Vetores no Ensino Médio: investigando contribuições à...
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Vetores no Ensino Médio: investigando contribuições à Matemática e à Física Rafael F. Novoa Vaz Magno Luiz Ferreira Instituto Federal do Rio de Janeiro & Projeto Fundão IM/UFRJ [email protected] Lilian Nasser Geneci A. de Sousa Marcelo A. A. Torraca José A. R. Pereira Bruno do E. S. Batista Alan J. Severo Juliana S. M. Coutinho Projeto Fundão IM/UFRJ Cidade Universitária, CT, sala C-108, Ilha do Fundão [email protected] RESUMO A Base Nacional Comum Curricular (BNCC), lançada recentemente pelo MEC, apresenta diversas modificações em relação ao atual currículo do Ensino Médio. Conteúdos foram incluídos, como vetores e transformações lineares, enquanto outros foram excluídos, como polinômios, matrizes e determinantes [2]. Em relação aos vetores, constatamos que há uma carência de livros didáticos que tratem do tema, dificultando ao professor estudar e conduzir este assunto em aula. Neste minicurso, analisamos quais seriam as possíveis contribuições oriundas da reinserção de vetores no Ensino Médio proposta pela BNCC, sugerindo atividades de Matemática e aplicações à Física que possam ser resolvidas com uma abordagem vetorial. Como parte das ações de um grupo do Projeto Fundão (IM/UFRJ), foi realizada, no início de 2015, uma investigação sobre o nível de conhecimentos de vetores e Geometria Analítica com calouros do primeiro período do curso de Licenciatura em Matemática de um Instituto Federal do Rio de Janeiro [6]. Um dos nossos objetivos era verificar se havia conhecimento de vetores em uma abordagem mais relacionada à Matemática. Os resultados confirmaram os indícios de que o conhecimento de vetores está ausente dos currículos do Ensino Médio de Matemática, sugerindo que o conhecimento de vetores adquirido pelos estudantes foi obtido nas aulas de Física. O tópico de vetores, um dos pilares da Mecânica Newtoniana, está presente no currículo de Física do EM. É possível que este seja um dos motivos pelo qual o conteúdo de vetores venha sendo ensinado pelos professores de Física e não de Matemática, apesar de, em alguns casos, não fazer parte da própria grade curricular. As habilidades de compreender o significado e reconhecer as características de um vetor, por exemplo, não estão presentes, nem no currículo de Física, nem no de Matemática do Ensino Médio da SEEDUC-RJ. A BNCC sugere a inserção de vetores no currículo de Matemática no Ensino Médio, por meio dos seguintes objetivos: Compreender o conceito de vetor, tanto do ponto de vista geométrico (coleção de segmentos orientados de mesmo comprimento, direção e sentido) quanto do ponto de vista algébrico, caracterizado por suas coordenadas, aplicando-o em situações da Física. ([2], p.564) Estabelecer relações entre as transformações isométricas (reflexão, translação e rotação) e vetores no contexto do plano cartesiano, incluindo o uso de softwares de geometria dinâmica. ([2], p. 565) A inclusão de vetores nas aulas de Matemática do Ensino Médio não é novidade. Segundo as Orientações Curriculares Nacionais [3], este tema já deveria ter sido incorporado no currículo de Matemática no Ensino Médio. O fato de o trabalho com vetores exigir a utilização de registros gráficos e algébricos pode levar os alunos a uma aprendizagem mais efetiva. De acordo com a teoria dos registros de representação de Duval [4], um objeto pode ser representado utilizando diversos registros e “a articulação desses diferentes registros é a condição para a compreensão em matemática, embora várias abordagens didáticas não levem em conta esse fato”. Na prática,
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Vetores no Ensino Médio:
investigando contribuições à Matemática e à Física
Rafael F. Novoa Vaz Magno Luiz Ferreira
Instituto Federal do Rio de Janeiro & Projeto Fundão IM/UFRJ
Lilian Nasser Geneci A. de Sousa Marcelo A. A. Torraca José A. R. Pereira
Bruno do E. S. Batista Alan J. Severo Juliana S. M. Coutinho
Projeto Fundão IM/UFRJ
Cidade Universitária, CT, sala C-108, Ilha do Fundão
RESUMO
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC), lançada recentemente pelo MEC, apresenta
diversas modificações em relação ao atual currículo do Ensino Médio. Conteúdos foram
incluídos, como vetores e transformações lineares, enquanto outros foram excluídos, como
polinômios, matrizes e determinantes [2]. Em relação aos vetores, constatamos que há uma
carência de livros didáticos que tratem do tema, dificultando ao professor estudar e conduzir este
assunto em aula. Neste minicurso, analisamos quais seriam as possíveis contribuições oriundas
da reinserção de vetores no Ensino Médio proposta pela BNCC, sugerindo atividades de
Matemática e aplicações à Física que possam ser resolvidas com uma abordagem vetorial.
Como parte das ações de um grupo do Projeto Fundão (IM/UFRJ), foi realizada, no início
de 2015, uma investigação sobre o nível de conhecimentos de vetores e Geometria Analítica com
calouros do primeiro período do curso de Licenciatura em Matemática de um Instituto Federal do
Rio de Janeiro [6]. Um dos nossos objetivos era verificar se havia conhecimento de vetores em
uma abordagem mais relacionada à Matemática. Os resultados confirmaram os indícios de que o
conhecimento de vetores está ausente dos currículos do Ensino Médio de Matemática, sugerindo
que o conhecimento de vetores adquirido pelos estudantes foi obtido nas aulas de Física.
O tópico de vetores, um dos pilares da Mecânica Newtoniana, está presente no currículo
de Física do EM. É possível que este seja um dos motivos pelo qual o conteúdo de vetores venha
sendo ensinado pelos professores de Física e não de Matemática, apesar de, em alguns casos, não
fazer parte da própria grade curricular. As habilidades de compreender o significado e reconhecer
as características de um vetor, por exemplo, não estão presentes, nem no currículo de Física, nem
no de Matemática do Ensino Médio da SEEDUC-RJ.
A BNCC sugere a inserção de vetores no currículo de Matemática no Ensino Médio, por
meio dos seguintes objetivos:
Compreender o conceito de vetor, tanto do ponto de vista geométrico
(coleção de segmentos orientados de mesmo comprimento, direção e
sentido) quanto do ponto de vista algébrico, caracterizado por suas
coordenadas, aplicando-o em situações da Física. ([2], p.564)
Estabelecer relações entre as transformações isométricas (reflexão,
translação e rotação) e vetores no contexto do plano cartesiano,
incluindo o uso de softwares de geometria dinâmica. ([2], p. 565)
A inclusão de vetores nas aulas de Matemática do Ensino Médio não é novidade. Segundo
as Orientações Curriculares Nacionais [3], este tema já deveria ter sido incorporado no currículo
de Matemática no Ensino Médio. O fato de o trabalho com vetores exigir a utilização de registros
gráficos e algébricos pode levar os alunos a uma aprendizagem mais efetiva. De acordo com a
teoria dos registros de representação de Duval [4], um objeto pode ser representado utilizando
diversos registros e “a articulação desses diferentes registros é a condição para a compreensão em
matemática, embora várias abordagens didáticas não levem em conta esse fato”. Na prática,
porém, o que se constata é que este conteúdo não está sendo ministrado nas aulas de Matemática,
talvez porque haja uma carência deste tópico nos livros didáticos.
Em nossas pesquisas encontramos duas instituições, cujos materiais didáticos
contemplam o estudo dos vetores no Ensino Médio. No Colégio de Aplicação da UFRJ os
estudantes utilizam uma apostila [1] elaborada pelos professores e no Colégio de Aplicação da
UERJ, as aulas são ministradas utilizando como referência um livro da autoria de dois de seus
professores [5]. Ventura e Almouloud [8] realizaram uma investigação sobre o conteúdo de
Geometria Analítica em sete livros didáticos do Ensino Médio, relatando que apenas o livro
Contextos e Aplicações, em três volumes, faz referência a vetores. A inserção de vetores no
Ensino Médio pode trazer muitos benefícios para o ensino de Matemática e o ensino de Física.
Em Matemática, alguns temas poderiam ser melhor explicados, ou justificados, com uma
abordagem vetorial. Consideremos, por exemplo, a condição de alinhamento entre três pontos no
plano cartesiano. Sem a utilização de vetores, esta pode ser desenvolvida utilizando proporção,
em uma abordagem geométrica. Entretanto, ao relacionar esta fórmula a um determinante, os
autores dos livros didáticos utilizam um caminho nada elegante. Há outros exemplos
interessantes: o cálculo das coordenadas do baricentro ou da área de um triângulo no plano
cartesiano a partir das coordenadas dos seus vértices. Neste último caso, a demonstração da
fórmula que associa esta área a um determinante é longa e cansativa ([7], p.122-123).
Em Física, pode-se destacar que o prévio conhecimento de vetores poderia contribuir, por
exemplo, para a melhor compreensão do cálculo do trabalho realizado por uma força, obtido a
partir do produto escalar entre o vetor força e o vetor deslocamento de um corpo ou a força
resultante, calculada a partir de uma soma vetorial. Muitos são os objetos matemáticos que
compõem pré-requisitos para o ensino desta disciplina, vetor é um deles.
Este minicurso pretende apresentar algumas atividades de Matemática e Física, utilizando
uma abordagem vetorial, e analisar como esta abordagem poderia contribuir para a melhor
compreensão de alguns conceitos, fórmulas e procedimentos utilizados nestas duas disciplinas.
Palavras-chave: Vetores; Geometria Analítica; BNCC.
Referências
[1] Assemany, D.; Akio, L.; Dias, P.; Dias, U.; Neto, C.; Rangel, L.; Spíller, L. & Villar, F. Módulo de
Vetores e Geometria Analítica. Universidade Federal do Rio de Janeiro, 144 p., 2012.
[2] Brasil. Ministério da Educação e Cultura. Base Nacional Comum Curricular. 2016.
[3] Brasil. Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Brasília: MEC/SEB, 2006. v 2.
[4] Duval, R. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em
Matemática. In: MACHADO, Silvia D. A. (org.). Aprendizagem em Matemática: Registros de
Representação Semiótica. Campinas: Papirus, 2003. p.11-33.
[5] Julianelli, J. R., Cataldo, J. C. Vetores, Geometria Analítica e Álgebra. Matvest, 2004.
[6] Nasser, L., Vaz, R. & Torraca, M. Transição do Ensino Médio para o Superior: Investigando
Dificuldades em Geometria Analítica. Atas do VI Seminário Internacional de Pesquisa em Educação
Matemática (em CD). SBEM: Pirenópolis, GO, Brasil, 2015.
[7] Paiva, M.R. Matemática. Editora Moderna, 2010.
[8] Ventura, K. T. A.; Almouloud, S. A. Análise de Conteúdos de Geometria Analítica em Livros Didáticos
de Ensino Médio. In:VI Congresso Internacional de Ensino de Matemática-2013.
