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Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Utilização de Métodos deCálculo Numérico em Aerodinâmica

• Erro Numérico:

- Erro de arredondamento

- Erro iterativo

- Erro de discretização

• Três componentes do erro numérico têmcomportamentos diferentes com o aumentodo número de graus de liberdade (refinamentoda malha)

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• Erro de arredondamento:

- Devido à precisão finita dos computadores

- Pode ser minorado utilizando precisão dupla

- Pode ser o erro dominante em problemas mal condicionados (pequenas diferenças entre números várias ordens de grandeza superiores)

- Aumenta com o aumento do número de graus de liberdade (refinamento da malha)

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• Erro iterativo:

- Não linearidade das equações a resolver (convecção nas equações de balanço de quantidade de movimento)

- Desacoplamento das equações(modelo de turbulência resolvido para um campo de velocidade fixo e equações de Reynolds resolvidas com viscosdade turbulenta conhecida)

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• Erro iterativo:

- Esquemas de discretização com correcçõesexplícitas para os termos de ordem superior

- Solução dos sistemas de equações algébricos com métodos iterativos(Jacobi, Gauss-Seidel, Gradientes Conjugados,GMRES, ...)

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• Erro iterativo:

- Em princípio, pode ser reduzido até ao nível de precisão da máquina (se não existirem problemas com o erro de arredondamento)

- Aumento do número de graus de liberdade(refinamento da malha) tende a dificultar aredução do erro iterativo. Técnicas “Multigrid”podem evitar problemas com a dimensão dosistema de equações a resolver

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• Erro iterativo:

- É importante definir (conhecer) o significadode 1 iteração

- Estimativas do erro iterativo baseadas nas diferenças (resíduo) obtidas na última iteração realizada não são fiáveis

- Para estimativas do erro iterativo, a norma L∞

é mais indicada que as normas L1e L2

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• Erro iterativo:

- Cálculo do escoamento turbulento num canalcom as equações de Reynolds em média temporal (+modelo de viscosidade turbulenta)

- Estimativa inicial da solução é obtida copiandoos perfis de entrada para toda a malha

- Solução convergida até à precisão da máquina(10-14)

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• Erro iterativo:

- Critério de convergência baseado na diferençamáxima entre iterações sucessivas, et

- Erro iterativo calculado pela diferença para a solução convergida até à precisão da máquina

- Exemplo para a componente horizontal dovector velocidade, U1

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• Erro iterativo:

• Erro iterativomáximo 2 ordens degrandeza maior do que et

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• Erro de discretização:

- Consequência da transformação da(s)equação(ões) do meio contínuo para umsistema de equações algébrico

- Pode ter uma componente geométrica, quepode até ser dominante em domínios com superfícies de elevada curvatura

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- Habitualmente é o erro numérico dominante

- Determinação do erro de discretização requero conhecimento da solução exacta

- Tende a diminuir com o refinamento da malha

- Estimativa do erro de discretização pode serfeita com refinamentos sistemáticos da malha

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- Teoria da Linha Sustentadora com o métodode Glauert

- Asa rectangular sem torção com alongamentoΛ=6

- Perfil simétrico com

- Convergência de e com o número determos da série, n

o

lC 2,2' ==∞

απ

LCiDC

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- Neste exemplo não há erro iterativo

- O erro de arredondamento em precisão dupladeixa de ser desprezável para séries com maisde 35 termos

- Solução “exacta” obtida com 35 termos na série

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n

Lo

g1

0(|

"Err

o"

CL|)

Lo

g1

0(|

"Err

o"

CD

i|)

0 2 4 6 8 10-6

-5

-4

-3

-2

-1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

CL

CDi

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• Erro de discretização

- Em estudos de refinamento de malha admite-se

φ – Variável local ou integralφexacto – Solução exactaα – Constante relacionada com o nível do errohi – Dimensão caraterística da malhap – Ordem de convergência

p

iexacto he αφφφ ≅−=)(

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- Região assimptótica, i.e. termos de ordem superiorsão desprezáveis

- Dimensão típica da malha, hi, pode ser difícil dedefinir (malhas multi-bloco, não estruturadas)

p


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- Número mínimo de malhas para determinarα e φexacto : 2.

- Não é aconselhável utilizar apenas duas malhas.Não há garantia que os resultados estão na “regiãoassimptótica”, pelo que p não é conhecido

p


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- Número mínimo de malhas para determinarα, p e φexacto : 3

- Em aplicações práticas pode existir ruído nosresultados (definição de hi, interpolações, integrações,...), pelo que 3 malhas não garantemfiabilidade dos resultados

p


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- Cálculo da área de uma superfície cilíndricacom uma regra de Gauss com 1 ponto pordirecção

- Dois tipos de malha:

A. Distâncias equidistantes em x

B. Distâncias equidistantes em s

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XZ

Y XZ

Y

Malha A Malha B

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hi/h

1

Err

o(S

)

0 2 4 6 8 1010-6

10-5

10-4

Malha A

Malha B

Log

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Verificação :

“Resolver as equações correctamente”

Validação :

“Resolver as equações correctas”

Roache, 1998

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• Verificação inclui duas fases:

- Verificação de códigosGarantir que o programa não tem erros.Avaliação de erros, pelo que requer oconhecimento da solução exacta

- Verificação de soluções/cálculosEstimar a incerteza numérica de uma soluçãoda qual se desconhece a solução exacta

(Estimativa de erros)

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• Verificação de códigos

- O “Method of Manufactured Solutions” é uma alternativa para a Verificação de códigos quandonão há soluções analíticas disponíveis

- Em algumas aplicações práticas não existemsoluções exactas disponíveis. Por exemplo,as equações de Reynolds em média temporalnão têm soluções exactas

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• “Method of Manufactured Solutions”

1. Escolher o domínio computacional

2. Escolher a solução para as variáveis dependentesdo problema

3. Determinar termos de fonte para as equações diferenciais a resolver de tal forma que soluçãoescolhida satisfaz o “novo” sistema de equaçõesdiferenciais

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- As equações de Reynolds não formam um sistema fechado

- As equações adicionais também devem fazer parte da solução fabricada

- Convergência numérica pode depender dasequações de fecho, i.e. do modelo deturbulência

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- Exemplo para o modelo de uma equação de Spalart & Allmaras

- Solução “fabricada” inclui a variável dependentedo modelo de turbulência ou alternativamente a especificação da viscosidade turbulenta

- Campo de velocidade semelhante a uma camada limite em gradiente de pressão nulo

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hi/h

1

RM

S[e

(ux)]

×1

05

0 1 2 3 40

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

M S 2p= 1 .3M S 2 , N o da m ping function (f

v1= 1 )

p= 2 .1M S 2 , M a nufa ctu re d ν

t

p= 2 .0

Spalart & Allmaras one-equation model

MS

Lisbon

Workshop

2006

RMS error

of ux

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• Verificação de soluções/cálculos

- A solução exacta não é conhecida

- Estimativa do erro numérico admite habitualmente que o erro de discretizaçãoé dominante

- Métodos baseados em estudos de refinamentode malha são uma das alternativas

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com um grau de confiança de 95%


- Estimar a incerteza, U, de um cálculo numérico para o qual a solução exacta é desconhecida

Objectivo:

)()( φφφφφ UU exact +≤≤−

Factor de segurança

Estimativa do erro

→SF( )φφ eFU S=)(

( ) →φe

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p

iREoii he αδφφφ ==−=)(


φi � Solução numérica de uma variável local ou integral

φo � Estimativa da solução exacta

δRE � Estimativa do erro

αj � Constante relacionada com o nível de erro

hi � Dimensão característica da malha

pj � Ordem de convergência observada

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X

X

X

hi

φ

φo

( )

( )( )

01

1

1

12

23

1

2

12

23

12

121

=−

−

−

−

−

−

−==−

p

pp

pREo

hh

hh

h

h

hh

φφ

φφ

φφδφφ

- 3 Malhas necessárias para calcular φo, α, p

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- Convergência ou divergência aparente paratrês malhas com h2/h1=h3/h2!

Razão de Convergência :

0 < R <1 � Convergência Monotónica-1 < R <0 � Convergência OscilanteR > 1 � Divergência MonotónicaR <-1 � Divergência Oscilante

23

12

φφ

φφ

−

−=R

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- Escoamento turbulento sobre uma placaplana

- Equações de Reynolds em média temporal commodelos de turbulência de viscosidadeturbulenta

- Exemplos de convergência do coeficiente deresistência (de atrito) com o refinamento da malha

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hi/h

1

CF×

10

3

0 1 2 3 42.92

2.94

2.96

2.98

3

3.02

k-ω BSL

1,2

2,3

k-ω Wilcox

2,3

p= 1.9

ReL=10

7

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hi/h

1

CF×

10

3

0 1 2 3 42.08

2.1

2.12

2.14

2.16

2.18

k-ω BSL

2,3

2,3

k-ω Wilcox

2,3

p= 1.8

ReL=10

8

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hi/h

1

CF×

10

3

0 1 2 3 41.54

1.56

1.58

1.6

1.62

1.64

k-ω BSL

2,3

2,3

k-ω Wilcox

p= 2.0

p= 1.7

ReL=10

9

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• Validação

- Comparação com resultados experimentais

- Diferença entre a solução numérica e a mediçãoexperimental, |E|

- Incertezas numérica e experimental, Uval

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• Validação

- Erro de modelação maior do que os errosnumérico e experimental. Modelo precisa de sermelhorado

- Erro de modelação inferior ao ruído originado pelos erros experimental e numérico

valUE >

valUE <

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• Validação

- Escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo

- Comparação da velocidade axial

- Equações de Reynolds com um modelo deviscosidade turbulenta

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y/LPP

z/L

PP

-0.01 0 0.01 0.02

-0.065

-0.06

-0.055

-0.05

-0.045

-0.04

-0.035

-0.03

Ux

0.90.850.80.750.70.650.60.550.50.450.40.350.30.250.20.150.1


• ValidaçãoExperimental Numérico

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• Validação

ϕ

Ux

0 30 60 90 120 150 180-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Experimental

SST

Comparaçãohabitual

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ϕ

Ux

0 30 60 90 120 150 180-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Experimental

SST


• Validação

Introduçãoda incertezaexperimental

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ϕ

Ux

0 30 60 90 120 150 180-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Experimental

SST


• Validação

Introduçãoda incertezanumérica

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• Validação

ϕ

Ux

0 30 60 90 120 150 1800

0.1

0.2

0.3E=|S-D|

Uval

=(U2

num+U

2

D)

1/2

Comparaçãodo erro devalidação coma incertezade validação

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