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Vetores

1. (Uece 2014) Duas únicas forças, uma de 3 N e outra de 4 N, atuam sobre uma massa puntiforme. Sobre o módulo da aceleração dessa massa, é correto afirmar-se que a) é o menor possível se os dois vetores força forem perpendiculares entre si. b) é o maior possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e mesmo sentido. c) é o maior possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e sentidos contrários. d) é o menor possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e mesmo sentido.

2. (G1 - ifpe 2012) Qual o cosseno do ângulo formado pelos vetores A 4. i 3. j

e

B 1.i 1. j

, em que i

e j

são vetores unitários?

a) 2

10

b) 10

2

c) 2

10

d) 10

2

e) 0 3. (Mackenzie 2012) Um avião, após deslocar-se 120 km para nordeste (NE), desloca-se 160

km para sudeste (SE). Sendo um quarto de hora, o tempo total dessa viagem, o módulo da velocidade vetorial média do avião, nesse tempo, foi de a) 320 km/h b) 480 km/h c) 540 km/h d) 640 km/h e) 800 km/h


4. (Ufpb 2007) Considere os vetores A, B e F, nos diagramas numerados de I a IV.

Os diagramas que, corretamente, representam a relação vetorial F = A - B são apenas:

a) I e III b) II e IV c) II e III d) III e IV e) I e IV 5. (Ufmg 2007) Dois barcos - I e II - movem-se, em um lago, com velocidade constante, de

mesmo módulo, como representado na figura:

Em relação à água, a direção do movimento do barco I é perpendicular à do barco II e as linhas

tracejadas indicam o sentido do deslocamento dos barcos.

Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que a velocidade do barco II,

medida por uma pessoa que está no barco I, é mais bem representada pelo vetor

a) P. b) Q. c) R. d) S.


6. (G1 - cftce 2007) Dados os vetores "a", "b", "c", "d" e "e" a seguir representados, obtenha o

módulo do vetor soma: R = a + b + c + d + e

a) zero

b) 20 c) 1 d) 2

e) 52

7. (Pucmg 2006) ASSINALE A OPÇÃO CORRETA.

a) Um escalar pode ser negativo. b) A componente de um vetor não pode ser negativa. c) O módulo de um vetor pode ser negativo. d) A componente de um vetor é sempre diferente de zero. 8. (Ufc 2006) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a

seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta.

a) CB + CD + DE = BA + EA b) BA + EA + CB = DE + CD c) EA - DE + CB = BA + CD d) EA - CB + DE = BA - CD e) BA - DE - CB = EA + CD 9. (Ufpb 2006) Um cidadão está à procura de uma festa. Ele parte de uma praça, com a

informação de que o endereço procurado estaria situado a 2km ao norte. Após chegar ao

referido local, ele recebe nova informação de que deveria se deslocar 4km para o leste. Não

encontrando ainda o endereço, o cidadão pede informação a outra pessoa, que diz estar a

festa acontecendo a 5km ao sul daquele ponto. Seguindo essa dica, ele finalmente chega ao

evento. Na situação descrita, o módulo do vetor deslocamento do cidadão, da praça até o

destino final, é:

a) 11km b) 7km c) 5km d) 4km e) 3km


10. (Pucpr 2004) Um ônibus percorre em 30 minutos as ruas de um bairro, de A até B, como

mostra a figura:

Considerando a distância entre duas ruas paralelas consecutivas igual a 100 m, analise as

afirmações:

I. A velocidade vetorial média nesse percurso tem módulo 1 km/h.

II. O ônibus percorre 1500 m entre os pontos A e B.

III. O módulo do vetor deslocamento é 500 m.

IV. A velocidade vetorial média do ônibus entre A e B tem módulo 3 km/h.

Estão corretas:

a) I e III. b) I e IV. c) III e IV. d) I e II. e) II e III. 11. (G1 - cftce 2004) Uma partícula desloca-se sobre a trajetória formada pelas setas que

possuem o mesmo comprimento L. A razão entre a velocidade escalar média e a velocidade

vetorial média é:

a) 1

3

b) 2

3

c) 1

d) 3

2

e) 2


12. (Unesp 2003) Um caminhoneiro efetuou duas entregas de mercadorias e, para isso, seguiu

o itinerário indicado pelos vetores deslocamentos d1 e d2 ilustrados na figura.

Para a primeira entrega, ele deslocou-se 10 km e para a segunda entrega, percorreu uma

distância de 6 km. Ao final da segunda entrega, a distância a que o caminhoneiro se encontra

do ponto de partida é

a) 4 km. b) 8 km.

c) 2 19 km.

d) 8 3 km. e) 16 km.

13. (Unifesp 2002) Na figura, são dados os vetores a , ω e v .

Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor g = a -

ω + v tem módulo

a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima. b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo. c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita.

d) ( 2 )u, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido horário.

e) ( 2 )u, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido anti-horário.

14. (Ufc 1999) Na figura a seguir, onde o reticulado forma quadrados de lados ℓ=0,5cm, estão

desenhados 10 vetores contidos no plano xy. O módulo da soma de todos esses vetores é, em

centímetros:

a) 0,0. b) 0,5. c) 1,0. d) 1,5. e) 2,0.


15. (Mackenzie 1998) Com seis vetores de módulo iguais a 8u, construiu-se o hexágono

regular a seguir. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é:

a) 40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero 16. (Puccamp 1998) Num bairro, onde todos os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas

distam 100 m uma da outra, um transeunte faz o percurso de P a Q pela trajetória representada

no esquema a seguir.

O deslocamento vetorial desse transeunte tem módulo, em metros, igual a

a) 300 b) 350 c) 400 d) 500 e) 700 17. (Fatec 1996) Dados os vetores A, B e C, representados na figura em que cada quadrícula

apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, é correto afirmar que a resultante

dos vetores tem módulo:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6


18. (G1 1996) Defina vetor.

19. (Uel 1994) Considere as seguintes grandezas físicas mecânicas: TEMPO, MASSA,

FORÇA, VELOCIDADE e TRABALHO. Dentre elas, têm caráter vetorial apenas

a) força e velocidade. b) massa e força. c) tempo e massa. d) velocidade e trabalho. e) tempo e trabalho. 20. (Upe 2013) Os vetores u e v, representados na figura a seguir, têm módulos,

respectivamente, iguais a 8 e 4, e o ângulo θ mede 120°.

O módulo do vetor | u v |, é:

a) 3 3

b) 4 3

c) 5 3

d) 3 5

e) 4 5 21. (Ufpr 2011) Durante um passeio, uma pessoa fez o seguinte trajeto: partindo de um certo

ponto, caminhou 3 km no sentido norte, em seguida 4 km para o oeste, depois 1 km no sentido norte novamente, e então caminhou 2 km no sentido oeste. Após esse percurso, a que distância a pessoa se encontra do ponto de onde iniciou o trajeto? 22. (Unirio 2000)

Considere os vetores a, g e anteriormente representados. O vetor v tal que v = 1

2a + g -

1

4

é:

a) 7

6, 4

b) (-2, 3) c) 7

, 6 4

d) 7

, 64

e)

76,

4


23. (Uff 1999) Considere o retângulo ABCD de dimensões BC = 3 m e CD = 4 m.

Calcule | AB BD DC

24. (Cesgranrio 1994) ABCD é um quadrado. O vetor que indica a operação AB -BC é igual a:

a) DB

b) CA

c) BD

d) BD

e) AC


Gabarito: Resposta da questão 1: [B] A resultante de duas forças tem módulo máximo quando elas têm mesmo sentido; e módulo mínimo quando elas têm sentidos opostos. Para esse caso.

máx máx

mín mín

R 3 4 R 7 N.

R 4 3 R 1 N.

De acordo com o Princípio Fundamental da Dinâmica:

RR m a a .

m

A aceleração tem módulo máximo quando a resultante tem intensidade máxima, portanto, quando as forças têm mesma direção e mesmo sentido. Comentário: massa é uma grandeza física e não um objeto, como sugere o enunciado. Existe um corpo puntiforme, um objeto puntiforme ou uma partícula. A massa é uma grandeza física associada à quantidade de matéria existente no corpo, no objeto ou na partícula. Resposta da questão 2:

[A] 1ª Solução:

Na figura acima:

Ax = 4; Ay = 3; Bx = -1; By = 1.

22 2 2x y

2 2 2 2x y

A A A 1 1 A 2.

B B B 4 3 B 25 B 5.

y

yx

A 1 2sen cos sen cos .

A 22

BB 4 3sen ; cos .

B 5 B 5

α α α α

β β

O ângulo entre os vetores A e B é .θ Mas:

θ α β


3 2 4 2 3 2 4 2

cos cos cos cos sen sen 5 2 5 2 10 10

2cos .

10

θ α β α β α β

θ

2ª Solução: Aplicando a regra do Paralelogramo:

Na figura acima:

Ax = 4; Ay = 3; Bx = -1; By = 1; Rx = 3; Ry = 4.

22 2 2

x y

2 2 2 2x y

2 2 2 2x y

A A A 1 1 A 2.

B B B 4 3 B 25 B 5.

R R R 3 4 B 25 R 5.

Da lei dos cossenos:

22 2 2 2 2R A B 2 A Bcos 5 2 5 2 2 5 cos

2 2 20 2 10 2 cos cos

10 210 2

2cos .

10

θ θ

θ θ

θ

Resposta da questão 3: [E]

Dados: d1 = 120 km; d2 = 160 km; t =1/4 h. A figura ilustra os dois deslocamentos e o deslocamento resultante.

Aplicando Pitágoras:


2 2 2 2 2 2

1 2d d d d 120 160 14.400 25.600 40.000 d 40.000

d 200 km.

O módulo da velocidade vetorial média é:

m

m

d 200v 200 4

1t4

v 800 km / h.

Resposta da questão 4:

[B]

I - B A F 0 F A B

II - F B A 0 F A B

III – igual ao I

IV - A F B 0 F A B Resposta da questão 5: [C] Resposta da questão 6: [E] Resposta da questão 7: [A] Resposta da questão 8: [D] Resposta da questão 9: [C]



[A] Resposta da questão 11:

[B]

m m

m m

6LV V 3T

4L 2V VT


[C]

A figura mostra o deslocamento vetorial do caminhão.

Uma forma imediata de solucionar a questão é utilizar a Lei dos Cossenos. 2

2 2r 10 6 2 10 6 cos60 100 36 60 76

r 2 19km

Resposta da questão 13: [B] Resposta da questão 14: [E] Resposta da questão 15: [B] Resposta da questão 16:

[D] Resposta da questão 17:


Ente matemático que possui como elementos a direção, um sentido e um valor ou intensidade. Resposta da questão 19:


[B]


Resposta da questão 21: 1ª Solução: Adotando convenientemente como ponto de partida a origem do plano cartesiano, segue que a

distância pedida é o módulo do vetor cuja extremidade é o ponto P( 6, 4), ou seja,

2 2| OP | ( 6) 4 52 2 13 km.

2ª Solução:

Considerando arbitrariamente o ponto de partida como sendo a origem O do plano cartesiano,

queremos calcular a distância entre O e P ( 6, 4). Portanto,

2 2OPd ( 6) 4 52 2 13 km.

3ª Solução:

Supondo que o ponto onde a pessoa iniciou o trajeto seja a origem do plano de Argand-Gauss,

segue que a distância pedida é o módulo do número complexo cujo afixo é o ponto ( 6, 4), isto

é, 2 2( 6) 4 52 2 13 km.

Resposta da questão 22: [C] Resposta da questão 23: |AC|= 5 m Resposta da questão 24: [A]

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