O decaimento exponencial e a Lei de Newton do resfriamento

Prof. Alberto Tufaile

1. Introdução Nesta experiência você utilizará um termômetro e entrará com um dos fenômenos mais comuns da Natureza: o resfriamento de um corpo. O princípio relacionado com este fenômeno é a lei de Newton do resfriamento, que estabelece que a taxa de calor perdida de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e a sua vizinhança. Como você acha que resfria um objeto deixado em contato com a temperatura ambiente? Discuta com os colegas de grupo e escreva um pequeno resumo sobre isto. 2. Objetivo Observar o resfriamento de uma pequena quantidade de água baseado na Lei de Newton do resfriamento. 3. Decaimento Exponencial e a lei de Newton do resfriamento A função matemática que descreve esse fenômeno é o decaimento exponencial da temperatura do corpo. O decaimento exponencial é a diminuição da quantidade N de acordo com a lei:

, (1) para o tempo t e uma constante λ, conhecida como constante de decaimento, onde ex

é a função exponencial, e N0=N(0) é o valor inicial.

0 5000 1000020

40

60

80

100

tem

pera

tura

tempo

Exemplo gráfico do decaimento exponencial semelhante à experiência que será feita nesta aula.

O decaimento exponencial é a solução da equação diferencial ordinária:

que pode ser rescrita como:

Integrando os dois lados, teremos:

e fazendo a exponenciação dos dois lados obteremos a primeira equação (1). Considerando esta equação para o resfriamento de um corpo, se T for a temperatura de um corpo, então:

λ=−−

com λ sendo a constante de resfriamento. A partir disso temos:

( ) ( (0) ) tamb ambT t T T T e λ−= + − .

4. Técnicas e Procedimentos Material utilizado: Multímetro e sensor do tipo termopar, erlenmeyer de vidro com 200 ml de água, microondas, cronômetro com fonte.

Diagrama do experimento para verificar o resfriamento da água.

Termômetro

5. Cuidados preliminares

a) O uso do termômetro e do cronômetro será explicado pelo professor. b) RISCO DE QUEIMADURAS: água será aquecida com quase 100 graus

Celsius, cuidado no transporte do erlenmeyer e durante a experiência para evitar queimaduras.

6. Medidas Medida do tempo de decaimento da temperatura:

1) Anote a temperatura ambiente antes e no fim da experiência. 2) Coloque o sensor na água 3) Faça uma tabela com 3 colunas contendo 70 linhas. 4) Acompanhe a queda da temperatura da água fazendo leituras no

multímetro quando o valor lido começar a oscilar para o valor mais baixo. Você tomará dados por 1 hora.

7. Relatório a) Cada grupo deverá apresentará um relatório. Organize as tabelas e

apresente os passos mais importantes dos cálculos efetuados. b) Indique corretamente as dimensões das grandezas envolvidas. c) Discuta os resultados obtidos.

8. Apresentação dos resultados

a) Faça o gráfico tendo na ordenada T e na abscissa o tempo t em segundos. b) Faça o gráfico tendo na ordenada ln (T-Tamb) e na abscissa o tempo t em

segundos O Decaimento Exponencial na natureza. Onde encontramos o decaimento exponencial?

a) Em uma amostra de radionuclídeos ou outras partículas sujeitas a um decaimento radioativo, o número de partículas no estado inicial segue um decaimento exponencial, assim como os radionuclídeos remanescentes.

b) Se um objeto a uma dada temperatura é exposto a um meio com uma temperatura mais baixa, a diferença de temperatura entre o objeto e o meio segue um decaimento exponencial.

c) Certas reações químicas dependem da concentração de um ou outro reagente. Estas taxas de reação conseqüentemente seguem um decaimento exponencial.

d) A pressão atmosférica cai exponencialmente com o aumento da altura acima do nível do mar, a uma taxa de cerca 12% por 1000 m.

e) A carga elétrica armazenada em um capacitor decai exponencialmente de o capacitor experimenta um consumo de carga externo constante.

f) As oscilações do amortecedor do carro decaem exponencialmente.

g) Em farmacologia e toxicologia, sabe-se que muitas substâncias que se difundem pelo corpo ou que são eliminadas pelo organismo obedecem a um padrão de decaimento exponencial. A “meia-vida alfa” e a “meia-vida beta” de uma substância medem a velocidade que uma substância é absorvida ou eliminada.

h) Mas se você não entende decaimento radioativo ou o que uma descarga de capacitor tem em comum, relaxe, apenas sente-se diante de um copo de cerveja e veja o que acontece. A taxa na qual a espuma do colarinho desaparece é semelhante àquela que os núcleos radioativos se quebram ou dos elétrons escapando de um capacitor.

Decaimento exponencial da altura da espuma de três marcas diferentes de cerveja com relação ao tempo.

Se considerarmos que N é o número de bolhas, o desaparecimento das bolhas e conseqüentemente a altura do colarinho obedece um decaimento exponencial, segundo o Prof. Arnd Leike, da Universidade de München, na Alemanha.