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V.S.F.F.435.V1/1

PROVA 435/9 Págs.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto)

Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos

Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE2005

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA

VERSÃO 1

Na sua folha de respostas, indique claramente aversão da prova.

A ausência desta indicação implicará a anulaçãode todo o GRUPO I.

A prova é constituída por dois Grupos, I e II.

O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla.

O Grupo II inclui seis questões de resposta aberta,algumas delas subdivididas em alíneas, num total deonze.

435.V1/2

Formulário

Comprimento de um arco decircunferência! !< ( amplitude, em radianos, doângulo ao centro raio; < )

Áreas de figuras planas

Losango: H3+198+67+39<‚H3+198+67/89<#

Trapézio: F+=/7+39<F+=/7/89<# ‚ E6>?<+

Polígono regular: Semiperímetro Apótema‚

Sector circular: ! <#

# (! amplitude,

em radianos, do ângulo ao centro raio; < )

Áreas de superfíciesÁrea lateral de um cone: 1 < 1( )< 1 raio da base geratriz;

Área de uma superfície esférica: % <1 #

( )< raio

Volumes

Pirâmide: "$ ‚ Área da base Altura‚

Cone: "$ ‚ Área da base Altura‚

Esfera: %$$1 ( )< < raio

Trigonometriasen sen cos sen cosÐ+ ,Ñ œ + Þ , , Þ +

cos cos cos sen senÐ+ ,Ñ œ + Þ , + Þ ,

tg Ð+ ,Ñ œtg tg

tg tg+ ,

" + Þ ,

Complexosa b3 ) 3 )-3= œ -3= Ð8 Ñ8 8

È È8 83 ) 3-3= œ -3= ß 5 − Ö!ß ÞÞÞß 8 "×) 1#5

8

Progressões

Soma dos primeiros termos de uma8

Prog. Aritmética: ? ?

#" 8 ‚ 8

Prog. Geométrica: ? ‚""<"<

8

Regras de derivação

Ð? @Ñ œ ? @w w w

Ð?Þ@Ñ œ ? Þ @ ? Þ @w w w

ˆ ‰? ? Þ @? Þ @@ @

wœ

w w

#

Ð? Ñ œ 8 Þ ? Þ ? Ð8 − Ñ8 w 8" w ‘

Ð ?Ñ œ ? Þ ?sen cosw w

Ð ?Ñ œ ? Þ ?cos senw w

Ð ?Ñ œtg w ??

w

#cos

Ð Ñ œ ? Þ/ /? w w ?

Ð Ñ œ ? Þ Þ + Ð+ − Ï Ö"×Ñ+ +? w w ? ln ‘

Ð ?Ñ œln w ??

w

Ð ?Ñ œ Ð+ − Ï Ö"×Ñlog +w ?

? Þ +

w

ln ‘

Limites notáveis

limBÄ!

senBB œ "

limBÄ!

/ "B

B

œ "

limBÄ!

ln ÐB"ÑB œ "

limBÄ_

ln BB œ !

limBÄ_

/B

B

: œ _ Ð: − Ñ ‘

V.S.F.F.435.V1/3

Grupo I

• As sete questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas correspondente à alternativa queapenas a letraseleccionar para responder a cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmoacontecendo se a letra transcrita for ilegível.

• .Não apresente cálculos, nem justificações

1. Na figura, está representada parte do gráfico de uma função , contínua em .0 ‘

A função tem apenas dois zeros: e .0 $ "

Seja a função definida por 1 1ÐBÑ œ 0ÐBÑÈQual dos seguintes conjuntos pode ser o domínio da função ?1

(A) (B) Ó _ß "Ó Ï Ö $ß "×‘

(C) (D) Ó _ß $ $ß _c c c

435.V1/4

2. Considere uma função , de domínio , contínua em todo o seu domínio.0 Ö&×‘ Sabe-se que: • lim

BÄ&0ÐBÑ œ $

• limBÄ_

0ÐBÑ œ #

• limBÄ_

Ò0ÐBÑ BÓ œ !

Em cada uma das opções seguintes, estão escritas duas equações, representando cadauma delas uma recta.

Em qual das opções as duas rectas assim definidas são as assimptotas do gráfico dafunção ?0

(A) (B) C œ B C œ # C œ # B œ & e e

(C) (D) C œ B B œ & C œ $ B œ # e e

3. Considere a função , de domínio , definida por .0 0ÐBÑ œ B‘ cos Qual das expressões seguintes dá a derivada de , no ponto ?0 1

(A) (B) lim limBÄ BÄ!1

cos cosB " B B B1

1

(C) (D) lim limBÄ BÄ!1

cos cosB BB B 1 1

4. Na figura junta, está representada, emreferencial o.n. , parte do gráfico daBSCfunção , definida, em , por0 Ó "ß _Ò

0ÐBÑ œ B "log#a b

Na mesma figura, está também representadoum triângulo rectângulo .ÒEFSÓ

O ponto tem abcissa e pertence aoE $gráfico de .0

O ponto pertence ao eixo . F SC

Qual é a área do triângulo ?ÒEFSÓ

(A) (B) (C) (D) " # $ %

V.S.F.F.435.V1/5

5. Seja o espaço de resultados (com um número finito de elementos) associado a umaHcerta experiência aleatória.

Sejam e dois acontecimentos e\ ] \ § ] § ( ).H H

Apenas uma das afirmações seguintes não é equivalente à igualdade .TÐ\ ] Ñ œ !Qual?

(A) \ ] e são acontecimentos incompatíveis. (B) \ ] e não podem ocorrer simultaneamente. (C) Se \ ] ocorreu, não pode ocorrer.

(D) \ ] e são ambos impossíveis.

6. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória é dada pela tabela\

( e designam números reais). B ! # %T Ð\ œ B Ñ + , ,

+ ,3

3

A média da variável aleatória é igual a .\ "

Qual é o valor de e qual é o valor de ?+ ,

(A) (B) + œ , œ + œ , œ" " $ "# % & &

(C) (D) + œ , œ + œ , œ# " " "$ ' # '

7. Em , conjunto dos números complexos, considere ‚ D D" #œ # -3= œ # 3

1% e .

Sejam e e de ,T T" # " #

as imagens geométricas, no plano complexo, de D D

respectivamente.

Sabe-se que o segmento de recta é um dos lados do polígono cujos vértices são ‘T T" #

as imagens geométricas das raízes de índice de um certo número complexo .8 A

Qual é o valor de ?8

(A) (B) (C) (D) % ' ) "!

435.V1/6

Grupo II

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos oscálculos todas as justificações que tiver de efectuar e necessárias.

Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o exacto.

1. Seja o conjunto dos números complexos; designa a unidade imaginária.‚ 3

1.1. Considere A œ 3# 3" 3

, escreva Sem recorrer à calculadora A na forma trigonométrica.

1.2. Considere D D" #œ -3=Ð Ñ œ -3= ! ! e Š ‹1

#

Mostre que a imagem geométrica, no plano complexo, de pertence àD D" #

bissectriz dos quadrantes ímpares.

2. Admita que o número de elementos de uma população de aves, anos após o início de >1970, é dado aproximadamente por

TÐ>Ñ œ & # ‚ "! ‚ > !, , ,( / ÐRQÑ >

em que e são duas constantes, denominadas, respectivamente, R Q taxa de natalidade

e da população.taxa de mortalidade

Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos,

resolva as duas alíneas seguintes:

2.1. Sabendo que calcule e interprete o resultado obtido, noR Q TÐ>Ñ, lim>Ä_

contexto do problema.

2.2. No início de 2000, a população era metade da que existia no início de 1970.

Sabendo que a é , determine a .taxa de natalidade taxa de mortalidade( &', Apresente o resultado arredondado às centésimas.

: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos,Nota

conserve, no mínimo, três casas decimais.

V.S.F.F.435.V1/7

3. Na figura está representada uma circunferência com centro no ponto e .S raio $ Os diâmetros e são perpendiculares.ÒIJ Ó ÒKLÓ

Considere que o ponto se desloca sobre o arco .F JK

Os pontos , e acompanham o movimento do ponto , de tal forma que:E G H F

• as cordas e permanecem paralelas a ;ÒEFÓ ÒGHÓ ÒIJ Ó

• e são sempre diâmetros da circunferência.ÒEHÓ ÒFGÓ

Os pontos e também acompanham o mesmo movimento, de tal forma que sãoM N

sempre os pontos de intersecção de com e , respectivamente.ÒKLÓ ÒEFÓ ÒGHÓ

Para cada posição do ponto , seja a amplitude, em radianos, do ânguloF B JSF

Š ‹’ “B − !ß1# .

3.1. , Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de porB

EÐBÑ œ ") B B Þ Ba b sen cos Sugestão: use a decomposição sugerida na figura.

3.2. à calculadora para determinar Recorra graficamente a solução da equação que

lhe permite resolver o seguinte problema: Qual é o valor de para o qual a áreaB

da região sombreada é igual a metade da área do círculo?

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora,

nomeadamente obtido(s), bem como coordenadas relevanteso gráfico, ou gráficos,

de algum, ou de alguns, ponto(s). Apresente o resultado na forma de dízima,

arredondado às centésimas.

435.V1/8

4. Seja uma função, de domínio , tal que a sua é dada por0 ‘ derivada

, 0 ÐBÑ œ # B B a B −w ln ‘

Sem recorrer à calculadora, resolva as alíneas seguintes:

4.1. Seja a recta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa < 0 ". Seja o ponto de intersecção da recta com o eixo T < SB.

Sabendo que , determine a abcissa do ponto .0Ð"Ñ œ $ T

4.2. Estude a função quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à0

existência de pontos de inflexão.

5. Num saco, estão três bolas pretas e nove bolas brancas, indistinguíveis ao tacto.

Extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, as doze bolas do saco.

Determine:

5.1. A probabilidade de as duas primeiras bolas extraídas não serem da mesma cor.

Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

5.2. A probabilidade de as três bolas pretas serem extraídas consecutivamente (umas a

seguir às outras). Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

6. Considere um prisma regular em que cada base tem lados.8

Numa pequena composição, justifique que o número total de diagonais de todas as

faces do prisma (incluindo as bases) é dado por

# Ð # 8 8#G 8Ñ

FIM

435.V1/9

COTAÇÕES

Grupo I 63....................................................................................................

Cada resposta certa .......................................................................... +9 Cada resposta errada........................................................................ - 3 Cada questão não respondida ou anulada ....................................... 0

Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.

Grupo II 137 .................................................................................................

1. ............................................................................................. 21 1.1. ................................................................................10 1.2. ................................................................................11

2. ............................................................................................. 28 2.1. ................................................................................14 2.2. ................................................................................14

3. ............................................................................................. 28 3.1. ................................................................................14 3.2. ............................................................................... 14

4. ............................................................................................. 28 4.1. ................................................................................14 4.2. ................................................................................14

5. ............................................................................................. 20 5.1. ................................................................................10 5.2. ................................................................................10

6. ............................................................................................. 12

TOTAL 200 ..................................................................................................

V.S.F.F.435/C/1

PROVA 435/C/36 Págs.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto)

Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos

Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE2005

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA

COTAÇÕES

Grupo I 63....................................................................................................

Cada resposta certa .......................................................................... +9 Cada resposta errada........................................................................ - 3 Cada questão não respondida ou anulada ....................................... 0

Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.

Grupo II 137 .................................................................................................

1. ............................................................................................. 21 1.1. ................................................................................10 1.2. ................................................................................11

2. ............................................................................................. 28 2.1. ................................................................................14 2.2. ................................................................................14

3. ............................................................................................. 28 3.1. ............................................................................... 14 3.2. ................................................................................14

4. ............................................................................................. 28 4.1. ............................................................................... 14 4.2. ................................................................................14

5. ............................................................................................. 20 5.1. ................................................................................10 5.2. ................................................................................10

6. ............................................................................................. 12

TOTAL 200 ..................................................................................................

435/C/2

CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO

Grupo I

Deverão ser anuladas todas as questões com resposta de leitura ambígua (letraconfusa, por exemplo) e todas as questões em que o examinando dê mais do que umaresposta.

As respostas certas são as seguintes:

Questões 1 2 3 4 5 6 7Versão 1Versão 2

D A A C D C CC C B A D A B

Na tabela seguinte indicam-se os pontos a atribuir, no primeiro grupo, em função donúmero de respostas certas e do número de respostas erradas.

Resp. erradas 0 1 2 3 4 5 6 7Resp. certas

012345

0 0 0 0 0 0 0 0 9 6 3 0 0 0 0 18 15 12 9 6 3 27 24 21 18 15 36 33 30 27 45 42 39 54 51 63

67

Grupo II

Critérios gerais

1. A cotação a atribuir a cada alínea deverá ser sempre um número inteiro, não negativo, depontos.

2. Se, numa alínea em que a respectiva resolução exija cálculos e/ou justificações, oexaminando se limitar a apresentar o resultado final, deverão ser atribuídos zero pontos aessa alínea.

3. Algumas questões da prova podem ser correctamente resolvidas por mais do que umprocesso. Sempre que um examinando utilizar um processo de resolução não contempladonestes critérios, caberá ao professor classificador adoptar um critério de distribuição dacotação que julgue adequado e utilizá-lo em situações idênticas.

V.S.F.F.435/C/3

4. Existem alíneas cuja cotação está subdividida pelas etapas que o examinando devepercorrer para as resolver.

4.1. Em cada etapa, a cotação indicada é a máxima a atribuir.

4.2. Caso a resolução da etapa esteja incompleta, ou contenha incorrecções, cabe aoclassificador decidir a cotação a atribuir a essa etapa, tendo em conta o grau deincompletude e/ou a gravidade dos erros cometidos. Por exemplo:- erros de contas ocasionais devem ser penalizados em um ponto;- erros graves, que revelem desconhecimento de conceitos, regras ou propriedades,

devem ser penalizados em, pelo menos, metade da cotação da etapa.

4.3. No caso de o examinando cometer um erro numa das etapas, as etapas subsequentesdevem merecer a respectiva cotação, desde que o grau de dificuldade não tenhadiminuído, e o examinando as execute correctamente, de acordo com o erro quecometeu.

4.4. Caso o examinando cometa, numa etapa, um erro que diminua o grau de dificuldadedas etapas subsequentes, cabe ao classificador decidir a cotação máxima a atribuir acada uma destas etapas. Em particular, se, devido a um erro cometido peloexaminando, o grau de dificuldade das etapas seguintes diminuir significativamente, acotação máxima a atribuir a cada uma delas não deverá exceder metade da cotaçãoindicada.

4.5. Pode acontecer que o examinando, ao resolver uma questão, não percorraexplicitamente todas as etapas previstas nos critérios. Todos os passos não expressospelo examinando, mas cuja utilização e/ou conhecimento estejam implícitos naresolução da questão, devem receber a cotação indicada.

5. Existem alíneas em que estão previstos alguns erros que o examinando pode cometer. Paracada caso, é indicada a cotação a atribuir. O examinando pode, contudo, utilizar umprocesso não contemplado nos critérios e/ou cometer um erro não previsto. Cabe aoclassificador adaptar as referências dadas a todas as situações não previstas.

6. Se, na resolução de uma alínea, o examinando utilizar simbologia, ou escrever umaexpressão, inequivocamente incorrecta do ponto de vista formal (por exemplo, se escrever osímbolo de igualdade onde deveria estar o símbolo de equivalência), deve ser penalizadoem um ponto, na cotação total a atribuir a essa alínea. Esta penalização não se aplica nocaso em que tais incorrecções ocorram apenas em etapas cotadas com 0 (zero) pontos.

7. Se, na resolução de uma alínea, o examinando não respeitar uma eventual instrução,relativa ao método a utilizar (por exemplo, se o enunciado vincular o examinando a umaresolução analítica, sem calculadora, e o examinando a utilizar), a etapa da resolução emque se dá o referido desrespeito bem como todas as subsequentes que dela dependamdevem ser cotadas com 0 (zero) pontos.

8. Tudo o que o examinando escrever fora de contexto e que não resulte de trabalho anterior(por exemplo, num exercício de probabilidades, a escrita de uma fracção que não tenhanada a ver com o problema, ou, num exercício de estudo da monotonia de uma função, aapresentação de um quadro fora do contexto) deve ser cotado com 0 (zero) pontos. Todasas etapas subsequentes que dependam do que o examinando escreveu fora de contextodevem ser igualmente cotadas com 0 (zero) pontos.

435/C/4

Critérios específicos

Para cada item são apresentados:

• a cotação total do item;

• para cada processo de resolução apresentado, uma subdivisão da cotação total em cotaçõesparcelares;

• exemplos de possíveis respostas dos examinandos, com a respectiva cotação a atribuir,devidamente explicada.

1.1. ................................................................................................................................. 10

Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, três processos:

1.º Processo

# 3 "$ 3" 3 # 3 œ 3 ............................................................................. 3

"$ 3 " 3 " "# # # # 3 œ 3 ˆ ‰ou ..............................................2

" 3# # %

# œÈ

-3=1 (ver nota 1) ........................................................ 5

2.º Processo

# 3 "" 3 " 3 3 œ ........................................................................................2

" " 3 " "" 3 # # #œ 3 ˆ ‰ou ......................................................... 3

" 3# # %

# œÈ

-3=1 (ver nota 1) ......................................................... 5

3.º Processo

# 3 "" 3 " 3 3 œ ........................................................................................2

" œ -3= ! ............................................................................................................. 1

" 3 œ # -3= È Š ‹1% (ver nota 2)...................................................4

-3= ! "

# -3= # %È Èˆ ‰1%

œ -3=1 ........................................................... 3

V.S.F.F.435/C/5

Notas:

1. A escrita de " 3# na forma trigonométrica deve ser cotada de acordo

com o seguinte critério:

¸ ¸" " " "# # # #

#

# 3 œ ß

È È Œ ou ouÊ ...............................2

Argumento de " "# # 3 correcto (não se exige a

apresentação de cálculos intermédios, dado que a imagem

geométrica do complexo pertence à bissectriz dos

quadrantes ímpares) ................................................................................ 2

Escrita na forma ........................................................................1 3 )-3=

ou

" 3 œ # -3=È 1% ..................................................................... 2

# œ # -3= ! ............................................................................................. 1

È È# -3=

# -3= ! # %#

1% œ -3=

1 .......................................................2

2. A escrita de " 3 na forma trigonométrica deve ser cotada de acordo

com o seguinte critério:

k k" 3 #œ È ......................................................................................1

Argumento de " 3 correcto (não se exige a

apresentação de cálculos intermédios, dado que a imagem

geométrica do complexo pertence à bissectriz dos

quadrantes pares) .................................................................................... 2

Escrita na forma ........................................................................1 3 )-3=

435/C/6

3. Não deve ser valorizada a passagem à forma trigonométrica dos complexos

que aparecem na expressão inicial: , e (este último só pode " 3 3 # 3

ser escrito na forma trigonomética utilizando um valor aproximado para o

argumento, o que só pode ser feito por meio da calculadora, contrariando a

instrução do enunciado). A tentativa de resolução do exercício por esta via

deve ser cotada com 0 (zero) pontos.

Exemplos de possíveis respostas dos examinandos

Exemplo 1# 3 ## 3 33 #$ 3"" 3 " 3 " 3 "" #

# 3 " 3 3 œ 3 œ 3 œ 3 œ

a ba ba ba b #

œ 3 œ œ œ 3"$ 3 " $ 3# 3 " 3 " "

# # # # #

3 œ œ " œ " -3=ÊŠ ‹ Š ‹" "# # % %

# # >1 œ "

−œ

))

)1.º Q1 1D"

Cotação a atribuir (1.º processo): $ # $ Ð! # "Ñ œ )

Exemplo 2# 3 # 3 3 3 "" 3 " 3 " 3 " 3

# 3 3 " 3 3 œ œ œ œ

a b a b #

œ" 3 " 3

" 3 " 3 #a ba b œ œ 3"#

lD l œ D œ" "ÊŠ ‹" & " & "# % # % #

## " œ >1 œ -3=É É !

Cotação a atribuir (2.º processo): # " # Ð# ! ! Ñ œ &(*) (**) (***)

(*) O examinando comete um erro muito grave, na última passagem da segunda linha. Ver critério geral 4.2.(**) A tangente do argumento de é (e não )."Î# 3 # "Î#

(***) O examinando não escreveu o complexo na forma , mas sim .3 ) 3 )-3= -3= >1a b

V.S.F.F.435/C/7

Exemplo 3# 3 # 3 3 3 $" 3 " 3 "3 " 3

# 3 3 " 3 3 œ œ œ œ

a b a b #

œ -3= -3=$ -3= ! $ & &

# -3= # % # %$ #È Š ‹ È È

&%1 œ œˆ ‰ ˆ ‰ 1 1

Cotação a atribuir (3.º processo): " " # Ð" ! "Ñ $ œ (

Exemplo 4# 3 # 3 33 # 3" 3 " 3 "3 " 3

# 3 3 " 3 3 œ œ œ

a b a b # #

lDl œ œ œÉa bÉa b

È ÈÈ# 3

" 3

% 3

"3

&"

# #

#

%

#

>1 œ œ D œ & -3=) )"# ( (

1 1ÈCotação a atribuir (3.º processo): " ! ! ! œ "

Exemplo 5

# 3 Ä # " œ & >1 œ œ & -3=È È È# # ) )"# ( (

1 1

" 3 Ä " Ð "Ñ œ # >1 œ " œ # -3=È È È# # ) )( (% %1 1

ÈÈ ÈÈ& -3=

# -3= # ( % #&

#

(1

1((%

-3= œ -3= -3= œ1 1 1 1Š ‹

œ -3= -3=ÈÈ&

#

%&#) #Š ‹1 1

Cotação a atribuir: !(*)

(*) Ver nota 3.

435/C/8

1.2. ................................................................................................................................ 11

D"œ cos sen! ! 3 ......................................................................................... 1

D#œ cos senŠ ‹ Š ‹1 1

# #! ! 3 ....................................................... 1

D#œ sen cos! ! 3 .......................................................................................... 2

D D" # 3 œ cos sen cos sen! ! ! !a b ........................ 4 (ver nota 1)

Conclusão ( ao coeficiente daD D" # tem parte real igual

parte imaginária, pelo que a sua imagem geométrica

pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares) .................................................... 3

Notas:

1. A pontuação relativa a esta etapa só pode ser atribuída se o examinando

apresentar, correctamente, o complexo D D" # na forma , com+ 3,

+ œ ,.

2. Se o examinando se limitar a verificar a afirmação do enunciado para um

caso partircular, a sua resposta deverá ser cotada com 0 (zero) pontos.


Exemplo 1

D D" # -3= -3=œ œ! Š ‹1

# !

œ œcos sen cos sen! ! 3 3’ “Š ‹ Š ‹1 1# #! !

œ œcos sen sen cos cos sen sen cos! ! ! ! ! ! ! ! 3 3 3 a bcos sen sen cos , ! ! ! ! œ logo está provado.

Cotação a atribuir: " " # % $ œ ""

V.S.F.F.435/C/9

Exemplo 2

D D" # -3= -3=œ œ! Š ‹1

# !

œ œcos sen cos sen! ! 3 3’ “Š ‹1 1# #! !Š ‹

œ œcos sen sen cos cos sen sen cos! ! ! ! ! ! ! ! 3 3 3 a bCotação a atribuir: " " # % ! Ð "Ñ œ ((*)

(*) . Ver critério geral 6.Parêntesis mal colocados, na segunda linha

Exemplo 3

cos sen cos sen! ! 3 3Š ‹1 1# # œ! !Š ‹

œ œcos sen sen cos cos sen sen cos! ! ! ! ! ! ! ! 3 3 3 3

Cotação a atribuir: " " # ! (*) ! œ %

(*) . Ver nota 1.O complexo D D" # não está na forma + 3,

Exemplo 4

-3= -3= 3 3! ! !Š ‹ a b1 1 1# # # œ œ! ! !cos sen cos senŠ ‹

œ a bcos sen sen cos! ! ! ! 3 3

Cotação a atribuir: " " " ! ! Ð "Ñ œ #(*)

(*) . Ver critério geral 6.Parêntesis mal colocados, na primeira linha

Exemplo 5

-3= -3= 3 3! ! !Š ‹ a b1 1 1# # # œ œ! ! !cos sen cos senˆ ‰ Š ‹

œ œ #cos cos sen sen cos sen! ! ! ! 3 3 # 3ˆ ‰1 1# #! ! Š ‹

Cotação a atribuir: " " ! ! ! œ #

Exemplo 6

-3= -3= -3= -3= œ 3! !Š ‹ Š ‹1 1 1# # # œ œ! !

Cotação a atribuir: ! ! ! ! ! œ !

Exemplo 7

Se ! !œ -3= -3= -3= -3= ! œ 3 " œ " 31 1 1# # #Š ‹ œ!

" 3 pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares.

Cotação a atribuir: !(*)

(*) Ver nota 2.

435/C/10

2.1. ................................................................................................................................ 14

Cálculo do limite .................................................................................................... 9

Valor correcto do limite ( ) .......................................................... 3 !

Justificação ...............................................6 (2+2+2) (ver nota 1)

Interpretação .......................................................................5 (ver notas 2, 3 e 4)

Notas:

1. A justificação completa envolve as seguintes referências:

• é negativo;R Q

• ;a bR Q > Ä _

• / Ä !a bRQ >

Cada referência vale 2 pontos.

2. A interpretação deve ser cotada de acordo com o seguinte critério:

Interpretação correcta (Com o passar do tempo, apopulação de aves tende a extinguir-se) ................................................. 5

Interpretação conceptualmente correcta, mas com algumasincorrecções de linguagem ..................................................................... 4

3. Se o examinando, na sua interpretação, acrescentar que o número de aves

diminui, não deve ser penalizado (apesar de a diminuição do número de

aves ser uma interpretação do facto de a função ser decrescente, e não do

limite pedido). Se o examinando apenas referir que o número de aves

diminui, devem ser atribuídos 0 (zero) pontos à interpretação.

4. Se o valor do limite não tiver sido calculado, ou se estiver errado, devem ser

atribuídos 0 (zero) pontos à interpretação, qualquer que esta seja.

V.S.F.F.435/C/11


Exemplo 1

lim lim>Ä_ >Ä_

( ÐRQÑ >T Ð>Ñ œ & # ‚ "! ‚ / œˆ ‰,

œ & # ‚ "! ‚ / œ & # ‚ "! ‚ / œ & # ‚ "! ‚ ! œ !lim>Ä_

( B > ( _ (ˆ ‰, , ,

B ! R Qporque

A longo prazo, a população de aves vai tender a desaparecer.

Cotação a atribuir: * Ò $ ' Ð# # #Ñ Ó & œ "%

Exemplo 2

lim lim>Ä_ >Ä_

( ÐRQÑ >T Ð>Ñ œ & # ‚ "! ‚ / œ,

œ & # ‚ "! ‚ / œ & # ‚ "! ‚ / œ & # ‚ "! ‚ ! œ !lim lim>Ä_ >Ä_

( Ð+Ñ _ ( _ (, , ,a b

Se a taxa de natalidade é menor que a taxa de mortalidade, logicamente que passados muitos anos, a

população será nula, já que nascem menos indivíduos do que aqueles que morrem.

Cotação a atribuir: * Ò $ ' Ð# # #Ñ Ó "Ñ(*) (**) & Ð œ "$(*) Considerou-se que, ao escrever , o examinando refere que , se bem que de uma forma + R Q !formalmente incorrecta, já que pode designar um número positivo + .

(**) após a passagem daPara além do erro formal já referido, o examinando mantém a expressão lim>Ä_

variável ao limite . Ver critério geral 6.> a b_

Exemplo 3

lim lim>Ä_ >Ä_

( ÐRQÑ > ( _TÐ>Ñ œ Ð& # ‚ "! ‚ / Ñ œ & # ‚ "! ‚ / œ !, ,

Quer dizer que, à medida que o tempo passa, o número de aves vai diminuindo.

Cotação a atribuir: ( Ò$ %Ð! # #ÑÓ ! œ ((*)

(*) Ver nota 3.

435/C/12

Exemplo 4

lim>Ä_

( ÐRQÑ > (& # ‚ "! ‚ / œ & # ‚ "! ‚ ! œ !, ,

Se a taxa de natalidade ao longo do tempo permanecer inferior à de mortalidade, a população de aves é

extinta.

Cotação a atribuir: $ Ò $ ! Ð! ! !Ñ Ó & œ )

Exemplo 5

lim lim>Ä_ >Ä_

( ÐRQÑ >T Ð>Ñ œ & # ‚ "! ‚ / œ !ˆ ‰,

Como , vai ser um número negativo. O logaritmo neperiano desse número negativo vaiR Q R Q

ser um número muito pequeno que multiplicado por vai tender para zero.& # ‚ "!, (

Cotação a atribuir: $ Ò $ ! Ð! ! !Ñ Ó(*) ! œ $(*) »,Apesar de ter sido referido que « tal não podecomo , vai ser um número negativoR Q R Qser considerado como fazendo parte da justificação do valor do limite, dada a frase que o examinandoescreve a seguir.

Exemplo 6

lim lim>Ä_ >Ä_

( ÐRQÑ_ ( ! (T Ð>Ñ œ & # ‚ "! ‚ / œ & # ‚ "! ‚ / œ & # ‚ "!, , ,

Daqui a muitos anos, o número de aves existente na população vai tender para .& # ‚ "!, (

Cotação a atribuir: ! ! œ !(*)

(*) .Ver nota 4

Exemplo 7

lim lim>Ä_ >Ä_

( _TÐ>Ñ œ & # ‚ "! ‚ / œ _,

A população de aves tende a aumentar com o passar dos anos, apesar da taxa de natalidade ser menor doque a de mortalidade.

Cotação a atribuir: ! ! œ !(*)

(*) .Ver nota 4

V.S.F.F.435/C/13

2.2. ................................................................................................................................ 14

TÐ!Ñ œ & # ‚ "!, ( ...............................................................................................2

TÐ$!Ñ œ & # ‚ "! ‚ /, ( $!Ð( &'QÑ, ......................................................................2

Equacionar o problema ................................................ 2 Œ TÐ$!Ñ œ TÐ!Ñ"#

Concluir que .........................................................................3 / œ$!Ð( &'QÑ, "#

Concluir que .................................................................................. 5 Q ¸ ( &),

Notas:

1. Se o examinando não apresentar o resultado final arredondado àscentésimas, ou se apresentar um arredondamento incorrecto, deverá serpenalizado em 1 ponto, na cotação total a atribuir à sua resposta.

2. Se o examinando não respeitar a indicação, expressa no enunciado, deconservação de um mínimo de três casas decimais, nos cálculosintermédios, deverá ser penalizado em 1 ponto, na cotação total a atribuir àsua resposta.


Exemplo 1

& #‚"! ‚/& #‚"! ‚/

,,

( !

( Ð( &'QÑ Þ $!, œ # Í

Í " œ # / Í / œ ÍÐ( &'QÑÞ$! ##' )$!Q, , "#

Í Q œ Í Q œ ) #&$68 ##' )

$!

Œ "# ,

,

Cotação a atribuir: # # # $ $(*) (*) (**) œ "#

(*) .Etapas implícitas

(**) O valor de obtido pelo examinando não está correcto (o examinando cometeu um erro, aoQintroduzir a expressão na calculadora) e não está arredondado às centésimas. Daí a penalização de 2pontos, na última etapa.

435/C/14

Exemplo 2

TÐ$!Ñ# #

& #‚"! ‚/œ TÐ!Ñ Í œ & # ‚ "! Í , , ( Ð( &'QÑÞ$!,

(

Í & # ‚ "! ‚ / œ "! % ‚ "! Í / Þ / œ # Í , , ( ##' )$!Q ( ##' ) $!Q, ,

Í / œ Í Q œ $!Q #/

68

$!##' ),

Š ‹#/##' ),

Cotação a atribuir: # # ! $ $ œ "!

Exemplo 3

1970: 2000: TÐ!Ñ œ & # ‚ "! ‚ / œ & # ‚ "! & # ‚ "! Î # œ # ' ‚ "!, , , ,( ! ( ( (

#!!! "*(! œ $! # ' ‚ "! œ & # ‚ "! ‚ / , ,( ( Ð( &'QÑÞ$!,

! & œ /, ##' )$!Q,

68Ð/ Ñ œ 68Ð/ Ñ! & ##' )$!Q, ,

! & œ ##' ) $!Q, ,

Q ¸ ( &%,

Cotação a atribuir: # # # $ ! œ *

Exemplo 4

& #‚"!#

, (

œ # ' ‚ "!, (

# ' ‚ "! œ & # ‚ "! ‚ / Í ! & œ /, , , ( ( Ð( &'QÑÞ > ( &'>Q>, ,

Í ! & œ / / Í œ / Í # ' ‚ "! œ / Í , , ( &'> Q> Q> % Q>, ! &/

,( &'>,

Í 68Ð# ' ‚ "! Ñ œ Q Í Q œ ) #& , ,%

Cotação a atribuir: # ! ! ! !(*) œ #(*) Etapa implícita.

V.S.F.F.435/C/15

Exemplo 5

1970 2000Ä Ä&# !!! !!! #' !!! !!!

Cotação a atribuir: # ! ! ! ! œ #

Exemplo 6

TÐ#!!!Ñ œ & # ‚ "! ‚ / œ & # ‚ "! ‚ /, ,( Ð( &'QÑ#!!! ( "&"#!#!!!Q,

TÐ"*(!Ñ œ & # ‚ "! ‚ / œ & # ‚ "! ‚ /, ,( Ð( &'QÑ"*(! ( "%)*$ #"*(!Q, ,

& # ‚ "! ‚ / œ ‚ & # ‚ "! ‚ / Í, ,( "&"#!#!!!Q ( "%)*$ #"*(!Q"#

,

Í / œ ‚ / Í"&"#!#!!!Q "%)*$ #"*(!Q"#

,

Í 68Ð/ Ñ œ 68 ‚ / Í"&"#!#!!!Q "%)*$ #"*(!QŠ ‹"#

,

Í "&"#! #!!!Q œ 68 "%)*$ # "*(!Q ÍŠ ‹"# ,

Í "*(!Q #!!!Q œ 68Ð#Ñ "%)*$ # "&"#! Í,

Í $!Q œ 68Ð#Ñ ##' ) Í,

Í $!Q œ 68Ð#Ñ ##' ) Í Q œ Í Q ¸ ( &), ,68Ð#Ñ##' )$!

,

Cotação a atribuir: ! ! # $ & œ "!

Exemplo 7

TÐ#!!!Ñ œ œ # ' ‚ "! ‚ /& #‚"! ‚/

#, ( Ð( &'QÑ #!!!,

, ( "&"#!#!!!Q

/ œ Í "&"#! #!!!Q œ 68 Í"&"#!#!!!Q " "#ß'‚"! #ß'‚"!( (Š ‹

Í Q œ Í Q ¸ ( &&

68 "&"#!

#!!!

"#ß'‚"!(

,

Cotação a atribuir: ! ! ! ! $(*) œ $

(*) ,O grau de dificuldade da última etapa, que é a resolução da equação / œ"&"#!#!!!Q "#ß'‚"!(

obtida pelo examinando, não é inferior ao da resolução da equação / œ "Î#$!Ð( &'QÑ, .

Por isso, de acordo com o critério geral 4.3, a cotação a atribuir a esta última etapa seria de 5 pontos, se ela

estivesse correctamente resolvida. Acontece que o valor obtido pelo examinando para evidencia que,Q

ao introduzir a expressão de na calculadora, o examinando não colocou o denominador do argumentoQ

do logaritmo dentro de parêntesis, erro que se considerou merecer uma penalização de 2 pontos (não é um

erro ocasional de contas).

435/C/16

3.1. ................................................................................................................................ 14

SM œ $ senB ....................................................................................................... 3

FM œ $ cosB ....................................................................................................... 3

Área do triângulo ÒSMFÓ œ*

#sen cosB B

ou Área do triângulo ................................................ 2 ÒSEFÓ œ * sen cosB B

Área do sector circular correspondente ao arco FJ œ*#B

ou Área do sector circular correspondente ao arco ......................2 FH œ *B

Restantes cálculos .............................................................................4 (ver nota)

Nota:Só pode ser atribuída pontuação relativa aos restantes cálculos se:• estiverem completamente correctos;• o examinando conseguir chegar à expressão de , dada no enunciado.EÐBÑSe pelo menos uma destas duas condições não se verificar, a cotação a atribuira esta etapa é de 0 (zero) pontos. Estas duas condições pressupõem que asexpressões obtidas para as áreas de um triângulo e de um sector circular estãocorrectas.


Exemplo 1

E œtriângulo $#

sen cosB‚$ B

E œ œ% triângulos$ "#

# #sen cos sen cosB‚$ B B‚"# B

‚ % œ ' sen cosB ‚ ' B

E œ œ œsector B < B $ B# #

# # #*

E œ% sectores * $'# #B B

‚ % œ œ ")B

E œ>9>+6 ") B ") ") B sen cos sen cosB B œ B Ba bCotação a atribuir: $ $ # # !(*) (*) œ "!(*) .Etapa implícita

V.S.F.F.435/C/17

Exemplo 2

sen senB œ BMF$ MF œ $

cos cosB œ BMS$ MS œ $

B‚$#

# ‚ % œ ")B

$#

sen cosB‚$ B‚ % ")œ sen cosB B

EÐBÑ œ ") B ") ") B sen cos sen cosB B œ B Ba bCotação a atribuir: ! ! # # % œ )

Exemplo 3

MF œ $ cosB

MS $ MS œ * *# #a bcos cosB œ $ B# # #

MS œ * Ð" MS œ *# #cos sen# #BÑ B

MS œ $ senB

B‚$ B B#

# # #* *

œ ‚ % œ ")B

$#Î

sen cosB‚' B‚ # ")Î œ sen cosB B

EÐBÑ œ ") B ") ") B sen cos sen cosB B œ B Ba bCotação a atribuir: $ $ # # % œ "%

435/C/18

3.2. ................................................................................................................................ 14

Equacionar o problema ............................................................. 5 (ver nota 1)

Explicação do método utilizado para resolver graficamente aequação ..............................................................................4 (ver notas 2 e 6)

Conclusão: ............................................ 5 B ¸ ! %#, (ver notas 3, 4, 5 e 6)

Notas:

1. O examinando não necessita de apresentar explicitamente estaequação. Havendo evidência de que o examinando procura o objectocuja imagem, por meio de , é , os 5 pontos relativos a estaE * Î#1etapa devem ser atribuídos.

2. Os 4 pontos relativos à devem serexplicação do método utilizadoatribuídos de acordo com o seguinte critério:

Apresentação do gráfico da função , comErespeito pelo domínio desta função, e da rectade equação , bem como do pontoC œ * Î#1de intersecção e respectiva abcissa (ouapresentação do gráfico de EÐBÑ * Î#1e respectivo zero) .............................................................. 4

Apresentação dos gráficos com ausência dealguns elementos (por exemplo, ausência daabcissa do ponto de intersecção) e/ou comalgumas incorrecções (por exemplo, o gráficoda função não respeita o seu domínio) ..................1 a 3 E

3. A escrita do valor aproximado pedido (para ) deve ser cotada deBacordo com o seguinte critério:

(apresentação do resultado arredondado às centésimas, de1.º Casoacordo com o enunciado):

Resposta ................................................................... 5 ! %#,

Resposta .................................................................. 3 ! %",

Resposta ou ................................................... 2 ! %$ ! %!, ,

Outros resultados ..................................................................0

V.S.F.F.435/C/19

(apresentação do resultado com arredondamento superior às2.º Casocentésimas):

Valor no intervalo ............................................... 2 Ò ! %" ! %#Ó, ,à

Valor fora do intervalo anterior, mas pertencente aointervalo ..............................................................1 Ò ! %! ! %$Ó, ,à

Outros resultados ........................................................................ 0

(apresentação do resultado com arredondamento às décimas):3.º Caso

Valor igual a ....................................................................... 2 ! %,

Outros resultados ........................................................................ 0

(apresentação do resultado com arredondamento às unidades):4.º Caso

Qualquer resultado ......................................................................0

4. Com a calculadora em modo , o gráfico da função definida porgrau")ÐB B Þ BÑ C œ * Î#sen cos intersecta a recta , num ponto cuja1abcissa é aproximadamente igual a . Assim, se o examinando! ((,apresentar este valor, devem ser atribuídos 2 pontos a esta etapa.Qualquer outro valor, mesmo que próximo de , deve ser cotado! ((,com 0 (zero) pontos.

5. Se o examinando não escrever a conclusão, a cotação a atribuir aovalor por ele apresentado como abcissa do ponto de intersecção dosgráficos deve sofrer uma penalização de 2 pontos, relativamente àssituações descritas nas notas 3 e 4. Se, por aplicação desta norma, acotação desta etapa resultar negativa, deve ser convertida em 0 (zero)pontos.

utilizar um processo não gráfico, como, por exemplo,6. Se o examinando uma tabela, para encontrar o valor pedido, as duas últimas etapasdevem ser cotadas com 0 (zero) pontos. Esta norma também se aplicano caso em que não é apresentada qualquer explicação para o métodoutilizado para resolver a equação EÐBÑ œ * Î#1 .

435/C/20


Exemplo 1

B ¸ ! %#,

Cotação a atribuir: & % & œ "%(*)

(*) .Ver nota 1

Exemplo 2

Windowxmin=0xmax=5xscl=1ymin=0ymax=35yscl=1

C" œ ")ÐB =/8ÐBÑ -9=ÐBÑÑC# œ * Î#1

Calculei a intersecção entre eC" C#

B ¸ ! %",

Cotação a atribuir: & # $ œ "!(*) (**) (***)

(*) .Ver nota 1(**) O gráfico não respeita o domínio (contém pontos cujas abcissas ultrapassam ) e não é assinalada,1Î#no gráfico, a abcissa do ponto de intersecção, o que contraria a instrução, dada no enunciado, de apresentarcoordenadas relevantes.(***) Ver nota 3, 1.º caso.

V.S.F.F.435/C/21

Exemplo 3

1 1 1< œ Þ $ œ *# #

*#1

¸ "% "$(,

Quando é EÐBÑ ß B ¸ ! ((*#1 ,

Cotação a atribuir: & " # œ )(*) (**) (***)

(*) .Ver nota 1(**) O gráfico não respeita o domínio (contém pontos cujas abcissas são negativas), o gráfico apresentadoé um segmento de recta (a função não é afim) e não é assinalada a recta de equação E C œ * Î#1 .(***) .Ver nota 4

Exemplo 4

Introduzi

C" œ ")ÐB =/8ÐBÑ -9=ÐBÑÑ

C# œ * Î#1

e pedi a intersecção

B ¸ ! %,

Cotação a atribuir: & " # œ )(*) (**) (***)

(*) .Ver nota 1(**) O gráfico não respeita o domínio (contém pontos cujas abcissas são negativas e pontos cujas abcissasultrapassam ), tem pontos angulosos, uma parte do gráfico é um segmento de recta e não é apresentada1Î#a abcissa do ponto de intersecção.(***) .Ver nota 3, 3.º caso

Exemplo 5Inseri a função na máquina e depois indo à tabela vê-se que o valor de para o qual éB EÐBÑ œ * Î#1para , radianos.B ¸ ! %

Cotação a atribuir: & ! ! œ &(*) (**) (**)

(*) .Ver nota 1(**) Ver nota 6.

435/C/22

4.1. ................................................................................................................................ 14

0 Ð"Ñ œ #w ............................................................................................................ 2

Identificar o declive da recta com ....................................................... 3 < 0 Ð"Ñ w

Determinar uma equação da recta <

ou estabelecer a igualdade ............................................................ 4 # œ$!"B

Calcular a abcissa pedida ..................................................................................... 5

Notas:

1. A obtenção do declive da recta por um método incorrecto implica a<atribuição de cotação 0 (zero), não só à segunda etapa, mas também àsetapas seguintes; isto é, a pontuação relativa às duas últimas etapas sópode ser atribuída se o declive da recta tiver sido obtido a partir da sua<identificação com .0 Ð"Ñw

2. Se o examinando, não reparando que já é dada a expressão da derivada de0 0 0 <, assumir como , calculando o declive da recta à custa daw

derivada da função dada no enunciado, deve ser penalizado em 4 pontos,na totalidade das duas primeiras etapas, ou seja, dos 5 (2+3) pontosprevistos, deverá ser atribuído, no máximo, 1 ponto.

Este ponto só deve ser atribuído no caso em que o examinando calculacorrectamente o declive da recta , de acordo com a confusão que<estabeleceu ao assumir como .0 0w

As duas etapas subsequentes devem receber a cotação indicada, secorrectamente resolvidas, de acordo com o erro cometido. Nesta situação, éde aceitar que o examinando assuma como (valor dado no0Ð"Ñ $enunciado) ou como (valor por ele encontrado ao assumir como ).# 0 0w

3. Se o examinando derivar a função do enunciado, mas designar essaderivada por , devem ser atribuídos 0 (zero) pontos à sua resposta0 ÐBÑww

(considerou-se que esta situação é diferente da descrita na nota 2, já que,ao escrever , o examinando mostra não estar a assumir como0 ÐBÑ 0ww w

0 ).


Exemplo 1

7 œ C œ $B$"

$B œ ! Í B œ !

Cotação a atribuir: ! ! ! ! œ !(*) (*) (*)

(*) Ver nota 1.

V.S.F.F.435/C/23

Exemplo 2

# B 68ÐBÑ œ ! Í B 68ÐBÑ œ #

Cotação a atribuir: ! ! ! ! œ !

Exemplo 3

C 0Ð"Ñ œ Í C $ œ Í C œ #B "0 Ð"Ñ ÐB "Ñ # ÐB "Ñw

Cotação a atribuir: # $ % ! œ *

Exemplo 4

C œ $B $ $B $ œ ! Í B œ " Cotação a atribuir: ! ! ! ! œ !(*) (*)

(*) Ver critério geral 8.

Exemplo 5

7 œ # " 68 " 7 œ #

# œ$! ""B #Í # #B œ $ Í B œ

Cotação a atribuir: # $ % % œ "$(*)

(*) O examinando não referiu que a primeira equivalência só é válida para .B Á "

Exemplo 6

C C œ œ! 7ÐB B Ñ 0 Ð"Ñ # 7 œ #!w

C $ œ Í C œ #B "# ÐB "Ñ

#B " œ ! Í B œ"#

Cotação a atribuir: # $ ! & œ "!

Exemplo 7

0 ÐBÑ 0 Ð"Ñw wœ 68 B " œ 68 " " œ " 7 œ "a b a b 0Ð"Ñ œ # C # œ B " Í C œ B " B " œ ! Í B œ "

Cotação a atribuir: " % % œ *(*) (**)

(*) Ver nota 2.(**) Penalizou-se a última etapa em 1 ponto (ver critério geral 4.2).

435/C/24

4.2. ..................................................................................................................................14

Determinar a segunda derivada de ............................................5 0 (ver nota 1)

Determinar o zero da segunda derivada de ..............................4 0 (ver nota 2)

Estudo do sinal de e consequente conclusão, relativamente0 ww aos sentidos das concavidades do gráfico de e à existência0de ponto de inflexão (estudo que pode ser apresentado atravésde um quadro) ....................................................................................................... 5

Primeira linha do quadro .......................................2 (ver nota 3)

Sinal de ......................................................... 1 0 ww (ver nota 4)

Relação entre o sinal de e os sentidos das0 ww concavidades do gráfico de ..................................................... 1 0

Evidenciar a existência de ponto de inflexão .............................. 1

Notas:

1. Se existir evidência de que o examinando pretende determinar a segundaderivada de , a cotação mínima a atribuir a esta etapa é de 1 ponto.0

2. Se existir evidência de que o examinando pretende determinar o zero dasegunda derivada de , a cotação mínima a atribuir a esta etapa é de 10ponto.

3. A primeira linha do quadro deve ser cotada de acordo com o seguintecritério:

Primeira linha correcta (indicação do zero da segundaderivada e indicação correcta do domínio, de a ) ......................2 de 0 ! _

Outras situações ............................................................................................ 0

4. A segunda linha do quadro deverá ser cotada de acordo com o seguintecritério:

Segunda linha do quadro de acordo com a primeira linha ecom a expressão obtida para de a segunda derivada ............................. 1 0

Outras situações ............................................................................................ 0

5. Pode acontecer que o examinando, não reparando que já é dada aexpressão da derivada de , assuma como e derive duas vezes0 0 0w

esta função. Neste caso, a cotação a atribuir à sua resposta é de 7 pontos,caso ela esteja completamente correcta, de acordo com a confusãoestabelecida. Se, para além desta confusão, a resolução contiver algumerro, deverão ser atribuídos 0 (zero) pontos à resposta.

V.S.F.F.435/C/25

Exemplos de possíveis respostas dos examinandosExemplo 1

0 ÐBÑ œ ! " Þ 68 B B Þ œ 68 B œ 68B "ww " BB B

68 B " œ ! Í 68B œ " Í B œ / "

Cotação a atribuir: & $ ! œ )(*)

(*) O examinando comete um erro ocasional (ver critério geral 4.2).

Exemplo 20 ÐBÑ œ Ð# B 68 BÑ œ ! ÐBÑ Þ 68 B B Þ Ð68 BÑ Íww w w w

Í 68 B B Þ Í 68B œ 68B " BB B

68 B œ ! B œ / B œ " !

B _ " _0 ! wwÐBÑ

0ÐBÑ p.i.

Cotação a atribuir: # % #Ð! ! " "Ñ Ð "Ñ œ ((*) (**) (***)

(*) O examinando comete um erro grave no cálculo da derivada, ao considerar (ver critérioBÎB œ !geral 4.2.).(**) Ver critério geral 4.3.(***) Ver critério geral 6.

Exemplo 3

0 ÐBÑ œ Ð# B 68 BÑ œ ! ÐBÑ Þ 68 B B Þ Ð68 BÑ œ 68B ww w w w "B

68 B œ ! Í œ ! Í B 68B " œ ! ” B Á !" B 68 B "B B

Não tem zeros, logo é impossível analisá-lo em relação às concavidades e pontos de inflexão.

Cotação a atribuir: # " ! œ $(*)

(*) Ver nota 2.

Exemplo 4

0 ÐBÑ œ " 68B 0 ÐBÑ œ !ß a B −w ww "B ‘

Logo, tem a concavidade virada para cima e não há pontos de inflexão porque não há mudança de sentidoda concavidade.

Cotação a atribuir: ((*)

(*) Ver nota 5.

435/C/26

5.1. ................................................................................................................................ 10

Expressão que dá a probabilidade ........................................... 9 (ver notas 1 e 2)

Resultado na forma de fracção irredutível .........................................1 (ver nota 3)

Notas:

1. Indicam-se a seguir possíveis respostas do examinando, no que respeita àescrita da expressão, com a respectiva cotação a atribuir.

Expressão correcta (ver exemplos na página seguinte) ..........................9

Expressão que evidencia que o examinando apenas nãoconsiderou as duas possibilidades de ordenação das duasprimeiras bolas: a primeira branca e a segunda preta ou aprimeira preta e a segunda branca (ver exemplos na páginaseguinte) ...................................................................................................4

Expressão que evidencia que o examinando apenas nãoconsiderou as possibilidades de ordenação das últimas"!xdez bolas (ver exemplos na página seguinte) .........................................3

Expressão que estaria corrrecta se a tiragem fosse feitacom reposição (ver exemplos na página seguinte) .................................3

Outras situações (ver exemplos na página seguinte)..............................0

2. Se o examinando indicar apenas o número de casos possíveis e o númerode casos favoráveis, mas não escrever a fracção, deverá ser atribuídomenos 1 ponto do que nas situações atrás referidas.

3. A pontuação relativa a esta etapa só pode ser atribuída se a primeira etapanão tiver sido cotada com 0 (zero) pontos.

V.S.F.F.435/C/27

Exemplos de expressões correctas:

#‚$‚*‚"!x"#x "#x "#x

#‚ G ‚ G ‚"!x #‚ E ‚ E ‚ E$ * $ * "!" " " " "!

#‚$‚* #‚$‚* $‚*"#‚"" E G G

G ‚ G"# "# "#

# # #

$ *" "

$ * * $ " * $ $ * $"# "" "# "" % "" % "" "# ""‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ #

Exemplos de expressões que evidenciam que o examinando apenas nãoconsiderou as duas possibilidades de ordenação das duas primeiras bolas:

$‚*‚"!x"#x "#x "#x

G ‚ G ‚"!x E ‚ E ‚ E$ * $ * "!" " " " "!

$‚* $‚*"#‚"" E"#

#

$ * * $ " * $ $"# "" "# "" % "" % ""‚ ‚ ‚ ‚

Exemplos de expressões que evidenciam que o examinando apenas nãoconsiderou as possibilidades de ordenação das últimas dez bolas:"!x

#‚$‚*"#x "#x "#x

#‚ G ‚ G #‚ E ‚ E$ * $ *" " " "

Exemplos de expressões que estariam corrrectas se a tiragem fosse feita comreposição:

#‚$‚* * $"# "# "## ‚ ‚ #

Exemplos de expressões que devem ser cotadas com 0 (zero) pontos:

$‚* " " $‚*‚#"# * $ "#x $x‚*x

#‚ G ‚ G ‚ G#

$ * "!" " )

‚

435/C/28


Exemplo 1

Casos possíveis: "# $E

Casos favoráveis: # ‚ $ ‚ * ‚ "!

: œ œ#‚$‚*‚"! *

E ##"#$

Cotação a atribuir: *(*) " œ "!(*) O examinando considerou as três primeiras bolas, podendo a terceira ser uma qualquer das dez quefaltam sair.

Exemplo 2

: œ* $ $ )"# "" "# ""‚ ‚ œ

œ œ&" "("$# %%

Cotação a atribuir: )(*) " œ *(*) Considerou-se o valor , no caso bola preta (P) seguida por bola branca (B), um erro de distracção)Î""do examinando (todos os restantes valores do diagrama em árvore estão correctos). Assim, penalizou-seapenas em 1 ponto a expressão escrita pelo examinando.

V.S.F.F.435/C/29

Exemplo 3

T F FT

: œ Š ‹* $"# ""‚ ‚ #

* $ #("# "" "$#‚ œ œ

œ ‚ # œ* *%% ##

Cotação a atribuir: * " Ð "Ñ œ *(*)

(*) O examinando comete um erro formal de escrita ( não é igual a ).#(Î"$# *Î%% ‚ #Ver critério geral 6.

Exemplo 4

: œ* $ "! * " #("# "" "! * " "$#‚ ‚ ‚ ‚ ÞÞÞÞÞÞÞÞ ‚ œ

Cotação a atribuir: %(*) (**) ! œ %(*) O examinando apenas não considerou as .duas possibilidades de ordenação das duas primeiras bolas(**) .O valor final não está na forma de fracção irredutível

Exemplo 5

: œ#‚#x‚"!x % "

"#x "#‚"" $$œ œ

Cotação a atribuir: !(*) (**) ! œ !(*) A expressão escrita pelo examinando não se enquadra em nenhuma das categorias que se consideroumerecerem cotação positiva.(**) .Ver nota 3

435/C/30

5.2. ................................................................................................................................ 10

Expressão que dá a probabilidade ........................................... 9 (ver notas 1 e 2)

Resultado na forma de fracção irredutível .........................................1 (ver nota 3)

Notas:

1. Indicam-se a seguir possíveis respostas do examinando, no que respeita àescrita da expressão, com a respectiva cotação a atribuir.

Expressão correcta (ver exemplos na página seguinte) ..........................9

Expressão que evidencia que o examinando apenas errou acontagem das posições possíveis para as bolas pretas, nasequência das doze bolas, tendo considerado 9, em vez de10 (ver exemplos na página seguinte) .................................................... 6

Expressão que evidencia que o examinando apenas nãoconsiderou as 10 posições possíveis para as bolas pretas,na sequência das doze bolas (ver exemplos na páginaseguinte) ...................................................................................................4

Expressão que evidencia que o examinando apenas nãoconsiderou as possibilidades de ordenação das bolas$xpretas ou as possibilidades de ordenação das bolas*xbrancas (ver exemplos na página seguinte) ............................................ 4

Outras situações (ver exemplos na página seguinte)..............................0

2. Se o examinando indicar apenas o número de casos possíveis e o númerode casos favoráveis, mas não escrever a fracção, deverá ser atribuídomenos 1 ponto do que nas situações atrás referidas.

3. A pontuação relativa a esta etapa só pode ser atribuída se a primeira etapanão tiver sido cotada com 0 (zero) pontos.

V.S.F.F.435/C/31

Exemplos de expressões correctas:

"!‚$x‚*x $x‚ "!x"#x "#x

$x‚ "! "!E G"# "#

$ $

$ # ""# "" "!‚ ‚ ‚ "!

Exemplos de expressões que evidenciam que o examinando apenas errou acontagem das posições possíveis para as bolas pretas, na sequência das dozebolas, tendo considerado 9, em vez de 10:

*‚$x‚*x $x‚ * $ # ""#x "# "" "!E"#

$‚ ‚ ‚ *

Exemplos de expressões que evidenciam que o examinando apenas nãoconsiderou as posições possíveis para as bolas pretas, na sequência das dozebolas:

$x‚ *x"#x

$x "E G"# "#

$ $

$ # ""# "" "!‚ ‚

Exemplos de expressões que evidenciam que o examinando apenas nãoconsiderou as possibilidades de ordenação das bolas pretas ou as $x *xpossibilidades de ordenação das bolas brancas:

"!‚ *x "! "!‚ $x"#x "#xE"#

$

Exemplos de expressões que devem ser cotadas com 0 (zero) pontos:

"! $ $ # ""#x "#x "# "" "!G

E ‚ $x"#

$

*$

435/C/32


Exemplo 1

ïðóóóóóóóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóóóóóóóòT T T

$x *x

__ __ __ __ __ __ __ __ __

-Þ:Þ À "#x -Þ0 Þ À $x ‚ "! ‚ *x

: œ œ$x‚"!‚ * "

"#x ##

Cotação a atribuir: *(*) " œ "!(*) O examinando cometeu um lapso no numerador da fracção, ao escrever , em vez de * *xÞNo entanto, não existem dúvidas, perante o que está registado antes e depois dessa fracção, que o problemaestá correctamente resolvido.

Exemplo 2

: œ œ$ # " * ) " ""# "" "! * ) " ##!‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ÞÞÞÞÞÞ ‚

Cotação a atribuir: %(*) " œ &(*) Expressão que evidencia que o examinando apenas não considerou as 10 posições possíveis para asbolas pretas, na sequência das doze bolas.

Exemplo 3

-Þ0 Þ Ä * $* $E ‚ E

-Þ:Þ Ä "#x

probabilidade œ

Cotação a atribuir: $(*) ! œ $(*) O examinando indica apenas o número de casos possíveis e o número de casos favoráveis, mas nãoescreve a fracção. A expressão que dá o número de casos favoráveis evidencia que o examinando apenasnão considerou as 10 posições possíveis para as bolas pretas, na sequência das doze bolas. Assim, deacordo com as notas 1 e 2, a cotação a atribuir deverá ser de 4 1 = 3 pontos.

V.S.F.F.435/C/33

6. ................................................................................................................................... 12

Conteúdo ........................................................................................................... 10

Explicação da expressão ........................................... 4 8#G (ver nota 1)

Explicação da subtracção de por ........................ 2 8#G 8 (ver nota 2)

Explicação da multiplicação de por ............ 1 8#G 8 # (ver nota 3)

Explicação da expressão ......................................... 3 #8 (ver nota 4)

Forma .............................................................................................. 2 (ver nota 5)

Notas:

1. A explicação da expressão 8 #G deve ser cotada de acordo com o seguintecritério:

O examinando refere, de forma clara e utilizandolinguagem formalmente correcta, que é o número8

#Gde segmentos de recta definidos pelos vértices de umadas bases ................................................................................... 4

O examinando explica o valor de forma clara, mas8#G

utiliza linguagem formalmente incorrecta (por exemplo,designa por rectas os segmentos de recta definidospelos vértices de uma das bases) .............................................. 3

Outras situações ....................................................................... 0

2. A explicação da subtracção de por 8#G 8 deve ser cotada de acordo com

o seguinte critério:

O examinando refere, de forma clara e utilizandolinguagem formalmente correcta, que é o número de8lados de uma base, pelo que é o número de8

#G 8 diagonais de uma base............................................................... 2

O examinando explica a subtracção de forma clara, masutiliza linguagem formalmente incorrecta .................................. 1


3. A explicação da multiplicação de por 8#G 8 # deve ser cotada de

acordo com o seguinte critério:

O examinando refere que, como existem duas bases, énecessário multiplicar por ..................................... 1 8

#G 8 #


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4. A explicação da expressão #8 deve ser cotada de acordo com o seguintecritério:

O examinando refere, de forma clara e utilizandolinguagem formalmente correcta, que existem duasdiagonais em cada face lateral, pelo que é o#8 número total de diagonais das faces laterais ............................. 3

O examinando explica a expressão de forma clara,#8 mas utiliza linguagem formalmente incorrecta .......................... 2


5. Quanto à forma, a composição deve ser cotada de acordo com o seguintecritério:

Redacção clara, bem estruturada e sem erros (desintaxe, de pontuação e de ortografia) ...................................... 2

Redacção satisfatória, em termos de clareza,razoavelmente estruturada, com alguns erros cujagravidade não afecta a inteligibilidade ...................................... 1

Redacção confusa, sem estruturação aparente,presença de erros graves, com perturbação frequenteda inteligibilidade ....................................................................... 0

6. Se o examinando se limitar a justificar a expressão do enunciado num casoparticular, a sua resposta deve ser cotada com 0 (zero) pontos.


Exemplo 1

O prisma tem faces laterais, cada uma com duas diagonais, existindo assim um total de diagonais8 #8

nas faces laterais.

Em cada uma das bases existem vértices, pelo que existem segmentos de recta por eles definidos.8 G8 #

Destes, são os lados do polígono, pelo que é o número de diagonais de uma base. Como8 G 88#

existem duas bases, existem diagonais nas bases do prisma.#Ð G 8Ñ8#

Existem, assim, ao todo, diagonais nas faces do prisma.# Ð G 8Ñ #88#

Cotação a atribuir: "!Ð% # " $Ñ # œ "#

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Exemplo 28

#G 8 é o número de rectas que se podem formar a partir de vértices da base do prisma, mas é necessário

subtrair pois é o número de rectas formado pelos vértices da base que não corresponde a diagonais.8

Após calcular o número de diagonais de uma base através de é necessário multiplicar por 2,Ð G 8Ñ8#

pois o prisma regular tem duas bases. Por fim é o número de diagonais das faces: existem faces,#8 8

cada uma com duas diagonais e por isso se soma a .#8 #Ð G 8Ñ8#

Cotação a atribuir: 'Ð$ ! " # Ñ " œ ((*) (**) (***) (****)

(*) O examinando utiliza a designação em vez de .recta segmento de recta,

(**) O examinando não refere que é o número de arestas de uma base. Limita-se a traduzir para8linguagem corrente a expressão 8 #G 8.

(***) O examinando utiliza a designação em vez de . As bases também são faces dofaces faces lateraispoliedro.

(****) O examinando comete alguns erros de sintaxe que não afectam a inteligibilidade.

Exemplo 3

Um prisma regular em cada face tem duas diagonais, representa o número de diagonais das faces do#8

prisma. representa o número de diagonais de cada base, como tem duas bases, logoÐ G 8Ñ8#

#Ð G 8Ñ8# .

Cotação a atribuir: $Ð! ! " # Ñ " œ %(*) (**)

(*) O examinando utiliza a designação em vez de .faces faces laterais

(**) O examinando comete alguns erros de pontuação e de sintaxe que não afectam a inteligibilidade.

Exemplo 4

O número das diagonais das faces de um prisma é dado por # Ð G 8Ñ #88# , pois se pensarmos no

prisma, ele terá duas bases de lados, portanto o número das suas diagonais será traduzido por ,8 G 88#

pois deverá retirar-se o vértice ao lado porque não é possível fazer diagonal com dois vértices consecutivos

é , pois são duas as bases presentes num prisma.# Ð G 8Ñ8#

A esse valor soma-se , pois o prisma é formado por duas bases e faces laterais que são rectângulos,#8 8

ou seja, têm duas diagonais, e por isso multiplica por o número de faces laterais do prisma.#

Cotação a atribuir: %Ð! ! " $Ñ " œ &(*)

(*) A redacção só é confusa e com erros que afectam a inteligibilidade na parte da resposta cujo conteúdofoi cotado com 0 (zero) pontos. Na parte restante, os erros cometidos não afectam a inteligibilidade.

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