Vetores

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PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

FÍSICA

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© 2006-2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e dodetentor dos direitos autorais.

ProduçãoProjeto e

Desenvolvimento Pedagógico

Disciplinas Autores

Língua Portuguesa Francis Madeira da S. SalesMárcio F. Santiago CalixtoRita de Fátima Bezerra

Literatura Fábio D’ÁvilaDanton Pedro dos Santos

Matemática Feres FaresHaroldo Costa Silva FilhoJayme Andrade NetoRenato Caldas MadeiraRodrigo Piracicaba Costa

Física Cleber RibeiroMarco Antonio NoronhaVitor M. Saquette

Química Edson Costa P. da CruzFernanda Barbosa

Biologia Fernando PimentelHélio ApostoloRogério Fernandes

História Jefferson dos Santos da SilvaMarcelo PiccininiRafael F. de MenezesRogério de Sousa GonçalvesVanessa Silva

Geografa DuarteA.R.Vieira

Enilson F. VenâncioFelipe Silveira de SouzaFernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —

Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2008. [Livro do Professor]

732 p.

ISBN: 978-85-387-0576-5

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71

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Tópicos decinemática

vetorial:

vetor posição,deslocamento e aceleração

Algumas grandezas físicas, para que fiquemcompletamente definidas, necessitam, além de umnúmero e de uma unidade de medida, informaçõesreferentes a direção e sentido. Essas grandezas sãochamadas de vetoriais e são representadas por entesmatemáticos conhecidos por vetores. Teremos neste

tópico uma rápida introdução ao estudo dos vetores.

Grandezas escalaresCertas grandezas físicas como comprimento,

massa, tempo, temperatura, área, volume e outras,ficam perfeitamente definidas por um número (inten-sidade ou módulo) e uma unidade de medida. Essasgrandezas são denominadas grandezas escalares.

Quando, por exemplo, dizemos que o compri-mento de nossa rua é de 35m, conseguimos transmitiruma ideia completa a quem nos ouve; nada mais háo que indagar, pois foram fornecidos um número, queé o módulo ou intensidade da grandeza comprimento(35) e uma unidade de medida (metro).

Grandezas vetoriaisQuando alguém se desloca de uma posição para

outra, não basta dizer que percorreu, por exemplo,

50m. Para que a ideia fique completa, há necessidadede se especificar além do módulo (50) e da unidadede comprimento (m) também a direção e o sentido

em que o deslocamento se realizou.Quando um corpo sofre um deslocamento de

uma posição A para uma posição B, essa mudançade posição é definida pelo segmento orientado AB,que une a posição inicial A à posição final B, comomostra a figura a seguir:

Módulo: AB— = 50m

Direção: 20° com a horizontalSentido: de A para B

As grandezas que, para ficarem completamen-

te caracterizadas, necessitam que especifiquemosmódulo, direção e sentido são chamadas grandezasvetoriais (velocidade, aceleração, força etc.). Pararepresentá-las usamos um ente matemático chama-do vetor.

Vetor: conceito e notação

Dois segmentos orientados que têm módulos,direções e sentidos iguais são chamados equipolen-

tes. Ao conjunto dos infinitos segmentos equipolentes a um dado segmento orientado AB chamamos

vetor AB e representamos por AB, como ilustradona figura:

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Chamando de→v este conjunto infinito, pode-se

escrever que o vetor v é o conjunto de todos os seg-mentos XY, tais que XY seja equipolente ao segmentoAB; ou seja:

→v =→

AB = {XY/XY e qAB}

Dessa forma, um mesmo→v determina infinitos

segmentos orientados, chamados representantes de→v e todos equipolentes entre si. Na prática, no entan-

to, embora lidando em realidade com representantes

de vetores, usa-se indiscriminadamente o nome vetorpara cada um desses representantes.

O→v é caracterizado pelos mesmos módulo, di-

reção e sentido dos infinitos segmentos orientadosequipolentes entre si e por ele representados.

Operações com vetores

Multiplicaçãopor um número ou escalar

Ao se multiplicar um vetor→a por um escalar

(número) n, obtém-se um vetor→na de módulo igual

ao produto dos módulos, de direção igual à de→a e

de sentido ou igual (se n>0), ou contrário (se n<0)ao de

→a ; ou seja:

Soma de vetores

Há dois processos gráficos para somarmosvetores: a Regra do Paralelogramo e a Regra doPolígono.

Regra do Paralelogramo

Seja a soma dos vetores abaixo:

b

1.º passo: Considerar dois outros representantesdos vetores dados que tenham origem comum. Pelaextremidade de cada um traçar uma paralela ao outro,de modo a formar um paralelogramo. O vetor somaestá na diagonal que passa na origem comum, que

é também a origem do vetor soma, como ilustradona figura abaixo:

2.º passo: Para calcular o módulo S do vetorsoma, basta aplicar a lei dos cossenos ao triânguloda direita na figura acima, observando que, nesse

triângulo, o lado tracejado tem medida igual ao mó-

dulo de→

a, que vale a = 3, pois o quadrilátero é umparalelogramo e, como tal, são iguais os lados opostos; ainda, por serem os ângulos e suplementares, tem-se –cos = cos . Daí:

S2= a2+b2 – 2ab. cos

S2= a2+b2 + 2ab. cos

Substituindo os valores dos módulos dos vetoresda figura acima, e admitindo ainda ser = 120°, vem:

S2=32 + 42 + 2 (3)(4) cos 120°

S2=9 + 16 + 2 (3)(4)(-1/2) = 25 – 12 = 13

S = 13 3,61

Regra do Polígono

A vantagem dessa regra sobre a do paralelogra-mo é a potencialidade de somar simultaneamentevários vetores (Para mais de dois vetores, a regrado paralelogramo impõe que sejam somados doisprimeiramente; o vetor soma obtido deve ser somadocom um dos demais, e assim sucessivamente).

A regra consiste em desenhar um representantedo 1.º vetor e, pela extremidade deste, desenhar um

representante do próximo vetor a somar, e assim pordiante. O vetor soma (ou vetor resultante) é obtidoligando-se a origem do primeiro dos representantescom a extremidade do último. O vetor resultante, as-sim, completará uma poligonal fechada, “fechando” opolígono, o que deu nome à regra (regra do polígono).Retornando ainda à figura, vê-se que, no caso de doisvetores, as duas regras se equivalem (observandoo triângulo da esquerda, o lado tracejado pode servisto como representante de

→b.

Veja agora como aplicar a regra a vários veto-res:

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Pela extremidade de cada vetor, trace o seguinte. Para obter a resultante, ligue a primeira origemcom a última extremidade.

Não há fórmula para calcular o módulo do vetorresultante.

Diferença de vetores

Para subtrair dois vetores, soma-se o vetorminuendo ao vetor subtraendo multiplicado por –1.Note o exemplo, em que se deseja encontrar o vetor→D =

→a –

→b :

Somando os vetores→a e –

→b pela regra do pa-

ralelogramo, obtém-se o representante em preto dovetor

→D. Ocorre, entretanto, que em vermelho tem-se

outro representante do mesmo vetor, em consequ-ência da congruência dos triângulos retângulos dafigura. Isso nos permite enunciar a seguinte regra

prática para subtrair dois vetores:Considerar dois outros representantes dos•

vetores dados que tenham origem comum.

O vetor diferença é obtido ligando as extremi-•

dades desses representantes, e aponta parao representante do vetor minuendo.

O cálculo do módulo D do vetor diferença éaplicação direta da lei dos cossenos. Na figura, con-siderando o triângulo retângulo de hipotenusa na corvermelha, essa lei nos permite escrever:

D2

=a2

+b2

– 2ab cos

Na fórmula acima, se = 90°, vem cos = 0 e afórmula da diferença recai no teorema de Pitágoras.Na figura, sendo =90°, vem:

D2=32+42 – 2(3)(4)(0) = 25 e D = 5

Teorema de Lammy

Relembrando: quando somamos vetores pelaregra do polígono, desenhamos o representante de

um deles e, por sua extremidade, o representantede outro, e assim sucessivamente até o último vetor

a ser somado. O representante do vetor resultanteé aquele obtido ligando a primeira origem à últimaextremidade. Se a extremidade do último coincidircom a origem do primeiro, o módulo do vetor resul-

tante valerá zero. Nesse caso, o vetor resultante→R é

o vetor nulo (módulo zero e direção indeterminada)e podemos escrever →R =→O.

Na situação considerada de ser nulo o vetor re-sultante e se forem somente três os vetores a somar,a regra do polígono nos conduzirá a um triângulo,como mostrado na figura.

Pela lei dos senos, os lados de um triângulo sãoproporcionais aos senos dos ângulos opostos. Daívem o teorema de Lammy:

→R =

→a +

→b +

→c =

→O a

sen= b

sen= c

sen

Trajetória

Trajetória é o caminho descrito por um corpomóvel. É importante sabermos determinar a qualquerinstante a posição do corpo em sua trajetória, para oquê se impõe nela estipularmos um ponto fixo paraorigem de contagem das distâncias, adotarmos umaunidade de comprimento e convencionarmos umsentido como sendo positivo. O ponto fixo é chamadoorigem da trajetória e o sentido positivo é indicadopor uma seta; o sentido oposto ao indicado pela setaé negativo. Ainda, as trajetórias podem ser retilíneasou curvilíneas.

A posição do corpo, em certo instante, fica de- terminada por sua distância s, à origem da trajetóriae medida sobre esta.

Como visto no estudo da cinemática escalar, a

forma da trajetória depende do referencial. Por exem-plo, se você está viajando num trem e olha uma lâm-pada no teto do mesmo, para você ela está em repouso

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mas para um observador que a avista da plataformaela se move com a mesma velocidade do trem.

Vetor posiçãodo corpo móvel

Um vetor iniciando na origem de um sistemade referência e com extremidade no corpo móveldetermina univocamente a trajetória e as sucessi-vas posições do corpo. A esse vetor dá-se o nome

de posição.

: Vetor posição

Vetor deslocamentoTambém chamado vetor variação de posição,

o vetor deslocamento referente a um intervalo de tempo t= t2 – t1 é obtido ligando a posição inicial s1 à posição final s2, como ilustrado na figura:

r : Vetor deslocamento

r = r2 – r

1

O vetor• r independe da origem do sistemade referência, como mostrado na figura.

A origem do sistema de referência mudou de O1

para O2 e o vetor r não se alterou.

Sendo |• s| o módulo da variação de posiçãoescalar, aquela medida sobre a trajetória, e

| r | o módulo do vetor deslocamento, tem-

se que | r | | s|, prevalecendo o sinal deigualdade quando a trajetória é retilínea,como esclarece a figura a seguir:

Velocidade vetorial média

A velocidade vetorial média, que representare-

mos por Vm , é conceituada como

Vm =

r

t

Considerando que t é positivo, resulta quea velocidade vetorial média é colinear com o vetorvariação de posição, tendo o mesmo sentido, comomostrado na figura a seguir:

∆

v rv

s

m

É importante não confundir velocidade escalarmédia com velocidade vetorial média. Na figura aolado, a velocidade escalar média é o quociente entrea variação de posição escalar s e o intervalo de

tempo necessário para que o corpo móvel a realizesobre o arco da curva.

Velocidade vetorial instantânea

A velocidade vetorial instantânea v , ou simples-mente velocidade vetorial, é o limite da velocidade

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cos = V v

e v 1= v

cos

(UNESP - adap.) Um caminhoneiro efetuou duas en-3.tregas de mercadorias e, para isso, seguiu o itinerárioindicado pelos vetores deslocamentos d

1e d

2ilustrados

na gura.

Para a primeira entrega, ele se deslocou 10km e paraa segunda entrega, percorreu uma distância de 6km:Calcule a distância a que o caminhoneiro se encontrado ponto de partida ao nal da segunda entrega.

Solução:`

A distância requerida é o módulo do vetor deslocamento,

aquele ligando a posição inicial à posição nal. Esse vetor,

pela regra do polígono, é a soma vetorial R dos vetores da gura.

Usaremos o método da decomposição, aplicando o teorema de Carnot e chamando o primeiro vetor de A

e o segundo de B .

A• X= 0 ; A

Y= –10

B • X= 6 cos 30° = 3 3 ; B

Y= 6 sen 30° = 3

R • X= A

X+ B

X= 0 + 3 3 = 3 3

R • Y= A

Y+ B

Y= –10 + 3 = –7

R 2 = R x

2 + R y

2

R 2 = (3 3 )2 + (– 7)2

R 2 = 27 + 49 =76

R = 2 19

Após a segunda entrega, a distância ao ponto inicial é de 2 19 km

–2

R x = a

x + (– w

x ) + v

x = +2 – 2 + 0 = 0

Ry = ay + (– wy) + v y

= + 2 – 2 – 2 = –2

O vetor resultante é vertical para baixo e tem módulo 2.

(UERJ-adap.) No Código de Trânsito Brasileiro são2.

considerados os seguintes tipos de vias urbanas: trân-sito rápido, arteriais, coletoras e locais. Nessas vias, asvelocidades máximas permitidas são, respectivamente,80km/h, 60km/h, 40km/h e 30km/h.

Para coibir transgressões ao dispositivo legal,são utilizados equipamentos ópticos-eletrônicos,popularmente conhecidos como pardais, para fotografarveículos que superam um determinado limite estabelecido

V de velocidade.

Em um trecho retilíneo de uma estrada, um pardal écolocado formando um ângulo com a direção davelocidade do carro, como indica a gura a seguir.

Suponha que o pardal tenha sido calibrado para registrarvelocidades superiores a V, quando o ângulo = 0°.

A velocidade v do veículo que acarretará o registro dainfração pelo pardal, com relação à velocidade padrão

V, será de:

V sena)

V cosb)

V/ senc)

V/ cosd)

Solução:` D

Sendo V 1

a nova velocidade máxima, acima da qual ha - verá registro de infração, deverá ter intensidade suciente

para projetar no eixo do equipamento o valor limite V que

corresponde a = 0, como mostrado na gura.

No triângulo retângulo da gura, tem-se que:

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OBS: Cabe aqui a observação de que as conclusões apressadas devem ser sempre descartadas e, mesmo quando há necessidade de rapidez, alguma análise deve ser feita. O aluno mais afoito logo veria um triângulo retângulo pitagórico quando traçasse o vetor resultante

R e erraria a questão, atribuindo a R o valor 8. Em realidade, não se trata de um triângulo retângulo, como abaixo se vê:

Se os vetores R e B fossem perpendiculares, viria que o ângulo entre os vetores A e R seria 30°, o que implicaria

B = A . sen 30° = 10/2 = 5km; isso é absurdo, pois contraria a hipótese do enunciado de ser B = 6km. Daí,o triângulo não é retângulo.

(UFAL) Num estacionamento, um coelho se desloca, em4.sequência, 12m para o oeste, 8m para o norte e 6m parao leste. O deslocamento resultante tem módulo:

26ma)

14mb)

12mc)

10md)

2me)

Solução:` D

Considerando o Norte ao alto desta página, o Sul na parte de baixo, o Leste à direita e o Oeste à esquerda, temos a seguinte trajetória para o coelho:

Na gura ao lado, determinando o vetor deslocamento pela regra do polígono, o triângulo retângulo mostrado é pitagórico e tem catetos 6m e 8m; daí, sua hipotenusa vale

10m, que é o módulo do vetor deslocamento r .

(UFC) M e N são vetores de módulos iguais (|M| = |N|5.= M). O vetor M é xo e o vetor N pode girar em tornodo ponto O (veja gura) no plano formado por M e N.Sendo R = M + N , indique, entre os grácos a seguir,

aquele que pode representar a variação de |R| comofunção do ângulo entre M e N.

a)

b)

c)

d)

e)

Solução:` B

R 2 = M 2 + M 2 – 2 . M . M . cos θ

R 2 = 2M 2 (1 + cos θ ) = 4M 2 cos 2 ( θ12)

R = 2M |cos ( θ12)|. Vejamos a correspondência entre os valores de R e θθ:

• θ = 0 rad θ R = 2M

• θ = ( /2) rad θ R = M √2

• θ = radθ R = 0

• θ = (3 /2)radθ R = M √2

• θ = 2 radθ R = 2M

(Unicamp-adap.) Satélites de comunicações são retrans-6.missores de ondas eletromagnéticas. Eles são operadosnormalmente em órbitas cuja velocidade angular éigual à da Terra, de modo a permanecerem imóveis em

relação às antenas transmissoras e receptoras.

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Essas órbitas são chamadas de órbitas geoestacionárias.

Dada a distância R entre o centro da Terra e o satélite,determine o módulo de seu vetor deslocamento entre9h e 15h.

Solução:`

t = 15 – 9 = 6,0h

Em 24h a Terra dá uma volta completa ao redor do pró- prio eixo, o que corresponde a um ângulo central de 2 radianos. Em 6,0h, portanto, é subentendido um ângulo central = /2 rad = 90°

Sendo r o raio da Terra (6400 km), a situação pode ser vista como na gura abaixo, para um observador situado em certa posição do espaço).

1 500h

Na gura, tem-se AC = r, AE = R.

BC é o lado do quadrado inscrito na circunferência de

círculo de raio r; assim, tem-se: BC = r 2 .

DE é o lado do quadrado inscrito na circunferência de círculo de raio R; assim, tem-se: DE = R 2 .

A medida de DE é o módulo solicitado do vetor deslocamento.

(Fatec) Num certo instante, estão representadas a7.aceleração e a velocidade vetoriais de uma partícula.Os módulos dessas grandezas estão também indicadosna gura.

Dados: sen 60° = 0,87

cos 60° = 0,50

10m/s

4,0m/s2

60o

No instante considerado, o módulo da aceleraçãoescalar, em m/s2, e o raio de curvatura, em metros, são,respectivamente:

3,5 e 25a)

2,0 e 2,8b)

4,0 e 36c)

2,0 e 29d)

4,0 e 58e)

Solução:`

D Como visto, o módulo da aceleração escalar iguala 1.o módulo da aceleração tangencial. Como o vetor velocidade é tangente à trajetória, para encontrar o módulo da aceleração tangencial, basta projetar o vetor aceleração sobre o vetor velocidade. Daí:

a t = 4 cos 60° = 4 .1/2 = 2,0m/s 2 .

O módulo da aceleração centrípeta vale v 2. 2 /R e, portanto, R = v 2 /a

cp . Para encontrar o módulo da ace-

leração normal ou centrípeta, basta projetar o vetor aceleração na direção perpendicular à do vetor v:

a cp

= a sen 60° = 4 . 3

2 = 2 3

Daí: R = v 2

a cp

= 10 2

2 3 = 50 3

3 29m

(FEI) Uma automóvel realiza uma curva de raio 20m8.com velocidade constante de 72km/h. Qual é a suaaceleração, em m/s2, durante a curva?

0a)

5b)

10c)

20d)

3,6e)

Solução:` D

Sendo v = 72km/h = 20m/s constante, então é nula a componente tangencial da aceleração, que indica a variação em módulo da velocidade. Assim, só existe aceleração centrípeta, que caracteriza as alterações da velocidade em direção. Daí, tem-se:

a = a cp

= v 2 /R = 20 2 /20 = 20m/s 2 .

(Ufscar) Nos esquemas estão representados os veto-9.res da velocidade e da aceleração do ponto material P.

Assinale a alternativa em que o módulo da velocidadedesse ponto material permanece constante.

a)

P

a

v

b)

P

a

v

c)

P

a

v

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d)P

a

v

e) Pa

v

Solução:`

C Se o módulo da velocidade permanece constante, então é nula a aceleração tangencial e, para que isso ocorra, o vetor aceleração tem de ser perpendicular à tangente e à trajetória no ponto considerado e, portanto, perpendicular também ao vetor velocidade.

Aproveitando a oportunidade, classique os movimen-10.tos correspondentes às alternativas apresentadas noexercício anterior.

Solução:`

Para resolver esse exercício, você deve proceder da seguinte forma:

Imagine dois eixos perpendiculares entre si no ponto • considerado: um tangente à trajetória no ponto considerado, o outro perpendicular a este.

Sobre esses eixos, projete o vetor aceleração, ob- • tendo as componentes tangencial e normal desta,respectivamente.

O vetor aceleração aponta sempre para a parte côn- • cava da trajetória, pois a direção dele passa pelo centro de curvatura.

Se o vetor aceleração está voltado para o sentido do • movimento, a componente tangencial tem o mesmo sentido da velocidade e o movimento é acelerado.

Se o vetor aceleração está voltado para o sentido • contrário ao do movimento, a componente tangencial tem sentido oposto ao da velocidade e o movimento é retardado.

Se o vetor aceleração é colinear com o vetor veloci- • dade, trata-se de movimento retilíneo.

Movimento curvilíneo acelerado, concavidade para a)

cima.

Movimento curvilíneo retardado, concavidade para b)cima.

Movimento circular uniforme, concavidade para cima.c)

Movimento retilíneo retardado.d)

Movimento retilíneo acelerado.e)

(UFSC-adap.) Um satélite articial, de massa m, descre-11.ve uma órbita circular de raio R em torno da Terra, comvelocidade orbital v de módulo constante, conforme re-presentado esquematicamente na gura. (Desprezam-seinterações da Terra e do satélite com outros corpos)

MR

m

v

Considerando a Terra como referencial na situaçãodescrita, assinale a(s) proposição(ões) correta(s):

(01) O satélite sofre a ação da força gravitacionalexercida pela Terra, de módulo igual a F

g= G Mm/

R2, onde G é a constante de gravitação universal, Mé a massa da Terra e R o raio da órbita do satélite.

(02) Para um observador na Terra, o satélite nãopossui aceleração.

(04) A força centrípeta sobre o satélite é igual àforça gravitacional que a Terra exerce sobre ele.

(08) A força exercida pelo satélite sobre a Terra temintensidade menor do que aquela que a Terra exer-ce sobre o satélite; tanto que é o satélite que orbitaem torno da Terra e não o contrário.

(16) A aceleração resultante sobre o satélite indepen-de da sua massa e é igual a G M/R2, onde G é a cons-tante de gravitação universal e M é a massa da Terra.

(32) A aceleração resultante sobre o satélite tem amesma direção e sentido da força gravitacional queatua sobre ele.

Solução:` Soma: 53

(01) De acordo com a Lei da Atração Gravitacio- nal, de Newton, da qual trataremos em aula futura,a matéria atrai a matéria na razão direta das massas e na razão inversa do quadrado das distâncias. As - sim, dois corpos de massas M e m, separados por uma distância R, sofrem a ação de uma força de

atração mútua de módulo F g=GMm/R 2

, onde G é a constante de gravitação universal. A proposição, portanto, está correta.

(02) O satélite executa movimento circular uniforme; assim, possui aceleração centrípeta a

cp=v 2/R. A

proposição, portanto, está errada.

(04) A proposição está correta. O único agente capaz de exercer uma força sobre o satélite é a Terra e essa força é a de atração gravitacional, de acordo com o que se viu no item (01). Essa força, sempre voltada para o centro de curvatura da trajetória, impede que o satélite saia pela tangente, devido à inércia de sua massa; essa é, pois, a força centrípeta, que é igual ao produto da massa do satélite pela aceleração centrípeta.

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Obs.: Por oportunas, cabem aqui algumas conside - rações:

Pelo exposto, tem-se F • g= F

cpou GMm/R 2 = ma

cp,

donde se vê que a aceleração centrípeta tem a expressão GM/R 2.

E mais: a força de atração gravitacional é também •

a força com que o satélite é atraído para o centro da Terra; representa, portanto, também o peso do satélite em órbita. Daí, vem que F g = Peso = m . g’, onde g’ é a aceleração da gravidade na altura da órbita. Em consequência disso, vem que g’=GM/R 2=a

cp.

(08) Pela 3.ª Lei de Newton (Princípio da Ação e da Reação), que será visto em aula futura, quando um corpo exerce sobre outro uma força, este rea-

ge, exercendo sobre o primeiro uma força igual e em sentido contrário. Daí, a força com que a Terra

atrai o satélite tem módulo igual ao daquela com que o satélite atrai a Terra. A proposição, portanto,está errada.

(16) Já se viu no item (04) que a cp

= g’= GM/R 2. Assim, independe da massa do satélite. A proposi- ção, portanto, está correta.

(32) Correto. Já se viu no item (04) que F g=ma

cp.

As proposições corretas, portanto, são as de nume- rações 01, 04, 16 e 32, que totalizam 53.

Uma grandeza física vetorial ca perfeitamente denida1.quando dela se conhece:

valor numérico, direção e unidade.a)

valor numérico, unidade e direção.b)

direção, unidade e sentido.c)

valor numérico, unidade, direção e sentido.d)

(Cesgranrio) Das grandezas físicas apresentadas nas2.opções abaixo, assinale aquela de natureza vetorial.

Pressão.a)

Força eletromotriz.b)

Corrente elétrica.c)

Campo elétrico.d)

Trabalho.e)

(Cesgranrio) Na gura OP = 18, as coordenadas (x,y) 3.do ponto P, indicado, são:

(Cesgranrio) Decompomos um vetor de módulo 13 em4.dois outros ortogonais, sendo que um deles tem módulo12. O módulo do outro será:

5a)

1b)

25c)

4d)

8e)Desejamos decompor um vetor de módulo 50 em dois5.outros ortogonais de módulos iguais. Determine o mó-dulo desses vetores.

(Mackenzie) A resultante de dois vetores perpendicu-6.lares entre si tem módulo igual 20 . Sabendo que omódulo de um dos vetores é o dobro do outro, calculeos módulos dos dois vetores.

(UFPI) A resultante dos vetore7. 21 vev

é mais bem re-presentada por:

(Feso) Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela8.em que todas as grandezas físicas relacionadas são denatureza vetorial:

velocidade, aceleração e energia potencial.a)

posição, impulso e potência.b)

aceleração, força e trabalho.c)

velocidade, quantidade de movimento e energiad)cinética.

força, quantidade de movimento e impulso.e)

Uma bola é arremessada com velocidade de 20m/s,9.segundo um ângulo de 37O com a horizontal. Determinaras componentes da velocidade na horizontal (v

x ) e na

vertical (vy

).

Dados: cos 37° = 0,8 sen 37° = 0,6

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_ 0 0 4

Dados os vetores, determinar a expressão cartesiana de:10.

2a

+ b

- c

a)

a

- 3 b

+ 2 c

b)

Uma partícula descreve a trajetória da gura abaixo.11.

O vetor que pode representar o deslocamento entre ospontos A e B:

a)

b)

c)

d)

e)

Um veículo se desloca 190km para o Norte, depois 50km12.para o leste e nalmente 70km para o Sul.

Determinar o módulo do deslocamento vetorial.

Dado o gráco cartesiano abaixo, represente:13.

o vetor posiçãoa) Ar

→ (2,5);

o vetor posiçãob) Br

→ (5,8);

o vetor deslocamentoc) ABr

∆ .

(PUC-Rio) Um carro se desloca 200m para o nordeste e14.200m para noroeste. Determine a distância nal em quese encontra o carro em relação ao ponto de partida.

400ma)

200mb)200c) 2m

100d) 2m

400e) 2m

Quando um atleta percorre metade de uma pista de15.corrida circular de raio igual a 400m, sofre um desloca-mento vetorial de:

800a) πm

400b) πm

200c) πm400md)

800me)

O comprimento do ponteiro dos segundos de um16.relógio é igual a 10cm. Considere um ponto M em suaextremidade, sabendo-se que esse ponto deslocou-sedo número 12 ao 6 do relógio, determine:

O deslocamento escalara)

O módulo do deslocamento vetorial.b)

(Osec) Um móvel percorre uma trajetória circular de17. 1,00m de raio com velocidade escalar constante. Após1/4 de volta, o vetor deslocamento do móvel tem móduloaproximadamente igual a:

1,00ma)

1,41mb)

6,28mc)

3,14md)

0,252me)

Um corpo é lançado verticalmente para cima com velo-18.cidade inicial de 20m/s. Desprezando-se a resistênciado ar e sendo g = 10m/s2, determinar:

O deslocamento escalar entre os instantes em quea)ele é lançado e que ele volta a passar pelo mesmoponto.

O deslocamento vetorial.b)

(PUC-SP) Se a velocidade vetorial de um ponto material19.é constante e não-nula, sua trajetória:

é uma parábola.a)

pode ser retilínea, mas não necessariamente.b)deve ser retilínea.c)

7/16/2019 Vetores


12E

M_

V_

F I S

_ 0 0 4

é uma circunferência.d)

pode ser uma curva qualquer.e)

(FEI-SP) Sabendo-se que a aceleração total (resultante)20.de um móvel é nula, pode-se armar que:

sua velocidade é nula.a)

seu movimento é circular e uniforme.b)

seu movimento é uniforme, qualquer que seja suac)trajetória.

seu movimento só pode ser retilíneo e uniforme.d)

nenhuma das anteriores é correta.e)

(PUC-RS) As informações a seguir referem-se a um21.movimento retilíneo realizado por um objeto qualquer:

A velocidade vetorial pode mudar de sentido.I.

A velocidade vetorial tem sempre módulo constante.II.

A velocidade vetorial tem direção constante.III.

A alternativa que representa corretamente o movimentoretilíneo é:

I, II e IIIa)

somente II Ib)

somente IIc)

II e IIId)

somente I e IIIe)

(USS) Um corpo está com movimento uniforme, com22.sentido de (1) para (2). Quando ele passa pelo ponto A,o par de vetores, velocidade e aceleração representativodo movimento será:

a)v

a

b) v

a

c) v

a = 0

d) v

a

e) v

a

(FEI-SP) Uma partícula descreve uma circunferência23.

com movimento uniforme. Pode-se concluir que:sua velocidade vetorial é constante.a)

sua aceleração tangencial é não-nula.b)

sua aceleração centrípeta tem módulo constante.c)

sua aceleração vetorial resultante é nula.d)

suas acelerações tangencial e resultante são iguaise)em módulo.

(UFMG) Um ventilador (veja gura) acaba de ser desli-24.gado e está parando vagarosamente no sentido horário.

A direção e o sentido da aceleração da pá do ventiladorno ponto P é:

(USS) Uma pista de corridas de25. kart é vista de cima, eno ponto P há um carro em movimento uniforme.

Qual das opções abaixo melhor representa a velocidadee a aceleração do carro no ponto P?

Velocidade Aceleração

I IIa)

V IIb)

I IIIc)

V II Id)

III IV e)

7/16/2019 Vetores


13 E M_

V_

F I S

_ 0 0 4

(Uerj) Dado o esquema responda as questões 26 e 27.

Suponha constante a desaceleração de um dos carros26.no trecho retilíneo entre as curvas Laranja e Laranjinha,nas quais ele atinge, respectivamente, as velocidades de180km/h e 150km/h. O tempo decorrido entre as duasmedidas de velocidade foi de 3 segundos.

O módulo da desaceleração, em m/s2, equivale,aproximadamente, a:

0a)

1,4b)

2,8c)

10,0d)

A velocidade vetorial média de um carro de Fórmula 1,27.em uma volta completa do circuito, corresponde a:

0a)

24b)

191c)

240d)

O comprimento do ponteiro dos segundos de um28.relógio é igual a 10cm. Considere um ponto M em suaextremidade, sabendo-se que esse ponto deslocou-sedo número 12 ao 6 do relógio, determinar:

a velocidade escalar média, em cm/s;a)

o módulo da velocidade vetorial média, em cm/s.b)

(Cesgranrio) No gráco anexo estão representados três1.vetores a

, b

e c

. Os vetores i

e j

são unitários. Analiseas expressões:

a

= 2 i

+ 3 j

I.

b

= 2 j

II.

b

+ c

= i

III.

Podemos armar que:

I e II estão corretas.a)

II e III estão corretas.b)

I e III estão corretas.c)

estão todas corretas.d)

há apenas uma correta.e)

(Mackenzie) Na gura abaixo estão representados cinco2.vetores de mesma origem e cujas extremidades estãosobre os vértices de um hexágono regular cujos ladosmedem k unidades. Calcule o módulo da resultante

desses vetores.

2k a)

3k b)

4k c)

5k d)

6k e)

(PUC-SP) A soma de dois vetores, de módulos respec-3.tivamente iguais a 12u e 16u, é igual a s

.

Podemos armar que:

a) s = 20u

b) s > 20u

c) s = 28u

4ud) ≤ s ≤ 28u

e) s < 20u

Que ângulo devem fazer dois vetores, de mesmo módulo,4.para que a intensidade do vetor soma seja igual a decada componente?

Dado: cos

θ

2=

1 + cosθ

2

(Cesgranrio) Na gura abaixo estão representados os5.vetores a

, b

e c

e os versores i

e j

.

Assinale a sentença errada:

7/16/2019 Vetores


14E

M_

V_

F I S

_ 0 0 4

b

= 2 j

a)

a

= 3 i

b)

c

= 2 ( i

+ j

)c)

c

= a

+ b

d)

c

= 2 2 e)

(FOA) Para o sistema de vetores representado abaixo,6.a única igualdade correta é:

a)

a + b + c = db)

a + b + c = -dc)

a + b + c + d = 0d)a - b + c - d = 0e)

(UFLA) Os vetores7. a

, b e c

, representados abaixo, têmresultante nula. Sabendo que:

b

= 6 , podemos armar que os módulos de a

e c

valemrespectivamente:

3 ea)2

623 +

2

6b) e 2 3

3c) 2 e 3

6 e 3d)

3 e 3e) 2

Consideremos quatro vetores de módulos iguais a 6,8.

tais que, ao se determinar a sua resultante pelo métododo polígono, obteve-se um quadrado, dando resultante

nula. Se trocarmos os sentidos de dois deles, consecu-tivos, a resultante terá módulo de:

3a)

6b)

12c)

6d) 2

12e) 2

No diagrama abaixo temos9. b = 20u. Determine omódulo do vetor a .

(Olimpíada Brasileira de Física) A gura mostra seis10.

vetores a, b, c, d, e e f, que formam um hexágono.

De acordo com a gura, podemos armar que:

a + b + c + d + e + f = 6aa)

a + b + c = - d – e – f b)

a + b + c + d + e + f = 3ac)

a + b + c = – d + e - f d)

a + b + c = 0e)

(UFCE)11. M e N são vetores de módulos iguais ( M =

N = M). O vetor M é xo e o vetor N pode girar em

torno do ponto O (veja gura) no plano formado por M

e N . Sendo R = M + N , indique, entre os grácos aseguir, aquele que pode representar a variação de |R|como função do ângulo θ entre M e N.

a)

7/16/2019 Vetores


15 E M_

V_

F I S

_ 0 0 4

b)

c)

d)

e)

(UFRN) A gura abaixo representa os deslocamentos de12.

um móvel em várias etapas. Cada vetor tem módulo iguala 20m. A distância percorrida pelo móvel e o módulo dovetor deslocamento são, respectivamente:

20a) 5 m e 20 5 m

20b)5

m e 40m100m e 20c) 5 m

40m e 40d) 5 m

100m e 40e) 5 m

Na gura abaixo estão representados os vetores cor-13.respondentes à posição de uma partícula nos instantest1

= 2,0s e t2

= 5,0s.

Qual dos vetores abaixo pode representar o vetordeslocamento, entre os instantes considerados.

a)

b)

c)

d)

e)

Uma partícula executa um movimento circular, no sentido14.

indicado na gura. Sendo o raio da trajetória 7m, deter-minar o módulo de deslocamento vetorial entre:

A e C.a)

A e B.b)

(UFRS) Um automóvel percorre uma estrada contida no15.plano XY, conforme a gura. Às 10 horas, esse automóvel

encontra-se nas coordenadas (x1 , y1 ) = (2,2) e, às 10horas e 30 minutos, nas coordenadas (x

2, y

2 ) = (6,5).

O módulo do vetor deslocamento, nesse intervalo detempo, é:

(2 +a) 3 )km

15,0kmb)

7,0kmc)

5,0kmd)

2,5kme)

O vetor posição inicial de uma partícula é igual a16.

0r

= 6 i

– 8 j

e o vetor posição nal r

= i

+ 210 j

.

Determinar o vetor deslocamento.

(Fatec) Um ponto material movimenta-se a partir do ponto17. A sobre o diagrama anexo, da seguinte forma: 6 unidades

(u) para o Sul; 4 u para o Leste e 3 u para o Norte.

7/16/2019 Vetores


16E

M_

V_

F I S

_ 0 0 4

O módulo do deslocamento vetorial desse móvel foi de:

13ua)

5ub)

7uc)

3ud)

1ue)

Um carro percorre um arco de 60º de uma circunferência18.de raio igual a 1 000m. Calcular o módulo do desloca-mento vetorial.

Em uma cidade os quarteirões são retângulos de19.800m × 600m.

Uma pessoa caminhando vai da esquina A até a esquinaB, conforme a gura acima, com velocidade de 2m/s.

Determinar:

O tempo que levou no percurso.a)


(FCMSC) Uma partícula se move em um plano, em20.relação a um sistema de eixos cartesianos xos, sendo xe y as coordenadas de sua posição; os grácos a seguirnos dão x e y em função do tempo t.

Dentre os valores a seguir o que mais se aproximado módulo do vetor deslocamento do móvel entre osinstantes t = 2,0s e t = 9,0s é:

10cma)

20cmb)30cmc)

40cmd)

50cme)

Uma partícula em movimento tem uma trajetória que21.descreve um hexágono regular (ABCDEF) de lado

igual a 12m. Partindo do ponto A, determinar quandoela passa no ponto D:

A distância percorrida.a)


Duas partículas A e B descrevem uma trajetória sobre22.os lados de um pentágono regular de lado igual a50cm, partindo do mesmo vértice. A partícula A per-corre 3 lados com aceleração de módulo constante,em sentido horário, e a partícula B percorre 2 ladosno sentido anti-horário com velocidade constante, nomesmo intervalo de tempo. Sendo o deslocamento ve-

torial da partícula A ∆r A e o da partícula B ∆rB, comparar∆r

Acom ∆r

B; isto é, se ∆r

A> ∆r

B, ∆r

A= ∆r

Bou ∆r

A< ∆r

B.

Justique sua resposta.

(EN) O inglês Robin Johnston ganhou a primeira regata23.volta ao mundo, retornando ao porto de partida, percor-rendo 3,00 . 104 milhas em 313 dias.

Sabendo que 1 milha tem aproximadamente 1,85km, avelocidade escalar média e a velocidade vetorial médiasão, respectivamente, em km/h:

zero e 7,39a)

7,39 e zerob)7,39 e 427c)

427 e 7,39d)

(UFRRJ) Um motorista percorre, num movimento24.retilíneo, 32km em 30min. Para 1 hora para almoçar eretorna, fazendo 70km em 30min. Nessas duas horas, avelocidade vetorial média do motorista é de:

20km/ha)

19km/hb)

44km/hc)

56km/hd)

60km/he)

(FOA-RJ) Um móvel parte do repouso com uma acele-25.ração escalar constante de 2,0m/s2 e percorre uma tra-

jetória circular de raio igual a 100m. Após 10 segundos,as componentes tangencial e centrípeta da aceleraçãovalem, respectivamente, em m/s2:

2,0 e 2,0a)

2,0 e 4,0b)

4,0 e 2,0c)

7/16/2019 Vetores


17 E M_

V_

F I S

_ 0 0 4

4,0 e 4,0d)

10 e 10e)

(UFRRJ) Um corpo é abandonado a uma altura H (em26.relação ao solo) em queda livre. Ao passar por um ponto

A da trajetória retilínea, possui uma velocidade escalarde 10m/s. Um observador xo na terra poderá armar,quanto ao módulo do vetor velocidade, em um ponto Bsituado a 2,2m de A, que o módulo do vetor:

depende da massa do corpo.a)

é de 12m/s.b)

é proporcional ao quadrado do tempo.c)

é um vetor cujo módulo é constante.d)

vale 15m/s.e)

(Uerj) Pardal é a denominação popular do dispositivo27.óptico-eletrônico utilizado para fotografar veículosque superam um determinado limite estabelecido develocidade v .

Em um trecho retilíneo de uma estrada, um pardal écolocado formando um ângulo θ com a direção davelocidade do carro, como indica a gura a seguir.

Suponha que o pardal tenha sido calibrado para registrarvelocidades superiores a v, quando o ângulo θ = 0o.

A velocidade v do veículo, que acarretará o registro dainfração pelo pardal, com relação à velocidade padrãov, será:

v sena) θ

v cosb) θ

v/ senc) θ

v/ cosd) θ(PUC-Rio) Um objeto em movimento circular uni-28.forme passa pelo ponto A e, 1 segundo após, passapelo ponto B.

A aceleração vetorial média nesse intervalo de tempoé, em m/s2:

2a)

2b)

4c)

0d)

0,5e)

Um carro faz uma curva de raio igual a 100m, com velo-29.cidade constante em módulo igual a 20m/s, descrevendoum ângulo reto em 10s. Determinar:

O módulo da variação da velocidade.a)

O módulo do vetor aceleração.b)

(FEI-SP) A velocidade30. v

de um móvel em função do

tempo acha-se representada pelo diagrama vetorialda gura.

A intensidade da velocidade inicial é v0

= 20m/s.

Determine o módulo da aceleração vetorial média entreos instantes t = 0 e t = 8s.

(FEI-SP) Uma partícula descreve uma circunferência31.de raio de 20cm, percorrendo 1/6 da mesma em 8s.Qual é, em cm/s o módulo do vetor velocidade médiada partícula no referido intervalo de tempo?

(UFF) A gura representa a fotograa estroboscópica do32.movimento de um disco que desliza sem atrito sobre umamesa. O disco descreve uma trajetória circular, percor-rendo ângulos iguais em intervalos de tempo iguais.

Sabendo-se que o flash da máquina fotográfica édisparado a cada 0,50s:

Determine o módulo do vetor velocidade média doa)disco entre as posições 4 e 12.

Represente gracamente, na gura, os vetores ve-b) locidade v

e a aceleração a

do disco no instanteem que este passa pela posição 8.

7/16/2019 Vetores


18E

M_

V_

F I S

_ 0 0 4

(Unicamp) A gura abaixo representa um mapa da33.cidade de Vitória a qual indica a direção das mãos dotráfego. Devido ao congestionamento, os veículos trafe-gam com a velocidade média de 18km/h. Cada quadradesta cidade mede 200m por 200m (do centro de uma

rua ao centro da outra rua). Uma ambulância localizadaem A precisa pegar um doente localizado bem no meioda quadra em B, sem andar na contramão.

Qual o menor tempo gasto (em minutos) no percur-a)so de A para B?

Qual é o módulo do vetor velocidade média (emb)km/h) entre os pontos A e B?

(EN) Um móvel desloca-se em uma trajetória retilínea na34.direção do eixo Ox, de tal maneira que sua velocidade vvaria com o tempo t de acordo com a equação:

v =(4t – 8) i onde t é dado em segundos, v em metros

por segundo e i é o versor mostrado na gura.

Sabendo que para t = 1s o vetor posição da partícula

(cuja origem está em O) é dado por r = 2i (com r em metros) determine:

O vetor posição da partícula no instante t = 0.a)

O vetor posição da partícula no instante t = 6s.b)

O módulo do vetor deslocamento entre os instantesc)

t = 0 e t = 6s.

A distância total percorrida entre os instantes t = 0 ed)t = 6s.

7/16/2019 Vetores


19 E M_

V_

F I S

_ 0 0 4

D1.

D2.

(93. 3 ; 9)

A4.

x = 255. 2

x = 2 e 2x = 46.

A7.

E8.

V y= 12m/s

V X

= 16m/s

9.

10.

9i + 7ja)

– 4 i – 5 jb)

D11.

130km12.

13.

C14.

E15.

16.

31,4cma)

20cmb)

B17.

Nos dois casos é nulo18.

C19.

D20.

E21.

E22.

C23.

7/16/2019 Vetores


_ 0 0 4

D24.

C25.

C26.

A27.

28.

1,05cm/sa)

0,66cm/sb)

D1.

E2.

D3.

1204. o

D5.

D6.

A7.

E8.

IaI =20 2

9.

B10.

B11.C12.

B13.

14.

a)

b) = 2 x 7 = 14m

D15.

416. +10

B17.

1 000m18.

19.

2 100sa)

3 000mb)

C20.

21.

36ma)

22. = =

B23.B24.

B25.

B26.

D27.

B28.

29.

= 20 2 m/sa)

Iab) mI = 20 210

= 2 2 m/s2

5m/s30. 2

O arco descrito corresponde a 6031. 0, logo temos umtriângulo eqüilátero cujos lados são dois raios e o des-

locamento vetorial. = 20cm e I I = 2,5cm/s

32.

2,5cm/sa)

b) va

33.

3min.a)

10km/hb)

34.

a)

b)

I∆ Ic) = 24m

40md)

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