UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

INSTITUTO DE MATEMÁTICA

LANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino

EQUAÇÕES POLINOMIAIS:

PROPOSTAS E PERSPECTIVAS DE ENSINO COM AS NOVAS TECNOLOGIAS

LUCIANO APARECIDO MAGRINI

DIADEMA/SP

2012

LUCIANO APARECIDO MAGRINI

EQUAÇÕES POLINOMIAIS:

PROPOSTAS E PERSPECTIVAS DE ENSINO COM AS NOVAS TECNOLOGIAS

Trabalho Final de Curso apresentado à Coordenação do Curso de Pós-graduação da Universidade

Federal Fluminense, como requisito parcial para a obtenção do título de Especialista Lato Sensu em

Novas Tecnologias no Ensino da Matemática.

Aprovada em ........................................................de 2012.

BANCA EXAMINADORA

________________________________________________________________________

Prof. Roberto Alfonso Olivares Jara - Orientador

IME - UERJ

_________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

RESUMO

Este trabalho tem como objetivo investigar o potencial pedagógico do software educativo GeoGebra.

Descreve uma experiência realizada em sala de aula com alunos do Ensino Médio onde o Estudo

das Equações Algébricas foi realizado com o apoio do software educativo. Através do

desenvolvimento do presente estudo, foi possível observar que o software GeoGebra trouxe um

impacto positivo no processo de ensino e aprendizagem do tema desenvolvido em sala reforçando a

importância das TIC’s para novas práticas em sala de aula.

Palavras–chave: Equações, GeoGebra, Ensino

SUMÁRIO

1 – INTRODUÇÃO

1.1 – Justificativa ................................................................................................................. 5

1.2 – Objetivos ..................................................................................................................... 6

1.3 – Metodologia ................................................................................................................ 6

1.4 - Organização do Trabalho ............................................................................................ 7

2 - PRESSUPOSTOS TEÓRICOS

2.1 - Teoria de Aprendizagem – O Modelo de Van Hiele ................................................... 8

2.2 - Pressupostos Algébricos .............................................................................................. 9

2.3 - Pressupostos Tecnológicos .......................................................................................... 11

3 - RESULTADOS, DISCUSSÕES E CONCLUSÕES

3.1 – Preliminares.................................................................................................................

3.2 – Análise do Roteiro de Aprendizagem I.......................................................................

3.3 – Análise do Roteiro de Aprendizagem II......................................................................

3.4 – Análise do Roteiro de Aprendizagem III.....................................................................

14

14

15

16

4 - CONSIDERAÇÕES FINAIS........................................................................................... 18

5 – REFERÊNCIAS................................................................................................................ 19

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Capítulo 1

INTRODUÇÃO

Nossa prática pedagógica enquanto Professores de Matemática em exercício na Educação

Básica mostra o quanto os alunos apresentam sérias dificuldades no estudo da Álgebra e na

generalização das propriedades numéricas ou operações fundamentais. Seus questionamentos e erros

cometidos nos fazem refletir sobre como podemos atuar na apresentação e/ou desenvolvimento desses

temas, e também, sobre como abordar os alunos a partir das dúvidas mostradas em suas falas e em

suas composições escritas.

As discussões que emergiram dos fóruns e materiais indicados nas disciplinas estudadas no

curso de Novas Tecnologias no Ensino da Matemática (NTEM), do Lante – UFF, aliadas às nossas

reflexões sobre os resultados de nossos alunos, instigaram a ideia de explorar os conteúdos da Álgebra

utilizando novas tecnologias, em especial o Ensino de Funções e Equações que, em última análise,

costumam apresentar dificuldades tanto para quem ensina e quanto para quem aprende, em qualquer

nível de escolarização.

A manipulação do GeoGebra, software que possibilita as relações entre Geometria e Álgebra,

nos fez verificar que poderíamos explorar esses conteúdos considerando, como objetos matemáticos

que são suas diferentes formas de representação.

No intuito de contribuir com os estudos sobre o ensino e a aprendizagem da Álgebra, nosso

grupo se dividiu e cada integrante optou por um enfoque contemplando a Educação Básica. São estes:

1) Como o modelo de Van Hiele pode ser aplicado desde as séries iniciais para o ensino da Álgebra; 2)

Resolução geométrica de equações do 2º grau, utilizando o software GeoGebra e 3) Análise da

eficácia do uso do GeoGebra no ensino de Equações Algébricas de qualquer grau para os alunos do

Ensino Médio.

No capítulo 2, Referencial Teórico, apresentamos o Modelo de Van Hiele, as considerações

teóricas matemáticas e algumas especificidades do software GeoGebra, que respaldam nosso trabalho.

Em Resultados, Discussões e Conclusões, no capítulo 3, explicitamos os dados coletados em

cada uma das pesquisas e nossas análises e conclusões tomando por base essas informações.

No último capítulo retomamos o objetivo central da pesquisa e apresentamos uma reflexão

sobre os resultados encontrados pelo grupo.

Na sequência deste capítulo apresentamos os objetivos de pesquisa e como se deu a

organização do grupo para o desenvolvimento da pesquisa.

1.1 Justificativa

Compreender os conceitos básicos da Álgebra é essencial para que o aluno consiga lidar com

questões envolvendo abstração e generalização. O que vemos, no entanto, é que apesar de serem

capazes de operar com símbolos matemáticos, os alunos não conseguem lidar tão bem com

generalizações. Isso ocorre por uma falta de compreensão das técnicas e dos conceitos algébricos. O

ato de “decorar fórmulas” faz com que esses alunos vejam a Matemática como algo mecânico,

buscando-se tão somente o resultado correto ao final dos cálculos, sem se importar em compreender

quais processos foram necessários para se chegar até ali.

As primeiras iniciativas do grupo para tentar delimitar o objetivo de pesquisa foram a leitura e

a análise de uma amostra da literatura sobre temas relacionados à Álgebra. Foram obtidos materiais

que discorriam sobre seus aspectos históricos, didáticos e/ou metodológicos e epistemológicos. Em

seguida, a busca sobre os possíveis recursos tecnológicos para a abordagem de seus conteúdos.

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Na leitura desses materiais encontramos dados que corroboram nossas reflexões iniciais acerca

do ensino da Álgebra e que justificam a pesquisa nesse tema, tais como: as defasagens e as

dificuldades de assimilação dos conteúdos algébricos, apresentadas pelos alunos nas análises

estatísticas de avaliações em nível nacional; a necessidade de incluir no ensino os recursos oferecidos

pelas novas tecnologias, considerando suas potencialidades e limitações, como mais uma estratégia

didática para propiciar a compreensão matemática e, logo, o desenvolvimento do pensamento

algébrico; a importância da utilização das novas tecnologias para uma nova abordagem da Álgebra,

favorecendo suas diferentes representações; a história da Álgebra e implicações no ensino; o papel do

trabalho com a Álgebra no desenvolvimento da capacidade de abstração e generalização, essenciais

para a compreensão da matemática, como apontam alguns documentos oficiais nacionais, como os

PCN’s (1998).

1.2 Objetivos

O objetivo geral do Trabalho de Conclusão ora apresentado é o de investigar as implicações

do uso do software GeoGebra no ensino da Álgebra (especificamente equações polinomiais) para

alunos do Ensino Fundamental II e Médio e as contribuições do modelo de Van Hiele para o tema

proposto.

São objetivos específicos:

Analisar as contribuições do software GeoGebra para o processo de aprendizagem do

conteúdo “Equações Algébricas de Qualquer Grau” desenvolvido no Terceiro Ano do Ensino

Médio.

Apresentar propostas de trabalho que se baseiem fortemente no uso de novas tecnologias aos

professores de Matemática da Educação Básica

1.3 Metodologia

Nosso projeto de pesquisa inclui uma revisão da literatura científica disponível acerca das

Novas Tecnologias do Ensino e do Ensino da Matemática com a consequente elaboração de uma

proposta prática de implementação numa unidade escolar de alguns dos tópicos abordados nas partes

teóricas. A revisão da literatura científica acerca das Novas Tecnologias que será desenvolvida no

presente trabalho levará em consideração o fato de que nos últimos anos, Institutos de Educação das

mais renomadas Universidades de país desenvolveram linhas de pesquisa sobre o uso da tecnologia

nos processos educacionais buscando entender seus mecanismos de funcionamento, estudando seus

fundamentos e metodologias e os aspectos intrínsecos aos novos processos de ensino desenvolvidos

através de seu uso.

Também nos pautamos pelo princípio de que as propostas pedagógicas a serem

desenvolvidas/implementadas que fazem uso das TIC’s demandam por parte do aluno disciplina e

organização, uma vez que ele mesmo será responsável por grande parte do sucesso do processo

educativo que se busca desenvolver. O modelo de ensino tradicional imprime no aluno a impressão de

que a presença física do professor é indispensável e que este é responsável por determinar o que e

quando o aluno deve aprender. Em contraste, o uso da tecnologia pressupõe uma postura ativa por

parte do aluno, tornando-o protagonista de todo o processo de ensino e aprendizagem. Apesar de todo

o potencial pedagógico que o uso das tecnologias possui, estas ferramentas devem ser entendidas

como estratégias de ensino e jamais como substitutas do trabalho docente, pois este é prioritariamente

um trabalho humano.

Com relação ao Ensino e Aprendizagem da Matemática buscar-se-á investigar dentro da

literatura disponível quais as vantagens e desvantagens do uso dos softwares educativos aplicados ao

processo educativo.

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Quanto às pesquisas realizadas com alunos do Ensino Fundamental II e Médio, apresentamos

atividades que exploram a estimativa, a dedução e a generalização de conceitos algébricos e, logo, as

formas de representação geométrica e de resolução de equações polinomiais, por representações por

áreas e gráficos.

O software GeoGebra é um simulador que, dentre outras possibilidades, permite a construção

de gráficos e figuras e a animação destes. Utilizamos esse recurso tecnológico como uma ferramenta

que permite a visualização e a manipulação geométricas como caminhos para a generalização, ou seja,

para a integração entre a Geometria e a Álgebra.

1.4 Organização do Trabalho

O presente TFC apresentará nas seções que seguem: (1) Resolução geométrica de equações do

2º grau com alunos do EF II, utilizando o software GeoGebra (Rosania Maria da Silva); (2) Análise da

eficácia do uso do GeoGebra no ensino de Equações Algébricas de qualquer grau para os alunos do

Ensino Médio (Luciano Aparecido Magrini); (3) Como o modelo de Van Hiele pode ser aplicado

desde as séries iniciais para o ensino da Álgebra (Helber Marcondes da Silva).

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Capítulo 2

PRESSUPOSTOS TEÓRICOS

Neste capítulo apresentamos os referenciais teóricos explorados ao longo deste Trabalho Final

de Curso. Uma vez que a investigação do grupo se desenvolveu no campo da Álgebra,

especificadamente sobre Equações Polinomiais para o Ensino Fundamental II e Médio e Modelo de

Van Hiele para o Ensino Fundamental I, o objetivo é apresentar ao leitor referências para o

acompanhamento do relatório.

No intuito de que este possa vir a se tornar um material de apoio ao trabalho do professor em

sala de aula, apresentamos um estudo teórico das equações polinomiais. Além disso, descrevemos

algumas particularidades do software GeoGebra, a ferramenta tecnológica utilizada nesta pesquisa e as

contribuições do Modelo de Van Hiele no ensino e na aprendizagem da Geometria.

2.1 Teoria de aprendizagem – O Modelo de Van Hiele

O modelo de van Hiele é uma teoria de ensino/aprendizado para o estudo da geometria. Foi

elaborado em 1957 pelo casal Dina van Hiele-Geldof e Pierre van Hiele como uma tese de doutorado

da Universidade de Utrecht, nos Países Baixos. Os resultados dessa pesquisa começaram a ser

publicados em 1959, porém, com a morte de Dina van Hiele-Geldof pouco tempo depois das

publicações iniciais, coube a seu marido, Pierre, desenvolver e reformular essa teoria a partir de seu

livro original, Structure and Insight: A theory of mathematics education. Pouco conhecida por quase

trinta anos, essa teoria só passou a ser mais bem divulgada a partir da tradução para o inglês feita em

1984, por Geddes, Fuys e Tisher (Ciscar, 1990).

Basicamente, o que o modelo de van Hiele nos diz é que a aprendizagem da Geometria é feita

passando por níveis graduais de pensamento, independente da idade. As principais características

desse modelo de pensamento são:

Só é possível alcançar determinado nível de pensamento após ter passado pelo nível

imediatamente anterior;

O que era implícito em determinado nível de pensamento, volta explícito no nível seguinte;

Cada nível de pensamento possui sua própria linguagem, símbolos e significância dos

conteúdos, ou seja, cada símbolo possui um significado;

Dois alunos em níveis diferentes não podem se entender.

Segundo Werlang e Pazos (2007), apesar da forte semelhança entre o modelo de Van Hiele e a

teoria de Piaget, onde é consenso que o ensino deve começar pelos conceitos mais simples e

gradualmente alcançar ideias melhor elaboradas, há uma diferença entre seus objetivos fundamentais.

A teoria de Piaget se fundamenta no desenvolvimento das ideias abordadas, diminuindo o valor do

ensino. Já o método de Van Hiele é focado nas Fases de Aprendizagem, onde o aluno desenvolve

diferentes níveis de raciocínio gradualmente, sem pular etapas. Nesse ponto, sua forma de abordar a

aprendizagem tem muito em comum com o pensamento de Vygotsky (1978), no sentido de interpretar

o desenvolvimento do aprendizado como algo influenciado pelo ambiente cultural, a sua própria

exploração e suas reações ante um processo de aprendizagem guiada.

Os níveis de compreensão do modelo de van Hiele, dentro do estudo da Geometria são cinco,

normalmente numerados de 0 a 4, sendo que também pode ser utilizada anotação de 1 a 5:

Nível 0 - Visualização ou reconhecimento

- O aluno reconhece uma figura geométrica como um todo (aparência física);

- Começa a aprender o vocabulário geométrico;

- Não reconhece ainda as características de uma determinada figura.

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Nível 1 - Análise

- Aprende a identificar as características de uma determinada figura;

- O aluno ainda não é capaz de distinguir relações entre as figuras e definir conceitos.

Nível 2 - Dedução Informal ou Ordenação

- O aluno se torna capaz de distinguir relações entre as figuras e definir conceitos de maneira simples;

- São capazes de acompanhar demonstrações formais, mas sem conseguir construir outras.

Nível 3 - Dedução Formal

- Conseguem construir demonstrações formais e desenvolver novas formas;

- Começa a empregar o sistema axiomático, mas ainda sem muito rigor em suas deduções.

Nível 4 - Rigor

- Consegue comparar sistemas baseados em axiomas diferentes;

- Desenvolve o pensamento abstrato, próprio para o estudo de geometrias não euclidianas.

Segundo De Villiers (1986), os Van Hiele atribuíram como principal ponto falho no currículo

da Geometria Tradicional o fato do mesmo estar em um nível mais alto do que o dos alunos. Por esse

motivo, os alunos não conseguiam entender o que era ensinado pelo professor. Em contrapartida, o

professor não conseguia entender o porquê de seus alunos não conseguir entendê-lo. Partindo desse

pressuposto, é razoável deduzir que o mesmo ocorre em outras áreas da Matemática, assim como pode

ocorrer em outras disciplinas.

2.2 Pressupostos Algébricos

Nesta seção vamos fornecer os principais conceitos algébricos que serão trabalhados em sala

de aula pelos professores que fazem parte deste TFC. Iniciamos introduzindo o conceito de

polinômio.

Definição 2.2.1 (de polinômio) Se n é um número inteiro não negativo e a0, a1, a2,..., an são números

reais quaisquer, então

é um polinômio na variável x com

coeficientes a0, a1, a2,..., an.

O grau de um polinômio é o maior expoente da variável x no polinômio. Por exemplo, o

polinômio acima tem grau n (se ). Tal é chamado coeficiente dominante (ou líder); o

coeficiente a0 por não aparecer acompanhado da variável x é chamado de coeficiente livre. Polinômios

de grau 0, 1, 2 e 3 são chamados de polinômios constantes, lineares, quadráticos e cúbicos

respectivamente. O polinômio nulo, definido como aquele cujos coeficientes são todos iguais a zero,

não possui grau.

Exemplo 2.2.2: A expressão 2x-1 é um polinômio de grau 1 e os coeficientes 2 e -1 são

respectivamente seus coeficientes dominante e livre. O Polinômio 3x2-x+5 tem grau 2 e possui

coeficiente dominante 3 e coeficiente livre 5.

Os polinômios na variável x são representados por f(x), g(x), h(x), etc. Tal notação é chamada

notação funcional, pois cada polinômio define uma função como nos mostra a seguinte definição:

Definição 2.2.3 (de função polinomial). Se

é um polinômio,

então a função p: , definida por p(x) =

é chamada função

polinomial de grau n.

Se o grau do polinômio é 1, dizemos que p é uma função polinomial linear ou função linear, e

se o grau do polinômio é 2, então p é dita função polinomial quadrática ou função quadrática.

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Exemplo 2.2.4: A função polinomial p(x) =2x-5 é uma função linear, e q( ) é uma

funções quadrática.

Definição 2.2.5: Dada uma função polinomial :p A qualquer, definimos o gráfico de p

como sendo o subconjunto Gr(p) do plano tal que:

2( ) {( , ( )) | }rG p x p x x A

Sabe-se que o gráfico de uma função linear é sempre uma reta (crescente ou decrescente,

conforme o sinal do coeficiente dominante do polinômio); analogamente, o gráfico de uma função

quadrática é sempre uma parábola (com concavidade voltada para cima ou para baixo, conforme o

sinal do coeficiente dominante do polinômio). Para funções polinomiais de grau maior que 2, os

gráficos são simplesmente denominados de curvas e os métodos para determinar um esboço dessas

curvas não serão incluídas aqui, mas podem ser achados em qualquer livro de Cálculo 1.

Tomando um complexo α qualquer e a função polinomial 1

1 1 0( ) ...n n

n np x a x a x a x a

definimos o valor numérico de ( )p x em α como sendo o

complexo obtido quando substituímos a variável x por α e efetuamos as operações; ou seja:

1

1 1 0( ) ...n n

n np a a a a

No caso particular em que p( ) = 0 diz-se que α é uma raiz de p(x). Geometricamente, dizer

que α é uma raiz do polinômio p(x) significa afirmar que no ponto de abscissa α o gráfico da função

p(x) intercepta o eixo das abscissas.

Exemplo 2.2.6: Tome a equação 2 5 6 0x x ; é de fácil verificação que

2( ) 5 6p x x x se

anula em 3 e em 2 . Logo, 3 e 2 são raízes da equação 2 5 6 0x x .

Exemplo 2.2.7: Considere a equação ax b de primeiro grau (a 0). Sua raiz (única!) é dada

explicitamente porb

a , uma vez que tomando ( )p x ax b temos:

0b b

p a b b ba a

Exemplo 2.2.8: De maneira análoga, para a equação 2 0ax bx c de segundo grau temos que suas

duas raízes são dadas explicitamente por

2 4

2

b b ac

a

, sendo esta última expressão

conhecida como Fórmula de Bháskara. O leitor está convidado a verificar que de fato a expressão da

Fórmula de Bháskara fornece as raízes de uma equação polinomial de segundo grau.

Apesar de podermos encontrar as raízes de uma equação do segundo grau pelo resultado do

exemplo anterior, é importante notar que primeiro membro de algumas equações do 2º grau completas

(isto é, com todos os coeficientes não nulos) pode ser representado por um trinômio quadrado perfeito.

Um trinômio é chamado de quadrado perfeito quando pode ser fatorado sob a forma do

quadrado de uma soma ou de uma diferença de dois termos: (a + b)² = a² + 2ab + b² e (a – b)² = a² -

2ab + b².

Se c é uma raiz de p(x), então p(c) = 0, logo: p(x) = (x – c) q(c).

Os exemplos 2.1.6 e 2.1.7 sugerem um resultado bastante importante na teoria das equações

algébricas; note que a equação do primeiro grau apresentou uma raiz e a do segundo grau apresentou

duas raízes (complexas). Generalizando, podemos dizer que uma equação de grau n admite

exatamente n raízes complexas. Este resultado é conhecido como Teorema Fundamental da Álgebra e

foi demonstrado pela primeira vez em 1799 por Gauss em sua tese de doutoramento. Apesar de o

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Teorema Fundamental da Álgebra garantir a existência das raízes, ele não fornece método algum para

obtê-las. Trata-se de um teorema de existência. Para as equações de graus um e dois é possível (como

fizemos acima) encontrar explicitamente as raízes através de fórmulas resolutivas. Para as equações de

grau três e quatro também existem fórmulas resolutivas, porém muito complicadas para uso prático e

cotidiano. Para as equações de grau maior ou igual a cinco é impossível obter qualquer fórmula

resolutiva, como demonstrada em uma das mais belas teorias matemáticas desenvolvidas: a Teoria de

Galois.

É importante ressaltar que as n raízes de uma equação algébrica não são necessariamente

distintas. A quantidade de vezes que um número α aparece como raiz de uma equação é chamada de

multiplicidade da raiz. Considere por exemplo a equação 2 2 1 0x x ; ao se aplicar a Fórmula de

Bháskara para encontrar suas raízes o discriminante se anula e as duas raízes encontradas são 1x .

As raízes complexas de um polinômio aparecem em quantidade par. Isto decorre do fato de

que se o complexo a bi for raiz da equação 1

1 1 0( ) ... 0n n

n np x a x a x a x a

então

seu conjugado a bi também é raiz. A afirmação do parágrafo anterior tem consequências

interessantes dentre as quais destacamos:

Uma equação do segundo grau possui somente raízes reais ou somente raízes complexas,

uma vez que ela possui apenas duas raízes.

Uma equação de grau ímpar deve possuir pelo menos uma raiz real.

É impossível que existam somente raízes complexas, já que estas como sabemos aparecem

aos pares.

Uma equação de grau n possui exatamente n raízes complexas e este fato nos permite

demonstrar que esta equação pode ser escrita como o produto de n polinômios de grau igual a um

sobre os complexos. O resultado formal é o seguinte: “Toda equação (na variável x) de grau n com

raízes 1 2 3, , ,... nr r r r pode ser escrita na forma

1 2( ).( )....( ) 0n na x r x r x r ”. Observe que este

resultado nos permite (pelo menos em teoria) encontrar todas as raízes de uma equação polinomial de

grau n se for conhecida a sua decomposição em fatores lineares.

Diante da impossibilidade de se encontrar as raízes de uma equação polinomial de grau

qualquer por métodos diretos, torna-se importante conhecer técnicas e resultados que permitam

encontrar pelo menos algumas destas raízes. Para cada raiz que se conhece, a determinação das demais

se torna mais simples na medida em que (como consequência da decomposição em fatores lineares) é

possível diminuir o grau da equação original. O teorema a seguir é muito utilizado para se pesquisar

raízes racionais de uma equação com coeficientes inteiros; ele mostra em linhas gerais que, se uma

equação possui raízes racionais estas estão diretamente relacionadas com seus coeficientes dominante

e livre:

Teorema 2.2.9: (das Raízes Racionais): Seja a equação polinomial de coeficientes inteiros

1

1 1 0... 0n n

n na x a x a x a

. Se o número racional p

q, com e p q primos entre si, é raiz desta

equação, então 0 é divisor de e é divisor de np a q a .

Note que o teorema acima não garante a existência de raízes racionais em uma equação com

coeficientes inteiros; apenas fornece todas as possibilidades para tais raízes caso de fato elas existam.

2.3 Pressupostos Tecnológicos

Com o advento da informática e o desenvolvimento de novos métodos de ensino, é possível

uma aplicação cada vez mais eficiente de diversas práticas pedagógicas simultaneamente, com

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resultados bastante promissores. O uso de meios computacionais, por exemplo, tornaram mais simples

o estudo e compreensão das geometrias não euclidianas.

Em pesquisa realizada em 2006 pelo National Trainning Laboratories, foi identificado que a

porcentagem do quanto se retém de conhecimento de determinado conteúdo varia conforme se altera a

forma como o mesmo é apresentado.

- 5% do que é apresentado de maneira expositiva;

- 10% do que é apresentado em uma leitura;

- 20% do que é apresentado por meio de um recurso multimídia;

- 30% do que é apresentado por meio de uma demonstração;

- 50% do que é apresentado em um grupo de discussão;

- 75% do que é feito na prática e;

- 90% por meio da apresentação do conteúdo.

Pelos dados acima, podemos concluir que quanto mais o aluno interage com o conteúdo a ser

aprendido, melhor será sua compreensão sobre o tema. Os Parâmetros Curriculares Nacionais

(BRASIL, 1988, p. 116) já ressaltam a importância de não estarmos presos a uma única forma de

ensino: “existe um razoável consenso de que para garantir o desenvolvimento do pensamento

algébrico o aluno deve estar necessariamente engajado em atividades que inter-relacionem as

diferentes concepções da álgebra”.

Segundo CLARK & HOLQUIST (1984), em estudo da obra de Mikhail Bakhtin (1975), cada

esfera de produção, circulação e recepção de conteúdos necessita de um gênero de linguagem

apropriado. A maneira como nos são apresentados os enunciados e a forma correta de interpretá-los

influem decididamente na maneira com que o aluno irá interpretar e estruturar definições futuras, de

maneira progressiva. Sob esse ponto de vista, o uso de ferramentas Web 2.0 podem contribuir bastante

para uma compreensão mais efetiva do conteúdo proposto por parte do aluno, uma vez que incentivam

uma participação não passiva de abordagem dos assuntos elencados.

Assim, apresentamos uma proposta de ensino que forneça subsídios para aqueles que lidam

com a educação matemática sejam mais estimulados a fazer uso das TIC’s, seja com o uso de

softwares ou por meio de novas abordagens pedagógicas, como uma prática alternativa viável dentro

da sala de aula, tendo em vista abranger desde a Educação Básica até o Nível Superior. O assunto

abrangido será sobre equações quadráticas, e como meios de análise dos resultados obtidos serão

utilizados softwares gratuitos de Geometria dinâmica, como o GeoGebra (http://www.geogebra.org),

além de blogs, slides e outros recursos da Web 2.0 como materiais de apoio para o ensino da álgebra.

O GeoGebra é um software desenvolvido em Java, o que permite sua utilização em diversas

plataformas e sistemas operacionais. Ele foi desenvolvido na Universidade de Salzburg por Markus

Hohenwarter, com o intuito de utilizá-lo em sala de aula. Ele permite a criação e desenvolvimento de

gráficos que podem ser alterados dinamicamente, permitindo ainda duas representações diferentes do

mesmo objeto matemático. Possui também recursos para o estudo de derivações, vetores, além da

geometria, sendo assim um software bastante versátil para o estudo da álgebra e do cálculo. O uso

intuitivo, aliado aos comandos simplificados em relação aos recursos disponíveis, torna esse programa

um dos melhores para o estudo da matemática.

Escolhemos esse recurso, pois ele permite duas representações diferentes do mesmo objeto

matemático: a geométrica e a algébrica. Conforme o usuário cria figuras na tela o programa exibe na

denominada janela algébrica, a sua respectiva escrita algébrica. Assim, ao se construir um ponto, ela

exibe o seu nome e suas coordenadas; ao construir uma circunferência, ela apresenta seu nome e a

equação de seus pontos.

O software oferece ao usuário, em propriedades da figura, dentre outras possibilidades, a

opção “mostrar rótulo”, que podem ser: valor, nome, nome&valor ou legenda. Sendo assim, ao

construir um quadrado, por exemplo, é opcional mostrar a medida de sua área e também é possível

representa-la por uma legenda qualquer. Foi a opção “legenda” que utilizamos para a representação

das variáveis. Logo, para construir um quadrado que representasse o monômio x², utilizamos a

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ferramenta “polígono regular”, com 4 lados. E, para que essa construção não mostrasse o valor

numérico de seus lados e de sua área, optamos por esconder a medida da área e mostrar o rótulo

(legenda) da medida do lado, onde digitamos “x”.

As opções construção de círculos foram também recursos utilizados na construção das figuras,

com as opções de “Círculo definido pelo centro e um de seus pontos”; “Círculo dados centro e raio” e

“Compasso”. Sendo este último uma importante opção para a construção de círculos de mesmo raio e

que mantenham essa igualdade na movimentação do primeiro.

Além dessas ferramentas, foi preciso utilizar as de marcação de “pontos de intersecção”, “reta

paralela” e “reta perpendicular” e outros recursos de exibição, como “exibir eixos” ou “exibir malha

quadriculada” para a construção das figuras.

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Capítulo 3

RESULTADOS, DISCUSSÕES E CONCLUSÕES

3.1 Preliminares

Apresentamos nesta seção os resultados da aplicação do Software GeoGebra na apresentação

de alguns temas ligados às equações algébricas para alunos do Terceiro Ano do Ensino Médio.

Para efeitos de pesquisa e por ser inviável desenvolver o tema somente com o uso da

tecnologia, optamos por uma estratégia simples: durante o período da manhã a sala escolhida para

estudo (com 35 alunos frequentes) tinha aulas tradicionais sobre o conteúdo e um grupo de 08 alunos

que manifestaram interesse e tinham disponibilidade de horários tinha aulas extras sobre o tema no

contra turno onde o conteúdo desenvolvido no período da manhã foi abordado com o uso do

GeoGebra.

O programa não era conhecido dos alunos; assim foi necessário que acontecessem alguns

encontros para discutir as ferramentas básicas e comandos que seriam utilizados durante o trabalho a

ser realizado. Houve o cuidado de se disponibilizar para material de estudos uma apostila (Disponível

em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAQSkAA/apostila-geogebra-ufpr-verao-2009, acessado

em 17/03/2012) e recomendamos aos alunos que instalassem o programa em suas máquinas pessoais.

O uso do software permitiu que os alunos estabelecessem algumas conexões entre a análise

algébrica (presente de maneira dominante nas aulas regulares em sala) e a análise geométrica

(facilmente desenvolvida com o GeoGebra). A maioria destas conexões não foram descobertas por

manipulações livres dos alunos; foram guiadas por Roteiros de Estudo desenvolvidos especialmente

para este fim.

Passaremos agora à análise de alguns dos Roteiros de Estudo aplicados aos alunos. A escolha

dos Roteiros aqui analisados foi feita com base na eficácia e impacto positivo no processo de

aprendizagem avaliado pelo professor aplicador ao longo das atividades.

3.2 Análise do Roteiro de Aprendizagem I

Este Roteiro de Aprendizagem procurava levar os alunos a investigar se existia alguma relação

entre o conceito (puramente) algébrico de grau de uma equação polinomial (2.2.3) e o aspecto do

gráfico da equação.

Os alunos deveriam plotar no GeoGebra dez equações de diferentes graus e verificar o aspecto

dos gráficos (2.2.5).

Durante a realização das atividades, algumas discussões foram surgindo no meio dos alunos.

Foram orientados a anotar as dúvidas e conclusões para discussão em grupo posteriormente. No

momento da discussão da atividade realizada, algumas questões foram surgindo, dentre as quais

destacamos:

“Já sabia que o gráfico da equação do primeiro grau é uma reta. Mas por que professor?”

“O grau parece modificar equações até o segundo grau. Depois todos os gráficos viram

curvas.”

Diante da primeira questão foi explorado com os alunos o conceito de demonstração. Disse

aos alunos que era possível provar que o gráfico de uma equação do primeiro grau sempre é uma reta.

Em geral, demonstrações não são apresentadas na Escola Básica e diante do interesse dos alunos foi

esboçada rapidamente a demonstração da linearidade da equação do primeiro grau.

15

O aluno que formulou a segunda questão provavelmente não identificou as diferenças entre os

vários gráficos apresentados. Foi retomado então como todo o grupo a análise dos gráficos para que

em conjunto apontássemos diferenças entre todos.

Ao final da discussão todos os alunos responderam afirmativamente à questão inicial proposta,

ou seja, que o grau de uma equação influi no aspecto do gráfico apresentado; contudo não souberam

explicar em termos precisos a conexão entre o grau e o gráfico, o que de fato é bastante natural, pois

parte das explicações dependem dos resultados do Teorema Fundamental da Álgebra e das

propriedades do crescimento/decrescimento da função associada à equação em estudo.

3.3 Análise do Roteiro de Aprendizado II

A atividade proposta no Roteiro de Aprendizagem II tinha por objetivo analisar os pontos nos

quais o gráfico de uma equação polinomial intersecta o eixo das ordenadas e das abscissas. A

definição de zero ou raiz de uma equação polinomial já havia sido apresentada formalmente durante as

aulas regulares e esperava-se que os alunos interpretassem geometricamente o fato de um polinômio

p(x) ter raiz x = x0.

Por questão de simplicidade, nesta atividade foram apresentadas apenas equações polinomiais

com raízes reais (afim de que suas propriedades pudessem de fato ser exploradas no gráfico plotado no

GeoGebra) e com multiplicidade 1 (afim de que os alunos já pudessem intuir o Teorema Fundamental

da Álgebra).

Não houve muitas dificuldades e os alunos logo perceberam que (nas palavras de uma aluna):

“uma equação do grau dois tem duas raízes, uma equação do grau três tem três raízes e assim por

diante, professor!”.

Com um pouco mais de dificuldades os alunos perceberam que geometricamente as raízes

indicam os pontos onde os gráficos intersectam o eixo das abscissas (este resultado poderia ter sido

mostrado aos alunos ensinando o comando “Raiz[f(x)]” do GeoGebra; como o objetivo era de que os

próprios alunos deduzissem o resultado, ele foi apresentado aos alunos somente na discussão final da

atividade.).

Na elaboração da atividade supôs-se que os alunos conseguiriam verificar utilizando

substituição que o valor x = x0 era raiz do polinômio p(x) se e somente se p(x0) = 0; aconteceram

dificuldades diversas neste ponto: muitos mostraram pouca habilidade no cálculo numérico e que

16

ainda não haviam entendido a condição de se ter a anulação do polinômio em x0 para que tal valor seja

sua raiz. Um dos polinômios (2.2.1) apresentados aos alunos era p(x) = 2x3 + 3x

2 – 8x + 3, cujo

gráfico encontra-se abaixo:

Para verificar que de fato os valores indicados por A, B e C eram raízes de p(x) os alunos

precisavam determinar p(-3), p(0,5) e p(1) e o cálculo com números relativos e decimais foi bastante

trabalhoso pelo fato dos alunos não dominarem os assuntos.

Portanto, houve a necessidade de uma retomada do conteúdo. Na discussão desta atividade

com os alunos os exemplos foram refeitos com o enfoque algébrico; todas as verificações das raízes

foram (re)feitas e houve um espaço para recuperação paralela na medida em que questões sobre

simples manipulações numéricas iam sendo levantadas. Além disso, houve a preocupação em reforçar

a equivalência 0 0 é raiz de ( ) ( ) 0x p x p x apresentada durante as aulas regulares e que já se

admitia assimilada pelos alunos.

Durante a exploração dos exemplos com os alunos, questões interessantes surgiram; um dos

alunos apresentou a questão: “Se para achar a raiz é só resolver a equação p(x) = 0, o que fazer com

as equações “maiores” que as de segundo grau se a gente (sic) não conhece a fórmula para

resolver?” A questão por si só indicava que os alunos esperavam uma fórmula para resolver as

equações de graus maiores que 2; diante da resposta do professor de que não se usam fórmulas para

resolver as equações de grau maiores que 2 (apesar de elas existirem para graus 3 e 4) os alunos

demonstraram certo desapontamento, mas ficaram curiosos para saber o que fazer nestes casos.

A discussão com os alunos terminou com o grupo intuindo o resultado do Teorema

Fundamental da Álgebra, segundo o qual uma equação de grau n possui n raízes. Como as equações

apresentadas possuíam apenas raízes simples, o resultado foi facilmente aceito pelos alunos.

3.4 Análise do Roteiro de Atividade III

O terceiro roteiro apresentado aos alunos (que foi na íntegra reescrito após a aplicação e

discussão com os alunos do Roteiro II) tinha por objetivo fazer com que se estabelecesse com os

alunos o Teorema 2.2.9 (das Raízes Racionais); uma primeira resposta à questão levantada sobre o

que fazer para encontrar as raízes de um polinômio de grau maior que dois.

Aos alunos foram apresentados quatro polinômios de grau maior que dois; eles deveriam

inicialmente identificar os coeficientes livre e dominante de cada um e todos os seus respectivos

divisores; na sequência deveriam escrever frações cujo numerador fosse divisor do coeficiente livre e

cujo denominador fosse divisor do coeficiente dominante.

A parte prática desta atividade era a de encontrar as raízes com o uso do GeoGebra e comparar

com as frações escritas anteriormente.

Um dos polinômios propostos era p(x) = 3x3 – 7x

2 + 8x – 2 = 0. Os alunos não tiveram

dificuldades em identificar os coeficientes livres e dominantes e em escrever as oito frações possíveis

com numerador igual a um divisor inteiro do coeficiente livre e denominador igual a um divisor inteiro

do coeficiente dominante. Ao desenhar p(x) no GeoGebra os alunos obtiveram o print abaixo e a

dificuldade maior foi em identificar o decimal 0.33 apresentado como raiz com uma das frações

escritas pelos alunos. A dificuldade veio, portanto do fato de que os alunos não dominavam a

transformação de fração em decimal e demonstravam desconhecer o conceito de fração enquanto

divisão.

Após a finalização da atividade, os alunos concluíram que, com exceção de apenas um dos

polinômios que não apresentou raízes dentre as frações escritas, os demais tiveram pelo menos uma de

suas raízes identificadas pelo método. O professor então explicou para o grupo que o resultado

verificado era conhecido em Matemática como Teorema das Raízes Racionais (2.2.9) e que respondia

em parte à questão de como se resolver equações de grau maior que dois, levantada na atividade

anterior.

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Quando “o grupo indagou sobre o polinômio que “não cumpriu a regra” do teorema 2.2.9”,

houve espaço para uma discussão mais ampla sobre o significado deste. Os alunos demonstraram em

um primeiro momento não entender como um polinômio podia não “cumprir as regras”; o teorema foi

então enunciado de maneira rigorosa para os alunos e interpretado acerca de suas implicações. O

grupo até encontrou motivo de risos na análise do enunciado do teorema, pois segundo um dos alunos

aquilo estava parecendo “aula de português”.

18

Capítulo 4

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Diante dos roteiros apresentados e analisados acima é possível destacar o potencial motivador

do software educativo GeoGebra e sua eficácia enquanto metodologia a ser empregada no estudo da

Teoria das Equações com alunos da Educação Básica. Em todas as atividades houve espaço para a

formulação de hipóteses por parte do grupo e para discussões proveitosas que em geral não

aconteceriam em meio às aulas tradicionais desenvolvidas sobre o tema.

Certamente o potencial e eficácia do uso do software são melhores aproveitados quando existe

a preocupação do professor em oferecer atividades que facilitem a descoberta por parte dos alunos.

Não se trata, portanto, de simplesmente verificar resultados teóricos apresentados prontos e acabados

para os alunos; trata-se de trilhar um caminho de descobertas previamente já preparado pelo professor.

Mesmo o grupo que não participou diretamente do desenvolvimento deste trabalho se

beneficiou, na medida em que as atividades desenvolvidas com o GeoGebra mostraram com clareza as

dificuldades dos alunos com o tema (como os cálculos numéricos envolvidos no Roteiro de Atividade

II ou a falta de compreensão do conceito de raiz de um polinômio como sendo os valores para os quais

este se anula).

Os resultados do trabalho apresentado mostra também o quanto o uso do software educativo

GeoGebra pode oferecer mecanismos para o professor trabalhar (através de maneira intuitiva) o

conteúdo de maneira que os alunos sintam a necessidade de novas ferramentas teóricas para a

resolução de problemas, como a indagação levantada pelos alunos durante a aplicação do Roteiro de

Atividade II sobre os polinômios de graus maiores que dois.

É certo que os resultados obtidos, ainda que iniciais, indicam o vasto potencial educativo a ser

explorado no uso do GeoGebra.

19

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