes emM. Consideremos uma cobertura

aberta U = {Ui}i∈I de X, com I totalmente ordenado. Para qualquer colecção de índices

(i0, . . . , ip), com p ≥ 0, denotemos a intersecção dos correspondentes subconjuntos abertos

por

Ui0,...,ip = Ui0 ∩ . . . ∩ Uip

e consideremos

Ui0,...,ik,...,ip = Ui0,...,ik−1,ik+1...,ip .

Sejam

C0(U,M) =∏i

M(Ui)

C1(U,M) =∏i<j

M(Ui,j)

...

Cp(U,M) =∏

i0<i1<...<ip

M(Ui0,i1,...,ip).

Nota 1.21. Um elemento σ de Cp(U,M) é determinado dando um elemento

σi0,...,ip ∈M(Ui0,i1,...,ip),

1.3 Cohomologia 13

para cada (i0, . . . , ip) onde i0 < . . . < ip são elementos de I.

Pode de�nir-se, de forma natural, σi0,...,ip para (i0, . . . , ip) que não satisfazem i0 < . . . <

ip. Se existe um índice repetido no conjunto {i0, . . . , ip}, de�nimos σi0,...,ip = 0. Se os

índices são todos distintos, de�nimos σi0,...,ip = (−1)τστi0,...,τ ip , onde τ é a permutação para

a qual τi0 < . . . < τip.

De�nição 1.22. Um elemento σ de Cp(U,M) é chamado uma p-cocadeia de M sobre a

cobertura aberta U .

De�nição 1.23. O operador cobordo é a aplicação

δ : Cp(U,M) → Cp+1(U,M)

de�nido pela fórmula

(δσ)i0,...,ip+1 =

p+1∑j=0

(−1)j ρUi0,...,ij ,...,ip+1

Ui0,...,ij ,...,ip+1(σi0,...,ij ,...,ip+1

)

Em particular, se σ = {σi,j} ∈ C1(U,M), (δσ)i,j,k = σi,j + σj,k − σi,k em Ui,j,k.

De�nição 1.24. Uma p-cocadeia σ ∈ Cp(U,M) é chamada um p-cociclo se δσ = 0 e é

chamada um p-cobordo se σ = δτ para algum τ ∈ Cp−1(U,M).

Um cálculo simples demonstra a seguinte proposição.

Proposição 1.25. δ2 = 0.

Como δ2 = 0, vemos que um cobordo é um cociclo. Podemos então fazer a seguinte

de�nição.

De�nição 1.26. O p-ésimo grupo de cohomologia de M em relação a U é

Hp(U,M) :=Zp(U,M)

im(δ : Cp−1 → Cp)

onde Zp(U,M) = ker(δ : Cp → Cp+1).


Estes grupos de cohomologia dependem da cobertura considerada. A de�nição de gru-

pos de cohomologia que sejam independentes da cobertura pode ser feita considerando o

limite directo sobre o conjunto de todas as coberturas de X parcialmente ordenado por

re�namento. Denotamos o p-ésimo grupo de cohomologia de M sobre X por

Hp(X,M) := lim−→U

Hp(U,M).

Para uma exposição mais detalhada remetemos o leitor a [Mi 97] ou a [Hart 77].

Exemplo 1.27. Consideremos uma curva algébrica não singular C e uma cobertura aberta

de C, U = {Ui}. Sejam L um �brado linha sobre C e O(L) o feixe das secções regulares de

L.

1. Seja f = {fi} ∈ C0(U,O(L)). Então (δf)ij = fj−fi em Ui∩Uj. Assim, δf é nula se as

secções locais fi se juntam para dar uma secção global, ou seja, H0(C,O(L)) = kerδ

é o espaço das secções regulares globais de L, Γ(C,O(L)) (conferir nota 1.7).

2. Suponhamos agora que L tem funções de transição {gij}, relativamente a {ϕi}, onde

ϕi : L|Ui→ Ui × C são as trivializações locais de �brado. As funções de transição

{gij ∈ O∗(Ui∩Uj)} representam uma 1-cocadeia de O∗, o feixe das funções regulares

não nulas em C. Considere-se o grupo O∗(U) com a operação multiplicação. As

condições( 1.1) satisfeitas pelas funções de transição dizem-nos apenas que δ ({gij}) =

1, isto é, {gij} é um 1-cociclo, {gij} ∈ Z1(U,O∗).

As trivializações ϕi não são únicas. Considere-se trivializações alternativas de L sobre

U :

ϕ′i = hiϕi

para hi ∈ O∗(Ui) uma qualquer colecção de funções regulares não nulas. Temos

funções de transição g′ij para L relativamente a {ϕ′i} dadas por:

g′ij = ϕ′i(ϕ′j)−1 = higijh

−1j (1.4)

Como qualquer trivialização de L sobre U pode ser obtida da maneira acima, vemos

que colecções {gij} e {g′ij} de funções de transição de�nem o mesmo �brado linha se

1.4 Fibrados Vectoriais sobre Curvas Algébricas 15

e só se existem funções hi ∈ O∗(Ui) satisfazendo 1.4, isto é, g′ijg−1ij = hih

−1j = (δh)ij,

ou seja, a diferença {g′ij · g−1ij } é um 1-cobordo. Consequentemente, vemos que as

classes de isomor�smo de �brados linha numa curva algébrica não singular são dadas

por elementos do grupo de cohomologia de feixes H1(C,O∗). Assim, H1(C,O∗) é o

grupo de Picard, Pic(C), das classes de isomor�smo dos �brados linha (a estrutura

de grupo de Pic(C) é dada pelo produto tensorial, propriedade 1 da página 8).

Enunciaremos agora, sem demonstrar, um teorema que iremos usar no nosso estudo.

Teorema 1.28. Seja X um espaço topológico paracompacto e seja

0 −→ F1 −→ F2 −→ F3 −→ 0

uma sequência exacta curta de feixes de grupos abelianos sobre X. Então existe uma

sequência exacta longa de grupos de cohomologia associada:

0 −→ H0(X,F1) −→ H0(X,F2) −→ H0(X,F3) −→ H1(X,F1) −→ . . .

. . . −→ Hp(X,F1) −→ Hp(X,F2) −→ Hp(X,F3) −→ Hp+1(X,F1) −→ . . .

1.4 Fibrados Vectoriais sobre Curvas Algébricas

Neste trabalho vamos focar o estudo essencialmente em �brados sobre a variedade P1, que

é uma curva algébrica não singular de género 0. Vejamos alguns resultados conhecidos de

�brados sobre curvas algébricas não singulares.

Seja agora C uma curva algébrica não singular de género g ≥ 0.

Pretendemos de�nir o grau de um �brado vectorial de característica r sobre C. Iremos

enunciar alguns resultados que nos conduzirão a esta de�nição.

Não vamos expor detalhadamente a teoria de divisores numa curva algébrica, remetemos

o leitor a [Mi 97].

Denotemos por Div(C) o grupo dos divisores de C (a estrutura de grupo é dada pela

soma de divisores).


Seja k(C) o corpo das funções racionais em C. Representemos por div(f) o divisor de

uma função racional não nula, f ∈ k(C)×:

div(f) =∑p

ordp(f) · p.

Qualquer divisor desta forma é chamado um divisor principal em C.

Cada divisor, D, na curva C determina um feixe invertível, OC(D), em C. Seja

D =∑p∈C

D(p) · p

um divisor na curva C. O feixe OC(D) é o feixe das funções racionais com pólos limitados

por D:

OC(D)(U) = {f ∈ k(C)× : div(f) ≥ −D em todos os pontos de U} ∪ {0}

ou seja, f ∈ OC(D)(U) se, para todo o p ∈ U , f tem um pólo em p com multiplicidade

menor ou igual a D(p) se D(p) > 0, e f tem um zero com multiplicidade maior ou igual

a −D(p) se D(p) ≤ 0. Desta forma, OC(D)(U) é um OC(U)-módulo, e se U ⊂ U ′ então

OC(D)(U ′) ⊂ OC(D)(U). De�nimos a aplicação restrição por esta inclusão. Assim, OC(D)

é um feixe de OC-módulos. Suponhamos que D é um divisor principal num subconjunto

aberto U ⊂ C, seja D|U = div(g) para alguma função racional não nula g. Então

OC(D)(U) = {f ∈ k(C)× : div(fg) ≥ 0 em U} ∪ {0}.

Portanto temos um isomor�smo

OC(D)(U) → OC(U)

f 7→ fg.

Estes isomor�smos comutam com as aplicações restrição para U ′ ⊂ U , pelo que obtemos

um isomor�smo

OC(D)|U∼=→ OC|U .

Como qualquer divisor D é localmente principal, concluimos que OC(D) é localmente iso-

morfo a OC, ou seja, é um feixe invertível. Se D é mesmo um divisor principal, então

OC(D) é trivial.


Tendo em conta a proposição 1.20 concluímos que cada divisor, D, na curva C determina

um �brado linha, LD, identi�cado com o feixe invertível OC(D).

O número

deg(D) =∑p

Dp

é chamado o grau de D.

Lema 1.29. Todo o �brado linha L sobre uma curva C é isomorfo a LD para algum

D ∈ Div(C).

A demonstração deste resultado pode ser encontrada em [Mu 03, Capítulo 9 (9.2)].

Nota 1.30. Os �brados LD e LD′ são isomorfos se e só se D e D′ são linearmente equiva-

lentes, isto é, diferem por um divisor principal.

De�nição 1.31. Seja L um �brado linha sobre C. O grau de L, denotado por deg(L), é

deg(L) = deg(D)

onde L ∼= LD.

De�nição 1.32. Seja E um �brado vectorial de característica r sobre C. O grau de E é

de�nido por

deg(E) = deg(det(E)).

Propriedades:

1. Sejam LD e LD′ dois �brados linha de C associados aos divisores D e D′ respectiva-

mente. Então

LD ⊗ LD′ ∼= LD+D′ , L−1D∼= L−D. (1.5)

Daqui segue que dados dois �brados linha sobre C, L e L, o grau satisfaz

deg(L⊗ L) = degL+ degL, degL−1 = −degL.


Os isomor�smos ( 1.5) permitem-nos de�nir um homomor�smo de grupos:

Div(C) → Pic(C)

D 7→ LD.

Como LD ∼= I, onde I é o �brado linha trivial, se e só se D é um divisor principal,

concluimos que

Pic(C) ∼= Div(C)/PDiv(C)

onde PDiv(C) denota o subgrupo dos divisores principais em C.

2. Se um �brado linha L sobre C tem uma secção s ∈ H0(C,O(L)) que se anula nos

pontos p1, . . . , pn com multiplicidade m1, . . . ,mn então L ∼= LD onde D = div(s) =∑mi · pi, pelo que degL = degD =

∑mi. O grau de L é independente da secção

considerada.

3. Sejam E e E dois �brados vectoriais sobre C, com características r e r respectiva-

mente. Então

det(E ⊗ E) = det(E)⊗ det(E),

det(E ⊗ E) = (detE)⊗r ⊗ det(E)⊗r.

Daqui segue que o grau satisfaz

deg(E ⊕ E) = degE + degE,

deg(E ⊗ E) = rdegE + rdegE.

Exemplo 1.33. No exemplo 1.8, construímos o �brado linha O(n) em P1, com n ≥ 0, usando

a função de transição(z1z0

)nem U0 ∩ U1 onde P1 = U0 ∪ U1 é a cobertura usual. Além

disso, vimos que uma secção s ∈ H0(P1,O(n)) é dada por um polinómio homogéneo de

grau n. Consideremos uma secção global deste �brado, por exemplo, a secção s = zn0 . O

divisor associado a esta secção é D = n · p, com p = [0 : 1], pelo que O(n) ∼= LD, e assim

deg(O(n)) = deg(D) = n. Denotemos O(n)∗ por O(−n). Note-se que deg(O(−n)) =

deg(O(n)∗) = −n.


Seja E um �brado vectorial de característica r sobre C. Usando a identi�cação de E

com o feixe das secções regulares de E sobre C, O(E), o grupo de cohomologia H i(C,O(E))

será escrito H i(C, E).

Usaremos a notação hi(E) = dimH i(C, E).

Enunciaremos agora, sem demonstração, dois teoremas fundamentais na teoria dos

�brados vectoriais sobre curvas algébricas não singulares.

Denotemos por K o �brado cotangente das 1-formas sobre C, chamado �brado linha

canónico.

Teorema 1.34 (Dualidade de Serre). Se E é um �brado vectorial numa curva algébrica

não singular C, então existe um isomor�smo natural

H1(C, E) ∼= H0(C, K ⊗ E∗)∗.

Para a demonstração deste teorema remetemos o leitor a [Hart 77, Capítulo III (7)].

Teorema 1.35 (Riemann-Roch). Se C for uma curva algébrica não singular de género

g e E um �brado vectorial de característica r sobre C, temos:

h0(E)− h1(E) = degE + r(1− g).

A demonstração deste teorema pode ser encontrada em [Mu 03, Capítulo 10 (10.1)].

Capítulo 2

Fibrados Vectoriais Quase-Parabólicos

Neste capítulo são apresentados os �brados vectoriais quase-parabólicos e alguns resultados

que nos permitem conhecer melhor esta classe de �brados vectoriais. Terminamos o capítulo

com a de�nição de �brados vectoriais parabólicos, uma noção importante que é necessária

para a construção do espaço moduli em geral.

De�nição 2.1. Seja V um espaço vectorial complexo de dimensão r. Uma bandeira des-

cendente de V é uma �ltração por subespaços vectoriais:

V = V1 ⊃ V2 ⊃ . . . ⊃ Vk ⊃ Vk+1 = {0},

com k ∈ N. Chamamos tipo da bandeira ao vector −→m = (m1, . . . ,mk) onde a multiplicidade

mi é mi = dimVi − dimVi+1, para 1 ≤ i ≤ k. Designemos por F(V,−→m) o conjunto das

bandeiras de V de tipo −→m, a que chamamos uma variedade bandeira.

Esta terminologia é justi�cada pelo facto de poder ser dada uma estrutura de variedade

a F(V,−→m). ([Harr 92])

Exemplo 2.2. O espaço projectivo de dimensão r sobre C, Pr, pode ser interpretado como

o conjunto das bandeiras de Cr+1 de tipo (r, 1):

Cr+1 = V1 ⊃ V2 ⊃ {0},

onde V2 é um subespaço vectorial complexo de dimensão 1. A variedade bandeira F(Cr+1, (r, 1))

pode então ser vista como Pr.

21

22 Fibrados Vectoriais Quase-Parabólicos

Exemplo 2.3. Sejam B = (e1, . . . , er) a base canónica de Cr e −→m = (m1, . . . ,mk), com

k ∈ N e mi ∈ N para todo 1 ≤ i ≤ k. Podemos de�nir em Cr uma bandeira ξ(B), de tipo−→m, dada por:

ξ(B) = ξ(B)1 ⊃ ξ(B)2 ⊃ . . . ⊃ ξ(B)k ⊃ {0},

onde ξ(B)j = Ce1 ⊕ . . . ⊕ Ceβjpara βj = dimξ(B)j = mj +mj+1 + . . . +mk, 1 ≤ j ≤ k.

Vamos designar esta bandeira por bandeira standard de tipo −→m em Cr .

Seja C uma curva algébrica não singular de género g.

De�nição 2.4. Seja {pi}ni=1 um conjunto �nito não vazio de pontos distintos de C. Um

�brado quase-parabólico E de característica r sobre C com pontos marcados pi é um �brado

vectorial algébrico E0 sobre C equipado com uma estrutura quase-parabólica, ou seja, para

cada ponto pi temos uma bandeira descendente de (E0)pi, isto é, (E0)pi

está munida de

uma �ltração por subespaços vectoriais:

(E0)pi= Epi,1 ⊃ Epi,2 ⊃ . . . ⊃ Epi,rpi

⊃ Epi,rpi+1 = {0}.

Denotamos o tipo da bandeira sobre pi pelo vector ~mpi= (mpi,1, . . . ,mpi,rpi

) onde a

multiplicidade mpi,k é mpi,k = dim(Epi,k)− dim(Epi,k+1), para 1 ≤ k ≤ rpi.

Chamamos dados quase-parabólicos do �brado ao sistema (~mpi)i=1,...,n.

Cometeremos, por vezes, o abuso de notação de identi�car E e E0.

De�nição 2.5. Sejam E e F dois �brados quase-parabólicos sobre C com pontos marcados

p1, . . . , pn. Dizemos que um isomor�smo de �brados vectoriais algébricos ψ : E → F é um

isomor�smo quase-parabólico se para todo o ponto marcado pi com a estrutura quase-

parabólica sobre E dada por

Epi= Epi,1 ⊃ Epi,2 ⊃ . . . ⊃ Epi,rpi

⊃ {0}

e a estrutura quase-parabólica sobre F dada por

Fpi= Fpi,1 ⊃ Fpi,2 ⊃ . . . ⊃ Fpi,rpi

⊃ {0}

temos que ψ(Epi,j) = Fpi,j, para todo 1 ≤ j ≤ rpi.

23

Proposição 2.6. Sejam p1, . . . , pn pontos marcados de C e seja E um �brado vectorial algé-

brico de característica r sobre C, com o sistema de dados quase-parabólicos (−→mpi)i=1,...,n. As

estruturas quase-parabólicas de E são parametrizadas pelo produto de variedades bandeira

R =n∏i=1

(Iso (Cr, Epi) /Bi) ,

onde Iso(Cr, Epi) é o conjunto dos isomor�smos de Cr para Epi

e Bi é o subgrupo parabólico

de GL(r,C) que deixa invariante a bandeira standard de tipo −→mpiem Cr.

Demonstração. Consideremos a �bra Epimunida de uma �ltração por subespaços vec-

toriais:


⊃ {0}.

Seja

βj = dimEpi,j = mpi,j +mpi,j+1 + . . .+mpi,rpi, 1 ≤ j ≤ rpi

.

Consideremos uma base de Epi, ε = (ε1, . . . , εr). Seja

ξ(ε)j = Cε1 ⊕ . . .⊕ Cεβj

e denotemos por ξ(ε) a bandeira de tipo −→mpiem Epi

associada à base ε:

ξ(ε) = ξ(ε)1 ⊃ ξ(ε)2 ⊃ . . . ξ(ε)rpi⊃ {0}.

Note-se que qualquer bandeira de Epié desta forma para alguma base de Epi

. Sejam

B = (e1, . . . , er) a base canónica de Cr e g ∈ Iso(Cr, Epi). Podemos construir a aplicação

Iso(Cr, Epi) → F(Epi

,−→mpi)

g 7→ ξ(εg)

onde εg = (g(e1), . . . , g(er)) é a base de Epiassociada ao isomor�smo g. Esta aplicação é

sobrejectiva mas não é injectiva. Vejamos que induz uma aplicação injectiva. Consideremos

o grupo GL(r,C) = {f : Cr∼=→ Cr} e a acção à direita deste grupo em Iso(Cr, Epi

) dada

por

g · f := g ◦ f, (2.1)


com g ∈ Iso(Cr, Epi) e f ∈ GL(r,C). Esta acção induz uma acção à direita de GL(r,C)

em F(Epi,−→mpi

):

ξ(εg) · f := ξ(εg·f ). (2.2)

Seja g ∈ Iso(Cr, Epi) e consideremos a bandeira associada a g, ξ(εg) ∈ F(Epi

,−→mpi). O

estabilizador, pela acção ( 2.2), de ξ(εg) é

Stab(ξ(εg)) = {f ∈ GL(r,C) : ξ(εg·f ) = ξ(εg)} .

Logo temos F(Epi,−→mpi

) ∼= Iso(Cr, Epi)/Stab(ξ(εg)). Note-se que g−1(ξ(εg)) é a bandeira

standard de tipo −→mpiem Cr, ou seja, g−1(ξ(εg)) = ξ(B), onde

ξ(B) = ξ(B)1 ⊃ ξ(B)2 ⊃ . . . ⊃ ξ(B)rpi⊃ {0},

com ξ(B)j = Ce1 ⊕ . . . ⊕ Ceβj. Temos que ξ(B) ∈ F(Cr,−→mpi

). Consideremos a acção à

direita, análoga à acção ( 2.2), de GL(r,C) em F(Cr,−→mpi) dada por

ξ(εg) · f := ξ(εg·f ),

onde f, g ∈ GL(r,C) e εg = (g(e1), . . . , g(er)) é a base de Cr associada ao isomor�smo g.

Note-se que ξ(B) = ξ(εId), Id ∈ GL(r,C). Assim,

Stab(ξ(B)) = Stab(ξ(εg)), (2.3)

considerando as respectivas acções de GL(r,C). Além disso, Stab(ξ(B)) é o subgrupo das

matrizes invertíveis r × r da forma

Arpi∗ . . . ∗

0 Arpi−1 . . . ∗

. . . 0...

. . .. . . ∗

0 . . . 0 A1

onde Aj ∈ GL(mpi,j,C). Tal grupo de matrizes é o subgrupo parabólico de GL(r,C) que

deixa invariante a bandeira standard de tipo −→mpiem Cr e, por ( 2.3), em Epi

. Denotamos

25

este subgrupo parabólico por Bi. Assim, considerando o espaço quociente Iso(Cr, Epi)/Bi,

onde g ∼ h se e só se existe algum f ∈ Bi tal que h = g ◦f , para g, h ∈ Iso(Cr, Epi), temos

um isomor�smoIso(Cr, Epi

)/Bi → F(Epi,−→mpi

)

g 7→ ξ(εg).

Concluimos então que Iso(Cr, Epi)/Bi é a variedade das bandeiras de tipo

−→mpiem Epi

, pelo

que as estruturas quase-parabólicas de E com o sistema de dados parabólicos (−→mpi)i=1,...,n

são parametrizadas pelo produto de variedades bandeira:

R =n∏i=1

(Iso (Cr, Epi) /Bi) .

�

Nota 2.7. O grupo dos automor�smos algébricos de E, Aut(E), age em R. O espaço

quociente é o conjunto das classes de isomor�smo de todos os �brados quase-parabólicos

com o sistema de dados parabólicos (−→mpi)i=1,...,n cujo �brado subjacente é E (comparar

com a de�nição 2.5).

Corolário 2.8. Sejam p1, . . . , pn pontos marcados de C e seja E um �brado vectorial

algébrico de característica 2 sobre C tal que as bandeiras em p1, . . . , pN são do tipo (1, 1)

e as bandeiras em pN+1, . . . , pn são do tipo (2). As estruturas quase-parabólicas em E são

parametrizadas por

R =N∏i=1

(Iso

(C2, Epi

)/B) ∼= (P1)N ,

onde Iso(C2, Epi) é o conjunto dos isomor�smos de C2 para Epi

e

B =

M ∈ GL(2,C) : M =

a b

0 c

com a, b, c ∈ C

é o subgrupo parabólico de GL(2,C) que deixa invariante a bandeira standard de tipo (1, 1)

em C2.

Demonstração. Como a característica de E é 2, cada �bra de E é isomorfa a C2 e

portanto podemos ter dois tipos de bandeiras, correspondentes às duas possíveis �ltrações

descendentes de C2:


• C2 ⊃ C ⊃ 0, de tipo (1, 1)

• C2 ⊃ 0, de tipo (2).

A cada tipo de bandeira corresponde o subgrupo parabólico de GL(2,C), B, que deixa

invariante a bandeira standard do mesmo tipo em C2:

• B =

M ∈ GL(2,C) : M =

a b

0 c

com a, b, c ∈ C

,

• B = GL(2,C),

respectivamente. Por hipótese, temos N bandeiras do primeiro tipo em E e estamos a

considerar os pontos p1 . . . , pn ordenados de modo que as bandeiras em p1, . . . , pN sejam

do primeiro tipo e as bandeiras em pN+1, . . . , pn sejam do segundo tipo. Vimos na propo-

sição 2.6 que as estruturas quase-parabólicas de E são parametrizadas por um produto de

variedades bandeira

R =N∏i=1

(Iso

(C2, Epi

)/B)×

n∏j=N+1

(Iso

(C2, Epj

)/GL(2,C)

)onde

N∏i=1

(Iso

(C2, Epi

)/B)

parametriza as bandeiras do tipo C2 ⊃ C ⊃ 0 e

n∏j=N+1

(Iso

(C2, Epj

)/GL(2,C)

)parametriza as bandeiras do tipo C2 ⊃ 0 e, portanto, é trivial. Assim,

R =N∏i=1

(Iso

(C2, Epi

)/B)

onde

B =

M ∈ GL(2,C) : M =

a b

0 c

com a, b, c ∈ C

27

é o subgrupo parabólico de GL(2,C) que deixa invariante a bandeira standard de tipo

(1, 1) em C2.

Tendo em conta a demonstração da proposição 2.6, vemos que qualquer bandeira de

tipo (1, 1) em Epié da forma

Epi= ξ(ε)1 ⊃ ξ(ε)2 ⊃ {0},

onde

ξ(ε)1 = Cε1 ⊕ Cε2

ξ(ε)2 = Cε1

para alguma base ε = (ε1, ε2) de Epi. Seja (e1, e2) a base canónica do espaço vectorial

complexo C2. Fixemos uma base (ε1, ε2) de Epie seja g : Epi

→ C2 o isomor�smo de�nido

por g(ε1) = e1 e g(ε2) = e2. Consideremos a aplicação

Iso(C2, Epi) → C2\{0}

f 7→ g (f(e1)).

Esta aplicação não é injectiva mas, pelo que vimos anteriormente, induz o isomor�smo

Iso(C2, Epi)/B

∼=→ (C2\{0}) /C∗ ∼= P1

[f ] 7→ [g (f(e1))].

Concluimos então que

R =N∏i=1

(Iso

(C2, Epi

)/B) ∼= (P1)N .

�

De�nição 2.9. Consideremos a curva C com um número �nito de pontos marcados p1, . . . , pn.

Seja T uma variedade algébrica irredutível não singular. Uma família algébrica de �bra-

dos quase-parabólicos de característica r e dados quase-parabólicos (~mpi)i=1,...,n sobre C

parametrizados por T é dada por:


• um �brado vectorial algébrico E → C × T de característica r sobre C × T , tal que

considerando as aplicações

ϕi : T → C × T

t 7→ (pi, t)

com i = 1, . . . , n, temos que E|{pi}×T∼= ϕ∗i E → T é um �brado vectorial de caracte-

rística r sobre T .

• para cada i = 1, . . . , n, uma �ltração

ϕ∗i E = Ei,1 ⊃ . . . ⊃ Ei,rpi⊃ {0}

onde Ei,k → T ,para 2 ≤ k ≤ rpi, é um sub�brado vectorial algébrico de ϕ∗i E de

característica r −∑k−1

j=1 mpi,j.

Quando não houver perigo de confusão (da família com o �brado) designaremos a

família algébrica por E → C × T .

Nota 2.10. Seja t ∈ T . Consideremos a aplicação

ψt : C → C × T

x 7→ (x, t)

Temos que E|C×{t} ∼= ψ∗t E → C é um �brado quase-parabólico de característica r e sistema

de bandeiras (~mpi)i=1,...,n sobre C, que designaremos por Et. A bandeira em pi é dada por:(

ψ∗t E)pi

=(ϕ∗i E

)t=(Ei,1

)t⊃(Ei,2

)t⊃ . . . ⊃

(Ei,rpi

)t⊃ {0}.

Nesta dissertação não nos vamos referir aos �brados parabólicos. No entanto, parece-

nos relevante terminar este capítulo com a de�nição de �brados parabólicos pois esta noção

é necessária para a construção do espaço moduli em geral. ([MS 80])

De�nição 2.11. Seja {pi}ni=1 um conjunto �nito não vazio de pontos distintos de C. Um

�brado parabólico E ′ de característica r sobre C com pontos marcados pi é um �brado

vectorial algébrico sobre C equipado com uma estrutura parabólica, ou seja, é um �brado

29

quase-parabólico E sobre C com bandeiras pesadas, isto é, para cada ponto pi associamos

à bandeira descendente


⊃ Epi,rpi+1 = {0}.

uma sucessão de números reais:

0 ≤ api,1 < api,2 < . . . < api,rpi< 1.

Chamamos a cada api,k o peso associado ao subespaço vectorial Epi,k.

Designamos o sistema (api,k)1≤i≤n,1≤k≤rpipor sistema de pesos para E ′.

Dizemos que mpi,k é a multiplicidade do peso api,k.

De�nição 2.12. Sejam E e F dois �brados parabólicos sobre C com pontos marcados

p1, . . . , pn. Um mor�smo parabólico entre E e F é uma aplicação de �brados vectoriais

algébricos ψ : E → F , que respeita as estruturas parabólicas, isto é, para todo o ponto

marcado pi com a estrutura parabólica sobre E dada por

Epi= Epi,1 ⊃ Epi,2 ⊃ . . . ⊃ Epi,rpi(E)

⊃ {0}

0 ≤ api,1(E) < api,2(E) < . . . < api,rpi(E)(E) < 1

e a estrutura parabólica sobre F dada por

Fpi= Fpi,1 ⊃ Fpi,2 ⊃ . . . ⊃ Fpi,rpi(F )

⊃ {0}

0 ≤ api,1(F ) < api,2(F ) < . . . < api,rpi(F )(F ) < 1

temos que

api,j(E) > api,k(F ) ⇒ ψpi(Epi,j) ⊆ Fpi,k+1.

Dizemos que ψ é um isomor�smo parabólico se é um isomor�smo de �brados vectoriais

algébricos e se ψ−1 é um mor�smo parabólico.

Tendo em conta a de�nição 2.5, vemos que se dois �brados parabólicos são isomorfos

como �brados parabólicos então têm o mesmo sistema de pesos e são isomorfos como


�brados quase-parabólicos. Vemos também que se dois �brados parabólicos são isomorfos

como �brados quase-parabólicos e têm o mesmo sistema de pesos então são isomorfos como

�brados parabólicos.

Nota 2.13. Dado um �brado parabólico E sobre C com pontos marcados p1, . . . , pn, de-

notemos por ParAut(E) o grupo dos automor�smos parabólicos de E. Consideremos um

desses automor�smos, ψ : E → E. Como ψ é um mor�smo parabólico, devemos ter

ψpi(Epi,j) = Epi,j. Assim, concluímos que ParAut(E) é independente dos pesos, isto é,

depende apenas da estrutura quase-parabólica de E.

De�nição 2.14. Um �brado parabólico E é um �brado parabólico simples se ParAut(E) =

C∗.

Tendo em conta a nota 2.13, vemos que a de�nição anterior é independente dos pesos,

pelo que faz sentido a noção de �brado quase-parabólico simples.

Capítulo 3

Fibrados Vectoriais sobre P1

Neste capítulo pretendemos classi�car os �brados vectorias sobre a recta projectiva P1.

Esta classi�cação é feita num teorema conhecido por Teorema de Birkho�-Grothendieck

ou Teorema de Grothendieck, que demonstramos de seguida. A nossa demonstração do

teorema segue a referência [HSW 99, Capítulo 2.4].

Teorema 3.1. Se E é um �brado vectorial algébrico de característica m sobre P1, então

E ∼= O(a1)⊕ . . .⊕O(am)

para alguns ai ∈ Z.

Demonstração. Iremos provar este teorema por indução na característica de E.

Comecemos por considerar rk(E) = 1, ou seja, E é um �brado linha sobre P1. Tendo

em conta a Propriedade 1 da página 17, sabemos que Pic(P1) ∼= Div(P1)/PDiv(P1). Além

disso, em P1, um divisor D é principal se e só se deg(D) = 0. Assim temos um isomor�smo

de grupos Div(P1)/PDiv(P1) → Z, pelo que concluimos que Pic(P1) ∼= Z e então o grau

classi�ca os �brados linha em P1, a menos de isomor�smo algébrico. Logo, tendo em conta

o exemplo 1.33, E é isomorfo a O(n) para n = deg(E).

Suponhamos agora que E é um �brado vectorial de característica m. Consideremos

E(n) = E ⊗O(n). Usando Teorema de Riemann-Roch, vemos que para n su�cientemente

31

32 Fibrados Vectoriais sobre P1

grande E(n) terá secções regulares globais. Consideremos a sequência exacta curta

0 −→ O(E(n− 1))sp·−−→ O(E(n)) −→ S −→ 0, (3.1)

onde S é o feixe quociente, p ∈ P1 e localmente em torno de p temos sp(z) = z. Se consi-

derarmos a sequência exacta longa associada podemos deduzir que a aplicação induzida

H0(P1, E(n− 1))sp·−−→ H0(P1, E(n))

é injectiva. Notemos que esta aplicação ou é apenas injectiva ou é um isomor�smo. Su-

ponhamos que estes grupos têm a mesma dimensão. Então a aplicação acima deve ser

um isomor�smo, o que implica que todas as secções globais de E(n) devem anular-se em

p. Uma vez que isto é verdade para todos os pontos p ∈ P1, temos uma contradição (só

teríamos a secção nula). Assim, h0(E(n− 1)) < h0(E(n)), e então existe um inteiro n tal

que

H0(P1, E(n− 1)) = 0 e H0(P1, E(n)) 6= 0.

Considerando este inteiro n, a sequência exacta longa aparece agora como

0 −→ 0−→H0(P1, E(n))−→H0(P1,S) −→ H1(P1, E(n− 1)) −→ . . .

Se s é uma secção global não trivial de E(n), então, tendo em conta a sequência exacta

( 3.1), a aplicação para H0(P1,S) é dada por avaliando s no ponto p (o feixe S é um feixe

arranha céus). Pela exactidão, esta aplicação é injectiva e assim s(p) 6= 0 para todo o

ponto p ∈ P1, pelo que s é uma secção não nula. Assim, podemos de�nir uma inclusão do

�brado linha trivial O em E(n) por:

O = P1 × C → E(n)

(m,λ) 7→ λs(m).

Então temos uma sequência exacta

0 −→ O −→ E(n)α−→ Q −→ 0, (3.2)

onde Q é o �brado quociente e α ∈ H0(P1,Hom(E(n), Q)). Para que E(n) seja decompo-

nível, a partir de O, numa soma directa, requeremos uma cópia de Q dentro de E(n) que

33

é complementar a O. Isto é a cindição da sequência exacta ( 3.2), ou seja, a existência de

um homomor�smo Q → E(n) que dá a identidade em Q quando composto com α. Para

mostrarmos que este homomor�smo existe, consideremos a sequência exacta curta obtida

da ( 3.2) fazendo o produto tensorial com Q∗

0 −→ Q∗ = Hom(Q,O) −→ Hom(Q,E(n)) −→ Hom(Q,Q) −→ 0,

e a correspondente sequência exacta longa

0 −→ H0(P1, Q∗) −→ H0(P1,Hom(Q,E(n)))α◦−−→ H0(P1,Hom(Q,Q)) −→ H1(P1, Q∗) −→ . . .

Existe claramente uma secção global não nula de Hom(Q,Q) dada pela aplicação identi-

dade deQ paraQ, idQ. Gostaríamos de mostrar que idQ é enviada para zero emH1(P1, Q∗),

uma vez que isto signi�caria que ela se levantaria a uma secção global de Hom(Q,E(n)),

que é o que queremos. Pela nossa hipótese de indução, como rk(Q) = m − 1, Q cinde-se

numa soma directa de �brados linha

Q = O(b1)⊕ . . .⊕O(bm−1).

Consideremos a sequência exacta curta

0 −→ O(−1) −→ O(E(n− 1)) −→ O(Q(−1)) −→ 0,

que se obtém da sequência exacta ( 3.2) fazendo o produto tensorial com O(−1), e a

correspondente sequência exacta longa

0 −→ H0(P1,O(−1)) −→ H0(P1, E(n−1)) −→ H0(P1, Q(−1)) −→ H1(P1,O(−1)) −→ . . .

Como O(−1) tem grau negativo, o primeiro destes grupos é nulo. O segundo grupo é nulo

devido à maneira como escolhemos n. Aplicando o Teorema de Riemann-Roch a O(−1),

vemos que

h1(O(−1)) = h0(O(−1))− deg(O(−1))− 1 = 0,

e assim concluimos que o quarto grupo é também nulo. Logo

H0(P1, Q(−1)) =m−1⊕i=1

H0(P1,O(bi − 1)) = 0,


e segue que bi − 1 deve ser negativo para todo o i, uma vez que para n ≥ 0, O(n) tem

um espaço de secções de dimensão n+ 1 (conferir exemplo 1.8). Assim bi ≤ 0. Aplicando

agora o Teorema de Riemann-Roch a O(−bi), vemos que

h1(O(−bi)) = h0(O(−bi))− deg(O(−bi))− 1 = 0

pois as secções de O(−bi) são polinómio homogéneos de grau −bi. Daqui vem que

H1(P1, Q∗) =m−1⊕i=1

H1(P1,O(−bi)) = 0.

Assim, idQ levanta-se a H0(P1,Hom(Q,E(n))), ou seja, existe uma secção global de

Hom(Q,E(n)) que quando composta com α dá idQ, o que signi�ca que E(n) cinde-se

como O ⊕Q, ou seja,

E(n) ∼= O ⊕O(b1)⊕ . . .⊕O(bm−1).

Então, fazendo o produto tensorial com O(−n), temos

E ∼= O(−n)⊕O(b1 − n)⊕ . . .⊕O(bm−1 − n),

o que conclui a demonstração. �

Nota 3.2. Seja E um �brado vectorial algébrico de característica m sobre P1. Então, pelo

teorema anterior,

E ∼= O(a1)⊕ . . .⊕O(am)

para alguns ai ∈ Z. Sem perda de generalidade, assumamos que a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ am.

Temos que (a1, . . . , am) é unicamente determinado por E. Chamemos a (a1, . . . , am) o tipo

de E.

O principal objectivo deste trabalho é descrever o conjunto das classes de isomor�smo

dos �brados vectoriais algébricos quase-parabólicos simples de característica 2 sobre P1

com n (n > 0) pontos marcados, o que será feito no próximo capítulo. Nesse sentido,

o lema seguinte descreve o grupo de automor�smos de um �brado vectorial algébrico de

característica 2 sobre P1, que pelo Teorema 3.1 é da forma O(a1) ⊕ O(a2), para alguns

a1, a2 ∈ Z.

35

Lema 3.3. Consideremos E = O(a1)⊕O(a2) um �brado vectorial algébrico de caracterís-

tica 2 sobre P1.

1. Se a1 = a2, então o grupo de automor�smos de E é Aut(E) = GL(2,C).

2. Se a1 < a2, então o grupo de automor�smos de E é

Aut(E) =

c1 0

s c2

: c1, c2 ∈ C∗ e s ∈ Γ(O(a2 − a1))

.

Demonstração. Seja f ∈ Aut(E) = Γ (Hom (O(a1)⊕O(a2),O(a1)⊕O(a2)))

f : O(a1)⊕O(a2) → O(a1)⊕O(a2)

(x, y) 7→ f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)).

Temos que

f(x, y) = f(x, 0) + f(0, y)

= (f1(x, 0), f2(x, 0)) + (f1(0, y), f2(0, y))

= (f11(x) + f12(y), f21(x) + f22(y))

com fij : O(aj) → O(ai), i, j = 1, 2, de�nidas por f11(x) = f1(x, 0), f12(y) = f1(0, y),

f21(x) = f2(x, 0) e f22(y) = f2(0, y). Podemos representar f matricialmente:

f(x, y) =

f11 f12

f21 f22

x

y

=

f11(x) + f12(y)

f21(x) + f22(y)

.

1. Neste caso, como Aut(E) = Γ (Hom (O(a1)⊕O(a1),O(a1)⊕O(a1))), vem que para

i, j = 1, 2, fij ∈ Γ (Hom (O(a1),O(a1))) ∼= Γ (O(a1)∗ ⊗O(a1)) ∼= Γ (O(0)) ∼= C∗,

pelo que dada f ∈ Aut(E), f pode ser representada matricialmente por a b

c d

com a, b, c, d ∈ C∗, ou seja Aut(E) = GL(2,C).


2. Pelo que vimos antes, neste caso temos

f11 ∈ Γ (Hom(O(a1),O(a1))) ∼= C∗

f22 ∈ Γ (Hom(O(a2),O(a2))) ∼= C∗

f12 ∈ Γ (Hom(O(a2),O(a1))) ∼= Γ (O(a1 − a2)) ∼= 0

f21 ∈ Γ (Hom(O(a1),O(a2))) ∼= Γ (O(a2 − a1)) .

Logo

Aut(E) =

c1 0

s c2

: c1, c2 ∈ C∗ e s ∈ Γ(O(a2 − a1))

.

�

Capítulo 4

Fibrados Quase-Parabólicos de

Característica 2 sobre P1

Um espaço moduli é, grosso modo, uma variedade que parametriza alguma classe de ob-

jectos geométricos. Problemas de moduli em Geometria Algébrica estão ligados com a

classi�cação de certos objectos (por exemplo curvas algébricas, �brados vectoriais numa

variedade algébrica �xa, conjuntos de pontos de Pn) sob uma relação de equivalência (por

exemplo isomor�smo de curvas, isomor�smo de �brados, equivalência projectiva).

Pretendemos descrever o conjunto das classes de isomor�smo dos �brados vectoriais

algébricos quase-parabólicos simples de característica 2 sobre P1 com pontos marcados

p1, . . . , pn. Podemos ver que este conjunto tem uma cobertura por um número �nito de

cópias de P1 com mudanças de carta algébricas mas não é Hausdor�, pelo que não é um

espaço moduli. O caso de P1 com quatro pontos marcados será tratado no último capítulo.

A principal referência para este capítulo é [FS 92, secção 8].

Denotemos por 0, 1 e ∞ os pontos [0 : 1], [1 : 1] e [1 : 0] de P1, respectivamente.

Consideremos o grupo projectivo PGL(n,C) = GL(n,C)/C∗, onde C∗ = C \ {0} é

considerado o subgrupo dos múltiplos escalares da matriz identidade.

Começamos por enunciar um teorema conhecido de que vamos precisar mais à frente.

Teorema 4.1. Se p1, p2, p3 são três pontos distintos de P1, então existe um único T ∈

37

38 Fibrados Quase-Parabólicos de Característica 2 sobre P1

PGL(2,C) tal que T (p1) = 0, T (p2) = 1 e T (p3) = ∞.

A demonstração deste teorema pode ser encontrada em [JS 87].

Sejam agoraM o espaço projectivo P1 com pontos marcados p1, . . . , pn, e E um �brado

vectorial algébrico de característica 2 sobre M .

Pelo teorema 3.1, como E é um �brado vectorial algébrico sobre P1 então tem a de-

composição

E ∼= O(a1)⊕O(a2)

para alguns a1, a2 ∈ Z.

Podemos supor, sem perda de generalidade, que E = O(a1)⊕O(a2) para alguns a1, a2 ∈

Z.

Vejamos como pode ser considerada uma estrutura quase-parabólica em E. Como a

característica de E é 2, cada �bra de E é isomorfa a C2 e portanto podemos ter dois tipos

de bandeiras, correspondentes às duas possíveis �ltrações descendentes de C2:

• C2 ⊃ C ⊃ 0, de tipo (1, 1)

• C2 ⊃ 0, de tipo (2).

Seja N o número de bandeiras do primeiro tipo em E. Consideremos os pontos p1 . . . , pn

ordenados de modo que as bandeiras em p1, . . . , pN sejam do primeiro tipo e as bandeiras

em pN+1, . . . , pn sejam do segundo tipo.

Vimos no corolário 2.8 que, neste caso, as estruturas quase-parabólicas em E são pa-

rametrizadas por (P1)N .

Queremos estudar o conjunto das classes de isomor�smo dos �brados quase-parabólicos

simples (conferir de�nição 2.14) que têm E como �brado subjacente.

Comecemos por identi�car o conjunto dos �brados quase-parabólicos simples que têm

E como �brado subjacente.

Lema 4.2. Consideremos E = O(a1)⊕O(a2), como antes.

39

1. Se a1 = a2, então os �brados quase-parabólicos simples que têm E como �brado

subjacente formam o conjunto

S(a1, a1) :={(X1, . . . , XN) ∈ (P1)N : |{X1, . . . , XN}| ≥ 3

}.

2. Se a1 < a2, então os �brados quase-parabólicos simples que têm E como �brado


S(a1, a2) :={(X1, . . . , XN) ∈ (P1)N : |{i : Xi 6= 0}| ≥ a2 − a1 + 2 e Xi 6= 0,∞ para algum i

}.

Demonstração. Vimos no lema 2.8 que as estruturas quase-parabólicas em E são para-

metrizadas por (P1)N .

1. Vimos no lema 3.3 que, neste caso, o grupo de automor�smos de E é GL(2,C).

Um elemento de (P1)N representa um �brado quase-parabólico simples se e só se o

estabilizador desse elemento é C∗ ⊂ GL(2,C), considerando a acção de Aut(E) =

GL(2,C) em (P1)N , ou seja, o estabilizador é a Id, considerando a acção de PGL(2,C)

em (P1)N .

Seja P = (X1, X2, . . . , XN) ∈ S(a1, a1). Suponhamos, por conveniência de notação,

que X1 6= X2 6= X3 6= X1 (nos outros casos o raciocínio é análogo). Seja g ∈

PGL2(C). Temos que g · (X1, . . . , XN) = (g · X1, . . . , g · XN). Pelo teorema 4.1,

sabemos que existe um único h ∈ PGL2(C) tal que h ·X1 = 0, h ·X2 = 1, h ·X3 = ∞.

Se g ∈ Stab(P ) então, pela unicidade de h, vem que h · g = h, o que implica

que g = Id. Logo Stab(P ) = {Id}, pelo que P é um �brado quase-parabólico

simples. Inversamente, suponhamos agora que P ∈ (P1)N não tem pelo menos três

coordenadas distintas, seja, por exemplo, P = (X1, X2, X1, . . . , X1) com X1 6= X2.

Considerando o teorema 4.1 temos que para cada X ∈ P1 existe um único f ∈

PGL2(C) tal que f(X1) = X1, f(X2) = X2 e f(X) = ∞, pelo que f ∈ Stab(P ).

Além disso, se X 6= ∞, então f 6= Id. Logo Stab(P ) 6= {Id} pelo que P não é um

�brado quase-parabólico simples. De modo análogo vemos que se P = (X1, . . . , X1),

então P não é um �brado quase-parabólico simples.


2. Como vimos no lema 3.3, neste caso o grupo de automor�smos de E é

Aut(E) =

c1 0

s c2

: c1, c2 ∈ C∗ e s ∈ Γ(O(a2 − a1))

.

Um elemento de (P1)N representa um �brado quase-parabólico simples se e só se o

estabilizador desse elemento é C∗ ⊂ Aut(E), considerando a acção de Aut(E) em

(P1)N .

Fixemos um isomor�smo f : P(Epi)

∼=→ P1, tal que a linha O(a1)pié enviada para

∞ = [1 : 0] ∈ P1 e a linha O(a2)pié enviada para 0 = [0 : 1] ∈ P1. Assim, para

1 ≤ i ≤ N , como as bandeiras em Episão da forma

Epi= Epi,1 ⊃ Epi,2 ⊃ {0}

onde Epi∼= C2 e Epi,2

∼= C, então são de�nidas por pontos Xpi= [a : b] ∈ P1, com

(a, b) ∈ C2\{(0, 0)}, onde Epi,2 corresponde a Xpivia a função f .

Consideremos as funções injectivas da forma

σ : {1, . . . , a2 − a1 + 2} → {1, . . . , N}

com σ(1) < . . . < σ(a2 − a1 + 2), e os subconjuntos de S(a1, a2) dados por

Uσ = {(X1, . . . , XN) : Xσ(1), . . . , Xσ(a2−a1+1) 6= 0 e Xσ(a2−a1+2) 6= 0,∞}.

Temos assim que

S(a1, a2) =⋃σ

Uσ.

Seja P ∈ S(a1, a2). Consideremos que P = (X1, . . . , Xa2−a1+1, Xa2−a1+2, . . . , XN)

comX1, . . . , Xa2−a1+1 6= 0 eXa2−a1+2 6= 0,∞ (nos outros casos o raciocínio é análogo).

Sejam, para 1 ≤ i ≤ a2 − a1 + 1, as bandeiras em pi dadas por Xi = [1 : bi] com

bi ∈ C e a bandeira em pa2−a1+2 dada por Xa2−a1+2 = [1 : ba2−a1+2] com ba2−a1+2 ∈ C∗.

Existe g ∈ Aut(E) tal que gXi = ∞ para 1 ≤ i ≤ a2− a1 +1 e gXa2−a1+2 = 1. Note-

se que o �brado linha O(a2 − a1) tem grau (a2 − a1) pelo que uma sua secção �ca

41

de�nida se for conhecido o seu valor em (a2 − a1 + 1) pontos. Assim, em particular,

existe um único g ∈ Aut(E) da forma

g =

c 0

s 1

tal que gXi = ∞ para 1 ≤ i ≤ a2 − a1 + 1 e gXa2−a1+2 = 1, pois a secção s �ca

de�nida por s(pi) = −bi para 1 ≤ i ≤ a2− a1 +1 e c = s(pa2−a1+2)+ ba2−a1+2. Temos

que Stab(P ) = g−1Stab(gP )g pelo que Stab(P ) = C∗ se e só se Stab(gP ) = C∗.

Vejamos então que o estabilizador de gP = (∞, . . . ,∞, 1, gXa2−a1+3, . . . , gXN) é C∗.

Seja

f =

c1 0

h c2

∈ Aut(E).

Como temos (a2 − a1 + 1) pontos em que a bandeira é de�nida por ∞ = [1 : 0],

para que f ∈ Stab(gP ), a secção h ∈ Γ(O(a2 − a1) tem que ser a secção nula. Logo

temos que Stab(gP ) ⊆ C∗ × C∗. Além disso, para que f preserve a bandeira em

pa2−a1+2, que é de�nida por 1 = [1 : 1], temos que ter c1 = c2. Concluimos então

que Stab(gP ) = C∗. Logo Stab(P ) = C∗, pelo que P é um �brado quase-parabólico

simples. Assim, temos que S(a1, a2) é um subconjunto dos �brados quase-parabólicos

simples. Queremos ver que S(a1, a2) é, de facto, o conjunto de todos os �brados

quase-parabólicos simples que têm E como �brado subjacente.

Comecemos por ver que um �brado quase-parabólico dado por (X1, . . . , XN) ∈ (P1)N

tal que |{i : Xi 6= 0}| ≤ a2 − a1 + 1, não é um �brado quase-parabólico simples.

Notemos que Aut(E) preserva O(a2) ⊂ E = O(a1) ⊕ O(a2), pelo que nos pontos

pi ∈ M onde Xi = 0, ou seja, Epi,2 = O(a2)pi, a bandeira é preservada por qualquer

automor�smo de E. Consideremos agora um ponto pi ∈ M tal que Xi 6= 0, ou seja,

a bandeira em Epié de�nida por Xpi

= [1 : bi] ∈ P1, com bi ∈ C. Seja

g =

c1 0

s c2

∈ Aut(E),


com c1, c2 ∈ C∗ tal que c1 6= c2. Para que g preserve a bandeira em Epitemos que

ter gpi(Epi,2) = Epi,2, isto é, tem que existir λ ∈ C∗ tal que

gpi

1

bi

=

c1 0

s(pi) c2

1

bi

= λ

1

bi

,

ou seja, λ = c1 e s(pi) = (c1−c2)bi. Note-se que se forem dados valores em (a2−a1+1)

ou menos pontos de M , existe pelo menos uma secção s ∈ Γ(O(a2 − a1)) que toma

esses valores. Em particular, se forem conhecidos valores em exactamente (a2−a1+1)

pontos, então existe uma única secção s ∈ Γ(O(a2 − a1)) que toma esses valores.

Como estamos a considerar que |{i : Xi 6= 0}| ≤ a2 − a1 + 1, então existe uma

secção s ∈ Γ(O(a1 − a2)) tal que g preserva as bandeiras em Epipara todo i. Ainda

que s �que de�nida como a secção nula, como estamos a supor que c1 6= c2, temos

que g 6= k · Id, k ∈ C∗, e g preserva as bandeiras em Epipara todo i, pelo que

o estabilizador de (X1, . . . , XN) não é C∗ e assim (X1, . . . , XN) não representa um

�brado quase-parabólico simples.

Por outro lado, um �brado quase-parabólico dado por (X1, . . . , XN) ∈ (P1)N onde

para todo o i temos Xi = 0 ou Xi = ∞, não é um �brado quase-parabólico simples

pois o estabilizador de um �brado de�nido desta forma contém C∗ × C∗.

Logo os �brados quase-parabólicos simples formam o conjunto

S(a1, a2) ={(X1, . . . , XN) ∈ (P1)N : |{i : Xi 6= 0}| ≥ a2 − a1 + 2 e Xi 6= 0,∞ para algum i

}.

�

Considerando o lema anterior, vemos que quando E = O(a1) ⊕ O(a1), se N < 3, ou

seja, se M tem menos de três pontos marcados com bandeiras do tipo C2 ⊃ C ⊃ 0, então

S = ∅, isto é, não existem �brados quase-parabólicos simples que têm E como �brado

subjacente. De forma análoga vemos que quando E = O(a1) ⊕ O(a2) com a1 < a2, se

N < a2 − a1 + 2 então não existem �brados quase-parabólicos simples que têm E como

�brado subjacente.

43

Nota 4.3. Seja E = O(a1)⊕O(a2) como anteriormente.

1. Suponhamos que a1 = a2. Consideremos as funções injectivas da forma

σ : {1, 2, 3} → {1, . . . , N}

com σ(1) < σ(2) < σ(3), e os conjuntos dados por

Uσ = {(X1, . . . , XN) : Xσ(1) 6= Xσ(2) 6= Xσ(3) 6= Xσ(1)}.

Tendo em conta a proposição anterior temos que

S(a1, a1) =⋃σ

Uσ,

ou seja,⋃σ Uσ forma uma cobertura do conjunto dos �brados quase-parabólicos sim-

ples que têm E = O(a1)⊕O(a1) como �brado subjacente.

2. Suponhamos que a1 < a2. Consideremos as funções injectivas de�nidas na demons-

tração da proposição anterior

σ : {1, . . . , a2 − a1 + 2} → {1, . . . , N}

com σ(1) < . . . < σ(a2 − a1 + 2), e os conjuntos dados por

Uσ = {(X1, . . . , XN) : Xσ(1), . . . , Xσ(a2−a1+1) 6= 0 e Xσ(a2−a1+2) 6= 0,∞}.

Tendo em conta a proposição anterior temos que

S(a1, a2) =⋃σ

Uσ,

ou seja,⋃σ Uσ forma uma cobertura do conjunto dos �brados quase-parabólicos sim-

ples que têm E = O(a1)⊕O(a2) como �brado subjacente.

O grupo dos automor�smos de E, Aut(E), age em S(a1, a2). Como já foi referido na

nota 2.7, temos que o espaço quociente é o conjunto das classes de isomor�smo de todos

os �brados quase-parabólicos simples que têm E como �brado subjacente. Denotemos este

espaço quociente por

S(a1, a2) := S(a1, a2)/Aut(E).


Proposição 4.4. Seja E = O(a1)⊕O(a2), como anteriormente.

1. Se a1 = a2, então o conjunto S(a1, a1) tem uma cobertura por um número �nito de

cópias de (P1)N−3.

2. Se a1 < a2, então o conjunto S(a1, a2) é, de modo semelhante, coberto por um número

�nito de cópias de (P1)N−(a2−a1+2).

Demonstração.

1. Vimos no lema 4.2 que neste caso os �brados quase-parabólicos simples formam o

conjunto

S(a1, a1) ={(X1, . . . , XN) ∈ (P1)N : |{X1, . . . , XN}| ≥ 3

}.

Vimos também no lema 3.3 que quando E = O(a1)⊕O(a1) então Aut(E) = GL(2,C).

Assim, o conjunto das classes de isomor�smo dos �brados quase-parabólicos simples

é dado por

S(a1, a1)/GL(2,C).

Na nota 4.3 foi dada uma cobertura do conjunto dos �brados quase-parabólicos sim-

ples que têm E como �brado subjacente, seja essa cobertura {Uσ}σ. Consideremos

um elemento dessa cobertura, o raciocínio é análogo nos restantes casos. Por conve-

niência de notação, consideremos o conjunto

{(X1, . . . , XN) : X1 6= X2 6= X3 6= X1} .

Temos que o quociente de

{(X1, . . . , XN) : X1 6= X2 6= X3 6= X1}

por GL(2,C)/C∗ = PGL(2,C) é identi�cado com

{(0, 1,∞, X4, . . . , XN)} ∼= (P1)N−3.

Tendo em conta a cobertura dada na nota 4.3 concluimos que conjuntos quociente

semelhantes a este cobrem o espaço todo.

45

2. Vimos no lema 4.2 que neste caso os �brados quase-parabólicos simples formam o

conjunto

S(a1, a2) ={(X1, . . . , XN) ∈ (P1)N : |{i : Xi 6= 0}| ≥ a2 − a1 + 2 e Xi 6= 0,∞ para algum i

}.

O conjunto das classes de isomor�smo dos �brados quase-parabólicos simples é dado

por

S(a1, a2)/Aut(E).

Na nota 4.3 foi dada uma cobertura do conjunto dos �brados quase-parabólicos sim-

ples que têm E como �brado subjacente, seja essa cobertura {Uσ}σ. Consideremos

um elemento dessa cobertura, o raciocínio é análogo nos restantes casos. Considere-

mos, por conveniência de notação, o conjunto

{(X1, . . . , XN) : Xi 6= 0 para 1 ≤ i ≤ a2 − a1 + 1 e Xa2−a1+2 6= 0,∞} .

Tal como vimos na demonstração do lema 4.2, existe um único g ∈ Aut(E) da forma

g =

c 0

s 1

tal que gXi = ∞ para 1 ≤ i ≤ a2−a1+1 e gXa2−a1+2 = 1. Note-se que apenas elemen-

tos de C∗ ⊆ Aut(E) levam um elemento da forma (∞, . . . ,∞, 1, Xa2−a1+3, . . . , XN)

noutro da mesma forma. Assim, temos que o quociente de

{(X1, . . . , XN) : Xi 6= 0 para 1 ≤ i ≤ a2 − a1 + 1 e Xa2−a1+2 6= 0,∞}

por Aut(E) é identi�cado com

{(∞, . . . ,∞, 1, Xa2−a1+3, . . . , XN)} ∼= (P1)N−(a2−a1+2).

Tendo em conta a cobertura dada na nota 4.3 concluimos que conjuntos quociente

semelhantes a este cobrem o espaço todo. �

Nota 4.5. Pode provar-se que as aplicações mudança de carta entre os conjuntos da co-

bertura vista na proposição anterior para S(a1, a2), para alguns a1, a2 ∈ Z, são aplicações


algébricas. Isto será visto no capítulo 5 para o caso dos �brados quase-parabólicos simples

de característica 2 sobre P1 com quatro pontos marcados. Tendo em conta a proposição

anterior, note-se ainda que os conjuntos quociente que formam a cobertura para S(a1, a1),

com a1 ∈ Z, têm como maior subconjunto comum

{(X1, . . . , XN) : X1, . . . , XN todos distintos} /GL(2,C).

No caso de S(a1, a2), se considerarmos por exemplo os conjuntos quociente da sua cobertura

{(∞, . . . ,∞, 1, Xa2−a1+3, Xa2−a1+4, . . . , XN)}

e

{(∞, . . . ,∞, Xa2−a1+2, 1, Xa2−a1+4, . . . , XN)} ,

vemos que estes têm como maior subconjunto comum

{(∞, . . . ,∞, Xa2−a1+2, . . . , XN) : Xa2−a1+2, Xa2−a1+3 6= 0,∞} /(C∗ × C∗).

Consideremos o espaço S(a1, a2) equipado com a topologia quociente. A proposição

anterior poderia levar-nos a pensar que podemos de�nir uma estrutura de variedade em

S(a1, a2). No entanto tal não é possível porque S(a1, a2) não é, em geral, Hausdor�. Isto

será visto com detalhe no capítulo 5 para o caso dos �brados quase-parabólicos simples de

característica 2 sobre P1 com quatro pontos marcados.

Seja T uma variedade algébrica irredutível não singular. Suponhamos que E →M ×T

é uma família algébrica de �brados quase-parabólicos simples de tipo (a1, a2), característica

2 e dados quase-parabólicos (−→mpi)i=1,...,N sobre M parametrizados por T (conferir de�ni-

ção 2.9 na página 27). Note-se que estamos a considerar apenas os pontos com bandeiras

não triviais, ou seja, para todo i = 1, . . . , N temos que −→mpi= (1, 1). Consideremos a

aplicação f , no sentido da teoria de conjuntos, que classi�ca as classes de isomor�smo dos

�brados parametrizados

f : T → S(a1, a2)

t 7→ [Et],

47

onde Et é o �brado sobreM de�nido na nota 2.10. Vamos ver, na proposição seguinte, que

esta aplicação é localmente algébrica, mostrando assim que S(a1, a2) tem a propriedade

universal de um espaço de moduli grosseiro ([N 78]).

Proposição 4.6. A aplicação f é localmente algébrica.

Demonstração. Tendo em conta a de�nição 2.9, temos que E é um �brado vectorial

algébrico de característica 2 sobre M × T , pelo que O(E) é um feixe localmente livre de

característica 2 sobre M × T . Consideremos a projecção π2 : M × T → T sobre T . Sejam

(M × T )t = π−12 (t) = M × {t} e O(E)t = O(E)|(M×T )t = O(E)|M×{t}, onde t ∈ T .

1. Suponhamos que a1 = a2. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que a1 =

a2 = 0 pois existe uma identi�cação

S(0, 0) → S(a1, a1)

[E] 7→ [E ⊗O(a1)].

Vejamos que existe U ⊆ T subconjunto aberto tal que E|M×U ∼= (M × U) × C2.

Temos que

dimCH0((M × T )t,O(E)t

)= h0

(M × {t},O(E)|M×{t}

)= 2,

pois O(E)|M×{t} = O(E|M×{t}

), que corresponde ao �brado Et ∼= O(a0) ⊕ O(a0).

Assim, o feixe sobre T , R0(π2)∗E, de�nido por R0(π2)∗E(U) = H0(π−12 (U), E) onde

U é um aberto de T , é um feixe localmente livre de característica 2 (conferir [K 93,

Prop. 9.5.2]). Logo existe uma cobertura aberta de T , U = {Ui}i, tal que

R0(π2)∗E|Ui∼= OT (Ui)⊕OT (Ui).

Temos que OT (Ui) ⊕ OT (Ui) representa o �brado trivial de característica 2 sobre

T restrito a Ui, isto é, OT (Ui) ⊕ OT (Ui) ∼= Ui × C2. Assim, podemos obter uma

trivialização de R0(π2)∗E em Ui:

ϕi : R0(π2)∗E|Ui→ Ui × C2


que nos dá uma trivialização algébrica de E em M × Ui:

ψi : E|M×Ui→ (M × Ui)× C2.

Temos que

R0(π2)∗E(Ui) = H0(π−1(Ui), E

)= H0

(M × Ui, E

),

e como ϕi é uma trivialização, podemos de�nir

ϕ−1i : Ui × C2 → R0(π2)∗E|Ui

(t, (a, b)) 7→ ϕ−1i (t, (a, b)) : M × Ui → E|M×Ui

.

Assim, podemos de�nir a aplicação

ψ−1i : (M × Ui)× C2 → E|M×Ui

((x, t), (a, b)) 7→ ϕ−1i (t, (a, b))(x, t),

que é um isomor�smo, ou seja, temos uma trivialização algébrica, ψi, de E emM×Ui.

Logo existe um subconjunto aberto de T , U , tal que E|M×U ∼= (M × U)× C2.

Vimos no lema 2.8 que as estruturas quase-parabólicas emM×C2 são parametrizadas

por P1 × . . . × P1 = (P1)N . Neste caso, o subconjunto aberto de T , U , parametriza

�brados quase-parabólicos simples de tipo (a1, a1), característica 2 e dados quase-

parabólicos (−→mpi)i=1,...,N sobre M . Temos então, uma aplicação

Uf1→ P1 × . . .× P1

t 7→ (X1(t), . . . , XN(t)),(4.1)

com f1(U) ⊆ {(X1, . . . , XN) : |(X1, . . . , XN)| ≥ 3}. Pela segunda parte da de�ni-

ção 2.9, a aplicação ( 4.1) é algébrica em cada coordenada, pelo que é uma aplicação

algébrica. Podemos supor, sem perda de generalidade, que para cada t ∈ T temos

uma ordenação dos pontos pi ∈ M de modo que X1(t) 6= X2(t) 6= X3(t) 6= X1(t).

Basta assim mostrar que a aplicação quociente

{(X1, . . . , XN) : X1 6= X2 6= X3 6= X1} → {(Y4, . . . , YN)} = (P1)N−3 (4.2)

49

que envia (X1, . . . , XN) em (gX4, . . . , gXN) para g ∈ PGL(2,C) tal que gX1 = 0,

gX2 = 1 e gX3 = ∞ é algébrica. Temos que a aplicação ( 4.2) é a composta de

aplicações algébricas:

{(X1, . . . , XN) : X1 6= X2 6= X3 6= X1}f2→ {(0, 1,∞, Y4, . . . , YN)} f3→ (P1)N−3

(X1, . . . , XN) 7→ (0, 1,∞, gX4, . . . , gXN) 7→ (gX4, . . . , gXN).

Note-se que f2 é algébrica porque a aplicação g é algébrica e, pela forma como

é construída, g varia algebricamente com X1, X2 e X3. Concluimos então que a

aplicação ( 4.2) é algébrica e assim a aplicação f = f3 ◦ f2 ◦ f1 é algébrica em U , ou

seja, f é localmente algébrica.

2. No caso a1 < a2 o raciocínio é análogo. Remetemos o leitor a [FS 92, Prop. 8.2].

�

Capítulo 5

Caso de P1 com 4 Pontos Marcados

Seja M o espaço projectivo P1 com pontos marcados p1, p2, p3, p4. Seja E um �brado

vectorial algébrico de característica 2 sobre M . Pelo teorema 3.1, E tem a decomposição

E ∼= O(a1)⊕O(a2)

para alguns a1, a2 ∈ Z. Vamos considerar que a1 = a2. Suponhamos que, dada uma

estrutura quase-parabólica em E, a bandeira em cada ponto marcado de M é da forma

C2 ⊃ C ⊃ {0},

já que as bandeiras do outro tipo possível, C2 ⊃ {0}, são triviais.

Pelo lema 2.8 temos que as estruturas quase-parabólicas em E são parametrizadas por

R =4∏i=1

(Iso

(C2, Epi

)/B) ∼= (P1)4

onde B é o subgrupo parabólico de GL(2,C) que deixa invariante a bandeira standard de

tipo (1, 1) em C2.

Queremos estudar o espaço moduli dos �brados quase-parabólicos simples que têm E

como �brado subjacente.

51

52 Caso de P1 com 4 Pontos Marcados

5.1 Conjunto dos Fibrados Quase-Parabólicos Simples

Pelo lema 4.2, vemos que os �brados quase-parabólicos simples que têm E como �brado


S ={(X1, X2, X3, X4) ∈ (P1)4 : |{X1, X2, X3, X4}| ≥ 3

}⊆ (P1)4.

Vamos considerar P1 munido da topologia complexa (Hausdor�), (P1)4 munido da topo-

logia produto e o subespaço S ⊆ (P1)4 munido da topologia induzida. Consideremos os

conjuntos:

S12 = {(X,X, Y, Z) : X, Y, Z ∈ P1 e X 6= Y 6= Z 6= X}

S13 = {(X, Y,X,Z) : X, Y, Z ∈ P1 e X 6= Y 6= Z 6= X}

S14 = {(X, Y, Z,X) : X, Y, Z ∈ P1 e X 6= Y 6= Z 6= X}

S23 = {(X, Y, Y, Z) : X, Y, Z ∈ P1 e X 6= Y 6= Z 6= X}

S24 = {(X, Y, Z, Y ) : X,Y, Z ∈ P1 e X 6= Y 6= Z 6= X}

S34 = {(X, Y, Z, Z) : X, Y, Z ∈ P1 e X 6= Y 6= Z 6= X}

S0 = {(X, Y, Z,W ) : X, Y, Z,W ∈ P1, todos diferentes}.

O conjunto S é dado por:

S = S12 ∪ S13 ∪ S14 ∪ S23 ∪ S24 ∪ S34 ∪ S0.

Podemos também considerar uma cobertura aberta de S:

S = U1 ∪ U2 ∪ U3 (5.1)

onde

U1 = S \ (S12 ∪ S13 ∪ S23) = {(X, Y, Z,W ) ∈ (P1)4 : X 6= Y 6= Z 6= X}

U2 = S \ (S23 ∪ S24 ∪ S34) = {(X, Y, Z,W ) ∈ (P1)4 : Y 6= Z 6= W 6= Y }

U3 = S \ (S13 ∪ S14 ∪ S34) = {(X, Y, Z,W ) ∈ (P1)4 : X 6= Z 6= W 6= X}.


5.2 Conjunto das Classes de Isomor�smo dos Fibrados

Quase-Parabólicos Simples

Pelo lema 3.3 temos que Aut(E) = GL(2,C). Assim, o conjunto das classes de isomor�smo

dos �brados quase-parabólicos simples é dado por

S = S/GL(2,C),

ou seja, S é o espaço das órbitas da acção de GL(2,C) em S. Consideremos a aplicação

sobrejectiva

π : S → S = S/GL(2,C)

(X, Y, Z,W ) 7→ [(X, Y, Z,W )] = {g · (X,Y, Z,W ) : g ∈ GL(2,C)} .(5.2)

Temos que o espaço das órbitas da acção de GL(2,C) em S, S, é dado por:

S = π(S) = S12/GL(2,C) ∪ S13/GL(2,C) ∪ S14/GL(2,C) ∪ S23/GL(2,C) ∪

∪S24/GL(2,C) ∪ S34/GL(2,C) ∪ S0/GL(2,C),

e tendo em conta o teorema 4.1, vem que

S = {[(0, 0, 1,∞)], [(0, 1, 0,∞)], [(0, 1,∞, 0)], [(0, 1, 1,∞)], [(0, 1,∞, 1)],

[(0, 1,∞,∞)], [(0, 1,∞, X)] : X 6= 0, 1,∞}.

Por ( 5.1), considerando o espaço S munido da topologia quociente e tendo em conta que

U1, U2 e U3 são invariantes pela acção de GL(2,C), temos também uma cobertura aberta

para S:

S = π(U1) ∪ π(U2) ∪ π(U3),


onde

π(U1) = U1/GL(2,C)

= S14/GL(2,C) ∪ S24/GL(2,C) ∪ S34/GL(2,C) ∪ S0/GL(2,C)

= {[(0, 1,∞, X)] : X ∈ P1}

π(U2) = U2/GL(2,C)


= {[(X, 0, 1,∞)] : X ∈ P1}

π(U3) = U3/GL(2,C)


= {[(0, X, 1,∞)] : X ∈ P1},

ou seja, S tem uma cobertura por três cópias de P1.

Proposição 5.1. As aplicações mudança de carta entre π(U1), π(U2) e π(U3) são algébri-

cas.

Demonstração. Comecemos por ver que

ϕ12 : π(U1)|π(U2) → π(U2)|π(U1)

(0, 1,∞, X) 7→ (g(0), 0, 1,∞)

é algébrica, onde g ∈ PGL(2,C) é tal que g(1) = 0, g(∞) = 1 e g(X) = ∞. Vejamos qual

é a (única) aplicação g ∈ PGL(2,C) nestas condições. Seja X = [x1 : x2]. Note-se que

X 6= 1,∞ pois (0, 1,∞, X) ∈ π(U1)∩ π(U2), pelo que x2 ∈ C∗ e x1 6= x2. Suponhamos que

g é representada matricialmente por

G =

a b

c d

,

com a, b, c, d ∈ C tais que ad− bc 6= 0. Temos que

G

1

1

=

0

λ1

,


com λ1 ∈ C∗, pelo que a+ b = 0

c+ d = λ1

.

Também temos

G

1

0

=

λ2

λ2

,

com λ2 ∈ C∗, pelo que vem

a = c.

Temos ainda que

G

x1

x2

=

λ3

0

,

com λ3 ∈ C∗, pelo que vem a = λ3

x1−x2

d = − λ3x1

x2(x1−x2)

.

Assim, g é representada matricialmente (a menos da multiplicação por um número com-

plexo não nulo) por:

G =

1x1−x2

− 1x1−x2

1x1−x2

− x1

x2(x1−x2)

,

e g(0) é dado por

G

0

1

= − 1

x1 − x2

1

x1

x2

.

Logo

ϕ12 : π(U1)|π(U2) → π(U2)|π(U1)

(0, 1,∞, [x1 : x2]) 7→ ([x2 : x1], 0, 1,∞),

pelo que é uma aplicação algébrica. De modo análogo vemos que ϕ13 é dada por

ϕ13 : π(U1)|π(U3) → π(U3)|π(U1)

(0, 1,∞, [x1 : x2]) 7→ (0, [x2 : x2 − x1], 1,∞),

pelo que é uma aplicação algébrica, e ϕ23 é dada por

ϕ23 : π(U2)|π(U3) → π(U3)|π(U2)

([x1 : x2], 0, 1,∞) 7→ (0, [x1 : x1 − x2], 1,∞),


pelo que é uma aplicação algébrica. �

O espaço S é um espaço localmente Hausdor�, ou seja, cada ponto de S pertence

a um aberto U ⊂ S que é Hausdor�. Vejamos que o espaço S não é, no entanto, um

espaço Hausdor�. Sejam U e V subconjuntos abertos de S tais que [(0, 0, 1,∞)] ∈ U e

[(0, 1,∞,∞)] ∈ V . Vejamos que U ∩ V 6= ∅. O conjunto S está munido da topologia

quociente, pelo que como U é aberto de S então p−1(U) = U é aberto de S tal que

S12 = {(g · 0, g · 0, g · 1, g · ∞) : g ∈ GL(2,C)} ⊆ U ,

e como V é aberto de S então p−1(V ) = V é aberto de S tal que

S34 = {(g · 0, g · 1, g · ∞, g · ∞) : g ∈ GL(2,C)} ⊆ V .

Além disso, é óbvio que U e V são invariantes pela acção de GL(2,C).

Por hipótese, temos que (0, 0, 1,∞) ∈ S12 ⊆ U ⊆ S ⊆ (P1)4 e (0, 1,∞,∞) ∈ S34 ⊆ V ⊆

S ⊆ (P1)4. Assim, para x ∈ C su�cientemente perto de 0 ∈ C, vem que

(0, [x : 1], 1,∞) ∈ U , (5.3)

e para y ∈ C su�cientemente perto de 0 ∈ C, vem que

(0, 1, [1 : y],∞) ∈ V . (5.4)

Seja x = y 6= 0 tal que ( 5.3) e ( 5.4) se veri�cam, isto é, consideremos os pontos

(0, [x : 1], 1,∞) ∈ U e (0, 1, [1 : x],∞) ∈ V .

Seja g ∈ GL(2,C) a aplicação representada matricialmente por 1 0

0 x

.

Temos que

g · (0, [x : 1], 1,∞) = (0, 1, [1 : x],∞)

pelo que, como

GL(2,C) · U = U e GL(2,C) · V = V ,

5.3 Espaço Moduli dos Fibrados Quase-Parabólicos Simples 57

vem que

(0, [x : 1], 1,∞) ∈ U ∩ V e

g · (0, [x : 1], 1,∞) = (0, 1, [1 : x],∞) ∈ U ∩ V ,

isto é,

∅ 6= U ∩ V = p−1(U) ∩ p−1(V ) ⊆ S

e logo

U ∩ V 6= ∅

pois existe X 6= 0 tal que [(0, X, 1,∞)] ∈ U ∩V . Concluimos assim que S não é Hausdor�.

Note-se que as aderências em (P1)4 das órbitas de (0, 0, 1,∞) e (0, 1,∞,∞) se intersec-

tam em (0, 0,∞,∞).

De modo análogo, vemos que dados U e V subconjuntos abertos de S tais que [(0, 1, 1,∞)] ∈

U e [(0, 1,∞, 0)] ∈ V temos que U ∩ V 6= ∅, e dados U e V subconjuntos abertos de S tais

que [(0, 1, 0,∞)] ∈ U e [(0, 1,∞, 1)] ∈ V temos que U ∩ V 6= ∅.

5.3 Espaço Moduli dos Fibrados Quase-Parabólicos Sim-

ples

Vimos na secção anterior que o espaço S não é Hausdor�. Queremos agora identi�car o

espaço Hausdor�, SH , obtido de S:

SH = S/ ∼ (5.5)

onde dados P,Q ∈ S temos P ∼ Q se e só se UP ∩UQ 6= ∅ para todas as vizinhanças UP e

UQ de P e Q, respectivamente. Tendo em conta o estudo anterior do espaço S, concluimos

que são necessárias três identi�cações:

[(0, 0, 1,∞)] ∼ [(0, 1,∞,∞)]

[(0, 1, 1,∞)] ∼ [(0, 1,∞, 0)]

[(0, 1, 0,∞)] ∼ [(0, 1,∞, 1)]

(5.6)


Consideremos o espaço SH = S/ ∼, onde a relação ∼ é de�nida pelas identi�cações ( 5.6),

munido da topologia quociente dada pela aplicação:

π : S → SH[(X, Y, Z,W )] 7→ [(X, Y, Z,W )]∼

(5.7)

onde [(X, Y, Z,W )]∼ = {[(X ′, Y ′, Z ′,W ′)] ∈ S : [(X ′, Y ′, Z ′,W ′)] ∼ [(X, Y, Z,W )]}. Que-

remos ver que estas são, de facto, as únicas identi�cações que devem ser feitas em S para

obtermos o espaço SH . Note-se que

S = π(U1) ∪ {[(0, 1, 0,∞)], [(0, 0, 1,∞)], [(0, 1, 1,∞)]}

e que em SH estamos a identi�car cada um dos pontos [(0, 1, 0,∞)], [(0, 0, 1,∞)] e [(0, 1, 1,∞)]

com um ponto de π(U1), pelo que

SH = {[(0, 1,∞, X)]∼ : X ∈ P1}.

Seja (X, Y, Z,W ) ∈ U1. Pelo teorema 4.1 temos que existe um único g = g(X, Y, Z) ∈

PGL(2,C) tal que g · (X, Y, Z,W ) = (0, 1,∞, g · W ). Considerando X = [X1 : X2],

Y = [Y1 : Y2], Z = [Z1 : Z2], W = [W1 : W2], com X1, X2, Y1, Y2, Z1, Z2,W1,W2 ∈ C, e

fazendo alguns cálculos, vemos que, a menos do produto por uma constante complexa, g é

representada matricialmente, por:

g(X, Y, Z) =

− X2

X1Y2−X2Y1

X1

X1Y2−X2Y1

Z2

Y1Z2−Y2Z1− Z1

Y1Z2−Y2Z1

.

Note-se que X1Y2 −X2Y1 6= 0 e Y1Z2 − Y2Z1 6= 0 porque, por hipótese, (X, Y, Z,W ) ∈ U1

pelo que X 6= Y 6= Z 6= X. Seja h : U1 → P1 a aplicação de�nida por

h((X, Y, Z,W )) = g(X, Y, Z) ·W

=

[−X2W1 +X1W2

X1Y2 −X2Y1

:Z2W1 − Z1W2

Y1Z2 − Y2Z1

](5.8)

= [(Y1Z2 − Y2Z1)(−X2W1 +X1W2) : (X1Y2 −X2Y1)(Z2W1 − Z1W2)] .

Temos que h é uma aplicação contínua.


Consideremos agora a aplicação ψ : S → P1 de�nida por

ψ(X, Y, Z,W ) =

h(X, Y, Z,W ) se (X, Y, Z,W ) ∈ U1,

0 se (X, Y, Z,W ) ∈ S23,

1 se (X, Y, Z,W ) ∈ S13,

∞ se (X, Y, Z,W ) ∈ S12.

(5.9)

Proposição 5.2. A aplicação ψ : S → P1 é contínua.

Demonstração. A restrição de ψ ao aberto U1 ⊂ S é contínua pois h é uma aplicação

contínua. Basta então provar que ψ é contínua nos pontos de S \ U1 = S12 ∪ S13 ∪ S23.

Vamos provar a continuidade em S12. Seja (X,X,Z,W ) ∈ S12. Consideremos uma sucessão

em S, Pn = (Xn, Yn, Zn,Wn), com limPn = (X,X,Z,W ). Vejamos que limψ(Pn) =

ψ(X,X,Z,W ) = ∞. Note-se que ψ((Xn, Xn, Zn,Wn)) = ∞, pelo que podemos assumir

que Xn 6= Yn, sem perda de generalidade. Mas então temos que, a partir de determinada

ordem n, (Xn, Yn, Zn,Wn) ⊂ U1 e assim

ψ((Xn, Yn, Zn,Wn)) = h(Xn, Yn, Zn,Wn) −→n→∞

∞,

pelo modo como de�nimos a aplicação h em ( 5.8). Logo ψ é contínua em S12. De modo

análogo vemos que ψ é contínua em S13 e em S23. �

Corolário 5.3. A aplicação induzida

ψ : SH → P1

[(0, 1,∞, X)]∼ 7→ X(5.10)

é contínua.

Demonstração. Considerando as aplicações π, em ( 5.2), π, em ( 5.7), e ψ, em ( 5.9)

Sψ−→ P1

π◦π ↓ ↗

SH


temos que

ψ = ψ ◦ π−1 ◦ π−1.

Seja [(0, 1,∞, X)]∼ ∈ SH . Temos que

ψ((π−1 ◦ π−1) ({[(0, 1,∞, X)]∼})

)= {X},

ou seja, ψ é constante em cada conjunto (π−1◦π−1) ({[(0, 1,∞, X)]∼}), para [(0, 1,∞, X)]∼ ∈

SH . Seja U um subconjunto aberto de P1. A continuidade de ψ implica que

ψ−1(U) =(π−1 ◦ π−1

) (ψ−1(U)

)é aberto em S. Como π e π são aplicações quociente então ψ−1(U) tem que ser aberto em

SH , concluindo-se assim que ψ é contínua. �

Corolário 5.4. O espaço SH é Hausdor�.

Demonstração. Sejam P,Q ∈ SH e consideremos as suas imagens ψ(P ) e ψ(Q). O espaço

P1 com a topologia complexa é Hausdor�, pelo que existem abertos U, V ⊂ P1 tais que

ψ(P ) ∈ U , ψ(Q) ∈ V e U ∩ V = ∅. A aplicação ψ é contínua (corolário 5.3) pelo que

ψ−1(U) e ψ−1(V ) são subconjuntos abertos de SH tais que P ∈ ψ−1(U) e Q ∈ ψ−1(V ).

Além disso, como ψ é uma aplicação injectiva, temos que ψ−1(U) ∩ ψ−1(V ) = ∅. Logo o

espaço SH é Hausdor�. �

Concluimos deste modo que as identi�cações ( 5.6) feitas em SH são as identi�cações

necessárias e su�cientes para obtermos o espaço Hausdor� SH descrito em ( 5.5), pelo que

SH = SH .

Consideremos agora a aplicação de�nida por:

ϕ : P1 → SHX 7→ [(0, 1,∞, X)]∼

.

Temos que ϕ = π ◦ π ◦ ϕ, onde π é a aplicação de�nida em ( 5.7), π é a aplicação de�nida

em ( 5.2) e ϕ é a aplicação:

ϕ : P1 → S

X 7→ (0, 1,∞, X),


pelo que, como as aplicações π, π e ϕ são contínuas, concluimos que ϕ é uma aplicação

contínua. Além disso, temos que

ψ ◦ ϕ = IdP1

ϕ ◦ ψ = IdSH,

ou seja, ϕ é a aplicação inversa de ψ. Temos então a seguinte proposição,

Proposição 5.5. Os espaços SH e P1 são homeomorfos.

Vimos, deste modo, que o espaço moduli SH dos �brados quase-parabólicos simples que

têm E ∼= O(a1)⊕O(a1), a1 ∈ Z, como �brado subjacente é homeomorfo a P1. De�nimos

assim SH ∼= P1 como variedade.

Proposição 5.6. O espaço SH é um espaço moduli grosseiro para o problema de moduli

da classi�cação dos �brados quase-parabólicos simples a menos de isomor�smo, com as

identi�cações adicionais dadas em ( 5.6).

Demonstração. Tendo em conta a proposição 4.6 vemos que SH tem a propriedade uni-

versal de um espaço moduli grosseiro. �

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