UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANADISCIPLINA DE OFICINA DE INTEGRACAO 2

KAYA SUMIRE ABELEANDRO VINICIUS SILVA FORNECK

WALDIR MARIN NETO

ARRAY DE FOTOTRANSISTORES PARA A DETECCAO DO PERFILDE INTENSIDADE DE UM FEIXE DE LASER GAUSSIANO E

CALCULO DE PARAMETROS OPTICOS

MONOGRAFIA

CURITIBA

2011

KAYA SUMIRE ABELEANDRO VINICIUS SILVA FORNECK

WALDIR MARIN NETO

ARRAY DE FOTOTRANSISTORES PARA A DETECCAO DO PERFILDE INTENSIDADE DE UM FEIXE DE LASER GAUSSIANO E

CALCULO DE PARAMETROS OPTICOS

Monografia apresentada a Disciplina de Oficina deIntegracao 2 da Universidade Tecnologica Federaldo Parana como requisito parcial para Aprovacao nadisciplina – Area de Concentracao: Fotonica.

Orientador: Prof. Dr. Arandi Ginane Bezerra Jr.

CURITIBA

2011

AGRADECIMENTOS

Agradecemos aos professores Hugo Vieira e Mario Sergio, que ministram a disciplina,

por dar sugestoes de projetos e apontar os equıvocos em vista do aperfeicoamento do trabalho

da equipe.

Agradecemos, tambem, ao orientador, professor Arandi Ginane Bezerra Jr., por nos

instruir e nos ajudar no entendimento da teoria e nos emprestar os materiais necessarios para a

realizacao deste projeto.

Ao colega de classe Gabriel Resende Ferrari e ao professor vinculado ao Departamento

Academico de Informatica, Ricardo Luders, por dedicarem parte de seu tempo constituindo a

banca avaliadora.

RESUMO

ABE, Kaya; FORNECK, Leandro; NETO, Waldir. ARRAY DE FOTOTRANSISTORES PARAA DETECCAO DO PERFIL DE INTENSIDADE DE UM FEIXE DE LASER GAUSSIANOE CALCULO DE PARAMETROS OPTICOS. 35 f. Monografia – Disciplina de Oficina deIntegracao 2, Universidade Tecnologica Federal do Parana. Curitiba, 2011.

Este documento aborda um dispositivo para a analise de um feixe gaussiano, atraves da medicaoe deducao de parametros opticos. Inicialmente, e apresentado um estudo basico sobre ondasopticas alem da equacao de Helmholtz, requisito para o entendimento do conteudo seguinte,a descricao de feixes gaussianos, assim como a determinacao de parametros relacionados aeste tipo de feixe. Alem disso, para o entendimento do objetivo deste projeto, foi realizado umestudo sobre diodos semicondutores, enfatizando fotodiodos e fototransıstores, necessarios paraa confeccao de parte do hardware do projeto. Tambem sao apresentados aspectos (diagrama detempo de execucao, orcamento, etc) do planejamento do trabalho.

Palavras-chave: array de fototransıstores, feixes gaussianos, equacao de Helmholtz.

ABSTRACT

ABE, Kaya; FORNECK, Leandro; NETO, Waldir. PHOTOTRANSITOR ARRAY FOR DE-TECTION OF A INTENSITY PROFILE FROM A GAUSSIAN BEAM LASER AND CAL-CULATION OF ITS OPTIC PARAMETERS. 35 f. Monografia – Disciplina de Oficina deIntegracao 2, Universidade Tecnologica Federal do Parana. Curitiba, 2011.

This document tackles a dispositive for the analysis of a Gaussian beam, through measurementand deduction of its optic parameters. Initially, a basic study is presented about Optic wavesand the Helmholtz equation, which is a requisite for an understanding of the following content,a Gaussian beam description, as well as the determination of related parameters of this type ofbeam. Furthermore, for an understanding of this project, a study about semiconductors diodes,emphasizing photodiodes and phototransistors was made, and it will be necessary for the ma-king of a share of this project’s hardware. Aspects of the project’s planning (execution timediagram, budget, etc.) are also presented.

Keywords: phototransistor array, Gaussian beams, Helmholtz equation.

LISTA DE FIGURAS

–FIGURA 1 Ondas Paraxiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10–FIGURA 2 Intensidade normalizada do feixe, I/I0, como funcao da distancia radialρ em diferentes distancias axiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15–FIGURA 3 Intensidade normalizada do feixe, I/I0, em pontos do eixo do feixe emque ρ = 0 como funcao da distancia ao longo do eixo z. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15–FIGURA 4 Largura do feixe gaussiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16–FIGURA 5 Sımbolo e polarizacao direta de um diodo ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17–FIGURA 6 Juncao p-n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19–FIGURA 7 Curva de resposta de um fotodiodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–FIGURA 8 Circuito basico para polarizacao de fotodiodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21–FIGURA 9 Circuito basico para polarizacao de fototransistor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21–FIGURA 10 Luxımetro utilizado nos testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22–FIGURA 11 Circuito utilizado nos testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23–FIGURA 12 Curva de sensibilidade obtida experimentalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23–FIGURA 13 Arduino c© Duemilanove. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24–FIGURA 14 Fototransıstor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–FIGURA 15 Diagrama de blocos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–FIGURA 16 Software desenvolvido, utilizado nos testes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26–FIGURA 17 Caracterıstica do feixe utilizando uma lente de 200mm . . . . . . . . . . . . . . . 27–FIGURA 18 Caracterıstica do feixe apenas com as lentes do laser . . . . . . . . . . . . . . . . . 28–FIGURA 19 Feixe gaussiano obtido pela equipe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28–FIGURA 20 Testes atraves da obtencao da intensidade no eixo x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29–FIGURA 21 Configuracao de lentes para o teste final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30–FIGURA 22 Valores de tensao refletidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31–FIGURA 23 Graficos de W(z) analıtico e experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32–FIGURA 24 Diagrama de Gantt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

SUMARIO

1 INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1 Objetivo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 INTRODUCAO AO ESTUDO DE ONDAS OPTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1 EQUACAO DE HELMHOLTZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.1 Equacao de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Amplitude complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.3 A equacao de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 ONDAS PARAXIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1 A Equacao Paraxial de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 O FEIXE GAUSSIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1 AMPLITUDE COMPLEXA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 INTENSIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.1 Largura do feixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 DIODOS SEMICONDUTORES, FOTODIODOS E FOTOTRANSISTORES . . . . 174.1 DIODOS SEMICONDUTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 FOTODIODOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 FOTOTRANSISTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 DESENVOLVIMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.1 PROCEDIMENTO PARA CAPTACAO DE PARAMETROS DO FEIXE GAUSSI-

ANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2 DISPOSITIVO E FUNCIONAMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 SOFTWARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3.1 Plotagem do grafico da tensao e calculos de parametros opticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.4 ORCAMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 TESTES E RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.1 DETERMINACAO DAS LENTES UTILIZADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 TESTES INICIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.3 TESTE FINAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.4 ETAPAS DO TRABALHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 CONCLUSAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7

1 INTRODUCAO

Neste trabalho, pretendeu-se analisar um feixe gaussiano atraves do uso de fototran-

sistores, utilizando a sensibilidade desses dispositivos e, a partir disso, realizou-se calculos dos

parametros opticos deste feixe utilizando equacoes modeladas pela fotonica.

Para tanto, foi construıdo um vetor de fototransistores para a obtencao de dados e

a implementacao de um software interfaceado por Arduıno para a captacao desses dados e

determinacao dos parametros de interesse.

1.1 OBJETIVOS

1.1.1 Objetivo Geral

Analisar a forma gaussiana de um feixe do laser, de forma a calcular os parametros

necessarios para o estudo de topicos relacionados a fotonica.

1.1.2 Objetivos Especıficos

• Implementacao do circuito detector utilizando fototransıstores.

• Implementacao do software de controle e aquisicao de dados com Arduıno c©.

• Modelagem matematica da funcao de dispersao gaussiana do laser.

8

2 INTRODUCAO AO ESTUDO DE ONDAS OPTICAS

Para o entendimento do proposito deste projeto, e necessaria a introducao de conceitos

relacionados a optica e a fotonica, estudo do comportamento de luz e lasers. Alem disso, se faz

necessaria a abordagem de algumas equacoes fundamentais para o entendimento de fenomenos

utilizados para a construcao do aparato proposto.

O projeto e baseado na analise de feixes gaussianos de um laser. Esta analise e, basica-

mente, uma resposta que satisfaz a equacao paraxial de Helmholtz. Para apresentar a equacao

paraxial de Helmholtz, que se restringe aos feixes paraxiais, anteriormente sera apresentada a

equacao de Helmholtz. Assim, posteriormente, serao abordadas as equacoes que descrevem um

feixe gaussiano, utilizadas para a realizacao deste projeto.

2.1 EQUACAO DE HELMHOLTZ

2.1.1 Equacao de onda

A equacao de onda:

52U− 1c2

∂ 2U∂ t2 = 0 (1)

em que c = c0n e a velocidade da luz em um meio homogeneo com ındice de refracao n, e

satisfeita pela representacao complexa de uma funcao de onda optica U(~r, t)

U(~r, t) = a(~r)exp[ jϕ(~r)]exp[ j2πνt] (2)

em que:

• a(~r) = amplitude

• ϕ(~r) = fase

9

• ν = frequencia

• ω = 2πν = frequencia angular

• T = 1/ν = 2π/ω = perıodo

• j =√−1 = unidade imaginaria

e u(~r, t), e definida como sendo a parte real de U(~r, t). (SALEH; TEICH, 2007)

2.1.2 Amplitude complexa

A equacao 2 pode ser escrita na forma

U(~r, t) =U(~r)exp( j2πνt) (3)

em que o fator U(~r) = a(~r)exp[ jϕ(~r)] e definido como “amplitude complexa” da onda optica.

Seu valor inicial em t = 0 e igual a U(~r).

2.1.3 A equacao de Helmholtz

Substituindo a equacao 3 na equacao de onda 1, obtem-se uma equacao diferencial

para a amplitude complexa U(~r):

52U− k2u = 0 (4)

conhecida como “equacao de Helmholtz”, em que:

k =2πν

c=

ω

c(5)

k e denominado como o “numero de onda” e c e a velocidade da luz em um meio homogeneo

com ındice de refracao n:

c =c0

n(6)

Velocidade da luz em um meio homogeneo.

em que c0 e a velocidade da luz no vacuo.

10

2.2 ONDAS PARAXIAIS

Para que seja justificado o desenvolvimento deste projeto, a seguir e apresentado o

conceito de ondas paraxiais para apresentar, entao, a equacao paraxial de Helmholtz.

Uma onda e dita paraxial se as normais as suas frentes de ondas sao raios paraxiais,

ou seja, raios que fazem um pequeno angulo com o eixo de propagacao (PAZ, 2006). Uma

maneira de construir uma onda paraxial pode ser por considerar um “trem” de ondas, e modificar

ou “modular” o envelope complexo A de uma onda plana Aexp( jkz), em que A e constante,

fazendo-o variar lentamente como uma funcao da posicao~r,

U(~r) = A(~r)exp(− jkz) (7)

A variacao de A(~r) e sua derivada com a posicao deve ser lenta dentro da distancia de

um comprimento de onda λ = 2π/k de forma que a onda mantenha sua forma aproximadamente

planar.

A funcao de onda de uma onda paraxial

u(~r, t) = |A(~r)|cos[2πνt− kz+argA(~r)] (8)

e mostrada na figura 1 como funcao de z em t = 0 e x = y = 0 (SALEH; TEICH, 2007).

Figura 1: Ondas Paraxiais. (a) Funcao de onda de uma onda paraxial em funcao da distancia z;(b) Ondas frontais e normais de uma onda paraxial no plano x− z.

Fonte: (SALEH; TEICH, 2007)

11

2.2.1 A Equacao Paraxial de Helmholtz

Para a onda da equacao (7)satisfazer a equacao de Helmholtz (4), o envelope complexo

A(~r) deve satisfazer outra equacao diferencial parcial que e obtida atraves da substituicao da

equacao (7) em (4). Assumindo que A(~r) varia lentamente em relacao a z, significa que a

distancia e muito proxima de λ , ou seja, ∆z = λ e, desta forma, ∆A A. Esta desigualdade

de variaveis complexas se aplica a magnitudes reais e imaginarias separadamente. Desde que

∆A = (∂A/∂ z)∆z = (∂A/∂ z)λ , segue que ∂A/∂ z A/λ = Ak/2π , assim

∂A∂ z kA (9)

A derivada ∂A/∂ z deve variar muito lentamente com a distancia λ , entao ∂ 2A/∂ z2k∂A/∂ z, que fornece

∂ 2A∂ z2 k2A (10)

Substituindo (7) em (4), e desprezando ∂ 2A/∂ z2 em comparacao com k∂ 2A/∂ z2 ou

k2A, resulta em uma equacao diferencial parcial para o envelope complexo A(~r):

52T − j2k

∂A∂ z

= 0 (11)

Equacao Paraxial de Helmholtz.

em que52T = ∂ 2/∂x2 +∂ 2/∂y2 e o operador transversal de Laplace.

A equacao 11 e a aproximacao de uma lenta variacao da equacao de Helmholtz, sim-

plificadamente chamada de “Equacao Paraxial de Helmholtz”. A solucao mais simples para a

equacao paraxial de Helmholtz e a onda paraboloidal, que e uma aproximacao paraxial de uma

onda esferica. Uma das solucoes mais interessantes e uteis, entretanto, se da atraves de feixes

gaussianos (SALEH; TEICH, 2007), que sera apresentado a seguir.

12

3 O FEIXE GAUSSIANO

3.1 AMPLITUDE COMPLEXA

O conceito de ondas paraxiais foi apresentado na secao 2.2. Ainda segundo Saleh e

Teich (2007), uma onda paraxial e uma onda plana percorrendo o eixo z na direcao e− jkz (com

numero de onda k = 2π/λ e comprimento de onda λ ), modulada por um envelope A(~r) que e

uma lenta variacao da funcao da posicao, conforme a figura 1; logo, a sua amplitude complexa

e

U(~r) = A(~r)exp(− jkz) (12)

O envelope e aproximadamente constante dentro da vizinhanca de λ , e a onda mantem

localmente uma estrutura planar, entretanto, suas ondas frontais normais sao raios paraxiais.

Com a finalidade de a amplitude complexa U(~r) satisfazer a equacao de Helmholtz,

52U + k2U = 0, o envelope complexo A(~r) deve satisfazer a equacao paraxial de Helmholtz

(11). Uma solucao simples para a equacao paraxial de Helmholtz e atraves da onda paraboloi-

dal:

A(~r) =A1

zexp(− jk

ρ2

2z

), ρ

2 = x2 + y2 (13)

em que A1 e uma constante. A onda paraboloidal e a aproximacao paraxial da onda esferica

U(~r) = (A1/r)exp(− jkr) em que x e y sao muito menores que z.

Outra solucao para a equacao paraxial de Helmholtz e obtida atraves de feixes gaussi-

anos. Esta solucao usa uma simples transformacao da equacao de onda paraboloidal 13. Uma

vez que o envelope complexo da onda paraboloidal (13) e solucao para a equacao 11, entao,

uma versao deslocada dela, como z−ξ , tambem e, em que ξ e constante:

13

A(~r) =A1

q(z)exp(− jk

ρ2

2q(z)

), q(z) = z−ξ (14)

Esta equacao representa uma onda paraboloidal centrada no ponto z = ξ , ao inves de

z = 0. A equacao (14) ainda e solucao da equacao (11) mesmo que ξ seja complexo, embora

a solucao adquira diferentes propriedades. Em particular, quando ξ e um imaginario puro,

por exemplo ξ = − jz0 em que z0 e real, a equacao (14) revela o envelope complexo do feixe

gaussiano

A(~r) =A1

q(z)exp(− jk

ρ2

2q(z)

), q(z) = z+ jz0 (15)

q(z) e chamado parametro-q do feixe e o parametro z0 e conhecido como a distancia de Ray-

leigh.

A fim de separar a amplitude e a fase do envelope complexo, escreve-se a funcao

complexa 1/q(z) = 1/(z+ jz0), em termos de suas partes real e imaginaria, definindo duas

novas funcoes reais, R(z) e W (z), da forma

1q(z)

=1

R(z)− j

λ

πW 2(z)(16)

Onde W (z) e R(z) sao medidas da largura de um feixe e o raio de curvatura de suas

ondas frontais, respectivamente. As expressoes para W (z) e R(z) como funcoes de z e z0 sao

definidas como (SALEH; TEICH, 2007)

W (z) =W0

√1+(

zz0

)2

(17)

Largura de um feixe gaussiano.

R(z) = z

[1+(

z0

z

)2]

(18)

Raio de curvatura.

ζ (z) = tan−1(

zz0

)(19)

14

Diferenca de fase correspondente ao atraso de uma onda frontal de um feixe plano em relacao a um feixe de onda

esferica.

W0 =

√λ z0

π(20)

Largura da cintura do feixe gaussiano no ponto z = 0.

Substituindo (16) em (15) e utilizando (12) obtem-se diretamente a amplitude com-

plexa de um feixe gaussiano:

U(~r) = A0W0

W (z)exp[− ρ2

W 2(z)

]exp[− jkz− jk

ρ2

2R(z)+ jζ (z)

](21)

Amplitude Complexa.

Uma nova constante A0 = A1/ jz0 foi introduzida por conveniencia.

Os parametros de feixe de luz, de (17) a (20) sao relacionados por z0 e por λ (SALEH;

TEICH, 2007). O significado destes parametros sera apresentado na sequencia.

3.2 INTENSIDADE

A intensidade optica I(~r) = |U(~r)|2 e uma funcao das posicoes radial e axial, z e ρ =√x2 + y2, respectivamente:

I(ρ,z) = I0

[W0

W (z)

]2

exp[− 2ρ2

W 2(z)

](22)

em que I0 = |A0|2. Em qualquer valor de z, a intensidade do feixe gaussiano e funcao da

distancia radial ρ . A funcao gaussiana tem seu maior valor no eixo z, com ρ = 0, e decresce

lentamente com o crescimento de ρ . A largura W (z) de uma distribuicao gaussiana aumenta

com a distancia axial z conforme ilustrado na figura 2.

No eixo do feixe (ρ = 0), a intensidade 22 se reduz para

I(ρ,z) = I0

[W0

W (z)

]2

=I0

1+(z/z0)2 (23)

cujo maximo valor de I0 ocorre quando z = 0 e decai lentamente com o aumento de z, chegando

na metade do valor maximo quando z =±z0, conforme ilustrado na figura 3.

15

Figura 2: Intensidade normalizada do feixe, I/I0, como funcao da distancia radial ρ em diferentesdistancias axiais.(a) z = 0; (b) z = z0; (c) z = 2z0.

Fonte: (SALEH; TEICH, 2007)

Figura 3: Intensidade normalizada do feixe, I/I0, em pontos do eixo do feixe em que ρ = 0 comofuncao da distancia ao longo do eixo z.

Fonte: (SALEH; TEICH, 2007)

3.2.1 Largura do feixe

Em qualquer plano que cruze um feixe de luz, sua intensidade assume o valor maximo

no eixo (z) e descresce com um fator de, aproximadamente, 1/e2 ≈ 0,135 em uma distancia

radial de ρ =W (z). Uma vez que 86% da potencia e carregada em um cırculo de raio, considera-

se W (z) como o raio do feixe (ou largura do feixe). O RMS da distribuicao de intensidade, por

outro lado, e σ = 12W (z).

A relacao entre a largura de um feixe e z e dada por

16

W (z) =W0

√1+(

zz0

)2

(24)

Largura do feixe gaussiano.

assumindo que o valor mınimo e W0, no plano z = 0. W (z) e denominado “cintura” do feixe e

W0 e conhecido como “cintura radial”. O diametro da cintura 2W0 tambem e conhecido como

“tamanho pontual”. A largura do feixe aumenta lentamente com relacao a z, que assume√

2W0

em z =±z0, ilustrado na figura 4.

Figura 4: A largura do feixe, W (z), assume o valor mınimo, W0, em sua cintura (z = 0), atingindo√2W0 em z =±z0, e aumenta linearmente com z para z tendendo a infinito.

Fonte: (SALEH; TEICH, 2007)

Conforme ilustrado na figura 4, o feixe diverge de acordo com um cone de semi-angulo

θ , igual a

θ0 =W0

z0=

λ

πW0(25)

em que foi utilizada a equacao 20 para este resultado. Aproximadamente 86% da potencia do

feixe esta confinada neste cone.

Desta forma, independente de qualquer angulo θ , os parametros x e y em uma posicao

z qualquer sao facilmente entendidos por

x =W (z)cosθ (26)

e

y =W (z)senθ (27)

17

4 DIODOS SEMICONDUTORES, FOTODIODOS E FOTOTRANSISTORES

Para o projeto e construcao do array de fototransıstores, faz-se necessario um entendi-

mento de como esses componentes eletronicos sao constituıdos, bem como de sua operacao em

um circuito eletronico. A seguir, far-se-a um estudo dos diodos semicondutores, a partir do qual

pode-se obter um maior conhecimento acerca dos fotodiodos e dos fototransıstores, que estao

diretamente relacionados aos objetivos deste trabalho.

4.1 DIODOS SEMICONDUTORES

O diodo semicondutor e um componente eletronico fortemente empregado em cir-

cuitos eletronicos, cujas caracterısticas assemelham-se as de uma chave: quando devidamente

polarizado (polarizacao direta), permite a passagem de corrente eletrica, ao passo que, quando

polarizado no sentido contrario a da polarizacao direta - polarizacao reversa - ha um bloqueio

dessa corrente (BOYLESTAD; NASHELSKY, 1984). A figura 5 representa o sımbolo eletrico

do diodo e sua polarizacao direta.

Figura 5: Para um diodo ideal, na polarizacao direta sua resistencia eletrica e zero, enquanto napolarizacao inversa (tensao ao contrario da demonstrada na figura) sua resistencia eletrica tendeao infinito.

Fonte: (EL. . . , 2011)

O termo semicondutor refere-se aos materiais a partir dos quais esses componentes sao

produzidos, normalmente o silıcio (Si) ou o germanio (Ge). O silıcio ou germanio necessarios

para a fabricacao de qualquer dispositivo semicondutor devem apresentar um elevado nıvel de

pureza, isto e, o nıvel de impurezas devem ser menor que uma parte por bilhao.

Tal material com elevado ındice de pureza e denominado semicondutor intrınseco.

18

Contudo, a adicao de uma parte de impureza (adequada, diferente daquela citada anteriormente)

ao semicondutor intrınseco pode alterar significativamente a condutividade eletrica do mate-

rial, melhorando-a, via mecanismos que nao serao abordados aqui. Ao processo de adicao de

impurezas adequadas ao material denomina-se dopagem, e ao semicondutor que tenha sido

submetido ao processo de dopagem denomina-se semicondutor extrınseco.

Basicamente, existem dois tipos de materiais semicondutores extrınsecos: tipo n e

tipo p. O material tipo n sofre um processo de dopagem no qual o numero de portadores de

carga negativa do material e aumentado significativamente em relacao ao numero de portadores

positivos, ao passo que o material tipo p sofre um processo de dopagem no qual o numero de

portadores de carga positiva do material e aumentado significativamente em relacao ao numero

de portadores negativos.

Assim sendo, denominam-se os portadores majoritarios do material semicondutor

aqueles que tiveram sua quantidade aumentada no material pelo processo de dopagem; ja os

portadores minoritarios sao aqueles que nao tiveram sua quantidade alterada de modo signi-

ficativo pelo processo de dopagem.

Os materiais tipos n e p sao a base do diodo semicondutor, e este e conseguido simples-

mente juntando esses dois materiais; nesse caso, e possıvel que existam duas correntes eletricas

que percorrem o dispositivo formado, como se observa na figura 6. Uma delas, a corrente direta,

existe mediante a polarizacao direta do diodo, isto e, colocando-se sobre o diodo uma fonte de

tensao com o polo positivo sobre o material tipo p e o polo negativo sobre o material tipo n.

A outra corrente - corrente de saturacao - e a corrente que existe em condicoes de polarizacao

inversa, isto e, aplicando-se uma fonte de tensao com o polo positivo sobre o material tipo n

e o polo negativo sobre o material tipo p e, com excecao de dispositivos de alta potencia, nao

ultrapassa alguns microamperes (BOYLESTAD; NASHELSKY, 1984).

Por esse comportamento de permitir a passagem de corrente eletrica em um sentido e

nao permitir em sentido contrario, dependendo da polarizacao, o diodo semicondutor pode ser

comparado a uma chave, alem de ter varias outras finalidades na eletronica, como, por exemplo,

para a retificacao de ondas.

19

Figura 6: Um diodo semicondutor como uma juncao dos materiais tipos n e p, bem como suapolarizacao direta, via fonte de tensao. Correntes em sentido real.

Fonte: (TEORIA. . . , 2011)

Tendo essa teoria basica de diodos semicondutores em mente, na sequencia sera feito

um estudo acerca dos fotodiodos e dos fototransıstores, bem como uma comparacao entre estes

dois a fim de se mostrar por que motivo serao utilizados fototransıstores neste projeto.

4.2 FOTODIODOS

Aqui sera introduzido o estudo dos fotodiodos pela analise de algumas caracterısticas

de fontes de energia luminosa e, em seguida, sera analisado o funcionamento do dispositivo.

As fontes de energia luminosa transmitem essa energia (W [joules]) na forma de pa-

cotes discretos, chamados fotons, e que e relacionada com a frequencia da luz emitida (f [Hz])

pela equacao:

W = h f (28)

Energia luminosa.

em que h e a constante de Planck.

Como se sabe, a frequencia da emissao luminosa e relacionada ao seu comprimento de

onda (λ [metros]) pela equacao:

20

λ =vf

(29)

Comprimento de onda.

em que v e dado em m/s e vale 3×108m/s, que e a velocidade da luz (BOYLESTAD; NASHELSKY,

1984).

A importancia de saber com qual comprimento de onda se esta trabalhando reside no

fato de que diferentes materiais possuem diferentes sensibilidades a determinadas emissoes;

essas sensibilidades sao dadas pela resposta espectral de um fotodiodo, e sao fornecidas pelos

fabricantes desses dispositivos, e um exemplo de curva esta na figura 7.

Figura 7: A curva mostra como o fotodiodo reage a diferentes comprimentos de onda.

Fonte: (ELETRONICA. . . , 2011)

Para efeitos de aplicacao em circuitos eletronicos, o fotodiodo deve ser polarizado

inversamente, conforme a figura 8. Nesse caso, a corrente de saturacao (que no diodo semicon-

dutor e muito pequena na polarizacao reversa) so tera um valor significativo com a aplicacao de

luz a juncao pn, em que ocorre uma transferencia da energia luminosa incidente para a estrutura

atomica, resultando em um acrescimo de portadores de carga na regiao de juncao e um aumento

da corrente eletrica (BOYLESTAD; NASHELSKY, 1984).

4.3 FOTOTRANSISTORES

Basicamente, os transıstores de juncao sao constituıdos de duas juncoes de materiais n

e p; no caso dos fototransıstores, ha uma janela que permite a incidencia da radiacao luminosa

do ambiente em uma dessas juncoes, cujo efeito e o aumento da condutividade do material semi-

21

Figura 8: Circuito basico para polarizacao de fotodiodo.

condutor e consequente aumento na corrente eletrica que percorre o dispositivo. A polarizacao

do fototransıstor se da como na figura 9.

Figura 9: Circuito basico para polarizacao de fototransistor.

Para aplicacoes em que se deseja determinar a intensidade luminosa incidente sobre o

dispositivo fotossensıvel, o fototransıstor oferece uma vantagem em relacao ao fotodiodo, que

e a amplificacao da corrente que passa pelo dispositivo, tornando algumas medidas mais faceis.

Alem disso, interessa a sensibilidade do componente, isto e, quanto uma variacao da

energia luminosa sobre o dispositivo fotossensıvel faz variar uma tensao ou corrente; normal-

mente, esses valores sao informados pelos fabricantes.

O fototransıstor utilizado pela equipe e o TIL78 - por sua facilidade de compra, sobre-

tudo no comercio local -, cujo datasheet nao apresenta a curva de sensibilidade do componente,

sendo, portanto, necessario esse levantamento, que esta descrito no capıtulo dedicado ao pro-

jeto.

22

5 DESENVOLVIMENTO

5.1 PROCEDIMENTO PARA CAPTACAO DE PARAMETROS DO FEIXE GAUSSIANO

Para se obter a funcao entre os dados de tensao que serao coletados pelo Arduino c© e

a intensidade luminosa no fototransistor, foram utilizados o voltımetro e o luxımetro, mostrado

na figura 10.

O circuito utilizado para a medicao e mostrado na figura 11.

Figura 10: Luxımetro utilizado nos testes

A partir da resposta da tensao em cima de um resistor no terminal de emissor de cada

fototransıstor para diferentes intensidades luminosas no fototransistor, foi obtida uma curva

aproximada da tensao pela intensidade luminosa, em “footcandles” (1 f c = 10.76391lux), como

mostra o grafico da figura 12.

Pela curva levantada, percebe-se que a resposta do fototransıstor pode ser separada em

duas partes: pela tensao obtida em cada sensor, devera ser usada uma funcao de aproximacao

23

Figura 11: Circuito utilizado nos testes

Figura 12: Curva de sensibilidade obtida experimentalmente

ou outra, que depende do iluminamento incidente sobre o componente. As duas funcoes de

aproximacao estao separadas pelo limiar de 5000 fc (footcandles): abaixo desse valor, as res-

postas de tensao serao abaixo de 4,50 V e a funcao que aproxima o comportamento e apresen-

tado na equacao (30); quando a resposta em tensao e igual ou superior a 4,50 V, a funcao que

aproxima (31), em que x representa o iluminamento.

W =−10−7x2 +0.0013x+0.3568 (30)

V(x) na regiao de 0 ate 4,50V.

W =−10−5x+4.4532 (31)

V(x) na regiao acima de 4,50V.

24

5.2 DISPOSITIVO E FUNCIONAMENTO

A partir da emissao de um feixe de laser, e sua respectiva ampliacao atraves de len-

tes, feita para se ter uma distribuicao gaussiana com o diametro no tamanho do vetor de foto-

transıstores, seria coletada automaticamente a intensidade luminosa em cada ponto do vetor e

tais valores enviados a um software, atraves da utilizacao do Arduino c©, ilustrado na figura 13.

Detalhes sobre o software serao descritos na secao 5.3.

Figura 13: Arduino c© Duemilanove.

Fonte: (ARDUINO, 2011)

Devido ao alto custo e a dificuldade de encontrar fotodiodos ou fototransıstores em

escalas microscopicas ou um vetor de algum destes componentes, comumente utilizados para

processos de perfilamento de lasers, foram utilizados fototransıstores faceis de encontrar no

mercado, com diametros de 3mm.

A disposicao dos fototransıstores em um vetor montado pela equipe foi limitada pela

quantidade de entradas analogicas do Arduino c©, sendo essa quantidade de no maximo 6; por-

tanto foram utilizados 6 fototransıstores, com um exemplo comumente usado na figura 14.

O processo de funcionamento do dispositivo, atraves de um diagrama de blocos, esta

ilustrado na figura 15.

25

Figura 14: Fototransıstor.

Fonte: (CASTRO. . . , 2011)

Figura 15: Diagrama de blocos.

5.3 SOFTWARE

5.3.1 Plotagem do grafico da tensao e calculos de parametros opticos

O software foi implementado na plataforma grafica Processing, em conjunto com a

biblioteca Arduino, e para a comunicacao entre o Arduıno e o software, foi utilizado o protocolo

de comunicacao StandardFirmata.

O software e responsavel pela obtencao dos dados de tensao em cada resistor e par-

tir deles, plotar um grafico da tensao pela posicao do resistor em tempo real. Entretanto, a

dificuldade em ter sucesso com a parte pratica fez a equipe nao investir o tempo desejado na

implementacao do software. Desta forma, o resultado desta parte do projeto nao foi satisfatorio,

embora a equipe o tenha utilizado para alguns testes rapidos para captar uma configuracao apro-

26

ximadamente gaussiana do feixe de laser utilizado.

Para fins de testes e comparacoes, foi feita a reflexao dos pontos obtidos no semiplano

esquerdo, alem de uma interpolacao linear entre os pontos obtidos para se obter um grafico com

caracterıstica contınua.

Um exemplo de feixe obtido esta na figura 16:

Figura 16: Software desenvolvido, utilizado nos testes.

5.4 ORCAMENTO

O investimento necessario para realizar o projeto foi de, aproximadamente:

• Arduıno - R$ 126,00

• Laser - fornecido pelo orientador

• Lentes para ampliacao do laser - fornecido pelo orientador, atraves do almoxarifado do

Departamento Academico de Fısica

• 6 Fotodiodos - R$ 1,50 cada

• Resistores de 10kΩ de 1/4W - R$ 0,30

• Matriz de furos para o circuito - R$ 5,90

27

6 TESTES E RESULTADOS

6.1 DETERMINACAO DAS LENTES UTILIZADAS

Para analisar os dados de maneira correta, a equipe organizou alguns testes em labo-

ratorio para ter uma ideia de qual seria o melhor arranjo de lentes a ser utilizado.

Para isso, foi feita a analise da incidencia do laser atraves das lentes sobre uma su-

perfıcie plana branca, tentando encontrar uma distribuicao gaussiana que fosse visıvel a olho

nu. As lentes biconvexas testadas foram de 50mm, ±100mm, 200mm e 300mm. Depois desses

testes, decidiu-se que a 200mm poderia ser utilizada, sendo sua intensidade luminosa mostrada

na figura 17, ou ainda a possibilidade da utilizacao do laser sem nenhuma lente externa, apenas

com o sistema de foco do proprio laser, mostrado na figura 18.

Figura 17: Caracterıstica do feixe utilizando uma lente de 200mm

Devido ao grau de semelhanca entre a intensidade luminosa de ambos os testes, o

grupo optou por nao utilizar as lentes, tendo em vista tambem a dificuldade do alinhamento

manual entre o laser e a lente.

Esta decisao da equipe acabou sendo equivocada e trouxe resultados nao satisfatorios

nos primeiros testes do projeto, que serao descritos posteriormente.

28

Figura 18: Caracterıstica do feixe apenas com as lentes do laser

Com auxılio do orientador, um novo arranjo de lentes foi obtido, utilizando as seguintes

distancias focais: 50mm, 200mm e 100mm, mostradas no teste final.

Um exemplo de feixe gaussiano obtido pela equipe, embora nao tenha sido o melhor

resultado, esta ilustrado na figura 19.

Figura 19: Feixe gaussiano obtido pela equipe.

6.2 TESTES INICIAIS

Para as equacoes da secao 3 serem validas na modelagem de um perfil gaussiano de

um laser, e necessario que tal perfil seja gerado atraves de feixes paraxiais, ou seja, aproxima-

damente paralelos com o seu eixo de propagacao. Baseando-se na figura 2, a equipe propagou

o feixe ajustando-o no diametro do conjunto de fototransıstores e captou os valores de tensao

respectivos a propagacao.

O conjunto de valores de tensao obtido foi aproximadamente gaussiano, e isso foi

deduzido atraves da aproximada linearidade da regiao ativa obtida com a curva da intensidade

versus a tensao, da figura 12.

Desta forma, nao foi trabalhado em cima de um fator de conversao exato para a inten-

29

sidade do laser, os valores trabalhados se referem a tensao obtida em cada fototransıstor.

Com o ajuste do foco apenas com a lente do laser, foi-se obtido um perfil aproxima-

damente gaussiano em relacao ao eixo x, e alguns dos valores medidos de acordo com cada

componente, atraves de uma interpolacao simples, sao mostrados na figura 20.

Figura 20: Testes atraves da obtencao da intensidade no eixo x.

O primeiro resultado ilusoriamente gaussiano obtido pela equipe, foi ilustrado na figura

19 e os testes respectivos a tal configuracao, na figura 20. Tal resultado se mostrou satisfatorio

durante os primeiros testes, porem, os calculos obtidos nao condiziam com os resultados espe-

rados. O angulo de propagacao encontrado foi de, aproximadamente, 30o, quando um resultado

satisfatorio deveria ser menor que 10o.

O erro neste resultado foi devido a configuracao do feixe antes da lente que o carac-

terizou gaussiano, que nao estava paralelo, mas divergente, logo, as equacoes de onda paraxial

30

nao se tornariam validas nesta analise. Entretanto, um perfil gaussiano no eixo x foi obtido, o

que serviu como uma constatacao do funcionamento satisfatorio do vetor de fototransıstores.

Com o andamento dos testes e resultados semelhantes aos ja apresentados, a equipe

resolveu aumentar o diametro do feixe de modo que ficasse duas vezes maior que o vetor de

sensores utilizado. Desta forma, por ser um feixe aproximadamente simetrico a propagacao,

valores de tensao (relacionados a intensidade) foram captados a partir da metade do feixe ate

um dos extremos de seu diametro. Este resultado e mostrado no teste final.

6.3 TESTE FINAL

Para a determinacao dos parametros gaussianos, foi utilizada uma combinacao de 3

lentes, conforme a figura 21, onde as primeiras duas lentes foram ajustadas de forma a deixar

o feixe paralelo e a ultima foi ajustada de forma a convergir o feixe, dessa forma fazendo com

que os calculos e as equacoes apresentadas anteriormente sejam validas.

Figura 21: Configuracao de lentes para o teste final

Assim como nos testes anteriores, foi obtido o perfil de intensidade em funcao da

tensao em relacao ao eixo x e tambem em relacao ao eixo z, com os valores captados no com-

primento do raio do feixe para o eixo x e em um mesmo ponto, mas para diferentes distancias

no caso do eixo z, conforme mencionado anteriormente. Estes resultados estao ilustrados na

figura 22.

A partir disso, mediu-se o raio do feixe incidente, W , no array de fototransıstores para

31

Figura 22: Valores de tensao refletidos

diferentes distancias z entre o laser e o array.

Essas medidas foram entao utilizadas no calculo do angulo de divergencia θ0 a partir da

relacao trigonometrica entre θ0 e z, tal que θ0 = arctg(w/z). O valor calculado foi θ0 ≈ 4.46o.

Com o valor de θ0, foi calculado o valor de W0, atraves da relacao da equacao (20), e obteve-se

W0 = 2.46µm.

A partir destes parametros, foi feito o calculo dos valores de W (z), utilizando a equacao

(17), e entao os valores calculados foram comparados com os valores de W (z) obtidos experi-

mentalmente, atraves do grafico de W 2xz2, mostrado na figura 23.

Com esse grafico comparativo pode ser observado que o feixe analisado e os valores

obtidos para W0 e θ0 sao validos.

32

Figura 23: Graficos de W(z) analıtico e experimental

6.4 ETAPAS DO TRABALHO

Para melhor entendimento do trabalho e de seu funcionamento, as tarefas foram divi-

didas em algumas partes fundamentais, que nao foram necessariamente executadas sequenci-

almente, sendo a maioria delas executada paralelamente para uma melhor utilizacao do tempo

dedicado a esta disciplina:

1. Pesquisa e compra dos materiais.

2. Estudo do feixe gaussiano e leitura de artigos passados pelo orientador.

3. Construcao do vetor de fototransıstores.

4. Etapa de testes com o laser para medicao da variacao da intensidade luminosa e constatacao

da validade da teoria.

5. Implementacao dos softwares de leitura e correcao dos dados.

6. Integracao dos testes com o Arduıno e os softwares desenvolvidos.

O cronograma previsto pela equipe para a realizacao de tarefas esta ilustrado na figura

24:

33

Figura 24: Diagrama de Gantt.

Tal cronograma nao foi, de fato, seguido durante o semestre. O grande tempo investido

em pesquisa e revisao bibliografica foi devido a troca de projeto e familiarizacao com o tema

deste projeto. Alguns problemas ocorridos durante o desenvolvimento deste projeto levaram ao

atraso de algumas etapas, de forma que as ultimas semanas foram dedicadas ao funcionamento

e satisfacao dos resultados do experimento.

34

7 CONCLUSAO

Como os componentes utilizados para a realizacao deste projeto nao sao de alta pre-

cisao (logo, de baixo custo), tais objetos precisaram de uma analise de resposta de acordo com

suas caracterısticas, por exemplo, a curva de sensibilidade do fototransıstor utilizado em relacao

a tensao obtida. Esta pesquisa se tornou util, pois em folhas de dados de tal componente (da-

tasheets) nao e fornecida tal informacao, alem disso, este tipo de analise provou-se necessaria

para a determinacao dos parametros opticos.

Com a realizacao de varios testes para analise do feixe e obtencao de uma caracterıstica

visivelmente gaussiana, foi possıvel, mesmo que de maneira aproximada, a analise do feixe e

o calculo de seus parametros opticos atraves dos dados obtidos experimentalmente, utilizando

materiais de baixo custo.

A partir deste trabalho e algumas dificuldades encontradas pela equipe, e sugerido que

em um aperfeicoamento de um aparato similar a este, seja feita uma analise mais detalhada

em relacao aos componentes (em especıfico, o fototransıstor) para uma melhor precisao dos

resultados utilizados para a manipulacao de dados e calculos dos parametros opticos. Para tanto,

a utilizacao de amplificadores operacionais, maiores valores de resistencias e um valor maior

de tensao de alimentacao e valida para o aperfeicoamento do aparato e, consequentemente, dos

resultados obtidos.

Alem disso sugere-se que sejam feitos os calculos dos parametros opticos para varias

configuracoes de lentes diferentes, e tambem para outros espectros (cores) de laser (devido ao

comprimento de onda diferente do utilizado) a fim de estudar o comportamento da variacao de

W0 e θ0 a partir dessas configuracoes e, possivelmente, validar com maior certeza os valores

obtidos.

35

REFERENCIAS

ARDUINO. 2011. Disponıvel em: <http://arduino.cc>.

BOYLESTAD, R. L.; NASHELSKY, L. Dispositivos Eletronicos e Teoria de Circuitos. Ter-ceira. Rio de Janeiro: Prentice Hall do Brasil, 1984.

BOYLESTAD, R. L.; NASHELSKY, L. Dispositivos Eletronicos e Teoria de Circuitos. Sexta.Rio de Janeiro: LTC, 1998.

CASTRO Electronica Lda. 2011. Disponıvel em: <http://www.castroelectronica.pt/product/led-foto-diodo-receptor-bpw40>.

EL Diodo. 2011. Disponıvel em: <http://www.profesormolina.com.ar/tutoriales/diodo.htm>.

ELETRONICA Basica. 2011. Disponıvel em: <http://www.eletronica24h.com.br/cursoeletronica/cursoEN2/aulas/Aula006.htm>.

PAZ, I. G. da. Ondas de Materia e Propagacao Paraxial da Luz. Dissertacao (Mestrado) —Universidade Federal de Minas Gerais, 2006.

SALEH, B. E. A.; TEICH, M. C. Fundamentals Of Photonics. Segunda edicao. [S.l.]: Wiley-Interscience, 2007.

TEORIA dos Semicondutores - Clube da Eletronica. 2011. Disponıvel em:<http://clubedaeletronica.com.br/Eletronica/HTML/Semicondutores.htm>.